Livro didático matemática 4 bimestre

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Livro do professor
11
Proporcionalidade 
com mais de duas 
grandezas 28
10 Estatística 2
12 Volumes 50
9o. ano
Volume 4
Matemática
Livro
didático
©
Sh
ut
te
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av
eb
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10
1. Nas imagens, você pode observar representações de alguns tipos de gráficos. Neles, os dados 
numéricos foram omitidos para que você observe apenas os elementos visuais dos gráficos exibidos, 
que serão estudados mais adiante. Identifique que tipo de gráfico cada um representa. 
2. Depois de identificar na imagem os gráficos de setores, estime a porcentagem representada em cada 
um dos casos.
Estatística
Pela facilidade de leitura, os gráficos são um dos recursos mais utilizados pela 
mídia. Eles podem representar dados na área da saúde, da economia ou da política, 
por exemplo. É raro nos depararmos com algum jornal, revista ou site de notícias 
que não forneça ao menos um gráfico. 
Comentários e gabaritos.1
©
Sh
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ro
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ne
2
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Objetivos
Ao final do estudo deste capítulo, espera-se que você leia, interprete e construa gráficos de 
diferentes tipos e tabelas de dupla entrada. Você também vai analisar gráficos divulgados pela 
mídia detectando elementos que podem induzir em erros de leitura ou interpretação. Além disso, 
você vai planejar e executar uma pesquisa amostral e resolver problemas que envolvem cálculo de 
percentuais sucessivos. 
Gráficos e tabelas utilizados na representação dos 
dados de uma pesquisa 
Para evitar interpretações equivocadas de gráficos, fique atento a alguns detalhes, como:
• período a que se refere a pesquisa;
• escolha da amostra que participou da pesquisa;
• utilização adequada da escala;
• fonte das informações e data;
• legendas explicitadas corretamente;
• tipo de gráfico utilizado.
Com esses detalhes em mente, considere o exemplo a seguir, que é de uma propaganda de dezembro de 
2018. Ela traz um gráfico referente a uma pesquisa realizada em março do mesmo ano. 
• Você percebeu algum problema na forma como as informações foram apresentadas na propaganda? Justi-
fique sua resposta.
Pessoal. A propaganda é de dezembro de 2018, mas os dados da pesquisa são de março do mesmo ano. Em razão dessa distância entre a 
data da pesquisa e a data em que a propaganda foi divulgada, pode ser que as informações do gráfico não expressem mais a opinião das 
pessoas em dezembro de 2018. Além disso, a pesquisa foi realizada com apenas 500 pessoas de uma única cidade do Brasil, ou seja, ela não 
representa obrigatoriamente a preferência de 90% dos brasileiros, e sim de 90% dos entrevistados, que equivale a 450 pessoas. 
O feijão preferido pelos brasileiros
DEZEMBRO DE 201811/12/18 - TERÇA-FEIRA
90%
DOS BRASILEIROS 
PREFEREM O FEIJÃO
“GOSTINHO BOM”
JORNAL do DIA
Outras marcas
10%
“Gostinho Bom”
90%
O gráfico mostra o resultado de uma pesquisa 
realizada em março de 2018 com 500 moradores 
de certa cidade do país. 
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01
9.
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3
Comente com os alunos que a situação abordada no jornal é fictícia.
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Tipos de gráficos
Há momentos em que um mesmo conjunto de dados pode ser representado por diferentes gráficos, mas a 
escolha entre um tipo ou outro pode facilitar a leitura das informações que se deseja transmitir. Vamos relem-
brar os tipos de gráficos mais comuns e identificar seus elementos.
Gráfico de colunas 
No gráfico de barras verticais ou de colunas, 
os valores da variável estão representados no 
eixo vertical, como no exemplo ao lado. 
Considerando apenas o primeiro semestre 
desse ano, qual foi o consumo médio mensal de 
energia elétrica nessa residência? 
Para determinar o consumo médio, somamos o consu-
mo de energia elétrica de cada mês e dividimos o resul-
tado por 6, que é a quantidade de meses existentes no 
primeiro semestre.
270 260 200 185 170 190
6
1275
6
212 5
    
 , 
Assim, o consumo médio foi de 212,5 kWh por mês. 
Consumo de energia elétrica de uma 
residência no primeiro semestre
Fonte: IBGE. Estatísticas de gênero. Disponível em: <https://www.ibge.
gov.br/apps/snig/v1/?loc=0&cat=-1,1,2,-2,-3,128,129&ind=4733>. 
Acesso em: 2 abr. 2019. 
Proporção da população ocupada em 
trabalhos formais
O gráfico ao lado mostra a proporção da 
população com carteira de trabalho assinada, 
de acordo com o censo demográfico de 2000 e 
de 2010. Essa proporção é dada pela razão entre 
o número de pessoas com 16 anos ou mais de 
idade ocupadas em trabalhos formais e o número 
de pessoas ocupadas em determinado período 
de referência. 
Nesse exemplo, o uso do gráfico de colunas 
múltiplas possibilita a comparação das propor-
ções de acordo com o sexo e o ano do censo. 
a) Qual o percentual de mulheres ocupa-
das em trabalhos formais em 2000? 
51,3%.
b) E qual o percentual de homens ocupa-
dos em trabalhos formais em 2010?
59,2%. 
Co
ns
um
o 
(k
W
h)
 
Janeiro
270
260
200
185
170
190
300
250
200
150
100
50
0
Fevereiro Março Abril Maio Junho 
50%
59,2%
51,3%
57,9%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Homem Mulher 
Censo 2000 Censo 2010
9o. ano – Volume 44
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Densidade da malha rodoviária 
pavimentada por país (valores em 
quilômetros para cada 1 000 km2)
Gráfico de barras horizontais 
No gráfico de barras horizontais, os valores da va-
riável estão representados no eixo horizontal, como 
no exemplo ao lado.
• Sabendo que o índice da densidade da malha ro-
doviária calcula o total de quilômetros pavimenta-
dos para cada 1 000km2 de área do país, explique 
o significado do número indicado na barra refe-
rente ao Brasil.
Esse número indica que no Brasil existem 25 km de rodovias 
pavimentadas para cada 1 000 km2 de área do país.
Fonte: BRASIL tem apenas 12,3% da malha rodoviária com pavimento. 
Disponível em: <http://www.cnt.org.br/Imprensa/noticia/brasil-tem-apenas-
12-da-malha-rodoviaria-com-pavimento>. Acesso em: 20 nov. 2018.
Gráfico de setores
O gráfico de setores proporciona uma melhor visualização das relações entre as partes e o todo. O exemplo 
a seguir mostra o grau de escolaridade dos 500 funcionários de certa empresa.
Grau de escolaridade dos funcionários a) Qual o número de funcionários com Pós-Gra-
duação?
13% de 500 → 0,13 ⋅ 500 = 65
Assim, 65 funcionários têm Pós-Graduação.
b) Determine a medida do ângulo correspondente ao maior setor, ou seja, do setor que representa os 
funcionários da empresa que têm Ensino Superior completo, mas sem Pós-Graduação.
Por meio de uma regra de três, obtemos:
360 100
42
100 360 42
100 15 120
151 2
q
 q
 
 q
%
%
,
x
x
x
x
 
Assim, o ângulo correspondente ao maior setor mede 151,2°.
Incentive os alunos a identificar esse setor no gráfico e a marcar o ângulo correspondente.
 
