Calculo-de-Parametros-de-Linhas-de-Transmissao

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Cálculo de Parâmetros de Linhas de
Transmissão
Antonio Carlos S. Lima, Marco Polo Pereira Departamento de Planejamento da Transmissão
Furnas Centrais Elétricas Rua Real Grandeza 219, bloco C
sala 1607.3 Rio de Janeiro
2283-090 RJ Brazil
mpolo@furnas.gov.br, aclima@furnas.com.br
Orlando Hevia Faculdad Regional de Santa Fe
Universidad Tecnologica Nacional heviaop@ssdfe.com.ar
Resumo
Atualmente noATP-EMTP existem duas subrotinas capazes de calcular os parâ-
metros das linhas de transmissão, aLine Constants e aCable Parameters. Enquanto
a primeira existe praticamente desde as primeiras versões de EMTP, a segunda rotina
é uma evolução daCable Constants, originalmente implementada em 1981. Apesar
de ser originalmente desenvolvida para o cálculo dos parâmetros de configurações
de cabos elétricos, aCable Parameters é capaz de calcular os parâmetros de linhas
de transmissão como um caso particular de um conjunto de cabos SC (Single Core)
aéreos.
A comparação dos resultados obtidos com as duas subrotinas é feita usando uma
Linha de Transmissão de 500kV, circuito simples. Compara-se os resultados obti-
dos tanto no cálculo das matrizes de impedâncias quanto na obtenção de modelos
com parâmetros distribuídos constantes considerado a linha totalmente transposta e
não transposta. Os modelos com parâmetros distribuídos constantes são usados tan-
to para testes transitórios (energização com a linha em aberto e curto-circuito nos
terminais da linha), como para a comparação da variação dos parâmetros da linha
com a freqüência usando as duas metodologias. Por usarem metodologias de cálculo
bem distintas as subrotinas obtêm modelos e transformações com distintos porém
equivalentes, como mostram os resultados dos testes realizados.
1 Introdução
O cálculo dos parâmetros para a simulação das linhas de transmissão é uma parte
importante não só para o projeto adequado de linhas novas, mas como para a correta
avaliação no caso de reforços. De fato o cálculo dos parâmetros é tão importante quanto
o desenvolvimento de modelos para as linhas de transmissão. É necessário conhecer as
limitações de cada rotina bem como os casos onde melhor se adaptam as metodologias.
Os Parâmetros unitários das linhas de transmissão, resistência por unidade compri-
mento (R
′
), indutância por unidade de comprimento (L
′
) e capacitância por unidade de
comprimento (C
′
) não podem em geral ser considerados como concentrados e distribuem-
se igualmente pela linha. A condutânciaG
′
normalmente pode ser desconsiderada excetuando-
se os estudos de Efeito Corona. Para estudos de fluxo de potência e curto circuito somente
1
os parâmetros de seqüência positiva e zero são necessários, podendo ser usadas fórmu-
las simplificadas. Contudo, estes valores não são adequados para estudos envolvendo
transitórios ou efeitos de acoplamento indutivo, ou capacitivo, em regime permanente,
necessitando-se de um cálculo mais preciso dos parâmetros da linha. Isto pode ser fei-
to através das rotinasLine Constants e Cable Parameters. Por terem sido desenvolvidas
em épocas distintas as rotinas utilizam diferentes metodologias. Além do mais, aLine
Constants somente calcula os parâmetros de uma linha de transmissão, enquanto aCable
Parameters permite também o cálculo dos modelos de cabos aéreos e subterrâneos. É in-
teressante, portanto, a comparação das rotinas para se avaliar a confiabilidade resultado,
servindo até como uma forma de validação indireta dos cálculos dos parâmetros. Am-
bas rotinas podem ser usadas para os cálculos dos dados de entrada de todos os modelos
de linha disponíveis doATP-EMTP, desde a representação por umπ, até a representa-
ção com parâmetros dependentes da freqüência como o modelo MARTI ou o IARMA.
