Solucionário Box Matemática III SM

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Capítulo 23 — Noções de estatística
Página 532 – Para começar
1. a) Não são consultados todos os eleitores, pois seria inviável, 
devido à grande quantidade de eleitores.
b) Não necessariamente. Por exemplo: se a escolha dos eleitores 
consultados não for feita de maneira adequada, a pesquisa 
pode apresentar um resultado que não representa a opinião 
de todos os eleitores; ou se as pessoas mudarem de opinião e 
alterarem seus votos após a pesquisa.
c) Resposta pessoal. Os resultados podem influenciar a opinião. 
Por exemplo: quando uma pessoa está indecisa em quem 
votar, pode acabar escolhendo o candidato que tem a maior 
aceitação na pesquisa, acreditando ser o melhor candidato; 
ou quando uma pessoa que pretendia votar em um candida-
to, ao ver que as intenções de votos para esse candidato são 
muito pequenas, pode acabar alterando a sua opção de voto.
2. Resposta possível: É importante que uma empresa realize uma 
pesquisa de opinião com os prováveis consumidores para anali-
sar as preferências deles em relação ao novo produto. Por exem-
plo, conhecer a preferência por cor, tamanho, textura, e outras 
características do produto, possibilita à empresa conhecer seu 
público-alvo e, assim, adequar seu novo produto, diminuindo a 
chance de fracasso de venda.
Página 533 – Ação e cidadania
Avalie se os alunos precisam de sua orientação para refletir sobre 
as questões apresentadas. Pergunte o que eles entendem por 
“cidadania ativa”. Esclareça que essa expressão se refere à 
cidadania praticada por pessoas que se importam com a comu-
nidade em que vivem e têm consciência dos problemas sociais 
que interferem na vida de cada indivíduo, agindo na defesa e 
organização da comunidade sempre que necessário. 
 � Os serviços de saneamento básico, de responsabilidade dos 
governos federal, estadual e municipal, são pagos pela própria 
população por meio de impostos e de taxas de serviço público. 
Na conta mensal de consumo de água, por exemplo, está 
incluso o custo de tratamento de esgoto; e o valor pago pela 
coleta de lixo está incluso no Imposto Predial e Territorial 
Urbano (IPTU).
 � Resposta pessoal. São várias as atitudes que podem ser adota-
das para contribuir na melhora do saneamento básico. O cidadão 
deve sempre evitar que ocorram vazamentos de água em 
sua casa, procurando consertar rapidamente torneiras, chu-
veiros e outros dispositivos; fazer “gatos” é ilegal, pois 
é uma ação clandestina, punida de acordo com a lei. Ou-
tra sugestão: acompanhar a gestão de governadores, pre-
feitos, deputados e vereadores da região onde se locali-
za a escola, avaliando se estão cumprindo os programas de 
saneamento básico prometidos nas campanhas eleitorais.
Página 537 – Exercícios propostos
4. Primeira situação
A variável “quantidade de sinistros” é quantitativa discre-
ta. Como os valores obtidos na pesquisa são muito diferentes, 
é recomendado que a tabela de frequências seja dividida em 
classes.
 ▪ Amplitude total: 185 2 100 5 85
Pelo critério da raiz, temos a sugestão do número de classes que 
devemos adotar para a construção da tabela: dXXX 30 ù 5,48
Adotando 5 para o número de classes, calculamos a amplitude 
de cada classe: 85 ____ 5 5 17 (adotamos, então, 18 para o número de 
classes).
Assim, construímos a seguinte tabela de frequências.
Quantidade de sinistros 
registrados por dia, durante 
um mês, em uma seguradora
FA FR
100 £ 117 3 3 ____ 30 5 10%
117 £ 134 7 7 ____ 30 ù 23,3%
134 £ 151 9 9 ____ 30 5 30%
151 £ 168 7 7 ____ 30 ù 23,3%
168 £ 185 4 4 ____ 30 ù 13,3%
Dados fictícios.
Observação: a aproximação realizada para 23,3% e 13,3% gera um erro de 0,1%, 
pois, adicionando as frequências relativas, obtém-se 99,9%.
Segunda situação
A variável “altura” é quantitativa contínua e como os valores 
obtidos na pesquisa são muito diferentes, é recomendado que a 
tabela de frequências seja dividida em classes.
 ▪ Amplitude total: 1,89 2 1,5 5 0,39
Pelo critério da raiz, temos a sugestão do número de classes que 
devemos adotar para a construção da tabela: dXXX 25 5 5
Sendo 5 o número de classes, calculamos a amplitude de cada 
classe: 0,39 _______ 5 5 0,078 (consideramos o valor 0,08)
Assim, construímos a seguinte tabela de frequências.
Altura (m) de 25 
alunos de uma turma
FA FR
1,50 £ 1,58 4 4 ____ 25 5 16%
1,58 £ 1,66 7 7 ____ 25 5 28%
1,66 £ 1,74 5 5 ____ 25 5 20%
1,74 £ 1,82 6 6 ____ 25 5 24%
1,82 £ 1,90 3 3 ____ 25 5 12%
Dados fictícios.
Terceira situação
A variável “pontuação” é quantitativa discreta e como os valores 
obtidos na pesquisa são muito diferentes, é recomendado que a 
tabela de frequências seja dividida em classes.
 ▪ Amplitude total: 175 2 100 5 75
Pelo critério da raiz, temos a sugestão do número de classes que 
devemos adotar para a construção da tabela: dXXX 75 ù 8,66
Adotando 9 para o número de classes, calculamos a amplitude 
de cada classe: 75 ____ 9 ù 8,33 (consideramos o valor 9).
Assim, construímos a seguinte tabela de frequências.
Pontuação obtida por 
alguns alunos em uma 
prova com 200 questões
FA FR
100 £ 109 1 1 ____ 15 ù 6,7%
109 £ 118 0 0 ____ 15 5 0%
118 £ 127 1 1 ____ 15 ù 6,7%
127 £ 136 3 3 ____ 15 5 20%
136 £ 145 1 1 ____ 15 ù 6,7%
145 £ 154 2 2 ____ 15 ù 13,3%
2
 Respostas das atividades propostas no Livro do Aluno
SPM3_MP_RES_C01_002A007.indd 2 7/27/15 10:06 PM
Pontuação obtida por 
alguns alunos em uma 
prova com 200 questões
FA FR
154 £ 163 2 2 ____ 15 ù 13,3%
163 £ 172 4 4 ____ 15 ù 26,6%
172 £ 181 1 1 ____ 15 ù 6,7%
Dados fictícios.
5. Situação 1: A população em estudo são os alunos da escola. 
A amostra escolhida contém 60 desses alunos e foi usada para 
obter dados da variável quantitativa discreta “quantidade de 
televisores”.
Situação 2: A população em estudo são os correntistas do banco. 
A  amostra escolhida contém 1 000 desses correntistas e foi 
usada para obter dados da variável quantitativa contínua “saldo”.
Página 542 – Exercícios propostos
8. a) A variável “quantidade de filhos” é quantitativa discreta.
b) Quantidade de filhos FA FR
Nenhum 6 6 ____ 24 5 25%
1 8 8 ____ 24 ù 33,3%
2 7 7 ____ 24 ù 29,2%
3 3 3 ____ 24 ù 12,5%
Dados fictícios.
c) 
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
FA
Quantidade
de filhos
Nenhum 1 2 3
Quantidade de filhos dos moradores
de um condomínio
Dados fictícios.
d) Quantidade de filhos dos moradores
de um condomínio
Quantidade de filhos
1
2Nenhum
3
29,2%
25%
33,3%
12,5%
Dados fictícios.
O ângulo central de cada setor do gráfico pode ser obtido do 
seguinte cálculo: 3608 (ângulo central do círculo completo) 
multiplicado pela porcentagem que o setor vai representar. 
Por exemplo, para o setor referente a nenhum filho, temos: 
3608 ? 25% 5 908
9. a) 
Qualidade da água na região 
hidrográfica do rio São Francisco
FR
ótima 1%
boa 78%
aceitável 13%
ruim 7%
péssima 1%
Fonte de pesquisa: Caderno Recursos Hídricos. 
ANA (Agência Nacional de Águas), 2005.
b) 
ruim
péssima
aceitável
boa
ótima
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
Qualidade
da água
FR (%)
Qualidade da água na região hidrográfica 
do rio São Francisco
Fonte de pesquisa: Caderno Recursos Hídricos. 
ANA (Agência Nacional de Águas), 2005.
10. a) No total, 200 condôminos participaram da eleição. Com essa 
informação e os demais dados do enunciado, construímos a 
seguinte tabela de frequências.
Candidato FA FR
A 82 82 ______ 200 5 41%
B 64 64 ______ 200 5 32%
C 54 54 ______ 200 5 27%
Dados fictícios.
b) 
0
30
60
90
FA
CandidatoA CB
Eleição de condomínio para síndico
Dados fictícios.
c) 
Eleição de condomínio para síndico
B
C
A
Candidato
41%
32%
27%
Dados fictícios.
3
SPM3_MP_RES_C01_002A007.indd 3 7/27/15 10:06 PM
11. a) Pelo enunciado, conhecemos o valor total que a multinacional 
dispõe para investir (R$ 100 000 000,00). Pelo gráfico, 
conhecemos a maneira pela qual esse valor está distribuído.Por exemplo, para o capital investido no setor de alimentos, 
a frequência absoluta é obtida da seguinte maneira:
100 000 000 ? 5% 5 5 000 000
Assim, construímos a tabela de frequências abaixo:
Setor de Atuação FA FR
carros e peças R$ 40 000 000,00 40%
agropecuária R$ 30 000 000,00 30%
indústria farmacêutica R$ 15 000 000,00 15%
petroquímica R$ 10 000 000,00 10%
alimentos R$ 5 000 000,00 5%
Dados fictícios.
 
0
10
20
30
40
50
Valor investido
(milhões de R$)
Setor de
atuação
ali
me
nt
os
ag
ro
pe
cu
ár
ia
pe
tro
qu
ím
ica
ind
ús
tri
a
fa
rm
ac
êu
tic
a
ca
rro
s e
pe
ça
s
Distribuição do investimento
na Bolsa de Valores
Dados fictícios.
b) O valor investido em cada setor pode ser observado direta-
mente na tabela de frequências, e corresponde à frequência 
absoluta. Logo, serão investidos R$ 40 000 000,00 no setor 
de carros e peças.
c) O ângulo central correspondente ao investimento em cada 
setor é calculado dividindo-se um círculo em partes propor-
cionais às frequências relativas dos setores. Então, o ângulo 
central do setor de alimentos mede: 5% de 3608 5 188
d) Da tabela de frequência, temos os seguintes investimentos.
•	 Investimento em alimentos: R$ 5 000 000,00
•	 Investimento em agropecuária: R$ 30 000 000,00
Portanto, a multinacional investirá R$ 25 000 000,00 a mais 
no setor agropecuário do que no setor de alimentos.
12. a) Pelas informações do gráfico, é possível construir uma tabela 
de frequências. Para determinar a frequência absoluta de cada 
período, multiplicamos o total de internações (173 mil) pela 
frequência relativa do período. Por exemplo, para o período 
da madrugada (entre as 0 h e 6 h), temos: 173 ? 20% ù 35.
Portanto, ocorreram aproximadamente 35 mil internações 
nesse período.
Analogamente para os demais períodos, obtemos a seguinte 
tabela de frequências:
Período FA FR
madrugada 0h £ 6h 35 000 20%
manhã 6h £ 12h 87 000 50%
tarde e noite 12h £ 0h 52 000 30%
Fonte de pesquisa: Superinteressante, n. 263, São Paulo, 
Abril, mar. 2009.
b) 
 
Internações por período
ta
rd
e e
 no
ite
ma
nh
ã
ma
dr
ug
ad
a
25 000
50 000
75 000
100 000
0
Período
FA
 
Fonte de pesquisa: Superinteressante, n. 263, São Paulo, 
Abril, mar. 2009.
c) As medidas dos ângulos centrais podem ser obtidas dividindo 
um círculo em partes proporcionais às frequências relativas 
representadas por cada setor.
•	madrugada: 20% de 3608 5 728
•	manhã: 50% de 3608 5 1808
•	 tarde e noite: 30% de 3608 5 1088
manhã
tarde e noite
madrugada
Período
20%
50%
180º
72º
108º
30%
Internações por período
Fonte de pesquisa: Superinteressante, n. 263, São Paulo, 
Abril, mar. 2009.
13. a) 
50
0
100
150
200
250
300
450
350
400
P
re
ci
pi
ta
çã
o 
(m
m
)
Te
m
pe
ra
tu
ra
 m
éd
ia
 (
8C
)
J F M A M J J A S O N D
5
0
10
15
20
25
30
45
35
40
Climograma de Belém (PA)
precipitação
temperatura média
Fonte de pesquisa: <http://wmo.meteo.pt/cityForecast.
jsp?cityID=1061>. Acesso em: 7 nov. 2012.
b) Resposta possível: Apesar da pequena variação da tempera-
tura média em Belém durante o ano, é possível relacionar os 
meses em que o índice pluviométrico foi mais elevado com 
os meses em que a temperatura média foi um pouco menor. É 
possível afirmar também que o período verão/outono é mais 
úmido do que o período inverno/primavera.
4
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Página 544 – Exercícios propostos
14. a) A variável “altura” é quantitativa contínua.
b) No total, foram medidas 25 mesas.
Altura (m) FA FR
1,05 £ 1,06 4 4 ____ 25 5 16%
1,06 £ 1,07 9 9 ____ 25 5 36%
1,07 £ 1,08 6 6 ____ 25 5 24%
1,08 £ 1,09 5 5 ____ 25 5 20%
1,09 £ 1,10 1 1 ____ 25 5 4%
Dados fictícios.
c) 
16
36
24
20
4
FR (%)
Altura (m)1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10
Altura de modelo
de móvel
Dados fictícios.
15. 
 
10
30 28
32
12
8
FA
Aluguel (R$)200 400 600 800 1 000 1 200 1 400
Aluguéis de imóveis
comerciais
Dados fictícios.
a) A classe de aluguel mais frequente é de R$ 800,00 até 
R$ 1 000,00, pois corresponde à coluna mais alta no histo-
grama.
b) Pelo histograma é possível perceber que a maior parte dos 
aluguéis está entre R$ 400,00 e R$ 1 000,00. Valores meno-
res do que R$ 400,00 e maiores do que R$ 1 000,00 ocorrem 
com menor frequência.
16. a) A variável “idade dos ex-alunos no encontro” é quantitativa 
discreta.
b) 
Idade dos ex-alunos no 
encontro (anos)
FA FR
66 10 10 _____ 60 ù 17%
67 21 21 _____ 60 5 35%
68 15 15 _____ 60 5 25%
69 9 9 _____ 60 5 15%
70 5 5 _____ 60 ù 8%
Dados fictícios.
c) 
FA
Idade (ano)66 67 68 7069
10
21
15
5
9
Idade dos ex-alunos
no encontro
Dados fictícios.
17. a) Para construir o gráfico de setores, consideramos um círcu-
lo como o total dos valores de uma variável e o subdividimos 
em setores circulares cujas medidas dos ângulos centrais são 
proporcionais às frequências relativas desses valores.
Como a pesquisa foi realizada com 50 pessoas, temos a se-
guinte tabela:
Quantidade de garrafas de 
água de 500 mL consumidas
FA FR
Nenhuma 15 30%
1 10 20%
2 15 30%
3 8 16%
4 2 4%
Dados fictícios.
Consumo de garrafas
de água de 500 mL 
Quantidade
de garrafas de água
1
Nenhuma 42
3
30%
20%
30%
16%
4%
Dados fictícios.
b) 
FA 
Quantidade de
garrafas de água
Nenhuma 1 2 43
15
10
15
2
8
Consumo de garrafas
de água de 500 mL
Dados fictícios.
18. a) A variável “altura” é quantitativa contínua.
b) 
Altura (cm) FA FR
154 £ 157 2 2 ____ 20 5 10%
157 £ 160 2 2 ____ 20 5 10%
160 £ 163 3 3 ____ 20 5 15%
163 £ 166 6 6 ____ 20 5 30%
166 £ 169 5 5 ____ 20 5 25%
169 £ 172 2 2 ____ 20 5 10%
Dados fictícios.
5
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c) Altura dos alunos do 8o ano
FR (%)
Altura (cm)154 157 160 163 166 169
10 10
15
30
25
10
172
Dados fictícios.
19. a) A variável “quantidade de trabalhadores” é quantitativa 
contínua.
b) Foram avaliadas 358 empresas.
Quantidade de 
trabalhadores
FA FR
0 £ 100 60 60 ______ 358 5 16,75%
100 £ 200 75 75 ______ 358 5 21%
200 £ 300 80 80 ______ 358 5 22,5%
300 £ 400 42 42 ______ 358 5 11,75%
400 £ 500 56 56 ______ 358 5 15,5%
500 £ 600 45 45 ______ 358 5 12,5%
Dados fictícios.
c) 
FA
Quantidade de 
trabalhadores
100 200 300 400 500 600
60
75
80
42
56
45
Trabalhadores nas empresas 
associadas ao sindicato
0
Dados fictícios.
Página 545 – Exercício proposto
20. Oriente os alunos a escolherem campeonatos em andamentos ou 
edições anteriores, já encerradas. O gráfico obtido na planilha 
eletrônica depende das informações do campeonato escolhido.
a) Saldo de gols de um time é a diferença entre os gols feitos e 
os gols sofridos. Se o time fez mais gols do que sofreu, seu 
saldo é positivo; se o time sofreu mais gols do que fez, seu 
saldo é negativo.
b) A média de gols de cada time por partida é obtida dividindo-
-se a quantidade de gols em todas as partidas pela quantida-
de de partidas disputadas. 
c) A porcentagem do total de pontos disputados é a razão entre 
a quantidade de pontos obtidos nas partidas e a quantidade 
total de pontos disputados. 
 Esse cálculo permite acompanhar o rendimento de cada time 
ao longo de um campeonato ou comparar esse rendimento com 
o rendimento em campeonatos disputados anteriormente.
d) A resposta depende das informações do campeonato escolhi-
do. A previsão da quantidade de jogos a serem disputados no 
campeonato é obtida por raciocínio combinatório, de acordo 
com as regras do campeonato. Converse com os alunos sobre 
como essa ideia se relaciona ao calendário de partidas ao lon-
go do ano, de modo que as federações de futebol possam fazer 
um planejamento de partidas possíveis de serem realizadas 
em um período fixo de tempo, previsto com antecedência. 
 A discussão dessas ideias permite aos alunos compreender como 
um estudo matemático pode estar relacionado ao campo da 
administração e da logística, por exemplo. Alémdisso, pode-se 
aproveitar essas ideias em situações semelhantes, planejando, 
por exemplo, um campeonato esportivo na escola, prevendo a 
quantidade de partidas e as datas em que serão realizadas.
Página 546 – Exercícios complementares
21. a) O mês de menor venda é fevereiro.
b) De acordo com o gráfico, sabemos que o mês de maior venda 
é abril, com 4 175 caixas vendidas, e o de menor venda é fe-
vereiro, com 2 890 caixas vendidas. 
Podemos calcular a porcentagem de caixas estocadas pelo 
quociente entre a quantidade de caixas que não foram vendi-
das em um mês e o total de caixas, que é 5 000.
Porcentagem estocada em abril: 
(5 000 2 4 175)
 ______________________ 5 000 5 16,5%
Porcentagem estocada em fevereiro: 
(5 000 2 2 890)
 _______________________ 5 000 5 42,2%
c) Porcentagem estocada em junho: 
(5 000 2 3 550)
 ______________________ 5 000 5 29%
Porcentagem vendida em junho: 3 550 _________ 5 000 5 71%
Caixas no mês de junho
29%
71%
vendida
estocada
Quantidade
de caixas
Dados fictícios.
22. a) De acordo com o gráfico, vemos que, caso nenhuma medida 
seja adotada, em 2030 o consumo de petróleo será de apro-
ximadamente 30 milhões de barris por dia, ao passo que, se 
a eficiência do usuário final for aumentada, esse valor será re-
duzido para aproximadamente 20 milhões de barris por dia. 
Portanto, se tal medida for adotada, a redução será de aproxi-
madamente 10 milhões de barris de petróleo por dia.
b) Caso não seja adotada nenhuma medida, em 2020 a impor-
tação de petróleo será de aproximadamente 26 milhões de 
barris por dia, ao passo que, se ocorrer a substituição do 
petróleo por biocombustíveis, esse valor será reduzido para 
aproximadamente 5 milhões de barris por dia. 
23. 
6
9
13
8
4
FA
Comprimento (m)29,8 29,9 30,0 30,1 30,2 30,3
Comprimento de amostras de
rolos de papel higiênico
Dados fictícios.
24. Para obter a frequência relativa referente a cada modelo é 
necessário utilizar as medidas dos ângulos internos de cada 
setor do gráfico. 
Determinamos a medida do ângulo interno do setor referente ao 
modelo C:
3608 2 (1268 1 1448) 5 3608 2 2708 5 908
6
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Assim, obtemos a seguinte tabela de frequência:
Modelo de televisor FR
A 126° _______ 360° 5 35%
B 144° _______ 360° 5 40%
C 90° _______ 360° 5 25%
 Dados fictícios.
0
10
20
30
40
50
FR (%)
Modelo de
televisor
A CB
Venda de televisor
Dados fictícios.
25. a) A proporção de meninas em relação ao total de alunos do 
colégio é: 560 ________ 1 000 5 56%
Portanto, para manter a proporção de meninas na amostra, 
determinamos quantos alunos representam 56% da amostra:
150 ? 56% 5 84
Portanto, devemos ter 84 meninas na amostra para que a 
proporção em relação à população total se mantenha.
b) 
Distribuição dos alunos
 no colégio
meninas
meninos
56%44%
Dados fictícios.
Se houver a possibilidade de gerar o gráfico em uma planilha 
eletrônica, os alunos devem, inicialmente, representar uma 
tabela com os dados, como indicado a seguir.
Depois, gera-se o gráfico:
c) Resposta pessoal. Converse com os alunos sobre qual é o tama-
nho da amostra que eles consideram adequado. Uma amostra 
pequena em relação à população pode não ser suficiente para 
representar essa população. Já amostras muito grandes não são 
vantajosas pelo trabalho em obter os dados e analisá-los.
26. a) Os jovens que praticam, em média, mais de uma hora diária 
de atividades esportivas estão representados no histograma 
pelas classes superiores a 60 minutos:
150 1 115 1 50 5 315
Logo, 315 jovens praticam mais de uma hora diária de ativi-
dades esportivas.
b) Calculamos a frequência relativa pelo quociente entre a fre-
quência absoluta em cada classe e o total de jovens da amos-
tra. O total de jovens da amostra é 980. Então:
25,5
19,4
23
15,4
11,7
5
FR (%)
Tempo diário
(min)
20 40 60 80 100 120
Prática de esportes
27. Alternativa a
Verificando a quantidade total de bactérias, por dia da sema-
na, temos:
 ▪ Segunda-feira: 1 250 1 350 5 1 600
 ▪ Terça-feira: 1 100 1 800 5 1 900
 ▪ Quarta-feira: 1 450 1 300 5 1 750
 ▪ Quinta: 850 1 650
 ▪ Sexta-feira: 1 400 1 300 5 1 700
 ▪ Sábado: 1 000 1 290 5 1 290
 ▪ Domingo: 1 350 1 0 5 1 350
Logo, a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura 
foi máxima na terça-feira.
28. Alternativa c
Dos países com nota abaixo da média (Rússia, Portugal, México, 
Itália e Israel), Israel é o que apresenta a maior quantidade de 
horas de estudo.
29. Alternativa c
Observando o gráfico, o centro que apresenta o maior cresci-
mento é Guarulhos, com 60,52%; o que apresenta o menor cres-
cimento é São Paulo (capital), com 3,57%. A diferença entre os 
percentuais é de 60,52% 2 3,57% 5 56,95%.
Fa
c-
sí
m
ile
/O
pe
nO
ff
ic
e/
Th
e 
A
pa
ch
e 
S
of
tw
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Fo
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da
tio
n
7
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8
   Capítulo 24 – Medidas de posição 
e de dispersão
Página 548 – Para começar
1. A média de público nas 4 sessões é o quociente entre a soma dos 
ingressos vendidos nas 4 sessões e o número de sessões:
 590 1 755 1 810 1 613 __________________________________ 4 5 
2 768 ________ 4 5 692
Portanto, a média de público nas 4 sessões é 692 pessoas. 
2. Considerando um número n de sessões e o número a k de ingres-
sos vendidos em cada sessão k, k < n, k [ N * , para determinar 
a média de público calculamos o quociente entre a soma dos in-
gressos vendidos em cada sessão e n, ou seja:
 
 a 1 1 a 2 1 ... 1 a n _______________________ n 
3. Na primeira sessão havia 590 pessoas, que corresponde a 59% 
da ocupação das poltronas disponíveis na sala, ou seja, a 0,59. 
Assim, por uma regra de três calculamos o número de poltronas 
disponíveis, que corresponde a 100%, ou seja, a 1:
Número 
de poltronas
Porcentagem 
de ocupação
590 > 0,59
x > 1
x 5 1 ? 590 __________ 0,59 5 1 000
Logo, a sala de cinema tem 1 000 poltronas.
4. Resposta pessoal.
Exemplo de resposta: Após a coleta dos dados, estes podem ser 
organizados da seguinte maneira:
Número de 
colegas
Número de 
colegas que 
foram ao cinema 
no último mês
Porcentagem de 
colegas que foram 
ao cinema no 
último mês
40 12 30%
Os gêneros preferidos também podem ser organizados em uma 
tabela:
Gênero Frequência absoluta (FA)
Ação 3
Aventura 6
Comédia 10
Drama 10
Ficção científica 3
Policial 1
Romance 3
Suspense 2
Terror 2
Página 549 – Para refletir
A média pode fornecer um número discrepante em relação aos 
valores observados da variável, quando estes são muito dife-
rentes entre si. Por exemplo, podemos imaginar uma família 
com cinco pessoas: o pai tem 50 anos; a mãe, 41 anos; a filha 
mais velha tem 7 anos; e os dois filhos mais novos, gêmeos, têm 
2 anos. Calculamos a média dessas idades:
 50 1 41 1 7 1 2 1 2 _____________________________ 5 5 
102 ______ 5 5 20,4
Logo, a média das idade dessa família é aproximadamente 
20 anos, o que é um valor discrepante para as idades dadas.
Página 549 – Cálculo mental
 45 1 39 1 48 ____________________ 3 5 
132 _____ 3 5 44
Página 551 – Exercícios propostos
1. Calculamos a média aritmética do número de habitantes no mu-
nicípio em relação ao número de postos de saúde:
 
__
 x 5 40 200 ___________ 3 5 13 400
Logo, há em média 13 400 habitantes para cada posto de saúde.
2. 
__
 x p 5 
4 ? 15 1 18 ? 16 1 12 ? 17 1 6 ? 18 _______________________________________________ 4 1 18 1 12 1 6 5 
660 ______ 40 5 16,5
Logo, a média das idades desses alunos é 16,5 anos.
3. Como a quantidade de alunos do sexo masculino representa 
47% da quantidade total de alunos da escola, a quantidade de 
alunos do sexo feminino representa 53% desse total. 
Podemos organizar esses dados em uma tabela de frequências, 
em que q representa a quantidade total de alunos da escola.
Sexo FR FA
masculino 0,47 0,47q
feminino 0,53 0,53q
Assim, a média das idades dos alunos é:
 
__x 5 
0,47q ? 16 1 0,53q ? 17
 ________________________________ q 5 
7,52q 1 9,01q
 ____________________ q 5 
16,53q
 __________ q 5 16,53
Logo, a média das idades dos alunos dessa escola é 16,53 anos.
4. 
__
 x p 5 
4 ? 4 1 3 ? 3 1 5 ? 2 1 1 ? 1 _____________________________________ 13 5 
16 1 9 1 10 1 1 ________________________ 13 5 
5 36 ____ 13 ù 2,8
Portanto, a média das quantidades de filhos dessas amigas é 
aproximadamente 2,8 filhos.
5. As informações do enunciado podem ser disposta em uma tabe-
la de frequências.
Média de altura (m) FA
1,75 8
1,65 12
Assim:
 
__
 x p 5 
8 ? 1,75 1 12 ? 1,65 __________________________ 20 5 1,69
Portanto, a média das alturas dessas pessoas é 1,69 m.
6. Com a informação da média aritmética e a quantidade de núme-
ros, calculamos a soma S desses números.
25,5 5 S _____ 60 ä S 5 1 530
Ao adicionar o número 125, obtemos uma nova média para os 
61 números:
 
__
 x 5 1 530 1 125 _________________ 61 ù 27,1
Portanto, a nova média aritmética é aproximadamente 27,1.
7. Calculamos a média geométrica dos números 2, k e 8:
 
__
 x g 5 
3
 dXXXXXXX 2 ? k ? 8 5 3 dXXXXX 24 ? k 
Para a média geométrica ser um valor inteiro, 24 ? k deve ser da 
forma 2 3q , q [ N, ou seja, k deve ser da forma 2 3q 2 4 .
Por exemplo:
 ▪ Para q 5 1, temos:
k 5 2 3 ? 1 2 4 5 2 21 5 1 __ 2 
 
__
 x g 5 
3
 dXXXXX 24 ? 1 __ 2 5 
3
 dXXX 2 3 5 2
 ▪ Para q 5 2, temos:
k 5 2 3 ? 2 2 4 5 2 2 5 4
 
__
 x g 5 
3
 dXXXXX 24 ? 4 5 3 dXXX 2 6 5 4
SPM3_MP_RES_C02_008A015.indd 8 7/28/15 2:38 PM
9
8. Para determinarmos a velocidade média do veículo no trajeto, calculamos a média harmônica das velocidades:
 
__
 x h 5 
2 ________________ 
 1 ______ 100 1 
1 ____ 80 
 ù 88,9
Portanto, a velocidade média no trajeto de ida e volta foi aproximadamente 88,9 km/h.
9. Se a média aritmética dos 15 alunos é 1,45 m, então a soma das alturas desses alunos é 15 ? 1,45 m 5 21,75 m. Analogamente, se a média 
aritmética dos 7 novos alunos é 1,50 m, então a soma das alturas desses alunos é 7 ? 1,50 m 5 10,5 m. Assim, a média aritmética das al-
turas é a soma dessas alturas dividido pela quantidade total de alunos: 
__
 x 5 21,75 1 10,5 __________________ 15 1 7 ù 1,47
Logo, a média das alturas dos 22 alunos é aproximadamente 1,47 m.
Página 552 – Ação e cidadania
O texto e as atividades são oportunos para trabalhar com toda a turma, proporcionando um momento de reflexão e interação entre os alu-
nos. Durante a leitura verifique se eles sabem que “latente”, segundo o dicionário Houaiss, significa “encoberto, mas pronto para se mani-
festar”. Para um trabalho envolvendo ação e cidadania é importante ampliar o tema apresentado, comentando que também pode ser consi-
derada de uma cultura diferente uma pessoa vinda de outro país, com dificuldade para falar e entender o português, que tenha um biótipo 
(resumidamente, tipo físico) característico de sua região de origem, ou uma culinária diferente. Portanto, a primeira questão apresentada 
se refere também a novos alunos que possam chegar de outros países e mesmo de regiões brasileiras cujo sotaque, culinária e estilo de 
vida se diferenciam dos praticados pela maioria dos alunos da sua escola.
As orientações a seguir se referem à possibilidade de os alunos não terem passado pela experiência de receberem colegas de culturas di-
ferentes da que prevalece na escola. Logicamente, se esse evento está ocorrendo ou já ocorreu, a abordagem deve ser adaptada, por exem-
plo, com a retomada de uma situação que possa estar causando ou ter causado problema ou algum constrangimento ao novo colega. Nesse 
caso, o cuidado deve ser posto em prática desde o início da leitura do texto.
 ▪ Resposta pessoal. A empatia (segundo o dicionário Houaiss, “capacidade de se identificar com outra pessoa, de sentir o que ela sente, 
de querer o que ela quer, de apreender do modo como ela apreende, etc.”) talvez seja a maneira que mais aproxima uma pessoa de si-
tuações vividas pelo próximo. Estimule sempre os alunos a praticarem sua capacidade de identificação, um procedimento que ajuda a 
desenvolver o sentimento de solidariedade. Nos casos de inclusão, a empatia é sempre um recurso valioso a ser trabalhado. 
 ▪ A moda do grupo é a etnia que tem mais pessoas; no caso, é a etnia C, com 15 pessoas.
 ▪ Escrevemos as idades em ordem crescente: 9, 16, 23, 31, 40, 46 e 67.
Logo, a mediana dessas idade é 31.
Página 553 – Exercícios propostos
11. a) 2 1 6 1 8 1 9 1 7 1 3 5 35
Portanto, a turma tem 35 alunos.
b) A média é, em minuto: 2 ? 20 1 6 ? 25 1 8 ? 30 1 9 ? 35 1 7 ? 40 1 3 ? 45 _____________________________________________________________________ 35 ù 33
A moda é o valor que aparece com mais frequência, ou seja, pelo gráfico, a moda é 35 minutos.
A mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados, ou seja, ao 18o valor que, pelo gráfico, é 35 minutos.
12. Os dados sobre as vendas de queijo podem ser dispostos em uma tabela de frequências.
Unidades 
vendidas
11 12 15 18 21 22 25 27 28 31 32 36
FA 1 1 4 1 1 4 4 5 3 2 3 1
a) Calculamos o total de queijos vendidos pelo supermercado em 30 dias:
1 ? 11 1 1 ? 12 1 4 ? 15 1 1 ? 18 1 1 ? 21 1 4 ? 22 1 4 ? 25 1 5 ? 27 1 3 ? 28 1 2 ? 31 1 3 ? 32 1 1 ? 36 5 
5 11 1 12 1 60 1 18 1 21 1 88 1 100 1 135 1 84 1 62 1 96 1 36 5 723
Então, calculamos a média: 
__
 x 5 723 ______ 30 5 24,1
Portanto, foram vendidos em média 24,1 unidades de queijo por dia.
b) Como há uma quantidade par de valores, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais, ou seja, a média entre os valores 
ordenados que ocupam as posições 15 e 16. Assim: Me 5 25 1 25 ___________ 2 5 25
Portanto, a mediana é 25 unidades de queijo.
c) A quantidade 27 é a mais frequente, portanto, a moda é 27 unidades de queijo vendidas em um mês.
13. a) Temos que 36 pacientes ficaram internados nesse hospital (2 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1 6 1 11 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 5 36). 
Calculamos o número total de dias que esses pacientes ficaram internados:
2 ? 1 1 3 ? 2 1 3 ? 3 1 3 ? 4 1 1 ? 5 1 2 ? 6 1 6 ? 7 1 1 ? 8 1 3 ? 9 1 2 ? 10 1 2 ? 11 1 2 ? 12 1 1 ? 13 1 2 ? 14 1 2 ? 15 1 1 ? 16 5 
5 2 1 6 1 9 1 12 1 5 1 12 1 42 1 8 1 27 1 20 1 22 1 24 1 13 1 28 1 30 1 16 5 276
Então, calculamos a média: 
__
 x g 5 
276 ______ 36 ù 7,7
Portanto, o tempo médio de internação dos pacientes nesse hospital é aproximadamente 7,7 dias.
b) Como temos uma quantidade par de valores, a mediana é a média aritmética dos valores centrais, ou seja, a média entre os valores 
ordenados que ocupam as posições 18 e 19:
Me 5 7 1 7 ________ 2 5 7
Portanto, a mediana para o tempo de internação é 7 dias, indicando que metade dos pacientes ficou internada no máximo 7 dias e a 
outra metade ficou internada no mínimo 7 dias.
c) A moda do número de dias de internação é o valor que aparece com maior frequência. Portanto: Mo 5 7 dias
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10
14. a) A média é dada por: 
 
22013 1 25994 1 16744 1 16158 1 16041 1 15807 1 13817 1 16861 1 11943 1 10655 1 12880 1 12411 1 9601 1 9835)
 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 15 5 
5 231953 ___________ 15 > 15463,53 µg/m
3
b) Como são 15 valores de concentração, a mediana é dada pelo valor que ocupa a 8ª posição: 13 817 µg/m3.
c) Refazendo os cálculos com o dado de 2010, temos:
Média aritmética: 231953 1 9835 ______________________ 16 5 15111,75 µg/
3
Mediana: Como são 16 valores, a mediana será dada pela média aritmética dos valores que ocupam a 8ª e 9ª posição: 
 13817 1 16861 _____________________ 2 5 15339 µg/m
3
15. Alternativa a
Média do candidato I: 4 ? 20 1 6 ? 23 _____________________ 10 5 21,8
Média do candidato III: 4 ? 21 1 6 ? 18 ____________________10 5 19,2
A média do candidato II: deve ser maior que 21,8. Então, temos:
 4 ? X 1 6 ? 25 ___________________ 10 . 21,8
4X . 218 – 150
X . 17
Então, ele deverá acertar, no mínimo, 18 questões.
16. Alternativa d
De acordo com o gráfico, temos:
 ▪ A mediana das idades das mães das crianças nascidas em 2009 pertence ao intervalo de 25 a 29 anos pois: 
0,8% 1 18,2% 1 28,3% , 50% e 0,8% 1 18,2% 1 28,3% 1 25,2 . 50% . Assim, não necessariamente deve ser maior que 27 anos e 
não é menor que 23 anos, anulando as alternativas a e b.
 ▪ A mediana das idades das mães das crianças nascidas em 1999 pertence ao intervalo de 20 a 25 anos, pois 0,7% 1 20,8% , 50% e 
0,7% 1 20,8% 1 30,8% . 50%. Assim, a mediana não é maior que 25 anos, anulando a alternativa c.
 ▪ Para calcular a média da idade das mães, vamos elaborar o quadro a seguir:
Porcentagens
Faixa etária Ponto Médio 1999 2004 2009
15 a 20 17,5 20,8 19,9 18,2
20 a 25 22,5 30,8 30,7 28,3
25 a 30 27,5 23,3 23,7 25,2
30 a 35 32,5 14,4 14,8 16,8
35 a 40 37,5 6,7 7,3 8
Total 96 96,4 96,5
2004:   17,5 ? 19,9 1 22,5 ? 30,7 1 27,5 ? 23,7 1 32,5 ? 14,8 1 37,5 ? 7,3 ________________________________________________________________________________ 96,4 5 
2445,5 __________ 96,4 ù 25,37 anos.
1999:  17,5 ? 20,8 1 22,5 ? 30,8 1 27,5 ? 23,3 1 32,5 ? 14,4 1 37,5 ? 6,7 _________________________________________________________________________________ 96 5 
2417 _______ 96 ù 25,18 anos, anulando a alternativa e.
Página 557 – Exercícios propostos
19. a) Para calcular as medidas de dispersão citadas, determinamos inicialmente a média aritmética dos valores dados.
 
__
 x 5 12 1 14 1 15 1 22 1 32 __________________________________ 5 5 19
Assim:
õ2 5 (12 2 19)
2 1 (14 2 19)2 1 (15 2 19)2 1 (22 2 19)2 1 (32 2 19)2
 _______________________________________________________________________________________ 5 5 
(27)2 1 (25)2 1 (24)2 1 32 1 132
 _______________________________________________ 5 5 
5 49 1 25 1 16 1 9 1 169 ___________________________________ 5 5 53,6
õ 5 dXXXX 53,6 ù 7,32
Portanto, a variância dos valores dados é 53,6 e o desvio padrão é aproximadamente 7,32.
b) Para calcular as medidas de dispersão citadas, determinamos inicialmente a média aritmética dos valores dados.
 
__
 x 5 14 1 18 1 25 1 30 1 21 __________________________________ 5 5 21,6
SPM3_MP_RES_C02_008A015.indd 10 7/28/15 2:38 PM
11
Assim:
õ2 5 (14 2 21,6)
2 1 (18 2 21,6)2 1 (25 2 21,6)2 1 (30 2 21,6)2 1 (21 2 21,6)2
 ___________________________________________________________________________________________________ 5 5 
(27,6)2 1 (23,6)2 1 3,42 1 8,42 1 (20,6)2
 ___________________________________________________________ 5 5 
5 57,76 1 12,96 1 11,56 1 70,56 1 0,36 ______________________________________________________ 5 5 30,64
õ 5 dXXXXXX 30,64 ù 5,54
Portanto, a variância dos valores dados é 30,64 e o desvio padrão é aproximadamente 5,54.
c) Para calcular as medidas de dispersão citadas, determinamos inicialmente a média aritmética dos valores dados.
 
__
 x 5 8 1 5 1 14 1 22 1 16 _______________________________ 5 5 13
Assim:
õ2 5 (8 2 13)
2 1 (5 2 13)2 1 (14 2 13)2 1 (22 2 13)2 1 (16 2 13)2
 ___________________________________________________________________________________ 5 5 
(25)2 1 (28)2 1 12 1 92 1 32
 _________________________________________ 5 5 
25 1 64 1 1 1 81 1 9 _______________________________ 5 5 36
õ 5 dXXX 36 5 6
Portanto, a variância dos valores dados é 36 e o desvio padrão é 6.
d) Para calcular as medidas de dispersão citadas, determinamos inicialmente a média aritmética dos valores dados.
 
__
 x 5 9 1 12 1 16 1 20 1 24 _________________________________ 5 5 16,2
Assim:
õ2 5 (9 2 16,2)
2 1 (12 2 16,2)2 1 (16 2 16,2)2 1 (20 2 16,2)2 1 (24 2 16,2)2
 __________________________________________________________________________________________________ 5 5 
(27,2)2 1 (24,2)2 1 (20,2)2 1 3,82 1 7,82
 __________________________________________________________ 5 5 
5 51,84 1 17,64 1 0,04 1 14,44 1 60,84 _______________________________________________________ 5 5 28,96
õ 5 dXXXXXX 28,96 ù 5,38
Portanto, a variância dos valores dados é 28,96 e o desvio padrão é aproximadamente 5,38.
20. Para calcular as medidas de dispersão citadas, determinamos inicialmente a média aritmética dos valores dados. Depois, calculamos a 
variância e o desvio padrão.
 ▪ Grupo 1: 
___
 x1 5 
18 1 12 1 16 1 41 1 52 1 32 1 17 1 15 1 16 1 18 1 32 1 62 ______________________________________________________________________________________ 12 5 
331 _____ 12 ù 27,6
 ( õ1 ) 2 5 [(18 2 27,6)2 1 (12 2 27,6)2 1 (16 2 27,6)2 1 (41 2 27,6)2 1 (52 2 27,6)2 1 (32 2 27,6)2 1 (17 2 27,6)2 1 
1 (15 2 27,6)2 1 (16 2 27,6)2 1 (18 2 27,6)2 1 (32 2 27,6)2 1 (62 2 27,6)2] : 12 ù 
ù [(29,6)2 1 (215,6)2 1 (211,6)2 1 13,42 1 24,42 1 4,42 1 (210,6)2 1 (212,6)2 1 (211,6)2 1 (29,6)2 1 4,412 1 34,42] : 12 5 
5 [92,16 1 243,36 1 134,56 1 179,56 1 595,36 1 19,36 1 112,36 1 158,76 1 134,56 1 92,16 1 19,36 1 1 183,36] : 12 ù 
ù 247,08
õ1 5 dXXXXXXX 247,08 ù 15,72
 ▪ Grupo 2: 
___
 x2 5 
11 1 12 1 10 1 12 1 15 1 51 1 22 1 24 1 25 1 28 1 14 1 32 ______________________________________________________________________________________ 12 5 
256 ______ 12 ù 21,3
 ( õ2 ) 2 5 [(11 2 21,3)2 1 (12 2 21,3)2 1 (10 2 21,3)2 1 (12 2 21,3)2 1 (15 2 21,3)2 1 (51 2 21,3)2 1 (22 2 21,3)2 1 
1 (24 2 21,3)2 1 (25 2 21,3)2 1 (28 2 21,3)2 1 (14 2 21,3)2 1 (32 2 21,3)2] : 12 ù 
ù [(210,3)2 1 (29,3)2 1 (211,3)2 1 (29,3)2 1 (26,3)2 1 29,62 1 0,62 1 2,62 1 3,62 1 6,62 1 (27,3)2 1 10,62] : 12 5 
5 [106,09 1 86,49 1 127,69 1 86,49 1 39,69 1 876,16 1 0,36 1 6,76 1 12,96 1 43,56 1 53,29 1 112,36] : 12 ù 
ù 129,33
õ2 5 dXXXXXXX 129,33 ù 11,37
Analisando as informações acima, é possível perceber que: a média dos valores do grupo 1 é maior do que a média dos valores do grupo 2; 
a variabilidade dos valores do grupo 1 também é maior do que a do grupo 2, ou seja, o grupo 1 apresenta valores mais afastados da mé-
dia do que o grupo 2.
21. a) Calculamos a média de lucro no primeiro semestre: 
___
 x1 5 
2,5 1 4,5 1 1,2 1 3,5 1 0,4 1 6,3 _______________________________________________ 6 5 
18,4 _______ 6 ù 3,07
Calculamos a média de lucro no segundo semestre: 
___
 x2 5 
6,2 1 6,5 1 5,4 1 0,3 1 0,1 1 0,3 ________________________________________________ 6 5 
18,8 _______ 6 ù 3,13
Portanto, a empresa obteve maior lucro médio no segundo semestre.
b) Para avaliar a regularidade do lucro da empresa, analisamos como os resultados mensais se distribuem ao redor das médias semestrais, 
ou seja, calculamos a variância e o desvio padrão dos valores.
 ▪ Primeiro semestre: ( õ1 ) 2 5 
(2,5 2 3,07)2 1 (4,5 2 3,07)2 1 (1,2 2 3,07)2 1 (3,5 2 3,07)2 1 (0,4 2 3,07)2 1 (6,3 2 3,07)2
 ________________________________________________________________________________________________________________________________ 6 ù 
ù (20,57)
2 1 1,432 1 1,872 1 0,432 1 (22,66)2 1 3,232
 _________________________________________________________________________ 6 ù 
0,32 1 2,04 1 3,50 1 0,18 1 7,08 1 10,43 ____________________________________________________________ 6 ù 3,93
õ1 5 dXXXXX 3,94 ù 1,98
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12
 ▪ Segundo semestre: ( õ1 ) 2 5 
(6,2 2 3,13)2 1 (6,5 2 3,13)2 1 (5,4 2 3,13)2 1 (0,3 2 3,13)2 1 (0,1 2 3,13)2 1 (0,3 2 3,13)2
 _____________________________________________________________________________________________________________________________ 6 ù 
ù 3,06
2 1 3,362 1 2,262 1 (22,83)2 1 (23,03)2 1 (22,83)2
 ______________________________________________________________________________ 6 ù 
9,36 1 11,29 1 5,11 1 8,01 1 9,18 1 8,01 ___________________________________________________________6 ù 8,49
õ2 5 dXXXXX 8,49 ù 2,91
Resposta possível: Os lucros mensais foram irregulares nos dois semestres, variando mais no segundo semestre – período em que teve 
valores maiores nos três primeiros meses e valores menores nos três últimos meses. Já no primeiro semestre, os valores foram mais 
inconstantes, pois aumentaram e diminuíram a cada mês; porém, oscilando entre valores mais próximos da média de lucro semestral.
22. Para avaliar a regularidade dos pilotos, calculamos os pontos que cada piloto obteve em cada corrida do campeonato pela diferença entre 
o saldo de pontos conquistados na corrida e o saldo de pontos da corrida anterior.
Corrida
Piloto
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a
Fernando Alonso 10 25 2 6 18 15 10 25 18 25 10 0 15 15 0 15 18 18 15 18
Sebastian Vettel 18 0 10 25 8 12 12 0 15 10 12 18 0 25 25 25 25 15 18 8
Então, calculamos a variância e o desvio padrão dos pontos obtidos no campeonato. 
 ▪ Fernando Alonso
 
___
 x 1 5 
10 1 25 1 2 1 6 1 18 1 15 1 10 1 25 1 18 1 25 1 10 1 0 1 15 1 15 1 0 1 15 1 18 1 18 1 15 1 18 _____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 20 5 
278 ______ 20 5 13,9
 ( õ1 ) 2 5 [(23,9)2 1 11,12 1 (211,9)2 1 (27,9)2 1 4,12 1 1,12 1 (23,9)2 1 11,12 1 4,12 1 11,12 1 (23,9)2 1 (213,9)2 1 1,12 1 1,12 1 (213,9)2 1 
1 1,12 1 4,12 1 4,12 1 1,12 1 4,12] : 20 5 [15,21 1 123,21 1 141,61 1 62,41 1 16,81 1 1,21 1 15,21 1 123,21 1 16,81 1 123,21 1 
1 15,21 1 193,21 1 1,21 1 1,21 1 193,21 1 1,21 1 16,81 1 16,81 1 1,21 1 16,81] : 20 5 1 095,8 : 20 5 54,79
 õ 1 5 dXXXXX 57,79 ù 7,40
Portanto, a variância dos pontos obtidos por Fernando Alonso em cada corrida é 54,79 e o desvio padrão é aproximadamente 7,40.
 ▪ Sebastian Vettel
 
___
 x 2 5 
18 1 0 1 10 1 25 1 8 1 12 1 12 1 0 1 15 1 10 1 12 1 18 1 0 1 25 1 25 1 25 1 25 1 15 1 18 1 8 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 20 5 
281 ______ 20 5 14,05
 ( õ2 ) 2 5 [4,12 1 (213,9)2 1 (23,9)2 1 11,12 1 (25,9)2 1 (21,9)2 1 (21,9)2 1 (213,9)2 1 1,12 1 (23,9)2 1 (21,9)2 1 4,12 1 (213,9)2 1 
1 11,12 1 11,12 1 11,12 1 11,12 1 1,1 2 1 4,12 1 (25,9)2] : 20 5 [16,81 1 193,21 1 15,21 1 123,21 1 34,81 1 3,61 1 3,61 1 193,21 1 
1 1,21 1 15,21 1 3,61 1 16,81 1 193,21 1 123,21 1 123,21 1 123,21 1 123,21 1 1,21 1 16,81 1 34,81] : 20 5 1 359,4 : 20 5 
5 67,97
 õ 2 5 dXXXXXX 67,97 ù 8,24
Portanto, a variância dos pontos obtidos por Sebastian Vettel é 67,97 e o desvio padrão é aproximadamente 8,24.
Como o desvio padrão dos pontos obtidos por Fernando Alonso é menor do que o desvio padrão dos pontos obtidos por Sebastian Vettel, 
temos que Fernando Alonso apresentou desempenho mais regular durante o campeonato, embora Sebastian Vettel o tenha vencido.
23. a) Calculamos os valores pedidos para cada grupo.
 ▪ Grupo 1
 
___
 x1 5 
4 1 8 1 6 1 7 1 10 ____________________________ 5 5 7
Como nenhum valor se repete, não existe moda.
Obtemos a mediana ordenando os 5 números: 4, 6, 7, 8, 10. Assim, a mediana é o valor que ocupa a 3a posição: Me 5 7
 ( õ1 ) 2 5 
(23)2 1 12 1 (21)2 1 02 1 32
 ________________________________________ 5 5 
9 1 1 1 1 1 0 1 9 __________________________ 5 5 4
õ1 5 dXX 4 5 2
Portanto, o grupo 1 tem média 7, não tem moda, tem mediana 7, variância 4 e desvio padrão 2.
 ▪ Grupo 2
 
___
 x2 5 
15 1 18 1 20 1 17 1 16 __________________________________ 5 5 17,2
Como nenhum valor se repete, não existe moda.
Obtemos a mediana ordenando os 5 números: 15, 16, 17, 18, 20. Assim, a mediana é o valor que ocupa a 3a posição: Me 5 17
 ( õ2 ) 2 5 
(22,2)2 1 0,82 1 2,82 1 (20,2)2 1 (21,2)2
 __________________________________________________________ 5 5 
4,84 1 0,64 1 7,84 1 0,04 1 1,44 _________________________________________________ 5 5 2,96
õ2 5 dXXXXX 2,96 ù 1,72
Portanto, o grupo 2 tem média de aproximadamente 17,2; não tem moda, tem mediana 17, variância 2,96 e desvio padrão aproxima-
do de 1,72.
b) O grupo 2 é mais homogêneo, pois seus valores têm menor desvio padrão.
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13
24. A homogeneidade da idade dos times pode ser avaliada pelas medidas de dispersão das idades dos jogadores de cada time.
 ▪ Time de basquete
 
___
 x1 5 
4 ? 17 1 3 ? 18 1 5 ? 19 1 6 ? 20 1 2 ? 21 1 5 ? 22 1 4 ? 23 1 3 ? 24 1 4 ? 25 1 2 ? 26 1 2 ? 27 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 4 1 3 1 5 1 6 1 2 1 5 1 4 1 3 1 4 1 2 1 2 5 
5 68 1 54 1 95 1 120 1 42 1 110 1 92 1 72 1 100 1 52 1 54 ______________________________________________________________________________________ 40 5 21,475
 ( õ1 ) 2 5 [4 ? (24,475)2 1 3 ? (23,475)2 1 5 ? (22,475)2 1 6 ? (21,475)2 1 2 ? (20,475)2 1 5 ? 0,5252 1 4 ? 1,5252 1 3 ? 2,5252 1 4 ? 3,5252 1 
1 2 ? 4,5252 1 2 ? 5,5252] : 20 ù [80,104 1 36,228 1 30,63 1 13,056 1 0,452 1 1,38 1 9,304 1 19,128 1 49,704 1 40,952 1 
1 61,052] : 40 ù 8,55
õ1 5 dXXXX 8,55 ù 2,92
 ▪ Time de futebol
 
_____
 x p 2 5 
4 ? 17 1 2 ? 18 1 5 ? 19 1 2 ? 20 1 3 ? 25 1 9 ? 26 1 6 ? 27 1 1 ? 29 1 2 ? 33 1 5 ? 34 1 1 ? 35 _______________________________________________________________________________________________________________________________ 4 1 2 1 5 1 2 1 3 1 9 1 6 1 1 1 2 1 5 1 1 5
 5 68 1 36 1 95 1 40 1 75 1 234 1 162 1 29 1 66 1 170 1 35 _______________________________________________________________________________________ 40 5 25,25
 ( õ2 ) 2 5 [4 ? (28,25)2 1 2 ? (27,25)2 1 5 ? (26,25)2 1 2 ? (25,25)2 1 3 ? (20,25)2 1 9 ? 0,752 1 6 ? 1,752 1 1 ? 2,752 1 2 ? 7,752 1 
1 5 ? 8,752 1 1 ? 9,752] : 20 ù [272,25 1 105,125 1 195,313 1 55,125 1 0,188 1 5,063 1 18,375 1 7,563 1 120,125 1 
1 382,813 1 95,063] : 40 ù 31,42
õ2 5 dXXXXX 31,42 ù 5,61
Comparando o desvio padrão das idade dos jogadores das duas equipes, concluímos que a equipe de basquete apresenta a distribui-
ção das idades mais homogênea, pois o desvio padrão nessa equipe é menor.
25. I. A afirmação é verdadeira, pois os gráficos não fornecem dados suficientes para verificar as evidências apontadas pelos cientistas.
 II. Calculando as médias:
 2012: 
__
 x p 5 
332,6 1 224,2 1 187,6 1 155,9 1 82,7 1 233,7 1 74,7 1 0,3 1 19,2 1 128,3 1 91,6 1 401,9 _________________________________________________________________________________________________________________________________ 12 5 229,31 mm
 2013: 
__
 x p 5 
169,2 1 278 1 174,5 1 70,7 1 42,5 1 143,2 1 90,9 1 7,7 1 81,3 1 126,6 1 123,6 1 83,1 _____________________________________________________________________________________________________________________________ 12 5 115,94 mm
 2014: 
__
 x p 5 
237,9 1 197,6 1 226,9 1 79,7 1 46 1 9,7 1 21,4 1 29,6 1 58,7 1 25,2 1 117,5 1 203,1 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 12 5 101,94 mm
 Observa-se então que houve decréscimo de 2012 para 2014. Portanto, a afirmação é falsa.
 III. A afirmação é falsa. O desvio padrão é uma medida de dispersão e indica o quanto os dados de um determinado conjunto são homogê-
neos ou não, ou seja, quanto menor o desvio padrão, mais homogêneo é o conjunto de dados. Na atividade em questão, essa medida de 
dispersão indica a homogeneidade do volume de chuva nos anos citados, mas não define se haverá, ou não, períodos de estiagem.
Página 559 – Exercícios complementares
26. a) Resposta possível:
Temperatura máxima 20,9 22 23,6 25,1 25,3 23,5 28,8 29,2 30,9 32 31,9 33
Temperatura mínima 15 16,1 17 19,4 19 16,3 17 17,1 19 20,1 21,8 23,5
b) A curva que apresenta maior desvio padrão é aquela cujosvalores são menos homogêneos em relação à média. Espera-se que o aluno 
perceba que, pelo gráfico, isso ocorre com a curva de temperatura máxima. Portanto, a curva que representa a temperatura máxima apre-
senta maior desvio padrão.
c) Calculamos a média, a variância e o desvio padrão das temperaturas de cada curva.
 ▪ Curva da temperatura máxima
 
__
 x 5 20,9 1 22 1 23,6 1 25,1 1 25,3 1 23,5 1 28,8 1 29,2 1 30,9 1 32 1 31,9 1 33 ______________________________________________________________________________________________________________ 12 5 
326,2 ________ 12 ù 27,2
õ2 5 (26,3)
2 1 (25,2)2 1 (23,6)2 1 (22,1)2 1 (21,9)2 1 (23,7)2 1 1,62 1 22 1 3,72 1 4,82 1 4,72 1 5,82
 _______________________________________________________________________________________________________________________________________ 12 5 
5 
39,69 1 27,04 1 12,96 1 4,41 1 3,61 1 13,69 1 2,56 1 4 1 13,69 1 23,04 1 22,09 1 33,64
 _________________________________________________________________________________________________________________________________ 12 ù 16,7
õ2 5 dXXXX 16,7 ù 4,1
Portanto, o desvio padrão das temperaturas mínimas é aproximadamente 4,1.
 ▪ Curva da temperatura mínima
 
__
 x 5 
15 1 16,1 1 17 1 19,4 1 19 1 16,3 1 17 1 17,1 1 19 1 20,1 1 21,8 1 23,5
 _______________________________________________________________________________________________________ 12 5 
221,3 ________ 12 ù 18,4
õ2 5 (23,4)
2 1 (22,3)2 1 (21,4)2 1 12 1 0,6 1 (22,1)2 1 (21,4)2 1 (21,3)2 1 0,62 1 1,72 1 3,42 1 5,12
 ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 12 5 
5 
11,56 1 5,29 1 1,96 1 1 1 0,36 1 4,41 1 1,96 1 1,69 1 0,36 1 2,89 1 11,56 1 26,01
 _______________________________________________________________________________________________________________________ 12 ù 5,75
õ 5 dXXXX 5,75 ù 2,4
Portanto, o desvio padrão das temperaturas máximas é aproximadamente 2,4.
Comparando o desvio padrão das temperaturas das duas curvas, comprovamos que a curva que representa a temperatura máxima tem 
desvio padrão maior.
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14
27. a) 
__
 x 5 
3 1 5 1 2 1 6 1 8 1 7 1 6 1 5 1 6 1 8 1 10
 ________________________________________________________________ 11 5 6
Ordenando os 11 valores, a mediana é o valor que ocupa a 6a posição: Me 5 6
O valor que aparece com mais frequência é o número 6, que se repete 3 vezes : Mo = 6.
b) 
__
 x 5 2 1 20 1 9 1 7 1 6 1 15 1 19 1 17 1 11 1 13 1 15 1 16 ________________________________________________________________________________ 12 5 12,5
Ordenando os 12 valores, a mediana é a média aritmética dos valores que ocupam a 6a e 7a posições: Me 5 13 1 15 ___________ 2 5 14
O valor que aparece com mais frequência é o número 15, que se repete 2 vezes: Mo = 15.
c) 
__
 x 5 21,2 1 32,4 1 84,2 1 12,6 1 49,5 1 48,9 1 52,3 ___________________________________________________________________ 7 ù 43
Ordenando os 7 valores, a mediana é o valor que ocupa a 4a posição: Me 5 48,9
Como nenhum valor se repete, não há moda.
d) 
__
 x 5 14 1 15 1 16 1 23 1 24 1 19 1 22 1 25 1 22 1 23 1 22 1 21 ______________________________________________________________________________________ 12 5 20,5
Ordenando os 12 valores, a mediana é a média aritmética entre os valores que ocupam a 6a e 7a posições: Me 5 22 1 22 ___________ 2 5 22
O valor que aparece com mais frequência é o número 22, que se repete 3 vezes: Mo = 22.
28. a) 
__
 x 5 
12 1 13 1 15 1 17 1 17 1 22 1 25 1 32 1 36 1 45 1 47 1 49 1 52 1 56 1 58
 ______________________________________________________________________________________________________________ 15 ù 33,1
õ2 5 [(221,1)2 1 (220,1)2 1 (218,1)2 1 (216,1)2 1 (216,1)2 1 (211,1)2 1 (28,1)2 1 (21,1)2 1 2,92 1 11,92 1 13,92 1 15,92 1 18,92 1 
1 22,92 1 24,92] : 15 5 [445,21 1 404,01 1 327,61 1 259,21 1 259,21 1 123,21 1 65,61 1 1,21 1 8,41 1 141,61 1 193,21 1 252,81 1 
1 357,21 1 524,41 1 620,01] : 15 5 265,53
õ 5 dXXXXXX 265,53 5 16,3
b) 
__
 x 5 
8 1 8 1 9 1 10 1 12 1 11 1 15 1 16 1 13 1 17 1 15 1 15 1 20 1 23 1 25 1 28 1 36 1 38 1 45 1 62
 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________ 20 5 
426 ______ 20 5 21,3
õ2 5 [(213,3)2 1 (213,3)2 1 (212,3)2 1 (211,3)2 1 (29,3)2 1 (210,3)2 1 (26,3)2 1 (25,3)2 1 (28,3)2 1 (24,3)2 1 (26,3)2 1 
1 (26,3)2 1 (21,3)2 1 1,72 1 3,72 1 6,72 1 14,72 1 16,72 1 23,72 1 40,72] : 20 5 [176,89 1 176,89 1 151,29 1 127,69 1 86,49 1 
1 106,09 1 39,69 1 28,09 1 68,89 1 18,49 1 39,69 1 1,69 1 2,89 1 13,69 1 44,89 1 216,09 1 278,89 1 561,69 1 1 656,49] : 20 5 
5 191,81
õ 5 dXXXXXX 191,81 ù 13,85
c) 
__
 x 5 9,5 1 10,5 1 9 1 9,5 1 12 1 11 1 10 1 9,5 1 12 1 6,5 1 8,5 1 12,5 1 12 1 12 1 11 1 10 1 10,5 ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 17 ù 10,35
õ2 5 [(20,85)2 1 0,152 1 (21,35)2 1 (20,85)2 1 1,65)2 1 0,652 1 (20,35)2 1 (20,85)2 1 1,652 1 (23,85)2 1 (21,85)2 1 2,152 1 1,652 1 
1 1,652 1 0,652 1 (20,35)2 1 0,152] : 17 5 [0,7225 1 0,0225 1 1,8225 1 0,7225 1 2,7225 1 0,4225 1 0,1225 1 0,7225 1 2,7225 1 
1 14,8225 1 3,4225 1 4,6225 1 2,7225 1 2,7225 1 0,4225 1 0,1225 1 0,0225] : 17 ù 2,29
õ 5 dXXXX 2,29 ù 1,51
29. A média aritmética é: 
__
 x 5 12 1 15 1 13 1 10 1 9 1 5 ______________________________________ 6 ù 10,67
A média geométrica é: 
___
 xg 5 
6
 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 12 ? 15 ? 13 ? 10 ? 9 ? 5 ù 10,09
E a média harmônica é: 
___
 xh 5 
6 _______________________________________ 
 1 ____ 12 1 
1 ____ 15 1 
1 ____ 13 1 
1 ____ 10 1 
1 ___ 9 1 
1 __ 5 
 ù 9,40
Portanto: 
__
 x . 
___
 xg . 
___
 xh 
30. 
__
 x 5 0,35 1 0,42 1 0,25 1 0,62 1 0,12 ________________________________________________ 5 5 
1,76 ______ 5 5 0,352 5 35,2%
õ2 5 
(20,002 ) 2 1 0,0682 1 (20,102)2 1 0,2682 1 (20,232 ) 2 
 _____________________________________________________________________________ 5 5 
0,000004 1 0,004624 1 0,010404 1 0,071824 1 0,053824
 ______________________________________________________________________________________ 5 5 
5 0,028136 ù 2,8%
õ 5 dXXXXXXXXX 0,028136 ù 0,167 ù 16,7%
31. Os times foram divididos em duas chaves, ordenados pelo número de vitórias.
 ▪ Chave (I): times S, U, C, G, P, B, J, O, L, M
 
___
 x 5 83,7 1 82,2 1 80,6 1 82,5 1 79,6 1 79,3 1 85 1 80,1 1 81,5 1 82,8 1 81,8 __________________________________________________________________________________________________________ 11 5 
899,1 ________ 11 ù 81,7
 õ 2 5 2
2 1 0,52 1 (21,1)2 1 0,82 1 (22,1)2 1 (22,4)2 1 3,32 1 (21,6)2 1 (20,2)2 1 1,12 1 0,12
 ________________________________________________________________________________________________________________________ 11 5 
5 4 1 0,25 1 1,21 1 0,64 1 4,41 1 5,76 1 10,89
 1 2,56 1 0,04 1 1,21 1 0,01 _________________________________________________________________________________________________________ 11 ù 2,82
õ 5 dXXXX 2,82 ù 1,68
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15
 ▪ Chave (II): times D, Q, A, F, H, I, T, V, N, R, K
 
___
 x 5 84,8 1 80,7 1 81,5 1 78,7 1 81,2 1 80,8 1 80,5 1 78,3 1 75,7 1 79,2 1 84 ___________________________________________________________________________________________________________ 11 5 
885,4 _________ 11 ù 80,5
 õ 2 5 4,3
2 1 0,22 1 12 1 (21,8)2 1 0,72 1 0,32 1 02 1 (22,2)2 1 (24,8)2 1 (21,3)2 1 3,52
 _________________________________________________________________________________________________________________ 11 5 
5 18,49 1 0,04 1 1 1 3,24 1 0,491 0,09 1 0
 1 4,84 1 23,04 1 1,69 1 12,25 __________________________________________________________________________________________________________ 11 ù 5,92
õ 5 dXXXX 5,92 ù 2,43
Comparando os desvios padrão, temos que na 1a fase do campeonato os times da chave (I) foram mais regulares no acerto de passes do 
que os times da chave (II).
32. a) 
___
 xp 5 
3 ? 5,0 1 4 ? 6,0 1 2 ? 4,0 1 2 ? 8,0 _________________________________________________ 11 5 
63 ____ 11 ù 5,73
Portanto, a nota da aluna foi 5,73.
b) Sendo b a nota na prova bimestral que o aluno deve tirar para que sua média seja 5, temos:
5 5 3 ? 6,0 1 4b 1 2 ? 3,5 1 2 ? 5,0 ___________________________________________ 11 ä 4b 5 55 2 18 2 7 2 10 ä b 5 5,0
Portanto, o aluno deve tirar nota maior do que ou igual a 5,0 na prova bimestral para atingir a média maior do que ou igual a 5,0.
c) Sendo t 1 e t 2 as notas que o aluno deve obter nos trabalhos para que sua média seja 5, temos:
5 5 
3 ? 5,0 1 4 ? 4,0 1 2 ? (t1 1 t2) _________________________________________ 11 ä t 1 1 t 2 5 
55 2 15 2 16 ___________________ 2 5 12 
Portanto, o aluno deve tirar nota 12 nos dois trabalhos juntos para que tenha média 5,0.
33. 
___
 x 5 31 1 32 1 30 1 28 1 29 1 30 1 30 __________________________________________________ 7 5 30
Portanto, a média das temperaturas nessa cidade é 30 8C.
34. 
___
 x 5 2 1 2 1 4 1 7 1 2 1 7 ________________________________ 6 5 4
Portanto, o número médio de peças defeituosas por lote é 4.
35. 
___
 xp 5 
1 ? 3 1 3 ? 4 1 12 ? 5 1 6 ? 6 1 10 ? 7 1 8 ? 8 1 3 ? 9 1 2 ? 10 ____________________________________________________________________________________ 45 5 
292 ______ 45 ù 6,49
Ordenando os 45 valores, a mediana é o valor que ocupa a 23a posição. Portanto: Me 5 7
A moda é o valor que aparece com maior frequência. Portanto: Mo 5 5
36. Sendo x a nota que o aluno deve obter no exame final, temos:
6 5 8,0 ? 1 1 5,5 1 6,0 ? 2 1 5,0 ? 3 1 3x ___________________________________________________ 1 1 1 1 2 1 3 1 3 ä 3x 5 60 2 8 2 5,5 2 12 2 15 ä 3x 5 19,5 ä x 5 6,5
Portanto, para ter média maior do que ou igual a 6 o aluno deve obter no mínimo nota 6,5 na prova final.
37. Pelas informações dadas, podemos escrever o seguinte sistema:
t 
 