25
0 100 200 300 400 500
25
41,6
46
54,3
359,9
438,1
Brasil
Argentina
Canadá
Austrália
Rússia
China
EUA
13%
22,6%
8%
42%
14,4%
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
incompleto
Ensino Superior
completo
Pós-Graduação
151,2°
 Matemática 5Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
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Matemática em detalhes
Gráfico de linhas
Quando desejamos expor a evolução dos dados no de-
correr de um intervalo de tempo, o gráfico de linhas é o 
mais adequado. Dessa forma, podemos analisar rapidamen-
te as tendências de aumento ou de redução das variáveis 
envolvidas. 
O gráfico de linhas ao lado apresenta a evolução dos re-
sultados do Brasil no Programa Internacional de Avaliação 
de Estudantes (Pisa, na sigla em inglês) de 2006 a 2015. Ele 
mostra a pontuação nas três áreas avaliadas: Matemática, 
Leitura e Ciências. Essa avaliação é feita a cada três anos e 
fornece informações sobre conhecimentos e habilidades dos 
estudantes, reúne informações sobre variáveis demográficas 
e sociais de cada país e oferece indicadores dos sistemas de 
ensino ao longo dos anos. Fonte: PISA no Brasil. Disponível em: <http://portal.inep.
gov.br/web/guest/pisa-no-brasil>. Acesso em: 3 abr. 2019.
Resultados do Brasil no Pisa
• Sobre esse gráfico, assinale V para afirmativas verdadeiras e F para as falsas. Corrija as frases falsas.
a) ( F ) A pontuação em Matemática sempre aumentou durante esses anos. 
A pontuação em Matemática aumentou de 2006 para 2009 e de 2009 para 2012. No entanto, de 2012 para 2015 houve uma queda.
b) ( V ) A maior pontuação do Brasil ao longo desses anos foi na área de Leitura.
c) ( F ) A pontuação em Ciências foi a mesma em 2012 e em 2015.
A pontuação em Leitura foi a mesma em 2012 e em 2015. 
Muitas vezes, fazer a leitura de um gráfico pode não ser uma tarefa simples. Neste momento, vamos tentar 
compreender as informações mais básicas que um gráfico de linhas pode nos passar, sem conhecer, inicialmen-
te, as variáveis envolvidas e o que diz cada um dos eixos. O gráfico de linhas a seguir faz parte de uma questão 
do Enem que será apresentada na íntegra mais adiante. Esse estudo inicial do gráfico pode nos ajudar a resolver 
com mais facilidade a questão proposta. 
Veja que o gráfico trabalha com informações de duas variáveis, 
ainda desconhecidas. Uma delas é representada pela linha contínua e 
a outra, pela linha tracejada.
393
412
407
401
377
402
389
405
386
390
370
407
420
410
400
390
380
370
360
340
350
0
2006 2009 2012 2015
N
ot
as
Áreas: Matemática Leitura Ciências
9o. ano – Volume 46
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A B
Fazemos o estudo da evolução dos dados da esquerda para a di-
reita. Os pontos destacados em vermelho indicam que, naqueles 
momentos, a variável representada pela linha tracejada tem valores 
maiores do que a variável indicada pela linha contínua. Já os pontos 
destacados em azul mostram que a variável representada pela linha 
contínua tem valores maiores do que a indicada pela linha tracejada.
Estão destacados em verde os três momentos em que os valores 
da variável representada pela linha tracejada diminuem. Também per-
cebemos que o mesmo acontece com a outra variável, representada 
pela linha contínua. Já em roxo estão destacados os momentos em 
que os valores de cada variável aumentam. No ponto , o valor das A
variáveis é o mesmo e ele se repete no ponto B. Assim, o segmento 
que vai de A até B é horizontal, pois mostra que o valor que as variáveis 
assumem é constante. Após o estudo desse gráfico de linhas, oriente os alunos a 
realizar a atividade1 da página 9.
Pictogramas
Os pictogramas utilizam figu-
ras, as quais representam quan-
tidades e estão relacionadas à 
variável envolvida. Por exemplo, 
ao lado temos a relação das quan-
tidades de brinquedos arrecada-
dos pelos alunos do 6º. ao 9º. ano 
de uma escola para que sejam 
doados a uma instituição que 
atende crianças carentes.
a) Quantos brinquedos para doação foram arrecadados ao todo pelos alunos?
(8 ⋅ 4) + (13 4 + 1) + (8 4 + 2) + (16 ⋅ ⋅ ⋅ 4) = 32 + 53 + 34 + 64 = 183 Foram arrecadados ao todo 183 brinquedos. 
b) O 9º. ano arrecadou quantos brinquedos a mais do que o 7º. ano?
64 – 53 = 11 O 9º. ano arrecadou 11 brinquedos a mais do que o 7º. ano. 
c) Quais turmas arrecadaram mais do que 32 brinquedos para doação?
As turmas de 7º., 8º. e 9º. anos. 
Quantidade de brinquedos arrecadados por turma
6.º ano 7.º ano 8.º ano 9.º ano
Corresponde a 4 brinquedos
Corresponde a 2 brinquedos
Corresponde a 1 brinquedo
 Matemática 7
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Histogramas 
Os dados de uma tabela de classes podem ser representados em um histograma, que é um gráfico formado 
por retângulos justapostos (unidos). A largura de cada retângulo representa a amplitude de cada classe e a 
altura corresponde à frequência da classe.
Sugestão de encaminhamento.2
Reforce com a turma que no intervalo [3, 5[ estão incluí-
dos todos os números de 3 a 5, com exceção do 5. Para 
verificar se os alunos entenderam essas notações, retome 
os intervalos das demais classes indicadas na tabela. 
Renda mensal dos funcionários
a) Quantos funcionários trabalham nessa empresa? 
4 + 6 + 8 + 10 + 7 + 3 = 38 Nessa empresa, trabalham 38 funcionários. 
b) Quantos funcionários recebem menos do que 5 salários mínimos?
Os funcionários que recebem menos do que 5 salários mínimos correspondem àqueles que pertencem às duas primeiras classes, ou 
seja, 4 + 6 = 10 funcionários. 
c) Quantos funcionários recebem pelo menos 5 salários mínimos?
Os funcionários que recebem pelo menos 5 salários mínimos correspondem àqueles que pertencem às últimas quatro classes, isto 
é, 8 + 10 + 7 + 3 = 28 funcionários. 
d) Qual o percentual aproximado de funcionários que recebem 9 salários mínimos ou mais?
Dos 38 funcionários, existem 7 + 3 = 10 que recebem 9 salários mínimos ou mais. Assim, aproximadamente 
10
38
0 26 26 , % dos 
funcionários recebem 9 salários mínimos ou mais.
RENDA MENSAL EM SALÁRIOS MÍNIMOS
Faixa salarial Número de 
funcionários
1 3 4
3 5 6
5 7 8
7 9 10
9 11 7
11 13 3
No exemplo a seguir, a tabela ao lado mostra a renda 
mensal dos funcionários de uma empresa e, em segui-
da, esses dados são apresentados em um histograma.
Na tabela, constam 6 classes de mesma amplitude. 
Usamos o símbolo para indicar um intervalo. Por 
exemplo, 3 5 representa a classe dos funcionários 
com renda maior do que ou igual a 3 salários mínimos 
e menor do que 5 salários mínimos. Também podemos 
representar esse intervalo como [3, 5[.
Agora, observe o histograma correspondente à tabela anterior.
1
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
3 5 7 9 11 13
N
úm
er
o 
de
 fu
nc
io
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rio
s
(fr
eq
uê
nc
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)
Faixa salarial (em salários mínimos)
9o. ano – Volume 48
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1. (ENEM) A figura a seguir apresenta dois gráficos com informa-
ções sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo 
Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, 
em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o 
número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua 
é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações 
podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de 
um dia para serem resolvidas. 
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da sema-
na em que o nível de eficiência pode ser considerado muito 
bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resol-
vidas excede o número de reclamações recebidas.
Comentários e gabaritos.3
Atividades
O gerente de atendimentopôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas 
informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na 
a) segunda e na terça-feira.
X b) terça e na quarta-feira.
c) terça e na quinta-feira.
d) quinta-feira, no sábado e no domingo.
e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
Utilize os dados do texto e dos gráficos a seguir para responder às questões 2 e 3.
Os gráficos abaixo fornecem informações relacionadas às exportações da Zedelândia, um 
país que utiliza o zed como sua moeda corrente. 
 2. (PISA) Qual foi o valor total (em milhões de zeds) das exportações da Zedelândia em 1998? 
27,1 ou 27,1 milhões de zeds ou 27 100 000 zeds. Como a pergunta foi feita mostrando que o valor está em milhões de zeds, 
os alunos podem omitir essa unidade e escrever simplesmente 27,1. 
Total das exportações anuais da 
Zedelândia em milhões de zeds
Distribuição das exportações 
da Zedelândia em 2000
Disponível em: http://blog.bibliotecaunix.org. Acesso 
em: 21 jan. 2012 (adaptado). Se necessário, reto-
me com os alunos 
o estudo do gráfico apresentado anterior-
mente na seção Matemática em detalhes.
30
20
10
0
Qui. Sex. Sáb. Dom. Seg. Ter. Qua.
45
40
35
30
25
20
20,4
25,4 27,1
37,9
42,6
15
10
5
0
1996 1997 1998
Ano
1999 2000
Tecido de algodão
26%
Outros
21%
Carne
14%
Chá
5%
Arroz
13%
Suco de frutas
9%
Tabaco
7%
Lã
5%
 Matemática 9
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 3. (PISA) Qual foi o valor total das exportações de suco de frutas da Zedelândia em 2000? 
a) 1,8 milhões de zeds. 
b) 2,3 milhões de zeds. 
c) 2,4 milhões de zeds. 
d) 3,4 milhões de zeds. 
X e) 3,8 milhões de zeds. 
 4. Os dados da tabela a seguir se referem ao valor investido em saúde em determinado município durante 
o segundo semestre de determinado ano.
Mês Investimento em saúde 
(em milhões de reais)
Julho 1,5
Agosto 1,3
Setembro 1,7
Outubro 1,8
Novembro 1,2
Dezembro 1,9
a) Construa o gráfico que melhor representa os da-
dos da tabela. Se preferir, use o papel milimetrado 
disponível no material de apoio.
b) Determine o valor médio, em milhões de reais, in-
vestido em saúde nesse município durante o se-
gundo semestre desse ano.
 5. Observe as alturas, em centímetros, anotadas na tabela a seguir referentes aos 40 alunos de uma turma 
de 9º. ano.
170 142 153 171 146 140 158 161
164 162 161 155 164 159 157 160
163 165 168 152 159 166 159 167
158 160 163 164 157 155 162 166
164 153 158 162 159 164 159 168
a) De acordo com as alturas dos alunos dessa turma, complete a tabela a seguir com a frequência de 
cada um dos intervalos de classe indicado.
Faixa de altura (em cm) Número de alunos
140 145 2
145 150 1
150 155 3
155 160 12
160 165 14
165 170 6
170 175 2
Em 2000, o valor total das exportações foi de 42,6 milhões de zeds, sendo 9% desse valor 
referentes ao suco de frutas. Assim:
0,09 42,6 = 3,834⋅
O valor total das exportações de suco de frutas nesse ano foi de 3,834 milhões de zeds ou, 
aproximadamente, 3,8 milhões de zeds.
9o. ano – Volume 410
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b) Em quantas classes a turma foi dividida? Em 7 classes. 
c) Encontre a amplitude de cada uma das classes, ou seja, a diferença entre a maior altura e a menor 
altura. 
Perceba que todas as classes têm a mesma amplitude, dada por 145 – 140 = 150 – 145 = 155 – 150 = 160 – 155 = 165 – 160 = 
= 170 – 165 = 175 – 170 = 5. 
Comente com os alunos que, por mais que não seja um fato não obrigatório, é conveniente que todos os intervalos de classes 
tenham o mesmo comprimento. 
 
