Apostila Estatística QC IM, 12 ABR 16 (1)

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APOSTILA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
 QC IM 2016 Prof Leonardo 
 
 
1 
 
Apostila de Estatística 
 
e 
 
Probabilidade 
 
para a prova do 
 
 
Quadro Complementar da Marinha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor : Leonardo 
Licenciado em Matemática pela UFF/RJ 
Mestre em Matemática pela PUC/Rio 
Fiscal de Tributos da Prefeitura de Nilópolis 
Professor SEEDUC/RJ 
Professor do CAP Unigranrio (Unidade Caxias) 
Sargento da aeronáutica por 11 anos 
Foi professor de matemática da Prefeitura do Rio de janeiro 
 
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2 
 
I. Conteúdo a ser estudado para as provas da marinha e aeronáutica - Oficiais 
 
 
Medidas de posição central; 
 
 
Medidas de dispersão; 
 
 
Medidas de ordenamento e forma; 
 
 
Teoria de amostragem; 
 
 
Análise da variância. 
 
 
Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades; 
 
 
Teoria da estimação; 
 
 
Probabilidade; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
 
Estatística 
 
 
1 – CONCEITO 
 
1.1 - Estatística 
 
A Estatística é um conjunto de métodos destinados à coleta, organização, resumo, apresentação e 
análise de dados de observação, bem como da tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises. 
 
A Estatística é um conjunto de processos ou técnicas empregadas na investigação e análise de 
fenômenos coletivos ou de massa. 
 
 
1.2 – Divisão da Estatística 
 
A Estatística divide-se em duas partes Geral e Aplicada. 
 
 
 – Descritiva 
Geral ou metodológica – Indutiva ou inferencial 
 
 
 
1.2.1 Estatística geral ou metodológica 
 
Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos fenômenos de massa. tendo por 
finalidade o estudo das propriedades matemáticas desses fenômenos e a dedução e demonstração 
rigorosa dos procedimentos e fórmulas usadas freqüentemente. 
 
 Estatística Descritiva 
 
Suponha que se tenha informações de um conjunto de notas de estudantes matriculados em uma 
disciplina de Estatística. Na terminologia estatística, o conjunto de notas desses estudantes é 
chamado de conjunto de dados, e a nota individual de cada estudante é chamada de observação. 
 
Dessa maneira reduz-se o conjunto de dados, tornando-o mais maleável, constituindo tabelas, 
gráficos ou sumarizando os seus valores através de medidas descritivas, como a média. A parte da 
estatística que nos ajuda neste tipo de análise é chamada de estatística descritiva. 
 
É à parte da Estatística que tem por objetivo descrever os dados observados e na sua função dos 
dados, tem as seguintes atribuições. 
 
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4 
 
i. A obtenção ou coleta de dados – é normalmente feita através de um questionário 
ou de observação direta de uma população ou amostra. 
ii. A organização dos dados – consiste na ordenação e crítica quanto à correção dos 
valores observados, falhas humanas, omissões, abandono de dados duvidosos. 
iii. A representação dos dados – os dados estatísticos podem ser mais facilmente 
compreendidos quando apresentados através de tabelas e gráficos, que permite 
uma visualização instantânea de todos os dados. 
 
 
 
 
 
 Estatística Inferencial 
 
O conjunto de todos os elementos de interesse é chamado de população. A retirada de uma parte 
dessa população é chamada de amostra. 
 
É a parte da Estatística que tem por objetivo obter e generalizar conclusões para a população a 
partir de uma amostra, através do cálculo de probabilidade. A tais conclusões estão sempre 
associados a um grau de incerteza e conseqüentemente, a uma probabilidade de erro. 
 
A maior parte dos objetivos estatísticos, como decisões, inferências e previsões sobre populações 
são baseadas em resultados obtidos de amostras. 
 
A área da estatística que tem por objetivo tomar decisões, com base em amostras, é chamada de 
estatística inferencial ou estatística indutiva. 
 
 
2 – DEFINIÇÕES 
 
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Já caiu na prova .... 
 
 
2.1 - População x Amostra 
 
 População (N): Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenômeno que 
possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o conjunto Universo, podendo 
ser finita ou infinita. 
 
 Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível de contagem. 
 
 Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de contar e geralmente 
esta associada a processos. 
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6 
 
 
 Amostra (n): É um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a amostra deve ser 
selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela represente todas as 
características da população como se fosse uma fotografia desta. 
 
2.2 - Censo x Amostragem 
 
 Pesquisa Estatística: É qualquer informação retirada de uma população ou amostra, podendo ser 
através de Censo ou Amostragem. 
 
 Censo: É a coleta exaustiva de informações das "N" unidades populacionais. 
 
 Amostragem: É o processo de retirada de informações dos "n" elementos amostrais, no qual deve 
seguir um método criterioso e adequado (tipos de amostragem). 
 
 
2.3 - Parâmetros x Estatísticas 
 
 Parâmetros: são medidas populacionais quando se investiga a população em sua totalidade, neste 
caso é impossível fazer inferências, pois toda a população foi investigada. 
 
 Estatísticas ou Estimadores: são medidas obtidas da amostra, torna-se possível neste caso 
utilizarmos as teorias inferências para que possamos fazer conclusões sobre a população. 
 
 
 
 
 
2.4 - Dado x Variável 
 
 Dados estatísticos: é qualquer característica que possa ser observada ou medida de alguma 
maneira. As matérias-primas da estatística são os dados observáveis. 
 
 Variável: É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão, geralmente as 
variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. Os símbolos utilizados para 
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representar as variáveis são as letras maiúsculas do alfabeto, tais como X, Y, Z, ... que pode assumir 
qualquer valor de um conjunto de dados. As variáveis podem ser classificadas dos seguintes modos: 
 
- Qualitativas (ou atributos): São características de uma população que não pode ser medidas. 
 
- Quantitativas: São características populacionais que podem ser quantificadas, sendo classificadas 
em discretas e contínuas. 
Discretas: são aquelas variáveis que pode assumir somente valores inteiros num conjunto de 
valores. É gerada pelo processo de contagem, como o número de veículos que passa em um 
posto de gasolina, o número de estudantes nesta sala de aula. 
Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de umintervalo de 
valores. É gerada pelo processo de medição. Neste caso serve como exemplo o volume de 
água em um reservatório ou o peso de um pacote de cereal. 
Exemplos - 
. Cor dos olhos das alunas: qualitativa 
. Índice de liquidez nas indústrias capixabas: quantitativa contínua 
. Produção de café no Brasil: quantitativa contínua 
. Número de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta 
. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contínua 
. O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta 
 
 Resumo 
 
 
 
Já caiu na prova .... 
 
 
 
 
 
 
 
CP-QC-IM/2014 Contabilidade 
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Gabarito : letra e. 
 
 
2.5 - Arredondamento de Dados 
 
1ª) Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4, conservamos o algarismo a 
ser arredondado e desprezamos os seguintes. 
Ex.: 7,34856 (para décimos)  7,3 
 
2ª) Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescenta-se uma unidade 
no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes. 
Ex.: 1,2734 (para décimos)  1,3 
 
2.6 – Fases do método estatístico 
 
 
O método estatístico abrange as seguintes fases: 
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3 – APRESENTAÇÃO DE DADOS 
 
Quando se realiza um estudo e se quer apresentar os resultados, pode-se optar por três maneiras: 
tabelas, quadros e/ou gráficos. Cada um destes tipos de apresentação possui suas características 
próprias, as quais serão mostrados no decorrer do capítulo. 
 
