Relatorio Instrumentacao Mecanica (Instrumento de 1 ordem)

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Laboratório de Instrumentação Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicativo para instrumento de primeira ordem 
entrada degrau e senoidal 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discentes: 
Gabriel Rodrigues Pupin RA:172055482 
 
 
 
Docente: 
Prof. Dr. João Antonio Pereira 
 
 
 
 
 
 
 
Ilha Solteira, 27 de junho de 2020 
 
 
 
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Sumário 
 
 
1-Objetivo................................................................................................................. 3 
2-Introdução teórica .................................................................................................. 3 
3-Matérias e método ................................................................................................. 7 
4-Resultados ............................................................................................................. 7 
5-Conclusão ............................................................................................................ 12 
 
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1-Objetivo 
 
Estudar as características dinâmicas de um termômetro de primeira ordem. Com 
intuito de desenvolver um aplicativo, podendo variar características de entrada afim de 
analisar e estudar os comportamentos de acordo com cada parâmetro. 
2-Introdução teórica 
Podemos utilizar um modelo matemático adequado para representar um modelo físico 
de um sistema mecânico, e assim estudar suas características dinâmicas. Em engenharia um 
modelo muito utilizado é a representação do sistema físico por uma Equação Diferencial 
Ordinária de coeficientes constantes, relacionado a entrada com a saída. 
 Os instrumentos denominados de 1º ordem são aqueles que podem ser representados 
pela equação (1): 
 
 Onde: 
 
 
 
 Podemos reescrever a equação em termos do operando D, 
 
 No qual: 
 
 
 Teoricamente podemos avaliar o desempenho do modelo conhecendo os valores dos 
parâmetros físicos, e solucionando a equação (2) para entradas específicas. 
Experimentalmente podemos avaliar medindo diretamente a resposta do sistema. 
 Por exemplo, podemos utilizar o modelo matemático para avaliar um sistema 
mecânico como o abaixo: 
Figura 1 – Sistema Massa-Mola 
 
Fonte: Material de Instrumentação 
 Onde temos que é governado pela expressão (3): 
 
 
 
 A qual pode reescrever conforme (2): 
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 É possível perceber que em sistemas físicos existe certas dificuldades para obter os 
parâmetros reais, então podemos lançar mão de uma forma alternativa utilizando um 
circuito elétrico R-C equivalente. 
Figura 2 – Circuito Elétrico R-C 
 
Fonte: Laboratório de Instrumentação 
 Podemos avaliar que é governado pela expressão (5): 
 
 Tendo: 
 
 Assim torna-se necessário a definição de dois parâmetros, a sensibilidade estática e 
constante de tempo. O primeiro é obtido por calibração estática, dessa forma tendo somente 
um parâmetro a ser avaliado dinamicamente, a constante de tempo, essa qual pode ser 
obtida por três métodos: 
 Método 1 – Tempo de resposta de uma entrada degrau 
 Esse método consiste em excitar o sistema com uma entrada degrau, e medir o 
tempo que sistema leva para responder, atingindo aproximadamente 63,2% do valor final 
da resposta. Com este tempo podemos obter a constante de tempo do instrumento. 
Figura 3 – Gráfico de Resposta de uma entrada degrau 
 
Fonte: Material de Instrumentação 
 Assim, conforme discutido em laboratório, a equação para uma equação degrau, é: 
 
 E para t= , temos: 
 
Método 2 – Análise da entrada senoidal 
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 O sinal senoidal repete-se a intervalos de tempo regulares e então é periódico. Sua 
representação matemática é y(t) = Asen (ωt + θ ) . Como é um instrumento de primeira 
ordem, pode ser representado pela equação (1), já apresentada. 
A= Amplitude 
ω= Velocidade angular 
θ = Ângulo de fase 
 
Figura 4 – Gráfico de uma resposta senoidal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Material de Instrumentação 
 
Para a solução homogênea temos: 
 (8) 
E a solução particular será: 
 (9) 
Sendo θ: 
 (10) 
Por fim temos que: 
(11) 
 
Método 3 – Teste da Função de Resposta em Frequência 
 Na utilização deste método, o sistema é excitado com uma entrada senoidal, sobre 
uma ampla faixa de frequência e os valores da resposta são registrados. Em seguida, a razão 
de saída/entrada, e o ângulo de fase são plotados na escala dB. 
 Para entradas senoidais, a função resposta é dada em termos além dos parâmetros do 
sistema, os de frequência, assim: 
 
 
reposta 
permanente 
reposta 
transiente 
tempo 
atraso 
t
empo 
i iq A sen( ) t
0 0q A sen( )  t
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 Na escala db, teremos: 
 
Para o instrumento de entrada senoidal ainda temos o gráfico de razão de amplitude. 
 