No caso do modelo de parâmetros distribuídos constantes utiliza-se a representação mo-
dal(decomposição em autovetores) desenvolvida por Wedepohl [1]. NoATP-EMTP exis-
tem dois possíveis modelos para a representação da linha com parâmetros distribuídos
constantes, Clarke e K.C. Lee. O primeiro usa a transformação de Clarke, sendo aplicável
para linhas de transmissão totalmente transpostas, enquanto o segundo pode ser usado
para linhas não transpostas, devendo o usuário fornecer a matriz de transformação.
O caso base para a comparação consiste de um circuito simples de 500kV com três
cabos de 954MCM por fase e com dois cabos pára-raios. A comprimento do é de 210km,
considerando-se duas situações para o circuito, linha totalmente transposta e não trans-
posta. A freqüência para o cálculo dos parâmetros foi 60Hz. Compara-se também os
autovalores calculados pelas rotinas com os resultados obtidos com um programa de cál-
culo matricial. Hoje existem na Internet diversos programas “freeware” como o Scilab e
o Octave com algoritmos confiáveis e robustos para este cálculos.
2 Line Constants
A subrotinaLine Constants é possivelmente a mais antiga do EMTP, tendo sido elabo-
rada basicamente em conjunto com as primeiras versões do programa. É uma extensão do
trabalho desenvolvido por Hesse [2] e utiliza a fórmula de Carson para terra homogênea.
Como a fórmula de Carson se baseia em condutores perfeitamente horizontais acima da
terra, a altura média,̄V, do condutor é usada para os cálculo. Esta média é calculada da
seguinte forma, seguindo a nomenclatura usada em [3, capítulo XXI]:
V̄ =
1
3
Vtower+
2
3
Vmid (1)
ondeVtower é altura do condutor na torre, eVmid é a altura do condutor no meio do circuito,
ponto mais baixo do condutor. Caso no arquivo de entrada de dados doATP-EMTP um
destes valores não seja especificado (deixado em branco), o programa toma como altura
média o valor especificado diferente de zero. Com isto, seVmid é deixado em branco,
Vtower é considerado como altura média, casoVtower esteja em brancoVmid é considerado
como altura média.
Esta rotina calcula as matrizes de capacitância e impedância tanto no domínio de fase
quanto no domínio de seqüência e modal (para o caso da linha não transposta). Deve-
se notar que estas matrizes, mostradas no arquivo de saída (.LIS) doATP-EMTP, são
de uma linha não transposta. Com isto, as matrizes de capacitâncias e impedâncias nas
2
coordenadas de fase são simétricas mas não possuem os elementos próprios iguais entre
si, o mesmo ocorrendo para as mútuas. As matrizes com os valores de seqüência são
cheias. Vale notar que a matriz de capacitância é calculada na forma nodal, as mútuas
(Cik) representam o inverso da soma de todas as capacitâncias entre os nósi ek.
Para calcular os parâmetros modais para alinha totalmente transposta é necessário se
efetuar a média dos elementos próprios e mútuos. Isto eqüivale a desconsiderar as mútuas
na matriz de seqüência. Esta média é calculada internamente pelo programa, e obedece
as seguintes equações (para o caso de um sistema trifásico com cabo pára-raios aterrado):
Zs =
3
∑
i=1
Zii
3
Zm =
3
∑
i=1
j=1
1
3
Zi j i 6= j
(2)
ondeZs é a impedância série própria, eZm é a mútua, lembrando que as matrizes são
simétricas,Zi j = Z ji . Este mesmo procedimento aplica-se à matriz de capacitâncias. Em
coordenadas de seqüência a ação da eq.(2) eqüivale a zerar os elementos que acoplam as
seqüências.
Para linhas totalmente transpostas a subrotina não calcula a matriz de transformação,
ao invés, utiliza a transformação de Clarke,abc→ 0αβ, como mostra eq.(3). Para o caso
multifásico o programa usa uma generalização da transformação, como mostra a eq.(4.58)
de [4].
