Exercicios hidrostatica

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 Hidrostática. Pressão e empuxo
Elaborado pelo Prof. Paulo T. Nakayama para o curso de Eng. Civil da FESP
2-1
2  HIDROSTÁTICA. PRESSÃO E EMPUXO
O termo hidrostática  refere-se ao estudo de água em repouso. Para a compreensãodeste assunto, é fundamental o conceito de pressão resultante do peso da água.
Desta forma, será abordado inicialmente neste capítulo o cálculo da pressão na água
para diferentes profundidades. Em seguida, será apresentada a determinação da força depressão exercida pela água em um objeto submerso, dando origem ao conceito de empuxo.
2.1 Pressão hidrostática
A pressão é definida como força exercida por um fluido divida por área unitária.Matematicamente, tem-se:
 A
F  p =   (2.1)
onde: p – pressão; F  – força exercida pelo fluido; A – área unitária.
Em qualquer superfície submersa, há apenas força (pressão) normal, visto que asmoléculas de água não resistem à força de cisalhamento.
Como conseqüência da ausência da força de cisalhamento na água, a pressão emqualquer ponto na água em repouso é igual em todas as direções (Lei de Pascal). A Figura2.1 mostra elementos infinitesimais da água em várias formas. Nos três casos, a pressão queatua na superfície dos elementos tem a mesma magnitude.
Figura 2.1 – Pressão da água em repouso atuando em cada superfície de elemento infinitesimal.
2.2 Lei de Stevin: Pressão devida a uma coluna líquida
Imagina, no interior de um líquido em repouso, um prisma
ideal (Figura 2.2).O somatório de todas as forças que atuam neste prismasegundo a vertical é igual a zero, ou
0=Σ  yF    (2.2)
Desenvolvendo a equação acima, tem-se:
0.... 21   =−+  A p Ah A p   γ     (2.3)
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Cancelando o termo A da Equação 2.3, obtém-se:
h p p .12   γ  =−   (2.4)
A Equação 2.4 é conhecida como  Lei de Stevin, que se enuncia: “A diferença depressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio é igual à diferença de
profundidade multiplicada pelo peso específico do líquido”.
2.4 Influência da pressão atmosférica
A pressão na superfície de um líquido é exercida pelos gases que se encontram acima,geralmente à pressão atmosférica.
Figura 2.3
Levando-se em conta a pressão atmosférica, tem-se:
 p1 = pa + γ  .h (2.5)
 p2 = p1 + γ  .h´ = pa + γ  .(h + h´) (2.6)
A pressão atmosférica varia com a altitude, correspondendo a 10,33 m  de colunad´água ao nível do mar. No caso de mercúrio, a altura da coluna é 13,6 vezes menor, ouseja, 0,76 m.
Em muitos problemas referentes às pressões nos líquidos, interessa conhecer somente adiferença de pressões. Neste caso, a pressão atmosférica pode ser considerada igual a zero.
2.5 Medidas de pressãoO dispositivo mais simples para medidas de pressão é o tubo piezométrico oupiezômetro, que consiste em inserir um tubo transparente na canalização ou recipiente ondese quer medir a pressão.
O líquido subirá no tubo a uma altura h (Figura 2.4), correspondente à pressão interna.
Outro dispositivo é o tubo de U aplicado para medir pressões muito pequenas oudemasiadamente grandes para os piezômetros.
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Figura 2.4 Figura 2.5
No piezômetro da Figura 2.5, as pressões absolutas seriam:em A , pa 
em B, pa + γ  ´.hem C, pa + γ  ´.hem D, pa + γ  ´.h - γ  .z
2.6  Unidades utilizadas para pressão
A pressão pode ser expressa em diferentes unidades. As mais utilizadas são:-  Pascal (Pa = N/m2) no sistema SI;-  kgf/m2 no sistema MKS*; kgf/cm2 , no sistema CGS;
-  mmHg;-  metros de coluna d´água (m.c.a.);-  atmosfera ou atmosfera técnica;-  bar.
