Aula 01 ECA2

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ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia
E t t d C t A d IIE t t d C t A d IIEstruturas de Concreto Armado IIEstruturas de Concreto Armado II
Prof Marco AntônioProf. Marco Antônio
marcoaman@unigranrio.edu.br
Aula 0Aula 011
I t d ã C t A dIntrodução ao Concreto Armado
Período
2018/1
Histórico 
‐ 1824: o químico francês J. Aspdin descobre o cimento Portland, com a
queima de pedras calcárias e argila, resultando em um pó que endurecia na
presença de água. Nome em homenagem à ilha britânica Portland.
‐ 1855: o francês J. L. Lambot constrói um barco com argamassa de cimento
reforçada com ferro.
‐ 1861: o francês J. Monier constrói um vaso de flores de concreto com
arame. Outro francês F. Coignet publica os princípios básicos para
construções em concreto armado.
‐ 1867: J. Monier obtém patente para seus vasos, depois para tubos, placas
etc. F. Coignet apresenta vigas e tubos de concreto na Exposição
Internacional de Paris.
‐ 1873: o americano W. E. Ward constrói em Nova York uma construção em
concreto armado: oWard´s Castle, existente até hoje.
‐ 1888: Dohring, de Berlim, obtém patente em protensão de pequenas
2
placas e vigas.
Prof. Marco Antônio
Histórico 
‐ 1900: Koenen começa a desenvolver teoria em concreto armado,
posteriormente Mӧrsch e Ritter, com numerosos ensaios continuam os
trabalhos de Koenen. Essas teorias estão presentes até hoje.
‐ 1904: na Alemanhã, são publicadas as “Instruções provisórias para
preparação, execução e ensaio de construções de concreto armado”.
‐1928: Freyssinet patenteia o concreto protendido em estruturas.
‐ 1930: O primeiro arranha céu do mundo, o edifício do jornal “A noite”, com
24 pavimentos, é erguido na Praça Mauá no Rio, por Emílio Baumgart.
‐ Até hoje, estruturas erguidas em Brasília, são também internacionalmente
conhecidas pela sua beleza plástica e arrojo.
‐ Inúmeros outros exemplos de obras notáveis construídas no Brasil, como a
Ponte Rio ‐ Niterói, projetada por B. Ernani Diaz, e o Museu de Arte
Contemporânea, em Niterói, com arquitetura de Oscar Niemeyer e
estrutura de Bruno Contarini, podem ser também citados.
3Prof. Marco Antônio
Classificações
Q à C i ãQuanto à Composição:
‐ Pasta de cimento: cimento + água
‐ Argamassa: pasta + agregado miúdo‐ Argamassa: pasta + agregado miúdo
‐ Concreto (simples): argamassa + agregado graúdo
Quanto à Disposição da armadura:
‐ Concreto armado: concreto simples + armadura passiva ( ou “doce”)
‐ Concreto armado protendido: concreto simples + armadura ativa
‐ pré‐tendido: armadura é tensionada antes da concretagem.
ó t did d é t i d d i d t‐ pós‐tendido: armadura é tensionada depois da concretagem.
Quanto ao Local de formação:Quanto ao Local de formação:
‐ Concreto moldado “in loco”: peça moldada no local.
‐ Concreto pré‐moldado: peça moldada fora do local de permanência.p p ç p
‐ Concreto pré‐fabricado: peça pré‐moldada em fábrica, com maior
controle de qualidade (é um tipo de pré‐moldado).
4Estudaremos apenas peças de Concreto Armado moldado “in loco”.Prof. Marco Antônio
Vigas em Concreto Armado Protendido
Vi é t didViga pré‐tendida:
aço passivo
(ou “doce”)
Viga Pós‐tendida:Viga Pós‐tendida:
aço passivo
( “d ”)(ou “doce”)
aço ativo
aço ativo
5Prof. Marco Antônio
Vantagens e Desvantagens
VVantagens:
‐ Boa trabalhabilidade, se adapta bem à qualquer formato;
‐ Compõe peças monolíticas, ou seja, interiças quanto ao grau hiperestático.Compõe peças monolíticas, ou seja, interiças quanto ao grau hiperestático.