3.1 Distribuição de Freqüência 
 
Os dados são colocados em classes pré calculadas, registrando a freqüência de ocorrência. Uma 
distribuição de freqüência pode ser classificada em discreta (pontual) e intervalar. 
 
 
Já caiu na prova .... 
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Gabarito : A 
Gabarito : B 
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
É o tipo de série estatística na qual permanece constante o fato, o local e a época. Os dados são 
colocados em classes pré-estabelecidas, registrando freqüência. 
Divide-se em duas partes: 
 Distribuição de Freqüência Intervalar (Var. Contínua) 
 Distribuição de Freqüência Pontual (Var. Discreta) 
 
Já caiu na prova... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.1 Distribuição de Freqüência Discreta ou Pontual 
 
É uma série de dados agrupados na qual o número de observações está relacionado com um número 
real. 
 
Idade de 15 alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1 
Idade (xi) Nº alunos 
(fi) 
17 2 
18 3 
19 5 
20 2 
21 3 
 15 
 Fonte: Dados Hipotéticos 
3.2.2 Distribuição de Freqüências Intervalar 
 
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Gabarito : A 
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Na distribuição de freqüência, os intervalos parciais deverão ser apresentados de maneira a evitar 
dúvidas quanto à classe a que permanece determinado elemento. 
 
O tipo de intervalo mais usado é do tipo fechado a esquerda e aberto a direita, representado pelo 
símbolo: |---. 
 
 
Altura dos dos Alunos da ADM, 1º semetre de 2010/1 
Altura (cm) Ponto médio 
(xi) 
nº alunos (fi) 
150 |--- 158 154 4 
158 |--- 166 162 12 
166 |--- 174 170 20 
174 |--- 182 178 13 
182 |--- 190 186 5 
 ---- 54 
 Fonte: Dados Hipotéticos 
Etapas para a construção de uma distribuição de freqüências: 
1ª) Coleta dos dados 
 
Consiste em obter os dados brutos, que são os dados coletados na ordem na qual aparecem e que ainda 
não estão prontos para que se realize uma análise mais detalhada. 
 
2ª) Formação do rol 
 
É a organização dos dados brutos, em uma determinada ordem, que poderá ser crescente ou 
decrescente. 
 
3ª) Intervalo de classe 
 
Consiste em definir a simbologia de representação do intervalo de classe, bem como os limites de 
classe, em função do número de classes estabelecidas. (|--- , ---|, |---| e ---) 
 
4ª) Ponto médio de classe (Xi) 
 
É a média aritmética simples do limite inferior com o limite superior de uma mesma classe. 
2
Ll
X iii


 
 
5ª) Freqüência absoluta (fi) 
 
É a número de indivíduos por classe. Deve-se cuidar a contagem dos indivíduos nas classes, em função 
do tipo de intervalo utilizado. 
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6ª) Freqüência absoluta acumulada (Fi) 
 
É o somatório da freqüência absoluta da i-ésima classe com a freqüência absoluta das classes 
anteriores, ou a freqüência acumulada da classe anterior. 
 
 
 
 
7ª) Freqüência Relativa (fr): 
 
É o quociente entre a freqüência absoluta da i-ésima classe pelo somatório das freqüências. 
 
 
8ª) Freqüência Relativa Acumulada (Fr): 
 
É o somatório da freqüência relativa da i-ésima classe com as freqüências relativas das classes 
anteriores. 
 
 
3.3 Apresentação gráfica 
 
A representação gráfica é uma forma de apresentação visual dos dados. Normalmente, contém menos 
informações que as tabelas, mas são de fácil leitura. O tipo de gráfico depende da variável em estudo. 
 
a) Gráficos de Linhas 
Serve para representar séries simples ou compostas, geralmente utilizado para ilustrar uma série 
temporal. Quando se utiliza um gráfico de linhas compostas, ele servirá tanto para informação quanto 
para se fazer comparações. 
 
Exemplo 1: 
Venda de Combustível Automotivo, cidade de Santa Maria, 
período de 2001 à 2007 
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40.000.000
41.000.000
42.000.000
43.000.000
44.000.000
45.000.000
46.000.000
47.000.000
48.000.000
49.000.000
50.000.000
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
li
tr
o
s
 
Fonte: www.fee.rs.gov.br 
 
 
Exemplo 2: 
Venda de Combustível Automotivo, cidade de Santa Maria e Passo Fundo, 
período de 2001 à 2007 
30.000.000
32.000.000
34.000.000
36.000.000
38.000.000
40.000.000
42.000.000
44.000.000
46.000.000
48.000.000
50.000.000
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
li
tr
o
s
Santa Maria Passo Fundo
 
Fonte: www.fee.rs.gov.br 
 
b) Gráficos de Colunas 
 
Os gráficos de colunas são formados por retângulos no eixo horizontal. Pode-se construir gráficos de 
colunas simples, que serve para a representação de uma série simples e o gráfico de colunas compostas, 
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17 
 
que é indicado para séries compostas, podendo ser de colunas justapostas ou sobrepostas. Esses tipos de 
gráficos compostos são utilizados para ilustrar qualquer tipo de série e também servem para 
comparação. 
b.1) Colunas simples 
Exemplo:2 
Emprego no Brasil, jan/2009 
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
45.000
População em
Idade Ativa 
População
Economicamente
Ativa 
População
Ocupada 
População
Desocupada 
População não
Economicamente
Ativa 
nº
 d
e 
pe
ss
oa
s 
(1
.0
00
)
 
Fonte: www.sidra.ibge.gov.br 
As larguras das colunas devem ser todas iguais e não têm nenhum significado neste caso, podendo ser 
adotada qualquer dimensão conveniente, desde que não se superponham. 
 
b.2) Colunas justapostas 
Exemplo: 
Poupalçao em Idade Ativa e Economicamente Ativa no Brasil, jan/2009 
0
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
População em Idade Ativa População Economicamente
Ativa 
N
º 
de
 p
es
so
as
 (1
.0
00
)
Homem
Mulher
 
Fonte: www.sidra.ibge.gov.br 
 
c) Gráfico de barras 
As regras usadas para o gráfico de barras são iguais àquelas usadas no gráfico de colunas, porém com a 
inversão dos eixos. 
Exemplo: Estrutura Empresarial no município de Santa Maria – RS, 2006 
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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Outros serviços coletivos, sociais e pessoais
Agricultura, pecuária, silvicultura e exploração florestal
Indústrias de transformação
Construção
Comércio, reparação de veículos, objetos pessoais e domésticos
Alo jamento e alimentação
Transporte, armazenagem e comunicações
Intermediação financeira, seguros, previdência complementar
Atividades imobiliárias, aluguéis e serviços prestados às empresas
Administração pública, defesa e seguridade social
Educação
Saúde e serviços sociais
nº de unidades locais
 
