RESOLUÇAO PORTFÓLIO 02 AULA 02 2020 1 TUTORA JORDANIA

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Universidade Federal do Ceará 
UFC VIRTUAL 
Licenciatura em Matemática 
Elementos de Equações Diferenciais – 2015.1 
Aula 2 - Resolução Portfólio 
 
Atividade de portfólio 
 
Escolha e resolva SOMENTE um dos itens de cada questão. 
1. As EDOs abaixo são separáveis, encontre a solução geral: 
a) Y’ = 1 + x + y² + xy² 
b) 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
Colocando “x” em evidência: 
 
 
 
 
 
 
Colocando em evidência: 
 
 
 
Separando as variáveis: 
 
 
 
Integrando em ambos os lados da igualdade: 
∫
 
 
 ∫ 
Lembrando que: 
∫
 
 
 
Resolvendo as integrais: 
 
 
 
 
Solução geral da EDO: 
 
 
 
 
Ou na forma explícita: 
 ( 
 
 
 ) 
b)
 
 
 
 
 
 
Separando as variáveis: 
 
 
Integrando em ambos os lados da igualdade: 
∫ ∫ 
Resolvendo as integrais: 
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
Solução geral da EDO: 
 
 
 
 
 
 
Ou: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resolva: 
a) 
b) 
 
a) 
 
 
 
Resolução 1: 
Perceba que a EDO acima pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
E que pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
Logo temos uma EDO linear de primeira ordem. Onde: 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 ∫ ∫ ∫ 
 ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução Geral: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 2: 
Perceba que a EDO pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, temos uma EDO linear de primeira ordem. Onde: 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Calculando o fator integrante: 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
Voltando para a EDO, multiplica-se o fator integrante em ambos os lados da 
igualdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que o lado esquerdo da igualdade acima pode ser escrito da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, transformamos o lado esquerdo na derivada de uma multiplicação. 
 
Logo, substituindo temos: 
 
 
 
 =2x 
 
Integrando em ambos os lados da igualdade: 
 
∫ ( 
 
 ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução Geral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Perceba que a EDO pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
Logo, temos uma EDO linear de primeira ordem. Onde: 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Calculando o fator integrante: 
 ∫ ∫ 
 
Voltando para a EDO, multiplica-se o fator integrante em ambos os lados da 
igualdade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que o lado esquerdo da igualdade acima pode ser escrito da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, transformamos o lado esquerdo na derivada de uma multiplicação. 
 
Logo, substituindo temos: 
 
 
 
 
 
Usando a relação trigonométrica 
 . Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando em ambos os lados da igualdade: 
 
∫ ∫ 
 
 ∫ ⏟ 
 ⏟ 
 
 
 
Resolvendo : 
∫ 
Usando a seguinte substituição temos: 
 
 
 
 
Substituindo na integral: 
∫ 
 
 
 ∫ 
Usando integração por partes: 
∫ ∫ 
 
∫ 
 
 ∫ ∫ 
Colocando em evidência: 
∫ 
Lembrando que e voltando para : 
∫ 
Voltando para : 
 
 
 
 
 
 
Solução Geral: 
 
 
 
3. Determine a solução de: 
a) Y’ + xy = x³y³ 
b) Y – y’.cosx = y²cosx(1 – senx) 
 
a) 
Verificamos que a EDO acima pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
Caracterizando uma EDO de Bernoulli. Onde: 
 
Fazendo a substituição: 
 
Utilizando: 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
Comparando com: 
 
 
 . 
Percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem. Onde: 
 
Cuja solução é: 
 ∫ ∫ ∫ 
Onde aqui . Segue-se: 
 ∫ ∫ ∫ 
 ∫ ∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 ⏟ 
 ⏟ 
 
 
 
Resolvendo : 
 ∫ 
 
 
Usando a seguinte substituição temos: 
 
 
 
 
Substituindo na integral: 
 ∫ 
 
 
 
 
 
∫ ∫ 
Usando integração por partes: 
∫ ∫ 
 
 ∫ 
 
 ∫ ∫ 
Lembrando que e voltando para : 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colocando 
 
 em evidência temos: 
 ∫ 
 
 
 
 
Voltando para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
Como partimos da variável dependente y, devemos deixar a solução em função dela. 
Como , segue-se que: 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 √
 
( ) 
 
Solução Geral: 
 √
 
( ) 
 
 
b) 
Resolução: 
 
Multiplica-se por ( 
 
 
) ambos os lados da igualdade 
( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
Verificamos que a EDO acima pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
Caracterizando uma EDO de Bernoulli. Onde: 
 ( 
 
