apostila de matematica

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1
Apostila de Matemática
UNIDADE 1
1 – Operações com frações
2 – Divisão de frações
3 – Operações com números relativos
4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo)
5 – Resolução de equações do 1º grau (2º tipo)
6 – Resolução de equações do 1º grau (3º tipo)
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)
9 – Equação do 2º grau completa
10 – Radicais
11 – Operações com radicais
12 – Exponenciais
13 – Propriedade distributiva
14 – Produtos notáveis
15 – Diferença de quadrados
16 – Trinômio ao quadrado
17 – Binômio ao quadrado
18 – Fatoração
19 – Racionalização de expressões numéricas
20 – Racionalização de expressões algébricas
21 – Solução de equações irracionais
22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2 incógnitas
UNIDADE 2 matemática aplicada
UNIDADE 3 estatistica
UNIDADE 4 regras de três
UNIDADE 4 razões e proporções
2
1 – Operações com frações
O método mais direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:
b
a
 + 
d
c
 = 
bd
c
d
bda
b
bd ×



+




 = 
bd
bcda +
Ex. 1) 
3
2
 + 
7
5
 = 
73
5
7
732
3
73
×
×



 ×+×



 ×
 = 
21
1514 +
 = 
21
29
Ex. 2) 
5
4
 - 
7
2
 = 
75
2
7
754
5
75
×
×



 ×−×



 ×
 = 
35
1028 −
 = 
35
18
Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.
b
a
 + 
d
c
 + 
f
e
 = 
fdb
e
f
fdbc
d
fdba
b
fdb ×



+×



+×




 = 
fdb
edbcfbafd )()()( ++
Ex. 3) 
7
5
 + 
5
2
 - 
4
3
 = 
457
3
4
4572
5
4575
7
457
××
×



 ××−×



 ××+×



 ××
 =
 = 
720
335228520
×
×−×+×
 = 
140
51
Resolver:
a) 
7
2
 + 
9
1
b) 
7
3
 - 
5
1
c) 
11
8
 - 
5
4
d) 
7
3
9
2
4
1 ++ e) 
11
4
8
3
9
4 +− f) 
5
4
9
2
3
5 −+
2 – Divisão de frações
d
c
b
a ÷ É só inverter a 2ª fração e multiplicar
3
d
c
b
a ÷ = 
c
d
b
a × = 
bc
ad
Ex. 1) 
7
4
3
2 ÷ = 
4
7
3
2 × = 
12
14
 = 
6
7
Ex. 2) 
3
4
8
5
 = 
4
3
8
5 × = 
32
15
Ex. 3) 
2
1
7
4
8
5
5
2
−
+
 = 
72
78
85
5528
×
−
×
×+×
 = 
14
1
40
41
 = 
1
14
40
41 × = 
20
287
Resolver:
a) 
5
2
23
11 ÷ b) 
9
8
3
4 ÷ c) 
8
1
7
3 ÷
d) 



 +
7
4
3
2
 ÷ 



 +
2
1
4
15
e) 



