PIBIC Heitor Trielli Final (2)

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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS 
 
Escola Brasileira de Economia e Finanças 
 
 
Roteiro para Elaboração do Relatório PIBIC 2019 - 2020 
 
 
 
Título do projeto: Análise do mercado de crédito brasileiro sob assimetria informacional 
Nome completo do aluno: Heitor Trielli Zanoni Ferreira 
Matrícula do aluno: 171201051 
 
Nome completo do orientador: Lucas Jóver Maestri 
 
Nome da escola: Escola Brasileira de Economia e Finanças 
Área de concentração: Teoria Geral da Economia 
Linha de pesquisa: Assimetria Informacional 
 
Projeto de pesquisa: Comportamento dos agentes no mercado de crédito 
 
 
 
 
 
 
 
Assinatura do aluno bolsista Assinatura do Orientador 
 
 
 
 
Assinatura do Coordenador 
 responsável pelo PIBIC 
 
 
 
ESCOLA BRASILEIRA DE ECONOMIA E FINAÇAS 
 
 
 
 
Heitor Trielli Zanoni Ferreira 
 
 
 
ANÁLISE DO MERCADO DE CRÉDITO BRASILEIRO SOB ASSIMETRIA 
INFORMACIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
Orientador Lucas Jóver Maestri 
 
