Construção do Conhecimento Lógico-Matemático (Unidades 1 e 2)

Prévia do material em texto

CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO
LÓGICO-MATEMÁTICO
ELZA LIMA DE SOUZA MANSANO
1º Ed. | Julho | 2013
Impressão em São Paulo - SP
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
LÓGICO-MATEMÁTICO
Coordenação Geral
Nelson Boni
Coordenação de Projetos
Leandro Lousada
Professor Responsável
Elza Lima de Souza Mansano
Revisão Ortográfica
Vanessa Almeida
Coordenadora Pedagógica de Cursos EAD
Eleonora Altruda de Faria
Projeto Gráfico, Diagramação e Capa
Janine Lopes
1ª EDIÇÃO: ABRIL DE 2012
Impressão em São Paulo/SP
Copyright © EaD Know How 2012
Nenhuma parte desta públicação pode 
ser reproduzida por qualquer meio sem
a prévia autorização desta instituição.
M286c Mansano, Elza Lima de Souza.
 Construção do conhecimento lógico-matemático. / 
 Elza Lima de Souza Mansano. – São Paulo : Know How, 
 2012. 
 247 p. : 21 cm.
	 	 Inclui	bibliografia
 
 Lógica. 2. Lógica simbólica e matemática. 3. Número.
 I. Título. 
CDD – 511.3
APRESENTAÇÃO
“O principal objetivo da educação é criar homens capa-
zes de fazer coisas novas não simplesmente de repetir o 
que outras gerações fizeram. Homens criativos, inventi-
vos, descobridores.” Piaget
Parabéns!
É uma grande satisfação poder disponibilizar o 
livro-texto da disciplina CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 
LÓGICO-MATEMÁTICO, elaborado especialmente para este 
curso,	baseado	no	seu	perfil	e	nas	necessidades	da	sua	
formação.	A	finalidade	 deste	material	 é	 disponibilizar	
aos	alunos	do	EAD	conceitos,	fundamentos,	reflexões	
e exercícios referentes aos principais temas da Educa-
ção.
Você terá a oportunidade de apropriar-se do co-
nhecimento	referente	às	questões	ligadas	à	CONSTRUÇÃO 
DO CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO, onde serão abor-
dadas as seguintes Unidades de Ensino: O estudo da 
natureza do conhecimento lógico-matemático e do seu 
processo de construção pelo estudante; A psicogênese 
da	construção	do	número	e	suas	implicações	didático-
-pedagógicas;	As	diferentes	representações	do	número;	
As estruturas lógico-matemáticas, o desenvolvimento 
moral e a cooperação; Os espaços, as formas, as medidas 
e	o	tratamento	das	informações;	A	função	do	desenho	
na representação do espaço e das quantidades; tecno-
logia digital e o jogo na organização da ação educativa.
Nesta perspectiva de trabalho, suscitamos a impor-
tância da Matemática na fundamentação piagetiana. Par-
tindo	da	premissa	que	o	conhecimento	implica	ações	e	
operações	e	que	não	estão	prontas	e	acabadas,	mas	que	
precisa ser continuamente construídas e reformuladas.
Para que isso seja perceptível, a cada unidade você 
será	desafiado	a	realizar	atividades	que	aproximem	a	te-
oria	às	situações	do	dia	a	dia,	possibilitando,	desta	for-
ma, que você perceba a importância da Matemática em 
situações	práticas.
Mediante essa abordagem pautada na contribuição 
de grandes teóricos matemáticos, a elaboração das uni-
dades foi pensada, sem perder a essência teoria e prática.
Assim, estamos constantemente atualizando e 
aperfeiçoando este material, e você pode nos auxiliar, 
encaminhando	 sugestões	 e	 apontando	 melhorias,	 via	
monitor, tutor ou professor. Desde já, agradecemos a 
sua colaboração.
Torna-se necessário lembrar que a sua passagem 
por esta disciplina será também acompanhada pelo Sis-
tema de Ensino EaD, seja por correio postal, fax, telefo-
ne, e-mail ou Ambiente Virtual de Aprendizagem.
Recomenda-se que você entre em contato conosco 
quando	 surgir	 alguma	dúvida	ou	dificuldade.	Participe	
dos bate-papos (chats) marcados e envie suas dúvidas 
pelo Tira-Dúvidas.
Toda equipe estará à disposição para atendê-lo. Seu 
desenvolvimento	intelectual	e	profissional	passará	a	ser	
o nosso maior objetivo e ideal a ser alcançado.
Acredite no seu sucesso, assuma uma postura de 
dedicação e empenho, seja persistente na busca pelo seu 
aperfeiçoamento	 pessoal	 e	 profissional	 e	 tenha	 bons	
momentos de estudo!
Equipe Know-How.
CARTA DO PROFESSOR
PLANO DE ESTUDOS
UNIDADE 1: 
O estudo da natureza do conhecimento 
lógico-matemático e do seu processo de 
construção pelo estudante.
UNIDADE 2: 
A psicogênese da construção do número e 
suas implicações didático-pedagógicas. 
UNIDADE 3: 
As diferentes representações do número.
UNIDADE 4: 
As estruturas lógico-matemáticas, o 
desenvolvimento moral e a cooperação.
9
11
17
55
95
119
SUMÁRIO
UNIDADE 5: 
Os espaços, as formas, as medidas e o 
tratamento das informações. A função do 
desenho na representação do espaço e 
das quantidades.
UNIDADE 6: 
Tecnologia digital e o jogo na organização 
da ação educativa. 
REFERÊNCIAS
161
189
219
9
CARTA DO PROFESSOR
Caro aluno,
É com muita satisfação que apresentamos este ma-
terial,	pois	significa	a	colheita	exitosa	de	quase	quarenta	
anos de trabalho e dedicação na área de educação.
Ao organizar esse trabalho tivemos como propó-
sito	oferecer	elementos	de	reflexão	teórica,	para	você,	
com intuito de aperfeiçoamento e que realmente possa 
transpor para sua prática pedagógica.
Considerando que o conhecimento matemático 
não se constitui em conjuntos de fatos a serem memo-
rizados, que aprender números é mais do que contar, é 
nesta perspectiva que os encorajamos a explorar gran-
des variedades de ideias e conceitos matemáticos, não 
apenas aqueles relacionados ao número, mas à mate-
mática	como	todo.	Como	princípio,	meio	e	fim.	Pois,	
segundo	Auguste	Comte,	toda	a	educação	científica	que	
não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imper-
feita na sua base.
Que a nossa caminhada seja de grande crescimen-
to e que o processo de desequilíbrio aconteça, para que 
você possa retomar os conceitos adquiridos, transfor-
mando-os e aprimorando-os.
10
Sucesso, e não se esqueça: “A Matemática, quando 
a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas 
também a suprema beleza.” Bertrand Russel.
 
Seja bem-vindo!
11
PLANO DE ESTUDOS
EMENTA
Construindo o conhecimento lógico-matemático: 
o estudo da natureza do conhecimento lógico-matemá-
tico e do seu processo de construção pelo estudante; 
Introdução à Teoria Epistemológica Genética; O estu-
do da natureza do conhecimento lógico-matemático e 
o processo de construção pela criança; A psicogênese 
da	construção	do	número	e	suas	implicações	didático-	
pedagógicas;	As	diferentes	representações	do	número;	
Histórico da evolução do sistema de numeração; Prin-
cípios básicos da notação posicional; As estruturas lógi-
co-matemáticas, o desenvolvimento moral e a coopera-
ção. Os espaços, as formas, as medidas e o tratamento 
das	informações;	A	função	do	desenho	na	representa-
ção do espaço e das quantidades; Tecnologia digital e o 
jogo na organização da ação educativa.
COMPETÊNCIAS
■ Conhecer a história do número e como se dá a cons-
trução pelo estudante;
12
■	Identificar	conceitos	e	fundamentos	do	conhecimen-
to lógico-matemático e sua construção pela criança;
■ Entender que a matemática desempenha papel deci-
sivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana, 
sendo base para a construção de conhecimento em ou-
tras áreas;
■ Reconhecer a sistemática do aspecto quantitativo e 
qualitativo do ponto de vista do conhecimento e estabe-
lecer relação entre eles usando para isto o conhecimen-
to aritmético, geométrico, estatísticos, dentre outros;
■ Estabelecer conexão entre a matemática, as outras 
áreas de conhecimento, comunicando-se, ou seja, fa-
zendo	 uso	 da	 linguagem	 oral	 estabelecendo	 relações	
entre	diferentes	representações	matemáticas.
HABILIDADES
■	Refletir	sobre	novas	formas	do	ensino	de	matemática;
■	Refletir	sobre	os	conceitos	e	características	dos	con-
teúdos	que	serão	ensinados	e	filtrar	o	que	é	primordial	
para o ensino da matemática;
■	Criar	mecanismos	de	superação	das	dificuldades	de	
aprendizagem articulando para isso, matemática com as 
outras áreas de conhecimento;
■ Atuar criticamente na construção do conhecimento ma-
temático	de	forma	eficaz	e	prazerosa,	desmistificando-a;
13
■	Conceituar	e	identificar	as	basesteóricas,	que	subsi-
diam o conhecimento matemático.
CARGA HORÁRIA
30 horas.
“... O estudo da gramática não faz poetas. O estudo 
da harmonia não faz compositores. O estudo da psi-
cologia não faz pessoas equilibradas. O estudo das 
"ciências da educação" não faz educadores. Educa-
dores não podem ser produzidos. Educadores nas-
cem. O que se pode fazer é ajudá-los a nascer. Para 
isso eu falo e escrevo: para que eles tenham coragem 
de nascer... " 
Rubem Alves
17
UNIDADE 1
CONSTRUINDO O CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO: 
O ESTUDO DA NATUREZA DO CONHECIMENTO 
LÓGICO-MATEMÁTICO E DO SEU PROCESSO DE 
CONSTRUÇÃO PELO ESTUDANTE
19
1 INTRODUÇÃO À TEORIA 
EPISTEMOLÓGICA GENÉTICA
Existe uma série de teorias que explicam a gênese e os 
pressupostos do desenvolvimento humano. É necessá-
rio lembrar que cada uma delas não tem a aceitação uni-
versal e, sozinha, nenhuma conseguiria explicar todas 
as	dimensões	do	crescimento	e	do	desenvolvimento	do	
ser humano. 
Por conseguinte, para poder abarcar todas as face-
tas do crescimento e desenvolvimento humano torna-se 
necessária a aplicação de várias teorias, de forma simul-
tânea, sob a observação, síntese, análise e conclusão de 
diversos pontos de vista para se caracterizar, de forma 
mais precisa, a gênese, o desenvolvimento do processo 
e	os	fundamentos	que	os	justificam.
A Teoria Epistemológica Genética1 conseguiu, 
com	 propriedade,	 explicar	 cientificamente	 “Como	 se	
constrói o conhecimento”. A ênfase causal que dá ali-
cerce à teoria é a interação de fatores inatos e da expe-
riência. O Homem da Teoria Epistemológica Genética 
é um ser que possui estruturas, que em relação com o 
mundo,	modifica-as	ampliando	as	relações	com	o	meio	
1	Significa	estudo	crítico	do	conhecimento	científico.	Teoria	explicativa	do	
desenvolvimento da inteligência, que explica o desenvolvimento mental 
do ser humano no campo do pensamento, da linguagem e da afetividade.
