lista de poliedros

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COLÉGIO ARARUAMA 
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA - frente C 
PROFª. Jéssica F Guimarães 
 
POLIEDROS 
 
 
1. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 
desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces 
desse poliedro é igual a: 
 
a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 44 
 
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de vértices que concorrem em cada vértice 
para calcular o número de arestas, temos: 
 
161430FF14228FV2A)ii
28
2
56
2
201224
2
5.44.36.4
A
2
pV
A)i






, 
 
2. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face 
com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro. 
 
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o 
número de arestas e sabendo que F = 10 + 10 + 1 = 21, temos: 
 
212142V21V240FV2A)ii
40
2
80
2
104030
2
10.110.410.3
A
2
nF
A)i






. Há 21 vértices. 
 
3. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa 
pirâmide possui: 
 
a) 33 vértices e 22 arestas b) 12 vértices e 11 arestas c) 22 vértices e 11 arestas 
 
d) 11 vértices e 22 arestas e) 12 vértices e 22 arestas. 
 
Solução. Como há 11 faces triangulares, essas faces deverão estar apoiadas em 11 bases. Logo 
há 12 faces com a base contendo 11 arestas e, portanto, 11 vértices. O total de vértices será 12, 
contando o vértice da pirâmide unindo todas as faces triangulares. Sendo assim, temos: 
 
A + 2 = V + F => A + 2 = 12 + 12 => A = 24 – 2 = 22. 
 
4. (Mack) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é rad18 . Então o número de 
lados do polígono da base da pirâmide é: 
 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
Solução. Expressando em graus a soma dos ângulos, temos º3240º180x18rad18  . 
Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem: 
 
11V92V
º360
º3240
2Vº3240º360).2V(
º3240S
º360).2V(S






. 
 
Se há 11 vértices, um deles é da pirâmide, reunindo todas as faces triangulares. Na base há 
outros 10. 
 
5. (Mack) Considere uma pirâmide cuja base é um polígono convexo. Se a soma das medidas dos 
ângulos internos de todas as suas faces é 3600º, o número de lados da base dessa pirâmide é igual a: 
 
a) 11 b) 12 c) 9 d) 10 e) 8 
 
Solução. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem: 
 
12V102V
º360
º3600
2Vº3600º360).2V(
º3600S
º360).2V(S






. 
 
Se há 12 vértices, um deles é da pirâmide, reunindo todas as faces triangulares. Na base há 
outros 11. 
 
6. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número 
de vértices do poliedro é: 
 
a) 80 b) 60 c) 50 d) 48 
 
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o 
número de arestas e sabendo que F = 80 + 12 = 92, temos: 
 
6092152V92V2150FV2A)ii
150
2
300
2
60240
2
12.580.3
A
2
nF
A)i






. Há 60 vértices. 
 
7. Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O 
número de vértices desse poliedro é: 
 
a) 24 b) 48 c)73 d) 96 
 
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o 
número de arestas e sabendo que F = 15 + 7 + 2 = 24, temos: 
 
242448V24V246FV2A)ii
46
2
92
2
123545
2
2.67.515.3
A
2
nF
A)i






. Há 24 vértices. 
 
8. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o 
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale. 
 
a) 6 b) 4 c) 5 d) 12 e) 9 
 
Solução. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem: 
 
4
3
12
3
)6(2
3
A2
F)III
6A612A2A3A2126A3
3
A2
42A
FV2A
3
A2
F
)ii
4V22V
º360
º720
2Vº720º360).2V(
º720S
º360).2V(S
)i















. 
 
9. (UFPE) Calcule a oitava potência do comprimento, em metros, da aresta de um icosaedro regular, 
sabendo-se que sua área mede 15m
2
. 
 
Solução. O icosaedro regular possui 20 faces que são triângulos equiláteros. Temos: 
 
 
   
 
m93
3
3
3
3
3
3
LL)ii
3
3
L
5
15
3L153L.515
4
3L
.20
4
3L
.20A
m15A
)i
2
2
4
4
44
428
222
2
2
2
































. 
 
10. (UNITAU) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta a é: 
 
a) 
2a b) 3a2 c) 2a4 d) 5a2 e) 2a2 
 
Solução. O tetraedro regular possui 4 faces que são triângulos equiláteros. Temos: 
 
3aS
4
3a
.4S 2
2









 . 
 
 
 
11. (UEL) Para explicar a natureza do mundo, Platão “[...] apresenta a teoria segundo a qual os ‘quatro 
elementos’ admitidos como constituintes do mundo - o fogo, o ar, a água e a terra - [...] devem ter a 
forma de sólidos regulares. [...] Para não deixar de fora um sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a 
representação da forma de todo o universo.” (DEVLIN, Keith. Matemática: a ciência dos padrões. 
Porto: Porto Editora, 2002. p.119.) 
As figuras a seguir representam esses sólidos 
geométricos, que são chamados de poliedros 
regulares. Um poliedro é um sólido limitado por 
polígonos. Cada poliedro tem um certo número 
de polígonos em torno de cada vértice. Uma 
das figuras anteriores representa um octaedro. 
A soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice desse octaedro é: 
 
 
a) 180º b) 240º c) 270º d) 300º e) 324º 
Solução. O octaedro regular possui 8 faces que são triângulos 
equiláteros. Em cada vértice concorrem 4 arestas. Logo os 
vértices formam ângulos tetraédricos de 60º. A soma será 240º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas 
faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos? 
 
Solução. Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = 
(V – 2).360º 
1082
º360
º2880
2
º2880)º90(32
º360).2(






VV
S
VS
 
Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o 
número de vértices. 
710215
10
15






F
V
A
 
Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se 
um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de 
faces. 

























527
2
3054
2844
3054
)4(7
15
2
5
2
4
7
x
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais. 
 
13) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: 
 
a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro d) dodecaedro e) icosaedro 
 
Solução. Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º 
 
a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, 
º720)º360.(2º360).24(º360).2(  SSVS . 
b) hexaedro possui 8 vértices. Logo, 
º2160)º360.(6º360).28(º360).2(  SSVS . 
c) octaedro possui 6 vértices.Logo, 
º1440)º360.(4º360).26(º360).2(  SSVS . 
d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, 
º6480)º360.(18º360).220(º360).2(  SSVS . 
e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, 
º3600)º360.(10º360).212(º360).2(  SSVS . 
 
14) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de 
cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? 
 
Solução. Problema semelhante ao número (1). 
 
i) 18162
º360
º5760
2
º5760)º90(64
º360).2(






VV
S
VS
 ii) 
1218228
18
28






F
V
A
 
ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se 
um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de 
faces. 

























7512
5204
5673
3633
5673
)3(12
28
2
7
2
3
12
x
yy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais. 
15) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, 
sabendo que é 2/3 do número de arestas? 
Solução. Calculando o número de vértices, temos: 
422
º360
º720
2º360).2(º720  VVV . Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. 
Substituindo pelas informações, vem: 
 















4)6(
3
2
6
6122321263.
3
2
42
.
3
2
4
F
A
AAAAAA
AF
V
. 
Logo, F = 4. 
 
16) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é 
igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele 
tem 15 arestas. 
 
Solução. Problema semelhante ao número (3). 
 
i) 862
º360
º2160
2
º2160
º360).2(






VV
S
VS
 ii) 
98215
8
15






F
V
A
 
iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma-
se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de 
faces. 

























639
3
3043
2733
3043
)3(9
15
2
4
2
3
9
x
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
 
 Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares. 
 
17) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um 
vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta. 
 
Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, 
só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda 
possui os limites com “novas” arestas. 
 
i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9. 
ii) O número inicial de arestas é dado por: 30
2
)12(5
2

nF
A . O final será 30 – 3 = 27. 
ii) O número inicial de vértices é: 20122302  FAV . O final será 20 – 1 = 19. 
 
 
 
 
18) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro 
convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de 
futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre 
esses átomos? 
Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será 
90
2
)20(6)12(5
2



nF
A . O número de vértices é dado por 
60322902  FAV . Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações). 
 
 
19) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face 
quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 
 
Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de 
arestas em função das faces, temos: .15
2
30
2
)2(6)1(5)1(4)3(3
2



nF
A 
Substituindo os valores na relação de Euler vem: 1072152  FAV . Logo há 10 
vértices. 
 
20) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas 
faces têm esse poliedro? 
 
Solução. Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V 
= 6. Logo o número de faces é o mesmo. Isto é, há 6 faces. 
 
21) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. 
Calcule o número de faces desse poliedro? 
Solução. De acordo com as informações, temos:
.826
6
2






FFVV
VA
FVA
 
 
22) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces 
desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares 
e o número de faces quadrangulares é igual a 5. 
 
Solução. Considerando o número de faces quadrangulares e “y” o de triangulares concluímos, 
de acordo com as informações que A = 4x e y = 5. Temos: 
42053208
2
3
2
)4(5
4
4








yyyyy
y
yA
. Logo há 5 + 4 = 9 faces. 
 
23) Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos 
triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos. 
 
Solução. Um ângulo triédrico contém um vértice onde concorrem 3 arestas. Da mesma forma 
o tetraédrico contém um vértice onde concorrem 4 arestas, o mesmo ocorrendo com os 
pentaédricos (5 arestas) e hexaédricos (6 arestas). De acordo com a expressão para o total de 
arestas em função do número de arestas que concorrem a um vértice, temos: 
41292682
.68
2
136
2
)6(8)5(9)4(7)3(5
2
298975










FVAFnV
A
V
 
Logo há 29 vértices, 68 arestas e 41 faces. 
 
24) Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais 
triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces 
quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do 
poliedro convexo. 
 
Solução. Considerando V o número total de vértices e o número de arestas concorrendo a 
cada vértice, temos: 
2
123
2
333405
2
)3)(11()4(10)5(1
2






VVVnV
A . 
Aplicando a relação de Euler sabendo o número de faces e utilizando a expressão do número 
de arestas, vem: 
.2616424224123212
2
123
21
2








VVVV
V
F
FVA
 
 
25) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número 
de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o 
número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse 
poliedro. 
 
Solução. Considerando “k” a constante de proporcionalidade, podemos escrever: 
- número de faces triangulares = 2k 
- número de faces quadrangulares = 3k 
Como cada face triangular possui 3 arestas e cada face quadrangular possui 4 arestas, o 
número total de arestas é k
kkkknF
A 9
2
126
2
)4(3)3(2
2




 . Aplicando a relação de 
Euler A + 2 = V + F, vem: 
4418191094185
2
9
29
2
9
9
532








kkkkkkk
k
kk
VkA
kkkF
. 
Substituindo o valor de “k” no número de faces, temos: F = 5(k) = 5(4) = 20.