Forças de Marés

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Forças de Marés
Como podemos observar através da figura abaixo, e de acordo com a equação da Gravitação Universal de Newton F = G 𝑀. 𝑚 /𝑑2, a atração gravitacional causada sobre a superfície da Terra a força depende da distância. Portanto, a atração gravitacional sentida no lado da Terra que está mais próxima da Lua, é maior do que a sentida no centro da Terra, e a atração gravitacional sentida no lado da Terra que está mais distante da Lua é menor do que a sentida no centro da terra. Portanto, em relação ao centro da Terra, um lado está sendo puxado em direção à Lua, e o outro lado submetido a ação da força centrífuga, está sendo puxado na direção contrária. A atração gravitacional, pouco afeta os continentes que são sólidos, mas como a água escoa com muita facilidade, ela acaba se empilhando nos dois lados da Terra, com um dos bojos de água na direção da Lua, e o outro na direção contrária. 
Expressão da força de maré
Considere a atração gravitacional FP, sentida por uma partícula em um ponto P na superfície da Terra, situado a uma distância r da Lua. Seja d a distância centro a centro entre Terra e Lua, e R o raio da Terra.
 A força diferencial ∆F no ponto P em relação ao centro da Terra, FC, é:
∆F = Fp – Fc
Como a distância da Lua ao ponto, r, é muito maior do que o raio da Terra, R, o ângulo  é muito pequeno e a direção da força Fp é quase paralela direção da força Fc e, portanto, se pode dizer sem muita perda de precisão que
∆F = Fp – Fc. 
-Dedução da força diferencial:
Considere as duas partículas da figura acima. Chamemos de R a distância entre as duas partículas, e de r a distância de M à partícula m2. O valor de ∆F será: 
∆F = F1 – F2
F2=GMm2/r2
F1=GMm1/(r-R)2
Sendo: ∆F = GM m1 (r-R)2 - GM m2/r2
F1 – F2 = GM[m1/(r-R)2 – m2/r2] 
Fazendo m1 = m2 = m, podemos escrever: 
F1 – F2 = GMm[r2-(r-R)2/r2(r-R)2]
F1 – F2 = GMm(2rR-R2/r4-2Rr3+r2R2)
F1 – F2 = GMmR [
Para r >> R, 2r-R ≅2r, e  ≅ 1.
Portanto a expressão da força diferencial fica: 
∆F=2GMmR/r3
Na expressão ∆F = Fp – Fc, fica:
∆F=2GMm∆r/r3
Nesta expressão, M é a massa do corpo que provoca a maré (a Lua no nosso exemplo), m é a massa da partícula teste, r é a distância do ponto onde estou medindo a maré ao corpo provocador da maré, isto é, entre M e m, (em média, a distância Terra-Lua, ou d na figura), e  é a distância entre o ponto e o centro de massa (Rcosø na nossa figura).
Considerando que a força gravitacional média da Lua sobre a Terra está aplicada no centro da Terra, a variação máxima nessa força acontece para os pontos que estão sobre a superfície da Terra, na direção da linha que une os centros da Terra e da Lua, Φ=0. A diferença de distância entre esses pontos e o centro da Terra é o próprio raio da Terra, R, e, consequentemente, a máxima aceleração de maré na Terra, devido à Lua, é
∆F/m=2GR
A força  pode ser decomposta em uma componente vertical à superfície da Terra, e uma componente horizontal. A componente vertical provoca apenas uma leve variação do peso das massas localizadas no ponto onde estamos calculando a força de maré; é a componente horizontal que provoca a maré propriamente dita.