20
em que vive. Dessa forma, o meio desempenha um pa-
pel nítido de estimulador.
			Jean	Piaget,	cientista,	biólogo,	filósofo,	psicólogo	
e fundador da Teoria Epistemológica Genética nasceu 
na Suíça, no dia 9 de agosto de 1896. É considerado por 
muitos o mais importante teórico do desenvolvimento 
intelectual humano.
Pode-se	afirmar	que	Piaget	(1896-1980)	defende	a	
visão sociointeracionista de desenvolvimento, buscan-
do, assim, compreender e explicar formação da estrutu-
ra cognitiva e como se dá a construção do conhecimen-
to	no	campo	cognitivo,	biofisiológico,	social	e	afetivo.	
Concebe a criança como um ser ativo, que constante-
mente cria hipóteses sobre o seu ambiente. A preocupa-
ção central dos seus estudos resumia-se em responder o 
questionamento: Como o conhecimento se desenvolvia 
nos seres humanos? Teve a convicção de que cada sujei-
to aprende através da sua interação com o ambiente em 
que vive cujo conhecimento é assimilado ao seu estágio 
anterior. Desse modo, o conhecimento desenvolve-se 
no decorrer de um longo e vagaroso processo de rela-
cionar as novas ideias às anteriores.
Dedicou-se ao estudo dos mecanismos interiores 
da espécie humana (sujeito epistêmico) e dos indivídu-
os (sujeito psicológico), dando ênfase que esses meca-
nismos só poderão se desenvolver na interação dos su-
jeitos com o ambiente.
21
Difundiu que os fatores internos preponderam so-
bre os externos, postulou que o desenvolvimento segue 
uma	sequência	fixa	e	universal	de	estágios,	os	quais	se-
rão discriminados posteriormente.
A noção de equilíbrio é a essência da teoria de Pia-
get.	O	 estudioso	 afirma	que	 a	 inteligência	 é	 um	 caso	
particular da adaptação biológica da pessoa ao meio 
ambiente. Para Piaget, (1982, p.15) a inteligência é: 
“uma	organização	e	sua	função	consiste	em	estruturar	
o universo tal como o organismo estrutura o meio ime-
diato”,	em	outras	palavras:	“a	inteligência	é	uma	ativi-
dade organizadora cujo funcionamento prolonga o da 
organização biológica e o supera, graças à elaboração de 
novas estruturas (1982, p.378)”.
Considerando que Piaget concebeu o desenvolvi-
mento intelectual do mesmo modo que o desenvolvi-
mento	biológico,	 influência	marcante	pela	 sua	 forma-
ção acadêmica de biólogo, entendeu os atos cognitivos 
como atos de organização e de adaptação ao meio, as-
sim, os conceitos e os princípios referentes ao desen-
volvimento biológico serão úteis e tornar-se-ão válidos, 
à medida que seja necessário pesquisar sobre o desen-
volvimento intelectual.
Organização e adaptação não são vistos por Piaget 
como processos complementares.
22
Do ponto de vista biológico, organização é inseparável 
da adaptação: Eles são dois processos complementares 
de um único mecanismo, sendo que o primeiro é o aspecto 
interno do ciclo do qual a adaptação constitui o aspecto 
externo. (PIAGET, 1952c, p.7)
Para Piaget, a atividade intelectual não se separa do 
funcionamento total do organismo. Dessa forma, con-
siderou o funcionamento intelectual como uma forma 
especial de atividade biológica (1952c, p.42). Assim, am-
bas as atividades, intelectual e biológica, são partes do 
processo global através do qual o organismo adapta-se 
ao meio e organiza as experiências.
A pessoa humana é um sujeito cultural ativo, cuja 
ação tem dupla dimensão: assimiladora e acomodadora. 
Dessa forma, todo organismo vivo procura manter um 
estado	de	forma	a	superar	perturbações	na	relação	que	
ele estabelece com o meio.
O processo dinâmico e constante do organismo 
busca um novo estado de equilíbrio que é denominado 
processo de equilibração.
Na Teoria Epistemológica Genética, o desenvolvi-
mento cognitivo do indivíduo ocorre através de cons-
tantes	desequilíbrios	e	equilibrações,	em	outras	palavras:	
a inteligência funciona sempre da mesma forma: assimi-
lações	simultâneas	e	sucessivas	tendendo	ao	equilíbrio.
23
O aparecimento de uma nova possibilidade orgâ-
nica no indivíduo ou na mudança de alguma caracterís-
tica do meio ambiente, por mínima que seja provoca a 
ruptura do estado de repouso – da harmonia entre o 
organismo e meio – causando um desequilíbrio.
São acionados para alcançar um novo estado de 
equilíbrio dois mecanismos: O primeiro recebe o nome 
de assimilação, através dele o organismo – sem alterar 
suas	 estruturas	 –	 desenvolve	 ações	 destinadas	 a	 atri-
buir	 significações,	 a	partir	 da	 sua	 experiência	 interior,	
aos elementos do ambiente com os quais interage. Em 
decorrência, a assimilação é o processo cognitivo pelo 
qual uma pessoa integra um novo dado perceptual, mo-
tor ou conceitual nos esquemas2	ou	padrões	de	com-
portamento já existentes. Pela dimensão assimiladora a 
pessoa	produz	transformações	no	mundo	objetivo.
Etimologicamente, assimilação tem origem no la-
tim	assimilis,	que	significa:	“tornar	a	forma	de”,	“tor-
nar-se semelhante”. Nesse sentido, o conceito de assi-
milação compreende a interação de elementos do meio 
exterior às estruturas em desenvolvimento ou já com-
pletas de um organismo. A assimilação é um processo de 
2 Esquemas: são as estruturas mentais ou cognitivas pelas quais os indiví-
duos intelectualmente se adaptam e organizam o meio. Como estruturas, 
esquemas são os correlatos mentais dos mecanismos biológicos de adap-
tação. Não são objetos reais, mas são vistos conjunto de processos dentro 
do sistema nervoso (WADSWORTH, 1993, p.2).
24
entrada de estímulos que são incorporados à atividade 
de um indivíduo. Por exemplo, quando a criança ouve 
as pessoas falarem a seu redor, ela aprende a respeito da 
construção das frases e do sentido da linguagem muito 
antes de ser capaz de se expressar verbalmente. Dessa 
forma, estará assimilando o que ouve, transformando 
esse conhecimento em algo seu. Segundo prescreve 
Piaget	(1975,	p.	32):	“A	assimilação	é,	essencialmente,	a	
utilização do meio externo pelo sujeito, tendo em vista 
alimentar os seus esquemas hereditários e adquiridos”.
A assimilação ocorre de forma contínua; a pessoa 
não processa um estímulo por vez. O ser humano está 
continuamenteprocessando um grande número de es-
tímulos.	A	assimilação	é	sempre	o	fim,	o	produto.
O outro mecanismo, através do qual o organismo 
tente restabelecer um equilíbrio superior com o meio 
exterior, é chamado de acomodação. 
Quando a criança é confrontada com um novo es-
tímulo, tenta assimilá-lo a esquemas já existentes. Nem 
sempre	 isto	 é	 possível.	Em	 algumas	 ocasiões,	 um	 es-
tímulo pode não ser incorporado ou assimilado, por 
não contar a estrutura cognitiva com um esquema no 
qual ele prontamente possa se encaixar. Em resposta, 
a criança pode reagir escolhendo apenas uma, dentre 
duas formas – ambas são formas de acomodação – cria 
um novo esquema, no qual possa se encaixar o estímulo 
ou	modifica	um	esquema	prévio	de	forma	que	o	estí-
25
mulo possa ser nele incluído.
Segundo	 afirma	Wadsworth	 (1993,	p.	 6):	 “a	 aco-
modação	é	a	criação	de	novos	esquemas	ou	a	modifica-
ção	de	velhos	esquemas.	Ambas	as	ações	resultam	em	
uma mudança na estrutura cognitiva (esquemas) ou no 
seu desenvolvimento”.
Pela dimensão acomodadora, a pessoa produz 
transformações	 em	 si	 mesmo,	 no	 mundo	 subjetivo.	
Agora, entretanto, o organismo é impelido a se modi-
ficar,	a	se	transformar	para	se	ajustar	às	demandas	im-
postas pelo meio exterior. 
 A criança, incorporando organicamente o ob-
jeto do conhecimento por meio da sua interação com 
ele,	 atribui-lhe	 significação.	Desse	modo,	 tal	 processo	
de introjetar o objeto nas estruturas da pessoa, acomo-
dando-as, possibilita a organização dos elementos do 
conhecimento e da mente na estrutura do indivíduo, fa-
zendo com que adapte ao mundo e construa cada vez 
mais conceitos.
 Conforme concebe Wadsworth (1993, p. 7): 
Durante	 a	 assimilação,	 uma	pessoa	 impõe	 sua	 estrutura	
disponível aos estímulos que estão sendo processados. 
Isto é, os estímulos são ‘forçados’ a se ajustarem à estru-
tura da pessoa. Na acomodação, o inverso é verdadeiro. A 
pessoa é ‘forçada’ a mudar sua estrutura para acomodar 
os novos estímulos. A acomodação explica o desenvol-
26
vimento (uma mudança qualitativa), e a assimilação ex-
plica o crescimento (uma mudança quantitativa); juntos 
explicam a adaptação intelectual e o desenvolvimento das 
estruturas cognitivas.
Os processos de assimilação e a acomodação são 
necessários para o crescimento e o desenvolvimento cog-
nitivo. Tais processos constituem as duas faces de uma 
mesma moeda, que se complementam entre si, de todas 
as	ações	da	pessoa.	É	a	ideia	da	continuidade	funcional	e	
descontinuidade estrutural. O contínuo consiste na reali-
dade interpretável, o descontínuo, na interpretação dessa 
realidade, que vem provocar a transformação.
Nenhum comportamento é só assimilação ou só 
acomodação.	Todo	o	comportamento	humano	reflete	
ambos os processos, apesar de alguns comportamen-
tos expressem, relativamente, mais um processo do 
que outro.
Em	síntese:	na	assimilação,	o	organismo	“encaixa”	
os estímulos à estrutura que já existe; na acomodação, o 
organismo	“muda”	a	estrutura	para	encaixar	o	estímulo.
Piaget chamou o balanço entre assimilação e aco-
modação de equilíbrio. Mecanismo autorregulador, ne-
cessário	para	assegurar	uma	eficiente	interação	da	crian-
ça com o meio exterior.
A continuidade funcional, ao longo da experiên-
27
cia de construção de conhecimento dos indivíduos em 
sua interação com o meio, resulta em estruturas dife-
renciadas de pensamento, que são denominados está-
gios da teoria piagetiana, muitas vezes tomados, erro-
neamente, como a totalidade dessa teoria, que serão 
estudados posteriormente.
Essas novas estruturas geram outra necessidade e 
vêm à busca de novo conhecimento e assim, sucessi-
vamente. Na escola, esse movimento dá-se através do 
confronto de conhecimento entre o sujeito (criança) e 
o objeto – a criança vai compreendê-lo em suas rela-
ções	internas	e	externas,	captar-lhe	sua	essência.	Nesse	
contexto, o educador tem o dever de colaborar com a 
criança na decifração, na construção da representação 
mental do objeto de estudo.
