Apostila - Cálculo 3 - Francisco Vilarreal

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Ca´lculo Diferencial
e Integral III
Departamento de Matema´tica
Faculdade de Engenharia
Caˆmpus de Ilha Solteira
Uiversidade Estadual Paulista
Francisco Villarreal
Ilha solteira (SP), 2011
1
Retas em IRn
Def. Um subconjunto L de IRn e´ uma reta
se existirem um ponto P0 de IR
n e um vetor
na˜o nulo u em IRn tais que
L = {P0 + tu | t ∈ IR} .
Equac¸a˜o vetorial de L
L : P = P0 + tu , (t ∈ IR) .
Equac¸o˜es parameˆtricas de L
No plano: Para P = (x, y), P0 = (x0, y0) e
u = (a, b) 6= (0, 0)
P = P0 + tu⇒
{
x = x0 + ta
y = y0 + tb
, (t ∈ IR) (I)
No espac¸o: P = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0),
u = (a, b, c) 6= (0, 0, 0)
P = P0+tu⇒


x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
, (t ∈ IR) (II)
2
Equac¸a˜o cartesiana de L
No plano: De (I) vem
 ta = x− x0 ⇒ t =
1
a
(x− x0) , se a 6= 0
tb = y − y0
e portanto{
ta = x− x0
tb = y − y0
⇒ y − y0 = b
a
(x− x0)
ou na forma geral
y =
b
a︸︷︷︸
A
x+ y0 − b
a
x0︸ ︷︷ ︸
B
⇒ y = Ax+B .
No espac¸o: De (II) vem, se a 6= 0

ta = x− x0 ⇒ t = 1
a
(x− x0)
tb = y − y0 ⇒ y − y0 = b
a
(x− x0)
tc = z − z0 ⇒ z − z0 = c
a
(x− x0)
3
Planos
Def. Um subconjunto π de IR3 e´ um plano se
existirem um ponto P0 e um vetor na˜o nulo
N em IR3 tais que (• = produto escalar)
π = {P ∈ IR3 | (P − P0) •N = 0} .
Equac¸a˜o cartesiana de π. Se P = (x, y, z),
P0 = (x0, y0, z0) e N = (A,B,C) temos
(x− x0, y − y0, z − z0) • (A,B,C) = 0
⇓
A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0
e portanto
π : Ax+By + Cz +D = 0
sendo D := −Ax0 −By0 − Cz0.
4
Superf´ıcies
Estudaremos subconjuntos S do espac¸o
XY Z que podem ser caracterizados por equa-
c¸o˜es da forma
S : F (x, y, z) = 0 .
Planos
A forma geral de planos π e´ dada pela
equac¸a˜o
π : Ax+By + Cz +D︸ ︷︷ ︸
F (x,y,z)
= 0 .
Exerc. (de entrega) Fac¸a um esboc¸o dos
planos seguintes
(1) z = x+ y + 1
(2) x+ y = 1 , z ∈ IR
(3) y = x , z ∈ IR
(4) z = y , x ∈ IR
(5) z = 1 , x, y ∈ IR
(6) z = k , k ∈ IR
5
Superf´ıcies esfe´ricas
A equac¸a˜o (sendo R > 0 um nu´mero dado)
S : (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2
representa uma esfera de raio R centrada em
P0 = (x0, y0, z0). Se P0 = (0, 0, 0) temos
S : x2 + y2 + z2 = R2
que e´ uma esfera de raioR centrada na origem
Exerc. (de entrega) Fac¸a um esboc¸o do con-
junto
S : x2 + y2 + z2 = 16z
6
Superf´ıcies cil´ındricas
Def. Um subconjunto S do espac¸o e´ uma
superf´ıcie cil´ındrica se existirem uma reta L
e uma “curva” C de modo que S e´ a reunia˜o
das retas paralelas a L passando por pontos
da curva C (L = geratriz e C = diretriz).
Ex. Esboc¸ar as seguintes superf´ıcies cil´ındri-
cas
(1) x2 + y2 = 1 , z ∈ IR
(2) x2 + z2 = 4 , y ∈ IR
(3) y2 + z2 = 9
(4) z = x2
Obs. (1) Prova-se que o cilindro S e´ gerado
pelo eixo Z e pela curva, por exemplo,
C : x2 + y2 = 1 e z = 0 .
(4) Prova-se que a superf´ıcie S e´ determinada
pelo eixo Y e pela curva, por exemplo,
C : z = x2 e y = 0 .
7
Superf´ıcies coˆnicas
Def. Um subconjunto S do espac¸o e´ uma
superf´ıcie coˆnica se existirem um ponto V e
uma “curva” C tais que V /∈ C e S e´ a reunia˜o
das retas passando por V e por pontos da
curva C (V = ve´rtice e C = diretriz).
Ex. Esboc¸ar as seguintes superf´ıcies coˆnicas
(1) S : z2 = x2 + y2 (2) S : x2 = y2 + z2
Obs. (1) Prova-se que a superf´ıcie S do Ex.
(1) e´ determinada pelo ponto V = (0, 0, 0) e
pela curva, por exemplo,
C : x2 + y2 = 1 e z = 1 .
(2) z2 = x2 + y2 =⇒
√
z2 =
√
x2 + y2 ⇒
|z| =
√
x2 + y2 =⇒ z =


z =
√
x2 + y2
ou
z = −
√
x2 + y2
8
Alguns subconjuntos de IRn
Conjuntos convexos
Def. Dados P e Q pontos em IRn, o seg-
mento fechado com extremos P e Q e´
definido como sendo
[P,Q] := {P + t(Q− P ) | 0 ≤ t ≤ 1} .
Def. Um subconjunto A de IRn e´ convexo
se, para qualquer par de pontos P e Q de A,
o segmento fechado [P,Q] esta´ contido em A.
9
Bolas abertas e fechadas
Def. Se P0 ∈ IRn e r > 0 a bola aberta
de centro P0 e raio r, denotada por Br(P0),
e´ definida como sendo
Br(P0) = {P ∈ IRn | d(P,P0) < r}
= {P ∈ IRn | |P − P0| < r} .
Geometricamente:
Def. Se P0 ∈ IRn e r > 0 a bola fechada
de centro P0 e raio r, denotada por Br[P0] ou
Dr(P0), e´ definida por
Br[P0] = {P ∈ IRn | d(P,P0) ≤ r}
= {P ∈ IRn | |P − P0| ≤ r} .
Geometricamente:
Def. Uma bola aberta perfurada e´ uma
bola aberta sem o seu centro.
Notac¸a˜o.
B∗r (P0) = {P ∈ IRn | 0 < d(P,P0) < r}
= {P ∈ IRn | 0 < |P − P0| < r} .
Geometricamente:
10
Conjuntos abertos
Def. Se A ⊂ IRn e P0 ∈ A, dizemos que P0 e´
um ponto interior de A, se existe uma bola
aberta Br(P0) contida em A; isto e´, quando
Br(P0) ⊂ A.
Notac¸a˜o. Indicamos por
o
A o conjunto dos
pontos interiores de A; isto e´
o
A := {P ∈ A | P e´ um ponto interior de A}
Def. Um subconjunto A de IRn e´ um con-
junto aberto se todos seus pontos sa˜o pon-
tos interiores; isto e´, se A =
o
A.
11
Conjuntos fechados, compactos
e conexos
Def. Seja A um subconjunto de IRn.
• A e´ um conjunto fechado se o seu com-
plementar IRn\A (CA) e´ um conjunto aberto.
• A e´ um conjunto limitado se A esta´ con-
tido em alguma bola aberta (ou fechada) cen-
trada na origem; isto e´, se existe uma bola
aberta Br(0) tal que A ⊂ Br(0).
•A e´ um conjunto compacto seA e´ fechado
e limitado.
• A e´ um conjunto conexo se na˜o pode ser
escrito na forma
A = (A ∩ U) ∪ (A ∩ V )
sendo U e V conjuntos abertos tais que A∩U
e A ∩ V sa˜o disjuntos.
12
Ex. Calcule
o
A e classifique o conjunto A nos
seguintes casos.
(1) A : x ≥ 0 e y ≥ 0
(2) A : x > 0 e y > 0
(3) A : x2 + y2 ≤ 4
(4) A : x2 + y2 < 1
(5) A : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4
(6) A : x2 + y2 ≤ 1 ou x2 + y2 > 9
(7) A = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 < 9} ∪
{(0, 0, 3)}
13
Pontos de acumulac¸a˜o e
Fecho de conjuntos
Def. Sejam A ⊂ IRn e P ∈ IRn. Dizemos
que P e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A, se
toda bola aberta perfurada com centro em P
intercepta (ou conte´m pontos de) A; ou seja
se
B∗r (P ) ∩A 6= ∅ , ∀r > 0 .
Notac¸a˜o. Indicamos com A′ o conjunto dos
pontos de acumulac¸a˜o de A; isto e´
A′ := {P ∈ IRn | P e´ pto. de acum. de A}
Def. Se A ⊂ IRn, definimos o fecho de A,
denotado por A¯, como sendo
A¯ := A ∪A′ .
Teo. • A¯ e´ um conjunto fechado
• A¯ e´ o menor conjunto fechado que conte´m
o conjunto A.
14
Ex. Calcular A′ e A¯ nos casos:
(1) A : 0 < x2 + y2 < 4
(2) A : x2 + y2 ≤ 1 ou x2 + y2 > 9
(3) A : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4
15
Func¸o˜es vetoriais - Curvas em IRn
(Apostila: pg.13)
Def. Uma func¸a˜o vetorial em IRn e´ uma
func¸a˜o de IR em IRn; isto e´, e´ uma func¸a˜o
definida num subconjunto dos nu´meros reais
e cuja imagem e´ um conjunto de vetores em
IRn.
Notac¸a˜o.
P : IR
t
→
7→
IRn
P = P (t)
• D = DP ⊂ IR domı´nio da func¸a˜o vet. P
• CP = Im(P ) = {P (t) | t ∈ D}: imagem
da func¸a˜o vetorial P
Ex.1 Se P0 ∈ IRn, u 6= ~0 e´ um vetor em IRn e
P : IR→ IRn e´ a func¸a˜o vetorial definida por
P (t) := P0 + tu , (t ∈ IR)
calcular a curva imagem dessa func¸a˜o: CP .
16
Obs. Consideremos uma func¸a˜o vetorial
P : t ∈ D ⊂ IR 7→ P = P (t) ∈ IRn .
Como, para cada t ∈ D, P (t) ∈ IRn (tem n
coordenadas), podemos ecrever
P (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , (t ∈ D)
sendo x1:D → IR, . . . , xn:D → IR func¸o˜es
rais associadas a` func¸a˜o vetorial P (t).
Notac¸a˜o. Equac¸a˜o vetorial de CP :
CP : P (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , (t ∈ D) .
As func¸o˜es x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t) sa˜o
chamadas func¸o˜es coordenadas (ou com-
ponentes) de P (t).
Obs. • (n = 2)
CP : P (t) = (x(t), y(t)) = x(t)~i+ y(t)~j
sendo ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).
• (n = 3) CP : P (t) = (x(t), y(t), z(t)) ou
CP : P (t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k
sendo ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1).
17
Notac¸a˜o.As equac¸o˜es
CP :


x1 = x1(t)
. . . . . . . . .
xn = xn(t)
, (t ∈ D)
sa˜o chamadas Equac¸o˜es parameˆtricas de
CP .
• (n = 2) Eliminando a varia´vel t:
CP :
{
x = x(t)
y = y(t)
=⇒ CP : F (x, y) = 0
Eqs. parameˆt. de CP =⇒ Eq. cart. de CP
• (n = 3) Eliminando a varia´vel t:
CP :


x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
=⇒ CP :
{
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
Eqs. parameˆt. de CP =⇒ Eqs. cart. de CP
As equac¸o˜es F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0
sa˜o equac¸o˜es de “superf´ıcies” que determi-
nam CP .
18
Ex.2 (Pg. 15) Considere a func¸a˜o vetorial
P : IR→ IR2 definida por
P (t) = (t, t2) , (t ∈ IR) .
Desenhe a imagem de P (CP ).
Obs. A imagem da func¸a˜o
f : IR
x
→
7→
IR
y = x2
e´ o conjunto IR+; isto e´ Im(f) = IR+.
Ex.3 Dada a func¸a˜o vetorial P : [0, 2π]→ IR3
definida por
P (t) = (2 cos t, 2 sent, 2) , (0 ≤ t ≤ 2π)
desenhe a imagem de P (CP ).
19
Limite e continuidade
de func¸o˜es vetoriais
Consideremos:
• uma func¸a˜o vetorial P :D → IRn da forma
P (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , (t ∈ D)
• um ponto P0 = (x01, . . . , x0n) ∈ IRn
• um ponto t0 ∈ D′ (t0 pto. de acum. de D)
Lembrar que xi:D → IR, para i = 1, . . . , n.
Def. Dizemos que
lim
t→t0
P (t) = P0 se


lim
t→t0
x1(t) = x
0
1
. . . . . . . . . . . . . . .
lim
t→t0
xn(t) = x
0
n
20
Obs. Para P (t) = (x(t), y(t)) e P0 = (x0, y0):
lim
t→t0
(x(t), y(t)) = (x0, y0)⇔
lim
t→t0
x(t) = x0
lim
t→t0
y(t) = y0
e nesse caso
lim
t→t0
(x(t), y(t)) = ( lim
t→t0
x(t), lim
t→t0
y(t))
Def. A func¸a˜o vetorial P (t) e´ cont´ınua em
t0 ∈ D se
lim
t→t0
P (t) = P (t0)
Obs. P (t) e´ cont´ınua em t0 ∈ D ⇔ xi(t) e´
cont´ınua em t0 ∈ D, para cada i = 1, . . . , n.
Def. A func¸a˜o P (t) e´ cont´ınua em A ⊂ D
se P (t) e´ cont´ınua em cada ponto de A.
Ex.1 Estudar o limite e a continuidade da
seguinte func¸a˜o vetorial em t = 0.
P (t) =
(
t
1 + t2
, t,
sen t
t
)
, (t ∈ IR∗)
Obs. A func¸a˜o e´ cont´ınua em IR∗.
21
Obs. Se I ⊂ D e´ um intervalo e P :D → IRn
e´ cont´ınua em I enta˜o
P (I) = {P (t) | t ∈ I}
e´ um conj. conexo em IRn (e´ uma “curva”)
Ex.2 Se P : IR∗ → IR2 e´ a func¸a˜o definida por
P (t) =
(
t,
1
t
)
, (t ∈ IR∗)
(a) estudar a continuidade da func¸a˜o em IR
(b) estudar a continuidade da func¸a˜o em IR∗
Obs.1 Esboc¸o da imagem de P (t) (CP )
Obs.2
• P (t) e´ cont´ınua em IR∗
• IR∗ na˜o e´ um intervalo
• CP na˜o e´ conexo
22
Curvas
Def. Um subconjunto C de IRn e´ uma curva
se C e´ a imagem de alguma func¸a˜o vetorial
cont´ınua, cujo domı´nio e´ um intervalo da reta
real; isto e´, se existem um intervalo I ⊂ IR e
uma func¸a˜o vetorial cont´ınua P : I → IRn tal
que C = CP .
Notac¸a˜o. A equac¸a˜o vetorial
C : P (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) , (t ∈ I)
e´ chamada uma parametrizac¸a˜o da curva
C.
Obs. Uma curva pode ter mais de uma para-
metrizac¸a˜o
Ex.1 A imagem da func¸a˜o vetorial
P (t) =
(
t,
1
t
)
, (t ∈ IR∗)
na˜o e´ uma curva.
23
Obs. A imagem das func¸o˜es vetoriais
C1 : P1(t) =
(
t,
1
t
)
, (t < 0)
C2 : P2(t) =
(
t,
1
t
)
, (t > 0)
sa˜o curvas.
Parametrizac¸a˜o de curvas
• (n = 2) Introducindo a varia´vel t:
CP : F (x, y) = 0 =⇒ CP :
{
x = x(t)
y = y(t)
Eq. cart. de CP =⇒ Eqs. parameˆt. de CP
• (n = 3) Introducindo a varia´vel t:
CP :
{
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
=⇒ CP :