17 1 23 1 y 1 24 1 x
 ______________________________ 5 5 20,6
 
17 1 23 1 2y 1 24 1 x __ 2 ________________________________ 5 5 20,6 1 2,4
Simplificamos esse sistema:
T
 
64 1 x 1 y
 ________________ 5 5 20,6
 
64 1 x __ 2 1 2y __________________ 5 5 23
 ä e
 x 1 y 5 39
 x __ 2 1 2y 5 51
Resolvemos o sistema por escalonamento. Multiplicamos a segunda equação por 22 e adicionamos à primeira equação. Substituímos a 
segunda equação pela equação obtida:
Q
x 1 y 5 39
 23y 5 263
Da segunda equação, obtemos: 23y 5 263 ä y 5 21
Substituindo y por 263 na primeira equação, obtemos: x 1 21 5 39 ä x 5 18. Portanto, Natália tem 18 e Bruna tem 21 anos.
38. 
___
 x 5 60 ? 5 1 50 ? 4 1 40 ? 7 1 50 ? 3 ______________________________________________ 200 5 
300 1 200 1 280 1 150 ___________________________________ 200 5 4,65 (alternativa a).
39. 
___
 x 5 15,5 1 14 1 13,5 1 18 1 9,5 1 20 1 13,5 1 18,5 1 18 1 20 1 18,5 1 13,5 1 21,5 1 20 1 16 ________________________________________________________________________________________________________________________________ 15 5 
255 ______ 15 5 17
Ordenando os 15 valores, temos: 13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 20; 21,5. A mediana é o valor que ocupa a 
8a posição. Portanto: Me 5 18
A moda é o valor que aparece com maior frequência. Portanto: Mo 5 13,5
Logo: 
___
 x 5 17 °C, Me 5 18 °C e Mo 5 13,5 °C (alternativa b).
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16
   Capítulo 25 – Matemática financeira
Página 561 – Para começar
1. 56 000 ___________ 70 000 5 0,8 5 80%
Logo, o valor do financiamento equivale a 80% do valor do imóvel.
2. 14 000 1 180 ? 800 5 158 000
Portanto, ela terá pago R$ 158 000,00 ao todo pelo imóvel.
3. Resposta pessoal. Alguns fatores a serem considerados: valor 
que pode ser pago à vista, renda mensal da pessoa e o valor men- 
sal que ela conseguirá pagar pelo financiamento. Esse valor 
mensal pode ser considerado como o valor do aluguel que ela 
paga e a quantia economizada mensalmente. 
Supondo que essa pessoa tenha os R$ 14 000,00, com a renda 
de R$ 3 500,00 ela pode fazer o financiamento desse imóvel 
em 180 meses. E considerando os R$ 600,00 do aluguel e os 
R$ 400,00 que ela economiza, ela consegue pagar a prestação 
de R$ 800,00. 
Além disso, podem ser analisados outros fatores não financei-
ros, como a localização e o conforto do imóvel alugado e daquele 
que se pretende financiar. 
Página 562 – Ação e cidadania
 ▪ Resposta pessoal. Espera-se que os alunos interpretem que o 
deslocamento se refere ao uso de veículos automotores, que 
emitem gases poluentes. Diminuindo a circulação de pessoas 
por meio de carros e motocicletas, o desenvolvimento local 
traz benefício ao meio ambiente, pois diminui a poluição do ar. 
Sobre a autoestima, espera-se que os alunos percebam que 
“a moeda tem também um valor cultural e deixa a população 
mais orgulhosa do lugar onde vive”.
 ▪ Desconto mínimo: 5% ? R$ 140,00 5 5 ______ 100 ? R$ 140,00 5 R$ 7,00
Desconto máximo: 15% ? R$ 140,00 5 15 ______ 100 ? R$ 140,00 5 R$ 21,00
Página 565 – Exercícios propostos
9. a) 20% ? R$ 500,00 5 20 ______ 100 ? R$ 500,00 5 R$ 100,00
R$ 500,00 1 R$ 100,00 5 R$ 600,00
Logo, o preço do televisor é R$ 600,00.
b) 15% ? R$ 800,00 5 15 ______ 100 ? R$ 800,00 5 R$ 120,00
R$ 800,00 2 R$ 120,00 5 R$ 680,00
Logo, o preço final da geladeira é R$ 680,00.
10. a) Candidato A: 36% ? 900 5 0,36 ? 900 5 324
Candidato B: 25% ? 900 5 0,25 ? 900 5 225
Indecisos: 22% ? 900 5 0,22 ? 900 5 198
Brancos ou nulos: 17% ? 900 5 0,17 ? 900 5 153
Logo, 324 pessoas têm a intenção de votar no candidato A, 
225 pessoas têm a intenção de votar no canditado B, 198 pes-
soas estão indecisas e 153 têm a intenção de votar branco 
ou nulo.
b) Pela pesquisa, 324 eleitores votariam no candidato A, e des-
ses, 75% são mulheres. Então, 25% são homens:
25% ? 324 5 0,25 ? 324 5 81
Portanto, dos eleitores que votariam no candidato A, 81 são 
homens.
c) Pela pesquisa, 198 eleitores estão indecisos, e desses, 30 es-
tão na faixa etária de 16 a 18 anos. Então, 168 têm mais de 
18 anos:
 168 ______ 198 ù 0,8485 5 84,85%
Portanto, aproximadamente 84,85% dos candidatos indecisos 
têm mais de 18 anos.
11. (1 1 0,065) ? 1 200 5 1,065 ? 1 200 5 1 278
Portanto, o valor total do pagamento a prazo é R$ 1 278,00.
12. (1 1 0,15) ? 4 000 5 4 600
 4 600 _________ 6 ù 766,67
Portanto, ao todo Helena pagará R$ 4 600,00 pela moto, em 
6 parcelas de R$ 766,67. 
13. a) 
Concessionária
Valor à 
vista (R$)
Acréscimo no 
valor a prazo (R$)
Valor a 
prazo (R$)
A 38 000,00 15 200,00 53 200,00
B 40 000,00 8 000,00 48 000,00
C 36 000,00 18 000,00 54 000,00
b) Concessionária A: 38 000 ? (1 1 i) 5 53 200 ä i 5 0,40 5 40%
Concessionária B: 40 000 ? (1 1 i) 5 48 000 ä i 5 0,20 5 20%
Concessionária C: 36 000 ? (1 1 i) 5 54 000 ä i 5 0,50 5 50%
Portanto, a taxa percentual de aumento sobre o preço à vista 
na concessionária A é 40%, na concessionária B é 20% e na 
concessionária C é 50%.
14. (1 2 0,14) ? (1 2 0,10) ? 1 500 5 1 161
Logo, o preço dessa câmera fotográfica em maio de 2015 é 
R$ 1 161,00.
15. Sendo x o salário de João quando ele foi contratado na empre-
sa, temos:
1,07 ? x 5 2 675 ä x 5 2 500
Portanto, o salário inicial de João era R$ 2 500,00.
16. a) Sendo x o valor inicial do produto, temos:
(1 2 0,25) ? (1 1 0,28) ? x 5 48 ä 0,96x 5 48 ä x 5 50
Portanto, o valor inicial do medicamento era R$ 50,00.
b) Temos: (1 2 0,25) ? (1 1 0,28) 5 0,96
Como 0,96 , 1, a taxa de variação é negativa. Isso porque 
a taxa de acréscimo de 28% é aplicadasobre o valor do me-
dicamento com desconto (R$ 48,00), valor que é menor do 
que o valor inicial (R$ 50,00) sobre o qual a taxa de 25% de 
desconto é aplicada.
c) Sendo i a taxa de reajuste no preço do medicamento, temos:
(1 2 0,25) ? (1 1 i) ? 50 5 50 ä 0,75 ? (1 1 i) ? 50 5 50 ä 
ä 1 1 i 5 1,333 ... ä i 5 0,333... ù 33,3%
Portanto, o reajuste deveria ser aproximadamente 33,3% 
para que o valor final fosse igual ao inicial.
17. a) Sendo x a variação da moeda no segundo dia, temos:
(1 2 0,022) ? (1 1 x) ? (1 2 0,021) 5 (1 2 0,0244) ä
ä 0,978 ? (1 1 x) ? 0,979 5 0,9756 ä
ä 1 1 x ù 1,019 ä x ù 0,019 5 1,9%
Portanto, no segundo dia, o euro sofreu aumento de aproxi-
madamente 1,9% em relação ao real.
b) A cotação do euro depende do dia da pesquisa.
18. Após a campanha publicitária, 4 clientes passaram a procurar a 
revista a cada 10 minutos, ou seja, 24 clientes passaram a procu-
rar a revista a cada 1 hora (60 minutos). Sendo i a taxa de cresci-
mento do número de pessoas, temos:
4 ? (1 1 i) 5 24 ä i 5 5 5 500%
Portanto, a taxa de crescimento percentual do número de pessoas 
procurando a revista após a campanha publicitária foi 500%.
19. Na primeira proposta, sendo x o preço inicial do produto, após 
o desconto de 20% Kléber irá pagar 0,8x. Na segunda propos-
ta, após os dois descontos sucessivos de 10%, ele irá pagar 
(1 2 0,10) ? (1 2 0,10) ? x 5 0,81x.
Portanto, a primeira proposta é mais vantajosa para Kléber, com 
desconto de 20%, em vez do desconto total de 19% da segun-
da proposta.
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17
Página 567 – Exercícios propostos
23. 1,25 ? 450 5 562,5
Portanto, a mercadoria deve ser vendida por R$ 562,50 para que 
o lucro sobre o preço de custo seja de 25%.
24. a) Sendo Pv o preço de venda o objeto, temos:
Pv 2 Pc 5 L Æ Pv 2 150,00 5 0,20 ? Pv Æ Pv 5 187,50
b) O lucro L é a diferença entre o preço de venda e o preço de 
custo: L 5 187,50 2 150,00 5 37,50
Então, sendo Pc o preço de custo do objeto, temos: 
L 5 37,50 ___________ 150,00 5 0,25
Logo, a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é 25%.
25. a) 3 ? 0,85 5 2,55
Portanto, o novo preço de venda é R$ 2,55.
b) Resposta possível: É mais vantajoso vender com prejuízo de 
15% do preço de custo, pois, caso perdesse o prazo de validade 
da mercadoria, o prejuízo seria de 100% do preço de custo.
26. 1,20 ? 375 5 450
Portanto, a estante deve ser vendida por R$ 450,00 para obter 
lucro de 20%.
27. O preço de custo P c do material é R$ 30,00 e o preço de venda P v 
é R$ 85,00. Então, o lucro L é R$ 55,00. Assim:
 L ___ P c 
 5 55 ____ 30 5 1,8333... ù 183,3%
 L ___ P v 
 5 55 ____ 85 5 0,647... ù 64,7%
Portanto, a porcentagem do lucro sobre o preço de custo é apro-
ximadamente 183,3% e sobre o preço de venda é aproximada-
mente 64,7%.
28. Sendo Pc o preço de custo do cacho de uva, temos: 0,64 ? Pc 5 Pv
Então, fazendo: 0,36 Pc ___________ 0,64 Pc 5 0,5625
Logo, a porcentagem de prejuízo em relação ao preço de venda 
é 56,25%.
29. a) Sendo P v o preço de venda dessa peça hidráulica, temos:
 P v 2 330,00 5 0,25 ? P v ä P v 5 440,00
Portanto, o preço de venda da mercadoria é R$ 440,00.
b) O lucro L é a diferença entre o preço de venda e o preço de 
custo: L 5 440,00 2 330,00 5 110,00
Então, sendo P c o preço de custo da peça hidráulica, temos:
 L ___ P c 
 5 110 ______ 330 5 0,333...
Logo, a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é apro-
ximadamente 33,3%.
30. Sendo P c o preço de custo do liquidificador, temos:
0,85 ? P c 5 60 ä P c 5 70,59
Portanto, o preço de custo do liquidificador é R$ 70,59.
31. a) Para o rádio, sendo P c o preço de custo, temos:
0,75 ? P c 5 150 ä P c 5 200
Para o relógio, sendo P c o preço de custo, temos:
1,25 ? P c 5 150 ä P c 5 120
Então, o preço de custo do rádio foi R$ 200,00 e do relógio 
foi R$ 120,00.
b) Considerando as duas negociações, Fábio teve prejuízo 
de R$ 20,00, pois teve prejuízo de R$ 50,00 com o rádio e 
ganho de R$ 30,00 com o relógio.
32. Sendo L o lucro, P v o preço de venda e P c o preço de custo, temos:
e
 P v 2 P c 5 0,40 ? P v 
L 5 0,40 ? P v 
 ä t 
 P v 5 
 P c _______ 0,60 
L 5 0,40 ? P v 
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:
L 5 0,40 ? P v 5 0,40 ? 
 P c _______ 0,60 5 
2 __ 3 ? P c ù 0,667 ? Pc
Portanto, a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é apro-
ximadamente 66,7%.
33. a) Sendo x a taxa percentual de valorização no segundo mês, temos:
(1 1 0,10) ? (1 1 x) 5 1,2 ä 1 1 x ù 1,091 ä x ù 0,091
Logo, a valorização no segundo mês foi aproximadamente 9,1%.
b) Sendo y o valor inicial do apartamento, temos:
1,20y 2 y 5 10 000 ä y 5 50 000
Portanto, o valor do imóvel após os dois meses é R$ 50 000,00.
34. Sendo P c o preço de custo dos móveis, o primeiro orçamen-
to apresentado a um cliente corresponde a 1,70 ? P c , podendo 
ser reduzido a, no máximo, 1,35 ? P c . Então, sendo i o descon-
to máximo que pode ser dado sobre o primeiro orçamento, te-
mos: 1,70 ? P c ? (1 2 i) > 1,35 ? P c ä i < 0,20588...
Logo, o desconto máximo que a loja de móveis pode oferecer 
sobre o valor do primeiro orçamento é aproximadamente 20,59%.
35. De acordo com as informações e chamando P o preço do produ-
to, temos:
Aumento: 1,10 ? P
Desconto: 0,9 ? 1,10 ? P 5 0,99 ? P
Agora, analisamos as afirmações:
I e III são falsas e II e IV são verdadeiras.
36. Na primeira venda, a loja de automóveis obteve um lucro de 
R$ 2 000,00. Na segunda venda, também obteve um lucro de 
R$ 2 000,00. Assim, a loja teve um lucro total de R$ 4 000,00 
após as duas transações comerciais considerados apenas os va-
lores de compra e venda.
37. a) O preço de custo é R$ 300,00 e a mercadoria é vendida com 
um lucro de R$ 100,00. Logo, o preço de venda com desconto 
é R$ 400,00.
b) Sobre o preço da etiqueta P e há um desconto de 20%, então:
0,80 ? P e 5 400 ä P e 5 500
Logo, o preço de etiqueta desse produto é R$ 500,00.
c) Mercadoria vendida com desconto: 100,00 ___________ 400,00 5 0,25 5 25%
Mercadoria vendida sem desconto:
 500,00 2 300,00 __________________________ 500,00 5 
200,00 ___________ 500,00 5 0,40 5 40%
Logo, a loja tem 25% de lucro sobre o valor de venda da mer-
cadoria com desconto e 40% sobre o valor de venda sem 
desconto.
Página 569 – Exercícios propostos
38. 3,56 ____________ 1 325,07 5 0,00268... ù 0,27%
 3,56 ? 30 _____________ 1 325,07 5 0,08059... ù 8,06%
Logo, o banco cobra taxa de juro de aproximadamente 0,27% ao 
dia e de aproximadamente 8,06% ao mês.
39. a) O montante M a ser resgatado será a soma dos montantes 
obtidos pelos dois investimentos.
M 5 0,2 ? 10 000 ? (1 1 0,06 ? 1) 1 0,80 ? 10 000 ? (1 1 0,11 ? 1) 5 
5 2 000 ? 1,06 1 8 000 ? 1,11 5 11 000
Logo, após um mês o montante a ser resgatado é R$ 11 000,00.
b) Sendo i a taxa de juro da aplicação, temos:
 11 000 5 10 000 ? (1 1 i) ä 10 000i 5 1 000 ä i 5 0,10
 Portanto, para que o montante resgatado seja igual, a taxa de 
juro da aplicação deve ser 10%.
Página 570 – Exercícios propostos
41. O capital C aplicado é R$ 3 000,00 e o montante após 1 ano é 
R$ 3 255,00, logo o juro é R$ 255,00. Assim:
255 5 3 000 ? 1 ? i Æ I 5 255 _________ 3 000 5 0,085 5 8,5%
Logo, a taxa anual de juro dessa aplicação é 8,5%.
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18
42. O gráfico do item a representa o regime de juro simples, já que a 
taxa de juro incide sempre sobre o capital inicial. Assim, o mon-
tante cresce em progressão aritmética, que é representado pela 
função afim.
43. Instituição A: MA 5 3 500 ? (1 1 0,014t)
Instituição B: MB 5 2 000 ? (1 1 0,04t) 
Fazendo: MB . MA
2 000 ? (1 1 0,04t) . 3 500 ? (1 1 0,014t) 
2 000 1 80t . 3 500 1 49t
80t 2 49t . 3 500 2 2 000
31t . 1 500
t . 1 500 ________ 31 ù 48,39
Logo, o dinheiro precisará ficar aplicado por 49 meses para que 
o montante na instituição financeira B seja maior que o acumu-
lado na instituição A.
44. O valor a prazoé 200,00 1 2 ? 424,36 5 1 048,72
Logo, o juro é 36,72 (1 048,72 2 1 012,00).
J 5 C ? i ? t ä 36,72 5 1012 ? i ? 2 ä i 5 36,72 ________ 2 024 ù 0,02
Logo, a taxa de juro mensal no pagamento a prazo é aproxima-
damente 2%.
45. M 5 750 ? (1 1 0,02)3 ä M 5 750 ? 1,023 ä M 5 750 ? 1,061208 ä 
ä M 5 750 ? 1,061208 ä M 5 795,91
Portanto, o montante é R$ 795,91.
46. O gráfico do item c representa o regime de juro composto, pois o 
juro incide sobre o montante anterior. Assim, o montante cresce 
em progressão geométrica, que é representada por pontos de 
uma função exponencial.
47. a) Como o gráfico representa uma função afim, então o regime 
é de juro simples.
b) 15 375 2 15 000 5 15 750 2 15 375 5 16 125 2 15 750 5 
5 16 500 2 16 125 5 375
Logo, o valor que é acrescentado a cada mês é R$ 375,00.
c) Progressão aritmética.
d) O 8o mês é representado por t 5 7, então:
 M 5 15 000 ? (1 1 0,025 ? 7) 5 15 000 ? (1 1 0,175) 5 
5 15 000 ? 1,175 5 17 625
O valor da dívida nesse mês é R$ 17 625,00.
e) M 5 15 000 ? (1 1 0,025 ? 12) 5 15 000 ? (1 1 0,3) 5
 5 15 000 ? 1,3 5 19 500
O valor do montante em 1 ano é R$ 19 500,00.
48. a)
1a proposta
Mês Juro simples
1 R$ 13 000,00 
2 R$ 16 000,00 
3 R$ 19 000,00 
4 R$ 22 000,00 
5 R$ 25 000,00 
2a proposta
Mês Juro composto
1 R$ 11 000,00 
2 R$ 12 100,00 
3 R$ 13 310,00 
4 R$ 14 641,00 
5 R$ 16 105,10 
b) M1 5 10 000 ? (1 1 0,3 t)
 M2 5 10 000 ? (1 1 0,1)
t
c) 1a proposta: II. Afim; 2a proposta: VI. Exponencial
d) A 1a proposta gera a maior dívida ao final desse período.
e) 
10000
12500
15000
20000
17500
22500
25000
1 2 3 4 5
Juro composto
Juro simples
f) Sim.
g) Os pontos de intersecção representam os montantes iguais 
nos dois regimes.
h) Acima de aproximadamente 21 meses.
i) Abaixo de aproximadamente 21 meses.
Página 573 – Exercícios propostos
52. a) Como quatro meses equivalem a dois bimestres, temos t 5 2. 
Sendo M o montante resgatado, temos:
M 5 4 000 ? (1 1 0,05)2 5 4 000 ? 1,1025 5 4 410
Logo, o montante a ser resgatado por Daniela é R$ 4 410,00.
b) 4 410 2 4 000 5 410
Logo, a aplicação rendeu R$ 410,00 de juro em quatro meses.
53. Sendo M o montante ao final do período, temos:
M 5 10 000 ? (1 1 0,04)4 ù 10 000 ? 1,17 5 11 700
Assim: 11 700,00 2 10 000 5 1 700,00
Logo, o valor a ser pago de juro é aproximadamente R$ 1 700,00.
54. O montante aplicado é M 5 120 961,92, o capital é C 5 120 000 
e o tempo é t 5 2. Sendo i a taxa de juro composto, temos:
120 961,92 5 120 000 ? (1 1 i)2 ä (1 1 i)2 ù 1,008 ä 
ä 1 1 i ù 1,004 ä i 5 0,004
Portanto, a taxa de juro composto mensal da aplicação deve ser 
aproximadamente 0,4% ao mês.
55. a) Sendo M o montante ao final do período, temos:
M 5 200 000 ? (1 1 0,1)2 5 200 000 ? 1,21 5 242 000
Assim: 242 000 2 200 000 5 42 000
Portanto, o rendimento após dois anos é R$ 42 000,00.
b) 42 000,00 _________________ 200 000,00 5 0,21
Portanto, a porcentagem que o juro representa sobre o capi-
tal aplicado é 21%.
c) O montante acumulado é R$ 242 000.
d) 42 000,00 _________________ 242 000,00 ù 0,174
Portanto, a porcentagem que o juro representa sobre o mon-
tante acumulado é aproximadamente 17,4%.
56. Sendo M A o montante obtido na aplicação na instituição A e M B o 
montande obtido na instituição B, temos:
 M A 5 5 000 ? (1 1 0,05)2 5 5 000 ? 1,1025 5 5 512,5
 M B 5 5 000 ? (1 1 0,03)3 ù 5 000 ? 1,0927 5 5 463,5
Logo, na instituição A Carlos terá o montante de R$ 5 512,50 e, 
na instituição B, o montante é de aproximadamente R$ 5 463,64.
57. Pela atualização financeira, temos o valor V p do empréstimo:
 V p 5 
1 555,2 ______________ 
(1 1 0,2)3
 5 1 555,2 __________ 1,728 5 900
Portanto, o valor do empréstimo de Camila é R$ 900,00.
58. Pela atualização financeira, temos o valor V p que Joice precisa aplicar:
 V p 5 
1 000 _________________ 
(1 1 0,025)2
 ù 1 000 ________ 1,051 ù 951,47
Portanto, Joice deve aplicar aproximadamente R$ 951,47 para 
ter R$ 1 000,00 em dois meses.
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19
59. a) M 5 2 500 ? 1,1t
b) Para Mt 5 3 660,25, temos:
3 660,25 5 2 500 ? 1,1t ä 1,4641 5 1,1t ä 
ä t 5 log1,1 1,4641 5 
log 1,4641
 _______________ log 1,1 ù 
0,1656 ___________ 0,0414 ù 4
Portanto, são necessários 4 anos para que o montante atinja 
R$ 3 660,25.
60. Sendo p o valor de cada parcela, temos:
p 1 
p
 ______ 1,02 5 450 ä p ù 227,23
Portanto, o valor de cada parcela é aproximadamente R$ 227,23.
61. Sendo V p o valor do produto à vista, temos: 
 V p 5 
1 295,03 ________________ 
(1 1 0,09)3
 ù 1 000
Portanto, esse aparelho de TV custa R$ 1 000,00 à vista.
62. Sendo M1 o montante daqui a 2 meses, temos:
M1 5 2 000 ? (1 1 0,03)
2 5 2 000 ? 1,0609 5 2 121,8
Em seguida, a esse montante é acrescido o valor de R$ 1 000,00, 
que é aplicado por mais 2 meses, obtendo o montante M2:
M2 5 (2 121,8 1 1 000,00) ? (1 1 0,03)
2 5 3 121,8 ? 1,0609 ù 
ù 3 311,92
Portanto, após quatro meses, Marlene resgatará aproximada-
mente R$ 3 311,92.
63. 
Valor devido 1 juro
Saldo 
devedor
Início R$ 4 500,00 R$ 4 500,00
Após o 1o mês R$ 4 770,00 R$ 4 170,00
Após o 2o mês (R$ 4 170,00) ? 1,06 5 R$ 4 420,20 R$ 3 820,20
Após o 3o mês (R$ 3 820,20) ? 1,06 ù R$ 4 049,41 R$ 3 449, 41
Após o 4o mês (R$ 3 449, 41) ? 1,06 ù R$ 3 656,37 R$ 3 056,37
Após o 5o mês (R$ 3 056,37) ? 1,06 ù R$ 3 239,75 R$ 2 639,75
64. a) Sendo p o valor de cada uma das parcelas, temos:
p 1 
p
 ______ 1,01 1 
p
 _______ 1,012 5 1 300 ä p ù 437,65
Logo, o valor de cada parcela é aproximadamente R$ 437,65.
b) 3 ? 437,65 5 1 312,95
Logo, o valor total do produto é R$ 1 312,95.
Página 574 – Exercícios complementares
65. O gráfico 1 representa o regime de juro simples, pois o juro é 
constante, já que a taxa de juro incide sempre sobre o capital. 
Assim, o montante cresce em progressão aritmética, que é repre-
sentada por pontos de uma função afim. O gráfico 2 representa 
o regime de juro composto, pois o juro incide sobre o montante 
anterior. Assim, o montante cresce em progressão geométrica, 
que é representada por pontos de uma função exponencial.
66. a) Sendo M t o montante no mês t, temos os seguintes valores, 
em reais.
 ▪ Para a aplicação A:
M1 5 3 000 ? (1 1 0,02)
1 5 3 060,00
M2 5 3 000 ? (1 1 0,02)
2 5 3 121,20
M3 5 3 000 ? (1 1 0,02)
3 5 3 183,62
 ▪ Para a aplicação B:
M1 5 2 000 ? (1 1 0,04)
1 5 2 080,00
M2 5 2 000 ? (1 1 0,04)
2 5 2 163,20
M3 5 2 000 ? (1 1 0,04)
3 5 2 249,73
b) Tempo Aplicação A Aplicação B
mês 1 R$ 3 060,00 R$ 2 080,00
mês 2 R$ 3 121,20 R$ 2 163,20
mês 3 R$ 3 183,62 R$ 2 249,73
c) A quantia total resgatada por Roberto é a soma do montante 
no 3o mês de cada aplicação:
 3 183,62 1 2 249,73 5 5 433,35
 Portanto, ao final de 3 meses, Roberto resgatará R$ 5 433,35.
67. Sendo M o montante a ser pago, temos:
M 5 4 500 ? (1 1 0,02)4 ù 4 500 ? 1,082 ù 4 869,00
Portanto, ao final do quarto mês, Carlos vai pagar aproximada-
mente R$ 4 869,00.
68. Sendo V p o valor a ser pago, temos:
 V p 5 
688,2 __________________ 
(1 1 0,035)4
 5 688,2 _________ 1,148 ù 599,48
Portanto, o valor a ser pago nessa parcela é aproximadamente 
R$ 599,48.
69. Sendo t o prazo que a loja concede para o pagamento, temos:
28 161,86 5 22 000 ? (1,025)t ä 1,025t ù 1,28 ä 
ä t 5 log1,025 1,28 5 
log 1,28
 _____________ log 1,025 ù 
0,1072 __________ 0,0107 ù 10
Portanto, a loja concede o prazo de 10 meses para o pagamento.
70. a) Sendo M o montante acumulado, temos:
M 5 1 000 ? (1 1 0,015)6 ù 1 000 ? 1,0934 ù 1 093,40
Portanto, o montante acumulado ao final de seis meses é 
aproximadamente R$ 1 093,40.
b) Sendo t o número de meses em que o montante é R$ 2 000,00, 
temos:
2 000 5 1 000 ? (1 1 0,015)t ä 1,015t 5 2 ä 
ä t 5 log1,015 2 5 
log 2
 _____________ log 1,015 ù 
0,3010 ___________ 0,0065 ù 46,59
Portanto, após 47 meses o montante é R$ 2 000,00.
71. a) Resposta possível: Na primeira proposta,pois não pagará juro.
b) ▪ M 5 300 ? 10 5 3 000
 ▪ M 5 3 000 ? (1 1 0,05)14 ù 5 939,79
 ▪ M 5 3 000 ? (1 1 0,08 ? 8) 5 4 920,00
Logo, pagando à vista, Marcelo gastaria R$ 3 000,00; parce-
lando na loja, R$ 5 939,79; e no empréstimo com o colega, 
R$ 4 920,00.
c) ▪ 0%
 ▪ 5 939,79 2 3 000 _________________________ 3 000 5 0,98 ù 98%
 ▪ 4 920 2 3 000 _____________________ 3 000 5 0,64 5 64%
Logo, pagando à vista, não haveria aumento do valor final; 
parcelando na loja, o aumento seria de 98%; e no emprésti-
mo com o colega, o aumento seria de 64%.
d) Resposta pessoal. A resposta pode variar de um aluno para 
outro. Alguns podem valorizar o fato de pagar menos, outros 
de usufruir do produto em um tempo menor ou de pagar me-
nos prestações. 
e) Resposta pessoal. Os alunos devem refletir que a opção de 
comprar na loja é a mais cara, e que o pagamento à vista, 
embora seja a opção mais barata, não permite que Marcelo 
usufrua dos móveis naquele momento. 
f) Resposta pessoal. Um fator importante para que as pessoas 
comprem em prestações, e não guardando dinheiro para com-
prar sem juro, é por adquirirem o produto imediatamente e 
não só depois de juntar o valor total do produto.
72. Sendo L o lucro, P v o preço de venda e P c o preço de custo, temos:
Q
 P v 2 P c 5 0,20 ? P v 
L 5 0,20 ? P v 
 ä t P v 5 
 P c _______ 0,80 
L 5 0,20 ? P v 
Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:
L 5 0,20 ? P v 5 0,20 ? 
 P c _______ 0,80 5 0,25 ? P c 
Portanto, a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é 25%.
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20
   Capítulo 26 – Pontos e retas
Página 578 – Para começar
1. Resposta possível: Em Geometria, a menor distância entre dois 
pontos é a medida do segmento de reta com extremos nesses 
pontos. Já no GPS, os deslocamentos entre dois pontos levam em 
consideração as características da cidade, considerando ruas e 
avenidas, indicando o caminho mais curto que é possível percor-
rer por vias terrestres.
2. Resposta possível: A localização de um ponto no plano carte-
siano depende de dois valores que compõem suas coordenadas: 
um valor relacionado ao eixo Ox (eixo das abscissas) e um valor 
relacionado ao eixo Oy (eixo das ordenadas). Esse sistema de lo-
calização considera coordenadas em um plano.
A localização de um ponto no sistema geográfico de latitude e de 
longitude é semelhante ao sistema de localização no plano car-
tesiano, já que a localização de um ponto também depende de 
dois valores que compõem suas coordenadas: um valor no para-
lelo relacionado à latitude (na horizontal) e um valor no meridia-
no relacionado à longitude (na vertical). Esse sistema de locali-
zação considera coordenadas em uma superfície curva, como a 
superfície terrestre.
3. Resposta pessoal. Os alunos podem perceber que o controle 
de localização mundial tem fortes implicações estratégicas dos 
pontos de vista político e militar, pois, por exemplo, além de po-
der monitorar outros países e até mesmo indivíduos, os Estados 
Unidos podem decidir quais países terão acesso a esse tipo de 
recurso ou se civis podem usá-lo ou não.
Página 580 – Exercícios propostos
3. A(6, 8), B(24, 23), C(3, 0), D(25, 4), E(0, 26), F(7, 24) e G(0, 5)
4. 
1
2
3
4
5
6
y
21
22
23
24
25
26
1 2 3 4 5 6 x212223242526
T L
S
R
Q
N
M
P
U
5. a) Um ponto pertence ao eixo das abscissas quando é da forma 
(x, 0). Logo, os pontos B(a, 0) e F 5 ( 2 1 __ a , 0 ) pertencem ao 
eixo das abscissas. 
b) Um ponto pertence ao eixo das ordenadas quando é da forma 
(0, y). Logo, os pontos D ( 0, 3 __ a ) e I(0, 23a) pertencem ao eixo 
das ordenadas. 
c) Um ponto pertence à primeira bissetriz, ou bissetriz dos qua-
drantes ímpares, quando é da forma (k, k). Logo, os pontos 
A ( a __ 2 , a __ 2 ) e H ( 2 2 __ a , 2 2 __ a ) pertencem à primeira bissetriz. 
d) Um ponto pertence à segunda bissetriz, ou bissetriz dos 
quadrantes pares, quando é da forma (k, 2k). Logo, os pon-
tos C(2a, a), E(a2, 2a2) e G(22a, 2a) pertencem à segunda 
bissetriz. 
73. Sendo V p o valor da bicicleta no pagamento à vista, temos:
 V p 5 
540,80 ________________ 
(1 1 0,04)2
 5 500
Portanto, o valor da bicicleta no pagamento à vista é R$ 500,00.
74. a) Temos:
23 000 2 20 000 Þ 26 450 2 23 000 Þ 30 417,5 2 26 450
 23 000 ___________ 20 000 5 
26 450 __________ 23 000 5 
30 417,5 ____________ 26 450 5 1,15
Logo, o regime utilizado foi o de juro composto.
b) Por se tratar de juro composto, os valores dessa dívida deter-
minam uma progressão geométrica.
c) q 5 23 000,00 _______________ 20 000,00 5 1,15
Logo, a razão da P.G. é 1,15 e a taxa de juro utilizada é 15%.
d) M 5 20 000 ? 1,156 ù 20 000 ? 2,313 5 46 260,00
Portanto, a dívida no 7o bimestre será aproximadamente 
R$ 46 260,00.
75. Sendo P c o preço de compra dos produtos e x o percentual de 
desconto que o comerciante pode dar sem ter prejuízo, temos: 
1,75 ? P c ? (1 2 x) > 1,36 ? P c ä 1,75 P c 2 1,75Pc x > 1,36 P c ä 
 ä 1,75Pc x < 0,39 P c ä x < 0,22285... 
Logo, a porcentagem máxima que o comerciante pode dar de 
desconto é aproximadamente 22,29%.
76. a) Sendo t o tempo, em meses, que as economias ficarão aplica-
das, temos:
MA(t)5 3 500 ? (1 1 0,014)
t 5 3 500 ? (1,014)t
MB(t)5 2 000 ? (1 1 0,04)
t 5 2 000 ? (1,04)t
b) MA(10) 5 3 500 ? (1,014)
10 5 3 500 ? 1,149 5 4 021,50
MB(10) 5 2 000 ? (1,04)
10 5 2 000 ? 1,480 5 2 960,00
Portanto, após 10 meses, o montante na instituição A será 
R$ 4 021,50 e, na instituição B, R$ 2 960,00.
c) Na instituição A: 2 000 ? (1,014)10 5 2 000 ? 1,149 5 2 298,00
Na instituição B: 3 500 ? (1,04)10 5 3 500 ? 1,480 5 5 180,00
Portanto, após 10 meses, o montante na instituição A seria 
R$ 2 298,00 e, na instituição B, R$ 5 180,00.
77. x ? (1 1 0,10) 5 495 000,00 ä x 5 450 000,00
y ? (1 2 0,10) 5 495 000,00 ä y 5 550 000,00
Logo, os valores de x e y são R$ 450 000,00 e R$ 550 000,00 
(alternativa b).
78. M 5 150 000 ? (1 1 0,03)12 ù 150 000 ? 1,426 ù 213 900
Portanto, ao final de um ano o empresário terá de pagar aproxi-
madamente R$ 213 900,00.
79. 720,00 _______________ 24 000,00 5 0,03 5 3%, ou seja, um acréscimo entre 2,5% e 
3,5% (alternativa b).
80. Na baixa temporada o pacote de hospedagem é vendido por 
y 5 x 2 0,25x 5 0,75x. Na alta temporada, esse mesmo pacote 
é vendido por 1,8y 5 1,8 ? 0,75x 5 1,35x, ou seja, um acréscimo 
de 35% em relação a x (alternativa a).
81. a) 132,00 ? (1 1 0,10) 1 132,00 5 277,20
Logo, no segundo mês, Janaína pagará R$ 277,20.
b) A terceira prestação, paga antecipadamente, é:
 132 _____________ 1 1 0,10 5 120,00
 Logo, o valor total a ser pago por Janaína para quitar a dívida 
no segundo mês é R$ 277,20 1 R$ 120,00 5 R$ 397,20.
c) 132,00 ? (1 1 0,10)2 1 132,00 ? (1 1 0,10) 1 132,00 5 436,92
Logo, o valor total a ser pago por Janaína para quitar a dívida 
no terceiro mês é R$ 436,92.
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21
Página 582 – Ação e cidadania
 ▪ Resposta pessoal. Nos volumes 1 e 2 desta coleção, o tema 
cidadania ativa é abordado diversas vezes, sendo comum tam-
bém em disciplinas do Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Se julgar necessário, trabalhe o assunto com a turma antes da 
realização dessa atividade, verificando o que os alunos pen-
sam sobre ser cidadão. Se necessário, comente que o cidadão 
ativo é aquele que faz diferença na própria comunidade por-
que se importa com ela. Age em sua defesa e organização sem-
pre que necessário, pois tem consciência de que os problemas 
da sociedade interferem em sua vida. Na prática da cidadania, 
a pessoa defende seus direitos, enquanto cumpre seus deveres 
sociais. Uma prática importante da cidadania é contribuir com 
ações para que o ensino público se desenvolva localmente, 
em benefício do desenvolvimento de todo o país. É o que faz 
nos Estados Unidos o professor Salman Khan e no Brasil o casal 
Bruno e Lucimara Werneck, sobre o qual apresentamos a se-guir o texto completo, que pode ser trabalhado com os alunos.
 ▪ Resposta pessoal. Auxilie os alunos a desenvolverem o roteiro 
do vídeo. Se possível, antes do início da atividade, apresen-
te um dos vídeos disponíveis em <https://pt.khanacademy.org/ 
library> (acesso em: 28 jun. 2015) ou algum modelo de vídeo para 
que os alunos possam conhecer exemplos de vídeos que têm o in-
tuito de esclarecer dúvidas, como são abordados os conteúdos, 
etc. Aproveite a atividade para observar o que os alunos focam do 
conteúdo e quais as dúvidas que eles querem sanar.
Página 582 – Para refletir
Sendo A(x, yA) e B(x, yB) pontos de abscissas iguais, temos:
d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 x)2 1 (yA 2 yB)2 5 dXXXXXXXX (yA 2 yB)2 5  yA 2 yB  
Sendo A(xA, y) e B(xB, y) pontos de ordenadas iguais, temos:
d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (xA 2 xB)2 1 (y 2 y)2 5 dXXXXXXXX (xA 2 xB)2 5  xA 2 xB  
Portanto, a fórmula é válida para a distância entre pontos de 
abscissas ou ordenadas iguais.
Página 583 – Exercícios propostos
8. x ? y , 0 ä x . 0 e y , 0 ou x , 0 e y . 0
Se x . 0 e y , 0, então o ponto P está no 4o quadrante; se x , 0 e 
y . 0, então o ponto P está no 2o quadrante. Logo, o ponto P(x, y) 
está localizado em um quadrante par.
9. A medida do segmento limitado pelos pontos M(22, 7) e N(1, 3) 
pode ser calculada de duas maneiras: representando os pontos 
em um plano cartesiano ou pela expressão da distância entre 
dois pontos.
 ▪ Representando os pontos no plano cartesiano:
1
2
3
4
5
6
7
y
21
1 2 3 x212223
M
P N
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:
(MN)2 5 (MP)2 1 (PN)2 5 42 1 32 5 25 ä MN 5 5
 ▪ Pela expressão da distância entre dois pontos:
d(M, N) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 2 (22) ) 2 1 (3 2 7)2 5 dXXXXXXXXXX 32 1 (24)2 5 dXXX 25 5 5
Portanto, a medida do segmento limitado pelos pontos M e N é 
5 unidades.
10. A origem do sistema cartesiano é o ponto O(0, 0). Então, a dis-
tância entre os pontos A(8, 26) e O(0, 0) pode ser calculada de 
duas maneiras: representando os pontos no plano cartesiano ou 
pela expressão da distância entre dois pontos.
 ▪ Representando os pontos no plano cartesiano:
0
1
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y
21
21
22
23
24
25
26
22
A
P
O
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:
(AO)2 5 (AP)2 1 (PO)2 5 82 1 62 5 100 ä AO 5 10
 ▪ Pela expressão da distância entre dois pontos:
d(A, O) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (8 2 0) 1 (26 2 0)2 5 dXXXXXXXXXX 82 1 (26)2 5 dXXXX 100 5 10
Portanto, a distância entre o ponto A e a origem do plano carte-
siano é 10 unidades.
11. Pela expressão da distância entre dois pontos, obtemos:
a) d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (p 1 1 2 p)2 1 (4 2 3)2 5 dXXXXXX 12 1 12 5 dXX 2 
b) d(M, N) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (23 2 1)2 1 ( k 2 (k 1 3) ) 2 5 dXXXXXXXXXXXXX (24)2 1 (23)2 5 
5 dXXX 25 5 5
c) d(P, Q) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( a 1 2 2 (a 1 1) ) 2 1 ( b 2 4 2 (b 2 2) ) 2 5
5 dXXXXXXXXXX 12 1 (22)2 5 dXX 5 
d) d(R, T) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( m2 1 2 2 (9 1 m2) ) 2 1 (2m 2 2m)2 5
5 dXXXXXXXXXX (27)2 1 02 5 dXXX 49 5 7
12. Pela expressão da distância entre dois pontos, obtemos:
d(P, Q) 5 10 ä dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 28 2 (k 2 1) ) 2 1 ( k 2 (25) ) 2 5 10 ä
ä (27 2 k)2 1 (k 1 5)2 5 100 ä 49 1 14k 1 k2 1 k2 1 10k 1 
1 25 5 100 ä 2k2 1 24k 2 26 5 0 ä k2 1 12k 2 13 5 0
Resolvendo a equação polinomial de segundo grau, obtemos os 
possíveis valores para k:
k 5 
212 ± dXXXXXXXXXXXXXXX 122 2 4 ? 1 ? (213) 
 ______________________________________ 2 ? 1 5 
212 ± dXXXX 196 __________________ 2 ä k 5 213 ou k 5 1
13. O perímetro do triângulo ABC, de vértices A(21, 3), B(5, 3) e 
C(2, 21), é a soma das medidas de seus lados. Podemos determi-
nar essas medidas pela distância entre cada par de vértices, ou 
seja, d(A, B) 1 d(B, C) 1 d(C, A). Assim:
d(A, B) 1 d(B, C) 1 d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (21 2 5)2 1 (3 2 3)2 1 
1 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (5 2 2)2 1 ( 3 2 (21) ) 2 1 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 2 2 (21) ) 2 1 (21 2 3)2 5 
5 dXXXXXXX 36 1 0 1 dXXXXXXX 9 1 16 1 dXXXXXXX 9 1 16 5 6 1 5 1 5 5 16
14. O ponto cujo valor da abscissa é igual ao valor da ordenada é da 
forma P(x, x). Como o ponto P é equidistante dos pontos A e B, 
obtemos:
d(A, P) 5 d(B, P) ä 
ä dXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 x)2 1 (3 2 x)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (21 2 x)2 1 (4 2 x)2 ä
ä dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 4 2 4x 1 x2 1 9 2 6x 1 x2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 1 1 2x 1 x2 1 16 2 8x 1 x2 ä 
ä dXXXXXXXXXXXXXX 2x2 2 10x 1 13 5 dXXXXXXXXXXXX 2x2 2 6x 1 17 ä
ä 2x2 2 10x 1 13 5 2x2 2 6x 1 17 ä 4x 5 24 ä x 5 21
Portanto, o ponto que satisfaz as condições dadas é P(21, 21).
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22
Página 585 – Para refletir 
Note que se A, B e C não forem colineares, existiria o triângulo 
ABC cuja área é 1 __ 2 ? |D| é não nula, e D não seria nulo, o que con-
traria D 5 0.
Página 586 – Exercícios propostos
19. Sendo M o ponto médio do segmento de extremidades nos pon-
tos dados, temos:
a) xM 5 
2 1 6 ________ 2 5 4 e yM 5 
3 2 1 ________ 2 5 1
Portanto, M(4, 1) é o ponto médio do segmento 
____
 AB .
b) xM 5 
 1 ___ 4 1 
5 ___ 4 _________ 2 5 
3 ___ 4 e yM 5 
5 2 9 ________ 2 5 22
Portanto, M ( 3 ___ 4 , 22 ) é o ponto médio do segmento 
____
 PQ .
c) xM 5 
24 1 2 ___________ 2 5 21 e yM 5 
0 1 8 _________ 2 5 4
Portanto, M(21, 4) é o ponto médio do segmento 
____
 CD .
d) xM 5 
 dXX 3 1 3 dXX 3 ______________ 2 5 2 
dXX 3 e yM 5 
 2 __ 3 2 
1 __ 3 _________ 2 5 
1 ___ 6 
Portanto, M ( 2 dXX 3 , 1 ___ 6 ) é o ponto médio do segmento 
____
 RS .
20. Como P é ponto médio de cada segmento 
____
 AB , temos: 
a) yP 5 
yA 1 yB __________ 2 ä a 5 
4 2 2 ________ 2 5 1
b) yP 5 
yA 1 yB __________ 2 ä 2 5 
4 1 a ________ 2 ä 4 1 a 5 4 ä a 5 0
c) xP 5 
xA 1 xB __________ 2 ä 26 5 
a 2 5 ________ 2 ä a 2 5 5 212 ä a 5 27
d) xP 5 
xA 1 xB __________ 2 ä a 5 
23 1 2 ___________ 2 5 2 
1 __ 2 
21. O centro de uma circunferência é o ponto médio de qualquer 
diâmetro. Assim, dado o diâmetro 
____
 AB , determinamos as coorde-
nadas do centro C:
xC 5 
22 1 4 ___________ 2 5 1 e yC 5 
3 1 1 ________ 2 5 2
Portanto, o centro da circunferência é o ponto C(1, 2).
Determinamos, então, a medida r do raio dessa circunferência. 
Como o diâmetro mede o dobro do raio, temos:
2r 5 d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (22 2 4)2 1 (3 2 1)2 5 dXXXXXXXXXX (26)2 1 22 5 dXXX 40 5 
5 2 dXXX 10 ä r 5 dXXX 10 
22. a) Para saber quais lados do triângulo ABC são congruentes, 
podemos determinar as medidas dos lados:
d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 9)2 1 ( 23 2 (23) ) 2 5 dXXXXXXXXXX (26)2 1 02 5 dXXX 36 5 6
d(B, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (9 2 6)2 1 (23 2 4)2 5 dXXXXXXXXXX 32 1 (27)2 5 dXXX 58 
d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (6 2 3)2 1 ( 4 2 (23) ) 2 5 dXXXXXXX 32 1 72 5 dXXX 58 
Como d(B, C) 5 d(C, A) 5 dXXX 58 , os lados BC e AC são os lados 
congruentes do triângulo isósceles ABC.
b) xM 5 
3 1 9 ________ 2 5 6 e yM 5 
23 23 __________ 2 5 23
Portanto, o ponto médio do lado 
____
 AB é M(6, 23).
c) Como o triângulo ABC é isósceles de base 
____
 AB , a altura relati-
va a este lado é a distância do vértice C ao ponto médio M do 
lado 
____
 AB , como representado abaixo.
C
A BM
Assim: 
d(C, M) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (6 2 6)2 1 ( 4 2 (23) ) 2 5 dXXXXXXX 02 1 72 5 dXXX 49 5 7
Portanto, a altura relativa ao lado 
____
 AB é 7 unidades.
23. Como os pontos A, B, C e D são colineares e 
____
 AB ; 
____
 BC ; 
____
 CD ; 
____
 DE , 
temos que o ponto C é ponto médio do segmento 
____
 AE , e os pontos 
B e D são pontos médios dos segmentos 
____
 AC e 
____
 CE . Assim:
xC 5 
xA 1 xE __________ 2 5 
27 2 3 ___________ 2 5 25 e yC 5 
yA 1 yE__________ 2 5 
25 1 7 ___________ 2 5 1
xB 5 
xA 1 xC __________ 2 5 
27 2 5 ___________ 2 5 26 e yB 5 
yA 1 yC __________ 2 5 
25 1 1 ___________ 2 5 22
xD 5 
xC 1 xE __________ 2 5 
25 2 3 ___________ 2 5 24 e yD 5 
yC 1 yE __________ 2 5 
1 1 7 ________ 2 5 4
Portanto, os pontos são B(26, 22), C(25, 1) e D(24, 4).
Determinamos, então, as medidas dos segmentos 
____
 BC e 
____
 BD :
d(B, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 26 2 (25) ) 2 1 (22 2 1)2 5 dXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 (23)2 5 dXXX 10 
d(B, D) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 26 2 (24) ) 2 1 (22 2 4)2 5 dXXXXXXXXXXXXX (22)2 1 (26)2 5 
5 dXXX 40 5 2 dXXX 10 
Portanto, os segmentos BC e BD medem dXXX 10 e 2 dXXX 10 .
24. Os pontos A, B e C determinam uma reta, ou seja, são colineares, se 
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
 5 0, e determinam um triângulo, caso contrário.
a) 
0 2 1
22 3 1
7 9 1
 5 0 1 14 2 18 2 21 2 0 1 4 5 221 Þ 0
Portanto, os pontos A, B e C determinam um triângulo.
b) 
2 3 1
2 21 1
2 7 1
 5 22 1 6 1 14 1 2 2 14 2 6 5 0
Portanto, os pontos A, B e C determinam uma reta.
c) 
1 3 1
2 6 1
3 9 1
 5 6 1 9 1 18 2 18 2 9 2 6 5 0
Portanto, A, B e C determinam uma reta.
d) 
21 24 1
3 22 1
24 2 1
 5 2 1 16 1 6 2 8 1 2 1 12 5 30 Þ 0
Portanto, os pontos A, B e C determinam um triângulo.
25. Como o ponto P está no eixo das abscissas, ele é da forma P(x, 0). 
Para que os pontos P, M e N sejam colineares, devemos ter 
xP yP 1
xM yM 1
xN yN 1
 5 0. Assim:
x 0 1
21 26 1
4 4 1
 5 0 ä 26x 1 0 2 4 1 24 2 4x 2 0 5 0 ä 
ä 210x 1 20 5 0 ä x 5 2
Portanto, o ponto P(2, 0) é colinear aos pontos M e N dados.
26. O ponto O(0, 0) é a origem do plano cartesiano. Para que os pontos 
A, B e O sejam colineares, devemos ter 
xA yA 1
xB yB 1
x0 y0 1
 5 0. Assim:
k 1 1
10 k 2 3 1
0 0 1
 5 0 ä k ? (k 2 3) 2 10 5 0 ä 
ä k2 2 3k 2 10 5 0 ä (k 2 5) ? (k 1 2) 5 0 ä k 5 5 ou k 5 22
Portanto, A, B e O são colineares se k 5 5 ou k 5 22.
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23
27. a) 
1 1 1
21 7 1
m 2m 1
 5 0 ä 7 1 m 1 m 2 7m 1 m 1 1 5 0 ä m 5 2
b) Os pontos determinam um triângulo quando não são colinea-
res, ou seja, quando m Þ 2.
28. Para que os pontos A, B e P sejam colineares, temos:
0 1 1
2 7 1
m n 1
 5 0 ä m 1 2n 2 7m 2 2 5 0 ä 
ä 26m 1 2n 2 2 5 0 ä 23m 1 n 2 1 5 0
Para que os pontos C, D e P sejam colineares, temos: 
1 22 1
5 2 1
m n 1
 5 0 ä 2 2 2m 1 5n 2 2m 2 n 1 10 5 0 ä 
ä 24m 1 4n 1 12 5 0 ä 2m 1 n 1 3 5 0
Então, para que as duas situações sejam satisfeitas, temos:
q23m 1 n 2 1 5 0
 2m 1 n 1 3 5 0
Da primeira equação, temos:
23m 1 n 2 1 5 0 ä n 5 1 1 3m
Substituindo n por 1 1 3m na segunda equação, obtemos:
2m 1 1 1 3m 1 3 5 0 ä m 5 22
Substituindo m por 22 em n 5 1 1 3m, obtemos:
n 5 1 1 3 ? (22) ä n 5 25
Portanto, as coordenadas do ponto P são (22, 25).
29. 
t t 1 5 1
21 4 1
2 7 1
 5 4t 1 2 ? (t 1 5) 2 7 2 8 2 7t 2 (21) ? (t 1 5) 5 
5 4t 1 2t 1 10 2 7 2 8 2 7t 1 t 1 5 5 0
Logo, os pontos A, B e C são colineares para qualquer valor real de t.
30. a) 
2 22 1
3 23 1
1 21 1
 5 26 2 2 2 3 1 3 1 2 1 6 5 0
Portanto, os pontos A, B e C são colineares e a afirmação dada 
é verdadeira.
b) Sendo A o ponto de coordenadas (a, 0), A9 o ponto de coorde-
nadas (0, 2a) e B o ponto de coordenadas (b, b), temos:
d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (a 2 b)2 1 (0 2 b)2 5 dXXXXXXXXXXXXX a2 2 2ab 1 2b2 
d(A9, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 2 b)2 1 (2a 2 b)2 5 dXXXXXXXXXXXXX a2 1 2ab 1 2b2 
Para que os pontos A e A9 sejam equidistantes do ponto B, 
temos d(A, B) 5 d(A9, B). Então:
d(A, B) 5 d(A9, B) ä dXXXXXXXXXXXXX a2 2 2ab 1 2b2 5 dXXXXXXXXXXXXX a2 1 2ab 1 2b2 ä 
ä a2 2 2ab 1 2b2 5 a2 1 2ab 1 2b2 ä 4ab 5 0 ä a 5 0 
ou b 5 0
Portanto, os pontos A e A9 são equidistantes do ponto B se 
a 5 0 ou b 5 0 e, então, a afirmação dada é falsa.
c) Se M é ponto médio do segmento 
____
 AB , então AM 5 MB. Divi- 
dindo os dois membros da igualdade por MB, obtemos:
 AM _____ MB 5 
MB _____ MB ä 
AM _____ MB 5 1
Portanto, AM _____ MB 5 1 e a afirmação dada é verdadeira.
31. Os pontos A, B e C são colineares. Então:
24 5 1
22 2a 1 2 1
4 a 1
 5 0 ä 24 ? (2a 1 2) 1 20 2 2a 2 4 ? (2a 1 2) 1 
1 4a 1 10 5 0 ä 28a 2 8 1 20 2 2a 2 8a 2 8 1 4a 1 10 5 0 ä 
ä 214a 1 14 5 0 ä 14a 5 14 ä a 5 1
Portanto, as coordenadas dos pontos B e C são (22, 4) e (4, 1).
32. Para que os pontos A, B e P sejam colineares, temos:
23 0 1
21 4 1
m n 1
 5 0 ä 212 1 0 2 n 2 4m 1 3n 2 0 5 0 ä
ä 2n 2 4m 2 12 5 0 ä n 2 2m 2 6 5 0
Para que os pontos C, D e P sejam colineares, temos:
7 2 1
5 4 1
m n 1
 5 0 ä 28 1 2m 1 5n 2 4m 2 7n 2 10 5 0 ä 
ä 22n 2 2m 1 18 5 0 ä n 1 m 2 9 5 0
Então, para que as duas situações sejam satisfeitas, temos:
q n 2 2m 2 6 5 0
 n 1 m 2 9 5 0
Da primeira equação, temos:
n 2 2m 2 6 5 0 ä n 5 2m 1 6
Substituindo yP por 2xP 1 6 na segunda equação, obtemos:
2m 1 6 1 m 2 9 5 0 ä m 5 1
Substituindo xP por 1 em n 5 2m 1 6, obtemos:
n 5 2 ? 1 1 6 5 8
Portanto, as coordenadas do ponto P são (1, 8).
Página 587 – Exercícios propostos
34. a) Considerando os pontos de coordenadas (0, 5) e (1, 3) perten-
centes à reta dada, e um ponto P(x, y) também pertencente à 
reta, pela condição de alinhamento de três pontos, obtemos a 
equação da reta:
x y 1
0 5 1
1 3 1
 5 0 ä 5x 1 y 1 0 2 5 2 3x 2 0 5 0 ä 
ä 2x 1 y 2 5 5 0
b) Considerando os pontos de coordenadas (2, 4) e (21, 23) 
pertencentes à reta dada, e um ponto P(x, y) também perten-
cente à reta, pela condição de alinhamento de três pontos, 
obtemos a equação da reta:
x y 1
2 4 1
21 23 1
 5 0 ä 4x 2 y 2 6 1 4 1 3x 2 2y 5 0 ä 
ä 7x 2 3y 2 2 5 0
35. a) Como o ponto P pertence ao eixo das ordenadas, ele é da forma 
P(0, y). Então, substituindo x por 0 na equação 4x 2 y 1 12 5 0 
da reta, obtemos:
4 ? 0 2 y 1 12 5 0 ä y 5 12
Portanto, as coordenadas do ponto P são (0, 12).
b) Como o ponto Q pertence ao eixo das abscissas, ele é da forma 
Q(x, 0). Então, substituindo y por 0 na equação 4x 2 y 1 12 5 0 
da reta, obtemos:
 4x 2 0 1 12 5 0 ä 4x 5 212 ä x 5 23
Portanto, as coordenadas do ponto P são (23, 0).
36. Se os números reais a, b e c fossem simultaneamente nulos, na 
equação na forma ax 1 by 1 c 5 0, teríamos 0 ? x 1 0 ? y 1 0 5 0, 
que não representa uma reta.
Página 588 – Para refletir
Sendo y 5 yA a equação de uma reta paralela ao eixo Ox, para 
qualquer valor de x, temos y 5 yA. Assim, dados dois pontos 
A(xA, yA) e B(xB, yA) pertencentes a essa reta e o coeficiente angu-
lar m dessa reta, temos:
m 5 
yA 2 yA __________ xA 2 xA
 5 0 __________ xA 2 xA
 5 0
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24
De fato, o coeficiente angular de uma reta paralela ao eixo Ox é 0. 
Então, a expressão do cálculo do coeficiente angular de uma reta 
é válida também para retas paralelas ao eixo Ox.
Página 589 – Exercícios propostos
39. Determinamos as coordenadas de dois pontos que pertencem 
à reta de equação x 2 y 2 7 5 0:
 ▪ Para x 5 0, temos: 0 2 y 2 7 5 0 ä y 5 27
 ▪ Para y 5 0, temos: x 2 0 2 7 5 0 ä x 5 7
Assim, os pontos A(0, 27) e B(7, 0) pertencem à reta de equação 
dada. Então, sendo m o coeficiente angular dessa reta e £ a incli-
nação dessa reta, 08 , £ , 1808, obtemos:
m 5 0 1 7 _________ 7 2 0 5 1
m 5 tan £ ä 1 5 tan £ ä £ 5 458
Portanto, o ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas 
mede 458.
40. a) Verdadeira, pois o coeficiente angular da reta r é a tangente 
de sua inclinação, que é a medida do ângulo formado por ela 
e o eixo das abscissas.
b) Falsa. A inclinação de uma reta é o ângulo formado por ela e 
o eixo das abscissas; ou o coeficiente angular de uma reta é a 
tangente do ângulo formado por ela e o eixo das abscissas.
c) Verdadeira. Uma reta paralela ao eixo das ordenadas forma 
com o eixo das abscissas um ângulo de 908. Como o coefi-
ciente angular dessa reta é a tangente desse ângulo, valor que 
não existe, temos que uma reta paralela ao eixo das ordena-
das não tem coeficiente angular.
d) Verdadeira,pois o coeficiente angular é m 5 tg 08 5 0.
41. a) 
x y 1
0 2 1
1 23 1
 5 0 ä 2x 1 y 1 0 2 2 1 3x 2 0 5 0 ä 
ä 5x 1 y 2 2 5 0
Portanto, a equação da reta r é 5x 1 y 2 2 5 0.
b) Para verificar se o ponto P(21, 8) pertence à reta r, po-
demos substituir x por 21 na equação da reta e verificar 
se y é igual a 8. 
5 ? (21) 1 y 2 2 5 0 ä 25 1 y 2 2 5 0 ä y 5 7 
Portanto, o ponto P(21, 8) não pertence à reta r.
42. Considerando os pontos A(22, 0) e B(0, 7) pertencentes à reta r, 
e mr seu coeficiente angular, temos:
mr 5 
7 2 0 _________ 0 1 2 5 
7 __ 2 
Considerando os pontos C(1, 1) e D(22, 7) pertencentes à reta s, 
e ms seu coeficiente angular, temos:
ms 5 
7 2 1 ___________ 
22 2 1 5 22
Portanto, os coeficientes angulares das retas r e s são mr 5 
7 __ 2 e 
ms 5 22.
43. Sejam r a reta que contém os pontos A e B, e s a reta que con-
tém os pontos B e C. Por construção, B é ponto comum entre as 
retas r e s. Assim, se mr 5 ms, então os três pontos pertencem à 
mesma reta.
Calculamos mr e ms:
mr 5 
yA 2 yB __________ xA 2 xB
 5 2 2 3 ________ 5 2 7 5 
1 __ 2 
ms 5 
yC 2 yB __________ xC 2 xB
 5 22 2 3 ___________ 
23 2 7 5 
5 ____ 10 5 
1 __ 2 
Portanto, mr 5 ms e as retas que passam pelos pontos A e B, B e C 
são a mesma reta.
44. Sejam r a reta que contém os pontos A e B e s a reta que contém 
os pontos B e C. Por construção, B é ponto comum entre as retas 
r e s. Assim, se mr 5 ms, então os três pontos pertencem à mesma 
reta e, portanto, serão colineares.
Verificamos então o valor de k tal que mr 5 ms:
mr 5 ms ä 
yA 2 yB __________ xA 2 xB
 5 
yC 2 yB __________ xC 2 xB
 ä 22 2 k ___________ 1 2 2 5 
k 1 2 2 k ______________ 3 2 2 ä
ä k 1 2 5 2 ä k 5 0
Página 591 – Exercícios propostos
47. Como a reta r passa pelo ponto A(1, 5) e tem coeficiente angular 
m 5 22, temos a equação de r:
y 2 5 5 22 ? (x 2 1) ä y 2 5 5 22x 1 2 ä 2x 1 y 2 7 5 0
48. Determinamos a equação da reta que passa por A(22, 5) e tem 
coeficiente angular m 5 2 1 __ 2 .
y 2 5 5 2 1 __ 2 ? ( x 2 (22) ) ä y 2 5 5 2 
1 __ 2 ? (x 1 2) ä 
ä y 2 5 5 2 x __ 2 2 1 ä x 1 2y 2 8 5 0
Para verificar se o ponto P(2, 3) pertence a essa reta, podemos 
substituir x por 2 na equação da reta e verificar se y é igual a 3. 
2 1 2y 2 8 5 0 ä 2y 5 6 äy 5 3
Logo, o ponto P(2, 3) pertence à reta de equação x 1 2y 2 8.
49. a) Como a reta r passa pelo ponto de coordenadas (1, 24) e tem 
coeficiente angular mr 5 4, temos a equação de r:
y 2 (24) 5 4 ? (x 2 1) ä y 1 4 5 4x 2 4 ä 4x 2 y 2 8 5 0
b) Como o ponto P pertence ao eixo das abscissas, suas coorde-
nadas são da forma (x, 0). Substituindo y por 0 na equação da 
reta r, obtemos:
4x 2 0 2 8 5 0 ä x 5 2
Portanto, as coordenadas do ponto P são (2, 0).
c) O ponto Q tem coordenadas da forma (x, x). Substituindo y 
por x na equação da reta r, obtemos:
4x 2 x 2 8 5 0 ä 3x 5 8 ä x 5 8 ___ 3 
Portanto, as coordenadas do ponto Q são ( 8 ___ 3 , 8 ___ 3 ) .
50. A reta s passa pelo P ( 3, dXX 3 ) e tem inclinação 608. Então, seu 
coeficiente angular é m 5 tg 608 5 dXX 3 . Assim, determinamos a 
equação da reta s:
y 2 dXX 3 5 dXX 3 ? (x 2 3) ä y 2 dXX 3 5 x dXX 3 2 3 dXX 3 ä 
ä x dXX 3 2 y 2 2 dXX 3 5 0
51. Como o ângulo formado com o eixo das ordenadas mede 1358, o 
ângulo com o eixo das abscissas mede 1358 1 908 5 2258 e o 
coeficiente angular dessa reta é m 5 tg 2258 5 tg 458 5 1. Assim, 
determinamos a equação dessa reta:
y 2 0 5 1 ? (x 2 4) ä y 5 x 2 4 ä x 2 y 2 4 5 0
52. a) Como a inclinação da reta r é 1508, seu coeficiente angular é 
m 5 tg 1508 5 2tg 308 5 2 
dXX 3 ____ 3 .
b) y 2 3 5 2 
 dXX 3 
 ____ 3 ? (x 2 0) ä y 2 3 5 2 
 dXX 3 ____ 3 x ä x dXX 3 1 3y 2 9 5 0
53. a) m 5 
24 2(22)
 _______________ 
2 2 (22)
 5 24 1 2 ___________ 2 1 2 5 2 
1 __ 2 
b) y 2 (22) 5 2 1 __ 2 ? ( x 2 (22) ) ä y 1 2 5 2 
1 __ 2 ? (x 1 2) ä 
ä y 1 2 5 2 x __ 2 2 1 ä 
x __ 2 1 y 1 3 5 0 ä x 1 2y 1 6 5 0
c) Para verificar se o ponto P(8, 26) pertence a r, substituímos 
x por 8 na equação da reta e verificamos se y é igual a 26.
8 1 2y 1 6 5 0 ä 2y 5 214 5 0 ä y 5 27
Portanto, o ponto P(8, 26) não pertence à reta r.
54. Sejam r, s e t as retas suportes dos lados MN, MP e PN (respec-
tivamente) do triângulo dado. Como os pontos M e N pertencem 
ao eixo das abscissas, a reta que passa por esses pontos é y 5 0.
Como a inclinação da reta s é 378, seu coeficiente angular é 
m 5 tg 378 5 0,75. Assim, dado o ponto P(4, 6) pertencente à 
reta s, temos:
y 2 6 5 0,75 ? (x 2 4) ä y 2 6 5 0,75x 2 3 ä 
ä 0,75x 2 y 1 3 5 0 ä 3x 2 4y 1 12 5 0
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25
Como a inclinação da reta t é 1808 2 278 5 1538, seu coeficiente 
angular é m 5 tg 1538 5 2tg 278 5 20,5. Assim, dado o ponto 
P(4, 6) pertencente à reta s, temos:
y 2 6 5 20,5 ? (x 2 4) 5 20,5x 1 2 ä 0,5x 1 y 2 8 5 0 ä 
ä x 1 2y 2 16 5 0
Portanto, as equações das retas suportes dos lados desse triân-
gulo são y 5 0, 3x 2 4y 1 12 5 0 e x 1 2y 2 16 5 0.
Página 594 – Exercícios propostos
58. a) x 2 y 1 4 5 0 ä y 5 x 1 4
b) x 2 3y 5 0 ä y 5 1 __ 3  x
c) 4x 1 2y 2 1 5 0 ä 2y 5 2 4x 1 1 ä y 5 22x 1 1 __ 2 
d) x 2 1 __ 2  y 5 3 ä 
1 __ 2  y 5 x 2 3 ä y 5 2x 2 6
59. a) 2x 1 3y 2 4 5 0 ä 3y 5 22x 1 4 ä y 5 2 2 __ 3 x 1 
4 ___ 3 
b) A equação reduzida de uma reta é da forma y 5 mx 1 n, em 
que m é coeficiente angular e n é coeficiente linear. Então, na 
equação y 5 2 2 __ 3 x 1 
4 ___ 3 , o coeficiente angular é m 5 2 
2 __ 3 .
c) O coeficiente linear é n 5 4 ___ 3 .
60. Determinamos o coeficiente angular m da reta r: 
m 5 22 2 4 ___________ 
22 2 0 5 3
Então, pelo coeficiente angular m 5 3 e o ponto A(0, 4), obtemos 
a equação reduzida da reta r:
y 2 4 5 3 ? (x 2 0) ä y 2 4 5 3x ä y 5 3x 1 4
61. a) Os pontos A(0, 5) e B ( 2 5 __ 3 , 0 ) pertencem à reta dada. Então, 
temos o coeficiente angular m dessa reta:
m 5 0 2 5 ______________ 
 2 
5
 __ 3 2 0 
 5 5 ? 3 __ 5 5 3
Como a reta intersecta o eixo das ordenadas no ponto de coor- 
denadas (0, 5), seu coeficiente linear é n 5 5.
b) Os pontos A(22, 6) e B(2, 3) pertencem à reta dada. Então, 
temos o coeficiente angular m dessa reta:
m 5 3 2 6 _____________ 
2 2 (22)
 5 23 ________ 2 1 2 5 2 
3 ___ 4 
Assim, temos a equação reduzida da reta:
y 2 6 5 2 3 ___ 4 ? ( x 2 (22) ) ä y 2 6 5 2 
3 ___ 4 ? (x 1 2) ä 
ä y 2 6 5 2 3 ___ 4 x 2 
3 __ 2 ä y 5 2 
3
 ___ 4 x 1 
9 ___ 2 
Portanto, o coeficiente linear é n 5 9 ___ 2 . 
c) Os pontos A(23, 0) e B(1, 28) pertencem à reta dada. Então, 
temos o coeficiente angular m dessa reta:
m 5 28 2 0 _____________ 
1 2 (23)
 5 28 _________ 1 1 3 5 2 
8 ___ 4 5 22
Assim, temos a equação reduzida da reta:
y 2 0 5 22 ? ( x 2 (23) ) ä y 5 22 ? (x 1 3) ä y 5 22x 2 6
Portanto, o coeficiente linear é n 5 26.
d) Como a reta é paralela ao eixo Ox, seu coeficiente angular é 
m 5 0. Além disso, a reta intersecta o eixo das ordenadas no 
ponto A(0, 24); então seu coeficiente linear é n 5 24. 
62. Sejam Q o ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordena-
das e O a origem do plano cartesiano. Como OP 5 5, pelo teore-
ma de Pitágoras, obtemos:
132 5 52 1 (OQ)2 ä OQ 5 12
Assim, o ponto Q tem coordenadas (0, 12).
Determinamos o coeficiente angular da reta r:
m 5 0 2 12 __________ 5 2 0 5 2 
12 ____ 5 
Então, obtemos a equação reduzida da reta r:
y 2 0 5 2 12 ____ 5 ? (x 2 5) ä y 5 2 
12 ____ 5 x 1 12
63. A reta r corta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas 
(22, 0) e (0, 4), a reta s corta os eixos coordenados nos pontos 
(4, 0) e (0, 6) e a reta t corta os eixos coordenados nos pontos 
( 7 __ 3 , 0 ) e (0, 21). 
Substituindo esses valores em x __ q 1 
y __ n 5 1, obtemos as equações 
das retas na forma segmentária:
r: x _______ 
(22)
 1 y ___ 4 5 1, s: 
x ___ 4 1 
y ___ 6 5 1 e t:x ____ 
 7 __ 3 
 1 y _______ 
(21)
 5 1
64. a) Da equação x __ 3 1 
y _____ 
22 5 1, temos q 5 3 e n 5 22, tal que A(0, n) 
e B(q, 0) são os pontos em que a reta dada corta os eixos coor-
denados. Assim, essa reta corta os eixos coordenados nos pon-
tos A(0, 22) e B(3, 0).
b) m 5 
0 2 (22)
 _____________ 3 2 0 5 
2 __ 3 
Portanto, o coeficiente angular da reta r é m 5 2 __ 3 .
c) Como a reta corta o eixo das ordenadas no ponto A(0, 22), 
seu coeficiente linear é n 5 22.
65. Determinamos o coeficiente angular da reta dada:
m 5 24 2 2 ___________ 1 2 3 5 
26 _____ 
22 5 3
Como a reta passa pelo ponto N(3, 2) e tem coeficiente angular 
m 5 3, determinamos sua equação reduzida:
y 2 2 5 3 ? (x 2 3) ä y 2 2 5 3x 2 9 ä 3x 2 y 2 7 5 0
Para determinar as coordenadas dos pontos em que a reta corta 
os eixos, substituímos y por 0 e x por 0 nessa equação:
Para y 5 0, temos: 3x 2 0 2 7 5 0 ä x 5 7 __ 3 
Para x 5 0, temos: 3 ? 0 2 y 2 7 5 0 ä y 5 27
Assim, a reta corta os eixos Ox e Oy nos pontos de coorde-
nadas ( 7 __ 3 , 0 ) e (0, 27) e a equação segmentária da reta é 
 x ____ 
 7 __ 3 
 1 
y
 _______ 
(27)
 5 1.
66. a) Para t 5 1, temos: x 5 1 1 3 5 4 e y 5 2 ? 1 1 7 5 9
Para t 5 22, temos: x 5 22 1 3 5 1 e y 5 2 ? (22) 1 7 5 3 
Para t 5 0, temos: x 5 0 1 3 5 3 e y 5 2 ? 0 1 7 5 7 
Logo, os pontos de coordenadas (4, 9), (1, 3) e (3, 7) perten-
cem à reta r.
b) Utilizando os pontos de coordenadas (3, 7) e (4, 9) que per-
tencem à reta r, determinamos seu coeficiente angular: 
mr 5 
9 2 7 ________ 4 2 3 5 
2 __ 1 5 2
Assim, a equação reduzida da reta r é:
y 2 7 5 2 ? (x 2 3) ä y 2 7 5 2x 2 6 ä y 5 2x 1 1
67. a) Isolamos t na primeira equação:
x 5 t 2 2 ä t 5 x 1 2
Substituindo t por x 1 2 na segunda equação, obtemos a 
equação geral da reta r:
y 5 4 ? (x 1 2) 1 1 ä y 5 4x 1 8 1 1 ä 4x 2 y 1 9 5 0
b) 4x 2 y 1 1 9 5 0 ä y 5 4x 1 9
c) Para determinar as coordenadas dos pontos em que a reta 
corta os eixos, substituímos y por 0 e x por 0 na equação ge-
ral da reta:
 Para y 5 0, temos: 4x 2 0 1 9 5 0 ä x 5 2 9 ___ 4 
 Para x 5 0, temos: 4 ? 0 2 y 1 9 5 0ä y 5 9
Assim, a reta corta os eixos Ox e Oy nos pontos de coorde-
nadas ( 2 9 ___ 4 , 0 ) e (0, 9) e a equação segmentária da reta é 
 x ______ 
2 9 ___ 4 
 1 
y
 ___ 9 5 1.
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 25 7/28/15 2:43 PM
26
68. A reta s corta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 6) e o eixo 
Ox no ponto de coordenadas (2, 0). Assim, os pontos A(0, 6) 
e B(2, 0) pertencem à reta s e o coeficiente linear dessa reta é 
ns 5 6. Determinamos o coeficiente angular dessa reta:
ms 5 
0 2 6 _________ 2 2 0 5 23
Logo, a equação reduzida da reta s é y 5 23x 1 6.
A reta u corta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 26) e o 
eixo Ox no ponto de coordenadas (22, 0). Assim, os pontos 
C(0, 26) e D(22, 0) pertencem à reta u e o coeficiente linear 
dessa reta é nu 5 26. Determinamos o coeficiente angular des-
sa reta:
mu 5 
0 2 (26)
 ______________ 
22 2 0 5 23
Logo, a equação reduzida da reta u é y 5 23x 2 6. Essa reta é 
paralela à reta s, pois ms 5 mu.
A reta t corta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 6) e o 
eixo Ox no ponto de coordenadas (22, 0). Assim, os pontos 
A(0, 6) e D(22, 0) pertencem à reta t e o coeficiente linear dessa 
reta é nt 5 6. Determinamos o coeficiente angular dessa reta:
mt 5 
0 2 6 ___________ 
22 2 0 5 3
Logo, a equação reduzida da reta t é y 5 3x 1 6. 
A reta r corta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 26) e o 
eixo Ox no ponto de coordenadas (2, 0). Assim, os pontos 
C(0, 26) e B(2, 0) pertencem à reta r e o coeficiente linear dessa 
reta é nr 5 26. Determinamos o coeficiente angular dessa reta:
mr 5 
0 2 (26)
 ______________ 2 2 0 5 3
Logo, a equação reduzida da reta t é y 5 3x 2 6. Essa reta é pa-
ralela à reta r, pois mt 5 mr.
Portanto, as equações reduzidas das retas são: 
s: y 5 23x 1 6, u: y 5 23x 2 6, t: y 5 3x 1 6 e r: y 5 3x 2 6
Página 597 – Exercícios propostos
72. Determinamos o ponto de intersecção das retas r e s resolvendo 
o sistema formado por suas equações:
q 5x 2 y 1 2 5 0
3x 2 y 1 6 5 0
Isolamos y na primeira equação:
5x 2 y 1 2 5 0 ä y 5 5x 1 2
Substituindo y por 5x 1 2 na segunda equação, obtemos:
3x 2 (5x 1 2) 1 6 5 0 ä 22x 1 4 5 0 ä x 5 2
Substituindo x por 2 em y 5 5x 1 2, obtemos:
y 5 5 ? 2 1 2 5 12
Portanto, o ponto de intersecção das retas r e s é P(2, 12).
73. Como as retas são coincidentes, elas têm coeficientes angulares 
iguais e coeficientes lineares iguais. Escrevemos as equações 
dadas na forma reduzida:
3x 2 y 1 q 2 1 5 0 ä y 5 3x 1 q 2 1
(p 2 5) ? x 2 y 2 2 5 0 ä y 5 (p 2 5) ? x 2 2
Assim:
3 5 p 2 5 ä p 5 8
q 2 1 5 22 ä q 5 21
74. Determinamos o coeficiente angular da reta 
____
 AB e, depois, sua 
equação reduzida:
m 5 1 2 7 ___________ 
22 2 1 5 
6 ___ 3 5 2
y 2 7 5 2 ? (x 2 1) ä y 2 7 5 2x 2 2 ä y 5 2x 1 5
Determinamos o coeficiente angular da reta 
____
 CD e, depois, sua 
equação reduzida:
m 5 24 2 5 ___________ 
21 2 2 5 
9 ___ 3 5 3
y 2 5 5 3 ? (x 2 2) ä y 2 5 5 3x 2 6 ä y 5 2x 2 1
Então, determinamos o ponto de intersecção das retas 
‹
 