 −
5
1
3
7
 ÷ 



 +
8
7
3
4
3 – Operações com números relativos
Ex. 1) -2 + (-3) → -2 – 3 = - 5
Ex. 2) +5 – (-8) → 5 + 8 = 11
Ex. 3) (-2) × (-3) = 6
Ex. 4) (-3) × 5 = -15
Ex. 5) (-2)2 = (-2) × (-2) = 4
Ex. 6) (-3)3 = (-3)2 × (-3) = 9 × (-3) = - 27
Resolver:
4
a) -9 + 12 – (-14) = b) 13 + (-9) – 3 =
c) 7 – (-8) = d) -14 – (-12) – 24 =
e) (-3) × (-8) + 25 = f) 9 × (-2) × (-3) =
g) (-5)2 = h) (-2)5 =
4 – Resolução de equações do 1º grau
Ex. 1) ax = b , divide os 2 membros por “a”
 ax/a = b/a → x = b/a
Resolver:
a) 3x = -7 b) 15x = 3
5 – Equações do 1º grau (continuação)
Ex. 1) 6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x)
 6x + 8 – 8 = 26 – 8 → 6x = 18 → x = 18/6 → x = 3
Ex. 2) 3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x)
 3x – 12 + 12 = 12 – 13 → 3x = -1 → x = -1/3
Resolver:
a) 4x + 12 = 6 b) 7x + 13 = 9
c) -5x – 9 = 6 d) 3x + 15 = 0
6 – Equações do 1º grau (continuação)
Ex. 1) 5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros)
 5x – 2x – 13 = -2x + 2x + 7
 3x – 13 = 7 (soma 13 nos dois membros)
 3x – 13 + 13 = 7 + 13 → 3x = 20 → x = 20/3
Resolver:
a) 3x + 9 = 5x + 3 b) -2x + 3 = 12 + 3x
c) 7x – 13 = -3x + 7 d) 9x – 2 = 6x + 4
e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x
5
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)
Ex. 1) x2 = 4 → 2x = 4 (extrai a raiz de ambos os membros)
 X = ± 2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)
Prova: (x)2 = (+2)2 → x2 = 4
As 2 raízes satisfazem
 (x)2 = (-2)2 → x2 = 4
Resolver:
a) 3x2 = 12 b) x2 = 7
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)
Ex. 1) x2 – 2x = 0 (põe x em evidência)
x – 2 = 0 → x = 2
Resulta (x – 2)x = 0
x = 0 → x = 0
Resolver:
a) 4x2 – 8x = 0 b) x2 + 3x = 0
c) 3x2 + 7x = 0 d) x2 – 5x = 0
9 – Equação do 2º grau completa
Forma: ax2 + bx + c = 0
Solução: ∆ = b2 – 4ac , ∆ > 0 (solução real, 2 raízes diferentes)
∆ = 0 (sol. real, 2 raízes iguais)
Fórmula: x = 
a
b
2
∆±−
 ou x’ = (-b + ∆ ) / 2a x” = (-b - ∆ )/2a
Ex. 1) 2x2 + 5x + 2 = 0
 ∆ = 22425 ××− = 1625 − = 9 = 3
Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4 = -2/4 = -1/2
 x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2
6
Resolver:
a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 – 6x + 8 = 0
c) 3x2 + 11x + 8 = 0
10 – Radicais
n mA → A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando
n mA = Am/n (fórmula geral)
Ex. 1) 4 = 2 22 = 22/2 = 21 = 2
Ex. 2) 3 27 = 3 33 = 3
Ex. 3) 5 1024 = 5 102 = 210/5 = 22 = 4
Ex. 4) ( )2x = x × x = 2x = x
11 – Operações com radicais
Ex. 1) x × x = 2x = x2/2 = x
Ex. 2) x × y = yx
Ex. 3) 3 8 = 3 32 = 2
Ex. 4) 
81
64
 = 2
2
9
8
 = 
2
9
8




 = 
9
8
Ex. 5) 2−n
n
x
x
 = )2( −− nnx = 2x = x
Ex. 6) 16 = 42 = 2/42 = 2
Resolver:
a) 
3 729 b) 3 64 c) 5 107
7
d) 4 81 e) 2)2( +x f) 81
12 – Exponenciais
Ax - A é a base, x é o expoente
P1) Ax × Ay = Ax+y
P2) Ax / Ay = Ax-y
P3) (Ax)y = Ax.y
P4) (A . B)x = AxBx
P5) xx AA
−=1 e
x
B
A