O conhecimento não se dá de forma imediata; leva 
um tempo para o processamento mental. O aluno, de 
posse do objeto de conhecimento (ex. Língua Portu-
guesa), passa pelo primeiro momento da aprendizagem: 
síncrese	–	momento	de	desequilíbrio;	visão	superficial	e	
baixo nível de assimilação.
Posteriormente, passa para o segundo momento: 
análise – neste instante dá-se o conhecimento; caracte-
rizado por alto nível de assimilação. Trata-se do desen-
volvimento operacional – é o momento da atividade do 
aluno	 (pesquisa	 bibliográfica,	 estudo	 individualizado,	
estudo	em	grupo,	exercícios	de	fixação,	participação	em	
28
seminário, dentre outras estratégias didáticas). Dessa 
forma, aprofunda-se no tema de estudo para estabele-
cer	relações.	Assim,	o	educador	deve	fazer	o	“encaixe”	
significativo	entre	o	sujeito	e	o	objeto	de	conhecimento	
– para isto acontecer é necessário lançar mão de desa-
fios	cognitivos.
Concluindo, através da análise, busca-se chegar ao 
terceiro momento, que é a síntese pessoal daquilo que foi 
pesquisado. A síntese é a representação do conhecimen-
to.	É	o	momento	do	equilíbrio	que	significa	ter	a	capaci-
dade de pensar coerentemente, com lógica (pensamento 
flexível,	possuidor	da	capacidade	de	reversibilidade).
Jean Piaget liderou pesquisas com crianças, por 
mais de sessenta anos, buscando compreender como 
era possível se chegar ao conhecimento.
Utilizando o método clínico3, onde a observação 
direta, sistemática e cuidadosa das crianças ocupou es-
paço	privilegiado,	entre	as	quais,	seus	três	filhos:	Jacque-
line, Lucienne e Laurent, estudou o sujeito universal, 
investigou particular e minuciosamente o desenvolvi-
mento da criança e sua evolução, para poder explicar a 
conduta intelectual do adulto.
Advogando que o desenvolvimento cognitivo se 
3 Visava à obtenção de respostas ao entendimento de como se processava 
a	aquisição	do	conhecimento,	 tanto	no	que	se	 refere	aos	aspectos	figu-
rativos (percepção, espaço, tempo, movimento, velocidade), quanto aos 
operativos (números, quantidades).
29
realiza mediante a sucessão organizada de estágios, o 
que	significa	dizer	que	a	natureza	e	a	caracterização	da	
inteligência	mudam	de	modo	significativo	com	o	passar	
do tempo, quando ocorrem mudanças qualitativas no 
modo de pensar e responder aos estímulos e aos desa-
fios	impostos	pelo	meio	social.	Tais	modos	de	pensar	
e	responder	aos	estímulos	e	aos	desafios	são	peculiares	
aos estágios em que se encontram, seja a criança, o ado-
lescente e, posteriormente, o adulto.
Piaget constatou experimentalmente, como ocorre 
a aquisição do conhecimento, destacando que tais co-
nhecimentos são mutáveis ao longo das fases da vida 
humana. Esquematizou o desenvolvimento humano, 
que obedece a uma evolução psicogenética que tem 
como base os processos de assimilação e acomodação. 
Em essência, tal evolução psicogenética é marcada por 
quatro grandes estágios enunciados no Quadro 01:
Convém ressaltar que as idades atribuídas à pas-
sagem dos estágios não são rígidas, havendo gran¬des 
variações	e	fatores	que	poderão	influir	quanto	ao	início	
ou	final	mais	precoce	ou	mais	adiado	entre	as	crianças	
de diferentes culturas.
Entretanto, a sequência dos estágios é universal 
e invariável. 
30
QUADRO 01 ― PRINCIPAIS DESENvOLvIMENTOS NOS 
PRIMEIROS PERíODOS DO CICLO DE vIDA
Faixa etária Principais desenvolvimentos
■ Obtenção gradual do controle 
consciente	das	ações	motoras;
■ Exploração ativa e intencional do 
ambiente;
■ Percepção imediata e focalizada do 
ambiente;
■	Interesse	em	estimulações	sensoriais;
■ Tendência egocêntrica;
■	Ao	final	do	estágio,	o	bebê	começa	
a mostrar sinais de pensamento re-
presentativo.
Estágio
Sensório-motor
(0 a 2 anos)
Estágio
Pré-operacional
(2 a 6 anos)
■ Desenvolvimento das representa-
ções	mentais;
■ Estabelecimento de uma comuni-
cação verbal;
■ Tendência egocêntrica;
■ Início do desenvolvimento concei-
tual (ainda primário).
31
■ Capacidade de manipular repre-sentações	mentalmente;
■ A manipulação mental está limita-
da	a	objetos	“concretos”	e	não	a	con-
ceitos abstratos;
■ Conservação de quantidade e re-
versibilidade do pensamento;
■ Pensamento descentralizado;
■ Início da teoria da mente.
Estágio
Operatório concreto
(6 a 11-12 anos)
Estágio 
Operatório Formal 
(acima de 11-12 
anos)
■	Capacidade	 de	 realizar	 operações	
mentais	sobre	abstrações	e	símbolos	
que podem não ter formas concretas 
ou físicas;
■ Plena capacidade referente à teoria 
da mente.
Resumo dos estágios de desenvolvimento de Jean Piaget. Fonte: Flavell, 
et alii,1999.
O paradigma piagetiano direciona suas investiga-
ções	para	o	desenvolvimento	qualitativo	das	estruturas	
intelectuais das crianças e dos adolescentes. Seu estu-
do seguia uma referência ontogenética, que favorecia 
a compreensão do comportamento humano a partir 
de uma perspectiva evolutiva (FLAVELL, 1988). Sua 
principal contribuição está na descrição do desenvol-
vimento e das mudanças evolutivas decorrentes como 
32
um contínuo processo de acomodação e assimilação 
das	informações	ambientais.	O	sistema	cognitivo	ideali-
zado por Piaget é extremamente ativo, pois seleciona e 
interpreta ativamente a informação ambiental à medida 
que constrói seu próprio conhecimento (FLAVELL et 
alii, 1999). Explicar como ocorre a aprendizagem é uma 
preocupação da Teoria Epistemológica Genética.
Assim, neste enfoque, a educação deve estar com-
promissada com o conhecimento e não somente com 
a aprendizagem. Educar para compreendê-lo é educar 
para o vir-a-ser, é educar para o conhecimento, e co-
nhecimento implica construção da própria inteligência.
Nessa construção, se as crianças cometem erros 
é porque, geralmente, estão usando sua inteligência a 
seu	modo.	Considerando	que	o	erro	é	um	reflexo	do	
pensamento da criança, a tarefa do professor não é a 
de corrigir, mas descobrir como foi que a criança fez o 
erro (KAMII, 1992, p. 64).
Seguindo esse rumo, a função do professor é fazer 
as	 intervenções	necessárias	para	que	o	 aluno	venha	 a	
ultrapassar o estágio em que se encontra para alcançar 
um novo estágio com acréscimo em sua aprendizagem. 
A mediação está sob responsabilidade do professor em 
atuar	na	“zona	de	desenvolvimento	proximal”	em	que	
se encontra o aluno, fazendo da avaliação um processo 
de	ressignificação	da	sua	aprendizagem	e	re-elaboração	
do plano de trabalho do professor.
33
O erro é lembrado por La Taille, (1997, p. 36), 
quando	 afirma	que	 “um	erro	pode	 ser	mais	 profícuo	
que um êxito precoce (...). Vale dizer que um erro pode 
levar	o	sujeito	a	modificar	seus	esquemas,	enriquecen-
do-os. Em uma palavra, o erro pode ser fonte de toma-
da de consciência e, como tal, pode tornar-se valioso 
aliado da pedagogia”.
O erro construtivo tem por característica a pers-
pectiva lógico-matemática, ou seja, existe uma lógica 
nas hipóteses dos alunos frente à resolução de um novo 
problema qualquer (que não precisa ser necessaria-
mente de matemática) que difere da lógica dos adultos. 
Mesmo que esta ideia, sob o ponto de vista do adulto, 
seja errada, este é um erro construtivo. É a hipótese do 
momento (atual) a respeito de um determinado saber.
Pode-se dizer que são construtivas porque estas 
hipóteses, que foram construídas a priori, vão sendo 
progressivamente reconstruídas pelo sujeito através de 
comparações	que	são	estabelecidas	entre	semelhanças	e	
diferenças	com	outras	situações	ou	através	de	um	ques-
tionamento por parte do professor, que possa levar o 
aluno a se desestabilizar, a desacomodar-se em relação 
ao	que	achava	que	era	certo.	A	fim	de	ajudar	nesse	pro-
cesso, a troca de pontos de vista, tanto em grupo como 
pelos pares, onde cada um tem suas ideias e seus argu-
mentos para defender aquilo que acha que está certo, 
também é uma estratégia importante a considerar na 
34
solução de determinado problema.
Assumir tal compromisso exige do professor ser o 
mediador dos conceitos, propondo atividades diferen-
ciadas que valorizem a construção do conhecimento e a 
apropriação desses conceitos matemáticos para que mais 
tarde eles possam ser utilizados quando os alunos forem 
aprender os conteúdos mais complexos de Matemática.
Borba (2006) ressalta que o professor tem papel de 
fundamental importância nesse processo, que extrapo-
lando o espaço de mediador, ele vem contar com pro-
cessos afetivos por parte da criança para com ele e com 
o conteúdo. Nesse contexto, o autor é claro e enfatiza 
a relevância de o professor ter: habilidades de propor, 
planejar, organizar, orquestrar e realizar o ensino de 
Matemática, além da habilidade de criar um amplo es-
pectro	de	situações	de	ensino/aprendizagem;	descobrir,	
avaliar, selecionar e criar materiais pedagógicos; inspirar 
e	estimular	os	alunos;	discutir	os	currículos	e	justificar	as	
atividades de ensino/aprendizagem com os estudantes 
(BORBA, 2006, p. 39). Tais habilidades, acompanhadas 
de	compromisso	profissional	e	com	o	intuito	de	formar	
cidadãos críticos e uma educação mais democrática fará 
com que a Educação Matemática tenha uma melhoria 
significativa	que	possa	aumentar	o	êxito	escolar.
35
1.1. O ESTUDO DA NATUREZA DO CONHECIMENTO 
LÓGICO-MATEMÁTICO E DO SEU PROCESSO DE 
CONSTRUÇÃO PELA CRIANÇA
Piaget era um psicólogo do desenvolvimento, pre-
ocupado em descobrir as mudanças ontogenéticas4 no 
funcionamento cognitivo, desde o nascimento até ado-
lescência. Para o estudioso, o conhecimento é gerado 
através de uma interação do sujeito com seu meio, a 
partir de estruturas de pensamento e, consequentemen-
te, sempre se dá após a consolidação do esquema que a 
suporta, da mesma forma a passagem de um estágio a 
outro está dependente da consolidação e superação do 
anterior. Como corolário, o desenvolvimento ocorre de 
forma	que	as	aquisições	de	um	período	sejam	necessaria-
mente integradas nos períodos posteriores. Assim sendo, 
a aquisição do conhecimento depende tanto das estrutu-
ras cognitivas do sujeito como de sua relação com os ob-
jetos. Considerando que Piaget teve sua formação inicial 
em	Biologia,	alguns	alicerces	desta	disciplina	influencia-
ram, decisivamente, sua teoria e descobertas sobre o de-
senvolvimento da inteligência infantil. Pelo motivo de ter 
tido a oprtunidade de investigar a fundo os conceitos e 
os fundamentos desta ciência, evoluiu na área e, em con-
4 Ontogenética: refere-se às mudanças do desenvolvimento que ocorrem 
no indivíduo.