____
 
›
 AB e 
‹
 
____
 
›
 CD 
resolvendo o sistema formado por suas equações:
y 5 2x 1 5
y 5 3x 2 1
Substituindo y por 2x 1 5 na segunda equação, obtemos:
2x 1 5 5 3x 2 1 ä x 5 6
Substituindo x por 6 na primeira equação, obtemos:
y 5 2 ? 6 1 5 5 17
Portanto, o ponto de intersecção das retas 
____
 AB e 
____
 CD é P(6, 17).
75. Para classificar as retas em paralelas, concorrentes ou coinci-
dentes, comparamos seus coeficientes angulares e lineares. 
Para isso, escrevemos as equações das retas na forma reduzida.
a) Para a reta r, temos: 
 y 5 3x 2 7 ä mr 5 3 e nr 5 27
 Para a reta s, temos:
 3x 1 2y 2 2 5 0 ä 2y 5 23x 1 2 ä y 5 2 3 __ 2  x 1 1 ä 
ä ms 5 2 
3
 __ 2 e ns 5 1
Como mr Þ ms, mr Þ 0, ms Þ 0 e nr Þ ns, verificamos a condi-
ção de perpendicularidade.
mr ? ms 5 3 ? ( 2 3 __ 2 ) 5 2 9 ___ 2 Þ 21
Portanto, as retas r e s são concorrentes, mas não são per-
pendiculares.
b) Para a reta r, temos:
 3x 1 2y 2 11 5 0 ä 2y 5 23x 1 11 ä y 5 2 3 __ 2  x 1 
11 ____ 2 ä 
ä mr 5 2 
3 __ 2 e nr 5 
11 ____ 2 
 Para a reta s, temos:
 x __ 2 1 
y __ 3 5 1 ä 3x 1 2y 5 6 ä y 5 2 
3 __ 2 x 1 3 ä 
ä ms 5 2 
3 __ 2 e ns 5 3
Como mr 5 ms e nr Þ ns, as retas r e s são paralelas.
c) Para a reta r, temos:
 x __ 3 1 
y
 _____ 
24 5 1 ä 4x 2 3y 5 12 ä y 5 
4 ___ 3  x 2 4 ä 
ä mr 5 
4 ___ 3 e nr 5 24
 Para a reta s, temos:
 x 5 3t ä t 5 x __ 3 
 y 5 4t 2 4 ä y 5 4 ? x __ 3 2 4 ä y 5 
4 ___ 3 x 2 4 ä 
ä ms 5 
4 ___ 3 e ns 5 24
 Como mr 5 ms e nr 5 ns, as retas r e s são coincidentes.
76. Os pontos de coordenadas (21, 1) e (0, 3) pertencem à reta r. En-
tão, determinamos seu coeficiente angular e, depois, sua equa-
ção reduzida:
mr 5 
3 2 1 _____________ 
0 2 (21)
 5 2 ___ 1 5 2
y 2 3 5 2 ? (x 2 0) ä y 2 3 5 2x ä y 5 2x 1 3
Como as retas r, s e t são paralelas, temos mr 5 ms 5 mt.
Dado o ponto de coordenadas (0, 0) pertencente à reta s, deter-
minamos sua equação na forma reduzida:
y 2 0 5 2 ? (x 2 0) ä y 5 2x
Dado o ponto de coordenadas (4, 3) pertencente à reta t, deter-
minamos sua equação na forma reduzida:
y 2 3 5 2 ? (x 2 4) ä y 2 3 5 2x 2 8 ä y 5 2x 2 5
Portanto, as equações reduzidas das retas r, s e t são y 5 2x 1 3, 
y 5 2x e y 5 2x 2 5, respectivamente.
77. A mediatriz de um segmento 
____
 AB passa pelo ponto médio desse 
segmento e é perpendicular a ele. Determinamos as coordena-
das do ponto médio M desse segmento:
xM 5 
21 2 7 ___________ 2 5 24 e yM 5 
5 2 19 __________ 2 5 27
Assim, o ponto médio do segmento 
____
 AB é M(24, 27).
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 26 7/28/15 2:43 PM
27
Determinamos o coeficiente angular da reta que contém o seg-
mento 
____
 AB :
mAB 5 
219 2 5 ________________ 
27 2 (21)
 5 24 ____ 65 4
Assim, como a mediatriz é perpendicular a essa reta, seu coefi-
ciente angular m é:
m ? mAB 5 21 ä m 5 2 
1 _____ mAB
 5 2 1 ___ 4 
Então, determinamos a equação da mediatriz:
y 2 (27) 5 2 1 ___ 4 ? ( x 2 (24) ) ä y 1 7 5 2 
1 ___ 4 x 2 1 ä 
ä y 1 x ___ 4 1 8 5 0
78. Se as retas r e s são perpendiculares, então seus coeficientes an-
gulares são da forma mr ? ms 5 21. Determinamos, então, o coefi- 
ciente angular m s :
2x 2 y 2 5 5 0 ä y 5 2x 2 5 ä m s 5 2
Assim: mr ? ms 5 21 ä mr ? 2 5 21 ä mr 5 2 
1 __ 2 
E, como a reta r passa pelo ponto P(2, 2), determinamos sua 
equação:
y 2 2 5 2 1 __ 2 ? (x 2 2) ä 2y 2 4 5 2x 1 2 ä x 1 2y 2 6 5 0
79. a) 
1
1
2
3
A B
D C
4
5
6
7
2 3 4 5 6 x
y
2122
b) Determinamos o coeficiente angular da reta 
‹
 
____
 
›
 AB e, depois, sua 
equação reduzida:
mAB 5 
7 2 7 _____________ 
3 2 (22)
 5 0 ___ 5 5 0
y 2 7 5 0 ? (x 2 7) ä y 5 7
 Analogamente para a reta 
‹
 
____
 
›
 CD , temos:
mCD 5 
3 2 3 ________ 1 2 6 5 
0 _____ 
25 5 0
y 2 3 5 0 ? (x 2 3) ä y 5 3
Os coeficientes lineares dessas retas são nAB 5 7 e nCD 5 3.
Como mAB 5 mCD e nAB Þ nCD, as retas são paralelas.
c) Analogamente ao item anterior, para as retas 
‹
 
____
 
›
 AD e 
‹
 
____
 
›
 BC temos:
mAD 5 
3 2 7 _____________ 
1 2 (22)
 5 2  4 ___ 3 
y 2 3 5 2  4 ___ 3 ? (x 2 1) ä 3y 2 9 5 24x 1 4 ä 
ä 3y 5 24x 1 13 ä y 5 2 4 ___ 3 x 1 
13 ____ 3 
mBC 5 
3 2 7 _________ 6 2 3 5 2 
4 ___ 3 
y 2 3 5 2  4 ___ 3 ? (x 2 6) ä 3y 2 9 5 24x 1 24 ä 
ä 3y 5 24x 1 33 ä y 5 2 4 ___ 3 x 1 11
Os coeficientes lineares dessas retas são nAD 5 
13 ____ 3 e nBC 5 11.
Como mAD 5 mBC e nAD Þ nBC, as retas são paralelas.
d) Analogamente aos itens anteriores, para as retas 
‹
 
____
 
›
 BD e 
‹
 
____
 
›
 AC te-
mos: 
mBD 5 
3 2 7 ________ 1 2 3 5 
4 ___ 2 5 2
y 2 7 5 2 ? (x 2 3) ä y 2 7 5 2x 2 6 ä y 5 2x 1 1
mAC 5 
3 2 7 _____________ 
6 2 (22)
 5 2 4 ___ 8 5 2 
1 __ 2 
y 2 3 5 2  1 __ 2 ? (x 2 6) ä 2y 2 6 5 2x 1 6 ä 
ä 2y 5 2x 1 12 ä y 5 2 1 __ 2 x 1 6
Como mBD 5 mAC, mBD Þ 0 e mAC Þ 0, verificamos a condição 
de perpendicularidade:
mAC ? mBD 5 2 
1 __ 2 ? 2 5 21
Portanto, as retas 
‹
 
____
 
›
 BD e 
‹
 
____
 
›
 AC são perpendiculares.
80. Como a reta é paralela à reta de equação y 5 2x, seus coefi-
cientes angulares são iguais; logo esses coeficientes angulares 
são m 5 21.
Assim, dado o ponto P(6, 0) que pertence a essa reta, obtemos 
sua equação:
y 2 0 5 21 ? (x 2 6) 5 2x 1 6 ä x 1 y 2 6 5 0
81. Como a reta não corta a reta de equação y 5 2x, elas são para-
lelas e têm coeficientes angulares iguais; logo, esses coeficien-
tes são m 5 21.
Assim, dado o ponto P(2, 5) que pertence a essa reta, obtemos 
sua equação:
y 2 5 5 21 ? (x 2 2) ä y 2 5 5 2x 1 2 ä x 1 y 2 7 5 0 
82. A reta r contém o ponto de coordenadas (0, 3) e é perpendicular 
à reta s. Determinamos o coeficiente angular da reta s:
2x 2 y 1 1 5 0 ä y 5 2x 1 1 ä m s 5 2
Então, determinamos o coeficiente angular da reta r:
 m r ? m s 5 21 ä m r ? 2 5 21 ä m r 5 2 
1 __ 2 
Logo, a equação da reta r é:
y 2 3 5 2 1 __ 2 ? (x 2 0) ä y 5 2 
1 __ 2 x 1 3
Página 599 – Exercícios propostos
84. O coeficiente angular da reta r, obtido no triângulo destacado, é 
m 5 tg a 5 3 __ 1 5 3.
A equação da reta é y 2 4 5 3 ( x 2 8 ___ 3 ) Æ y 2 4 5 3x 2 8 Æ
Æ y 5 3x 2 4
Para x 5 0, temos: y 5 2 4 e, portanto, n 5 2 4 (alternativa b).
85. Podemos obter a reta 
‹
 
____
 
›
 AB fazendo:
x y 1
1 2 1
2 4 1
 5 2x 1 2y 1 4 2 4 2 4x 2 y 5 22x 1 y 5 0 Æ
Æ y 5 2x
Determinamos o ponto P, resolvendo o sistema: 
 y 5 2x
x 2 3y 5 1
Substituindo y 5 2x na 2a equação, temos:
x 2 3 ? 2x 5 1 Æ x 2 6x 5 1 Æ 25x 5 1 Æ x 5 2 1 __ 5 
Logo, y 5 2 ? ( 2 1 __ 5 ) 5 2 2 __ 5 
E assim temos: x 1 y 5 2 1 __ 5 1 ( 2 2 __ 5 ) 5 2 1 __ 5 2 2 __ 5 5 2 3 __ 5 
(alternativa c).
86. Seja b a medida do menor ângulo formado pelas retas r e s dadas.
a) Determinamos os coeficientes angulares das retas r e s:
r: x ______ 
2  3 __ 2 
 1 y __ 3 5 1 ä 22x 1 y 5 3 ä y 5 2x 1 3 ä mr 5 2
s: y 5 23x 2 12 ä ms 5 23
Então:
tan b 5  23 2 2 _________________ 1 1 (23) ? 2  5  5 _____ 25  5 1
Como b é a medida de um ângulo agudo: b 5 458
b) Determinamos os coeficientes angulares das retas r e s:
r: 5x 2 y 1 2 5 0 ä y 5 5x 1 2 ä mr 5 5
s: x 1 5y 1 10 5 0 ä 5y 5 2x 2 10 ä y 5 2 1 __ 5  x 2 2 ä 
ä ms 5 2 
1 __ 5 
Como ms ? mr 5 5 ? ( 2 1 __ 5 ) 5 21, as retas são perpendiculares 
e b 5 908.
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 27 7/28/15 2:43 PM
28
87. a) Substituindo as coordenadas (3, 0) na equação da reta, obtemos:
7 ? 3 1 0 1 n 5 0 ä n 5 221
b) Determinamos o coeficiente angular de r:
7x 1 y 2 21 5 0 ä y 5 27x 1 21 ä mr 5 27
Sendo £ a medida do menor ângulo formado pela reta r e o 
eixo das ordenadas, temos:
tan £ 5  1 _____ 27  5 1 __ 7 
88. Determinamos os coeficientes angulares das retas r e s:
r: y 1 kx 5 2 Æ y 5 2kx 1 2 Æ mr 5 2k
ms 5 
0 2 1 _______________ 
(0 2 (25)
 5 2 1 __ 5 
s: y 2 0 5 2 1 __ 5 ? (x 2 0) Æ y 5 2 
1 __ 5 x
Como r e s são perpendiculares, temos:
mr ? ms 5 21 Æ 2 k ? ( 2 1 __ 5 ) 5 21 Æ k 5 25
Logo, r: 5x 1 2
Agora, determinamos a intersecção das retas r e s:
2 
1 __ 5 x 5 5x 1 2 Æ 2x 2 25x 5 10 Æ 226x 5 10 Æ
Æ x 5 10 _______ 
226 5 2 
5
 ____ 13 
 (alternativa a)
89. Sendo r e s as retas que contêm os lados AB e AD do paralelogra-
mo, determinamos os coeficientes angulares dessas retas.
mr 5 
15 2 3 _____________ 
1 2 (22)
 5 12 ____ 3 5 4
ms 5 
5 2 3 _____________ 
2 2 (22)
 5 2 ___ 4 5 
1 __ 2 
Sendo b a medida do ângulo formado pelas retas r e s, temos:
tg b 5  1 __ 2 2 4 _____________ 1 1 1 __ 2 ? 4  5 7 ___ 6 ä b ù 49,48
Logo, o paralelogramo tem dois ângulos internos que medem apro- 
ximadamente 49,48 e dois ângulos internos que medem aproxi-
madamente 1808 2 49,48 5 130,68.
90. Considere o quadrado
C _21, 4+
A _3, 22+
D
B
A diagonal 
____
 BD está contida na mediatriz do segmento 
____
 AC e passa 
pelo ponto médio dos seus extremos.
Devemos ter: dA,B 5 dC,P em que P(0, y) é um ponto da mediatriz 
de 
____
 AC . Então:
 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 1 1)2 1 (y 2 4)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 2 3)2 1 (y 1 2)2 Æ
Æ 1 1 y2 2 8y 1 16 5 9 1 y2 1 4y 1 4 Æ y 5 1 __ 3 
Logo: P ( 0, 1 __ 3 ) (alternativa d)
91. a) Determinamos os coeficientes angulares das retas r e t:
r: x 2 y 5 21 ä y 5 x 1 1 ä mr 5 1
t: 3x 2 4y 5 28 ä 4y 5 3x 1 8 ä y 5 3 ___ 4  x 1 2 ä mt 5 
3 ___ 4 
Logo:
tg a 5  3 ___ 4 2 1 ____________ 1 1 3 ___ 4 ? 1  5  
 2 1 ___ 4 _______ 
 7 ___ 4 
  5 1 __ 7 
b) O coeficiente angular da reta t já foi determinado no item an-
terior. Então, determinamos o coeficiente angular da reta s:
s: x 1 y 5 9 ä y 5 2x 1 9 ä ms 5 21
Logo:
tg b 5  3 ___ 4 2 (21) _________________ 1 1 3 ___ 4 ? (21)  5  
 7 ___ 4 ____ 
 1 ___ 4 
  5 7
92. Determinamos as equações das retas r e s:
r: 
x y 1
0 2 1
5 0 1
 5 2x 1 0 1 5y 2 10 2 0 2 0 5
5 2x 1 5y 2 10 5 0 Æ
s: 
x y 1
0 2 1 1
1 0 1
 5 2x 1 y 1 0 1 1 2 0 2 0 5
5 x 2 y 2 1 5 0
Para encontrar as coordenadas do ponto P, fazemos:
2x 1 5y 2 10 5 0
 x 2  y 2 1  5 0
 Æ 
2x 1 5y 5 10
x 5 y 1 1
Substituindo x 5 y 1 1 na primeira equação, obtemos:
2 ? (y 1 1) 1 5y 5 10 Æ 2y 1 2 1 5y 5 10 Æ 7y 5 8 Æ y 5 8 ___ 7 
Assim, x 5 8 ___ 7 1 1 Æ x 5 
15 ____ 7 .
Logo, o ponto de intersecção é: P ( 15 ____ 7 , 8 ___ 7 ) , e a soma de suas coor-
denadas é 23 ____ 7 (alternativa c).
93. No paralelogramo, a intersecção entre as diagonais é o ponto 
médio delas.
D
M
C _0, 8+
A _1, 4+ D _22, 6+
Portanto:
xM 5 
xA 1 xC __________ 2 5 
1 1 0 ________ 2 5 
1 __ 2 ; yM 5 
yA 1 yC __________ 2 5 
4 1 8 _________ 2 5 6xM 5 
xB 1 xD __________ 2 5 
1 __ 2 5 
22 1 xD ____________ 2 Æ xD 5 3; yM 5 
yB 1 yD __________ 2 Æ
Æ 6 5 
6 1 yD _________ 2 Æ yD 5 6
Assim, D(3, 6) e a soma pedida é 3 1 6 5 9 (alternativa b)
94. Sendo r e s as retas que contêm as diagonais MP e NQ do qua-
drilátero MNPQ, determinamos os coeficientes angulares dessas 
retas:
mr 5 
9 2 1 _____________ 
5 2 (23)
 5 8 ___ 8 5 1
ms 5 
2 2 6 _____________ 
3 2 (21)
 5 2 4 ___ 4 5 21
Como ms ? mr 5 1 ? (2 1) 5 21, as retas são perpendiculares 
e as diagonais formam ângulos de 908.
95. a) Como o ponto P(2, k) pertence à reta r, temos:
2 ? 2 1 k 2 2 5 0 ä k 5 22
b) Determinamos o coeficiente angular da reta r:
2x 1 y 2 2 5 0 ä y 5 2 2x 1 2 ä mr 5 22
Determinamos, então, o coeficiente angular de uma reta s que 
forma um ângulo de 458 com a reta r:
tg 458 5  22 2 ms ______________ 1 2 2 ? ms  ä 1 5  
22 2 ms ______________ 1 2 2 ? ms
  ä 
ä 1 5 
22 2 ms ______________ 1 2 2 ? ms
 ou 1 5 2 
22 2 ms ______________ 1 2 2 ? ms
 
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 28 7/28/15 2:43 PM
29
Resolvemos as duas equações:
1 5 
22 2 ms ______________ 1 2 2 ? ms
 ä 22 2 ms 5 1 2 2ms ä ms 5 3
1 5 2 
22 2 ms ______________ 1 2 2 ? ms
 ä 2 1 ms 5 1 2 2ms ä 3ms 5 21 ä ms 5 2 
1 __ 3 
Assim, temos duas retas que formam ângulos de 458 com a 
reta r: uma reta de coeficiente angular 3 e outra de coeficien-
te angular 2 1 __ 3 . Como ambas passam pelo ponto P(2, 22), de-
terminamos suas equações:
s: y 2 (22) 5 3 ? (x 2 2) ä y 1 2 5 3x 2 6 ä 3x 2 y 2 8 5 0
ou 
s: y 2 (22) 5 2 1 __ 3 ? (x 2 2) ä 3y 1 6 5 2x 1 2 ä 
ä x 1 3y 1 4 5 0
96. Determinamos os coeficientes angulares das retas 
‹
 
____
 
›
 AB e 
‹
 
____
 
›
 BC .
mAB 5 
7 2 5 ________ 3 2 2 5 
2 __ 1 5 2
mBC 5 
0 2 7 _________ k 2 3 5 2  
7 ________ k 2 3 
Como o ângulo entre essas retas mede p ___ 4 , temos:
tg p ___ 4 5  2 2 ( 2  7 ________ k 2 3 ) ________________________ 1 1 2 ? ( 2  7 ________ k 2 3 )  ä 1 5  
 2 1  7 ________ k 2 3 
 ________________ 
1 2 14 ________ k 2 3 
  ä
ä 1 5 
 2 1  7 ________ k 2 3 
 ________________ 
1 2 14 ________ k 2 3 
 ou 1 5 2 
 2 1  7 ________ k 2 3 
 ________________ 
1 2 14 ________ k 2 3 
 
Resolvendo as duas equações, obtemos os possíveis valores de k:
 ▪ 1 5 
 2 1  7 ________ k 2 3 
 ________________ 
1 2 14 ________ k 2 3 
 ä 1 2 14 ________ k 2 3 5 2 1  
7 ________ k 2 3 ä 1 5 2 
21 ________ k 2 3 ä 
ä k 2 3 5 221 ä k 5 218
 ▪ 1 5 2 
 2 1  7 ________ k 2 3 
 ________________ 
1 2 14 ________ k 2 3 
 ä 1 2 14 ________ k 2 3 5 22 2  
7 ________ k 2 3 ä 3 5 
7 ________ k 2 3 ä 
ä 3k 2 9 5 7 ä 3k 5 16 ä k 5 16 ____ 3 
97. Escrevemos a equação 2x 2 y 2 4 5 0 na forma reduzida:
2x 2 y 2 4 5 0 ä y 5 2x 2 4
Então, o coeficiente angular dessa reta é 2 e, como a reta s é per-
pendicular a ela, seu coeficiente angular é m s 5 2 
1 __ 2 . 
Escrevemos então a equação da reta r na forma reduzida:
3x 2 y 1 4 5 0 ä y 5 3x 1 4
Então, seu coeficiente angular é 3 e, portanto, calculamos a me-
dida b do ângulo entre as retas r e s:
tg b 5    2 1 __ 2 2 3 __________________ 1 1 ( 2 1 __ 2 ) ? 3  5  
2 
7
 __ 2 _______ 
 2 1 __ 2 
  5  2 7 __ 2 ? ( 2 2 __ 1 )  5 |27| 5 7
Então, com uma calculadora científica, obtemos: b ù 81,98
98. Como tg 458 5 1 e a reta r passa pelo ponto (0, 2c), a sua equa-
ção é y 5 x 2 c ou, na forma geral, x 5 y 2 c 5 0. A distância 
dos pontos A e B à reta r é igual a d, logo:
 
 |8 2 2 2 c|
 ________________ 
 dXXXXX 1 1 1 
 5 
|3 2 6 2 c|
 ________________ 
 dXXXXX 1 1 1 
 Æ |6 2 c| __________ 
 dXX 2 
 5 
|23 2 c|
 ____________ 
 dXX 2 
 Æ
Æ |6 2 c| 5 |23 2 c| Æ 6 2 c 5 23 2 c (não existe) ou 
6 2 c 5 3 1 c Æ 2c 5 3 Æ c 5 3 __ 2 (alternativa c)
99. Pelo enunciado, determinamos as equações das retas r e s:
r: y 5 10x 1 a e s: y 5 9x 1 b
Como as retas se interceptam em um ponto de abscissa 6, temos:
10 ? 6 1 a 5 9 ? 6 1 b Æ 60 1 a 5 54 1 b Æ b 5 a 1 6 
(alternativa e).
100. Na figura abaixo, o triângulo ABO é retângulo e isósceles, logo 
OA2 5 2 ? ( 2 dXX 2 ) 2 Æ OA2 5 16 Æ OA 5 4
45˚
45˚
45˚
22
22
r
s
A _x, y+
O
B
y
x
No triângulo AOC, AO 5 OC 5 4, logo a reta s intercepta o eixo 
Oy no ponto (0, 24).
Então, a equação da reta s, que forma um ângulo de 45° com o 
eixo Ox é: y 5 x 2 4 e os pontos (x, y) que pertencem a ela são 
sempre do tipo (x, x 2 4) e a diferença x 2 y 5 x 2 (x 2 4) 5 4 
(alternativa c).
101. No paralelogramo ABCD, em que 
____
 AC é uma das diagonais, temos:
xM 5 
1 1 5 ________ 2 5 3; yM 5 
25 1 4 ___________ 2 5 2 
1 __ 2 , logo M ( 3,2 1 __ 2 ) .
 
xD 1 (23) ______________ 2 5 3 Æ xD 5 9; 
yD 1 (22) ______________ 2 5 
1 __ 2 Æ yD 5 1, logo D(9, 1).
A _5, 4+B _23, 22+
C _1, 25+ D _xD, yD+
M _xM, yM+
A medida da diagonal 
____
 BD é dXXXXXXXXXXXXXXXXX (9 1 3)2 1 (1 1 2)2 5 dXXXXXXXX 144 1 9 5 
dXXXX 153 5 3 dXXX 17 (alternativa a)
Página 602 – Exercícios propostos
102. a) d(P, r) 5 
 |3 ? 5 2 4 ? 4 2 1| 
 __________________________ 
 dXXXXXXXXXX 32 1 (24)2 
 5 
 |22| 
 ________ 
 dXXX 25 
 5 2 __ 5 
b) d(P, r) 5 
 |5 ? 2 1 12 ? 3 1 0| 
 ____________________________ 
 dXXXXXXX 52 1 122 
 5 
 |46| 
 _________ 
 dXXXX 169 
 5 46 ____ 13 
c) d(P, r) 5 
 |2 ? (22) 2 1 ? 1 1 15| 
 ________________________________ 
 dXXXXXXXXXX 22 1 (21)2 
 5 
|10|
 ______ 
 dXX 5 
 5
 5 10 _____ 
 dXX 5 
 ? 
 dXX 5 
 _____ 
 dXX 5 
 5 2 dXX 5 
d) d(P, r) 5 
 |25 ? (22) 1 1 ? (27) 2 3| 
 ______________________________________ 
 dXXXXXXXXXX (25)2 1 12 
 5 
|0|
 ________ 
 dXXX 26 
 5 0
103. a) Podemos representar o eixo das abscissas pela reta r: y 5 0. 
Para determinar a distância entre o ponto P(2, 24) e a reta r, 
projetamos o ponto P ortogonalmente no eixo Ox, obtendo 
o ponto A(2, 0).
1 2 3 x
y
21
22
23
24
A
P
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 29 7/28/15 2:43 PM
30
Então:
d(P, r) 5 d(P, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 2)2 1 (24 2 0)2 5 dXXXXXX (24)2 5 4
b) Sendo s: y 5 x a reta que representa a primeira bissetriz do 
plano cartesiano, temos sua equação geral:
y 5 x ä x 2 y 5 0
Então:
d(P, s) 5 
 |1 ? 2 2 1 ? (24) 1 0| 
 _______________________________ 
 dXXXXXXXXX 12 1 (21)2 
 5 
 6  _____ 
 dXX 2 
 5 6 _____ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 ____ 
 dXX 2 
 5 3 dXX 2 
c) Podemos representar o eixo das 
ordenadas pela reta t: x 5 0. 
Para determinar a distância en-
tre o ponto P(2, 24) e a reta t, 
projetamos o ponto P ortogo-
nalmente no eixo Oy, obtendo o 
ponto B(0, 24).
1 2 x
y
21
21
22
23
24
A
P
Então:
d(P, r) 5 d(P, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 0)2 1 (24 2 (24))2 5 dXX 22 5 2
d) Sendo u: y 5 2x a reta que representa a segunda bissetriz do 
plano cartesiano, temos sua equação geral:
y 5 2x ä x 1 y 5 0
Então:
d(P, u) 5 
 |1 ? 2 1 1 ? (24) 1 0| 
 _______________________________ 
 dXXXXXX 12 1 12 
 5 
 |22| 
 ________ 
 dXX 2 
 5 22 _____ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 _____ 
 dXX 2 
 5 dXX 2 
104. Escrevemos a equação da reta r na forma geral:
y 5 2 3 ___ 4  x 2 
7 ___ 4 ä 4y 5 23x 2 7 ä 3x 1 4y 1 7 5 0
Então, temos:
d(P, r) 5 
|3a 1 4 ? 4 1 7|
 ______________________ 
 dXXXXXXX 32 1 42 
 ä 4 5 |3a 1 23| _______________ 
 dXXX 25 
 ä 
ä |3a 1 23| 5 20 ä 3a 1 23 5 20 ou 23a 2 23 5 20
Resolvendo as duas equações, obtemos os possíveis valores de a:
 ▪ 3a 1 23 5 20 ä 3a 5 23 ä a 5 21
 ▪ 23a 2 23 5 220 ä 3a 5 243 ä a 5 2 43 ____ 3 
105. O ponto P tem coordenadas da forma (0, y P ). Como esse ponto 
pertence à reta r, temos:
 3 __ 7 ? 0 2 yp 1 3 5 0 ä yp 5 3
Assim, o ponto P tem coordenadas (0, 3). Determinamos,então, 
a distância desse ponto à reta s dada:
d(P, s) 5 
 |3 ? 0 1 4 ? 3 1 3| 
 __________________________ 
 dXXXXXXX 32 1 42 
 5 
|15|
 _______ 
 dXXX 25 
 5 15 ____ 5 5 3
106. A distância entre as retas t e v pode ser determinada, por exem-
plo, pela distância entre qualquer ponto da reta t e a reta v. Por 
exemplo, para y 5 0, temos:
5x 2 12 ? 0 2 5 5 0 ä 5x 5 5 ä x 5 1
Então, determinamos a distância entre o ponto P(1, 0) e a reta v:
d(t, v) 5 d(P, v) 5 
 |5 ? 1 2 12 ? 0 2 23| 
 _____________________________ 
 dXXXXXXXXXXX 52 1 (212)2 
 5 18 ________ 
 dXXXX 169 
 5 18 ____ 13 
107. Como o ponto C pertence ao eixo das ordenadas, suas coordena-
das são da forma (0, yC); como 
____
 AC ; 
____
 BC , temos d(A, C) 5 d(B, C). 
d(A, C) 5 d(B, C) ä 
ä dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 0)2 1 (22 2 yC)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (8 2 0)2 1 (4 2 yC)2  ä 
ä dXXXXXXXXXXXXXX ( yC ) 2 1 4yC 1 8 5 dXXXXXXXXXXXXXXX ( yC ) 2 2 8yC 1 80 ä
ä ( yC ) 2 1 4yc 1 8 5 ( yC ) 2 2 8yC 1 80 ä 12yC 2 72 5 0 ä yC 5 6
Portanto, as coordenadas do ponto C são (0, 6).
108. A origem O do plano cartesiano tem coordenadas (0, 0). Então:
d(O, r) 5 
 |3 ? 0 2 4 ? 0 1 30| 
 _____________________________ 
 dXXXXXXXXXX 32 1 (24)2 
 5 
  30  
 _______ 
 dXXX 25 
 5 30 ____ 5 5 6
109. Para determinar a área do quadrado ABCD, basta calcular a 
medida de um de seus lados. Como os pontos de coordenadas 
(0, 4) e (8, 0) pertencem à reta AB, temos:
mAB 5 
4 2 0 _________ 0 2 8 5 2 
1 __ 2 
y 2 0 5 2 1 __ 2 ? (x 2 8) ä 2y 5 2x 1 8 ä x 1 2y 2 8 5 0
Então, calculamos a distância entre o ponto D(8, 5) e a reta 
‹
 
____
 
›
 AB , 
que corresponde à medida do lado 
____
 AD do quadrado:
d(D, r) 5 
 |1 ? 8 1 2 ? 5 2 8| 
 __________________________ 
 dXXXXXX 12 1 22 
 5 
 10  ______ 
 dXX 5 
 5 10 _____ 
 dXX 5 
 ? 
dXX 5 _____ 
 dXX 5 
 5 2 dXX 5 
Logo, temos a área do quadrado: ( 2 dXX 5 ) 2 5 20
Página 604 – Exercícios propostos
111. Para determinar a área de um triângulo, determinamos inicial-
mente o determinante D 5 
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
 obtido com as coor-
denadas dos vértices do triângulo.
a) D 5 
1 0 1
4 2 1
0 6 1
 5 2 1 0 1 24 2 0 2 6 2 0 5 20
A
nABC 5 
1 __ 2 ? 
 20  5 10
b) D 5 
21 4 1
0 2 1
26 22 1
 5 2 2 2 24 1 0 1 12 2 2 2 0 5 216
A
nDEF 5 
1 __ 2 ? 
 216  5 8
112. Como a área do triângulo ABC é 25, temos:
A
nABC 5 
1 __ 2 ? 
 D  ä 25 5 1 __ 2 ?  D  ä  D  5 50 ä D 5 50 ou D 5 250
Calculamos então o determinante D:
D 5 
2k 1 1
k 7 1
3 24 1
 5 2 7k 1 3 2 4k 2 21 2 4k 2 k 5 216k 2 18
Logo, obtemos os possíveis valores de k:
 ▪ 216k 2 18 5 50 ä 16k 5 268 ä k 5 2 68 ____ 16 5 2 
17 ____ 4 
 ▪ 216k 2 18 5 250 ä 16k 5 32 ä k 5 32 ____ 16 5 2
113. Para calcular a área do triângulo ABC, determinamos as coorde-
nadas de seus vértices, que são as intersecções das retas repre-
sentadas. Então, pelos sistemas formados pelos pares de equa-
ções das retas, determinamos as coordenadas dos vértices.
 ▪ Vértice A: Q
3x 2 9y 1 36 5 0
x 1 2y 2 8 5 0
 ä Q
3x 2 9y 1 36 5 0
x 5 22y 1 8
Substituindo x por 22y 1 8 na primeira equação, obtemos:
3 ? (22y 1 8) 2 9y 1 36 5 0 ä 26y 1 24 2 9y 1 36 5 0 ä 
ä 15y 5 60 ä y 5 60 _____ 15 5 4
Substituindo y por 4 na equação x 5 22y 1 8, obtemos:
x 5 22 ? 4 1 8 5 0
Logo, o vértice A tem coordenadas (0, 4).
 ▪ Vértice B: Q
y 5 2x 2 11
x 1 2y 2 8 5 0
Substituindo y por 2x 2 11 na segunda equação, obtemos:
x 1 2 ? (2x 2 11) 2 8 5 0 ä x 1 4x 2 22 2 8 5 0 ä 
ä 5x 5 30 ä x 5 30 ____ 5 5 6
Substituindo x por 6 na equação y 5 2x 2 11, obtemos:
y 5 2 ? 6 2 11 5 1
Logo, o vértice B tem coordenadas (6, 1).
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 30 7/28/15 2:43 PM
31
 ▪ Vértice C: Q
y 5 2x 2 11
3x 2 9y 1 36 5 0
Substituindo y por 2x 2 11 na segunda equação, obtemos:
3x 2 9 ? (2x 2 11) 1 36 5 0 ä 3x 2 18x 1 99 1 36 5 0 ä 
ä 15x 5 135 ä x 5 135 _____ 15 5 9
Substituindo x por 9 na equação y 5 2x 2 11, obtemos:
y 5 2 ? 9 2 11 5 7
Logo, o vértice C tem coordenadas (9, 7).
Então, temos o seguinte determinante:
D 5 
0 4 1
6 1 1
9 7 1
 5 0 1 36 1 42 2 9 2 0 2 24 5 45 
Portanto, a área do triângulo ABC é:
A
nABC 5 
1 __ 2 ?  45  5 
45 ____ 2 
114. Podemos representar os eixos coordenados pelas retas de 
equações y 5 0 e x 5 0. A intersecção dessas retas é o ponto 
O(0, 0), que é um dos vértices do triângulo; a intersecção des-
sas retas com a reta dada, de equação 2x 1 5y 2 30 5 0, são 
os outros dois vértices do triângulo. Então, determinamos as 
coordenadas desses vértices.
 ▪ Intersecção de 2x 1 5y 2 30 5 0 e y 5 0
Q
2x 1 5y 2 30 5 0
y 5 0
Substituindo y por 0 na primeira equação, obtemos:
2x 1 5 ? 0 2 30 5 0 ä 2x 5 30 ä x 5 30 ____ 2 5 15
Logo, a intersecção dessas retas determina o vértice de coor- 
denadas (15, 0).
 ▪ Intersecção de 2x 1 5y 2 30 5 0 e x 5 0
Q
2x 1 5y 2 30 5 0
x 5 0
Substituindo x por 0 na primeira equação, obtemos:
2 ? 0 1 5y 2 30 5 0 ä 5y 5 30 ä y 5 30 ____ 5 5 6
Logo, a intersecção dessas retas determina o vértice de coor- 
denadas (0, 6).
Então, temos o seguinte determinante:
D 5 
15 0 1
0 6 1
0 0 1
 5 90 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 5 90 
Portanto, a área do triângulo é: 1 __ 2 ?  90  5 45
115. a)
6
8
y
1 2 x26
r
s
b) As coordenadas do ponto P são a solução do sistema forma-
do pelas equações das retas:
 Q
x 2 y 1 6 5 0
y 5 8x 2 8
 Substituindo y por 8x 2 8 na primeira equação, obtemos:
 x 2 (8x 2 8) 1 6 5 0 ä x 2 8x 1 8 1 6 5 0 ä 7x 5 14 ä 
ä x 5 2
 Substituindo x por 2 na segunda equação, obtemos: 
 y 5 8 ? 2 2 8 5 0
 Portanto, as coordenadas do ponto P são (2, 8).
c) Um dos vértices do triângulo é o ponto P. Os outros vértices 
são as intersecções das retas com o eixo das abscissas. De-
terminamos as coordenadas desses vértices.
 ▪ Intersecção de 2x 1 5y 2 30 5 0 e y 5 0
 Q
x 2 y 1 6 5 0
y 5 0
 
 Substituindo y por 0 na primeira equação, obtemos:
 x 2 0 1 6 5 0 ä x 5 26
 Então, as coordenadas desse vértice são (26, 0).
 ▪ Intersecção de y 5 8x 2 8 e y 5 0
 Q
y 5 8x 2 8
y 5 0
 
 Igualando as duas equações, obtemos:
 0 5 8x 2 8 ä 8x 5 8 ä x 5 1
 Então, as coordenadas desse vértice são (1, 0).
 Assim, temos o seguinte determinante:
 D 5 
26 0 1
1 0 1
2 8 1
 5 0 1 0 1 8 2 0 1 48 2 0 5 56 
 Portanto, a área do triângulo é: 1 __ 2 ?  56  5 28
116. As retas que representam as bissetrizes dos quadrantes pares 
e ímpares têm equações y 5 x e y 5 2x. A intersecção dessas 
retas determina um vértice do triângulo e a intersecção de cada 
uma delas com a reta de equação 3x 2 y 2 4 5 0 determina 
outro vértice do triângulo. Então, determinamos as coordena-
das desses vértices:
 ▪ Intersecção de y 5 x e y 5 2x
Q
y 5 x
y 5 2x
 
Igualando as duas equações, obtemos:
2x 5 x ä 2x 5 0 ä x 5 0
Substituindo x por 0 na primeira equação, obtemos: y 5 0
Então, as coordenadas desse vértice são (0, 0).
 ▪ Intersecção de 3x 2 y 2 4 5 0 e y 5 x
Q
3x 2 y 2 4 5 0
y 5 x
Substituindo y por x na primeira equação, obtemos:
3x 2 x 2 4 5 0 ä 2x 5 4 ä x 5 2
Substituindo x por 2 na segunda equação, obtemos: y 5 2
Então, as coordenadas desse vértice são (2, 2).
 ▪ Intersecção de 3x 2 y 2 4 5 0 e y 5 2x
Q
3x 2 y 2 4 5 0
y 5 2x
Substituindo y por 2x na primeira equação, obtemos:
3x 2 (2x) 2 4 5 0 ä 4x 5 4 ä x 5 1
Substituindo x por 1 na segunda equação, obtemos: y 5 21
Então, as coordenadas desse vértice são (1, 21).
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 31 7/28/15 2:43 PM
32
Assim, temos o seguinte determinante:
D 5 
2 2 1
1 21 1
0 0 1
 5 22 1 0 1 0 2 0 2 0 2 2 5 24
Portanto, a área do triângulo é: 1 __ 2 ?  24  5 2
117. Inicialmente determinamos as coordenadas dos pontos M e N.
xM 5 
xA 1 xB __________ 2 5 
23 1 5 ___________ 2 5 1 e yM 5 
yA 1 yB __________ 2 5 
1 1 7 ________ 2 5 4
xN 5 
xC 1 xD __________ 2 5 
5 1 1 ________ 2 5 3 e yN 5 
yC 1 yD __________ 25 
3 1 0 _________ 2 5 
3 __ 2 
Logo, os pontos são M(1, 4) e N ( 3, 3 __ 2 ) .
A área da região colorida é a soma das áreas dos triângulos 
ADM e BNM.
D
nADM 5 
23 1 1
1 0 1
1 4 1
 5 0 1 1 1 4 2 0 1 12 2 1 5 16
A
nADM 5 
1 __ 2 ? 
 16  5 8
D
nBNM 5 
5 7 1
3 3 __ 2 1
1 4 1
 5 15 ____ 2 1 7 1 12 2 
3 __ 2 2 20 2 21 5 216
A
nBNM 5 
1 __ 2 ? 
 216  5 8
Portanto, a área da região colorida é: 8 1 8 5 16
118. Podemos calcular a área do quadrilátero pela soma das áreas 
dos triângulos ABC e ACD.
D
nABC 5 
3 2 1
5 8 1
1 7 1
 5 24 1 2 1 35 2 8 2 21 2 10 5 22
A
nABC 5 
1 __ 2 ? 
 22  5 11
D
nACD 5 
3 2 1
1 7 1
21 3 1
 5 21 2 2 1 3 1 7 2 9 2 2 5 18
A
nACD 5 
1 __ 2 ? 
 18  5 9
Portanto, a área do quadrilátero é: 11 1 9 5 20
Página 605 – Exercícios propostos
119. a) Representamos a reta de equação x 1 5y 5 20 em um plano 
cartesiano.
4
20 x
y
 Escolhemos o ponto P(0, 0) e verificamos se satisfaz a ine-
quação dada:
 0 1 5 ? 0 < 20 ä 0 < 20 (verdadeiro)
 Como as coordenadas do ponto P satisfazem a inequação, 
ele pertence ao semiplano que é solução da inequação. En-
tão, representamos as soluções da inequação x 1 5y < 20.
4
20 x
y
b) Simplificamos a inequação dada:
 7x ____ 2 1 
5y ____ 3 . 5y 1 2 ä 21x 1 10y . 30y 1 12 ä 
 ä 21x 2 20y 2 12 . 0
 Representamos a reta de equação 21x 2 20y 2 12 5 0 em 
um plano cartesiano.
y
x4
7
6
10
2
 Escolhemos o ponto P(0, 0) e verificamos se satisfaz a ine-
quação dada:
 21 ? 0 2 20 ? 0 2 12 . 0 ä 212 . 0 (falso)
 Como as coordenadas do ponto P não satisfazem a inequa-
ção, ele não pertence ao semiplano que é solução da ine-
quação. Então, representamos as soluções da inequação 
21x 2 20y 2 12 . 0.
y
x4
7
6
10
2
 A reta que limita a região é representada tracejada, pois seus 
pontos não são solução da inequação.
120. Representamos as retas de equações 4x 1 8y 5 40, x 5 2 e 
y 5 0 em um mesmo plano cartesiano.
y
x
5
2 10
Escolhemos alguns pontos tal que x > 2 e y > 0 e verificamos 
se satisfaz a inequação 4x 1 8y < 40:
Para P(3, 1), temos: 4 ? 3 1 8 ? 1 < 40 ä 20 < 40 (verdadeiro)
Para P(10, 2), temos: 4 ? 10 1 8 ? 2 < 40 ä 48 < 40 (falso)
Então, temos:
y
x
5
2 10
121. Determinamos as equações das retas que delimitam a solução.
 ▪ Reta que passa pelos pontos de coordenadas (1, 0) e (5, 0)
m 5 0 2 0 _________ 5 2 1 5 0
y 2 0 5 0 ? (x 2 1) ä y 5 0
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 32 7/28/15 2:43 PM
33
 ▪ Reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 3) e (5, 0)
m 5 0 2 3 _________ 5 2 0 5 2 
3
 __ 5 
y 2 3 5 2 
3
 __ 5 ? (x 2 0) ä y 5 2 
3
 __ 5 x 1 3 ä 3x 1 5y 2 15 , 0
 ▪ Reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 24) e (1, 0)
m 5 
0 2 (24)
 ______________ 1 2 0 5 4
y 2 (24) 5 4 ? (x 2 0) ä y 5 4x 2 4 ä
Logo, a inequação é: ä 4x 2 y 2 4 < 0
Logo, o sistema 
y > 0
3x 1 5y 2 15 , 0
4x 2 y 2 4 < 0
E satisfaz as soluções re-
presentadas.
Página 607 – Exercícios propostos
122. Como a função é representada por uma reta, temos que 
y 5 ax 1 b; para x = 0, temos y 5 200. Logo: 200 5 a ? 0 1 b ä 
ä b 5 200; por outro lado, quando y 5 200 1 10, x 5 400, 
então:
200 1 10 5 400a 1 200 ä 210 5 400a 5 200 ä 
ä 400a 5 10 ä a 5 10 _______ 400 5 
1 _____ 40 
Portanto, a função pedida é y 5 x _____ 40 1 200
123. Sendo x a quantidade de parafusos menores que são produzi-
dos, temos 25x gramas de aço nos parafusos menores, e sendo 
y a quantidade de parafusos maiores, temos 15y gramas de aço 
nos parafusos maiores. Ao todo, podemos utilizar no máximo 
7,6 kg de aço; então: 25x 1 15y < 7 600
Representamos a reta de equação 25x 1 15y 2 7 600 5 0 em 
um plano cartesiano. Como x e y são quantidades de parafusos, 
eles não podem assumir valores negativos. Portanto, a solução 
do problema são os pontos da região triangular representada 
abaixo.
500
400
300
200
100
30
0
20
0
10
0 x
y
124. Sendo x a quantidade de garrafas de 1 litro, temos 1 ? x litros, e 
sendo y a quantidade de garrafões de 5 litros, temos 5y litros de vi-
nho. Ao todo serão engarrafados 800 litros; então x 1 5y 5 800. 
Representamos a reta da equação x 1 5y 2 800 5 0 em um 
plano cartesiano. Como x e y são quantidades de garrafas, eles 
não podem assumir valores negativos. Portanto, a solução do 
problema são os pontos da região triangular representados 
abaixo. Veja que, quando x 5 0, y 5 160 e, quando y 5 0, 
x 5 800.
160
800
y
x
125. a) Como y é quantidade de passagens vendidas e x o valor da pas-
sagem, temos que, quando x 5 200, então y 5 3 000, e quan-
do x 5 250, então y 5 2 800. Como y 5 ax 1 b, escrevemos 
o sistema:
3 000 5 200a 1 b
2 800 5 250a 1 b
 Subtraindo a 2a equação da 1a, temos: 200 5 250a 1 0 Æ 
Æ a 5 2 200 ______ 50 5 24. Substituindo a 5 24 na 1
a equação, 
temos: 3 000 5 200 ? (24) 1 b Æ 3 000 1 800 5 b Æ 
Æ b 5 3 800.
 Portanto, y 5 24x 1 3 800 
b) Para esboçar o gráfico, fazemos: x 5 0, então y 5 3 800, e 
y 5 0, temos x 5 950. Logo, o esboço pedido é
3800
950
y
x
126. Sejam A(0, 0), B(0, y) e C(x, 0) as coordenadas dos vértices de 
um triângulo retângulo. As coordenadas do ponto médio da hi-
potenusa BC são:
xM 5 
xB 1 xC __________ 2 5 
0 1 x ________ 2 5 
x __ 2 e yM 5 
yB 1 yC __________ 2 5 
y 1 0
 ________ 2 5 
y
 __ 2 
Calculamos as distâncias dos pontos B e C (medida da hipote-
nusa do triângulo) e dos pontos A e M (medida da mediana re-
lativa à hipotenusa):
d(B, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 2 x)2 1 (y 2 0)2 5 dXXXXXXX x2 1 y2 
d(A, M) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 0 2 x __ 2 ) 2 1 ( 0 2 
y
 __ 2 ) 
2
 5 dXXXXXX x2 1 y2 __________ 4 5 
 dXXXXXX x2 1 y2 
 ____________ 2 
Logo, d(A, M) 5 
d(B, C)
 __________ 2 , ou seja, a medida da mediana relativa 
à hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à metade da 
medida da hipotenusa.
127. Consideramos um quadrilátero ABCD tal que M, N, P e Q são os 
pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA. As coordenadas desses 
pontos são:
M ( xA 1 xB __________ 2 , yA 1 yB __________ 2 ) , N ( xB 1 xC __________ 2 , yB 1 yC __________ 2 ) , P ( xC 1 xD __________ 2 , yC 1 yD ___________ 2 ) e 
Q ( xD 1 xA __________ 2 , yD 1 yA __________ 2 ) 
Determinamos o coeficiente angular da reta MN:
mMN 5 
 
yA 1 yB __________ 2 2 
yB 1 yC __________ 2 ___________________________ 
 
xA 1 xB __________ 2 2 
xB 1 xC __________ 2 
 5 
 
yA 2 yC __________ 2 _____________ 
 
xA 2 xC __________ 2 
 5 
 yA 2 yC ___________ xA 2 xC
 
Analogamente, temos os coeficientes angulares das retas NP, 
PQ e QM:
mNP 5 
yB 2 yD __________ xB 2 xD
 
mPQ 5 
yC 2 yA __________ xC 2 xA
 5 
 yA 2 yC ___________ xA 2 xC
 
mQM 5 
yB 2 yD __________ xB 2 xD
 5 
yB 2 yD __________ xB 2 xD
 
Como mMN 5 mPQ, as retas MN e PQ são paralelas; como 
mNP 5 mQM, as retas NP e QM são paralelas. Portanto, o quadri-
látero MNPQ é um paralelogramo.
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34
128. Sendo x o preço do celular e y a quantidade vendida e 
y 5 ax 1 b a representação algébrica da função polinomial do 
1o grau, temos:
q 1 400 5 250a 1 b ä a 5 26 e b 5 2 900
1 700 5 200a 1 b
Assim, a função é dada por: y 5 26x 1 2 900
Para x 5 265, temos: y 5 26 ? 265 1 2 900 ä y 5 1 310
Portanto, serão vendidas 1 310 unidades (alternativa c).
129. Observando os gráficos temos:
R(x) 5 15 000 __________ 1 000 x
C(x) 5 5 000 _________ 500 x 1 5 000
E ä q R(x) 5 15x
C(x) 5 10x 1 5 000
Dessa forma, o lucro é dado por:
L(x) 5 R(x) 2 C(x)
L(x) 5 15x 2 10x 2 5 000
L(x) 5 5x 2 5 000
Logo, L(1 350) 5 5 ? 1 350 2 5 000 5 6 750 2 5 000 5 1 750 
(alternativa b)
130. Analisando o gráfico a partir da reta de valor igual a R$ 30,00, 
paralela ao eixo dos minutos, temos que ela corta os segmen-
tos representativos das propostas D, A, E e C, onde as abscis-
sas, (0, a, e, 30) representam os valoresde tempo, em minutos, 
de chamada para o gasto previsto por essa pessoa que é de 
R$ 30,00. Como 0 , a , e , 30, o plano telefônico mais van-
tajoso é o C (alternativa c).
Página 608 – Exercícios complementares
131. 
132. Sendo r a reta que passa pelos pontos de coordenadas (24, 0) e 
(0, 8), e s a reta que passa pelos pontos de coordenadas (24, 0) 
e (0, 2), temos os seguintes coeficientes angulares dessas retas:
mr 5 
8 2 0 ______________ 
0 2 (24)
 5 2 e ms 5 
2 2 0 ______________ 
0 2 (24)
 5 1 __ 2 
Então:
tg b 5  mr 2 ms _______________ 1 1 mr ? ms  5  2 2 1 __ 2 _____________ 1 1 2 ? 1 __ 2  5 
 3 __ 2 ____ 2 5 
3 ___ 4 
133. A área da região pintada de laranja é a diferença entre as áreas 
dos triângulos maior e menor destacados.
Os vértices do triângulo maior têm coordenadas (1, 2), (5, 8) e 
(11, 6); então:
D 5 
1 2 1
5 8 1
11 6 1
 5 8 1 22 1 30 2 88 2 6 2 10 5 244
 1 __ 2 ? 
 244  5 22
(3, 0)
(2, 3)
(2, 23)
4
(22, 3)B C
D
EF
A(23, 0)
(22, 23)
3
2
1
21
21
22
23
24
1 2 3 4222324
y
x
Os vértices do triângulo menor têm coordenadas (3, 5), (6, 4) 
e (8, 7); então:
D 5 
3 5 1
6 4 1
8 7 1
 5 12 1 40 1 42 2 32 2 21 2 30 5 11
 1 __ 2 ? 
 11  5 11 ____ 2 
Logo, a área da região colorida é: 22 2 11 ____ 2 5 
33 ____ 2 
134. a) Representamos a reta de equação 2x 1 3y 5 12 em um plano 
cartesiano.
4
6 x
y
 Escolhemos o ponto P(0, 0) e verificamos se satisfaz a ine-
quação dada:
 2 ? 0 1 3 ? 0 > 12 ä 0 > 12 (falso)
 Como as coordenadas do ponto P não satisfazem a inequação, 
ele não pertence ao semiplano que é solução da inequação. 
Então, representamos as soluções da inequação 2x 1 3y > 12.
4
6 x
y
b) Representamos a reta de equação x 2 y 2 4 5 0 em um pla-
no cartesiano.
24
4 x
y
 Escolhemos o ponto P(0, 0) e verificamos se satisfaz a ine-
quação dada:
 0 2 0 2 4 , 0 ä 24 , 0 (verdadeiro)
 Como as coordenadas do ponto P satisfazem a inequação, 
ele pertence ao semiplano que é solução da inequação. En-
tão, representamos as soluções da inequação x 2 y 2 4 , 0.
24
4 x
y
135. Sejam r e s as retas suportes dos segmentos de reta ver-
melhos da composição dada, em que a reta r pas-
sa pelos pontos de coordenadas (3, 8) e (6, 2) e a reta s 
passa pelos pontos de coordenadas (8, 6) e (10, 2). Determi-
namos os coeficientes angulares dessas retas e suas equações:
mr 5 
2 2 8 ________ 6 2 3 5 2 
6 ___ 3 5 22
y 2 2 5 2 2 ? (x 2 6) ä y 2 2 5 22x 1 12 ä y 5 22x 1 14
ms 5 
2 2 6 __________ 10 2 8 5 2 
4 ___ 2 5 22
y 2 2 5 2 2 ? (x 2 10) ä y 2 2 5 22x 1 20 ä y 5 22x 1 22
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35
Portanto, as equações das retas suportes dos segmentos de 
reta vermelhos são y 5 22x 1 14 e y 5 22x 1 22 e, como 
mr 5 ms e nr Þ ns, as retas são paralelas.
136. Para verificar se um ponto pertence a uma reta, substituímos 
as coordenadas do ponto na equação da reta e verificamos se a 
igualdade obtida é verdadeira.
a) 3 ? 1 2 1 2 2 5 0 ä 0 5 0 (verdadeiro)
 Portanto, o ponto A(1, 1) pertence à reta r.
b) 3 ? (21) 2 (24) 2 2 5 0 ä 21 5 0 (falso)
 Portanto, o ponto B(21,24) não pertence à reta r.
c) 3 ? a 2 (3a 2 2) 2 2 5 0 ä 0 5 0 (verdadeiro)
 Portanto, o ponto C(a, 3a 2 2) pertence à reta r.
d) 3 ? ( a 1 2 ________ 3 ) 2 a 2 2 5 0 ä 0 5 0 (verdadeiro)
 Portanto, o ponto D ( ( a 1 2 ________ 3 ) , a ) pertence à reta r.
137. Determinamos os coeficientes angulares e lineares das retas.
r: y 5 2x 1 6 ä mr 5 2 e nr 5 6
s: x _____ 
23 1 
y ___ 6 5 1 ä 22x 1 y 5 6 ä y 5 2x 1 6 ä ms 5 2 e ns 5 6
t: 2y 1 x 2 8 5 0 ä 2y 5 2x 1 8 ä y 5 2 1 __ 2 x 1 4 ä 
ä mt 5 2 
1 __ 2 e nt 5 4
u: Q
x 5 t 1 1
y 5 3t 1 4
 ä Q
t 5 x 2 1
y 5 3t 1 4
 
y 5 3 ? (x 2 1) 1 4 ä y 5 3x 2 3 1 4 ä y 5 3x 1 1 ä 
ä mu 5 3 e nu 5 1
a) Como mr 5 ms e nr 5 ns, as retas r e t são coincidentes.
b) Como mt ? mr 5 2 
1 __ 2 ? 2 5 2 1 e mt ? ms 5 2 
1 __ 2 ? 2 5 2 1, a reta t 
é perpendicular às retas r e s.
c) Como mu é diferente dos coeficientes angulares das retas r, 
s e t e como u não é perpendicular a nenhuma delas, temos 
que a reta u é concorrente às retas r, s e t.
138. O perímetro do triângulo ABC é P 5 d(A, B) 1 d(B, C) 1 d(C, A). 
Calculamos então cada uma das distâncias:
d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 2 (23) ) 2 1 (22 2 1)2 5 dXXXXXXXXXX 42 1 (23)2 5 dXXX 25 5 5
d(B, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 23 2 (23) ) 2 1 ( 1 2 (22) ) 2 5 dXX 32 5 3
d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (23 2 1)2 1 ( 22 2 (22) ) 2 5 dXXXXXX (24)2 5 dXXX 16 5 4
Portanto: P 5 5 1 3 1 4 5 12
139. Como o ponto M(x, y) pertence ao eixo das ordenadas, temos 
x 5 0. Para que os três pontos estejam alinhados, temos:
 
21 5 1
1 23 1
0 y 1
 5 0 ä 3 1 y 1 0 1 0 1 y 2 5 5 0 ä 
ä 2y 5 2 ä y 5 1
Portanto: x 5 0 e y 5 1
140. a) A distância do centro C da circunferência ao vértice A do 
quadrado é igual à metade da diagonal do quadrado. Calcu-
lamos essa distância:
 d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 6)2 1 (5 2 9)2 5 dXXXXXXXXXXXX (23)2 1 (24)2 5 dXXX 25 5 5
 Portanto, a diagonal do quadrado mede: 2 ? 5 5 10
b) Sendo º a medida do lado do quadrado e d a medida de sua 
diagonal, temos d 5 º ? dXX 2 . Então:
 10 5 º ? dXX 2 ä º 5 10 _____ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 _____ 
 dXX 2 
 5 5 dXX 2 
c) ( 5 dXX 2 ) 2 5 50
141. Como o ponto C pertence ao eixo das abscissas, suas coordena-
das são da forma (x, 0). Assim, como esse ponto é equidistante 
dos pontos A e B dados, temos:
d(A, C) 5 d(B, C) ä
ä dXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 2)2 1 (0 2 3) 2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 6)2 1 ( 0 2 (23) ) 2 ä
ä dXXXXXXXXXXXXXXX x2 2 4x 1 4 1 9 5 dXXXXXXXXXXXXXXXX x2 2 12x 1 36 1 9 ä
ä x2 2 4x 1 13 5 x2 2 12x 1 45 ä 8x 5 32 ä x 5 4
Portanto, o ponto C tem coordenadas (4, 0).
142. Como o segmento 
____
 AB mede 10 cm, temos d(A, B) 5 10. Assim:
 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (4 2 10)2 1 (3 2 a)2 5 10 ä (26)2 1 (3 2 a)2 5 100 ä
ä (3 2 a)2 5 64 ä 3 2 a 5 8 ou 3 2 a 5 28 ä a 5 25 ou 
a 5 11
Para a 5 2 5, temos:
xM 5 
xA 1 xB __________ 2 5 
4 1 10 __________ 2 5 7 e yM 5 
3 2 5 ________ 2 5 21
Para a 5 11, temos:
xM 5 
xA 1 xB __________ 2 5 
4 1 10 __________ 2 5 7 e yM 5 
3 1 11 __________ 2 5 7
Portanto, se a 5 25, então M(7, 21); e se a 5 11, então M(7, 7).
143. a) Q
x 5 3a
y 5 2a 2 5
b) Os pontos pertencentes ao eixo Ox têm coordenada y 5 0; 
assim: 2a 2 5 5 0 ä a 5 5 __ 2 
 Então: x 5 3 ? 5 __ 2 5 
15 ____ 2 
 Portanto, a reta s corta o eixo das abscissas para a 5 
5
 __ 2 no 
ponto A ( 15 ____ 2 , 0 ) .
144. Sendo x a quantidade de cadernos de 30 páginas montados e y 
a de cadernos de 100 páginas, temos 30x 1 100y páginas ao 
todo. Como devem ser utilizadas no máximo 12 300 páginas, 
temos: 30x 1 100y < 12 300
Representamos a reta de equação 30x 1 100y 2 12 300 5 0 
em um plano cartesiano. Como x e y são quantidades de ca-
dernos, eles não podem assumir valores negativos. Portanto, a 
solução do problema são os pontos da região triangular repre-
sentada abaixo.
120
100
80
60
40
20
400200 300100 x
y
145. a) Para calcular as medidas dos lados do triângulo, basta deter-
minar as distâncias entre cada par de vértices:
 d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (8 2 6)2 1 (0 2 3)2 5 dXXX 13 
 d(A, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 6)2 1 (0 2 3)2 5 dXXX 25 5 5
 d(B, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 8)2 1 (0 2 0)2 5 dXXX 36 5 6
 Portanto, os lados do triângulo ABC medem 5, 6 e dXXX 13 .
b) Pela figura, a altura do triângulo é a distância entre o vértice A 
e o eixo Ox, que é igual a 3. Portanto, a área do triângulo ABC 
é 6 ? 3 _______ 2 5 9.
146. a) d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (7 2 2)2 1 (2 2 2)2 5 dXXX 25 5 5
b) d(C, D) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (22 2 4)2 1 ( 5 2 (27) ) 2 5 dXXXX 180 5 6 dXX 5 
c) d(E, F) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 21 2 (21) ) 2 1 ( 3 2 (21) ) 2 5 dXXX 16 54
Imagem fora 
de escala.
SPM3_MP_RES_C04_020A035.indd 35 7/28/15 2:43 PM
36
c) (x 1 3)2 1 y2 5 1 Æ ( x 2 (23) ) 2 1 (y 2 0)2 5 12
Então, essa circunferência tem centro C(23, 0) e raio r 5 1.
x
y
24 23 22 21
21
1
C(23, 0)
d) x2 1 (y 2 2)2 5 32 2 22 Æ (x 2 0)2 1 (y 2 2)2 5 9 2 4 Æ 
Æ (x 2 0)2 1 (y 2 2)2 5 5 Æ (x 2 0)2 1 (y 2 2)2 5 ( dXX 5 ) 2
Então, essa circunferência tem centro C(0, 2) e raio r 5 dXX 5 .
1
2
3
4
y
1 2 x2122
C(0, 2)
6. a) Pela figura, temos que o centro da circunferência é C(3, 0) e 
que o ponto P(4, 1) pertence à circunferência.
Podemos determinar a medida do raio pela distância entre o 
centro C e o ponto P:
r 5 d(C, P) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 4)2 1 (0 2 1)2 5 dXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 (21)2 5 dXX 2 
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C 
na equação reduzida da circunferência, obtemos:
(x 2 3)2 1 (y 2 0)2 5 ( dXX 2 ) 2 Æ (x 2 3)2 1 y2 5 2
b) Pela figura, temos que o centro da circunferência é C(2, 2) e 
que o ponto P(3, 3) pertence à circunferência.
Podemos determinar a medida do raio pela distância entre o 
centro C e o ponto P:
r 5 d(C, P) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 3)2 1 (2 2 3)2 5 dXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 (21)2 5 dXX 2 
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C 
na equação reduzida da circunferência, obtemos:
(x 2 2)2 1 (y 2 2)2 5 ( dXX 2 ) 2 Æ (x 2 2)2 1 (y 2 2)2 5 2
7. Como o ponto C é o centro da circunferência e os pontos A e B 
pertencem à circunferência, a distância entre A e C e entre B e 
C são iguais:
d(C, A) 5 d(C, B) Æ 
Æ dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (1 1 k 2 2)2 1 (k 2 3)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (1 1 k 2 7)2 1 (k 2 4)2 Æ 
Æ dXXXXXXXXXXXXXXXX (k 2 1)2 1 (k 2 3)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (k 2 6)2 1 (k 2 4)2 Æ
Æ (k 2 1)2 1 (k 2 3)2 5 (k 2 6)2 1 (k 2 4)2 Æ 
Æ k2 2 2k 1 1 1 k2 2 6k 1 9 5 k2 2 12k 1 36 1 k2 2 8k 1 16 Æ 
Æ 12k 5 42 Æ k 5 42 ____ 12 5 
7 __ 2 
Assim, 1 1 7 __ 2 5 
2 1 7 ________ 2 5 
9 ___ 2 e o centro C tem coordenadas ( 9 ___ 2 , 7 __ 2 ) .
Então, calculamos a medida r do raio pela distância entre o cen­
tro C e o ponto A:
r 5 d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 9 ___ 2 2 2 ) 
2
 1 ( 7 __ 2 2 3 ) 
2
 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 9 2 4 _________ 2 ) 
2
 1 ( 7 2 6 ________ 2 ) 
2
 5
5 dXXXXXXXXX ( 5 __ 2 ) 
2
 1 ( 1 __ 2 ) 
2
 5 dXXXXXXX 25 ____ 4 1 1 ___ 4 5 d
XXX
 26 ____ 4 5 
 dXXX 26 ______ 2 
8. a) A circunferência intersecta o eixo Ox quando y 5 0; assim:
(x 1 4)2 1 (0 2 3)2 5 16 Æ (x 1 4)2 5 7 Æ x 1 4 5 ±  dXX 7 Æ 
Æ x 5 24 1 dXX 7 ou x 5 24 2 dXX 7 
A circunferência intersecta o eixo Oy quando x 5 0; assim:
(0 1 4)2 1 (y 2 3)2 5 16 Æ (y 2 3)2 5 0 Æ y 5 3
Logo, os pontos de intersecção da circunferência dada com os 
eixos coordenados são (0, 3), ( 24 1 dXX 7 , 0 ) e ( 24 2 dXX 7 , 0 ) .
   Capítulo 27 – Circunferência
Página 609 – Para começar
1. Como os pedais do velocípede são conectados diretamente à 
roda dianteira, quando pedalamos, cada volta completa do pe­
dal gera uma volta da roda dianteira. Dessa maneira, quanto 
maior o tamanho da roda dianteira, maior a distância percorrida 
pelo velocípede a cada volta completa dos pedais. 
2. Sejam wd o espaço angular percorrido pela roda dianteira, wt o 
espaço angular percorrido pela roda traseira, x a medida do raio 
da roda traseira e 2x a medida do raio da roda dianteira.
Quando a roda dianteira dá 1 volta completa, isto é, wd 5 2p rad, 
ambas as rodas, dianteira e traseira, percorrem o mesmo espa­
ço linear S. Então:
wd ? 2x 5 wt ? x ä 2p ? 2x 5 wt ? x ä wt 5 4p
Assim, o espaço angular percorrido pela roda traseira é 4p rad, 
ou seja, a roda traseira dá 2 voltas completas enquanto a dian­
teira dá 1 volta completa.
Portanto, se a roda dianteira der 7 voltas completas, então a 
roda traseira dará 14 voltas completas.
3. Sejam wd o espaço angular percorrido pela roda dianteira, wt o 
espaço angular percorrido pela roda traseira, x a medida do raio 
da roda traseira e y a medida do raio da roda dianteira.
Se a roda traseira der 5 voltas completas e a dianteira 1 vol­
ta completa, então os espaços angulares percorridos por essas 
rodas são wt 5 10p rad e wd 5 2p rad.
No velocípede, as rodas dianteiras e traseiras sempre percorre­
ram o mesmo espaço linear, assim:
wd ? y 5 wt ? x Æ 10p ? x 5 2p ? y Æ y 5 5 ? x
Logo, para que essa situação seja satisfeita, precisamos que o 
raio da roda dianteira seja cinco vezes maior do que o raio da 
roda traseira.
Página 611 – Exercícios propostos
4. a) (x 2 4)2 1 ( y 2 (25) ) 2 5 72 Æ (x 2 4)2 1 (y 1 5)2 5 49
b) ( x 2 (27) ) 2 1 ( y 2 (21) ) 2 5 (22)2 Æ (x 1 7)2 1 (y 1 1)2 5 16
c) ( x 2 (22) ) 2 1 (y 2 3)2 5 ( dXXX 11   ) 2 Æ (x 1 2)2 1 (y 2 3)2 5 11
d) (x 2 3)2 1 (y 2 0)2 5 32 Æ (x 2 3)2 1 y2 5 9
5. a) (x 2 3)2 1 (y 2 4)2 5 4 Æ (x 2 3)2 1 (y 2 4)2 5 22
Então, essa circunferência tem centro C(3, 4) e raio r 5 2.
1
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6 x
y
C(3, 4)
b) x2 1 (y 1 1)2 5 9 Æ (x 2 0)2 1 ( y 2 (21) ) 2 5 32
Então, essa circunferência tem centro C(0, 21) e raio r 5 3.
1
2
y
21
22
23
24
1 2 3 x212223
C(0, 21)
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37
b) A circunferência intersecta o eixo Ox quando y 5 0; assim:
(x 1 1)2 1 02 5 49 Æ x 1 1 5 ± 7 Æ x 5 6 ou x 5 28
A circunferência intersecta o eixo Oy quando x 5 0; assim:
(0 1 1)2 1 y2 5 49 Æ y2 5 48 Æ y 5 ±  dXXX 48 Æ y 5 ± 4 dXX 3 Æ 
Æ y 5 4 dXX 3 ou y 5 24 dXX 3 
Logo, os pontos de intersecção da circunferência dada com os 
eixos coordenados são (6, 0), (28, 0), ( 0, 4 dXX 3 ) e ( 0, 24 dXX 3 ) .
9. a) Sendo º a medida do lado do quadrado, como sua área é 
8 u.a., temos:
º2 5 8 Æ º 5 ± dXX 8 5 ±2 dXX 2 
(º 5 22 dXX 2 não convém, pois º é uma medida)
Sendo r e C a medida do raio e o centro da circunferência, 
pelo triângulo retângulo PCS, obtemos:
(PS)2 5 (PC)2 1 (CS)2 Æ ( 2 dXX 2 ) 2 5 r2 1 r2 Æ 8 5 2r2 Æ r2 5 4 Æ 
Æ r 5 2 (r 5 22 não convém, pois r é uma medida)
O centro da circunferência é a origem do plano cartesiano, 
ou seja, C(0, 0). Então, temos a equação reduzida da circun­
ferência dada:
(x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 22 Æ x2 1 y2 5 4
b) Ao transladar a circunferência duas unidades para direita, seu 
centro passa a ser C(2, 0) e a medida do raio não se altera. En­
tão, temos a equação reduzida da circunferência transladada:
(x 2 2)2 1 (y 2 0)2 5 22 Æ (x 2 2)2 1 y2 5 4
10. Quando transladamos uma circunferência em um plano carte­
siano, a medida r de seu raio não se altera, e as coordenadas do 
centro C(a, b) mudam da seguinte maneira:
 ▪ O valor de a aumenta quando o deslocamento é para direita 
e diminui quando é para esquerda. 
 ▪ O valor de b aumenta quando o deslocamento é para cima e 
diminui quando é para baixo.
Esses aumentos e diminuições estão relacionados à quantidade 
de unidades do deslocamento.
a) O valor de b aumenta 3 unidades quando deslocamos a cir­
cunferência 3 unidades para cima.
b) O valor de a diminui 5 unidades quando deslocamos a circun­
ferência 5 unidades para esquerda.
c) O valor de b diminui 3 unidades e o de a aumenta 2 unidades 
quando deslocamos a circunferência 3 unidades para baixo e 
2 unidades para a direita.
Página 614 – Exercícios propostos
14. a) (x 2 2)21 (y 2 4)2 5 52 Æ x2 1 y2 2 4x 2 8y 2 5 5 0
b) (x 1 3)2 1 (y 2 7)2 5 42 Æ x2 1 y2 1 6x 2 14y 1 42 5 0
c) ( x 2 2 __ 3 ) 2 1 (y 1 1)2 5 72 Æ x2 1 y2 2 4x ____ 3 1 2y 2 428 ______ 9 5 0
d) (x 1 8)2 1 (y 1 2)2 5 102 Æ x2 1 y2 1 16x 1 4y 2 32 5 0
15. a) Usando o método de completar quadrados, temos:
x2 1 y2 2 6x 1 4y 1 4 5 0 Æ x2 2 6x 1 9 1 y2 1 4y 1 4 5 9 Æ 
Æ (x 2 3)2 1 (y 1 2)2 5 32 Æ (x 2 3)2 1 ( y 2 (22) ) 2 5 32
Logo, o centro da circunferência é o ponto C(3, 22) e o raio 
mede r 5 3.
b) Usando o método de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 2 10x 2 4y 1 25 5 0 ä x2 2 10x 1 25 1 y2 2 4y 1 
1 4 5 4 ä (x 2 5)2 1 (y 2 2)2 5 22
Logo, o centro da circunferênciaé o ponto C(5, 2) e o raio 
mede r 5 2.
c) Usando o método de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 1 8x 2 2y 1 1 5 0 ä x2 1 8x 1 16 1 y2 2 2y 1 1 5 16 ä 
ä (x 1 4)2 1 (y 2 1)2 5 42 ä ( x 2 (24) ) 2 1 (y 2 1)2 5 42
Logo, o centro da circunferência é o ponto C(24, 1) e o raio 
mede r 5 4.
16. O centro da circunferência é a origem do plano cartesiano, ou 
seja, é o ponto C(0, 0). Pela distância entre o ponto P(3, 4) da 
circunferência e o centro C, determinamos a medida r do raio 
da circunferência:
r 5 d(C, P) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 0)2 1 (4 2 0)2 5 dXXXXXXX 9 1 16 5 dXXX 25 5 5
Então, obtemos a equação geral da circunferência:
(x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 52 Æ x2 1 y2 2 25 5 0
17. Sendo C(a, b) o centro da circunferência, e r a medida do raio, 
pela distância entre os pontos P(0, 1), Q(2, 0) e S(3, 2) perten­
centes a essa circunferência e o centro C, obtemos:
r 5 d(C, P) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (a 2 0)2 1 (b 2 1)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXX a2 1 b2 2 2b 1 1 
r 5 d(C, Q) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (a 2 2)2 1 (b 2 0)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXX a2 2 4a 1 4 1 b2 
r 5 d(C, S) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (a 2 3)2 1 (b 2 2)2 5
5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX a2 2 6a 1 9 1 b2 2 4b 1 4 
Como essas distâncias são iguais, igualando as duas primeiras, 
podemos escrever:
 dXXXXXXXXXXXXXXX a2 1 b2 2 2b 1 1 5 dXXXXXXXXXXXXXXX a2 2 4a 1 4 1 b2 Æ 
Æ a2 1 b2 2 2b 1 1 5 a2 2 4a 1 4 1 b2 Æ 
Æ 4a 2 2b 2 3 5 0
E igualando a segunda e a terceira, temos:
 dXXXXXXXXXXXXXXX a2 2 4a 1 4 1 b2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX a2 2 6a 1 9 1 b2 2 4b 1 4 Æ 
Æ a2 2 4a 1 4 1 b2 5 a2 2 6a 1 9 1 b2 2 4b 1 4 Æ 
Æ 2a 1 4b 2 9 5 0
Então, dessas equações obtidas, temos o seguinte sistema:
 4a 2 2b 2 3 5 0
2a 1 4b 2 9 5 0
Multiplicamos a primeira equação por 2 e adicionamos à segunda 
equação. Substituímos a segunda equação pela equação obtida:
 4a 2 2b 2 3 5 0
10a 2 15 5 0
Da segunda equação, obtemos:
10a 2 15 5 0 Æ a 5 15 ____ 10 5 
3 __ 2 
Substituindo a por 3 __ 2 na primeira equação, obtemos:
4 ? 3 __ 2 2 2b 2 3 5 0 ä 6 2 2b 2 3 5 0 ä 2b 5 3 ä b 5 
3 __ 2 
Então, substituindo os valores de a e b em r 5 dXXXXXXXXXXXXXXX a2 1 b2 2 2b 1 1 , 
obtemos:
r 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 3 __ 2 ) 
2
 1 ( 3 __ 2 ) 
2
 2 2 ? 3 __ 2 1 1 5 d
XXXXXXXXXXXXXX
 9 ___ 4 1 
9 ___ 4 2 
6 ___ 2 1 
2 __ 2 5 d
XX
 5 __ 2 
Assim, obtemos a equação geral da circunferência:
x2 1 y2 2 2 ? 3 __ 2 ? x 2 2 ? 
3 __ 2 ? y 1 ( 3 __ 2 ) 
2
 1 ( 3 __ 2 ) 
2
 2 ( dXX 5 __ 2 ) 
2
 5 0 ä
ä x2 1 y2 2 3x 2 3y 1 9 ___ 4 1 
9 ___ 4 2 
5 __ 2 5 0 ä
ä x2 1 y2 2 3x 2 3y 1 8 ___ 4 5 0 ä x
2 1 y2 2 3x 2 3y 1 2 5 0
18. Usando o método de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 1 12x 2 6y 1 k 5 0 ä x2 1 12x 1 y2 2 6y 5 2k ä
ä x2 1 12x 1 36 1 y2 2 6y 1 9 5 2k 1 36 1 9 ä
ä (x 1 6)2 1 (y 2 3)2 5 2k 1 45
Para que a equação represente uma circunferência, 2k 1 45 
tem de ser maior do que zero, pois é o quadrado da medida do 
raio da circunferência:
2k 1 45 . 0 ä k , 45
19. Na equação x2 1 y2 1 Mx 1 Ny 1 P 5 0 temos M 5 22a, 
N 5 22b e P 5 a2 1 b2 2 r2, em que a e b são as coordenadas do 
centro da circunferência e r é a medida do raio. Assim, alterando 
a medida do raio, o único parâmetro que se altera é P.
Temos que r2 é sempre positivo e que, quanto mais aumentar­
mos a medida r do raio, maior será o valor de r2. Assim, conforme 
aumentamos a medida do raio, o valor de P 5 a2 1 b2 2 r2 será 
cada vez menor e, portanto, o parâmetro P diminui.
Logo, Ivo tem razão quando diz que, se aumentar a medida do 
raio, então um dos coeficientes diminui.
20. Como o hexágono é regular, sabemos que ele pode ser decompos­
to em 6 triângulos equiláteros; logo, a medida r do raio é r 5 5.
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38
O centro da circunferência é a origem do plano cartesiano, ou 
seja, C(0, 0).
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C 
na equação reduzida da circunferência, obtemos:
(x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 52 ä (x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 25
21. Como o quadrado está inscrito na circunferência, o ponto do vér­
tice pertence à circunferência.
Podemos determinar a medida do raio r pela distância entre o 
centro C(1, 2) e o ponto P(23, 21):
r 5 d(C, P) 5 1 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 2 (23) ) 2 1 ( 2 2 (21) ) 2 ä
ä r 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (1 1 3)2 1 (2 1 1)2 ä r 5 dXXXXXXX 16 1 9 ä r 5 5
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C na 
equação reduzida da circunferência, obtemos:
(x 2 1)2 1 (y 2 2)2 5 52 ä (x 2 1)2 1 (y 2 2)2 5 25
22. a) Como os pontos (3, 4) e (7, 8) são extremidades da diagonal 
de um quadrado e como a circunferência passa por esses pon­
tos, temos que o quadrado está inscrito nessa circunferência; 
logo, o centro C está nessa diagonal.
Podemos determinar o centro C da circunferência pelo ponto 
médio entre os pontos do vértice da diagonal:
C ( x1 1 x2 __________ 2 , y1 1 y2 __________ 2 ) 5 C ( 3 1 7 ________ 2 , 4 1 8 _________ 2 ) 5 C (5, 6)
Podemos determinar a medida do raio r pela distância entre o 
centro C(5, 6) e o ponto P(3, 4):
r 5 d(C, P) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (5 2 3 ) 2 1 (6 2 4 ) 2 ä r 5 dXXXXXXXXX (2)2 1 (2)2 ä 
ä r 5 dXX 8 ä r 52 dXX 2 
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C 
na equação reduzida da circunferência, obtemos:
(x 2 5)2 1 (y 2 6)2 5 (2 dXX 2 )2 ä (x 2 5)2 1 (y 2 6)2 5 8
b) (x 2 5)2 1 (y 2 6)2 5 8 ä x2 1 y2 2 10x 2 12y 1 53 5 0 
23. a) Usando o método de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 2 2x 2 2y 5 0 ä x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 5 2 ä
ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 ( dXX 2 )2 
A circunferência intersecta o eixo Ox quando y 5 0; assim:
(x 2 1)2 1 (0 2 1)2 5 ( dXX 2 )2 ä x2 2 2x 1 1 1 1 5 2 ä 
ä x2 2 2x 5 0 ä x(x 2 2) 5 0
x 5 0 ou x 5 2
A circunferência intersecta o eixo Oy quando x 5 0; assim:
(0 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 ( dXX 2 )2 ä 1 1 y2 2 2y 1 1 5 2 ä
ä y2 2 2y 5 0 ä y(y 2 2) 5 0
y 5 0 ou y 5 2
Logo, os pontos de intersecção da circunferência dada com os 
eixos coordenados são (0, 0), (2, 0) e (0, 2).
Portanto o polígono é um triângulo retângulo.
b) Pelos pontos dos vértices, sabemos que a base (2, 0) e a altura 
(0, 2) do triângulo têm medida igual a 2, assim podemos cal­
cular a área do triângulo:
 AT 5 
b ? h _______ 2 ä AT 5 
2 ? 2 _______ 2 ä AT 5 2
 Portanto, a área do triângulo é 2 u.a.
24. Podemos determinar o centro C da circunferência pelo ponto 
médio entre os pontos de intersecção da equação com a circun­
ferência:
C ( x1 1 x2 _________ 2 , y1 1 y2 __________ 2 ) 5 C ( 0 1 2 _________ 2 ) , ( 0 1 6 _________ 2 ) 5 C(1, 3)
Podemos determinar a medida do raio r pela distância entre o 
centro C(1, 3) e o ponto P(2, 6):
r 5 d(C, P) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (1 2 2)2 1 (3 2 6)2 ä r 5 dXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 (23)2 ä
ä r 5 dXXX 10 
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C na 
equação reduzida da circunferência, obtemos:
(x 2 1)2 1 (y 2 3)2 5 ( dXXX 10 )2 ä (x 2 1)2 1 (y 2 3)2 5 10
Assim a equação geral é dada por:
(x 2 1)2 1 (y 2 3)2 5 10 ä x2 1 y2 2 2x 2 6y 1 1 1 9 2 10 5 0 ä
ä x2 1 y2 2 2x 2 6y 5 0
25. Dados dois pontos A e B pertencentes à circunferência, eles são 
equidistantes do centro da circunferência. Logo, o centro da cir­
cunferência pertence à mediatriz do segmento de extremos nes­
ses pontos. De maneira análoga, os pontos B e D(0, 5) perten­
cem à circunferência e o centro C da circunferência pertence à 
mediatriz do segmento 
____
 BD . Assim, o centro C também pertence à 
mediatriz do segmento 
____
 AD .
Então, para determinar as coordenadas do ponto C, determina­
mos a intersecção dessas mediatrizes.
Sendo P(x, y) o ponto médio do segmento 
____
 AB , então d(A, P) 5 
5 d(B, P) e, dessa relação, determinamos a equação da reta me­
diatriz m1 do segmento 
____
 AB :
 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 (22))2 1 (y 2 0)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 3)2 1(y 2 0)2 ä
ä x2 1 4x 1 4 1 y2 5 x2 2 6x 1 9 1 y2 ä 
ä 10x 5 5 ä x 5 1 __ 2 
Analogamente, sendo Q o ponto médio do segmento 
____
 AD , a equa­
ção da reta mediatriz m2 desse segmento é tal que d(A, Q) 5 
5 d(D, Q). Então:
 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 (22))2 1 (y 2 0)2 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 0)2 1 (y 2 5)2 ä
ä x2 1 4x 1 4 1 y2 5 x2 1 y2 2 10y 1 25 ä 4x 1 10y 5 21
Substituindo x por 1 __ 2 na equação 4x 1 10y 5 21 , obtemos:
4 ? 1 __ 2 1 10y 5 21 ä y 5 
19 ____ 10 
Portanto, o ponto C ( 1 __ 2 , 19 ____ 10 ) é o centro da circunferência. Para de­
terminar a medida r do raio, calculamos a distância do centro C 
a qualquer ponto da circunferência; por exemplo, ao ponto A:
r 5 d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 __ 2 2 (22) ) 
2
 1 ( 19 ____ 10 2 0 ) 
2
 ä r 5 dXXXXXXXXX 25 ____ 9 1 361 ______ 100 ä
ä r 5 dXXXXX 5 749 ________ 900 
Substituindo a medida r do raio e as coordenadas do centro C na 
equação reduzida da circunferência, obtemos:
 ( x 2 1 __ 2 ) 
2
 1 ( y 2 19 ____ 10 ) 
2
 5 ( dXXXXXX 5 749 ________ 900 ) 
2
 ä
ä x2 1 y2 2 x 2 38 ____ 10 y 1 
1 ___ 4 1 
361
 ______ 100 2 
5 749
 ________ 900 5 0 ä
ä x2 1 y2 2 x 2 38 ____ 10 y 2 
2 275
 ________ 900 5 0 ä x
2 1 y2 2 x 2 
38
 ____ 10 y 2 
91
 ____ 36 5 0
Página 615 – Para refletir
 ▪ Representa o conjunto de pontos do plano que se encontram no 
interior da circunferência de centro C(a, b) e raio medindo r.
 ▪ Representa o conjunto de pontos do plano que se encontram no 
exterior da circunferência de centro C(a, b) e raio medindo r.
Página 615 – Exercícios propostos
26. a) A circunferência dada tem centro C(2, 23) e raio medindo dXX 2 .
d(P, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 2)2 1 ( 22 2 (23) ) 2 5 dXXXXX 1 1 1 5 dXX 2 
Logo, o ponto P pertence à circunferência representada pela 
equação dada.
b) x2 1 y2 5 5 Æ (x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 dXX 5 2 
Assim, a circunferência dada tem centro C(0, 0) e raio me­
dindo dXX 5 .
d(P, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 0)2 1 (22 2 0)2 5 dXXXXXX 9 1 4 5 dXXX 13 . dXX 5 
Logo, o ponto P é exterior à circunferência representada pela 
equação dada.
c) Usando o métode de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 2 10x 1 18y 1 90 5 0 Æ
Æ x2 2 10x 1 25 1 y2 1 18y 1 81 1 90 5 25 1 81 Æ
Æ (x 2 5)2 1 (y 1 9)2 5 25 1 81 2 90 Æ
Æ (x 2 5)2 1 (y 1 9)2 5 16 
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39
Assim, a circunferência dada tem centro C(5, 29) e raio me­
dindo 4.
d(P, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 5)2 1 ( 22 2 (29) ) 2 5 dXXXXXXX 4 1 49 5 dXXX 53 . 5
Logo, o ponto P é exterior à circunferência representada pela 
equação dada.
27. Substituindo as coordenadas do ponto P na equação da circun­
ferência, obtemos:
(3 2 3)2 1 (k 1 1)2 5 81 ä (k 1 1)2 5 81
a) Para o ponto P ser interior à circunferência, temos:
(k 1 1)2 , 81 Æ 29 , k 1 1 , 9 Æ 210 , k , 8
b) Para o ponto P ser exterior à circunferência, temos:
(k 1 1)2 . 81 Æ k 1 1 , 29 ou k 1 1 . 9 Æ k , 210 
ou k . 8
c) Para o ponto P pertencer à circunferência, temos:
(k 1 1)2 5 81 Æ k 1 1 5 ±9 Æ k 5 210 ou k 5 8
28. Escrevemos as duas equações na forma reduzida:
 ▪ (x 2 5)2 1 (y 2 2)2 5 9 ä (x 2 5)2 1 (y 2 2)2 5 32
Essa circunferência tem centro C(5, 2) e raio medindo 3.
 ▪ x2 1 y2 2 6x 1 8 5 0 ä x2 2 6x 1 9 1 y2 1 8 5 9 ä
ä (x 2 3)2 1 (y 2 0)2 1 8 5 9 ä (x 2 3)2 1 (y 2 0)2 5 1 ä 
ä (x 2 3)2 1 (y 2 0)2 5 12
Essa circunferência tem centro C9(3, 0) e raio medindo 1.
Calculamos a distância entre os centros das circunferências:
d(C, C9) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (5 2 3)2 1 (2 2 0)2 5 dXXXXXX 4 1 4 5 dXX 8 5 2 dXX 2 
Como 2 dXX 2 . 1, o centro C de uma circunferência é exterior à outra 
circunferência. Como 2 dXX 2 , 3, o centro C9 de uma circunferência é 
interior à outra circunferência.
29. Escrevemos as duas equações na forma reduzida:
(x 1 2)2 1 (y 1 2)2 5 12 
Essa circunferência C1 tem centro C9(22, 22) e raio medindo 1.
(x 2 9)2 1 (y 2 9)2 5 42
Essa circunferência C2 tem centro C(9, 9) e raio medindo 4.
Calculamos a distância entre os centros das circunferências:
d(C9, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 9 2 (22) ) 2 1 ( 9 2 (22)2 ) 5 dXXXXXX 2 ? 112 5 11 dXX 2 
Como a distância entre um ponto P da circunferência C1 e C9 é 1 
e a distância entre um ponto Q da circunferência C2 e C é 4, ob­
temos a distância máxima somando os raios das circunferências 
C1 e C1 com a distância entre seus centros:
dmax (P, Q) 5 1 1 4 1 11 dXX 2 ä dmax (P, Q) 5 5 1 11 dXX 2 
30. Escrevemos a equação na forma reduzida, completando quadra­
dos, obtemos: 
x2 1 y2 2 6x 2 2y 2 6 5 0 ä
ä x2 2 6x 1 9 1 y2 2 2y 1 1 2 6 5 9 1 1 ä
ä (x 2 3)2 1 (y 2 1)2 5 9 1 1 1 6 ä (x 2 3)2 1 (y 2 1)2 5 16
Assim, a circunferência dada tem centro C(3, 1) e raio medindo 
dXXX 16 5 4.
Para encontrar o ponto simétrico S, primeiro devemos encon­
trar a diferença (D) entre as coordenadas dos pontos C e Q(1, 2):
D(3 2 1, 1 2 2) 5 D(2, 21)
O ponto simétrico S é dado pela soma entre C e D:
S(3 1 2, 1 2 1) 5 S(5, 0)
Página 618 – Exercícios propostos
34. A circunferência é tangente aos eixos Ox e Oy nos pontos (2, 0) e 
(0, 2); logo, temos a seguinte representação:
1
2
3
4
y
1 2 3 4 x
C
O centro da circunferência é o ponto C(2, 2) e seu raio mede 2. 
Assim, obtemos a equação da circunferência:
(x 2 2)2 1 (y 2 2)2 5 22 Æ x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 5 0
35. O raio dessa circunferência é dado pela distância entre o ponto 
A e o centro C da circunferência:
r 5 d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 2 2)2 1 (1 2 2)2 ä
ä r 5 dXXXXXXXXXXXXX (22)2 1 (21)2 ä r 5 dXX 5 
Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto A.
(y 2 y0) 5 m(x 2 x0) ä (y 2 2) 5 m(x 2 2) ä
ä 2mx 1 2m 1 y 2 2 5 0
A circunferência tem centro C(0, 1) e raio medindo dXX 5 . Então, po­
demos determinar o valor de m, calculamos a distância da reta 
tangente e o centro (0, 1):
r 5 d(C, t) ä dXX 5 5 |2m ? 0 1 1 ? 1 1 2m| ______________________________ 
 dXXXXXX (2m)2 1 1
 ä
ä dXX 5 ? dXXXXXXXXXX (2m)2 1 1 5 |1 1 2m| ä 
ä 5 ? (m2 1 1) 5 4m2 1 4m 1 1 ä m2 2 4m 1 4
m 5 4 ±  
dXXXXXXXX 16 2 16 ___________________ 2 ä m 5 2 
Substituindo m por 2 na equação 2mx 1 2m 1 y 2 2 5 0 , ob­
temos a equação da reta: 22x 1 y 1 2 5 0
36. A circunferência tem centro C(3, 22) e raio medindo 1. Então, cal­
culamos a distância da reta t: x 1 2y 2 5 5 0 e o centro C(3, 22):
d(C, t) 5 
|1 ? 3 1 2 ? (22) 1 (25)| 
 ___________________________________ 
 dXXXXXX 12 1 22 
 5 
 |26| 
 ________ 
 dXX 5 
 5 6 ____ 
 dXX 5 
 5 6 
dXX 5 ______ 5 . 1
Logo, a distância entre o centro C da circunferência e a reta t é 
 6 
dXX 5 ______ 5 e essa reta é exterior à circunferência.
37. Os pontos A e B são as soluções do sistema formado pelas equa­
ções x 2 y 5 0 e x2 1 y2 1 4x 1 4y 5 0. Então, resolvemos esse 
sistema:
x 2 y 5 0
x2 1 y2 1 4x 1 4y 5 0
Da primeira equação, temos:
x 2 y 5 0 Æ x 5 y 
Substituindo x por y na segunda equação, obtemos:
y2 1 y2 1 4y 1 4y 5 0 Æ y 5 0 ou y 5 24
Então: x 5 0 ou x 5 24
Assim, os extremos do segmento 
____
 AB são (0, 0) e (24, 24). 
Determinamos então sua medida:
d(A, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 1 4)2 1 (0 1 4)2 5 4 dXX 2 
38. Sendo t a reta de equação x 2 y 5 0, sua equação reduzida é 
y 5 x. Assim, as retas s de equações da forma y 5 x 1 m 5 0, 
m [ R, são paralelas à reta t.
Essas retas devem ser tangentes à circunferência dada, ou seja, 
a distância dessas retas ao centro da circunferência deve ser 
igual à medida do raio da circunferência. Determinamos então 
as coordenadas do centro C da circunferência dada e a medi­
da r de seu raio.
Usando o método de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 2 5 0 ä 
ä x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 2 2 5 1 1 1 ä
ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 2 2 5 1 1 1 ä
ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 4 ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 22
Assim, o centro da circunferência é C(1, 1) e o raio meder 5 2.
SPM3_MP_RES_C05_036A045.indd 39 7/27/15 10:18 PM
40
Então, pela distância entre a reta s e o centro da circunferência, 
obtemos os valores de m:
d(C, s) 5 r Æ |1 ? 1 1 (21) ? 1 1 m| _______________________________ 
 dXXXXXXXXX 11 1 (21)2 
 5 2 Æ |1 2 1 1 m| __________________ 
 dXX 2 
 5 2 Æ
Æ |m| 5 2 dXX 2 Æ m 5 ± 2 dXX 2 
Logo, as retas paralelas à reta t e tangentes à circunferência têm 
equações x 2 y 1 2 dXX 2 5 0 e x 2 y 2 2 dXX 2 5 0.
39. Determinamos as coordenadas do centro da circunferência e a 
medida de seu raio.
Usando o método de completar quadrados, obtemos:
x2 1 y2 2 4x 2 2y 2 4 5 0 ä
ä x2 2 4x 1 4 1 y2 2 2y 1 1 2 4 5 4 1 1 ä
ä (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 2 4 5 4 1 1 ä
ä (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 9 ä (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 32
Assim, o centro da circunferência dada é C(2, 1) e o raio mede 3.
Sendo t a reta dada de equação 2x 1 y 1 m 5 0, para que essa 
reta seja externa à circunferência, a distância dela ao centro da 
circunferência deve ser maior do que a medida do raio. Assim, 
determinamos os possíveis valores de m:
 
 |(21) ? 2 1 1 ? 1 1 m| 
 _______________________________ 
 dXXXXXXXXX (21)2 1 12 
 . 3 Æ |22 1 1 1 m| _____________________ 
 dXX 2 
 . 3 Æ
Æ |m 2 1| . 3 dXX 2 Æ m 2 1 . 3 dXX 2 ou m 2 1 , 23 dXX 2 Æ 
Æ m . 3 dXX 2 1 1 ou m , 1 2 3 dXX 2 
40. Sendo s uma reta que contém um raio da circunferência e A(1, 0) 
um dos pontos em que a reta s intersecta a circunferência, essa 
reta forma um ângulo reto com a reta tangente a sua circunfe­
rência no ponto A. Assim, o centro da circunferência pertence 
à reta s.
Analogamente, sendo t uma reta que contém um raio da circun­
ferência e B(0, 2) um dos pontos em que a reta s intersecta a 
circunferência, essa reta forma um ângulo reto com a reta tan­
gente à sua circunferência no ponto B. Assim, o centro da circun­
ferência pertence à reta t.
Então, como o centro pertence à reta s e à reta t, ele é a intersec­
ção dessas retas, que é o ponto de coordenadas (1, 2).
1
2
3
y
1 2 x
(1, 2)
t
s
B
A
Mas, como a distância entre esse ponto e o ponto B(0, 2) é 1 e 
a distância entre esse ponto e o ponto A(1, 0) é 2, temos duas 
medidas diferentes para o raio, o que é um absurdo.
Logo, não existe circunferência que satisfaça a condição de tan­
gência aos eixos coordenados nos pontos dados.
41. Pelas informações do enunciado, temos o centro C(a, b), a . 0, 
b , 0, e raio medindo r 5 5
Como a circunferência é tangente aos eixos coordenados e a . 0 
e b , 0, temos o seguinte esboço:
x
C
r
r
a
2b
y
Assim: |a| 5 r, e como a . 0, temos a 5 5; e |b| 5 r, e como 
b , 0, temos b 5 25.
Então, temos a equação reduzida dessa circunferência:
(x 2 5)2 1 (y 1 5)2 5 52 
Desenvolvendo essa equação, obtemos a equação geral da cir­
cunferência:
(x 2 5)2 1 (y 1 5)2 5 52 ä
x2 1 y2 2 10x 1 10y 1 25 1 25 5 25 ä
ä x2 1 y2 2 10x 1 10y 1 25 5 0
42. a) Podemos determinar a equação da reta s utilizando as infor­
mações do plano cartesiano, sendo O o ponto de intersecção, 
obtemos: 
yO 5 axO 1 b ä 0 5 a ? 0 1 b ä b 5 0 (I)
yA 5 axA 1 b ä 2 5 a ? 2 1 b (II)
Substituindo b por 0 em (II), obtemos:
2 5 a ? 2 1 b ä 2a 5 2 ä a 5 1 
Assim a reta é s: y 5 x.
Analogamente, determinamos a reta t:
yO 5 axO 1 b ä 0 5 a ? 0 1 b ä b 5 0 (I)
yB 5 a9xB 1 b9 ä 2 5 a9 ? 2 1 b9 (II)
Substituindo b9 por 0 em (II), obtemos:
22 5 a9 ? 2 1 b9 ä 2a9 5 22 ä a9 5 1
Assim a reta é t: y 5 2x.
b) O raio dessa circunferência é dado pela distância entre o pon­
to A e o centro C da circunferência:
 r 5 d(C, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (xC 2 2)2 1 (yC 2 2)2 
 Da mesma forma, o raio dessa circunferência é dado pela dis­
tância entre o ponto B e o centro C da circunferência:
 r 5 d(C, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (xC 2 2)2 1 (yC 1 2)2 
 Igualando as duas equações e elevando ambos os membros 
ao quadrado, obtemos:
 (xC 2 2)
2 1 (yC 2 2)
2 5 (xC 2 2)
2 1 (yC 1 2)
2 ä
 ä (yC 2 2)
2 5 (yC 1 2)
2 ä y C 2 2 4yC 1 4 5 y C 
2
 1 4yC 1 4 ä
 ä 4yC 5 0 ä yC 5 0
 A reta suporte do segmento 
____
 AC é perpendicular à reta s, as­
sim:
 mr ? ms 5 21 ä 
yC 2 yA __________ xC 2 yB
 ? 
y0 2 yA __________ x0 2 yB
 5 21 ä
 ä 
yC 2 2 _________ xC 2 2
 ? 0 2 2 _________ 0 2 2 5 21 ä yC 2 2 5 2xC 1 2 ä xC 5 4 
 Assim, C(4, 0) e o raio é:
 r 5 d(C, B) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (xC 2 2)2 1 (yC 1 2)2 ä
 ä r 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (4 2 2)2 1 (0 1 2)2 ä r 5 dXXXXXX 4 1 4 ä r 5 2 dXX 2 
 A equação reduzida da circunferência é:
 (x 2 4)2 1 (y 2 0)2 5 (2 dXX 2 )2 ä (x 2 4)2 1 y2 5 8
43. Pelas informações do enunciado, temos o centro C(a, b) e raio 
medindo r 5 1
Como a circunferência é tangente aos eixos coordenados e a . 0 
e b . 0, temos:
|a| 5 r, e como a . 0, temos a 5 1; e |b| 5 r, e como b . 0, te­
mos b 5 1.
Então, temos a equação reduzida dessa circunferência:
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 12 
Desenvolvendo essa equação, obtemos a equação geral da cir­
cunferência:
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 12 ä x2 1 y2 2 2x 2 2y 1 1 1 1 5 1 ä
ä x2 1 y2 2 2x 2 2y 1 1 5 0
Determinamos as coordenadas dos pontos de intersecção da 
reta com a circunferência, resolvendo o sistema formado pelas 
equações da reta e da circunferência:
y 5 x
x2 1 y2 2 2x 2 2y 1 1 5 0
t 
SPM3_MP_RES_C05_036A045.indd 40 7/27/15 10:18 PM
41
Substituindo y por x na equação geral da circunferência, obtemos:
x2 1 x2 2 2x 2 2x 1 1 5 0 ä 2x2 2 4x 1 1 5 0
x 5 4 ± 
dXXXXXXX 16 2 8 _________________ 4 ä x 5 
2 ±  dXX 2 _________ 2 ä x 5 
2 1 dXX 2 __________ 2 ou x 5 
2 2 dXX 2 __________ 2 
Substituindo em y 5 x, temos:
y 5 2 1 
dXX 2 __________ 2 e y 5 
2 2 dXX 2 __________ 2 
Portanto, os pontos A e B de intersecção da reta com a circunferência 
têm coordenadas ( 2 1 dXX 2 __________ 2 , 2 1 dXX 2 __________ 2 ) e ( 2 2 dXX 2 __________ 2 , 2 2 dXX 2 __________ 2 ), devemos 
considerar o ponto de intersecção como sendo ( 2 1 dXX 2 __________ 2 , 2 1 dXX 2 __________ 2 ) , 
pois está mais distante da origem.
Como as retas são perpendiculares, sabemos que a intersecção 
das retas acontece no ponto médio entre x0 e xp, assim P ( 2 1 dXX 2 , 0 )
44. Vamos analisar as sentenças uma a uma:
 I. Temos (4 2 3)2 1 (2 2 4)2 5 1 1 4 5 5, ou seja, o ponto P 
pertence à circunferência dada, a afirmação é verdadeira.
 II. O raio dessa circunferência é dXX 5 , a afirmação é falsa.
 III. O centro da circunferência tem coordenadas (3, 4). Assim, 
para x 5 3, na equação da reta dada, temos: y 5 4 ___ 3 ? 3 5 4.
 Então, a reta dada passa pelo centro da circunferência, a afir­
mação é verdadeira.
Portanto, as afirmativas I e III são verdadeiras (alternativa e).
45. a) Resposta pessoal. Estimule a discussão em pequenos grupos 
e em seguida a troca de ideias entre todos os alunos. Sugeri­
mos que se abra o debate após a leitura de todos os textos, 
orientando os alunos a anotarem suas perguntas ou dúvidas, 
para não interromper as apresentações. 
Como se trata de tema polêmico, nossa orientação é no sen­
tido de mostrar aspectos dessa polêmica. Certamente o pro­
fessor obterá da própria turma conclusões ou ideias interes­
santes, pois os jovens em geral se interessam pelo assunto. 
Pelas definições do dicionário Houaiss, entre outras acepções 
encontramos: 
•	Grafite – rabisco ou desenho simplificado, ou iniciais do au­
tor, feitos, geralmente, com aerossol de tinta, nas paredes, 
muros, monumentos, etc., de uma cidade.
•	Arte – qualidade de experto; perícia, habilidade (13a acepção). 
•	Vandalismo – ato ou efeito de produzir estrago ou destrui­
ção de monumentos ou quaisquer bens públicos ou parti­
culares, de atacar coisas belas ou valiosas, com o propósito 
de arruiná­las. 
•	Pichação – ato ou efeito de pichar.
•	Pichar – escrever, rabiscar (dizeres de qualquer espécie) em 
muros, paredes, fachadas de edifícios, etc. 
Portanto, ao que parece, a diferença entre vandalismo e grafi­
te é o espaço público escolhido: monumentos e bens públicosvaliosos ou esteticamente belos não devem ser usados para a 
prática do grafite. Já a diferença entre grafite e pichação fica 
por conta da palavra “desenho”, incluído em grafite e ausen­
te em pichação. 
Sobre o significado de “arte”, transcrevemos a acepção 
acima exatamente para destacar a palavra “habilidade” 
como condição necessária não apenas ao artista plástico, 
mas também para quem pratica o grafite e/ou a pichação. 
Apresentamos a seguir um significado mais amplo, para 
uso do professor: Artes são atividades humanas orienta­
das pela emoção, percepção, interpretação do mundo e pe­
las ideias do artista, com o objetivo de igualmente esti­
mular a emoção, a percepção, a reflexão e novas ideias no 
observador. A palavra “artes” vem do latim ars, que signi­
fica técnica ou habilidade. Há diversas modalidades de ar­
tes: música, dança, literatura, teatro, artes plásticas, etc. 
Cada expressão artística tem seu próprio meio de realiza­
ção. As artes plásticas são também denominadas belas artes. 
Portanto, o grafite estaria no contexto das artes plásticas. 
A seguir, apresentamos um texto que procura conectar o que 
se pede na atividade, em uma abordagem que coloca o grafite 
como “arte de rua” ou “arte urbana”, na qual incluímos “está­
tuas vivas”, músicos, malabaristas, palhaços, representações 
teatrais, entre outras manifestações artísticas praticadas nas 
ruas das cidades.
Grafite
A arte do grafite é uma forma de manifestação artística em 
espaços públicos. A definição mais popular diz que o grafite é um 
tipo de inscrição feita em paredes. Existem relatos e vestígios 
dessa arte desde o Império Romano. Seu aparecimento na Idade 
Contemporânea se deu na década de 1970, em Nova Iorque, nos 
Estados Unidos. Alguns jovens começaram a deixar suas marcas 
nas paredes da cidade e, algum tempo depois, essas marcas evoluí- 
ram com técnicas e desenhos.
O grafite está ligado diretamente a vários movimentos, em 
especial ao hip hop. Para esse movimento, o grafite é a forma de 
expressar toda a opressão que a humanidade vive, principalmente 
os menos favorecidos, ou seja, o grafite reflete a realidade das ruas.
O grafite foi introduzido no Brasil no final da década de 1970, 
em São Paulo. Os brasileiros não se contentaram com o grafite 
norte-americano, então começaram a incrementar a arte com um 
toque brasileiro. O estilo do grafite brasileiro é reconhecido entre 
os melhores de todo o mundo.
Muitas polêmicas giram em torno desse movimento artístico, 
pois de um lado o grafite é desempenhado com qualidade artísti - 
 ca, e do outro não passa de poluição visual e vandalismo. A pichação 
ou vandalismo é caracterizado pelo ato de escrever em muros, 
edifícios, monumentos e vias públicas. Os materiais utilizados 
pelos grafiteiros vão desde tradicionais latas de spray até o látex.
Percília, E. Grafite. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/ 
artes/grafite.htm>. Acesso em: 18 dez. 2012.
Para complementar o texto acima, lembramos que são várias 
as intenções do grafite, como: desafiar a ordem social esta­
belecida; chocar as pessoas; criticar questões econômicas, 
políticas e sociais. Muitos “grafiteiros” se tornaram artistas 
plásticos de renome – como o estadunidense Basquiat (1960­ 
­1988), que ficou conhecido internacionalmente nos anos 
de 1970 – e os irmãos gêmeos brasileiros Gustavo e Otávio, 
conhecidos mundialmente como Os Gêmeos ou pela famosa 
assinatura “osgemeos”. Em Londres, Inglaterra, as paredes 
externas do famoso museu Tate Modern Galery foram oferecidas 
ao grafite e se destacam na paisagem urbana às margens do 
rio Tâmisa. No mundo todo, várias cidades têm usado o grafite 
para destacar fachadas ou detalhes de edifícios.
b) O centro da circunferência é C(3, 24) e o raio mede 3. Calcula­
mos então a distância entre a reta t e o centro da circunferência:
d(C, t) 5 
|2 ? 3 1 ( 21 ) ? (24) 1 5| 
 ___________________________________ 
 dXXXXXXXXXX 22 1 (21)2 
 5 
 |15| 
 _______ 
 dXX 5 
 5 15 ____ 
 dXX 5 
 ? 
dXX 5 ____ 
 dXX 5 
 5 
5 3 dXX 5 . 3
Logo, a reta t desenhada é exterior à circunferência.
Para complementar, sugerimos as seguintes atividades.
 ▪ Apresentação do áudio Do vandalismo à arte. (Disponível em: 
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/1493/
do_vandalismo_a_arte.mp3>. Acesso em: 21 dez. 2012.)
 ▪ Pesquisa em grupos sobre “artistas de rua” da escola e da 
comunidade local. Registre espaços grafitados por meio de fo­
tos ou vídeos. Procure entrevistar os artistas, identificando: 
nomes, objetivos de sua arte, se procuram permissão para 
aquela prática e, no caso de não terem, se respeitam a proi­
bição e por quê. 
Por meio de um projeto pedagógico, esta atividade pode se es­
tender à comunidade escolar, proporcionando aos alunos mani­
festarem sua opinião sobre grafites no muro e nas paredes da 
escola, se existirem.
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42
Página 620 – Exercícios propostos
48. a) Considerando as circunferências V1: (x 2 3)
2 1 (y 1 2)2 5 9 
e V2: (x 1 1)
2 1 (y 2 2)2 5 16, temos os centros C1(3, 22) e 
C2 (21, 2) e os raios medindo r1 5 3 e r2 5 4. Assim:
d(C1, C2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 3 2 (21) ) 2 1 (22 2 2)2 5 dXXXXXXXX 16 1 16 5 4 dXX 2 
Como |r1 2 r2| 5 |3 2 4| 5 |21| 5 1 e r1 1 r2 5 3 1 4 5 7, 
temos |r1 2 r2| , d(C1, C2) , r1 1 r2, ou seja, as circunferências 
dadas são secantes.
b) Considerando as circunferências V1: (x 2 2)
2 1 (y 2 1)2 5 25 
e V2: x
2 1 y2 5 5, temos os centros C1(2, 1) e C2(0, 0) e os raios 
medindo r1 5 5 e r2 5 dXX 5 . Assim:
d(C1, C2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 0)
2 1 (1 2 0)2 5 dXXXXX 4 1 1 5 dXX 5 > 2,23
Como |r1 2 r2| 5 |5 2 dXX 5 | 5 5 2 dXX 5 > 2,76, temos 
d(C1, C2) , |r1 2 r2|, ou seja, as circunferências dadas são 
internas.
c) Considerando as circunferências V1: x
2 1 y2 2 2x 2 2y 1 1 5 0 
e V2: x
2 1 y2 1 2x 2 2y 1 1 5 0, escrevemos essas equações 
na forma reduzida:
 ▪ x2 1 y2 2 2x 2 2y 1 1 5 0 ä 
ä x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 1 1 5 1 1 1 ä
ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 1 1 5 1 1 1 ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 1
 ▪ x2 1 y2 1 2x 2 2y 1 1 5 0 ä
ä x2 1 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 1 1 5 1 1 1 ä
ä (x 1 1)2 1 (y 2 1)2 5 1
Então, temos os centros C1 (1, 1) e C2(21, 1) e os raios medindo 
r1 5 1 e r2 5 1. Assim:
d(C1, C2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 2 (21) ) 2 1 (1 2 1)2 5 dXXXXXX 4 1 0 5 2
Como r1 1 r2 5 1 1 1 5 2, temos d(C1, C2) 5 r1 1 r2, ou seja, as 
circunferências dadas são tangentes externamente.
d) Considerando as circunferências V1: x
2 1 y2 2 6x 1 2y 1 9 5 0 
e V2: x
2 1 y2 2 6x 1 2y 1 1 5 0, escrevemos essas equações 
na forma reduzida:
 ▪ x2 1 y2 2 6x 1 2y 1 9 5 0 ä
ä x2 2 6x 1 9 1 y2 1 2y 1 1 1 9 5 9 1 1 ä
ä (x 2 3)2 1 (y 1 1)2 5 1
 ▪ x2 1 y2 2 6x 1 2y 1 1 5 0 ä
ä x2 2 6x 1 9 1 y2 1 2y 1 1 1 1 5 9 1 1 ä
ä (x 2 3)2 1 (y 1 1)2 5 9
Então, temos os centros C1(3, 21) e C2(3, 21) e os raios me­ 
dindo r1 5 1 e r2 5 3. Assim:
d(C1, C2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 3)2 1 ( 21 2 (21) ) 2 5 dXXXXXX 0 1 0 5 0
Como |r1 2 r2| 5 |1 2 3| 5 |22| 5 2, temos d(C1, C2) , |r1 2 r2|, 
ou seja, as circunferências dadas são internas e concêntricas.
49. Sendo V1 a circunferência de centro C1(22, 2), como o ponto 
A(0, 2) pertence a essa circunferência, pela distância entre esses 
pontos podemos determinar a medida r1 de seu raio:
r1 5 d(C1, A) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (22 1 0)
2 1 (2 2 2)2 5 dXXXXXX 4 1 0 5 2
Assim, determinamos a equação geral da circunferência V1:
x2 1 y2 2 2 ? (22) ? x 2 2 ? 2 ? y 1 (22)2 1 22 2 22 5 0 ä
ä x2 1 y2 1 4x 2 4y 1 4 5 0
A circunferência V2: (x 2 3)
2 1 (y 2 2)2 5 9 tem centro C2(3, 2) 
e raio medindo r2 5 3. Então, calculamos a distância entre os 
centros das circunferências:
d(C1, C2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (22 2 3)
2 1 (2 2 2)2 5 dXXXXXXXXX (25)2 1 0 5 dXXX 25 5 5
Como |r1 2 r2| 5 |2 2 3| 5 |21| 5 1 e r1 1 r2 5 2 1 3 5 5, temos 
d(C1, C2) 5 r1 1 r2, ou seja, as circunferências dadas são tangentes 
externamente.
50. Ospontos de intersecção das duas circunferências são as solu­
ções do sistema formado por suas equações:
Q
x2 1 y2 2 4 5 0
x2 1 y2 2 4x 1 3 5 0
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:
2(24x) 2 7 5 0 Æ 4x 5 7 Æ x 5 7 ___ 4 
Substituindo x por 7 ___ 4 na primeira equação, obtemos:
 ( 7 ___ 4 ) 
2
 1 y2 2 4 5 0 Æ y2 5 4 2 49 ____ 16 5 
15 ____ 16 Æ y 5 ±  d
XXX
 15 ____ 16 5 ±  
 dXXX 15 
 ______ 4 
Logo, os pontos de intersecção das circunferências V1 e V2 têm 
coordenadas ( 7 ___ 4 , 2 dXXX 15 ______ 4 ) e ( 7 ___ 4 , dXXX 15 ______ 4 ) .
51. Para que uma circunferência de raio medindo 5 seja tangente ex­
terna à circunferência dada no ponto P, a distância entre os cen­
tros das duas circunferências deve ser 3 1 5 5 8. Temos então a 
circunferência de centro (22, 9):
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y
21
22
1 2 3 4 5 x2122232425262728
P
Logo, a equação dessa circunferência é (x 1 2)2 1 (y 2 9)2 5 25.
52. Para que uma circunferência de raio medindo 3 seja tangente 
interna à circunferência dada no ponto P, a distância entre os 
centros das duas circunferências deve ser 5 2 3 5 2. 
Temos então a circunferência de centro (3, 2):
21
22
23
24
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x212223
1
2
3
4
5
y
P
Logo, a equação dessa circunferência é (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 9.
53. Existem duas possibilidades para que uma circunferência seja 
tangente a outras duas circunferências concêntricas. Sendo V1 
e V2 as circunferências concêntricas, e V3 a circunferência que 
tangencia as circunferências V1 e V2, temos:
 ▪ A circunferência V3 é tangente internamente à V1 e externa­
mente à V2;
 ▪ A circunferência V2 é tangente internamente à circunferência V3, 
que, por sua vez, é tangente internamente à circunferência V1.
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43
Representações possíveis:
V1
V3
V2
 
