Act_derivadas no Geogebra

•

UFRGS

0

Henrique Gomes

24/06/2020

E aí, curtiu este material?

Ajude a incentivar outros estudantes a melhorar o conteúdo

Gostou desse material? Compartilhe! 🧡

Matemática

640.141 Materiais compartilhados

Baixe o app para aproveitar ainda mais

Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!

Prévia do material em texto

Derivadas e suas Aplicações
Henrique Gomes
Escola Secundária do Tarrafal
Junho 2020
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 1 / 22
Conteúdos
1 Derivada de uma função num ponto
Derivadas laterais
2 Função derivada e regras de derivação
Derivada da função potência
Derivada da função soma ou diferença.
Derivada da função produto.
Derivada da função quociente.
Derivada da função composta.
3 Monotonia e Extremos Relativos
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 2 / 22
Derivada de uma função num ponto
Definição 1.
Seja f uma função real de variável real e x0 ∈ Df . A derivada da
função f no ponto de abcissa x0 , se existir, é dado por:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
ou f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
(1)
Observação.
Se uma função tem derivada finita num ponto então ela diz-se
diferençiável neste ponto.
Uma outra notação utilizada para a derivada de f num ponto de
abcissa x0 é dfdx(x0) .
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 3 / 22
Exemplo
Exerćıcio 1.1.
Determina a derivada da função j(x) = x2 − 3x , no ponto de
abcissa x0 = 2 .
Resolução:
j′(x0)
def.(1)= lim
x→x0
j(x)− j(x0)
x− x0
= lim
x→2
x2 − 3x− j(2)
x− 2
= lim
x→2
x2 − 3x− (−2)
x− 2
= lim
x→2
���
�(x− 2)(x− 1)
���x− 2
= 2− 1 = 1
Assim j′(2) = 1 .
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 4 / 22
Interpretação geométrica da derivada
Geometricamente, a derivada de uma função num ponto de abcissa
x0 é o declive da reta tangente ao gráfico da função nesse
ponto.
Interpretação geométrica
da derivada
A equação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abcissa
x0 é dado por:
y = f ′(x0)× (x−x0)+f(x0) (2)
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 5 / 22
Exemplo
Exerćıcio 1.2.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
j(x) = x2 − 3x no ponto de abcissa x0 = 2
Resolução:
A equação da reta tangente ao gráfico de j em x0 = 2 é
y = j′(2)× (x− 2) + j(2)
utilizando os resultados do exerćıcio (1.1) que são:
j(2) = −2 e j′(2) = 1
Assim a equação é
y = 1× (x− 2) + (−2)⇒ y = x− 4
.
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 6 / 22
Derivadas laterais
Definição 2.
A derivada da função f á esquerda do ponto de abcissa x0 , se
existir, é dado por:
f ′(x−0 ) = lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0
ou f ′(x−0 ) = lim
h→0−
f(x0 + h)− f(x0)
h
(3)
Definição 3.
A derivada da função f á direita do ponto de abcissa x0 , se
existir, é dado por:
f ′(x+0 ) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0
ou f ′(x+0 ) = lim
h→0+
f(x0 + h)− f(x0)
h
(4)
Observação.
A derivada de f no ponto de abcissa x0 existe sse f ′(x−0 ) = f ′(x+0 ) .
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 7 / 22
Função derivada
Definição 4.
