Teoria das Estruturas em Concreto Armado

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São peças que recebem e transmitem esforços. Estrutura é o 
conjunto de elementos estruturais. 
Estrutura simples de concreto armado: 
LAJES: 
São elementos estruturais planos onde as dimensões em duas 
direções prevalecem sobre uma terceira. 
Normalmente se apresentam na posição horizontal, e são elas que 
recebem as cargas que agirão sobre a estrutura. As lajes podem ser 
tetos e pisos. 
 
VIGAS: 
São elementos longitudinais da estrutura onde existe 1 direção 
predominante, o comprimento. Assim como as lajes, também as 
vigas se apresentam normalmente na posição horizontal e sua 
principal função é receber as cargas transmitidas pelas lajes. As vigas 
também podem transmitir cargas sobre outras vigas, mas a 
transmissão final das cargas das vigas se dará para o terceiro 
elemento básico da estrutura, que é o pilar. 
O vão econômico das vigas é de 4 a
residenciais e comerciais;
As vigas podem ser normais, semi
a posição da sua alma (face de altura) em relação à laje. Assim, uma 
viga com alma totalmente abaixo da laje configura
ELEMENTOS ESTRUTURAIS: 
São peças que recebem e transmitem esforços. Estrutura é o 
conjunto de elementos estruturais. 
Estrutura simples de concreto armado: LAJES + VIGAS + PILARES
São elementos estruturais planos onde as dimensões em duas 
direções prevalecem sobre uma terceira. 
Normalmente se apresentam na posição horizontal, e são elas que 
recebem as cargas que agirão sobre a estrutura. As lajes podem ser 
 
São elementos longitudinais da estrutura onde existe 1 direção 
predominante, o comprimento. Assim como as lajes, também as 
vigas se apresentam normalmente na posição horizontal e sua 
principal função é receber as cargas transmitidas pelas lajes. As vigas 
também podem transmitir cargas sobre outras vigas, mas a 
transmissão final das cargas das vigas se dará para o terceiro 
elemento básico da estrutura, que é o pilar. 
 
O vão econômico das vigas é de 4 a 5 metros nas construções 
residenciais e comerciais; 
As vigas podem ser normais, semi-invertidas ou invertidas, conforme 
a posição da sua alma (face de altura) em relação à laje. Assim, uma 
viga com alma totalmente abaixo da laje configura-se como uma viga 
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São peças que recebem e transmitem esforços. Estrutura é o 
LAJES + VIGAS + PILARES 
São elementos estruturais planos onde as dimensões em duas 
Normalmente se apresentam na posição horizontal, e são elas que 
recebem as cargas que agirão sobre a estrutura. As lajes podem ser 
São elementos longitudinais da estrutura onde existe 1 direção 
predominante, o comprimento. Assim como as lajes, também as 
vigas se apresentam normalmente na posição horizontal e sua 
principal função é receber as cargas transmitidas pelas lajes. As vigas 
também podem transmitir cargas sobre outras vigas, mas a 
transmissão final das cargas das vigas se dará para o terceiro 
5 metros nas construções 
invertidas ou invertidas, conforme 
a posição da sua alma (face de altura) em relação à laje. Assim, uma 
se como uma viga 
 
normal, ao passo que uma viga com alma parcialmente 
acima da laje, configura
invertida respectivamente.
Na maioria dos casos as vigas possuem pilares em suas 
extremidades, caracterizando como vigas bi
algumas situações ocorre a continuação 
extremo de apoio, dando origem a um trecho que possui somente um 
ponto de apoio, sendo este trecho considerado "em balanço"
PILARES: 
São elementos da estrutura que têm, como as vigas, uma dimensão 
predominante sobre as outras, 
às vezes, na posição inclinada. Os pilares recebem as cargas das 
vigas e as transmitem verticalmente para outros elementos que 
comporão a infra-estrutura. Esta infra
cargas ao solo, compondo assim todo o apoio da estrutura. 
São, normalmente, de seção retangular posicionados nos 
cruzamentos das vigas, permitindo apoio direto das mesmas, e nos 
cantos da estrutura da edificação.
normal, ao passo que uma viga com alma parcialmente ou totalmente 
acima da laje, configura-se como uma viga semi-
invertida respectivamente. 
Na maioria dos casos as vigas possuem pilares em suas 
extremidades, caracterizando como vigas bi-apoiadas, Porem em 
algumas situações ocorre a continuação da viga após o pilar mais 
extremo de apoio, dando origem a um trecho que possui somente um 
ponto de apoio, sendo este trecho considerado "em balanço"
São elementos da estrutura que têm, como as vigas, uma dimensão 
predominante sobre as outras, mas sendo esta na direção vertical e, 
às vezes, na posição inclinada. Os pilares recebem as cargas das 
vigas e as transmitem verticalmente para outros elementos que 
estrutura. Esta infra-estrutura irá transmitir aquelas 
pondo assim todo o apoio da estrutura. 
 