 = x
x
B
A
 = Ax . B-x
Ex. 1) 27 = 23+4 = 23 . 24 = 8 × 16 = 128
Ex. 2) (22)3 = 26 = 23+3 = 23 . 23 = 8 × 8 = 64
Ex. 3) (2 × 3)3 = 23 × 33 = 22 × 2 × 32 × 3 = 4 × 2 × 9 × 3 = 216
Ex. 4) 20
23
5
5
 = 523-20 = 53 = 52 × 5 = 25 × 5 = 125
Resolver:
a) 210 b) 2
4
7
7
c) 
4
2
3





d) 16 × 2-3
13 - Propriedade distributiva
1) A × (B + C) = A × B + A × C
2) (A ± B)(C + D) = (A ± B)(C + D) = A(C + D) ± B(C + D)
Ex. 1) 2(4 + x) = 8 + 2x
Ex. 2) (3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2)
 = 3x – 6 – x2 + 2x = -x2 + 5x – 6
Resolver:
8
a) (x - 7 )(x + 7 ) b) (a + b)(a + b)
c) (2 + 3 )(2 - 3 ) d) (2 + x )(3 + 2 x )
14 – Produtos notáveis (A + B)2
Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir:
(A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = (A – B)(A – B) = A2 – 2AB + B2
Ex. 1) (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
Resolver:
a) (x – 3)2 b) (a + 2)2 c) (x + y)2
15 – Diferença de quadrados
x2 – a2 = (x – a)(x + a)
Ex. 1) x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
Ex. 2) x2 – 3 = (x - 3 )(x + 3 )
Ex. 3) x2 – A = (x - A )(x + A )
Resolver:
a) ( 3 - 2)( 3 + 2) = b) x2 – 16 =
c) x2 – 7 = d) (2 + 3 )(2 - 3 ) =
16 – Trinômio ao quadrado
(a + b + c)2 = [(a + b) + c)]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Resolver:
a) (x + y + 1)2 b) (x – y +2)2
17 – Binômio ao cubo
9
(a + b)3 = (a + b)2 × (a + b)
18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do parênteses)
Ex. 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2)
Ex. 2) x x + x2 = x( x + x)
Ex. 3) 
)2)(3(
)3(4)3(5 22
++
+++
xxx
xxxx
 = 
( )[ ]
( )( )23
435)3(
++
+++
xxx
xxxx
 = 
2
4155
+
++
x
xx
 = 
2
159
+
+
x
x
Resolver:
a) 
12
48 2
+
+
x
xx
 = b) 
( ) ( )[ ]
( )13
1213
+
+−+
x
xxx
 =
c) 
( )
( )ba
ba
+
+ 2
 = d) 
( )
( )2
42
−
−
x
x
 =
19 – Racionalização de expressões numéricas
Consiste em tirar uma raiz do denominador.
Ex. 1) 
n A
1
 → 
n n
n n
A
A
1
1
−
−
 × 
n A
1
 = 
n n
n n
A
A 1−
 = 
A
An n 1−
Ex. 2) 
2
1
 = 
2
2
 × 
2
1
 = 
2
2
Ex. 3) 3
3 2
3 3
3 2
33 2
3 2
3
93
3
39
3
39
3
9
3
3
3
9 ===×=
Resolver:
10
 a) 
3
3 b) 
3 5
3
 c) 
4 3
2
 d) 
3 9
1
20 - Racionalização de Expressões Algébricas
Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para
resultar numa diferença de quadrados.
Ex.1) 
1)1(
)()(
)()( 2 −
−
=
−
−
=−
−
=
−
−
+
=
+ x
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
Ex. 2) )32(3
1
)32(3
22
)32(3
)32(
32
)32(
3
32
3
2 −=
−
=
−
−
=
−
−
+
=
+
Resolver :
a) 
21
1
+
 b) 
x−1
1
 c) 
1
2
+x
d) 
73
7
+
 e) 
ba +
1
 f) 
23
1
+
21 - Solução de Equações Irracionais
Ex.1) 123 2 −+= x → isola a raiz
 24 2 += x → eleva ao quadrado ambos os membros
 216 2 += x → 142 =x → 14±=x
Resolver:
a) xx = b) 12 −= x c) 315 2 +−= x
11
d) xx =−2 e) xx −= 1
22 - Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas
Resolver o sistema de equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.
)25
)11223
=+
=+
yx
yx
a) Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído na 1).
Então 3(5 - y) + 2y =12 → y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.
b) Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1)
 Então
 3x + 2y = 12
 -3x - 3y = -15
 - y = - 3 → y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2.
Resolver:
a) 2x + y = 12 b) 3x + 2y = 4
 x + 7y = 19 x - y = 2
c) 2x + 3y = 8 d) x - y = 3
 3x + 4y = 11 2x + y = 9
Respostas das Questões
1) a) 25/63 ; b) 8/35 ; c) -4/55 ; d) 227/252 ;
 e) 343/792 ; f) 147/135
2) a) 55/46 b) 3/2 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; e) 256/371
3) a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; d) –26 ; e) 49 ;
 f) 54 ; g) 25 ; h) –32
4) a) x= -7/3 ; b) x=1/5
5) a) –3/2 ; b) -4/7 ; c) x= -3 ; d) x= - 5
6) a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; d) x=2 ; e) x= -5/2
7) a) x= ±2 ; b) x = ± 7
12
8) a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0 e x= -7/3 ;
 d) x=0 e x= 5
9) a) x=2 e x=3 ; b) x=4 e x= 2 ; c) x= -1 e x = -8/3
11) a) 9 ; b) 4 ; c) 49 ; d) 3 ; e) x + 2 ; f) 3
12) a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; d ) 2
13) a) x2 – 7 ; b) a2 + 2ab +b2 ; c) 1 ; d) 2x + 7 x + 6
14) a) x2 – 6x +9 ; b) a2 + 4a + 4 ; c) x2 +2xy + y2
15) a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; c) ( x - 7 )(x + 7 ) ; d) 1
16) a) x2 + y2 +1 + 2xy + 2x + 2y ; b) x2 + y2 + 4 - 2xy + 4x - 4y
18) a) 4x ; b) x - 2 ; c) a + b ; d) x+ 2
19) a) 3 ; b) 3 3 25 /5 ; c) 2 4 27 /3 ; d) 3 81 / 9
20) a) 2 - 1 ; b) (1 + x ) / (1 - x) ; c) 2 ( x -1 ) / (x -1)
 d) (7/2).(3 - 5 ) ; e ) ( a - b )/ (a2 – b2 ) ; f) 3 - 2
21) a) x=0 e x=1 ; b) x=5 ; c) x = ± 5
 d) x=4 e x= 1 ; e) x= ( 1± 5 )/2
13
UNIDADE 2
1 - INTRODUÇÃO
NÚMEROS REAIS
O conjunto de números reais é normalmente associado a uma reta. Esse conjunto
infinito é representado pelo símbolo R.
 Os números reais podem ser fracionários
Ex.: 2,7893 .
NÚMEROS (REAIS) RACIONAIS
São números que podem ser expressos na forma p/q , onde p e q são inteiros
positivos ou negativos.
Ex.: 
0
1
 , 
1
1
 , 
1
2
 , 
2
1
 , 
1
3
 , 
2
7
 , 
21
13
 , ... , etc. racionais positivos
ou
 - 
1
2
 , - 
5
7
 , - 
2
3
 , - 
41
17
 , ... , etc. racionais negativos
NÚMEROS (REAIS) IRRACIONAIS
São números que não podem ser postos na forma anterior (p/q) e são por exemplo:
2 , 3 , - 5 , π , etc.
VARIÁVEIS E CONSTANTES
Chama-se variável real a um símbolo capaz de representar qualquer número de um
conjunto de números reais. Representação (x, y, z, s, ...)
Por outro lado, um símbolo que represente sempre um mesmo número é denominado
de constante. Ex.: π, e, 3 , etc.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
nos negativos nos positivos
14
Os valores que uma variável pode assumir são representados por intervalos , que são
definidos a seguir.
Seja a e b números reais, tais que a < b.
1 - O intervalo aberto de a até b, denotado por (a,b), é o conjunto de todos os números reais
x, tais que a < x < b. Os pontos extremos não pertencem ao intervalo.
2 - O intervalo fechado de a até b, representado por [a,b] é o conjunto de números reais x,
tais que a ≤ x ≤ b. Os extremos a e b pertencem ao intervalo.
3 - Intervalo aberto à direita, de a até b, representado por [a,b) é o conjunto de números
reais x, tal que a ≤ x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b não pertence.
4 - Intervalo aberto à esquerda (a , b]. b ∈ ao intervalo. a ∉ ao intervalo.
OUTROS TIPOS DE INTERVALOS
Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos +∞ e -∞
(infinito).
Os intervalos
