Testes de Hipóteses sobre uma Proporção EXEMPLOS

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Estatística II – Antonio Roque – Aula 12 
 
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Testes de Hipóteses sobre uma Proporção Populacional 
 
Seja o seguinte problema: Estamos interessados em saber que proporção de 
motoristas da população usa cinto de segurança regularmente. Em uma 
pesquisa com 300 motoristas, 123 deles disseram que usam regularmente o 
cinto de segurança. Podemos concluir desses dados que a proporção de 
motoristas que usa cinto de segurança é inferior a 50% ? 
 
Para a amostra obtida, p̂ = 123/300 = 0,41. 
 
A hipótese nula a ser testada neste caso é: 
H0: p ≥ 0,5 
H1: p < 0,5 
 
onde p é a proporção populacional de motoristas que usam o cinto de 
segurança regularmente. Portanto, o teste é unilateral. 
 
Nas aulas sobre distribuições amostrais, vimos que a distribuição amostral de 
p̂ pode ser aproximada por uma distribuição normal se tanto np como n(1 − 
p) forem maiores ou iguais a 5. No nosso caso, com p = 0,5, np = n(1 − p) = 
300x0,5 = 150, o que garante que podemos usar a variável z para fazer o 
cálculo de P. 
 
A distribuição amostral de p̂ é aproximadamente normal com média 
5,0ˆ == ppµ e desvio padrão 
.0289,0
300
5,05,0)1(
ˆ =
×
=
−
=
n
pp
pσ 
Portanto, o valor P é calculado a partir de 
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2 
 
 
.11,3
0289,0
09,0
0289,0
50,041,0ˆ
ˆ
−=−=
−
=
−
=
p
pp
z
σ
 
 
Consultando a tabela da distribuição normal reduzida, vemos que P = 0,5 – 
0,49906 = 0,00094. Portanto, P < α . Logo, rejeitamos a hipótese nula e 
concluímos que os dados sugerem que a proporção de motoristas que usa o 
cinto de segurança regularmente é menor do que 50%. 
 
Testes de Hipóteses sobre a Diferença entre as Proporções de Duas 
Populações 
 
Vamos considerar o seguinte exemplo: Uma empresa que presta serviços de 
assessoria econômica a empresas está interessada em comparar a taxa de 
reclamações sobre os seus serviços em dois dos seus escritórios em duas 
cidades diferentes. 
 
Suponha que a empresa tenha selecionado aleatoriamente 100 serviços 
realizados pelo seu escritório na cidade A e 120 serviços realizados pelo seu 
escritório na cidade B. Dos 100 serviços da cidade A, em 12 deles houve 
algum tipo de reclamação feita pelas empresas que receberam os serviços e 
dos 120 serviços da cidade B, 18 receberam algum tipo de reclamação. 
Portanto, as proporções amostrais de reclamações sobre os serviços dos 
escritórios das cidades A e B são, respectivamente, 
 
.15,0
120
18
ˆ e 12,0
100
12
ˆ
21 ==== pp 
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A empresa deseja saber se estes resultados são suficientes para se concluir que 
os dois escritórios apresentam diferenças significativas nas suas taxas de 
reclamações. 
 
A hipótese nula a ser testada neste caso é: 
H0: p1 – p2 = 0 
H1: p1 – p2 ≠ 0. 
 
Portanto, o teste a ser feito é bilateral. 
 
A primeira coisa a fazer é verificar se a distribuição amostral de 21 ˆˆ pp − pode 
ser aproximada por uma distribuição normal. Para testar isso, deve-se tomar os 
produtos )ˆ1( ,ˆ ),ˆ1( ,ˆ 22221111 pnpnpnpn −− e verificar se são todos maiores ou 
iguais a 5. No nosso caso, eles são. 
 
Portanto, a distribuição amostral de 21 ˆˆ pp − é aproximadamente normal com 
média, 
021ˆˆ 21 =−=− ppppµ (pela hipótese nula) 
 
e desvio padrão, 
.
)1()1()1()1(
212
22
1
11
ˆˆ 21 n
pp
n
pp
n
pp
n
pp
pp
−
+
−
=
−
+
−
=−σ 
 
Como não conhecemos o valor de p, o que se faz neste caso é estimá-lo como 
uma média ponderada de 21 ˆ e ˆ pp : 
 
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4 
 
.136,0
220
30
220
15,012012,0100ˆˆ
21
2211 ==
×+×
=
+
+
=
nn
pnpn
p 
 
Este é o valor de p que será usado para o cálculo de 
21 ˆˆ pp −
σ , dando: 
 
.0464,0
120
1175,0
100
1175,0)1()1(
21
ˆˆ 21
=+=
−
+
−
=−
n
pp
n
pp
pp
σ 
 
O valor de z para este caso é: 
 
( )
65,0
0464,0
03,0
0464,0
0)15,012,0(0ˆˆ
21 ˆˆ
21 −=
−
=
−−
=
−−
=
− pp
pp
z
σ . 
 