Fonte: www.ibge.gov.br 
 
 
d) Gráfico de setores (pizza) 
 
É a representação gráfica da freqüência relativa (percentagem) de cada categoria dos dados. Este 
gráfico é utilizado para variáveis nominais e ordinais. Poderá ser uma opção ao gráfico de barras, 
quando se pretende dar ênfase à comparação das percentagens de cada categoria. 
Exemplo:Tipo de Frota no município de Santa Maria – RS, 2007 
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Automóvel
73%
Caminhonete
3%
Ônibus/Micro-ônibus
2%
Motocicleta
22%
 
Fonte: www.ibge.gov.br 
 
 
Características: 
 
- A área do gráfico equivale à totalidade de casos (100%); 
- Cada 'fatia' representa a percentagem de cada categoria representada. 
 
e) Gráficos pictoriais 
 
Tipo de gráfico cuja característica principal é a analogia entre o dado representado e o tipo de 
figura utilizado na sua representação. É bastante utilizado na propaganda, fazendo o apelo visual e 
percepção imediata do que se está falando. Tem por objetivo despertar a atenção do público em geral. 
Muitos desses gráficos apresentam grande dose de originalidade e de habilidade na arte de 
apresentação dos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evolução da frota nacional de carros a álcool, 
de 1979 à 1987 
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20 
 
9.645
1979
1.277.107
1983
2.473.581
1985
3.631.647
1987
 
 
Fonte: Anfavea 
Os métodos mais eficientes para deixar de fumar segundo 30.000 fumantes 
 entrevistados no Canadá - 2000 
 
30%
27%
19,5%
18,5%
Goma de mascar com nicotina
mais sessões de apoio psicológico
Internamento em hospital
 e uso de drogas relaxantes 
Acupuntura
Hipnose
Injeção de Clonidina, droga que
reduz os efeitos da abstinência
34%
 
 
Fonte: Sem origem da informação 
 
Devastação Selvagem: extração de madeiras 
no Brasil - 2000 
Eucalipto
Madeira
 nativa
Pinus
24,4%
68,8%
6,8%
 
Fonte: Sociedade Brasileira de Silvicultura 
f) Histograma 
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Destina-se a representar uma distribuição de freqüência intervalar. Os dados são representados 
por colunas justapostas. Onde a base representa os intervalos e altura apresenta as freqüências absolutas 
ou freqüências relativas dentro de cada intervalo. 
 
Altura dos dos Alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1 
0
5
10
15
20
25
fi
158 166 174 182 190150
 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
3 - MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
 
Tem por objetivo descrever um conjunto de dados de forma organizada e compacta que 
possibilita a visualização do conjunto estudado por meio de suas medidas estatísticas. 
 
3.1 - Médias 
São medidas descritivas que tem por finalidade representar um conjunto de dados. 
 
 
3.1.1. - Média Aritmética 
Símbolo: Amostral ( x ); Populacional () 
 
a) Dados Não Tabelados 
 
N
X
=ou 
n
X
x
N
1i
i
n
1i
i 
  
 
Exemplo: 
Idade de cinco alunos da Engenharia, 1º semetre: 
 
19 22 20 16 26 
 
 
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b) Dados Tabelados 
b.1) Tabela de frequências 
Média Aritmética Ponderada ( x ), (onde fi é a frequencia) 
 
f
fX
X
n
1i
i
n
1i
ii





 
Exemplo: Altura dos dos Alunos da Engenharia, 1º semetre 
Altura (cm) Xi Fi 
150 |--- 158 154 4 
158 |--- 166 162 12 
166 |--- 174 170 20 
174 |--- 182 178 13 
182 |--- 190 186 5 
 ---- 54 
Fonte: Dados Hipotéticos 
b.1) Tabela com Valores Ponderados 
 
Média Aritmética Ponderada ( X w ), (onde Wi é o peso) 
 
W
WX
X
n
1i
i
n
1i
ii
w





 
Exemplo: 
Nota do aluno "X" 1 semestre de 2008 
Notas (Xi) Pesos (Wi) 
7,8 2 
8,3 3 
9,2 2 
5,8 3 
 10 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
MÉDIA ARITMÉTICA = 
 
 É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores. 
 
...... 
 
onde xi são os valores da variável e n o número de valores. 
. 
 
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23 
 
Dados não-agrupados: Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas 
de freqüências, determinamos a média aritmética simples. 
 
 
Ex: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 
15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda média diária na semana de: 
.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos 
 
 
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a 
média aritmética, ou seja:. 
 
. di = Xi - 
 
 
No exemplo anterior temos sete desvios:... d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 
14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e. .. d7 = 12 - 14 = - 
2. 
. 
 
Propriedades da média aritmética  
 
 
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula. 
 
 No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0 
 
 
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa 
constante. 
 
 Se no exemplo original somarmos a constante2 a cada um dos valores da variável temos: 
 
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou 
Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kilos 
 
 
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa 
constante. 
 
 Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos: 
 
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24 
 
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou 
Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos 
 
 
Dados agrupados: 
 
Sem intervalos de classe  Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, 
tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. 
Calcularemos a quantidade média de meninos por família: 
 
Nº de meninos freqüência = fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
total 34 
 
 Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas 
funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética 
ponderada, dada pela fórmula: 
 
 
..xi. ..fi. ..xi.fi . 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
total 34 78 
 
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família 
Com intervalos de classe  Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um 
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e 
determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: 
 
 
.. 
 
 
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25 
 
onde Xi é o ponto médio da classe. 
 
Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo. 
 
Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi ..xi.fi. 
50 |------------ 54 4 52 208 
54 |------------ 58 9 56 504 
58 |------------ 62 11 60 660 
62 |------------ 66 8 64 512 
66 |------------ 70 5 68 340 
70 |------------ 74 3 72 216 
Total 40 2.440 
 
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo... = 61 cm 
 
 
3.1.2 MÉDIA GEOMÉTRICA = g 
 
 É a raiz n-ésima do produto de todos eles. 
 
Média Geométrica Simples: ou . 
 
Ex.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:E 
 
a) { 10, 60, 360 }.: = ( 10 * 60 * 36 0) ^ (1/3) ....R: 60 
b) { 2, 2, 2 }........: = (2 * 2 * 2 ^ (1/3) .. .R: 2 
c) { 1, 4, 16, 64 }: = (1 * 4 * 16 * 64 ) ^(1/4) ....R: 8 
. 
 
Média Geométrica Ponderada : 
 
 ou .. 
Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo: 
...xi... ...fi... 
1 2 
3 4 
9 2 
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26 
 
27 1 
 Total 9 
= (1
2
 * 3
4
 * 9
2
 * 27
1
) 
(1/9)
........R: 3,8296 
 
 
. 
3.1.3 MÉDIA HARMÔNICA - h 
 
 É o inverso da média aritmética dos inversos. 
. 
Média Harmônica Simples:. (para dados não agrupados) 
 
.. ou 
 
 
. 
Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de freqüências) 
 
.. 
 