1 - De a até +∞ , representado por (a, +∞) é o conjunto de todos os números reais x tal que
x > a.
2 - De -∞ até a é (-∞, a) é o conjunto dos números reais x tal que x < a.
3 - De a até +∞, representado por [a, +∞) é o conjunto de todos os números reais x, tais
que x ≥ a.
 ( | | | | | | | )
 a b
 [ | | | | | | | ]
 a b
 [ | | | | | | | )
 a b
 ( | | | | | | | ]
 a b
 (
 a +∞
a ∉ ao intervalo-∞ a
 )
 [
 a +∞
a ∈ ao intervalo
15
4 - De -∞ até a, (-∞,a] , x ≤ a.
5 - O intervalo (-∞, +∞) é o conjunto dos números reais R.
Noção de dependência ou funcionalidade.
Em nosso cotidiano, sempre nos deparamos com fatos que relacionam duas grandezas
(variáveis), por exemplo:
1) A área de uma circunferência A = π r2 depende de seu raio. A depende do r, que podemos
dizer A é função de r, ou ainda A = f(r).
2) O valor do selo depende do peso da carta, Valor = f(peso).
3) A velocidade de um carro depende da potência de seu motor, ou também V = f(P)
Com isso podemos criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação
entre variáveis, esse conceito é o de função.
1.1 - FUNÇÕES REAIS
Diz-se que uma variável y é uma função de uma variável x, quando a cada valor de x
corresponda, mediante uma certa lei, um valor para y.
Pode-se dizer que função é uma regra ou correspondência que associa um valor da
variável y a cada valor da variável x.
Uma função é representada por
y = f(x)
onde
x → variável independente, que pode variar livremente
y → variável dependente
Lê-se: y é igual a f de x (ou função de x).
Domínio da variável independente
O domínio da variável independente é o conjunto de valores numéricos que essa
variável pode assumir.
Domínio da função
Ou campo de existência (definição) de uma função é o conjunto de pontos onde a
função é definida ou existe (tem valor finito e real).
Se a função for do tipo y = )(xP , para que ela exista, a raiz deve ser positiva para
ser real , então a condição é P(x)≥0 .
 -∞ a
a ∈ ao intervalo ]
16
Se a função for do tipo y = P(x)/Q(x) , para que ela exista, não deve haver zero no
denominador, então a condição é Q(x)≠0 .
E finalmente, se função for do tipo y = Q(x) / )(xP , para que ela exista, não pode dar
zero no denominador e a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)>0 .
Entretanto, existem exceções para este caso, por exemplo se P(x)=x2 + 3, seu valor será
sempre positivo para qualquer valor de x.
Exemplos: Achar o campo de existência (domínio) das funções:
a) y = 2x + 3
b) y = f(x) = x2 + 2
Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, então o
domínio da função é D: (-∞,∞).
 c) y = 
3
2x −
agora x só não pode ter o valor 2, porque neste caso, y → ∞, logo o domínio é (-∞, 2) e (2,
+∞).
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy, onde
x pertence ao domínio de f e y é a imagemde f.
Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x2 , com a restrição x ≥
0.
Y =2x2 , x ≥0
(1,2)
+ y (ordenada)
(4,32)
1 2 3 4 + xO
 X Y
0 0
1 2
2 8
3 18
4 32
5 50
x- ∞ 0 + ∞
x pode assumir qualquer valor real que, y existe
e é finito.Seu domínio é (-∞, +∞) ou -∞ < x < + ∞.
- ∞       )(       + ∞
 2
17
Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim, o
gráfico a seguir não representa uma função.
 
Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem possuir a
mesma abcissa (x).
Domínio via gráfico
O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do gráfico.
 
 
Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico.
Exemplo: Dada a função y = x − 1 ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o gráfico
de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo).
Solução:
Como y = f(x) = x − 1 , a condição de existência da função é que x - 1 ≥ 0 para que
a raiz exista no campo dos números reais.
Assim, x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1 ou D: [1 , ∞ ). Para se fazer o gráfico da função
construi-se a tabela, respeitando este dominio.
y P
Q
O
mesma abcissa
x
y
f
O
domínio de f
x abcissas
ordenadas
y
Imagem de f f
 O y
18
Q
Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma restrição é
dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a função existe.
Exemplo: Dada a função
 y = 3x + 1
x pode assumir qualquer valor, então o domínio de f é R dos números reais.
 
Exemplo: Dada a função
y = 4 − x (Condição de existência 4 - x ≥ 0)
já que 4 − x é definido somente para 4 - x ≥ 0, isto é, x ≤ 4, o domínio de f é o intervalo
(-∞, 4] e a sua imagem é o intervalo [0 , ∞).
A raiz quadrada tem dois sinais, ± , mas para que y seja uma função toma-se só um
sinal, e a preferência é para o sinal positivo. Então y ≥ 0.
x y
M M
-2 6 = 2,45 ...
-1 5 = 2,24 ...
0 2
1 3 = 1,73
2 2 = 1,41
4 0
Domínio de f , D : [1,∞}
y
x
Imagem de
f
Gráfico
de f
1
0,5
 x y
1,00 0,00
1,25 0,50
1,50 0,71
1,75 0,87
2,00 1,00
2
Domínio = R
Imagem = R
y
y = 3x + 1
1
x
19
 
O domínio de f é o próprio domínio de x, isto é, o intervalo onde x existe. Neste
exemplo x existe de (-∞ a 4].
A imagem de f é o intervalo onde y existe, no caso y ≥ 0 então [0, ∞).
Exemplo: Achar o domínio e a imagem da função
 y = f(x) = 
1
1 − x
Domínio da função: (-∞ 4] →
é o domínio de x → -∞ < x ≤ 4.
Imagem da função: [0, ∞) pois
y ≥ 0.
xy −= 4
y
2
O
4 x
 X Y
-3 1 / 4 = 0,25
-2 1 / 3 = 0,33
-1 1 / 2 = 0,50
0 1
1 ∞
2 –1
3 –1/2 = -0,50
4 –1/3 = -0,33
5 –1/4 = -0,25
y
1
 -3 -2 -1
 1 2 3 4 5 x
A condição de existência é 1-x ≠ 0, que fornece os
dois intervalos para o domínio e a imagem :
Domínio: (-∞, 1) e (1, ∞)
Imagem : (-∞, 0) e ( 0, ∞)
x = 1 (singularidade )
20
Exercício proposto
1) Achar o domínio e imagem da função y = 
1
x
 (hipérbole)
Condição de existência x ≠ 0
VALOR ABSOLUTO
Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por  x , é definido
por
 x se x ≥ 0
 x =
 -x se x < 0
Exemplo:
 7 = 7 pois 7 > 0,  -3 = - (-3) = 3 pois -3 < 0
O valor absoluto de um número real é sempre positivo.
PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO
(Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >, ≥ , < e ≤ )
Suponha que X e Y são números reais ou funções.
1)  X + Y ≤  X +  Y desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y=3
 (igual) e X = -2, Y = 1 (maior)
2)  X =  Y se e somente se X = ± Y ( ou X = Y e X = - Y )
3)  X < Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y )
4)  X ≥ Y se e somente se X ≥ Y ou X ≤ -Y
Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão
y
x
D : (-∞, 0) (0, ∞)
I : ( -∞, 0) (0, ∞)
x = 0 (singularidade)
Neste caso, os valores de X
estão internos aos de Y -Y Y
X
Neste caso, os valores de X
estão externos aos de Y -Y Y
X
21
 3x + 2 ≥ 5
Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se
3x + 2 ≥ 5 e 3x + 2 ≤ -5
Isolando x → 3x ≥ 5 - 2 Isolando x,→ 3x ≤ -5 - 2
 3x ≥ 3 3x ≤ -7
 x ≥ 1 x ≤ - 
7
3
 solução existe no domínio (-∞, -7/3] e [1, ∞)
Exemplo 2 : Achar o conjunto
solução da expressão  2x + 3 < 3
Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações
2x +3 > -3 e 2x + 3 <3
2x>-6 ou 2x < 0 ou
x >-3 x < 0
Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão  x -2 = 5
Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 e x-2 = -5 , cujas soluções são x = 7 e x
= -3 satisfazem a equação dada.
Exemplo 4: Estudar a função y =  x
A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o
conjunto dos números reais R.
 
