CH2_cap2 Hidrostatica

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Hidrostática. Pressões e empuxos 2-1
2 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
2.1 Princípio de Arquimedes 
O Princípio de Arquimedes diz o seguinte: ”empuxo é a força que um fluido age 
sobre um corpo, total ou parcialmente imerso nele, no sentido oposto ao da gravidade e 
cuja magnitude é igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo”. 
No equilíbrio, tem-se: 
Pcorpo = γa.Vdesloc (2.1) 
2.2 Conceitos de pressão e empuxo 
A pressão é a relação entre a força, de módulo constante, e a unidade de área sobre a 
qual ela atua. 
 Figura 2.1 
Considere, no interior de uma certa massa líquida, uma porção de volume V 
limitada pela superfície A. Se dA representar um elemento de área e dF a força que nela 
atua, a pressão será 
dA
dF
p = (2.2) 
Considerando toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante que se 
chama empuxo, chamada também de pressão total. Essa força é dada por: 
dApE A .∫= (2.3) 
Se a pressão for a mesma em toda a área, o empuxo será 
ApE .= (2.4) 
Lei de Pascal: “Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a 
mesma em todas as direções”. 
2.3 Lei de Stevin: Pressão devida a uma coluna líquida 
Imagina, no interior de um líquido em repouso, um prisma ideal. 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-2
Figura 2.2 
O somatório de todas as forças que atuam neste prisma segundo a vertical e igual a 
zero, ou 
0=Σ yF (2.5) 
Dessa forma 
0.... 21 =−+ ApAhAp γ (2.6) 
obtendo-se 
hpp .12 γ=− (2.7) 
Lei de Stevin: “A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em 
equilíbrio é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso específico do 
líquido”. 
2.4 Influência da pressão atmosférica 
 A pressão na superfície de um líquido é exercida pelos gases que se encontram 
acima, geralmente à pressão atmosférica. 
 Figura 2.3 
 
 Levando-se em conta a pressão atmosférica, tem-se: 
p1 = pa + γ.h (2.8) 
p2 = p1 + γ.h´ = pa + γ.(h + h´) (2.9) 
 A pressão atmosférica varia com a altitude: 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-3
- 10,33 m de coluna d´água ao nível do mar; 
- mercúrio → 13,6 menor ou 0,76 m. 
 Em muitos problemas referentes às pressões nos líquidos, interessa conhecer 
somente a diferença de pressões. Portanto, a pressão atmosférica é considerada igual a 
zero. 
2.5 Medidas de pressão 
 O dispositivo mais simples para medidas de pressão é o tubo piezométrico ou 
piezômetro, que consiste em inserir um tubo transparente na canalização ou recipiente 
onde se quer medir a pressão. 
 O líquido subirá no tubo a uma altura h (Figura 2.4), correspondente à pressão 
interna. 
 Outro dispositivo é o tubo de U aplicado para medir pressões muito pequenas ou 
demasiadamente grandes para os piezômetros. 
 
 Figura 2.4 Figura 2.5 
 em A, p a 
 em B, pa + γ´.h 
 em C, pa + γ´.h 
 em D, pa + γ´.h - γ.z 
2.6 Unidades utilizadas para pressão 
 A pressão pode ser expressa em diferentes unidades: 
- Pascal (Pa = N/m2) no sistema SI; 
- kgf/m2 no sistema MKS*; kgf/cm2 (sistema CGS); 
- mmHg; 
- metros de coluna d´água (m.c.a.); 
- atmosfera ou atmosfera técnica; 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-4
- bar. 
 Relação entre as unidades: 
760 mmHg = 10,33 m.c.a. = 1 atmosfera 
1 atmosfera técnica = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 = 9,8 x 104 Pa 
1 bar = 105 Pa 
2.7 Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa 
 Em Hidrostática, o conceito de empuxo é aplicado, principalmente, nos projetos de 
comportas, registros, barragens, tanques, canalizações, etc. 
Grandeza e direção do empuxo 
 O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é uma grandeza tensorial 
perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro de 
gravidade da área. Matematicamente, tem-se: 
AhF ⋅⋅= γ (2.10) 
onde: γ - peso específico do líquido; 
 h - profundidade do C.G. da superfície; 
 A - área da superfície plana. 
 Figura 2.6 
 A resultante das pressões não está aplicada no centro de gravidade da figura, porém 
um pouco abaixo, num ponto que se denomina centro de pressão. 
Figura 2.7 
Determinação do centro de pressão 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-5
 A posição do centro de pressão pode ser determinada aplicando-se o teorema dos 
momentos. A equação resultante é: 
yA
I
yyP ⋅
+= 0 (2.11) 
onde: 
yp é a distância entre a superfície livre do líquido e o centro de pressão da área, na direção 
da placa AB 
Io é o momento de inércia em relação ao eixo-intersecção; 
y é a distância entre a superfície livre do líquido e o CG da área, na direção da placa 
AB. 
Quando um dos lados da placa está na superfície: 
 
 
 yyp 3
2= (2.11) yp 
 F 
 y 
 Figura 2.8 
 A força do empuxo pode ser ainda determinada calculando-se o volume do 
diagrama de pressões. 
Figura 2.9 
F = volume do diagrama das pressões = A
hh ⋅