 
 
Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: 
 
classes ....fi.... ....xi.... ........fi/xi........ 
1 |--------- 3 2 2 2/2 = 1,00 
3 |--------- 5 4 4 4/4 = 1,00 
5 |--------- 7 8 6 8/6 = 1,33 
7 |--------- 9 4 8 4/8 = 0,50 
9 |--------- 11 2 10 2/10 = 0,20 
Total 20 4,03 
 
Resp: 20 / 4,03 = 4,96 
 
OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série. 
 
 A igualdade g = h.= ....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais. 
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27 
 
 
 
OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a 
seguinte relação: 
 
 
g = ( .+ h ) /.2 
 
 
 Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados: 
 
z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 } 
 
Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600 
Média geométrica= = 10,2587 
 
Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574 
 
Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica 
 
Já caiu na prova... 
 
 
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28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.4 Média Ponderada 
 
Já caiu na prova... 
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29 
 
 
 
Exercicios: 
 
1) Considerando as distribuições de frequencia seguinte, ache a media aritmética: 
 
I PESOS (kg) Fi 
1 40 |----- 44 2 
2 44 |----- 48 5 
3 48 |------52 9 
4 52 |------56 6 
5 56 |------60 4 
 Total = 26 
 
 
 
 
 
 
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30 
 
 2 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
ÁREAS (m
2
) 300 |---400 |---500 |---600 |---700 |---800 |---900 |---1000 |--- 1100 
|---1200 
Nº de lotes 14 46 58 76 68 62 48 22 6 
 
 
 
 
 
 
4) Conhecidas as notas de 50 alunos: 
 
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89 
 
 
 
Determine: 
a) a distribuição de frequencia começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude 
igual a 10; 
b) as frequencias acumuladas 
c) as frequencias relativas 
d) o histograma 
 
 
 
 
 
3- Separatrizes (Mediana) 
 
I ESTATURAS 
(cm) 
Fi 
1 150 |----- 156 1 
2 156 |----- 162 5 
3 162 |------168 8 
4 168 |------174 13 
5 174 |------180 3 
 = 30 
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31 
 
São medidas de posição que divide o conjunto de dados em partes proporcionais, quando os mesmos 
são ordenados. 
a) Dados Não Tabelados 
 
Antes de determinarmos a MEDIANA devemos em primeiro lugar encontrar a posição da mesma. 
 
A Mediana será o elemento de ordem: 
 
2
1
)(


n
mdP
 
Exemplos: 
1) Idade de cinco alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1: 
19 22 20 16 26 
 
 
 
2) Idade de seis alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1: 
19 22 20 16 26 23 
 
 
b) Dados Tabelados 
 
b.1) Distribuição de freqüências pontual 
Segue a mesma regra usada para dados não tabelados. 
Exemplo: 
Idade de 15 alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1 
Idade (xi) Nº alunos 
(fi) 
 17 2 
18 3 
19 5 
20 2 
21 3 
 15 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
b.2) Distribuição de freqüências intervalar 
 
 2
)(
n
mdP 
 
 
Mediana -> 
*
*.)(
2
*
f
hantF
f
l
md
i











 
Sendo: l* = limite inferior 
 L* = limite superior 
 F(ant) = freq. acumulada 
anterior 
 h*= amplitude de classe 
 f* = freqüência simples da 
classe 
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32 
 
 
 
Já caiu na prova... 
 
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33 
 
 
 
Quartil 1 -> 
*
*.)(
4
*
1
f
hantF
f
l
q
i











 Quartil 3 -> 
*
*.)(
4
3
*
3
f
hantF
f
l
q
i











 
onde: 
mdl  limite inferior da classe que contém a separatriz; 
2
n
  posição da separatriz; 
Fant  freqüência acumulada da classe anterior a que contém a mediana; 
mdf  freqüência absoluta da classe que contém a mediana; 
h  amplitude do intervalo de classe; 
Exemplo: 
Altura dos dos Alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1 
Altura (cm) Xi fi 
150 |--- 158 154 4 
158 |--- 166 162 12 
166 |--- 174 170 20 
174 |--- 182 178 13 
182 |--- 190 186 5 
 ---- 54 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
 
 
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34 
 
3.3 - Moda (Mo) 
 
É definida como sendo a observação de maior freqüência. 
 
a) Dados Não Tabelados 
 
Exemplo: 
3 4 4 4 5 5 6 6 7 8 9  Mo = 4 (unimodal) 
5 6 7 8 9 10 11 12 13  Mo =  (amodal) 
1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 5  Mo1 = 3 Mo2 = 5 (bimodal) 
5 5 6 6 7 7 8 8  Mo =  (amodal) 
5 5 6 6 7 7 8  Mo1 = 5 Mo2 = 6 Mo3 = 7 (trimodal) 
Obs.: Acima de 4 modas usamos o termo polimodal. 
 
b) Dados Tabelados 
 
b.1) Distribuição de freqüências pontual 
 Moda -> 
2
** lL
mo

 
- Moda Bruta (Mob): é o ponto médio da classe de maior freqüência 
 
b.2) Distribuição de freqüências intervalar 
 
- Moda de Czuber (Moc) 
 
O processo para determinar a moda usado por Czuber leva em consideração as freqüências anteriores e 
posteriores à classe modal. 














posMo2
antMo1
21
1
Moc ff
ff
.hlMo 
onde: 
lMo  limite inferior da classe modal; 
fMo  freqüência absoluta da classe modal; 
h  amplitude do intervalo de classe; 
fant  freqüência absoluta da classe anterior a classe modal; 
fpos  freqüência absoluta da classe posterior a classe modal; 
 
 
Exemplo: 
Altura dos dos Alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2011/1 
Altura (cm) xi fi 
150 |--- 158 154 4 
158 |--- 166 162 12 
166 |--- 174 170 20 
174 |--- 182 178 13 
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35 
 
182 |--- 190 186 5 
 ---- 54 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
 
Exercicios sobre mediana e moda: 
1) Ache a mediana e moda nas tabelas abaixo e seu histograma: 
 
a) Um grau de nebulosidade, registrano em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo: 
 
NEBUL 0 |--- 0,5 |---1,5 |---2,5 |---3,5 |--- 4,5 |---5,5 |---6.5 |---7,5 |--- 8,5 |--- 9,5 |-
-- 10,5 
Fi 320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 
676 
 
 
b) 
Peso 
(Kg) 
Freqüênci
a 
 
4,0 2 
4,3 3 
4,5 5 
4,6 8 
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36 
 
4,7 6 
4,8 5 
4,9 4 
5,0 3 
5,1 3 
5,5 2 
total 41 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
Resumo e revisão 
 
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37 
 
 
 
 
Relação entre as medidas de Posição 
 
 
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38 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
Introdução: 
 
 Uma distribuição com classes é simétrica quando : 
 
Média = Mediana = Moda 
 
 Uma distribuição com classes é : 
 
Assimétrica à esquerda ou negativa quando : Média < Mediana < Moda 
 
Assimétrica à direita ou positiva quando : Média > Mediana > Moda 
 
 
Coeficiente de assimetria: A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência 
do desvio padrão, isto é, não permite a possibilidade de comparação 
entre as medidas de duas distribuições. Por esse motivo, daremos 
preferência ao coeficiente de assimetria de Person: 
 
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39 
 
 
 As = 3 ( Média - Mediana ) / Desvio Padrão 
 
 
Escalas de assimetria: 
 
| AS | < 0,15  assimetria pequena 
 
0,15 < | AS | < 1  assimetria moderada 
 
| AS | > 1  assimetria elevada 
 
Obs: Suponhamos AS = - 0,49  a assimetria é considerada moderada e negativa 
 
Suponhamos AS = 0,75  a assimetria é considerada moderada e positiva 
 
 
MEDIDAS DE CURTOSE 
 
Introdução: 
 
 Denominamos CURTOSE o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma 
distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica 
de probabilidade). 
 
 Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais fechada que a normal (ou 
mais aguda ou afilada em sua parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. 
 
 Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta que a normal (ou mais 
achatada em sua parte superior), ela recebe o nome de platicúrtica. 
 
 A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o nome de mesocúrtica. 
 
Coeficiente de curtose 
 
 
C1 = (Q3 - Q1) / 2(P90 - P10) 
 
 
 Este coeficiente é conhecido como percentílico de curtose. 
 
 Relativamente a curva normal, temos: 
 
 
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40 
 
C1 = 0,263  curva mesocúrtica 
C1 < 0,263  curva leptocúrtica 
C1 > 0,263  curva platicúrtica 
 
 
 O coeficiente abaixo ( C2 )será utilizado em nossas análises: 
 
 
 
 
onde S é desvio padrão 
 
 
C2 = 3  curva mesocúrtica 
C2 > 3  curva leptocúrtica 
C2 < 3  curva platicúrtica 
 
 
 
 
 
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41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já caiu na prova... 
 
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42 
 
 
 
4 - MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO 
 
Visam descrever os dados no sentido de informar o grau de dispersão ou afastamento dos valores 
observados em torno de um valor central (representativo) chamado média. Informa se um conjunto de 
dados é homogêneo (pouca variabilidade) ou heterogêneo (muita variabilidade). 
 
 
 
4.1 - Desvio Quadrático ou Variância - S2 (amostra) ou 2 (populacional) 
 
a) para dados não tabelados: (Fórmula sem freqüência) 
 
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43 
 
Variância -> 
22
2










n
x
n
x
s
ii
 
Desvio Padrão -> 
22










n
x
n
x
s
iiAPOSTILA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
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44 
 
 
 
 
 
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45 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Idade de cinco alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1: 
19 22 20 16 26 
 
 
 
Exercicios: 
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46 
 
Ache a variância e o Desvio Padrão dos dados abaixo: Sem intervalo de freqüência. 
a) 40 , 45, 48 , 52 , 54 , 62 , 70 
b) 21,25, 28,29, 30, 33, 35, 40, 41, 50 
c) 10,12,13,14,18,19,21,25 
 
 
 
 
 
 
 
Já para dados tabelados (Fórmula com freqüência) 
 
Variância -> 
22
2










n
xf
n
xf
s
iiii
 
Desvio Padrão -> 
22










n
xf
n
xf
s
iiii
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Altura dos dos Alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2010/1 
Altura (cm) xi Fi 
150 |--- 158 154 4 
158 |--- 166 162 12 
166 |--- 174 170 20 
174 |--- 182 178 13 
182 |--- 190 186 5 
 ---- 54 
Fonte: Dados Hipotéticos 
Exercicio 
 1) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüência dos salários mensais em reais, de 65 
empregados da companhia P & R. Calcule a variancia e o desvio padrão. 
 
Salários (R$) Nº de Empregados 
5.000 ---- 6.000 8 
6.000 ---- 7.000 10 
 
7.000 ---- 8.000 16 
 
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47 
 
8.000 ---- 9.000 14 
 
9.000 ---- 10.000 10 
 
10.000 ---- 11.000 5 
 
11.000 ---- 12.000 2 
 Total 65 
 
2) Foi feito um inquérito a 40 pessoas que compraram carro novo com o objetivo de se saber quantas 
reparações, ou substituições de peças, foram feitas durante o primeiro ano utilização dos veículos. 
Obtiveram: 
 
1 4 1 2 2 3 3 2 1 2 
3 2 3 1 0 1 2 7 4 3 
5 1 2 4 2 1 3 1 0 1 
2 1 1 3 1 0 4 2 3 5 
 
Organize os dados numa tabela de freqüências. (freqüências absolutas, relativas, e freqüências 
acumuladas, absolutas e relativas), ache a Mediana os Quartis (Q1 e Q3) o desvio padrão e a variância. 
 
 
 
 
4.2 - Desvio Padrão [S (amostra) ou  (população)] 
 
Variância Sou  
 
Exemplos: 
1) Idade de cinco alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2009/1: 
19 22 20 16 26 
 
 
 
 
 
2) Altura dos dos Alunos da ADM, 1º semetre da UNIFRA, 2009/1 
Altura (cm) xi Fi 
150 |--- 158 154 4 
158 |--- 166 162 12 
166 |--- 174 170 20 
174 |--- 182 178 13 
182 |--- 190 186 5 
 ---- 54 
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48 
 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
 
 
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Já caiu na prova... 
 
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49 
 
 
4.3 - Medidas de Dispersão Relativa 
 
 
 
Já caiu na prova... 
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50 
 
 
 
4.3.1 - Coeficiente de Variação de Pearson 
 
É a medida de variabilidade em geral expressa em porcentagem, e tem por função determinar o grau de 
concentração dos dados em torno da média. 
100 .. xVC


 População 
100 
S
 .. x
X
VC  Amostra 
 
Obs.: 0%  C.V.P.  100% 
C.V.P  50%  a média é representativa 
C.V.P.  0  é a maior representatividade da média (S = 0) 
 
 
Já caiu na prova... 
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51 
 
 
Resumão 
 
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Já caiu na prova... 
 
5 – NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
 
 
5.1 - Conceitos em Amostragem 
 
Inferência Estatística - é o processo de obter informações sobre uma população a partir de resultados 
observados ma Amostra. 
Amostragem - É o processo de retirada de informações dos "n" elementos amostrais, na qual deve 
seguir um método adequado (tipos de amostragem). 
 
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FIGURA 1 – Inferência e amostragerm 
 
5.2 - Plano de Amostragem 
 
1º) Definir os Objetivos da Pesquisa 
 
2º) População a ser Amostrada 
 
Parâmetros a ser Estimados (Objetivos) 
 
3º) Definição da Unidade Amostral 
 
Seleção dos Elementos que farão parte da amostra 
 
4º) Forma de seleção dos elementos da população 
 
Tipo de Amostragem: 







dosconglomera
adaestratific
asistemátic
simplesaleatória 
 
 
5º) Tamanho da Amostra 
 
Exemplo: Moradores de uma Cidade (população alvo) 
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Objetivo: Tipo de Residência 





 
 
emprestada
alugada
própria
 
 
Unidade Amostral: Domicílios (residências) 
 
Elementos da População: Família por domicílio 
 
Tipo de Amostragem: 





adaestratific
asistemátic
simplesaleatória 
 
 
 
5.3 - Tipos de Amostragem 
 
5.3.1 - Amostragem Simples ou Ocasional 
 
É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. Todos os elementos da população tem 
igual probabilidade de serem escolhidos. Para uma população finita o processo deve ser sem reposição. 
Todos os elementos da população devem ser numerados. Para realizar o sorteio dos elementos da 
população pode-se usar a Tabela de Números Aleatórios ou gerar números aleatórios por meio de um 
software; 
 
5.3.2 - Amostragem Sistemática 
 
Trata-se de uma variação da Amostragem Aleatória Ocasional, conveniente quando a população 
está naturalmente ordenada, como fichas em um fichário, lista telefônica, etc. 
 