Consultando a tabela para a distribuição normal padrão, isto nos dá o seguinte 
valor P: P = 2 x 0,2578 = 0,51 > 0,05. 
 
Portanto, não se pode rejeitar a hipótese nula com base nos dados amostrais 
obtidos. As taxas de reclamações sobre os serviços prestados pelos escritórios 
da empresa nas cidades A e B podem ser iguais. 
 
Testes de Hipóteses sobre a Variância de uma População 
 
Quando os dados disponíveis para estudo consistem de uma amostra aleatória 
retirada de uma população normalmente distribuída, a estatística a ser usada 
para se testar uma hipótese sobre a variância populacional é a distribuição do 
qui-quadrado com n – 1 graus de liberdade, 
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.)1(
2
2
2
σ
χ
s
n −= 
 
Como a distribuição do qui-quadrado é assimétrica, o cálculo do valor P para 
um teste bilateral é complicado neste caso. Prefere-se, então, calcular o 
intervalo que contém 95% de todos os valores de χ
2
 para n – 1 graus de 
liberdade e verificar se o valor de ( )222 )1( σχ sn −= calculado com os dados 
do problema (incluindo a hipótese nula H0) está dentro desse intervalo. Se χ
2
 
estiver dentro do intervalo, a probabilidade de obtê-lo é maior do que 5% e 
aceita-se H0. 
 
Exemplo: Tomou-se uma amostra de 15 estudantes de odontologia, os quais 
foram submetidos a um teste de habilidade manual. A variância das notas do 
teste foi igual a s
2
 = 1,2. Pode-se concluir, com base nesse estudo, que a 
variância da distribuição populacional das notas dos estudantes de odontologia 
é diferente de 2,5? 
 
A hipótese nula e a hipótese alternativa são: 
 
H0: σ
2
 = 2,5 
H1: σ
2
 ≠ 2,5. 
 
Portanto, o teste a ser feito é bilateral. 
 
O valor de χ
2
 para os dados e a hipótese nula é: 
 
.72,6
5,2
2,1
14)1(
2
2
2 =×=−=
σ
χ
s
n 
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Para n – 1 = 14 graus de liberdade, o intervalo de valores de χ
2
 dentro do qual 
estão 95% de todas os valores da distribuição está limitado entre 
629,52 025,0 =χ e 119,26
2
975,0 =χ (veja abaixo). 
 
 
 
Como 6,72 está dentro do intervalo, não se pode rejeitar a hipótese nula H0. A 
variância das notas da população de estudantes de odontologia pode ser igual a 
2,5. 
 
Testes de Hipóteses sobre a Razão entre Duas Variâncias 
 
Vamos ilustrar este tipo de teste de hipótese aproveitando o exemplo anterior. 
Suponha que uma amostra aleatória de 22 estudantes de engenharia foi 
submetida ao mesmo teste de destreza manual ao qual os estudantes de 
odontologia do exemplo anterior foram submetidos. A variância das notas no 
teste dos estudantes de engenharia foi igual a 1,6. Pode-se concluir que a 
variância das notas da população de estudantes de odontologia é diferente da 
variância das notas da população de estudantes de engenharia? 
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Os dados do problema são (vamos designar a população dos estudantes de 
engenharia de população 1 e a população dos estudantes de odontologia de 
população 2): 
n1 = 22; s1
2
 = 1,6 
n2 = 15; s2
2
 = 1,2. 
 
Vamos assumir que as distribuições das notas das duas populações são 
normais. Desta forma, as hipóteses nula e alternativa são: 
 
H0: ;
2
2
2
1 σσ = 
H1: .
2
2
2
1 σσ ≠ 
 
Portanto, o teste a ser feito é bilateral. 
 
Na aula sobre intervalos de confiança para a razão entre duas variâncias, 
vimos que a variável 
( )
( )2222
2
1
2
1
σ
σ
s
s
 
 
é distribuída como a função F com n1 – 1 graus de liberdade do numerador e 
n2 – 1 graus de liberdade do denominador. 
 
No caso do exemplo, como a hipótese nula implica que 
2
2
2
1 σσ = , esta variável 
vale 
 
3,1
2,1
6,1
2
2
2
1 ==
s
s
. 
 
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Portanto, o teste de hipótese a ser feito neste caso consiste em obter o 
intervalo de confiança de 95% para F e verificar se o valor 1,3 está dentro 
dele. Este intervalo está entre os valores 
1,1,975,01,1,025,0
12
21
1
−−
−− =
nn
nn
F
F
 
e 
1,1,975,0 21 −− nn
F . 
 
Olhando na tabela da função F para F0,975 temos que: 
 
84,214,20,975,014,21,975,0 =≅ FF 
e 
.39,0
53,2
1
53,2 14,21,025,021,15,975,021,14,975,0 =≅⇒=≅ FFF 
 
Portanto, 95% dos valores de F estão entre 0,39 e 2,84 (veja abaixo). 
 
 
Como 3,122
2
1 =ss está dentro desse intervalo, não se pode rejeitar a hipótese 
nula. As duas variâncias populacionais podem ser iguais.