 +⋅
2
21γ 
Empuxo sobre superfícies curvas 
É conveniente separar em componentes horizontal e vertical. 
Ex.: barragem com paramento curvo 
Figura 2.10 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-6
Força horizontal: calcula-se como se fosse superfície plana, aplicando a fórmula 
 AhF ..γ= 
onde A é a área do plano que passa pelos pontos ab (normal à folha). 
Força vertical: é numericamente igual ao peso do líquido no volume abc, ou W = γ.Vabc 
Determina-se a resultante R pela equação: 22 WFR += 
Momento de inércia (I0) de retângulo e círculo: 
 
 
EXERCÍCIOS-EXEMPLOS 
2.1 Conhecida a pressão absoluta de 5.430 kgf/m2, à entrada de uma bomba centrífuga, 
pede-se a pressão efetiva em kgf/cm2, em atmosféricas técnicas e em metros de 
coluna d´água, sabendo-se que a pressão atmosférica local vale 720 mmHg. 
Solução: 
pe = pabs - patm 
1 atm. téc. = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 
pabs = 5.430 kgf/m
2 
patm = 720 mmHg 
a) 760 mmHg - 10,33 m.c.a. 
 720 - x ⇒ x = 9,786 m.c.a. 
 10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a. 
 y - 9,786 ⇒ y = 9.786 kgf/m2 
 pe = 5.430 – 9.786 ∴ pe = - 4.356 kgf/m2 
b) 1 kgf/cm2 - 10.000 kgf/m2 
 x - 5.430 kgf/m2 ⇒ x = 0,543 ∴ pabs = 0,543 kgf/cm2 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-7
 760 mmHg - 10,33 m.c.a. 
 720 - y ⇒ y = 9,786 m.c.a. 
 1 kgf/cm2 - 10 m.c.a. 
 z - 9,786 ⇒ z = 0,9786 kgf/cm2 
 Pe = 0,543 – 0,9786 ∴ pe = - 0,436 kgf/cm2 
c) 10.000 kgf/m2 -1 atm. tec. 
 5.430 - a ⇒ a = 0,543 ∴ pabs = 0,543 atm. tec. 
 10.000 kgf/m2 - 1 atm. tec. 
 9.786 - b ⇒ b = 0,9786 atm. tec. 
 Pe = 0,543 – 0,9786 ∴ pe = - 0,436 atm. tec. 
d) 10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a. 
 5.430 - c ⇒ c = 5,43 ∴ pabs = 5,43 m.c.a. 
 10.000 kgf/m2 - 10 m.c.a. 
 9.786 - d ⇒ d = 9,786 m.c.a. 
 Pe = 5,43 – 9,786 ∴ pe = - 4,36 m.c.a. 
 
2.2 Determinar o empuxo exercido pela água em uma 
comporta vertical mostrada na figura abaixo, de 3 x 
4 m, cujo topo se encontra a 5 m de profundidade. 
Determinar, também, a posição do centro de 
pressão (utilizar SI). 
Solução: 
γ = 9,8 x 103 N/m3 (água) 
A força pode ser calculada pela fórmula F = γ. h .A 
F = 9,8 x 103 x 6,5 x 12 ∴ F = 764.400 N 
Cálculo do centro de pressão: 
yA
I
yyP ⋅
+= 0 
4
33
0 m 912
34
12
=×=⋅= dbI 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-8
5,612
9
5,6
×
+=Py ∴ yP = 6,615 m 
2.3 Numa barragem de concreto está instalada uma comporta 
circular de ferro fundido com 0,20 m de raio, à 
profundidade indicada (figura). Determinar o empuxo que 
atua na comporta (utilizar sistema MKS*). 
Solução: 
F = γ. h .A 
γ = 1.000 kgf/m3 
h = 4,20 m 
A = πR2 = π x 0,202 = 0,1257 m2 
F = 1.000 x 4,20 x 0,1257 ∴ F = 528 kgf 
 