T =
1√
3

1
√
2 0
1 − 1√
2
√
3
2
1 − 1√
2
−
√
3
2
 (3)
Os parâmetros obtidos com a eq.(3) são iguais aos parâmetros de seqüência. Para
uma linha totalmente transposta, existem somente dois modos de propagação: o modo
de seqüência zero, ou modo terra, e o modo de seqüência positiva, ou modo linha. Este
último apresenta multiplicidade 2.
3 Cable Parameters
A rotina Cable Parameters foi desenvolvida originalmente por Ametani e chamava-
seCable Constants. Esta rotina se baseia na metodologia desenvolvida pelo mesmo e
apresentada em [5]. O primeiro objetivo da rotina é, comoo próprio nome já leva a crer, o
cálculo dos parâmetros de cabos elétricos para adapta-los para a simulação noATP-EMTP.
Até a presente data não existe no programa um modelo específico para cabos, o que se
faz normalmente é adaptar os dados dos cabos para representá-los usando os modelos
existentes para a representação de linhas de transmissão aéreas.
A Cable Parameters é capaz de calcular os parâmetros para três possíveis configura-
ções de condutores:
• Cabo SC (Single-Core – cabo com núcleo simples) enterrado ou aéreo;
• Cabo PT (Pipe-Type – Cabo envolvido numa tubulação) enterrado ou aéreo;
3
• Linha de Transmissão aérea.
Uma linha de transmissão aérea pode ser considerada como um cabo SC aéreo. Portanto
o programa possui dois tipos de cálculo, sendo o terceiro apenas um caso particular. Um
avanço daCable Parameters com relação àCable Constants está na possibilidade de
cálculo dos parâmetros de cabos com dimensões assimétricas. ACable Constants só
permite o cálculo de condutores cilíndricos.
O cálculo dos parâmetros de cabos elétricos envolve a solução das equações em co-
ordenadas cilíndricas dos campos elétricos e magnéticos. Tal situação implicaria no uso
de Funcões de Besselpara a representação das impedâncias. Só para efeito ilustrativo
mostramos aqui o valor da impedância séria de uma cabo SC sem revestimento com raio
internor0 e raio externor1.
Z(ω) =
jωµ
2πx1
I0(x1)K1(x0)+K0(x1)I1(x0)
I1(x1)K1(x0)− I0(x0)K1(x1)
(4)
ondex0 = r0
√
jωµσ, x1 = r1
√
jωµσ, ω é a freqüência que está efetuando os cálculos,µ é
a permeabilidade do condutor,σ é a condutividade do condutor,I1(.), I0(.), K1(.) e K0(.)
são funções de Bessel do primeiro tipo de ordem 1 e 0, e funções de Bessel do segundo
tipo de ordem 1 e zero respectivamente.
Na Cable Constants aproximações polinomiais para a representação das funções de
Bessel são usadas. Estas aproximações são bastantes precisas e possuem um pequeno
erro. A referência [6] apresenta um exemplo destas aproximações.
A estrutura do arquivo de dados daCable Parameters é bem distinta daLine Cons-
tants. A começar pelos dados de entrada, enquanto naLine Constants usa-se o valor da
resistência dc emΩ/km, a Cable Parameters usa o valor da resistividade, o que nem
sempre é disponível. Felizmente sabendo as dimensões do condutor é possível calcular a
resistividade do condutor através da equação:
ρ = r
′
dcA (5)
onder
′
dc é a resistência unitária do condutor, eA é a área do condutor. A eliminação do
feixe de condutores, reduzindo-o a um condutor equivalente por fase, também é feita de
forma distinta daLine Constants. A Cable Parameters aproxima através do raio médio
geométrico o efeito do feixe, enquanto aLine Constants calcula os parâmetros para cada
condutor e depois obtêm o condutor equivalente através do paralelismo dos condutores
na mesma fase. Uma outra diferença se dá com relação o cálculo da altura média dos
condutores. Diferentemente daLine Constants, aCable Parameters considera que seVmid
ouVtower são deixadas em branco o seu valor é zero. Portanto, caso disponha-se somente
da altura média dos condutores, deve-se usarV̄ = Vmid = Vtower.