36
sequência, em sua teoria privilegiou a maturação biológi-
ca	(maturação	do	sistema	nervoso	central	e	fisiológica).
Piaget defende a ideia de que as estruturas ope-
ratórias da inteligência, que estão em formação, mani-
festam a presença de três grandes tipos de organiza-
ção, que correspondem ao que serão denominadas em 
Matemática como: estruturas algébricas, de ordem e as 
topológicas:
Em	sua	origem,	o	desenvolvimento	das	operações	aritmé-
ticas e geométricas espontâneas da criança e, sobretudo, as 
operações	 lógicas	que	constituem	suas	necessárias	condi-
ções	 prévias	 se	 encontram	 em	 todas	 as	 etapas;	 primeiro,	
uma tendência fundamental de organização de totalidades 
ou	sistemas,	fora	dos	quais	os	elementos	carecem	de	signifi-
cado e de existência e, em seguida, uma distribuição desses 
sistemas de conjunto segundo três espécies de proprieda-
des que correspondem precisamente às das estruturas algé-
bricas, de ordem e topológicas (PIAGET, 1968, p.7).
Assim, as estruturas algébricas, de ordem e as to-
pológicas constituem-se a base da educação matemáti-
ca, que precisa estar compromissada com o desenvol-
vimento parcialmente espontâneo e progressivo destas 
estruturas do pensamento infantil. Neste paradigma de 
educação matemática o professor ocupa papel relevan-
37
te, à medida que deve liderar este processo de desen-
volvimento no dia a dia escolar, o que passa a ser de-
safiante.	Piaget	deixou	clara	qual	seria	a	diretriz	maior	
deste compromisso:
O	educador,	para	ser	fiel	ao	espírito	das	matemáticas	con-
temporâneas, deveconsiderar o pensamento matemático 
como	 um	 prolongamento	 das	 construções	 espontâneas	
da inteligência e recorrer, assim, aos ensinamentos da Psi-
cologia tanto como da Lógica (...) O objeto do ensino da 
Matemática será alcançar o rigor lógico e a compreensão 
de	um	formalismo	suficiente.	Somente	a	Psicologia	está	em	
condições	de	proporcionar	aos	pedagogos	dados	sobre	o	
modo de conseguir, com maior segurança, este rigor e este 
formalismo. Nada prova que colocando o formalismo a 
princípio	o	encontramos	ao	final.	Porém,	os	estragos	de	um	
pseudoformalismo por ser demasiado precoce, mostram os 
perigos de um método que ignora as leis do desenvolvi-
mento mental (PIAGET et alii, 1968, p. 27). 
Numa concepção piagetiana, a educação matemá-
tica deve estabelecer como prioridade a construção de 
dos conceitos matemáticos, mediante ação da criança, 
ação esta planejada e intencional, que utiliza a experi-
mentação ativa, seja a experimentação física como a ló-
gico-matemática, como suporte para o desenvolvimento 
38
das estruturas do pensamento infantil. Posteriormente, 
terá lugar a formalização destes conceitos matemáticos 
através da linguagem dos sinais operatórios.
Piaget lembra que as estruturas lógicas não devem ser 
interpretadas como formas a priori, uma vez que a apren-
dizagem e a experiência são necessárias a sua elaboração.
Trata-se, é verdade, de um tipo especial, que não comporta, 
como	e	experiência	física,	uma	abstração	a	partir	das	ações	
se	 exercendo	 sobre	 esses	objetos	 e	 sim	de	 coordenações	
que	 ligam	essas	 ações	 (experiência	 lógico-matemática).	A	
aprendizagem das estruturas lógicas é, pois, ela mesma, um 
tipo especial, pois consiste simplesmente em exercer ou 
diferenciar estruturas lógicas ou pré-lógicas anteriormente 
adquiridas (PIAGET, 1973, p.99).
Com propriedade ímpar, Rangel conceitua experi-
ência física como:
“...	 corresponde	à	 concepção	clássica	do	que	 seja	 expe-
riência; consiste em agir sobre os objetos propriamente 
ditos. Nela, o sujeito age sobre o objeto e, pela abstração 
das	suas	ações	se	exercendo	sobre	os	objetos,	descobre	as	
propriedades físicas deste objeto, bem como as proprie-
dades	 observáveis	 das	 ações	 realizadas	 materialmente”	
(RANGEL, 1992, p.22).
39
Na experiência física, a criança constrói o conhe-
cimento físico, como por exemplo: ao entregarmos à 
criança um exemplar de bloco lógico (quadrado verme-
lho, grande e grosso), o qual nunca o observou e o ma-
nipulou, irá agir sobre o objeto e descobrir que é con-
sistente, não quebra, não rasga como o papel, é feito de 
madeira, é leve e pintado com tinta colorida, serve para 
brincar etc. A experiência física permite que a criança 
descubra as características do objeto, suas propriedades, 
conceber	o	que	é	bloco	lógico	pela	abstração	das	ações	
exercidas sobre ele. Em decorrência desta ação direta 
sobre o bloco lógico, a criança tenta transformá-lo na 
busca pelo seu entendimento e, pela resposta que este 
objeto retribui à sua ação, descobre quais as proprie-
dades físicas que ele abarca: é um quadrado vermelho, 
grande e grosso; é consistente, não quebra e não rasga 
como o papel; serve para brincar, é feito de madeira, é 
leve e pintado com tinta colorida.
Para a criança observar e descobrir as proprie-
dades dos objetos, mediante a experiência física, há a 
necessidade de existir uma organização estruturada no 
nível da inteligência infantil, sem a qual não seria pos-
sível o entendimento destas propriedades ou caracte-
rísticas. Assim, é necessário que ocorra a assimilação 
deste objeto às estruturas mentais da criança, até então 
já construídas pela criança. Dessa forma, destaca-se que 
40
é notória a inter-relação entre experiência física e expe-
riência lógico-matemática.
No exemplo citado do bloco lógico, poderia a crian-
ça	estabelecer	relações	entre	o	bloco	lógico	e	os	outros	
objetos que conhece e já pesquisou e, ao coordenar men-
talmente	essas	relações,	e	assim,	classificar	os	objetos	que	
são de madeira e os que são de plástico, os grandes dos 
pequenos,	os	grossos	dos	finos,	os	vermelhos	dos	amare-
los, e assim por diante. Não teria somente blocos lógicos, 
mas	objetos	diversificados	(peças	de	quebra-cabeça,	pe-
ças	de	construção	e	peças	de	outras	figuras	geométricas).	
Entre todos os quadrados que têm em mãos, poderia or-
dená-los dos maiores de todos, até chegar à sequência do 
menor de todos, graduando tais diferenças numa ordem 
lógica. Entre as peças dos blocos lógicos, poderia enu-
merar quantos objetos são vermelhos, quantos são azuis, 
quantos são amarelos, quantos são quadrados, quantos 
são triângulos, e assim, sucessivamente.
Neste exemplo, a criança está relacionando de-
terminada peça dos blocos lógicos com outras peças 
e	outros	objetos,	em	função	das	ações	exercidas	sobre	
eles	 e	 coordenando	 tais	 relações	 no	 seu	 pensamento.	
Neste caso, não está mais pensando somente no qua-
drado vermelho, grande e grosso, seu pensamento está 
indo além.
Para que a experiência atinja o nível de desejabili-
dade para o desenvolvimento das estruturas mentais in-
41
fantis, há necessidade de problematizar a situação, onde 
a	criança	 será	 levada	a	 refletir	 sobre	estas	 ações.	Este	
encorajamento	deve	partir	 dos	 estímulos	desafiadores	
dos pais, dos professores e dos pares (os próprios cole-
gas ou irmãos).
Num primeiro momento, a criança, ao se envolver 
na experiência lógico-matemática, necessita agir sobre 
material concreto, da forma como Chiarottino (1984, 
p.	38)	orienta:	“as	ações	lógico-matemáticas	do	sujeito	
podem, num momento dado, dispensar aplicação dos 
objetos	físicos,	interiorizando-se	em	operações	simbo-
licamente manipuláveis”.
Conclui-se que somente com os progressos da in-
teligência, a criança poderá dispensar a aplicação sobre 
os objetos.
Kamii	 e	 Joseph	 (1995,	p.	57)	afirmam	que	o	co-
nhecimento lógico-matemático tem suas fontes dentro 
de cada criança e é elaborado a partir de sua própria 
ação mental. No domínio lógico-matemático, as pesso-
as não são fontes de conhecimento para a criança sim-
plesmente interiorizar. Contudo, as ideias dos outros 
são	 importantes	porque	elas	promovem	situações	que	
levam a criança a pensar criticamente sobre suas pró-
prias ideias em relação a dos outros. Por ex.: Se no meio 
de	uma	atividade,	a	criança	afirma	que	5+3=7	e	a	outra	
diz	que	5+3=8,	essa	polêmica	levará,	com	certeza,	am-
bas a pensar criticamente sobre suas próprias ideias, a 
42
partir da troca de pontos de vista.
O conhecimento lógico-matemático não se adqui-
re por interiorização daquilo que é de outrem, mas pela 
mão única do pensamento autônomo de cada criança. 
Quando as crianças se convencem de que a ideia do ou-
tro é mais sensata, que a sua própria, elas mudam a sua 
forma de pensar, corrigindo-se de dentro para fora. Pia-
get (1980) atribuiu importância relevante para a socioin-
teração. Elucidou que essas trocas eram indispensáveis, 
tanto no sentido de a criança elaborar o seu pensamento 
lógico, como para a construção adulta das ciências.
Apesar de Piaget não ter se dedicado experimental-
mente e incorporado tal experimentação em sua teoria 
sobre a importância da interação social, estudos de Doi-
se e Mugny (1984) – pesquisadores da Universidade de 
Genebra – demonstram que mesmo uma discussão de 
somente dez minutos entre duas pessoas que têm ambas 
ideias errôneas num mesmo nível, pode resultar na cons-
trução de um nível mais elevado de pensamento.
Outra pesquisa liderada por Perret-Clermont 
(1980), que experimentou grupos de três crianças por vez 
e	 comprovou	que	o	 choque	de	opiniões	 e	os	 esforços	
para resolver um desacordo durante dez minutos, esti-
mulavam	a	criança	pré-operatória	a	fazer	novas	relações	
e raciocinar a um nível mais alto do que as crianças do 
grupo de controle (as quais não tiveram a oportunidade).
Rangel conceitua experiência lógico-matemática 
43
como:	“...refere-se	não	somente	às	abstrações	das	ações	
exercidas	sobreos	objetos,	mas	às	abstrações	das	coorde-
nações	que	ligam	essas	ações;	ela	se	relaciona	com	as	pro-
priedades	das	ações	e	não	apenas	dos	objetos”	 (RAN-
GEL, 1992, p.23).
