Licoes-de-Calculo-aula4
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\ufffd \ufffd\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd 	 
 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd 	 \ufffd \ufffd 
 \ufffd \ufffd
Objetivos 3.1 Os objetivos desta Aula sa\u303o:
introduzir o conceito de integral tripla;
enunciar o Teorema de Fubini que, analogamente ao caso da Integral Dupla, permite
calcular a integral tripla por meio da integral repetida;
utilizar a integral tripla para encontrar o volume de regio\u303es do espac\u327o limitadas por
superf\u301\u131ces;
usar coordenadas cil\u301\u131ndricas e coordenadas esfe\u301ricas no espac\u327o R3 para calcular a
integral tripla em regio\u303es com certos tipos de simetria.
3.1 Integral Tripla em um bloco retangular e o Teorema de
Fubini
A definic\u327a\u303o de integral tripla segue exatamente os passos da integral dupla. As dificuldades
que geralmente ocorrem esta\u303o na descric\u327a\u303o ou na decomposic\u327a\u303o do dom\u131\u301nio de integrac\u327a\u303o,
que e\u301 agora uma regia\u303o D do espac\u327o tri-dimensional cujo bordo e\u301 formada por uma unia\u303o
de superf\u301\u131cies.
Repetiremos assim, de modo suma\u301rio o que foi feito nas sec\u327o\u303es anteriores.
Primeiro passo: a integral tripla em um bloco retangular. SejaD = [a, b]×[c, d]×[p, q] \u2282 R3
um bloco retangular. Seja f : U \u2282 R3 e\u301 uma func\u327a\u303o cont\u301\u131nua definida em um aberto U
que conte\u301m D e P uma partic\u327a\u303o de D em blocos Dijk = [xi, xi+1]× [yj , yj+1]× [zk, zk+1]
formada a partir de partic\u327o\u303es de cada um dos intervalos. Ou seja, consideramos x0 =
a < x1 < x2 < ... < xn = b, y0 = c < y1 < y2 < ... < yl = d e z0 = p < z1 <
z2 < ... < zm = q . Como anteriormente, o tamanho de uma partic\u327a\u303o P e\u301 denotada
|P| = max{(xi+1 \u2212 xi), (yj+1 \u2212 yj), (zk+1 \u2212 zk)} e
s(f,P) =
\u2211
f(x\u2217i , y
\u2217
j , z
\u2217
k)(xi+1 \u2212 xi)(yj+1 \u2212 yj)(zk+1 \u2212 zk),
onde (x\u2217i , y
\u2217
j , z
\u2217
k) e\u301 um ponto qualquer do bloco Dijk.
Definic\u327a\u303o 3.1.1 A integral tripla da func\u327a\u303o f(x, y, z) no bloco retangular D e\u301 igual :\u222b \u222b \u222b
D
f(x, y, z)dV = lim
|P|\u21920
s(f,P)
Note que se f(x, y, z) = 1, enta\u303o s(f,P) e\u301 igual ao volume do bloco D, ou seja (b\u2212 a)(d\u2212
c)(q \u2212 p). Logo \u222b \u222b \u222b
D
dV = (b\u2212 a)(d\u2212 c)(q \u2212 p),
o que justifica chamarmos dV de elemento de volume em coordenadas cartesianas.
Segundo passo: utilizamos o chamado Teorema de Fubini, que de maneira semelhante
caso bi-dimensional, afirma que para fazer uma integral tripla podemos fazer as integrais
iteradas que agora sera\u303o tre\u302s. Conforme a ordem em que fazemos a integral repetida
escrevemos dV = dxdydz ou qualquer uma das permutac\u327o\u303es de dx, dyedz.
De maneira mais precisa:
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd ! \ufffd &quot; \ufffd # \ufffd $ % \ufffd & ' ( \ufffd \ufffd ) * ! ' \ufffd ( \ufffd * ( ' \ufffd ! * \ufffd \ufffd \ufffd
Teorema 3.1.1 (Fubini) Se f : U \u2282 R3 \u2192 R e\u301 uma func\u327a\u303o cont\u301\u131nua definida em um
conjunto aberto que conte\u301m um bloco retangular D = [a, b]× [c, d]× [p, q] enta\u303o
\u222b \u222b \u222b
D
f(x, y, z)dV =
\u222b q
p
[
\u222b d
c
[
\u222b b
a
f(x, y, z)dx]dy]dz
De fato, podemos calcular a integral usando qualquer uma das permutac\u327o\u303es do elemento
de volume. Entretanto, e\u301 preciso atenc\u327a\u303o para que a ordem em que escrevemos o limites
de integrac\u327a\u303o seja compat\u301\u131vel.