2.4 Uma caixa d´água de 800 litros mede 1,00 x 1,00 x 0,80 
m. Determinar o empuxo que atua em uma de suas 
paredes laterais e o seu ponto de aplicação (utilizar 
sistema MKS*). 
Solução: 
F = γ. h .A 
γ = 1.000 kgf/m3 
h = 0,40 m 
A = 0,80 x 1,00 = 0,80 m2 
F = 1.000 x 0,40 x 0,80 ∴ F = 320 kgf 
Centro de pressão: 
yA
I
yyP ⋅
+= 0 
4
33
0 m 043,012
8,000,1
12
=×=⋅= dbI 
4,08,0
043,0
4,0
×
+=Py ∴ yP = 0,534 m 
 
2.5 Calcular os módulos e as linhas de ação das componentes do 
empuxo que age sobre a comporta cilíndrica da figura, de 
3,28 m de comprimento (utilizar sistema MKS*). 
Solução: 
EH = γ. h .A 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-9
γ = 1.000 kgf/m3 
m 98,0
2
96,1 ==h 
A = 1,96 x 3,28 = 6,43 m2 
EH = 1.000 x 0,98 x 6,43 ∴ EH = 6.300 kgf 
EV = γ.V 
( ) ( ) 322 m 896,928,396,1
4
1
4
1 =××== ππ LRV 
EV = 1.000 x 9,896 ∴ EV = 9.896 kgf 
Cálculo das linhas de ação: 
96,1
3
2
3
2 ×== Ry ∴ y = 1,31 m 
00 =∑M 
6.300 x 1,31 = 9.896 . x ⇒ x = 0,83 m 
 
2.5 A superfície mostrada, com dobradiça ao longo de A, 
tem 5 m de largura (w=5 m). Determinar a força 
resultante F da água sobre a superfície inclinada, o 
ponto de sua aplicação e o esforço na dobradiça 
(utilizar SI). 
Solução: 
F = γ. h .A 
γ = 9.800 N/m3 
m 00,35,000,4
2
1
00,230sen00,4
2
1
00,2 0 =××+=××+=h 
A = 4,00 x 5,00 = 20,00 m2 
F = 9.800 x 3,00 x 20,00 ∴ F = 588.000 ou 588 kN 
Cálculo do ponto de pressão: 
yA
I
yyP ⋅
+= 0 
m 00,4
50,0
00,2
30sen
00,2 ==
°
=x x 
y = 4,00 + 2,00 = 6,00 m CG y 
4
33
0 m 7,2612
0,40,5
12
=×=⋅= dbI 
m 22,6
0,60,20
7,26
0,6 =
×
+=Py , ou seja, 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-10
o centro de pressão está a 2,22 m da 
dobradiça, no ponto A. 
 
Cálculo da força no ponto A: 
0=∑ OM 
F x 1,78 = FA x 4,00 
588 x 1,78 = FA x 4,00 ⇒ FA = 262 kN 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
I. Aplicação da Lei de Stevin 
 
E2.1 
Um navio de 100 ton, após receber uma certa quantidade de sacos de café, de 60kg cada, 
passou a ter um volume submerso V = 160 m3. Quantos sacos de café entraram no navio 
se a densidade da água é 1,0 g/cm3 ? Resp.: 1.000 sacos. 
E2.2 
Submerso em um lago, um mergulhador constata que a pressão absoluta no medidor que 
se encontra no seu pulso corresponde a 1,6 x 105 N/m2. Um barômetro indica ser a 
pressão atmosférica local 1 x 105 N/m2. Considere a massa específica da água sendo 103 
kg/m3 e a aceleração da gravidade, 10 m/s2. Determine a que profundidade, em relação à 
superfície, o mergulhador se encontra. Resp.: 6,0 m 
E2.3 
As paredes externas de um submarino podem suportar uma diferença de pressão máxima 
de 10 atm. Considerando que uma atm equivale a 105 N/m2, que a densidade da água do 
mar é 103 kg/m3 e que o interior do submarino mantém à pressão de uma atm, qual a 
profundidade máxima que pode ser alcançada por esse submarino ? Resp.: 100 m 
E2.4 
Um recipiente cilíndrico contém 3 líquidos imiscíveis de 
densidades d, 2d e 3d, respectivamente, como mostra a figura ao 
lado. A pressão no ponto A indicado na figura vale 1,1.p0, onde p0 
é a pressão atmosférica no local. Determine a pressão no ponto B, 
em função de p0. Resp.: pB = 2,4. p0 
E2.5 
A figura representa um tubo em “U” contendo 
água,aberto em uma das extremidades e, na outra, 
ligado a um recipiente que contém um determinado 
gás. Sabendo que patm = 10
5 N/m2, g = 10 m/s2, a 
densidade da água é igual a 103 kg/m3 e a pressão do 
gás é 1% maior que a pressão atmosférica (patm), o 
determine o valor do desnível h em metros. Resp.: 0,10 m 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-11
E2.6 
O organismo humano pode ser submetido, sem conseqüências danosas, a uma pressão de 
no máximo 4.105 N/m2 e a uma taxa de variação de pressão de no máximo 104 N/m2 por 
segundo. Nessas condições: 
a) qual a máxima profundidade recomendada a um mergulhador ? adote pressão 
atmosférica igual a 105 N/m2. 
b) Qual a máxima velocidade de movimentação na vertical recomendada para um 
mergulhador ? 
Dados: ρ = 103 kg/m3, g = 10 m/s2. Resp.: a) 30m; b) 1 m/s. 
E2.7 
Dado o manômetro de tubo múltiplo conforme mostrado na figura, determine a diferença 
de pressão pA – pB (utilizar sistema MKS*). A densidade relativa do óleo é 0,8 e a do 
mercúrio é 13,6. 
 