Rio de Janeiro 
2020 
1
INSTITUIÇÃO FINANCIADORA
- Esse projeto de pesquisa foi financiado pelo Programa Institucional de Bolsas de Inicia-
ção Científica (PIBIC), desenvolvido pelo CNPq.
2
RESUMO
Este estudo cria um modelo que trata sobre os incentivos, tanto do governo, quanto dos
tomadores e emprestadores de crédito num mercado de crédito com a presença de assimetria in-
formacional. A pretensão do modelo é explicar os impactos de uma política de perdão de dívida
nas condições do mercado de crédito permanecer operante, tal como os efeitos de tal política
nos juros cobrados pela firma credora. Dadas algumas hipóteses, chegamos às conclusões que
quanto maiores forem as chances de uma política de perdão de crédito, maiores serão os juros
cobrados. Além disso, quanto mais forte for a política, também maiores serão tais juros. Desta
forma, temos que esses dois efeitos também dificultam a existência do mercado, uma vez que
para manter o lucro da firma (que é competitiva) no zero, é necessário que não haja inadimplên-
cia em nenhum estado, o que será dificultado a medida que os juros sobem. O modelo também
conclui que há fatores no devedor que facilitam o equilíbrio com empréstimos, mesmo com a
política governamental. São eles: seu retorno pelo esforço e o quanto a utilidade futura lhe é
cara, sendo ambos positivos para a adimplência. No modelo também achamos a escolha ótima
da probabilidade de perdão de dívida que o governo irá realizar.
Palavras-chave: Mercado de Crédito, Risco Moral, Assimetria Informacional
3
ABSTRACT
This study creates a model that deals with incentives, both from the government, as well
as from borrowers and lenders in a credit market with the presence of information asymmetry.
The intention of the model is to explain the impacts of a debt forgiveness policy on the market
conditions to remain operating, as well as the effects of such policy on the interest charged by
the firm. Given some hypotheses, we have come to the conclusion that the greater the chances
of a credit forgiveness policy, the greater is the interest rate charged by the firm. In addition, the
stronger the policy, the higher the interest. Thus, we have that these two effects also hamper the
existence of the market, since to maintain the firm’s profit (which is competitive) at zero, it is
necessary that there is no default in any state, which will become more difficult as the interest
goes up. The model also concludes that there are some factors in the debtor that facilitate the
market equilibrium with loans, even with the governmental policy. They are: his income return
per effort and how much the future utility is dear to him, both having positive effects for the
payment. In the model, we also find the optimal probability of debt forgiveness chosen by the
government.
Keywords: Credit Market, Moral Hazard, Informational Asymmetry
SUMÁRIO
1 Introdução 1
1.1 Apresentando os modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Primeiro Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Segundo Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Objetivos e Referencial Teórico 4
3 Resolvendo os Modelos 5
3.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Exemplos 9
4.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Conclusão 14
6 Referências 15
7 Cronograma e Atividades Desenvolvidas 16
1
1 Introdução
O mercado de crédito brasileiro é amplamente conjugado com a inadimplência dos deve-
dores, em particular dos que são pessoa física, o que causa uma redução na demanda agregada.
Por conta disso, pode-se parecer apetitoso aos olhos do governo criar uma política de perdão de
crédito, tendo como finalidade aumentar essa demanda. Além dessa finalidade, tal política pode
ter fins considerados menos técnicos, como aumentar a popularidade do governo, ou quem sabe
um candidato a presidência pode se sentir inclinado a prometer tal perdão de modo a aumentar
sua probabilidade de vitória.
Entretanto, as politicas de perdão de crédito, quando internalizadas pelo tomador de em-
préstimo, podem vir a desestimulá-lo a trabalhar, pois os agentes sabem que, no futuro, o crédito