Piaget	(1973)	ressalta	a	importância	das	ações	e	das	
experiências lógico-matemáticas concretas para o desen-
volvimento cognitivo de crianças e adolescentes
O	papel	inicial	das	ações	e	das	experiências	lógico-	mate-
máticas concretas é precisamente de preparação necessá-
ria para chegar-se ao desenvolvimento de espírito deduti-
vo,	e	isto	por	duas	razões.	A	primeira	é	que	as	operações	
mentais	 ou	 intelectuais	 que	 intervém	 nestas	 deduções	
posteriores	derivam	justamente	das	ações:	ações	interio-
rizadas, e quando esta interiorização, junto com as co-
ordenações	que	supõem,	são	suficientes,	as	experiências	
lógico-matemáticas	 enquanto	 ações	 materiais	 resultam	
já inúteis e a dedução interior se bastará a si mesmo. A 
segunda	razão	é	que	a	coordenação	de	ações	e	as	experi-
ências lógico-matemáticas dão lugar, ao interiorizar-se, a 
um tipo particular de abstração que corresponde precisa-
mente à abstração lógica e matemática.
Necessário se faz lembrar que Piaget (1950, 
1967/71) denomina dois tipos de abstração: simples ou 
44
empírica	e	reflexiva	ou	construtiva.
A abstração simples é característica da experiên-
cia	física	e	a	abstração	reflexiva,	própria	da	experiência	
lógico-matemática.
A abstração simples ou empírica implica a criança 
focalizar apenas uma única propriedade do objeto, en-
quanto ignora as demais. Por exemplo, abstraindo a cor 
(vermelha) de um objeto, simplesmente desconsidera as 
outras propriedades, como: peso, tamanho, espessura etc.
Em	contrapartida,	na	abstração	reflexiva	ou	cons-
trutiva,	está	envolvida	a	construção	de	relações	entre	os	
objetos, feita pela criança. É bom lembrar que tais rela-
ções	não	existem	na	realidade	externa.	Assim,	a	simila-
ridade ou a diferença entre dois objetos existe somen-
te	na	mente	de	quem	criou	essas	relações.	A	abstração	
reflexiva	 é	uma	construção	 feita	pela	mente,	 ao	 invés	
de representar apenas o enfoque sobre algo já existente 
nos objetos.
Apesar de fazer a distinção teórica entre abstração 
empírica e construtiva, Piaget (1967/71) adverte que, na 
realidade psicológica da criança, nenhum dos dois tipos 
de abstração pode ocorrer sem o outro. Por exemplo, 
a	 criança	 não	 poderia	 construir	 a	 relação	 “diferente”	
se todos os objetos da realidade externa fossem idên-
ticos. Reciprocamente, a criança não poderia construir 
conhecimentos físicos sem um sistema de referência ló-
gico-matemático, que lhe possibilitasse relacionar novas 
45
observações	com	um	conhecimento	 já	 existente.	Para	
saber que um cachorro é branco, por exemplo, a criança 
necessita	de	um	esquema	de	classificação	pelo	qual	pos-
sa	distinguir	a	cor	“branca”	de	“todas	as	outras	cores”.	
Necessita	também	de	um	esquema	de	classificação	pelo	
qual	possa	distinguir	“cachorro”	de	“todas	as	outras	es-
pécies” de animais. Um referencial lógico-matemático 
torna-se necessário para a abstração empírica porque a 
criança	não	poderia	“ler”	fatos	da	realidade	externa	se	
cada fato permanecesse como um fragmento isolado 
de	conhecimento,	sem	relações	com	o	conhecimento	já	
construído de forma organizada.
Piaget	conclui	afirmando	que:
A	aprendizagem	só	é	eficaz	na	medida	em	que	procede	
a uma estruturação, e que esta estruturação não poderia 
ser produzida pela simples acumulação passiva de cons-
tatações	empíricas.	Ela	se	faz	a	partir	de	intuições	con-
cretas, que têm por efeito coordenar, tornando-as mais 
móveis, e o sucesso de algumas aprendizagens, em vez 
de mostrar que a lógica pode ter uma origem empíri-
ca,	marca	somente	a	filiação	genética	contínua	entre	as	
constatações	 intuitivas	e	as	estruturas	operatórias.	Evi-
dentemente,	filiação	não	significa	identidade	de	nature-
za, mas construção progressiva, uma construção onde 
parece que a atividade do sujeito desempenha papel pri-
mordial (PIAGET, 1974, p. 235 e 236).
46
Caminhando na mesma direção, infere-se que para 
ocorrer a aprendizagem, a criança precisa lançar mão 
das suas estruturas mentais. Lembra-se que a aprendi-
zagem e a experiência são necessárias à elaboração das 
estruturas lógicas. A construção progressiva que leva à 
aprendizagem exige, em outras palavras, as experiências 
físicas	e	lógico-matemáticas	(as	abstrações	necessárias	e	
as	coordenações	que	ligam	as	ações	sobre	os	objetos).
Na experiência física, a criança constrói o conhe-
cimento físico e na experiência lógico-matemática, a 
criança constrói o conhecimento lógico-matemático.
Piaget distingue três tipos de conhecimento, consi-
derando suas fontes básicas e seu modo de estruturação:
CONHECIMENTO FíSICO - a fonte deste conhecimen-
to é parcialmente5 externa ao indivíduo, está no objeto. 
É o conhecimento das características ou propriedades 
físicas dos objetos da realidade externa. A criança só 
adquire este conhecimento através da sua ação sobre os 
objetos: explorando, manipulando, observando, amas-
sando, jogando etc. Essas propriedades físicas estão nos 
objetos do meio externo e podem ser percebidas empi-
ricamente por meio da observação. (ex.: atributos: cor, 
forma,	textura,	peso,	flexibilidade,	tamanho...);
5 Parcialmente, porque está incluso neste processo de construção dos co-
nhecimentos	a	abstração	empírica	e	reflexiva	(implica	também	no	envol-
vimento das estruturas mentais para a construção dos conhecimentos).
47
CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO - a fonte está 
no próprio pensamento do indivíduo; é uma fonte in-
terna.	Implica	na	relação	entre	os	objetos.	Relações	pre-
cisam ser criadas por cada pessoa porque ideias como 
“diferente”,	 “maior”	 ou	 “dois”	 não	 existem	 no	meio	
externo, não é observável. Para que a criança possa 
construir este conhecimento, é necessário estabelecer 
relação entre vários objetos. Este conhecimento não é 
empírico. A construção do conceito de número faz par-
te do conhecimento lógico-matemático (ex.: número, 
classificação,	seriação...);
CONHECIMENTO SOCIAL (CONvENCIONAL) - a fonte 
deste conhecimento é parcialmente externa ao indiví-
duo;	está	centrado	nas	normas	sociais,	nas	convenções	
desenvolvidas pelas pessoas (ex.: despedir-se quando 
parte; agradecer, após receber um favor...). A principal 
característica do conhecimento social é sua natureza 
geralmente arbitrária. A criança adquire este conheci-
mento através da transmissão social; são valores, nor-
mas sociais, regras, nomes das pessoas e objetos que o 
indivíduo precisa saber para se integrar ao meio onde 
vive. Dessa forma, sua convivência com outras pessoas 
torna-se indispensável. Ex.: Cumprimentar as pessoas 
quando chega, dizer obrigado quando alguém lhe presta 
um favor etc.
48
Apesar dos três tipos de conhecimento coexisti-
rem na vida de cada pessoa, deter-nos-emos ao lógico-
matemático, objeto do nosso estudo.
Na Teoria Epistemológica Genética para a crian-
ça adquirir o conhecimento físico ela lança mão da 
abstração simples, característica da experiência física. 
E para adquirir o conhecimento lógico-matemático, 
utiliza	a	abstração	reflexiva,	característica	da	experiên-
cia lógico-matemática.
Para que a construção do pensamento lógico-mate-
mático seja consolidada, a criança deve relacionar a abs-
tração	empírica	com	a	abstração	reflexiva	distinguindo	
as partes do todo, deste modo construir o conhecimen-
to físico para possibilitar a elaboração do conhecimento 
matemático. O conhecimento lógico-matemático não é 
inato, porém é construído por meio do contato social.
Este processo começa a ocorrer desde o estágio 
sensório-motor, acontecendo de forma interligada, 
sendo que mais tarde vem desvinculando da abstra-
ção empírica, haja vista que a criança já organizou seu 
pensamento	podendo	vir	 a	 refletir	de	 forma	 abstrata,	
no momento em que se situa no estágio operacional-
-formal. Na medida em que vão sendo consolidados 
seus conhecimentos, reconstroem outros através dosjá 
acumulados, relacionando um conhecimento a outro os 
adicionando a todos os tipos de conteúdos.
Finalizando, a Teoria Epistemológica Genética é 
49
essencialmente uma teoria do desenvolvimento e da 
aprendizagem, assim, pode-se resumi-la em 3 assertivas:
■ O conhecimento se adquire, gradualmente, pela inte-
ração da criança com o seu meio;
■ A	 sofisticação	 com	 que	 uma	 criança	 representa	 o	
mundo depende do seu estágio de desenvolvimento, 
que é função de suas estruturas cognitivas;
■ O aprendizado é função da maturação, meio ambien-
te, equilíbrio e socialização.
50
SíNTESE DO CAPíTULO
Nesta unidade estudamos os principais fundamen-
tos que sustentam a Teoria Epistemológica Genética. 
Considerou-se que a pessoa humana é um sujeito cultu-
ral ativo, cuja ação tem dupla dimensão: assimiladora e 
acomodadora.	Tais	dimensões	foram	abordadas	de	for-
ma detalhada. Os estágios de desenvolvimento, segun-
do Jean Piaget, foram apresentados. Estudamos a na-
tureza do conhecimento lógico-matemático e como se 
processa a construção pela criança. Foram abordados 
os conhecimentos físico, lógico-matemático e social.
SUGESTÕES PARA COMPLEMENTAÇÃO DE ESTUDOS
■ Leitura individual do livro: Desenvolvimento cog-
nitivo. FLAVELL, J.H.; MILLER, P.; MILLER, S.A. 
Porto Alegre: Artmed, 1999.
■ Leitura individual do livro: O nascimento da inteli-
gência na criança. PIAGET, Jean. 4. Ed. Trad. Álvaro 
Cabral. Rio de Janeiro: Zahar, 1982. 
■ Leitura individual do texto intitulado: Aprendiza-
gem e desenvolvimento – superando dificuldades. 
Lia Leme Zaia. P.17 a 36. In: Revista Eletrônica Apren-
der	–	Caderno	de	Filosofia	e	Psicologia	da	Educação.	
Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia. Ano V, 
N. 9, jul/dez. 2007. Site: www.uesb.br/editora/publica-
çoes.
■ Assista	ao	filme:	Uma Mente Brilhante. 
51
EXERCíCIOS DE FIXAÇÃO
1. Segundo a Teoria Piagetiana a evolução psicogenética 
é marcada por quatro grandes estágios. Transcreva-os e 
comente no mínimo duas características de cada estágio.