Diferente das peças em aço/madeira, que devem ser parafusadas, soldadas,
coladas e encaixadas;
‐ Boa durabilidade ao intemperismo com baixa manutenção, quase nula;
‐ A tecnologia para produção do concreto é simples;
‐ Osmateriais empregados na mistura encontram‐se bem disponíveis;Osmateriais empregados na mistura encontram se bem disponíveis;
‐ Depois de usinado, possui um tempo hábil para iniciar sua formação, pois
continua liquefeito, ainda na sua fase inicial de “pega”;
‐ As técnicas construtivas estão bem disponíveis => mão de obra barata.
Desvantagens:
‐ Resulta em peças maiores se comparado ao aço, pois tem menor resistência;
‐ Devido ao seu peso próprio alto, certas construções se tornam inviáveis;
Dificuldade de demolições e reformas;‐ Dificuldade de demolições e reformas;
‐ Grande consumo de formas e escoramentos;
‐ Bom condutor de calor e som, necessitando ser revestido para poder isolar;
6
‐ Possibilidade de fissuração inicial, devida às altas tensões geradas no processo 
de cura e baixa resistência inicial à tração.Prof. Marco Antônio
Estados Limites (ELU e ELS)
U t t t d l ti E t d Li it d d t i lUma estrutura ou parte dela atinge um Estado Limite quando de certa maneira, ela
se torna Inutilizável, ou deixa de satisfazer condições previstas para sua utilização.
Segundo a o item 3.2 da NBR 6118/2014, existem 2 tipos:g / , p
ELU ‐ Estado Limite Último: Situações que levem a estrutura ao Colapso, seja pela
ruptura direta do material ou pela perda de equilíbrio Em ambas as situações aruptura direta do material, ou pela perda de equilíbrio. Em ambas as situações a
estrutura deve ser paralisada (ver item 10.3 da NBR6118/2014).
Ex: Escoamento ou ruptura do concreto, ou do aço (no corte, na flexão, nap ç (
torção, etc.)
Ex: Retirada de “pedaços” ou de apoios de uma estrutura hiperestática
transformando a em hipostáticatransformando‐a em hipostática.
ELS ‐ Estado Limite de Serviço: Situações que levem a estrutura a perder ou limitar
sua Funcionalidade (ver item 10.4 da NBR6118/2014).
Ex: verificação de flecha limite, mesmo que atenda aos quesitos de
dimensionamento à flexãodimensionamento à flexão
Resumidamente:
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‐ ELU→ Colapso→ Dimensionamento (de seções e armaduras)
‐ ELS:→ Funcionalidade→ Verificações (de flechas, fissuras e vibrações)Prof. Marco Antônio
Tipos de Ações
Ações: São quaisquer influências, ou conjunto delas, capaz de produzir tensões ou
deformações na estrutura. Classificadas conforme item 11 da NBR6118/2014:
1. Ações Permanetes (g):
Atuam praticamente constantes durante o tempo ou crescentes tendendo à umAtuam praticamente constantes durante o tempo, ou crescentes, tendendo à um
valor limite.
‐ Diretas: Peso próprio e empuxo de terra (quando não removível)
‐ Indiretas: Deslocamento de apoios, protensão, fluência, retração e
imperfeição geométrica.
2. Ações Variáveis (q)
Variam durante o tempo.
‐ Diretas: Sobrecarga de utilização (ou Cargas acidentais), Vento e Chuva.
‐ Indiretas: Temperatura e ações dinâmicas (vibrações mecânicas e sismos).
3. Ações Excepcionais (q):
Ações não citadas acima, que devem ser estudadas por normas específicas.
8Prof. Marco Antônio
Coeficientes de Ponderação () 
Também são chamados de “Coeficientes de Segurança”, pois consideram alguma
margem de segurança. São fatores que transformam Valores Característicos em
V l d Cál l ( “d P j t ”) E i t t d b bilí tiValores de Cálculo (ou “de Projeto”). Existe um estudo probabilístico para se
determinar esses coeficientes, em função de uma análise amostral, que não será
abordado. Esses coeficientes consideram a variabilidade que um determinado valorq
pode ter em sua natureza. Existem 2 tipos:
f d d ã d i ê i ( )
kff 
‐ Coeficiente de Ponderação das Resistências (m) item 12.3.1 da NBR6118/2014
i tê if ‐ tensão normal ();
m
df  = resistênciacaracterística:
(minora)
kf
( );
‐ tensão de cisalhamento ();
‐ de escoamento (esc);
d t ( )
‐ Coeficiente de Ponderação das Ações (f) item 11.7 da NBR6118/2014
‐ ou de ruptura (rup).
= ação
característica:
kfd FF 
( j )
kF
‐ carregamento distribuído (q);
‐ esforço normal (N);
( )
9
característica:(majora) ‐ esforço cortante (V);
‐momento fletor (M).Prof. Marco Antônio
Coeficiente de Ponderação das Resistências(m)
Transforma Resistência Característica em de Cálculo (Projeto), apenas para o ELU:
kff
c para o concreto ( / )
m
k
d
f
f 
c ps para o açom= (item 12.1 da NBR 6118/2014)
Coeficientes  e  no ELU (tabela 12 1 da NBR6118/2014)Coeficientes c e s no ELU (tabela 12.1 da NBR6118/2014) 
Exercício 1: Determine a resistência de
cálculo de um concreto C30, utilizado em
b já t d di õ
Exercício 2: Determine a resistência de
cálculo de um aço CA‐50, utilizado em
b já t d di õuma obra já executada e em condições
normais de utilização:
uma obra já executada e em condições
normais de utilização:
f 30 f 500
10
MPaff
c
ck
cd 43,214,1
30   MPa
f
f
s
yk
yd 8,43415,1
500  Prof. Marco Antônio
Coeficiente de Ponderação das Ações (f)
    k2f3f1fk3f2f1fkfd F...F...F.F ‐ para o ELU:
Transforma Ação Característica em de Cálculo (Projeto):
‐ para o ELS: k2fkfser,d F.F.F 
Coeficiente f = f1 . f3 (tabela 11.1 da NBR6118/2014) 
11* Na maioria dos casos considera‐se D.Prof. Marco Antônio
Coeficiente de Ponderação das Ações (f)
Coeficiente f2 (tabela 11.2 da NBR6118/2014) 
12Prof. Marco Antônio
Combinação de Ações 
Um estrutura ao ser carregada, pode sofrer a influência de diversas ações Variáveis
com diferentes naturezas (sobrecarga de utilização, vento, temperatura, chuva, sismo
e etc) Todas essas ações tem uma certa probabilidade de atuarem simultaneamentee etc). Todas essas ações tem uma certa probabilidade de atuarem simultaneamente
e que não serão discutidas aqui neste curso. O item 11.8 da NBR6118/2014 trata da
combinação de ações e a divide em dois itens:
‐ Combinações de ações no ELU: item 11.8.2 da NBR6118/2014;
‐ Combinações de ações no ELS: item 11.8.3 da NBR6118/2014.
A norma não deixa claro, mas quando se tem mais de uma ação Variável, pode ser
adotada uma ação Variável Principal ou seja uma ação que seja “menos” variáveladotada uma ação Variável Principal, ou seja, uma ação que seja menos variável
que as demais, como se ela fosse mais provável de acontecer e perdurar por mais
tempo que as demais, como se fosse uma ação “quase permanente”. Esta explicação
ficará mais explícita nos exercícios a seguir.
13Prof. Marco Antônio
Combinação de Ações 
Combinação de ações no ELU (tabela 11.3 da NBR6118/2014) 
14Prof. Marco Antônio
Combinação de Ações 
Combinação de ações no ELS (tabela 11.4 da NBR6118/2014) 
15Prof. Marco Antônio
Combinação de Ações 
Exercício 1: Em um programa de análise estrutural foram obtidos os seguintesExercício 1: Em um programa de análise estrutural, foram obtidos os seguintes
esforços cortantes característicos, atuando em uma viga de construção predial
residencial, durante a fase de construção:
‐ peso próprio da viga: Vg = 4kN (ação permanente)
‐ sobrecarga de utilização: Vq = 9kN (ação variável)
Determine:Determine:
(a) O esforço cortante de cálculo (ou de projeto) Vd no ELU;
(b) O esforço cortante de cálculo (ou de projeto) Vd,ser no ELS.,
Respostas:
qkqgkgd V.V.V 
(a) (tab.11.3 da NBR6118/2014)
qqgg
    kNm0,169.2,14.3,1Vd 
(b)
kq2kgserd V.VV 
(tab.11.4 da NBR6118/2014)
16
k,q2k,gser,d 
    kNm7,69.3,04V ser,d  Prof. Marco Antônio
Combinação de Ações 
Exercício 2: Em um programa de análise estrutural foram obtidos os seguintesExercício 2: Em um programa de análise estrutural, foram obtidos os seguintes
momentos fletores característicos, atuando em um pilar de construção predial
comercial, já em fase de utilização:
‐ peso próprio do pilar: Mg = 7kNm (ação permanente)
‐ peso próprio do revestimento do pilar: Mg = 3kNm (ação permanente)
sobrecarga de utilização: M = 5kNm (ação variável)‐ sobrecarga de utilização: Mq = 5kNm (ação variável)
‐ carga de vento: Mq = 2kNm (ação variável)
Determine:
(a) O momento fletor de cálculo (ou de projeto)Md no ELU;
(b) O momento fletor de cálculo (ou de projeto)Md,ser no ELS.