Ex.: N = 500 (População) 
 
n = 50 (Amostra) 
 
então 100
n
N
r , (teremos uma Progressão Aritmética (PA) de razão 10) 
 
 
Sorteia-se usando a Tabela de Números Aleatórios um número entre 1 e 10, (x=3), o número 
sorteado refere-se ao 1o elemento da amostra, logo os elementos da amostra serão: 
3 13 23 33 43 ...... 
 
Para determinar qualquer elemento da amostra podemos usar a fórmula do termo geral de uma 
P.A. 
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rnaan ).1(1  
 
5.3.3 - Amostragem Estratificada 
 
É um processode amostragem usado quando nos depararmos com populações heterogêneas, na 
qual pode-se distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, denominados estratos. 
 
Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada uma subpopulação 
(estrato). 
 
As diversas subamostras retiradas das subpopulações devem ser proporcionais aos respectivos 
números de elementos dos estratos, e guardarem a proporcionalidade em relação a variabilidade de 
cada estrato, obtendo-se uma estratificação ótima. 
 
Tipos de variáveis que podem ser usadas em estratificação: idade, classes sociais, sexo, 
profissão, salário, procedência, etc. 
 
5.3.4 - Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos) 
 
Algumas populações não permitem, ou tornam-se extremamente difícel que se identifiquem seus 
elementos, mas podemos identificar subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória 
simples desses subgrupos (conglomerados) podem ser escolhida, e uma contagem completa deve ser 
feita no conglomerado sorteado. 
 
Agregados típicos são: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc. 
 
 
 
5.4 – Tamanho da Amostra 
 
5.4.1 - Introdução 
 
Os pesquisadores de todo o mundo, na realização de pesquisas científicas, em qualquer setor da 
atividade humana, utilizam as técnicas de amostragem no planejamento de seus trabalhos, não só pela 
impraticabilidade de poderem observar, numericamente, em sua totalidade determinada população em 
estudo, como devido ao aspecto econômico dessas investigações, conduzidos com um menor custo 
operacional, dentro de um menor tempo, além de possibilitar maior precisão nos respectivos resultados, 
ao contrário, do que ocorre com os trabalhos realizados pelo proceso censitário. 
A técnica da amostragem, a despeito de sua larga utilização, ainda necessita de alguma didática mais 
adequada aos pesquisadores iniciantes. 
Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões: 
1ª) Dimensionamento da Amostra; 
2ª) Composição da Amostra. 
 
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Tabela utilizada para saber sem fazer calculos quantas amostras podemos utilizar para n 
população: 
 
 
 
 
 
Tamanho da Amostra 
Obs.: um passo importante antes de iniciar o cálculo do tamanho da amostra é definir qual o erro 
amostral tolerável para o estudo que será realizado. 
Observe a seguinte fórmula: 
 , onde: 
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 n0 é a primeira aproximação do tamanho da amostra 
 
 E0 é o erro amostral tolerável (Ex.: 2% = 0,02 ) 
 
 
 , onde: 
 
 N é o número de elementos da população 
 n é o tamanho da amostra 
Observe o seguinte exemplo para compreender melhor: 
Exemplo 
Em uma empresa que contém 2000 colaboradores, deseja-se fazer uma pesquisa de satisfação. 
Quantos colaboradores devem ser entrevistados para tal estudo? 
Resolução 
N = 2000 
Definindo o erro amostral tolerável em 2% 
E0 = 0,02 
n0 = 1 / (E0)
2
 
n0 = 1 / (0,02)
2
 
n0 = 2500 
n = (N . n0) / (N + n0) 
n = (2000 . 2500) / (2000 + 2500) 
n = 1111 colaboradores 
Com o erro amostral tolerável em 2%, 1111 colaboradores devem ser entrevistados para a pesquisa. 
Vamos repetir os cálculos, definindo o erro amostral tolerável em 4%. 
N = 2000 
E0 = 0,04 
n0 = 1 / (E0)
2
 
n0 = 1 / (0,04)
2
 
n0 = 625 
n = (N . n0) / (N + n0) 
n = (2000 . 625) / (2000 + 625) 
n = 476 colaboradores 
Através deste segundo cálculo, é possível observar que, quando aumentamos a margem de erro, o 
tamanho da amostra reduz. 
E se houvesse 300.000 colaboradores na empresa? 
N = 300.000 
E0 = 0,04 
n0 = 1 / (E0)
2
 
n0 = 1 / (0,04)
2
 
n0 = 625 
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n = (N . n0) / (N + n0) 
n = (300.000 . 625) / (300.000 + 625) 
n = 623 colaboradores 
Observe que a diferença entre n e n0, neste último cálculo, é muito pequena. 
Portanto: se o número de elementos da população (N) é muito grande, a primeira aproximação do 
tamanho da amostra já é suficiente. 
 
Fórmula para populações finitas( revisando) 
 
 
2
0
0
1
E
n  Primeira aproximação 
 
 
0
0.
nN
nN
n

  Tamanho da amostra pedida 
 
Exercícios: 
1) Temos 200 famílias com erro amostral de 4% qual deve ser o tamanho da minha amostra? 
 
2) E para N = 20.000 famílias? 
 
 
3) Numa pesquisa para uma população presidencial, qual deve ser o tamanho de uma amostra 
aleatória simples, se deseja garantir um erro amostral não superior a 2%? 
 
 
4) Numa escola com 1000 alunos, deseja-se estimar a percentagem dos que estão satisfeitos com a 
direção. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória simples que garanta um erro amostral não 
superior a 5%? 
 
 
 
5) Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples tais que possamos admitir 
com alta confiança, que os erros amostrais não ultrapassem 7%: 
a) Para 5500 pessoas? 
b) Para 25000 pessoas? 
c) Para 100.000 pessoas? 
 
 
 
 
 
6) Numa empresa de 10000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem de funcionários 
favoráveis a certo programa de treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatória 
simples que garanta com alto nível de confiança, com erro amostral não superior a 4,3% ? 
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7) Numa pesquisa, queremos investigar informações a respeito de 800 pessoas pesquisando apenas 
parte destes, sem correr o risco de errar com mais de 3,7%. Quantas pessoas deverão consultar? 
 