No arquivo de saída da rotina pode ser impressos as matrizes das impedâncias de fase
e modais bem como a matriz de capacitâncias. Um ponto interessante é que o programa
já apresenta as matrizes com os devidos valores médios, no caso do sistema transposto.
Todos os parâmetros devem ser especificados tendo o metro como parâmetro de com-
primento. Esta ação impede que o modelo convencional (linhas transpostas) com parâme-
tros distribuídos, usando a transformação da eq.(3), seja usado, pois este modelo supõe o
uso da distância em km. O uso da distância em metros para um circuito é possível através
do modelo de K.C. Lee [3, capítulo IV], onde qualquer unidade corrente de distância pode
ser usada e a matriz de transformação entre o domínio modal e o de fase é especificada
após os dados da linha.
4
4 Parâmetros da Linha
A configuração do sistema exemplo é apresentada na Tabela 1. Conforme dito anteri-
ormente os condutores de fase são 3x954MCM e com dois cabos pára-raios é de 3/8. Os
parâmetros foram calculados para a freqüência de 60Hz.
Tabela 1: Espaçamento entre os condutores
Distância (m) Fase a Fase b Fase c Para-raio
Horizontal -9.75 0.0 9.75 ±7.98
Vertical 16 21.60 16.0 25.90
4.1 Sistema transposto
As equações (6) e (7) apresentam, respectivamente, os parâmetros unitários das linhas
de transmissão emΩ/km, para o sistema totalmente transposto. Os subscritoslc e cp
indicam a rotina usada para a obtenção destas matrizes. A diferenças ocorrem em torno
da quarta casa decimal.
Rslc =
0.142955 0.119925 0.1199250.119925 0.142955 0.119925
0.119925 0.119925 0.142955
 Rscp =
0.142946 0.119923 0.1199230.119923 0.142946 0.119923
0.119923 0.119923 0.142946

(6)
Xslc =
0.7047786 0.357808 0.3578080.357808 0.704779 0.357808
0.357808 0.357808 0.704779
 Xscp =
0.704805 0.357812 0.3578120.357812 0.704805 0.357812
0.357812 0.357812 0.704805

(7)
A eq.(8) mostra as matrizes de capacitâncias calculadas pelas subrotinas em nF/km. Si-
milar ao caso da impedância série da linha, as diferenças ocorrem em torno da quarta casa
decimal.
Clc =
11.27162 −1.42467 −1.42467−1.42467 11.27162 −1.42467
−1.42467 −1.42467 11.27162
 Ccp =
11.27107 −1.42457 −1.42457−1.42457 11.27107 −1.42457
−1.42457 −1.42457 11.27107

(8)
A impedância característica é então calculada como:
Zcaract =
√
Zs
Y
(9)
ondeZs é a matriz de impedância série eY = jωC é a matriz de admitância. Para uma ma-
triz diagonal o cálculo de (9) é trivial mas para matrizes cheias é necessário usar métodos
envolvendo autovalores e autovetores.
O processo de calcular a impedância característica nada mais é que um problema
de cálculo de autovalores e autovetores. NoATP-EMTP a impedância característica é
5
calculada no domínio modal onde as matrizes envolvidas são diagonais, o valor da matriz
no domínio de fases é obtido através da transformação inversa entre fase→modal. Para o
sistema transposto a diagonalização é feita usando a transformação de Clarke, eq.(3). A
Tabela 2 mostra os parâmetros de seqüência calculados pelaLine Constants.
