Integrais_09_Integração_por_partes

Prévia do material em texto

Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Integração por partes 
Sabe-se que 
𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢 (𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜) 
Logo 
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢 
E, portanto, 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫(𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢) = ∫ 𝑑(𝑢𝑣) − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
Podemos entender a integração por partes como uma técnica de integração que 
troca uma integral difícil por duas integrais mais fáceis. 
Em geral é uma integração de um produto de funções, mas que não se consegue 
resolver com as técnicas já estudadas, e temos que escolher quem será o 𝑢 e o 𝑑𝑣 . 
Sabendo quem é o 𝑢, calcule o 𝑑𝑢(é só derivar). Sabendo quem é o 𝑑𝑣 , calcule o 𝑣 
aplicando uma técnica de integração que já estudamos (essa deve ser a primeira 
integral mais fácil a se fazer). 
Dica: escolha para o 𝑑𝑣 a função do produto mais complexa (ou difícil) de integrar 
entre as duas, porém com uma integral fácil de calcular ou com integral imediata. 
Observação: consulte as tabelas de derivadas, de integrais e de identidades 
trigonométricas nas resoluções. 
1) ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 𝑑𝑥 
Produto de funções. Quem será o 𝑢 ? e o 𝑑𝑣? 
A função 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 é a mais difícil de integrar entre as duas do produto, mas não é uma 
integral difícil. 
Então a escolha será: 
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 (𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑑𝑢) 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑣 
Mudança de variável 
𝑧 = 𝑎𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑎𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑧
𝑎
= 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑧
𝑑𝑧
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑑𝑥 =
1
𝑎
(−𝑐𝑜𝑠𝑧) =
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 ⇒ 𝑣 =
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥) − ∫
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 
Continuando a resolução 
1) ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥) − ∫
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 =
−𝑥
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 +
1
𝑎
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 
Agora calculamos a segunda integral mais simples com uma das técnicas já 
estudadas 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑧 = 𝑎𝑥 ⇒ 𝑑𝑧 = 𝑎𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑧
𝑎
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑑𝑧
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑧 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 
Concluindo o exercício 
1) ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥) − ∫
−1
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥
=
−𝑥
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 +
1
𝑎
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 =
−𝑥
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 +
1
𝑎
(
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥) + 𝐶
=
−𝑥
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 +
1
𝑎2
𝑠𝑒𝑛𝑎𝑥 + 𝐶 
2) ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
Atenção na escolha. 
As duas funções do produto têm grau de dificuldade igual, mas se você escolher 𝑥2 
para ser o 𝑑𝑣, a integração resultará em uma função de expoente maior dificultando 
e aumentando o seu trabalho. Observe 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
= 𝑣 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (
𝑥3
3
) − ∫
𝑥3
3
(−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥)
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 (
𝑥3
3
) +
1
3
∫ 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Como se pode ver, chegamos a uma integral mais difícil que a original, o que indica 
que a escolha feita não é boa (temos que inverter a escolha). 
Agora com a melhor escolha 
2) ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑣 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
= 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 
A integral restante ficou mais simples, mas para resolvê-la será preciso aplicar outra 
integração por partes 
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 (𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜 1). 
𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 ⇒ ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑣 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
= 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Concluindo o exercício 
2) ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2(−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) + 𝐶
= 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
3) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 
𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥 é 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜, 𝑝𝑜𝑟é𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑓á𝑐𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟. 
Mudança de variável 
𝑡 = 𝑎𝑥 ∴ 𝑑𝑡 = 𝑎𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑡
𝑎
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑡
𝑑𝑡
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑡𝑑𝑡 =
1
𝑎
𝑡𝑔𝑡 
Fórmula 7 da tabela de integrais. 
Desfazendo a substituição 
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑡
𝑑𝑡
𝑎
=
1
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑡𝑑𝑡 =
1
𝑎
𝑡𝑔𝑡 =
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥 
𝑣 =
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 (
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥) − ∫
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 
Resolvendo a integral 
∫
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 =? 
Mudança de variável 
𝑧 = 𝑎𝑥 ∴ 𝑑𝑧 = 𝑎𝑑𝑥 ∴
𝑑𝑧
𝑎
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
∫
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
∫ 𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
∫ 𝑡𝑔𝑧
𝑑𝑧
𝑎
=
1
𝑎2
∫ 𝑡𝑔𝑧𝑑𝑧 =
1
𝑎2
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑧| 
Desfazendo a substituição 
∫
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
∫ 𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
∫ 𝑡𝑔𝑧
𝑑𝑧
𝑎
=
1
𝑎2
∫ 𝑡𝑔𝑧𝑑𝑧 =
1
𝑎2
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑧| =
1
𝑎2
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑎𝑥| 
Concluindo o exercício 
3) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 (
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥) − ∫
1
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
𝑎
𝑡𝑔𝑎𝑥 −
1
𝑎2
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑎𝑥| + 𝐶 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
4) ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 ∴ 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 (𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 10 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠) 
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 
A função 𝑙𝑛𝑥 pode ser considerada uma função mais complexa, mas sua integral 
não é fácil de calcular. 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
(
1
𝑥
) 𝑑𝑥
=
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 −
1
2
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 −
1
2
(
𝑥2
2
) =
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 −
1
4
𝑥2 + 𝐶 
4) ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑙𝑛𝑥 −
1
4
𝑥2 + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
5) ∫ 𝑥3(𝑙𝑛𝑥)2𝑑𝑥 
𝑢 = (𝑙𝑛𝑥)2 ∴ 𝑑𝑢 = 2(𝑙𝑛𝑥)
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥3𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑥3𝑑𝑥 =
𝑥4
4
 
A integral da função (𝑙𝑛𝑥)2 não é fácil de calcular. Outra vantagem dessa escolha é 
que com a derivada o grau da função diminuiu. 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥3(𝑙𝑛𝑥)2𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2
𝑥4
4
− ∫
𝑥4
4
(2(𝑙𝑛𝑥)
1
𝑥
) 𝑑𝑥
=
𝑥4
4
(𝑙𝑛𝑥)2 −
1
2
∫ 𝑥3 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 
Resolvendo a integral (também com a integração por partes) 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 ∴ 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥3𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑥3𝑑𝑥 =
𝑥4
4
 
A função 𝑙𝑛𝑥 não tem integral fácil de calcular. 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥3𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑥4
4
𝑙𝑛𝑥 − ∫ (
𝑥4
4
)
1
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑥4
4
𝑙𝑛𝑥 −
1
4
∫ 𝑥3𝑑𝑥 =
𝑥4
4
𝑙𝑛𝑥 −
1
4
(
𝑥4
4
) =
𝑥4
4
𝑙𝑛𝑥 −
𝑥4
16
 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =
𝑥4
4
𝑙𝑛𝑥 −
𝑥4
16
 
Resolvendo a integral inicial 
5) ∫ 𝑥3(𝑙𝑛𝑥)2𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2
𝑥4
4
− ∫
𝑥4
4
(2(𝑙𝑛𝑥)
1
𝑥
) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
(𝑙𝑛𝑥)2 −
1
2
∫ 𝑥3 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
=
𝑥4
4
(𝑙𝑛𝑥)2 −
1
2
(
𝑥4
4
𝑙𝑛𝑥 −
𝑥4
16
) + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
6) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ cos(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
Observação: cos(2𝑥 + 1) é a função maiscomplexa, mas com integral fácil de 
calcular. 
Resolvendo a integral com uma mudança de variável 
𝑧 = 2𝑥 + 1 ∴ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑧 ⇒
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑧 
𝑣 = ∫ cos(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑧
𝑑𝑧
2
=
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑧𝑑𝑧 =
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑧 =
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1) 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1) − ∫
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
6) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1) −
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
Resolvendo a integral com uma mudança de variável 
∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 
𝑧 = 2𝑥 + 1 ∴ 𝑑𝑧 = 2𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑧
2
= 𝑑𝑥 
∫ sen(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ sen 𝑧
𝑑𝑧
2
=
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑧𝑑𝑧 =
1
2
(−𝑐𝑜𝑠𝑧) =
−1
2
𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1) 
 
