Material de Cálculo I (Integral Definida Por Substituição e por Partes 02) (2)

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D
x
1
x
MEC – SETEC
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA DO PARÁ CAMPUS BELÉM – IFPA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
2
x
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Me. Everaldo Raiol da Silva
Aluno (a): _____________________________ Data:___/___/____
Estudo da Integral de Função de Uma Variável Real
1. Área sob uma curva (função)
3
x
Seja f uma função positiva e x = a e x = b duas retas que interceptam o gráfico dessa função. Vamos definir um método para o cálculo da área compreendida por f (x), x = a, x = b e o eixo das abscissas.
1
x
Primeiramente vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, de comprimento 
, ou seja: 
ba
x
n
-
D=
. Sejam 
012n
xaxx,...xb
=<<<<=
 os pontos dessa divisão. Em cada um desses subintervalos vamos escolher pontos quaisquer 
(
)
xi
x
. Sendo assim, 
1
x
 pertence ao primeiro intervalo, 
2
x
 pertence ao segundo intervalo, 
3
x
 pertence ao terceiro intervalo e assim por diante. Veja figura (em tamanho exagerado) para dois subintervalos consecutivos:
Notemos que a altura de cada retângulo é dado pela valor numérico da função para o respectivo 
x
. Sendo assim, para calcularmos a área de um retângulo qualquer, devemos multiplicar o comprimento da sua base (
x
D
) pela sua altura 
(
)
n
x
f
. Chamando a área do primeiro retângulo de A1, a do segundo de A2 e assim por diante, até a área An, do triangulo contido no ultimo intervalo, temos:
(
)
(
)
(
)
(
)
11
22
33
nn
Ax.
Ax.
Ax.
Ax.
f
f
f
f
=Dx
=Dx
=Dx
=Dx
MM
Podemos imaginar (lembrando do problema inicial do videogame) que para calcularmos a área sob a curva, basta somarmos todas as áreas dos n retângulos contidos no intervalo [a, b]. Sendo assim:
(
)
(
)
(
)
(
)
123
...
ffff
n
Axxxx
=D×x+D×x+D×x++D×x
Que também pode ser escrito com o auxílio de somatórios, como se segue. 
(
)
1
f
n
n
i
Ax
=
=xD
å
É importante que o aluno note que sempre haverá uma diferença entre a área real e a área calculada por este método, sendo esta diferença tanto menor quanto maior for o número de retângulos, em outras palavras, quanto menor o tamanho de cada subintervalo. A partir de agora faremos a definição formal de Integral Definida.
No início consideramos que todos os subintervalos n tinham mesmo tamanho 
x
D
, mas não há essa necessidade, como provou o matemático Alemão G. F. B. Riemann. Sendo assim, podemos definir o somatório acima como se segue:
Seja f definida em um intervalo fechado [a, b], e seja P uma partição (divisão em subintervalos de tamanhos não necessariamente iguais, desde que o maior tenda à zero) de [a, b]. A soma: 
(
)
1
f
n
ii
i
Ax
=
=xD
å
. É conhecida como a soma de Reimann.
2. A Integral Definida (de Reimann)
Se o limite 
(
)
0
1
lim
P
f
®
=
xD
å
n
ii
i
x
 existe, então a função f é dita integrável em [a, b]. Se f é integrável, então a integral definida (de Riemann) de f no intervalo [a, b] é definida por: 
(
)
(
)
0
1
lim
®
=
=xD
å
ò
b
n
ii
P
i
a
xdxx
ff
(leia-se: integral definida de b até a de f (x) dx)
3. Teorema fundamental do Cálculo
Suponhamos que f seja uma função contínua sobre o intervalo fechado [a, b] e que 
f(x)dxf(x)C
×=+
ò
, então:
b
a
f(x)dxf(b)f(a)
×=-
ò
4. Regras para Integrais Definidas
Sejam f e g, funções contínuas no intervalo 
axb
££
. Nesse caso temos.
1
x
1.
Regra da multiplicação por uma constante: 
(
)
(
)
bb
aa
KfxdxKfxdx
=
òò
, onde k é uma constante.
2.
Regra da soma: 
[
]
bbb
aaa
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
+=+
òòò
3.
Regra da diferença: 
[
]
bbb
aaa
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
-=-
òòò
4.
b
a
f(x)dx0
=
ò
5.
ab
ba
f(x)dxf(x)dx
=-
òò
6.