Existem seguintes relações entre as unidades:760 mmHg = 10,33 m.c.a. = 1 atmosfera1 atmosfera técnica = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 = 9,81 x 104 Pa1 bar = 105 Pa
2.7 Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa
Em Hidrostática, o conceito de empuxo é aplicado, principalmente, nos projetos decomportas, registros, barragens, tanques, canalizações, etc.
Grandeza e direção do empuxo
A Figura 2.6 mostra uma área de forma irregular, situada em um plano que forma umângulo θ com a superfície do líquido. Para determinar o empuxo que atua em um dos lados
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desta figura, a área total será subdividida em elementos dA, localizada à profundidade h e auma distância y da intersecção O (medida na direção da superfície AB).
Figura 2.6
A força dF  agindo em dA será:
dAsen ydAhdF    ⋅⋅=⋅⋅=   θ γ   .   (2.7)
O empuxo total (resultante) pode ser obtido fazendo a integral de dF  em relação à área:
dAhF   A ⋅⋅= ∫ γ   = dAsen y A ⋅⋅∫   θ γ   .   (2.8)
onde γ  e θ são constantes. Portanto, pode-se escrever:
dA ysenF   A ⋅⋅= ∫θ γ   .   (2.9)
Sabe-se que o centro de gravidade ( y ) pode ser calcula pela fórmula
 A ydA y A ⋅=⋅∫   (2.10)Substituindo a Equação 2.10 na 2.9, tem-se:
θ sen y AF  .⋅⋅=   (2.11)
E, finalmente, tem-se:
 AhF    ⋅⋅= γ     (2.12)
onde: γ  - peso específico do líquido;
h  - profundidade do C.G. da superfície;
A - área da superfície plana.A equação acima indica que “a força total devida à pressão hidrostática em qualquersuperfície plana submersa é igual ao produto da área da superfície pela pressão que atua nocentro de gravidade da superfície plana”.
A resultante das pressões não está aplicada no centro de gravidade da figura, porém umpouco abaixo, num ponto que se denomina centro de pressão (CP), conforme mostra aFigura 2.7.
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Figura 2.7
Determinação do centro de pressão
A posição do centro de pressão pode ser determinada aplicando-se o teorema dosmomentos, apresentada a seguir:
∫   ⋅=⋅  AP dF  y yF    (2.13)
dAsen ydF    ⋅⋅=   θ .   (2.14)
dA ysendA ysen yF   A AP   ∫ ∫⋅=⋅⋅=⋅ 22 θ γ  θ    (2.15)
 y A
 I 
 y A
dA y
sen y A
dA ysen y  x A AP ⋅=⋅=⋅⋅
⋅=   ∫∫ 22.   θ γ   θ γ     (2.16)
Pelo teorema dos eixos paralelos, tem-se:
20  y A I  I  x   ⋅+=   (2.17)
Substituindo I  x na Equação 2.16:
 y y A I  y A  y A I  y A I  y A  y A I  y A I  y  xP   +⋅=⋅ ⋅++⋅=⋅ ⋅+=⋅= 0
2
00
2
0   (2.18)
Rearranjando os termos, tem-se, finalmente:
 y A
 I  y yP ⋅+= 0   (2.19)
onde:  y p  - distância entre a superfície livre do líquido e o centro de pressão da área, nadireção da placa AB;
 I o - momento de inércia em relação ao eixo-intersecção;
 y  - distância entre a superfície livre do líquido e o CG daárea, na direção da área AB.
Quando a superfície plana cruza a superfície livre do fluido(Figura 2.8), o valor de yP pode obtido da seguinte forma:
 y y p 32=   (2.20) 
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2.7 Empuxo exercido por um líquido sobre superfícies curvas
Para determinar o empuxo exercido sobre superfícies curvas, é mais conveniente,quase sempre, separar a força resultante em componentes horizontal e vertical.