Assim, no enunciado acima, temos:
\u222b \u222b \u222b
D
f(x, y, z)dV =
\u222b b
a
[
\u222b q
p
[
\u222b d
c
f(x, y, z)dy]dz]dx
Vejamos alguns exemplos de como calcular a integral tripla em um bloco retangular utili-
zando o Teorema de Fubini:
Exemplo 3.2 Vamos calcular
\u222b \u222b \u222b
D
f(x, y, z)dV ondeD = [0, 1]×[0, 1]×[0, 1], f(x, y, z) =
xyz. Como a func\u327a\u303o dada e\u301 sime\u301trica por permutac\u327o\u303es das varia\u301veis, na\u303o ha\u301 vantagem de
escolha da ordem de integrac\u327a\u303o. Assim, escrevemos:
\u222b \u222b \u222b
D
xyzdV =
\u222b
1
0
[
\u222b
1
0
[
\u222b
1
0
xyzdx]dy]dz
A primeira integral
\u222b
1
0
xyzdx = yzx
2
2
\u2223
\u2223
\u2223
1
0
= yz
2
.
A segunda
\u222b
1
0
yz
2
dy = [ zy
2
4
]
\u2223
\u2223
\u2223
1
0
= z
4
.
Finalmente
\u222b
1
0
z
4
dx = z
2
8
\u2223
\u2223
\u2223
1
0
= 1
8
.
Exemplo 3.3 D = [0, 1] × [\u22121, 1] × [1, 2], f(x, y, z) = xexy \u2212 zx2. Observe que se es-
colhermos integrar a primeira parcela na ordem dxdydz, enta\u303o a primeira integral sera\u301
\u222b
1
0
xexydx que envolve uma integrac\u327a\u303o por partes. Entretanto, se escolhermos integrar
primeiramente em relac\u327a\u303o a y, enta\u303o teremos:
\u222b
1
\u22121
xexydy = exy
\u2223
\u2223
\u2223
1
\u22121
= ex \u2212 e\u2212x, bem mais
fa\u301cil (e ra\u301pido).
Assim sendo escrevemos
\u222b \u222b \u222b
D
xexy \u2212 zx2dV =
\u222b
2
1
[
\u222b
1
0
[
\u222b
1
\u22121
xexy \u2212 zx2dy]dx]dz.
E\u301 claro que ja\u301 vimos este tipo de escolha na integral dupla. O Teorema de Fubini e\u301 im-
portante porque nos permite trocar a ordem de integrac\u327a\u303o conforme a nossa convenie\u302ncia.
Prosseguindo com o exemplo:
\u222b
1
\u22121
[xexy \u2212 zx2]dy = ex \u2212 e\u2212x \u2212 2zx2
\u222b
1
0
[ex \u2212 e\u2212x \u2212 2zx2]dx = [ex + e\u2212x \u2212 2z
x3
3
]
\u2223
\u2223
\u2223
1
0
= e\u2212 e\u22121 \u2212
2z
3
\ufffd +, - . , / 0 1 2 3 4 5 6 , . 3 6 1 7 . ,
E finalmente,
\u222b 2
1
[e\u2212 e\u22121 \u2212
2z
3
]dz = [ez \u2212 e\u22121z \u2212
z2
3
, ]
\u2223
\u2223
\u2223
2
1
= e\u2212 e\u22121 \u2212
4\u2212 1
3
= e\u2212 e\u22121 \u2212 1.
\u222b \u222b \u222b
D
xexy \u2212 zx2dV = e\u2212 e\u22121 \u2212 1
Cabe agora a pergunta: em que tipo de regio\u303es do espac\u327o ale\u301m dos blocos retangulares
podemos definir a integral tripla?
Vejamos algumas respostas:
I) O primeiro tipo de regia\u303o segue imediatamente da integral dupla pois e\u301 a regia\u303o do tipo
produto R× I, de uma regia\u303o R plana limitada por dois gra\u301ficos de func\u327o\u303es e um intervalo
I = [a, b]
Analisemos o seguinte exemplo: R =: {(x, y)|a \u2264 x \u2264 b;\u3c6(x) \u2264 y \u2264 \u3c8(x)}, I = [p, q]. O
ca\u301lculo e\u301 feito por meio da integral repetida (Teorema de Fubini). Observe que fixados x e
y, enta\u303o a func\u327a\u303o F (x, y) =
\u222b q
p
f(x, y, z)dz e\u301 uma func\u327a\u303o cont\u301\u131nua. Logo podemos calcular
a integral dupla
\u222b \u222b
R
F (x, y)dA como fizemos anteriormente:
\u222b \u222b
R
F (x, y)dA =
\u222b b
a
[
\u222b \u3c8(x)
\u3c6(x)
F (x, y)dy]dx
Exemplo 3.4 Encontre
\u222b \u222b \u222b
D
(x + y + z)dV , para D definida pelas desigualdades x \u2264
y \u2264 x2 e 0 \u2264 z \u2264 1.
