Apostila Ensino Fundamental CEESVO - Matemática 02

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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 6 
 
 
Nesta U.E., você aprenderá um novo conjunto de números para representar 
situações em que apenas os elementos do conjunto N não são suficientes. 
Esse conjunto de números é denominado CONJUNTO DE NÚMEROS 
INTEIROS. 
 
 
OBJETIVOS: 
 
Ao final desta U.E., você deverá saber: 
• Identificar Z como o conjunto N ampliado; 
• Localizar na reta numerada os elementos de Z; 
• Comparar dois números inteiros, utilizando os sinais >,< ou =; 
• Escrever o simétrico de um número inteiro; 
• Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro; 
• Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir corretamente dois ou mais números 
inteiros; 
• Efetuar corretamente a potência de um número inteiro; 
• Efetuar a radiciação de um número inteiro. 
 
 
ROTEIRO: 
 Leia as explicações do módulo com muita atenção acompanhando a 
resolução dos exemplos. 
 Copie e resolva os exercícios em seu caderno na seqüência em que se 
apresentam. 
 
 
 
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. 
 
FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU CADERNO. 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Com a evolução do homem foram aparecendo situações novas que não 
podiam ser representadas com os números conhecidos (números naturais). 
Por exemplo: 
 
Eu tenho R$23,00 para pagar uma dívida de R$28,00. Como fica o 
resultado dessa operação? 
 
R$23,00 – R$28,00 = ? Fiquei devendo R$5,00. Mas como você pode 
representar esse resultado? 
 
Os elementos (números) do conjunto N não servem porque nenhum 
deles representa uma quantidade menor que zero. 
 
Para solucionar essas situações foi necessário criar um outro conjunto de 
números. Assim surgiram os “números inteiros negativos” que representam 
perdas, dívidas, sentido oposto, etc. 
Dever 5 passou a ser representado por –5 (lê-se:5 negativo ou negativo 
5 ). 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS 
OU NÚMEROS INTEIROS 
 
 É o conjunto formado por todos os números positivos 
(infinito), o número zero e todos os números negativos 
(infinito). 
Foram criados os números: 
–1 (lê-se negativo um) 
–2 (lê-se negativo dois) 
–3 (lê-se negativo três) 
 
E assim sucessivamente. Esses números foram criados para representar 
quantidades menores que zero. Eles foram denominados números inteiros 
negativos. 
 
Os números inteiros negativos são: –1, –2, –3, –4, –5, –6,... 
Todo número precedido de sinal negativo (–) representa uma 
quantidade menor (<<<< ) que zero. 
 
Ex.: -3 < 0 -5 < 0 
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Portanto o zero, por sua vez, é maior (>>>>) que qualquer número 
negativo, por isso: 
Ex.: 0 > -2 0 > -8 
 
Os números naturais 1,2,3,4,5,6..., são números inteiros positivos e 
são representados pelo sinal (+). Isto é: 1 = +1, 2 = +2, 3 = +3; ... 10 = +10;... 
Os números positivos representam ganho, lucro, mesmo sentido. 
Z é o símbolo do conjunto dos números inteiros 
 
Z = ..., –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ... 
 
Os números inteiros negativos são tão úteis quanto os números inteiros 
positivos. Na realidade, você usou os números inteiros negativos em muitas 
ocasiões, sem chamá-los de números inteiros negativos. 
 
Veja algumas dessas situações: 
 
a) Distâncias à direita de um ponto marcado (ponto zero): 
 
8 Km à direita (+8Km). 
Distâncias à esquerda do mesmo ponto marcado: 
8 Km à esquerda (–8Km). 
 
 
b) Saldo bancário: 
Crédito de R$ 600,00 (+R$600,00). 
Débito de R$ 600,00 ( – R$600,00). 
c) Tempo antes e depois de uma data: 
100 anos depois de Cristo (+100 anos). 
100 anos antes de Cristo (–100 anos). 
d) Saldo de gols de uma equipe: 
15 gols a favor (+15 gols). 
15 gols contra ( – 15 gols). 
e) Temperatura ambiente: 
18 graus acima de zero ( + 18º C). 
18 graus abaixo de zero ( –18 º C). 
 
 
 
O número zero 
fica sem sinal. 
Não é positivo, 
nem negativo 
 
 
 
–8Km 0 +8Km 
Fica determinado 
que o número sem 
sinal é positivo. 
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Copie e responda no seu caderno: 
 
 
1) Represente usando números inteiros positivos ou negativos: 
 
a) uma distância de 35 Km à direita de um ponto. (...........) 
b) uma temperatura de 29 graus abaixo de zero. (...........) 
c) um prejuízo de R$350,00. (................) 
d) um saldo de 8 gols a favor. (..............) 
 
2) Pedro tem R$250,00 no banco. Qual será seu saldo: 
 
a) Se ele retirar R$ 150,00? 
b) Se ele retirar R$ 250,00? 
c) Se ele retirar R$ 280,00? 
d) Se ele depositar R$ 50,00? 
 
3) Você tem R$ 600,00 no banco. Qual será seu saldo depois de efetuar as 
operações abaixo? 
 
a) depositou R$ 400,00 = ................ 
b) retirou R$200,00 = ..................... 
c) retirou R$150,00 = ..................... 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA 
 
Observe a reta numerada abaixo. Nela estão representados os números 
positivos e negativos. Perceba que para cada ponto marcado na reta está 
relacionado um número positivo ( à direita do zero) e um negativo (à 
esquerda do zero) a partir do ponto inicial ( número zero). 
 
 
 ...–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7... Z 
 
 
O que você vê são alguns elementos de Z representados. Você sabe que 
a representação de todos os elementos é impossível, porque Z é um conjunto 
infinito, da mesma forma que a reta. 
 
 
 
 
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SIMÉTRICO DE UM NÚMERO INTEIRO 
 
 
 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z 
 
Observe na reta numerada a localização dos números +3 e –3. 
 O que você percebeu? 
– Que os dois números estão a uma mesma distância em relação ao 
zero; 
– Que os números positivos podem ou não ser escritos acompanhados do 
sinal positivo. 
Os pares de números que estão a uma mesma distância do zero chamam-
se opostos ou simétricos, logo o oposto de –3 é 3. 
 
 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
 
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número a quantidade de 
unidades que existem do zero até ele, sem levar em conta a sua posição 
(esquerda ou direita). É o nº sem a representação do sinal. 
O módulo ou valor absoluto de um nº é representado por duas barras 
verticais. 
Por exemplo: –5 = 5 o módulo ou valor absoluto de –5 é 5, porque –5 
está a 5 unidades do zero. 
 
Veja. 5 unidades 
 
 
 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Z 
 
Qual é o módulo de +8? 
Como o +8 está a 8 unidades do zero, o módulo de 8 é 8. 
Não importa o número ser positivo ou negativo, pois o seu valor absoluto 
representa apenas a quantidade. 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
4) Complete com o valor absoluto dos números: 
 
a) 10+ = ........... b) o valor absoluto de 15 é .......... 
c) 6− = ......... d) o módulo de –3 é igual a: ......... 
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COMPARAÇÃO ENTRE NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS 
 
Você aprendeu que todos os números negativos são menores que 
zero portanto também são menores que qualquer número positivo. 
 Comparando dois números negativos podemos dizer que quanto mais 
distante o nº negativo está do zero menor ( < ) ele é. 
Comparando dois números positivos podemos dizer que quanto mais 
distante o nº positivo está do zero maior ( > ) ele é. 
Os números inteiros (positivos e negativos) se tornam maiores 
quando a localização, na reta geométrica, está da esquerda paraa direita. 
Ex.: –4 < –1 < 0 < +5 < +8 
 
 
 –4 –1 0 +5 +8 
 crescendo ou aumentando 
 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
5) Copie e complete no seu caderno, utilizando os sinais > (maior) ou < 
(menor) : 
 
a) 3 ...... –5 d) –5 ......... 0 
b) –2 ...... –3 e) 0 ......... – 4 
c) –4 ......+ 6 f) –3 ......... –2 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: 
 
ADIÇÃO OU SOMA: Quando somar? 
 
Quando temos que “juntar” dois ou mais números positivos 
(créditos) ou dois ou mais números negativos (débitos). 
Para adicionar (somar) basta usar a seguinte associação: 
 
 
Crédito com crédito, soma e resulta crédito (positivo com positivo = +) 
Exemplo: 
+5+6 = +11 
 
 
 
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Débito com débito, soma e resulta débito ( negativo com negativo = - ) 
 
Exemplo: 
 
 Você tem R$ 400,00 na conta corrente e deposita R$100,00. O resultado 
será crédito de R$500,00 
+400 +100 = +500 
Você tem um débito de R$400,00 nas Casas Bahia e um débito de 
R$100,00 na Loja Riachuelo. O resultado será um débito de R$500,00. 
–400 –100= –500 
 
 
SUBTRAÇÃO OU DIFERENÇA: Quando subtrair? 
 
Quando temos que saber a diferença (o que vai sobrar) entre a 
quantidade de números positivos (créditos) e a quantidade de números 
negativos (débitos) nas seguintes situações: 
 
+8-12=-4 -8+12=+4 
 
O senhor Silva tinha R$ 200,00 na conta bancária, mas foi descontado 
um cheque de R$500,00. O resultado será um débito de R$300, 00, pois a 
quantidade de débito é maior do que o crédito. Veja o extrato bancário: 
 
+200 –500 = –300 
 
 
 
 
 
 
 
 Você tem um débito de R$70,00 e tem R$100,00 na carteira. O resultado 
será um crédito de R$30,00. 
–70 +100 = +30 
 
Exemplos de situações: 
 
Ex.1: Tenho R$ 12,00 e gastei R$ 8,00 no supermercado. Quanto sobrou? 
Crédito ou débito? 
 
Se você respondeu que sobrou R$ 4,00, acertou, pois: 
 + 12 - 8 = + 4 
 
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Ex.2: Devo R$ 8,00 na padaria e R$ 15,00 no açougue. Tenho débito ou 
crédito? Quanto? 
 
Solução: Como tenho duas dívidas, devo somá-las e ficarei com dívida de 23. 
Assim: – 8 –15 = –23 
Logo, devo R$ 23,00 ou seja, –23 ( valor negativo). 
 
 
 
Regra Prática 
 
 * Débito (–) maior que o crédito (+), fico com débito (–). Ex.: –10 + 8 = –2 
 *Crédito (+) maior que o débito (–), fico com crédito (+). Ex.: +10 –8 = + 2 
 *Débito (–) mais débito(–) dá débito (–). Ex.: –2 – 6 = –8 
 *Crédito (+) mais crédito(+) dá crédito (+). Ex.: +3 + 4= +7 
 
 
Eliminação de parênteses 
 
 
 Um número só pode ter um sinal. Se houver dois sinais antes do número 
fazemos o “jogo” dos sinais: 
 
� Dois sinais iguais resulta positivo 
� Dois sinais diferentes resulta negativo 
 
Observe os exemplos: 
 
– (+ 3) = –3 sinais diferentes = negativo ( – ) 
+ ( –3 ) = –3 
 
– (– 3) = +3 sinais iguais = positivo ( + ) 
+ ( +3 ) = +3 
 
A mesma regra você aplica nas operações que têm parênteses: 
 
1º) elimina os parênteses fazendo o “jogo” de sinais. 
 
2º) resolve verificando os sinais de cada nº. 
 
 
 
Jogo dos 
Sinais 
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1º Ex.: (+2) + (–7) = +2 – 7 = – 5 
 
 
 
2º Ex.: (+2) – (+7) = +2 –7 = -5 
 
3º Ex.: (+3) + (+8) = +3 + 8 = + 11 
 
4º Ex.: (+3) -– (–8) = +3 + 8 = + 11 
 
 
 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
6) Resolva os exercícios em seu caderno, eliminando os parênteses com o 
“jogo de sinais”: 
 
 a) ( + 4 ) + ( + 5 ) = 
 
 b) (+ 4 ) + ( - 6 ) = 
 
c) (– 4 ) + ( - 8 ) = 
 
d) (+ 3 ) – (+ 5 ) = 
 
e) ( + 4 ) – ( - 5) = 
 
f) (–7 ) – ( - 10) = 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras: 
 
Sinais Iguais , resultado Positivo. 
Ex.: (+3) • (+2) = + 6 
(−3 ) • (−2) = + 6 
 
Sinais Diferentes , resultado Negativo. 
Ex.: (+3) • (−2) = −6 
(− 3) • (+2) = − 6 
 
Perceba que a regra 
dos sinais da 
multiplicação e divisão 
é a mesma usada na 
eliminação dos 
parênteses. 
Não esqueça de 
eliminar os 
parênteses em 
cada exercício. 
Dois sinais diferentes resulta − 
Dois sinais iguais resulta + 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
7) Resolva as multiplicações e divisões em seu caderno observando os sinais. 
a) ( + 4 ) . ( + 3 ) = 
b) (− 8 ) . ( − 1 ) = 
c) ( + 9 ) : ( − 3 ) = 
d) ( − 6 ) : ( − 6 ) = 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
(multiplicação com o mesmo número e sinal) 
 
Como a potenciação é um produto de fatores iguais, aplicamos as 
mesmas regras de sinais observadas na multiplicação. 
 
Ex.: 
1) (+5)² = (+5) • (+5) = + 25 
2) (−4)³ = (−4) •. (−4) • (− 4) = −64 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
 
• Qualquer número inteiro, elevado a um expoente par, tem como 
potência um número positivo. 
Ex.: (+2)4 = +16 pois +2 . +2 . +2 . +2 = +16 
 (-3)²= +9 pois –3 . –3 = +9 
 
• Qualquer número inteiro, elevado a um expoente ímpar, tem como 
potência (resultado) um número com o mesmo sinal da base. 
 
Ex.: (+3) ³ = +27 pois +3 . +3 . +3 = + 27 
(-2) ³ = -8 pois –2 . –2 . –2 = -8 
 
. 
 
 
 
 
 
Sinais iguais = + 
Observe algumas 
potências especiais: 
Sinais diferentes = − 
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a) Todo número elevado à zero é igual a um. 
 
(+7)0 = 1 
 
b) Todo número elevado a um é igual ao próprio número. 
 
(+7)1= +7 
 
c) Toda potência de 10 é calculada escrevendo o número 1 acompanhado 
de tantos zeros quanto for o nº. do expoente. 
 
104 = 10000 
102 = 100 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
9) Copie e responda em seu caderno: 
a) ( + 3 )3 = d) ( + 8 ) 0 = 
b) ( -2 ) 4 = e) ( - 7 ) 1 = 
c) ( -1 ) 3 = f) 10 5 = 
 
 
 
RADICIAÇÃO 
 
É a operação inversa da potenciação 
 
 
Ex. 1: 252 = 5 porque (+ 5 ) 2 = 25, pois 5 • 5 = 25 
 ou −−−−5 porque ( − 5 ) 2 = −5 • −5= +25 
 
 
 
Ex. 2: 83 = 2 2 3 = 8 
 
 83 − = −−−−2 ( −2 ) 3 = −8 
 
 
 
 
Ex. 3: -4 = ∃ 
Como qualquer nº elevado ao 
quadrado é sempre positivo, não 
existe (∃) raiz quadrada de um 
numero negativo. 
ATENÇÃO: 
 Na raiz quadrada não é 
necessário escrever o nº 2 
no índice. 
162 = 16 
 
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Utilize o resumo das regras de sinais para resolver os exercícios de 
fixação: 
 
 
REGRA DE SINAIS: 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
• SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ) → SOMAM-SE OS NÚMEROS E 
CONSERVA-SE O SINAL. 
 
EX.: + 3 + 5 = + 8 
EX.: – 3 – 5 = – 8 
 
• SINAIS DIFERENTES ( + – ) → SUBTRAEM-SE OS NÚMEROS 
E DÁ O SINAL DO MAIOR NÚMERO. 
 
EX.: + 3 – 5 = – 2 
EX.: – 3 + 5 = + 2 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
• SINAIS IGUAIS ( + + ou – – ): resultado + 
 
 EX.:( + 6 ) • ( + 2 ) = + 12 – – → + 
EX.:( – 6 ) ÷ ( – 2 ) = + 3 + – → – 
 
• SINAIS DIFERENTES ( + – ): resultado – 
 
 EX.: ( + 6 ) • ( – 2 ) = – 12 + – → – 
 EX.: ( – 6 ) ÷ ( + 2 ) = – 3 – + → – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
1) Relacione as temperaturas da tabela com os itens abaixo: 
 
36,5ºC −18ºC 6000ºC −3ºC 58ºC −88ºC 0ºC 
 
a) Freezer = ...... 
b) Superfície do sol = ...... 
c) Recorde mundial de frio ( pólo sul )= ..... 
d) Temperatura normal do corpo humano= ...... 
e) Recorde Mundial de calor ( Líbia )=.... 
f) Temperatura em que a água transforma-se em gelo= .. 
g) Congelador da geladeira= .... 
 
 
2) O gráfico mostra os lucros e prejuízos de um supermercado no 1º semestre 
de 1999. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Em que mês o prejuízo foi de - 30 milhões de reais? ........................... 
b) Em algum mês o lucro foi de 45 milhões de reais? ............................... 
c) Considerando o total do semestre, qual foi o lucro? .............................. 
 
 
3) Complete os pontilhados eliminando os parênteses e efetue as operações 
indicadas: 
a) (+2) + (+6) = ......... e) (+6) – (+3) = ............ 
b) (+7) + (-3) = .......... f) (-7) – ( -4) = .............. 
c) (-9) + (+5) = .......... g) (-8) – (+2) = ............. 
d) (-3) + (-4) = ........... h) (+2) – (+5) = ............ 
 
 
 
Em alguns meses 
houve lucro e em 
outros prejuízos. 
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4) Resolva as multiplicações e divisões observando as regras dos sinais: 
 
a) ( -2) . (-5) = 
b) ( +4) . ( -2 ) = 
c) ( + 6 ) : ( + 6 ) = 
d) (- 50 ) : ( +10 ) = 
 
5) Efetue as seguintes potências e radiciações: 
 
 
a) (-1) ³ = .............. e) 36 = .............. 
b) (-2) 6= ............. f) 273 − = ................ 
c) (+5)2 = .............. g) 16− = 
d) (-5) 0 = .............. h) 3 27 = 
 
 
GABARITO: ESTE MÓDULO NÃO TEM RESPOSTAS. 
FAÇA A CORREÇÃO COM O PROFESSOR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 7 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos; 
- Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum; 
- Conceituar, identificar e representar frações; 
- Associar fração como divisão de dois números; 
- Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão); 
- Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de situações - 
problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D ) 
 
Duas frases podem ter o mesmo significado apesar de utilizarem 
palavras diferentes. 
Por exemplo: 
“Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na matemática isto também acontece como você pode ver no exemplo 
acima. 
 
Você sabe o que quer dizer divisível? 
 
O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão” 
 
Ex.1: - 20 : 1 = 20 
 20 : 2 = 10 
 20 : 4 = 5 
 20 : 5 = 4 
 20 : 10 = 2 
20 : 20 = 1 
 
Ex. 2: - Quais são os divisores do nº 42? 
 
É o conjunto D(42) = 1,2,3,6,7,14,21,42 
 
 Observe que nos dois exemplos o conjunto dos divisores 
começa com o nº 1 e termina no próprio nº. 
 
 
 
 
 EX. 3: – E os divisores de 7? 
 
Conjunto D(7) = 1 , 7 pois 7 : 1 = 7 
 7 : 7 = 1 
 
 
 
Você pode dizer que o nº 20 
é divisível por 1,2,4,5,10,20, 
pois em todas as divisões efetuadas 
o resto é zero 
ou 1,2,4,5,10,20 são divisores de 20. 
2 é divisor de 10 
 
significa 
 
10 é divisível por 2 
 é filho de 
 
 significa 
 
 é pai de 
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Você reparou que no exemplo 3 os divisores são apenas dois: o nº. 1 e 
o próprio número? 
 
 O nº. que tem apenas 2 divisores (o nº. 1 e o próprio número) é chamado 
de NÚMERO PRIMO. 
 
A seqüência de números primos é infinita. São eles: 
 
2,3,5,7,11,13,17,19,23,... 
 
Copie essa seqüência em seu caderno, pois você vai usá-la mais adiante. 
 
 
MÚLTIPLOS 
 
São determinados efetuando a multiplicação do nº. pela seqüência dos 
números naturais 0,1,2,3,4,5... 
 
EX. 1: - Múltiplos de 5 ( começa sempre pelo nº. zero) 
 
5 • 0 = 0 
5 • 1 = 5 
5 • 2 = 10 
5 • 3 = 15 
. . . 
. . . 
. . . 
Portanto conjunto M5 = 0,5,10,15,20,... é infinito ( não tem fim) 
 
 
EX. 2: – Qual o conjunto dos múltiplos de 3? 
 
M3 = 0,3,6,9,12,15,18, ... seqüência de 3 em 3 
 
 
EX. 3: – E o conjunto dos múltiplos de zero? 
 
M0 = 0 pois todo nº. multiplicado por zero é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO PRÁTICO: 
 
Um bebê precisa mamar de 3 em 3 horas. Começa à zero hora. Quais 
serão os horários das mamadas do dia? 
 
M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24 
Neste caso o conjunto dos múltiplos é finito, pois o período foi pré-determinado. 
 
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS 
 
Decompor um número é escrever esse número em forma de multiplicação. 
 
EX. 1: - decomponha o nº 12 
 
12 = 1 . 12 ou 
 2 . 6 ou 
 3 . 4 ou 
 2 . 2 . 3 
 
Você pode usar o método prático para efetuar a decomposição em 
fatores primos, dividindo o nº. pela seqüência de nº. primos já estudada 
anteriormente. 
 
 
Seqüência de nº primos 2,3,5,7,11,13,17,19,13,... 
 