 
) 
Utilizando: 
 
 
 
Fazendo a substituição: 
 
Temos: 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando com: 
 
 
 . 
Percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem. Onde: 
 
 
 
 
Cuja solução é: 
 ∫ ∫ ∫ 
Onde aqui . Segue-se: 
 ∫ ∫ ∫ 
Sabemos que 
 ∫ 
 Logo, 
 ∫ ∫ ∫ 
 ∫ ⏟ 
 
 
 A função exponencial natural detonada por exp é a inversa da função logarítmica 
natural. Assim sendo ela é definida por 
 
Lembrando a seguinte propriedade das funções exponenciais: 
 
Temos que: 
 
Portanto, reescrevendo * temos: 
 ∫ 
 ∫ ⏟ 
 
 
Reescrevendo “**”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 ∫ ⏟∫ 
 
 
 
 
 
 
Como , segue-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução geral: 
 
 
 
 
 
4. Verifique se a EDO é exata e encontre a solução geral. 
a)(y³ – x)y’ = y 
b)(x – 4y)y’ + y – 3x² = 0 
 
a) 
Solução: 
 
Reescrevendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
Verificando se é exata: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto a EDO é exata. 
 Integrando M(x,y) em relação a x: 
∫ 
 Derivando u em relação à y: 
 
 
 Igualando com N(x, y) para encontrar 
 : 
 
 Integrando para encontrar : 
∫ ∫ 
 
 
 
 Substituindo em u: 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois “K” e “C” são constantes, logo C-K também é constante. 
Solução geral da EDO: 
 
 
 
 
 
b) 
Solução: 
 
Reescrevendo: 
 
 
 
 
Ou 
 
Verificando se é exata: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto a EDO é exata. 
 Integrando M(x,y) em relação a x: 
∫ 
 Derivando u em relação à y: 
 
 
 Igualando com N(x, y) para encontrar 
 : 
 
 Integrando para encontrar : 
∫ ∫ 
 
 
 
 Substituindo em u: 
 
 
Logo, 
 
 
Pois “K” e “C” são constantes, logo C-K também é constante. 
Solução geral da EDO: 
 
 
5. Verifique se a EDO é: (i) exata, (ii) homogênea, e (iii) encontre a solução geral, 
sendo ou não exata: 
a) X + 4y + 2x.y’ = 0 
b) X² + y² + (2xy + y²)y’ = 0 
 
a) 
Solução: 
Reescrevendo: 
 
 
 
 
Ou 
 
i) Verificando se é exata: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto a EDO não é exata. 
ii) Verificando se é homogênea: 
Função homogênea: 
Uma função é homogênea de grau n se para todo t real 
),(),( yxfttytxf n para algum número real 
Equação Homogênea: 
 
Uma equação diferencial na forma 0),(),(  dyyxNdxyxM é chamada de 
homogênea se M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau. 
Verificando: 
 
 
Verificamos que M e N são funções homogêneas de grau 1. Logo a EDO é 
homogênea de grau 1. 
iii) Encontrando a solução geral: 
M e N são homogêneas de grau 1. Assim, seja ⁄ ou . Logo 
 
 
 
 
 
 . Daí, (
 
 
 ) . 
Organizando, . Simplificando por x temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando em ambos os lados da igualdade: 
∫
 
 ⏟ 
 
 ∫ 
 
 ⏟ 
 
 
Resolvendo as integrais: 
1 – Resolvendo por substituição: 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Direto: 
∫ 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
∫
 
 ⏟ 
 
 ∫ 
 
 ⏟ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que ⁄ . Logo, 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
Ou 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
b) 
Solução: 
Reescrevendo: 
 
 
 
 
Ou 
 
i) Verificando se é exata: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. Portanto a EDO é exata. 
ii) Verificando se é homogênea: 
Função homogênea: 
Uma função é homogênea de grau n se para todo t real 
),(),( yxfttytxf n para algum número real 
Equação Homogênea: 
 
Uma equação diferencial na forma 0),(),(  dyyxNdxyxM é chamada de 
homogênea se M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau. 
Verificando: 
 
 
 
Verificamos que M e N são funções homogêneas de grau 2. Logo a EDO é 
homogênea de grau 2. 
iii) Encontrando a solução geral: 
 Integrando M(x,y) em relação a x: 
∫ 
 
 
 
 Derivando u em relação à y: 
 
 
 Igualando com N(x, y) para encontrar 
 : 
 
 
 Integrando para encontrar : 
∫ ∫ 
 
 
 
 Substituindo em u: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois “K” e “C” são constantes, logo C-K também é constante. 
Solução geral da EDO: