2867-3 - GRAVITAÇÃO - LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

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LEI DA GRAVITAÇÃO 
UNIVERSAL
ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL
Para encontrar a expressão da aceleração 
gravitacional, utilizamos as equações da força 
gravitacional e do peso (2ª Lei de Newton). 
Um objeto na superfície terrestre está sujeito 
à ação da força gravitacional, que provoca o 
seu peso. O peso é determinado pela massa 
do corpo e a aceleração local:
P = mg
A força gravitacional age quando existem no mínimo dois corpos. O planeta Terra e 
um determinado objeto em sua superfície, por exemplo. O que provoca essa força é o 
fato de ambos possuírem massa. A massa da Terra atrai a massa de um corpo na sua 
superfície. A distância entre eles também é um fator determinante na intensidade da 
força gravitacional. A expressão fica:
De acordo com a equação, a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre os corpos. Isso significa que quanto mais distante um corpo estiver da superfície 
da Terra, menor será a intensidade da força gravitacional atuando sobre ele; e quanto 
mais próximo, maior será a intensidade dessa força. Além disso, a força gravitacional é 
diretamente proporcional ao produto das massas dos corpos envolvidos.
A constante G é conhecida como constante gravitacional e vale 6,67x10-11 N.m2/kg2. 
Igualando o peso e a força gravitacional, encontramos o valor de g:
FG = G
Mm
d2
mg = G
Mm
d2
P = FG
g = G
M
d2
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al Com esta equação, você pode calcular a aceleração gravitacional da superfície de 
qualquer planeta, lua ou estrela: basta saber a massa (M) desse corpo, o valor de seu 
raio (d) e utilizar o valor da constante gravitacional G. Quer fazer um teste? 
Vamos calcular o valor da aceleração gravitacional no planeta Terra e depois do planeta 
Júpiter!
Dados:
Massa da Terra (M) = 5,98 x 1024 kg
Raio da Terra (d) = 6,37 x 106 m
G = 6,67x 10-11 N . m2/kg2
Resolução: 
Utilizamos a equação e substituímos os valores:
 
 g = 6,67x10-11 N.m2/kg2
Muito cuidado nessa hora! Vamos analisar cada unidade separadamente. As unidades 
das grandezas físicas se agrupam para formar novas unidades. Para descobrirmos a 
unidade de g, fazemos da seguinte forma:
N.m2/kg2
Observação: 
 f newton (N) é a unidade de força. A definição de força é massa multiplicada pela 
aceleração. Logo, essa equivale ao produto das unidades de massa (kg) e aceleração 
(m/s²): kg.m/s².
Ao fazer o cálculo, obtemos o valor numérico de g como: 9,82 m/s² aproximadamente.
O valor de g na superfície de Júpiter fica: 
Dados: 
Massa de Júpiter (M) = 1,90 x 1027 kg
Raio de Júpiter (d) = 7,14 x 107 m 
g = G
M
d2
5,98 x 1024kg
(6,37 x 106 m)
kg
(m)2
kg
(m)2
kg.m/s².m2/kg2 ⇒ m/s² ⇒ m/s²m
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kg2
kg2
m2
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alResolução: 
Utilizamos a equação e substituímos os valores:g = G
M
d2
Você também pode calcular o valor de g na Lua, no Sol, ou 
em qualquer outro corpo massivo, utilizando seus respectivos 
valores de massa e raio.
CALCULANDO O SEU PESO
Com os valores encontrados para a aceleração gravitacional, você também pode 
calcular como seria o seu peso no planeta em questão. Para ter noção do que significa 
esse valor, o peso encontrado seria a força com que você sentiria o planeta te puxando 
para baixo. 
Vamos calcular o peso de uma pessoa no planeta Júpiter. Supondo que esta pessoa 
possua uma massa de 60 kg, e a aceleração gravitacional no planeta é de 24,85 m/s², 
o peso fica:
 P = mg ⇒ P = 60 x 24,85 ⇒ P = 1.491 N
Você pode comparar esse peso com o peso que ela teria na Terra, esse vale 
aproximadamente 589,2 N. A diferença é bem grande e, certamente, seria muito mais 
difícil para essa pessoa caminhar no planeta Júpiter, pois teria que realizar um trabalho 
muito maior para deslocar o seu próprio peso! 
Agora é com você! Encontre os valores das acelerações gravitacionais dos outros 
planetas do Sistema Solar. Utilize a tabela de dados abaixo.
Planeta Massa (kg) Raio (m)
Mercúrio 3,28x1023 2,44x106
Vênus 4,86x1024 6,05x106
Terra 5,98x1024 6,37x106
Marte 6,41x1023 3,39x106
Júpiter 1,90x1027 7,14x107
Saturno 5,68x1026 5,82x107
Urano 8,68x1025 2,53x107
Netuno 1,02x1026 2,46x107
Com esses valores, você pode calcular o seu peso em cada planeta. E aí, qual deles 
você teria coragem de visitar?
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al GRAVIDADE: LATITUDE E LONGITUDE
O valor de g não é o mesmo em todos os 
pontos da superfície da Terra. Existem 
diferenças em determinadas latitudes e 
longitudes.
O valor de g está associado ao raio da 
Terra:
Sabemos que a Terra não é uma esfera perfeita e, portanto, não possui um raio 
constante para todos os pontos de sua superfície. Seu raio é maior à medida em que a 
latitude diminui. Quanto menor for o valor da latitude, mais próximos estamos da linha 
do Equador e mais distante estamos do centro da Terra. Dessa forma, o valor de g será 
menor do que em um local em que o valor da latitude é mais alta. 
A altitude também influencia o valor da gravidade. Por exemplo, no topo das montanhas 
mais altas o valor de g é menor, pois esse ponto está mais distante do centro da Terra.
Considerando a altura em que um objeto está situado, pode-se calcular g como:
Qual o local mais apropriado da superfície da Terra para lançar um 
foguete para o espaço? 
As bases de lançamento de foguetes ficam em lugares estratégicos na superfície 
terrestre. Próximo à linha do Equador é o local ideal, pois o valor de g é o menor possível. 
E o fato de o valor de g ser menor facilita muito a saída do foguete da Terra, pois ele 
precisará vencer uma gravidade menor e, consequentemente, economizará mais 
combustível. 
No Brasil, temos o Centro de Lançamento de Alcântara, localizado em Alcântara, no 
estado do Maranhão. A cidade fica localizada bem próxima à linha do Equador.
 
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alIMPONDERABILIDADE
A noção intuitiva que temos do nosso peso está relacionada à sensação que temos de 
sermos pressionados contra uma superfície - e não à aceleração gravitacional em si. 
Se você subir em uma balança (considerando que ela esteja em um plano horizontal), 
você estará exercendo sobre ela uma força e, de acordo com a terceira lei de Newton, a 
balança exercerá sobre você uma força normal de reação. 
Tome cuidado para não considerar que a força normal da balança e o seu peso formam 
um par ação e reação! A reação do peso é exercida por nós sobre o centro da Terra. 
A força normal que a balança exerce sobre nós é uma reação da força de contato que 
exercemos sobre a balança.
Quando não somos sustentados por uma 
superfície, estamos em um movimento 
de queda livre. Todo corpo sobre o qual 
está sendo exercida apenas a aceleração 
gravitacional experimenta de uma 
sensação denominada imponderabilidade. 
É essa a sensação que os astronautas 
experimentam dentro de uma estação 
espacial em órbita. 
Sem uma sustentação, eles estão em queda livre constante e têm uma sensação de “peso 
zero”. Nesse estado de imponderabilidade, eles não conseguem usufruir da sensação 
agradável de seus corpos pressionados contra um colchão após um dia exaustivo. Essa 
sensação que temos ao descansar é proporcionada pela sustentação de uma cama em 
decorrência da atração gravitacional que sofremos.
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Newton, brilhantemente, reconheceu que a força que faz os 
objetos caírem possui a mesma natureza da força que faz 
com que os planetas do Sistema Solar orbitem o Sol. Sua 
Lei da Gravitação Universal nos diz que todos os corpos 
massivos que existem se atraem e a força gravitacional entre 
dois corpos é diretamente proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Como vimos 
anteriormente, essa força é dada pela equação:
Ela nos diz que quanto maiores forem as massas dos corpos e menor for a distância 
entre eles, maior será aforça gravitacional que um exerce sobre o outro. 
A força gravitacional é uma das quatro interações fundamentais da natureza, sendo 
as outras três: eletromagnética, nuclear forte e nuclear fraca. Das quatro, a força 
gravitacional é a mais fraca.
Escultura de Isaac Newton na 
Biblioteca Britânica, em Londres.
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al Mesmo que dois corpos estejam a uma distância extremamente longa um do outro, 
ainda existirá, por menor que seja, uma atração gravitacional entre eles. Por exemplo: 
não sentimos os efeitos da atração gravitacional de Netuno, mas ainda assim somos 
atraídos (mesmo que muuuito fracamente) pelo planeta, da mesma forma com que nós 
o atraímos. Todo corpo que possui massa exerce atração (e é atraído) pelos outros.
A Gravitação Universal explica por que a Terra - e outros 
planetas - apresentam um formato arredondado. Isso 
acontece porque as próprias partes da Terra se atraem entre si 
- cada parte de sua superfície está praticamente equidistante 
do centro de gravidade do planeta devido ao fato de as partes 
externas da Terra serem atraídas “para dentro” do planeta. 
Corpos muito massivos exercem sobre suas camadas mais externas uma força 
gravitacional suficientemente grande para manter uma distribuição quase regular de 
massa ao longo da superfície. A consequência disso é o formato esférico de grandes 
corpos celestes (uma esfera perfeita possui todos os pontos de sua superfície a uma 
mesma distância do centro).
CAMPOS GRAVITACIONAIS
O campo gravitacional de um corpo é um exemplo de campo de força, onde um corpo 
que esteja situado dentro dele acaba sentindo uma força sendo exercida sobre ele. 
Dessa forma, o Sol consegue atrair a Terra e a Terra consegue atrair a Lua, de maneira 
que não é necessário haver um contato direto entre os corpos para que exista uma força 
entre eles. Outro exemplo de campo de força, conforme você irá estudar posteriormente, 
é o campo magnético de um ímã.
A intensidade do campo gravitacional de um corpo se comporta de maneira semelhante 
à da força gravitacional desse corpo sobre um outro corpo: vai diminuindo à medida em 
que a distância aumenta. 
O campo gravitacional de um corpo, como o da Terra, é representado por linhas de 
campo, como na figura abaixo:
O sentido das setas indica o sentido do campo gravitacional. 
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alSATÉLITES
Os satélites - naturais e artificiais - são exemplos 
de projéteis, aqueles corpos que vimos em 
cinemática e que tinham a característica de serem 
lançados e seguirem o movimento devido à sua 
própria inércia. São chamados de satélites os 
corpos que “caem ao redor” de um corpo maior, 
ao invés de para dentro dele. 
Um satélite que orbita a Terra está constantemente caindo, mas nunca atinge a 
superfície devido à sua enorme velocidade tangencial: sua distância de queda se 
adapta à curvatura da Terra. Pelo mesmo motivo, os planetas do Sistema Solar estão 
constantemente caindo ao redor do Sol, mas nunca o atingem devido às suas enormes 
velocidades tangenciais. 
Se você arremessasse uma pedra com certa velocidade, ela poderia muito bem se 
tornar um satélite. Essa ideia já havia sido argumentada por Newton em O Sistema do 
Mundo: “Quanto maior é a velocidade ... com a qual (uma pedra) é lançada, mais longe 
ela irá, antes de cair sobre a Terra. Podemos supor, portanto, que se a velocidade fosse 
tão aumentada que descrevesse um arco de 1, 2, 5, 10, 100, 1.000 milhas até alcançar 
a Terra, finalmente excederia os limites do planeta e passaria ao espaço sem tocá-lo.”. 
Isso foi representado pelo próprio Newton em uma ilustração, representada abaixo:
Na órbita circular de um satélite ao redor da Terra, 
sua velocidade é sempre perpendicular à força 
gravitacional da Terra sobre o satélite. Dessa forma, 
o módulo da velocidade não é alterado, apenas a sua 
orientação. 
À medida em que aumenta a altitude de um satélite 
em relação à superfície da Terra, a velocidade 
orbital diminui e o período para completar uma volta 
aumenta. Um satélite que orbita a cerca de 5,5 vezes 
o raio da Terra acima da superfície, possui um período 
de 24 horas, que coincide com o próprio período 
de rotação da Terra. Já a Lua, que está ainda mais 
distante, apresenta um período de cerca de 27,3 dias.
A velocidade v de um satélite em órbita circular 
é encontrada da seguinte forma: consideramos a 
força centrípeta (lembre-se do movimento circular, 
estudado na dinâmica!) e igualamos à força 
gravitacional: 
Note que o vetor velocidade 
é perpendicular ao vetor força 
gravitacional.
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al E o período T do movimento do satélite é dado por:
Nas equações apresentadas, d corresponde à distância do satélite ao centro da Terra 
(ou do corpo que o satélite orbita), m é a massa do satélite e M é a massa da Terra (ou 
do corpo orbitado).
VELOCIDADE DE ESCAPE
Como os foguetes e satélites conseguem sair do planeta Terra? A ideia de velocidade 
de escape está relacionada ao fato de um objeto conseguir sair do planeta, ou seja, 
conseguir escapar, vencendo a gravidade. E para isso, é necessário um determinado valor 
mínimo de velocidade. Não é com qualquer valor de velocidade que você conseguiria 
sair da Terra: se você dar um pulo, certamente retornará ao chão, pois a sua velocidade 
não será alta o suficiente para te fazer vencer a gravidade.
Considere um projétil de massa m deixando a superfície do planeta. O projétil possui 
uma energia cinética EC = ½ mv² e uma energia potencial EP = mgh. A energia potencial 
precisa ser reorganizada, pois, se você se lembrar da discussão do início da apostila, 
temos que o valor g vale g = GM/d². Então, a energia potencial fica com uma cara nova:
Em que:
 f Adotamos o sinal negativo pelo fato de o projétil estar se movendo no sentido 
contrário ao da gravidade, adotando-se o sistema de referência para baixo como 
sendo positivo; 
 f A altura h se transformou em r, pois estamos considerando uma distância radial r do 
centro da Terra, e para simplificarmos a equação, ela ficará em sua forma final como:
Podemos agora levar em consideração a conservação de energia e que a energia 
mecânica de um corpo lançado a uma “distância infinita” seria nula, para escrever a 
seguinte equação:
em que v é a velocidade de escape. Perceba que a velocidade de escape para um 
determinado planeta não depende da massa do objeto a ser lançado.
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alPara a Terra, substituindo os valores na equação de v, podemos perceber que a velocidade 
de escape é de aproximadamente 11,3 km/s, ou 40.000 km/h. Objetos lançados com 
velocidades superiores a essa velocidade conseguirão escapar da Terra.
ANOTAÇÕES