V1
V3
V2
No primeiro caso, temos: r3 5 
 |r1 2 r2| ____________ 2 
E, no segundo caso, temos: r3 5 
 r1 1 r2 ___________ 2 
54. a) A circunferência V1 tem centro C1(3, 3) e raio medindo r1 5 2. 
Então, sua equação reduzida é:
(x 2 3)2 1 (y 2 3)2 5 22 ä (x 2 3)2 1 (y 2 3)2 5 4
A circunferência V2 tem centro C2(1, 1) e raio medindo r2 5 2. 
Então, sua equação reduzida é:
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 22 ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 4
b) Os pontos A e B são as soluções do sistema formado pelas 
equações das circunferências:
Q
(x 2 3)2 1 (y 2 3)2 5 22
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 22
Escrevemos essas equações na forma geral:
•	 (x 2 3)2 1 (y 2 3)2 5 4 ä 
ä x2 2 6x 1 9 1 y2 2 6y 1 9 5 4 Æ
ä x2 1 y2 2 6x 2 6y 1 14 5 0
•	 (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 4 Æ
Æ x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 5 4 Æ
Æ x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 2 5 0
Então, temos o seguinte sistema:
Q
x2 1 y2 2 6x 2 6y 1 14 5 0
x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 2 5 0
Subtraindo as duas equações, obtemos:
24x 2 4y 1 16 5 0 ä x 1 y 2 4 5 0 ä y 5 4 2 x
Substituindo y por 4 2 x na segunda equação, obtemos:
x2 1 (4 2 x)2 2 2x 2 2 ? (4 2 x) 2 2 5 0 ä
ä x2 1 16 2 8x 1 x2 2 2x 2 8 1 2x 2 2 5 0 ä 2x2 2 8x 1 6 5 0
Resolvemos a equação obtida:
x 5 
2(28) ± dXXXXXXXXXXXXXXX (28)2 2 4 ? 2 ? 6 
 ______________________________________ 2 ? 2 5 
8 ± dXXX 16 ___________ 4 5 
8 ± 4 ________ 4 ä
ä x 5 8 1 4 _________ 4 5 3 ou x 5 
8 2 4 _________ 4 5 1
Então:
 ▪ Para x 5 3, temos: y 5 4 2 3 5 1
 ▪ Para x 5 1, temos: y 5 4 2 1 5 3
Logo, as coordenadas dos pontos A e B são (1, 3) e (3, 1).
55. Sejam V1 e V2 as circunferências secantes nos pontos P e R, tal 
que o ponto A é o centro; r1 é a medida do raio de V1; o ponto B 
é o centro e r2 é a medida do raio de V2. Temos que as medidas 
dos raios são iguais; então, a distância de qualquer ponto dessas 
circunferências ao seu centro são iguais. Como P e R pertencem 
a essas circunferências, temos:
d(A, P) 5 d(A, R) 5 d(B, P) 5 d(B, R)
Logo, o quadrilátero APBR tem todos os seus lados de medidas 
iguais e, portanto, é um losango.
56. a) Sendo V1 a circunferência de equação x
2 1 y2 5 1 e V2 a cir­
cunferência de equação ( x 2 1 __ 2 ) 
2
 1 ( y 2 1 __ 2 ) 
2
 5 1 __ 2 , temos que 
em V1, o centro é A(0, 0) e o raio mede r1 5 1, e em V2, o centro 
é B ( 1 __ 2 , 1 __ 2 ) e o raio mede r2 5 dXX 1 __ 2 5 dXX 2 ____ 2 .
Como os pontos P e R são comuns às duas circunferências, 
suas coordenadas são as soluções do sistema formado pelas 
equações das circunferências:
x2 1 y2 5 1
 ( x 2 1 __ 2 ) 
2
 1 ( y 2 1 __ 2 ) 
2
 5 1 __ 2 
e
Escrevemos essas equações na forma geral:
x2 1 y2 5 1 Æ x2 1 y2 2 1 5 0
x2 2 x 1 1 ___ 4 1 y
2 2 y 1 1 ___ 4 5 
1 __ 2 Æ x
2 1 y2 2 x 2 y 5 0
Então, temos o seguinte sistema:
Q
x2 1 y2 2 1 5 0
x2 1 y2 2 x 2 y 5 0
Subtraindo as duas equações, obtemos:
2(2x) 2 (2y) 2 1 5 0 Æ x 1 y 2 1 5 0 Æ y 5 1 2 x
Substituindo y por 1 2 x na primeira equação, obtemos:
x2 1 (1 2 x)2 2 1 5 0 Æ x2 1 1 2 2x 1 x2 2 1 5 0 Æ
Æ 2x2 2 2x 5 0 Æ 2x ? (x 2 1) 5 0 Æ x 5 0 ou x 5 1
Então:
 ▪ Para x 5 0, temos: y 5 1 2 0 5 1
 ▪ Para x 5 1, temos: y 5 1 2 1 5 0
Logo, as coordenadas dos pontos P e R são (0, 1) e (1, 0). 
Representamos esses pontos em um plano cartesiano:
0,5
0,5
1
1 x
y
A R
B
P
Portanto, o polígono formado é um triângulo.
b) 1 ? 1 ______ 2 5 
1 __ 2 
Página 621 – Exercícios complementares
57. Quando comparamos a equação (x 2 2)2 1 (y 2 3)2 5 23 com a 
equação reduzida de uma circunferência (x 2 a)21 (y 2 b)2 5 r², 
temos r2 5 23. Como um número real elevado ao quadrado é 
sempre positivo, a equação (x 2 2)2 1 (y 2 3)2 5 23 não des­
creve uma circunferência.
58. Como a altura máxima atingida é 135 m e a roda­gigante está a 
5 m do solo, temos que a medida r da roda­gigante é, em metro:
r 5 135 2 5 ___________ 2 5 65
O centro da roda­gigante se localiza na origem do plano cartesia­
no, ou seja, o centro é o ponto C(0, 0). Então, temos a equação 
reduzida da circunferência:
(x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 652 ä x2 1 y2 5 4 225
59. O centro da circunferência é C(3, 2) e seu raio mede r 5 2. Então:
(x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 22 Æ x2 1 y2 2 6x 2 4y 1 9 5 0
Logo, a equação reduzida da circunferência é (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 4 
e a equação geral é x2 1 y2 2 6x 2 4y 1 9 5 0.
60. Sendo V1 a circunferência de equação (x 2 3)
2 1 y2 5 4 e 
V2 a circunferência de equação x
2 1 (y 2 4)2 5 k2, o centro de 
V1 é C1(3, 0) e seu raio mede r1 5 2, e o centro de V2 é C2(0, 4) e 
seu raio mede r2 5 k.
Para que as duas circunferências sejam tangentes externas, 
temos d(C1, C2) 5 r1 1 r2. Assim:
d(C1, C2) 5 r1 1 r2 Æ dXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 0)
2 1 (0 2 4)2 5 2 1 k Æ 
Æ 5 5 2 1 k Æ k 5 3
Para que as duas circunferências sejam tangentes internas, 
temos d(C1, C2) 5 |r1 2 r2|. Assim:
d(C1, C2) 5 |r1 2 r2| Æ 5 5 |2 2 k| Æ k 5 7 ou k 5 23 (não con­
vém, pois k é a medida do raio da circunferência V2)
Logo, para k 5 3 as circunferências são tangentes externas e 
para k 5 7 as circunferências são tangentes internas.
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44
61. Analisemos as possíveis posições entre duas circunferências.
 ▪ Secantes
s
t
Quando duas circunferências são secantes elas têm duas retas 
tangentes comuns. 
 ▪ Externas ou internas
s
t
s
t
Quando as circunferências são externas, elas têm duas 
retas tangentes comuns. Quando elas são internas, qualquer 
reta tangente à circunferência menor é secante à outra 
circunferência, e qualquer reta tangente à circunferência 
maior é exterior à circunferência menor.
 ▪ Tangentes
s
t
sr
Quando duas circunferências são tangentes externas, elas têm 
três retas tangentes comuns. Quando elas são tangentes in­
ternas, elas têm exatamente uma única reta tangente comum. 
Logo, duas circunferências têm uma única reta tangente comum 
quando essas circunferências são tangentes internamente.
62. Calculamos a distância entre o ponto P(5, 2) e o centro C(3, 1) 
da circunferência:
d(P, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (5 2 3)2 1 (2 2 1)2 5 dXXXXX 4 1 1 5 dXX 5, 4
Logo, o ponto P é interior à circunferência dada.
63. Para que o ponto P(21, 2) pertença à circunferência de raio me­
dindo r 5 4 e centro C (3, 2), a distância entre esse ponto e o 
centro da circunferência deve ser igual a r. 
d(P, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (21 2 3)2 1 (2 2 2)2 5 dXXXXXXX 16 1 0 5 4
Logo, o ponto P pertence à circunferência dada.
64. Escrevemos a equação da circunferência na forma reduzida:
x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 8 5 0 ä 
ä x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 2 8 5 1 1 1 ä
ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 10
Então, essa circunferência tem centro C(1, 1).
Os pontos de intersecção dessa circunferência e a reta dada são 
as soluções do sistema formado por suas equações:
Q
x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 8 5 0
x 1 y 2 4 5 0
Da segunda equação, obtemos:
x 1 y 2 4 5 0 Æ y 5 4 2 x
Substituindo y por 4 2 x na primeira equação, obtemos:
x2 1 (4 2 x)2 2 2x 2 2 ? (4 2 x) 2 8 5 0 Æ
Æ x2 1 16 2 8x 1 x2 2 2x 2 8 1 2x 2 8 5 0 Æ
Æ 2x2 2 8x 5 0 Æ 2x ? (x 2 4) 5 0 Æ x 5 0 ou x 5 4
Então:
 ▪ Para x 5 0, temos: y 5 4 2 0 5 4
 ▪ Para x 5 4, temos: y 5 4 2 4 5 0
Logo, os pontos de intersecção da circunferência e da reta dadas 
são A(0, 4) e B(4, 0).
Representamos então os pontos A, B e C em um plano cartesiano:
1
2
3
4
5
y
1 2 3 4 5 x
A
C
B
Portanto, o polígono formado é um triângulo, cujo perímetro é:
d(A, B) 1 d(A, C) 1 d(B, C) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 2 4)2 1 (4 2 0)2 1 
1 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (0 2 1)2 1 (4 2 1)2 1 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (4 2 1)2 1 (0 2 1)2 5
5 dXXXXXXXX 16 1 16 1 dXXXXX 1 1 9 1 dXXXXX 9 1 1 5 4 dXX 2 1 2 dXXX 10 
65. a) Quanto maior o número n de partes em que se divide a circun­
ferência, menor é o ângulo formado pelos dois raios que limi­
tam cada setor e mais próximo de um segmento de reta é seu 
arco. Assim, quanto maior o valor de n, mais a figura formada 
se aproxima de um retângulo.
b) Um dos lados desse retângulo é o raio da circunferência, en­
tão sua medida é igual à medida r do raio; o outro lado tem 
medida igual à metade do comprimento da circunferência, ou 
seja, 2pr ______ 2 5 pr.
c) pr ____ r 5 p
66. 01. Escrevemos as equações das retas na forma reduzida:
 3x 1 4y 1 10 5 0 ä 4y 5 23x 2 10 ä y 5 2 3 ___ 4 x 2 
5 __ 2 
 3x 1 4y 2 20 5 0 ä 4y 5 23x 1 20 ä y 5 2 3 ___ 4 x 1 5
 Os coeficientes angulares dessas retas são iguais e os coe­ 
ficientes lineares são diferentes; então essas retas são 
paralelas.
 Verificamos então se a reta s: 3x 1 4y 2 20 5 0 é tangente à 
circunferência C1, que tem centro C(21, 2) e raio medindo 4:
 d(C, s) 5 
|3 ? (21) 1 4 ? 2 1 (220)| 
 ______________________________________ 
 dXXXXXX 32 1 42 
 5 
 |215| 
 __________ 
 dXXX 25 
 5 15 ____ 5 5 3 , 4
 Logo, a reta s é secante à circunferência dada, e a afirma­
ção é falsa.
 02. A equação reduzida da reta r é y 5 2 3 ___ 4 x 2 
5 __ 2 . Escrevemos 
então a equação da reta t dada na forma reduzida:
 4x 2 3y 1 10 5 0 ä 3y 5 4x 1 10 ä y 5 4 ___ 3 x 1 
10 ____ 3 
 O coeficiente angular da reta r é 2 3 ___ 4 e da reta t é 
4 ___ 3 . Como 
2 3 ___ 4 ? 
4 ___ 3 5 21, as retas r e t são perpendiculares.
 Verificamos então se o centro C(21, 2) da circunferência C1 
pertence à reta t:
 4 ? (21) 2 3 ? 2 1 10 5 24 2 6 1 10 5 0
 Logo, o centro da circunferência C1 pertence à reta t, e a 
afirmação é verdadeira.
 04. O coeficiente angular da reta r é 2 3 ___ 4 e essa reta intersec­
ta o eixo Oy em 2 5 __ 2 . Então, sendo a a inclinação dessa 
reta, temos tg a 5 2 3 ___ 4 e temos que a reta r e os eixos Ox e 
Oy formam um triângulo retângulo, cujos ângulos internos 
medem 1808 2 a, u e 908. Então, os ângulos de medidas 
1808 2 a e u são complementares e, assim:
 tg u 5 1 __________________ 
tg 180° 2 a)
 5 1 _________ 2tg a 5 
1 ____________ 
 2 ( 2 3 ___ 4 ) 
 5 4 ___ 3 
 Logo, tg u 5 4 ___ 3 , e a afirmação é falsa.
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45
 08. Para um ponto P(21, a) ser interior à circunferência C1, 
temos que a distância desse ponto ao centro C(21, 2) da 
circunferência deve ser menor do que a medida do raio 
dessa circunferência.
 d(P, C) , 4 Æ dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 21 2 (21) ) 2 1 (a 2 2)2 , 4 Æ 
Æ dXXXXXXX (a 2 2)2 , 4 Æ (a 2 2)2 , 16 Æ 24 , a 2 2 , 4 Æ 
Æ 22 , a , 6
 Logo, a ordenada do ponto P pertence ao intervalo ]22, 6[, 
e a afirmação é verdadeira.
 16. Um quadrado inscrito na circunferência C1 tem diagonal 
medindo o dobro do raio da circunferência. Então, a medida 
do lado do quadrado é 2 ? 4 _______ 
 dXX 2 
 5 2 ? 4 _______ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 ____ 
 dXX 2 
 5 4 dXX 2 .
 Logo, a área desse quadrado é 4 dXX 2 ? 4 dXX 2 5 32, e a afirma­
ção é verdadeira.
 32. A área da coroa circular determinada pelas circunferências 
C1 e C2 é a diferença entre as áreas de C1 e C2:
 p ? ( 3 dXX 2 ) 2 2 p ? 42 5 p ? (18 2 16) 5 2p
 Logo, a área da coroa circular é 2p, e a afirmação é falsa. 
 64. A base do cubo é um quadrado e, como é circunscrito à cir­
cunferência, seu lado tem medida igual ao dobro da medi­
da do raio da circunferência, ou seja, 8.
 Logo, o volume do cubo é 83 5 512, e a afirmação é verdadeira.
67. Uma condição para que a relação entre x e y seja uma função 
é que para cada valor de x exista apenas um correspondente y. 
Isolando y na equação da circunferência, obtemos:
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 Æ (y 2 b)2 5 r2 2 (x 2 a)2 Æ
Æ y 2 b 5 ±  dXXXXXXXXXXX r2 2 (x 2 a)2 Æ y 5 b ±  dXXXXXXXXXXX r2 2 (x 2 a)2 
Assim, para cada valor de x temos dois valores possíveis para y 
e, portanto, a equação da circunferência não pode representar 
uma função.
68. Escrevemos a equação da circunferência na forma reduzida:
x2 1 y2 2 10x 1 4y 1 k 5 0 Æ
Æ x2 2 10x 1 25 1 y2 1 4y 1 4 5 25 1 4 2 k Æ
Æ (x 2 5)2 1 (y 1 2)2 5 29 2 k
Como r2 . 0, temos:
29 2 k . 0 Æ k , 29
Logo, o maior valor inteiro que k pode assumir é 28.
69. a) O centro da circunferência é C(0, 0) e o raio mede 4. Determi­
namos então a equação geral da circunferência:
(x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 42 Æ x2 1 y2 5 16 Æ x2 1 y2 2 16 5 0
A região indicada são os pontos da circunferência mais todos 
os pontos internos a ela, ou seja, a inequação que a representa 
é x2 1 y2 2 16 < 0.
b) O centro da circunferência é C(0, 0) e o raio mede 2. Determi­
namos então a equação geral da circunferência:
(x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 22 Æ x2 1 y2 5 4 Æ x2 1 y2 2 4 5 0
A região indicada são os pontos internos à circunferência, ou 
seja, a inequação que a representa é x2 1 y2 2 4 , 0.
c) Os pontos A(0, 3), B(2, 0) e D(22, 0) pertencem à circunfe­
rência. Sendo C(a, b) o centro da circunferência e r a medida 
de seu raio, temos então o seguinte sistema de equações:
E
(0 2 a)2 1 (3 2 b)2 5 r2
(2 2 a)2 1 (0 2 b)2 5 r2
(22 2 a)2 1 (0 2 b)2 5 r2
 Æ E
a2 1 b2 2 6b 1 9 5 r2
a2 2 4a 1 4 1 b2 5 r2
a2 1 4a 1 4 1 b2 5 r2
Subtraindo a segunda equação da terceira, obtemos:
8a 5 0 Æ a 5 0
Substituindo a por 0 nas duas primeiras equações, obtemos:
02 1 b2 2 6b 1 9 5 r2 Æ b2 2 6b 1 9 5 r2
02 2 4 ? 0 1 4 1 b2 5 r2 Æ b2 1 4 5 r2
Igualando essas equações, obtemos:
b2 2 6b 1 9 5 b2 1 4 Æ 26b 5 25 Æ b 5 5 ___ 6 
Substituindo b por 5 ___ 6 em b
2 1 4 5 r2, obtemos:
 ( 5 ___ 6 ) 
2
 1 4 5 r2 Æ 25 ____ 36 1 4 5 r
2 Æ 169 ______ 36 5 r
2 Æ r 5 dXXXX 169 ______ 36 5 13 ____ 6 
Assim, o centro da circunferência é C ( 0, 5 ___ 6 ) e o raio mede 13 ____ 6 . 
Determinamos então a equação geral da circunferência:
(x 2 0)2 1 ( y 2 5 ___ 6 ) 
2
 5 ( 13 ____ 6 ) 
2
 Æ x2 1 y2 2 5 __ 3  y 2 4 5 0
A região indicada são os pontos da circunferência mais os 
pontos internos a ela, ou seja, a inequação que a representa 
é x2 1 y2 2 5 __ 3    y 2 4 < 0.
d) O centro da circunferência é C(0, 2) e o raio mede 3. Determi­
namos então a equação geral da circunferência:
(x 2 0)2 1 (y 2 2)2 5 32 Æ x2 1 y2 2 4y 1 4 5 9 Æ
Æ x2 1 y2 2 4y 2 5 5 0
A região indicada são os pontosexternos à circunferência, ou 
seja, a inequação que a representa é x2 1 y2 2 4y 2 5 . 0.
70. Consideramos as seguintes funções associadas às curvas dadas:
A função ƒ é representada pela parte superior da circunferência 
de centro de coordenadas (3, 0) e raio medindo 2. A função g é 
representada pela parte inferior dessa circunferência.
1
2
y
21
22
1 2 3 4 5 x
ƒ
h
g
j
A função h é representada pela parte superior da circunferência 
de centro de coordenadas (2, 0) e raio medindo 1. A função j é 
representada pela parte inferior da circunferência de coordena­
das (4, 0) e raio medindo 1.
Assim:
ƒ(x) 5 0 1 dXXXXXXXXXXXX 22 2 (x 2 3)2 5 dXXXXXXXXXXX 4 2 (x 2 3)2 e D(ƒ) 5 [1, 5]
g(x) 5 0 2 dXXXXXXXXXXXX 22 2 (x 2 3)2 5 2 dXXXXXXXXXXX 4 2 (x 2 3)2 e D(g) 5 [1, 5]
h(x) 5 0 1 dXXXXXXXXXXX 12 2 (x 2 2)2 5 dXXXXXXXXXXX 1 2 (x 2 2)2 e D(h) 5 [1, 3]
j(x) 5 0 2 dXXXXXXXXXXXX 12 2 (x 2 4)2 5 2 dXXXXXXXXXXX 1 2 (x 2 4)2 e D(j) 5 [3, 5]
71. Seja V1 a circunferência de centro C1(3, 23) e raio medindo r1 5 2, 
e V2 a circunferência de equação x
2 2 8x 1 y2 2 4y 2 5 5 0. 
Escrevemos a equação da circunferência V2 na forma reduzida:
x2 2 8x 1 y2 2 4y 2 5 5 0 ä
ä x2 2 8x 1 16 1 y2 2 4y 1 4 2 5 5 16 1 4 ä 
ä (x 2 4)2 1 (y 2 2)2 2 5 5 16 1 4 ä
ä (x 2 4)2 1 (y 2 2)2 5 25 ä (x 2 4)2 1 (y 2 2)2 5 52
Assim, a circunferência V2 tem centro C2(4, 2) e raio medindo r2 5 5.
Calculamos a distância entre os centros dessas circunferências:
d(C1, C2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 4)
2 1 (23 2 2)2 5 dXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 (25)2 5 dXXX 26 
Como r1 1 r2 5 2 1 5 5 7 e |r1 2 r2| 5 |2 2 5| 5 |23| 5 3, temos: 
|r1 2 r2| , d(C1, C2) , r1 1 r2 e as circunferências são secantes.
72. Escrevemos a equação dada da circunferência na forma reduzida:
x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 14 5 0 ä x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 2 14 5 
5 1 1 1 ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 2 14 5 2 ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 
5 16 ä (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 42
Assim, o centro da circunferência é C(1, 1) e o raio mede 4.
Sendo V a circunferência cuja equação devemos determinar, 
como V é concêntrica à circunferência de centro C(1, 1), seu 
centro também é C(1, 1). E para que V seja tangente ao eixo das 
abscissas, a medida de seu raio deve ser igual à distância do 
centro C(1, 1) a esse eixo, que tem equação y 5 0:
r 5 d(C, Ox) 5 |0 ? 1 1 1 ? 1 1 0| __________________________ 
 dXXXXXXX 01 1 12 
 5 |1| _____ 
 dXX 1 
 5 1
Logo, obtemos a equação geral dessa circunferência:
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 12 ä x2 1 y2 2 2x 2 2y 1 1 5 0 
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46
   Capítulo 28 – Cônicas
Página 623 – Para começar
1. Resposta possível: Atualmente, o plástico, cuja matéria-prima é 
derivada do petróleo, é o principal subproduto do petróleo e con-
siderado o grande vilão, devido à dificuldade de descarte. Sua 
grande desvantagem é seu demorado tempo de decomposição: 
alguns demoram de 200 a 400 anos para se decompor, diminuin-
do a vida útil dos aterros. A sua queima pode ser uma opção, 
principalmente para a geração de energia, mas deve ser feita 
com cuidado, pois alguns tipos, quando incinerados, liberam 
toxinas perigosas à saúde. Os plásticos também são nocivos à 
fauna marinha, pois são confundidos com algas por peixes e, 
principalmente, pelas tartarugas marinhas, que, ao ingeri-las, 
podem morrer por obstrução do aparelho digestivo. Nas grandes 
cidades, as embalagens plásticas são as grandes responsáveis pela 
poluição hídrica, causando entupimento de córregos e bueiros, 
contribuindo para as inundações.
2. Resposta possível: Fontes de energia renováveis são aquelas 
que não se esgotam. Exemplos de fontes de energia renováveis: 
a energia solar (proveniente do Sol), energia eólica (proveniente 
dos ventos), energia de biomassa (proveniente do gás metano 
exalado por organismos em decomposição), energia maré-motriz 
(proveniente dos mares e oceanos), energia hidráulica (prove-
niente dos rios e correntes de água doce) e energia geotérmi-
ca (proveniente do calor da Terra). A maior vantagem delas é 
que o consumo dessas fontes de energia não implica o fim delas, 
estarão sempre disponíveis. Porém, algumas delas, como a 
hidráulica, podem acarretar um grande dano ao meio ambiente, 
com inundações e mudanças no ecossistema da região.
3. Resposta possível: Os espelhos parabólicos podem concentrar a 
luz recebida em determinado ponto focal, o que amplia a inten-
sidade de captação, usando uma área relativamente restrita de 
espelhos. Muitas vezes esses espelhos são, na verdade, compos-
tos por diversos espelhos planos com inclinações voltadas para 
um foco, deixando o conjunto com aspecto curvilíneo. Um prin-
cípio semelhante também é usado em faróis de automóveis (pa-
rabólicos) para melhorar a capacidade de iluminação do veículo.
Página 625 – Para refletir
Em trajetórias circulares, a distância entre o centro e qualquer 
ponto da circunferência é sempre igual. Como as órbitas plane-
tárias são elípticas, existem pontos da trajetória em que a dis-
tância ao centro é menor; assim, no caso da órbita da Terra, exis-
tem momentos em que a Terra está mais perto do Sol. 
Em astronomia, o ponto mais afastado do Sol é denominado afélio, 
e o ponto de aproximação máxima do Sol é denominado periélio.
Página 627 – Exercícios propostos
4. Determinamos cada elemento citado.
 ▪ Coordenadas das extremidades do eixo menor
Pela figura, a elipse tem eixo maior paralelo ao eixo das abs-
cissas, centro na origem do plano cartesiano, a 5 6 e c 5 4. 
Então, da relação a2 5 b2 1 c2, obtemos:
b2 5 62 2 42 5 36 2 16 5 20 ä b 5 dXXX 20 5 2 dXX 5 
Logo, as coordenadas das extremidades do eixo menor são 
 ( 0, 22 dXX 5 ) e ( 0, 2 dXX 5 ) .
 ▪ Excentricidade
A excentricidade da elipse é: e 5 4 ___ 6 5 
2 __ 3 
 ▪ Equação da elipse
Substituindo a por 6 e b por 2 dXX 5 na equação de uma elipse 
com eixo maior sobre o eixo das abscissas, obtemos:
 x
2
 ___ 
62
 1 y
2
 _________ 
 ( 2 dXX 5 ) 2 
 5 1 ä x
2
 ____ 36 1 
y2 ____ 20 5 1
5. Pelas coordenadas dos focos, o eixo maior da elipse está sobre o 
eixo das abscissas e o seu centro coincide com a origem do plano 
cartesiano. Podemos representar a elipse como a seguir.
y
x
ab
c
B1(0, b)
B2(0, 2b)
C(0, 0)
F2(24, 0)
A2(25, 0)
F1(4, 0)
A1(5, 0)
Temos a 5 5 e c 5 4. Então, da relação a2 5 b2 1 c2, obtemos:
b2 5 52 2 42 5 25 2 16 5 9 ä b 5 3
Logo, substituindo a por 5 e b por 3 na equação de uma elipse com 
eixo maior sobre o eixo das abscissas, obtemos sua equação:
 x
2
 ___ 52 1 
y2 ___ 32 5 1 ä 
x2 ____ 25 1 
y2 ___ 9 5 1
6. a) Escrevemos a equação dada na forma x
2
 ___ a2 1 
y2 ___ b2 5 1:
16x2 1 9y2 5 144 ä 16x
2
 ______ 144 1 
9y2 ______ 144 5 
144 ______ 144 ä 
x2 ___ 9 1 
y2 ____ 16 5 1
Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 16, b2 5 9 e o 
eixo maior da elipse está sobre o eixo das ordenadas. Assim:
16 5 9 1 c2 ä c2 5 7 ä c 5 dXX 7 
Portanto, a excentricidade da elipse é e 5 
dXX 7 ____ 4 , os focos são 
F1 ( 0, dXX 7 ) e F2 ( 0, 2 dXX 7 ) e o centro é C(0, 0).
b) Escrevemos a equação dada na forma x
2
 ___ a2 1 
y2 ___ b2 5 1:
9x2 1 36y2 5 324 ä 9x
2
 ______ 324 1 
36y2 _______ 324 5 
324 ______ 324 ä 
x2 ____ 36 1 
y2 ___ 9 5 1
Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 36, b2 5 9 e o 
eixo maior da elipse está sobre o eixo das abscissas. Assim:
36 5 9 1 c2 ä c2 5 27 ä c 5 dXXX 27 5 3 dXX 3 
Portanto, a excentricidade é e 5 3 
dXX 3 ______ 6 5 
 dXX 3 ____ 2 , os focos são 
F1 ( 3 dXX 3 , 0 ) e F2 ( 23 dXX 3 , 0 ) e o centro é C(0, 0).
7. Pelas coordenadas dos focos, o eixo maior da elipse está sobre o 
eixo das ordenadas e seu centro coincide com a origem do plano 
cartesiano. Temos c 5 6 e 2b 5 16 ä b 5 8. Então:
a2 5 82 1 62 5 64 1 36 5 100 ä a 5 10
Assim, substituindo a por 10 e b por 8 na equação de uma elipse 
com focos sobre o eixo das ordenadas, obtemossua equação:
 x
2
 ___ 82 1 
y2 _____ 102 5 1 ä 
x2 ____ 64 1 
y2 ______ 100 5 1
8. a) Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 16, b2 5 4, 
o eixo maior da elipse está sobre o eixo das abscissas e seu 
centro coincide com a origem do plano cartesiano. Assim: 
a2 5 16 ä a 5 4 e b2 5 4 ä b 5 2
Logo, as extremidades do eixo maior são A1(4, 0) e A2(24, 0), 
as extremidades do eixo menor são B1(0, 2) e B2(0, 22), e 
temos a seguinte representação da elipse:
y
x
B1(0, 2)
B2(0, 22)
C(0, 0)A2(24, 0) A1(4, 0)
b) Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 25, b2 5 9, o 
eixo maior da elipse está sobre o eixo das ordenadas e seu 
centro coincide com a origem do plano cartesiano. 
 Assim:
a2 5 25 ä a 5 5 e b2 5 9 ä b 5 3
SPM3_MP_RES_C06_046A054.indd 46 7/27/15 10:19 PM
47
Logo, as extremidades do eixo maior são A1(0, 5) e A2(0, 25), 
as extremidades do eixo menor são B1(3, 0) e B2(23, 0), e te-
mos a seguinte representação da elipse:
y
x
B1(3, 0)B2(23, 0) C(0, 0)
A2(0, 25)
A1(0, 5)
9. As coordenadas dos pontos de intersecção da elipse e da reta 
são as soluções do sistema formado por suas equações:
 x
2
 ____ 16 1 
y2 ___ 9 5 1
x 2 y 5 0
Da segunda equação, temos: x 5 y
Substituindo x por y na primeira equação, obtemos:
 y
2
 ____ 16 1 
y2 ___ 9 5 1 ä 9y
2 1 16y2 5 144 ä 25y2 5 144 ä y2 5 144 ______ 25 ä 
ä y 5 12 ____ 5 ou y 5 2 
12 ____ 5 
Então: 
 ▪ Para y 5 12 ____ 5 , temos: x 5 
12 ____ 5 
 ▪ Para y 5 2 12 ____ 5 , temos: x 5 2 
12 ____ 5 
Portanto, os pontos de intersecção da elipse e da reta dadas têm 
coordenadas ( 12 ____ 5 , 12 ____ 5 ) e ( 2 12 ____ 5 , 2 12 ____ 5 ) .
Página 628 – Exercícios propostos
11. Determinamos cada elemento citado.
 ▪ Coordenadas do centro
Pela representação da elipse, seu eixo maior é paralelo ao eixo 
das abscissas e seu centro C(x0, y0) é o ponto médio de F1(11, 7) 
e F2(5, 7): 
x0 5 
11 1 5 __________ 2 5 
16 ____ 2 5 8 e y0 5 
7 1 7 ________ 2 5 
14 ____ 2 5 7
Logo, o centro da elipse é C(8, 7) e temos c 5 8 2 5 5 3.
 ▪ Coordenadas das extremidades do eixo menor
O eixo maior tem extremidades A1(0, 7) e A2(16, 7); então:
a 5 16 2 0 __________ 2 5 8
Assim:
82 5 b2 1 32 ä b2 5 64 2 9 5 55 ä b 5 dXXX 55 
Logo, as extremidades do eixo menor são B1 ( 8, 7 1 dXXX 55 ) e 
B2 ( 8, 7 2 dXXX 55 ) .
 ▪ Excentricidade
A excentricidade da elipse é e 5 3 ___ 8 . ▪ Equação da elipse
Pela equação de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo 
das abscissas, obtemos:
 
(x 2 8)2
 ___________ 
82
 1 
(y 2 7)2
 ___________ 
 ( dXXX 55 ) 2
 5 1 ä (x 2 8)
2
 ___________ 64 1 
(y 2 7)2
 ___________ 55 5 1
12. Determinamos cada elemento citado.
 ▪ Coordenadas do centro
Fatorando a equação dada da elipse, obtemos:
10x2 1 18y2 2 40x 2 36y 2 32 5 0 ä 
ä 10(x2 2 4x) 1 18(y2 2 2y) 5 32 ä
ä 10(x2 2 4x 1 4 2 4) 1 18(y2 2 2y 1 1 2 1) 5 32 ä 
ä 10(x2 2 4x 1 4) 2 40 1 18(y2 2 2y 1 1) 2 18 5 32 ä
ä 10(x 2 2)2 1 18(y 2 1)2 5 90 ä 
ä 10(x 2 2)
2
 ______________ 90 1 
18(y 2 1)2
 ______________ 90 5 
90 _____ 90 ä 
(x 2 2)2
 ___________ 9 1 
(y 2 1)2
 ___________ 5 5 1
Logo, as coordenadas do centro são (2, 1).
 ▪ Coordenadas dos focos
Da equação da elipse, temos a2 5 9, b2 5 5 e o eixo maior da 
elipse é paralelo ao eixo das abscissas. Assim:
9 5 5 1 c2 ä c2 5 4 ä c 5 ± 2
Logo, os focos são F1(0, 1) e F2(4, 1).
13. Determinamos cada elemento citado. 
 ▪ Coordenadas do centro
O centro C(x0, y0) da elipse é o ponto médio dos focos F1(5, 12) 
e F2(5, 4):
x0 5 
5 1 5 ________ 2 5 
10 ____ 2 5 5 e y0 5 
12 1 4 __________ 2 5 
16 ____ 2 5 8
Logo, o centro da elipse é C(5, 8) e temos c 5 12 2 8 5 4.
 ▪ Coordenadas das extremidades dos eixos
Como B1B2 5 12, temos: 2b 5 12 ä b 5 6
Assim:
a2 5 62 1 42 5 36 1 16 5 52 ä a 5 2 dXXX 13 
Logo, as extremidades do eixo menor são B1(11, 8), B2(21, 8) 
e do eixo maior são A1 ( 5, 8 1 2 dXXX 13 ) e A2 ( 5, 8 2 2 dXXX 13 ) .
 ▪ Excentricidade
A excentricidade da elipse é: e 5 4 _______ 
2 dXXX 13 
 5 2 ______ 
 dXXX 13 
 ? 
dXXX 13 ______ 
 dXXX 13 
 5 2 
dXXX 13 _______ 13 
 ▪ Equação da elipse
Pela equação de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo 
das ordenadas, obtemos:
 
(x 2 5)2
 ___________ 
62
 1 
(y 2 8)2
 ___________ 
 ( 2 dXXX 13 ) 2 
 5 1 ä (x 2 5)
2
 ___________ 36 1 
(y 2 8)2
 ___________ 52 5 1
14. Pelas coordenadas das extremidades do eixo maior da elipse, 
este é paralelo ao eixo das abscissas, e o seu centro C(x0, y0) é o 
ponto médio dos focos F1(10, 8) e F2(4, 8):
x0 5 
10 1 4 __________ 2 5 
14 ____ 2 5 7 e y0 5 
8 1 8 _________ 2 5 
16 ____ 2 5 8
Assim, o centro da elipse é C(7, 8) e temos c 5 10 2 7 5 3.
Pelas coordenadas das extremidades do eixo maior, temos:
a 5 12 2 2 __________ 2 5 5
Então:
52 5 b2 1 32 ä b2 5 25 2 9 5 16 ä b 5 4
E, pela equação de uma elipse com eixo maior paralelo ao eixo 
das abscissas, obtemos sua equação:
 
(x 2 7)2
 ___________ 52 1 
(y 2 8)2
 ____________ 82 5 1 ä 
(x 2 7)2
 ___________ 25 1 
(y 2 8)2
 ____________ 16 5 1
15. ▪ Completando quadrados escrevemos a equação reduzida da 
circunferência:
 x2 1 y2 2 6x 2 4y 2 3 5 0 ä
 ä x2 2 6x 1 9 1 y2 2 4y 1 4 2 3 5 9 1 4 ä
 ä (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 42 
 Logo, o centro da circunferência é C(3, 2)
 ▪ Coordenadas dos focos
 Em qualquer elipse, temos a . b. Então a2 5 25, b2 5 16 e o 
eixo maior da elipse é paralelo ao eixo das abscissas. Assim:
 25 5 16 1 c2 ä c2 5 25 2 16 ä c 5 3
 Logo, os focos são:
 F1 5 (3, 0) e F2 (23, 0)
 Calculando a distância entre o centro e o foco, obtemos:
 d(C, F1) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (3 2 3)
2 1 (2 2 0)2 ä d(C, F1) 5 dXX 4 d(C, F1) 5 2 
(alternativa b).
16. Escrevemos a equação dada na forma 
(x 2 x0)
2
 ____________ a2 1 
(y 2 y0)
2
 ____________ b2 5 1:
9x2 2 72x 1 4y2 1 36y 2 164 5 0 ä
ä 9(x2 2 2x) 1 4(y2 1 9y) 5 164 ä
ä 9(x2 2 2x 1 1 2 1) 1 4 ( y2 1 9y 1 81 ____ 4 2 81 ____ 4 ) 5 164 ä 
ä 9(x2 2 2x 1 1) 2 9 1 4 ( y2 1 9y 1 81 ____ 4 ) 2 81 5 164 ä
ä 9(x 2 1)
2
 _____________ 254 1 
4 ( y 1 9 ___ 2 ) 
2
 
 ______________ 254 5 
254 ______ 254 ä 
(x 2 1)2
 ___________ 
 254 ______ 9 
 1 
 ( y 1 9 ___ 2 ) 
2
 
 ____________ 
 254 ______ 4 
 5 1
SPM3_MP_RES_C06_046A054.indd 47 7/27/15 10:19 PM
48
Em qualquer elipse, temos a . b. Então b2 5 254 ______ 9 , a
2 5 254 ______ 4 e 
o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo das ordenadas. Assim:
 254 ______ 4 5 
254 ______ 9 1 c
2 ä c2 5 254 ______ 4 2 
254 ______ 9 ä c 5 d
XXXXX
 1 270 ________ 36 ä c 5 d
XXXXX
 1 270 ________ 6 
A excentricidade da elipse é: e 5 
 
dXXXXX 1 270 __________ 6 __________ 
 
dXXXX 254 ________ 2 
 ä
ä e 5 
dXXXXX 1 270 
 __________ 6 ? 
2 ________ 
 dXXXX 254 
 ä e 5 1 __ 3 ? 
 dXXXXX 1 270 __________ 254 ä e 5 
 dXX 5 ____ 3 
(alternativa d).
17. A distância entre a reta t e o ponto A é: 
S 5 d P, t 2 1 d P, A 2 ä 4 5 (x 2 1)2 1 (x 2 3)2 1 (x 2 2)2 ä
ä 2x2 2 8x 1 8 1 2 1 y2 2 4y 1 4 5 4 à
à 2(x2 2 8x 1 4) 1 y2 2 4y 1 4 5 2
à 2(x2 2)2 1 (y 2 2)2 5 2 ä 2(x 2 2)
2
 _____________ 2 1 
(y 2 2)2
 ___________ 2 5 
2 __ 2 ä 
ä (x 2 2)
2
 ___________ 1 1 
(y 2 2)2
 ___________ 2 5 1
Logo, a equação representa uma elipse, de centro (2, 2), assim:
Em qualquer elipse, temos a . b. Então b2 5 1, a2 5 2 e o eixo 
maior da elipse é paralelo ao eixo das ordenadas. Assim:
a 5 dXX 2 ä 2a 5 2 dXX 2 , é o comprimento do eixo maior.
b 5 1 ä 2b 5 2 , é o comprimento do eixo menor.
Portanto, a elipse tem comprimentos 2 dXX 2 e 2. (alternativa d).
18. Escrevemos a equação dada na forma
 
(x 2 x0)
2
 ____________ a2 1 
(y 2 y0)
2
 ____________ b2 5 1:
4x2 2 16x 1 9y2 1 18y 2 11 5 0 ä 4(x2 2 4x) 1 9(y2 1 2y) 5 11ä 
ä 4(x2 2 4x 1 4 2 4) 1 9(y2 1 2y 1 1 2 1) 5 11 ä
ä 4(x2 2 4x 1 4) 2 16 1 9(y2 1 2y 1 1) 2 9 5 11 ä
ä 4(x 2 2)
2
 _____________ 36 1 
9(y 1 1)2
 _____________ 36 5 
36 ____ 36 ä 
(x 2 2)2
 ___________ 9 1 
(y 1 1)2
 ___________ 4 5 1 
Logo, o centro da elipse é C(2, 21)
d(C, O) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (2 2 0)2 1 (21, 2 0)2 ä d(C, O) 5 dXX 5 (alternativa d).
19. Pelas coordenadas dos focos, o eixo maior da elipse está sobre o 
eixo das ordenadas e seu centro coincide com a origem do plano 
cartesiano. Temos c 5 6 e a 5 9. Então:
92 5 62 1 b2 ä b2 5 81 2 36 ä b2 5 45 ä b 5 3 dXX 5 
A equação da elipse é:
 x
2
 ___ b2 1 
32 ___ a2 5 1 ä 
x2 _________ 
 ( 3 dXX 5 ) 2
 1 3
2
 ___ 92 5 1 ä 
x2 ____ 45 1 
1 ___ 9 5 1 ä 
x2 1 5 _________ 45 5 1 ä 
ä x2 1 5 5 45 ä x2 5 40 ä x 5 2 dXXX 10 
Assim, a base do triângulo é 2c e a altura é x, calculando a área 
do triângulo, obtemos:
AT 5 
2c ? x ________ 2 ä AT 5 
2 ? 6 ? 2 dXXX 10 ________________ 2 ä AT 5 12 
dXXX 10 (alternativa d).
20. Vamos fazer um gráfico com a elipse, para facilitar a resolução.
y
x
P_2x, y+
P_2x, 2y+ P_x, 2y+
P_x, y+ P_2x, y+
P_2x, 2y+ P_x, 2y+
P_x, y+
C(0, 0) 
y
xC(0, 0) 
y
x
P_2x, y+
P_2x, 2y+ P_x, 2y+
P_x, y+ P_2x, y+
P_2x, 2y+ P_x, 2y+
P_x, y+
C(0, 0) 
y
xC(0, 0) 
Como o quadrado está inscrito na elipse, temos que seus vérti-
ces são:
 ( º __ 2 , º __ 2 ) , ( 2 º __ 2 , º __ 2 ) , ( 2 º __ 2 , 2 º __ 2 ) e ( º __ 2 , 2 º __ 2 ) , sendo º o lado do quadrado, 
e a área do quadrado é º2.
Escrevendo a equação da elipse, no ponto P(x, y), obtemos:
 
 ( º __ 2 ) 
2
 
 ______ a2 1 
 ( º __ 2 ) 
2
 
 ______ b2 5 1 ä 
º2 ___ 4 ( 1 ___ a2 1 1 ___ b2 ) 5 1 ä º
2
 ___ 4 ( a
2b2 __________ a2 1 b2 ) 5 1 ä
ä º
2
 ___ 4 5 
1 _____________ 
 ( a2 1 b2 __________ a2b2 ) 
 ä º2 5 4a
2b2 __________ a2 1 b2 
21. Como a elipse passa pelos pontos (1, 0) e (0, 22), sabemos que 
ela passa pelos pontos (21, 0) e (0, 2), assim, a 5 2 e b 5 1.
Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 4 e b2 5 1 e o eixo 
maior da elipse está sobre o eixo das ordenadas. Assim:
4 5 1 1 c2 ä c2 5 4 2 1 ä c 5 dXX 3 
A distância entre os focos é 2c, assim 2c 5 2 dXX 3 .
A excentricidade da elipse é: e 5 2 
dXX 3 ______ 4 ä e 5 
 dXX 3 ____ 2 (alternativa e).
22. Vamos escrever as equações na forma reduzida:
x2 2 2x 1 y2 1 8y 1 8 5 0 ä
ä x2 2 2x 1 1 1 y2 1 8y 1 16 1 8 5 1 1 16 ä
ä (x 2 1)2 1 (y 1 4)2 5 9 
Logo, o gráfico da equação (I) é uma circunferência de centro 
C(1, 24) e raio r 5 3.
4x2 2 8x 1 y2 1 8y 1 16 5 0 ä
ä 4(x2 2 2x 1 1 2 1) 1 y2 1 8y 1 16 5 0 ä
ä 4(x2 2 2x 1 1) 2 4 1 (y 1 4)2 5 0 ä
ä 4(x 2 1)2 1 (y 1 4)2 5 4 ä 4(x 2 1)
2
 _____________ 4 1 
(y 1 4)2
 ___________ 4 5 
4 ___ 4 ä
ä (x 2 1)
2
 ___________ 1 1 
(y 1 4)2
 ___________ 4 5 1 
Logo, o gráfico da equação (II) é uma elipse de centro C(1, 4).
Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 4 e b2 5 1 e o eixo 
maior da elipse é paralelo ao eixo das ordenadas. 
A medida do eixo maior é: a2 5 4 ä a 5 2; 2a 5 4, logo, o eixo 
maior mede 4.
A medida do eixo menor é: b2 5 1 ä a 5 1; 2b 5 2, logo, o eixo 
menor mede 2.
Portanto, as alternativas a, b, d e e são verdadeiras, logo c é fal-
sa (alternativa c).
23. As coordenadas dos pontos de intersecção da elipse e da reta 
são as soluções do sistema formado por suas equações:
x2 1 
y2
 ___ 2 5 
9 ___ 4 
y 5 2x 1 1
t 
Substituindo y por 2x 1 1 na primeira equação, obtemos:
x2 1 
(2x 1 1)2
 ____________ 2 5 
9 ___ 4 ä x
2 1 4x
2 1 4x 1 1 __________________ 2 5 
9 ___ 4 ä
ä 3x2 1 2x 1 1 __ 2 2 
9 ___ 4 5 0 ä 3x
2 1 2x 1 2 7 ___ 4 5 0 
x 5 22 ± 
dXXXXXX 4 1 21 ___________________ 6 ä x 5 
22 ± 5 __________ 6 ä x 5 
27 _____ 6 ou x 5 
3 ___ 6 
SPM3_MP_RES_C06_046A054.indd 48 7/27/15 10:19 PM
49
Então:
 ▪ Para x 5 2 
7
 ___ 6 , temos y 5 2 
4 ___ 3 
 ▪ Para x 5 3 ___ 6 , temos x 5 2
Logo, A ( 2 7 ___ 6 , 2 4 ___ 3 ) e B ( 3 ___ 6 , 2 ) 
Assim, o ponto médio do segmento AB é:
M 5 ( 2 7 ___ 6 1 3 ___ 6 _____________ 2 , 2 
4 ___ 3 1 2 ___________ 2 ) ä M 5 ( 2 2 __ 3 _____ 2 , 2 __ 3 ___ 2 ) ä M 5 ( 2 1 __ 3 , 1 __ 3 ) 
(alternativa d).
Página 633 – Exercícios propostos
25. a) O eixo real dessa hipérbole está sobre o eixo Ox.
b) O eixo imaginário dessa hipérbole está sobre o eixo Oy.
c) Os focos dessa hipérbole são F1(5, 0) e F2(25, 0).
d) Os vértices dessa hipérbole são A1(4, 0) e A2(24, 0).
e) Temos a 5 4 e c 5 5. Assim, da relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
 52 5 42 1 b2 ä b2 5 52 2 42 5 25 2 16 5 9 ä b 5 3
Portanto, pela equação de uma hipérbole com eixo real sobre 
o eixo das abscissas, obtemos:
 x
2
 ____ 42 2 
y2 ___ 32 5 1 ä 
x2 ____ 16 2 
y2 ___ 9 5 1
f) Como a hipérbole tem centro na origem do plano cartesiano, 
o centro é C(0, 0) e, tendo o eixo real sobre o eixo das abscis-
sas, as assíntotas têm as seguintes equações:
y 5 1 3 ___ 4 (x 2 0) 5 
3 ___ 4 x
y 5 2 
3
 ___ 4 (x 2 0) 5 2 
3 ___ 4 x
26. a) O eixo real da hipérbole é vertical, ou seja, paralelo ao eixo 
das ordenadas.
b) O eixo imaginário é horizontal, ou seja, paralelo ao eixo das 
abscissas.
c) Como a hipérbole tem centro C(4, 8) e foco F2(4, 3), temos o 
foco F1(4, 13). Portanto, os focos da hipérbole são F1(4, 13) e 
F2(4, 3).
d) Como a hipérbole tem centro C(4, 8) e vértice A1(4, 12), temos 
a outra extremidade A2(4, 4). Portanto, os vértices da hipér-
bole são A1(4, 12) e A2(4, 4).
e) Das coordenadas do centro, dos focos e dos vértices, temos: 
a 5 4 e c 5 5. Então, da relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
 52 5 42 1 b2 ä b2 5 52 2 42 5 25 2 16 5 9 ä b 5 3
Portanto, pela equação de uma hipérbole com eixo real para-
lelo ao eixo das ordenadas, obtemos:
 
(y 2 8)2
 ___________ 42 2 
(x 2 4)2
 ___________ 32 5 1 ä 
(y 2 8)2
 ___________ 16 2 
(x 2 4)2
 ___________ 9 5 1
f) Como o eixo real é paralelo ao eixo das ordenadas, as assín-
totas tem as seguintes equações:
y 2 8 5 1 4 ___ 3 ? (x 2 4) ä y 2 8 5 
4 ___ 3  x 2 
16 ____ 3 ä y 5 
4 ___ 3  x 1 
8 ___ 3 
y 2 8 5 2 4 ___ 3 ? (x 2 4) ä y 2 8 5 2 
4 ___ 3  x 1 
16 ____ 3 ä y 5 2 
4 ___ 3  x 1 
40 _____ 3 
27. a) Pela figura, temos a 5 3, c 5 4, o eixo real da hipérbole é pa-
ralelo ao eixo das abscissas e o centro é C(5, 7). Então, da re-
lação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
42 5 32 1 b2 ä b2 5 42 2 32 5 16 2 9 5 7 ä b 5 dXX 7 
Portanto, pela equação de uma hipérbole com eixo real para-
lelo ao eixo das abscissas, obtemos:
 
(x 2 5)2
 ___________ 32 2 
(y 2 7)2
 ___________ 
 ( dXX 7 ) 2
 5 1 ä (x 2 5)
2
 ___________ 9 2 
(y 2 7)2
 ___________ 7 5 1
E as assíntotas têm as seguintes equações:
y 2 7 5 1 
dXX 7 ____ 3 ? (x 2 5) ä y 5 
 dXX 7 ____ 3  x 1 7 2 
5 dXX 7 ______ 3 
y 2 7 5 2 
dXX 7 ____ 3 ? (x 2 5) ä y 5 2 
 dXX 7 ____ 3  x 1 7 1 
5 dXX 7 ______ 3 
b) e 5 4 ___ 3 
28. Pelas coordenadas dos focos, temos que o eixo real da hipérbole 
está sobre o eixo das abscissas, o centro coincide com a origem 
do plano cartesiano e c 5 4. Então:
e 5 4 ___ 3 ä 
4 __ a 5 
4 ___ 3 ä a 5 3
Assim, pela relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
42 5 32 1 b2 ä b2 5 42 2 32 5 16 2 9 5 7 ä b 5 dXX 7 
Portanto, pela equação de uma hipérbole com eixo real sobre o 
eixo das abscissas, obtemos:
 x
2
 ___ 32 2 
y2 ________ 
 ( dXX 7 ) 2 
 5 1 ä x
2
 ___ 9 2 
y2 ___ 7 5 1
29. a) Pelas coordenadas dos focos e dos extremos dos eixo real, te-
mos a 5 4, c 5 5, o eixo real da hipérbole está sobre o eixo 
das ordenadas e seu centro coincide com a origem do plano 
cartesiano. Então, da relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
52 5 42 1 b2 ä b2 5 52 2 42 5 25 2 16 5 9 ä b 5 3
Portanto, pela equação de uma hipérbolecom eixo real sobre 
o eixo das ordenadas, obtemos:
 y
2
 ____ 42 2 
x2 ___ 32 5 1 ä 
y2 ____ 16 2 
x2 ___ 9 5 1
b) y 5 3 ___ 4  x ä y 5 2  
3 ___ 4  x 
c) e 5 5 ___ 4 
30. Escrevemos a equação da hipérbole na forma x
2
 ___ a2 2 
y2 ___ b2 5 1:
5x2 2 4y2 5 80 ä 5x
2
 _____ 80 2 
4y2 _____ 80 5 
80 ____ 80 ä 
x2 ____ 16 2 
y2 ____ 20 5 1
Dessa equação, temos a2 5 16 ä a 5 4, b2 5 20 ä b 5 2 dXX 5 , o 
eixo real da hipérbole está sobre o eixo das abscissas e seu cen-
tro coincide com a origem do plano cartesiano. Então, da relação 
c2 5 a2 1 b2, obtemos:
c2 5 16 1 20 5 36 ä c 5 6
Logo, o centro da hipérbole é C(0, 0), os focos são F1(6, 0) e 
F2(26, 0) e os vértices são A1(24, 0) e A2(4, 0).
31. a) Da equação da hipérbole temos a2 5 4 ä a 5 2, b2 5 16 ä 
ä b 5 4, o eixo real da hipérbole está sobre o eixo das abs-
cissas e seu centro coincide com a origem do plano cartesia-
no. Então, da relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
c2 5 4 1 16 5 20 ä c 5 2 dXX 5 
Então, os focos da hipérbole são F1 ( 2 dXX 5 , 0 ) e F2 ( 22 dXX 5 , 0 ) , e 
os vértices são A1(2, 0), A2(22, 0).
As equações das assíntotas são:
y 5 22x
Portanto, temos a seguinte representação da hipérbole:
y
x
F2(22 5, 0) F1(2 5, 0)
A1(2, 0)
C(0, 0)
A2(22, 0)
y 5 22x
y 5 2x
b) Da equação da hipérbole temos a2 5 9 ä a 5 3, b2 5 25 ä 
ä b 5 5, o eixo real da hipérbole está sobre o eixo das abs-
cissas e seu centro coincide com a origem do plano cartesia-
no. Então, da relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
c2 5 9 1 25 5 34 ä c 5 dXXX 34 
Então, os focos da hipérbole são F1 ( dXXX 34 , 0 ) e F2 ( 2 dXXX 34 , 0 ) , e 
os vértices são A1(3, 0), A2(23, 0).
As equações das assíntotas são:
y 5 2 
5
 ___ 3 x
SPM3_MP_RES_C06_046A054.indd 49 7/27/15 10:19 PM
50
Portanto, temos a seguinte representação da hipérbole:
y
x
F2(2 34, 0) F1( 34, 0)
A1(3, 0)A2(23, 0)
5
3
2y 5 xy 5 x5
3
C(0, 0)
c) Da equação da hipérbole temos a2 5 49 ä a 5 7, b2 5 36 ä 
ä b 5 6, o eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo das abs-
cissas e seu centro é C(3, 21). Então, da relação c2 5 a2 1 b2, 
obtemos:
c2 5 49 1 36 5 85 ä c 5 dXXX 85 
Então, os focos da hipérbole são F1 ( 3 1 dXXX 85 , 21 ) e 
F2 ( 3 2 dXXX 85 , 21 ) , e os vértices são A1(10, 21), A2(24, 21).
As equações das assíntotas são:
y 2 (21) 5 1 6 ___ 7 ? (x 2 3) ä y 5 
6 ___ 7 x 2 
25 ____ 7 
y 2 (21) 5 2 6 ___ 7 ? (x 2 3) ä y 5 2 
6 ___ 7 x 2 
11 ____ 7 
Portanto, temos a seguinte representação da hipérbole:
y
x
F2(3 2 85, 0) F1(3 1 85, 0)A1(10, 21)A2(24, 21)
C(3, 21)
6
7
25
7
2y 5 x
6x
7
11
7
22y 5 
Página 637 – Um pouco de história
 ▪ Resposta pessoal. Espera-se que os alunos reconheçam que 
desenhos e esquemas ajudam em muitos casos a uma melhor 
interpretação de conceitos e conteúdos. 
 ▪ Resposta pessoal. É esperado que os alunos destaquem a utili-
zação do esboço como um facilitador para a sua compreensão, 
pois propiciam a visualização de seus elementos.
A seguir apresentamos um complemento do texto apresentado 
no Livro do Aluno.
Desenhar para aprender
Um grupo de professores e psicólogos de países de língua inglesa 
tem feito crescer um movimento para que atividades de desenho 
com estudantes rompam as fronteiras da educação artística e en-
trem nas aulas de ciências.
Uma série de novos estudos tem mostrado que alunos são capa-
zes de construir melhores interpretações de conceitos científicos 
quando eles próprios se envolvem na produção de imagens para 
representá-los.
Iniciativas nos Estados Unidos, Reino Unido e Austrália têm 
tido sucesso tanto com crianças de dez anos quanto com estudan-
tes de graduação em faculdades. […]
[Segundo os pesquisadores,] A razão para o sucesso […] é que o 
desenho torna mais fácil para o docente identificar noções erradas 
sobre o que é ensinado.
“Quando você produz um desenho, é preciso ser muito explí-
cito” [disse a coordenadora do movimento, que é inglesa]. “Não 
há onde se esconder quando você tem de expor sua compreensão 
sobre determinado assunto com um desenho.”
Segundo a pesquisadora, dinâmica semelhante ocorre quando 
os alunos têm de produzir um texto, mas alguns tópicos são mais 
sensíveis ao poder gráfico que impede que estudantes apenas reci-
tem frases de manuais. 
O desenho em aulas de ciências é mais que uma ferramenta de 
avaliação da aprendizagem, também tem impacto no seu próprio 
processo. Seu uso mais importante, defendem os educadores, é 
dar oportunidade de construir raciocínios visuais. […]
O desenho também tem sido usado para que estudantes pos-
sam ensinar outros. […]
“Quando desenham estão aproveitando para clarear as próprias 
ideias” [diz uma pesquisadora do uso de imagens para comunica-
ção da ciência nos Estados Unidos]. 
[…] deve-se gastar mais tempo pondo estudantes para desenhar. 
Garcia, Rafael. Desenhar para aprender. Folha de S.Paulo, 5 set. 2011, p. C9.
Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/fsp/saber/sb0509201101.htm>. 
Acesso em: 11 jul. 2015.
Página 637 – Exercícios propostos
34. a) Pela figura, o parâmetro da parábola é 2p 5 10, a diretriz é pa-
ralela ao eixo das abscissas, o vértice coincide com a origem 
do plano cartesiano e o foco está acima do vértice. Como a 
distância entre o vértice e o foco é igual a p, temos o foco F(0, 5). 
Da equação de uma parábola com vértice na origem e diretriz 
paralela ao eixo das abscissas, obtemos a equação da parábola:
y 5 1 _______ 4 ? 5  x
2 ä y 5 1 ____ 20  x
2
b) Pela figura, o parâmetro da parábola é 2p 5 6, a diretriz é pa-
ralela ao eixo das ordenadas, o vértice é V(5, 4) e o foco está 
à direita do vértice. Como a distância entre o vértice e o foco 
é igual a p, temos o foco F(8, 4).
Da equação de uma parábola com vértice fora da origem e 
diretriz paralela ao eixo das ordenadas, obtemos a equação da 
parábola:
(y 2 4)2 5 4 ? 3 ? (x 2 5) ä y2 2 8y 1 16 5 12x 2 60 ä 
ä 12x 5 y2 2 8y 1 76 ä x 5 y
2
 ____ 12 2 
2y ____ 3 1 
19 ____ 3 
35. Determinamos cada elemento citado.
 ▪ Parâmetro
Isolamos x na equação dada da parábola:
y2 2 8x 5 0 ä 8x 5 y2 ä x 5 1 ___ 8 y
2
Comparando essa expressão com a equação da parábola de di-
retriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice na origem e foco 
à direita do vértice, obtemos:
x 5 1 ___ 8 y
2 ä 1 ____ 4p y
2 5 1 ___ 8 y
2 ä 4p 5 8 ä p 5 2
Logo, o parâmetro da parábola é 2p 5 4.
 ▪ Coordenadas do foco
A distância entre o vértice V(0, 0) e o foco é igual a p; então 
o foco é F(2, 0).
 ▪ Equação da diretriz
Como a diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, à esquerda 
do vértice e p 5 2, a equação da diretriz é x 5 22. 
36. Pelo enunciado, o parâmetro da parábola é 2p 5 6, a diretriz é 
paralela ao eixo das ordenadas, o vértice coincide com a origem 
do plano cartesiano e o foco esta acima do vértice. Da equação 
de uma parábola com vértice na origem e diretriz paralela ao 
eixo das ordenadas, obtemos a equação da parábola:
x 5 1 ____ 4p y
2 ä x 5 1 ____ 12 y
2 
37. a) Manipulando a equação de maneira adequada, obtemos:
y 5 x2 2 5x 1 6 ä y 5 x2 2 5x 1 ( 5 __ 2 ) 
2
 2 ( 5 __ 2 ) 
2
 1 6 ä 
ä y 5 ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 2 25 ____ 4 1 6 ä ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 5 y 1 1 ___ 4 
Comparando essa expressão com a equação de uma parábola 
de diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V ( 5 __ 2 , 2 1 ___ 4 ) e 
foco acima do vértice, obtemos:
 ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 5 y 1 1 ___ 4 ä 4p ( y 2 ( 2 1 ___ 4 ) ) 5 y 1 1 ___ 4 ä 4p 5 1 ä p 5 1 ___ 4 
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51
A distância entre o vértice V ( 5 __ 2 , 2 1 ___ 4 ) e o foco é igual a p; en-
tão o foco é F ( 5 __ 2 , 0 ) .
b) A parábola intersecta o eixo das abscissas para y 5 0:
0 5 x2 2 5x 1 6
Resolvemos essa equação:
x 5 
2(25) ± dXXXXXXXXXXXXXXX (25) 2 2 4 ? 1 ? 6 
 ______________________________________ 2 ? 1 5 
5 ± dXX 1_________ 2 ä x 5 3 ou x 5 2
Logo, a parábola intersecta o eixo das abscissas nos pontos 
de coordenadas (2, 0) e (3, 0).
c) Como a diretriz é paralela ao eixo das abscissas, abaixo do 
vértice e p 5 1 ___ 4 , a equação da diretriz é:
y 5 2 1 ___ 4 2 
1 ___ 4 ä y 5 2 
1 __ 2 
38. Pelo foco e a diretriz, o parâmetro da parábola é 2p 5 5, a dire-
triz é paralela ao eixo das abscissas, a distância entre o vértice 
e o foco é igual a p, então o vértice é V ( 6, 1 __ 2 ) e o foco está acima 
do vértice. Da equação de uma parábola com vértice fora da ori-
gem e diretriz paralela ao eixo das abscissas, obtemos a equa-
ção da parábola:
(x 2 x0)
2 5 4p(y 2 y0) ä (x 2 6)
2 5 4 ? 5 __ 2 ( y 2 1 __ 2 ) ä 
ä x2 2 12x 1 36 5 10y 2 5 ä 10y 5 x2 2 12x 1 41 ä 
ä y 5 x
2
 ____ 10 2 
6x ____ 5 1 
41 ____ 10 
39. a) y2 5 4x ä x 5 1 ___ 4  y
2
Comparando essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice na ori-
gem e foco à direita do vértice, obtemos:
x 5 1 ___ 4  y
2 ä 1 ____ 4p y
2 5 1 ___ 4  y
2 ä 4p 5 4 ä p 5 1
A distância entre o vértice V(0, 0) e o foco é igual a p; então 
o foco é F(1, 0).
Como a diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, à esquerda 
do vértice e p 5 1, a equação da diretriz é x 5 21. 
b) 2x2 2 4x 2 2y 1 8 5 0 ä x2 2 2x 2 y 1 4 5 0 ä 
ä x2 2 2x 1 1 1 3 5 y ä (x 2 1)2 5 y 2 3
Comparando-se essa equação com a equação de uma parábo-
la com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V(1, 3) 
e foco acima do vértice, obtemos:
(x 2 1)2 5 y 2 3 ä 4p(y 2 3) 5 y 2 3 ä 4p 5 1 ä p 5 1 ___ 4 
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F ( 1, 13 ____ 4 ) .
Como a diretriz é paralela ao eixo das abscissas, abaixo do 
vértice e p 5 1 ___ 4 , a equação da diretriz é y 5 3 2 
1 ___ 4 5 
11 ____ 4 .
c) Comparando a equação dada com a equação de uma parábo-
la de diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V(1, 1) e 
foco acima do vértice, obtemos:
(x 2 1)2 5 16(y 2 1) ä 4p(y 2 1) 5 16(y 2 1) ä 4p 5 16 ä 
ä p 5 4
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F(1, 5).
Como a diretriz é paralela ao eixo das abscissas, abaixo do 
vértice e p 5 4, a equação da diretriz é y 5 1 2 4 5 23.
d) x2 5 4y ä y 5 1 ___ 4  x
2 
Comparando essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice na origem 
e foco acima do vértice, obtemos:
y 5 1 ___ 4  x
2 ä 1 ____ 4p x
2 5 1 ___ 4  x
2 ä 4p 5 4 ä p 5 1
A distância entre o vértice V(0, 0) e o foco é igual a p; então 
o foco é F(0, 1).
Como a diretriz é paralela ao eixo das abscissas, abaixo do 
vértice e p 5 1, a equação da diretriz é y 5 0 2 1 5 21.
e) Comparando-se a equação dada com a equação de uma pa-
rábola de diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice 
V(23, 22) e foco à direita do vértice, obtemos:
(y 1 2)2 5 16(x 1 3) ä 4p(x 1 3) 5 16(x 1 3) ä 4p 5 16 ä 
ä p 5 4
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F(1, 22).
Como a diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, à esquerda 
do vértice e p 5 4, a equação da diretriz é y 5 23 2 4 5 27.
f) x2 5 216y ä y 5 2 1 ____ 16 x
2
Comparando essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice na origem 
e foco abaixo do vértice, obtemos:
y 5 2 1 ____ 16 x
2 ä 2 1 ____ 4p x
2 5 2 1 ____ 16 x
2 ä 4p 5 16 ä p 5 4
A distância entre o vértice V(0, 0) e o foco é igual a p; então 
o foco é F(0, 24).
Como a diretriz é paralela ao eixo das abscissas, acima do 
vértice e p 5 4, a equação da diretriz é y 5 0 1 4 5 4.
40. Comparando a equação (x 2 3)2 5 8y com a equação de uma pa-
rábola com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V1(3, 0) 
e foco acima do vértice, obtemos:
(x 2 3)2 5 8y ä 4p(y 2 0) 5 8y ä 4p 5 8 ä p 5 2
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco é 
F1(3, 2).
Da outra equação dada, obtemos:
y2 2 2y 1 4x 2 19 5 0 ä y2 2 2y 1 1 2 1 1 4x 2 19 5 0 ä 
ä (y 2 1)2 5 24x 1 20 ä (y 2 1)2 5 24(x 2 5)
Comparando essa equação com a equação de uma parábola com 
diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice V2(5, 1) e foco à 
esquerda do vértice, obtemos:
(y 2 1)2 5 24(x 1 5) ä 24p(x 1 5) 5 24(x 1 5) ä 4p 5 4 ä 
ä p 5 1
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco é 
F2(4, 1).
a) Determinamos o coeficiente angular da reta que passa pelos 
focos F1(3, 2) e F2(4, 1):
m 5 1 2 2 ________ 4 2 3 5 21
Então, obtemos a equação da reta:
y 2 2 5 21 ? (x 2 3) ä y 2 3 5 2x 1 3 ä y 5 2x 1 5
b) Determinamos o coeficiente angular da reta que passa pelos 
vértices V1(3, 0) e V2(5, 1):
m 5 1 2 0 ________ 5 2 3 5 
1 __ 2 
Então, obtemos a equação da reta:
y 2 0 5 1 __ 2 ? (x 2 3) ä y 5 
x __ 2 2 
3 __ 2 
c) O diâmetro da circunferência tem extremidades V1(3, 0) e 
V2(5, 1). Então, o centro C da circunferência é o ponto médio 
desses pontos:
xC 5 
5 1 3 ________ 2 5 4 e yC 5 
1 1 0 ________ 2 5 
1 __ 2 
A medida do raio da circunferência é a distância entre o cen-
tro e uma das extremidades do diâmetro. Considerando a ex-
tremidade V1(3, 0), obtemos:
r 5 d(C, V1) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (4 2 3)2 1 ( 1 __ 2 2 0 ) 2 5 dXXXXXX 1 1 1 ___ 4 5 dXX 5 ___ 4 5 dXX 5 ____ 2 
Portanto, a equação da circunferência é:
(x 2 4)2 1 ( y 2 1 __ 2 ) 
2
 5 ( dXX 5 ____ 2 ) 
2
 ä (x 2 4)2 1 ( y 2 1 __ 2 ) 
2
 5 5 ___ 4 
41. a) Pela equação da parábola, o vértice é V(4, 5). As coordenadas 
do ponto médio M do segmento de extremos no vértice da pa-
rábola e na origem O(0, 0) do plano cartesiano são:
xM 5 
4 1 0 _________ 2 5 2 e yM 5 
5 1 0 _________ 2 5 
5 __ 2 
Determinamos o coeficiente angular da reta VO:
mVO 5 
5 2 0 _________ 4 2 0 5 
5 ___ 4 
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52
Então, o coeficiente angular m da mediatriz é:
m 5 2 1 ____ 
 5 ___ 4 
 5 2 4 ___ 5 
Assim, determinamos a equação da mediatriz citada:
y 2 5 __ 2 5 2 
4 ___ 5 ? (x 2 2) ä 10y 2 25 5 28x 1 16 ä 
ä 8x 1 10y 2 41 5 0
b) Comparando a equação dada da parábola com a equação de 
uma parábola com diretriz paralela ao eixo das abscissas, 
vértice V(4, 5) e foco abaixo do vértice, obtemos:
(x 2 4)2 5 232(y 2 5) ä 24p(y 2 5) 5 232(y 2 5) ä 
ä 4p 5 32 ä p 5 8
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F(4, 23).
A reta paralela à mediatriz tem coeficiente angular igual ao 
coeficiente angular da mediatriz. Então, temos sua equação:
y 2 (23) 5 2 4 ___ 5 ? (x 2 4) ä 5y 1 15 5 24x 1 16 ä 
ä 4x 1 5y 2 1 5 0
42. Da representação da parábola temos p 5 8 2 4 5 4, a diretriz é 
paralela ao eixo das abscissas e o foco é acima do vértice. Então, 
obtemos a equação da parábola:
(x 2 2)2 5 4 ? 4 ? (y 2 4) ä x2 2 4x 1 4 5 16y 2 64 ä 
ä x2 2 4x 2 16y 1 68 5 0
Para verificar se os pontos dados pertencem a essa parábola, 
substituímos suas coordenadas na equação da parábola e verifi-
camos se a igualdade obtida é verdadeira.
a) 22 2 4 ? 2 2 16 ? 4 1 68 5 0 ä 4 2 8 2 64 1 68 5 0 ä 0 5 0 
(verdadeiro) 
Portanto, o ponto P(2, 4) pertence à parábola dada.
b) 52 2 4 ? 5 2 16 ? 8 1 68 5 0 ä 25 2 20 2 128 1 68 5 0 ä 
ä 255 5 0 (falso)
Portanto, o ponto P(5, 8) não pertence à parábola dada.
c) 02 2 4 ? 0 2 16 ? 17 ____ 4 1 68 5 0 ä 0 2 0 2 68 1 68 5 0 ä 
ä 0 5 0 (verdadeiro)
Portanto, o ponto P ( 0, 17 ____ 4 ) pertence à parábola dada.
d) (22)2 2 4 ? (22) 2 16 ? 5 1 68 5 0 ä 4 1 8 2 80 1 68 5 0 ä 
ä 0 5 0 (verdadeiro)
Portanto, o ponto P(22, 5) pertence à parábola dada.
e) (26)2 2 4 ? (26) 2 16 ? 8 1 68 5 0 ä 36 1 24 2 128 1 68 5 
5 0 ä 0 5 0 (verdadeiro)
Portanto, o ponto P(26, 8) pertence à parábola dada.
f) 42 2 4 ? 4 2 16 ? 5 1 68 5 0 ä 16 2 16 2 80 1 68 5 0 ä 
ä 212 5 0 (falso)
Portanto, o ponto P(4, 5) não pertence à parábola dada.
43. As coordenadas dos pontos A e B são as soluções do sistema for-
madopelas equações da parábola e da reta:
y 2 x2 1 4 5 0
x 1 y 1 2 5 0
Da segunda equação, temos: 
x 1 y 1 2 5 0 ä y 5 2x 2 2
Substituindo y por 2x 2 2 na primeira equação, obtemos:
(2x 2 2) 2 x2 1 4 5 0ä 2x2 2 x 1 2 5 0 ä
ä x 5 
2(21) ± dXXXXXXXXXXXXXXXXX (21)2 2 4 ? (21) ? 2 
 __________________________________________ 
2 ? (21)
 5 1 ± 
dXX 9 _________ 
22 ä x 5 22 ou x 5 1
Então:
 ▪ Para x 5 22, temos: y 5 2(22) 2 2 5 0
 ▪ Para x 5 1, temos: y 5 21 2 2 5 23
Logo, os pontos de intersecção da parábola e da reta dadas são 
A(22, 0) e B(1, 23).
Da equação da parábola, temos:
y 2 x2 1 4 5 0 ä x2 5 y 1 4
Essa é a equação de uma parábola com diretriz paralela ao eixo 
das abscissas, vértice V(0, 24) e foco acima do vértice.
Logo, determinamos a área do triângulo ABV:
D 5 
22 0 1
1 23 1
0 4 1
 5 6 1 0 1 4 2 (0 2 8 1 0) 5 18
AABV 5 
1 __ 2 ? |18| 5 9
44. I. Comparando a equação dada da parábola com a equação de 
uma parábola com diretriz paralela ao eixo das ordenadas, 
vértice V(1, 21) e foco à direita do vértice, obtemos:
(y 1 1)2 5 (x 2 1) ä 4p(x 2 1) 5 (x 2 1) ä 4p 5 1 ä p 5 1 ___ 4 
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F ( 5 ___ 4 , 21 ) .
Como a diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, à esquer-
da do vértice e p 5 1 ___ 4 , a equação da diretriz é x 5 1 2 
1 ___ 4 5 
3 ___ 4 .
Assim:
a) F ( 5 ___ 4 , 21 ) 
b) x 5 3 ___ 4 
c) 2p 5 1 __ 2 
d) V(1, 21)
 II. y2 2 2y 2 2x 1 1 5 0 ä y2 2 2y 1 1 5 2x ä (y 2 1)2 5 2x
Comparando essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice V(0, 1) 
e foco à direita do vértice, obtemos:
(y 2 1)2 5 2x ä 4p(x 2 0) 5 2x ä 4p 5 2 ä p 5 2 ___ 4 5 
1 __ 2 
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F ( 1 ___ 2 , 1 ) .
Como a diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, à esquerda 
do vértice e p 5 1 ___ 2 , a equação da diretriz é x 5 0 2 
1 ___ 2 5 2 
1 __ 2 .
Assim:
a) F ( 1 __ 2 , 1 ) 
b) x 5 2 1 __ 2 
c) 2p 5 1
d) V(0, 1)
 III. Comparando a equação dada da parábola com a equação de 
uma parábola com diretriz paralela ao eixo das abscissas, 
vértice V(7, 22) e foco acima do vértice, obtemos:
(x 2 7)2 5 8 ? (y 1 2) ä 4p(y 1 2) 5 8 ? (y 1 2) ä 4p 5 8 ä 
ä p 5 2
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco 
é F(7, 0).
Como a diretriz é paralela ao eixo das abscissas, abaixo do 
vértice e p 5 2, a equação da diretriz é y 5 22 2 2 5 24.
Assim:
a) F(7, 0)
b) y 5 24
c) 2p 5 4
d) V(7, 22)
45. Pela equação dada, temos o centro C(0, 2) e raio r 5 1.
A distância entre os pontos e a circunferência é dada pela dis-
tância entre os pontos e o centro subtraindo o raio, consideran-
do um ponto qualquer P(x, y), obtemos:
d(P, C1) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX (x 2 0)
2 1 (y 2 2)2 2 1 ä
ä d(P, C) 5 dXXXXXXXXXXX x2 + (y 2 2)2 2 1
A distância entre o ponto P e a reta é:
d(P, t) 5 
|0 ? x 1 1 ? y 1 0|
 ________________________ 
 dXXXXXXX 02 1 12 
 ä d(P, t) 5 y 
Como os pontos são equidistantes, temos que as distâncias são 
iguais, igualando as distâncias, obtemos:
y 5 dXXXXXXXXXXX x2 1 (y 2 2)2 21 ä (y 1 1)2 5 x2 1 (y 2 2)2 ä
ä y2 1 2y 1 1 5 x2 1 y2 2 2y 1 4 ä x2 5 4y 2 3 ä 
ä (x 2 0)2 5 4 ( y 1 3 ___ 4 ) 
A equação encontrada representa uma parábola, com o foco aci-
ma do vértice e diretriz paralela ao eixo das abscissas.
Portanto, o lugar geométrico dos pontos equidistantes da cir-
cunferência e da reta é uma parábola (alternativa e).
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53
46. Como a parábola é simétrica ao eixo Oy, tem o vértice na origem, 
o foco está abaixo do vértice e o ponto P(2, 23) pertencente a 
parábola, temos:
y 5 2 1 ____ 4p x
2 ä 23 5 2 1 ____ 4p 2
2 ä 212p 5 24 ä p 5 1 __ 3 
Substituindo p por 1 __ 3 na equação da parábola obtemos:
y 5 2 1 ____ 4p x
2 ä y 5 2 1 _________ 
4 ? ( 1 __ 3 ) 
 x2 ä y 5 2 1 ___ 
 4 ___ 3 
 x2 ä y 5 2 3 ___ 4 x
2 
(alternativa b).
47. O gráfico representa uma parábola com vértice V(2, 40) e raízes 
0 e 4, pela forma fatorada, obtemos:
y 5 p(x 2 x0) (x 2 x1)
Substituindo y por n(t) e x por t, na equação da parábola, ob-
temos:
n(t) 5 p(t 2 t0) (t 2 t1) ä n(t) 5 p(t 2 0) (t 2 4)
Substituindo t por 2 na equação da parábola, obtemos:
n(2) 5 p(2 2 0) (2 2 4) ä 40 5 24p ä p 5 210
Substituindo p por 210 na equação da parábola, obtemos:
n(t) 5 p(t 2 t0) (t 2 t1) ä n(t) 5 210(t 2 0) (t 2 4) ä 
ä n(t) 5 210t2 2 40t 
(alternativa e).
48. Manipulando a equação de maneira adequada, obtemos:
y2 2 4y 2 12x 2 8 5 0 ä y2 2 4y 1 4 2 4 2 12x 2 8 5 0 ä
ä (y 2 2)2 5 12x 1 12 ä (y 2 2)2 5 12(x 1 1) ä
ä (y 2 2)2 5 12 ( x 2(21) ) 
Comparando-se essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice V(21, 2) e 
foco à direita do vértice, obtemos:
(y 2 2)2 5 12 ( x 2(21) ) ä 4p ( x 2 (21) ) 5 12 ( x 2 (21) ) ä 
ä 4p 5 12 ä p 5 3
A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco é 
F(2, 2) (alternativa b).
49. Manipulando a equação de maneira adequada, obtemos:
x2 2 6x 1 4y 2 11 5 0 ä x2 2 6x 1 9 2 9 1 4y 2 11 5 0 ä
ä (x 2 3)2 5 24y 1 20 ä (x 2 3)2 5 24(y 2 5) 
Comparando-se essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V(3, 5) e foco 
abaixo do vértice, obtemos:
(x 2 3)2 5 24(y 2 5) ä 24p(y 2 5) 5 24(y 2 5) ä
ä 24p 5 24 ä p 5 1 
A distância entre o vértice e o foco é p 5 1 (alternativa a).
50. Manipulando a equação de maneira adequada, obtemos:
2x2 2 4x 2 4y 1 3 5 0 ä 2(x2 2 2x) 2 4y 1 3 5 0 ä
ä 2(x2 2 2x 1 1 2 1) 2 4y 1 3 5 0 ä 2(x 2 1)2 5 4y 2 3 ä 
ä (x 2 1)2 5 2y 2 3 __ 2 ä (x 2 1)
2 5 2 ( y 2 3 ___ 4 ) 
Comparando-se essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V ( 1, 2 3 ___ 4 ) e 
foco acima do vértice, obtemos:
(x 2 1)2 5 2 ( y 2 3 ___ 4 ) ä 4p ( y 2 3 ___ 4 ) 5 2 ( y 2 3 ___ 4 ) ä
ä 4p 5 2 ä p 5 1 __ 2 
A distância entre o vértice e o foco é p 5 1 __ 2 (alternativa e).
51. Manipulando a equação de maneira adequada, obtemos:
x2 1 4x 1 8y 2 20 5 0 ä x2 1 4x 1 4 2 4 1 8y 2 20 5 0 ä
ä (x 1 2)2 1 8y 2 24 5 0 ä (x 1 2)2 5 28y 1 24 ä 
ä (x 1 2)2 5 28(y 2 3)
Comparando-se essa equação com a equação de uma parábola 
com diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V(22, 3) e 
foco abaixo do vértice.
A distância entre o vértice da parábola e a reta s: 4x 2 3y 1 4 5 0 é:
d(V, s) 5 
|4 ? (22) 2 3 ? 3 1 4|
 ______________________________ 
 dXXXXXXXXX 42 1 (23)2 
 ä d(V, s) 5 
 |213|
 ____________ 
 dXXXXXX 16 1 9 
 ä 
ä d(V, s) 5 13 ____ 5 (alternativa e).
52. Manipulando a equação de maneira adequada, obtemos:
(y 1 1)2 5 5 ( x 2 7 ___ 4 ) ä ( y 2 (21) ) 2 5 5 ( x 2 7 ___ 4 ) 
Comparando a equação dada com a equação de uma parábola de 
diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice V ( 7 ___ 4 , 21 ) e foco 
à direita do vértice, obtemos:
 ( y 2 (21) ) 2 5 5 ( x 2 7 ___ 4 ) ä 4p ( x 2 7 ___ 4 ) 5 5 ( x 2 7 ___ 4 ) ä
ä 4p 5 5 ä p 5 5 ___ 4 
Como a diretriz é paralela ao eixo das ordenadas, abaixo do vér-
tice e p 5 5 ___ 4 , a equação da diretriz é x 5 
7 ___ 4 2 
5 ___ 4 5 
2 ___ 4 5 
1 __ 2 
(alternativa a).
53. Manipulando as equações de maneira adequada, obtemos:
 I. (y)2 5 x ä x 5 y2 
 Comparando a equação dada com a equação de uma parábola 
de diretriz paralela ao eixo das ordenadas, vértice na origem 
e foco direita do vértice, obtemos:
 x 5 y2 ä 1 ____ 4p y
2 5 y2 ä y2 5 4y2p ä p 5 1 ___ 4 
 A distância entre o vértice e o foco é igual a p; então o foco é 
F1 ( 1 ___ 4 , 0 ) .
 II. x2 2 2x 2 20y 2 39 5 0 ä
 ä x2 2 2x 1 1 2 1 2 20y 2 39 5 0 ä 
 ä (x 2 1)2 5 20y 1 40 ä (x 2 1)2 5 20(y 1 2) ä
 ä (x 2 1)2 5 20 ( y 2 (22) ) 
 Comparando a equação dada com a equação de uma parábola 
de diretriz paralela ao eixo das abscissas, vértice V(1, 22) e 
focoacima do vértice, obtemos:
 (x 2 1)2 5 20 ( y 2 (22) ) ä 4p ( y 2 (22) ) 5 20 ( y 2 (22) ) ä
 ä p 5 5
 A distância entre o vértice e o foco e igual a p; então o foco é 
F2(1, 3).
 d(F1, F2) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 ___ 4 2 1 ) 2 1 (0 1 3)2 ä
 ä d(F1, F2) 5 dXXXXXXXXXXX ( 2 3 ___ 4 ) 
2
 1 (3)2 ä d(F1, F2) 5 dXXXXXXX 9 ____ 16 1 9 ä 
 ä d(F1, F2) 5 dXXXX 153 _____ 16 ä d(F1, F2) 5 d
XXXX
 153 _____ 4 
 (alternativa a).
54. Manipulando a equação da hipérbole de maneira adequada, ob-
temos:
216x2 1 9y2 2 160x 2 54y 2 885 5 0 ä
ä 216x2 2 160x 1 9y2 2 54y 2 885 5 0
ä 216(x2 1 10x 1 25 2 25) 1 9(y2 2 6y 1 9 2 9) 2 885 5 0 ä 
ä 216(x 1 5)2 1 400 1 9(y 2 3)2 2 81 2 885 5 0 ä
ä 9(y 2 3)2 2 16 ( x 2 (25) ) 2 5 566 ä
ä 
9(y 2 3)2
 _____________ 566 2 
16 ( x 2 (25) ) 2 
 ____________________ 566 5 
566 ______ 566 ä
ä 
(y 2 3)2
 ___________ 
 566 ______ 9 
 2 
 ( x 2 (25) ) 2 
 ________________ 
 566 ______ 16 
 5 1 
Em qualquer elipse, temos a . b. Então, a2 5 566 ______ 9 , b
2 5 566 ______ 16 , 
o eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo das ordenadas e seu 
centro C(25, 3).
Manipulando a equação da parábola de maneira adequada, ob-
temos:
x2 2 2x 2 20y 2 39 5 0 ä x2 2 2x 1 1 2 1 2 20y 2 39 5 0 ä
ä (x 2 1)2 5 20y 1 40 ä (x 2 1)2 5 20(y 1 2) ä
ä (x 2 1)2 5 20 ( y 2 (22) ) 
Comparando a equação dada com a equação de uma parábola 
de diretriz paralela ao eixo das ordenadas e foco a direita do 
vértice V(1, 22):
A distância entre o centro da hipérbole e o vértice da parábola é:
d(Ch, V) 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX (25 2 1)2 1 ( 3 2 (22) ) 
2 ä d(Ch, V ) 5 dXXXXXXXX 36 1 25 ä
ä d(Ch, V ) 5 dXXX 61 (alternativa d). 
SPM3_MP_RES_C06_046A054.indd 53 7/27/15 10:19 PM
54
Página 639 – Exercícios complementares
55. Pelas medidas dos eixos maior e menor das órbitas, temos:
2a 5 768 800 km ä a 5 384 400 km
2b 5 767 600 km ä b 5 383 800 km
Da relação a2 5 b2 1 c2, obtemos:
384 4002 5 383 8002 1 c2 ä c2 5 384 4002 2 383 8002 ä 
ä c2 5 (384 400 1 383 800) ? (384 400 2 383 800) 5 
5 (768 200) ? (600) 5 460 920 000 ä c > 21 469
a) A excentricidade é e 5 
21 469
 ____________ 384 400 > 0,0558
b) A menor distância é 384 400 km 2 21 469 km 5 362 931 km; 
a maior distância é 384 400 km 1 21 469 km 5 405 869 km.
c) Como a excentricidade é um número próximo de zero, a curva 
da elipse se aproxima da curva de uma circunferência; logo, o 
formato da órbita da Lua está mais próximo da elipse B.
56. a) A hipérbole dada tem eixo real sobre o eixo das abscissas e 
seu centro coincide com a origem do plano cartesiano.
Como o quadrado ABCD tem área 16, cada lado mede 4. A dis-
tância entre os vértices da parábola é igual à medida do lado 
desse quadrado; então, 2a 5 4 ä a 5 2. O eixo imaginário da 
hipérbole também tem medida igual à medida do lado desse 
quadrado; então, 2b 5 4 ä b 5 2. Então, obtemos a equa-
ção da hipérbole:
 x
2
 ___ 22 2 
y2 ___ 22 5 1 ä 
x2 ___ 4 2 
y2 ___ 4 5 1
b) y 5 2 __ 2  x 5 x e y 5 2 
2 __ 2 x 5 2x
57. I. Pela representação da hipérbole, o eixo real da hipérbole é 
paralelo ao eixo das ordenadas, a 5 6 e c 5 10. Então, da 
relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
 102 5 62 1 b2 ä b2 5 102 2 62 5 100 2 36 5 64 ä b 5 8
 Assim:
a) 2a 5 12 e 2b 5 16
b) B1(10, 5) e B2(26, 5)
c) 2c 5 20, F1(2, 15) e F2(2, 25)
d) e 5 10 ____ 6 5 
5 __ 3 
e) y 2 5 5 1 6 ___ 8 ? (x 2 2) ä 8y 2 40 5 6x 2 12 ä 
ä 8y 5 6x 1 28 ä y 5 3 ___ 4 x 1 
7 ___ 2 
 y 2 5 5 2 6 ___ 8 ? (x 2 2) ä 8y 2 40 5 26x 1 12 ä 
ä 8y 5 26x 1 52 ä y 5 2 3 ___ 4 x 1 
13 ____ 2 
 II. Pela equação dada da hipérbole, o eixo real da hipérbo-
le é paralelo ao eixo das abscissas, seu centro é C(2, 21), 
a2 5 16 ä a 5 4 e b2 5 4 ä b 5 2. Então, da relação 
c2 5 a2 1 b2, obtemos:
 c2 5 42 1 22 5 16 1 4 5 20 ä c 5 2 dXX 5 
 Assim:
a) 2a 5 8 e 2b 5 4
b) B1(2, 1) e B2(2, 23)
c) 2c 5 4 dXX 5 , F1 ( 2 1 2 dXX 5 , 21 ) e F2 ( 2 2 2 dXX 5 , 21 ) 
d) e 5 2 
dXX 5 ______ 6 5 
 dXX 5 ____ 3 
e) y 2 (21) 5 1 2 ___ 4 ? (x 2 2) ä y 1 1 5 1 
1 __ 2 ? (x 2 2) ä
 ä 2y 1 2 5 x 2 2 ä 2y 5 x 2 4 ä y 5 1 __ 2 x 2 2
 y 2 (21) 5 2 2 ___ 4 ? (x 2 2) ä y 1 1 5 2 
1 __ 2 ? (x 2 2) ä
 ä 2y 1 2 5 2x 1 2 ä 2y 5 2 x ä y 5 2 1 __ 2 x
 III. 29x2 1 y2 1 2y 2 8 5 0 ä 29x2 1 y2 1 2y 1 1 2 8 5 1 ä 
ä 29x2 1 (y 1 1)2 5 9 ä 2 9x
2
 _____ 9 1 
(y 1 1)2
 ___________ 9 5 
9 ___ 9 ä
 ä x
2
 _____ 
21 1 
(y 1 1)2
 ___________ 9 5 1 ä 
(y 1 1)2
 ___________ 9 2 x
2 5 1
 Pela equação da hipérbole, o eixo real é paralelo ao eixo das 
ordenadas, seu centro é C(0, 21), a2 5 9 ä a 5 3 e b2 5 1 ä 
ä b 5 1. Então, da relação c2 5 a2 1 b2, obtemos:
 c2 5 32 1 12 5 9 1 1 5 10 ä c 5 dXXX 10 
 Assim:
a) 2a 5 6 e 2b 5 2
b) B1(1, 21) e B2(21, 21)
c) 2c 5 2 dXXX 10 ; F1 ( 0, 211 dXXX 10 ) e F2 ( 0, 21 2 dXXX 10 ) 
d) e 5 
dXXX 10 ______ 3 
e) y 2 (21) 5 1 3 __ 1 ? (x 2 0) ä y 1 1 5 3x ä y 5 3x 2 1
 y 2 (21) 5 2 3 __ 1 ? (x 2 0) ä y 1 1 5 23x ä y 5 23x 2 1
58. A equação dada descreve uma parábola de diretriz paralela ao 
eixo das abscissas, vértice V(200, 20 000), foco abaixo do vér-
tice e parâmetro 2p 5 1. Portanto, a altura máxima atingida pelo 
fluxo de água é 2 000 cm, ou seja, 20 m.
O alcance máximo atingido pela água é obtido pela intersecção 
da parábola com o eixo Ox, ou seja, quando y 5 0. Então:
(x 2 200)2 5 22(0 2 20 000) ä x 2 200 5 ± dXXXXXXX 40 000 ä 
ä x 5 200 1 200 5 400 ou x 5 200 2 200 5 0
Portanto, a maior distância atingida pela água é 400 cm, ou 
seja, 4 m.
59. a) Temos a representação abaixo da parábola no plano cartesiano.
40
30
40
y
x
B(0, 30)
C(40, 0)D(0, 0)A(240, 0)
A parábola tem diretriz sobre o eixo das abscissas, vértice 
B(0, 30) e foco abaixo do vértice. Escolhendo um ponto C(40, 0), 
obtemos:
(40 2 0)2 5 4p(0 2 30) ä 2120p 5 1 600 ä p 5 2  40 ____ 3 
Portanto, a equação da parábola é:
(x 2 0)2 5 4 ? ( 2 40 ____ 3 ) (y 2 30) ä 3x2 5 2160y 1 4 800 ä 
ä 3x2 1 160y 2 4 800 5 0
b) Os pontos que têm coordenadas 20 m acima do segmento 
AC, que pertence ao eixo das abscissas, são os pontos cujas 
coordenadas são da forma (x, 20). Então:
3x2 1 160 ? 20 2 4 800 5 0 ä 3x2 5 1 600 ä 
ä x 5 
dXXXXXX 1 600 __________ 3 5 ± 
40 dXX 3 ________ 3 
Portanto, os pontos da parábola que estão 20 m acima do 
segmento AC têm coordenadas ( 2 40 dXX 3 ________ 3 ,20 ) e ( 40 dXX 3 ________ 3 ,20 ) .
60. O segmentos MN e PQ são perpendiculares e se intersectam no 
ponto de coordenadas (3, 5). Então, o quadrilátero MPNQ é um 
losango e sua área pode ser calculada pela metade do produto 
das medidas de suas diagonais, que são os segmentos MN e PQ. 
Então, a área do losango é:
 