São, normalmente, de seção retangular posicionados nos 
cruzamentos das vigas, permitindo apoio direto das mesmas, e nos 
cantos da estrutura da edificação. 
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ou totalmente 
-invertida ou 
Na maioria dos casos as vigas possuem pilares em suas 
apoiadas, Porem em 
da viga após o pilar mais 
extremo de apoio, dando origem a um trecho que possui somente um 
ponto de apoio, sendo este trecho considerado "em balanço" 
 
São elementos da estrutura que têm, como as vigas, uma dimensão 
mas sendo esta na direção vertical e, 
às vezes, na posição inclinada. Os pilares recebem as cargas das 
vigas e as transmitem verticalmente para outros elementos que 
estrutura irá transmitir aquelas 
pondo assim todo o apoio da estrutura. 
São, normalmente, de seção retangular posicionados nos 
cruzamentos das vigas, permitindo apoio direto das mesmas, e nos 
 
Os espaços entre os pilares, constituem os vãos das vigas, 
resultando, em geral nas estruturas de edifícios residenciais e 
comerciais, em valores entre 2,5 e 6 metros.
No posicionamento dos pilares, devem ser compatibilizados os 
diversos pisos, procurando manter a continuidade vertical dos 
mesmos até a fundação de
apoio de pilares em vigas (chamadas vigas de transição). 
 
ELEMENTOS ARMADOS 
Todos estes elementos (lajes, vigas, pilares, blocos e sapatas) 
devidamente armados, com uma disposição adequada das barras de 
armadura, irão compor um conjunto rígido, indeformável, que recebe 
as cargas transmitindo
Estas peças são todas projetadas no escritório e executadas na obra. 
A única maneira de se transmitir as idéias do projetista com a maior 
precisão possível ao exec
objeto do nosso estudo. 
DESENHO ESTRUTURAL EM CONCRETO ARMADO 
DESENHO DE FORMAS: 
O desenho de formas representa as peças estruturais em um plano 
horizontal com suas dimensões e posições. Todas as formas da 
estrutura são formadas de diversas lajes, vigas e pilares dispostos em 
planta, devidamente cotados. Na planta da forma, ao contrário da 
planta da arquitetura, é passado um plano horizontal à meia altura do 
pé direito e olhamos para cima. 
O desenho a seguir representa a planta de forma de uma estrutura.
Os espaços entre os pilares, constituem os vãos das vigas, 
resultando, em geral nas estruturas de edifícios residenciais e 
comerciais, em valores entre 2,5 e 6 metros. 
No posicionamento dos pilares, devem ser compatibilizados os 
diversos pisos, procurando manter a continuidade vertical dos 
mesmos até a fundação de modo a se evitar, o quanto possível, o 
apoio de pilares em vigas (chamadas vigas de transição). 
ELEMENTOS ARMADOS 
Todos estes elementos (lajes, vigas, pilares, blocos e sapatas) 
devidamente armados, com uma disposição adequada das barras de 
irão compor um conjunto rígido, indeformável, que recebe 
as cargas transmitindo-as ao solo. 
Estas peças são todas projetadas no escritório e executadas na obra. 
A única maneira de se transmitir as idéias do projetista com a maior 
precisão possível ao executor da obra é através do desenho que é o 
objeto do nosso estudo. 
DESENHO ESTRUTURAL EM CONCRETO ARMADO 
DESENHO DE FORMAS: 
O desenho de formas representa as peças estruturais em um plano 
horizontal com suas dimensões e posições. Todasas formas da 
tura são formadas de diversas lajes, vigas e pilares dispostos em 
planta, devidamente cotados. Na planta da forma, ao contrário da 
planta da arquitetura, é passado um plano horizontal à meia altura do 
pé direito e olhamos para cima. 
representa a planta de forma de uma estrutura.
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Os espaços entre os pilares, constituem os vãos das vigas, 
resultando, em geral nas estruturas de edifícios residenciais e 
No posicionamento dos pilares, devem ser compatibilizados os 
diversos pisos, procurando manter a continuidade vertical dos 
modo a se evitar, o quanto possível, o 
apoio de pilares em vigas (chamadas vigas de transição). 
Todos estes elementos (lajes, vigas, pilares, blocos e sapatas) 
devidamente armados, com uma disposição adequada das barras de 
irão compor um conjunto rígido, indeformável, que recebe 
Estas peças são todas projetadas no escritório e executadas na obra. 
A única maneira de se transmitir as idéias do projetista com a maior 
utor da obra é através do desenho que é o 
O desenho de formas representa as peças estruturais em um plano 
horizontal com suas dimensões e posições. Todas as formas da 
tura são formadas de diversas lajes, vigas e pilares dispostos em 
planta, devidamente cotados. Na planta da forma, ao contrário da 
planta da arquitetura, é passado um plano horizontal à meia altura do 
 
representa a planta de forma de uma estrutura. 
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ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES 
Uma estrutura pode estar em equilíbrio ou movimento. Existem estruturas que são 
dimensionadas para estar em equilíbrio como: edifícios, pontes, pórticos, etc. E as que 
são dimensionadas para não estar em equilíbrio como: eixos de motores, bicicletas, 
patins, etc. Enquadram-se nas estruturas em equilíbrio, ou seja, as que estão estáticas, as 
construções. 
 