x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Eqs. cart. de CP =⇒ Eqs. parameˆt. de CP
24
Ex.2 Parametrizar as curvas
(1) C : y = 2x, 0 ≤ x ≤ 2
(2) C : u2 + v2 = 1
(3) C : x2 + y2 = R2, R > 0
(4) C : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, a > 0, b > 0
(5) C : x2 + y2 + z2 = 1 e z = y
(6) C : x2 + y2 + z2 = 4 e z =
√
x2 + y2
Ex.3 (Parametrizac¸a˜o natural de gra´fico de
func¸o˜es de uma varia´vel) Se y = f(x), x ∈ I,
e´ uma func¸a˜o cont´ınua, a Parametrizac¸a˜o
natural do gra´fico, Gf , e´ dada por
Gf : P (t) = (t, f(t)) , (t ∈ I)
25
Derivada de uma func¸a˜o vetorial
Consideremos uma func¸a˜o vetorial
P :D ⊂ IR→ IRn
sendo D um conjunto aberto.
Def. • P (t) e´ deriva´vel em t ∈ D se existe
o limite
lim
h→0
P (t+ h)− P (t)
h
=: P ′(t)
• P (t) e´ deriva´vel em D se P (t) e´ deriva´vel
em todo ponto t de D
Teo. Se P (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) enta˜o, P (t)
e´ deriva´vel em t ⇔ x1(t), . . . , xn(t) sa˜o de-
riva´veis em t. Nesse caso,
P ′(t) = (x′1(t), . . . , x
′
n(t)) .
Ex. Se I e´ um intervalo aberto, y = f(x),
x ∈ I, e´ deriva´vel e P (t) = (t, f(t)), (t ∈ I),
temos P ′(t) = (1, f ′(t)), (t ∈ I)
26
Def. (Olhando P como uma part´ıcula em
movimento) (pg. 27)
• P (t): vetor posic¸a˜o da part´ıcula
• P ′(t): vetor velocidade da part´ıcula
• Se P ′(t) 6= ~0, ele e´ chamado vetor tan-
gente a` curva CP no ponto P (t). A reta L
que passa por P (t) de modo paralelo ao vetor
P ′(t) e´ chamada reta tangente a` curva CP
em P (t). Nesse caso,
L = {P (t) + λP ′(t) | λ ∈ IR}
• v(t) := |P ′(t)|: velocidade escalar da
part´ıcula
• P ′′(t): vetor acelerac¸a˜o da part´ıcula
• a(t) := |P ′′(t)|: acelerac¸a˜o escalar da
part´ıcula
Regras de derivac¸a˜o
Ver pgs. 25 e 26
27
Comprimento de arco
Consideremos uma func¸a˜o vetorial
P : [a, b]→ IRn
de modo que P ′(t) seja cont´ınua.
Def. O comprimento L da curva CP de
P (a) a P (b) (ou de t = a a t = b) e´ definida
por
L :=
∫ b
a
|P ′(t)|dt unid. de comprimento
Ex. Calcular o comprimento de arco da curva
CP nos casos seguintes.
(1) P (t) = (t3, 3t2) de (0, 0) a (8, 12)
(2) P (t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 4π]
(3) P (t) = (r cos t, r sen t), t ∈ [0, 2π]
(4) P (t) = (t, 3t2, 6t3) de (0, 0, 0) a (2, 12, 48).
28
Func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais
Func¸a˜o: Relac¸a˜o entre dois conjuntos X e Y
tal que a cada x ∈ X associa um u´nico y ∈ Y :
Notac¸a˜o. • f :x ∈ X 7→ y = f(x) ∈ Y
• Df ⊂ X domı´nio de f
• Im(f) = {f(x) | x ∈ Df} ⊂ Y : imagem
de f
Casos particulares.
• Ca´lculo I e II: f :x ∈ IR 7→ y = f(x) ∈ IR,
func¸a˜o real de uma varia´vel real
• Func¸o˜es vetoriais: P : t ∈ IR 7→ P (t) ∈ IRn,
com P (t) = (x1(t), . . . , xn(t))
• Estudaremos func¸o˜es reais de va´rias varia´-
veis reais
f : IRn
P
→
7→
IR
Q = f(P )
com P = (x1, . . . , xn) e Q = f(x1, . . . , xn)
29
Ex.
(1) d = d(x, y) =
√
x2 + y2
(2) Ja´ vimos exemplos de func¸o˜es:
z = y Plano
z =
√
x2 + y2 Cone
z = 6x3 Superf´ıcie cil´ıdrica
(3) V = V (x, y, z) = xyz, x > 0, y > 0, z > 0
Def. Uma func¸a˜o real de n-varia´veis e´
uma func¸a˜o f cujo domı´nio D = Df e´ um
subconjunto de IRn e cuja imagem Im(f) e´
um subconjunto de IR.
Notac¸a˜o.
f :D ⊂ IRn
P
→
7→
IR
Q = f(P )
sendo P = (x1, . . . , xn) e Q = f(x1, . . . , xn)
A expressa˜o “Q = f(P ) em D” ou ainda
“Q = f(P ), P ∈ D” significa que a func¸a˜o
f esta´ definida em todos os pontos de D
30
Obs. • (n = 2) “z = f(x, y) em D”:
f :D ⊂ IR2
(x, y)
→
7→
IR
z = f(x, y)
• (n = 3) “w = f(x, y, z) em D”:
f :D ⊂ IR3
(x, y, z)
→
7→
IR
w = f(x, y, z)
Ex.1 Se z = f(x, y) em D, calcule f(0, 0),
f(1, 1) e f(1,−1), nos casos
(1) f(x, y) = x2 + y2, D : |x| + |y| ≤ 2
(2) f(x, y) = xy, D : x2 + y2 > 1
(3) f(x, y) = xy
x2+y2 , D : 0 < x
2 + y2 ≤ 4
(4) f(x, y) = cosπx1+x+y , D : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9
31
Determinac¸a˜o de Domı´nio e Imagem
Consideremos uma func¸a˜o
f : IRn
P
→
7→
IR
Q = f(P )
• Determinar o domı´nio de f , Df , significa
achar o conjunto de todos os pontos P tais
que possam ser efetuadas as operac¸o˜es ex-
pressas em f(P )
• Determinar a imagem de f , Im(f), significa
achar o conjunto no qual varia Q quando os
pontos P variam Df ; isto e´, significa achar o
conjunto dos valoresda func¸a˜o f sobre o
domı´nio Df
32
Ex.1 Ache o domı´nio da func¸a˜o z = f(x, y),
nos casos
(1) f(x, y) =
√
16− x2 − y2
(2) f(x, y) = 9− x2 − y2
(3) f(x, y) =
√
y − x+√1− y
(4) f(x, y) =
√|x| − |y|
Ex.2 Ache a imagem da func¸a˜o z = f(x, y),
nos casos
(1) f(x, y) =
√
16− x2 − y2
(2) f(x, y) = 5− x2 − y2
(3) f(x, y) = x2 + y2
(4) f(x, y) = −
√
x2 + y2
(5) f(x, y) = x
2
x2+y2
33
Gra´fico de func¸o˜es de duas varia´veis
Lembrete f :x ∈ Df ⊂ IR 7→ y = f(x) ∈ IR
⇒ Gf :={(x, f(x)) ∈ IR2 | x ∈ Df}
={(x, y) ∈ IR2 | y = f(x) , x ∈ Df}
Def. Dada uma func¸a˜o z = f(x, y), com
domı´nio Df ; isto e´, se
f : (x, y) ∈ Df ⊂ IR2 7→ z = f(x, y) ∈ IR
chama-se gra´fico de f , denotado por Gf , ao
seguinte subconjunto do espac¸o IR3 (= XYZ)
Gf :={(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ Df}
={(x, y, z) | z = f(x, y) , (x, y) ∈ Df}
Representac¸a˜o geome´trica de Gf
Exerc. Definir e representar geometricamen-
te o gra´fico de func¸o˜es da forma: y = f(x, z)
((x, z) ∈ Df ) e x = f(y, z) ((y, z) ∈ Df )
34
Recursos para representar gra´fico
de func¸o˜es de duas varia´veis
A) Geometria anal´ıtica
B) Curvas de n´ıvel
A) Geometria anal´ıtica no gra´fico de
func¸o˜es
Ex. Esboc¸ar o gra´fico das seguintes func¸o˜es
(1) z =
√
x2 + y2, D : x2 + y2 ≤ 16
(2) z =
√
25− x2 − y2, D : x2 + y2 ≤ 9
(3) x =
√
4− y2, D : |y| ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3
(4) y = x2, D : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 8
35
B) Curvas de n´ıvel no gra´fico de func¸o˜es
Dada uma func¸a˜o z = f(x, y), com domı´nio
D; isto e´
f :D ⊂ IR2
(x, y)
→
7→
IR
z = f(x, y)
considerar o conjunto dos seus valores; isto e´
Im(f) = {z ∈ IR | z = f(x, y) , (x, y) ∈ D}
Def. Para cada k ∈ Im(f), a curva de n´ıvel
Ck no plano da func¸a˜o z = f(x, y), associa-
do ao plano z = k, e´ o conjunto
Ck := {(x, y) ∈ D | f(x, y) = k}
Ex.1 Se z = f(x, y) = x2+y2 e z = k, k ≥ 0,
temos
Ck = {(x, y) ∈ IR2 | x2 + y2 = k}
que e´ uma circunfereˆcia centrada na origem
de raio
√
k. Consideremos algumas delas:
36
Def. Para cada k ∈ Im(f), a curva de n´ıvel
no espac¸o da func¸a˜o z = f(x, y), denotada
tambe´m por Ck, e´ o conjunto
Ck :=
{(x, y, z) | z = k e f(x, y) = k , (x, y) ∈ D}
que e´ uma “curva” de equac¸a˜o f(x, y) = k
contida no plano z = k; isto e´
Ck : z = k e f(x, y) = k
Obs.1 O gra´fico da func¸a˜o z = f(x, y) e´ a
reunia˜o das curvas de n´ıvel Ck no espac¸o; isto
e´
Gf =
⋃
k∈Im(f)
Ck
Obs.2 E´ importante tambe´m considerar a in-
tersec¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o com os planos
coordenados:
37
Ex.2 Esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o
z = f(x, y) = x2 + y2 , (D = IR2)
Sol. Im(f) : z ≥ 0. Para cada k ≥ 0, a curva
de n´ıvel Ck e´ Ck : z = k e x
2 + y2 = k, que e´
uma circunfereˆcia centrada na origem de raio√
k e contida no plano z = k. Enta˜o,
Gf =
⋃
k≥0
Ck
• Consideremos algumas curvas de n´ıvel:
k = 0 7→ C0 : z = 0 e x2 + y2 = 0
k = 1 7→ C1 : z = 1 e x2 + y2 = 1
k = 2 7→ C2 : z = 2 e x2 + y2 = 2
• Consideremos a intersec¸a˜o do gra´fico Gf
com os planos coordenados:
Operac¸o˜es com func¸o˜es
Ver pg.46
38
Limites de func¸o˜es reais de
va´rias varia´veis reais
Lembrete: Se y = f(x), x ∈ I, e x0 ∈ I ′
temos
Def. limx→x0 f(x) = L se, para cada ε > 0
dado, e´ poss´ıvel achar um δ = δ(ε) > 0 tal
que |f(x)−L| < ε sempre que 0 < |x−x0| < δ
e x ∈ I
Obs. Te´cnica para achar um δ > 0, dado
um ε > 0: Estimar a expressa˜o |f(x)−L| em
termos de |x− x0|: |f(x)− L| ≤M |x− x0|
Ex. Mostrar que limx→1(2x− 1) = 1
Sol. Exerc´ıcio (de entrega)
• limx→2(1 + x2) = 5 e limy→1 y3 = 1
• lim x→2
y→1
(1 + x2 + y3)︸ ︷︷ ︸
f(x,y)
= 1 + 4 + 1 = 6
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
39
Limites de func¸o˜es de va´rias varia´veis
Consideremos uma func¸a˜o f : D ⊂ IRn → IR e
P0 um ponto de acumulac¸a˜o de D (P0 ∈ D′)
Notac¸a˜o. O s´ımbolo
lim
P→P0
f(P ) = L
tem o significado seguinte: f(P ) se aproxima
arbitrariamente de L, desde que P se aprox-
ima suficientemente de P0
Def. Dizemos que
lim
P→P0
f(P ) = L
se, para cada ε > 0 dado, e´ poss´ıvel achar um
δ = δ(ε) > 0 de modo que
|f(P )− L| < ε sempre que 0 < |P − P0| < δ
e P ∈ D
40
Obs. (n = 2) Se z = f(x, y), P = (x, y) e
P0 = (x0, y0), dizemos que
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
se, para cada ε > 0 dado, e´ poss´ıvel achar
um δ = δ(ε) > 0 de modo que seja va´lida a
implicac¸a˜o
0 <
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ e (x, y) ∈ D
⇓
|f(x, y)− L| < ε
Geometricamente (Exerc. de entrega): ver
pg. 48
Obs.1 As desigualdades seguintes sa˜o usadas
com frequ¨eˆncia
• x2 ≤ x2 + y2 e y2 ≤ x2 + y2
• |x− x0| ≤
√
(x− x0)2 + (y − y0)2
• |y − y0| ≤
√
(x− x0)2 + (y − y0)2
• |x| ≤
√
x2 + y2 e |y| ≤
√
x2 + y2
• 2|x||y| ≤ x2 + y2
41
Obs.2 Fixado um ε > 0, para achar um δ =
δ(ε) verificando a implicac¸a˜o
0 <
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ
⇓
|f(x, y)− L| < ε
comec¸amos estimando |f(x, y)−L| em termos
de |x−x0| e |y− y0| com o intuito de usar as
desigualdades dadas na Obs.1:
|f(x, y)− L| ≤M1|x− x0|+M2|y − y0|
Ex.1Mostre que lim(x,y)→(2,4)(5x−3y) = −2
Sol. Fixado um ε > 0, achar um δ = δ(ε) > 0
verificando a implicac¸a˜o seguinte
0 <
√
(x− 2)2 + (y − 4)2 < δ
(1) ⇓
|5x− 3y + 2| < ε
42
Ex.2 Mostre que lim(x,y)→(1,1)(x2 + y2) = 2
Sol. Exerc´ıcio (de entrega) (Ver pg. 49, Ap.)
Teoremas sobre limites
(Ver os teoremas da pg. 50)
• limx→2
√
5 + x2 = 3
Consideremos func¸o˜es f : Df ⊂ IRn → IR e
ϕ: Dϕ ⊂ IR→ IR com Im (f) ⊂ Dϕ:
Df
P
f→
7→
Dϕ
f(P )
ϕ→
7→
IR
ϕ(f(P ))︸ ︷︷ ︸
ϕ◦f
Dϕ◦f = {P ∈ Df | f(P ) ∈ Dϕ}
Teo.1 Se P0 e´ um ponto de acumulac¸a˜o de
Dϕ◦f , limP→P0 f(P ) = L e ϕ e´ cont´ınua em
L, enta˜o
lim
P→P0
(ϕ ◦ f)(P ) = lim
P→P0
ϕ(f(P )) = ϕ(L) =
=ϕ( lim
P→P0
f(P ))
43
Consideremos f, g, h:D ⊂ IR2 → IR e (x0, y0)
em D′ (ponto de acumulac¸a˜o de D)
Teo.2 (do confronto) Se
h(x, y) ≤ f(x, y) ≤ g(x, y) para (x, y) ∈ D
e se
lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = L = lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y)
enta˜o
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
Teo.3 Se
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0
e se (g e´ uma func¸a˜o limitada)
|g(x, y)| ≤M , para (x, y) ∈ D
sendo M > 0 um nu´mero real fixo, enta˜o
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)g(x, y) = 0
44
Ex.2 Calcular, caso exista
(1) lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
(2) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
(3) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
(4) lim
(x,y)→(0,0)
x2y√
x2 + y2
Lembrete: Valem, para (x, y) 6= (0, 0)
x2
x2 + y2
≤ 1 , y
2
x2 + y2
≤ 1
|x|√
x2 + y2
≤ 1 , |y|√
x2 + y2
≤ 1
|x||y|
x2 + y2
≤ 1
2
45
Limites atrave´s de conjuntos
Consideremos uma func¸a˜o f :D ⊂ IRn → IR e
A ⊂ IRn
Def. A restric¸a˜o de f a A ∩ D, denotada
por fA, e´ a func¸a˜o fA:A ∩ D → IR definida
por
fA(P ) := f(P ) , (P ∈ A ∩D)
f(P ): expressa˜o de f para os pontos P de
A ∩D
Def. Se P0 e´ um ponto de acumulac¸a˜o de
A ∩D, dizemos que
lim
P→P0
P∈A∩D
f(P ) = L se lim
P→P0
fA(P ) = L
46
Ex.1 Se
f(x, y) :=
{√
x2 + y2 , para x2 + y2 ≤ 4
− x2 − y2 , para x2 + y2 > 4
calcular os limites
(1) lim
(x,y)→(1,√3)
x2+y2<4
f(x, y)
(2) lim
(x,y)→(1,√3)
x2+y2>4
f(x, y)
47
Limites ao longo de curvas
Consideremos as func¸o˜es f :D ⊂ IRn → IR e
P : I ⊂ IR → IRn tal que todos os pontos de
CP sa˜o pontos interiores de D. Para t0 ∈ I
seja P0 := P (t0)
Podemos considerar o limite
lim
P → P0
P ∈ CP
f(P ) = lim
t→t0
f(P (t))
que depende apenas da varia´vel t
Ex.2 Se z = f(x, y) e´ uma func¸a˜o definida
em IR2, consideremos os limites:
• lim
(x,y)→(0,0)
x=0
f(x, y) = lim
y→0
f(0, y)
• lim
(x,y)→(0,0)
y=0
f(x, y) = lim
x→0
f(x, 0)
48
• lim
(x,y)→(0,0)
y=mx
f(x, y) = lim
x→0
f(x,mx)
• lim
(x,y)→(0,0)
y=x2
f(x, y) = lim
x→0
f(x, x2)Teoremas sobre limites
atrave´s de conjuntos
Consideremos uma func¸a˜o f :D ⊂ IRn → IR e
P0 um ponto de acumulac¸a˜o de D
Teo.1 Existe limP→P0 f(P ) = L⇔ existe
lim
P→P0
P∈A∩D
f(P ) = L ,∀A ⊂ IRn com P0 ∈ A′
49
Teo.2 (1) Se existe A ⊂ IRn tal que P0 ∈ A′
e
lim
P→P0
P∈A∩D
f(P )
na˜o existe enta˜o, limP→P0 f(P ) na˜o existe
(2) Se existem dois subconjunto distintos A1
e A2 de IR
n, tendo P0 como pto. de acum.
tais que
lim
P→P0
P∈A1∩D
f(P ) e lim
P→P0
P∈A2∩D
f(P )
existem, mas sa˜o diferentes, enta˜o o limite
limP→P0 f(P ) na˜o existe
Ex.3 Se
f(x, y) :=
{√
x2 + y2 , para x2 + y2 ≤ 4
− x2 − y2 , para x2 + y2 > 4
verificar se lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) existe, sen-
do (x0, y0) um ponto qualquer da circunfereˆn-
cia C : x2 + y2 = 4
50
Ex.4 Verificar se existem os limites:
(1) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
(2) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
(3) lim
(x,y)→(0,0)
x3y
x2 + y2
(4) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x3 + y3
51
Continuidade de func¸o˜es reais de
va´rias varia´veis reais
Lembrete: Se y = f(x), x ∈ I, x0 ∈ I e
A ⊂ I temos
• f e´ cont´ınua em x = x0 se esta´ satisfeita:
∃ limx→x0 f(x) = f(x0)
• f e´ cont´ınua em A se f e´ cont´ınua em
todos os pontos de A
Consideremos uma func¸a˜o f : D ⊂ IRn → IR,
um ponto P0 ∈ D e um subconjunto A de D
Def. Dizemos que a func¸a˜o:
• f e´ cont´ınua no ponto P = P0 se
∃ lim
P→P0
f(P ) = f(P0)
• f e´ cont´ınua no conjunto A se f e´
cont´ınua em cada ponto de A
Seja agora outra func¸a˜o g: D ⊂ IRn → IR
52
Teo.1 • Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em
P = P0 enta˜o, tambe´m sa˜o func¸o˜es cont´ınuas
em P = P0 as func¸o˜es
(⋆)
(a) f + g
(b) fg
(c) λf , λ ∈ IR
(d) f/g , se g(P0) 6= 0
• Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em A en-
ta˜o, tambe´m sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em
A as func¸o˜es dadas em (⋆), sendo que no
caso (d), se g(P ) 6= 0, ∀P ∈ A
Teo.2 • Toda func¸a˜o polinomial de duas (de
n) varia´veis e´ cont´ınua em IR2 (em IRn)
• Toda func¸a˜o racional e´ cont´ınua em seu
domı´nio
Seja ϕ: Dϕ ⊂ IR→ IR, com Im (f) ⊂ Dϕ:
IRn
P0
A
f→
7→
7→
IR
f(P0)
f(A)
ϕ→
7→
7→
IR
ϕ(f(P0))
ϕ(f(A))︸ ︷︷ ︸
ϕ◦f
53
Teo.3 • Se f e´ cont´ınua em P0 e ϕ e´ cont´ınua
em f(P0) enta˜o, ϕ ◦ f e´ cont´ınua em P0
• Se f e´ cont´ınua em A e ϕ e´ cont´ınua em
f(A) enta˜o, ϕ ◦ f e´ cont´ınua em A
Ex.1 As func¸o˜es
(a) f(x, y) = x2 + y2
(b) F (x, y) =
√
x2 + y2
sa˜o cont´ınuas em IR2
Sol. (a) Por ser uma func¸a˜o polinomial
(b) Observar que, se ϕ(t) :=
√
t temos
• (ϕ ◦ f)(x, y) = ϕ(f(x, y)) =
√
x2 + y2 ⇒
F = ϕ ◦ f
• Im (f) = IR+ = Dϕ
• f e´ cont´ınua em IR2 e ϕ e´ cont´ınua em IR+
IR2
(x, y)
f→
7→
IR+
x2 + y2
ϕ→
7→
IR√
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
F =ϕ◦f
54
Ex.2 Discuta a continuidade das func¸o˜es em
seu domı´nio
(a)
f(x, y) :=