E2.8 
O manômetro metálico da figura assinala uma pressão de – 508 
mmHg. Sabendo-se que as superfícies d´água, nos dois 
reservatórios, encontram-se à mesma cota, calcular o desnível que 
apresenta o mercúrio no manômetro diferencial. 
Resp.: h = 0,548 m 
 
II. Hidrostática 
E2.9 
Calcular o empuxo e a posição do centro de pressão de uma 
comporta vertical, circular, com um metro de raio, cujo centro acha-
se a 2,5 metros da superfície da água. 
Resp.: F = 7.854 kgf; yp = 2,6 m 
 
 
E2.10 
A figura mostra uma comporta em forma de diedro 
retangular, articulada no eixo que passa por B. Dependendo 
da cota H do nível d´água, a comporta abre-se 
automaticamente, girando no sentido horário. Determinar o 
valor de H, para o qual a comporta se abre, e a distribuição 
de pressão em AB e em BC. 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-12
Resp.: a) H > 1,73 m 
 b) Distrib. triangular em AB ( de 0 a 1730 kgf/m2); 
 c) Distr. uniforme em BC ( 1730 kgf/m2). 
E2.11 
Uma comporta de 10 m de comprimento formada por um 
cilindro de 2 m de raio, ligado a uma aba AB que se apóia no 
fundo do canal, separa dois tanques que contêm água às cotas 
indicadas. As extremidades do eixo da comporta são 
sustentadas por dois pilares que recebem deste esforços 
horizontais cujos valores se deseja determinar. Calcular 
também o peso mínimo da comporta para que não seja levada 
pelo empuxo hidrostático. 
Resp.: Esforço horizontal de cada pilar = 33.486 kgf; peso mínimo da comporta = 75.116 
kgf. 
E2.12 
A válvula borboleta mostrada na figura consta de uma placa plana circular articulada em 
torno do eixo horizontal que passa por B. Conhecidas as cotas da figura, determinar a 
força F aplicada na haste de acionamento capaz de manter fechada a válvula. Considerar 
ausência de atritos e desprezar o peso próprio da haste AB. 
 Resp.: F = 6.627 kgf 
 
E2.13 
Uma calota hemisférica cobre um tanque como mostra a figura. 
Enche-se com gasolina (γ = 720 kgf/m3) a calota e o tanque, até 
que o manômetro metálico assinale uma pressão de 0,56 
kgf/cm2. Calcular a força queatuará no conjunto de parafusos 
que prende a calota ao tanque. Desprezar o peso da calota. 
Resp.: Esforço total nos parafusos = 17.849 kgf 
E2.14 
O portão retangular AB tem 1,5 m de largura (w = 1,5 m) e 3,0 m 
de comprimento (L = 3,0 m). O portão tem dobradiças ao longo 
de B. Desprezando-se o peso do portão, calcular a força por 
unidade de largura exercida contra o batente ao longo de A. 
Hidrostática. Pressões e empuxos 2-13
Resp.: F = 10.125 kgf; yp = 4,67 m ou 1,67 m do ponto A; F A = 4.489 kgf 
E2.15 
O portão mostrado na figura possui dobradiças em H e tem 2 
m de largura normal ao plano do digrama. calcular a força 
requerida em A para manter o portão fechado. 
Resp.: F = 6.000 kgf; yp = 3,11 m; FA = 3.330 kgf 
 
E2.16 
O portão retangular AB mostrado na figura possui 2 m de 
largura. Calcular a força por unidade de largura exercida 
contra o batente A. Supor desprezível a massa do portão.