d) O limite inferior de uma classe é definido como o valor à esquerda, e o limite superior, como o va-
lor à direita. Na classe 170 175, por exemplo, o limite inferior é 170, e o superior, 175. A amplitude 
total da tabela de dados é igual ao maior dos limites superiores menos o menor dos limites inferiores 
observados. Dessa forma, calcule esse valor. 
Os limites superiores apresentados nessa tabela são: 145, 150, 155, 160, 165, 170 e 175.
Os limites inferiores apresentados nessa tabela são: 140, 145, 150, 155, 160, 165 e 170. 
O maior dos limites superiores é 175 e o menor dos limites inferiores é 140. Dessa forma, a amplitude total é igual a 175–140=35. 
Comente com os alunos que a amplitude total da tabela de classes pode ser diferente da amplitude dos dados observados, 
que se calcula fazendo a diferença entre a maior altura (171 cm) e a menor altura (140 cm), ou seja, a amplitude dos dados é 
171 cm – 140cm = 31 cm.
 
e) Se um aluno dessa turma for sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de sua altura pertencer à classe 
155 160? 
A frequência relativa à classe citada é 12. Dessa forma, como há 40 alunos na turma, a probabilidade procurada é igual a 
12
40
6
20
3
10
30 %.
 
f) Use os eixos disponíveis no material de apoio para construir um histograma e representar os dados 
da tabela do item a.
 6. (PISA) Para uma atividade escolar sobre o meio ambiente, os alunos coletaram informações sobre o tem-
po de decomposição de vários tipos de lixo que as pessoas jogam fora:
Tipo de lixo Tempo de decomposição
Casca de banana 1 a 3 anos
Casca de laranja 1 a 3 anos
Caixas de papelão 0,5 ano
Goma de mascar 20 a 25 anos
Jornais Alguns dias
Copos de plástico Mais de 100 anos
Um aluno pretende mostrar os resultados em um gráfico de barras. 
Dê uma justificativa para o fato de que o gráfico de barras não é o mais apropriado para apresentar 
esses dados.
O primeiro ponto a ser observado é o fato de a questão requerer uma leitura e interpretação adequadas das informações contidas na 
tabela. A justificativa se baseia na grande variação dos dados. O manual de correção do Programa Internacional de Avaliação de Estu-
dantes (Pisa), de onde essa questão foi extraída, traz como respostas esperadas as seguintes: “As diferenças de comprimento das barras 
do gráfico de barras seriam muito grandes” ou “Não se pode representar uma barra para 1 a 3 anos, ou uma barra para 20 a 25 anos”. 
 Matemática 11
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 7. (OBMEP) O gráfico mostra o número de casos notificados de dengue, a precipitação de chuva e a tem-
peratura média, por semestre, dos anos de 2007 a 2010 em uma cidade brasileira. Podemos afirmar que:
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
2007
1o. semestre
2007
2o. semestre 1o. semestre 2o. semestre 1o. semestre 2o. semestre 1o. semestre 2o. semestre
2008 2008 2009 2009 20102010
28,5
28,0
27,5
27,0
26,5
26,0
25,5
25,0
24,5
Te
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pe
ra
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 n
ot
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ca
do
s
Número de casos Precipitação Temperatura média
Fonte: adaptado de http://sic.2011.com/sic/arq/81903267457118190326745.pdf
a) O período de maior precipitação foi o de maior temperatura média e com o maior número de casos 
de dengue notificados.
b) O período com menor número de casos de dengue notificados também foi o de maior temperatura 
média.
c) O período de maior temperatura média foi também o de maior precipitação.
X d) O período de maior precipitação não foi o de maior temperatura média e teve o maior número de 
casos de dengue notificados.
e) Quanto maior a precipitação em um período, maior o número de casos de dengue notificados.
8. (OBMEP) A figura mostra o resultado de uma pesquisa sobre a 
aquisição de eletrodomésticos da qual participaram 1 000 pes-
soas. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de 
pessoas que possuemos dois eletrodomésticos é, no mínimo: 
a) 500 X c) e) 650 800
b) 550 d) 700
O número mínimo de entrevistados que poss número total de entrevistados menos o uem televisão e geladeira é igual ao 
número de entrevistados que não possuem televisão ou não possuem geladeira. De acordo com os dados fornecidos, 15% 
não possuem televisão e 20% não possuem geladeira. O número máximo de pessoas que não possuem televisão ou geladeira 
será, portanto, igual a 15% + 20% = 35%. Dessa forma, pelo menos 100% – 35% = 65% dos entrevistados possuem televisão 
e geladeira. Isso corresponde a, no mínimo, 65% 1 000 = 650 entrevistados. ⋅
 
 9. Pesquise, em jornais ou revistas (impressos ou digitais), uma reportagem que contenha um gráfico, que 
pode ser de qualquer tipo. Reúna-se com mais dois colegas, escolham um dos gráficos selecionados e 
respondam às perguntas a seguir.
a) Ao analisar o gráfico, você percebeu algum elemento inconsistente ou erro?
b) Você acha que é possível que gráficos divulgados por jornais, rádios ou programas de televisão, por 
exemplo, possam apresentar elementos inconsistentes ou erros? Se sim, você acha que esses elemen-
tos podem induzir em erros de leitura? 
Sugestão de atividades: questões de 1 a 6 da seção Hora de estudo.
SIM
85%
SIM
80%
NÃO
15%
NÃO
20%
Possui televisão? Possui geladeira?
9o. ano – Volume 412
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Planejamento de uma pesquisa 
A Estatística é uma parte da Matemática que se caracteriza por um conjunto de métodos para coletar, orga-
nizar, apresentar e analisar dados.
Uma de suas maiores potencialidades está no fato de que, para compreendermos algo sobre determinada 
população, não precisamos realizar a pesquisa com todas as pessoas, podemos eleger uma amostra. Por 
exemplo, para sabermos a intenção de votos para governador, não precisamos entrevistar todos os eleitores do 
estado, podemos entrevistar uma parte da população, ou seja, uma amostra desses eleitores.
Para planejarmos uma pesquisa, podemos seguir uma sequência de orientações como a mostrada abaixo. 
O que
queremos
saber?
Sobre quem 
queremos 
saber? 
Quem nos dará 
as respostas e que 
perguntas serão 
feitas?
Como vamos 
organizar as 
respostas que 
obtivemos?
Como os 
dados serão 
apresentados?
A que 
conclusões 
chegamos?
A incidência de violência, como 
está a saúde, a qualidade da água, 
enfim, há vários temas nos quais a 
Estatística pode ser útil. As pesquisas 
nos ajudarão a conhecer melhor a 
população estudada.
Qual a população pesquisada? A 
população pode ser a sua turma, os 
alunos da sua escola, os familiares dos 
colegas, os habitantes de uma cidade, etc.
Para sabermos mais sobre a 
população pesquisada, precisamos 
elaborar perguntas e decidir quem 
nos dará as respostas, ou seja, quem 
fará parte da amostra. 
Não basta receber as respostas, é 
necessário organizar listas para o 
próximo passo. 
Podemos apresentar as respostas 
usando tabelas e gráficos de 
diferentes tipos. 
É hora de interpretar os resultados. 
Para isso, podem ser utilizadas as 
medidas de tendência central (moda, 
mediana e média) e a amplitude. 
 Matemática 13
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População e amostra 
Digamos que você deseje saber a quantidade de horas que os colegas de sua turma passam na frente do 
computador. A população pesquisada são todos os alunos de sua turma. Nesse caso, não há por que selecionar 
uma amostra, já que é possível coletar os dados de todos. No entanto, caso você quisesse saber a quantidade 
de horas que todos os habitantes de uma cidade passam na frente do computador, por questões operacionais, 
é melhor selecionar uma .amostra
Observe que o termo “população” não designa apenas um conjunto de pessoas. Pode se referir, por exemplo, 
a um conjunto de parafusos, pneus, dias, etc. 
Comentários.4
1. A tabela a seguir mostra algumas informações sobre os eleitores da cidade de Itapetininga em 2016, se-
gundo dados do Tribunal Superior Eleitoral (TSE). 
ITAPETININGA
157 016 moradores, 
segundo o IBGE, e 107 012 
eleitores, conforme o TSE
Sexo
Mulheres: 55 611 ou 51,97% 
Homens: 51 379 ou 48,01% 
Não informado: 22 ou 0,02%
Idade
De 21 a 24 anos: 9 406 ou 8,79% 
De 25 a 34 anos: 23 734 ou 22,18% 
De 35 a 44 anos: 21 433 ou 20,03%
Grau de 
escolaridade
Ensino Fundamental incompleto: 33 696 ou 31,49% 
Ensino Médio incompleto: 22 855 ou 21,38% 
Ensino Médio completo: 23 698 ou 22,14%
Fonte: REPOSITÓRIO de dados eleitorais. Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/estatisticas/repositorio-de-dados-eleitorais-1/
repositorio-de-dados-eleitorais>. Acesso em: 9 mar. 2020.
População é qualquer conjunto de indivíduos, objetos ou ocorrências a respeito do que desejamos 
obter informações. Já é parte da população, ou seja, um subconjunto dessa amostra população.
Mas como compor essa amostra?
A pode ser de dois tipos:amostra
• Aleatória – nesse caso, seleciona-se por sorteio uma quantidade determinada de indivíduos da população 
a ser pesquisada. Por exemplo, para pesquisar a opinião sobre determinada lei municipal, a prefeitura pode 
sortear 1 000 pessoas ao acaso e realizar a pesquisa.
• Estratificada – nesse caso, deve-se tomar um estrato que seja representativo da população e, para isso, 
são necessários alguns critérios. Esses critérios dependem, entre outras coisas, do que se pretende estudar. 
A amostra deve ter as mesmas características da população pesquisada. Por exemplo, se a população 
pesquisada é constituída na maioria de homens, então a amostra será formada na maioria por homens; se 
é composta de 5% de pessoas com Ensino Superior completo, a amostra terá 5% de pessoas com Ensino 
Superior completo, e assim por diante.
Embora não seja prática comum, seria razoável que as pesquisas apresentassem a forma como a amostra foi 
composta e como a pesquisa foi realizada. Por outro lado, de modo geral, esses dados podem ser obtidos nas 
empresas que fazem as pesquisas.
 estrato: do latim stratum (camada); em Estatística, refere-se a uma camada populacional, também chamada de amostra.
Atividades
9o. ano – Volume 414
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Se tomarmos uma amostra estratificada de 2 000 pessoas, indique quantos entrevistados devem satisfa-
zer as variáveis a seguir.
a) Ser homem:
48,01% de 2 000 entrevistados: 0,4801 ⋅ 2 000 = 960,2 homens. Podemos arredondar esse número para 960.
b) Ter de 21 a 24 anos:
8,79% de 2 000 entrevistados: 0,0879 ⋅ 2 000 = 175,8 entrevistados. Podemos arredondar esse número para 176.
c) Ter Ensino Médio completo:
22,14% de 2 000 entrevistados: 0,2214 ⋅ 2 000 = 442,8 entrevistados. Podemos arredondar esse número para 443.
d) Além do sexo, da idade e do grau de escolaridade, que outras características você acredita que devem 
ser consideradas em uma pesquisa como essa?
Pessoal. Como exemplo, podemos citar a classe social e o bairro em que o entrevistado mora.
2. O fluxo de produção de uma fábrica de parafusos especiais varia conforme o horário do dia, de acordo 
com a tabela a seguir. Das 12h às 14h a fábrica não produz parafusos.
Hora Quantidade de parafusos produzidos
8 h 10 h 1 240
10 h 12 h 3 600
14 h 16 h 2 400
16 h 18 h 4 500
Com vistas a realizar uma pesquisa de controle de qualidade, são selecionados 100 parafusos. A amostra 
é estratificada, ou seja, é composta respeitando-se a porcentagem de parafusos fabricados por período.
Como essa amostra deverá ser composta? (arredonde adequadamente os valores obtidos) 
Somando-seas quantidades produzidas, temos 11 740 parafusos. Desses, 10,56% foram fabricados das 8 às 10 horas; 30,67%, 
das 10 às 12 horas; 20,44%, das 14 às 16 horas; e 38,33%, das 16 às 18 horas. Dessa maneira, a amostra deve conter essas mesmas 
porcentagens, ou seja, 11 parafusos produzidos das 8 às 10 horas, 31 parafusos produzidos das 10 às 12 horas, 20 parafusos pro-
duzidos das 14 às 16 horas e 38 parafusos produzidos das 16 às 18 horas.
 Matemática 15
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Interpretação e comunicação dos resultados 
Para interpretarmos os resultados de uma pesquisa, é importante saber o significado de medidas de tendên-
cia central: média aritmética, moda e mediana. Além dessas medidas, calcular a amplitude dos dados pode nos 
ajudar. Com essas quatro medidas, podemos ter uma ideia razoável do que ocorre com um conjunto de dados, 
sem precisarmos ter acesso a todos eles.
Para exemplificarmos o cálculo e a interpretação dessas medidas, vamos considerar as notas de uma turma 
de 9º. ano em Matemática, na primeira prova do ano letivo. Após entregar todas as provas, o professor anotou, 
de forma aleatória, as notas de todos os alunos no quadro: 
Comentários.5
Média aritmética
A média aritmética é uma das medidas de tendência central mais utilizadas. No entanto, cabe ressaltar que, 
sozinha, essa medida pode levar a conclusões equivocadas. 
A média aritmética acompanhada de outras medidas estatísticas pode fornecer dados mais significativos. 
Veja a definição da média aritmética. 
Sejam x1, x , ..., x2 n os valores de n observações de determinada variável. A média 
aritmética, indicada por x , é a razão entre a soma de todos os valores observados e o 
número total de observações.
x
x x x
n
n 
  1 2 ! 
Para citar um exemplo, vamos calcular a média aritmética das notas dos alunos do 9º. ano. 
x 
             