 ( 23 2 (217) ) ? ( 17 2 (27) ) 
 _____________________________________ 2 5 
40 ? 24 __________ 2 5 480
61. x2 2 5x 2 y 1 6 5 0 ä y 5 x2 2 5x 1 6 ä y 1 ( 5 __ 2 ) 
2
 5 x2 2 5x 1 
1 ( 5 __ 2 ) 
2
 1 6 ä y 1 25 ____ 4 2 6 5 ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 ä y 1 1 ___ 4 5 ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 
Essa equação é a equação de uma parábola de vértice V ( 5 __ 2 , 2 1 ___ 4 ) .
Substituindo y por 0 nessa equação, obtemos as coordenadas 
dos pontos A e B:
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55
   Capítulo 29 – Números complexos
Página 644 – Para começar
1. I. Para a equação x2 2 10x 1 40 5 0, temos a 5 1, b 5 210 e 
c 5 40. Utilizando a expressão, temos:
x 5 
2(210) ± dXXXXXXXXXXXXXXXXX (210)2 2 4 ? 1 ? 40 
 ___________________________________________ 2 ? 1 5 
10 ± dXXXXX 260 ________________ 2 
Como não existe raiz quadrada real de número negativo, a 
equação não tem solução:
S 5 [
II. Para a equação x2 2 10x 1 24 5 0, temos a 5 1, b 5 210 e 
c 5 24. Utilizando a expressão, temos:
x 5 
2(210) ± dXXXXXXXXXXXXXXXXX (210)2 2 4 ? 1 ? 24 
 __________________________________________2 ? 1 5 
10 ± dXX 4 ____________ 2 ä x 5 6 ou
x 5 4
Portanto: S 5 {4, 6}
2. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos notem que ao resol-
vermos a equação I, em que o discriminante é negativo, não ob-
temos nenhuma solução real. Já na equação II, em que o discri-
minante é positivo, obtemos duas soluções reais distintas.
3. Quando o discriminante é negativo, obtemos na expressão uma 
raiz quadrada de número negativo. Como não existe um número 
real que elevado ao quadrado resulta em um número negativo, 
essa raiz não existe no conjunto dos números reais. Portanto, 
quando o discriminante é negativo, a equação não tem solução 
no conjunto dos números reais.
4. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos concluam que quan-
do o discriminante é negativo, a equação não tem solução no 
conjunto dos números reais. 
Questione os alunos sobre a possibilidade de existir um conjunto 
numérico em que esteja definida a raiz quadrada de um número 
real negativo. A partir dessa conversa, fale sobre o conjunto dos 
números complexos que surgiu da necessidade de resolver equa- 
ções do terceiro grau, assunto que será estudado nesta unidade.
Página 647 – Ação e cidadania
Para o desenvolvimento das questões propostas, é importante 
incentivar os alunos a lembrarem de atitudes de competição e 
colaboração que costumam vivenciar na vida escolar e extraesco-
lar e pensarem na importância do conhecimento historicamente 
construído e socialmente aceito que constitui o ensino formal 
desde a Educação Infantil.
 ▪ Respostas pessoais.
Verifique se os alunos percebem que a cooperação pressupõe 
ajuda mútua e se dá mediante o desempenho de diferentes 
papéis e funções. Não raro, demandas emocionais do grupo e de 
cada indivíduo fazem surgir atitudes de competição. Algumas 
situações – como disputas em jogos, exames de vestibular, 
provas para concursos e disputas para tomar ou garantir para 
si alguma coisa – são propícias ao surgimento de atitudes 
competitivas. Quando se trata de grupo, tornar os papéis 
menos rígidos pode ser uma maneira de abordar o problema, 
orientando os alunos no sentido da cooperação.
Cooperar ou colaborar não significa concordar ou não confron-
tar quando se discorda de um assunto ou de uma situação, 
mas sim atuar por meio da comunicação, com argumentos 
convincentes que exponham a diferença na maneira de pensar 
ou agir. Segundo as autoras Sônia Soares e Aidê Ferraz:
A aprendizagem vai além da mera incorporação de infor-
mações e pressupõe o desenvolvimento da capacidade de criar 
alternativas – por meio dela percebe-se o grau de plasticidade 
grupal diante dos obstáculos e da criatividade para superar as 
contradições e mesmo integrá-las. Com a atenuação da ansiedade 
básica, o grupo pode operar melhor seus afetos e sua tarefa. 
A aprendizagem está inter-relacionada à comunicação, e o grupo 
precisa compreender seus obstáculos à comunicação para anali-
sar os obstáculos à aprendizagem.
SoareS, Sônia Maria; Ferraz, Aidê Ferreira. Grupos operativos de aprendizagem nos serviços 
de saúde: sistematização de fundamentos e metodologias. Disponível em: <http://www.nescon.
medicina.ufmg.br/biblioteca/imagem/1708.pdf>. Acesso em: 20 jun. 2015.
0 1 1 ___ 4 5 ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 ä 1 ___ 4 5 ( x 2 5 __ 2 ) 
2
 ä x 2 5 __ 2 5 ± d
XX
 1 ___ 4 ä x 5 ± 
1 ___ 2 1 
5 __ 2 ä 
ä x 5 1 __ 2 1 
5 __ 2 5 
6 ___ 2 5 3 ou x 5 2  
1 __ 2 1 
5 __ 2 5 
4 ___ 2 5 2
Assim, as coordenadas dos pontos A e B são (2, 0) e (3, 0).
Portanto, determinamos a área do triângulo ABV:
D 5 
2 0 1
3 0 1
 5 __ 2 2 
1 ___ 4 1
 5 0 1 0 2 3 ___ 4 2 0 2 0 1 
2 ___ 4 5 2 
1 ___ 4 
AABV 5 
1 __ 2 ?  2 1 ___ 4  5 1 ___ 8 
62. Pelas coordenadas dos focos, a elipse tem eixo maior sobre o 
eixo das ordenadas, seu centro coincide com a origem do plano 
cartesiano e c 5 6. Pelas coordenadas do ponto A(0, 9), temos 
que esse ponto é uma das extremidades do eixo maior da elipse 
e a 5 9. Então, da relação a2 5 b2 1 c2, obtemos:
92 5 b2 1 62 ä b2 5 92 2 62 5 81 2 36 5 45 ä b 5 dXXX 45 5 3 dXX 5 
Então, obtemos a equação da elipse:
 x
2
 _________ 
 ( 3 dXX 5 ) 2
 1 y
2
 ___ 92 5 1 ä 
x2 ____ 45 1 
y2 ____ 81 5 1
Como o ponto B(x, 3) pertence a essa elipse, temos:
 x
2
 ____ 45 1 
32 ____ 81 5 1 ä 
x2 ____ 45 5 1 2 
1 __ 9 ä x
2 5 40 ä 
ä x 5 dXXX 40 5 2 dXXX 10 (pois x . 0)
Assim, temos o ponto B ( 2 dXXX 10 , 3 ) .
Portanto, determinamos a área do triângulo BF1F2:
D 5 
0 26 1
0 6 1
2 dXXX 10 3 1
 5 0 1 0 2 12 dXXX 10 2 12 dXXX 10 5 224 dXXX 10 
 A BF1F2 5 
1 __ 2 ? 
 224 dXXX 10  5 12 dXXX 10 (alternativa d).
63. a) Pelas coordenadas dos focos, a elipse tem eixo maior sobre o 
eixo das abscissas, seu centro coincide com a origem do pla-
no cartesiano e c 5 8. Então:
e 5 8 ___ a ä 
1 __ 3 5 
8 ___ a ä a 5 24
Assim, pela relação a2 5 b2 1 c2, obtemos:
242 5 b2 1 82 ä b2 5 242 2 82 5 576 2 64 5 512 ä b 5 16 dXX 2 
Portanto, a equação da elipse é:
 x
2
 _____ 242 1 
y2 ___________ 
 ( 16 dXX 2 ) 2 
 5 1 ä x
2
 ______ 576 1 
y2 _____ 512 5 1 
b) Pelas coordenadas das extremidades do eixo maior, a elipse 
tem eixo maior sobre o eixo das ordenadas, seu centro coinci-
de com a origem do plano cartesiano e a 5 24. Então:
e 5 c ____ 24 ä 
1 __ 2 5 
c ____ 24 ä c 5 
24 ____ 2 5 12
Assim, pela relação a2 5 b2 1 c2, obtemos:
242 5 b2 1 122 ä b2 5 242 2 122 5 576 2 144 5 432 ä 
ä b 5 12 dXX 3 
Portanto, a equação da elipse é:
 x
2
 ___________ 
 ( 12 dXX 3 ) 2 
 1 y
2
 _____ 242 5 1 ä 
x2 ______ 432 1 
y2 ______ 576 5 1 
64. Para a equação dada ser a equação de uma elipse, devemos ter 
4 1 m . 0, ou seja, m . 24; para ser a equação de uma hipér-
bole, devemos ter 4 1 m , 0, ou seja, m , 24; e não existe valor 
para m tal que a equação dada seja a equação de uma parábola.
Logo, se m , 24, a cônica é uma hipérbole (alternativa a).
65. Pelas coordenadas das extremidades do eixo maior, a elipse tem 
eixo maior sobre o eixo das abscissas, seu centro coincide com 
a origem do plano cartesiano e a 5 8. Como a elipse passa pelo 
ponto P(4, 3), temos:
 4
2
 ___ 82 1 
32 ___ b2 5 1 ä 
9 ___ b2 5 1 2 
16 ____ 64 ä 3b
2 5 36 ä b2 5 12 ä b 5 2 dXX 3 
Portanto, a equação da elipse é:
 x
2
 ___ 82 1 
y2 _________ 
 ( 2 dXX 3 ) 2
 5 1 ä x
2
 ____ 64 1 
y2 ____ 12 5 1
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 55 7/28/15 2:20 PM
56
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução 
dessa equação é:
S 5 { 2i, i, 23i, 3i } 
h) Dada a equação x4 2 81 5 0, temos: 
x4 2 81 5 0 ä (x2 1 9) ? (x2 2 9) 5 0 ä
ä x2 1 9 ? x2 2 9 5 0
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 { 23i, 3i, 23, 3 } 
2. a) O conjugado do número complexo z 5 (7, 22) é 
__
 z 5 (7, 2).
b) O conjugado do número complexo z 5 (22, 3) é 
__
 z 5 (22, 23).
c) O conjugado do número complexo z 5 ( 27, dXX 3 ) é 
 
__
 z 5 ( 27, 2 dXX 3 ) .
d) O conjugado do número complexo z 5 ( 4, 1 __ 2 ) é __ z 5 ( 4, 2 1 __ 2 ) .
3. a) O conjugado do número complexo z 5 (0, 22) é 
__
 z 5 (0, 2).
Portanto, o número complexo z é diferente do seu conjugado.
b) O conjugado do número complexo z 5 ( 7 __ 3 , 0 ) é __ z 5 ( 7 __ 3 , 0 ) .
Portanto, o número complexo z é igual ao seu conjugado.
c) O conjugado do número complexo z 5 (23, 0) é 
__
 z 5 (23, 0).
Portanto, o número complexo z é igual ao seu conjugado.
d) O conjugado do número complexo z 5 (0, 0) é 
__
 z 5 (0, 0).
Portanto, o número complexo z é igual ao seu conjugado.
4. a) O conjugado do número complexo z 5 (3, 21) é 
__
 z 5 (3, 1). 
Então:
z ? 
__
 z 5 ( 3 ? 3 1 (21) ? (21), 23 ? (21) 1 (21) ? 3 ) 5 (10, 0)
b) O conjugado do número complexo z 5 ( 2 __ 3 , 7 ) é __ z 5 ( 2 __ 3 , 27 ) .
Então:
z ? 
__
 z 5 ( 2 __ 3? 2 __ 3 1 7 ? 7, 2 2 __ 3 ? 7 1 7 ? ( 2 __ 3 ) ) 5 ( 445 ______ 9 , 0 ) 
c) O conjugado do número complexo z 5 (25, 0) é 
__
 z 5 (25, 0).
Então:
z ? 
__
 z 5 ( (25) ? (25) 1 0 ? 0, 2(25) ? 0 1 (25) ? 0 ) 5 (25, 0)
d) O conjugado do número complexo z 5 ( 2 __ 3 , 2 1 __ 3 ) é __ z 5 ( 2 __ 3 , 1 __ 3 ) .
Então:
z ? 
__
 z 5 ( 2 __ 3 ? 2 __ 3 1 1 __ 3 ? 1 __ 3 , 2 2 __ 3 ? 1 __ 3 1 2 __ 3 ? 1 __ 3 ) 5 ( 5 ___ 9 , 0 ) 
5. a) Sendo z1 5 (2, 2) e z2 5 (3, 27), determinamos z1 1 z2:
z1 1 z2 5 ( 2 1 3, 2 1 (27) ) 5 (5, 25)
O produto z1 ? z2 é:
z1 ? z2 5 ( 2 ? 3 2 2 ? (27), 2 ? (27) 1 2 ? 3 ) 5 (20, 28)
Portanto: 
_________
 z1 1 z2 5 (5, 5) e 
________
 z1 ? z2 5 (20, 8)
b) Sendo z1 5 (22, 0) e z2 5 (22, 1), determinamos z1 1 z2:
z1 1 z2 5 ( 22 1 (22), 0 1 1 ) 5 (24, 1)
O produto z1 ? z2:
z1 ? z2 5 ( 22 ? (22) 2 0 ? 1, 22 ? 1 1 0 ? (22) ) 5 (4, 22)
Portanto: 
_________
 z1 1 z2 5 (24, 21) e 
________
 z1 ? z2 5 (4, 2)
c) Sendo z1 5 (24, 2) e z2 5 (4, 22), determinamos z1 1 z2:
z1 1 z2 5 ( 24 1 4, 2 1 (22) ) 5 (0, 0)
O produto z1 ? z2, é:
z1 ? z2 5 ( 24 ? 4 2 2 ? (22), 24 ? (22) 1 2 ? 4 ) 5 (212, 16)
Portanto: 
_________
 z1 1 z2 5 (0, 0) e 
________
 z1 ? z2 5 (212, 216)
d) Sendo z1 5 ( 0, 1 __ 5 ) e z2 5 ( dXX 5 , 0 ) , determinamos z1 1 z2:
z1 1 z2 5 ( 0 1 dXX 5 , 1 __ 5 1 0 ) 5 ( dXX 5 , 1 __ 5 ) 
O produto z1 ? z2 é:
z1 ? z2 5 ( 0 ? dXX 5 2 1 __ 5 ? 0, 0 ? 0 1 1 __ 5 ? dXX 5 ) 5 ( 0, dXX 5 ____ 5 ) 
Portanto: 
_________
 z1 1 z2 5 ( dXX 5 , 2 1 __ 5 ) e ________ z1 ? z2 5 ( 0, 2 dXX 5 ____ 5 ) 
Destaque para os alunos que em qualquer situação competi-
tiva é necessário respeitar o concorrente e manter a própria 
integridade e honestidade, sem “jogar sujo” para vencer. 
As disputas merecem ser limpas, transparentes, executadas 
sem deixar margem a dúvidas. 
 ▪ Resposta pessoal. Comente que os “ombros de gigantes” des-
critos por Isaac Newton provavelmente se referem aos gran-
des pensadores da Antiguidade grega e jônica (Tales, Pitágoras, 
Euclides, Sócrates, Platão, Aristóteles, Aristarco, entre outros), 
da Idade Média (por exemplo, Copérnico) e da Idade Moderna 
(como Galileu Galilei e Simon Stevin), na qual viveu o próprio 
Newton. Por isso, a questão proposta relativiza a participação e 
o apoio que recebemos em nosso desenvolvimento pessoal, em 
menor escala, já que não estamos tratando de grandes inven-
ções ou descobertas científicas que transformaram o mundo.
Mesmo assim, nada impede que os alunos considerem “gigan-
tes”, no sentido de seres admiráveis, as gerações de familia-
res que os antecederam e/ou professores que os influenciaram 
durante a vida. 
Página 647 – Exercícios propostos
1. a) Dada a equação x2 1 8 5 0, temos:
x2 1 8 5 0 ä x2 5 28 ä x 5 dXXXX 28 5 ± 2 dXX 2 i
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 { 22 dXX 2 i, 2 dXX 2 i } 
b) Dada a equação 2x2 2 5x 1 8 5 0, suas soluções são:
x 5 5 ± 
dXXXXXXXX 25 2 64 ___________________ 4 5 
5 ± dXXXXX 239 ______________ 4 5 
5 ± dXXX 39 i ____________ 4 
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 q 5 2 dXXX 39 i _____________ 4 , 
5 1 dXXX 39 i _____________ 4 w
c) Dada a equação x4 1 12 x 2 1 32 5 0, temos:
x4 1 12 x 2 1 32 5 0 ä (x2 1 8) ? (x2 1 4) 5 0 ä x2 1 8 5 0 
ou x2 1 4 5 0
 ▪ x2 1 8 5 0 ä x2 5 28 ä x 5 2 dXX 2 i ou x 5 22 dXX 2 i 
 ▪ x2 1 4 5 0 ä x2 5 24 ä x 5 2i ou x 5 22i
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 { 22 dXX 2 i, 2 dXX 2 i, 22i, 2i } 
d) Dada a equação x4 2 16 5 0, temos: 
x4 2 16 5 0 ä (x2 1 4) ? (x2 2 4) 5 0 ä
ä x2 1 4 5 0 ou x2 2 4 5 0
 ▪ x2 1 4 5 0 ä x2 5 24 ä x 5 2i ou x 5 22i 
 ▪ x2 2 4 5 0 ä x2 5 4 ä x 5 2 ou x 5 22
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 { 22i, 2i, 22, 2 } 
e) Dada a equação x2 2 2x 1 5 5 0, suas soluções são: 
x 5 2 ±  
dXXXXXXX 4 2 20 _________________ 2 5 
2 ± dXXXXX 216 ______________ 2 5 
2 ± 4i ________ 2 5 1 ± 2i
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 { 1 22i, 1 1 2i } 
f) Dada a equação 2x2 1 7x 2 15 5 0, suas soluções são:
x 5 27 ± 
dXXXXXXXX 49 2 60 ______________________ 
22 5 
27 ± dXXXX 211 
 ________________ 22 5 
7 ± dXXX 11 i
 ___________ 2 
Portanto, no conjunto dos complexos, o conjunto solução des-
sa equação é:
S 5 q 7 2 
dXXX 11 i
 ____________ 2 , 
7 1 dXXX 11 i ____________ 2 w
g) Dada a equação x4 1 10x2 1 9 5 0, fatorando temos:
x4 1 10x2 1 9 5 0 ä (x2 1 1) ? (x2 1 9) 5 0 ä x2 1 1 5 0 
ou x2 1 9 5 0
 ▪ x2 1 1 5 0 ä x2 5 21 ä x 5 i ou x 5 2i
 ▪ x2 1 9 5 0 ä x2 5 29 ä x 5 3i ou x 5 23i
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57
Página 649 – Exercícios propostos
8. a) A forma algébrica de (3, 4) é 3 1 4i.
b) A forma algébrica de ( 2 1 __ 2 , 0 ) é 2 1 __ 2 .
c) A forma algébrica de ( 2 1 __ 2 , 3 __ 2 ) é 2 1 __ 2 1 3 __ 2 i.
d) A forma algébrica de ( dXX 5 , dXX 3 ) é dXX 5 1 dXX 3 i.
e) A forma algébrica de ( 3 ___ 4 , 2 2 __ 3 ) é 3 ___ 4 2 2 __ 3 i.
f) A forma algébrica de ( 2 5 ___ 8 , 23 ) é 2 5 ___ 8 2 3i.
g) A forma algébrica de ( 0, dXX 2 ) é dXX 2 i.
h) A forma algébrica de ( 0, 2 4 ___ 7 ) é 2 4 ___ 7 i.
9. a) z 5 25 1 13i tem parte real 25 e parte imaginária 13
b) z 5 15i tem parte real 0 e parte imaginária 15
c) z 5 7 __ 3 1 2i tem parte real 
7 __ 3 e parte imaginária 2
d) z 5 2 __ 3 tem parte real 
2 __ 3 e parte imaginária 0
e) z 5 12 1 6i tem parte real 12 e parte imaginária 6
f) z 5 5 tem parte real 5 e parte imaginária 0
g) z 5 
dXX 3 ____ 5 1 
 dXX 2 ____ 5 i tem parte real 
 dXX 3 ____ 5 e parte imaginária 
 dXX 2 ____ 5 
h) z 5 1 __ 7 1 
3 __ 5 i tem parte real 
1 __ 7 e parte imaginária 
3 __ 5 
10. Dois números complexos são iguais se suas partes reais são 
iguais e suas partes imaginárias também são iguais.
a) z 5 w ä a 5 26 e 2b 5 10 ä a 5 26 e b 5 5
Portanto: a 5 26 e b 5 5
b) z 5 w ä a 2 1 3 5 7 e b 1 12 5 b 2
 ▪ a 2 1 3 5 7 ä a 2 5 4 ä a 5 2 ou a 5 22
 ▪ b 1 12 5 b 2 ä b2 2 b 2 12 5 0 ä (b 2 4) ? (b 1 3) 5 0 ä 
ä b 5 4 ou b 5 23
Portanto: a 5 2 ou a 5 22 e b 5 4 ou b 5 23
c) z 5 w ä a  2 1 4 5 29 e 14 5 2b 1 8
 ▪ a2 1 4 5 29 ä a 5 5 ou a 5 25
 ▪ 2b 1 8 5 14 ä b 5 3
Portanto: a 5 5 ou a 5 25 e b 5 3
d) z 5 w ä a 1 b 5 3 e a 2 b 5 21
Temos o seguinte sistema: qa 1 b 5 3
a 2 b 5 21
Adicionando as duas equações, obtemos:
2a 5 2 ä a 5 1
Substituindo a em uma das equações: 1 2 b 5 21 ä b 5 2
Portanto: a 5 1 e b 5 2
11. a) O conjugado do número complexo z 5 6 2 2i é: 
__
 z 5 6 1 2i
b) O conjugado do número complexo z 5 21 1 i é: 
__
 z 5 21 2 i
c) O conjugado do número complexo z 5 5 é: 
__
 z 5 5
d) O conjugado do número complexo z 5 23 1 i é: 
__
 z 5 23 2 i
e) O conjugado do número complexo z 5 2 2 2i é: 
__
 z 5 2 1 2i
f) O conjugado do número complexo z 5 23i é: 
__
 z 5 3i
g) O conjugado do número complexo z 5 7 é: 
__
 z 5 7
h) O conjugado do número complexo z 5 22 1 5i é: 
__
 z 5 22 2 5i
12. Sendo z 5 
___
 w , então temos:
2a 1 (a 1 b)i 5 6 1 9i ä 2a 5 6 e a 1 b 5 9 
 ▪ 2a 5 6 ä a 5 3 
 ▪ a 1 b 5 9 ä 3 1 b 5 9 ä b 5 6 
Portanto: a 5 3 e b 5 6
13. Se w 5 x 1 yi, então 
___
 w 5 x 2 yi. 
Assim, temos que:
 
___
 
___
 w 5 x 2 (2yi) 5 x 1 yi 5 w
Portanto: 
___
 
___
 w 5 w
14. Sendo z 5 
___
 w , então temos:
(x 2 2 2) 1 (2y 1 3)i 5 6 1 5 i ä x 2 2 2 5 6 e 2y 1 3 5 5 
 ▪ x 2 2 2 5 6 ä x 2 5 8 ä x 5 2 dXX 2 ou x 5 22 dXX 2 
 ▪ 2y 1 3 5 5 ä y 5 1
Portanto: x 5 2 dXX 2 ou x 5 22 dXX 2 e y 5 1
15. Para que z seja um número real, a parte imaginária tem de ser 
igual a zero, então: 
x 1 3 5 0 ä x 5 23
Portanto, se x 5 23,então z é real.
Para que z seja um número imaginário puro, a parte real deve ser 
nula e a parte imaginária, diferente de zero. Então: 
 ▪ x2 1 4x 5 0 ä x ? (x 1 4) 5 0 ä x 5 0 ou x 5 24
 ▪ x 1 3 Þ 0 ä x Þ 23
Portanto, se x 5 0 ou x 5 24, então z é imaginário puro.
16. a) Para que z seja um número real, a parte imaginária deve ser 
igual a zero. Então: 
a2 2 16 5 0 ä a 5 4 ou a 5 24
Portanto: a 5 4 ou a 5 24
b) Para que z seja um número imaginário puro, a parte real deve 
ser nula e a parte imaginária, diferente de zero. Então: 
 ▪ 2a 1 8 5 0 ä a 5 24
 ▪ 6b 2 4 Þ 0 ä b Þ 2 __ 3 
Portanto: a 5 24 e b Þ 2 __ 3 
c) Para que z não seja um número real, a parte imaginária deve 
ser diferente de zero, e a parte real não tem restrições. Então:
 ▪ b2 1 2b 2 3 Þ 0 ä (b 1 3) ? (b 2 1) Þ 0 ä b Þ 23 e b Þ 1
Portanto: b Þ 23 e b Þ 1
d) Para que z seja um número real não nulo, a parte real deve ser 
diferente de zero e a parte imaginária igual a zero, então: 
 ▪ 3a Þ 0 ä a Þ 0
 ▪ 5b 5 0 ä b 5 0 
Portanto: a Þ 0 e b 5 0
e) Para que z seja um número complexo não nulo, a parte real ou 
a parte imaginária deve ser diferente de zero. Então:
 ▪ a2 2 9 Þ 0 ä a2 Þ 9 ä a Þ 3 e a Þ 23
 ▪ 2a 1 10 Þ 0 ä 2a Þ 210 ä a Þ 25
Portanto: a Þ 3 e a Þ 23 e a Þ 25
f) Para que z seja um número imaginário puro, a parte real deve 
ser nula e a parte imaginária diferente de zero. Então: 
 ▪ a2 2 2 5 0 ä a 5 dXX 2 ou a 5 2 dXX 2 
 ▪ a 1 4 Þ 0 ä a Þ 24
Portanto: a 5 dXX 2 ou a 5 2 dXX 2 
g) Para que a igualdade seja válida, temos o seguinte sistema:
qa 1 b 5 24
a 2 3b 5 21
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
4b 5 23 ä b 5 2 3 ___ 4 
Então: a 2 3 ___ 4 5 24 ä a 5 2 
13 ____ 4 
Portanto: a 5 2 13 ____ 4 e b 5 2 
3 ___ 4 
h) Para que a igualdade seja válida, temos as seguintes equações:
 ▪ 2a 1 3 5 6 ä a 5 23 
 ▪ 10 5 25 2 b ä b 5 215
Portanto: a 5 23 e b 5 215
17. Sejam z1 5 a 1 bi e z2 5 c 1 di. Então:
 ▪ 
________
 z1 ? z2 5 
________________________
 (a 1 bi) ? (c 1 di) 5 
_______________________________
 (ac 2 bd) 1 (ad 1 bc)i 5 
5 ac 2 bd 2 (ad 1 bc)i
 ▪ 
___
 z1 ? 
___
 z2 5 (a 2 bi) ? (c 2 di) 5 ac 2 db 2(ad 1 bc)i
Portanto: 
________
 z1 ? z2 5 
___
 z1 ? 
___
 z2 
Temos ainda:
 ▪ 
_________
 z1 1 z2 5 
_______________________
 a 1 bi 1 c 1 di 5 a 1 c 2 (b 1 d)i
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58
 ▪ 
___
 z1 1 
___
 z2 5 a 2 bi 1 c 2 di 5 a 1 c 2 (b 1 d)i
Portanto: 
_________
 z1 1 z2 5 
___
 z1 1 
___
 z2 
Página 650 – Exercícios propostos
20. a) (3 1 4i) 1 (26 1 2i) 2 (23i) 1 (5 2 12i) 5 (3 2 6 1 5) 1 
1 (4i 1 2i 1 3i 2 12i) 5 2 2 3i
O número complexo 2 2 3i em par ordenado é: (2, 23)
b) ( p ___ 4 1 2 __ 3 i ) 1 ( 2 p ___ 3 1 5 __ 3 i ) 2 ( 5p _____ 6 2 9 ___ 4 i ) 5 ( p ___ 4 2 p ___ 3 2 5p _____ 6 ) 1
1 ( 2 __ 3 i 1 5 __ 3 i 1 9 ___ 4 i ) 5 2 11p ______ 12 1 55 ____ 12 i
O número complexo 2 11p ______ 12 1 
55 ____ 12 i em par ordenado é: 
 ( 2  11p ______ 12 , 55 ____ 12 ) 
21. a) Substituindo os valores, temos:
2z3 1 z2 2 z1 5 210 1 2i 2 3 1 2i 2 3 2 7i 5 216 2 3i 
b) Substituindo os valores, temos:
z1 1 z2 2 
___
 z4 5 3 1 7i 2 3 1 2i 2 10i 5 2i 
c) Substituindo os valores, temos:
 ( z2 2 z3 ) 1 ( z1 1 
___
 z2 ) 5 23 1 2i 2 10 1 2i 1 3 1 7i 2 3 2 2i 5 
5 213 1 9i
d) Substituindo os valores, temos:
 ( 
_________
 z2 1 z3 ) 1 z1 2 z2 5 
___________________________
 23 1 2i 1 10 2 2i 1 3 1 
1 7i 2 (23 1 2i) 5 7 1 3 1 7i 1 3 2 2i 5 13 1 5i
22. Efetuando as operações, temos:
(a 1 4ai) 1 (24 1 3bi) 5 a 2 4 1 (4a 1 3b)i
Para que esse número seja imaginário puro, a parte real deve ser 
igual a zero, e a parte imaginária diferente de zero. Então:
 ▪ a 2 4 5 0 ä a 5 4
 ▪ 16 1 3b Þ 0 ä b Þ 2 16 ____ 3 
Portanto: a 5 4 e b Þ 2 16 ____ 3 
23. a) Isolando z, temos:
z 1 2 1 4i 5 12 2 3i ä z 5 10 2 7i
Portanto: z 5 10 2 7i 
b) Sejam z 5 a 1 bi e 
__
 z 5 a 2 bi. Então, temos:
a 2 bi 1 12 5 2 ( a 1 bi 1 a 2 bi ) 2 9 2 3i ä 
ä a 2 bi 1 12 5 2a 2 bi 2 a 1 bi 2 9 2 3i ä 
ä 3a 2 bi 5 221 2 3i 
Logo, b 5 3 e a 5 27.
Portanto: z 5 27 13i
24. a) Adicionando as duas equações do sistema, obtemos: 
2w 5 27 1 23i ä w 5 2 7 __ 2 1 
23 ____ 2 i
Substituindo w em uma das equações, temos:
2z 2 7 __ 2 1 
23 ____ 2  i 5 24 1 14i ä z 5 
1 __ 2 2 
5 __ 2 i
Portanto: z 5 1 __ 2 2 
5 __ 2 i e w 5 2 
7
 __ 2 1 
23 ____ 2 i
b) Adicionando as duas equações do sistema, obtemos: 
22z 5 23 1 13i ä z 5 3 __ 2 2 
13 ____ 2 i
Substituindo z em uma das equações, temos:
2z 1 w 5 226 1 10i ä w 5 2 49 ____ 2 1 
7 __ 2 i
Portanto: z 5 3 __ 2 2 
13 ____ 2 i e w 5 2 
49
 ____ 2 1 
7 __ 2 i
25. Efetuando as operações, temos: 
 ( 4 1 ai ) 2 ( b 1 5i ) 5 8 2 10i ä 4 2 b 1 (a 2 5)i 5 8 2 10i 
Igualando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos:
 ▪ 4 2 b 5 8 ä b 5 24
 ▪ a 2 5 5 210 ä a 5 25
Portanto: a 5 25 e b 5 24
Página 651 – Exercícios propostos
28. a) 2(23 1 4i) ? (2 1 3i) 2 (4 1 7i) ? (2 1 8i) 5 
5 2(26 2 9i 1 8i 2 12) 2 (8 1 32i 1 14i 2 56) 5 
5 66 2 45i
b) (3 2 i) ? (9 2 5i) ? (3i) ? (25i) 5 (22 2 24i) ? (15) 5 330 2 360i
c) ( 1 __ 2 1 3 ___ 4 i ) ? ( 2 __ 3 2 8 ___ 6 i ) 1 ( 7 ____ 12 2 2i ) ? ( 2 16 ____ 5 1 14 ____ 7 i ) 5 
5 ( 16 2 2i ___________ 12 ) 1 ( 128 1 454i ________________ 60 ) 5 52 1 116i _____________ 15 5 52 ____ 15 1 116 _____ 15 i
d) (4 1 2i)3 1 (25 2 3i)2 1 7i ? (23 2 i) 5 
5 (12 1 16i) ? (4 1 2i) 1 (16 1 30i) 2 21i 1 7 5 
5 16 1 88i 1 16 1 30i 2 21i 1 7 5 39 1 97i
29. a) z ? w 5 ( (2y 1 3) 1 (2y 2 2)i ) ? (y 1 3i) 5
5 2y2 1 6y 1 6 1 4yi 1 9i 2 y 2 i
b) Para a parte real ser maior do que ou igual à parte imaginária, 
devemos ter:
2y2 1 6y 1 6 > 4y 1 9 2 y2 ä 3y2 1 2y 2 3 > 0
Primeiro, determinamos as raízes de 3y2 1 2y 2 3 5 0:
y 5 22 ± 
dXXXXXXX 4 1 36 ____________________ 6 5 
22 ± dXXX 40 ______________ 6 5 
21 ± dXXX 10 ______________ 3 ä 
ä y 5 21 2 
dXXX 10 ______________ 3 ou y 5 
21 1 dXXX 10 ______________ 3 
Analisando os sinais da equação, temos 3y2 1 2y 2 3 > 0 
para y < 21 2 
dXXX 10 ______________ 3 ou y > 
21 1 dXXX 10 ______________ 3 .
Portanto: S 5 qy [ R | y < 21 2 dXXX 10 ______________ 3 ou y > 
21 1 dXXX 10 ______________ 3 w
30. Efetuando, temos:
z 5 (5 1 3i) ? [(2m 110) 1 3i] 5 (10m 1 50 2 9) 1 
1 (6m 1 30 1 15)i 5 (10m 1 41) 1 (6m 1 45)i
a) Para que z seja um número imaginário puro, a parte real deve 
ser nula e a parte imaginária diferente de zero. Então: 
 ▪ 10m 1 41 5 0 ä m 5 24,1
 ▪ 6m 1 45 Þ 0 ä m Þ 27,5
Portanto: m 5 24,1 
b) Para que z seja um número real, a parte imaginária deve ser 
igual a zero. Então:
6m 1 45 5 0 ä m 5 27,5
Portanto: m 5 27,5
31. a) ( dXX 2 2 dXX 3 i ) 2 5 2 2 2 dXX 6 i 2 3 5 21 2 2 dXX 6 i
b) ( 1 __ 3 2 6i )  2 5 1 ___ 9 2 4i 2 36 5 2 323 ______ 9 2 4i
c) (25 1 2i) 3 5 (21 2 20i) ? (2 5 1 2i) 5 265 1 142i
d) ( 1 __ 2 1 i ) 
 3
 5 ( 2 3 ___ 4 1 i ) ? ( 1 __ 2 1 i ) 5 2 11 ____ 8 2 1 ___ 4 i
32. Sejam z 5 a 1 bi e 
__
 z 5 a 2 bi. Então, temos:
qz 1 
__
 z 5 4b 
z ? 
__
 z 5 25
 ä qa 1 bi 1 a 2 bi 5 4b(a 1 bi)(a 2 bi) 5 25
 ä q2a 5 4b a 2 1 b 2 5 25
Da primeira equação, temos:
2a 5 4b ä a 5 2b
Então, substituindo na segunda equação, temos:
a2 1 b2 5 25 ä ( 2b ) 2 1 b2 5 25 ä 5b2 5 25 ä b 5 dXX 5 ou 
b 5 2 dXX 5 
Logo: a 5 2 dXX 5 ou a 5 22 dXX 5 
Portanto: z 5 2 dXX 5 1 dXX 5 i ou z 5 22 dXX 5 2 dXX 5 i
Página 652 – Exercícios propostos
33. a) 14 1 2i ___________ 
21 2 i 5 ( 14 1 2i ___________ 21 2 i ) ? ( 21 1 i __________ 21 1 i ) 5 2 16 1 12i ________________ 2 5 28 1 6i
b) 
(4 1 2i)2
 _____________ 2 1 4i 5 ( 12 1 16i ____________ 2 1 4i ) ? ( 2 2 4i _________ 2 2 4i ) 5 88 2 16i_____________ 20 5 22 2 4i ___________ 5 5
5 22 ____ 5 2 
4 ___ 5 i
c) 6 1 7i _________ 6 2 7i 5 ( 6 1 7i _________ 6 2 7i ) ? ( 6 1 7i _________ 6 1 7i ) 5 2 13 1 84i ________________ 85 5 2 13 ____ 85 1 84 ____ 85 i
d) 3 _________ 4 1 2i 5 ( 3 _________ 4 1 2i ) ? ( 4 2 2i _________ 4 2 2i ) = ( 12 2 6i ___________ 20 ) 5 3 __ 5 2 3 ____ 10 i
e) 7i _______ 1 2 i 5 ( 7i _______ 1 2 i ) ? ( 1 1 i _______ 1 1 i ) 5 27 1 7i ____________ 2 5 2 7 __ 2 1 7 __ 2 i
f) 9 ___ 4i 5 
9 ___ 4i ? ( 24i ______ 24i ) 5 236i ________ 16 5 2 9 ___ 4 i
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 58 7/28/15 2:20 PM
59
34. Primeiro, escrevemos z na forma a 1 bi:
z 5 16 1 5i ___________ 3i 5 ( 16 1 5i ___________ 3i ) ? ( 23i ______ 23i ) 5 15 2 48i _____________ 9 5 5 __ 3 2 16 ____ 3  i
Portanto: 
__
 z 5 5 __ 3 1 
16 ____ 3 i
35. Se z 5 i _________ 1 2 3i  , então z
2 é:
z2 5 i _________ 1 2 3i ? 
i _________ 1 2 3i 5 
i2 _________________ 1 2 6i 1 9i2 5 
21 ____________ 
28 2 6i 5 
5 ( 21 ____________ 28 2 6i ) ? ( 28 1 6i _____________ 28 1 6i ) 5 8 2 6i _________ 100 5 4 2 3i _________ 50 5 2 ____ 25 2 3 ____ 50  i
Portanto: z2 5 2 ____ 25 2 
3 ____ 50 i
36. a) (3 1 4i)i 2 (13 1 5i) ? (213 1 2i) 5 3i 2 4 1 169 1 
1 10 2 26i 1 65i 5 175 1 42i
b) 
(22 1 2i)2 1 ( dXX 3 1 dXX 3 i ) 2
 ___________________________________ 
 dXX 2 i
 5 28i 1 6i _____________ 
 dXX 2 i
 5 22i ______ 
 dXX 2 i
 5 22 _____ 
 dXX 2 
 ? 
dXX 2 ____ 
 dXX 2 
 5
 5 2 dXX 2 
c) 
(3 2 i) ? (2 1 i) 1 (5 2 i)
 __________________________________ 
2i 5 
12 ____ 
2i 5 
12 ____ 
2i ? 
i __ i 5 12i
37. Se z 5 4 2 i, então 
__
 z 5 4 1 i. Então, substituindo os valores na 
equação, temos:
 2z
2
 _____ 
__
 z 5 
2 ? ( 4 2 i ) 2 _______________ 4 1 i 5 
30 2 16i _____________ 4 1 i 
Efetuando a divisão do numerador pelo denominador, obtemos:
 ( 30 2 16i _____________ 4 1 i ) ? ( 4 2 i ________ 4 2 i ) 5 104 2 94i _______________ 17 
Portanto: 2z
2
 _____ 
__
 z 5 
104 ______ 17 2 
94 ____ 17 i
38. a) 1 __ z 5 
1 _________ 5 1 6i 5 ( 1 _________ 5 1 6i ) ? ( 5 2 6i _________ 5 2 6i ) 5 5 2 6i _________ 61 
Portanto, o inverso de z é: 5 ____ 61 2 
6 ____ 61 i
b) 1 __ z 5 
3 _______ 2 1 i 5 ( 3 _______ 2 1 i ) ? ( 2 2 i _______ 2 2 i ) 5 6 2 3i _________ 5 
Portanto, o inverso de z é: 6 ___ 5 2 
3 __ 5 i
c) 1 __ z 5 
21 _________ 2 1 7i 5 ( 21 _________ 2 1 7i ) ? ( 2 2 7i _________ 2 2 7i ) 5 7i 2 2 _________ 53 
Portanto, o inverso de z é: 2 2 ____ 53 1 
7 ____ 53 i
d) 1 __ z 5 
3 _____ 16i 5 ( 3 _____ 16i ) ? ( 216i ________ 216i ) 5 2 3i ____ 16 
 Portanto, o inverso de z é: 2 
3i
 ____ 16 
39. Desenvolvendo a equação, temos:
22 1 dXX 3 i 2 a ___________ 
1 2 dXX 3 i
 5 b ä 
ä ( 22 1 dXX 3 i ) ? ( 1 2 dXX 3 i ) 2 a 5 b ? ( 1 2 dXX 3 i ) ä 
ä 22 1 2 dXX 3 i 1 dXX 3 i 2 3i2 2 a 5 b 2 b dXX 3 i ä
ä 1 2 a 1 3 dXX 3 i 5 b 2 b dXX 3 i 
Obtemos o seguinte sistema: q1 2 a 5 b
3 dXX 3 5 2b dXX 3 
 
Da segunda equação, temos:
3 dXX 3 5 2b dXX 3 ä b 5 23
Substituindo b da primeira equação, obtemos: 
1 2 a 5 b ä 1 2 a 5 23 ä a 5 4
Portanto: a 5 4 e b 5 23
40. Desenvolvendo, temos:
z 5 
3
 __ 
i
 1 
4
 _________ 
1 2 3i
 2 
a
 _________ 
4 1 2i
 5 30 2 30i 1 16i 2 8 2 ai 2 3a __________________________________________ 10 1 10i 5 
5 
22 2 3a 1 (214 2 a)i
 __________________________ 
10(1 2 i)
 ? 
(1 2 i)
 _________ 
(1 2 i)
 5 28 2 4a 2 36i 1 2ai ______________________________ 20 5 
5 28 2 4a _____________ 20 1 
(2a 2 36)i
 ______________ 20 
Para que z seja um número real, a parte imaginária deve ser 
igual a zero, então: 
 
(2a 2 36)i
 _______________ 20 5 0 ä 2a 2 36 5 0 ä a 5 18
41. Efetuando a divisão do numerador pelo denominador de z, 
obtemos:
z 5 ( x 1 3i _________ x 2 2i ) ? ( x 1 2i _________ x 1 2i ) 5 x
2 2 6 _________ x2 1 4 1 
5xi _________ x2 1 4 
Para que a parte real seja negativa, temos:
 x
2 2 6 _________ x2 1 4 , 0 ä x
2 2 6 , 0 (pois x2 1 4 . 0 para todo x real)
Então, temos:
x2 2 6 5 0 ä x 5 dXX 6 ou x 5 2 dXX 6 
Assim, se x2 2 6 , 0, então 2 dXX 6 , x , dXX 6 .
Portanto, para 2 dXX 6 , x , dXX 6 , z tem a parte real negativa.
42. a) 
 (a 1 bi) 
 ____________ 
2 1 i
 5 
  38 2 8i 
 ____________ 
5
 ä 5a 1 5bi 5 76 1 38i 216i 2 8i2 ä 
ä 5a 1 5bi 5 84 1 22i 
Obtemos o seguinte sistema: q5a 5 84
5b 5 22
 
Da primeira equação, temos: 5a 5 84 ä a 5 84 ____ 5 
Da segunda equação, temos: 5b 5 22 ä b 5 22 ____ 5 
Portanto: a 5 84 ____ 5 e b 5 
22 ____ 5 
b) (7 1 3i ) ? (a 1 bi) 5 58 ä 7a 2 3b 1 (3a 1 7b)i 5 58
Obtemos o seguinte sistema: q7a 2 3b 5 58
3a 1 7b 5 0
 
Multiplicando por 7 a primeira equação, por 3 a segunda e 
adicionando membro a membro as equações obtidas, temos:
58a 5 406 ä a 5 7
Substituindo em uma das equações o valor de a, temos:
3a 1 7b 5 0 ä 21 1 7b 5 0 ä b 5 23 
Portanto: a 5 7 e b 5 23 
c) (a 1 bi ) 2 5 32 1 24 i ä a2 2 b2 12bai 5 32 1 24i 
 Obtemos o seguinte sistema: qa
2 2 b2 5 32
2ba 5 24
 
Da segunda equação, temos: 
2ba 5 24 ä b 5 12 ____ a 
Substituindo na primeira equação, temos: 
a2 2 b2 5 32 ä a2 2 ( 12 ____ a ) 
2
 5 32 ä a4 2 144 5 32a2 ä 
ä a4 2 32a2 2 144 5 0
Fatorando a equação, obtemos:
a4 2 32a2 2 144 5 0 ä (a2 2 36) ? (a2 1 4) 5 0 ä a2 2 36 5 0 
ou a2 1 4 5 0
 ▪ a2 2 36 ä a2 5 36 ä x 5 26 ou x 5 6
 ▪ a2 1 4 5 0 ä a2 5 24 (não convém, pois a é um número real)
Então, a 5 6 ou a 5 26. Assim, para b, temos:
 ▪ Se a 5 6, então b 5 12 ____ a ä b 5 2 
 ▪ Se a 5 26, então b 5 12 ____ a ä b 5 22
Portanto, se a 5 6, então b 5 2, e se a 5 26, então b 5 22.
Páginas 653 – Para refletir
A adição de quatro potências de i, com expoentes de números 
naturais consecutivos, equivale a:
1 1 i 1 (21) 1 (2i) 5 0 
Portanto, o resultado sempre será 0, para qualquer valor de n.
Páginas 653 – Exercícios propostos
44. Devemos dividir o expoente da unidade imaginária por quatro, 
e o resto dessa divisão é o expoente equivalente dessa unidade 
imaginária. 
a) Dividindo 50 por 4, obtemos resto 2. 
Portanto: i50 5 i2 5 21
b) Dividindo 152 por 4, obtemos resto 0. 
Portanto: (2i)152 5 i152 5 i0 5 1
c) Dividindo 1 000 por 4, obtemos resto 0. 
Portanto: i1 000 5 i0 5 1
d) Dividindo 17 por 4, obtemos resto 1.
Portanto: i17 5 i1 5 i
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 59 7/28/15 2:20 PM
60
e) Dividindo 196 por 4, obtemos resto 0. 
Portanto: i196 5 i0 5 1
f) Dividindo 147 por 4, obtemos resto 3. 
Portanto: i147 5 i3 5 2i
g) Dividindo 120 por 4, obtemos resto 0. 
Portanto: i120 5 i0 5 1
h) Dividindo 76 por 4, obtemos resto 0. 
Portanto: i76 5 i0 5 1
i) Dividindo 30 por 4, obtemos resto 2. 
Portanto: i30 5 i2 5 21
45. Escrevemos a unidade imaginária com expoentes equivalentes 
e, em seguida, efetuamos as operações necessárias.
a) 6 1 i
11
 _________ 3 1 i19 5 
6 2 i ________ 3 2 i 5 
19 1 3i ___________ 10 
b) 23 1 i
13
 ____________ 4 1 i21 5 
23 1 i __________ 4 1 i 5 
2 11 1 7i ______________ 17 
c) i
73 1 i56 ___________ 
2 1 i18
 5 i 1 1 ________ 2 2 1 5 i 1 1
d) i
46 1 i11 __________ i17 2 5 5 
21 2 i __________ i 2 5 5 
4 1 6i _________ 26 5 
2 1 3i _________ 13 
e) 
(23i)5 2 9
 _______________ 
i96
 5 2243i 2 9 _______________ 1 5 2243i 2 9
f) 
(22i)10 1 4
 ________________ i44 5 21 020
Página 655 – Exercícios propostos
47. a) r 5 dXXXXXXX 22 1 32 5 dXXX 13 
1
2
3
Im
1 2 3 Re
b) r 5 dXXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 ( 2 dXX 3 ) 2 5 dXX 4 5 2
1
Im
21
22
1 2 Re2122
c) r 5 dXXXXXXXXXX42 1 ( 2 3 __ 2 ) 
2
 5 dXXXXXXX 16 1 9 ___ 4 5 d
XXX
 73 ____ 4 5 
 dXXX 73 ______ 2 
1
Im
21
22
1 2 3 4 Re21
d) r 5 dXX 3 2 5 3 
1
Im
21
1 2 3 4 Re21
48. Se z 5 4 1 xi, então r 5 dXXXXXXX 16 1 x2 . Assim, temos:
 dXXXXXXX 16 1 x2 5 dXXX 20 ä x2 1 16 5 20 ä x2 5 4 ä x 5 2 ou x 5 22
Portanto, para x 5 2 ou x 5 22, o módulo de z é igual a dXXX 20 .
49. O módulo de z é:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXXXX ( dXX 3 ____ 2 ) 
2
 1 ( 1 __ 2 ) 
2
 5 1
O argumento de z pode ser determinado por:
u
sen £ 5 
 1 __ 2 __ 1 5 
1 __ 2 
cos £ 5 
 
dXX 3 ____ 2 ____ 1 5 
 dXX 3 ____ 2 
 ä £ 5 308 ou £ 5 p ___ 6 
Como 
__
 z 5 
dXX 3 ____ 2 2 
1 __ 2 i, temos 
 
__
 z  5 1.
O argumento de 
__
 z pode ser determinado por:
 
 sen £ 5 
2 
1 __ 2 _____ 1 5 
21 _____ 2 
cos £ 5 
 
dXX 3 ____ 2 ____ 1 5 
 dXX 3 ____ 2 
u ä £ 5 3308 ou £ 5 
11p ______ 6 
Portanto, o módulo de z é 1 e seu argumento 308; o módulo de 
 
__
 z é 1 e seu argumento 3308.
Página 656 – Exercícios propostos
50. a) Para representar o número complexo z na forma trigonométrica 
e na forma geométrica, podemos seguir os seguintes passos:
 ▪ Determinamos o módulo de z:
r 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 2 5 dXX 2 ______ 2 ) 
2
 1 ( 2 5 dXX 2 ______ 2 ) 
2
 5 dXXX 25 5 5
 ▪ Determinamos o argumento de z:
e
sen £ 5 2 
dXX 2 ____ 2 
cos £ 5 2 
dXX 2 ____ 2 
 
ä £ 5 2258 ou £ 5 5p _____ 4 
 ▪ Representação trigonométrica do número complexo z:
z 5 r ? ( cos £ 1 i ? sen £ ) ä z 5 5 ? hcos ( 5p _____ 4 ) 1 sen ( 5p _____ 4 ) ij
 ▪ Representação geométrica do número complexo z:
1
2
Im
21
22
23
24
1 Re
5p
4
21222324
b) Para representar o número complexo z na forma trigonométrica 
e na forma geométrica, podemos seguir os seguintes passos:
 ▪ Determinamos o módulo de z:
r 5 dXXXXXXXXXXXXX ( 2 1 __ 2 ) 
2
 1 ( dXX 3 ____ 2 ) 
2
 5 1
 ▪ Determinamos o argumento de z:
e
sen £ 5 
dXX 3 ____ 2 
cos £ 5 2 1 __ 2 
ä £ 5 1208 ou £ 5 2p _____ 3 
 ▪ Representação trigonométrica do número complexo z:
z 5 r ? ( cos £ 1 i ? sen £ ) ä z 5 1 ? hcos ( 2p _____ 3 ) 1 sen ( 2p _____ 3 ) i j
 ▪ Representação geométrica do número complexo z:
1
2
Im
21
1 2 Re2122
2p
3
c) Para representar o número complexo z na forma trigonométrica 
e na forma geométrica, podemos seguir os seguintes passos:
 ▪ Determinamos o módulo de z:
r 5 dXXXXXXXXXXXXXXXX ( 3 dXX 2 ) 2 1 ( 23 dXX 2 ) 2 5 6
 ▪ Determinamos o argumento de z:
e
sen £ 5 2 
dXX 2 ____ 2 
cos £ 5 
dXX 2 ____ 2 
ä £ 5 3158 ou £ 5 7p _____ 4 
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 60 7/28/15 2:20 PM
61
 ▪ Representação trigonométrica do número complexo z:
z 5 r ? ( cos £ 1 i ? sen £ ) ä z 5 6 ? hcos ( 7p _____ 4 ) 1 sen ( 7p _____ 4 ) i j
 ▪ Representação geométrica do número complexo z:
 