x2 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
(b)
f(x, y) :=


x3y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Ex.3 Discuta a continuidade das func¸o˜es em
seu domı´nio
(a)
f(x, y) :=
{√
x2 + y2 , para x2 + y2 ≤ 4
− x2 − y2 , para x2 + y2 > 4
(b)
f(x, y) :=


x2√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
55
Sol. de (a) Consideremos o gra´fico da func¸a˜o
z = f(x, y):
z =
√
x2 + y2 sobre D : x2 + y2 ≤ 4
z = −x2 − y2 sobre A : x2 + y2 > 4
Estudaremos a continuidade da func¸a˜o:
(1) no disco aberto B : x2 + y2 < 4
(2) no conjunto aberto A : x2 + y2 > 4
(3) na circunfereˆcia C : x2 + y2 = 4
(1) Como z =
√
x2 + y2 e´ cont´ınua em IR2
(Ex.1), ela e´ tambe´m cont´ınua em B
(2) Sendo a func¸a˜o polinomial z = −x2 − y2
cont´ınua em IR2, ela e´ tambe´m cont´ınua em
A
56
(3) Seja (x0, y0) ∈ C um ponto qualquer. No
Ex.3 de Limites atrave´s de conjuntos temos
visto que o limite
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
na˜o existe. Enta˜o, a func¸a˜o z = f(x, y) na˜o
e´ cont´ınua em (x0, y0). Sendo (x0, y0) um
ponto arbitra´rio de C, segue que a func¸a˜o
z = f(x, y) na˜o e´ cont´ınua em nenhum ponto
de C.
Em resumo: a func¸a˜o e´ cont´ınua em IR2\C
Exerc. Discuta a continuidade da func¸a˜o em
seu domı´nio
f(x, y) :=
{
(x−1)2
(x−1)2+(y−2)2 , se (x, y) 6= (1, 2)
1 , se (x, y) = (1, 2)
57
Derivada direcional
Lembrete: Se I e´ um interv. aberto em IR,
• y = f(x), x ∈ I, x0 ∈ I, y0 = f(x0)
• L reta tangente ao Gf em (x0, y0)
temos f ′(x0) = tgα: inclinac¸a˜o de L, sendo
f ′(x0) := lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
se o limite existir
Consideremos um subconj. aberto D de IRn,
uma func¸a˜o f : D ⊂ IRn → IR, um ponto P0
em D e v um vetor unita´rio em IRn (|v| = 1)
Def. A derivada direcional de f em P0
na direc¸a˜o de v e´ definida por
Dvf(P0) := lim
t→0
f(P0 + tv)− f(P0)
t
se o limite existir. Essa derivada e´ tambe´m
chamada taxa de variac¸a˜o de f na direc¸a˜o
de v em P0
58
Consideremos o diagrama
IR
t
P→
7→
IRn
P0 + tv
f→
7→
IR
f(P0 + tv)︸ ︷︷ ︸
ϕ := f◦P
ϕ(t) := f(P (t)) = f(P0 + tv)
A func¸a˜o auxiliar ϕ(t). Consideremos a
“func¸a˜o auxiliar” ϕ: IR→ IR definida por
ϕ(t) := f(P0 + tv) , (t ∈ I)
Enta˜o, ϕ(t) e´ deriva´vel e vale
ϕ′(0) = Dvf(P0)
De fato, como ϕ(0) = f(P0), temos
Dvf(P0) = lim
t→0
f(P0 + tv)− f(P0)
t
=
= lim
t→0
ϕ(t)− ϕ(0)
t
= ϕ′(0)
59
Obs. (n = 2) Se z = f(x, y), P0 = (x0, y0) e
v = (h, k) temos
P0+ tv = (x0, y0)+ t(h, k) = (x0+ th, y0+ tk)
e portanto
Dvf(x0, y0) =
= lim
t→0
f(x0 + th, y0 + tk)− f(x0, y0)
t
Se ϕ(t) := f(x0 + th, y0 + tk) temos
Dvf(x0, y0) = ϕ
′(0)
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Ver: pg. 56, Ap. e pg. 842, Guidorizzi
60
Ex.1 Se f(x, y) = 3+x2+y2 e v = ( 1√
2
, 1√
2
),
calcular Dvf(0, 0)
Sol. Se P0 = (0, 0) temos P0+tv = (
t√
2
, t√
2
).
Se
ϕ(t) := f(P0+ tv) = f
(
t√
2
,
t√
2
)
, (t ∈ IR)
temos Dvf(0, 0) = ϕ
′(0). Como
ϕ(t) = 3 +
t2
2
+
t2
2
= 3 + t2 ⇒ ϕ′(t) = 2t
temos Dvf(0, 0) = ϕ
′(0) = 0
Ex.2 Se f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e v =
( 2√
6
,− 1√
6
, 1√
6
), calcular Dvf(x, y, z)
Resp.
Dvf(x, y, z) =
1√
6
(4x− 2y + 2z)
Obs. Uma func¸a˜o pode ter derivadas dire-
cionais em todas as direc¸o˜es num ponto P0,
mas na˜o ser cont´ınua nesse ponto (Ver 2
o
Ex.,
pg. 57)
61
Derivadas parciais
Consideremos um subconj. aberto D de IRn,
uma func¸a˜o f : D ⊂ IRn → IR nas varia´veis
x1, . . . , xn, um ponto P0 em D e a base canoˆ-
nica de IRn e de IR3