 
90 95 25 38 10 55 50 70 80 70 70 52 90 56 100
15
63 4,
Observe que há valores que se repetem, “pesando” mais na média. Isso significa que poderíamos atribuir 
pesos diferentes aos valores e fazer o mesmo cálculo utilizando o conceito de média aritmética ponderada. 
Nesse caso, multiplicamos a nota pelo número de vezes que ela aparece, ou seja, pela sua frequência absoluta, 
da seguinte maneira:
x 
            
 
2 90 95 25 38 10 55 50 3 70 80 52 56 100
15
63 4,
Moda 
Outra medida de tendência central é a moda. 
A moda é o valor que apresenta maior frequência em um conjunto de observações. 
No caso das notas dos alunos do 9º. ano, a moda é 70, pois aparece 3 vezes. Podemos ter dois ou mais valores 
para a moda. 
9o. ano – Volume 416
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Mediana 
A mediana é o valor que separa a metade menor da metade maior de uma amostra. 
A mediana de um conjunto de n observações x1, x , ..., x2 n é o valor “do meio” do conjunto, 
quando os dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. Se n é ímpar, esse 
valor é único; se n é par, a mediana é a média aritmética simples dos dois valores centrais. 
Observe novamente as notas. Dispondo os valores em ordem crescente, por exemplo, obtemos:
Como a quantidade de elementos é ímpar, há o termo do “meio” e nesse caso é a nota 70. Caso a quantidade 
fosse par, precisaríamos calcular a média aritmética entre os dois termos centrais.
Amplitude 
A amplitude nos indica o quão distante está o menor termo do maior termo. De maneira mais formal, po-
demos dizer que: 
A amplitude de uma coleção de dados é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. 
No caso das notas, o valor mínimo é 10 e o máximo é 100. Dessa maneira, a amplitude é 90. 
Amplitude = 100 – 10 = 90
Matemática em detalhes
O que as medidas de tendência central indicam?
Observe os valores que obtemos no caso das notas:
Média aritmética = 63,4
Moda = 70
Mediana = 70
Amplitude = 90
Com esses dados, é possível ter uma ideia mais ou menos precisa do que ocorre com as notas dessa turma 
sem precisarmos recorrer à leitura de todas as notas. Podemos dizer que a média aritmética é uma medida que 
representa razoavelmente as notas dessa turma, já que média, moda e mediana estão próximas. A amplitude 
nos mostra que há ao menos uma nota muito baixa e uma nota muito alta.
Nos anos posteriores, você vai aprender mais sobre medidas de dispersão, que fornecem ainda mais in-
formações sobre os dados. 
 Matemática 17
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1. Uma companhia aérea registrou o tempo de 
dez voos entre Curitiba e Campinas. Os tempos 
registrados (em minutos) são dados a seguir. 
Atividades
2. Observe a tabela com os dados salariais de uma 
empresa. 
Número de funcionários Salário
8 R$ 1.400,00
3 R$ 1.500,00
5 R$ 1.600,00
3 R$ 2.100,00
1 R$ 15.000,00
1 R$ 17.000,00
a) Calcule a média aritmética dos salários dos 
funcionários. 
x 
        8 1400 3 1500 5 1600 3 2100 15 000 17 000
21
2 952 38

 ,
Logo, o salário médio dos funcionários é, aproxima-
damente, R$ 2.952,38.
 
b) Calcule a mediana dos salários dos funcionários. 
Dispondo os dados em ordem crescente, temos: 
1 400, 1 400, 1 400, 1 400, 1 400, 1 400, 1 400, 1 400, 
1 500, 1 500, 1 500, 1 600, 1 600, 1 600, 1 600, 1 600, 
2 100, 2 100, 2 100, 15 000, 17 000.
Portanto, a mediana é igual a 1 500. 
 
c) Determine a moda dos salários dos funcio-
nários.
Moda = 1 400, pois é o valor que mais aparece na 
tabela (8 vezes).
 
d) Calcule a amplitude. 
Amplitude = 17 000 – 1 400 = 15 600
 
48 51 49 50 50 53 52 51 49 50 
a) Calcule o tempo médio de voo. 
x 
       
 
48 2 49 3 50 2 51 52 53
10
50 3,
Logo, o tempo médio de voo é de 50,3 minutos. 
 
b) Calcule a mediana do tempo de voo. 
Dispondo os dados em ordem crescente, temos: 48, 
49, 49, 50, 50, 50, 51, 51, 52 e 53. 
Esse conjunto de dados tem dois termos centrais: 50 e 
50. Dessa maneira, a mediana do tempo de voo é dada 
por 
50 50
2
50

 . 
 
c) Determine a moda do tempo de voo. 
Moda = 50, pois é o valor que mais foi registrado 
(3 vezes). 
 
d) Calcule a amplitude do tempo de voo. 
Amplitude = 53 − 48 = 5, que é a diferença entre o 
maior e o menor dados registrados. 
 