EX. 1: – Decomponha o nº 12 em fatores primos: 
 
 Divide apenas por nº primos. 
12 2 O resultado é escrito em forma de potência. 
 6 2 
 3 3 R = 2² • 3 ( 2² porque é 2 • 2 ) 
1 
 
 
EX. 2: – decomponha o nº 60 em fatores primos. 
 Método prático 
60 2 
30 2 
15 3 
 5 5 R = 2² . 3 . 5 
 
 
 
 
 
 
FATORES são os números que se multiplicam. 
 
FATORES PRIMOS - multiplicação de 
números primos. 
 
2² Divide o número por um número primo de 
modo que a divisão seja exata., 
O resultado da divisão escreve na linha 
debaixo, 
Divide novamente pelo mesmo número 
primo ou pelo próximo da seqüência. 
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EX. 3: – decomponha o nº 108 
 
108 2 
54 2 
27 3 
 9 3 
 3 3 R = 2² . 3³ 
 1 Não esqueça de escrever a resposta. 
 
 
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) 
 
 
 Menor múltiplo pertence a dois ou mais números 
 
Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor múltiplo 
que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados. 
 
Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4? 
 
M12 = {0,12,24,36...} 
M4 = {0,4,8,12,16,20...} 
 
m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números ) 
 
Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores primos você 
pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c. 
 
EX.1: 4, 12 2 
 2, 6 2 
 1, 3 3 efetue a multiplicação 
 1, 1 12 = m.m.c 
 
 
Ex. 2: m.m.c (4,5,15) 
 
 4, 15, 5 2 Você percebeu que a divisão tem que 
 2, 15, 5 2 ser exata. Quando não der para dividir 
 1,15, 5 3 “ abaixa” o número. 
 1, 5, 5 5 
 1, 1, 1 60 = m.m.c. 
 
 
 
 
 
2² 
 3³ 
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APLICAÇÕES PRÁTICAS 
 
1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro de 3 em 
3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero hora, depois de 
quanto tempo eles serão tomados novamente juntos? 
m.m.c (2,3,4) 2 , 3 , 4 21 , 3 , 2 2 
 1 , 3 , 1 3 
 1 , 1 , 1 12 
Depois de 12 horas. 
 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
 
1) Decomponha os números: 
a) 60 
b) 150 
c) 55 
 
2) Calcule o m.m.c. dos números: 
 
a) m.m.c. ( 12 , 8 ) c) m.mc.(6,3,9) e) m.m.c.( 8,5) 
 
b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 ) d) m.m.c.(10,8,160) f) m.m.c.( 2,3,6) 
 
 
3) Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para 
senadores de 6 em 6. 
Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo isto 
acontecerá novamente e em que ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros positivos e 
negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os números fracionários, 
utilizados para representar quantidades não inteiras. 
O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais. 
 
Observe o exemplo: 
 
A figura abaixo representa um inteiro 
 
 
Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma dessas partes (pedaço) 
representará a fração ( 
3
1 ) do inteiro. 
Observe os desenhos abaixo: 
 
 
 
3
1 
3
2 
3
3 
Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi 
dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas). 
 
Cada número que compõe a fração recebe um nome especial. 
 
Ex.: 2 numerador (quantas partes considerei) 
 3 denominador (quantas partes o inteiro foi dividido) 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
4) Veja a figura abaixo e responda:: 
 
É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. 
 a) Qual a fração que representa 1 pedaço de pizza ? 
 
b) Na fração 
8
4 , quantas partes considerei? 
c) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira? 
 
 
 
 
 3
1
 ou 1/3 
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LEITURA: 
 
Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o 
denominador. 
Observe: Ex.: 
5
3 lê-se três quintos. 
Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Ex.: 
2
3 três meios 
Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex.: 
3
2 dois terços 
Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex.: 
4
1 um quarto 
Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10 
(décimo). 
 
 
A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”. 
 
Exemplos: 4 = quatro onze avos b) 7 = sete treze avos 
 11 13 
 
FRAÇÃO É DIVISÃO: 
 
O traço de fração ou barra ( ― ) também significa “divisão” pois: 
 
4
4 = 1 inteiro 4 4 
2
10 = 5 inteiros 10 2 
 0 1 0 5 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES: 
 
Você pode simplificar uma fração, isto é, deixar os números menores, 
dividindo sucessivamente os termos (numerador e denominador) por um 
mesmo número. 
 
Observe: 48:2 = 24:2 = 12:2 = 6:3 = 2 fração irredutível 
 72:2 36:2 18:2 9:3 3 
 
 FRAÇÕES SIMPLIFICADAS 
 
 ou 48:12 = 4:2 = 2 ou 48:24 = 2 
 72:12 6:2 3 72:24 3 
 
 
Quando não 
dá mais 
para 
simplificar. 
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Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você 
pode utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o 
mesmo número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado 
seja sempre exato, não sobre resto nas divisões. 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
5) Simplifique as frações até torná-las irredutíveis: 
 
a) 12 b) 9 c) 15 
16 18 20 
 
REDUÇÃO A UM MESMO DENOMINADOR: 
 
Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes 
e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador. 
 
Para isso é necessário que você: 
1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste 
módulo); 
 
2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador; 
 
3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração; 
 
4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores. 
 
Observe o exemplo abaixo: 
 Ex.: Reduza ao mesmo denominador as frações: 2 , 3 , 2 
 3 2 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4º) Multiplica 2 , 3 , 2 
 3 2 4 
 
 3º) Divide 
 8 , 18 , 6 
 12 12 12 
1º) m.m.c 3, 2, 4 2 
 3, 1, 2 2 
 3, 1,1 3 (multiplica) 
 1, 1, 1 12 
 novo denominador 
 
Modo prático 
Divide o novo denominador pelo nº. 
debaixo e multiplica o resultado pelo nº. 
de cima. O resultado final será o novo 
numerador. 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
6) Reduza ao mesmo denominador ( nº. debaixo) as frações: 
 
a) 5 , 3 b) 7 , 2 , 5 c) 4 , 3 , 5 
 3 7 8 3 12 2 3 
 
 
 
 
 
Comparação de frações 
 
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade 
( igual ) ou de desigualdade entre esses números. 
Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos: 
 
< (menor) ou > (maior) 
 
1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador: 
 
Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço 
“b” 
 
a) 
7 > 3 Leia: sete oitavos é maior do que 
 8 8 três oitavos. 
b) 
 
 
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que 
tem o maior numerador (nº de cima). 
 
2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: 
 
Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma 
quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador. 
 3 e 2 m.m.c de 6 e 3. = 6 6 , 3 3 
 3 6 3 2 , 1 2 
 6 1 6 
 3 , 4 então 3 < 4 
 6 6 6 6 
 2 
 3 
Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do 
4 como denominador para poder fazer a divisão 
 
7 
8 
3 
8 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
7) Usando o conceito de igual,maior ou menor responda reduzindo ao mesmo 
denominador quando for necessário: 
 
a) Maria comeu 
3
2 de uma pizza e João comeu 
8
5 . Quem comeu menos? 
Para você responder com certeza terá que reduzir ao mesmo 
denominador as duas frações e depois compará-las. 
 
b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) : 
 
I ) 3 ___ 15 II ) 2 ____ 1 III ) 2 ____ -7 
 6 30 4 3 3 5 
 
 
 
 
 
Operações com frações: 
 
Você já aprendeu que fração é um número que representa parte(s) 
do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações problemas que 
envolvem números fracionários. Para isso terá que saber operar (fazer 
conta) com esses números. 
 