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
en = (0, 0, . . . , 0, 1)
e


e1 = (1, 0, 0) =~ı
e2 = (0, 1, 0) = ~
e3 = (0, 0, 1) = ~k
Para IR2: e1 = (1, 0) =~ı, e2 = (0, 1) = ~
Def. Se i = 1, . . . , n, a derivada parcial de
f em P0 em relac¸a˜o a xi e´ definida por
∂f
∂xi
(P0) := Deif(P0)
se Deif(P0) existir; isto e´
∂f
∂xi
(P0) = lim
t→0
f(P0 + tei)− f(P0)
t
62
Notac¸o˜es.
Deif(P0) = Dif(P0) = fxi(P0) =
∂f
∂xi
(P0)
Obs. Se z = f(x, y) e P0 = (x0, y0) temos
∂f
∂x
(P0) = lim
h→0
f(P0 + he1)− f(P0)
h
∂f
∂y
(P0) = lim
k→0
f(P0 + ke2)− f(P0)
k
Enta˜o, como
P0 + he1 = (x0, y0) + h(1, 0) = (x0 + h, y0)
P0 + ke2 = (x0, y0) + k(0, 1) = (x0, y0 + k)
essas derivadas parciais sa˜o calculadas por
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
k→0
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)
k
63
Obs∗. Para calcular ∂f
∂x
(x0, y0) manter fixo
y = y0 e derivar g(x) := f(x, y0) em x = x0:
g′(x0) = lim
h→0
g(x0 + h)− g(x0)
h
=
= lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
=
=
∂f
∂x
(x0, y0)
Para calcular ∂f
∂y
(x0, y0) manter fixo x = x0
e derivar h(y) := f(x0, y) em y = y0:
∂f
∂y
(x0, y0) = h
′(y0)Ex.1 Se f(x, y) = 2xy − 4y, calcular
(a)
∂f
∂x
(x, y) (c)
∂f
∂y
(x, y)
(b)
∂f
∂x
(1, 1) (d)
∂f
∂y
(−1, 1)
64
Ex.2 Calcular as deriv. parciais das func¸o˜es
(a) f(x, y) = x4y3 − x5y4 em P = (1, 2)
(b) f(x, y) = cosxy + 2xy3 em P = (π2 , 1)
O vetor gradiente
Consideremos um subconj. aberto D de IRn,
um ponto P0 em D e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
Suponhamos que f tem todas as derivadas
parciais em P0:
∂f
∂x1
(P0) ,
∂f
∂x2
(P0) , . . . ,
∂f
∂xn
(P0)
Def. O gradiente de f em P0 e´ o vetor em
IRn definido por
~∇f(P0) :=
(
∂f
∂x1
(P0), . . . ,
∂f
∂xn
(P0)
)
Notac¸o˜es. f ′(P0) = Df(P0) = ~∇f(P0)
65
Obs. Se z = f(x, y) e P0 = (x0, y0), temos
~∇f(x0, y0) =
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)
)
=
∂f
∂x
(x0, y0)~ı+
∂f
∂y
(x0, y0)~
Se w = f(x, y, z) e P0 = (x0, y0, z0), temos
~∇f(P0) =
(
∂f
∂x
(P0),
∂f
∂y
(P0),
∂f
∂z
(P0)
)
=
∂f
∂x
(P0)~ı+
∂f
∂y
(P0)~+
∂f
∂z
(P0)~k
Ex. Se z = f(x, y) = 1 + x2 + y2, calcular
~∇f(0, 0), ~∇f(1, 1) e representar geometrica-
mente
66
Obs. Se z = f(x, y) e P0 = (x0, y0), os ve-
tores no espac¸o
~∇ :=
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0),−1
)
−~∇ =
(
−∂f
∂x
(x0, y0),−∂f
∂y
(x0, y0), 1
)
sera˜o muito importantes mais adiante, quan-
do “pendurados” em (x0, y0, f(x0, y0)) ∈ Gf
Obs. Com os dados do Ex. anterior, “pen-
durar” os vetores
~∇ :=
(
∂f
∂x
(0, 0),
∂f
∂y
(0, 0),−1
)
= (0, 0,−1)
~∇ :=
(
∂f
∂x
(1, 1),
∂f
∂y
(1, 1),−1
)
= (2, 2,−1)
nos pontos (0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 1) ∈ Gf e
(1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 3) ∈ Gf , respectivamen-
te
67
Derivadas parciais de ordem superior
Consideremos um subconj. aberto D de IRn
e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
Para i = 1, . . . , n fixado, suponhamos que
∃ ∂f
∂xi
(P ) , ∀P ∈ D
Enta˜o podemos considerar a func¸a˜o
∂f
∂xi
:D
P
→
7→
IR
∂f
∂xi
(P )
Se P0 ∈ D e j = 1, . . . , n, suponhamos que
∃ ∂
∂xj
(
∂f
∂xi
)
(P0)
68
Def. A derivada parcial de 2
a
ordem de
f em P0, em relac¸a˜o a xi e xj , e´ definida por
∂2f
∂xj∂xi
(P0) :=
∂
∂xj
(
∂f
∂xi
)
(P0)
Notac¸o˜es.
DiDjf(P0) = fxixj (P0) =
∂2f
∂xj∂xi
(P0)
Quando j = i temos DiDif(P0) =
= fxixi(P0) =
∂2f
∂x2i
(P0) =
∂2f
∂xi∂xi
(P0)
Obs. Se z = f(x, y) e P0 = (x0, y0) temos
∂2f
∂y∂x
(P0) ,
∂2f
∂x2
(P0) ,
∂2f
∂y2
(P0) ,
∂2f
∂x∂y
(P0)
Obs. Da mesma forma podemos definir:
∂3f
∂xk∂xj∂xi
:=
∂
∂xk
(
∂2f
∂xj∂xi
)
i, j, k = 1, . . . , n. Etc.
69
Ex.1 Calcular as derivadas parciais de 2
a
or-
dem das seguintes func¸o˜es
(a) f(x, y) = 3x2y3 + x5y4
(b) f(x, y) = cosxy + x3y3
Obs. As func¸o˜es ∂
2f
∂y∂x
e ∂
2f
∂x∂y
no Exs. (a) e
(b) sa˜o iguais, mas nem sempre isso acontece
Ex.2 Se
f(x, y) :=


xy(x2 − y2)
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
mostrar que ∂
2f
∂y∂x
(0, 0) 6= ∂2f
∂x∂y
(0, 0) (Ver Lei-
thold, V. II, 1986, pg 724)
Teo. (Cauchy-Schwarz) Sejam P0 ∈ D e
i, j = 1, . . . , n fixados. Se as func¸o˜es ∂
2f
∂xi∂xj
e ∂
2f
∂xj∂xi
sa˜o cont´ınuas num conjunto aberto
contendo P0, enta˜o
∂2f
∂xi∂xj
(P0) =
∂2f
∂xj∂xi
(P0)
70
Obs. Se as func¸o˜es ∂
2f
∂y∂x
e ∂
2f
∂x∂y
sa˜o cont´ınuas
num conjunto aberto contendo P0 = (x0, y0),
enta˜o
∂2f
∂y∂x
(x0, y0) =
∂2f
∂x∂y
(x0, y0)
Se as func¸o˜es ∂
2f
∂y∂x
e ∂
2f
∂x∂y
sa˜o cont´ınuas em
D, enta˜o
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂2f
∂x∂y
(x, y) , ((x, y) ∈ D)
71
Diferenciabilidade de func¸o˜es
reais de va´rias varia´veis reais
Lembrete: Sejam I um intervalo aberto em
IR, y = ϕ(x), x ∈ I e x0 ∈ I
Def. ϕ e´ diferencia´vel em x = x0 se existe o
limite
lim
h→0
ϕ(x0 + h)− ϕ(x0)
h
=: ϕ′(x0)
Teo.1 ϕ e´ diferencia´vel em x = x0 ⇔ ∃a ∈ IR
tal que
lim
h→0
ϕ(x0 + h)− ϕ(x0)− ah
|h| = 0
Nesse caso, a = ϕ′(x0)
Corol. ϕ e´ diferencia´vel em x = x0 ⇒
lim
h→0
ϕ(x0 + h)− ϕ(x0)− ϕ′(x0) · h
|h| = 0
72
Lembrete. Para cada X = (x1, . . . , xn) e
H = (h1, . . . , hn) em IR
n:
(1) X •H = x1h1+ · · ·+xnhn (Prod. escalar)
(2) |H| =
√
h21 + · · ·+ h2n
Def. Consideremos um subconj. aberto D
de IRn, um ponto P0 em D, um subconjunto
A de D e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
(1) f e´ diferencia´vel no ponto P0 se esta˜o
satisfeitas as duas condic¸o˜es seguintes:
d1) existem as derivadas parciais em P0:
∂f
∂x1
(P0) ,
∂f
∂x2
(P0) , . . . ,
∂f
∂xn
(P0)
d2) existe o limite (H = (h1, . . . , hn))
lim
H→0
f(P0 +H)− f(P0)− ~∇f(P0) •H
|H| = 0
sendo ~∇f(P0) •H o prod. escalar de ~∇f(P0)
e H
73
Notac¸a˜o. df(P0;H) := ~∇f(P0) •H =
= h1
∂f
∂x1
(P0) + · · ·+ hn ∂f
∂xn
(P0)
(2) f e´ diferencia´vel no conjunto A se f e´
diferencia´vel em todos os pontos de A
(3) f e´ diferencia´vel se f e´ diferencia´vel em
seu domı´nio
Obs. Uma func¸a˜o z = f(x, y) e´ diferencia´vel
em P0 = (x0, y0) se sa˜o va´lidas as duas condi-
c¸o˜es seguintes:
d1) existem
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0)
d2) existe o limite (H = (h, k))
lim
h→0
k→0
f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−~∇f(x0,y0)•(h,k)
|(h,k)| =0
ou, equivalentemente, se esta˜o satisfeitas as
duas condic¸o˜es seguintes:
74
d1) existem
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0)
d′2) existe o limite
lim
x→x0
y→y0
f(x,y)−f(x0,y0)−~∇f(x0,y0)•(x−x0,y−y0)
|(x−x0,y−y0)| =0
Obs. Para ver d2)⇔ d′2), basta notar
x = x0 + h
y = y0 + k
⇔ h = x− x0
k = y − y0
e nesse caso
h→ 0
k → 0 ⇔
x→ x0
y → y0
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Ver pg. 64
75
Teo.2 A func¸a˜o z = f(x, y) e´ diferencia´vel
em P0 = (x0, y0) ⇔ existem a e b em IR tais
que se
π : z = f(x0, y0) + a(x− x0) + b(y − y0)
enta˜o
lim
x→x0
y→y0
f(x, y)− z
|(x− x0, y − y0)| = 0
(π passa por Q0 = (x0, y0, f(x0, y0)) e π e´ ⊥
a (a, b,−1)). Nesse caso,
a =
∂f
∂x
(x0, y0) e b =
∂f
∂y
(x0, y0)
Obs. Nas condic¸o˜es do Teo.2, o plano π tem
como equac¸a˜o
(x−x0) ∂f∂x (x0,y0)+(y−y0) ∂f∂y (x0,y0)−z+f(x0,y0)=0
Vemos que o vetor
~∇ :=
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0),−1
)
e´ normal ao plano π que passa pelo ponto
Q0 = (x0, y0, f(x0, y0)).
76
Ex.1 Prove que a func¸a˜o (ver pg. 65, Ap.)
f(x, y) = x2y − 2xy
e´ diferencia´vel em IR2
Sol. Seja P0 = (x0, y0) um ponto qualquer
fixado em IR2
(1) Ca´lculo de
~∇f(x0, y0) =
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)
)
∂f
∂x
(x, y) = 2xy − 2y e ∂f
∂y
(x, y) = x2 − 2x ⇒
~∇f(x, y) = (2xy − 2y, x2 − 2x)⇒
~∇f(x0, y0) = (2x0y0 − 2y0, x20 − 2x0)
Enta˜o a condic¸a˜o d1) esta´ satisfeita
(2) Ca´lculo do limite
L := lim
h→0
k→0
f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−~∇f(x0,y0)•(h,k)
|(h,k)|
77
Temos (ver pg. 66)
f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−~∇f(x0,y0)•(h,k)
|(h,k)| =
=
h2y0 + 2hkx0 + h
2k − 2hk
|(h, k)| =
=
h2y0 + 2(x0 − 1)hk + h2k
|(h, k)|
e portanto, como |(h, k)| = √h2 + k2, temos
L = y0L1 + 2(x0 − 1)L2 + L3
sendo L1 := limh→0
k→0
h2√
h2+k2
,
L2 := lim
h→0
k→0
hk√
h2 + k2
, L3 := lim
h→0
k→0
h2k√
h2 + k2
Como L1 = 0, L2 = 0 e L3 = 0 segue que
L = 0. Enta˜o a condic¸a˜o d2) esta´ tambe´m
satisfeita
Logo, dos ca´lculos (1) e (2) concluimos que a
func¸a˜o dada e´ diferencia´vel em P0 = (x0, y0).
Como P0 = (x0, y0) e´ um ponto arbitra´rio de
IR2, segue que a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em
todos os pontos de IR2
78
Ex.2 Discutir a diferenciabilidade de
f(x, y) :=