e) Nesse caso, a média aritmética é uma boa 
medida para compreender esse conjunto de 
dados? Justifique sua resposta. 
Sim, pois as medidas de tendência central são muito 
próximas e a amplitude é relativamente baixa.
9o. ano – Volume 418
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JORNAL G
AZETINHA
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NCION
ÁRIOS RE
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R$ 1.50
0,00 E 
MIL FUNC
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MAIS DE 
R$ 1.50
0,00; HÁ
 UM ÚNIC
O 
FUNCI
ONÁRI
O QUE RE
CEBE R$
 1.500,0
0
A diferença entre o menor salário e o maior salário na empresa Generoso é grande: o menor salário é de R$ 732,00, enquanto o salário mais alto é de R$ 24.500,00
A média salarial da empresa Generoso é R$ 6.500,00
R$ 998,00 é o salário que mais aparece 
entre os funcionários da empresa Generoso.
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
9.
 D
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ita
l. 
Jornal Gazetinha: metade dos funcionários ganha menos de R$ 1.500,00, metade ganha mais de R$ 1.500,00 e uma única 
pessoa ganha exatamente esse valor. Dessa maneira, o salário de R$ 1.500,00 é o valor mediano do conjunto dos salários dos 
funcionários da empresa, pois o divide em dois conjuntos com o mesmo númerode dados. 
Jornal Pitaco: estamos falando da diferença entre o menor e o maior salários que a empresa fornece. Dessa maneira, temos a 
noção de amplitude, definida como a diferença entre o maior e o menor valores do conjunto de dados. 
Jornal O Patrão : média, como é possível ler na nota do jornal. 
Jornal O Sindicato: moda, pois R$ 998,00 é o salário que aparece com maior frequência. 
Informações complementares e sugestão de pesquisa.6 Sugestão de atividades: questões 7 e 8 da seção Hora de estudo.
Quais medidas de tendência central podem ser encontradas em cada uma das notas divulgadas nos jornais?
No dia seguinte, o sindicato dos empregados da empresa Generoso publicou outra nota no jornal 
O Sindicato : 
e) A média aritmética é uma boa medida para compreender esse conjunto de dados? Justifique sua 
resposta. 
Não, a moda e a mediana estão muito distantes da média e a am demais medidas de tendência plitude é alta se comparada às
central. 
 3. Leia as duas manchetes de jornal sobre uma mesma empresa, que tem 2 001 funcionários. 
Incomodados com a notícia, os gerentes da empresa Generoso publicaram a seguinte nota no jornal 
O Patrão, de circulação interna da empresa: 
 Matemática 19
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2.
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Porcentagem 
Vamos retomar o assunto sobre porcentagens. Para isso, você deverá analisar as situações propostas nas 
atividades a seguir. 
 1. Você já estudou, mas não custa lembrar! Se quisermos encontrar o valor de um produto depois de um 
acréscimo de 20%, podemos multiplicar seu valor por 1,2. Acompanhe a explicação da garota. 
Comentários.7
VAMOS CHAMAR O VALOR DO PRODUTO DE . 
PRECISAMOS ACRESCENTAR 20% SOBRE ELE. ISSO SE 
ESCREVE DA SEGUINTE MANEIRA: 
NOVO VALOR =  + 20% de x
PODEMOS ESCREVER 20% COMO UMA FRAÇÃO DE 
DENOMINADOR 100. ASSIM:
NOVO VALOR = x +
20
100
x
E PODEMOS ESCREVER A FRAÇÃO 
20
100
 COMO O NÚMERO DECIMAL 0,2. 
ESSE NÚMERO DECIMAL É O QUE CHAMAMOS DE TAXA UNITÁRIA.
NOVO VALOR =  + 0,2 ⋅ x
NOVO VALOR = 1,2 x⋅
Agora, complete as frases. 
a) Acrescentar 25% ao valor de um produto é o mesmo que multiplicá-lo por 1,25 .
b) Multiplicar o valor de um produto por 0,90 é o mesmo que encontrar seu valor depois de um des-
conto de 10% .
c) 5% de um valor pode ser obtido multiplicando-se esse valor por 0,05 .
d) O valor de um produto depois de um desconto de 3% pode ser obtido multiplicando-se esse 
valor por 0,97.
Considere o texto a seguir para responder às questões 2 e 3. 
Em consequência da crise financeira, as lojas de 
produtos eletrônicos de determinada cidade estão 
tendo que aumentar, mês a mês, os preços de seus 
produtos. 
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9o. ano – Volume 420
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Porém, nessa mesma cidade, as lojas de rou-
pas e calçados têm recebido mais clientes 
com o passar dos meses e, por isso, estão 
podendo oferecer descontos. 
2. Uma loja de aparelhos eletrônicos decidiu aumentar em 10% o preço de todos os seus produtos, mês a 
mês. O acréscimo será realizado no início de cada mês. 
a) Considere um produto que custa R$ 100,00 no início de janeiro. Quanto ele custará no início de 
fevereiro?
 
1,1 100 = 110⋅
O produto custará R$ 110,00 no início de fevereiro.
 
b) Quanto ele custará no início de março?
 
1,1 110 = 121⋅
O produto custará R$ 121,00 no início de março.
 
c) Qual é a taxa percentual de acréscimo, ou seja, qual é a porcentagem de acréscimo desse produto em 
dois meses?
 
21%, pois R$ 100,00 + 21% de R$ 100,00 é igual a R$ 100,00 + R$ 21,00 = R$ 121,00. 
 
 3. Com o aumento no número de vendas, uma loja de roupas e calçados resolveu diminuir, a cada mês, o 
valor de todos os seus produtos. O decréscimo no valor dos produtos será realizado no início de cada 
mês e será de 5%. 
a) Considere um produto que custa R$ 100,00 no início de janeiro. Quanto ele custará no início de fevereiro?
 
(1 – 0,05) 100 = 0,95 100 = 95 ⋅ ⋅
O produto custará R$ 95,00 no início de fevereiro.
 
b) Quanto ele custará no início de março?
 
(1 – 0,05) 95 = 0,95 95 = 90,25 ⋅ ⋅
O produto custará R$ 90,25 no início de março.
 
c) Qual é a taxa percentual de decréscimo, ou seja, qual é a porcentagem de decréscimo desse produto 
em dois meses?
 
9,75%, pois R$ 100,00 – 9,75% de R$ 100,00 é igual a R$ 100,00 – R$ 9,75 = R$ 90,25. 
 
Uma taxa unitária de 1 significa uma taxa percentual de 100%. Dessa 
maneira, taxa unitária de 0,2 significa uma taxa percentual de 20%. 
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 Matemática 21
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Matemática em detalhes
Usando a calculadora na Educação Financeira 
1. Um produto de R$ 250,00 sofre um acréscimo de 10% no primeiro mês e de 15% no segundo mês.
a) Por quanto ele será vendido no segundo mês?
 
1,1 250 = 275⋅
1,15 275 = 316,25⋅
Logo, no segundo mês, o produto será vendido por R$ 316,25.
 
b) Qual é o valor do acréscimo em relação ao preço inicial?
 
316,25 – 250 = 66,25
Logo, o acréscimo em relação ao preço inicial é de R$ 66,25. 
 
c) Qual é a taxa percentual de acréscimo depois desses dois meses?
 
250
100
250 316 25
250 2 5 316 25
2 5 66 25
26 5
  
 
 
 
x
x
x
x
,
, ,
, ,
,
Logo, a taxa percentual de acrés-
cimo após esses dois meses foi de 
26,5%. 
Na nossa economia, é comum nos depararmos com situações que envolvem 
acréscimos sobre acréscimos e descontos sobre descontos, ou seja, aquelas em que 
se aplicam percentuais sucessivos. Resolver situações como essa usando apenas o 
cálculo escrito pode resultar em um trabalho bastante demorado. Mesmo as calcula-
doras mais simples podem nos ajudar a resolver esse problema usando um recurso 
de “travar” a operação. 
Se precisarmos encontrar o valor que teremos cinco meses depois de investir 
R$1.000,00 em uma aplicação que rende 2% ao mês, podemos apenas digitar:
1 000 1,02 
Com isso, os resultados serão:
1 020 1 040,4 1 061,21 1 082,43 1 104,08
Observe que, se a taxa for sempre igual, você também pode obter o mesmo resultado com a operação de 
potenciação conforme exibida a seguir, caso sua calculadora disponha desse recurso:
1 000 1,02 5 
Atenção: nem todas as calculadoras “travam” a operação da mesma forma, explore a sua para ver como ela 
funciona.
Atividades
Dica: uma maneira de resolver 
esse problema é pensar que a 
porcentagem de acréscimo foi 
aplicada sobre R$ 250,00 para 
resultar no valor final. Para isso, 
podemos construir uma equação:
250 + x% de 250 = Valor final
©
Sh
ut
te
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to
ck
/G
om
ol
ac
h
9o. ano – Volume 422
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2. Em uma loja, se o consumidor pagar um produto à vista, recebe um desconto de 10%; caso pague em 
dinheiro, recebe um novo desconto de 5%. Qual é a taxa percentual de desconto para um cliente que 
paga à vista em dinheiro?
 
Seja p o preço original do produto. Se o consumidor pagar à vista, o produto passa a custar (1 – 0,1) ⋅ p = 0,9p. Se fizer o pagamento 
em dinheiro, o produto passa a custar (1 – 0,05) ⋅ 0,9p = 0,95 ⋅ 0,9p = 0,855p. Dessa forma, o preço a ser pago à vista em dinheiro 
é igual a 85,5% do preço original e o desconto é, portanto, 100% – 85,5% = 14,5%. 
 
 3. Ao final da aula de Matemática, Bárbara fez a seguinte afirmação:
Comentários.8
Bárbaraestá correta? Justifique sua resposta apresentando os cálculos.
 
Sim. Supondo que o preço de um produto é p, podemos compor os descontos da seguinte maneira: 0,9 ⋅ p ⋅ 0,85. Como a multi-
plicação é comutativa, é válida a igualdade 0,85 ⋅ p 0,9 = 0,9 p 0,85.⋅ ⋅ ⋅
 
4. O proprietário de um imóvel anuncia sua venda em um jornal. Ao perceber que ele estava supervalori-
zado, após um mês sem conseguir vendê-lo, o proprietário resolveu diminuir o valor em 20%. Depois de 
mais um mês sem comprador, em razão da necessidade de vender seu imóvel rapidamente, ele resolveu 
conceder mais 20% de abatimento sobre o novo preço. Um interessado se dispôs a comprá-lo, desde 
que o proprietário desse um desconto de 10% sobre o último preço anunciado. A venda foi realizada 
segundo a proposta do comprador. Que porcentagem do preço inicial do imóvel foi paga?
 