A função derivada de f é denotada por f ′ definida do seguinte
modo:
f ′ : A ⊂ Df 7−→ R
x ↪→ y = f ′(x)
Função Derivada de f(x) = x2
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 8 / 22
Derivada da função constante.
Propriedade 1.
Se f(x) = k então f ′(x) = 0.
Exemplo 2.1.
• f(x) = 32 ⇒ f
′(x) = (32)
′ = 0
• g(x) = −
√
2⇒ g′(x) = (−
√
2)′ = 0
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 9 / 22
Derivada da função potência
Propriedade 2.
Se f(x) = xk então f ′(x) = k · xk−1 .
Exemplo 2.2.
• f(x) = x3 ⇒ f ′(x) = (x3)′ = 3x3−1 = 3x2
• g(x) = 1
x2
⇒ g′(x) = ( 1
x2
)′ = (x−2)′ = −2x−2−1 = −2x−3 =
− 2
x3
• h(x) =
√
x⇒ h′(x) = (
√
x)′ = (x 12 )′ = 12×x
1
2−1 = 12x
− 12 = 12√x
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 10 / 22
Derivada do produto de um constante por uma
função.
Propriedade 3.
Se f(x) = ku(x) então f ′(x) = ku′(x) .
Exemplo 2.3.
• f(x) = 5x2 ⇒ f ′(x) = 5(x2)′ = 5× 2x2−1 = 10x
• g(x) = 43x5 ⇒ g
′(x) = ( 43x5 )
′ = 43 × (x
−5)′ =
4
3 × (−5)× x
−5−1 = −203 × x
−6 = − 203x6
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 11 / 22
Derivada da função soma ou diferença.
Propriedade 4.
Se f(x) = u(x) + v(x) e g(x) = u(x)− v(x) então
f ′(x) = u′(x) + v′(x) e g′(x) = u′(x)− v′(x) .
Exemplo 2.4.
• f(x) = 2x +
√
3⇒ f ′(x) = (2x +
√
3)′ = (2x)′ + (
√
3)′ =
2 + 0 = 2
• g(x) = 4x23 − 7x
3 ⇒ g′(x) = (4x23 − 7x
3)′ = (4x23 )
′ − (7x3)′ =
8
3 × x− 21x
2 = 8x3 − 21x
2
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 12 / 22
Derivada da função produto.
Propriedade 5.
Se f(x) = u(x) · v(x) então f ′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x).
Exemplo 2.5.
• f(x) = (2x− 5)(x2 − 3x)
seja u(x) = 2x + 5⇒ u′(x) = 2 e
v(x) = x2 − 3x⇒ v′(x) = 2x− 3 então
f ′(x) =u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
⇔ f ′(x) =2(x2 − 3x) + (2x− 5)(2x− 3)
=2x2 − 6x + 4x2 − 6x− 10x + 15
⇒ f ′(x) =6x2 − 22x + 15
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 13 / 22
Derivada da função quociente.
Propriedade 6.
Se f(x) = u(x)v(x) então f
′(x) = u
′(x)·v(x)−u(x)·v′(x)
[v(x)]2 .
Exemplo 2.6.
• f(x) = x2+x+1
x+1
seja u(x) = x2 + x + 1⇒ u′(x) = 2x + 1 e
v(x) = x + 1⇒ v′(x) = 1 então
f ′(x) =(2x + 1)(x + 1)− (x
2 + x + 1)× 1
(x + 1)2
=2x
2 + 2x + x + 1− x2 − x− 1
(x + 1)2 =
x2 + 2x
(x + 1)2
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 14 / 22
Derivada da função composta.
Propriedade 7.
Se f(x) = (u ◦ v)(x) = u(v(x)) então
f ′(x) = v′(x)× u′(y).
Exemplo 2.7.
• g(x) =
√
x2 − 3x
Ora tomando u(x) = x2 − 3x e v(x) =
√
x é fácil ver que
g(x) = v ◦ u
⇒ g′(x) = (v ◦ u)′ = u′(x)× v′(u) = (x2 − 3x)′ × (
√
u)′
= (2x− 3)× 12
√
u
= 2x− 3
2
√
x2 − 3x
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 15 / 22
A definição anterior nos permite escrever que :
Propriedade 8.
Se f(x) = [v(x)]k então f ′(x) = k · v′(x) · [v(x)]k−1,pois
f(x) = (v ◦ u)(x) com v(x) = xk .
Exemplo 2.8.
• f(x) = (2x + 1)100
⇒ f ′(x) = ((2x + 1)100)′
= 100× (2x + 1)′ × (2x + 1)99
= 100× 2× (2x + 1)99
= 200(2x + 1)99
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 16 / 22
Monotonia de uma função
Propriedade 9.
Seja f uma função cont́ınua de diferenciável em ]a, b[ então:
• Se f ′(x) > 0 ∀x ∈]a, b[ então f é estritamente crescente