Tabela 2: Parâmetros de seqüência calculados pelaLine Constants
Seqüência
Zero Positiva
Zcaract (Ω) 680.6706 −7.54159 269.5386 −1.89872
v (km/s) 175957 292376
R(Ω/km) .382804 .0230303
X (Ω/km) 1.42039 .346972
B (µS/km) 3.17513 4.78639
Os autovalores calculados pelaLine Constants(impedância característica de seqüência
zero e positiva foram verificados através do cálculo dos autovalores da matriz de impe-
dância característica em coordenadas de fase obtida através da eq.(9)
Λ =
674.7746 −7.5416 269.3866 −1.8987
269.3866 −1.8987
 (10)
Assumindo os valores calculados pelo programa matemático como sendo a referência os
erros encontrados ficam abaixo de 1%, caso os valores obtidos peloATP-EMTP como
referência os erros ficam abaixo de 0.9%.
Como já dito anteriormente, aCable Parameters não usa o modelo de linha transposta
pois as distâncias estão em metros. Ao invés, a rotina usa uma subrotina semelhante a
EISPACK[6, 4] para o cálculo dos autovalores e autovetores. Para o exemplo apresen-
tado aqui, considerando o circuito totalmente transposto, A matriz de transformação de
corrente em 60Hz é dada por:
T i =
1
3
1 −1 −321 2 0
1 −1 32
 (11)
e T i = Ttv, ondeTv é a matriz de transformação de tensão. A impedância modal e a
admitância modal são obtidas através da eq(12).
Zmodal = T−1v ZsT i
Ymodal = T−1i YsTv
(12)
A Tabela 3 mostra os resultados daCable Parameters. Deve-se notar que as rotina
calcula três modos para a linha de transmissão, o que a príncipio parece ate contradição
vista que teoricamente a linha deveria ter apenas dois modos. Contudo, enquanto a cons-
tante de propagação modal e consequentemente, a velocidade de propagação do modo
são unicamente definidos, o mesmo não ocorre com a impedância série e a admitância
nas coordenadas modais e, naturalmente, acarreta em uma matrizde impedância caracte-
rística modal não única. Isto ocorre devido a ambigüidade nos autovetores. Impedâncias,
6
ou admitâncias, modais só fazem sentidos quando especificadas juntamente com os au-
tovetores correspondentes. É por esta razão que as impedâncias características modais
diferem nas Tabelas 3 e 2, todavia as velocidades de propagação dos modos são bem pró-
ximas os modos Linha e Entrelinha trafegam com a mesma velocidade que o modo de
seqüência positiva calculada pelaLine Constants, o mesmo acontecendo com os modos
de seqüência zero ou modo terra. A diferença entre estas velocidades é de cerca de 2km/s,
abaixo de 0.0015%.
Tabela 3: Parâmetros modais calculados pelaCable Parameters
Modos
Modo 1 Modo 2 Modo 3
Zsurto (Ω) 226.8976 −7.5 199.1116 −25.6 134.70276 −1.9
v (km/s) 175959 292374 292374
R (Ω/km) .1275971 0.01534930 0.01151197
X (Ω/km) .4734762 0.2313289 0.1734966
B (µS/km) 9.524975 7.179218 9.572291
Note-se que estes modos são combinações lineares dos valores de seqüência zero e
positiva. Para 60Hz a relação é a seguinte:
• Zmodo1 =
1
3Z0;
• Zmodo2 =
3
2Zpos;
• Zmodo3 =
1
2Zpos;
4.2 Sistema não transposto
Na linha não-transposta surge um segundo modo, comente chamado de modo entreli-
nha, lembrando que para um sistema de N-condutores haverá N-modos.