TIPOS DE APOIOS 
APOIO DO 1º GÊNERO 
Existe somente 1 reação:vertical ou horizontal 
 
APOIO DO 2º GÊNERO 
Existem 2 reações:vertical e horizontal 
 
APOIO DO 3º GÊNERO 
Existem 3 reações:vertical, horizontal e momento 
 
 
 
 
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CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
 
De acordo com o número de vínculos aplicados, sejam eles apoios ou restrições ao 
movimento, as estruturas são classificadas em: isostáticas, hiperestáticas e hipostáticas. 
 
Estruturas Isostáticas 
· Não permitem movimento na horizontal nem na vertical, ou seja, o número de 
incógnitas à determinar é igual ao número de equações de equilíbrio. 
· Se for tirado um dos apoios ou vínculos, a estrutura se torna hipostática, ou seja, se 
movimenta. 
 
Estruturas Hipostáticas 
· O número de vínculos é insuficiente para manter a estrutura em equilíbrio. 
· O número de incógnitas é inferior ao número de equações da estática. 
 
Estruturas Hiperestáticas 
· Pode-se retirar um vínculo que dependendo da situação, o corpo ainda permanece em 
equilíbrio. 
· O número de incógnitas é superior ao número de equações da estática. 
· O corpo fica imobilizado, porém as equações da estática são insuficientes para resolver 
o problema. 
 
 
 
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ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS 
Devido aos esforços ativos e reativos a estrutura está em equilíbrio, ou seja, não se 
movimenta. Apesar de a estrutura estar em equilíbrio, ela poderá se romper se os efeitos 
dos esforços ativos e reativos levarem à desintegração do material. A desintegração da 
estrutura ocorrerá se algumas partes constituintes da estrutura sofrerem valores 
extremos em face das tensões internas que são geradas, conforme segue. 
 
Forças normais de tração e compressão a uma seção 
 
 
Força tangencial a uma seção 
 
 
 
Forças que atuam no plano perpendicular ao eixo de uma barra que vence um vão 
 
 
 
 
 
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EFEITOS RELACIONADOS A CADA UM DOS ESFORÇOS INTERNOS 
 
 
 
 
tração ou compressão 
 
Esforços internos em vigas 
Viga é um elemento estrutural longo e delgado que se apoia em determinadas posições 
ao longo do seu comprimento e é submetido principalmente a cargas perpendiculares ao 
eixo formado pelo eixo central, provocando sua flexão. 
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Classificação das vigas quanto aos apoios 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS EM VIGAS ISOSTÁTICAS 
Cálculo das reações nos apoios 
A determinação das reações nos apoios, em oposição as cargas ativas, é feita a partir das 
equações de equilíbrio das estruturas, conforme abaixo. 
 
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Em se tratando do dimensionamento de uma estrutura, os esforços ativos são 
representados por carregamentos que podem assumir diferentes configurações. 
 
 
 
 
Diagramas 
É a representação geométrica das variações dos esforços internos ao longo do eixo do 
elemento. Esses valores em cada seção são representados perpendicularmente ao longo 
do eixo do elemento. São eles: DMF(Diagrama de Momento Fletor), DEC(Diagrama de 
Esforço Cortante) e DEN(Diagrama de Esforço Normal). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS PARA VIGAS BI-APOIADAS 
 
Carga concentrada 
 
 
Carga distribuída 
 
 
 
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VIGAS GERBER 
São vigas formadas pela associação de vigas isostáticas com algumas se apoiando em 
outras através de articulações fixas ou móveis. Surgiram por motivos de ordem estrutural 
e de ordem construtiva, sendo aplicadas, principalmente em pontes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vigas Gerber são decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem 
 
 
 
 
Exemplos de Decomposição: 
Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das 
reações de apoio. Começa-se a resolver as vigas sem estabilidade própria; 
 
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TRAÇADO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS 
 
As vigas que dão suporte são acrescidas de cargas pontuais devido à reação de apoio das 
vigas suportadas pelas rótulas. 
As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento, 
bastando que um dos apoios resista a forças horizontais. Apenas as cargas verticais 
provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na decomposição não é 
necessário distinguir apoios do 1º ou 2º gênero, usando-se apenas Δ. 
Os diagramas são traçados como se fosse para uma viga contínua observando-se que as 
articulações não transmitem momentos fletores e que o esforço cortante é contínuo. 
 