em ]a, b[ .
• Se f ′(x) < 0 ∀x ∈]a, b[ então f é estritamente
decrescente em ]a, b[ .
• Se f ′(x) = 0 ∀x ∈]a, b[ então f é constante em ]a, b[ .
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 17 / 22
Extremos Relativos
Definição 5.
Se a ∈ Df .
• Diz-se que a é valor critico de f se f ′(a) = 0 ou @f ′(a).
• Se a é valor critico de f então o ponto (a, f(a)) diz-se ponto
critico de f .
Procedimentos para determinar os extremos:
1 Determinar os pontos cŕıticos de f em Df , isto é, os valores
a ∈ Df tal que f ′(a) = 0 ou @f ′(a).
2 Se f ′(x) muda de positivo para negativo antes e depois de a ,
então f(a) é um máximo relativo.
3 Se f ′(x) muda de negativo para positivo antes e depois de a ,
então f(a) é um mı́nimo relativo.
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 18 / 22
Extremos Relativos(cont.)
Mı́nimo relativo para: Máximo relativo para:
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 19 / 22
Estudo de funções
Faça o estudo completo das seguintes funções
f(x) = 3x3 + 214 x +
9
4 g(x) =
x2+2x−6
x−3
.
Procedimentos a Saber:
1 Determinar o domı́nio;
2 Determinar as coordenadas dos pontos de intersecção do
gráfico com os eixos (xx e yy);
3 Determinar as equações das assimptotas do gráfico;
4 Estudar a monotonia, indicando os extremos relativos -
1ª derivada;
5 Estudar o sentido da concavidade do gráfico e determinar
os pontos de inflexão- 2ª derivada
6 Esboçar o gráfico; e indicar o contradomı́nio.
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 20 / 22
Aplicações da derivada na F́ısica
As posições de uma part́ıcula material P que se move no plano
OXY são definidas pelo vetor posição:
−→r (t) = (t2)−→ex + (3t)−→ey (S.I)
1 Para o instantet = 2s.
(i) Escreva a expressão cartesiana do vetor posição.
(ii) Calcule a norma de −→r .
(iii) Indique as coordenadas de P no referencial.
2 Determine a equação cartesiana da trajetória e represente-a
graficamente no intervalo [0, 3s]. Qual é o valor de −→∆r nesse
intervalo de tempo.
3 Para o instante genérico t, indique:
(i) A expressão cartesiana do vetor velocidade.
(ii) A norma do vetor −→v
(iii) A expressão cartesiana do vetor aceleração −→a
4 Para t = 2s, indique a expressão cartesiana e norma de −→v .
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 21 / 22
Aplicações da derivada na Economia
Uma Empresa determina que x unidades de um certo produto
podem ser vendidos a p Escudos, onde x = 1000− p. O custo de
produção de x unidades é C(x) = 3000 + 20x.
a) Qual a função receita R(x).
b) Qual a função Lucro L(x).
c) Supondo que a capacidade máxima de produção é 500
unidades por dia, determine quantas unidades a empresa deve
produzir e vender para maximizar o lucro.
d) Encontre o lucro máximo.
e) Qual o preço máximo a ser cobrado.
Henrique Gomes (EST) Derivadas e suas Aplicações Junho 2020 22 / 22
	Derivada de uma função num ponto
	Derivadas laterais
	Função derivada e regras de derivação
	Derivada da função potência
	Derivada da função soma ou diferença.
	Derivada da função produto.
	Derivada da função quociente.
	Derivada da função composta.
	Monotonia e Extremos Relativos
	Estudo completo de uma função