Regra da subdivisão: 
bcb
aac
f(x)dxf(x)dxg(x)dx
=+
òòò
Questões de Integral definida Método por Substituição
01) Calcular as integrais (definidas) abaixo:
01) 
(
)
2
32
0
x3x1dx
-+
ò
 R: -2 02) 
(
)
0
2
4
12xxdx
--
ò
 R: 
100
3
03) 
8
2
4
(y1)dy
y2y3
-×
--
ò
 R: 0,77 04) 
2
2
32
1
ydy
(y1)
×
+
ò
 R: 
7
54
05) 
4
0
dx
6x1
+
ò
 R: 
4
3
 06) 
3
0
2
(x3)dx
x6x4
+×
++
ò
 R: 
3,57
07) 
1
22
1
(3x6)dx
(x4x5)
-
+×
++
ò
 R: 
3
5
 08) 
2
22
1
(3x6)dx
(2x8x3)
+×
++
ò
 R: 
7
234
09) 
1
342
0
(xx)x2x1dx
éù
+++
êú
ëû
ò
 R: 
7
6
 10) 
5
0
dx
x1
+
ò
 R: Ln (6)
11) 
2
2
1
xx1dx
×+×
ò
 R: 2,78 12) 
0
5
3dx
4x5
×
+
ò
 R: 
4,83
-
13) 
1
2
0
6
dx
x1
×
+
ò
 R: 
3
2
p
 14) 
2
2
0
4
dx
4x
×
+
ò
 R: 
2
p
15) 
1
2x
0
edx
ò
 R: 3,20 16) 
3
t
1
3edt
ò
 R: 52,10
17) 
1
xx15
0
e(e1)dx
+
ò
 R: 2.10 18) 
1
xx12
0
e(e1)dx
--
+
ò
 R: 0,82
19) 
e
5
1
xLn xdx
××
ò
 R: 56,1 20) 
2
1
xlnxdx
××
ò
 R: 0,82
21)
[
]
3
4
0
1sen(2x)cos(2x)dx
p
+
ò
 R: 
15
81
 22) 
3
2
3
sen(x)dx
p
p
×
ò
 R: 
11
24
23)
(
)
2
0
sen(x)cos(x)dx
p
+
ò
 R: 
p
 24) 
3
6
0
cos(x)dx
p
×
ò
 R: 
11
24
25) 
3
π
2
π
2
sen xdx
×
ò
 R: 0 26) 
(
)
2
0
sen3x.dx
p
ò
 R: 
1
3
27) 
2
2
0
x
secdx
3
p
æö
ç÷
èø
ò
 R: 
3
 28) 
π
2
3
π
4
secxdx
-
×
ò
 R: 
31
+
29) 
0
cos(3t)dt
p
×
ò
30) R: 0 30) 
π
2
π
6
cossec(x)cotg(x)dx
××
ò
 R: 1
5. Integral Por Partes
Este método de integração se aplica a uma grande variedade de funções e é particularmente útil para integrandos envolvendo produtos de funções algébricas e transcendentais. Por exemplo, integração por partes funciona bem para integrais como:
1) 
xLn(x)dx
×
ò
 2) 
2x
xedx
ò
 e 3) 
x
esen(x)dx
ò
Tomando como ponto de partida a Derivação pela Regra do Produto, onde temos as funções f(x) e g(x).
x
[
]
()()'()'()()()'
×=×+×
fxgxfxgxfxgx
 (Regra do Produto)
y
[
]
()()'()()'()'()
×=×-×
fxgxfxgxfxgx
 (Reescrevendo a expressão)
(
)
1
x
f
[
]
()()'()()'()()'
××=×-××
òòò
fxgxdxfxgxgxfxdx
 (Integrando ambos os lados)
(
)
2
x
f
{
{
{
{
()()'()()()()'
××=×-××
òò
1424314243
uuvv
dvdu
fxgxdxfxgxgxfxdx
(Resultado da Integração por partes e passando para
forma diferencial obtemos)
1
x
×=×-×
òò
udvuvduv
 onde: 
()()'
()()'
=®=×
ì
í
=®=×
î
ufxdufxdx
vgxdvgxdx
2
x
Desta obtemos temos 
×=×-×
òò
udvuvvdu
Integração por Partes com u e v funções diferenciáveis de x. Ao aplicarmos esta técnica devemos separar o integrando em duas partes, u e dv, levando em conta duas diretrizes:
3
x
1) A parte escolhida como dv deve ser facilmente integrável 
e u deve ser facilmente derivável.
2) 
vdu
×
ò
 deve ser mais simples do que 
udv
×
ò
.