xy2
x2 + 2y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
em P0 = (0, 0)
Sol. (1) Ca´lculo de~∇f(0, 0). Como
fx(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
f(h, 0)
h
= lim
h→0
1
h
[
h(0)2
h2 + 2(0)2
]
= lim
h→0
1
h
(0) = 0
e fy(0, 0) = 0 (de modo ana´logo) segue que
~∇f(0, 0) = (fx(0, 0), fy(0, 0)) = (0, 0). Enta˜o
a condic¸a˜o d1) esta´ satisfeita
79
(2) Ca´lculo do limite
L := lim
h→0
k→0
f(h, k)− f(0, 0)− ~∇f(0, 0) • (h, k)
|(h, k)|
Sendo f(0, 0) = 0 e ~∇f(0, 0) • (h, k) = 0,
temos
L = lim
h→0
k→0
f(h, k)
|(h, k)| = limh→0
k→0
1
|(h, k)|f(h, k) =
= lim
h→0
k→0
1√
h2 + k2
hk2
h2 + 2k2
Como o limite
lim
h→0
k→0
k=h
1√
h2 + k2
hk2
h2 + 2k2
= lim
h→0
h3
3h2
1√
2
√
h2
=
1
3
√
2
lim
h→0
h
|h|
na˜o existe segue que o limite geral L na˜o e-
xiste. Enta˜o, a condic¸a˜o d2) na˜o esta´ satis-
feita. Logo, a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em
P0 = (0, 0)
80
Ex.3 Discutir a diferenciabilidade da func¸a˜o
f(x, y) := 2 +
√
x2 + y2 em 0 = (0, 0)
Sol. (1) Ca´lculo de ~∇f(0, 0). Temos
fx(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
2 +
√
h2 − 2
h
= lim
h→0
|h|
h
Assim, como
lim
h→0
|h|
h
6 ∃ ⇒ fx(0, 0) 6 ∃
Enta˜o, a condic¸a˜o d1) na˜o esta´ satisfeita. Lo-
go, a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel na origem
0 = (0, 0)
Obs. O gra´fico da func¸a˜o do Ex.3 apresenta
um “beco” no ponto (0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 2)
• A func¸a˜o e´ cont´ınua em (0, 0) (Ver Ex. 1(b),
Continuidade)
81
Relac¸a˜o entre
diferenciabilidade e continuidade
Considere dois subconj. abertos D e Ω ⊂ D
de IRn, um ponto P0 ∈ D e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
Teo.4 • Se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em P0
enta˜o f e´ cont´ınua em P0
• Se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em Ω enta˜o f
e´ cont´ınua em Ω
Obs. Teo.4: diferenciabilidade ⇒ continui-
dade
• Ex.3: continuidade 6⇒ diferenciabilidade
Teo.5 Se as derivadas parciais de primeira
ordem de f :
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
sa˜o cont´ınuas em Ω enta˜o, a func¸a˜o f e´ dife-
rencia´vel em Ω
82
Obs. Se as duas derivadas parciais da func¸a˜o
z = f(x, y): ∂f
∂x
e ∂f
∂y
sa˜o cont´ınuas em Ω
enta˜o, a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em Ω
Ex.4 Discutir a diferenciabilidade da func¸a˜o
f(x, y) := 2 +
√
x2 + y2
Sol. Estudo da diferenciabilidade na origem
0 = (0, 0): no Ex.3 temos visto que a func¸a˜o
z = 2 +
√
x2 + y2 na˜o e´ diferencia´vel nesse
ponto
Estudo da diferenciabilidade em IR2\{(0, 0)}:
como as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) =
x√
x2 + y2
∂f
∂y
(x, y) =
y√
x2 + y2
((x, y) 6= (0, 0))
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em IR2\{(0, 0)}, pelo
Teo.5, a func¸a˜o e´ diferencia´vel nesse conjunto
Em resumo: a func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel em
0 = (0, 0) e e´ diferencia´vel em IR2\{(0, 0)}
83
Ex.5 Discutir a diferenciabilidade da func¸a˜o
f(x, y) :=