 
Adição e Subtração de Frações 
 
Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos 
considerar dois casos: 
 
1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo 
denominadores: 
 
Exemplo: 
 
 Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. 
Quanto sobrou? 
 3 - 2 = 1 
 3 3 3 
 
 
 
CONSIDERE A PIZZA 
INTEIRA COMO = 3 
 3 
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Logo, sobrou 1 da pizza. 
 3 
 
Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos 
somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e 
manter o mesmo denominador. 
 
 
2º caso – As frações têm denominadores diferentes: 
 
 
TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO 
 
1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo); 
2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador; 
3º) divida o novo denominador pelo nº. debaixo e multiplique pelo nº. de cima 
de cada fração; 
4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de 
cima).conservando o denominador;. 
 
Exemplo: 
 Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e 
sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 
 12 
 
Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, 
devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois 
efetuar a soma ou subtração. 
Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as maneiras 
diferentes de serem efetuados. 
 
 
 
2 + 3 = 
3 4 
 
 
8 + 9 = 17 
 12 12 12 
divide 
multiplica 
Você deve encontrar o m.m.c. 
 dos denominadores 3 e 4 
3,4 2 
3,2 2 
3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12 
1,1 Observe as flechas ao lado. 
Elas mostram as operações que você 
deve fazer. 
 
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1-) Um agricultor tem um sítio e quer plantar 
5
1 da área com feijão e 
5
2 
com milho. Qual a fração que representará a área plantada? 
 
 Se você pensou 1 + 2 = 3 acertou! 
 5 5 5 
 (Se têm denominadores iguais, conserva o denominador e soma os 
numeradores). 
 
2-) Esse mesmo agricultor após a colheita vai novamente plantar 1/3 da área 
com feijão e 2/5 com milho. Qual a fração que representará a área plantada? 
 
Agora complicou! Você percebeu que os denominadores são 
diferentes, portanto a área foi dividida em “pedaços de tamanhos 
diferentes”. 
Pense. Você já aprendeu a fazer com que os denominadores 
fiquem iguais, então, calcule o m.m.c. dos denominadores. 
 
 
 
1 + 2 = 
3 5 Para resolver reduza ao mesmo denominador: 
 3 , 5 3 
5 + 6 = 11 1 , 5 5 x 
15 15 15 1 , 1 15 
 
Resposta. 
15
11 é a fração que representará a área plantada. 
 
A subtração é efetuada usando a mesma regra da adição. 
 
3) Dos 
5
4 da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar 
5
1 para plantar 
mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações? 
4 – 1 = 3 
5 5 5 
 
 
 
 
 
 Resposta. 
5
3 da área sobrará para as outras plantações. 
Área destinada ao plantio 
 
Outras plantações 
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4) Dos 
4
2 da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar 
5
1 para o 
pasto de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras 
plantações? 
2 – 1 = 4 , 5 2 
4 5 2 , 5 2 
 1 , 5 5 
10 – 4 = 6 1 , 1 20 
20 20 20 
Resposta: Deixará 
20
6
 ( simplificando por 2) a resposta será: 
10
3
 para outras plantações. 
 
 
Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e 
positivas observe as regras dos sinais 
 
 
I-) Mesmo denominador. 
a-) 1 + 3 = 4 c-) 4 – 6 = –2 
 6 6 6 5 5 5 
 
 
b-) 6 – 5 = 1 d-) –2 – 1 = –3 = -1 
 7 7 7 3 3 3 
 
 
 
 
 II -) Denominadores diferentes ( não esqueça do m.m.c. para reduzir 
ao mesmo denominador): 
 
a) 3 + 2 = b) -1 - 3 = 
 6 5 8 5 
 
 
30
15 + 
30
12 = 
30
27 – 
40
5 – 
40
24 = – 
40
29 
 
 
c) – 7 + 1 = 
 9 5 
 – 
45
35 + 
45
9 = – 
45
26 
 
 
 
 
Não se esqueça! 
Denominadores diferentes, 
calcule o m.m.c.para reduzir 
ao mesmo denominador. 
 
Observe os sinais das frações: o negativo é 
maior do que o positivo, portanto “sobra” 
negativo. 
O resultado foi 
negativo porque 
vale a regra de 
sinais onde o 
negativo é maior do 
que o positivo. 
 
Quando o 
numerador é 
igual ao 
denominador a 
fração representa 
o inteiro, pois 
fazemos a divisão 
de 3 por 3 = 1 
“Juntando” duas frações 
negativas resulta negativo 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições e 
subtrações de frações: 
 
a) 1 + 4 = c) 9 - 2 = 
 3 3 2 3 
 
b) 7 + 2 = d) – 1 – 3 = 
 5 8 2 4 
 
 
 
Multiplicação de frações 
 
 
Regra Prática: 
 
- Multiplique os numeradores (nºs de cima); 
- Multiplique os denominadores (nºs debaixo); 
- Observe os sinais das frações para usar a regra. 
 
Sinais iguais resulta positivo. 
Sinais diferentes resulta negativo. 
 
1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas. 
 7 
 Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? 
 
 
DICA IMPORTANTE! 
Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada 
é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro. 
 
7
3 de 5 então: 
7
3 • 
1
5 = 
7
15 Resposta: 
7
15 representa a parte produtiva das 5 fazendas. 
 
 
 
 
 
Ex: 
5
4
 • 
7
2
 = 
35
8
 
 
 
– 
6
3
 • – 
5
8
 = + 
30
24Nas operações com frações 
colocamos o n.º 1 embaixo do 
n.º inteiro. 
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2-) Um fazendeiro vai plantar 
5
3 da área da fazenda. Já plantou 
6
2 
dessa área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de 
soja em relação a área da fazenda? 
 
3 • 2 = 6 multiplique os numeradores 
5 6 30 multiplique os denominadores 
 
Resposta: A fração que representa a parte plantada com soja em relação à 
fazenda inteira é 
30
6 ( ou simplificando por 6) apenas 
5
1 . 
 
 
 
Divisão de frações 
 
 
Regra Prática: 
 
- Copie a primeira fração; 
- Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); 
- Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o 
denominador; 
- Multiplique os numeradores; 
- Multiplique os denominadores; 
- Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma 
da multiplicação. 
 
 
Exemplo: 
1º) A metade (
2
1 ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes 
iguais. Qual a fração que representa cada parte? 
 
 
1 : 6 = 1 . 1 = 1 
2 1 2 6 12 
 
R: Cada parte é representada por 
12
1 . 
 
 
Observe que: 
1- A divisão foi transformada em 
multiplicação. 
2- A segunda fração foi invertida. 
 
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Copie e resolva em seu caderno: 
9) Efetue as multiplicações e divisões de frações: 
a) 2 • 5 = c) 2 : 1 = 
 3 8 5 3 
 
b) 1• 3 • 5 = d) 7 : 4 = 
 2 4 7 10 6 
 
 
 
 
 
Potenciação 
(multiplicação com o mesmo número) 
 
Regra prática: 
 
- Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número 
tantas vezes quanto for o número do expoente; 
- Efetue a potenciação do denominador. 
 