Rslc =
0.1393455 0.1218122 0.11614970.1218122 0.1501741 0.1218122
0.1161497 0.1218122 0.1393455
 Rscp =
0.1393354 0.1218010 0.11614750.1218010 0.1501686 0.1218010
0.1161475 0.1218010 0.1393354

(13)
Xslc =
0.706526 0.370770 0.3318830.370770 0.701284 0.370770
0.331883 0.370770 0.706526
 Xscp =
0.70654936 0.37077924 0.331876970.37077924 0.70131658 0.37077924
0.33187697 0.37077924 0.70654936

(14)
Clc =
 11.20941 −1.812248 −0.6495027−1.812248 11.396050 −1.8122520
−0.6495027 −1.812252 11.209410
 Clc =
 11.20895 −1.81225 −0.64922−1.8122513 11.39531 −1.81225
−6.4921623 −1.81225 11.20895

(15)
7
5 Testes Transitórios
Para testar os modelos de linha obtidos com as rotinas, mas especificamente o mo-
delo de parâmetros distribuídos constante, realizou-se dois testes relativamente simples:
energização direta da Linha de Transmissão com um terminal em aberto e curto circuito
terminal na linha. A Fig.1 mostra o unifilar para estes testes. Note-se que ele não visa
avaliar as sobretensões ocorridas na linha, nem se o modelo é o mais adequado para este
cálculo. Hevia em [7] apresenta os resultados comparativos da tensão terminal para os
possíveis modelos de linha disponíveis noATP-EMTP.
500kV
60Hz
Figura 1: Unifilar do sistema para testes transitórios
A Fig.2 mostra a tensão terminal na fase “a” para o caso da energização direta con-
siderando tanto o sistema transposto como não transposto. Como pode-se ver que os
resultados obtidos com as duas rotinas são quase idênticos. Há uma mínima diferença de
fase e, após o sistema entrar em regime, em torno de 400ms, a diferença entre os resul-
tados fica em torno de 300V, menos de 0.08%. Semelhante resultado é encontrado nas
demais fases.
0 50 100 150 200
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
tempo (ms)
V
 (
kV
)
CP
LC
(a) Sistema transposto
0 50 100 150 200
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
tempo (ms)
V
 (
kV
)
CP
LC
(b) Sistema não transposto
Figura 2: Tensão Terminal da Linha de Transmissão
No caso do curto circuito trifásico a diferença entre as correntes é uma curva senoidal
de valor máximo igual a 3.4A, enquanto a corrente de curto é de 5659A. Portanto a dife-
rença fica em torno de 0.06%, abaixo até do encontrado no caso da energização. Para o
8
curto monofásico tanto as correntes nas fases sãs como a corrente de falta foram basica-
mente as mesmas. O curto circuito monofásico apresentou comportamento semelhante no
que se refere à equivalência de resultados obtidos com os modelos obtidos através das ro-
tinas. A Fig. 3(a) mostra a tensão em uma das fases sãs para o curto monofásico, e nota-se
que mais uma vez os resultados são basicamente idênticos. A Fig. 3(b) mostra a diferença
entre as correntes de curto obtidas com o sistema usando os parâmetros calculados pela
Line Constants e pelaCable Parameters.
0 50 100 150 200
−800
−600
−400
−200
0
200
400
600
800
tempo (ms)
V
 (
kV
)
CP
LC
(a) Tensão de na fase “b” durante o curto-
circuito monofásico
0 50 100 150 200
−30
−20
−10
0
10
20
30
tempo (ms)
I (
A
)
(b) Diferença entre as correntes calculadas pe-
la Line Constants e pelaCable Parameters
Figura 3: Curto-Circuito Monofásico
6 Variação dos Parâmetros com a Freqüência
Ambas as rotinas são capazes de calcular as matrizes de impedância série e admitância
para várias freqüências [3, XXI-D]. Portanto, é importante avaliar qual o comportamento
das rotinas em uma faixa larga de freqüência, notadamente para avaliar se existem di-
ferenças sensíveis nos resultados em baixas ou altas freqüências devido aos diferentes
equacionamentos apresentados nas rotinas como: possíveis diferenças entre as fórmulas
de Carson, usadas pelaLine Constants com relação as fórmulas de Pollaczek, usadas pela
Cable Parameters, ou até erros nas aproximações usadas para estas representações.