xy2
x2 + 2y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Sol. Estudo em 0 = (0, 0): no Ex.2 temos
visto que a func¸a˜o dada na˜o e´ diferencia´vel
nesse ponto.
Estudo em IR2\{(0, 0)}: como as derivadas
parciais
∂f
∂x
(x, y) =
(x2 + 2y2)y2 − xy2(2x)
(x2 + 2y2)2
∂f
∂y
(x, y) =
(x2 + 2y2)2xy − xy2(4y)
(x2 + 2y2)2
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em IR2\{(0, 0)} (por
serem func¸o˜es racionais), pelo Teo.5, a func¸a˜o
dada e´ diferencia´vel nesse conjunto
Em resumo: a func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel em
0 = (0, 0) e e´ diferencia´vel em IR2\{(0, 0)}
84
Diferenciais e ca´lculo da diferencial
para func¸o˜es de va´rias varia´veis
Consideremos um subconj. aberto D de IRn
e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
Se f e´ diferencia´vel, P = (x1, . . . , xn) ∈ D e
H = (h1, . . . , hn) temos (H suficientemente
pequeno)
df(P ;H) := ~∇f(P ) ·H
=h1
∂f
∂x1
(P ) + · · ·+ hn ∂f
∂xn
(P )
Se z = f(x, y) e´ diferencia´vel, P = (x, y) ∈ D
e H = (h, k) temos
(⋆) df(P ;H) = h
∂f
∂x
(x, y) + k
∂f
∂y
(x, y)
Teo.3: Ver Pg. 70
85
Teo.4 • Toda func¸a˜o polinomial de duas (de
n) varia´veis e´ diferencia´vel em IR2 (em IRn)
• Toda func¸a˜o racional e´ diferencia´vel em seu
domı´nio
Ex.1 Prove que a func¸a˜o e´ diferencia´vel e cal-
cule df(P ;H), com P = (x, y) e H = (h, k),
nos casos:
(a) f(x, y) = x (b) f(x, y) = y
Sol. de (a). f(x, y) = x polinoˆmio ⇒ f e´
diferencia´vel em IR2. Como ∂f
∂x
(x, y) = 1 e
∂f
∂y
(x, y) = 0, usando a fo´rmula (⋆), obtemos
df(P ;H) = h
Sol. de (b). De modo ana´logo obtemos
df(P ;H) = k
Obs.1 Do Ex.1(a), como df = df(P ;H) = h
e df = dx (pois f = x) temos h = dx. De
modo ana´logo, do Ex.1(b), temos k = dy
86
Ex.2 Prove que a func¸a˜o f e´ diferencia´vel
e calcule df(P ;H), com P = (x1, . . . , xn) e
H = (h1, . . . , hn), nos casos:
a1) f(x1, . . . , xn) = x1, . . . ,
an) f(x1, . . . , xn) = xn
Sol. Exerc´ıcio
Obs.2 Do Ex.2, de modo ana´logo ao que foi
feito na Obs.1, temos
h1 = dx1 , h2 = dx2 , . . . , hn = dxn
A Obs.2 motiva a notac¸a˜o seguinte
Notac¸a˜o. Se f e´ diferencia´vel escreveremos
(“a diferencial de f”)
df = df(P ) := df(P ; dP ) = ~∇f(P ) · dP
=
∂f
∂x1
(P )dx1 + · · ·+ ∂f
∂xn
(P )dxn
sendo P=(x1,...,xn) e dP = (dx1, . . . , dxn)
87
Obs.3 Se z = f(x, y) e´ diferencia´vel escreve-
mos
dz = df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy
=
∂z
∂x
dx+
∂z
∂y
dy
Se w = f(x, y, z) e´ diferencia´vel escrevemos
dw = df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
=
∂w
∂x
dx+
∂w
∂y
dy +
∂w
∂z
dz
Ex.3 Se z = x2y2 + x3y, calcular dz
Sol. Sendo a func¸a˜o dada uma func¸a˜o poli-
nomial, ela e´ diferencia´vel. Como
∂z
∂x
= 2xy2 + 3x2y e
∂z
∂y
= 2x2y + x3
temos
dz = (2xy2 + 3x2y)dx+ (2x2y + x3)dy
Ex.4 Se w = xyz4 + cos yz, calcular dw
88
Acre´scimos e ca´lculo de variac¸o˜es
usando diferenciais
Consideremos z = f(x, y) uma func¸a˜o dife-
rencia´vel em um subconj. aberto D de IR2.
Para cada (x0, y0) ∈ D fixado, pela condic¸a˜o
d2) de diferenciabilidade, temos
lim
h→0
k→0
f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−~∇f(x0,y0)·(h,k)
|(h,k)| =0
ou, se h = x− x0 = ∆x e k = y − y0 = ∆y,
lim
∆x→0
∆y→0
f(x0+∆x,y0+∆y)−f(x0,y0)−~∇f(x0,y0)·(∆x,∆y)
|(∆x,∆y)| =0
Usando esse limite e fazendo
•∆z := f(x0+∆x, y0+∆y)−f(x0, y0): vari-
ac¸a˜o exata de z (∆z = ∆z(x0, y0))
• ∆x = dx e ∆y = dy
prova-se que
∆z ≈ ∂f
∂x
(x0, y0)dx+
∂f
∂y
(x0, y0)dy = dz
isto e´ ∆z ≈ dz (∆z|(x0,y0) ≈ dz|(x0,y0))
89
Ex. Se as dimenso˜es (em polegadas) de um
paralelep´ıpedo retaˆngulo variam de 9, 6 e 4
para 9.02, 5.97 e 4.01, respectivamente, uti-
lizando diferenciais, obtenha uma aproxima-
c¸a˜o da variac¸a˜o do volume. Qual e´ a variac¸a˜o
exata do volume? Qual e´ o erro cometido u-
sando diferenciais?
Sol. Temos V = V (x, y, z) = xyz. Calcular
∆V :=V (x0+∆x,y0+∆y,z0+∆z)−V (x0,y0,z0)
sendo (x0, y0, z0) = (9, 6, 4) e (∆x,∆y,∆z) =
(0.02,−0.03, 0.01) = (dx, dy, dz)
• Usando diferenciais: ∆V ≈ dV . Como
dV =
∂V
∂x
dx+
∂V
∂y
dy +
∂V
∂z
dz
∂V
∂x
= yz, ∂V
∂y
= xz e ∂V
∂z
= xy temos
dV = y0z0dx+ x0z0dy + x0y0dz
=6(4)0.02 + 9(4)(−0.03) + 9(6)0.01
= 24(0.02)− 36(0.03) + 54(0.01)
= − 0.06
90
e portanto ∆V ≈ dV = −0.06. Assim, o vo-
lume decresce aproximadamente de 0.06 pol3
• Variac¸a˜o exata:
∆V =V (9.02, 5.97, 4.01)− V (9, 6, 4) = · · ·
= − 0.063906
• Erro:
−0.06− (−0.063906) = 0.003906
91
Regra da cadeia
Consideremos um subconj. aberto D de IRn,
uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
e uma func¸a˜o vetorial P : I ⊂ IR → IRn com
CP ⊂ D, sendo I un intervalo aberto
No diagrama
w(t) = (f ◦ P )(t) = f(P (t)) .
Se
P (t) = (x1(t), . . . , xn(t))
temos
w(t) = f(x1(t), . . . , xn(t))
Obs. Se w = f(x1,x2, . . . , xn) e
x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t)
temos
w = w(t) = f(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) .
92
Teo. Se f e P sa˜o diferencia´veis enta˜o, f ◦P
tambe´m e´ diferencia´vel e vale a fo´rmula
(f ◦ P )′(t) = ~∇f(P (t)) • P ′(t) , (t ∈ I)
isto e´,
dw
dt
(t) = ~∇f(P (t)) • P ′(t)
93
Ex.1 Se
f(x, y) = xy3 e P (t) = (cos t, t)
verificar a igualdade
(1) (f ◦P )′(t) = ~∇f(P (t)) •P ′(t) , (t ∈ IR)
Sol. (f ◦ P )(t) = f(P (t)) = f(cos t, t)⇒
(f ◦ P )(t) = t3 cos t⇒
(2) (f ◦ P )′(t) = 3t2 cos t− t3sen t
~∇f(x, y) = ( ∂f
∂x
(x,y), ∂f
∂y
(x,y))=(y3,3xy2)⇒
~∇f(P (t)) = ~∇f(cos t, t) = (t3, 3t2 cos t)
Enta˜o, como P ′(t) = (−sen t, 1), temos
~∇f(P (t)) • P ′(t) = −t3sen t+ 3t2 cos t
o que junto com (2) implica (1)
94
Obs.1 Sendo w(t) = f(x1(t), . . . , xn(t)),
~∇f(P (t)) = ( ∂f
∂x1
(P (t)),..., ∂f
∂xn
(P (t))
)
P ′(t) =
dP
dt
(t) =
(
dx1
dt
(t), . . . ,
dxn
dt
(t)
)
e dw
dt
(t) = ~∇f(P (t)) • P ′(t), temos dw
dt
(t) =
=
∂f
∂x1
(P (t))
dx1
dt
(t)+ · · ·+ ∂f
∂xn
(P (t))
dxn
dt
(t)
o que, por comodidade, e´ escrita assim
dw
dt
=
∂f
∂x1
dx1
dt
+
∂f
∂x2
dx2
dt
+ · · ·+ ∂f
∂xn
dxn
dt
Obs.2 Se z = f(x, y), x = x(t) e y = y(t),
considerando a func¸a˜o
z = z(t) = f(x(t), y(t))
temos
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
95
Obs.3 Se w = f(x, y, z), x = x(t), y = y(t) e
z = z(t), considerando a func¸a˜o
w = w(t) = f(x(t), y(t), z(t))
temos
dw
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂z
dz
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂z
dz
dt
Ex. z = x2 + 2xy, x = s cos t e y = s sen t⇒
z = s2 cos2 t+ 2s2 cos t sen t = z(s, t): func¸a˜o
de s e t
Obs.4 Se z = f(x, y), x = x(s, t) e y =
y(s, t), considerando a func¸a˜o
z = z(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))
temos as derivadas parciais ∂z
∂s
e ∂z
∂t
dadas por
∂z
∂s
=
∂f
∂x
∂x
∂s
+
∂f
∂y
∂y
∂s
=
∂z
∂x
∂x
∂s
+
∂z
∂y
∂y
∂s
∂z
∂t
=
∂f
∂x
∂x
∂t
+
∂f
∂y
∂y
∂t
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
96
Obs.5 Se z = f(x, y) e y = y(x), conside-
rando a func¸a˜o
z = z(x) = f(x, y(x))
temos
z′(x) =
dz
dx
=
∂f
∂x
dx
dx
+
∂f
∂y
dy
dx
=
∂f
∂x
+
∂f
∂y
y′(x)
Ex.2 Se z = x2+2xy, x = s cos t e y = s sen t
calcular ∂z
∂s
e ∂z
∂t
Sol. Met.1 Calcular diretamente conside-
rando a func¸a˜o z = s2 cos2 t+ 2s2 cos t sen t
Met.2 Usando a regra da cadeia.
97
(1) Ca´lculo de ∂z
∂s
. Como (fazendo t const.)
• ∂z
∂s
= ∂z
∂x
∂x
∂s
+ ∂z
∂y
∂y
∂s
, ∂z
∂x
= 2x+2y e ∂z
∂y
= 2x
• ∂x
∂s
= cos t, ∂y
∂s
= sen t, x = s cos t e y =
s sen t
temos
∂z
∂s
=(2x+ 2y) cos t+ 2x(sen t)
= (2s cos t+ 2s sen t) cos t+
2s cos t(sen t)
= 2s cos2 t+ 4s sen t cos t
(2) Ca´lculo de ∂z
∂t
: fazendo s const.
∂z
∂t
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
=(2x+ 2y)(−s sen t) + 2x(s cos t)
= (2s cos t+ 2s sen t)(−s sen t)+
2s cos t(s cos t)
= − 2s2 cos t sen t− 2s2 sen2 t+
2s2 cos2 t
98
Ex.3 Se z = f(x, y), x = r cos θ e y = r senθ
mostrar que
(a)
∂z
∂r
=
∂f
∂x
cos θ +
∂f
∂y
senθ
(b)
1
r
∂z
∂θ
= − ∂f
∂x
senθ +
∂f
∂y
cos θ
Sol. de (a): fazendo θ const.
∂z
∂r
=
∂f
∂x
∂x
∂r
+
∂f
∂y
∂y
∂r
=
∂f
∂x
cos θ +
∂f
∂y
senθ
Sol. de (b): fazendo r const.
∂z
∂θ
=
∂f
∂x
∂x
∂θ
+
∂f
∂y
∂y
∂θ
=
∂f
∂x
(−r senθ) + ∂f
∂y
(r cos θ)⇒
∂z
∂θ
= r
(
−∂f
∂x
senθ +
∂f
∂y
cos θ
)
donde segue a igualdade requerida
99
Ex.4 Se z = f(u, v) e´ uma func¸a˜o diferencia´-
vel, u = x − y e v = y − x, mostrar que a
func¸a˜o
z = f(x− y, y − x)
verifica a equac¸a˜o diferencial
(1)
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 0
Sol. Pela regra da cadeia temos
∂z
∂x
=
∂f
∂u
∂u
∂x
+
∂f
∂v
∂v
∂x
=
∂f
∂u
− ∂f
∂v
e
∂z
∂y
=
∂f
∂u
∂u
∂y
+
∂f
∂v
∂v
∂y
= − ∂f
∂u
+
∂f
∂v
Somando essas duas igualdades obtemos (1)
100
Derivada direcional e gradiente
Consideremos um subconj. aberto D de IRn,
um ponto P0 em D e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
Teo. Se f e´ diferencia´vel em P0, enta˜o f tem
todas as derivadas direcionais em P0 e vale
Dvf(P0) = ~∇f(P0) • v
qualquer que seja o vetor unita´rio v em IRn
Corol. Se f e´ diferencia´vel em P0 e o vetor
~∇f(P0) 6= ~0, valem as afirmac¸o˜es
• O valor ma´ximo da derivada direcional de
f em P0 ocorre na direc¸a˜o e sentido do vetor
v1 :=
~∇f(P0)
|~∇f(P0)|
101
• O valor mı´nimo da derivada direcional de f
em P0 ocorre na direc¸a˜o e sentido do vetor
v2 := −
~∇f(P0)
|~∇f(P0)|
Prova. Seja v um vetor unita´rio qualquer em
IRn. Seja θ o aˆngulo formado por v e ~∇f(P0).
Pelo Teo. temos
Dvf(P0) = ~∇f(P0) • v = |~∇f(P0)||v| cos θ
= |~∇f(P0)| cos θ
ou
(1) Dvf(P0) = |~∇f(P0)| cos θ
Variando θ (ou equivalentemente variando v)
consideremos a func¸a˜o
g(θ) := |~∇f(P0)| cos θ , (0 ≤ θ < 2π)
Observemos o gra´fico da func¸a˜o g(θ):
102
• A func¸a˜o g(θ) tem um valor ma´ximo qdo.
θ = 0; isto e´, qdo. v րր ~∇f(P0). Assim,
por (1), o maior valor da derivada direcional
de f em P0 ocorre qdo. v = v1: Dvf(P0) =
|~∇f(P0)|
• A func¸a˜o g(θ) tem um valor mı´nimo qdo.
θ = π; isto e´, qdo. v րւ ~∇f(P0). Assim,
por (1), o menor valor da derivada direcional
de f em P0 ocorre qdo. v = v2: Dvf(P0) =
−|~∇f(P0)|
Obs. Se f e´ diferencia´vel em P0 e o vetor
~∇f(P0) 6= ~0, valem as afirmac¸o˜es
• O vetor ~∇f(P0) da´ a direc¸a˜o em que a
func¸a˜o cresce mais rapidamente e a taxa de
variac¸a˜o nessa direc¸a˜o e´ dada por
Dvf(P0) = |~∇f(P0)| sendo v :=
~∇f(P0)
|~∇f(P0)|
• O vetor −~∇f(P0) da´ a direc¸a˜o em que a
func¸a˜o decresce mais rapidamente e a taxa
de variac¸a˜o nessa direc¸a˜o e´ dada por
103
Dvf(P0) = −|~∇f(P0)| com v := −
~∇f(P0)
|~∇f(P0)|
Ex. Seja f(x, y) = x2 + xy + y2. Qual e´ a
direc¸a˜o em que a func¸a˜o f cresce mais rapi-
damente em P0 = (2, 1)? Qual e´ a derivada
direcional de f nesta direc¸a˜o?
Sol. A func¸a˜o cresce mais rapidamente na
direc¸a˜o e sentido do vetor
v =
~∇f(2, 1)
|~∇f(2, 1)|
• A derivada direcional de f nesta direc¸a˜o e´
Dvf(2, 1) = |~∇f(2, 1)|
• ~∇f(x, y) = (2x+ y, x+ 2y)
• ~∇f(2, 1) = (5, 4) e |~∇f(2, 1)| = √41
⇒ v = ( 5√
41
, 4√
41
) e Dvf(2, 1) =
√
41
104
Plano tangente a uma superf´ıcie
Consideremos uma superf´ıcie dada na forma
S = {(x, y, z) ∈ Ω | F (x, y, z) = c}
que sera´ escrita, por comodidade, na forma
S : F (x, y, z) = c , ((x, y, z) ∈ Ω)
em que Ω e´ um subconjunto aberto de IR3 e
w = F (x, y, z) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel
Ex.
x2 + y2 + z2 = 16 • x2 + y2 = 16
x2 + y2 = z2 • z + y2 − 4 = 0
x2 + y2 = z • ax+ by + cz + d = 0
Def. Se P0 = (x0, y0, z0) e´ um ponto na su-
perf´ıcie S e ~∇F (P0) 6= 0, o plano tangente
π a S em P0 e´ definido como sendo o plano
que passa por P0 e tem como normal o vetor
~∇F (P0); isto e´
π : (P − P0) • ~∇F (P0) = 0 , (P = (x, y, z))
105
Observando que
P − P0 =(x− x0, y − y0, z − z0)
~∇F (P0) =
(
∂F
∂x
(P0),
∂F
∂y
(P0),
∂F
∂z
(P0)
)
o plano π tem como equac¸a˜o
(1)
π :(x−x0) ∂F∂x (P0)+(y−y0) ∂F∂y (P0)+(z−z0) ∂F∂z (P0)=0
Ex.1 SejamD um subconjunto aberto de IR2,
z = f(x, y), (x, y) ∈ D, uma func¸a˜o diferen-
cia´vel, (x0, y0) ∈ D e S o gra´fico de f :
S : z = f(x, y) , ((x, y) ∈ D)
Prove que o plano tangente π a S em Q0 :=
(x0, y0, z0), sendo z0 := f(x0, y0) tem como
equac¸a˜o
(2)
z = f(x0, y0)+(x− x0)∂f
∂x
(x0, y0)+
+(y − y0)∂f
∂y
(x0, y0)
106Sol. Fazendo
F (x, y, z) := f(x, y)− z
a superf´ıcie S pode ser escrita na forma
S : F (x, y, z) = 0 , ((x, y) ∈ D , z ∈ Im (f))
Como, para P = (x, y, z)
∂F
∂x
(P ) =
∂f
∂x
(x, y)⇒ ∂F
∂x
(Q0)=
∂f
∂x
(x0,y0)
∂F
∂y
(P ) =
∂f
∂y
(x, y)⇒ ∂F
∂y
(Q0)=
∂f
∂y
(x0,y0)
∂F
∂z
(P ) = − 1⇒ ∂F
∂z
(Q0) = −1
usando a equac¸a˜o (1) temos
(x− x0)∂f
∂x
(x0, y0)+
+ (y − y0)∂f
∂y
(x0, y0) + (z − z0)(−1) = 0
donde, como z0 = f(x0, y0), segue a fo´rmula
(2)
107
Ex.2 Dar uma equac¸a˜o do plano tangente π
a` superf´ıcie S : z = 2x2+y2 em P0 = (1, 2, 6)
Met.1Usando o Ex.1: S e´ o gra´fico da func¸a˜o
f(x, y) = 2x2 + y2 (Exerc.)
Met.2 Fazendo F (x, y, z) := 2x2 + y2 − z, S
pode ser escrita assim
S : F (x, y, z) = 0
Pela eq. (1), o plano π tangente a S em P0
tem como equac¸a˜o
(x−x0) ∂F∂x (P0)+(y−y0) ∂F∂y (P0)+(z−z0) ∂F∂z (P0)=0
ou
(x−1) ∂F
∂x
(1,2,6)+(y−2) ∂F
∂y
(1,2,6)+(z−6) ∂F
∂z
(1,2,6)=0
Enta˜o, como
∂F
∂x
(x, y, z) = 4x⇒ ∂F
∂x
(1, 2, 6) = 4
∂F
∂y
(x, y, z) = 2y ⇒ ∂F
∂y
(1, 2, 6) = 4
∂F
∂z
(x, y, z) = − 1⇒ ∂F
∂z
(1, 2, 6) = −1
108
obtemos
4(x− 1) + 4(y − 2)− (z − 6) = 0
ou
π : z = 4x+ 4y − 6
Exerc. Fazer um esboc¸o de S e π
109
Ma´ximos e mı´nimos locais
para func¸o˜es de va´rias varia´veis
Lembrete: Seja y = f(x), x ∈ [a, b]
Na figura:
• Mı´nimo relativo em: x1, x3, x5
• Ma´ximo relativo em: x2, x4, x6
• Mı´nimo absoluto em x = x3
• Ma´ximo absoluto em x = x6
Obs. x3 e´ um ponto de mı´nimo relativo
de f : existe um intervalo aberto I3 em torno
de x3 tal que
f(x3) ≤ f(x) , para todo x ∈ I3
x2 e´ um ponto de ma´ximo relativo de f :
existe um intervalo aberto I2 em torno de x2
tal que
f(x) ≤ f(x2) , para todo x ∈ I2
110
Consideremos um subconj. D de IRn, pontos
P0, P1, P2 ∈ D e uma func¸a˜o
D ⊂ IRn
(x1, . . . , xn)
f→
7→
IR
f(x1, . . . , xn)
• P1 e´ um ponto de ma´ximo local de f em
D se existe uma bola aberta B1 := Br1(P1)
tal que
f(P ) ≤ f(P1) , ∀P ∈ B1 ∩D
Nesse caso, f(P1) e´ um valor ma´ximo local
de f em D
• P2 e´ um ponto de mı´nimo local de f em
D se existe uma bola aberta B2 := Br2(P2)
tal que
f(P2) ≤ f(P ) , ∀P ∈ B2 ∩D
Nesse caso, f(P2) e´ um valor mı´nimo local de
f em D
• P0 e´ um ponto extremo de f em D se P0
e´ um ponto de ma´ximo local ou de mı´nimo
local
111
• f(P0) e´ um valor extremo se P0 e´ um
ponto extremo de f
Obs.1 Se f ≥ 0, as func¸o˜es f e f2 teˆm os
mesmos pontos extremos
Interpretac¸a˜o geome´trica: Ver Pg. 94
No gra´fico:
• P1, P2, P3: pontos interiores de D
• Pontos de mı´nimo local: P1, P3
• Pontos de ma´ximo local: P2, P4
• P3 pto. de mı´n. loc., P3 ∈
o
D, ∂f
∂x
(P3) = 0,
∂f
∂y
(P3) = 0
Teo.1 Se P0 e´ um ponto interior de D, P0 e´
um ponto extremo de f e se existe ~∇f(P0)
(isto e´, se existem as derivadas parciais de
primeira ordem de f em P0), enta˜o
∂f
∂x1
(P0) = 0,
∂f
∂x2
(P0) = 0, . . . ,
∂f
∂xn
(P0) = 0
112
Def. Suponha que P0 ∈
o
D. P0 e´ um ponto
cr´ıtico de f se
∂f
∂x1
(P0) = 0,
∂f
∂x2
(P0) = 0, . . . ,
∂f
∂xn
(P0) = 0
ou uma das derivadas parciais
∂f
∂x1
(P0),
∂f
∂x2
(P0), . . . ,
∂f
∂xn
(P0)
na˜o existe
Def. Um ponto cr´ıtico que na˜o e´ um ponto
extremo e´ chamado ponto de sela
Ex.1 Achar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
f(x, y) = 2x2 + 4xy + 5y2 + 2x− y
Sol. Pelo Teo.1, achar os pontos (x, y) que
anulam as derivadas parciais de f :
fx(x, y) = 4x+4y+2 , fy(x, y) = 4x+10y−1
Fazendo fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0:
vemos que o ponto P0 = (−1, 12 ) e´ o u´nico
ponto cr´ıtico da func¸a˜o f
113
Ex.2 Achar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
z = f(x, y) = y2 − x2
Sol. Como
∂f
∂x
(x, y) = −2x , ∂f
∂y
(x, y) = 2y
fazendo fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, vemos
que a origem P0 = (0, 0) e´ o u´nico ponto
cr´ıtico da func¸a˜o f
Ex.3 Achar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o
z = f(x, y) = 2 +
√
y2 + x2
Sol. Temos
∂f
∂x
(x, y) =
x√
x2 + y2
∂f
∂y
(x, y) =
y√
x2 + y2
((x, y) 6= (0, 0))
No Ex.3, Diferenciabilidade, temos visto que
∂f
∂x
(0, 0) na˜o existe. Sendo assim, a origem
P0 = (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıtico da func¸a˜o
f
114
Caracterizac¸a˜o de
ma´ximos e mı´nimos locais
Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o tendo derivadas
parciais de 2
a
ordem cont´ınuas em um sub-
conjunto aberto Ω de IR2. Consideremos a
func¸a˜o Hessiana ∆: Ω→ IR definida por
∆(x, y) :=
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂2f
∂x2
(x, y)
∂2f
∂y∂x
(x, y)
∂2f
∂y∂x
(x, y)
∂2f
∂y2
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣
Teo.2 Se P0 = (x0, y0) e´ um ponto tal que
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 0
valem as afirmac¸o˜es:
(1) se ∆(x0, y0) > 0 temos
• ∂2f
∂x2
(x0, y0) > 0 ⇒ (x0, y0) e´ um ponto de
mı´nimo local
• ∂2f
∂x2
(x0, y0) < 0 ⇒ (x0, y0) e´ um ponto de
ma´ximo local
115
(2) se ∆(x0, y0) < 0, (x0, y0) e´ um ponto de
sela
(3) se ∆(x0, y0) = 0, nada podemos concluir
Ex.4 Achar os pontos de ma´ximo e de mı´ni-
mo local da func¸a˜o
z = f(x, y) = 2 + x2 + y2
Sol. Como
∂f
∂x
(x, y) = 2x = 0
∂f
∂y
(x, y) = 2y = 0
⇒ (x, y) = (0, 0)
vemos que P0 = (0, 0) e´ o u´nico ponto tal que
∂f
∂x
(P0) = 0 e
∂f
∂y
(P0) = 0. Como
∂2f
∂x2
(x, y) = 2⇒ ∂
2f
∂x2
(0, 0) = 2
∂2f
∂y∂x
(x, y) = 0⇒ ∂
2f
∂y∂x
(0, 0) = 0
∂2f
∂y2
(x, y) = 2⇒ ∂
2f
∂y2
(0, 0) = 2
116
temos
∆(0, 0) =
∣∣∣∣∣ 2 00 2
∣∣∣∣∣ = 4 > 0
Enta˜o, como ∂
2f
∂x2
(0, 0) = 2 > 0, P0 = (0, 0) e´
um ponto de mı´nimo local de f
Obs. Na realidade f(0, 0) = 2 e´ o menor
valor da func¸a˜o f : e´ o valor mı´nimo
Ex.5 Achar os pontos de ma´ximo e de mı´ni-
mo local da func¸a˜o
z = f(x, y) = y2 − x2
Sol. No Ex.2 temos visto que P0 = (0, 0) e´ o
u´nico ponto tal que ∂f
∂x
(P0) = 0 e
∂f
∂y
(P0) = 0.
Como
∂f
∂x
(x, y) = − 2x⇒