Suponha que o preço original do imóvel era p. Após um mês sem vendê-lo, o proprietário diminuiu o valor em 20% e, portanto, seu 
preço passou a ser (1 – 0,2) ⋅ p = 0,8p. Após o segundo mês sem vender o imóvel, um novo desconto de 20% foi concedido e o preço 
passou a ser (1 – 0,2) ⋅ 0,8p = 0,8 ⋅ 0,8p = 0,64p. Por fim, um desconto de 10% foi fornecido para que o imóvel fosse vendido e o preço 
passou a ser (1 – 0,1) ⋅ 0,64p = 0,9 ⋅ 0,64p = 0,576p. Isso significa que o preço a ser pago é igual a 57,6% do preço inicial de venda do imóvel. 
 
 5. Trocar uma dívida pode ser algo muito importante em nossa vida. A ideia é solicitar a um banco um 
empréstimo a juros mais baixos para quitar uma dívida que tenha juros mais altos.
Sônia estava devendo R$ 10.000,00 no cartão de crédito cuja taxa era de 6% ao mês. Decidiu pegar um 
empréstimo do banco a 2% ao mês para quitar a dívida e a pagou depois de 12 meses. 
a) Quanto Sônia estaria devendo se continuasse com a dívida do cartão de crédito? Dica: use o recurso 
de “travar” a operação de sua calculadora. 
 
10000 1 06 1 06 1 06 10000 1 06 201
12
12    , , ... , ,
parcelas
  
 221 96, 
Logo, Sônia estaria devendo R$ 20.121,96.
 
b) Quanto Sônia teve que pagar ao banco para quitar o empréstimo? 
 
10000 1 02 1 02 1 02 10000 1 02 126
12
12    , , ... , ,
parcelas
  
 882 42, Logo, Sônia teve que pagar R$ 12.682,42 para quitar o em-
préstimo.
 
c) Quanto Sônia economizou? 
 
20 121,96 – 12 682,42 = 7 439,54 
Portanto, Sônia economizou R$ 7.439,54.
 
Sugestão de atividades: questões de 9 a 11 da seção Hora de estudo.
SE APLICARMOS UM DESCONTO DE 10% SOBRE UM 
PRODUTO E DEPOIS UM DESCONTO DE 15%, TEREMOS O 
MESMO RESULTADO QUANDO APLICARMOS UM DESCONTO 
DE 15% E DEPOIS O DESCONTO DE 10%.
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 Matemática 23
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Hora de estudo
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Neste capítulo, estudamos como construir e analisar gráficos, planejar uma pesquisa, interpretar os dados 
coletados usando medidas de tendência central e aprofundamos o estudo sobre porcentagem no contexto da 
Educação Financeira. Complete as frases sobre esses assuntos. 
O gráfico de setores é mais adequado quando se quer comparar as partes com o todo. 
O histograma é utilizado quando no eixo horizontal os dados são intervalos numéricos.
População é qualquer conjunto de indivíduos, objetos ou ocorrências a respeito do que desejamos obter 
informações. Já a amostra é parte da população .
As medidas de tendência central são média aritmética, moda e mediana .
A diferença entre o valor máximo e o valor mínimo de um conjunto de dados é a amplitude .
A moda é o valor que apresenta maior frequência em um conjunto de observações.
A mediana é o valor que separa a metade menor da metade maior de uma amostra. 
A taxa unitária de 0,15 é equivalente à taxa percentual de 15% . 
Organize as ideias 
 1. Observe o infográfico a seguir, que representa as classes econômicas das famílias brasileiras, em 2016, de 
acordo com sua renda mensal.
Todas as atividades devem ser resolvidas no caderno. 
Gabaritos e comentários.9
Disponível em: <https://dcomercio.com.br/categoria/economia/poder-de-compra-dos-
brasileiros-sera-limitado-ate-2026>. Acesso em: 5 abr. 2019.
Ao final do ano de 2016, a população do Brasil 
era de aproximadamente 206milhões de ha-
bitantes.
a) Ao final de 2016, quantos brasileiros ti-
nham renda familiar de até R$ 2.166,00?
b) Em uma pesquisa, decidiu-se que a amos-
tra seria composta com base na renda 
familiar. Se nessa amostra houver 20 000 
indivíduos, como ela seria composta?
c) Em que classe(s) está a mediana dessa 
amostra?
Acima de R$ 16.263
Acima de R$ 5.223 até R$ 16.263
Acima de R$ 2.166 até R$ 5.223
Até R$ 2.166CLASSES D e E
CLASSE C
CLASSE B
CLASSE A
56,4%
27%
13,6%
3,0%
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 2. (ENEM) Os alunos da disciplina de estatística, em um curso universitário, realizam quatro avaliações por 
semestre com os pesos de 20%, 10%, 30% e 40%, respectivamente. No final do semestre, precisam obter 
uma média nas quatro avaliações de, no mínimo, 60 pontos para serem aprovados. Um estudante dessa 
disciplina obteve os seguintes pontos nas três primeiras avaliações: 46, 60 e 50, respectivamente.
O mínimo de pontos que esse estudante precisa obter na quarta avaliação para ser aprovado é 
a) b) 29,8. 71,0. X c) e) 74,5. d) 75,5. 84,0.
 3. (ENEM) A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos 
custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do 
número de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcio-
nários, norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho.
Os resultados obtidos estão no quadro.
Número de 
acidentes sofridos
Número de 
trabalhadores
0 50
1 17
2 15
3 10
4 6
5 2
A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa é
a) b) c) 0,15. 0,30. 0,50. X d) 1,11. e) 2,22. 
 4. A tabela a seguir apresenta informações sobre a velocidade, em km/h, de 100carros:
Velocidade (km/h) Frequência
60 65 15
65 70 25
70 75 36
75 80 24
a) Qual o gráfico mais adequado para representar as informações fornecidas? Justifique sua resposta. 
b) Construa o gráfico que representa essa situação. 
 5. (FUVEST – SP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a distribuição dos salários é a seguinte:
Número de Empregados Salário (R$)
12 800,00
5 1.200,00
3 2.000,00
a) Qual é o salário médio dos empregados dessa empresa?
b) A empresa vai contratar um diretor-geral e não gostaria de que a nova média salarial superasse o 
maior salário atual. Qual é o salário máximo que ela pode oferecer ao diretor?
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 6. (ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que 
apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
vendas (R$)
Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. mês
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda abso-
lutas em 2011 foram
a) março e abril.
b) março e agosto.
c) agosto e setembro.
d) junho e setembro.
X e) junho e agosto.
 7. (PISA) Certo dia, na aula de matemática, mediu-se a altura de todos os alunos. A altura média dos me-
ninos foi 160 cm e a das meninas 150 cm. Alice era a mais alta – sua altura era 180 cm. André erao mais 
baixo – sua altura era 130 cm. 
Dois alunos estavam ausentes naquele dia, mas compareceram no dia seguinte. Mediram-se suas alturas 
e as médias foram recalculadas. Surpreendentemente, a altura média das meninas e dos meninos não 
mudou. 
Determine se as conclusões a seguir podem ser tiradas a partir destas informações. 
Circule ‘Sim’ ou ‘Não’ para cada conclusão.
Conclusão Podemos tirar esta conclusão?
Ambos os alunos são meninas. Sim / Não
Um dos alunos é um menino e o outro é uma menina. Sim / Não
Ambos os alunos têm a mesma altura. Sim / Não
A altura média de todos os alunos não mudou. Sim / Não
André ainda é o mais baixo. Sim / Não
 8. (ENEM) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do 
ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. 
Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estu-
dos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. 
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As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: 
Dia do mês Temperatura (em °C)
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
Em relação à temperatura, os valores da média, 
mediana e moda são, respectivamente, iguais a
a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
X b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C. 
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.
 9. (UNIFOR – CE) Um jogador todo mês aposta em vários jogos de azar, como, por exemplo, Mega Sena. 
Em um destes jogos, ele ganhou um prêmio de R$ 100.000,00 e decidiu investir parte do valor em ca-
derneta de poupança, que rende 6% ao ano, e o restante em um fundo de investimento, que rende 7,5% 
ao ano. Apesar do rendimento mais baixo, a caderneta de poupança oferece algumas vantagens, e ele 
precisa decidir como irá dividir o seu dinheiro entre as duas aplicações.
Para garantir, após um ano, um rendimento total de pelo menos R$ 7.200,00, a parte da quantia a ser 
aplicada na poupança deve ser de, no máximo,
a) R$ 10.000,00
b) R$ 12.500,00
c) R$ 15.000,00
d) R$ 17.500,00
X e) R$ 20.000,00
10. Em um concurso para professor de Ciências, a prova tem 60 questões de Botânica e 90 de Ecologia. O 
candidato Ronaldo acertou 85% das questões de Botânica e 70% do total de questões.
Qual o percentual das questões de Ecologia que ele acertou?
a) 45% 
b) 55% 
X c) 60% 
d) 65%
11. Para manter altas taxas de lucro e ao mesmo tempo oferecer seus produtos de maneira atraente, algumas 
empresas aumentam seus preços dias antes da promoção para então praticarem os descontos. Em um 
desses casos, uma companhia aumentou o preço original de um produto em 50% e depois o anunciou 
com um desconto de 40%. Isso significa que, em relação ao preço original, houve desconto de 10%. 
a) Prove que essa afirmação é verdadeira.
b) Reformule o problema alterando as taxas percentuais de acréscimo e decréscimo. Em seguida, resolva 
o problema com as taxas escolhidas. Você pode também trocar com o colega a questão elaborada. 
Importante: as taxas devem ser valores compreendidos entre 1% e 99%. 
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11
Aumentar a quantidade de máquinas que fabricam tecidos reduz o tempo neces-
sário para finalizar uma entrega, mas, por outro lado, aumenta o gasto em energia 
e pode ampliar o número de funcionários necessários para operá-las, o que pode 
implicar a diminuição da margem de lucro. Número de máquinas, tempo de pro-
dução, gasto em energia, número de funcionários, margem de lucro são grandezas 
que estão relacionadas. 
1. Se 10 máquinas entregam uma encomenda em 72 horas, 12 máquinas entregarão a mesma 
encomenda em mais tempo ou menos?
2. Se 5 máquinas fabricam 1 680 peças de tecido, quantas peças de tecido serão fabricadas por 7 dessas 
máquinas?
Proporcionalidade 
com mais de duas 
grandezas
©
Sh
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rs
to
ck
/S
spp
op
o
v
1. Em menos tempo, uma vez que será possível 
produzir a mesma encomenda com uma quantida-
de maior de máquinas. Observe a demonstração 
2. Se 5 máquinas fabricam 1 680 peças de tecido, cada máquina fabricará 1 680 ÷ 5 = 336 peças. Logo, 7 máquinas fabricarão 
336 7 = 2 352 peças. ⋅
matemática. 
Tendo em 
vista que as 
grandezas se 
relacionam 
de maneira 
inversa-
mente pro-
porcional, 
podemos 
construir 
a seguinte 
regra de três:
10 72
12