R tRespostas:
(a) (tab.11.3 da NBR6118/2014)
 k2q02k1qqgkgd M.M.M.M 
    kNm7222605413741M 
Sobrecarga como
ação variável principal:
Resp    kNm7,222.6,05.4,137.4,1Md 
 k2q02k1qqgkgd M.M.M.M Vento como
Resp.
17
 k2q02k1qqgkgd 
    kNm3,205.5,02.4,137.4,1Md 
e to co o
ação variável principal:
Prof. Marco Antônio
Combinação de Ações 
Exercício 2: Em um programa de análise estrutural foram obtidos os seguintesExercício 2: Em um programa de análise estrutural, foram obtidos os seguintes
momentos fletores característicos, atuando em um pilar de construção predial
comercial, já em fase de utilização:
‐ peso próprio do pilar: Mg = 7kNm (ação permanente)
‐ peso próprio do revestimento do pilar: Mg = 3kNm (ação permanente)
sobrecarga de utilização: M = 5kNm (ação variável)‐ sobrecarga de utilização: Mq = 5kNm (ação variável)
‐ carga de vento: Mq = 2kNm (ação variável)
Determine:
(a) O momento fletor de cálculo (ou de projeto)Md no ELU;
(b) O momento fletor de cálculo (ou de projeto)Md,ser no ELS.
R tRespostas:
(b) (tab.11.4 da NBR6118/2014)
k1q1,2k1q1gkser,d M.M.MM 
  kNm0122054037M 
Sobrecarga como
ação variável principal:   kNm0,122.05.4,037M ser,d 
Vento como k1q1,2k1q1gkser,d M.M.MM 
18
e to co o
ação variável principal:
q,qg,
  kNm1,122.3,05.3,037M ser,d  Resp.Prof. Marco Antônio
Propriedades do Aço Passivo
‐ fyk = resistência característica de escoamento do aço à tração.
‐ São comercializados 3 tipos de aços no formato de fios e barras: CA‐25, CA‐50 e CA‐
60. A sigla CA indica que é um tipo de aço utilizado em concreto armado, e o número
indica a resistência fyk em kN/cm².
‐ Por exemplo: uma barra de CA‐50 possui fyk= 50kN/cm², ou seja 500MPa de
resistência.
‐ O aço utilizado em concreto armado é o passivo, ou seja, não é o ativo (não está
inicialmente “ativado” com tensão ates de ser carregado).
‐ Aço e ferro são materiais distintos, e diferem principalmente no teor de carbono. O
ferro possui teor entre 2,04 a 6,7%, e o aço teor abaixo de 2,04%. Os aços padrão CA
utilizados como armaduras, possuem um teor de carbono entre 0,08% a 0,50%, desta
forma é errado chamá‐los de “ferros”.
‐ Os aços CA‐25 e CA‐50 são fabricados por laminação à quente, já os CA‐60 são
fabricados por trefilação, estiramento ou laminação à frio, processo esse que aumenta
19
a resistência do CA‐60.
‐Propriedades do aço:  = 7850kgf/m³ (77kN/m³), E = 210GPa e  = 0,3.Prof. Marco Antônio
Propriedades do Aço Passivo
Diagrama tensão deformação na tração (item 8 2 10 1 da NBR6118/2014)Diagrama tensão‐deformação na tração (item 8.2.10.1 da NBR6118/2014)
ds : tensão de tração no aço.
fyk : resistência característica do aço na
tração.
fyd : resistência de cálculo do aço na
tração.
s : deformação do aço na tração.s : deformação do aço na tração.
Es : módulo de elasticidade do aço.
 d  k yk : deformação característica do aço na
Diagrama de Tensão‐deformação do aço 
passivo (Figura 8.4 da NBR6118/2014) 
yd yk yktração.
yd : deformação de cálculo do aço na
tração.