Considerando a barragem com paramento curvo, esquematizada nasfiguras 2.9 e 2.10.
Figura 2.9
Figura 2.10
A força horizontal pode ser calculada aplicando na superfície plana ab, a Equação2.12, já introduzida no item 2.7:
 AhF  H  ..γ  =   (2.21)
onde: A - área do plano que passa pelos pontos ab (normal à folha).
A força vertical pode ser obtida calculando o peso do líquido no volume abc:
F V  = W  = γ .Vabc  (2.22)
Determina-se a resultante R pela equação:
22 W F  R   +=   (2.23)
Momento de inércia (I0)
Apresenta-se a seguir o momento de inércia de retângulo e círculo que são as seçõesmais frequentes nas obras de Engenharia Hidráulica.
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EXERCÍCIOS-EXEMPLOS
2.1 Conhecida a pressão absoluta de 5.430 kgf/m2, à entrada de uma bomba centrífuga,pede-se a pressão efetiva em kgf/cm2, em atmosféricas técnicas e em metros de colunad´água, sabendo-se que a pressão atmosférica local vale 720 mmHg.
Solução:
pe = pabs - patm 
1 atm. téc. = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 
pabs = 5.430 kgf/m2 
patm = 720 mmHg
a) 760 mmHg - 10,33 m.c.a.720 - x ⇒  x = 9,786 m.c.a.
10.000 kgf/m2  - 10 m.c.a.y - 9,786 ⇒  y = 9.786 kgf/m2 
pe = 5.430 – 9.786 ∴  pe = - 4.356 kgf/m2 
b) 1 kgf/cm2  - 10.000 kgf/m2 x - 5.430 kgf/m2  ⇒  x = 0,543 ∴  pabs = 0,543 kgf/cm2 
760 mmHg - 10,33 m.c.a.
720 - y ⇒  y = 9,786 m.c.a.
1 kgf/cm2  - 10 m.c.a.z - 9,786 ⇒  z = 0,9786 kgf/cm2 
pe = 0,543 – 0,9786 = -0,436 ∴  pe = - 0,436 kgf/cm2
c) 10.000 kgf/m2  - 1 atm. tec.5.430 - a ⇒  a = 0,543 ∴  pabs = 0,543 atm. tec. 
10.000 kgf/m2  - 1 atm. tec.9.786 - b ⇒  b = 0,9786 atm. tec.
pe = 0,543 – 0,9786 = -0,436 ∴  pe = - 0,436 atm. tec. 
d) 10.000 kgf/m2  - 10 m.c.a.5.430 - c ⇒  c = 5,43 ∴  pabs = 5,43 m.c.a. 
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10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a.9.786 - d ⇒  d = 9,786 m.c.a.
pe = 5,43 – 9,786 = -4,36 ∴  pe = - 4,36 m.c.a.
2.2  Uma caixa d´água de 800 litros mede 1,00 x 1,00 x 0,80 m. Determinar o empuxo queatua em uma de suas paredes laterais e o seu ponto de aplicação (utilizar sistemaMKS*).
Solução:
F = γ . h .A
γ  = 1.000 kgf/m3 
h  = 0,40 m
A = 0,80 x 1,00 = 0,80 m2 
F = 1.000 x 0,40 x 0,80 = 320 kgfCentro de pressão:
 y A
 I  y yP ⋅+= 0  
4330 m043,012 )8,0(00,112   =×=⋅= d b I   
=×+= 4,08,0 043,04,0P y 0,534 m
2.3 Calcular os módulos e as linhas de ação das componentes doempuxo que age sobre a comporta cilíndrica da figura, de 3,28 mde comprimento (utilizar sistema MKS*).