1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado? 
 A área do quadrado é: A = L² 
½ m A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m² 
 2² 2•2 4 
 
 Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o numerador e o 
denominador ao expoente dado e calcular o resultado: 
 
 
Ex. 5 ³ = 5³ = 5 • 5• 5 = 125 
 4 4³ 4 • 4 •4 64 
 
 
 
 
 
 
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Radiciação de frações: 
 
Regra prática: 
 
- Determinar a raiz do numerador; 
- Determinar a raiz do denominador. 
 
Exemplo: 16
9
= 
16
9 = 
4
3 pois 
4.4
3.3 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
10) Calcule: a) 
2
5
2





 = b) 
3
10
7





 = 
 
c) 
16
9 = d) 
4
25 = 
 
 
Usando o conceito de fração onde o denominador identifica em 
quantas partes está dividido o inteiro e o numerador quantas partes está 
sendo tomado. Pense no problema abaixo e veja como foi resolvido. 
 
Uma granja tem 2400 aves. Destas 
5
3 são galinhas. 
a) Qual a quantidade de galinhas? 
b) Qual a fração que representa os frangos? 
c) Qual a quantidade de frangos? 
 
 
Resolução: 
a) 2400 5 480 
480 x 3 
 1440 galinhas 
 
 representa o inteiro 
b) 
5
5 - 
5
3 = 
5
2 representa os frangos 
 
 
d) 2400 – 1440 = 960 frangos 
 www.ceesvo.com.br 34 
Você percebeu que para cada tipo de operação com frações há uma 
técnica específica. 
No quadro a seguir você terá um resumo dessas técnicas para usar em 
cada operação usada para resolver os exercícios e problemas a seguir. 
 
 
RESUMO DAS TÉCNICAS DE OPERAÇÕES DE FRAÇÕES 
 
: 
Adição e subtração 
(tem que ter o mesmo 
denominador) 
- M.m.c. dos denominadores; 
- O resultado do m.m.c. será o 
novo denominador; 
- Divida o novo denominador 
pelo nº debaixo e multiplique 
pelo nº de cima de cada 
fração; 
- Efetue a adição ou subtração 
dos numeradores 
conservando o nº do 
denominador. 
 
 
 
Multiplicação 
 
- Multiplique os numeradores 
(nºs de cima); 
- Multiplique os denominadores 
(nºs debaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão 
 
- Copie a primeira fração; 
- Transforme a divisão em 
multiplicação; 
- Inverta a segunda fração; 
- Multiplique os numeradores; 
- Multiplique os denominadores. 
 
 
 
 
 
Potenciação 
 
- Efetue a potenciação do 
numerador, multiplicando pelo 
mesmo número tantas vezes 
quanto for o número do 
expoente; 
- Efetue a potenciação do 
denominador. 
 
 
 
Radiciação 
 
- Determine a raiz do 
numerador; 
- Determine a raiz do 
denominador. 
 
 
 
 
 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
11) Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada operação 
com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no gabarito: 
I) Um aluno já executou 
7
4 da tarefa de matemática. Qual a fração da 
tarefa que resta fazer? 
LEMBRE-SE!! 
A fração que representa o inteiro tem denominador 
igual ao numerador. Neste caso o inteiro é 
7
7
 
 
II) Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei 
10
7 . Quanto estou devendo? 
Observação: A dívida está dividida em 10 prestações 
 
III) Em uma panela há 
8
6 do Kg (quilograma) de pipoca estourada. Quero 
repartir (dividir) em saquinhos de 
4
1 do Kg. Quantos saquinhos devo 
comprar? 
IV) Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que 
4
1 são 
laranjeiras, 
5
2 são jabuticabeiras e 
10
2 são limoeiros. Qual a fração que 
corresponde ao total (soma) de árvores desse pomar? 
v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta 
4
1 desse 
dinheiro com aluguel e 
5
2 (desse dinheiro) com a alimentação da família. 
a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João Carlos ? 
b) Quanto dinheiro ela representa? 
c) Qual o valor do aluguel? (
4
1 desse dinheiro)? 
d) Quanto gasta com a alimentação? ( 
5
2 de R$1400,00) 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
 
 
1) a) 2² . 3 . 5 
 
 b) 2 . 3 . 5² 
 
 c) 5 . 11 
 
 
2) a) 24 c) 18 e) 40 
 b) 60 d) 160 f) 6 
 
3) 12 anos em 2002 
 
4) a)1/8 b ) 4 partes c ) 8/8 
 
5 ) a ) 3/4 b ) 1/2 c ) 3/4 
 
6 ) a ) 35 , 9 b ) 21, 16, 10 c) 24, 9,10 
 21 21 24 24 24 6 6 6 
 
7) a ) João 
 
8) a) 
3
5 b)
40
66 c)
6
23 d) -
4
5 
 
9) a)
24
10 b) 
56
15 c) 
5
6 d) 
40
42 
 
10) a) 
25
4 b) 
1000
343 c) 
4
3 d) 
2
5 
 
 11) I ) 3/7 II ) R$ 75,00 III ) 3 saquinhos IV ) 17/20 
 V ) a ) 
20
13
 b) R$ 910,00 c) R$ 350,00 d) R$ 560,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 8 
 
 
OBJETIVOS: 
 
 
No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá : 
 
� Entender uma razão como o quociente de dois números racionais em 
que o segundo é diferente de zero; 
� Reconhecer se duas razões formam uma proporção; 
� Resolver problemas simples que envolvem escalas; 
� Resolver uma situação problema envolvendo grandezas proporcionais,utilizando a regra de três; 
� Resolver problemas simples de porcentagem e problemas que 
envolvem cálculo de juros simples. 
 
 
 
ROTEIRO DE ESTUDO: 
- Leia com atenção observando e acompanhando as resoluções dos exemplos. 
- Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de estudo, 
- Confira as respostas no gabarito. 
 
 
 
 
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM SEU 
CADERNO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Simplificando, 
isto é, dividindo 
por um mesmo 
número. 
RAZÃO, UMA GRANDE INVENÇÃO. 
 
Dos 50 alunos de uma sala de computação, 20 são 
homens e 30 são mulheres. Qual é a relação entre o 
número de homens e o número de mulheres? 
 
 
 
 
 
número de homens = 20 : 10 = 2 
número de mulheres= 30 : 10 3 
 
Você pode concluir que: 
 
- para cada 2 homens há 3 mulheres que estão na sala,ou o número de 
homens (2) está para o número de mulheres (3) ou simplesmente 2 está para 
3. 
 
A expressão 2 está para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada por 
3
2 ou 2 : 3. 
 RAZÂO serve para comparar quantidades entre duas grandezas. 
No exemplo acima as duas grandezas são: HOMENS e MULHERES. 
Veja o exemplo abaixo: 
 
 Se você comparar as quantidades de 
gatos com as quantidade de cães, você 
têm as grandezas: GATOS e CÃES e a 
razão 
4
3 ou seja: três está para quatro 
(para cada 3 gatos têm 4 cães) 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
1) Escreva a razão simplificando quando for possível: 
a) 20 para 50 b) 10 para 40 
 
 
2) Em um hospital tem 16 pacientes para 2 enfermeiros. Qual a razão entre 
o número de pacientes e o número de enfermeiros? 
 
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RAZÕES INVERSAS 
 
 
Para determinar a razão entre o número de homens (20) e o número de 
mulheres (30) da sala de computação do primeiro exemplo, você fez 
30
20 , 
que depois de simplificado ficou a mesma coisa que 
3
2 (dois está para três). 
Se você quer determinar a razão entre o número de mulheres (30) e o 
número de homens (20), é só fazer 
20
30 , que simplificando por 10 é a mesma 
coisa de 
2
3 (três está para dois). 
As razões 
2
3 e 
3
2 são chamadas de inversas entre si. 
O produto (multiplicação) de duas razões inversas é igual a 1. 
 