 x 
Resolvendo: 
12 720
60
x
x
 
 
Logo, 12 
máquinas 
entregarão a 
mesma en-
comenda em 
60 horas, ou 
seja, em me-
nos tempo.
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Considere o problema a seguir. 
Verônica reformará o piso da sua cozinha, que é retangular e 
apresenta 6 m de comprimento por 5 m de largura. Ela sabe que o 
metro quadrado do piso que deseja comprar está em promoção e 
custa R$25,00. 
Após o término das obras, Verônica percebeu que gastou menos 
do que imaginava e resolveu reformar a calçada de seu quintal. Foi à 
loja e notou que o metro quadrado do mesmo piso utilizado na cozi-
nha ainda estava sendo vendido por R$ 25,00. Sabendo que a calçada 
é retangular e tem 8 m de comprimento por 6,5 m de largura, vamos calcular de duas maneiras o total gasto 
com os pisos nas reformas da cozinha e da calçada. 
Antes disso, lembre-se de que, quando duas grandezas se relacionam de maneira diretamente proporcio-
nal, podemos construir um esquema conhecido como regra de três simples. Observe (as setas indicam que, 
quando uma grandeza aumenta, a outra aumenta na mesma proporção): 
Grandeza 1 Grandeza 2
a b
c d
Podemos, então, determinar a seguinte igualdade: 
a
c
b
d
 .
Objetivos
Ao final do estudo deste capítulo, espera-se que você identifique e resolva problemas envol-
vendo a variação entre duas ou mais grandezas diretamente e inversamente proporcionais, assim 
como problemas envolvendo a divisão em partes proporcionais.
Proporcionalidade direta e inversa com duas ou mais 
grandezas
Na resolução dos problemas propostos na abertura do capítulo, você usou alguns conceitos relativos à 
proporcionalidade direta ou inversa entre duas grandezas. Para isso, deve ter aplicado algum método que já 
aprendeu em outros anos, como a regra de três simples, ou seja, aquela utilizada para resolver problemas 
envolvendo a relação entre apenas duas grandezas. 
Vamos relembrar o que ocorre quando usamos a regra de três simples em duas situações similares.
Regra de três simples e grandezas diretamente proporcionais
A proporção anterior pode ser escrita na seguinte forma: 
a : c = b : d
Ao usarmos essa segunda notação, percebemos que os números representados por a e d estão nos 
extremos e os números representados por e estão no meio dessa proporção.c b
Com isso, podemos enunciar a : o produto dos extremos propriedade fundamental das proporções
é igual ao produto dos meios, ou seja: 
a
c
b
d
a d b c o  
©
Sh
ut
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to
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/A
nn
a 
A
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 F
ot
og
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Agora, vamos resolver o problema proposto na página anterior de duas formas. Acompanhe! 
1ª. maneira: utilizando apenas a ideia de área de figuras planas. 
A área do piso da cozinha é igual a 6 m 5 m = 30 m⋅ 2.
Assim, o valor gasto com a reforma do piso da cozinha foi de 30 R$25,00 = R$750,00.⋅
A área do piso da calçada é igual a 8 m 6,5 m = 52 m⋅ 2.
Logo, o valor gasto com a reforma do piso da calçada foi de 52 R$ 25,00 = R$1.300,00.⋅
Portanto, Verônica gastou R$ 750,00 + R$ 1.300,00 = R$ 2.050,00 com os pisos. 
2ª. maneira: utilizando área de figuras planas e regra de três. 
Vimos que a área do piso da cozinha é igual a 30 m2 e que o valor gasto na reforma foi de 
R$ 750,00. 
Vimos também que a área do piso da calçada é igual a 52 m2 . 
Apenas com esses três dados, podemos encontrar o valor gasto na reforma do piso da calçada. 
Para isso, usamos uma regra de três simples. Como queremos encontrar o valor a ser pago por 
52 m2 e sabemos que o valor pago por 30 m2 foi R$ 750,00, temos: 
30 750 00
52
2
2
m R
m x


$ ,
Assim, 30x = R$ 39.000,00, de onde obtemos x = R$ 1.300,00.
Portanto, Verônica gastou R$ 750,00 + R$ 1.300,00 = R$ 2.050,00 com os pisos.
Utilize o esquema da regra de três simples para determinar quanto Verônica gastaria se também refor-
masse seu escritório, de 12 m2, com o mesmo piso da promoção.
 
30 750 00
12
2
2
m R
m x


$ ,
A quantidade de piso necessária para a reforma do escritório é menor que a quantidade utilizada para a cozinha, portanto o 
valor gasto com o escritório também será menor que o valor gasto com a cozinha. Quando a grandeza “quantidade de m2 ” 
diminui, a grandeza “valor em reais” também diminui, pois são grandezas diretamente proporcionais. Assim,
30 12 750
30 9 000
9 000
30
300
 
 
 
 
x
x
x
x
Portanto, Verônica gastaria R$ 300,00 com a reforma do piso do escritório.
Você conhece outros exemplos de pares de grandezas que são diretamente proporcionais? Liste alguns.
Os alunos já estudaram a relação entre duas grandezas diretamente proporcionais em anos anteriores, por isso não terão dificuldade 
em relembrar alguns exemplos. Eles podem citar, por exemplo, “distância percorrida por um automóvel” e “quantidade de combus-
tível gasta”, “medida do comprimento dos lados de um polígono” e “perímetro”, “quantidade de calorias gastas por uma pessoa prati-
cando determinado esporte” e “tempo de prática”, entre outros.
9o. ano – Volume 430
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Dois exemplos:
10
1
600
60
5
6
100
120
 ; 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/I
m
tm
ph
ot
o
Regra de três simples e grandezas inversamente proporcionais 
Considere outro problema, similar ao anterior.
Em uma fábrica de peças automotivas, 10 funcionários levam 60horas para realizar a inspeção de 200filtros 
de ar-condicionado. Seisfuncionários que trabalham de maneira similar precisarão de quantas horas para fina-
lizar a mesma inspeção?
Preencha a tabela a seguir, que relaciona a quantidade de trabalha-
dores e de horas. Observe que a quantidade de filtros de ar-condicio-
nado que foram inspecionados nas duas situações é igual. Isso significa 
que os dados que precisamos verificar são apenas “número de funcio-
nários” e “número de horas”.
Funcionários Horas
10 60
5 120
1 600
6 100
NESSE CASO, TEMOS QUE 
INVERTER UMA DAS FRAÇÕES 
PARA QUE AS IGUALDADES 
SEJAM VERDADEIRAS. ISSO 
PORQUE AS GRANDEZAS SÃO 
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, 
OU SEJA, QUANDO UMA AUMENTA, 
A OUTRA DIMINUI NA MESMA 
PROPORÇÃO.
Perceba que, se aumentarmos o número de fun-
cionários, o número de horas trabalhadas dimi-
nuirá. Por que isso ocorre?
Como o número de funcionários será maior, as 200 peças 
serão inspecionadas em um número menor de horas. 
Observe que, com base na tabela, podemos 
construir algumas igualdades, como 
10
5
120
60
 . 
Encontre duas outras igualdades como essa. 
Como ocorre para grandezas diretamente proporcionais, quando duas grandezas se relacionam de maneira 
inversamente proporcional, podemos construir também a regra de três simples. Observe (as setas indicam 
que, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção): 
Grandeza 1 Grandeza 2
a b
c d
Podemos, então, determinar a seguinte igualdade:
a
c
d
b
 
Utilizando a propriedade fundamental das proporções: 
a
c
d
b
a b c d o   
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/H
um
ph
er
y
 Matemática 31
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Matemática em detalhes
Podemos resolver o problema anterior por meio da regra de três. 
10 60
6

 x
Precisamos encontrar o valor de x na seguinte igualdade:
10
6 60
 
x
Pela propriedade fundamental das proporções, temos 6x = 600 e, assim, x = 100. Você completou correta-
mente a tabela dada? 
Observe os seguintes pares de grandezas e assinale com um X aquelas que podem ser consideradas in-
versamente proporcionais.
a) “Quantidade de funcionários” e “quantidade de peças a serem produzidas em determinado intervalo 
de tempo".
b) “Quantidade de peças a serem produzidas” e “tempo para produzir”.
X c) “Velocidade” e “tempo para percorrer determinada distância”.
d) “Velocidade” e “distância percorrida em determinado intervalo de tempo”. 
Liste outros exemplos de pares de grandezas inversamente proporcionais.
Os alunos podem citar exemplos vistos em anos anteriores, como “largura” e “comprimento” de um retângulo de área fixa, 
“número de máquinas trabalhando” e “tempo para entregar um trabalho”, entre outros.
Uma situação clássica que envolve duas grandezas inversamente proporcionais é quando falamos de ve-
locidade média e tempo. Ao compará-los, é possível verificar que, enquanto a velocidade média aumenta, o 
tempo gasto para percorrer determinada distância diminui. Em outras palavras, à medida que uma das grande-
zas aumenta, a outra diminui na mesma proporção. 
A velocidade média é obtida por meio da seguinte razão: 
v
d
t
 