1
2
Im
21
22
23
24
1 2 3 4 Re21
7p
4
d) Para representar o número complexo z na forma trigonométrica 
e na forma geométrica, podemos seguir os seguintes passos:
 ▪ Determinamos o módulo de z:
r 5 dXX 7 2 5 7
 ▪ Determinamos o argumento de z:
qsen £ 5 0
cos £ 5 21
ä £ 5 1808 ou £ 5 p
 ▪ Representação trigonométrica do número complexo z:
z 5 r ? ( cos £ 1 i ? sen £ ) ä z 5 7 ? (cos p 1 i ? sen p)
 ▪ Representação geométrica do número complexo z:
1
2
Im
21
1 Re21222324252627
p
e) Para representar o número complexo z na forma trigonométrica 
e na forma geométrica, podemos seguir os seguintes passos:
 ▪ Determinamos o módulo de z:
r 5 dXXXXXX ( 2 3 2 ) 5 3
 ▪ Determinamos o argumento de z:
qsen £ 5 21
cos £ 5 0
ä £ 5 2708 ou £ 5 3p _____ 2 
 ▪ Representação trigonométrica do número complexo z:
z 5 r ? ( cos £ 1 i ? sen £ ) ä z 5 3 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 sen ( 3p _____ 2 ) i j
 ▪ Representação geométrica do número complexo z: 
1
2
Im
21
22
23
1 2 Re2122
3p
2
f) Para representar o número complexo z na forma trigonométrica 
e na forma geométrica, podemos seguir os seguintes passos:
 ▪ Determinamos o módulo de z:
r 5 dXXXXXXXXXXXX ( dXX 3 ) 2 1 (21) 2 5 2
 ▪ Determinamos o argumento de z:
e
sen £ 5 2 1 __ 2 
cos £ 5 
dXX 3 ____ 2 
ä £ 5 3008 ou £ 5 11p ______ 6 
 ▪ Representação trigonométrica do número complexo z:
  z 5 r ? ( cos £ 1 i ? sen £ ) ä 
ä z 5 2 ? hcos ( 11p ______ 6 ) 1 sen ( 11p ______ 6 ) i j
 ▪ Representação geométrica do número complexo z:
1
2
Im
21
22
1 2 3 Re2122
11p
6
51. Para reescrever cada número em sua forma, basta substituir os 
valores de senos e cossenos pelos seus valores numéricos.
a) z 5 4 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 5 4 ? (0 2 i) 5 24i
1
Im
21
22
23
24
1 2 Re2122
b) z 5 6 ? hcos ( 5p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 4 ) j 5 6 ? ( 2 dXX 2 ____ 2 2 dXX 2 ____ 2 i ) 5 
5 23 dXX 2 2 3 dXX 2 i
1
Im
21
22
23
24
25
1 2 Re2122232425
c) z 5 2 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j 5 2 ? ( 1 __ 2 1 dXX 3 ____ 2 i ) 5 1 1 dXX 3 i
1
2
3
Im
21
22
1 2 3 Re2122
Página 660 – Exercícios propostos
56. a) Primeiro, é necessário escrever o número complexo na forma 
trigonométrica, determinando o módulo r e o argumento u. 
  z  5 dXXXXXXXXXXXXX ( dXX 3 ) 2 1 ( 21 ) 2 5 2
sen £ 5 2 1 __ 2 e cos u 5 
 dXX 3 
 ____ 
2
 ä u 5 11p ______ 6 
Assim: z 5 2 ? hcos ( 11p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 11p ______ 6 ) j 
  w  5 dXXXXXXXXXXXXXX ( 22 dXX 3 ) 2 1 ( 2 ) 2 5 4
sen £ 5 1 __ 2 e cos u 5 2 
 dXX 3 
 ____ 
2
 ä u 5 5p _____ 6 
Assim: w 5 4 ? hcos ( 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 ) j
Portanto, temos:
z ? w 5 8 ? hcos ( 8p _____ 3 ) 1 i ? sen ( 8p _____ 3 ) j
 z ___ w 5 
1 __ 2 ? [ cos ( p ) 1 i ? sen (p) ] 
b) Primeiro, é necessário escrever o número complexo na forma 
trigonométrica, determinando o módulo r e o argumento u. 
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 61 7/28/15 2:20 PM
62
|z| 5 dXXXXXXXXXXXXXX ( 5 dXX 2 ______ 2 ) 
2
 1 ( 5 dXX 2 ______ 2 ) 
2
 5 5
sen £ 5 
dXX 2 ____ 2 e cos u 5 
 dXX 2 ____ 2 ä £ 5 
p ___ 4 
Assim: z 5 5 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j
|w| 5 dXXXXXXXXXXXXXXXX ( 26 dXX 2 _________ 2 ) 
2
 1 ( 6 dXX 2 ______ 2 ) 
2
 5 6
sen £ 5 
dXX 2 ____ 2 e cos u 5 2 
 dXX 2 ____ 2 ä u 5 
3p
 _____ 4 
Assim: w 5 6 ? hcos ( 3p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 4 ) j
Portanto, temos:
z ? w 5 30 ? [ cos (p) 1 i ? sen (p) ] 
 z ___ w 5 
5 ___ 6 ? hcos ( 2 
p
 ___ 2 ) 1 i ? sen ( 2 p ___ 2 ) j
57. Analisando os valores de cosseno e seno, temos:
z 5 23 ? hcos ( 11p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 
11p
 ______ 
6
 ) j 5 23 ? h ( dXX 3 ____ 2 ) 1 i ? ( 2 1 __ 2 ) j 5 
5 2 
3 dXX 3 
 ______ 2 1 
3
 __ 2  i
Assim, 
__
 z 5 2 
3 dXX 3 
 ______ 2 2 
3
 __ 2 i.
Representando esses números geometricamente, temos:
1
2
Im
21
22
1 2 Re212223
z
z
58. a) h13 ? ( cos ( p ___ 7 ) 1 i ? sen ( 
p
 ___ 
7
 ) ) j ? h22 ? ( cos ( 6p _____ 7 ) 1 i ? sen ( 6p _____ 7 ) ) j 5 
 5 22 ? 13 ? hcos ( p ___ 7 1 6p _____ 7 ) 1 i ? sen ( p ___ 7 1 6p _____ 7 ) j 5
5 226 ? (cos p 1 i ? sen p) 5 26
Portanto, a forma algébrica desse produto é 26.
b) h dXX 3 ? ( cos ( 3p _____ 8 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 8 ) ) j ? h 1 __ 2 ? ( cos ( p ___ 8 ) 1 i ? sen ( p ___ 8 ) ) j 5 
5 1 __ 2 ? 
dXX 3 ? hcos ( 3p _____ 8 1 p ___ 8 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 8 1 p ___ 8 ) j 5
5 
dXX 3 ____ 2 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j 5 
 dXX 3 
 ____ 2 i
Portanto,a forma algébrica desse produto é 
dXX 3 ____ 2 i.
c) h23 ? ( cos ( 2p ____ 3 ) 1 i ? sen ( 2p ____ 3 ) ) j ? h dXX 2 ? ( cos ( p ___ 6 ) 1 i ? sen ( 
p
 ___ 
6
 ) ) j 5 
5 23 ? dXX 2 ? hcos ( 2p ____ 3 1 p ___ 6 ) 1 i ? sen ( 2p ____ 3 1 p ___ 6 ) j
5 23 dXX 2 ? hcos ( 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 ) j 5 3 dXX 6 ______ 2 2 3 dXX 2 ______ 2 i
Portanto, a forma algébrica desse produto é  3 
dXX 6 ______ 2 2 
3 dXX 2 ______ 2  i.
59. Primeiro, escrevemos o número complexo z 5 1 1 dXX 3 i na forma 
trigonométrica, determinando o módulo r e o argumento u. Em 
seguida, utilizando a primeira fórmula de De Moivre, vamos ter: 
|z| 5 dXXXXXXXX 12 1 dXX 3 2 5 2
sen £ 5 
dXX 3 ____ 2 e cos u 5 
1 __ 2 ä u 5 
p ___ 3 
Assim: z 5 2 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j 
Calculando z8, obtemos:
z8 5 28 ? hcos ( 8p _____ 3 ) 1 i ? sen ( 8p _____ 3 ) j 5 256
Portanto, o módulo do número complexo é z8 é 256, e o argu-
mento, 8p _____ 3 .
60. Primeiro, é necessário escrever o número complexo na forma tri-
gonométrica, determinando o módulo r e o argumento u. Em se-
guida, utilizando a segunda fórmula de De Moivre, temos: 
r 5 dXXXXXXX 02 1 42 5 4
sen £ 5 4 ___ 4 5 1 e cos u 5 
0 ___ 4 5 0 ä u 5 
p ___ 2 
Assim: z 5 4 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j 
Em seguida, determinamos z0 e z1, que são as raízes quadradas de z.
zk 5 
n dXX r ? cos h ( £ __ n 1 2kp ______ n ) 1 i ? sen ( £ __ n 1 2kp ______ n ) j 
Sendo n 5 2, então:
 ▪ Para k 5 0, temos: 
z0 5 dXX 4 ? 
Hcos ( 
p ___ 2 ___ 2 1 
2 ? 0 ? p ____________ 2 ) 1 i ? sen ( 
p ___ 2 ___ 2 1 
2 ? 0 ? p ____________ 2 ) J 5 
5 2 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j 5 dXX 2 1 dXX 2 i
 ▪ Para k 5 1, temos: 
 z1 5 dXX 4 ? Hcos ( 
p ___ 2 ___ 2 1 
2 ? 1 ? p ___________ 2 ) 1 i ? sen ( 
p ___ 2 ___ 2 1 
2 ? 1 ? p ___________ 2 ) J 5
 5 2 ? hcos ( 5p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 4 ) j 5 2 dXX 2 2 dXX 2 i
Portanto, as raízes quadradas de z são: z0 5 dXX 2 1 dXX 2 i e 
 z1 5 2 dXX 2 2 dXX 2 i
61. a) Primeiro, escrevemos o número z 5 1, na forma trigonométrica:
r 5 dXXXXXXX 12 1 02 5 1
sen £ 5 0 e cos u 5 1 ä u 5 0
Assim: z 5 1 ? [cos 0 1 i ? sen 0]
Em seguida, determinamos z0, z1, z2 e z3, que são as raízes 
quartas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
4 dXX r ? hcos ( £ ___ 4 1 2kp ______ 4 ) 1 i ? sen ( £ ___ 4 1 2kp ______ 4 ) j
 ▪ Para k 5 0, temos:
z0 5 
4
 dXX 1 ? hcos ( 0 ___ 4 1 2 ? 0 ? p ____________ 4 ) 1 i ? sen ( 0 ___ 4 1 2 ? 0 ? p ____________ 4 ) j 5
 5 1 ? ( cos 0 1 i ? sen 0 ) 5 1
 ▪ Para k 5 1, temos: 
 ▪ z1 5 
4
 dXX 1 ? hcos ( 0 ___ 4 1 2 ? 1 ? p ___________ 4 ) 1 i ? sen ( 0 ___ 4 1 2 ? 1 ? p ___________ 4 ) j 5 
5 1 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j 5 i
 ▪ Para k 5 2, temos: 
z2 5 
4
 dXX 1 ? hcos ( 0 ___ 4 1 2 ? 2 ? p ___________ 4 ) 1 i ? sen ( 0 ___ 4 1 2 ? 2 ? p ___________ 4 ) j 5 
5 1 ? hcos ( p ) 1 i ? sen ( p ) j 5 21
 ▪ Para k 5 3, temos: 
z3 5 
4
 dXX 1 ? hcos ( 0 ___ 4 1 2 ? 3 ? p ___________ 4 ) 1 i ? sen ( 0 ___ 4 1 2 ? 3 ? p ___________ 4 ) j 5 
5 1 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 5 2i
Geometricamente, as imagens dessas raízes são os vértices 
de um losango inscrito em uma circunferência de centro na 
origem do plano de Argand-Gauss e raio unitário, como re- 
presentado abaixo. 
1
1
21
21
z0
z1
z2
z3
Re
Im
b) Primeiro, escrevemos o número z 5 i na forma trigonométrica:
r 5 dXXXXXXX 02 1 12 5 1
sen £ 5 1 e cos u 5 0 ä u 5 p ___ 2 
Assim: z 5 1 ? hcos p ___ 2 1 i ? sen 
p ___ 2 j 
Em seguida, determinamos z0, z1 e z2, que são as raízes cúbi-
cas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
3 dXX r ? hcos ( £ __ 3 1 2kp ______ 3 ) 1 i ? sen ( £ __ 3 1 2kp ______ 3 ) j
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 62 7/28/15 2:20 PM
63
 ▪ Para k 5 0, temos: 
 z0 5 
3
 dXX 1 ? Hcos ( 
p ___ 2 ___ 3 1 
2 ? 0 ? p ____________ 3 ) 1 i ? sen ( 
p ___ 2 ___ 3 1 
2 ? 0 ? p ____________ 3 ) J 5 
5 1 ? hcos ( p ___ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 6 ) j 5 
dXX 3 ____ 2 1 
1 __ 2 i
 ▪ Para k 5 1, temos: 
 z1 5 
3
 dXX 1 ? Hcos ( 
p ___ 2 ___ 3 1 
2 ? 1 ? p ___________ 3 ) 1 i ? sen ( 
p ___ 2 ___ 3 1 
2 ? 1 ? p ___________ 3 ) J 5 
 5 1 ? hcos ( 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 ) j 5 2 dXX 3 ____ 2 1 1 __ 2 i 
 ▪ Para k 5 2, temos: 
 z25 
3
 dXX 1 ? Hcos ( 
p ___ 2 ___ 3 1 
2 ? 2 ? p ___________ 3 ) 1 i ? sen ( 
p ___ 2 ___ 3 1 
2 ? 2 ? p ___________ 3 ) J 5 
 5 1 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 5 0 2 1i 5 2i 
Geometricamente, as imagens dessas raízes são os vértices de 
um triângulo inscrito em uma circunferência de centro na ori-
gem do plano de Argand-Gauss e raio unitário, como represen-
tado abaixo.
1
1
21
21
z0z1
z2
Re
Im
c) Primeiro, escrevemos o número z 5 264, na forma trigono-
métrica: r 5 dXXXXX (64)2 5 64
sen £ 5 0 e cos u 5 21 ä u 5 p
Assim: z 5 64 ? (cos p1 i ? sen p)
Em seguida, determinamos z0, z1 e z2, que são as raízes cúbi-
cas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
3 dXX r ? hcos ( £ __ 3 1 2kp ______ 3 ) 1 i ? sen ( £ __ 3 1 2kp ______ 3 ) j
 ▪ Para k 5 0, temos: 
z0 5 
3
 dXXX 64 ? hcos ( p ___ 3 1 2 ? 0 ? p ____________ 3 )  1 i ? sen ( p ___ 3 1 2 ? 0 ? p ____________ 3 ) j 5 
5 4 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j 5 4 ? ( 1 __ 2 1 dXX 3 ____ 2 i ) 5 2 1 2 dXX 3 i
 ▪ Para k 5 1, temos: 
z1 5 
3
 dXXX 64 ? hcos ( p ___ 3 1 2 ? 1 ? p ___________ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 1 2 ? 1 ? p ___________ 3 ) j 5 
5 4 ? (cos p 1 i ? sen p) 5 24
 ▪ Para k 5 2, temos:
z2 5 
3
 dXXX 64 ? hcos ( p ___ 3 1 2 ? 2 ? p ___________ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 1 2 ? 2 ? p ___________ 3 ) j 5 
5 4 ? hcos ( 5p _____ 3 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 3 ) j 5 4 ( 1 __ 2 2 dXX 3 ____ 2 i ) 5 2 2 2 dXX 3 i
Geometricamente, as imagens dessas raízes são os vértices 
de um triângulo inscrito em uma circunferência de centro na 
origem do plano de Argand-Gauss e raio medindo 4, como re-
presentado abaixo.
1
2
3
4
y
z0
z1
z2
21
22
23
24
1 2 3 4 x21222324
62. Sendo z1 5 2 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j, 
z2 5 23 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j e 
z3 5 2 dXX 3 ? hcos ( 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 ) j, temos:
a) z1 ? z2 5 2 ? (23) ? hcos ( p ___ 3 1 p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 1 p ___ 4 ) j 5
5 26 ? hcos ( 7p _____ 12 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 12 ) j
 Portanto: z1 ? z2 5 26 ? hcos ( 7p _____ 12 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 12 ) j
b) z1 ? z2 ? z3 5 2 ? (23) ? (2 dXX 3 ) ? 
 ? hcos ( p ___ 3 1 p ___ 4 1 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 1 p ___ 4 1 5p _____ 6 ) j
Portanto: z1 ? z2 ? z3 5 6 dXX 3 ? hcos ( 17p ______ 12 ) 1 i ? sen ( 17p ______ 12 ) j
c) 
z1 ? z2 ________ z3
 5 
26 ? hcos ( 7p _____ 12 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 12 ) j 
 ____________________________________________ 
2 dXX 3 ? hcos ( 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 ) j
 5 
5 2 dXX 3 ? hcos ( 2 p ___ 4 ) 1 i ? sen ( 2 p ___ 4 ) j
A primeira determinação positiva de 2 p ___ 4 é 
7p
 _____ 4 .
Portanto: 
z1 ? z2 ________ z3
 5 2 dXX 3 ? hcos ( 7p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 4 ) j
d) z1 ? z3 5 2 ? (2 dXX 3 ) ? hcos ( p ___ 3 1 5p _____ 6 ) 1i ? sen ( p ___ 3 1 5p _____ 6 ) j 
Portanto: z1 ? z3 5 22 dXX 3 ? hcos ( 7p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 6 ) j
e) 
z1 ___ z2
 5 2 _____ 
23 ? hcos ( p ___ 3 2 p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 2 p ___ 4 ) j 
Portanto: 
z1 ___ z2
 5 2 2 __ 3 ? hcos ( p ____ 12 ) 1 i ? sen ( p ____ 12 ) j
f) 
z3 ___ z1
 5 2 
dXX 3 _______ 2 ? hcos ( 5p _____ 6 2 p ___ 3 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 2 p ___ 3 ) j
Portanto: 
z3 ___ z1
 5 2 
dXX 3 ____ 2 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j
g) z2 ? z35 (23) ? (2 dXX 3 ) ? hcos ( p ___ 4 1 5p _____ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 1 5p _____ 6 ) j
Portanto: z2 ? z3 5 3 dXX 3 ? hcos ( 13p ______ 12 ) 1 i ? sen ( 13p ______ 12 ) j
h) 
z3 ___ z2
 5 2 
dXX 3 _______ 
23 ? hcos ( 5p _____ 6 2 p ___ 4 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 6 2 p ___ 4 ) j
Portanto: 
z3 ___ z2
 5 
 dXX 3 
 ____ 3 ? hcos ( 7p _____ 12 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 12 ) j
i) 
z2 ? z3 ________ z1
 5 
3 dXX 3 ? hcos ( 13p ______ 12 ) 1 i ? sen ( 13p ______ 12 ) j _______________________________________________ 
2 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j
 
Portanto: 
z2 ? z3 ________ z1
 5 3 
dXX 3 ______ 2 ? hcos ( 3p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 4 ) j
63. Primeiro é necessário escrever o número complexo na forma tri-
gonométrica, determinando o módulo r e o argumento u. Em se-
guida, utilizamos a primeira fórmula de De Moivre: 
a) Se z 5 2i, temos: r 5 dXXXXXXXXXX 02 1 (21)2 5 1
sen £ 5 2 1 __ 1 5 21 e cos u 5 
0 ___ 1 5 0 ä u 5 
3p
 _____ 2 
Assim: z 5 1 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 
Pela primeira fórmula de De Moivre, temos:
(2i)5 5 15 ? hcos ( 15p ______ 2 ) 1 i ? sen ( 15p ______ 2 ) j 5 2i
Portanto: (2i)5 5 2i
b) Se z 5 dXX 3 1 i, temos: r 5 dXXXXXXXXX ( dXX 3 )2 1 12 5 2
sen £ 5 1 __ 2 e cos u 5 
 dXX 3 ____ 2 ä u 5 
p ___ 6 
Assim: z 5 2 ? hcos ( p ___ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 6 ) j
Pela primeira fórmula de De Moivre, temos:
( dXX 3 1 i)10 5 210 ? hcos ( 10p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 10p ______ 6 ) j 5 
5 1 024 ? hcos ( 5p _____ 3 ) 1 i sen ( 5p _____ 3 ) j 5 512 2 512 dXX 3 i
Portanto: ( dXX 3 1 i ) 10 5 512 2 512 dXX 3 i
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 63 7/28/15 2:20 PM
64
c) Se z 5 2 dXX 2 2 dXX 2 i, temos: r 5 dXXXXXXXXXXXX (2 dXX 2 )2 1 (2 dXX 2 )2 5 2
sen £ 5 2 
dXX 2 ____ 2 e cos u 5 2 
 dXX 2 ____ 2 ä u 5 
5p
 _____ 4 
Assim: z 5 2 ? hcos ( 5p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 4 ) j
Pela primeira fórmula de De Moivre, temos:
(2 dXX 2 2 dXX 2 i)8 5 28 ? hcos ( 40p ______ 4 ) 1 i ? sen ( 40p ______ 4 ) j 5 
5 256 ? hcos ( 10p ) 1 i ? sen ( 10p ) j
O arco côngruo a 10p na primeira volta é 0, então:
256 ? (cos 10p 1 i ? sen 10p) 5 256 ? (cos 0 1 i ? sen 0) 5 256
Portanto: ( 2 dXX 2 2 dXX 2 i ) 8 5 256
d) Se z 5 21 2 i, temos: r 5 dXXXXXXXXXXXXX (21)2 1 (21)2 5 dXX 2 
sen £ 5 2 
dXX 2 ____ 2 e cos u 5 2 
 dXX 2 ____ 2 ä u 5 
5p
 _____ 4 
Assim: z 5 dXX 2 ? hcos ( 5p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 4 ) j
Pela primeira fórmula de De Moivre, temos:
(21 2 i)7 5 27 ? hcos ( 35p ______ 4 ) 1 i ? sen ( 35p ______ 4 ) j 
O arco côngruo a 35p ______ 4 na primeira volta é 
3p
 _____ 4 , então:
27 ? hcos ( 35p ______ 4 ) 1 i ? sen ( 35p ______ 4 ) j 5 
5 128 ? hcos ( 3p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 4 ) j 5 128 ? ( 2 dXX 2 ____ 2 1 dXX 2 ____ 2 i ) 5 
5 264 dXX 2 1 64 dXX 2 i 
Portanto: (21 2 i)7 5 264 dXX 2 1 64 dXX 2 i
e) Se z 5 2 dXX 3 i, temos: r 5 dXXXXXXXXXXXX 02 1 (2 dXX 3 )2 5 dXX 3 
sen £ 5 21 e cos u 5 0 ä u 5 3p _____ 2 
Assim: z 5 dXX 3 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j
Pela primeira fórmula de De Moivre, temos:
(2 dXX 3 i)6 5 ( dXX 3 ) 6 ? hcos ( 9p ) 1 i ? sen ( 9p ) j
O arco côngruo a 9p na primeira volta é p, então:
(2 dXX 3 i)6 5 ( dXX 3 ) 6 ? hcos ( 9p ) 1 i ? sen ( 9p ) j 5 
5 27 ? hcos ( p ) 1 i ? sen ( p ) j 5 227
Portanto: ( 2 dXX 3 i ) 6 5 227
f) Se z 5 2 1 2i, temos: r 5 dXXXXXXX 22 1 22 5 2 dXX 2 
sen £ 5 
dXX 2 ____ 2 e cos u 5 
 dXX 2 ____ 2 ä u 5 
p ___ 4 
Assim: z 5 2 dXX 2 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j 
Pela primeira fórmula de De Moivre, temos:
(2 1 2i)4 5 (2 dXX 2 )4 ? [cos ( p ) 1 i ? sen ( p ) ] 5 264
Portanto: (2 1 2i)4 5 264
64. a) Primeiro, escrevemos o número z 5 216 na forma trigono-
métrica: 
r 5 dXXXXXX (216)2 5 16
sen £ 5 0 e cos u 5 21 ä u 5 p
Assim: z 5 16 ? ( cos ( p ) 1 i ? sen ( p ) ) 
Em seguida, determinamos z0 e z1, que são as raízes quadra-
das de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
2 dXX r ? hcos ( £ ___ 2 1 2kp ______ 2 ) 1 i ? sen ( £ ___ 2 1 2kp ______ 2 ) j
 ▪ Para k 5 0, temos: 
z0 5 
 
 dXXX 16 ? hcos ( p ___ 2 1 2 ? 0 ? p ____________ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 1 2 ? 0 ? p ____________ 2 ) j 5 
5 4 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j 5 4 ? ( 0 1 i ) 5 4i
 ▪ Para k 5 1, temos: 
z1 5 
 
 dXXX 16 ? hcos ( p ___ 2 1 2 ? 1 ? p ____________ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 1 2 ? 1 ? p ____________ 2 ) j 5 
5 4 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 5 4 ? ( 0 2 i ) 5 24i
Portanto, as raízes quadradas de z são: 4i e 24i
b) Primeiro, escrevemos o número z 5 227i na forma trigono-
métrica:
r 5 dXXXXXXXXXXX 02 1 (227)2 5 27
sen £ 5 21 e cos u 5 0 ä u 5 3p _____ 2 
Assim: z 5 27 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 
Em seguida, determinamos z0, z1 e z2, que são as raízes cúbi-
cas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
3 dXX r ? hcos ( £ __ 3 1 2kp ______ 3 ) 1 i ? sen ( £ __ 3 1 2kp ______ 3 ) j
 ▪ Para k 5 0, temos: 
z0 5  
3
 dXXX 27  ? Hcos ( 3p _____ 2 _____ 3 1 2 ? 0 ? p ____________ 3 )  1 i ? sen ( 3p _____ 2 _____ 3  1 2 ? 0 ? p ____________ 3 ) J 5 
5 3 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j 5 3 ? ( 0 1 i ) 5 3i
 ▪ Para k 5 1, temos: 
 z1 5 
3
 dXXX 27  ? Hcos ( 3p _____ 2 _____ 3 1 2 ? 1 ? p ____________ 3 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 _____ 3 1 2 ? 1 ? p ____________ 3 ) J 5 
5 3 ? hcos ( 7p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 6 ) j 5 3 ? ( 2 dXX 3 ____ 2 2 1 __ 2 i ) 5 
5 2 
3 dXX 3 
 ______ 2 2 
3 __ 2 i
 ▪ Para k 5 2, temos:             
 z2 5 
3
 dXXX 27 ? 
H
cos ( 3p _____ 2 _____ 3 1 2 ? 2 ? p ____________ 3 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 _____ 3 1 2 ? 2 ? p ____________ 3 ) J 5 
5 3 ? hcos ( 11p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 11p ______ 6 ) j 5 3 ? ( dXX 3 ____ 2 2 1 __ 2 i ) 5 3 dXX 3 ______ 2 2 3 __ 2 i
Portanto, as raízes cúbicas de z são: 3i, 2 
3 dXX 3 
 ______ 2 2 
3 __ 2 i e 
3 dXX 3 
 ______ 2 2 
3 __ 2 i
65. Se w 5 2 ? hcos ( 7p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 4 ) j é uma das raízes quartas do 
complexo z, temos w 4 5 z. 
Então: z 5 w4 5 24 ? (cos 7p 1 i ? sen 7p) 5 
5 16 ? (cos p 1 i ? sen p) 5 216
As raízes quartas de z são dadas pela segunda fórmula de 
De Moivre:
zk 5 
4 dXX r ? hcos ( £ ___ 4 1 2kp ______ 4 ) 1 i ? sen ( £ ___ 4 1 2kp ______ 4 ) j
 ▪ z0 5 2 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j 5 dXX 2 1 dXX 2 i 
 ▪ z1 5 2 ? hcos ( 3p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 4 ) j 5 2 dXX 2 1 dXX 2 i 
 ▪ z2 5 2 ? hcos ( 5p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 5p _____ 4 ) j 5 2 dXX 2 2 dXX 2 i 
 ▪ z3 5 2 ? hcos ( 7p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 4 ) j 5 dXX 2 2 dXX 2 i 
1
2
y
z0z1
z2 z3
21
22
1 2 x2122Portanto, as outras raízes de z são: dXX 2 1 dXX 2 i, 2 dXX 2 1 dXX 2 i, 
2 dXX 2 2 dXX 2 i e dXX 2 2 dXX 2 i.
66. Sejam z1 5 5 1 6i e z2 5 7 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j, escrevendo 
z2 na forma algébrica, temos:
z2 5 7 ? hcos ( p ___ 3 ) 1 i ? sen ( p ___ 3 ) j 5 7 ? ( 1 __ 2 1 i ? dXX 3 ____ 2 ) 5 7 __ 2 1 7 dXX 3 ______ 2 i
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65
Então:
 ▪ 5 1 6i 1 7 __ 2 1 
7 dXX 3 ______ 2 i 5 
17 ____ 2 1 
12 1 7 dXX 3 _____________ 2 i
 ▪ ( 5 1 6i ) ? ( 7 __ 2 1 7 dXX 3 ______ 2 i ) 5 35 2 42 dXX 3 _______________ 2 1 42 1 35 dXX 3 _______________ 2 i
Geometricamente, a parte real e a parte imaginária de z1 1 z2 
são a soma das partes reais e imaginárias de z1 e z2. 
Então, a imagem do número complexo que resulta da soma de 
dois números complexos é um ponto de abscissa igual à soma 
das partes reais dos dois números, e de ordenada igual à soma 
da parte imaginária dos dois números.
Seja o ponto P o afixo de z1 e O a origem do plano complexo, em 
z1 ? z2 há uma rotação positiva do segmento 
____
 OP em um ângulo 
igual ao argumento de z2, de modo que o argumento de z1 ? z2 é a 
soma dos argumentos de z1 e de z2. O módulo de z1 ? z2 é o produto 
dos módulos de z1 e de z2.
Página 661 – Exercícios propostos
69. O ponto P (4, 3) representa o número complexo z1 5 4 1 3i, 
que, para ser rotado, é multiplicado pelo número complexo 
z2 5 1 ? (cos 458 1 i ? sen 458) 5 
 dXX 2 ____ 2 1 
 dXX 2 ____ 2 i.
Então:
z1 ? z2 5 (4 1 3i) ? ( dXX 2 ____ 2 1 dXX 2 ____ 2 i ) 5 dXX 2 ____ 2 1 7 dXX 2 ______ 2 i
Portanto, as novas coordenadas de P após a rotação são 
P9 ( dXX 2 ____ 2 , 7 dXX 2 ______ 2 ) .
70. Primeiramente determinaremos um segmento paralelo e congruen-
te ao formado pelos pontos e do qual um dos extremos coincida 
com a origem do sistema, como mostrado na figura:
1
2
3
4
Im
21
22
1 2 3 4 Re2122
Portanto, o problema se reduz ao rotacionar o novo segmento com 
extremidades (0, 0) e (2, 3) em 608 no sentido horário ou anti-horário.
 ▪ No sentido anti-horário, o ponto (2, 3), que representa o número 
complexo z1 5 2 1 3i, é multiplicado pelo número complexo: 
1 ? (cos 608 1 i ? sen 608) 5 1 __ 2 1 
 dXX 3 ____ 2 i 
Então:
(2 1 3i) ? ( 1 __ 2 1 dXX 3 ____ 2 i ) 5 1 2 3 dXX 3 ______ 2 1 ( 3 __ 2 1 dXX 3 ) i
 ▪ No sentido horário, o ponto (2, 3), que representa o número 
complexo z1 5 2 1 3i, é multiplicado pelo número complexo: 
1 ? (cos 3008 1 i ? sen 3008) 5 1 __ 2 2 
 dXX 3 ____ 2 i 
Então:
(2 1 3i) ? ( 1 __ 2 2 dXX 3 ____ 2 i ) 5 1 1 3 dXX 3 ______ 2 1 ( 3 __ 2 2 dXX 3 ) i
Portanto, os dois possíveis pontos são: ( 1 2 3 dXX 3 ______ 2 , 3 __ 2 1 dXX 3 ) e 
 ( 1 1 3 dXX 3 ______ 2 , 3 __ 2 2 dXX 3 ) .
Página 662 – Exercícios complementares
71. a) x4 5 1 ä x4 2 1 5 0 ä (x2 1 1) ? (x2 2 1) 5 0 ä x2 1 1 5 0 
ou x2 2 1 5 0
 ▪ x2 1 1 5 0 ä x2 5 21 ä x 5 i ou x 5 2i 
 ▪ x2 2 1 5 0 ä x2 5 1 ä x 5 1 ou x 5 21
S 5 { i, 2 i, 1, 21 } 
b) x2 1 4 5 0 ä x2 5 24 ä x 5 2i ou x 5 22i
S 5 { 2i, 22i } 
c) Dada a equação x2 1 x 1 1 5 0, suas soluções são:
x 5 21 ± 
dXXX 23 _______________ 2 ä x 5 2 
1 __ 2 2 
 dXX 3 ____ 2 i ou x 5 2 
1 __ 2 1 
 dXX 3 ____ 2 i
S 5 q2 1 __ 2 2 
 dXX 3 ____ 2 i, 2 
1 __ 2 1 
 dXX 3 ____ 2 iw
d) Dada a equação 3x2 1 12x 1 15 5 0, suas soluções são:
x 5 212 ± 
dXXXXX 236 __________________ 6 ä x 5 22 ± i ä x 5 22 2 i ou x 5 22 1 i
S 5 {22 2 i, 22 1 i}
72. Primeiramente, escrevemos os números na forma trigonométri-
ca e, em seguida, usamos a primeira forma de De Moivre.
 ▪ O número dXX 3 1 i na forma trigonométrica é:
2 ? hcos ( p ___ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 6 ) j
Assim, temos:
 ( dXX 3 1 i ) 12 5 212 ? hcos ( 12p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 12p ______ 6 ) j 5 
5 4 096 ? (cos 2p 1 i ? sen 2p) 5 4 096
Portanto: ( dXX 3 1 i ) 12 5 4 096
 ▪ O número 2 dXX 3 2 2i na forma trigonométrica é:
4 ? hcos ( 11p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 11p ______ 6 ) j
Assim, temos:
(2 dXX 3 2 2i)6 5 46 ? hcos ( 66p ______ 6 ) 1 i ? sen ( 66p ______ 6 ) j 5 
5 4 096 ? (cos 11p 1 i ? sen 11p) 5 4 096
Portanto: ( 2 dXX 3 2 2i ) 6 5 4 096
73. a) A forma algébrica de (6, 3) é 6 1 3i.
b) A forma algébrica de (13, 0) é 13.
c) A forma algébrica de (210, 10) é 210 1 10i.
d) A forma algébrica de (0, 2 7) é 27i.
e) A forma algébrica de ( dXX 3 , dXX 3 ) é dXX 3 1 dXX 3 i.
f) A forma algébrica de (0, 0) é 0.
74. a) O conjugado de z é 
__
 z 5 25 2 7i.
b) O conjugado de z é 
__
 z 5 4.
c) O conjugado de z é 
__
 z 5 8i.
75. a) Calculamos o módulo de z e o argumento:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXXX 02 1 (21)2 5 1
cos £ 5 0 ___ 1 e sen £ 5 
21 _____ 1 , então £ 5 
3p
 _____ 2 
Portanto: z 5 1 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j
b) Calculamos o módulo de z e o argumento:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXX 22 1 02 5 2
cos £ 5 2 __ 2 e sen £ 5 
0 ___ 2 , então £ 5 0
Portanto: z 5 2 ? (cos 0 1 i ? sen 0)
c) Calculamos o módulo de z e o argumento:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXX 12 1 12 5 dXX 2 
cos £ 5 
dXX 2 ____ 2 e sen £ 5 
 dXX 2 ____ 2 , então £ 5 
p ___ 4 
Portanto: z 5 dXX 2 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j
d) Calculamos o módulo de z e o argumento:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXX 12 1 (21)2 5 dXX 2 
cos £ 5 1 ____ 
 dXX 2 
 5 
dXX 2 ____ 2 e sen £ 5 2 
1 ____ 
 dXX 2 
 5 2 
dXX 2 ____ 2 , então £ 5 
7p
 _____ 4 
Portanto: z 5 dXX 2 ? hcos ( 7p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 4 ) j
e) Calculamos o módulo de z e o argumento:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXX ( dXX 3 )2 1 12 5 2
cos £ 5 
dXX 3 ____ 2 e sen £ 5 
1 __ 2 , então £ 5 
p ___ 6 
Portanto: z 5 2 ? hcos ( p ___ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 6 ) j
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66
f) Calculamos o módulo de z e o argumento:
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXXXXXXX (2 dXX 3 )2 1 (21)2 5 2
cos £ 5 2 1 __ 2 e sen £ 5 2 
 dXX 3 
 ____ 2 , então £ 5 
4p
 _____ 3 
Portanto: z 5 2 ? hcos ( 4p _____ 3 ) 1 i ? sen ( 4p _____ 3 ) j
76. a) Temos:
 ▪ a2 2 4 5 4 ä a2 5 8 ä a 5 2 dXX 2 ou a 5 22 dXX 2 
 ▪ 5b 1 3 5 10 ä b 5 7 __ 5 
Portanto: a 5 2 dXX 2 ou a 5 22 dXX 2 e b 5 7 __ 5 
b) Temos:
 ▪ a2 2 10a 5 0 ä a (a 2 10) 5 0 ä a 5 0 ou a 5 10 
 ▪ b 5 3b 1 8 ä b 5 24
Portanto: a 5 0 ou a 5 10 e b 5 24
77. a) (2 1 3i) ? (4 1 i) 2 (7 2 4i) 5 (8 1 2i 1 12i 1 3i2) 2 7 1 4i 5 
5 22 1 18i
b) (1 1 i) ? (1 2 i) 1 (22 1 4i)2 5 (1 2 i 1 i 2 i2) 1 
1 (4 2 16i 1 16i2) 5 210 2 16i
c) (2 1 5i)3 2 3 ? i ? (1 1 2i) 5
 5 (221 1 20i) ? (2 1 5i) 2 3i 2 6i2 5
 5 2142 2 65i 2 3i 1 6 5 2136 2 68i
d) (1 1 i) ? (6 1 3i) ? (2 2 2i) 5 (3 1 9i) ? (2 2 2i) 5
5 (6 2 6i 1 18i 1 18i2) 5 212 1 12i
e) 14i ? (214i) 5 196
78. Primeiro, escrevemos o número z 5 232i na forma trigonométrica:
r 5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXXXX 02 1 (232)2 5 32
sen £ 5 21 e cos u 5 0 ä u 5 3p _____ 2 
Assim: z 5 32 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 
Em seguida, determinamos z0, z1, z2, z3 e z4, que são as raízes 
quintas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
5 dXX r ? hcos ( £ __ 5 1 2kp ______ 5 ) 1 i ? sen ( £ __ 5 1 2kp ______ 5 ) j
 ▪ Para k 5 0, temos: 
z0 5 
5
 dXXX 32  ? Hcos ( 3p _____ 2 _____ 5 1 2 ? 0 ? p ____________ 5 )  1 i ? sen ( 3p _____ 2 _____ 5 1 2 ? 0 ? p ____________ 5 ) J 5 
5 2 ? hcos ( 3p _____ 10 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 10 ) j > 1,17 1 1,62i
 ▪ Para k 5 1, temos: 
z1 5 
5
 dXXX 32 ? Hcos ( 3p _____2 _____ 5 1 2 ? 1 ? p ____________ 5 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 _____ 5 1 2 ? 1 ? p ____________ 5 ) J 5 
5 2 ? hcos ( 7p _____ 10 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 10 ) j > 21,17 1 1,62i
Analogamente, temos z2, z3 e z4:
 ▪ Para k 5 2, temos:
 z2 5 2 ? hcos ( 11p ______ 10 ) 1 i ? sen ( 11p ______ 10 ) j > 21,90 2 0,62i
 ▪ Para k 5 3, temos: z3 5 2 ? hcos ( 15p ______ 10 ) 1 i ? sen ( 15p ______ 10 ) j 5 2i
 ▪ Para k 5 4, temos: z4 5 2 ? hcos ( 19p ______ 10 ) 1 i ? sen ( 19p ______ 10 ) j > > 1,90 2 0,62i
79. Igualando as partes reais e as imaginárias, temos:
a) x 1 3 5 5 ä x 5 2; 2 1 y 5 5 ä y 5 3
Portanto: x 5 2 e y 5 3
b) x 2 3 5 5 ä x 5 8; 2 1 y 5 5 ä y 5 3
Portanto: x 5 8 e y 5 3
c) Desenvolvendo, temos:
(x 1 yi)2 5 x2 1 2xyi 1 y2i2 5 x2 2 y2 1 2xyi
Assim: x2 2 y2 1 2xyi 5 2i
Então: qx
2 2 y2 5 0 
2xy 5 2 
Da segunda equação, temos: 2xy 5 2 ä xy 5 1 ä x 5 1 __ y 
Substituindo na primeira equação, temos:
x2 2 y2 5 0 ä ( 1 __ y ) 2 2 y2 5 0 ä 1 5 y4 ä y 5 1 
Portanto: x 5 y 5 1
d) 2x 5 4 ä x 5 2
Então: 2y 5 210 ä y 5 25
Portanto: x 5 2 e y 5 25
e) Desenvolvendo, temos:
(x 1 yi)2 5 x2 1 2xyi 1 y2i2 5 x2 2 y2 1 2xyi
Assim: x2 2 y2 1 2xyi 5 3 1 4i
Então: qx
2 2 y2 5 3 
2xy 5 4 
Da segunda equação, temos:
2xy 5 4 ä xy 5 2 ä x 5 2 __ y 
Substituindo na primeira equação, temos:
x2 2 y2 5 0 ä ( 2 __ y ) 2 2 y2 5 0 ä 4 2 y4 5 3 ä y 5 1 
E assim: x 5 2 __ y 5 2
Portanto: x 5 2 e y 5 1
80. Devemos dividir o expoente da unidade imaginária por quatro, 
e o resto dessa divisão é o expoente equivalente dessa unidade 
imaginária. Assim temos:
a) i2009 5 i1 5 i
b) i2010 5 i2 5 21
c) i
79 1 i102 ____________ i1024 5 
i3 1 i2 _________ i0 5 2i 2 1
81. a) Da expressão i 1 i2 1 ... 1 i105, podemos perceber que a cada 
quatro potências de expoentes consecutivos, temos soma igual 
a zero. Exemplos:
 ▪ i 1 i2 1 i3 1 i4 5 0 
 ▪ i5 1 i6 1 i7 1 i8 5 0
Na divisão de 105 por 4, obtemos resto 1. Assim:
(i 1 i2 1 ... 1 i104) 1 i105 5 0 1 i105 5 0 1 i1 5 i 
Portanto: i 1 i2 1 ... 1 i105 5 i
b) Da expressão i ? i2 ? ... ? i105, podemos perceber que, a cada qua-
tro potências de expoentes consecutivos, temos produto igual 
a 21. Exemplos:
 ▪ i ? i2 ? i3 ? i4 5 21
 ▪ i5 ? i6 ? i7 ? i8 5 21
Na divisão de 105 por 4, obtemos resto 1. Assim:
(i ? i2 ? ... ? i104) ? i105 5 (11) ? i105 5 (11) ? i1 5 2i
Portanto: i ? i2 ? ... ? i105 5 i
82. Para obtermos os quocientes abaixo, devemos multiplicar o de-
nominador e o numerador da fração desejada pelo conjugado do 
denominador.
a) 1 1 i _______ 1 2 i 5 ( 1 1 i _______ 1 2 i ) ? ( 1 1 i _______ 1 1 i ) 5 i
b) 4 1 2i _________ 3 2 4i 5 ( 4 1 2i _________ 3 2 4i ) ? ( 3 1 4i _________ 3 1 4i ) 5 4 ____ 25 1 22 ____ 25 i
c) 3 __ i 5 ( 3 __ i ) ? ( 2i ____ 2i ) 5 23i
d) 3i _________ 1 1 2i 5 ( 3i _________ 1 1 2i ) ? ( 1 2 2i _________ 1 2 2i ) 5 6 ___ 5 1 3 __ 5 i
83. Sejam z 5 a 1 bi e 
__
 z 5 a 2 bi.
a) z 1 2 X z 5 15 1 3i ä a 1 bi 1 2a 2 2bi 5 15 1 3i 
Logo, igualando as partes reais e as imaginárias, temos:
 ▪ a 1 2a 5 15 ä a 5 5
 ▪ b 2 2b 5 3 ä b 5 23
Portanto: z 5 5 2 3i 
b) 3z 2 X z 5 2 1 5i ä 3a 1 3bi 2 a 1 bi 5 2 1 5i
Logo, igualando as partes reais e as imaginárias, temos:
 ▪ 3a 2 a 5 2 ä a 5 2 __ 2 ä a 5 1
 ▪ 3b 1 b 5 5 ä b 5 5 ___ 4 
Portanto: z 5 1 1 5 ___ 4 i
c) 2z 1 i ? X z 5 7 1 7i ä 2a 1 2bi 1 ai 1 b 5 7 1 7i
Logo, igualando as partes reais e as imaginárias, temos:
 q
2a 1 b 5 7
 a 1 2b 5 7 
Resolvendo esse sistema, obtemos: b 5 7 __ 3 
Substituindo em uma das equações, obtemos:
a 1 14 ____ 3 5 7 ä a 5 
7 __ 3 
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 66 7/28/15 2:20 PM
67
Portanto: z 5 7 __ 3 + 
7i ___ 3 
d) 2 z ? i 2 X z 5 24 1 13i ä 2ai 2 2b 2 a 1 bi 5 2 4 1 13i
Logo, igualando as partes reais e as imaginárias, temos:
 q
2a 1 b 5 13
22b 2 a 5 24 
Resolvendo esse sistema, obtemos: b 5 2 
5
 __ 3 
Substituindo em uma das equações, obtemos:
2a 2 2b 5 24 ä a 1 10 ____ 3 2 b 5 24 ä a 5 
22 ____ 3 
Portanto: z 5 22 ____ 3 2 
5i ___ 3 
84. z1 2 
___
 z2 5 
6 ___ 5 2 
2 __ 3 i 2 ( 2 4 ___ 5 1 4 ___ 3 i ) 5 10 ____ 5 2 6 ___ 3 i 5 2 2 2i
Precisamos determinar seu módulo e seu argumento, para escre-
ver o número complexo na forma trigonométrica.
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXXXXXX 22 1 (22)2 5 2 dXX 2 
cos £ 5 2 ______ 
2 dXX 2 
 5 
dXX 2 ____ 2 e sen £ 5 2 
2 ______ 
2 dXX 2 
 5 2 
dXX 2 ____ 2 , então £ 5 
7p
 _____ 4 
Portanto, a forma trigonométrica é: 2 dXX 2 ? ( cos 7p _____ 4 1 i ? sen 7p _____ 4 ) 
85. Sendo z 5 a 1 bi e 
__
 z 5 a 2 bi, então temos:
z 1 
__
 z 5 a 1 bi 1 a 2 bi 5 2a
É possível afirmar que a soma de um número complexo e seu 
conjugado é um número real igual ao dobro da parte real desse 
número complexo.
86. a) qz 1 w 5 5 1 3iz 2 w 5 7 1 5i
Adicionando as equações, obtemos:
2z 5 12 1 8i ä z 5 6 1 4i
Substituindo em uma das equações, temos:
z 1 w 5 5 1 3i ä 6 1 4i 1 w 5 5 1 3i ä w 5 21 2 i
Portanto: z 5 6 1 4i e w 5 21 2 i
b) q3z 1 2w 5 9 1 3i
2z 2 3w 5 6 1 2i
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda equação 
por 2, temos: 
q9z 1 6w 5 271 9i
4z 2 6w 5 12 1 4i
Adicionando as equações, obtemos:
13z 5 39 1 13i ä z 5 3 1 i
Substituindo em uma das equações, temos:
4z 2 6w 5 12 1 4i ä w 5 0
Portanto: z 5 3 1 i e w 5 0
87. Isolando x temos: x 5 ( i 2 2 ________ 2 1 i ) ? ( 2 2 i _______ 2 2 i ) 5 4i 2 3 _________ 5 
Portanto: x 5 2 3 __ 5 1 
4 ___ 5 i
88. a)  z  5 dXXXXXXXXX 144 1 25 5 13
b)  z  5 dXXXXXX 4 1 9 5 dXXX 13 
c)  z  5 dXXXXXXXX 16 1 64 5 4 dXX 5 
d)  z  5 dXX 4 5 2
89. Os pontos no plano complexo têm as seguintes coordenadas:
A(23, 4); B(22, 3); C(0, 4); D(5, 2); E(25, 21); F(23, 23) e 
G(2, 0).
Na forma algébrica, temos:
 ▪ A 5 23 1 4i
 ▪ B 5 22 1 3i
 ▪ C 5 4i
 ▪ D 5 5 1 2i
 ▪ E 5 25 2 i
 ▪ F 5 23 2 3i
 ▪ G 5 2 
90. a) z ? 
__
 z 2 9 5 0 ä (x 1 yi) ? (x 2 yi) 2 9 5 0 ä x2 1 y2 5 9 
Portanto, é a equação de uma circunferência de centro na ori-
gem e raio medindo 3.
b) Substituindo os pontos na equação x2 1 y2 5 9, temos: 
 ▪ 32 1 0 5 9, portanto (0, 3) pertence à circunferência;
 ▪ ( dXX 3 ) 2 1 ( dXX 3 ) 2 5 6 Þ 9, portanto ( dXX 3 , dXX 3 ) não pertence à 
circunferência.
c) Como z 5 x 1 yi, temos:
ƒ(x) 5 x 1 yi 1 x 2 yi 5 2x
Portanto: ƒ(x) 5 2x
d) Como x é a parte real do número complexo, temos que o do-
mínio de ƒ é R e a imagem de ƒ é R.
Graficamente, temos:
1
2
3
4
Im
21
22
23
24
1 2 3 4 Re21222324
91. a) sabendo que o afixo é na forma P(a, b) e a algébrica de 
z 5 a 1 bi, substituindo os valores de a e b, obtemos:
z 5 21 1 i
b) (21 1 i)2 5 22i
c) (21 1 i) ? (21 2 i) 5 2
92. Primeiro, escrevemos o número z 5 1, na forma trigonométrica:
r 5 dXXXX (1)2 5 1
sen £ 5 0 e cos u 5 1 ä u 5 0
Assim: z 5 1 ? hcos ( 0 ) 1 i ? sen ( 0 ) j 
Em seguida, determinamos z0, z1, z2 e z3, que são as raízes quar-
tas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
4 dXX r ? hcos ( £ ___ 4 1 2kp ______ 4 ) 1 i ? sen ( £ ___ 4 1 2kp ______ 4 ) j
 ▪ z0 5 1 ? [cos 0 1 i ? sen 0] 5 1
 ▪ z1 5 1 ? hcos ( p ___ 2 ) 1 i ? sen ( p ___ 2 ) j 5 i 
 ▪ z2 5 1 ? [cos p 1 i ? sen p] 5 21
 ▪ z3 5 1 ? hcos ( 3p _____ 2 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 2 ) j 5 i 
Assim, graficamente temos:
1
2
Im
21
22
1
z0
z1
z2
z3
2 Re2122
a) O polígono formado é um quadrado.
b) Sejam P e Q os afixos das raízes z 0 e z 1 , a distância entre esses 
pontos é:
d(P, Q) 5 dXXXXXXX 1 2 1 1 2 5 dXX 2 
Portanto, o lado do quadrado mede dXX 2 .
Assim, o perímetro é: dXX 2 1 dXX 2 1 dXX 2 1 dXX 2 5 4 dXX 2 (unidades 
de comprimento)
E a área é: dXX 2 ? dXX 2 5 2 (unidades de área)
93. Resolvendo o produto de z por w:
z ? w 5 (a 1 i)? (3 1 bi) 5 3a 1 abi 1 3i 1 bi2 5 
5 (3a 2 b) 1 (ab 1 3)i
Sabemos que esse produto é igual a 5 1 5i. Então, utilizando a 
definição de igualdade de dois números complexos, obtemos os 
valores de a e b:
 
3a 2 b 5 5 Æ b 5 3a 2 5 (I)
 
ab 1 3 5 5 Æ ab 2 2 5 0 (II) 
Substituindo (I) em (II):
a ? (3a 2 5) 22 5 0 Æ 3a2 2 5a 2 2 5 0 Æ 
Æ a 5 
2(25) ± dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (25)2 2 4 ? 3 ? (22) 
 __________________________________________ 2 ? 3 5 
5 ± dXXX 49 ___________ 6 5 
5 ± 7
 _______ 6 Æ
Æ a 5 2 ou a 5 2 1 __ 3 
Assim, há dois casos a serem estudados: 
 ▪ Se a 5 2 1 __ 3 , então b 5 3 ? ( 2 1 __ 3 ) 2 5 5 26.
 Desse modo, os pontos são ( 2 1 __ 3 , 3 ) e (1, 26). 
Seja y 5 mx 1 n a equação da reta que os contém. Substituindo 
as coordenadas dos pontos na equação e resolvendo o sistema, 
determinamos os coeficientes m e n.
 
3 5 2 1 __ 3 m 1 n 
26 5 m 1 n  
Æ 
3 5 2 1 __ 3 m 1 n 6 5 2m 2 n 
 Æ 9 5 2
 
4
 
___
 3 m Æ m 5 2 
27
 
____
 4 
2 
27
 ____ 4 1 n 5 26 Æ n 5 26 1 
27 ____ 4 5 
3 ___ 4 
SPM3_MP_RES_C07_055A068.indd 67 7/28/15 2:20 PM
68
Portanto, a equação da reta é y 5 2 
27
 ____ 4 x 1 
3 ___ 4 .
 ▪ Se a 5 2, então b 5 3 ? 2 2 5 5 1.
Desse modo, os pontos são (2, 3) e (1, 1).
Seja y 5 px 1 q a equação da reta que os contém. Substituin-
do as coordenadas dos pontos na equação e resolvendo o sis-
tema, determinamos os coeficientes p e q.
q 3 5 2p 1 q 1 5 p 1 q  Æ q 
3 5 2p 1 q
 