tomado será mais facilmente pago. Além disso, tal política também estimula um aumento no
crédito demandado, pelo mesmo motivo. Ambos os fatores trazem um risco maior à firma, pois
o retorno que ela terá é dependente do juros cobrado, mas se houver uma politica de perdão por
meio da redução compulsória do juros pago pelos devedores, o retorno da firma diminui. Por
conta disso, o governo não pode apenas instaurar uma política de perdão de divida sem muita
reflexão, pois a depender de como ela é formulada podemos desestabilizar o mercado de crédito
para um equilíbrio não favorável.
Desta forma, seria interessante ter ummodelo que leva em consideração tanto os possíveis
incentivos aos agentes públicos (como o governo e candidatos) na criação (ou promessa) de tal
política, tanto quanto nos incentivos dos agentes privados (devedores e emprestadores) perante
a possibilidade de uma semelhante política vir a existir no futuro. Esse estudo pretende criar
tal modelo, de modo a investigar qual seria a solução ótima para um governo decidido a tomar
a melhor escolha frente a essa configuração. Formularemos então dois modelos, começando
do mais simples (sem o governo), ao mais complicado (com o governo), que incorporarão os
incentivos dos agentes dentro do mercado de crédito. O segundo, em particular, levará em conta
os possíveis problemas de risco moral que essa política pode trazer.
1.1 Apresentando os modelos
Seguiremos então para uma breve apresentação das hipóteses basilares relativas à ambos
os modelos. Tendo em mãos estas hipóteses, trataremos então na sessão 3 de resolver os mo-
delos analiticamente e na sessão 4 veremos como eles se comportam com uma forma funcional
explicita para a ’utilidade’ de cada agente.
1.1.1 Primeiro Modelo
O primeiro modelo será apenas para estruturar como o agente e a firma escolhem o crédito
ótimo demandado e ofertado. Para isso, teremos as seguintes hipóteses:
2
1. Teremos dois períodos;
2. Teremos dois agentes: o credor e o devedor;
3. No primeiro período o credor escolherá de forma competitiva a taxa de juros 𝑟 que maxi-
mizará seu lucro 𝜋 e dirá se ele aceita ou não emprestar o crédito demandado pelo outro
agente. Já o devedor, escolhe a quantidade 𝑐 ≥ 0 de crédito que ele tomará, além de sua
ação 𝑎 a ser realizada;
4. A ação escolhida pelo credor é informação privada e impactará a sua renda 𝑤 do segundo
período. Além disso, o agente desconta à uma taxa 𝛽 ∈ [0, 1] a utilidade 𝑢2 do segundo
período. Caso 𝑤 seja menor que 𝑐(1 + 𝑟), todo seu dinheiro vai para o credor e sua uti-
lidade no períodoserá 𝑢. Mais a frente, entretanto, mostraremos que esse segundo caso
não ocorrerá nunca, pois traz a firma à um lucro negativo. Matematicamente:
𝑈(𝑤, 𝑐, 𝑟, 𝑎) = 𝑢1(𝑐, 𝑎) + 𝛽𝑢2(𝑤, (1 + 𝑟)𝑐), caso 𝑤 ≥ 𝑐(1 + 𝑟)
𝑈(𝑤, 𝑐, 𝑟, 𝑎) = 𝑢1(𝑐, 𝑎) + 𝛽𝑢, caso contrário
5. O lucro 𝜋 do credor é dado pelo quanto ele arrecadará de juros menos o custo de investir
o mesmo dinheiro num investimento que paga a taxa livre de risco 𝑟′. Além disso, a
depender de 𝑤, o banco pode receber o juros integral ou não. Em cada cenário teremos
respectivamente que o lucro é:
𝜋 = (1 + 𝑟)𝑐 − (1 + 𝑟′)𝑐
𝜋 = 𝑤 − (1 + 𝑟′)𝑐
6. Teremos que a 𝑢1 será separável entre as variáveis que lhe afetam positivamente (𝑐) e ne-
gativamente (𝑎). Além disso, no segundo período, teremos que a utilidade é positivamente
afetada pela renda 𝑤 e negativamente afetada pelo pagamento da dívida que foi contraída
o primeiro período 𝑐(1 + 𝑟). A renda 𝑤 cresce com 𝑎, o que nos dá as seguintes relações:
𝑢1(𝑐, 𝑎) = 𝑣(𝑐) − 𝑐(𝑎)
𝜕𝑣(𝑐)
𝜕𝑐 > 0,
𝜕𝑐(𝑎)
𝜕𝑎 < 0
𝜕𝑢2(𝑤, 𝑐)
𝜕𝑤(𝑎) > 0,
𝜕𝑤(𝑎)
𝜕𝑎 > 0,
𝜕𝑢2(𝑤, 𝑐)
𝜕𝑐(1 + 𝑟) < 0
1.1.2 Segundo Modelo
Neste segundo modelo, incorpora-se o governo e sua função objetivo.
3
1. Modelo de dois períodos;
2. Teremos três agentes: o credor, o devedor e o governo.
3. Antes das escolhas dos demais agentes, o governo escolhe uma probabilidade 𝑝 de realizar
a política de perdão de dívida que irá operar no segundo período, que reduzirá o juros de
𝑟 para 𝑟. As informações sobre 𝑝 e 𝑟 são públicas e os devedores sabem delas antes de
escolher 𝑐 e 𝑎 e o banco antes de escolher 𝑟. Por fim, assumimos que 𝑟 < 𝑟′ por se tratar
de uma política de perdão de dívida (caso contrário o juros imposto pelo governo seria
maior que o escolhido pelo banco sem intervenção).
4. No primeiro período o credor escolherá de forma competitiva a taxa de juros 𝑟 que maxi-
mizará seu lucro 𝜋. Já o devedor, escolhe a quantidade 𝑐 ≥ 0 de crédito que ele tomará,
além de sua ação 𝑎 a ser realizada.
5. O agente se comporta como no primeiro modelo. Agora a utilidade é afetada pela polí-
tica de perdão no segundo período levando em conta sua utilidade esperada, nos dando a
seguinte a seguinte equação:
𝑈(𝑤, 𝑐, 𝑝, 𝑟, 𝑟, 𝑎) = 𝑢1(𝑐, 𝑎) + 𝛽[𝑝𝑢2(𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐) + (1 − 𝑝)𝑢2(𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐]
6. A função valor do governo 𝑔(𝑎, 𝑝) é crescente tanto em 𝑎, quanto em 𝑝. Desta forma, ela
obedece:
𝜕𝑔(𝑎, 𝑝)
𝜕𝑎 > 0,
𝜕𝑔(𝑎, 𝑝)
𝜕𝑝 > 0
4
2 Objetivos e Referencial Teórico
O objetivo desse estudo é estruturar um modelo teórico capaz de ponderar os possíveis
incentivos dos agentes atuantes num mercado de crédito (tomadores de empréstimos, firma e
governo) de modo a determinar como será o equilíbrio de mercado. Após ter o modelo, anali-
saremos um exemplo com funções determinadas para ver como agirá o mercado em tal cenário.
Serão então, para a estruturação de tal modelo, utilizados o ferramental presente na teoria
microeconômica, em particular na área relacionada com o Risco Moral, além do ferramental
presente no cálculo diferencial. Leitores interessados no tema geral de assimetria informacional
podem procurar maiores detalhes no livro Contract Theory (Patrick Bolton e Mathias Dewatri-
pont, 2004). Além disso, especificamente sobre mercado de crédito sob influencia da assimetria
informacional, temos o artigo Credit Rationing in Markets with Imperfect Information (Stiglitz
e Weiss, 1981).
5
3 Resolvendo os Modelos
3.1 Modelo 1
Primeiro, note que a firma, pela hipótese de mercado competitivo, isto é, 𝜋 = 0, nós temos
em equilíbrio com pagamento integral dos juros:
𝑟∗ = 𝑟′ (1)
Esta é a condição para que seu lucro será sempre zero. Também teremos que o lucro da
firma será negativo caso 𝑤(𝑎∗) < (1 + 𝑟′)𝑐∗, pois teremos que o agente não paga o juros inteiro,
logo o retorno ao emprestador é 𝑤(𝑎∗), o que nos dá: 𝜋 = 𝑤(𝑎∗) − (1 + 𝑟′)𝑐∗ < 0. Isso significa
que, caso quem tome emprestado não tenha incentivos para trabalhar o bastante (ou que tenha
um trabalho que rende pouco por esforço) de modo a ter uma renda 𝑤 suficientemente alta no
segundo período, ele não receberá o empréstimo para começo de conversa, o que significa que
há um grupo de pessoas que nunca conseguirão um empréstimos— nomeadamente aqueles que
tem pouco retorno por esforço. Desta forma, para existir equilíbrio com empréstimo, temos a
seguinte condição:
𝑤(𝑎∗) ≥ (1 + 𝑟∗)𝑐∗ = (1 + 𝑟′)𝑐∗ (2)
Assumindo que estamos observando um agente com retorno suficientemente alto, demodo
a termos empréstimos, teremos então a seguinte situação:
O problema do consumidor será:
max
𝑐,𝑎
𝑢1(𝑐, 𝑎) + 𝛽𝑢2(𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐) sujeito à 𝑐 ≥ 0
O que nos dá o seguinte Lagrangeano de Karush-Kuhn-Tucker:
𝐿 = 𝑣(𝑐) − 𝑐(𝑎) + 𝛽𝑢2(𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
Teremos então que no ótimo:
𝜕𝑐(𝑎)
𝜕𝑎 = 𝛽
𝜕𝑢2(𝑤𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
𝜕𝑤(𝑎)
𝜕𝑤(𝑎)
𝜕𝑎 (3)
𝜕𝑣(𝑐)
𝜕𝑐 ≤ −𝛽
𝜕𝑢2(𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
𝜕𝑐(1 + 𝑟) (1 + 𝑟) (4)
6
𝑐 𝜕𝐿𝜕𝑐 = 0
A interpretação de (3) e (4) é bastante simples. Em (3), tem-se que o custo de se esforçar
um pouco mais para ter um salário maior no segundo período deve ser igual à quanto se ganha
por tal esforço no salário seguinte, ponderado pela taxa de desconto intertemporal. Já para o
crédito, quando ele for um valor estritamente positivo, teremos que (4) valerá com igualdade,
o que nos dá que o que se ganha no primeiro período com o crédito adquirido deve-se igualar
ao módulo do custo que ele incutirá de pagá-lo no segundo, novamente levando-se em conta
o desconto intertemporal. Já se o crédito for exatamente zero, isso significa que ao juros r o
agente gostaria de poder emprestar dinheiro e guardar para o segundo período no lugar de pegar
emprestado no primeiro, o que não é permitido neste modelo.
3.2 Modelo 2
Agora teremos um modelo com maior nuance, onde haverá um problema de conflito de
interesses e informação assimétrica. Para o governo, o esforço do agente é algo positivo. Já para
o agente, embora o esforço seja positivo no segundo período, ele é negativo no primeiro. Desta
forma, o governo deve levar em conta a escolha ótima do agente ao formular sua política, uma
vez que ele não pode condicionar a redução de juros ao esforço do agente. O governo também
deve levar em consideração que a probabilidade da sua política pode ter impacto negativo no
incentivo do agente vir a se esforçar.
Vamos começar analisando o que ocorre com o juros ótimo.
O lucro 𝜋 num equilíbrio com empréstimos, por motivo análogo ao que chegamos em (1),
como veremos à frente, é dado por:
𝜋 = (1 − 𝑝)(1 + 𝑟)𝑐 + 𝑝(1 + 𝑟)𝑐 − (1 + 𝑟′)𝑐
Já que o banco escolhe o juros competitivamente, sabemos que 𝜋 = 0, o que nos dá:
(1 − 𝑝)(1 + 𝑟)𝑐 = (1 + 𝑟′)𝑐 − 𝑝(1 + 𝑟)𝑐
Resolvendo para r e simplificando, temos:
7
𝑟∗(𝑝, 𝑟) =
𝑟′ − 𝑝𝑟
1 − 𝑝 (5)
Note que:
𝑟∗ − 𝑟′ =
𝑟′ − 𝑝𝑟
1 − 𝑝 − 𝑟
′ =
𝑝(𝑟′ − 𝑟)
1 − 𝑝 > 0 (6)
𝜕𝑟∗(𝑝, 𝑟)
𝜕𝑝 =
𝑟′ − 𝑟
(1 − 𝑝)2
> 0 (7)
𝜕𝑟∗(𝑝, 𝑟)
𝜕𝑟 =
−𝑝
(1 − 𝑝) < 0 (8)
Vale a pena ressaltar que (6) e (7) decorrem da hipótese 2, que nos diz que 𝑟 < 𝑟′, uma vez
que a política é de perdão de dívida. (6) está nos dizendo que o juros cobrado com a política será
sempre maior que o juros cobrado sem a política. Além disso, pela mesma hipótese, ele será
maior que o juros imposto pelo governo. Já (7) nos diz que quanto maior for a probabilidade de
perdão de dívida, maiores serão os juros cobrados. Isso ocorre pois a política reduz seu retorno
médio, então é necessário tal aumento para manter o lucro no zero. Além disso, (8) nos diz que
quanto menor for o juros do governo, também teremos maiores juros cobrados pelo banco, pois
isso também reduz o retorno médio.
Igual ao problema anterior, como visto em (2), apenas valerá a pena para o banco emprestar
dinheiro caso 𝑤(𝑎) ≥ 𝑐(1 + 𝑟∗), pois caso 𝑤(𝑎) < 𝑐(1 + 𝑟∗) temos um dos seguintes casos:
𝜋 = (1 − 𝑝)𝑤 + 𝑝(1 + 𝑟)𝑐 − (1 + 𝑟′)𝑐 < (1 − 𝑝)(1 + 𝑟)𝑐+ 𝑝(1 + 𝑟)𝑐 − (1 − 𝑟′)𝑐 = 0
𝜋 = (1 − 𝑝)𝑤 + 𝑝𝑤 − (1 + 𝑟′)𝑐 < (1 − 𝑝)(1 + 𝑟)𝑐 + 𝑝(1 + 𝑟)𝑐 − (1 − 𝑟′)𝑐 = 0
Onde o primeiro caso corresponde a (1 + 𝑟)𝑐 ≤ 𝑤(𝑎) < (1 + 𝑟∗)𝑐 e o segundo caso
corresponde à 𝑤 < (1 + 𝑟)𝑐. Repare que ambos trazem 𝜋 para menos que 0.
Desse resultado, junto com a expressão de 𝑟∗(𝑝, 𝑟), temos que uma política que pretende
reduzir o juros pago pelos devedores causa uma maior filtragem por parte do banco sobre quem
pode de fato tomar um empréstimo, uma vez que torna-se mais difícil ter o pré-requisito de
𝑤(𝑎) ≥ 𝑐(1 + 𝑟∗). Ou seja, como agora é mais improvável que os devedores tenham a renda
necessária para que o banco não saia no prejuízo, o banco torna-se mais exigente com seus em-
préstimos.
Seguimos então para o problema do tomador de empréstimos:
8
max
𝑐,𝑎
𝑣(𝑐) − 𝑐(𝑎) + 𝛽[(1 − 𝑝)𝑢2(𝑤, (1 + 𝑟)𝑐) + 𝑝𝑢2(𝑤, (1 + 𝑟)𝑐)] sujeito à 𝑐 ≥ 0
O que nos dá o seguinte Lagrangeano de KKT:
𝐿 = 𝑣(𝑐) − 𝑐(𝑎) + 𝛽[(1 − 𝑝)𝑢2(𝑤, (1 + 𝑟)𝑐) + 𝑝𝑢2(𝑤, (1 + 𝑟)𝑐)]
Com as seguintes condições de primeira ordem:
𝜕𝑐(𝑎)
𝜕𝑎 = 𝛽[(1 − 𝑝)
𝜕𝑢2(𝑤𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
𝜕𝑤(𝑎) + 𝑝
𝜕𝑢2(𝑤𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
𝜕𝑤(𝑎) ]
𝜕𝑤(𝑎)
𝜕𝑎
𝜕𝑣(𝑐)
𝜕𝑐 ≤ −𝛽[(1 − 𝑝)
𝜕𝑢2(𝑤𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
𝜕𝑐(1 + 𝑟) (1 + 𝑟) + 𝑝
𝜕𝑢2(𝑤𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐)
𝜕𝑐(1 + 𝑟) (1 + 𝑟)]
𝑐 𝜕𝐿𝜕𝑐 = 0
Note que agora, na hora de escolher sua ação e o seu crédito, o tomador de crédito pondera os
diferentes impactos de cada variável na sua utilidade em função de 𝑝 e 𝑟. Levando isso em conta,
as interpretações são análogas ao do modelo anterior.
Por fim, o problema do governo é o seguinte:
max
𝑝∈[0,1]
𝑔(𝑝, 𝑎) sujeito à
{
𝑎∗ ∈ argmax
𝑎
𝑈(𝑤, 𝑐, 𝑝, 𝑟, 𝑟, 𝑎)
𝑤(𝑎∗) ≥ (1 + 𝑟∗)𝑐∗
Onde a primeira restrição nos diz que o governo sabe que o agente vai escolher a ação dele
de forma ótima, independente de como o governo queira agir e a segunda nos diz que o governo
não quer escolher 𝑝 e 𝑟 de modo a impedir o agente de tomar crédito.
O que nos dará o seguinte Lagrangeano (substituindo 𝑎∗ e 𝑟∗ na equação de ):
(𝑝, 𝑎∗, 𝜆) = 𝑔(𝑝, 𝑎∗) − 𝜆1ℎ(𝑝) − 𝜆2(−𝑝) − 𝜆3(𝑝 − 1)
Onde ℎ(𝑝) = −𝑤(𝑎∗) + (1 − 𝑟
′−𝑝𝑟
1−𝑝 )𝑐
Teremos então as seguintes condições de primeira ordem:
𝜕
𝜕𝑝 = 0 ⟺
𝜕𝑔(𝑝, 𝑎∗)
𝜕𝑝 = 𝜆1
𝜕ℎ(𝑝)
𝜕𝑝 + [𝜆3 − 𝜆2]
𝜕
𝜕𝜆 = ℎ(𝑝) ≤ 0
9
4 Exemplos
4.1 Modelo 1
Vamos agora construir um exemplo do primeiro modelo e utilizá-lo em seguida para com-
parar com o segundo. Vamos começar com a forma funcional da utilidade do tomador de em-
préstimos:
𝑣(𝑐) = 𝛾𝑐, 𝑐(𝑎) = 𝑎2, 𝑤(𝑎) = 𝑘𝑎
𝑢2(𝑤(𝑎), (1 + 𝑟)𝑐) = 𝑤(𝑎) − [(1 + 𝑟)𝑐]2
Substituindo as expreções acima em 𝑢(𝑤, 𝑐, 𝑟, 𝑎) nos dá:
𝑢(𝑤, 𝑐, 𝑟, 𝑎) = 𝛾𝑐 − 𝑎2 + 𝛽{𝑘𝑎 − [(1 + 𝑟)𝑐]2}
Resolvendo o problema do consumidor temos as seguintes condições de primeira ordem,
ignorando a restrição 𝑐 ≥ 0 (pois teremos que 𝑐 > 0 no ótimo):
𝑎∗ = 𝑘2𝛽 (9)
𝑐∗ = 𝛾
2𝛽(1 + 𝑟)2
(10)
Temos que (9) nos diz: quanto maior a rentabilidade do trabalho 𝑘, e quanto mais o agente
preza pelo futuro (isto é, maior o 𝛽), mais o agente trabalhará, pois ambos são medidas do
quanto o agente será recompensado no futuro por um esforço agora. Já (10) nos traz que quanto
mais ele se importa com o futuro, menos crédito ele toma, tendo em vista que o custo de pegar
emprestado se aumenta, pois esse custo acontece no segundo período, que está sendo descontado
por 𝛽. Além disso, o juros maior também reduz seu crédito tomado pelo mesmo motivo. Por
fim, 𝛾 nos diz o quanto ele preza pelo dinheiro que ele tomou emprestado no primeiro período,
sendo então natural o crédito tomado crescer com 𝛾 .
Vamos olhar agora para a restrição de empréstimos assumindo equilíbrio:
𝑤(𝑎∗) ≥ (1 + 𝑟∗)𝑐∗
Aplicando (9) em 𝑤(𝑎) e substituindo 𝑐∗ por (10), nós temos:
𝑘2
2 𝛽 ≥
𝛾
2(1 + 𝑟∗)𝛽 (11)
10
Primeiro, vale lembrar que, por (1), 𝑟∗ = 𝑟′. Logo (11) está nos mostrando que quanto
maior forem 𝑟′, 𝑘 e 𝛽, mais fácil é de se obter a condição de empréstimos. Isso ocorre pois um
juros mais elevado afeta a percepção do agente sobre seus custos de empréstimo, o que reduz 𝑐,
facilitando o pagamento no segundo período em um grau maior do que o aumento de 𝑟′ dificulta.
Já 𝑘 nos diz quanto o agente recebe por unidade de esforço, ou seja, é seu salário. Quanto maior
seu salário por esforço, mais ele se esforça, logo mais ele ganha e torna-se relativamente mais
fácil pagar seus empréstimos. Já um 𝛽 elevado nos informa quão caro é o futuro para o tomador
de empréstimos. Quanto maior o 𝛽, mais o agente preza o salário no segundo período e mais ele
desgosta do custo de pagar pelo crédito, dessa forma aumentando seu 𝑎 e diminuindo seu 𝑐, o
que facilita duplamente o pagamento. Por fim 𝛾 é o quanto o agente gosta de ter o dinheiro do
empréstimo no primeiro período, logo quanto maior for 𝛾 , mais ele pede emprestado, logo mais
difícil se torna pagar o juros. Podemos reescrever essa equação para deixa os juros em função
das demais variáveis exógenas:
𝑟∗ ≥ 𝛾
𝛽2𝑘2
− 1 (12)
Primeiro, vale lembrar novamente que neste modelo inicial temos 𝑟∗ = 𝑟′. Por conta
disso, (12) nos dá o limite inferior para a taxa de juros livre de risco de modo à ser factível o
empréstimo. Se a taxa de juros for menor que isso, o agente tomará mais empréstimos do que
ele é capaz de pagar. Temos então que, para compensar agentes que prezam pouco pelo futuro,
ou que tem pouco salário, isto é, 𝛽 e 𝑘 baixos, só haverá empréstimos quando o juros for muito
alto, pois teremos um 𝑐 baixo. O mesmo vale para agentes que prezam muito por ter dinheiro no
primeiro período, o que é medido por 𝛾 . Conclui-se então que, quanto ”pior”for o tomador de
empréstimos, no sentido de que quanto menos provável for que honre sua dívida, maiores serão
os juros, de modo a desestimular a tomada de crédito até um nível factível.
4.2 Modelo 2
Vamos agora utilizar as mesmas formas funcionais do Exemplo 1, porém agora com um
governo fazendo sua política.
Agora, temos que:
𝑢(𝑤, 𝑐, 𝑟∗, 𝑟, 𝑎) = 𝛾𝑐 − 𝑎2 + 𝛽{(1 − 𝑝)𝑘𝑎 + 𝑝𝑘𝑎 − 𝑐2[(1 − 𝑝)(1 − 𝑟∗)2 − 𝑝(1 − 𝑟)2]}
11
O que nos dá:
𝑎∗ = 𝑘2𝛽 (13)
𝑐∗ = 𝛾
𝛽[(1 − 𝑝)(1 + 𝑟∗)2 + 𝑝(1 + 𝑟)2]
(14)
Essas duas equações tem interpretações semelhantes ao problema anterior. (13) é exata-
mente igual à (9). Já (14) difere de (10) em dois aspectos: agora existem duas novas variáveis
exógenas, 𝑝 e 𝑟. As variáveis 𝑘, 𝛽 e 𝛾 afetam a equação da mesma forma que no modelo anterior.
Além disso, embora esteja escondido, 𝑟′ também afeta igualmente o crédito ótimo! Aumentar 𝑟′
implica aumentar 𝑟∗, reduzindo assim o crédito do agente. Vamos agora analisar o impacto das
duas novas variáveis sobre 𝑐∗. Por (5) temos 𝑟∗(𝑝, 𝑟) = 𝑟
′−𝑝𝑟
1−𝑝 . Levando isso em conta, chegamos
à:
𝜕𝑐∗
𝜕𝑝 = −
𝛾
𝛽
(𝑟′ − 𝑟)2
[(1 + 𝑟′)2 − 𝑝(1 − 𝑟2 + 2𝑟′(1 + 𝑟)]2
< 0 (15)
𝜕𝑐∗
𝜕𝑟 =
𝛾
𝛽
2(1 − 𝑝)𝑝(𝑟′ − 𝑟)
[(1 + 𝑟′)2 − 𝑝(1 − 𝑟2 + 2𝑟′(1 + 𝑟)]2
> 0 (16)
Ou seja, (15) e (16) nos afirmam: tanto um aumento da probabilidade da política, quanto
uma redução no juros novo reduzem a quantidade de crédito tomado. Isso ocorre pois o impacto
no juros do banco 𝑟∗(𝑝, 𝑟) causado pela variação tanto de 𝑝 quanto de 𝑟 são o suficiente para
desincentivar o agente à consumir crédito, mesmo havendo agora ou mais chances do agente
pagar pouco, ou chances do agente pagar ainda menos! Isso ocorre pois esse agente é muito
avesso à pagar juros altos no segundo período.
Agora vamos analisar a equação da restrição para que haja empréstimos, substituindo (13)
e (14) em 𝑤(𝑎∗) ≥ (1 + 𝑟∗)𝑐∗:
𝑘2
2 𝛽 ≥
(1 + 𝑟∗)𝛾
𝛽[(1 − 𝑝)(1 + 𝑟∗)2 + 𝑝(1 + 𝑟)2]
(17)
As variáveis 𝑘, 𝛽 e 𝛾 afetam a equação da mesma forma que no modelo anterior, sendo as
duas primeiras facilitadoras da restrição e a ultima dificultadora. Uma outra variável que está
implícita nessa formula, mas que ainda assim afeta igual à antes é 𝑟′! Aumentar 𝑟′ é aumentar
𝑟∗, que facilitaque se cumpra a inequação. Queremos, entretanto, saber como 𝑝 e 𝑟 afetam essa
restrição, lembrando que, por (5), elas também alteram o valor de 𝑟∗. Vamos reescrever (18)
como:
0 ≥ −(1 − 𝑝)(1 + 𝑟∗)2 − 𝑝(1 + 𝑟)2 + (1 + 𝑟
∗)
𝑘2𝛽2
2𝛾
(18)
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Vamos chamar o lado direito de 𝑓(𝑝, 𝑟). Substituindo (5) em (18) e tomando as derivadas
parciais chegamos à:
𝜕𝑓(𝑝, 𝑟)
𝜕𝑝 =
(𝑟′ − 𝑟)[1 − (𝑟′ − 𝑟)𝑘
2𝛽2
2𝛾 )]
𝑘2𝛽2
2𝛾 (1 − 𝑝)
2
𝜕𝑓(𝑝, 𝑟)
𝜕𝑟 =
[2(𝑟′ − 𝑟)𝑘
2𝛽2
2𝛾 − 1]
𝑘2𝛽2
2𝛾
(1−𝑝)
𝑝
Temos então que as condições para que cada equação a primeira derivada seja positiva e
a segunda negativa são:
(𝑟′ − 𝑟)𝑘
2𝛽2
2𝛾 < 1 (19)
(𝑟′ − 𝑟)𝑘
2𝛽2
2𝛾 <
1
2 (20)
(19) e (20) nos dão que caso o agente prese muito pelo crédito, ou ganhe pouco, os juros
livre de risco sejam muito maiores que o juros do perdão ou ele não se importe tanto com o
futuro, aumentar a probabilidade de realizar uma política de perdão de dívida reduz as chances
de o agente pagar sua dívida. Neste caso, reduzir o juros novo também dificulta o pagamento da
dívida. Isso ocorre porque mesmo que ambas as ações reduzam a quantidade de crédito tomada,
pois elas causam um aumento desproporcional em 𝑟∗. Esse aumento é tão grande que mesmo
com o empréstimo menor, o montante a ser pago é maior. Já pra um dado r, agentes muito
ricos, que prezam muito pelo futuro e que não se importam muito com pegar crédito, aumentar
a probabilidade da política reduz o crédito tomado mais rapidamente que o juros 𝑟∗ aumenta, o
que facilita a restrição. Entretanto, existem alguns agentes que estão no meio termo entre os dois
extremos que, embora o aumento da probabilidade dificulte o pagamento da dívida, a redução
do juros do segundo estado não complica a restrição.
Vamos agora para a escolha ótima do governo. Sua função objetivo será:
𝑔(𝑝, 𝑎) = 𝑝𝑎
Não precisaremos nem resolver o Lagrangeano para descobrir o 𝑝∗ ótimo. Como a função
objetivo é crescente em p, ele escolherá o maior p que satisfaz todas as restrições. Logo, temos
que:
Quando (𝑟′−𝑟)𝑘
2𝛽2
2𝛾 ≥ 1, aumentar 𝑝 não complica a restrição de empréstimos, logo 𝑝
∗ = 1
o que nos dá 𝑐∗ = 0, pois o banco operará sempre em prejuízo. O governo não quer que o agente
seja impedido de tomar crédito por falta de dinheiro, ficando endividado. Por conta disso há a
incorporação da restrição (5) no problema do governo. Entretanto, ele não se importa se o agente
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não conseguir crédito por conta da falta de oferta, por isso podemos ter o equilíbrio onde 𝑝 = 1
e 𝑐∗ = 0.
Já quando (𝑟′ − 𝑟)𝑘
2𝛽2
2𝛾 < 1, vamos chamar o 𝑝 que garante 𝑤(𝑎) = (1 + 𝑟
∗)𝑐∗ de 𝑝. Desta
forma teremos que a escolha ótima será:
𝑝∗ =
{
max(𝑝, 1) se 𝑝 ≥ 0
1 se 𝑝 < 0
Parece um pouco confuso, mas vou explicar: como sabemos que aumentar 𝑝 dificulta a
restrição, por conta das hipóteses sobre as variáveis exógenas, mas também melhora a utilidade
do governo, se 𝑝 formenor que 𝑝, então ainda vale a restrição e o governo está livre para aumentar
𝑝 até 𝑝. Entretanto, se 𝑝 for maior que 1, como 𝑝 é uma probabilidade, o governo deve parar
em 𝑝∗ = 1. Já se o 𝑝 ótimo for menor que zero, isso significa que não há como o governo
garantir que a restrição de empréstimos valerá. Na verdade ela não vale nunca, pois mesmo sem
o governo (𝑝 = 0) a restrição já não era cumprida, e o governo escolhe então 𝑝 = 1, que é o
ótimo pro governo.
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5 Conclusão
Após estruturado e analisado o modelo, concluímos que a presença de uma política gover-
namental de perdão de dívida tende a reduzir as chances de haver um equilíbrio com emprés-
timos. Isso ocorre pois, para manter o lucro do emprestador no zero, ele terá que compensar
a possível perda de rendimento no estado da natureza onde há o perdão de divida por meio de
um aumento do juros cobrado no outro estado, para um valor maior do que o praticado sem a
presença do estado. Além disso, a firma apenas dará crédito caso o agente tenha capacidade de
pagar os juros referentes ao estado da natureza sem intervenção estatal, onde é cobrado o juros
mais elevado. Achamos também a condição sobre as preferências e retorno por esforço que o
agente deve suprir para que haja empréstimos.
Por meio da análise de uma forma funcional específica, concluímos que há fatores que
facilitam um equilíbrio com empréstimos, sendo eles: ter um alto retorno pelo esforço aplicado
no primeiro período, prezar bastante pela renda futura ou ter uma baixa necessidade por emprés-
timos. Esses mesmos fatores também reduzem as chances da política atrapalhar a existência de
empréstimos, de modo que a presença dos mesmos permite uma probabilidade maior de per-
dão de dívida, dando mais espaço para atuação governamental. Isso se dá pois tais agentes já
possuíam uma renda superior ao volume gasto com o pagamento de dívida, tendo então uma
margem para que haja um crescimento dos juros sem que haja a inadimplência. Para agentes
onde tais fatores são muito elevados (ou pequeno, em se tratando pelo fator de necessidade de
empréstimos), quando se tem um aumento do juros causado pela política, a redução na demanda
por crédito causada pelo aumento do juros é suficiente para compensar tal aumento no valor
que deve ser pago pelo crédito adquirido, de modo que o aumento do preço do juros na verdade
reduz o total a ser pago no segundo período. Dessa forma, para tais agentes, o governo está livre
para escolher qualquer probabilidade que ele queira, uma vez que não importa o que aconteça,
sempre teremos o equilíbrio de empréstimos.
Porém, em se tratando de agentes que já não tinham como pagar empréstimos antes da
política de perdão, seja por ter pouco salário, seja por se importar pouco com o futuro ou por
ter uma demanda muito alta por crédito, o governo não tem como ajudar. Isso ocorre pois como
tais agentes já não eram aceitos num cenário onde era mais barato pedir emprestado, agora que
há um estado onde o juros são ainda mais caros, é ainda mais difícil que o agente consiga arcar
com os custos de sua dívida. Dessa forma é sabido que o lucro esperado será negativo caso o
empréstimo seja concedido, posto que o agente não irá ter como pagar caso o governo não efetue
a política de perdão. Em casos extremos, o agente pode não ser capaz sequer de pagar o juros
reduzido do governo.
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6 Referências
BOLTON P; DEWATRIPONT M. Contract Theory. The MIT Press, 2004
STIGLITZ J. E.; WEISS A.,Credit Rationing inMarkets with Imperfect Information,
The American Economic Review, Vol. 71, No. 3, Jun. 1981
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7 Cronograma e Atividades Desenvolvidas
Agosto até fevereiro – Desenvolvimento do modelo
Março – Entrega do relatório parcial
Abril até junho – Formatação do modelo
Julho – Refinamento e entrega do Relatório Final