∂2f
∂x2
(x, y) = − 2
∂2f
∂y∂x
(x, y) = 0
∂f
∂y
(x, y) = 2y ⇒ ∂
2f
∂y2
(x, y) = 2
117
temos
∆(0, 0) =
∣∣∣∣∣−2 00 2
∣∣∣∣∣ = −4 < 0
Enta˜o, P0 = (0, 0) e´ um ponto de sela de f
Ex.6 Achar os pontos de ma´ximo e de mı´ni-
mo local da func¸a˜o
f(x, y) = 2x2 + 4xy + 5y2 + 2x− y
Sol. No Ex.1 temos visto que P0 = (−1, 12 ) e´
o u´nico ponto tal que ∂f
∂x
(P0) = 0 e
∂f
∂y
(P0) =
0. Como
∂f
∂x
(x, y) = 4x+ 4y + 2⇒


∂2f
∂x2
(x, y) = 4
∂2f
∂y∂x
(x, y) = 4
∂f
∂y
(x, y) = 4x+ 10y − 1⇒ ∂
2f
∂y2
(x, y) = 10
118
temos
∆
(
−1, 1
2
)
=
∣∣∣∣∣ 4 44 10
∣∣∣∣∣ = 40− 16 > 0
Enta˜o, como ∂
2f
∂x2
(−1, 12 ) = 4, P0 = (−1, 12 ) e´
um ponto de mı´nimo local de f
OBS. Prova-se que (pg. 96)
f(−1, 1
2
) = −5
4
e´ o menor valor da func¸a˜o f .
119
Ma´ximos e mı´nimos globais
para func¸o˜es de va´rias varia´veis
Hipo´tese. Consideremos D um subconjunto
de IRn, P0 um ponto emD e f : D ⊂ IRn → IR
uma func¸a˜o
Def. P0 e´ um ponto de ma´ximo de f em
D se
f(P ) ≤ f(P0) , ∀P ∈ D
Nesse caso, f(P0) e´ o valor ma´ximo de f em
D
• P0 e´ um ponto de mı´nimo de f em D se
f(P0) ≤ f(P ) , ∀P ∈ D
Nesse caso, f(P0) e´ o valor mı´nimo de f em
D
Obs.1 Se f ≥ 0, as func¸o˜es f e f2 teˆm os
mesmos pontos de ma´ximo (ou de mı´nimo)
120
Ex.1 Achar os pontos de ma´ximo e de mı´ni-
mo da func¸a˜o z = f(x, y) sobre D, sendo
f(x, y) = 2 + x2 + y2 e D : x2 + y2 ≤ 4
Sol. Temos Im (f) : 2 ≤ z ≤ 6; isto e´
2 ≤ f(x, y) ≤ 6 , ∀(x, y) ∈ D
• Todos os pontos (x, y) tais que f(x, y) = 2
sa˜o pontos de mı´nimo de f . Como
f(x, y) = 2⇔ 2 + x2 + y2 = 2⇔ (x,y)=(0,0)
vemos que a origem P0 = (0, 0) e´ o u´nico
ponto de mı´nimo de f
• Todos os pontos (x, y) tais que f(x, y) = 6
sa˜o pontos de ma´ximo de f . Como
f(x, y) = 6⇔ x2 + y2 = 4
vemos que todos os pontos dacircunfereˆncia
C : x2 + y2 = 4 sa˜o pontos de ma´ximo de f
121
Obs. • A rigor, para maximizar e/ou mini-
mizar a func¸a˜o f(x, y) = 2 + x2 + y2 sobre o
conj. D : x2 + y2 ≤ 4, estudar a func¸a˜o:
(1
o
) no conjunto aberto
o
D : x2 + y2 < 4,
procurando os pontos cr´ıticos
(2
o
) na circunfereˆncia C : x2 + y2 = 4, resol-
vendo um problema condicionado
• A func¸a˜o f(x, y) = 2 + x2 + y2 e´ cont´ınua
e o conj. D : x2 + y2 ≤ 4 e´ compacto
Teo. (de Weierstrass) Se a func¸a˜o f e´ con-
t´ınua e o conjunto D e´ compacto enta˜o, a
func¸a˜o f possui pelo menos um ponto de ma´x-
imo e pelo menos um ponto de mı´nimo; isto
e´, existem P1, P2 ∈ D tais que
f(P1)︸ ︷︷ ︸
V. mı´n.
≤ f(P ) ≤ f(P2)︸ ︷︷ ︸
V. ma´x.
, ∀P ∈ D
122
Obs. Para maximizar e/ou minimizar uma
func¸a˜o z = f(x, y) sobre um conjunto fechado
D ⊂ IR2, estudar a func¸a˜o:
(1
o
) no conjunto aberto
o
D, interior de D,
procurando os pontos cr´ıticos da func¸a˜o sobre
esse conjunto
(2
o
) na fronteira de D, ∂D, resolvendo um
problema condicionado: maximizar e/ou mi-
nimizar a func¸a˜o z = f(x, y) sujeita a` condi-
c¸a˜o g(x, y) = 0. Em geral, a fronteira de D e´
uma reunia˜o de curvas, cada uma de elas com
equac¸a˜o da forma g(x, y) = 0.
123
Ma´ximos e mı´nimos para func¸o˜es
de duas varia´veis sobre curvas
Prob.: “maximizar ou minimizar a func¸a˜o
z = f(x, y) sobre C : g(x, y) = 0” (v´ınculo
ou condic¸a˜o). Se a equac¸a˜o g(x, y) = 0 define
uma func¸a˜o y = y(x), x ∈ I, basta maximizar
ou minimizar a func¸a˜o
ϕ(x) := f(x, y(x)) , (x ∈ I)
Ex.2 Achar o ponto da curva
C : xy = 1 , x > 0 , y > 0
que se encontra mais pro´ximo da origem
Sol. Prob: minimizar a func¸a˜o d =
√
x2 + y2
sobre C : xy− 1 = 0. Equivale a minimizar a
func¸a˜o f(x, y) := d2 = x2 + y2 sobre a curva
C : xy = 1. Como y = 1
x
, x > 0, basta
minimizar a func¸a˜o
ϕ(x) := x2 +
1
x2
, x > 0
Aqui I =]0,+∞[: x > 0
124
Como
ϕ′(x) = 2x− 2
x3
=
2x4 − 2
x3
fazendo ϕ′(x) = 0 obtemos x = 1, que e´ o
u´nico ponto cr´ıtico de ϕ. Temos
ϕ′′(x) = 2 +
6
x4
⇒ ϕ′′(1) = 2 + 6 > 0
Assim, x = 1 e´ um ponto de mı´nimo local de
φ. Fazendo x = 1 em y = 1
x
obtemos y = 1.
O ponto P0 = (1, 1) e´ o mais pro´ximo da
origem e d =
√
2
Ex.3 Uma chapa D tem a forma do domı´nio
limitado pela curva C : 9x2 + 16y2 = 144.
Se T =
√
x2 + y2 e´ temperatura (em oC) em
qualquer ponto (x, y) da chapa, encontre os
pontosmais quentes e os pontosmais frios
da chapa, bem como as respectivas tempera-
turas.
Sol.
125
Prob: Maximizar e minimizar a func¸a˜o con-
t´ınua T =
√
x2 + y2 sobre o conjunto com-
pacto D : 9x2 + 16y2 ≤ 144. Equivale a tra-
balhar com a func¸a˜o f(x, y) := T 2 = x2+ y2.
Estudar a func¸a˜o:
• no conjunto aberto
o
D : 9x2 + 16y2 < 144
• na curva C : 9x2 + 16y2 = 144 (conj. com-
pacto)
(1
o
) Estudo da func¸a˜o no conjunto aberto
o
D:
Como
∂f
∂x
(x, y) = 2x = 0
∂f
∂y
(x, y) = 2y = 0
⇒ (x, y) = (0, 0)
vemos que P0 = (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıtico
de f em
o
D. Considerar
P0 = (0, 0)
Exerc. Caracterizar o ponto P0
126
(2
o
) Estudo na curva C : 9x2 + 16y2 = 144.
Como
9x2 + 16y2 = 144⇒ y2 = 9− 9
16
x2
basta maximizar e minimizar a func¸a˜o
ϕ(x) :=
1
16
(7x2 + 144) , −4 ≤ x ≤ 4
Temos
ϕ′(x) =
14
16
x = 0⇒ x = 0
Em ]− 4, 4[, x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de
ϕ. No intervalo [−4, 4] considerar os nu´meros:
x = −4, x = 0, e x = 4. Temos
x =0⇒ y2 = 9⇒ y = ±3 7→ (0,±3)
x = ± 4⇒ y2=9− 916 16=0 ⇒ y2 = 0 7→ (±4, 0)
Na curva C consideramos os pontos
(0,±3) , (±4, 0)
127
(3
o
) Comparando os valores da func¸a˜o nos
pontos considerados:
T (0, 0) =0 7→ Valor mı´n.
T (0,±3) =
√
9 = 3
T (±4, 0) =
√
16 = 4 7→ Valor ma´x.
vemos que a origem (0, 0) e´ o ponto mais frio e
os pontos (±4, 0) sa˜o os pontos mais quentes
Ma´ximos e mı´nimos para func¸o˜es
de treˆs varia´veis sobre superf´ıcies
Suponha que a equac¸a˜o g(x, y, z) = 0 define
uma func¸a˜o z = z(x, y), (x, y) ∈ D. Para ma-
ximizar ou minimizar a func¸a˜o w = f(x, y, z)
sobre a “superf´ıcie” S : g(x, y, z) = 0 (v´ınculo
ou condic¸a˜o), basta maximizar ou minimizar
a func¸a˜o
ϕ(x, y) := f(x, y, z(x, y)) , ((x, y) ∈ D)
Ex.4 Achar as dimenso˜es de uma caixa re-
tangular sem tampa de volume ma´ximo e
cuja a´rea lateral vale 3 m2
128
Sol. V = V (x, y, z) = xyz, x > 0, y > 0,
z > 0 e A = xy + 2xz + 2yz = 3
Prob: Maximizar a func¸a˜o cont´ınua V = xyz
sobre a superf´ıcie S : xy+2xz+2yz = 3 (que
na˜o e´ compacta). Como
z =
1
2
3− xy
x+ y
= z(x, y)
basta maximizar a func¸a˜o
V = V (x, y) =
1
2
3− xy
x+ y
xy =
1
2
3xy − x2y2
x+ y
o que equivale a trabalhar com a func¸a˜o
f(x, y) :=
3xy − x2y2
x+ y
em Ω : x > 0 , y > 0
Como
∂f
∂x
(x, y) =
y2
(x+ y)2
(3− x2 − 2xy)
∂f
∂y
(x, y) =
x2
(x+ y)2
(3− y2 − 2xy)
fazendo ∂f
∂x
(x, y) = 0 e ∂f
∂y
(x, y) = 0 temos
129
3− x2 − 2xy =0
3− y2 − 2xy =0 ⇒
x2 =3− 2xy
y2 =3− 2xy ⇒ y = x
Fazendo y = x em x2 = 3− 2xy temos 3x2 =
3: x = ±1. Assim, x = 1 e y = 1. Vemos que
P0 = (1, 1) e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f em Ω.
Ca´lculo de ∆(1, 1): como ∂
2f
∂x2
(1, 1) = −1,
∂2f
∂y∂x
(1, 1) = −1
2
e
∂2f
∂y2
(1, 1) = −1 :
∆(1, 1) =
∣∣∣∣∣∣∣
−1 − 1
2
−1
2
− 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 1−
1
4
=
3
4
Enta˜o, como ∂
2f
∂x2
(1, 1) = −1, P0 = (1, 1) e´
um ponto de ma´ximo local de f . Fazendo
x = y = 1 em z = 12
3−xy
x+y temos z =
1
2 . Para
x = 1, y = 1 e z = 12 o volume V e´ ma´ximo
sujeita a` condic¸a˜o xy + 2xz + 2yz = 3
130
O me´todo dos multiplicadores
de Lagrange
Teo. Consideremos Ω um subconj. aberto de
IR3 e w = f(x, y, z), w = g(x, y, z), (x, y, z)
em Ω, func¸o˜es tendo derivadas parciais de 1
a
ordem cont´ınuas. Seja P0 = (x0, y0, z0) ∈ Ω
um ponto extremo de w = f(x, y, z) sa-
tisfazendo a condic¸a˜o g(x, y, z) = 0 (ou seja
g(x0, y0, z0) = 0) tal que ~∇g(P0) 6= ~0. Enta˜o,
existe λ0 ∈ IR tal que
~∇f(P0) = λ0~∇g(P0)
ou seja
∂f
∂x
(x0, y0, z0) =λ0
∂g
∂x
(x0, y0, z0)
∂f
∂y
(x0, y0, z0) =λ0
∂g
∂y
(x0, y0, z0)
∂f
∂z
(x0, y0, z0) =λ0
∂g
∂z
(x0, y0, z0)
131
O me´todo. Para achar um ponto cr´ıtico
da func¸a˜o w = f(x, y, z) sujeita a` condic¸a˜o
g(x, y, z) = 0 considerar a func¸a˜o auxiliar
(lagrangiana) Multiplicador de Lagrange︸ ︷︷ ︸
F (x, y, z, λ) := f(x, y, z)︸ ︷︷ ︸
F. objetivo
−
↓
λ g(x, y, z)︸ ︷︷ ︸
V´ınculo
e procurar os pontos cr´ıticos (x, y, z, λ) desta
nova func¸a˜o. Para isso devemos resolver o
sistema de equac¸o˜es
Fx = Fy = Fz = Fλ = 0
Ex.1 (Ver Ex.2, Ma´x. e mı´n. globais) Achar
o ponto da curva
C : xy = 1 , x > 0 , y > 0
que se encontra mais pro´ximo da origem
Sol. Prob: minimizar a func¸a˜o d =
√
x2 + y2
sobre C : xy− 1 = 0. Equivale a minimizar a
func¸a˜o f(x, y) := d2 = x2 + y2 sobre a curva
C : xy − 1 = 0.
132
Consideremos a func¸a˜o auxiliar
F (x, y, λ) := x2 + y2 + λ(xy − 1)
Como
Fx = 2x+ λy , Fy = 2y + λx e Fλ = xy − 1
fazendo Fx = Fy = Fλ = 0, temos