Onde é a velocidade média e é o tempo gasto para se percorrer uma distância .v t d
Pense na seguinte situação: uma família vai viajar para a casa de seus parentes, que fica a 300 km de distân-
cia de sua cidade. 
• Se eles viajarem com uma velocidade de :100 km/h, o tempo da viagem será igual a 3 h
100 100
300
300 3 o o 
t
t t h 
• Se eles viajarem com uma velocidade de :75 km/h, o tempo da viagem será igual a 4 h
75 75
300
300 4 o o 
t
t t h 
Com isso, você pode perceber que a velocidade média e o tempo são grandezas inversamente proporcio-
nais, ou seja, conforme se aumenta o valor de uma, diminui-se o valor da outra. 
9o. ano – Volume 432
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Saiba +
Pelos ares, pelas terras e pelos mares: os animais mais rápidos do mundo
Já que estamos falando sobre velocidade, que tal conhecermos os três animais mais velozes 
do mundo? Por questões de caça e até mesmo de fuga, esses animais atingem velocidades maio-
res do que a de um automóvel! 
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ix
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ol
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s9
3
O terceiro animal mais rápi-
do do mundo está nas águas. 
Conhecido como agulhão-vela, 
sua velocidade pode alcançar os 
110 km/h.
O guepardo, segundo animal 
mais veloz do mundo, tem como 
hábitat a savana e sua velocidade 
pode atingir os 115 km/h.
Quase o triplo da veloci-
dade do guepardo, o falcão-
-peregrino, exímio caçador, 
pode atingir até 320km/h.
 Matemática 33
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um g al ão d e 3 ,6 litr o s p a ra ca da 7
5 m
2
Re
nd i
me nto :
um g alão de 3,6 l itros para cada 75
 m
2
R end imento:
 1. Considere as informações da lata de tinta mostrada a seguir: 
Quantos litros de tinta seriam necessários para pintar 
100 m2 de parede?
3 6 75
100
, 
x
x = 4,8 
Para pintar 100 m2 de parede, seriam necessários 4,8 litros de tinta.
 
 2. Para encher um reservatório utilizando 4 bombas de água, leva-se em média 6 horas. Para encher o reser-
vatório em 2 horas, quantas bombas serão necessárias? 
4 6
2

x
Temos um problema de regra de três com 
grandezas inversamente proporcionais. 
Como precisamos diminuir o número de 
horas, é necessário aumentar o número 
de bombas. Dessa maneira, temos: 
2x = 4 6⋅
2x = 24
x = 12
Serão necessárias 12 bombas para en-
cher o reservatório em 2 horas.
 3. A densidade demográfica, também conhecida como densidade populacional, é a medida expressa pela 
razão entre a população e a superfície de determinado território. 
Com uma população de aproximadamente 1,339 bilhão de habitantes, segundo dados do Banco Mun-
dial de 2017, a Índia é um dos países com maior densidade demográfica do mundo: aproximadamente, 
407 habitantes/km2. Com essas informações, encontre a área aproximada da Índia. 
 
 
 

Número de habitantes
Densidade demográfica
Área territorial
1339 000 000
407
x
407x 1339 000 000
x 3 289 926
Portanto, a área aproximada da Índia é de 3 289 926 km2.
Atividades
• Taj Mahal, patrimônio histórico 
e ponto turístico da Índia
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D.
Pa
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Divo . 201 3. 
D igita
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9o. ano – Volume 434
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4. Complete a tabela a seguir, que apresenta o número aproximado de habitantes, a área aproximada (em qui-
lômetros quadrados) e a densidade populacional aproximada das cinco regiões brasileiras no ano de 2017.
Região Nº. de 
habitantes
Área (km2)
Densidade 
populacional 
(hab./km2)
Sul 29 644 948 577 214 51,36
Sudeste 86 949 714 927 286,2 93,77
Centro-Oeste 15 875 907 1 611 767 9,85
Nordeste 57 248 397 1 561 178 36,67
Norte 17 936 201 3 853 397 4,65
Fonte: Fapespa. 
 5. O gráfico a seguir mostra a relação de calorias gastas por minuto de corrida. 
a) Encontre a taxa de variação, ou seja, a quantidade de caloria por minuto de corrida. Dê a resposta em 
cal/min.
 
Podemos observar, de acordo com o gráfico, que se gastam 60 calorias a cada 4 minutos de corrida. Logo, a taxa de variação 
é de 15 cal/min.
 
b) Qual é a quantidade de calorias gastas em 9 minutos de corrida?
 
4 60
9

 x
4x = 540
x = 135
Portanto, em 9 minutos de corrida, são gastas 135 calorias.
 
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ck
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ul
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Calorias
Tempo (min)
80
60
40
20
2 4 6 8 10
0
 Matemática 35
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40
35
30
25
20
15
10
5
0 5 10 15 20 25 30
A
y
x
B
C
D
E
 6. Muitas pessoas acreditam que sucos de fruta são sempre benéficos para a saúde, esquecendo que, mes-
mo em sucos naturais, a quantidade de açúcar pode ser significativa. Uma embalagem de 2 litros de suco 
integral contém 240 gramas de açúcar.
a) Complete a tabela a seguir, que apresenta a relação entre a quantidade de suco 
e a quantidade de açúcar. 
Quantidade de suco (em mL) Quantidade de açúcar (em gramas)
2 000 240
1 000 120
500 60
250 30
Os valores encontrados são a entre a quantidade de açúcar e a quantidade de suco e são todos iguais a deter-razão
minada constante. 
240
2000
120
1000 
 k
Isso significa que essas razões estão na mesma . O valor é denominado de proporção k constante de proporcionalidade. 
Nesse caso, observe que esse valor nos fornece a de açúcar por mL, que é de 0,12 g/mL. taxa de variação
 7. Observe o gráfico a seguir e complete a tabela com os valores correspondentes.
Ponto x y
A 1 36
B 2 18
C 3 12
D 4 9
E 12 3
Se x y e representam valores de duas grandezas, 
elas são grandezas diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais? Justifique sua res-
posta.
São grandezas inversamente proporcionais. Por exemplo, ao 
dobrarmos o valor de x, o valor de y fica reduzido à metade.
Dois exemplos: 
240
2 000
60
500
60
500
30
250 
 e . 
b) Observe que, com os dados da tabela, podemos 
construir a igualdade 
240
2 000
120
1000 
 . Que outras 
igualdades podem ser construídas? 
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9o. ano – Volume 436
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 8. Um automóvel faz uma viagem de 260 km em 2 horas e meia.
De acordo com as informações do enunciado, podemos encontrar dois pontos que pertencem ao gráfico procurado. O primeiro deles é a 
origem, pois em 0 h o automóvel não percorreu nenhuma distância. O segundo é o ponto (2,5; 260). Comente com os alunos que o gráfico 
está fora de escala.
c) Chamando a distância percorrida de d e o tempo de t, qual expressão relaciona d t e ? 
 
Se a cada hora são percorridos 104 km, a expressão que relaciona d e é d = 104 t ⋅ t.
 
d) Podemos dizer que a distância é dada em função do tempo. Que tipo de função é a expressão que 
relaciona d e ? t
Função do 1º. grau (ou função afim). 
 
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ak
D
ill
Distância
(km)
Tempo (h)
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
a) Construa o gráfico a seguir, que relaciona a 
distância com o tempo gasto na viagem.
b) Encontre a taxa de variação, ou seja, a quan-
tidade de quilômetros por hora que repre-
senta a velocidade média do automóvel du-
rante a viagem. Dê a resposta em km/h. 
Basta calcularmos a razão
v= 
d
t
Temos então:
260
2 5
104
,
 
A velocidade média do automóvel durante a viagem 
foi de 104 km/h. 
 Matemática 37
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9. Leia o texto a seguir.
Escala matemática
Uma das aplicações da razão se encontra na escala. Chamamos de escala de um desenho 
a razão entre o comprimento considerado nele e o comprimento real correspondente, ambos 
medidos na mesma unidade.
Escala=comprimento nodesenho
comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, 
plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
ESCALA matemática. Disponível em: <https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/farmacia/escala-matematica/66370>. Acesso 
em: 8 abr. 2019. 
Uma empresa de engenharia e arquitetura montou uma maquete que representa o projeto do novo 
empreendimento da companhia. 
A maquete foi construída em uma placa cujas dimensões são 70 cm × 100 cm. Sabendo que para a cons-
trução da maquete foi utilizada uma escala de 
1
80
, encontre as medidas reais do empreendimento a ser 
construído pela empresa. 
 
Vamos calcular, separadamente, a medida real do comprimento e da largura da área construída, considerando que:
Escala
comprimento na maquete
comprimento real
 
• 
1
80
70
5600 56 o 
cm
comprimento real
comprimento real cm m 
• 
1
80
100
8 000 80 o 
cm
comprimento real
comprimento real cm m 
Dessa maneira, as dimensões reais do empreendimento serão 56 m × 80 m.
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9o. ano – Volume 438
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Regra de três composta e proporcionalidade