Se combinarmos a fórmula de integração por partes com o Teorema da Integral definida, podemos avaliar integrais definidas por partes da seguinte forma:
1
x
[
]
aa
a
b
bb
()()'()()()()'
××=×-××
òò
fxgxdxfxgxgxfxdx
x
Desta obtemos temos 
aa
a
b
bb
×=×-×
òò
udvuvvdu
Questões de Integral Definida Método por Partes
01) Calcular as integrais (definidas) abaixo:
01) 
1
x 
0
xedx
×
ò
R: 1
02) 
1
0,2x 
0
xedx
×
×
ò
R: 
1
5
2520e
-
03) 
1
2
0
2x+12
e(x1)dx
+
ò
R: 
2
6ee
8
-
04) 
1
2x x 
0
x(ee)dx
--
+
ò
R: 
2
2
3e8e3
4e
--
05) 
2
(1t) 
1
(t1)edt
-
-
ò
R: 
e2
e
-
06) 
e
3
1
xLn(x)dx
-
××
ò
R: 
2
2
e3
4e
-
07) 
2
2
1
(12x)Ln(xx)dx
++
ò
 
R: 7,36
08) 
1
2
e
1
xLn(x)dx
-
××
ò
R: 
2e4
-+
09) 
2
e
3
1
xLn(x)dx
××
ò
R: 
4
1
(3e1)
12
+
10) 
e
2
1
2
tLn(2t)dt
××
ò
R: 
2
1
(e1)
16
+
11) 
2
1
xLn(x)dx
××
ò
R: 
3
Ln(4)
4
-
12) 
0
4
x12xdx
-
×-×
ò
R: 
298
15
-
13) 
4
0
x4xdx
×-×
ò
R: 
12815
14) 
4
1
y
dy
24y
×
+
ò
R: 
3
2
2
15) 
4
1
y
dy
y2
-
×
+
ò
R: 
10
3
16) 
1
9
y
dy
45y
-
-
×
-
ò
R: 
536
75
-
17) 
2
0
x
dx
4x1
×
+
ò
R: 
5
6
18) 
3
1
2
2
(2x1)(x3)dx
-
++
ò
R: 
370
35
19) 
(
)
2
0
xcosxdx
p
×
ò
R: 
1
2
p
-
20) 
x
2
0
ecos(x)dx
p
××
ò
R: 
2
1
(e1)
2
p
-
21) 
(
)
2
2x
0
esen3xdx
p
-
×
ò
R: 
0,2374
»
22) 
(
)
2
2
0
xsen2xdx
p
×
ò
R: 
2
4
8
p-
23) 
(
)
1
x
0
esenxdx
×
ò
R: 
0,909
»
24) 
1
2
2
0
xarc.sen(x)dx
×
ò
 
R: 
π6312
24
+-
25) 
1
2
0
xarc.tg(x)dx
×
ò
R: 
π1
Log(2)
84
-
02). Calcular a área por integrais abaixo:
y
01) Calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x3 e o eixo x no intervalo [0, 2] R: 4 u.a
(
)
1
x
f
02) Calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x2 e o eixo x no intervalo [0, 3]. R: 9 u.a
(
)
2
x
f
03) Calcule a área sob o gráfico de f(x) = 100 - x2 no intervalo [0, 10]. R: 
2000
3
 u.a
04) Determinar a área das seguintes regiões, utilizando integral definida, representadas nos gráficos a seguir:
a) 
R: 
53
 u.a
b) 
R: 15 u.a
6. Cálculo de área entre duas curvas
Em certos problemas práticos, pode ser interessante representar uma grandeza de interesse na forma de área entre duas curvas. Nesse caso, para determina á área da região A entre as curvas 
yf(x)
=
 e 
yg(x)
=
, no intervalo 
axb
££
, simplesmente subtraímos a área sob a curva de baixo 
yg(x)
=
da área sob a curva de cima 
yf(x)
=
, conforme figura abaixo.
[
]
[
]
ÁreaAárea sob a curva yf(x)área sob a cu
rva yg(x)
==-=
[
]
bbb
aaa
f(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx
×-×Þ-
òòò
Questões de Cálculo de áreas entre curvas
01) Determine a área entre as curvas em cada caso abaixo.
1) A é a região limitada pelas retas 
yx
=
, 
yx
=-
 e 
x1
=
.
R: 1 u.a.
2) A é a região limitada pelo eixo x e a curva 
2
yx4x3
=-+-
R: 
4
3
 u.a.
3) A é a região limitada pelas curvas 
2
yx2x
=-
 e o eixo x.
R: 
4
3
 u.a.
4) A é a região limitada pelas curvas 
2
yx2x
=-
 e 
2
yx4
=-+
.
R: 9 u.a.
5) A é a região limitada pelas curvas 
32
yx3x
=-
 e 
2
yx5x
=+
. R: 
443
6
 u.a.
6) A é a região limitada pelas curvas 
yxx
=+
 e o eixo x e as retas 
x1
=
 e 
x4
=
. R: 
73
6
 u.a.
7) A é a região limitada pelas curvas 
2
yx3x
=-
 e a reta 
yx4
=+
. 
R: 36 u.a.
8) A é a região limitada pelas curvas 
4
y
x
=
 e a reta 
yx5
=-+
.
R: 
15
8Ln(2)
2
-×
 u.a.
9) A é a região limitada pelas retas 
2
yx
=
, 
2
yx
=-
 e 
x1
=
.
R: 
10) A é a região limitada pelas curvas 
2
1
y
x
=
 e pelas retas 
yx
=
 e 
x
y
8
=
.
R: 
 Bom Estudo!!!!!!
AULA O2
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
3
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