 
 
 
 
8) Para dar a porcentagem de defeitos das 3000 peças fabricadas por dia com um erro amostral de 
4,1 %, quantas peças devemos verificar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Probabilidade 
 
 
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Arranjo
 
 
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Arranjos simples de n elementos tomados s a s (s ≤ n) são os diferentes agrupamentos ordenados 
que se podem formar com p dos n elementos dados. Indica-se por An,s ou o total desses 
agrupamentos, que calculamos assim: 
 
 
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Exemplos: 
 
A8,4 (onde n = 8 e p = 4) 
 
 
Exemplo 1: Calcular 
a) A 6,2 
 
 
b) 
1,22,4
2,34,5
AA
AA


 
 
 
 
Exemplo 2: Calcular E = A7,3 + A3,2 – A5,4 
 
 
 
 
Exemplo 3: Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7 , sem 
repeti-los? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Quantos números pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 
e 6, sem repeti-los? 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 5: Numa sala de 20 alunos, deseja-se formar grupos de estudos de três elementos, que tenham 
projetos diferentes. 
a) De quantos modos diferentes se podem escolher os alunos? 
b) De quantas maneiras se podem escolher os alunos sabendo que dois dos alunos não podem 
pertencer ao mesmo grupo? 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Calcule: 
1) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 e 9? 
 
 
 
 
2) Quantos números de 3 letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso 
alfabeto? 
 
 
 
3) Quantos números de 3 algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4? 
 
 
 
 
4) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9 ? 
 
 
 
 
 
5) Quantos são os números compreendidos entre 2 000 e 3 000, formados por algarismos distintos 
escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ? 
 
 
 
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6) Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de cinco lugares. De quantas maneiras 
diferentes podem sentar-se,nunca fincando em pé a mulher? 
 
 
 
Permutação 
 
 
Quando k = n, isto é, quando os arranjos abrangem a totalidade dos elementos, temos o que se chama 
PERMUTAÇÃO de n elementos, cuja representação simbólica é Pn. 
 
Pn = n! 
 
Exemplo: 
Considere uma urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. De quantas maneiras diferentes podemos 
retirar, sem reposição, as 5 bolas. 
Solução: 
Aqui teremos uma seqüência de 5 bolas numeradas onde cada seqüência nos fornece um número 
diferente e o quantitativo de bolas selecionada é o quantitativo que se encontra na urna. Logo temos 
uma permutação de 5 bolas ou um arranjo de 5 bolas tomadas 4 a 4: 
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras diferentes 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular E, sendo E= 




 

2
46
5 .2
P
PP
P 
 
 
 
 
 
2) Quantos números de4algarismos distintos podem ser formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5 e 7? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus 
algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 
43521? 
 
 
 
 
4) Formados e dispostos em ordem alfabética todos os anagramas da palavra ESAN, determine a 
posição que ocupará apalavra NASE? 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule o número de permutação que podem ser feitas com as letras da palavra CAPITULO, de 
forma que não fiquem juntas duas vogais e duas consoantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMBINAÇÕES 
 
Quando necessitamos formar conjuntos de k elementos não importando a ordem dos elementos, não 
podemos utilizar a definição de arranjo onde a ordem é relevante. 
Temos então a definição de combinação de n elementos tomados k a k, cuja definição é: 
 
 
)!(!
!
knk
n
k
n
C Kn







 
 
Exemplo: 
Considere o lançamento de 6 moedas. De quantas maneiras diferentes podemos obter 4 caras? 
 
Solução: Este experimento leva em consideração somente o total de caras e coroas, não importando a 
ordem com que os resultados aparecem. Assim, estamos no âmbito das combinações, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
1) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão disposto de 8 jogadores? 
 
 
 
 
2) Numa sala, temos 5 rapazes e6moças.quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e 3 moças? 
 
 
 
 
 
 
 
3) Numa classe de10 estudantes, um grupo de 4 será selecionada para uma excursão.De quantas 
maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos 10 são marido e mulher e só irão juntos? 
 
 
 
 
 
4) Numa turma de 30 alunos, 9 tem motocicleta e outros 8 tem bicicleta.quantos grupos diferentes de 7 
alunos se podem formar naquela turma, de modo a haver em cada grupo 4 motocicletas e 2 
bicicletas? 
 
 
 
 
 
5) Num plano temos 16 pontos; 9 deles pertencem a uma reta. Quantas circunferências podem passar 
por 3 quaisquer daqueles pontos? 
 
 
 
 
 
6) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, pararela a primeira marcam-se 5 
pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos? 
 
 
 
 
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Introdução à Probabilidade 
 
 
As origens da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase 
todas, a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para 
planejar estratégias de apostas. 
Atualmente a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje os 
governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus 
processos diários de deliberações. Independentemente de qual seja a aplicação em particular, a 
utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à 
ocorrência ou não de um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente 
impossível afirmar por antecipação o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer. 
Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão da 
procura de um novo produto, o cálculo dos custos da produção, a previsão das safras, a compra de 
apólices de seguros, a avaliação da redução de impostos sobre a inflação. As probabilidades são úteis, 
pois ajudam a desenvolver estratégias. 
O ponto central em todas as situações é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado 
evento. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. 
O estudo das probabilidades é importante pois elas são a base para o estudo estatístico. 
 
Experimento aleatório 
 
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições 
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
Características dos experimentos aleatórios: 
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas podem-se descrever todos os resultados possíveis. 
3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de freqüência de resultados. 
 
Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, aposta na loteria, .... 
 
Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ouprocedimento 
deva ser realizado, mas também o que deverá ser observado. (Note a diferença entre o 2º e o 3º) 
 Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. 
 Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. 
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 Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas. 
 Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma 
(sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o número de peças retiradas. 
 Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. 
 Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de lançamentos 
necessários. 
 Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. 
 Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido. 
 
 Espaço amostral 
 
 
O espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis resultados 
do experimento. 
 
 n(S) é o número de elementos do conjunto S, ou o número de 
 
 
 
Exemplo: 
Um experimento é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados são cara ou coroa, então, 
S={cara, coroa}. 
 
Em dois lançamentos de uma moeda, sendo interessante observar a ordem dos resultados, os possíveis 
resultados são: 
 1) cara e cara, 2) cara e coroa, 3) coroa e cara e 4) coroa e coroa. 
 
 
resultados possíveis. 
 
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O espaço amostral é S={(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca) e (Co,Co)}. n(S)=4 
 
Eventos 
 
Chama-se de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório, ou seja, 
qualquer resultado do espaço amostral. 
 
 n(A) é o número de resultados associados ao evento A. 
 