Calculou-se as impedâncias de seqüência positiva e zero para uma faixa de freqüên-
cia de 6mHz até 60MHz. ACable Parameters não calcula os parâmetros de seqüência
positiva e zero sendo necessário obtê-los através da seguinte equação:
Zpos= Zs−Zm
Z0 = Zs+2Zm
(16)
ondeZs é a impedância série eZm é a impedância mútua. Naturalmente este valor tem
que ser recalculado para cada freqüência. A Fig.4 mostra a variação dos parâmetros de
seqüência positiva e ondeR1 é o valor da resistência calculado pelaLine Constants eR1cp,
o valor calculado pelaCable Parameters. A Fig.5 apresenta os parâmetros de seqüência
zero.
9
10
−2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
−2
10
−1
10
0
10
1
R
(Ω
/k
m
)
f(Hz)
R
1
 
R
1cp
(a)Rpos
10
−2
10
0
10
2
10
4
10
6
0.8
0.85
0.9
0.95
1
f(Hz)
L(
m
H
/k
m
)
L
1
 
L
1cp
(b) Lpos
Figura 4: Parâmetros de seqüência Positiva em função da freqüência
10
−2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
f(Hz)
R
(Ω
/k
m
)
R
0
 
R
0cp
(a)Rzero
10
−2
10
0
10
2
10
4
10
6
0
2
4
6
8
f(Hz)
L(
m
H
/k
m
)
L
0
 
L
0cp
(b) Lzero
Figura 5: Parâmetros de seqüência Zero em função da freqüência
7 Conclusão
Este trabalho apresentou uma drescrição das rotinas usadas peloATP-EMTP para o
cálculo dos parâmetros de linhas de transmissão. As matrizes calculadas pelos dois pro-
gramas são essencialmente iguais. Com relação a matriz de capacitância esta igualdade
não é uma surpresa pois os valores das capacitâncias são decididos pela matriz de Poten-
cial de Maxwell e esta por sua vez depende das distâncias e dimensões dos condutores. É
interessante notar apesar de usarem métodos distintos para o cálculo da matriz de impe-
dância série há entre as subrotinas uma forte concordância.
Em termos do arquivo de dados, os modelos obtidos são bem distintos, Caso se com-
pare apenas os valores modais, os modelos obtidos são bem distintos, mas levando em
conta a matriz de transformação a representação do sistema torna-se bastante similar. Isto
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era esperado pois as matrizes que descrevem a linha calculadas pelas rotinas são bastantes
semelhantes.
A comparação dos parâmetros com a freqüência mostra que as rotinas calculam parâ-
metros aproximadamente iguais para um larga faixa de freqüência, de alguns mHz até a
casa dos MHz. Vale ressaltar que para freqüências mais baixas, as diferenças se situavam
em torno da quarta casa decimal, enquanto para freqüências mais altas esta diferença che-
ga a segunda casa decimal. É possível que acha uma freqüência limite acima da qual os
valores encontrados pelas rotinas não mais coincidem. Contudo este valor seria atingido
num freqüência tal elevada além da faixa de interesse de estudos típicos de transitóri-
os. Em todos os casos estudados, as rotinas obtiveram matrizes de capacitância que são
constantes (independentes da freqüência).A alta concordância apresentado nos casos estudados não garante que, para todos os
casos possíveis, o mesmo ocorra. Estudos adicionais envolvendo outras configurações,
como por exemplo circuito duplo vertical, são necessários para se avaliar corretamente a
equivalência entre as rotinas.
Referências
[1] L. M. Wedepohl, “Application of matrix methods to the solution of travelling-wave
phenomena in polyphase systems,”Proc. IEE, vol. 110, pp. 2200–2212, Dec 1963.
[2] M. H. Hesse, “Electromagnetic and electrostatic transmission-line parameters by di-
gital computer,”IEEE Trans. on PAS, vol. 82, pp. 282–290, Jan. 1963.
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K.U. Leuven, July 1987.
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del ATP, Marzo 1999. http://iitree.ing.unlp.edu.ar/estudios/caue/Vol1_Num1.htm.
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	Introdução
	Line Constants
	Cable Parameters
	Parâmetros da Linha
	Sistema transposto
	Sistema não transposto
	Testes Transitórios
	Variação dos Parâmetros com a Freqüência
	Conclusão