 
 
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PÓRTICOS 
DEFINIÇÃO: Estrutura linear plana constituída por barras retas ligadas entre si. 
 
 
 
 
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CONVENÇÕES DE SINAIS 
 
 
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TRELIÇAS 
Treliças são estruturas compostas por barras com extremidades articuladas. São 
usadas para vários fins, entre os quais, vencer pequenos, médios e grandes vãos. 
Pelo fato de usar barras articuladas e de se considerar pesos suportados 
colocados apenas nos seus nós, essas barras funcionam principalmente à tração e 
compressão. 
Estruturas do século passado e do início deste século como pontes ferroviárias — 
usaram ao máximo esse estratagema. As treliças são usadas hoje 
também como estrutura de coberturas, torres de transmissão elétrica e 
equipamentos, tais como lanças de guindastes. Costumam ser executadas em 
barras de madeira, aço, alumínio e de concreto armado. 
 
Formas das treliças 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Processo Cremona 
 
Além dos processos analíticos, as forças normais nas barras de uma treliça isostática 
podem ser determinadas graficamente através de um procedimento no qual o equilíbrio 
de cada nó é verificado pelo fechamento do polígono dos forças nele aplicadas. Este 
processo foi introduzido por Cremona (Itália) e também foi desenvolvido por Maxwell 
(Inglaterra) de forma independente. A notação usada no procedimento é devida a Bow. 
Por ser um processo gráfico, é mais rápido que o método dos nós, principalmente nas 
treliças maiores, nãoobstante possa apresentar as imprecisões que sempre acompanham 
os procedimentos gráficos. Deve-se trabalhar com cuidado e material de boa qualidade. 
 
ROTEIRO 
 
01) Dado a treliça (desenhada em escala), determinam-se as reações de apoio. 
02) Adota-se um sentido positivo para giro (horário). 
03) Associa-se urna letra minúscula para cada uma das regiões externas da treliça (as 
forças separam as regiões) percorrendo-a externamente no sentido positivo. Associa-se 
também letras minúsculas para as regiões internas de treliça (notação de Bow). 
04) Adota-se uma escala conveniente para o traçado gráfico das forças. 
05) Percorrendo a treliça no sentido positivo, desenha-se na escala adotada para as 
forças o polígono das forças externas - que deve ser fechado - usando no traçado letras 
maiúsculas nos vértices do polígono. 
06) Passa-se então ao desenho de um polígono de forças para cada nó, estudando-se 
sucessivamente aqueles submetidas à apenas duas forças incógnitas. Todas as linhas 
traçadas previamente podem e devem ser utilizadas. Assim, será necessário traçar 
somente duas retas adicionais para completar cada um dos novos polígonos. Esse 
procedimento segue sucessivamente até que todos os polígonos estejam desenhados na 
escala. 
07) O módulo de cada força normal nas barras é, na escala considerada, o comprimento 
do segmento correspondente. 
O sentido (sinal) da força pode ser determinado diretamente nas barras, tomando-se o 
segmento respectivo no Cremona e aplicar uma rotação de 90° no sentido positivo. Caso 
as letras das extremidades do segmento girado coincidam com as letras das regiões da 
treliça quando o segmento for colocado perpendicular a barra (nas vizinhanças dos 
pontos médios) a força é positiva, isto é, de tração. Caso contrário, negativa ou de 
compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ARCOS 
Definição: Arco é uma estrutura linear de eixo curvo, situada em um plano vertical, 
vinculada em suas extremidades de modo a que estas não sofram translações, solicitada 
por cargas contidas no plano referido, provocando esforços de compressão, flexão e 
cisalhamento. 
Arco Triarticulado : arco isostático, com apoios fixos e descontinuidade interna do tipo 
rótula. 
Objetivo dos arcos: vencer grandes vãos com a redução dos esforços de flexão. 
 
 
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Exemplos de arcos 
 
Arco semi-circular conhecido também como arco romano, é um arco bi-apoiado e não é 
aconselhável para grandes vãos uma vez que a relação entre a largura e a altura (2 : 1) o 
torna inviável. 
 
 
 
 
Arco elíptico pode ter dois ou mais apoios, tendo condições de ser utilizado tanto 
para pequenos vãos (arco elíptico estreito) como para grandes vãos (arco elíptico 
largo). 
 
 
 
Arco parabólico o arco parabólico é um dos mais adequados do ponto de vista 
estrutural, pois tem a mesma forma parabólica do diagrama de momentos fletores o que 
faz com que as tensões de flexão sejam eliminadas. 
 
 
 
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Modelos Estruturais 
 
 
Nomeclatura