21 5 2p 2 q  Æ p 5 2
1 5 2 1 q Æ q 5 21
Portanto, a equação da reta é y 5 2x 2 1.
94. Sendo z uma das raízes da equação x8 5 p, então z8 5 p, logo:
(1 1 i)8 5 p
Primeiro, escrevemos 1 1 i na forma trigonométrica, determi-
nando o módulo r e o argumento u. Em seguida, vamos a primei-
ra fórmula de De Moivre. 
  z  5 dXXXXXXX a2 1 b2 5 dXXXXXX 12 1 12 5 dXX 2 
sen £ 5 1 ____ 
 dXX 2 
 5 
dXX 2 ____ 2 e cos u 5 
1 ____ 
 dXX 2 
 5 
dXX 2 ____ 2 ä u 5 
p ___ 4 
Assim: z 5 dXX 2 ? hcos ( p ___ 4 ) 1 i ? sen ( p ___ 4 ) j 
Calculando z8, obtemos:
z8 5 ( dXX 2 )8 ? hcos ( 8p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 8p _____ 4 ) j 5 
5 16? hcos ( 2p ) 1 i ? sen ( 2p ) j 5 16
Portanto, p 5 16.
95. Como a distância do ponto P até a origem é 1, temos que o mó-
dulo desse complexo é 1. Se P é o afixo do número z 5 a 1 bi, 
ou seja, P(a, b), então, pelas razões trigonométricas no triângulo 
retângulo, temos:
cos £ 5 a ____ 
|z|
 ä cos 608 5 a __ 1 ä a 5 
1 __ 2 
sen £ 5 b ____ |z| ä sen 608 5 
b __ 1 ä b 5 
 dXX 3 ____ 2 
Portanto: z 5 1 __ 2 1 
 dXX 3 ____ 2 i
96. a) Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo, a distância 
da imagem de z até a origem é:
  z  5 dXXXXXXXXXXX (2 dXX 3 )2 1 32 5 dXXX 12 5 2 dXX 3 
Portanto, o módulo de z é 2 dXX 3 .
b) Sendo £ o argumento de z, temos:
cos £ 5 2 1 __ 2 e sen £ 5 
 dXX 3 ____ 2 ä £ 5 
2p ____ 3 
Como o argumento de w é o argumento de z adicionando p ___ 2 , 
temos: 2p _____ 3 1 
p ___ 2 5 
7p
 _____ 6 
Então: w 5 9 ? hcos ( 7p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 7p _____ 6 ) j 5 2 9 dXX 3 ______ 2 2 9 ___ 2 i
Portanto: w 5 2 9 
dXX 3 ______ 2 2 
9 ___ 2 i
c) Se w 5 2 9 
dXX 3 ______ 2 2 
9
 ___ 2 i, então 
___
 w 5 2 9 
dXX 3 ______ 2 1 
9
 ___ 2 i
d) Com z e w na forma algébrica, temos:
 z ___ w 5 
2 dXX 3 ______ 9 ? hcos ( 2p _____ 3 2 7p _____ 6 ) 1 i ? sen ( 2p _____ 3 2 7p _____ 6 ) j 5 
5 2 
dXX 3 ______ 9 ? hcos ( 2p ______ 2 ) 1 isen ( 2p ______ 2 ) j 5 2 
2 dXX 3 
 ______ 9 i 
97. Sendo z ___ w 5 23 1 2i, substituindo os valores de z e w, temos:
 4 1 ai _________ bi 5 23 1 2i ä 4 1 ai 5 bi ? (23 1 2i) ä 4 1 ai 522b 2 3bi
Igualando as partes reais, temos: 4 5 22b ä b 5 22
Igualando as partes imaginárias e substituindo o valor de b, 
temos: a 5 23b ä a 5 6
Com isso, os pontos (1, 6), (0, 3) e (22, 3) determinam uma 
equação quadrática da forma ƒ(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Substituindo 
os pontos, encontramos o seguinte sistema:
a 1 b 1 c 5 6
c 5 3
4a 2 2b 1 c 5 3
Substituindo o valor de c nas outras duas equações, temos:
a 1 b 5 3
4a 2 2b 5 0
e
Q
Multiplicando a primeira equação por 2 e adicionando as equa-
ções, obtemos: 6a 5 6 ä a 5 1
Substituindo em uma das equações:
a 1 b 5 3 ä 1 1 b 5 3 ä b 5 2
Portanto: ƒ(x) 5 x2 1 2x 1 3
98. Primeiro, escrevemos o número z 5 264 na forma trigonométrica: 
r 5 dXXXXX (264)2 5 64
sen £ 5 0 e cos u 5 21 ä u 5 p
Assim: z 5 64 ? [cos ( p ) 1 i ? sen ( p ) ]
Em seguida, determinamos z0, z1, z2, z3, z4 e z5, que são as 
raízes sextas de z, dadas pela segunda fórmula de De Moivre:
zk 5 
6 dXX r ? hcos ( £ __ 6 1 2kp ______ 6 ) 1 i ? sen ( £ __ 6 1 2kp ______ 6 ) j
 ▪ Para k 5 0, temos: 
z0 5 
6
 dXXX 64  ? hcos ( p ___ 6 1 2 ? 0 ? p ____________ 6 )  1 i ? sen ( p ___ 6 1 2 ? 0 ? p ____________ 6 ) j 5 
5 2 ? hcos ( p ___ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 6 ) j 5 dXX 3 1 1i
 ▪ Para k 5 1, temos:
z1 5 
6
 dXXX 64  ? hcos ( p ___ 6 1 2 ? 1 ? p ____________ 6 )  1 i ? sen ( p ___ 6 1 2 ? 1 ? p ____________ 6 ) j 5 2i 
 ▪ Para k 5 2, temos:
z2 5 
6
 dXXX 64  ? hcos ( p ___ 6 1 2 ? 2 ? p ____________ 6 )  1 i ? sen ( p ___ 6 1 2 ? 2 ? p ____________ 6 ) j 5
5 2 dXX 3 1 i
 ▪ Para k 5 3, temos:
z3 5 
6
 dXXX 64  ? hcos ( p ___ 6  1 2 ? 3 ? p ____________ 6 )  1 i ? sen ( p ___ 6 1 2 ? 3 ? p ____________ 6 ) j 5
5 2 dXX 3 2 1i
 ▪ Para k 5 4, temos:
z4 5 
6
 dXXX 64  ? hcos ( p ___ 6 1 2 ? 4 ? p ____________ 6 )  1 i ? sen ( p ___ 6  1 2 ? 4 ? p ____________ 6 ) j 5
5 22i
 ▪ Para k 5 5, temos:
z5 5 
6
 dXXX 64  ? hcos ( p ___ 6 1 2 ? 5 ? p ____________ 6 ) 1 i ? sen ( p ___ 6 1 2 ? 5 ? p ____________ 6 ) j 5
5 dXX 3 2 1i
99. Os números complexos são representados no plano de Argand-
-Gauss pelos pares ordenados: (1, 0); ( 2 1 __ 2 , dXX 3 ____ 2 ) e ( 2 1 __ 2 , 2 dXX 3 ____ 2 ) .
Por serem raízes de um mesmo número complexo, são equidis-
tantes, de modo que o triângulo formado é equilátero. Para co-
nhecer a medida de um lado desse triângulo, calculamos a dis-
tância entre dois desses pontos.
d 5 dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX ( 1 2 ( 2 1 __ 2 ) ) 
2
 1 ( 0 2 dXX 3 ____ 2 ) 
2
 5 dXXXXXX 9 ___ 4 1 3 ___ 4 5 dXX 3 
Então, temos a área A de um triângulo equilátero:
A 5 
dXX 3 2 ? dXX 3 ___________ 4 5 
3 dXX 3 ______ 4 (alternativa c)
100. A diferença de um termo pelo termo antecessor é a razão da P.A.
Assim, a15 2 a16 é o oposto da razão.
Para determinar a razão da P.A., vamos utilizar a relação dada:
Sn 5 
n ? (n 2 1)
 ______________ 2 1 
n ? (3 2 n) ? i
 __________________ 2 
Para n 5 1, determinamos o primeiro termo:
S1 5 
1 ? (1 2 1)
 ______________ 2 1 
1 ? (3 2 1) ? i
 __________________ 2 5 i
Logo: a1 5 i
Para n 5 2, temos a soma dos dois primeiros termos:
S2 5 
2 ? (2 2 1)
 ______________ 2 1 
2 ? (3 2 2) ? i
 __________________ 2 5 1 1 i 
Logo: a1 1 a2 5 1 1 i ä i 1 a2 5 1 1 i ä a2 5 1
A razão r pode ser determinada pela diferença a2 2 a1:
a2 2 a1 5 r ä r 5 1 2 i
Então, a15 2 a16 5 2r 5 21 1 i
Para escrever 21 1 i na forma trigonométrica, determinados 
seu módulo e seu argumento:
  z  5 dXXXXXXXXX (21)2 1 12 5 dXX 2 
cos £ 5 2 1 ____ 
 dXX 2 
 5 2 
dXX 2 ____ 2 e sen £ 5 
1 ____ 
 dXX 2 
 5 
dXX 2 ____ 2 , então £ 5 
3p
 _____ 4 
Portanto: r 5 dXX 2 ? hcos ( 3p _____ 4 ) 1 i ? sen ( 3p _____ 4 ) j (alternativa e)
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69
   Capítulo 30 – Função polinomial
Página 664 – Para começar
1. Considerando-se que um mês tenha quatro semanas, em um tri-
mestre haverá 12 semanas. Analisandoa lei matemática que 
descreve a função, verifica-se que os valores em que t 5 0 e 
t 5 12 correspondem às raízes da função, ou seja, são os valo-
res que determinam o período estimado em que serão efetuadas 
vendas de livros didáticos. Pode ser que esse período de vendas 
tenha sido escolhido por causa do início do ano letivo, o que 
leva a uma mudança considerável na quantidade de livros didá-
ticos vendidos.
2. Segunda semana: ƒ(2) 5 2100 ? 22 1 1 200 ? 2 5 2 000
Quarta semana: ƒ(4) 5 2100 ? 42 1 1 200 ? 4 5 3 200
Sexta semana: ƒ(6) 5 2100 ? 6² 1 1 200 ? 6 5 3 600
Décima semana: ƒ(10) 5 2100 ? 10² 1 1 200 ? 10 5 2 000
De duas até 6 semanas a venda foi crescente, mas na décima 
semana a venda diminuiu, ou seja, decresceu. A função que re-
laciona a quantidade de livros didáticos vendidos com o tempo 
em semanas é uma função polinomial do 2o grau e seu gráfico é 
uma parábola. Assim, temos um intervalo crescente até atingir 
o vértice, projeção máxima de vendas, seguido de um intervalo 
decrescente de vendas.
3. Resposta pessoal. A intenção é promover uma reflexão e discus-
são sobre leitura. Quais as preferências, frequência, qual o in-
vestimento em livros, como os alunos utilizam o sistema de em-
préstimo da biblioteca, etc.
Página 666 – Exercícios propostos
3. Uma função é polinomial quando todos os expoentes das incóg-
nitas de seus termos são números naturais e todos os coeficien-
tes são números complexos.
a) g(x) não é uma função polinomial, pois dXX x tem expoente 1 __ 2 
e 1 __ 2 Ó N.
b) r(x) é uma função polinomial.
c) ƒ(x) não é uma função polinomial, pois 1 ____ x 2 5 x
22 tem expoente 
22 e 22 Ó N.
d) h(x) é uma função polinomial.
e) s(x) não é uma função polinomial, pois x23 tem expoente 23 
e 23 Ó N.
4. a) p(0) 5 03 1 4 ? 02 2 1 5 0 1 0 2 1 5 21
b) p(21) 5 (21)3 1 4 ? (21)2 2 1 5 21 1 4 2 1 5 2
c) p(10) 5 103 1 4 ? 102 2 1 5 1 000 1 400 2 1 5 1 399
d) p(2i) 5 (2i)3 1 4 ? (2i)2 2 1 5 28i 2 16 2 1 5 28i 2 17
5. Substituindo a por 5, é possível verificar o grau do polinômio.
g(x) 5 (3a 2 15)x5 1 (5 2 a)x4 1 (2a 2 10)x3 1 ax 2 4 ä 
ä g(x) 5 0x5 1 0x4 1 0x3 1 5x 2 4 5 5x 1 4
Portanto, para a 5 5 o grau de g(x) é 1.
6. Para o grau do polinômio p(x) ser zero é preciso que os coefi-
cientes de x3 e x2 sejam nulos. Assim, temos:
a 1 b 5 0
a 2 4b 1 10 5 0q
Da primeira equação temos: a 5 2b
Substituindo a por 2b na segunda equação, temos:
2b 2 4b 1 10 5 0 ä b 5 2
Substituindo b por 2 na primeira equação, obtemos:
a 1 b 5 0 ä a 1 2 5 0 ä a 5 22
Portanto: a 5 22 e b 5 2
7. Analisamos os valores dos coeficientes para discutir o grau do 
polinômio ƒ(x) 5 (m2 2 9)x4 2 (m 1 3)x3 1 2x 2 1:
 ▪ Se o coeficiente do termo (m2 2 9)x4 não for nulo, então o grau 
do polinômio ƒ(x) será 4. 
m² 2 9 Þ 0 ⇒ m Þ 23 e m Þ 3
 ▪ Se m2 2 9 for nulo e o coeficiente do termo (m 1 3)x3 não for 
nulo, então o grau de ƒ(x) será 3. 
m² 2 9 5 0 ⇒ m 5 23 ou m 5 3
m 1 3 Þ 0 ⇒ m Þ 23
 ▪ Se m2 2 9 e m 1 3 forem nulos, então o grau de ƒ(x) é 1. 
m² 2 9 5 0 ⇒ m 5 23 ou m 5 3
m 1 3 5 0 ⇒ m 5 23
Qm 5 3
Qm 5 23 
Portanto, se m Þ 23 e m Þ 3, o grau do polinômio é 4; se 
m 5 3, o grau do polinômio é 3; e se m 5 23, o grau do poli-
nômio é 1.
8. Para que o coeficiente dominante seja igual a 14, é necessário 
que: 
t2 2 5t 5 14 ä t2 2 5t 2 14 5 0 ä (t 2 7) ? (t 1 2) 5 0 ä 
ä t 5 7 ou t 5 22
Portanto, para que o coeficiente dominante seja 14, o valor de 
t deve ser 7 ou 22.
9. p(1) 1 p(2) 5 ( 1 3 2 4 ? 1 2 1 2i ? 1) 1 ( 2 3 2 4 ? 2 2 1 2i ? 2) 5 
5 (1 2 4 1 2i) 1 (8 2 16 1 4i) 5 211 1 6i
p(i) 1 p(2i) 5 ( i 3 2 4 ? i 2 1 2i ? i) 1 ( (2i) 3 2 4 ? (2i) 2 1 2i ? (2i) ) 5 
5 (2i 1 4 2 2) 1 (28i 1 16 2 4) 5 14 2 9i
10. a) ƒ(1) 1 g(1) 5 (2i ? 13 2 (1 1 i) ? 12 2 3i) 1 (i ? 14 2 (3 2 i) ? 1 1 3) 5 
5 (2i 2 1 2 i 2 3i) 1 (i 2 3 1 i 1 3) 5 21
b) 
ƒ(0)
 _______ 
g(0)
 5 
2i ? 03 2 (1 1 i) ? 02 2 3i
 _________________________________ i ? 04 2 (3 2 i) ? 0 1 3 5 
23i ______ 3 5 2i
c) 2 ? ƒ(2) 1 g(2) 5 2 ? (2i ? 23 2 (1 1 i) ? 22 2 3i) 1 
1 (i ? 24 2 (3 2 i) ? 2 1 3) 5 2 ? (16i 2 4 2 4i 2 3i) 1 (16i 2 6 1 2i 1 3) 5 
5 211 1 36i
d) [ƒ(21)]2 1 [g(21)]2 5 [ 2i ? (21)3 2 (1 1 i) ? (21)2 2 3i ] 2 1 
1 [ i ? (21)4 2 (3 2 i) ? (21) 1 3 ] 2 5 [22i 2 1 2 i 2 3i]² 1 
1 [i 1 3 2 i 1 3]² 5 [26i 2 1] 2 1 6 2 5 1 1 12i
11. O polinômio de grau 2 pode ser escrito na forma p(x) 5 ax2 1 
1 bx 1 c, com a Þ 0.
Como p(0) 5 3, temos: 3 5 a ? 0 1 b ? 0 1 c ä c 5 3
Temos ainda: p(1) 5 0 ä 0 5 a ? 1 1 b ? 1 1 3 ä 
ä a 1 b 5 23 ä a 5 23 2 b (I)
E ainda: p(2) 5 21 ä 21 5 a ? 4 1 b ? 2 1 3 ä 2a 1 b 5 2 2 (II)
Substituindo (I) em (II), obtemos:
2(23 2 b) 1 b 5 22 ⇒ 26 22b 1 b 5 22 ⇒ b 5 24
Substituindo b por 24 na equação (I), obtemos:
a 5 23 2 (24) ⇒ a 5 1
Portanto, o polinômio é p(x) 5 x2 2 4x 1 3.
12. Se o polinômio p(x) é de grau 2 e tem o coeficiente dominante 
igual a 3, então ele é da forma p(x) 5 3x2 1 bx 1 c.
Como p(0) 5 4, temos: 4 5 3 ? 02 1 b ? 0 1 c ä c 5 4
Como p(1) 5 6, temos: 6 5 3 ? 12 1 b ? 1 1 4 ä b 5 21
Portanto, o polinômio é p(x) 5 3x2 2 x 1 4.
Página 667 – Cálculo mental
ƒ(t) 5 t3 1 2t 1 2 1 3 2 2t 1 t3 5 t3 1 t3 1 2t 2 2t 1 2 1 3 5 
5 2t3 1 5
Página 667 – Calculadora
p(13) 5 3 ___ 4 ? (13
4 2 1) 1 16 ? 132 2 122 5
5 21 420 1 2 704 2 122 5 24 002
Página 667 – Exercícios propostos
13. O polinômio p(x) é identicamente nulo se todos os seus coefi-
cientes forem iguais a zero. Deste modo, os valores de a, b e c 
que satisfazem essa condição correspondem à solução do 
seguinte sistema:
c 1 b 2 6a 5 0
c1 3a 5 0
3a 2 1 5 0
t
Da terceira equação, obtemos:
3a 2 1 5 0 ä a 5 1 __ 3 
Substituindo o valor de a na segunda equação, obtemos:
c 1 3a 5 0 ä c 1 1 5 0 ä c 5 21
Substituindo os valores de a e c na primeira equação, temos:
c 1 b 2 6a 5 0 ä 21 1 b 2 2 5 0 ä b 5 3
Portanto: a 5 1 __ 3 , b 5 3 e c 5 21
14. Pela definição, se dois polinômios p e q são idênticos, então eles 
assumem valores numéricos iguais para todo número complexo z. 
Isso implica que os coeficientes correspondentes de p(x) e q(x) 
são iguais e apresentam o mesmo grau. Logo, não é possível que 
eles tenham graus diferentes.
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70
15. a) O grau do polinômio é 0, pois p(x) 5 24 5 24x0.
b) p(x) não tem raízes, pois p(x) nunca é zero, visto que é cons-
tante e igual a 24.
16. a) p(21) 5 2(21)3 2 7 ? (21) 2 6 5 2
p(22) 5 2(22)3 2 7 ? (22) 2 6 5 16
p(3) 5 2(3)3 2 7 ? 3 2 6 5 254
Portanto, 21, 22 e 3 não são raízes desse polinômio.
b) p(21) 5 2(21)3 2 7 ? (21) 1 6 5 14
p(22) 5 2(22)3 2 7 ? (22) 1 6 5 28
p(3) 5 2(3)3 2 7 ? 3 1 6 5 242
Portanto, 21, 22 e 3 não são raízes desse polinômio.
c) p(21) 5 (21)3 1 7 ? (21) 2 6 5 214
p(22) 5 (22)3 1 7 ? (22) 2 6 5 228
p(3) 5 (3) 3 1 7 ? 3 2 6 5 42
Portanto, 21, 22 e 3 não são raízes desse polinômio.
d) p(21) 5 (21)3 2 7 ? (21) 2 6 5 0
p(22) 5 (22)3 2 7 ? (22) 2 6 5 0
p(3) 5 (3)3 2 7 ? 3 2 6 5 0
Portanto, 21, 22 e 3 são raízes desse polinômio.
17. As raízes de p(x) são os números complexos x tal que p(x) 5 0. 
Então, para x2 1 4x 1 5 5 0, suas raízes são dadas por:
x 5 24 ± 
dXXXX 24 _______________ 2 5 
24 ± 2i ___________ 2 ⇒ x 5 22 1 i ou x 5 22 2 i
Portanto, as raízes do polinômio são 22 1 i e 22 2 i.
18. p ( dXX 3 ) 5 ( 
dXX 3 ) 6 
 ________ 9 2 ( dXX 3 ) 
4 1 3 ? ( dXX 3 ) 2 2 dXX 3 ? dXX 3 5
5 3 2 9 1 9 2 3 5 0
Portanto, dXX 3 é raiz desse polinômio.
19. Como 22 é raiz do polinômio; então, g(22) 5 0. Assim, temos:
g(22) 5 0 ⇒ 2 ? (22)4 2 (k 2 2) ? (22)3 2 (3 2 k) ? (22)2 1 
1 k2 ? (22) 2 20 5 0 ⇒ 32 1 8(k 2 2) 2 4(3 2 k) 22k2 2 20 5 0 ⇒ 
⇒ 32 1 8k 2 16 2 12 1 4k 2 2k2 2 20 5 0 ⇒ 2k2 2 12k 2 16 5 0 ⇒ 
⇒ k2 2 6k 2 8 5 0
Resolvemos essa equação:
k 5 6 ± 
dXXXX 100 _____________ 2 5 
6 ± 10 _________ 2 ⇒ k 5 22 ou k 5 8
Portanto, os possíveis valores de k são 22 ou 8. 
20. Como p(x) é um polinômio de grau 2, ele é da forma 
p(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a Þ 0.
a) Temos:
 p(1) 5 0 ä a 1 b 1c 5 0
p(2) 5 5 ä 4a 1 2b 1 c 5 5
p(21) 1 p(22) 5 27 ä a 2 b 1 c 1 4a 2 2b 1 c 5 27 ä 
ä 5a 2 3b 1 2c 5 27
Dessas equações, temos o seguinte sistema:
 a 1 b 1 c 5 0  (I)
4a 1 2b 1 c 5 5 (II)
5a 2 3b 1 2c 5 27 (III)
t
Subtraindo as equações (II) e (I) da equação (III), obtemos: 
26b 5 212 ä b 5 2
Substituindo b por 2 em todas as equações, obtemos:
 a 1 c 5 22  
4a 1 c 5 1 
5a 1 2c 5 21 
t
Pela diferença entre a segunda equação e a primeira, obte-
mos: 3a 5 3 ä a 5 1
Substituindo a por 1 na primeira equação, obtemos:
1 1 c 5 22 ä c 5 23
Portanto, o polinômio é p(x) 5 x2 1 2x 2 3.
b) p(x) 5 0 ä x2 1 2x 2 3 5 0 ä (x 2 1) ? (x 1 3) 5 0 ä 
ä x 5 1 ou x 5 2 3
Portanto, as raízes de p(x) são 1 e 23.
c) p(0) 5 0² 1 2 ? 0 2 3 5 23
21. Como 21, 0 e 1 são os números inteiros no intervalo [21, 2[, 
calculamos h(21), h(0) e h(1) para verificar se esses números 
são raízes de h(x):
 ▪ h(21) 5 2 ? (21)5 2 2 ? (21)3 1 4 ? (21)2 24 5 0
 ▪ h(0) 5 2 ? 05 2 2 ? 03 1 4 ? 02 2 4 5 24
 ▪ h(1) 5 2 ? 15 2 2 ? 13 1 4 ? 12 2 4 5 0
Portanto, no intervalo [21, 2[, o polinômio tem 21 e 1 como 
raízes inteiras.
22. Para que a igualdade seja válida, os coeficientes do polinômio 
do primeiro membro da igualdade têm de ser igual aos coefi-
cientes correspondentes do polinômio do segundo membro da 
igualdade.
Assim:
a 2 b 5 1
3a 2 2b 5 6
2b 1 2c 5 27
 3c 2 4 5 210
u
Da última equação, obtemos: 3c 2 4 5 210 ä c 5 22
Substituindo c por 22 na terceira equação, obtemos:
2b 1 2c 5 27 ä 2b 1 2 ? (22) 5 27 ä b 5 2 3 __ 2 
Substituindo b por 2 3 __ 2 na segunda equação, obtemos:
3a 2 2b 5 6 ä 3a 2 2 ? ( 2 3 __ 2 ) 5 6 ä a 5 1
Substituindo a por 1 e b por 2 3 __ 2 na primeira equação, obtemos:
a 2 b 5 1 ä 1 2 ( 2 3 __ 2 ) Þ 1
Assim, não há valores de a, b e c que satisfazem esse sistema e, 
portanto, não há valores de a, b e c que satisfazem a igualdade.
Página 668 – Para refletir
Sejam p(x) 5 a n ? x n 1 a n 2 1 ? x n 2 1 1 a n 2 2 ? x n 2 2 1 ... 1 a 0 ? x 0 e 
q(x) 5 b n ? x n 1 b n 2 1 ? x n 2 1 1 b n 2 2 ? x n 2 2 1 ... 1 b 0 ? x 0 polinô-
mios de grau n. Em p(x) 1 q(x), adicionamos os coeficientes dos 
termos correspondentes e o grau do polinômio depende desses 
valores:
 ▪ Se a n 1 b n Þ 0, então o grau do polinômio é n. 
 ▪ Se a n 1 b n 5 0, então temos de analisar o termo de grau 
inferior:
 ▪ Se a n 2 1 1 b n 2 1 Þ 0, então o grau do polinômio é n 2 1. Se 
 a n 2 1 1 b n 2 1 5 0, então temos de analisar o termo de grau in-
ferior, e assim por diante.
Logo, com p(x) e q(x) de grau n, temos p(x) 1 q(x) de grau g, tal 
que 0 < g < n.
Já se p(x) e q(x) têm graus diferentes, então o coeficiente do ter-
mo dominante do polinômio de maior grau não tem um corres-
pondente no outro polinômio. Assim, p(x) 1 q(x) tem o grau do 
polinômio de maior grau.
Página 668 – Exercícios propostos
23. a) p(x) 1 q(x) 5 (3x3 2 2x) 1 (2x3 1 6x2 24x 1 3) 5 
5 2x3 1 6x2 2 6x 1 3
b) q(x) 1 r(x) 5 (2x3 1 6x2 2 4x 1 3) 1 (x2 2 5) 5 
5 2x3 1 7x2 2 4x 2 2
c) q(x) 2 r(x) 5 (2x3 1 6x2 2 4x 1 3) 2 (x2 2 5) 5 
5 2x3 1 5x2 2 4x 1 8
d) p(x) 2 r(x) 5 (3x3 2 2x) 2 (x2 2 5) 5 3x3 2 x2 2 2x 1 5
24. a) p(x) 1 q(x) 5 (3x4 1 5x2 1 1) 1 (6x3 2 7x) 5 
5 3x4 1 6x3 1 5x2 2 7x 1 1
b) p(x) 2 q(x) 5 (3x4 1 5x2 1 1) 2 (6x3 2 7x) 5 
5 3x4 2 6x3 1 5x2 1 7x 1 1 
25. p(x) 1 q(x) 5 t(x) ä p(x) 5 t(x) 2 q(x) 5 
5 (2x3 1 x 1 3) 2 (3x3 1 2x2 2 8) 5 2x3 1 x 1 3 2 3x3 2 2x2 1 8 5 
5 24x3 2 2x2 1 x 1 11
26. a) Verdadeira. Como o coeficiente dominante é 22, o grau do 
polinômio é zero.
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71
b) Falso. Temos, por exemplo, que p(x) 5 x3 e q(x) 5 2x3 são de 
grau 3, mas p(x) 1 q(x) 5 0, que é um polinômio de grau 0.
Portanto, a soma de dois polinômios de grau 3 é um polinô-
mio de grau menor do que ou igual a 3.
c) Verdadeira. Por exemplo, a diferença entre os polinômios 
 p(x) 5 x 5 1 x 2 1 1 e q(x) 5 x 5 1 3 é: 
 p(x) 2 q(x) 5 ( x 5 1 x 2 1 1) 2 ( x 5 1 3) 5 x 2 2 2, que é um 
polinômio de grau 2.
27. a) p(x) 5 q(x) 2 s(x) 5 (2ix3 2 3x2 1 4ix 2 7) 2 (3ix3 1 3ix) 5 
5 2ix3 2 3x2 1 4ix 2 7 2 3ix3 2 3ix 5 2ix3 2 3x2 1 ix 2 7
b) O coeficiente do termo dominante é 2i.
c) O termo independente é 27.
28. Calculando a diferença entre p(x) e q(x), obtemos:
p(x) 2 q(x) 5 (a2 2 7a)x3 1 4x2 [ (24a 1 28)x3 1 (a 2 6)x2 1 x ] 5 
5 ( a2 2 3a 2 28 ) x3 1 ( 2a 1 6 ) x2 1 3x
Para que o polinômio resultante tenha grau 2, temos que o 
coeficiente de x3 deve ser nulo e que o coeficiente de x2 deve ser 
diferente de zero. Assim:
 ▪ a2 2 3a 2 28 5 0 ä (a 2 7) ? (a 1 4) 5 0 ä a 5 7 ou a 5 24
 ▪ 2a 1 6 Þ 0 ä a Þ 6 
Logo, para que o polinômio seja de grau 2, temos a 5 7 ou a 5 24.
29. Queremos determinar o polinômio q(x), tal que:
p(x) 1 q(x) 5 h(x) ä q(x) 5 h(x) 2 p(x) 5 
5 (x3 1 x2 1 x 1 1) 2 ( 1 __ 3 x 3 2 2 __ 5  x 2 7 __ 5 ) 5 2 __ 3 x3 1 x2 1 7 __ 5 x 1 12 ____ 5 
Portanto, o polinômio que devemos adicionar a p(x) para obter 
h(x) é: q(x) 5 2 __ 3  x
3 1 x2 1 7 __ 5  x 1 
12 ____ 5 
30. r(x) 2 s(x) 5 (3a 2 5)x2 1 4x 2 8 2 [ 7x2 2 (2b 1 6)x 1 2c 2 1 ] 5 
5 (3a 2 5)x2 1 4x 2 8 2 7x2 1 (2b 1 6)x 2 2c 1 1 5
5 (3a 2 12)x2 1 (2b 1 10)x 2 2c 2 7
Para que esse polinômio seja identicamente nulo, todos os seus 
coeficientes devem ser iguais a zero. Assim, temos:
3a 2 12 5 0 ä a 5 4
2b 1 10 5 0 ä b 5 25
22c 2 7 5 0 ä c 5 2 7 __ 2 
Portanto: a 5 4, b 5 25 e c 5 2 7 __ 2 
Página 669 – Exercícios propostos
31. a) p(x) ? q(x) 5 (2x 1 4) ? (3 2 2x2) 5 6x 2 4x3 1 12 2 8x2 5 
5 24x3 2 8x2 1 6x 1 12
b) p(x) ? r(x) 5 (2x 1 4) ? (x 2 i) 5 2x2 2 2ix 1 4x 2 4i 5 
5 2x2 1 (4 2 2i)x 2 4i
c) r(x) ? q(x) 5 (x 2 i) ? (3 2 2x2) 5 3x 2 2x3 2 3i 1 2ix2 5 
5 22x3 1 2ix2 1 3x 2 3i
d) r(x) ? r(x) 5 (x 2 i) ? (x 2 i) 5 x2 2 ix 2 ix 1 i2 5 x2 2 2ix 2 1
32. O polinômio h(x) tem o grau do termo resultante da multiplica-
ção dos termos de maior grau de p(x) por q(x) por x. Sejam kx3 o 
termo de maior grau de p(x) e tx4 o termo de maior grau de q(x). 
Assim, o termo de maior grau de h(x) é: 
x(kx3)(tx4) 5 ktx8
Portanto, o grau de h(x) é 8.
33. p(x) ? q(x) 5 (x 1 7i) ? (2ix2 1 3x) 5 2ix3 1 3x2 214x2 1 21ix 5 
5 2ix3 2 11x2 1 21ix
Se p(x) ? q(x) 5 a x 3 1 b x  2 1 cx 1 d; então, temos:
2ix3 2 11x2 1 21ix 5 a x 3 1 b x  2 1 cx 1 d
Comparando os dois membros da igualdade, obtemos:
a 5 2i; b 5 211; c 5 21i e d 5 0
Portanto: a 1 2b 1 3c 1 4d 5 2i 222 1 63i 1 0 5 222 1 65i
34. Sejam kx3, tx6, ux2 e vxn os termos de maior grau de p(x), r(x), s(x) 
e q(x), e n o grau de q(x). O termo de maior grau de p(x) ? q(x) é 
(kx3) ? (vxn) 5 kvx3 1 n e o termo de maior grau de r(x) ? s(x) é 
(ux2) ? (tx6) 5 utx8.
Pela igualdade, temos: 3 1 n 5 8 ä n 5 5
Portanto, o grau de q(x) é 5.
t
35. 9x2 2 4x 1 7 2 3 ? [1 2 p(x)] 5 x2 2 12 1 p(x) ⇒ 
⇒ 8x2 2 4x 1 19 2 3 1 3p(x) 5 p(x) ⇒ 
⇒ 2p(x) 5 28x2 1 4x 2 16 ⇒ p(x) 5 2 4x2 1 2x 2 8
36. a) Para determinar os polinômios, resolvemos o seguinte sistema:
Q
ƒ(x) 1 g(x) 5 2x 1 5
ƒ(x) 2 g(x) 5 4x 1 3
Adicionando as duas equações, obtemos:
2ƒ(x) 5 6x 1 8 ä ƒ(x) 5 3x 1 4
Substituindo ƒ(x) por 3x 1 4 na primeira equação, obtemos:
3x 1 4 1 g(x) 5 2x 1 5 ä g(x) 5 2x 1 1
Portanto, os polinômios são: ƒ(x) 5 3x 1 4 e g(x) 5 2x 1 1
b) ƒ(x) ? g(x) 5 (3x 1 4) ? (2x 1 1) 5 23x2 1 3x 2 4x 1 4 5 
5 23x² 2 x 1 4
37. Desenvolvendo q(x), temos:
q(x) 5 (x 2 b) ? (x 1 c) 5 x2 1 (c 2 b)x 2 cb
Se q(x) 5 p(x); então: x2 1 (c 2 b)x 2 cb 5 ax2 1 bx 1 c
Comparando os coeficientes, temos:
a 5 1
c 2 b 5 b
2c ? b 5 c
t
 ▪ Se c Þ 0, então: 2c ? b 5 c ä b 5 2 c __ c 5 21 
E assim: c 2 b 5 b ä c 1 1 5 21 ä c 5 22
 ▪ Se c 5 0, então: c 2 b 5 b ä 2b 5 b ä 2b 5 0 ä b 5 0
Portanto, temos duas possibilidades: 
a 1 b 1 c 5 1 2 1 2 2 5 22 ou a 1 b 1 c 5 1 1 0 1 0 5 1
38. p(x) 5 1 __ 2 ? [ (3x 1 9) 1 (2 5x 1 1) ] 2 (3x 1 9) ? (25x 1 1) 5 
5 1 __ 2 ? ( 22x 1 10 ) 1 15x
2 1 42x 2 9 5 15x21 41x 2 4
39. [p(x)] 2 5 p(x) ? p(x) 5(x3 2 3ix2) ? (x3 2 3ix2) 5 
5 x6 2 3ix5 2 3ix5 2 9x4 5 x6 2 6ix5 2 9x4
40. Substituindo q(x) na expressão, obtemos:
p(x) 5 4x4 1 r(x) 1 16 5 (2 x 2 ) 2 1 r(x) 1 4 2 
Temos duas possibilidades para r(x) que torna p(x) um quadrado 
perfeito:
 ▪ p(x) 5 (2x2 2 4 ) 2 5 4x4 2 16x2 1 16 
Então: r(x) 5 216x2
 ▪ p(x) 5 (2x2 1 4 ) 2 5 4x4 1 16x2 1 16
Então: r(x) 5 16x2
Portanto, r(x) 5 16x2 ou r(x) 5 216x2
Página 670 – Ação e cidadania
Sugerimos que ressalte para a turma um uso inadequado da inter-
net, que é copiar textos disponíveis para apresentar pesquisas e 
outros trabalhos escolares. Mostre que essa conduta – além de 
empobrecer a aprendizagem, levando o aluno a roubar de si mesmo 
a oportunidade de ampliar o seu conhecimento – configura 
plágio, conduta ilegal e, portanto, é passível de ser punida por lei. 
Ao encontrar na internet um material de que se precisa, ele deve 
ser usado como reflexão a ser desenvolvida; ao citar trechos dele 
é obrigatório informar que se trata de texto de terceiros (incluindo 
o nome dos autores, se houver) e fornecer o endereço da pesquisa, 
a exemplo do que este livro tem feito nos boxes Ação e cidadania e 
em outros momentos da apresentação dos conteúdos. 
 ▪ Resposta pessoal. Espera-se que os alunos concluam que o 
encadeamento das ações necessárias ao cumprimento de uma 
tarefa escolar exige atitudes verdadeiras, que o levem à re-
flexão sobre os conteúdos, sem impostura ou artifícios para 
enganar. Apenas assim, agindo como verdadeiro estudante 
(“aquele que estuda”), é possível desenvolver a aprendizagem.
Página 671 – Cálculo mental
 ▪ p(x) 5 x 2 5 ä 0 5 x 2 5 ä x 5 5
 ▪ ƒ(x) 5 x 1 17 ä 0 5 x 1 17 ä x 5 217
 ▪ h(x) 5 x 2 3i ä 0 5 x 2 3i ä x 5 3i
 ▪ t(x) 5 x 2 3 1 2i ä 0 5 x 2 3 1 2i ä x 5 3 2 2i
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72
Página 671 – Para refletir
Sabendo que p(x) 5 a n ? x n 1 a n 2 1 ? x x 2 1 1 a n 2 2 ? x n 2 2 1 ... 1 
1 a 0 ? x 0 tem grau n e n 1 1 termos, ao dividirmos por 
d(x) 5 x 2 a usando o dispositivo Briot- Ruffini, temos como 
quociente um polinômio de n termos; logo, o grau do quociente 
é n 2 1. Consideramos os polinômios em sua forma completa.
Já para analisar o coeficiente dominante, temos:
a a n a n 2 1 … a 0 
 a n …
Então, o quociente tem como coeficiente dominante o mesmo 
coeficiente dominante do polinômio p(x).
Página 672 – Exercícios propostos
43. a) Pelo método da chave, temos:
6x2 2 3x 1 7 2x 1 1
26x2 2 3x 3x 2 3
0 2 6x 1 7
6x 1 3
10
 Portanto, o quociente é 3x 2 3 e o resto é 10.
b) Pelo método da chave, temos:
x5 1 0x4 1 5x3 1 x2 1 0x x2 1 x
2x5 2 x4 x3 2 x2 1 6x 2 5
0 2 x4 1 5x3 1 x2 1 0x
 x4 1 x3 
 0 1 6x3 1 x2 1 0x
 26x3 2 6x2
 0 2 5x2 1 0x
 5x2 1 5x
5x
Portanto, o quociente é x3 2 x2 1 6x 2 5 e o resto é 5x.
c) Pelo o método da chave, temos:
2x5 2 x4 1 4x3 2 x2 1 2 x2 1 2
22x5 1 0 x 4 2 4x3 2x3 2 x2 1 1
 0 2 x4 1 0x3 2 x2 1 2
 x4 1 0x3 1 2x2 
 0 1 x2 1 2
 2x2 2 2
0
Portanto, o quociente é 2x3 2 x² 1 1 e o resto é 0.
d) Pelo método da chave, temos:
4x2 2 4x 2 12 x 1 2
 24x2 2 8x 4x 2 12
 0 2 12x 2 12 
 12x 1 24 
 0 1 12 
Portanto, o quociente é 4x 2 12 e o resto é 12.
44. p(x) 5 q(x) ? d(x) 1 r(x) 5 (2x2 1 x 2 1) ? (3x2 2 5) 1 x 2 6 5 
5 6x4 2 10x2 1 3x3 2 5x 2 3x2 1 5 1 x 2 6 5 
5 6x4 1 3x3 2 13x2 2 4x 2 1
45. Para que um polinômio seja divisível por outro, seu resto deve 
ser nulo. Vamos determinar o resto da divisão pelo método da 
chave.
2x3 1 x2 1 mx 1 n x2 1 x 2 7
22x3 2 2x2 1 14x 2x 2 1
 0 2 x2 1 (m 1 14)x 1 n
 x2 1 x 2 7 
 (m 1 15)x 1 n 2 7
Para que o resto seja nulo, temos:
(m 1 15)x 1 n 2 7 5 0 
Para que a igualdade seja válida, temos:
m 1 15 5 0 ⇒ m 5 215
n 2 7 5 0 ⇒ n 5 7
Logo, para m 5 215 e n 5 7, o polinômio p(x) é divisível por d(x).
46. Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, sabendo que a raiz de 
x 2 6 é 6, temos:
6 1 25 m 11
1 1 6 1 m 47 1 6m
Como o resto é 21, temos: 47 1 6m 5 21 ä m 5 28
O quociente é:
x² 1 x 1 (6 1 m) 5 x² 1 x 1 (6 2 8) 5 x² 1 x 2 2
Portanto, para que o resto da divisão em questão seja 21, o 
valor de m deve ser 28 e o quociente da divisão, q(x) 5 x² 1 x 2 2.
47. Observando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
a) a 5 2
(21) ? 3 1 b 5 23 ä b 5 23 1 3 ä b 5 0
(23) ? 3 1 c 5 22 ä c 5 22 1 9 ä c 5 7
Portanto, o polinômio quociente é 2x2 2 x 2 3.
b) a 5 2
2 ? (22) 1 0 5 b ä b 5 24
(24) ? (22) 1 7 5 c ä c 5 15
Portanto, o polinômio quociente é 2x 2 4.
48. a) Se g(x) é divisível por x 2 1, então o resto da divisão é 0. 
Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, sabendo que a raiz de 
x 2 1 é 1, temos:
1 1 0 2 k 21
1 1 3 3 1 k 2 1 k
Para que o resto da divisão seja zero, temos:
2 1 k 5 0 ä k 5 22
Portanto, para k 5 22, o polinômio g(x) é divisível por x 2 1.
b) Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, sabendo que a raiz de 
x 2 8 é 8, temos:
8 1 27 k 1 1 6
1 1 k 1 9 8k 1 78
Para que o resto da divisão seja 210, temos:
8k 1 78 5 210 ä k 5 211
Portanto: k 5 211.
49. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, sabendo que a raiz de x 2 6 
é 6, temos:
6 1 a b c 25
1 21 3 1 r(x)
a) Temos:
6 ? 1 1 a 5 21 ä a 5 27
6 ? (21) 1 b 5 3 ä b 5 9
6 ? 3 1 c 5 1 ä c 5 217
Portanto: a 5 27, b 5 9 e c 5 217
b) 1 ? 6 2 5 5 r(x) ä r(x) 5 1
Página 674 – Exercícios propostos
53. Seja p(x) um polinômio com grau maior ou igual a 1. Pelo 
teorema do resto, temos que o resto r(x) da divisão de p(x) por 
d(x) 5 x 2 a é igual a p(a), isto é, r(x) 5 p(a). Então:
a) r(x) 5 p(2) 5 32 2 48 1 4 5 212
b) r(x) 5 p(23) 5 254 1 27 1 6 1 1 5 220
c) r(x) 5 p(10) 5 10 000 2 10 000 1 100 2 2 5 98
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73
54. Pelo teorema do resto, temos que o resto da divisão de ƒ(x) por 
q(x) é ƒ(2m); então:
r(x) 5 ƒ(2m) 5 2m4 2 m3 2 m2 1 m
55. Pelo teorema de D’Alembert, um polinômio p(x) é divisível por 
x 2 a se, e somente se, a é raiz de p(x), isso é p(a) 5 0.
a) ƒ(21) 5 3 (21) 5 2 2 (21) 4 1 3 (21) 2 2 (21) 1 7 5 
5 23 2 2 1 3 1 1 1 7 5 6 Þ 0
Como 21 não é raiz de ƒ(x), constatamos que ƒ(x) não é di-
visível por x 1 1.
b) ƒ(1) 5 2 ? 1 4 1 3 ? 1 3 2 9 5 2 1 3 2 9 5 24 Þ 0
Como 1 não é raiz de ƒ(x), constatamos que ƒ(x) não é divi-
sível por x 2 1.
c) ƒ(23) 5 5 (23) 2 1 6(23) 2 20 5 45 2 18 2 20 5 7 Þ 0
Como 23 não é raiz de ƒ(x), constatamos que ƒ(x) não é di-
visível por x 1 3.
d) ƒ(10) 5 10 4 2 10 ? 10 3 2 10 ____ 2 1 5 5 10 000 2 10 000 2 5 1 
1 5 5 0
Como 10 é raiz de ƒ(x), então ƒ(x) é divisível por x 2 10.
56. Se p(x) é divisível por d(x); então, pelo teorema de D’Alembert, 
1 é raiz de p(x). Então:
p(1) 5 0 ä 0 5 k ? 1 3 1 (2k 2 5) ? 1 2 1 k __ 2 ? 1 2 3k ä k 5 10
Portanto, para k 5 10, o polinômio p(x) é divisível por d(x).
57. Pelo teorema do resto, temos p(2) 5 13; então:
p(2) 5 13 ä p(2) 5 16a 1 3a 2 2 2 4a 2 16 ä 13 5 15a 2 18 ä 
ä a 5 31 ____ 15 
Portanto, o resto dessa divisão é 13 para a 5 
31
 ____ 15 .
58. Para que os polinômios p(x) e q(x) sejam fatores de ƒ(x) é preciso 
que ƒ(2) e ƒ(4) sejam iguais a zero. Então:
ƒ(2) 5 8 2 12 2 20 1 24 5 0
ƒ(4) 5 64 2 48 2 40 1 24 5 0
Portanto, como ƒ(2) 5 0 e ƒ(4) 5 0, os polinômios p(x) e q(x) 
são fatores de ƒ(x).
59. Como p(x) e q(x) são divisíveis por d(x) 5 x 1 2; então, pelo teore-
ma de D'Alembert, 22 é raiz de p(x) e de q(x), ou seja, p(22) 5 0 
e q(22) 5 0. Então:
 ▪ p(22) 5 (22) 3 1 (m 1 n) ? (22) 2 2 4 5 0 ä 
ä 28 1 4m 1 4n 2 4 5 0
 ▪ q(22) 5 2(22) 2 1 (m 2 n) ? (22) 2 22 5 0 ä 
ä 8 2 2m 1 2n 2 22 5 0
Assim, os valores de m e n correspondem à solução do seguinte 
sistema:
Q
28 1 4m 1 4n 2 4 5 0
 8 2 2m 1 2n 2 22 5 0
ä Q
 4m 1 4n 5 12
22m 1 2n 5 14
 ä Q
 m 1 n 5 3
2m 1 n 5 7
Adicionando, membro a membro, as duas equações, obtemos:
2n 5 10 ⇒ n 5 5
Substituindo n por 5 na primeiraequação, obtemos:
m 1 5 5 3 ä m 5 22
Portanto, os polinômios p(x) e q(x) são divisíveis por d(x) se 
n 5 5 e m 5 22.
60. a) Para que g(x) 5 x 1 5 seja fator de ƒ(x) é necessário que 
ƒ(25) 5 0. De fato:
ƒ(25) 5 (25) 3 1 4 (25) 2 2 7(25) 2 10 5 2125 1 100 1 
1 35 2 10 5 0
Portanto, g(x) é fator de ƒ(x).
b) x3 1 4x2 2 7x 2 10 x 1 5
2x3 2 5x2 x2 2 x 2 2
0 2 x2 2 7x 2 10
 x2 1 5x
 0 2 2x 2 10
 2x 1 10
 0
Portanto, o quociente da divisão de ƒ(x) por g(x) é x2 2 x 2 2.
61. a) g(x) 5 x2 2 1 ⇒ g(x) 5 (x 1 1) ? (x 2 1)
b) ƒ(1) 5 1 1 1 2 2 5 0 e ƒ(21) 5 1 1 1 2 2 5 0
c) ƒ(x) é divisível por g(x), pois é divisível pelos seus fatores.
62. Como ƒ(x) é divisível por g(x), então também é divisível pelos 
fatores de g(x). Assim:
Q
ƒ(22) 5 28 2 2m 1 n 5 0
ƒ(3) 5 27 1 3m 1 n 5 0
 ä Q
22m 1 n 5 8
3m 1 n 5 227
Da diferença entre a primeira e a segunda equação, obtemos:
5m 5 235 ä m 5 27
Substituindo m por 27 na primeira equação, obtemos:
14 1 n 5 8 ⇒ n 5 2 6
Logo: m2 1 n2 5 (27)² 1 (26)² 5 49 1 36 5 85
63. a) p ( 1 __ 5 ) 5 ( 1 __ 5 ) 2 2 4 ___ 5 ? 1 __ 5 1 3 ____ 25 5 0
p ( 2 __ 5 ) 5 ( 2 __ 5 ) 2 2 4 ___ 5 ? 2 __ 5 1 3 ____ 25 5 2 1 ____ 25 
p ( 3 __ 5 ) 5 ( 3 __ 5 ) 
2
 2 4 ___ 5 ? 
3 __ 5 1 
3 ____ 25 5 0
p ( 4 ___ 5 ) 5 ( 4 ___ 5 ) 
2
 2 4 ___ 5 ? 
4 ___ 5 1 
3 ____ 25 5 
3
 ____ 25 
b) Como 1 __ 5 e 
3 __ 5 são raízes de p(x); então, pelo teorema do fator:
 p(x) 5 ( x 2 1 __ 5 ) ? ( x 2 3 __ 5 ) 
64. Como p(x) é divisível por x 1 2, pelo teorema de D'Alembret, 
22 é raiz de p(x):
p(22) 5 (22) 3 1 2 ? (22) 2 1 m(22) 1 n 5 0 ä
ä 28 1 8 2 2m 1 n 5 0 ä m 5 n __ 2 
Página 675 – Ação e cidadania
 ▪ O consumismo está diretamente vinculado à superlotação de 
depósitos de lixo, pois aumenta o descarte de embalagens de 
materiais diversos (plástico, metal, vidro, papel) e a produção 
de lixo orgânico.
 ▪ Resposta pessoal. Incentive a pesquisa, que pode ser realizada 
em trabalho de campo ou na própria sala de aula, de acordo 
com sua orientação. Em sala, os alunos podem escrever uma 
carta coletiva ao departamento responsável da prefeitura, 
solicitando informações sobre a coleta e o destino do lixo na co-
munidade. Em campo, pode-se formar uma comissão de alunos 
para entrevistar um funcionário municipal responsável pelo 
assunto; a pauta de perguntas deve ser elaborada com a parti-
cipação de todos os alunos; é preciso agendar esse contato na 
prefeitura, ação que pode ser realizada por outra comissão de 
alunos, em uma possível distribuição de tarefas.
Página 675 – Cálculo mental
 ▪ x 1 5 5 0 ä x 5 25
 ▪ 3x 2 12 5 0 ä x 5 4
 ▪ x2 1 49 5 0 ä x 5 7i ou x 5 27i
 ▪ x
2
 ___ 2 2 50 5 0 ä x 5 10 ou x 5 210
 ▪ x2 1 9 5 0 ä x 5 3i ou x 5 23i
Página 677 – Exercícios propostos
67. ▪ (22) 3 2 2 (22) 2 25 ? (22) 1 6 5 28 2 8 1 10 1 6 5 0 
Logo, 22 é raiz.
 ▪ (21) 3 2 2(21)2 25 ? (21) 1 6 5 21 2 2 1 5 1 6 5 8
Logo, 21 não é raiz.
 ▪ (0)3 2 2(0)2 2 5 ? 0 1 6 5 6
Logo, 0 não é raiz.
 ▪ (1)3 2 2(1)2 2 5 ? 1 1 6 5 1 2 2 2 5 1 6 5 0
Logo, 1 é raiz.
 ▪ (2)3 2 2(2)2 2 5 ? 2 1 6 5 8 2 8 2 10 1 6 5 24
Logo, 2 não é raiz.
Portanto, 22 e 1 são raízes da equação.
68. p(x) 5 0 ä p(x) 5 ( x 2 1 4) ? (x 1 4) ? (x 2 2) ä x 2 1 4 5 0 ou 
x 1 4 5 0 ou x 2 2 5 0
 ▪ x2 1 4 5 0 ä x2 5 24 ä x 5 2i ou x 5 22i
 ▪ x 1 4 5 0 ä x 5 24 
 ▪ x 2 2 5 0 ä x 5 2
Portanto, o conjunto solução da equação p(x) 5 0 é:
S 5 {24, 2, 22i, 2i}
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74
69. Seja p(x) 5 x3 1 5x2 2 22x 1 16 5 0 o polinômio associado à equa-
ção dada. Sabendo que 28 é raiz da equação, temos p(28) 5 0, ou 
seja, p(x) é divisível por (x 1 8). Logo p(x) 5 (x 1 8) ? q(x).
Determinamos q(x) por Briot-Ruffini:
28 1 5 222 16
1 23 2 0
Então: 
q(x) 5 x² 2 3x 1 2 5 (x 2 1) ? (x 2 2)
 Assim, p(x) 5 (x 1 8) ? (x 2 1) ? (x 2 2), cujas raízes são 28, 1 e 2. 
Logo, as outras raízes da equação p(x) 5 0 são 1 e 2.
70. Como 7, 2i, i são raízes de p(x) 5 0; pelo teorema da decompo-
sição, podemos escrever:
p(x) 5 (x 2 7) ? (x 1 i) ? (x 2 i) 5 (x 2 7) ? ( x 2 2 i 2 ) 5
5 (x 2 7) ? ( x 2 1 1) 5 x 3 2 7 x 2 1 x 2 7
Portanto, uma equação algébrica nessas condições é:
 x 3 2 7 x 2 1 x 2 7 5 0
71. Sabendo que 1 e 22 são raízes do polinômio dado, temos 
p(x) 5 (x 2 1) ? (x 1 2) ? q(x). Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, 
dividimos p(x) por (x 2 1) e, depois, por (x 1 2):
1 1 1 21 1 22
22 1 2 1 2 0
1 0 1 0
Então:
q(x) 5 x2 1 1 5 (x 2 i) ? (x 1 i)
Portanto: p(x) 5 (x 2 1) ? (x 1 2) ? (x 2 i) ? (x 1 i)
72. Sabendo que dXX 2 e 2 dXX 2 são raízes do polinômio dado, temos 
ƒ(x) 5 ( x 2 dXX 2 ) ? ( x 1 dXX 2 ) ? q(x). Pelo dispositivo de Briot-Ruffi-
ni, dividimos p(x) por ( x 2 dXX 2 ) e, depois, por ( x 1 dXX 2 ) :
 dXX 2 3 0 0 0 212
2 dXX 2 3 3 dXX 2 6 6 dXX 2 0
3 0 6 0
Então:
q(x) 5 3x2 1 6 5 3(x2 1 2) 5 3 ( x 2 dXX 2 i ) ? ( x 1 dXX 2 i ) 
Portanto: ƒ(x) 5 3 ( x 2 dXX 2 ) ? ( x 1 dXX 2 ) ? ( x 2 dXX 2 i ) ? ( x 1 dXX 2 i ) 
73. Como p(x) é divisível por (x 2 3), temos p(x) 5 (x 2 3) ? q(x). 
Determinamos o quociente da divisão de p(x) por (x 2 3) pelo 
dispositivo de Briot-Ruffini.
3 1 3 213 215
1 6 5 0
Então:
q(x) 5 x2 1 6x 1 5 5 (x 1 1) ? (x 1 5) 
Logo: p(x) 5 (x 2 3) ? (x 1 1) ? (x 1 5)
Portanto, a solução de p(x) 5 0 é: S 5 {25, 21, 3}
Página 678 – Exercícios propostos
76. Podemos fatorar o polinômio de grau 2:
(x 2 2)3 ? (x 1 5)2 ? (x2 1 2x 1 1) 5 0 ⇒
⇒ (x 2 2)3 ? (x 1 5)2 ? (x 1 1)2 5 0
Portanto, 2 é raiz de multiplicidade 3 e 25 e 21 são raízes de 
multiplicidade 2.
77. Como a equação é do 4o grau e 21 é uma raiz de multiplicidade 
3, temos que 1 é uma raiz de multiplicidade 1. Assim:
a ? (x 1 1)3 ? (x 2 1) 5 0, sendo a Þ 0
Adotando a 5 1, obtemos:
1 ? (x 1 1)3 ? (x 2 1) 5 0 ⇒ (x 1 1)2 ? (x 1 1) ? (x 2 1) 5 0 ⇒ 
⇒ (x2 1 2x 1 1) ? (x2 2 1) 5 0 ⇒ x4 1 2x3 2 2x 2 1 5 0
Portanto, uma possível equação é x4 1 2x3 2 2x 2 1 5 0.
78. Para determinar a multiplicidade de 21, utilizamos o dispositivo 
de Briot-Rufinni para dividir p(x) 5 x4 1 5x3 1 9x2 1 7x 1 2 
por (x 1 1), quantas vezes forem necessárias, até obtermos res-
to diferente de zero:
21 1 5 9 7 2
21 1 4 5 2 0 ← resto zero
21 1 3 2 0 ← resto zero
21 1 2 0 ← resto zero
1 1 ← resto diferente de zero
Portanto, para p(x) 5 0, a multiplicidade da raiz 2 1 é 3.
79. Sendo p(x) 5 x 4 2 10 x 3 1 29 x 2 2 40x 1 100 o polinômio 
associado à equação dada, sabendo que 5 é raiz de multiplicida-
de 2; então, p(x) 5 (x 2 5) 2 ? q(x). Dividimos p(x) por (x 2 5) duas 
vezes, pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
5 1 210 29 240 100
5 1 25 4 220 0
1 0 4 0
Então:
q(x) 5 x² 1 4 5 (x 2 2i) ? (x 1 2i)
Logo, p(x) 5 (x 2 5) 2 ? (x 2 2i) ? (x 1 2i), cujas raízes são 5, 2i 
e 22i.
Logo, as outras raízes da equação p(x) 5 0 são 2i e 22i.
80. Sendo p(x) 5 x 3 1 m x 2 1 3x 1 n o polinômio associado à equa-
ção dada, e sabendo que 3 é raiz de multiplicidade 2; então, ao 
dividir p(x) por (x 2 3) duas vezes, obtemos resto 0. Pelo dispo-
sitivo de Briot-Ruffini, temos:
3 1 m 3 n
1 3 1 m 12 1 3m 36 1 9m 1 n
O resto deve ser igual a zero; então:
36 1 9m 1 n 5 0 (I)
Aplicando novamente o dispositivo de Briot-Rufinni, temos:
3 1 3 1 m 12 1 3m
1 6 1 m 30 1 6m
O resto deve ser igual a zero novamente; assim:
30 1 6m 5 0 ä m 5 25
Substituindo m por 25 na equação (I), obtemos:
36 1 9m 1 n 5 0 ⇒ 36 2 45 1 n 5 0 ⇒ n 5 9
Portanto: m 5 25 e n 5 9
Página 679 – Ação e cidadania
Para auxiliar, apresentamos algumas sugestões de temas que po-
dem ser trabalhados pelos alunos.
 ▪ Educação financeira como prática de cidadania
 ▪ Educação ambiental e cidadã
 ▪ Desenvolvimento sustentável e cidadania
 ▪ Inclusão digital
 ▪ Etnomatemática: respeito à diversidade cultural
 ▪ Preconceito e cidadania
Página 681 – Exercícios propostos
82. Como 7i é raiz da equação, seu conjugado 27i também é raiz da 
equação. Então, as raízessão 1, 3, 5, 7i e 27i, e o menor grau 
dessa equação é 5.
83. Seja p(x) 5 x 3 1 2 x 2 2 6x 1 8 o polinômio associado à equação 
dada. Como 1 1 i é raiz da equação, então 1 2 i também é raiz. 
Assim, p(x) 5 [ x 2 ( 1 1 i ) ] ? [ x 2 ( 1 2 i ) ] ? q(x). Vamos determi-
nar q(x) pelo dispositivo de Briot-Ruffini: 
1 1 i 1 2 26 8
1 2 i 1 3 1 i 24 1 4i 0
1 4 0
Então: q(x) 5 x 1 4
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 Assim, p(x) 5 [ x 2 ( 1 1 i ) ] ? [ x 2 ( 1 2 i ) ] ? (x 1 4), cujas raízes 
são 24, 1 1 i e 1 2 i.
Portanto, a solução de p(x) 5 0 é: S 5 {1 1 i, 1 2 i, 24}
84. Como i é raiz da equação, temos:
i4 1 i3 2 5i2 1 mi 2 6 5 0 ä 1 2 i 15 1 mi 2 6 5 0 ⇒ 
⇒ mi 5 i ⇒ m 5 1
Substituímos m por 1 na equação dada:
x4 1 x3 2 5x2 1 x 2 6 5 0
Sendo p(x) 5 x4 1 x3 2 5x2 1 x 2 6 o polinômio associado à 
equação determinada, como i é raiz da equação; então 2i tam-
bém é raiz. Assim, p(x) 5 (x 2 i) ? (x 1 i) ? q(x) e, pelo dispositi-
vo de Briot-Ruffini, vamos determinar q(x):
i 1 1 25 1 26
2i 1 i 1 1 i 2 6 26i 0
1 1 26 0
Então:
q(x) 5 x2 1 x 2 6 5 (x 2 2) ? (x 1 3)
 Assim, p(x) 5 (x 2 i) ? (x 1 i) ? (x 2 2) ? (x 1 3), cujas raízes 
são 2, 23, i e 2i.
Logo, m 5 1 e as raízes da equação p(x) 5 0 são 2, 23, i e 2i.
85. Seja p(x) 5 x4 2 5x3 1 9x2 2 5x o polinômio associa-
do à equação dada. Temos que 0 é raiz do polinômio, pois 
p(0) 5 04 2 5 ? 03 1 9 ? 02 2 5 ? 0 5 0. Logo, a equação dada 
pode ser escrita como x(x3 2 5x2 1 9x 2 5) 5 0.
Seja q(x) 5 x3 2 5x2 1 9x 2 5, notamos que q(x) tem apenas 
coeficientes inteiros. Assim, podemos verificar se a equação 
q(x) 5 0 tem raízes racionais, na forma 
p
 __ q . Para determinar as 
possíveis raízes, calculamos os divisores de 25 e 1.
Q p é divisor de 25 ä p 7 {21, 1, 25, 5}
q é divisor de 1 ä q 7 {21, 1}
Desse modo, 
p
 __ q e {21, 1, 25, 5}. Vamos verificar se esses valores 
são raízes da equação q(x) 5 0.
Observamos que q(1) 5 13 2 5 ? 12 1 9 ? 1 2 5 5 0, o que signi-
fica que 1 é raiz. Pode-se reescrever p(x):
p(x) 5 x ? (x 2 1) ? s(x)
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para 1 e q(x), obtêm-se 
os coeficientes do polinômio s(x).
1 1 25 9 25
1 24 5 0
Portanto: s(x) 5 x2 2 4x 1 5
Fatoramos esse polinômio, utilizando a resolução da equação do 
segundo grau associada a ele:
D 5 (24)2 2 4 ? 1 ? 5 5 16 2 20 5 24
x 5 
2(24) ± dXXXX 24 
 ____________________ 2 ? 1 5 
4 ± 2i ________ 2 ä x 5 2 1 i ou x 5 2 2 i
Então: x2 2 4x 1 5 5 (x 2 2 2 i) ? (x 2 2 1 i)
Portanto, p(x) 5 x ? (x 2 1) ? (x 2 2 2 i) ? (x 2 2 1 i) e as raízes 
da equação p(x) 5 0 são: 0, 1, 2 1 i e 2 2 i
Portanto: S 5 {2 2 i, 2 1 i, 0, 1}
86. Observando o gráfico, podemos afirmar que 21 e 1 são raízes 
de p(x). Como o grau de p(x) é 5 temos pelo menos mais uma 
raiz real, isto é, uma das raízes anteriores tem multiplicidade 2. 
Verificamos pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
21 1 1 3 3 24 24
 1 1 0 3 0 24 0
21 1 1 4 4 0
1 0 4 0
Logo, a raiz 21 tem multiplicidade 2.
Se p(x) 5 (x 2 1) ? (x 1 1) 2 ? q(x), então q(x) 5 x2 14. 
Determinando as raízes de q(x), obtemos:
x2 1 4 5 0 ⇒ x2 5 24 ⇒ x 5 ± dXXXX 24 ⇒ x 5 2i ou x 5 22i
Portanto, o conjunto solução de p(x) 5 0 é: S 5 {21, 1, 22i, 2i}
87. Seja p(x) 5 x5 1 4x4 2 x 2 4 o polinômio associado à equação 
dada. Como a equação tem apenas coeficientes inteiros, pode-
mos verificar, primeiramente, se a equação tem raízes racionais, 
na forma 
p
 __ q : 
Q 
p é divisor de 24 ä p 7 {21, 1, 22, 2, 24, 4}
q é divisor de 1 ä q 7 {21, 1}
Desse modo, 
p
 __ q 7 {21, 1, 22, 2, 24, 4}. Resta verificar se esses 
valores são raízes da equação p(x) 5 0.
 ▪ p(21) 5 (21)5 1 4 ? (21)4 2 (21) 2 4 5 21 1 4 1 1 2 4 5 0
Como p(21) 5 0, concluímos que 21 é raiz.
 ▪ p(1) 5 15 1 4 ? 14 2 1 2 4 5 1 1 4 2 1 2 4 5 0.
Como p(1) 5 0, concluímos que 1 é raiz.
 ▪ p(22) 5 (22)5 1 4 ? (22)4 2 (22) 2 4 5 
 5 32 1 64 1 2 2 4 5 30
Como p(22) 5 30 Þ 0, concluímos que 22 não é raiz.
 ▪ p(2) 5 25 1 4 ? 24 2 2 2 4 5 32 1 64 2 2 2 4 5 90
Como p(2) 5 90 Þ 0, concluímos que 2 não é raiz.
 ▪ p(24) 5 (24)5 1 4 ? (24)4 1 4 2 4 5
 5 21 024 1 1 024 1 4 2 4 5 0
Como p(24) 5 0, concluímos que 24 é raiz.
 ▪ p(4) 5 45 1 4 ? 44 2 4 2 4 5 1 024 1 1 024 2 4 2 4 5 2 040
Como p(4) 5 2 040 Þ 0, concluímos que 4 não é raiz.
Sabendo que 21, 1 e 2 4 são as raízes racionais da equação, esta 
pode ser fatorada como (x 1 1) ? (x 2 1) ? (x 1 4) ? q(x) 5 0, sen-
do q(x) um polinômio de grau 2. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, 
obtemos os coeficientes de q(x) e, assim, as raízes complexas da 
equação.
21 1 4 0 0 21 24
1 1 3 23 3 24 0
24 1 4 1 4 0
1 0 1 0
Portanto, q(x) 5 x2 1 1. Verificando as raízes complexas não reais 
de q(x):
x2 1 1 5 0 ä x2 5 21 ä x 5 ± dXXX 21 5 ± i
Assim, escrevemos a equação p(x) 5 0 na forma fatorada: 
(x 1 1) ? (x 2 1) ? (x 1 4) ? (x 1 i) ? (x 2 i) 5 0
Logo, suas raízes racionais são 24, 21 e 1 e suas raízes comple-
xas não reais são 2i e i.
88. a) As raízes reais de ƒ(x) são as abscissas dos pontos em que o 
gráfico corta o eixo Ox. Assim, as raízes reais são 22, 21, 1 e 
2. Como ƒ(x) é de grau 4, essas são as únicas raízes.
b) Como o coeficiente dominante é 1 e utilizando as raízes de 
ƒ(x), temos a sua forma fatorada:
ƒ(x) 5 1 ? (x 1 2) ? (x 1 1) ? (x 2 1) ? (x 2 2)
c) Desenvolvendo o produto, temos:
 ƒ(x) 5 (x 1 2) ? (x 1 1) ? (x 2 1) ? (x 2 2) 5
 5 (x 1 2) ? (x 2 2) ? (x 1 1) ? (x 2 1) 5
 5 (x2 2 4) ? (x2 2 1) 5 x4 2 5x2 1 4
Portanto: ƒ(x) 5 x4 1 0x3 2 5x2 1 0x 1 4
89. Sabemos que 0 é raiz dupla e 1 1 4i é raiz simples da equação 
polinomial. Considerando o conjugado de 1 1 4i e 1 como as 
outras raízes, temos: 
p(x) 5 (x 2 1 2 4i) ? (x 2 1 1 4i) ? (x 2 0)2 ? (x 2 1) 5
5 (x2 2 x 1 4ix 2 x 1 1 2 4i 2 4ix 1 4i 1 16) ? (x3 2 x2) 5
5 (x2 2 2x 1 17) ? (x3 2 x2) 5
5 x5 2 x4 2 2x4 1 2x3 1 17x 3 2 17x2 5
5 x5 2 3x4 1 19x3 2 17x2
Logo, uma possível resposta é: p(x) 5 x5 2 3x4 1 19x3 2 17x2 
Portanto, há infinitos polinômios que satisfazem as condições 
dadas, pois não há restrição para todas as cinco raízes existen-
tes nem para o coeficiente dominante.
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90. a) Se an 5 21 e 
p
 __ q é uma raiz racional da equação de coeficien-
tes inteiros, com p e q primos entre si; então, temos:
 Q p é divisor de a0 ä p 7 {b1, 2b1, b2, 2b2, ..., bm, 2bm}
q é divisor de 21 ä q 7 {21, 1}.
Temos que p é número inteiro. Portanto, as possíveis raízes 
racionais são: 
p
 ___ q 7 {b1, 2b1, b2, 2b2, ..., bm, 2bm}
Logo, todas as possíveis raízes racionais são inteiras, ou seja, 
quando an 5 21 a equação não admite raízes fracionárias.
Analogamente, é possível mostrar que se an 5 1, então a 
equação também não admite raízes fracionárias.
b) Consideramos o polinômio p(x) 5 an ? x
n 1 an 2 1 ? x
n 2 1 1 ... 1 
1 a1 ? x 1 a0, com ai 7 C, e a equação p(x) 5 0.
Se a soma dos coeficientes da equação é zero; então, temos:
an 1 an 2 1 1 ... 1 a1 1 a0 5 0 ä an ? 1
n 1 an 2 1 ? 1
n 2 1 1 ... 1 
1 a1 ? 1 1 a0 5 0 ä p(1) 5 0
Ou seja, 1 é raiz da equação p(x) 5 0.
Página 683 – Exercícios propostos
93. Observando a representação gráfica de ƒ(x), podemos afirmar 
que 2m, 0, m ___ 2 e m são raízes da equação ƒ(x) 5 0.
Comparando x4 2 x3 2 4x2 1 4x 5 0 com uma equação do 
quarto grau ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0, concluímos que 
a 5 1, b 5 21, c 5 24, d 5 4 e e 5 0.
Como 2m, 0, m ___ 2 e m são raízes da equação ƒ(x) 5 0, pela relação 
de Girard determinamos o valor de m:
x1 1 x2 1 x3 1 x4 5 2 
b __ a Æ
Æ (2m) 1 0 1 m ___ 2 1 m 5 2 
(21)
 _______ 1 5 1 Æ 
m ___ 2 5 1 Æ m 5 2
Determinar, então, todas as raízes da equação:
x1 5 2m 5 22, x2 5 0, x3 5 
m ___ 2 5 
2 __ 2 5 1 e x4 5 m 5 2
Logo: S 5 {22, 0, 1, 2}
94. Comparando a equação x4 1 4x3 2 12x2 2 32x 1 64 5 0 com a 
equação genérica ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e 5 0 de quarto grau, 
verificamos que a 5 1, b 5 4, c 5 212, d 5 232 e e 5 64.
Sejam x1, x2, x3 e x4 as raízes dessa equação. Como ela tem duas 
raízes reais, de multiplicidade2, consideramos x1 5 x3 5 u e 
x2 5 x4 5 v. Pelas relações de Girard, obtemos:
x1 1 x2 1 x3 1 x4 5 2 
b ___ a 
 ä u 1 u 1 v 1 v 5 2 4 ___ 1 ä
ä 2(u 1 v) 5 24 ä u 1 v 5 22 ä v 5 22 2 u
x1x2 1 x1x3 1 x1x4 1 x2x3 1 x2 x4 1 x3x4 5 
c __ a ä
ä uv 1 u2 1 uv 1 uv 1 v2 1 uv 5 2 12 ____ 1 ä
ä (u 1 v)2 1 2uv 5 212 ä (22)2 1 2uv 5 212 ä
ä 2uv 5 216 ä uv 5 28 ä u(22 2 u) 5 28 ä
ä u2 1 2u 2 8 5 0
Resolvemos essa equação do 2o grau, concluímos que:
D 5 22 2 4 ? 1 ? (28) 5 4 1 32 5 36
u 5 22 ± 
dXXX 36 ______________ 2 ? 1 5 
22 ± 6 __________ 2 5 21 ± 3 ä u 5 24 ou u 5 2
Então:
 ▪ Para u 5 24, temos: v 5 22 1 4 5 2
 ▪ Para u 5 2, temos: v 5 22 2 2 5 24
Portanto, as raízes reais são 24 e 2.
95. Comparando a equação x3 2 9x2 1 26x 2 24 5 0 com a equação 
genérica do terceiro grau ax3 1 bx2 1 cx 1 d 5 0, concluímos 
que a 5 1, b 5 29, c 5 26 e d 5 224. Como as raízes são nú-
meros naturais consecutivos, podemos escrever:
x1 5 x1, x2 5 x1 1 1 e x3 5 x1 1 2 
Utilizando uma das relações de Girard, temos:
x1 1 x2 1 x3 5 2 
b __ a ä x1 1 (x1 1 1) 1 (x1 1 2) 5 2 
(29)
 _______ 1 ä
ä 3x1 1 3 5 9 ä 3x1 5 9 2 3 ä x1 5 
6 ___ 3 5 2
Portanto, x2 5 3 e x3 5 4 e, então: S 5 {2, 3, 4}
96. A soma dos inversos das raízes é dada por: 
 1 ___ m 1 
1 __ n 1 
1 __ p 5 
mn 1 mp 1 np
 _____________________ mnp 
Pelas relações de Girard temos:
mn 1 mp 1 np 5 9 e mnp 5 3
Então, temos:
 1 ___ m 1 
1 __ n 1 
1 __ p 5 
mn 1 mp 1 np
 _____________________ mnp 5 
9 ___ 3 5 3
Portanto, a soma dos inversos das raízes da equação é 3.
97. Sejam x 1 , x 2 e x 3 as raízes de x 3 2 7 x 2 1 6 5 0, tal que o produto de 
duas raízes é 26. Comparando a equação dada com a x 3 1 b x 2 1 
1 cx 1 d 5 0, temos:
 x 1 ? x 2 ? x 3 5 2 
d __ a ⇒ x 1 ? x 2 ? x 3 5 2 
6 ___ 1 ⇒ (26) ? x 3 5 26 ⇒ x 3 5 1
Considerando o polinômio p(x) 5 x 3 2 7 x 2 1 6; como 1 é raiz, 
temos: p(x) 5 (x 2 1) ? q(x). Então, pelo dispositivo de Briot-
-Ruffini, temos:
1 1 27 0 6
1 26 26 0
Então: q(x) 5 x² 2 6x 2 6
Determinando as raízes de q(x) 5 0, obtemos:
D 5 (26)2 2 4 ? 1 ? (26) 5 36 1 24 5 60 
x 5 
2(26) ± dXXX 60 
 ___________________ 2 ? 1 5 
6 ± 2 dXXX 15 ____________ 2 5 3 ± dXXX 15 ä x 5 3 1 dXXX 15 ou 
x 5 3 2 dXXX 15 
Então: q(x) 5 x² 2 6x 2 6 5 [ x 2 ( 3 1 dXXX 15 ) ] ? [ x 2 ( 3 2 dXXX 15 ) ] 
 Assim, p(x) 5 (x 2 1) ? [ x 2 ( 3 1 dXXX 15 ) ] ? [ x 2 ( 3 2 dXXX 15 ) ] , cujas 
raízes são 3 1 dXXX 15 , 3 2 dXXX 15 e 1.
Logo, as raízes são 3 1 dXXX 15 , 3 2 dXXX 15 e 1.
Página 684 – Exercícios complementares
98. De acordo com o enunciado, se forem pedidas x pizzas, o valor a 
ser pago é 28x e a taxa de entrega é 0,1 ? 28x 5 2,8x. Portanto, a 
função polinomial que expressa o preço p em função do número 
x de pizzas encomendadas é:
p(x) 5 28x 1 2,8x 5 30,8x, x é natural 
99. Temos que A 5 {22, 21, 0, 1, 2}. Vamos verificar quais são os 
elementos de A que são raízes da equação.
 ▪ Para x 5 22, temos:
2 ? (22) 3 2 (22) 2 2 5 ? (22) 2 2 5 216 2 4 1 10 2 2 5 212
Então, 22 não é raiz da equação.
 ▪ Para x 5 21, temos:
2 ? (21)3 2 (21)2 2 5 ? (21) 2 2 5 22 2 1 1 5 2 2 5 0
Então, 21 é raiz da equação.
 ▪ Para x 5 0, temos:
2 ? (0)3 2 02 2 5 ? 0 2 2 5 22
Então, 0 não é raiz da equação.
 ▪ Para x 5 1, temos:
2 ? (1)3 2 12 2 5 ? 1 2 2 5 2 2 1 2 5 2 2 5 2 6
Então, 1 não é raiz da equação. 
 ▪ Para x 5 2, temos:
2 ? (2)3 2 22 2 5 ? 2 2 2 5 16 2 4 2 10 2 2 5 0
Então, 2 é raiz da equação. 
Portanto, os elementos que pertencem a A e são raízes da equa-
ção são 21 e 2.
100. Como dXX 5 é raiz de h(x) 5 x 2 dXX 5 , pelo teorema de D´Alembert, 
ƒ(x) é divisível por h(x) se ƒ ( dXX 5 ) 5 0. Calculamos o valor de 
ƒ ( dXX 5 ) :
ƒ( dXX 5 ) 5 25 dXX 5 2 25 2 25 dXX 5 1 10 1 5 1 5 5 25 
Portanto, ƒ(x) não é divisível por h(x).
101. Como os polinômios q(x) e p(x) são idênticos, seus coeficientes 
correspondentes são iguais. Então, a partir dessas igualdades, 
determinamos os valores de a, b e c. Para que os polinômios 
sejam idênticos, temos:
t
a 1 b 1 c 5 0 (I)
b 2 1 5 c (II)
a 5 3 2 b (III)
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Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:
3 2 b 1 b 1 b 2 1 5 0 ä b 5 22
Substituindo b por 22 em (II) e (III), obtemos:
c 5 b 2 1 ä c 5 22 2 1 5 23
a 5 3 2 b ä a 5 3 1 2 5 5
Portanto: a 5 5, b 5 22 e c 5 23
102. Sabemos que o grau do produto m(x) ? q(x) é 12, ou seja, 
m 1 n 5 12; sabemos também que m é duas unidades maior do 
que n, ou seja, m 5 n 1 2. Então:
 Q
m 5 n 1 2 
m 1 n 5 12 
Substituindo m por n 1 2 na segunda equação, obtemos:
n 1 2 1 n 5 12 ä 2n 5 10 ä n 5 5
Substituindo n por 5 na primeira equação, obtemos:
m 5 n 1 2 ä m 5 5 1 2 5 7
Portanto: n 5 5 e m 5 7
103. Seja p(x) 5 x 3 2 12m x 2 2 3x 1 18 o polinômio associado à 
equação dada, de modo que 3 seja raiz de multiplicidade 2 da 
equação p(x) 5 0. Pelo teorema do fator, p(x) pode ser escri-
to como p(x) 5 (x 2 3) 2 ? q(x). Pelo dispositivo de Briot-Ruffini 
duas vezes consecutivas, obtemos:
3 1 212m 23 18
3 1 3 2 12m 6 2 36m 36 2108m
1 6 2 12m 24 2 72m
Como 3 é raiz de multiplicidade 2 de p(x) 5 0, podemos con-
cluir que: 
36 2 108m 5 24 2 72m 5 0 ä m 5 236 _______ 
 12 ____ 36 
 5 1 __ 3 
104. Primeiramente calculamos g(5).
g(5) 5 2 __ 5 ? 5
2 2 3 ? 5 1 8 5 10 2 15 1 8 5 3
Em seguida, calculamos ƒ(3).
ƒ(3) 5 2 ? 33 2 5 ? 32 2 9 5 54 2 45 2 9 5 0
Como ƒ(3) 5 0, temos que g(5) é raiz de ƒ(x).
105. Queremos h(x) tal que ƒ(x) 1 h(x) 5 g(x). Assim:
h(x) 5 g(x) 2 ƒ(x) 5 ( x3 1 x2 1 x 1 1 ) 2 ( 3 __ 5 x3 2 2 __ 3 x2 2 1 ___ 4 x 1 4 ) 5 
5 2 __ 5 x
3 1 5 __ 3 x
2 1 
5
 ___ 4 x 2 3
Portanto: h(x) 5 2 __ 5 x
3 1 5 __ 3 x
2 1 5 ___ 4 x 2 3
106. Seja a x 3 1 b x 2 1 cx 1 d 5 0 uma equação do 3o grau tal que 
a 5 21 e d 5 28. Como a raiz é de multiplicidade 3 e o polinô-
mio é de grau 3, então essa é a única raiz. Chamando essa raiz 
de y; pelas relações de Girard, temos:
y ? y ? y 52 d __ a 5 2 
28 _____ 21 5 28 ä y 
3 5 28 ä y 5 22 
Portanto, o polinômio na forma fatorada é:
p(x) 5 (2x 2 2)3 
Desenvolvendo, obtemos:
p(x) 5 (2x 2 2)3 5 2x3 2 6x2 2 12x 2 8 
Portanto, a equação p(x) 5 0 é 2x3 2 6x2 2 12x 2 8 5 0 e a 
raiz de multiplicidade 3 é 22. 
107. Como a divisão é exata, isto é, ƒ(x) 5 q(x) ? d(x) 1 0, temos 
d(x) 5 
ƒ(x)
 ______ 
q(x)
 . Pelo algoritmo da divisão, temos:
 x5 1 x3 2 2x2 2 2 x3 2 2
 2x5 1 2x2 x2 1 1
 0 1 x3 22
 2x3 1 2
 0
Portanto, o divisor é d(x) 5 x2 1 1.
108. ƒ(x) ? g(x) ? h(x) 5 (x2 2 1) ? (x2 2 2) ? (x2 2 3) 5 
5 (x4 2 3x2 1 2) ? (x2 2 3) 5 x6 2 6x4 111x2 2 6
109. Consideramos o polinômio p(x) 5 2x4 2 3x3 1 6x2 2 12x 2 8.
a) Como p(x) tem coeficientes inteiros, podemos verificar se a 
equação tem raízes racionais na forma 
p
 __ q tais que:
Q 
p é divisor de 28 ä p 7 {21, 1, 22, 2, 24, 4, 28, 8}
q é divisor de 2 ä q 7 {21, 1, 22, 2}
Desse modo, 
p
 __ q 7 q2 
1 __ 2 , 
1 __ 2 , 21, 1, 22, 2, 24, 4, 28, 8 q.
Portanto, o conjunto das possíveis raízes racionais da equa-
ção é q2 1 __ 2 , 
1 __ 2 , 21, 1, 22, 2, 24, 4, 28, 8 q.
b) Como as raízes racionais da equação são da forma 
p
 __ q tais que 
 
p
 __ q 7 q2 
1 __ 2 , 
1 __ 2 , 21, 1, 22, 2, 24, 4, 28, 8 q, verificamos se 
esses valores são raízes da equação.
 ▪ p ( 2 1 __ 2 ) 5 2 ( 2 1 __ 2 ) 
4
 2 3 ( 2 1 __ 2 ) 
3
 1 6 ( 2 1 __ 2 ) 
2
 2 12 ( 2 1 __ 2 ) 2 8 5
5 1 ___ 8 1 
3 ___ 8 1 
3 __ 2 1 6 2 8 5 0
Como p ( 2 1 __ 2 ) 5 0, temos que 2 1 __ 2 é raiz de p(x) 5 0.
 ▪ p ( 1 __ 2 ) 5 2 ( 1 __ 2 ) 
4
 2 3 ( 1 __ 2 ) 
3
 1 6 ( 1 __ 2 ) 
2
 2 12 ( 1 __ 2 ) 2 8 5
5 1 ___ 8 2 
3 ___ 8 1 
3 __ 2 2 6 2 8 5 2 
51
 ____ 4 
Como p ( 1 __ 2