Propriedades dos diferentes tipos de aços:
tração.
GPa210
ff
E ydykS 
20
GPa210E
ydyk
S 
Prof. Marco Antônio
Propriedades do Aço Passivo
21Diagrama de tensão‐deformação para tipos de aço passivo Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
‐ fck = resistência característica de escoamento do concreto à compressão.
‐ Por exemplo: uma viga de concreto C30 possui fck= 30MPa de resistência.
‐ A NBR6118/2014 trata de concreto armado classes C20 até C90, e divide em 2
categorias distintas: classe C20 até C50 e classe C55 até C90. Atualmente utilizam‐se
concretos até classe C45, apesar da norma estar preparada para até classe C90. O
número depois do C indica a resistência fck emMPa.
‐ Diferente do aço, o concretogeralmente é usinado na obra, com pouco ou nenhum
controle de qualidade, desta maneira, as propriedades calculadas empiricamente com
base em correlações devem ser verificadas com ensaios de campo e laboratoriais.
‐ Propriedades do concreto:  ≈ 2550kgf/m³ (≈ 25kN/m³),  = 0,2
E=? (diferente do aço o concreto tem um módulo de elasticidade E variável,
função do seu fck, representado por uma fórmula empírica)
Módulo de Elasticidade Tangente Inicial:
ckEci f.5600.E 
1
‐ Classe C20 até C50:
22
3
1
ck
E
3
ci 25,110
f
..10.5,21E 

 ‐ Classe C55 até C90:  Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
Resistência característica à compressão (item 8 2 4 da NBR6118/2014)
Para avaliar a resistência do concreto à compressão, devem ser
Resistência característica à compressão (item 8.2.4 da NBR6118/2014)
moldados corpos de prova cilíndricos e ensaiados a compressão. No
Brasil, os corpos têm as seguintes medidas padronizadas: 15cm de, p g p
diâmetro por 30cm de altura, ou 10cm de diâmetro por 20cm de
altura.altura.
São ensaiados diversos corpos de provas até a ruptura e anotados os valores de
fc Inicialmente seria intuitivo adotar o valor médio de toda a dispersão dosfc. Inicialmente, seria intuitivo adotar o valor médio de toda a dispersão dos
valores, mas que não representaria um valor seguro para a construção, assim
defini se:defini‐se:
Resistência Característica do Concreto à Compressão (fck): Definição segundo o
item 12.2 da NBR6118/2014 para qualquer resistência característica:
*
23* Geralmente lote com 28 dias de concretado.
*
Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
Resistência característica à compressão (item 8 2 4 da NBR6118/2014)Resistência característica à compressão (item 8.2.4 da NBR6118/2014)
As resistências à compressão dos corpos de prova de concreto podem ser
representadas por uma Curva de Densidade de Frequência com Distribuiçãorepresentadas por uma Curva de Densidade de Frequência com Distribuição
Normal (Curva de Gauss), bem conhecida em estudos de probabilidade e
estatística.
 
s.645,1f
.645,11ff
cm
cmck


,cm
 .fs cm
2
n
1i cm
cmci
f
ff
n
1
 


 
Resistência Característica do Concreto à
É
fcm: resistência média: coefic. de variação
Compressão (fck): É o valor da resistência de corpos
de prova de concreto ensaiados à 28 dias de
: coefic. de variação
s : desvio padrão
fci : resistência de um 
conjunto de amostras
24
concretados, que representa um valor acima dos 5%
de área da curva gaussiana.
conjunto de amostras    
ensaiadas com 28 dias
Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
Resistência característica à compressão (item 8 2 4 da NBR6118/2014)Resistência característica à compressão (item 8.2.4 da NBR6118/2014)
Exercício 3: Em uma obra predial de responsabilidade foi determinado pelo
h i j ti t f 30MP O h i t t t tengenheiro projetista um fck=30MPa. O engenheiro construtor contratou uma
“concreteira” para fornecer o concreto usinado e outra empresa de “qualidade”
para ensaiar os corpos de prova, afim de comprovar a resistência característica dep p p , p
projeto. Com os dados abaixo fornecidos pelo laboratório pode se dizer que foi
atendido o fck de projeto?