Soluc\u327a\u303o: Pelo Teorema de Fubini, calculamos a integral iterada em D. Ja\u301 sabemos que
0 \u2264 z \u2264 1. Portanto, basta descrever a regia\u303o plana R que corresponde aos pontos do
dom\u131\u301nio de integrac\u327a\u303o. Pore\u301m, esta regia\u303o e\u301 definida pelas desigualdades x \u2264 y \u2264 x2.
Vemos que as curvas y = x e y = x2 que limitam a regia\u303o se intersectam em x = x2 ou
seja para os valores x = 0 e x = 1. Dessa forma, a regia\u303o D e\u301 descrita pelas desigualdades
0 \u2264 z \u2264 1, x \u2264 y \u2264 x2 e 0 \u2264 x \u2264 1. Logo,
\u222b \u222b \u222b
D
(x+ y + z)dV =
\u222b 1
0
\u222b x2
x
\u222b 1
0
(x+ y + z)dzdydx.
Calculamos agora a integral iterada:
\u222b 1
0
\u222b x2
x
\u222b 1
0
(x+ y+ z)dzdydx =
\u222b 1
0
\u222b x2
x
[(x+ y)z +
z2
2
]
\u2223
\u2223
\u2223
1
0
dydx =
\u222b 1
0
\u222b x2
x
[x+ y+
1
2
]dydx.
8
\ufffd 9 \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd ! \ufffd &quot; \ufffd # \ufffd $ % \ufffd & ' ( \ufffd \ufffd ) * ! ' \ufffd ( \ufffd * ( ' \ufffd ! * \ufffd \ufffd \ufffd
\u222b 1
0
\u222b x2
x
[x+ y +
1
2
]dydx =
\u222b 1
0
[xy +
y2
2
+
y
2
]
\u2223
\u2223
\u2223
x2
x
dx
\u222b 1
0
\u222b x2
x
[x+ y +
1
2
]dydx =
\u222b 1
0
[x3 +
x4
2
\u2212 x2 \u2212
x
2
]dx = \u2212
7
30
II) Para regio\u303es limitadas por gra\u301ficos g(x, y) \u2264 z \u2264 h(x, y) sobre um reta\u302ngulo R =
[a, b] × [c, d] o procedimento e\u301 semelhante: a integral F (x, y) =
\u222b h(x,y)
g(x,y) f(x, y, z)dz define
uma func\u327a\u303o cont\u301\u131nua de modo que o Teorema Fubini implica em
\u222b \u222b \u222b
D
f(x, y, z)dV =
\u222b \u222b
R
F (x, y)dA =
\u222b \u222b
R
[
\u222b h(x,y)
g(x,y)
f(x, y, z)dz]dA.
III) Regia\u303o D do espac\u327o limitada pelo gra\u301fico de duas func\u327o\u303es: g(x, y) \u2264 z \u2264 h(x, y).
Observe que na\u303o esta\u301 especificada a regia\u303o do plano que corresponde a\u300 integral. Devemos
primeiramente responder a\u300 pergunta: Qual e\u301 o conjunto R dos pontos do plano (x, y) que
correspondem a\u300 regia\u303o D? Melhor dizendo, qual e\u301 o conjunto de pontos (x, y) para os
quais e\u301 va\u301lida a desigualdade g(x, y) \u2264 h(x, y)?
Exemplo 3.5 Se g(x, y) = x2 + y2 e h(x, y) = 2 \u2212 x2 \u2212 y2 e o dom\u131\u301nio de integrac\u327a\u303o e\u301
dado por D := x2+y2 \u2264 z \u2264 2\u2212x2\u2212y2 enta\u303o estamos interessados em obter o subconjuto
R := {(x, y)|x2 + y2 \u2264 2\u2212 x2 \u2212 y2}. Ora, determinar R significa descrever os pontos que
satisfazem a\u300 inequac\u327a\u303o x2 + y2 + x2 + y2 \u2264 2 isto e\u301, x2 + y2 \u2264 1. Ou seja R e\u301 o conjunto
de pontos interiores ao c\u301\u131rculo de raio 1.
No caso geral, procedemos da mesma maneira, primeiramente obtemos o conjunto de
pontos do plano R que satisfazem a\u300 inequac\u327a\u303o g(x, y) \u2264 h(x, y) e, em seguida, usamos
novamente o Teorema de Fubini para obter:
\u222b \u222b \u222b
D
f(x, y, z)dV =
\u222b \u222b
R
F (x, y)dA =
\u222b \u222b
R
[
\u222b h(x,y)
g(x,y)
f(x, y, z)dz]dA