 
 
 
 Analisando a equação (12), pode-se perceber que existe duas situações diferentes, 
dependendo se é muito maior (assíntota de baixa, inclinação 0 dB/década) ou muito 
menor que 1(assíntota de alta, inclinação -20 dB/década). 
 Com um gráfico de amplitude na escala dB, o valor de tal é estimado a partir da 
frequência de corte do sistema, . Essa qual é obtida quando a assíntota de alta frequência 
cruza a assíntota de baixa. 
 
 
Figura 5 – Gráfico de Amplitude e 
Fase
 
Fonte: Material de Instrumentação 
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3-Matérias e método 
O desenvolvimento do aplicativo foi feito pelo software Matlab, utilizando elementos 
de interface gráfica. 
Inicialmente o programa pede dados de entrada, sendo eles, temperatura inicial, 
temperatura final, frequência de amostragem, numero de pontos, constante de tempo, 
sensibilidade estática, amplitude e Ômega. Uma ressalva é que para entrada senoidal não é 
necessário a entrada de valores de amplitude e ômega. 
Por fim se seleciona o tipo de entrada no pop-up. Gráficos só serão gerados e 
atualizados se o pop-up for selecionado ou for novamente selecionado. 
 
4-Resultados 
Para utilizar o programa, foram feitas duas situações, duas com entrada degrau e duas 
com entrada senoidal. Em todos os casos utilizamos uma frequência de amostragem de 
1000, com isso, variamos os valores de K e Tau, com o objetivo de analisar o 
comportamento do gráfico de saída do instrumento abordado. 
Para o problema da entrada degrau se escolheu a temperatura inicial de 5‘C e final de 
45‘C, constante de tempo igual a 0.1 e sensibilidade igual a 2 e fixou-se o número de 
pontos igual a 10000 para as duas situações. 
 
Figura 6: Gráfico de Qi/t e Qo/t 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
 
 
 
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Figura 7: Gráfico de Qi/t e Qo/t unidos 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
 As figuras 6 e 7 apresentam os gráficos obtidos utilizando o aplicativo na função 
degrau com os valores que foram informados acima. 
Variando os valores para: k=5 e Tau=2 temos os seguintes resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 8: Gráfico de Qi/t e Qo/t 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
 
Figura 9: Gráfico de Qi/t e Qo/t unidos 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
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Com as duas situações propostas, é possível tirar algumas análises com os gráficos de 
resposta. Observando as curvas vemos que o valor da constante de tempo influencia na 
curvatura da resposta, consequentemente, o instrumento demora mais tempo para atingir o 
valor de leitura final de K*Qis como é visto comparando os gráficos das Figuras 7 e 9. 
Além disso, por meio da relação K*Qi citada, vemos que o K influencia no valor final de 
resposta do instrumento, como vemos no gráfico da Figura 6 e 8, onde o valor final da 
curva de resposta do instrumento, não é o mesmo que ode entrada. 
 
Para a entrada senoidal utilizou-se as seguintes entradas. Número de pontos igual a 
1000, constante de tempo igual a 1, sensibilidade estática igual a 5, amplitude igual a 5 e 
ômega igual a 2. 
Figura 10: Gráfico de Qi/t , Qo/t , frequência/razãoe frequência/fase 
 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 11: Gráfico de Qi/t e Qo/t unidos 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
 
Variando os valores para: A=5 e Ômega=2, com valores de K=2 e Tau=0,5. 
 
Figura 12: Gráfico de Qi/t , Qo/t , frequência/razão e frequência/fase 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
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Figura 13: Gráfico de Qi/t e Qo/t unidos 
 
Fonte: Aplicativo desenvolvido pelo autor 
 Ao final do experimento com a entrada senoidal, podemos concluir, que o aplicativo 
funciona de acordo com a teoria. O valor de K, influencia na amplitude da onda, pode se 
observar comparando as figuras 11 e 13. Já o valor da constante de tempo influencia no 
ângulo de fase causando atraso entre as ondas senoidais, chegamos nessa conclusão 
observando as figuras 10 e 12. 
Para o domínio da frequência quanto menor os valores de ômega e tau, mais o 
instrumento se aproxima do ideal. Essa condição ocorre quando a frequência pela fase se 
aproxima de uma reta. 
5-Conclusão 
Podemos concluir que a criação do aplicativo foi um sucesso, pois quando se analisa 
o mesmo com a literatura, percebesse que ambos têm o mesmo comportamento. Tanto na 
entrada degrau quanto senoidal as respostas gráficas estão de acordos com as equações e 
tendências descritas pela literatura. 
 
 
 
	1-Objetivo
	2-Introdução teórica
	3-Matérias e método
	4-Resultados
	As figuras 6 e 7 apresentam os gráficos obtidos utilizando o aplicativo na função degrau com os valores que foram informados acima.
	Ao final do experimento com a entrada senoidal, podemos concluir, que o aplicativo funciona de acordo com a teoria. O valor de K, influencia na amplitude da onda, pode se observar comparando as figuras 11 e 13. Já o valor da constante de tempo influe...
	5-Conclusão