 
Exemplo: no lançamento de uma moeda S = {cara, coroa}. Um evento de interesse A pode ser “obter 
cara no lançamento de uma moeda” e n (A) = 1. 
No lançamento de um dado, o evento de interesse (A) pode ser obter face par e n(A)=3. 
A probabilidade de um evento 
 
Seja A um evento. A probabilidade de este evento ocorrer é dada por P(A), que é um número 
entre 0 e 1. Quanto mais próxima a probabilidade estiver de 1, maior será sua chance de ocorrência. A 
um evento impossível atribui-se probabilidade 0, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1. 
Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades: o método clássico, quanto o espaço 
amostral tem resultados igualmente prováveis. O método empírico, que se baseiam na freqüência 
relativa de ocorrência de um evento num grande número de provas repetidas e o método subjetivo, que 
utiliza estimativas pessoais de probabilidade, baseadas num certo grau de crença. Em geral vamos 
utilizar o método clássico de cálculo de probabilidades.Quando os resultados são equiprováveis, a 
probabilidade de cada resultado é função do número de resultados possíveis: 
 
 
 número de resultados associados ao evento A 
 número total de resultados possíveis 
 
 
Exemplo: 
 
Experimento: lançar um dado e observar a face superior 
Espaço amostral: S= {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 
 
Evento A: face par n(A)=3 
P(A)= 3/6 = ½ = 0,5 ou 50% 
Exercícios 
 
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter: 
 
a) o número 2 b) um número par c) um número múltiplo de 3 
 
 
 
P(A) = 
 
 
 
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2) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a 
probabilidade dos eventos: 
a) as duas cartas são “damas”, b) as duas cartas são de “ouro”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Complete a tabela com os valores calculados da probabilidade dos eventos ocorrerem. 
Experimento Evento P(Evento) 
 
Lançar uma moeda uma vez 
 
Cara 
 
 
 
Lançar um dado uma vez 
 
Face 3 
 
 
 
Extrair uma carta de um baralho com 
52 cartas 
 
6 vermelho 
 
Extrair uma carta de um baralho de 
52 cartas 
 
Valete de 
ouros 
 
 
 
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Cálculo das probabilidades 
 
Muitas aplicações da estatística exigem a determinação da probabilidade de combinações dos eventos. 
Há duas características de combinações. Pode ser necessário determinar a probabilidade de ambos os 
eventos acontecerem P(A e B) ou a probabilidade de um deles, A ou B, ou seja, P(A ou B). 
Em um prédio com 2 elevadores, poderíamos perguntar: Qual a probabilidade de ambos elevadores 
estarem em serviço? Ou então, Qual a probabilidade de um ou outro elevador estar em serviço? 
 
 
 
 
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Ambos implica P(A e B) 
 
 
Um ou outro implica P(A ou B) 
 
 
 
 
Regra da adição: 
 
A regra da adição leva em conta a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os eventos e é 
denotada por P(AUB). 
 
 
 
 
 
Quando os eventos são mutuamente excludentes (não tem elementos em comum), então a probabilidade 
de ambos é nula e o termo P(A e B) será zero. 
 
 
 
 
 
A B 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
P(A  B) 
 
 Se A e B são mutuamente excludentes P(A U B) = P(A) + P(B) 
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Exercícios: 
 
1. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade 
do número ser par ou maior que 4? 
 
 
 
 
 
 
2. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade 
do número ser um número primo ou maior que 8? 
 
 
 
 
 
 
 
3.Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou o numero ímpar?APOSTILA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
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4.Numa caixa estão 20 bolas numeradas de 1 a 20. Retira-se 1bolaao acaso.qual é a probabilidade de se 
obter maior que o numero 16 ou um numero múltiplo de 4. 
 
 
 
Eventos Complementares 
 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra 
(sucesso) e q a probabilidade de q ele não ocorra (insucesso), para que um mesmo evento existe sempre 
a relação: 
 
 p + q = 1 => q = 1 – p 
 
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p=1/5, a probabilidade de que ele não 
ocorra é: 
q = 1 – p => q = 1 – (1/5) = 4/5 
 
Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. logo a 
probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: 
 
 q = 1 – (1/6) = > q = 5/6 
 
Outro modo de aplicarmos a probabilidade de um evento completar é quando que usar a fórmula de 
COMBINAÇÃO para resolvermos o exercício: 
 
Sejam A e A dois eventos de um espaço amostral U; sendo A o evento complementar de A, temos: 
 
 P(A) + P(A) = 1 
 
 
A + A = U 
 
 
 
 
n(A) + n(A) = n(U) => 1)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
 APAP
Un
Un
Un
An
Un
An
 
 
Exemplo: Consideramos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se 
aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que: a) ambas não estejam 
estragadas b)pelo menos uma esteja estragada 
Resolução: a) Calculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas: 
Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem se ser escolhidas sem estarem 
estragadas: 
 
 
 U 
A 
A 
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b) A é o evento: pelo menos uma fruta esta estragada 
 
 
 
Exercícios: 
 
1)De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2, aleatoriamente. Determine: 
a) a probabilidade de que ambas sejam defeituosas; 
b) a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas; 
c) a probabilidade de que uma seja defeituosa. 
 
 
 
 
2) Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas. Tiramos, sucessivamente, 2 bolas. Determine a 
probabilidade de: 
 
a) as bolas terem a mesma cor; 
 
 
 
 
b) as bolas terem cores diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eventos Independentes 
 
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos 
eventos afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa. 
Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do 
resultado obtido no outro. 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é 
igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. 
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Assim, sendo p1, a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de 
realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada 
por: 
 
 p = p1 x p2 
 
Exemplo: Lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: 
p1=1/6. A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = 1/6 
Logo a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: p = 
36
1
6
1
6
1
x 
 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui 
a realização do(s) outro(s). 
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa”, são 
mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são 
mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das 
probabilidades de que cada um deles se realize: 
 
 p = p1 + p2 
 
 
 
Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é: 
p = 
3
1
6
2
6
1
6
1
 , pois, como vimos dois eventos são mutuamente exclusivos. 
 
Exercícios: 
 
1) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma 
carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a segunda carta ser 5 
de paus? 
 
 
2) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 
pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada 
urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, 
respectivamente, branca , preta e verde? 
 
 
 
 
 
 
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3) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um numero não inferior a 5? 
 
 
 
 
 
 
4) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e 
uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente 
nessa ordem? 
 
 
 
 
5) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de soma ser 10 ou mais que 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas quatro vezes? 
 
 
 
 
 
7) Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade 
de ser a primeira de paus e a segunda de copas? 
 
 
 
 
 
 
 
8) Considerem-se duas caixas, I e II. Na caixa I, há 4 bolas pretas e 6 bolas azuis, e na caixa II, há 8 
bolas pretas e 2 bolas azuis. Escolhe-se ao acaso, uma caixa e, em seguida, dela se tira uma bola. Qual a 
probabilidade de que esta bola seja : a) preta? b) azul? 
 
 
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Distribuições Discretas mais Importantes 
 
As principais distribuições discretas são: Distribuição Binomial e Distribuição Poisson e 
Distribuição. 
 
Distribuição Binomial 
 
Seja um processo composto de uma seqüência de observações independentes, onde o resultado 
de cada observação pode ser um sucesso ou uma falha. Se a probabilidade de sucesso é constante e 
igual a p, a distribuição do número de sucessos seguirá o modelo Binomial. 
A distribuição Binomial é usada com freqüência no controle de qualidade. É o modelo 
apropriado quando a amostragem é feita sobre uma população infinita ou muito grande. 
A distribuição binomial possui quatro propriedades essenciais: 
 
1. As observações possíveis podem ser obtidas através de dois diferentes métodos de amostragem. Cada 
observação pode ser considerada como se tivesse sido selecionada a partir de uma população infinita 
sem reposição ou a partir de uma população finita com reposição. 
 
2. Cada observação pode ser classificada em uma de duas categorias mutuamente excludentes e 
coletivamente exaustivas, usualmente chamadas sucesso ou falha. 
 
3. A probabilidade de uma observação ser classificada como sucesso (p) é constante de observação para 
observação. Assim sendo, a probabilidade de fracasso