 
2
3 •
3
2 = 
6
6 = 1 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
 3) Pedro fez uma prova que continha 10 questões de Português e 20 de 
Matemática. 
a) Qual a razão entre as questões de Português e Matemática? 
b) Qual a razão entre as questões de Matemática e Português? 
 
4) Ache a razão inversa de: 
a) 3 b) 2 : 5 c) 4 : 1 
 4 
 
ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS 
 
 Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar os termos 
velocidade média, densidade demográfica e escala. 
 Na verdade, elas são razões especiais, que utilizamos com freqüência no 
dia-a-dia. Vamos então ver qual o significado de cada uma. 
 
VELOCIDADE MÉDIA 
Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido 
e o tempo gasto para percorrê-lo. 
 
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EXEMPLO: 
A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas é dada 
pela razão: 
 
horas
km
5
300 = simplificando por 5 = 
hora
km
1
60 ou 60 Km/h (sessenta km por hora) 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
5) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km em 3 horas. 
 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA 
 
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma 
região e a área dessa região. 
 
Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada de 177Km² 
e segundo os dados de 2003 do IBGE a população está aproximada em 
110000 habitantes. Portanto, a densidade demográfica de Votorantim é dada 
por: 
 
 População = 110000 = 621 hab/Km² 
 Área 177 
 
 
110000 177 faça esta operação na calculadora 
 
 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
6) O censo de 2000 estimou a população do estado de São Paulo em 
36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica desse estado da 
região Sudeste, sabendo que a área total é de 248811Km². 
Faça na calculadora. 
 
 
Isto significa 
que têm 621 hab. 
em 1 Km² 
 
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ESCALA 
 
Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a 
medida do comprimento real. 
 
Exemplo: 
Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 ou 
100
1 
(1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho corresponde a 100 cm 
na dimensão real. 
Observe: 
 
A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, responda: 
Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, da sala 
e do quarto A dessa casa. 
 
 
Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m por 6m, da 
sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, acertou!!! 
 
 
 
 
quarto A 
banheiro 
2,5cm 
 
 
 
 sala 
 
 
 
2,5cm 
 
cozinha 
quarto B 
 
3cm 
Lembre-se!! 
100cm=1m 
6cm 
1cm corredor 
4,5cm 3,5cm 
6cm 
 
3cm 1,5cm 
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PROPORCIONALIDADE 
A proporção no dia-a-dia: 
 
Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram 
premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se as 
importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 para 3? 
 
Como as quantias que eles apostaram estão na razão de 
3
2 é fácil concluir 
que: 
 
- Fernando vai receber 2 partes, portanto R$ 200 000,00. 
- Alex vai receber 3 partes, portanto R$ 300 000,00. 
 
A igualdade entre as razões 
3
2 = 
300000
,200000 é uma proporção. 
 
A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira: 
2 : 3 = 200000,00 : 300000,00 
 
Veja um exemplo prático de proporção: 
 
Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm de altura 
(comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm de base e 8 cm de 
altura. 
 
Observe as fotos da figura abaixo: 
 
 
Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a base e a 
altura da foto maior? 
 
Base da foto menor = 3 = 0,75 (3 dividido por 4) 
Altura da foto menor 4 
 
 
Base da foto maior = 6 = 0,75 
Altura da base maior 8 
 
 
 www.ceesvo.com.br 43 
Você observou que o 
resultado das divisões (3:4 e 
6:8) são iguais? 
Isto mostra que as fotos têm 
tamanhos proporcionais. 
 
Como 
4
3 = 
8
6 , ou seja, três está para quatro assim como seis está para 
oito, podemos concluir que existe uma proporção entre as medidas das duas 
fotos. 
 
A igualdade entre as razões 
4
3 = 
8
6 forma uma 
proporção. 
 
Na proporção 3 : 4 = 6 : 8, os números e 4 e 6 são chamados de meios: 
e 3 e 8 são chamados de extremos 
 
 
 
 
DESAFIO: 
 
Medindo os lados das 2 fotos, verifique se elas são proporcionais (use a 
régua) e responda as questões abaixo: 
 
a) Os lados são proporcionais? . 
......... 
 
b) ABCD é ampliação de EFGH? ....www.ceesvo.com.br 44 
Propriedade fundamental das proporções 
 
Em toda proporção, o produto (multiplicação) dos meios é igual ao 
produto dos extremos. 
 
Exemplo: 
 
3 = 6 
4 8 O produto dos extremos é 3 • 8 = 24 
 O produto dos meios é 4 • 6 = 24 
 
Os dois produtos são iguais, portanto, formam uma proporção. 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
7) Verifique se as razões formam uma proporção. Utilize a propriedade 
fundamental das proporções: 
 
a) 2 e 10 b) 2 = 3 
 5 25 8 4 
 
 
CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO OU 
APLICAÇÃO DA “ REGRA DE TRÊS” 
 
Com a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é 
igual ao produto dos extremos), tornou-se simples determinar o valor 
desconhecido de um dos termos da proporção. 
 
Veja qual o valor de X (termo desconhecido) nas proporções a seguir: 
 
 
a) 3 = X 
 4 8 
Pela propriedade fundamental: Produto dos meios = produto dos extremos 
 
4 . X = 3 . 8 (calculando o valor de X) 
Então: 4 . X = 24 
 X = 24 : 4 
 X = 6 
 
 
 
 
Use a operação inversa 
da multiplicação que é a 
divisão. 
Multiplique 
cruzado 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
8) Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas 
proporções: 
 
a) 2 = X c) 12 = 15 
8 12 X 5 
 
 
b) 5 = 25 d) X = 9 
 6 X 6 2 
 
 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
O que são grandezas diretamente proporcionais? 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas 
aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades. 
 
 
1 º Exemplo: 
 
Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães ele fará 
com 8 Kg de farinha? 
 
É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha (primeira 
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também aumentará. 
Logo, as duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de 
pães são diretamente proporcionais. 
 
Para resolver esse problema você deve: 
 
- montar uma tabela com duas colunas correspondentes a cada grandeza; 
- escrever os números nas respectivas colunas; 
- analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; 
- resolver para calcular o termo desconhecido. 
 
Veja a montagem: 
 
Quantidade de pães Quantidade de farinha 
 60 5 Kg 
 X terá que aumentar 8 Kg aumentou 
 
 
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Assim, podemos escrever a seguinte proporção: 
 
X
60 = 
8
5 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
 60 = 5 5• X = 60 • 8 
 X 8 5• X = 480 
 X = 480 X = 96 
 5 
Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães. 
2º Exemplo: 
Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos pães fará 
com 3 Kg de farinha? 
Quantidade de pães Quantidade de farinha 
 80 20 Kg 
 X terá que dimimuir 
 
 3 Kg diminuiu 
 
É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira 
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também diminuirá. 
As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães 
são diretamente proporcionais. 
Então: 
X
80 = 
3
20 20 • X = 80 • 3 
 20 • X = 240 
 X = 
20
240 X = 12 
O padeiro fará 12 pães. 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais 
quando as duas aumentam ou as duas 
diminuem. 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos: 
 a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, quanto 
pagaria? 
b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 1000 litros de 
capacidade. Quantas horas levará essa torneira para encher uma caixa 
d’água de 3000 litros de capacidade? 
 