Solução:
FH = γ . h .A
γ  = 1.000 kgf/m3 
m98,0296,1 ==h  A = 1,96 x 3,28 = 6,43 m2 
FH = 1.000 x 0,98 x 6,43 = 6.300 kgfEV = γ .V
( ) ( ) 322 m896,928,396,14141 =××==   π π   L RV   EV = 1.000 x 9,896 = 9.896 kgfCálculo das linhas de ação:
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96,13232 ×==  R y = 1,31 m
00  =∑ M   
6.300 x 1,31 = 9.896 . x ⇒  x = 0,83 m 
2.4 A superfície mostrada, com dobradiça ao longo de A, tem5 m de largura (b = 5 m). Determinar a força resultante Fda água sobre a superfície inclinada, o ponto de suaaplicação e o esforço na dobradiça (utilizar SI).
Solução:
F = γ . h .A
γ  = 9.810 N/m3 
m0,35,00,4210,2300,4210,2 0 =××+=××+= senh  
A = 4,0 x 5,0 = 20,0 m2 
F = 9.810 x 3,0 x 20,0 = 588.600 N ou 588,6 kN
Cálculo do ponto de pressão:
 y A
 I  y yP ⋅+= 0  
m00,450,0 0,2300,2 ==°= sen x  
 y  = 4,0 + 2,0 = 6,0 m 
4330 m7,2612 0,40,512   =×=⋅= d b I   
m22,60,60,20 7,260,6   =×+=P y , ou seja, o centro depressão está a 2,22 m da dobradiça, no ponto A. 
Cálculo da força no ponto A:
0=∑ O M   
F x 1,78 = FA x 4,0
588 x 1,78 = FA x 4,00 ⇒  FA = 262 kN 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
I. Aplicação da Lei de Stevin
E2.1Submerso em um lago, um mergulhador constata que a pressão absoluta no medidor que seencontra no seu pulso corresponde a 1,6 x 105 N/m2. Um barômetro indica ser a pressãoatmosférica local 1 x 105 N/m2. Considere a massa específica da água sendo 103 kg/m3 e aaceleração da gravidade, 10 m/s2. Determine a que profundidade, em relação à superfície, omergulhador se encontra.  Resp.: 6,0 m
E2.2As paredes externas de um submarino podem suportar uma diferença de pressão máxima de10 atm. Considerando que uma atm equivale a 105 N/m2, que a massa específica da água domar é 103  kg/m3  e que o interior do submarino mantém à pressão de uma atm, qual aprofundidade máxima que pode ser alcançada por esse submarino ?  Resp.: 100 m
E2.3Um recipiente cilíndrico contém 3 líquidos imiscíveis de pesoespecífico d, 2d e 3d, respectivamente, como mostra a figura ao lado.A pressão no ponto A indicado na figura vale 1,1.p0, onde p0  é apressão atmosférica no local. Determine a pressão no ponto B, emfunção de p0.  Resp.: pB = 2,4. p0 
E2.4
A figura representa um tubo em “U” contendo água,aberto em uma das extremidades e, na outra, ligado aum recipiente que contém um determinado gás.Sabendo que patm = 105 N/m2, g = 10 m/s2, ρágua = 103 kg/m3 e a pressão do gás é 1% maior que a pressãoatmosférica (patm), determine o valor do desnível h emmetros.  Resp.: 0,10 m
E2.5O organismo humano pode ser submetido, sem conseqüências danosas, a uma pressão de no
máximo 4 x 105 N/m2  e a uma taxa de variação de pressão de no máximo 104 N/m2  porsegundo. Nessas condições:a)  qual a máxima profundidade recomendada a um mergulhador ? adote pressãoatmosférica igual a 105 N/m2.b)  Qual a máxima velocidade de movimentação na vertical recomendada para ummergulhador ?
Dados: ρ = 103 kg/m3, g = 10 m/s2.  Resp.: a) 30m; b) 1 m/s.
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E2.6Dado o manômetro de tubo múltiplo conforme mostrado na figura, determine a diferença depressão  p A  – p B  (utilizar sistema MKS*). A densidade relativa (δ) do óleo é 0,8 e a domercúrio é 13,6.