2x+ λy =0
2y + λx =0
⇒


x
y
= − 1
2
λ
y
x
= − 1
2
λ
(⋆)
=⇒ y = x
xy = 1
Levando y = x em xy = 1 temos
x2 = 1
x>0
=⇒ x = 1 y=x=⇒ y = 1
O ponto P0 = (1, 1) e´ o mais pro´ximo da
origem, dentre os pontos da curva C. Temos
d =
√
2
(⋆): y2 = x2 ⇒ y = x, pois x > 0 e y > 0
133
Ex.2 (Ver Ex.3, Ma´x. e mı´n. globais, Estudo
na curva C) Achar os pontos de ma´ximo e
de mı´nimo da func¸a˜o T =
√
x2 + y2 sobre a
elipse C : 9x2 + 16y2 = 144
Sol. Basta maximizar e minimizar a func¸a˜o
f(x, y) := T 2 = x2 + y2 sujeita a` condic¸a˜o
9x2 + 16y2 − 144 = 0. Considerar a func¸a˜o
F (x, y, λ) := x2 + y2 − λ(9x2 + 16y2 − 144)
Como Fx = 2x− 18λx,Fy = 2y − 32λy e
Fλ = −(9x2 + 16y2 − 144)
fazendo Fx = Fy = Fλ = 0, temos

x(1− 9λ) = 0 (1)⇒ x = 0 ou λ = 1
9
y(1− 16λ) = 0 (2)
9x2 + 16y2 =144 (3)
• x = 0 (3)=⇒16y2 = 144⇒ y = ±3: (0,±3)
• λ = 19
(2)
=⇒y = 0 (3)=⇒9x2 = 144 ⇒ x = ±4:
(±4, 0)
134
Como
T (0,±3) =
√
9 = 3 e T (±4, 0) =
√
16 = 4
vemos que os pontos (0,±3) sa˜o de mı´nimo e
os pontos (±4, 0) sa˜o de ma´ximo de T sobre
C
Ex.3 (Ver Ex.4, Ma´x. e mı´n. globais) Achar
as dimenso˜es de uma caixa retangular sem
tampa de volume ma´ximo e cuja a´rea lateral
vale 3 m2
Sol. Temos V = V (x, y, z) = xyz, x > 0,
y > 0, z > 0 e A = xy + 2xz + 2yz = 3
Prob: Maximizar a func¸a˜o V = xyz sujeita
a` condic¸a˜o xy+2xz+2yz−3 = 0. Considerar
F (x, y, z, λ) := xyz + λ(xy + 2xz + 2yz − 3)
Calculando Fx, Fy, Fz , Fλ e fazendo = 0:
Fx = 0 : yz + λy + 2λz =0 (1)
Fy = 0 : xz + λx+ 2λz =0 (2)
Fz = 0 : xy + 2λx+ 2λy =0 (3)
Fλ = 0 : xy + 2xz + 2yz =3 (4)
135
(1)\(2): (y − x)z + λ(y − x) = 0⇒
(y − x)(z + λ) = 0⇒ y = x ou λ = −z
• λ = −z (2)=⇒xz−zx−2z2 = 0⇒ z = 0 o que
na˜o pode ocorrer, pois z > 0. Assim, y = x.
• y = x (3)=⇒x2+2λx+2λx = 0⇒ x2+4λx = 0
⇒ x(x+ 4λ) = 0 x>0=⇒ λ = −x
4
• λ = −x4
(2)
=⇒ xz−x24 −xz2 = 0
x>0
=⇒ z = x2
• y = x e z = x2
(4)
=⇒ x2 + x2 + x2 = 3⇒
3x2 = 3
x>0
=⇒ x = 1⇒ y = 1 e z = 1
2
Para x = 1, y = 1 e z = 12 o volume V e´
ma´ximo sujeita a` condic¸a˜o xy+2xz+2yz = 3
136
O me´todo com dois multiplicadores
de Lagrange
Para achar um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o
w = f(x, y, z) sujeita a duas condic¸o˜es adi-
cionais g1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, z) = 0, con-
siderar a func¸a˜o auxiliar
F := f(x, y, z)− λg1(x, y, z)− µg2(x, y, z)
com F = F (x, y, z, λ, µ), e procurar os pontos
cr´ıticos (x, y, z, λ, µ) desta nova func¸a˜o. Para
isso devemos resolver o sistema de equac¸o˜es
Fx = Fy = Fz = Fλ = Fµ = 0
Ex.: Ver Ex., pg. 108
137
Transformac¸o˜es:
mudanc¸a de coordenadas
Consideremos E e D subconjuntos de IRn
Def. Uma transformac¸a˜o de E sobre D e´
uma func¸a˜o T cujo domı´nio e´ E e cuja ima-
gem e´ D (D = Im (T ) = T (E))
Obs. Uma transformac¸a˜o e´ (por definic¸a˜o)
uma func¸a˜o sobrejetora
Notac¸a˜o.1
T : E ⊂ IRn
P
→
7→
D ⊂ IRn
Q = T (P )
sendo P = (x1, . . . , xn) e Q = (u1, . . . , un)
Notac¸a˜o.2
(1) T :


u1 =u1(x1, . . . , xn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un =un(x1, . . . , xn)
sendo P = (x1, . . . , xn) ∈ E
138
• As n func¸o˜es reais
u1 = u1(x1, . . . , xn), . . . , un = un(x1, . . . , xn)
sa˜o chamadas func¸o˜es coordenadas de T
• As fo´rmulas (1) sa˜o chamadas fo´rmulas de
mudanc¸a de coordenadas
Obs. a) (n = 2) E e D sa˜o subconjs. de IR2
As func¸o˜es coordenadas de T sa˜o
T :
{
u =u(x, y)
v = v(x, y)
, ((x, y) ∈ E)
b) (n = 3) E e D sa˜o subconjuntos de IR3
As func¸o˜es coordenadas de T sa˜o
T :


u =u(x, y, z)
v = v(x, y, z)
w =w(x, y, z)
, ((x, y, z) ∈ E)
139
Transformac¸o˜es invers´ıveis
Def. Uma transformac¸a˜o T : E → D e´ in-
vers´ıvel se T e´ injetora
Obs. Seja T uma transformac¸a˜o invers´ıvel.
Enta˜o, T e´ uma func¸a˜o bijetora
Dado Q ∈ D, existe um u´nico P ∈ E tal que
T (P ) = Q. Tal ponto P e´ chamado imagem
inversa de Q por T . Notac¸a˜o:
T−1(Q) = P
Desse modo fica definida uma func¸a˜o
T−1:D
Q
→
7→
E
T−1(Q) = P
Assim, se T e´ invers´ıvel:
Q = T (P )⇔ P = T−1(Q) ou
T :


u1 =u1(P )
. . . . . . . . . . . .
un =un(P )
⇔ T−1 :


x1 =x1(Q)
. . . . . . . . . . . .
xn =xn(Q)
sendo P = (x1, . . . , xn) e Q = (u1, . . . , un)
140
• Para n = 2:
T :
{
u =u(x, y)
v = v(x, y)
⇔ T−1 :
{
x =x(u, v)
y = y(u, v)
• Para n = 3:
T :


u =u(x, y, z)
v = v(x, y, z)
w =w(x, y, z)
⇐⇒T−1:


x =x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
Ex. Dada a transformac¸a˜o
(1) T :
{
u =x+ y
v =x− y , (x, y) ∈ IR
2
(a) Mostre que T e´ invers´ıvel e calcule T−1
(b) Se E : |x| + |y| ≤ 1, calcule a imagem de
E, D = T (E), (geome´trica e) analiticamente
Sol. de (a): (1)⇒{
u+ v =2x
u− v =2y ⇒ T
−1 :


x =
1
2
(u+ v)
y =
1
2
(u− v)
141
Sol. de (b): |x| + |y| = 1 ⇒ |y| = 1 − |x| ⇒
y = ±(1− |x|). Assim
|x|+ |y| = 1⇒ y = 1− |x| ou y = |x| − 1
E geometricamente:
Como
D = T (E) = {T (x, y) | (x, y) ∈ E} =
= {(u, v) | u = x+ y , v = x− y , (x, y) ∈ E }
• |u| = |x+ y| ≤ |x|+ |y| ≤ 1⇒ |u| ≤ 1
• |v| = |x− y| ≤ |x|+ |y| ≤ 1⇒ |v| ≤ 1
temos
D = {(u, v) | |u| ≤ 1 , |v| ≤ 1}
ou
D : |u| ≤ 1 , |v| ≤ 1
142
O jacobiano de uma transformac¸a˜o
Seja Ω um subconj. aberto de IRn e T uma
transformac¸a˜o de Ω sobre T (Ω):
T :


u1 =u1(P )
. . . . . . . . . . . .
un =un(P )
sendo P = (x1, . . . , xn) ∈ Ω, tais que as fun-
c¸o˜es componentes de T teˆm derivadas parciais
de 1
a
ordem. O jacobiano de T
JT : Ω
P
→
7→
IR
JT (P )
e´ definido por
JT (P ):=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u1
∂x1
(P )
∂u1
∂x2
(P ) . . .
∂u1
∂xn
(P )
∂u2
∂x1
(P )
∂u2
∂x2
(P ) . . .
∂u2
∂xn
(P )
. . . . . . . . . . . .
∂un
∂x1
(P )
∂un
∂x2
(P ) . . .
∂un
∂xn
(P )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
143
Obs. (a) (n = 2) Se
T :
{
u =u(x, y)
v = v(x, y)
, (x, y) ∈ Ω
temos
JT (x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂x
(x, y)
∂u
∂y
(x, y)
∂v
∂x
(x, y)
∂v
∂y
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣
(b) (n = 3) Se
T :


u =u(x, y, z)
v = v(x, y, z)
w =w(x, y, z)
, (x, y, z) ∈ Ω
para P = (x, y, z) ∈ Ω temos
JT (P ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂x
(P )
∂u
∂y
(P )
∂u
∂z
(P )
∂v
∂x
(P )
∂v
∂y
(P )
∂v
∂z
(P )
∂w
∂x
(P )
∂w
∂y
(P )
∂w
∂z
(P )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
144
Ex. Calcular o jacobiano da transformac¸a˜o
T :
{
u =x+ y
v =x− y , (x, y) ∈ IR
2
Sol. Como
JT (x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂u
∂x
(x, y)
∂u
∂y
(x, y)
∂v
∂x
(x, y)
∂v
∂y
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣


∂u
∂x
(x, y) = 1 ,
∂u
∂y
(x, y) = 1
∂v
∂x
(x, y) = 1 ,
∂v
∂y
(x, y) = −1
temos
JT (x, y) =
∣∣∣∣∣ 1 11 − 1
∣∣∣∣∣ = −2
145
Coordenadas polares
Consideremos um ponto P = (x, y) ∈ IR2
• Se P 6= (0, 0), as coordenadas polares de
P sa˜o r e θ, sendo
⋆ r a distaˆncia de P a` origem O = (0, 0)
⋆ θ o aˆngulo que o raio vetor ~OP faz com
a parte positiva do eixo X
Convenc¸a˜o. Por comodidade (e para evitar
ambigu¨idades) suporemos sempre
0 ≤ θ < 2π
• Se P = (0, 0), as coordenadas polares de
P sa˜o r = 0 e θ indeterminado; isto e´, θ e´
qualquer em [0, 2π[
Obs. Nas figuras:
• Todos os pontos da semireta teˆm o mesmo
aˆngulo polar θ
• Todos os pontos da circunfereˆncia teˆm o
mesmo raio polar r
146
Para P = (x, y) do plano observemos:
As relac¸o˜es x = r cos θ e y = r sen θ definem
uma transformac¸a˜o do plano rθ no planoXY :
T :
{
x = r cos θ = x(r, θ)
y = r sen θ = y(r, θ)
que transforma o conjunto
E := {(r, θ) | r > 0 , 0 ≤ θ < 2π}
no conj. D := IR2\{(0, 0)} : (x, y) 6= (0, 0):{
x2 = r2 cos2 θ
y2 = r2 sen2 θ
⇒ x2 + y2 = r2 , r > 0
• r = 1, 0 ≤ θ < 2π 7−→ x2 + y2 = 1
• r = 2, 0 ≤ θ < 2π 7−→ x2 + y2 = 4
• r = r0, 0 ≤ θ < 2π 7−→ x2 + y2 = r20
147
A imagem do segmento (pela transf. T )
{(r, θ) | r = 0 , 0 ≤ θ < 2π}
e´ a origem (0, 0) (no plano XY ):
Obs.2 A transformac¸a˜o T de E sobre D e´
invers´ıvel:
T :
{
x = r cos θ = x(r, θ)
y = r sen θ = y(r, θ)
=⇒T−1:
{
r = r(x, y)
θ = θ(x, y)
sendo
T−1 :


r =
√
x2 + y2
θ =arc tg
(y
x
)
, x 6= 0 ou
θ =arc cos
(
x√
x2 + y2
)
Obs.3 Observar o seguinte esquema
148
O jacobiano da transformac¸a˜o
Sendo
T :
{
x = r cos θ
y = r sen θ
, JT (r, θ) =
∣∣∣∣∣xr xθyr yθ
∣∣∣∣∣