2. A aquisição do conhecimento lógico-matemático de-
pende tanto das estruturas cognitivas do sujeito como 
de	sua	relação	com	os	objetos.	Comente	tal	afirmativa.
3. Na Teoria Epistemológica Genética, o desenvolvi-
mento cognitivo do indivíduo ocorre através de cons-
tantes	desequilíbrios	e	equilibrações,	em	outras	palavras:	
a inteligência funciona sempre da mesma forma: assimi-
lações	simultâneas	e	sucessivas	tendendo	ao	equilíbrio.	
A pessoa humana é um sujeito cultural ativo, cuja ação 
tem dupla dimensão: assimiladora e acomodadora. Os 
processos de assimilação e a acomodação são necessá-
rios para o crescimento e o desenvolvimento cognitivo. 
Comente como funcionam tais processos.
4. Compare a abstração simples ou empírica com a abs-
tração	reflexiva	ou	construtiva.	
5. Estabeleça a distinção entre conhecimento físico, 
lógico-matemático e social.
"Para os matemáticos, um perene problema é expli-
car ao grande público que a importância da Mate-
mática vai além de sua aplicabilidade. É como ex-
plicar a alguém que nunca ouviu música a beleza 
de uma melodia. Que se aprenda a Matemática que 
resolve problemas práticos da vida, mas que não 
se pense que esta é a sua qualidade essencial. Existe 
uma grande tradição cultural a ser preservada e en-
riquecida, em cada geração. Que se tenha cuidado, 
ao educar, para que nenhuma geração torne-se surda 
as melodias que são a substância de nossa grande cul-
tura matemática..."
Chandler & Edwards
UNIDADE 2
A PSICOGÊNESE DA CONSTRUÇÃO DO NúMERO 
E SUAS IMPLICAÇÕES DIDÁTICO-PEDAGÓGICAS
55
57
Caro aluno,
Nesta Unidade apresentaremos a psicogênese da constru-
ção	do	número	e	suas	implicações	didático-pedagógicas.
Bom Estudo!
59
2
A PSICOGÊNESE DA 
CONSTRUÇÃO DO NÚMERO
Desde épocas primitivas o homem teve uma noção in-
tuitiva do número e o foi construindo em sua interação 
com o meio a partir da necessidade de organizar a rea-
lidade num lento processo de abstração. A necessidade 
de contar as suas posses fez com que utilizasse o méto-
do baseado na correspondência biunívoca, ou seja, cor-
respondência um a um - princípio piagetiano.
Pode-se perceber que o processo para aquisição 
do sistema de numeração foi longo e trabalhoso. É exi-
gir muito das crianças que, só através da representação 
simbólica dos números, ela consiga entender e analisar 
a necessidade de um sistema posicional. Não se pode 
esquecer que a criança não é um adulto em miniatura. 
Ela evolui, passa por estágios e em cada estágio, possui 
necessidades diferentes.
Várias pesquisas em nível mundial deixaram cla-
ro que as crianças constroem ideias sobre os números 
e sobre o sistema de numeração ainda antes de terem 
chegado à escola. Mas sabe-se também que existe uma 
grande transformação no pensamento das crianças e 
que o desenvolvimento da inteligência passa por vários 
estágios. Todas as crianças, de qualquer parte do mun-
do, passam pelos mesmos estágios que ocorrem numa 
60
ordem	determinada,	mas	não	em	épocas	fixas.
Tendo como base os quatro estágios do desenvol-
vimento cognitivo, foram destacadas as principais carac-
terísticas,	bem	como	as	noções	matemáticas	respectivas:
1º ESTÁGIO SENSÓRIO-MOTOR (DE 0 A 2 ANOS) – Carac-
terísticas: Atividades	reflexas;	primeiros	hábitos;	coor-
denação entre visão e preensão; permanência do objeto, 
intencionalidade dos atos; diferenciação de esquemas 
de	 ação;	 solução	 de	 problemas.	Noções	matemáticas:	
Menor/maior; noção de espaço, forma.
2º ESTÁGIO PRé-OPERACIONAL (2 A 6 ANOS) – Carac-
terísticas:	Linguagem	(função	simbólica);	organizações	
representativas, pensamento intuitivo; regulação repre-
sentativa articulada. Noções matemáticas: Desenhos, 
ordem;	contagem,	figuras	geométricas;	correspondên-
cia	termo	a	termo,	conservação	do	número,	classifica-
ção simples.
3º ESTÁGIO OPERAÇÕES CONCRETAS (6 A 11-12 ANOS) 
– Características:	 Operações	 simples,	 regras,	 pen-
samento estruturado fundamentado na manipulação 
de objetos. Noções matemáticas: Reversibilidade, 
classificação,	 seriação,	 transitividade,	 conservação	 do	
tamanho, distância, área, conservação de quantidade 
discreta, conservação de massa; classe-inclusão, cálculo, 
frações,	conservação	de	peso,	conservação	de	volume.
61
4º ESTÁGIO OPERACIONAL FORMAL (ACIMA DE 11-12 
ANOS) – Características: Lógica hipotética dedutiva, ra-
ciocínio abstrato; estruturas formais. Noções matemá-
ticas: Proporção, combinação; demonstração, álgebra.
A partir dos estudos e descobertas de Jean Piaget e 
colaboradores a respeito de como a criança pensa, sabe-
se que o conceito de número não pode ser transmitido.
Este conceito é construído pelo próprio indivíduo, 
através de um processo que envolve o seu amadureci-
mento biológico, as experiências vividas e as informa-
ções	que	recebe	do	meio.
O fato de a criança ter aprendido a contar verbal-
mente	não	significa	que	ela	obteve	o	domínio	do	concei-
to de número. No período intuitivo, a avaliação numéri-
ca permanece ligada à disposição espacial dos elementos 
de um conjunto; basta alterar a distância entre os objetos 
para que a criança considere que houve alteração do nú-
mero deles. (GOULART, 1987, p. 35)
Para que a criança esteja realmente apta a realizar 
operações	 com	 autonomia	 ou	 atuar	 com	 os	 números	
operatórios, é necessário que, além de contar verbal-
mente, ela tenha a noção de conservação.
Conservação é conceituada por Piaget como a ca-
pacidade	de	perceber	que,	apesar	das	variações	de	forma	
ou arranjo espacial, uma quantidade ou valor não varia, 
não se retira ou adiciona algo. Na criança surge entre os 
62
7	e	os	12	anos	durante	o	estágio	das	operações	concretas,	
variando conforme a quantidade ou valor a considerar. 
Assim, é a partir dos 6/7 anos que começa a conseguir 
conservar números, comprimento e quantidade de líqui-
do. Em seguida, vem a conservação de substância - 7/8 
anos, já a conservação de área - 9/10 anos, e de volume 
-11/12 anos. Determinadas quantidades(volume) têm 
uma possibilidade de experiência concreta mais remo-
ta que outras (comprimento). Sabe-se que o raciocínio 
da criança inicia-se pela percepção concreta que ela tem 
das coisas. Assim, por exemplo, uma criança dirá que 
o	volume	é	maior	ou	menor	porque	assim	“parece”;	e	
não por abstrair que a variação de determinada dimen-
são se compensa pela variação de outra. O domínio da 
percepção é típico da fase pré-operacional. Por isso, a 
introjeção de objetos e eventos progressivamente mais 
complexos demanda um concomitante e progressivo 
amadurecimento da criança.
Significa	 dizer,	 portanto,	 que	 é	 só	 na	medida	 em	
que este domínio da percepção concreta começa a dimi-
nuir, que a conservação de quantidades começa a poder 
ser percebida.
É	 trabalho	do	educador	 “favorecer	o	desenvolvi-
mento desta estrutura, em vez de tentar ensinar as crian-
ças	a	darem	respostas	corretas	e	superficiais	na	tarefa	de	
conservação” (KAMII, 1985, p. 28), trabalho que deverá 
ser realizado nas séries iniciais do ensino fundamental.
63
Kamii recomenda a exploração de atividades de 
noções	de	conservação,	tanto	de	quantidades	contínu-
as (líquido e massa) e descontínuas (contas, palitos, se-
mentes)	a	fim	de	contribuir	com	a	formação	e	aprimo-
ramento dessa capacidade.
Os estudos de Piaget demonstraram que a noção 
de número não é inata na criança, e que os conceitos 
numéricos não são adquiridos através da linguagem e 
troca de experiências somente, mas principalmente de 
uma	construção	que	só	ocorre	“através	da	criação	e	co-
ordenação	de	relações”.	 (KAMII,	1985,	p.	26).	Não	é	
um treino apenas visual, mas sim a construção mental 
da estrutura lógico-matemática de número que passará 
a	permitir	que	faça	deduções,	tornando-a	“capaz	de	ra-
ciocinar logicamente numa ampla variedade de tarefas 
mais difíceis que a da conservação. Contudo, se ela for 
ensinada a dar meramente respostas corretas à tarefa de 
conservação, não pode esperar que prossiga em direção 
a raciocínios matemáticos de nível mais alto.”
Piaget via o número como uma estrutura mental 
onde cada criança construía a partir de uma capacidade 
natural de pensar, e não algo aprendido do meio o qual 
estava inserida. Mas esta construção é lenta, partindo do 
processo de contagem direta, que abrange os números 
naturais até o processo de medidas. Mas para que esses 
processos se desenvolvam é necessário conduzirmos a 
aprendizagem do conceito de número desenvolvendo 
64
as	habilidades	de	simbolização,	classificação,	ordenação,	
seriação, correspondência e conservação de quantidade.
Para Piaget, os símbolos são sinais que surgem 
fortemente	 o	 significado.	 Esses	 símbolos	 podem	 ser	
criados	pelas	crianças,	os	quais	dão	informações	sobre	
o tipo de esquema de ação que estão representando. 
Chama-se esquema de ação uma estrutura mental, um 
plano de ação, que possui uma sequência de conheci-
mentos	estruturados	para	uma	finalidade.
A	classificação	é	o	agrupamento	dos	elementos	de	
uma dada coleção em categoria, denominada classe, se-
gundo determinados critérios: reconhecer semelhanças 
e	 diferenças.	As	 noções	 de	 classificação,	 ou	maneiras	
de separar ou agrupar objetos por semelhanças ou di-
ferenças vão se tornando mais racionais, e com isso a 
crianças	são	capazes	de	estabelecer	outras	relações.
Em	todos	os	anos	a	classificação	se	 faz	presente	
como uma operação mental a formação de conceitos, 
contudo as atividades de ordenação aparecem natural-
mente, daquelas em que se aguçou a percepção visual, 
permitindo	que	se	 façam	comparações,	estabelecendo	
um critério de ordenação.
Com auxílio de materiais manipulativos pode-se 
pedir à criança que organize do maior para o menor, 
do mais cumprido para o mais curto, do claro para o 
escuro, é através desse tipo de atividades que se podem 
desenvolver conceitos de antecessor, sucessor, maior, 
menor, igual, diferente.
65
A seriação nos remete à ordenação, quando o cri-
tério de posicionamento está relacionado a coisas que 
possam ser mensuradas. Porém, é mais fácil, para a 
criança, comparar objetos que possuam tamanhos di-
ferentes. A noção de quantidade é mais complexa. No 
entanto, é importante ressaltar que há outras formas de 
seriação, tais como: movimentos corporais, manipula-
ção	de	materiais	e	representação	gráfica.
Concomitantemente,	 ao	 trabalho	 de	 classificação	
e ordenação, devem-se desenvolver atividades envol-
vendo correspondência um a um entre os elementos de 
dois conjuntos, pois elas conduzem a comparação de 
quantidades. Assim, as atividades que se desenvolvem 
com as crianças para a formação de conceito de núme-
ro, decorrem da observação de atributos especiais entre 
elementos	de	duas	ou	mais	coleções:	 a	quantidade.	A	
criança deverá constatar que a cada elemento de uma 
coleção corresponderá a um único elemento da outra 
coleção. A ênfase é dada à quantidade de elementos nas 
coleções	apresentadas.	Esta	quantidade	é	a	mesma	e	as	
coleções	 têm,	 portanto,	 um	 atributo	 em	 comum,	 que	
não é o tamanho, a cor, nem a forma, mas a quantidade, 
e	enfim,	é	a	ideia	de	número.
O número é uma construção mental, feita a par-
tir	de	relações	estabelecidas	entre	os	objetos.	Segundo	
Kamii	 (1990,	 p.58):	 “As	 crianças	 não	 aprendem	 con-
ceitos numéricos com desenhos. Tampouco aprendem 
conceitos numéricos meramente pela manipulação de 
66
objetos. Elas constroem esse conceito pela abstração 
reflexiva	na	medida	em	que	atuam	(mentalmente)”.
As	noções	de	classificação,	ordenação,	 seriação	e	
comparação	de	quantidades,	são	noções	que	embasam	
o conceito de número e, através delas, os alunos perce-
bem que o número é uma propriedade dos conjuntos.
Portanto, para a criança construir o conceito de 
número, deverá fazer a síntese entre dois tipos de re-
lações	que	elabora	entre	os	objetos,	por	abstração	re-
flexiva:	 ordem e inclusão hierárquica de classes 
(GRÉCO, GRIZE, PAPERT & PIAGET); é necessário 
que adquira a noção de quantidade. Colocar os objetos 
em ordem implica em ordená-los mentalmente: cada 
objeto será contado apenas uma vez e todos os obje-
tos deverão ser incluídos na contagem. Para Kamii & 
Joseph (1995, p.27), a única maneira de um indivíduo 
estar seguro de não esquecer nenhum e de não contar o 
mesmo objeto mais de uma vez é colocando os objetos 
em uma relação de ordem. Os objetos não precisam ser 
colocados numa ordem espacial; o importante é que o 
indivíduo os ordene mentalmente, arranjando-os numa 
relação organizada.
67
Para	a	criança	quantificar	numericamente	uma	co-
leção de objetos, tem de colocá-los numa relação de in-
clusão hierárquica. A inclusão hierárquica de classes 
significa	que	cada	objeto	contado	inclui	o	objeto	que	o	
precede,	na	proporção	“mais”	1.	Por	exemplo,	quando	a	
criança conta 5 objetos, ela vai incluindo mentalmente: 
1 em 2; 2 em 3; 3 em 4; 4 em 5. Diante de cinco objetos, 
pode	quantificar	numericamente	a	coleção	somente	se	
puder colocar todos os objetos em uma única relação, 
sintetizando assim, ordem e inclusão hierárquica.
Piaget explica a obtenção da estrutura hierárqui-
ca da inclusão de classes pela mobilidade crescente do 
pensamento da criança. Por este motivo, passa a ser 
imperioso que as crianças possam colocar todos os 
tipos de conteúdos (objetos, eventos e ações) den-
tro de todos os tipos de relações (grifo nosso).
68
Contribuindo	 de	 forma	 decisiva,	 afirma	 Kamii	
(1990, p.23): quando as crianças colocam todos os tipos 
de	conteúdos	(objetos,	eventos	e	ações)	dentro	de	todos	
os	tipos	de	relações,	seu	pensamento	torna-se	mais	mó-
vel, e um dos resultados desta mobilidade é a estrutura 
lógico-matemática	de	número,	constante	na	figura	1.2.
Kamii	(1990,	p.15)	afirma	que	a	criança	progride	
na construção do conhecimento lógico-matemático 
pela	 coordenação	 das	 relações	 simples	 que	 anterior-
mente ela criou entre os objetos. O conhecimento ló-
gico-matemático	consiste	na	coordenação	de	relações.	
Por	exemplo,	ao	coordenar	as	relações	de	igual,	diferen-
te e mais,a criança se torna apta a deduzir que há mais 
animais do que vacas. A diferença é uma relação criada 
mentalmente pelo indivíduo que relaciona objetos. A 
diferença não está num ou outro objeto. Se a pessoa 
não colocasse os objetos dentro desta relação, para ela 
não existiria a diferença.
Enquanto as crianças não tiverem construído a no-
ção lógico-matemática de número em suas mentes, tudo o 
que conseguirão obter é conhecimento físico e empírico.
Em torno dos cinco ou seis anos de idade, a gran-
de maioria das crianças já construiu a relação lógico-
-matemática conhecida como correspondência um-a-
-um, em torno dos sete ou oito anos de idade, a maior 
parte	 do	 pensamento	 das	 crianças	 se	 torna	 flexível	 o	
bastante para ser reversível.
69
A criança de 4 anos, quando recebe do adulto 4 
cachorros e 2 gatos em miniatura, na tarefa de inclusão 
de classes, pergunta-se à criança: – O que é que você vê? 
Então,	pede-se	que	mostre	“todos	os	animais”,	“todos	
os	 cachorros”	 e	 “todos	os	 gatos”.	Após,	 assegurar-se	
sobre a compreensão da criança sobre estas palavras é 
que o adulto apresenta a seguinte questão sobre a in-
clusão	de	classes:	–	“Existem	mais	cachorros	ou	mais	
animais?” A resposta padrão para crianças desta faixa 
etária	é:	“Mais	cachorros”.	Cabe	ao	adulto	perguntar:	
–	“Mais	que	o	quê?”	A	resposta	da	criança	de	4	anos	é:	
“Do	que	gatos”.
Apesar de o adulto haver perguntado se havia mais 
cachorros	ou	mais	animais,	a	criança	ouve:	–	“Existem	
mais cachorros ou mais gatos?” Porque uma vez que 
elas seccionaram mentalmente o todo (animais) em 
duas partes (cachorros e gatos), a única coisa sobre a 
qual poderá pensar são as duas partes. Para a criança, 
naquele momento o todo não existe mais. Consegue 
pensar no todo, mas não quando está pensando sobre 
as	partes.	A	fim	de	comparar	o	todo	com	uma	parte,	a	
criança	tem	de	realizar	duas	operações	mentais	simulta-
neamente – cortar o todo em duas partes e recolocar as 
partes juntas formando um todo. 
Dessa	forma,	Kamii	(1990,	p.	18)	afirma	que:	“du-
rante os estágios sensório-motor e pré-operacional a 
abstração	reflexiva	não	pode	acontecer	 independente-
70
mente da empírica, mais tarde, entretanto, ela poderá 
ocorrer sem depender desta última.” Por exemplo, se a 
criança já construiu o conceito de número, por abstra-
ção	reflexiva,	ela	será	capaz	de	operar	sobre	os	números	
e	fazer	5	+	5	e	2	x	5	(por	abstração	reflexiva).
De acordo com Piaget e Inhelder (1966/1969), 
quando	a	criança	conta	oito	balas,	a	palavra	“oito”	ou	uma	
figura	com	oito	balas	não	representam	a	ideia	de	“oito”.
Representação é o que a criança faz, e não o que 
a	palavra	ou	a	figura	diz.	Caso	a	criança	tenha	constru-
ído	a	 ideia	de	“oito”,	por	meio	da	abstração	constru-
tiva, representará essa ideia para si mesma quando se 
defrontarem	com	a	palavra	“oito”	ou	com	uma	“figura	
de	oito	objetos”.	Ao	contrário,	atribuirá	um	significado	
pré-numérico	à	palavra	ou	à	figura.
71
Se a criança já construiu o conceito de número, 
quando questionada: Onde está o oito? Irá entender 
que oito não é o objeto; não é o último elemento con-
tado até então, mas implica incluir na soma os objetos 
que precederam a contagem até o numeral oito, inclu-
sive este, uma vez que já está concretizada a estrutura 
mental da inclusão hierárquica. Assim, não irá apontar 
para	o	último	objeto	como	se	tivesse	o	nome	“oito”.
No nível semiconcreto de aprendizado dos núme-
ros, Piaget e Inhelder (1966/1969) distinguem símbolos 
e	sinais,	que	é	ilustrado	na	figura	1.3.
72
Os	símbolos	são	as	figuras,	os	risquinhos	e	os	de-
dos usados como instrumento de contagem. São carac-
terísticas dos símbolos: dar suporte a uma semelhança 
figurativa	com	a	ideia	que	está	sendo	representada	e	po-
dem ser inventados por cada uma das crianças. Todo 
símbolo	 é	 um	 signo,	 diferenciado	 de	 seu	 significado.	
Qualquer símbolo quer produzido, quer compreendido, 
pressupõe	atividade	construtiva	de	pensamento	opera-
tório	e	dele	depende;	por	outro	lado,	as	operações	nem	
sempre exigem símbolos. 
Os sinais pertencem à área do conhecimento so-
cial. Um sinal é um estímulo substituto a que o organis-
mo	reage	sem	diferençar	o	signo	significativo	do	signifi-
cado. Assinala o fato externo de maneira indiferenciada. 
Crianças usam simultaneamente símbolos e sinais para 
exprimir seu conhecimento lógico-matemático.
Kamii & Joseph (1995, p.30) salientam que todas as 
figuras	dos	livros-textos	são	desnecessárias	para	a	criança	
aprender aritmética, porque as crianças não obtêm seu 
conhecimento	lógico-matemático	a	partir	de	figuras.
73
2.2. IMPLICAÇÕES DIDÁTICO-PEDAGÓGICAS DO 
PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE 
NúMERO
Segundo Constance Kamii, pesquisadora do assunto e 
discípula de Piaget, para o professor trabalhar o conceito 
de número com a criança, deverá ter a clareza de que 
um	dos	seus	principais	objetivos	é	explorar	a	flexibilidade	
do	pensamento	infantil.	Para	criar	atividades	desafiado-
ras, os professores deverão auxiliar seus alunos para que 
construam o conceito de número a partir dos seguintes 
princípios de ensino:
1. Encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os 
tipos	de	objetos,	eventos	e	ações	em	todas	as	espécies	de	
relações;
A autora reconstruiu a Teoria Epistemológica Ge-
nética	e	constatou	que	as	operações	concretas	desenvol-
vem-se em muitas áreas simultaneamente, as quais impli-
cam em indissociabilidade desse desenvolvimento. Piaget 
e	seus	colaboradores	se	debruçaram	em	infindáveis	pes-
quisas sobre aspectos que contribuirão no processo da 
aquisição do conhecimento lógico-matemático como: 
espaço, tempo, causalidade, quantidades físicas, número, 
lógica, imagens mentais, função simbólica, representação 
do real, desenvolvimento moral, dentre outros. Este refe-
rencial mostra-nos que o professor não deverá se limitar 
74
às atividades no âmbito exclusivamente do número. De-
verá propor atividades que abarquem a Teoria Piagetiana 
como um todo e enfocar os diversos aspectos para o de-
senvolvimento das estruturas lógicas infantis.
Neste	contexto,	uma	vez	que	as	relações	são	criadas	
pela criança a partir de seu interior, e não lhe são ensina-
das por outrem, Kamii (1990, p.45) salienta que o profes-
sor tem um papel crucial na criação de um ambiente ma-
terial e social que encoraje a autonomia e o pensamento.
Adverte que se os adultos criarem uma atmosfera 
que indiretamente encoraja o pensamento, as crianças 
surgirão	com	uma	quantidade	de	relações	que	nos	sur-
preendem. Por exemplo: Ao observar pela primeira vez 
uma pessoa rezar antes da refeição, a criança perguntou: 
–	“Por	que	vovô	lê	seu	prato?”
Acrescenta	 que	 as	 situações	 de	 conflito	 poderão	
encorajar a criança a colocar as coisas em relação. Por 
exemplo:	Numa	escola	ficou	combinado	que	as	crianças	
iriam brincar num parquinho infantil depois do lanche, 
entretanto, começou a chover repentinamente. As crian-
ças sabiam que não poderiam ir lá fora quando chovia. 
Entretanto, a criança reclamava que a promessa não fora 
cumprida, conforme combinado. A reclamação era de-
corrente do fato de que a criança colocava apenas dois 
eventos em relação: a promessa original e a proibição 
posterior (as quais não se equivaliam). Para ela não estava 
claro que uma promessa feita sob certas circunstâncias 
75
pode não ser mantida, algumas vezes, quando as con-
dições	mudam.	“Depois	do	 lanche”	e	“quando	chove”	
são dois conjuntos de circunstâncias sobrepondo-se, em 
parte, e que devem ser coordenadas com a promessa fei-
ta anteriormente.
Intersecções	como	esta	pode	ser	observada	a	todo	
instante na vida cotidiana. Kamii complementa que o jul-
gamento moral e o pensamento lógico desenvolvem-se 
juntamente quando as crianças são encorajadas a discutir 
a	desejabilidade	ou	a	justificabilidade	de	uma	decisão.
As	negociações	em	situação	de	conflito	são	extre-
mamente exemplares para se colocar as coisas em relação 
e desenvolver a mobilidade e a coerência do pensamen-
to.	No	momento	da	negociação(soluções	aceitáveis),	a	
criança precisa descentrar e imaginar como a outra pes-
soa está pensando. Quando as crianças são encorajadas a 
tomar	decisões,	são	encorajadas	a	pensar.
Kamii	 (1990,	 p.47)	 conclui	 que:	 “...	 uma	 criança	
educada numa família autoritária tem muito menos opor-
tunidades de desenvolver sua habilidade de raciocinar lo-
gicamente. Tal criança é forçada a obedecer em vez de 
ser encorajada a inventar argumentos que façam sentido 
e sejam convincentes.”
Cita-se como exemplo de postura adequada do 
professor, com vistas a encorajar as crianças a tomar de-
cisões	 em	 situações	 de	 conflito:	Duas	 crianças	 brigam	
por causa de um brinquedo, a intervenção da professora 
76
poderá estimular ou impedir o pensamento infantil. No 
primeiro	caso,	ela	afirma:	–	“Tomarei	o	brinquedo	de	vo-
cês dois porque estão brigando”. O problema passa a ser 
resolvido, porém a criança não foi encorajada a tomar 
decisões	 em	situações	de	 conflito.	No	 segundo	caso,	 a	
professora	argumenta:	–	“O	que	lhes	parece	se	eu	guar-
dar na prateleira o brinquedo até vocês decidirem o que 
fazer? Assim que decidirem, digam-me e eu devolverei a 
vocês”. Por conseguinte, as crianças são levadas a tomar 
decisões	em	situações	de	conflito	e	são	levadas	a	pensar	
sobre a questão.
Sob o ponto de vista do desenvolvimento da auto-
nomia da criança, faz a diferença ela tomar decisão por 
si própria. Esta autonomia é indissociavelmente social, 
intelectual e moral.
“Os	 tradicionais	 conceitos	 matemáticos,	 como:	
primeiro-segundo, antes-depois, correspondência um-
-a-um,	são	partes	das	relações	que	a	criança	cria	na	vida	
cotidiana quando é encorajada a pensar”, diz Kamii 
(1990, p.47).
2. a) Encorajar a criança a pensar sobre o número e a 
quantidade	de	objetos	quando	estes	sejam	significativos	
para ela; 
É comum observar que crianças de quatro a seis 
anos de idade, em sua maioria, interessa-se por con-
tar objetos e comparar quantidades. O professor deve 
77
aproveitar este interesse espontâneo e planejar ativida-
des que explorem o pensamento sobre o número e a 
quantidade	de	objetos	quando	estes	sejam	significativos	
para a criança. 
Entretanto, não se recomenda um horário diá-
rio	predeterminado	para	a	quantificação	de	objetos.	A	
criança deverá pensar sobre quantidades sempre que 
houver interesse e sentir necessidade. O professor de-
verá estar alerta quanto a isto. 
Considerando	que	a	autonomia	é	a	finalidade	mag-
na da educação e que a criança deverá ser mentalmente 
ativa para construir o conceito de número, caberá ao 
professor aproveitar as oportunidades e encorajá-la a 
agir de acordo com a sua escolha e convicção.
2. b) Encorajar	 a	 criança	a	quantificar	objetos	 logica-
mente e a comparar conjuntos (ao invés de encorajá-las 
a contar);
Gréco (1962, p. 46) que por muitos anos foi assis-
tente de pesquisa de Piaget, ilustra quão importante se 
torna permitir que a criança escolha o melhor caminho 
para	resolver	as	questões	de	quantificação	propostas.
A mãe de uma criança de 5 anos pediu-lhe que co-
locasse um guardanapo sobre o prato de cada pessoa, 
na hora da refeição. Havia regularmente quatro pessoas 
à mesa. A criança (que sabia contar até 30 ou mais) foi 
até o armário da cozinha para pegar o primeiro guar-
78
danapo e colocá-lo sobre o prato, voltou para pegar 
o segundo e colocou-o no prato seguinte e assim por 
diante, perfazendo um total de quatro viagens. Aos 5 
anos, 3 meses e 16 dias, ele pensou, espontaneamente, 
em contar os pratos, contou os quatro guardanapos a 
serem retirados do armário e distribui-os sobre a mesa. 
Continuou dessa forma durante seis dias.
No sétimo dia, havia um hóspede e um prato a 
mais do que o comum. A criança pegou seus quatro 
guardanapos, como sempre, distribuiu-os e percebeu 
que	um	prato	ficou	sem.	Ao	invés	de	pegar	um	guarda-
napo adicional, recolheu os quatro que já estavam sobre 
os pratos e colocou-os de volta no armário. Então co-
meçou tudo outra vez e fez cinco viagens para comple-
tar a tarefa.
No dia seguinte, o hóspede foi embora, porém a 
criança continuou com suas quatro viagens por mais 
cinco dias, até que redescobriu a contagem. Após usar 
este método por dez dias, comunicaram à criança que 
chegaria outro hóspede. Ele distribuiu seus guardana-
pos como usualmente, mas desta vez simplesmente 
pegou mais um no armário, quando observou que ain-
da havia um prato sem. No dia seguinte, com quatro 
pessoas novamente, apenas contou o número de pratos 
antes de pegar os guardanapos. A chegada de mais um 
hóspede nunca mais o perturbou.
Neste exemplo apresentado por Gréco vemos a 
79
diferença entre contagem mecânica e contagem esco-
lhida pela criança para solucionar um problema real. 
A criança do exemplo não possuía instrução precisa e, 
assim, teve a oportunidade de desenvolver sua autono-
mia	intelectual	e	sua	autoconfiança.	Saber	contar	é	uma	
coisa, entretanto, saber o que fazer diante de um prato 
extra é extremamente diferente.
Kamii (1990, p. 50) adverte que dizer que a criança 
precisa construir seu próprio conhecimento não impli-
ca	em	que	o	professor	fique	parado	ou	sentado,	omitin-
do-se ou deixando a criança sozinha.
Assim como a mãe da criança do exemplo, o pro-
fessor pode e deverá criar um ambiente no qual a crian-
ça tenha um papel importante e lhe seja reservado o 
direito de decidir por si mesma como desempenhar a 
responsabilidade que aceitou livremente.
O professor deverá ser cuidadoso para não insistir 
que a criança dê a resposta correta a todo custo.
Estudo realizado por Meljac (1979) mostra que se 
as crianças não usam a contagem como um instrumento, 
uma	vez	que	não	se	torna	perfeitamente	confiável	para	
crianças menores até que atinjam a idade de seis anos.
Gréco	mostrou	nove	fichas	como	consta	na	figura	
1.4.(a) e pediu às crianças que apresentassem o mesmo 
número. As idades variavam de 4 a 8 anos, sendo que 
todas sabiam contar, umas até 10 e outras até mais de 30.
80
Apesar de as crianças recitarem números numa 
sequência correta, não escolhem necessariamente usar 
esta	habilidade	como	 ferramenta	confiável.	 	Uma	vez	
construída a estrutura mental do número e assimiladas 
as palavras a esta estrutura, a contagem torna-se uma 
ferramenta	 confiável.	Entretanto,	 antes	 dos	 sete	 anos	
de idade, a correspondência um-a-um, a cópia da con-
figuração	espacial	ou	estimativas	imperfeitas	represen-
tam para a criança procedimentos mais viáveis porque 
são	mais	confiáveis.
Gréco encontrou 4 níveis:
81
As pesquisas lideradas por Meljac e Gréco, segun-
do	Kamii	(1990,	p.55)	são	significativas	para	a	área	da	
educação, haja vista que comprovaram que existe uma 
progressão da primeira para a terceira habilidade abaixo 
discriminada e que este desenvolvimento depende da 
construção de uma infraestrutura mental de número e 
sua coordenação com a sequência de palavras aprendi-
das	“de	fora	para	dentro”.
1. habilidade de dizer palavras numa sequência correta;
2. habilidade de contar objetos (isto é, de fazer a corres-
pondência um-a-um entre palavras e objetos);
Nível Habilidade
Inabilidade de atender até mesmo o pedido do 
adulto.
Contagem – a criança conta o número no mode-
lo e o reproduz prontamente.
Estimativa	visual	ou	cópia	grosseira	da	configu-
ração espacial.
Item	(b)	da	figura	1.4.	–	a	criança	raramente	olha	
o	modelo	enquanto	arruma	as	fichas
Correspondência um-a-um metódica – a criança 
olha intermitentemente para o modelo e copia, 
chegando ao ponto de usar os dedos para apon-
tar os elementos correspondentes de cada vez.
0
3
1
2
82
3. escolha da contagem como instrumento mais desejável.
Em síntese, caberá ao professor permitir que a 
criança decida quando deverá usar a contagem, forma 
de	prevenção	de	imposições	e	resulta	numa	fundamen-
tação mais lógica para a aprendizagem superior.
2. (c) Encorajar a criança a fazer conjuntos com obje-
tos móveis;
Pedir para a criança contar objetos não é a melhor 
maneira	de	ajudá-las	a	quantificar	objetos.	O	ideal