E2.7O manômetro metálico da figura assinala uma pressão de -508mmHg. Sabendo-se que as superfícies d´água, nos doisreservatórios, encontram-se à mesma cota, calcular o desnível queapresenta o mercúrio no manômetro diferencial.
 Resp.: h = 0,548 m
II. Hidrostática – superfície plana
E2.8Calcular o empuxo e a posição do centro de pressão de uma comportavertical, circular, com um metro de raio, cujo centro acha-se a 2,5 metrosda superfície da água.
 Resp.: F = 7.854 kgf; yp = 2,6 m
E2.9A figura mostra uma comporta em forma de diedro retangular,articulada no eixo que passa por B. Dependendo da cota H donível d´água, a comporta abre-se automaticamente, girando nosentido horário. Determinar o valor de H, para o qual acomporta se abre, e a distribuição de pressão em AB e em BC.
 Resp.: a) H > 1,73 mb) Distrib. triangular em AB ( de 0 a 1730 kgf/m2);c) Distr. uniforme em BC ( 1730 kgf/m2).
E2.10A válvula borboleta mostrada na figura consta de uma placa plana circular articulada emtorno do eixo horizontal que passa por B. Conhecidas as cotas da figura, determinar a forçaF aplicada na haste de acionamento capaz de manter fechada a válvula. Considerar ausênciade atritos e desprezar o peso próprio da haste AB.
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 Resp.: F = 6.627 kgf
E2.11O portão retangular AB da figura ao lado tem 1,5 m de largura (b)e 3,0 m de comprimento (L) e possui dobradiças ao longo de B.Desprezando o peso do portão, calcular a força por unidade delargura exercida contra o batente ao longo de A.
 Resp.: F = 10.125 kgf; yp = 4,67 m ou 1,67 m do ponto A; FA =
4.489 kgf
E2.12O portão mostrado na figura possui dobradiças em H e tem 2m de largura normal ao plano do digrama. calcular a forçarequerida em A para manter o portão fechado.
 Resp.: F = 6.000 kgf; yp = 3,11 m; FA = 3.330 kgf
E2.13O portão retangular AB mostrado na figura possui 2 m delargura. Calcular a força por unidade de largura exercida contrao batente A. Supor desprezível a massa do portão.
II. Hidrostática – superfície curva
E2.14
Uma calota hemisférica cobre um tanque como mostra a figura.Enche-se com gasolina (γ  = 720 kgf/m3) a calota e o tanque, atéque o manômetro metálico assinale uma pressão de 0,56kgf/cm2. Calcular a força que atuará no conjunto de parafusosque prende a calota ao tanque. Desprezar o peso da calota.
 Resp.: Esforço total nos parafusos = 17.849 kgf
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E2.15A figura da direita mostra a seção transversal de um dique de concreto. Determine aresultante das forças de pressão exercidas pela água sobre aface BC do dique, por unidade de comprimento.
 Dados: γ  = 9,81 kN/m3 
Área sob a parábola do tipo y = k.x2: 3ab A =  
E2.16
Uma comporta de vertedouro, com a forma de arco semicircular,tem b  m de largura. Determine a magnitude dos esforçoshorizontal e vertical e a linha de ação do esforço resultanteatuando sobre a comporta, para b = 3,0 m e R = 2,0 m.
 Dado: γ  = 9,81 kN/m3.
E2.17O tanque mostrado na figura está cheio de água até umaprofundidade de 3,05 m. Determinar as magnitudes e aslinhas de atuação dos componentes vertical e horizontal daforça resultante da água sobre a parte curva do fundo dotanque.
 Dado: γ  = 9,81 kN/m3.
E2.18O dique mostrado na figura é construído com concreto e éutilizado para reter um braço de mar que apresenta
profundidade igual a 7,2 m. Determine a força resultanteque a água do mar exerce sobre a superfície do dique porunidade de comprimento.
 Dado: ρ da água do mar = 1025 kg/m3; g = 9,81 m/s2.