25Não, de acordo com os dados amostrais: fck=29MPa.Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
Diagrama tensão deformação na compressão (item 8 2 10 1 da NBR 6118)Diagrama tensão‐deformação na compressão (item 8.2.10.1 da NBR 6118) 
c : Tensão de Compressão no
ConcretoConcreto.
fck : Resistência Característica do
Concreto na Compressão.
f R i tê i d Cál l d fcd : Resistência de Cálculo do
Concreto na Compressão.
c : Deformação de Compressão











n
2c
c
cdc 11f85,0
do Concreto.
c2 : Deformação de Compressão
Plástica do Concreto.

Diagrama tensão deformação do concreto na cu : Deformação de Compressão
na Ruptura do Concreto.
Diagrama tensão‐deformação do concreto na 
compressão (adaptada da Figura 8.2 da NBR6118/2014) 
‐ Concreto classe C20 até C50:                   ‐ Concreto de classe C55 até C90: 
2n    4k 100f90.4,234,1n 
00
0
cu
00
0
2c
5,3
0,2


  
 
   040
00
053,0
ck00
0
2c
ck
100f903562
50f.085,00,2
100f90.4,234,1n



26
00cu ,    000ck000cu 100f90.356,2 
Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
Resistência característica à tração (item 8 2 5 da NBR6118/2014)Resistência característica à tração (item 8.2.5 da NBR6118/2014)
Tração Pura (fct)
Tração indireta (fct,sp)
(por compressão diametral)
Tração por flexão (fct,f) 
Admitem‐se as seguintes correlações entre os 3 ensaios:
(por compressão diametral)
f,ctsp,ctct f.7,0f.9,0f 
‐ A resistência à tração característica do concreto fctk pode ser avaliada pelo seu valor 
Na falta dos ensaios acima, podem ser admitas as seguintes correlações:
médio fct,m : m,ct,infctk f.7,0f m,ctsup,ctk f.3,1f  ‐>  tem uma variabilidade de 30%
E a resistência à tração média do concreto f pode ser avaliada pela resistência
C t l C20 té C50 32f30f
‐ E a resistência à tração média do concreto fct,m pode ser avaliada pela resistência 
característica à compressão do concreto: Obs: fórmulas empíricas! 
entra MPa sai MPa
27
‐ Concreto classe C20 até C50: 32ckm,ct f.3,0f 
 ckm,ct f.11,01ln.12,2f ‐ Concreto classe C55 até C90: 
entra MPa sai MPa.
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Propriedades do Concreto
Resistência característica à tração (item 8 2 5 da NBR6118/2014)
Exercício 4: Em uma obra predial de responsabilidade deseja‐se determinar a
i tê i t ã d t tili d F i i d d
Resistência característica à tração (item 8.2.5 da NBR6118/2014)
resistência a tração do concreto utilizado. Foi ensaiado um corpo de prova por
compressão diametral (Ensaio Brasileiro de Resistência à Tração), desenvolvido
pelo engenheiro e professor L. F. Lobo Carneiro. Deste ensaio obteve‐se o valor dep g p
3,30MPa, determine a resistência à tração pura e a resistência à tração por flexão.
Tração Pura (fct)
Tração indireta (fct sp)
Tração por flexão (fct,f) Tração indireta (fct,sp)
(por compressão diametral)
admitem‐se as seguintes correlações entre os 3 ensaios: fctspctct f.7,0f.9,0f g ç f,ctsp,ctct ,,
assim: MPa97,2MPa30,3.9,0f.9,0f sp,ctct 
9090
Obs: fórmulas empíricas! 
entra MPa sai MPa
28
MPa24,4MPa30,3.
7,0
9,0
f.
7,0
9,0
f sp,ctf,ct  entra MPa sai MPa.
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Propriedades do Concreto
Resistência característica à tração (item 8 2 5 da NBR6118/2014)Resistência característica à tração (item 8.2.5 da NBR6118/2014)
Exercício 5: Em uma obra predial de responsabilidade o engenheiro construtor
t t “ t i ” f t i d t dcontratou uma “concreteira” para fornecer o concreto usinado e outra empresa de
“qualidade” para ensaiar os corpos de prova, afim de descobrir a resistência
característica do concreto utilizado. Através dos ensaios à compressão, foip ,
determinado que o concreto é de classe C25, ou seja fck =25MPa. Determine de
maneira empírica as resistências à tração (média, inferior e superior).
MP25f
  MPa333MPa56231f31f 
  MPa56,2MPa25.3,0f.3,0f 3232ckm,ct  MPa5,210
MPa25
10
fck 
  MPa79,1MPa56,2.7,0f.7,0f m,ct,infctk 
  MPa33,3MPa56,2.3,1f.3,1f m,ctsup,ctk 
Obs: fórmulas empíricas! 
entra MPa sai MPa.
Exercício 6: Considere o mesmo exercício acima, mas com concreto classe C60.
   f1101ln122f
  MP595MP30431f31f
   ckm,ct f.11,01ln.12,2f   MPa30,4MPa60.11,01ln.12,2  MPa4
15
MPa60
15
fck 
29  MPa01,3MPa30,4.7,0f.7,0f m,ct,infctk 
  MPa59,5MPa30,4.3,1f.3,1f m,ctsup,ctk 
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Propriedades do Concreto
Diagramatensão deformação na tração (item 8 2 10 2 da NBR6118/2014)Diagrama tensão‐deformação na tração (item 8.2.10.2 da NBR6118/2014)
ct : Tensão de Tração no Concreto.
f R i ê i C í i d Cfctk : Resistência Característica do Concreto
na Tração.
Eci : Módulo de Elasticidade Tangente Inicial
do Concreto.
ct : Deformação de Tração do Concreto.
Diagrama tensão‐deformação do concreto 
na tração (Figura 8.3 da NBR6118/2014) 
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Propriedades do Concreto
Módulo de elasticidade (item 8 2 8 da NBR6118/2014)Módulo de elasticidade (item 8.2.8 da NBR6118/2014)
Módulo de Elasticidade Tangente Inicial: Obs:
fórmulas
ckEci f.5600.E 
3
1
ck3 251
f
10521E  ‐ Classe C55 até C90:
‐ Classe C20 até C50:
fórmulas 
empíricas! 
entra MPa
i MPEci 25,110
..10.5,21E  Classe C55 até C90: 
onde,  é função do tipo  = 1,2 (basalto e diabásio)1 0 ( i i )
sai MPa.
onde,  é função do tipo 
de agregado graúdo: 
 = 1,0 (granito e gnaisse)  = 0,9 (calcário)  = 0,7 (arenito) 
ciics E.E  0,180
f
.2,08,0 cki Módulo de Elasticidade Secante: onde :
Mód l d l i id d d id d i dMódulos de elasticidade do concreto considerando granito como agregado 
graúdo (tabela 8.1 da NBR6118/2014):
31Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
Módulo de elasticidade (item 8 2 8 da NBR6118/2014)Módulo de elasticidade (item 8.2.8 da NBR6118/2014)
Exercício 7: Calcule o módulo de elasticidade secante Ecs de um concreto classe
C30 f it b it (d it )C30 feito com brita comum (de granito).
(classe C30)MPa30fck 
0,1E 
30.5600.0,1f.5600.E ckEci módulo de elasticidade tangente inicial:
(brita de granito)
)ok(0,1875,0
80
30
.2,08,0
80
f
.2,08,0 cki 
MPa30672
Mód l d l i id d d id d i d
módulo de elasticidade secante: MPa2683830672.875,0E.E ciics 
Módulos de elasticidade do concreto considerando granito como agregado 
graúdo (tabela 8.1 da NBR6118/2014):
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Propriedades do Concreto
33Diagrama de tensão‐deformação para tipos de concreto C20 até C50Prof. Marco Antônio
Propriedades do Concreto
34Diagrama de tensão‐deformação para tipos de concreto C55 até C90Prof. Marco Antônio
Símbolos
Aço passivo:
S e S : Tensão e Deformação do Aço.
f R i ê i C í i d A T ãfyk : Resistência Característica do Aço na Tração.
fyd : Resistência de Projeto (ou de Cálculo) do Aço na Tração.
f : Resistência Característica do Aço na Compressãofyck : Resistência Característica do Aço na Compressão.
fycd : Resistência de Projeto (ou de Cálculo) do Aço na Compressão.
Concreto:Concreto:
C e C : Tensão e Deformação do concreto.
f k : Resistência Característica do Concreto na Compressãofck : Resistência Característica do Concreto na Compressão.
fcd : Resistência de Projeto (ou de Cálculo) do Concreto na Compressão
Índices
S = Steel = Aço
k = CHaracteristc = Característico
c = Concrete = Concreto     ou     Compression = Compressão
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d = Design = Projeto
y = yield ? = produção ? rendimento ?Prof. Marco Antônio