Concluindo o exercício 
6) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1) −
1
2
∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = −
1
2
(
−1
2
cos(2𝑥 + 1)) 
6) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1) −
1
2
(
−1
2
cos(2𝑥 + 1)) + 𝐶
=
𝑥
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 1) +
1
4
cos(2𝑥 + 1) + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
7) ∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∴ 𝑑𝑢 =
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 
A integral da função 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 não é fácil de calcular. 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
(
1
√1 − 𝑥2
) 𝑑𝑥
=
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 
Resolvendo a integral 
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∴ 𝑑𝑥 = cos 𝑡 𝑑𝑡 
1 − 𝑥2 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡
√𝑐𝑜𝑠2𝑡
= ∫
𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡
cos 𝑡
= ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑑𝑡 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡
√𝑐𝑜𝑠2𝑡
= ∫
𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡
cos 𝑡
= ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑑𝑡
= ∫
1 − cos 2𝑡
2
𝑑𝑡
= ∫
𝑑𝑡
2
− ∫
cos 2𝑡
2
𝑑𝑡 =
1
2
∫ 𝑑𝑡 −
1
2
∫ cos 2𝑡 𝑑𝑡 =
𝑡
2
−
1
2
∫ cos 2𝑡 𝑑𝑡 
Resolvendo a integral com mudança de variável 
𝑧 = 2𝑡 ∴ 𝑑𝑧 = 2𝑑𝑡 𝑒 
𝑑𝑧
2
= 𝑑𝑡 
∫ cos 2𝑡 𝑑𝑡 = ∫ cos 𝑧 
𝑑𝑧
2
=
1
2
∫ cos 𝑧 𝑑𝑧 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑧 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑡
2
−
1
2
∫ cos 2𝑡 𝑑𝑡 =
𝑡
2
−
1
2
(
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑡) =
𝑡
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =
𝑡
2
−
1
4
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡
=
𝑡
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 
Observação: 
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑙𝑡𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠) 
Como 
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∴ 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 
1 − 𝑥2 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡 ∴ √1 − 𝑥2 = √𝑐𝑜𝑠2𝑡 = cos 𝑡 
Desfazendo a mudança de variável 
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑡
2
−
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑡 cos 𝑡 =
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥
2
−
1
2
𝑥√1 − 𝑥2 
Concluindo o exercício 
7) ∫ 𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫
𝑥2
2
(
1
√1 − 𝑥2
) 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
∫
𝑥2
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
(
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥
2
−
1
2
𝑥√1 − 𝑥2) + 𝐶
=
𝑥2
2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
4
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
1
4
𝑥√1 − 𝑥2 + 𝐶 
 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
8) ∫ 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 =
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑥2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 
A integral da função 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 não é fácil de calcular. 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥
=
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 − ∫ (
𝑥3
3
)
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
3
∫
𝑥3
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
𝑥 = 𝑡𝑔𝑦 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑦 𝑑𝑦 
1 + 𝑥2 = 1 + 𝑡𝑔2𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2𝑦 
Resolvendo a integral 
∫
𝑥3
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
𝑡𝑔3𝑦𝑠𝑒𝑐2𝑦 𝑑𝑦
𝑠𝑒𝑐2𝑦
= ∫ 𝑡𝑔3𝑦 𝑑𝑦
= ∫ 𝑡𝑔𝑦 𝑡𝑔2𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑡𝑔𝑦(1 − 𝑠𝑒𝑐2𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑡𝑔𝑦 𝑑𝑦 − ∫ 𝑡𝑔𝑦 𝑠𝑒𝑐2𝑦 𝑑𝑦
= 𝑙𝑛|sec 𝑦| − ∫ 𝑡𝑔𝑦𝑠𝑒𝑐2𝑦𝑑𝑦 
Mudança de variável 
𝑧 = 𝑡𝑔𝑦 ∴ 𝑑𝑧 = 𝑠𝑒𝑐2𝑦 𝑑𝑦 
Substituindo 
∫ 𝑡𝑔𝑦𝑠𝑒𝑐2𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑧𝑑𝑧 =
𝑧2
2
 =
𝑡𝑔2𝑦
2
 
Lembrando que 
𝑥 = 𝑡𝑔𝑦 ∴ 𝑥2 = 𝑡𝑔2𝑦 
𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥 = 1 + 𝑥2 ∴ sec 𝑥 = √1 + 𝑥2 
Então 
∫
𝑥3
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|sec 𝑦| − ∫ 𝑡𝑔𝑦𝑠𝑒𝑐2𝑦𝑑𝑦 = 𝑙𝑛|sec 𝑦| −
𝑡𝑔2𝑦
2
= 𝑙𝑛 |√1 + 𝑥2| −
𝑥2
2
 
 
Concluindo o exercício 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
8) ∫ 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 − ∫ (
𝑥3
3
)
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
3
∫
𝑥3
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 
8) ∫ 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
3
∫
𝑥3
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
3
(𝑙𝑛 |√1 + 𝑥2| −
𝑥2
2
) + 𝐶
=
𝑥3
3
 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 −
1
6
𝑥2 −
1
3
 𝑙𝑛 |√1 + 𝑥2| + 𝐶 
 
9) ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
𝑒𝑥 é 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎, 𝑝𝑜𝑟é𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑓á𝑐𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟. 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
Conclusão 
9) ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
 
10) ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 ∴ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
A integral ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 foi resolvida no exercício 9. 
10) ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2(𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥) + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
11) ∫ 𝑥3𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥3 ∴ 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥3𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − ∫ 3𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − 3 ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 
A integral ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 foi resolvida no exercício 10. 
11) ∫ 𝑥3𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − ∫ 3𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥3𝑒𝑥 − 3 ∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥
= 𝑥3𝑒𝑥 − 3(𝑥2𝑒𝑥 − 2(𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥)) + 𝐶 
 
12) ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 ∴ 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 
A função 𝑙𝑛𝑥 não tem integral imediata. 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥 (
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
12) ∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
13) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
Resolvendo a integral com uma mudança de variável 
𝑦 = 3𝑥 ∴ 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 𝑒 
𝑑𝑦
3
= 𝑑𝑥 
Substituindo 
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑑𝑦
3
=
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
(−𝑐𝑜𝑠𝑦) =
−1
3
cos 3𝑥 
 
Aplicando a técnica de integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥
= 𝑥 (
−1
3
cos 3𝑥) − ∫
−1
3
cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
−𝑥
3
cos 3𝑥 +
1
3
∫ cos 3𝑥 𝑑𝑥 
Resolvendo a integral com a seguinte mudança de variável 
𝑦 = 3𝑥 ∴ 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 𝑒 
𝑑𝑦
3
= 𝑑𝑥 
∫ cos 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑦 
𝑑𝑦
3
=
1
3
∫ cos 𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
𝑠𝑒𝑛 𝑦 =
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
Concluindo o exercício 
13) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 (
−1
3
cos 3𝑥) − ∫
−1
3
cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
−𝑥
3
cos 3𝑥 +
1
3
∫ cos 3𝑥 𝑑𝑥
=
−𝑥
3
cos 3𝑥 +
1
3
(
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥) + 𝐶 =
−𝑥
3
cos 3𝑥 +
1
9
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐶 
13) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 =
−𝑥
3
cos 3𝑥 +
1
9
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
14) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥2 ∴ 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑦 = 3𝑥 ∴ 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 𝑒 
𝑑𝑦
3
= 𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥= ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑑𝑦
3
=
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
 (− cos 𝑦) =
−1
3
cos 3𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 (
−1
3
cos 3𝑥) − ∫
−1
3
cos 3𝑥 (2𝑥) 𝑑𝑥
=
−𝑥2
3
cos 3𝑥 +
2
3
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 
Resolvendo a integral 
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 3𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑦 = 3𝑥 ∴ 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 𝑒 
𝑑𝑦
3
= 𝑑𝑥 
𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑦
𝑑𝑦
3
=
1
3
∫ cos 𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥) − ∫
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥
=
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 
Mudança de variável 
𝑦 = 3𝑥 ∴ 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 𝑒 
𝑑𝑦
3
= 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
𝑑𝑦
3
=
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
(− cos 𝑦) =
−1
3
cos 3𝑥 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
Concluindo a segunda integração por partes 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥) − ∫
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥
=
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 −
1
3
(
−1
3
cos 3𝑥)
=
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
1
9
cos 3𝑥 
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
1
9
cos 3𝑥 
Concluindo o exercício 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 (
−1
3
cos 3𝑥) − ∫
−1
3
cos 3𝑥 (2𝑥) 𝑑𝑥
=
−𝑥2
3
cos 3𝑥 +
2
3
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 
 
14) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 (
−1
3
cos 3𝑥) − ∫
−1
3
cos 3𝑥 (2𝑥) 𝑑𝑥
=
−𝑥2
3
cos 3𝑥 +
2
3
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 =
−𝑥2
3
𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
2
3
(
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
1
9
cos 3𝑥)
+ 𝐶 =
−𝑥2
3
𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
2
9
𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
2
27
cos 3𝑥 + 𝐶 
 
14) ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑥𝑑𝑥 =
−𝑥2
3
𝑐𝑜𝑠 3𝑥 +
2
9
𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +
2
27
cos 3𝑥 + 𝐶 
 
Lista do https://www.passeidireto.com/ Professor Paulo R.A. Nacaratti 
pnacaratti@hotmail.com 
15) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 = − cos 𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(− cos 𝑥) − ∫ − cos 𝑥(𝑒𝑥) 𝑑𝑥
= −𝑒𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Resolvendo a integral 
∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑒𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = sen 𝑥 
Aplicando a técnica de integração por partes novamente 
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ⇒ ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫ sen 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 
Integral idêntica a inicial 
15) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 
15) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 
 2 ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥 
15) ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(−𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥) + 𝐶 =
−𝑒𝑥 cos 𝑥
2
+
𝑒𝑥 sen 𝑥
2
+ 𝐶