Esforços em Lajes de Pontes

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PROJETO DE PONTES
Prof. Ralf Klein, M.Eng.
ESFORÇOS SOLCITANTES EM
LAJES DE PONTES
Esforços Solicitantes em lajes de pontes
1. Introdução
2. Superfícies de influência
3. Método de Rüsch
� Esquema estrutural das lajes da ponte
� Cargas nas lajes
� Parâmetros necessários a utilização das tabelas de Rüsch
� Tabelas de Rüsch
� Momentos fletores máximos nas lajes isoladas
� Correção dos momentos fletores nas lajes na direção do 
tráfego
� Combinação das ações, momentos fletores de 
cálculo(Md), envoltória de Md
4. Referências
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ES em lajes de pontes
Introdução
� Lajes (placas) de pontes
� Concreto Armado (CA)
� Concreto Protendido (CP)
� Admite-se placas isotrópicas
� Embora geralmente se tenha armaduras ≠ nas 2 direções
� ES pela teoria da elasticidade
� Principais ES em lajes de pontes
� Rodas de veículos
� Posicionamento mais desfavorável do Trem-Tipo (TT)Pr
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ES em lajes de pontes
Introdução
Tabelas para o cálculo de ES em 
lajes
� Marcus, Czerny, Bares não são 
adequadas às lajes de pontes.
� Posicionamento mais desfavorável 
do TT ?
� Muitos casos de carregamento.
Programas computacionais para o 
cálculo de ES em lajes
� Modelagem
� Grelha
� Elementos finitos
� Posicionamento mais desfavorável 
do TT ?
� Muitos casos de carregamento.
Programas computacionais para 
análise estrutural de pontes
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Superfícies de influência
Procedimento das superfícies de influência
� Semelhante ao das Linhas de Influência (LI) em barras
� Auxiliam no posicionamento mais desfavorável das cargas móveis
� Fornecem o ES numa determinada seção da laje produzido por uma 
carga unitária aplicada em outro ponto qualquer da laje
� M(seção) = P * yA (yA – ordenada da superfície de influência)
� Simples, porém, envolve bastante trabalho numérico de cálculo
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Superfícies de influência
� Devido ao Teorema de Maxwell da reciprocidade dos 
deslocamentos e do Princípio da Superposição de Efeitos, 
válidos para todos os corpos elásticos que seguem a Lei de 
Hooke, para as placas elásticas vale:
� A superfície defletida devido à uma carga concentrada 
aplicada em um ponto da placa, é a própria superfície de 
influência da deflexão no ponto de aplicação da carga.
� A(u,v) – Ponto em estudo.
� P(x,y) – Ponto qualquer na placa.
� K(u,v,x,y) – Equação da deflexão da placa.
� w(u,v) = Σ Pi.K(u,v,xi,yi)
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Superfícies de influência
Utilização das superfícies de influência para determinação de 
momentos fletores e torsores e forças cortantes.
� Sendo as ordenadas da superfície de influência: χ(u,v;x,y)
� Momento para uma carga concentrada: Pi(xi,yi)
� Momento para uma carga linear: p(s)
� Momento para uma carga de superfície: p(x,y)
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Superfícies de influência
Utilização das superfícies de 
influência
� TT para pontes.
� Superfície de influência de 
laje, representada pela 
projeção das curvas de nível 
no plano da laje (Pucher, 
1964).
� Posiciona-se o TT de 
maneira a obter os maiores 
esforços solicitantes.
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Superfícies de influência
� A forma da superfície de 
influência da placa depende 
de três fatores:
� Tipo de Esforço 
Solicitante (ES) 
considerado e do ponto 
da placa em análise.
� Forma da placa.
� Condições de vínculo da 
placa.
� Perspectiva da superfície de 
influência do momento fletor 
na seção do meio do vão de 
uma laje isotrópica 
retangular, simplesmente 
apoiada nos quatro lados 
(Pucher, 1964).
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Superfícies de influência
� Formas típicas das superfícies de influência das lajes, 
conforme o ES, representadas pelas projeções das curvas de 
nível no plano da laje (Pucher, 1964).
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Superfícies de influência
� Como as cargas móveis em placas tem aplicação 
principalmente em lajes de pontes, foram desenvolvidas 
tabelas de influência para os trens-tipo usuais de pontes. 
Como exemplo temos as tabelas de Rüsch , atualmente, ainda, 
utilizadas para a determinação dos ES de lajes de pontes.
� Entretanto, para sistemas de
cargas móveis não usuais
(não existem tabelas de influência),
as superfícies de influência, 
são uma opção para estudar
o problema.
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Método de Rüsch
Método de Rüsch
� Adaptou o procedimento das superfícies de influência para tabelas: 
Tabelas de Rüsch.
� Condições de contorno da laje.
� TT a ser utilizado.
� Geometria do TT da Norma Brasileira ≡ Geometria do TT da 
Norma Alemã.
Importância das tabelas de Rüsch
� Fornece os ES numa seção para o posicionamento mais 
desfavorável do TT.
� Dispensa a utilização de programas computacionais, que são 
caros e exigem conhecimentos de análise matricial e ou elementos 
finitos.
� Utilização simples, rápida, econômica.
� Conferência dos resultados obtidos com programas 
computacionais.
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Método de Rüsch
Exemplo de aplicação
� Objetivo: envoltórias de momentos fletores nas lajes para 
dimensionamento das lajes.
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Método de Rüsch
� Condições de contorno das lajes conforme 
Tabelas de Rusch.
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Cargas nas lajes
� Cargas permanentes nas lajes (g)
� Peso próprio = 0,20m x 25 kN/m3 = 5,0 kN/m2
� Revestimento = 0,085m x 24 kN/m3 = 2,0 kN/m2
� Recapeamento = 2,0 kN/m2
� Cargas móveis nas lajes (p)
� TT a utilizar
� Ponte Classe 45 (por ex.)
� Veículo-tipo 45
� Peso total do veículo = 45 tf = 450 kN
� Nº de rodas = 6
� Peso por roda = 450 kN ÷ 6 rodas = 75 kN/roda
� p = 5 kN/m2
Método de Rüsch
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Método de Rüsch
Momentos fletores devido às cargas permanentes (M g).
� Mg = k . g . (lx)2
� k – Coeficiente extraído das tabelas de Rüsch.
� g – Cargas permanentes na laje (kN/m2).
� lx – Comprimento da dimensão da laje na direção X (m).
Momentos fletores devido às cargas de tráfego (M p).
� Mp = [ kL * P + ( kp + kp’ ) p ] ϕ
� kL, kp, kp’ – Coeficientes extraídos das tabelas de Rüsch.
� P – Peso de cada roda do veículo do TT (kN).
� p – Carga uniformemente distribuída do TT (kN/m2).
� ϕ – Coeficiente de impacto.
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Método de Rüsch
� Parâmetros necessários à utilização das tabelas de Rüsch
Fonte: El Debs, Takeya (2009).
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Método de Rüsch
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Método de Rüsch
� Momentos fletores característicos nas lajes, corrigi dos.
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Método de Rüsch
Correção dos momentos fletores nas lajes na direção do tráfego.
� Consideração da continuidade das lajes.
� Consideração de cargas de tráfego.
Mpc – Momento fletor na direção do tráfego, devido às cargas móveis, 
corrigido.
lx – Dimensão da laje (em m), na direção do tráfego.
α0 – Valor tabelado que depende do tipo de placa e da relação ly / lx.
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Método de Rüsch
Combinação das ações, momentos fletores de cálculo ( Md), 
envoltória de momentos fletores.
� NBR 8681:2003 - Ações e segurança nas estruturas
� Combinações últimas normais
� Em cada combinação última normal, uma das ações variáveis é 
considerada como a principal admitindo-se que ela atue com seu valor 
característico Fq1,k , as demais ações variáveis são consideradas como 
secundárias admitindo-se que elas atuem com seus valores reduzidos de 
combinação ψ0j.Fqj,k
� Fd = ∑ γ
�
��� gi.Fgi,k + γq. ��1, 
	 + 	∑ ψ0�. ���, 
�
���
� Coeficientes de ponderação para as ações
� Majoram ou minoram os valores representativos das ações.
� Ações permanentes diretas agrupadas: γg = 1,35
� Ações variáveis consideradas conjuntamente: γq = 1,50
� Md = 1,35.Mg + 1,50.Mp
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Método de Rüsch
Combinação das ações, momentos fletores de 
cálculo (M d), envoltória de momentos fletores
(cont.)
� Havendo, sobre os apoios, momentos de cálculo com valores 
diferentes, adota-se o maior dos seguintes valores:
� 80% do maior
� Média dos valores
� Corrigir M positivo
� Isto não se aplica às lajes em balanço.
� Atribuir MA= 0,5.MB
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Método de Rüsch
L1 L2 L2 ...
Mte Mtm Mte Mte Mtm Mte Mte Mtm Mte ...
Momentos fletores de cálculo, nas lajes, na direção do tráfego.
L3 L1 (L2) L3
Mnm Mne Mne Mnm Mne Mne Mnm
Momentos fletores de cálculo, na direção normal ao tráfego.
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Método de Rüsch
Traçado da envoltória de momentos fletores na direção do tráfego.
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Método de Rüsch
Envoltória de momentos fletores na direção do tráfego.
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Método de Rüsch
Traçado da envoltória de momentos fletores na direção normal ao 
tráfego.
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Esforços solicitantes em lajes de pontes
Referências
� EL DEBS, Mounir Khalil e TOSHIAKI, Takeya. Introdução às pontes de 
concreto . Texto provisório da disciplina. São Carlos: Escola de 
Engenharia de São Carlos, USP, 2009.
� LORIGGIO, Daniel Domingues. Placas e lajes de concreto armado . 
Notas de aula da disciplina. Florianópolis: Universidade Federal de Santa 
Catarina, 2006.
� MASON, Jaime. Pontes em concreto armado e protendido . Rio de 
Janeiro, LTC, 1977.
� PFEIL, Walter. Pontes em concreto armado : elementos de projeto, 
solicitações, superestrutura, vol.1. 4.ed. Rio de Janeiro, LTC, 1990.
� PUCHER, Adolf. Einflussfelder elastischer Platten . 3.ed. Viena: 
Springer, 1964.
� RÜSCH, Hubert. Berechnungstafeln für rechtwinklige Fahrbahnplatten
von Strassenbrücken . 6.ed. Berlin: Wilhelm Ernst & Sohn, 1965.
� TIMOSHENKO, S. P. e WOINOWSKY - KRIEGER, S. Theory of plates 
and shells . 2.ed. Tokyo: McGraw-Hill, 1959.
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