 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
O que são grandezas inversamente proporcionais? 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza 
aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a outra aumenta. 
 
1º Exemplo: 
 Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma velocidade média 
de 60Km/h. Qual será a velocidade média para fazer essa mesma viagem 
em 15 horas? 
 Tempo gasto (h) Velocidade média (Km/h) 
 20 60 
 15 diminuiu X terá que aumentar 
 
Você percebeu que para diminuir o tempo de viagem (horas) a 
velocidade média do carro deve aumentar, portanto enquanto uma 
grandeza diminui a outra grandeza aumenta. 
Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são inversamente 
proporcionais. Para resolver o problema temos que inverter uma das razões 
correspondente a uma das grandezas. Pode ser a coluna do X ou a outra. 
15
20 = 
X
60 invertendo uma das colunas 
20
15
 = 
X
60
 = 15 • X = 20 • 60 
 15 • X = 1200 
 X = 
15
1200
 então X = 80 
A velocidade média do carro será de 80Km/h. 
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2º Exemplo: 
 
Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão 
trabalhar 24 dias. Em quantos dias 6 pedreiros poderão fazer esse mesmo 
serviço? 
Temos: 
Número de pedreiros Tempo (dias) 
2 24 
6 X 
 aumentou diminuiu tem que 
inverter a razão 
Se você aumentar a quantidade de pedreiros vai diminuir a quantidade 
de dias gastos na reforma. 
Uma grandeza (pedreiros) está aumentando enquanto que a outra (dias) 
está diminuindo. 
 
 
Invertendo uma das razões da proporção 2 = 24 
 2 = X 6 X 
6 24 
6 • X = 2 • 24 
 
6 • X = 48 
 X = 
6
48 X = 8 
 Assim, 6 pedreiros podem fazer o mesmo serviço em 8 dias. 
ATENÇÃO! DICA IMPORTANTE! 
Quando uma das grandezas for o TEMPO (horas, dias, etc) geralmente é 
inversamente proporcional. 
 
 
 Uma grandeza é inversa da outra, 
logo são inversamente proporcionais. 
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Copie e resolva em seu caderno: 
 
10) Resolva os problemas em seu caderno de acordo com os exemplos: 
a) 6 homens constroem uma casa em 90 dias. Quantos homens são 
necessários para construir essa casa em 60 dias, no mesmo ritmo de 
trabalho? 
 b) Um automóvel a 50Km/h vai de uma cidade a outra em 6 horas. Qual 
deve ser a velocidade do automóvel para percorrer a mesma distância em 4 
horas? 
PORCENTAGEM 
A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente em todos os dias 
nos jornais e na televisão. 
A expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”. Assim quando 
você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de verão com 40 
por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você tem um 
desconto de 40 reais para cada 100 reais do preço do artigo. 
Isto nos leva então a estabelecer a razão100
40 . 
 
Assim: 40% é o mesmo que 
100
40 
 
Qual é o significado do símbolo %? 
 
O símbolo % usado nas manchetes desse jornal, significa por cento. 
Acompanhando um número indica a centésima parte desse número. 
Assim: 
6 % ou 
100
6 = 0,06 
 16,85% ou 
100
85,16 = 0,1685 
5,82% ou 
100
82,5 = 0,0582 
 
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Qual é o valor de 80% de 60? 
Veja o exemplo abaixo: 
Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 arremessos que 
efetuou. Quantos arremessos ela acertou? 
Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 80% de 
60? 
Solução: 
Como 80% = 
100
80 ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou o nº. 
decimal fazendo: 
100
80 • 60 = 
100
4800 = 48 ou 0,80 . 60 = 48 
 
Você também pode usar a regra de três ou propriedade fundamental da 
proporção. 
100
80 = 
60
X 
100 • X = 80 • 60 
 100 • X = 480 
 X = 
100
480 X = 48 
Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%. 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de porcentagem: 
a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos alunos sabem 
nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos? 
 
b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos alunos foram 
reprovados? 
 
c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma liquidação, a 
loja anunciou um desconto de 20%. Nessas condições: 
 I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto? 
II) Qual é o preço do aparelho com o desconto? 
Confira as respostas no final do módulo. 
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JUROS 
 
Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia. 
 
Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições: 
R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o preço dessa 
mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece? 
O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, porque 
estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida. 
 
O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra por estar 
parcelando a dívida para o cliente. 
No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que empresta 
dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma quantia de juros. 
 
A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma mercadoria a prazo 
ou, a quantia que investe quando faz uma aplicação financeira é chamada 
de capital. 
A soma do capital e juros é chamada de montante. 
 
Assim, podemos dizer que: 
 
Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em dinheiro, que se 
paga ou que se recebe. 
O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado. 
A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe pelo 
aluguel do dinheiro. 
O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado. 
 
Exemplo: 
Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma taxa de 
3% ao mês. 
 
a) Qual a quantia que ele pagará de juros? 
b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo? 
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Solução: 
 
a) Vamos calcular quanto de juros por mês: 
 
3% de 2000,00 = 3 = X ou 3 . 2000,00 
100 2000,00 100 
 
X = (3 . 2000,00) : 100 
 
X = 60,00 
 
Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos: 
 
 4 • 60,00 = 240,00 
 
b) Ao todo irá pagar: 
 
2000,00 + 240,00 = 2240,00 
 
R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00. 
 
 
Copie e resolva em seu caderno: 
 
12) Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas no final deste 
módulo: 
 
a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, a 7% ao 
mês? 
 
b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 meses, por 
isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. Quanto ele pagará de 
juros e qual o total que pagará pela bicicleta? 
 
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GABARITO: 
 
1) a) 2 b) 1 
 5 4 
 
2) 16 = 8 3) a) 10 = 1 b) 20 = 2 
 2 20 2 10 
 
4) a) 4 b) 5 c) 1 
 3 2 4 
5) 70 Km/h 
 
6) 146,1 hab/Km² 
 
7) a) Sim formam proporção, porque 50 = 50 
 b) Não formam proporção, porque 8 ≠ 24 
 
 8) a) X = 3 c) X = 4 
 b) X = 30 d) X = 27 
 
8) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas 
 
9) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas 
10) a) São necessários 9 homens. 
 b) A velocidade deve ser de 75Km/h. 
11) a) Sabem nadar 28 alunos. 
 b) Foram reprovados 6 alunos. 
 c) I )desconto de R$100,00. 
 II ) Preço do aparelho R$ 400,00. 
 
 12) a) Juro de R$ 588,00. 
 b)Pagará de juros R$ 32,40 e total de R$ 212,40. 
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Bibliografia: 
 
Desenhos ilustrativos tirados dos livros: 
 
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz 
Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série 
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. 
 
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série 
São Paulo. Editora Scipione. 1999. 
 
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª 
Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. 
 
 
 
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: 
 
- Elisa Rocha Pinto de Castro 
- Francisco Carlos Vieira dos Santos 
- Josué Elias Latance 
- Rosy Ana Vectirans 
 
COLABORAÇÃO: 
 
- Adriana Moreira Molinar 
- Esmeralda Cristina T. Ramon 
- Rosimeire Maschetto Nieri 
- Sara M. Santos 
 
DIREÇÃO: 
 
- Elisabete Marinoni Gomes 
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper 
 
COORDENAÇÃO: 
 
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes 
 
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim