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Matemática e Física 
Aplicada às Ciências 
Biológicas
Professor MsC. Rafael Barbosa
UNIDADE I
CONCEITOS DE ESTATÍSTICA E 
PROBABILIDADE 
Se um sistema ou processo não é determinista, é, por definição, 
estocástico.
Determinismo versus Probabilidade
Determinismo versus Probabilidade
Como uma questão prática, a linha divisória entre 
"determinista" e "estocástica" está aberta à interpretação.
A linha divisória entre "determinista" e "estocástica" está 
aberta à interpretação
Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976)
Determinismo versus Probabilidade
Eventos, Experiências e Resultados
Um evento é algo que acontece com algum grau de incerteza.
Fringehead Sarcástico
Um dos peixes mais ferozes encontrados ao longo da costa do 
Pacífico da América do Norte
Eles defendem agressivamente seu abrigo pulando em qualquer coisa que 
se aproxima, abrindo suas grandes bocas
Luta entre os peixes Fringeheads
Quando o intruso é outro Fringehead à procura de um novo abrigo, os 
dois indivíduos costumam entrar em uma combinação ritual de "luta 
bucal" 
Probabilidade
• No vocabulário da teoria da probabilidade, esses jogos de luta são 
experimentos. Experimentos são simplesmente processos que 
produzem alguma observação ou medição.
• Toda vez que você repete a experiência de defender sua casa, há um 
único resultado.
• O conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento é 
chamado de espaço amostral para essa experiência.
Probabilidade
• No caso da luta livre de fringehead, existem apenas dois possíveis resultados 
elementares, sucesso (s) ou falha (f), e estes juntos formam o espaço amostral.
Variáveis discretas versus contínuas
• As variáveis ​​discretas são contabilizáveis ​​em uma quantidade limitada 
de tempo.
• Variáveis ​​contínuas (literalmente) demoram para contar 
infinitamente.
• Um experimento biológico típico pode envolver sequenciamento de 
DNA do mesmo gene de cada um de um conjunto de indivíduos 
amostrados.
• No experimento de sequenciamento de DNA, cada sequência distinta 
que é observada pode ser indexada de maneira exclusiva usando um 
número inteiro positivo (por exemplo, 0, 1, 2, etc.) e essas 
variáveis ​​são referidas como variáveis ​​discretas. 
Média, Mediana e Moda
Média
Mediana
3, 9, 15, 17, 44
Mediana = 15
3, 6, 8, 12, 17, 44
Mediana = (8 + 12) / 2 = 20/2 = 10
Moda
3, 3, 8, 9, 15, 15, 15, 17, 17, 27, 40, 44, 44
Moda = 15
intervalo
3, 6, 9, 15, 44
Intervalo = 44 – 3 = 41
Matemática e Física 
Aplicada às Ciências 
Biológicas
Professor MsC. Rafael Barbosa
Variância e Desvio Padrão
• Por definição, variância e desvio padrão são medidas de variação 
para as variáveis ​​de taxa de intervalo.
• Eles descrevem quanto de variação ou diversidade existe em uma 
distribuição
Exemplo:
Encontre a variância para o seguinte conjunto de dados representando árvores na cidade
de Curitiba (alturas m).
Exemplo:
Dados: (0,9, 6,3, 8,5, 12,5, 14) m 
passo 1 :
Soma dos valores de X / N(Número de valores)
= (0,9+6,3+8,5+12,5+14) / 5
= 42,2 / 5
= 8,44
passo 2 :
Para encontrar a variância,
Subtraia a média de cada um dos valores,
0,9-8,44 = -7,54
6,3-8,44 = -2,14
8,5-8,44 = 0,06
12,5-8,44 = 4,06
14-8,44 = 5,56
Agora eleve ao quadrado todas as respostas que você obteve na 
subtração.
(- 7,54)2 = 56,85
(- 2,14)2 = 4,57
(0,06)2 = 0,0036
(4,06)2 = 16,48
(5,56)2 = 30,91
Somar todos os resultados,
56,85 + 4,57 + 0,0036 + 16,48 + 30,91= 108,81
Divida a soma dos quadrados por (n-1)
108,81 / (5-1) = 108,81 / 4 = 27,20
variação = 27,20
Desvio padrão = raiz de 27,208 = 5,21 
Equações
Variância Populacional Variância Amostral 
Desvio Padrão Populacional Desvio Padrão Amostral
Erro Padrão
O EP diz o quanto sua estatística de amostra se desvia da média atual da 
população. Quanto maior o tamanho da sua amostra, menor será o EP.
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação representa a razão do desvio padrão para a 
média, e é uma estatística útil para comparar o grau de variação de 
um conjunto de dados
Distribuição Normal
• Alturas de pessoas.
• Erros de medição.
• Pressão sanguínea.
• Pontos em um teste.
• Pontuação do QI.
• Salários.
Distribuição de Frequência
• Um dado estatístico pode consistir em uma lista de números
relacionados a uma pesquisa. Entre esses números, alguns podem ser
repetidos duas vezes e até mais de duas vezes.
Existem vários tipos de distribuições de 
frequência:
Distribuição de frequência agrupada
Distribuição de frequência desagrupada
Distribuição de frequência cumulativa
Distribuição relativa de frequência
Distribuição relativa de frequência cumulativa
Usos da Distribuição de Frequência
1. A distribuição de frequências nos ajuda a analisar os dados.
2. A distribuição de frequências nos ajuda a estimar as frequências da 
população.
3. A distribuição de frequências nos ajuda a facilitar o cálculo de 
várias medidas estatísticas.
Exemplo de construção de uma tabela de distribuição de frequência
cumulativa
Em um torneio de xadrez recente (emocionante), todos os 10 participantes 
tiveram que preencher um formulário que deu seus nomes, endereço e 
idade. As idades dos participantes foram registradas da seguinte forma:
36, 48, 54, 92, 57, 63, 66, 76, 66, 80
Divida os resultados em intervalos e, em seguida, conte o número de 
resultados em cada intervalo.
Neste caso, intervalos de 10 são apropriados. Uma vez que 36 é a 
idade mais baixa e 92 é a idade mais alta, comece os intervalos de 35 
a 44 e termine os intervalos com 85 a 94.
Classe
Idade
Frequência Frequência 
Cumulativa
Porcentagem Porcentagem 
Cumulativa
35 - 44 1 1 10% 10%
45 - 54 2 3 20% 30%
55 - 64 2 5 20% 50%
65 - 74 2 7 20% 70%
75 - 84 2 9 20% 90%
85 - 94 1 10 10% 100%
Probabilidade de um único evento
Probabilidade = Número favorável de ocorrência 
/ Número de possibilidades equiprováveis 
Probabilidade: eventos independentes 
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não tiver 
efeito na ocorrência do outro. 
Probabilidade: eventos dependentes
Dois eventos A e B são dependentes se a ocorrência de um afeta a 
ocorrência do outro. A probabilidade de que B ocorra dado que A 
ocorreu é chamado de B dado A e está escrito P (B | A).
Probabilidade: eventos independentes 
• Se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrência 
de A e B é P (A e B) = P (A) • P (B).
Exemplo
Encontre (a) a probabilidade de um animal listado ser um réptil e (b) a 
probabilidade de um animal em extinção ser um réptil.
Mamíferos Pássaros Répteis Anfibios Outros
Em 
extinção
59 75 14 9 198
Ameaçado 8 15 21 7 69
Mamíferos Pássaros Répteis Anfibios Outros
Em 
extinção
59 75 14 9 198
Ameaçado 8 15 21 7 69
P (Répteis) = Número de Répteis / Total do número de animais = 35/475 = 0,0737
P(Répteis | em extinção) = Número de répteis ameaçados de extinção / Número 
total de animais ameaçados de extinção = 14/ 355 = 0.039