DESIGUALDADES (do 2o grau)
As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do conjunto dos
reais. A teoria vale para os sinais (>, ≥ ,< e ≤) . Exemplo, dada a desigualdade
y =  x
y
D : (-∞,∞)
 I : [0 , ∞)
x
-7/3 1
 ∞ x x ∞
x
-3 0
22
a x2 + b x + c > 0 , as soluções x1 e x2 são obtidas com se fosse uma equação do 2o
grau ,ou x1 = (- b + acb 42 − )/2a e x2 = (- b - acb 42 − )/2a
mas o conjunto de soluções é
D : (-∞ , x1 ) e (x2 , ∞) , (o conjunto é extra-raizes)
Se a desigualdade for negativa, ou seja,
a x2 + b x + c < 0 ( O conjunto é intra-raizes)
Exemplo 1: Achar o domínio da função y = 42 −x
Solução: x2 – 4 ≥ 0 , logo D : (-∞ , -2] e [2 , ∞ )
TIPOS DE FUNÇÃO
As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as
algébricas, exponenciais e as trigonométricas.
Funções Pares e Ímpares
a) Uma função f é par, para todo x de seu domínio se f(-x) = f(x), ou seja, -x pertence ao
domínio de f.
b) Uma função f é ímpar, para todo x de seu domínio se f(-x) = -f(x). Isto é, -x pertence
também ao domínio de f.
Exemplos:
a) Pares
g(x) = x2 f(x) = x4 + 2
pois g(-x) = (-x)2 = x2 = g(x) f(-x) = (-x)4 + 2 = x4 + 2 = f(x)
b) Ímpares
g(x) = x3 f(x) = 2x
g(-x) = (-x)3 = -x3 = -g(x) f(-x) = 2(-x) = -2x = -f(x)
 Funções Polinomiais
São funções da forma
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxx n > 0 e ai , reais
Exemplo:
f(x) = 2x2 - x + 1 , a0 = 1, a1 = -1, a2 = 2
x x
X1 X2
x
X1 X2
23
Funções Racionais (razão)
São funções definidas por
f(x) = 
p x
q x
( )
( )
onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = 
3 1
4 1
2
5 3
x x
x x
− +
− +
 é uma função racional
Funções Algébricas
São resultantes de operações algébricas comuns.
Exemplo:
f(x) = x + 1 , g(x) = 
x
x 2 5+
etc.
Exercícios
Classificar as funções abaixo:
1) f(x) = x4 + x
Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial
2) g(t) = 2t2 + 3 t
Resp. g(-t) = 2(-t)2 + 3 -t = 2t2 + 3 t = g(t) par
3) f(x) = 
x
x
2 4
2
−
−
 (função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2)
RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES
Tipo de Função Exemplo
Par f(-x) = f(x) y=x4 → y = (-x)4 = x4
Ímpar f(-x) = - f(x) y = x3 → y = (-x)3 = -x3
Polinomiais f(x)=a0 +a1x+a2x2+..+anxn y = 3 +5x-7x2 e outros.
Racionais f(x) = P(x)/Q(x) y =(2x3+ 4x) / (x2+2x)
Algébricas Todas as anteriores.
Trigonométricas y = senx , cosx , etc.
Logarítmicas y =lnx , ouy = lgax
24
Exponenciais y = ef(x) ou y = af(x)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As funções trigonométricas são 6, ou seja, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e co-
tangente. Essas funções são abreviadas por: sen, cos, tan (ou tg) , sec, csc, cot. Antes de
estudar essas funções vamos estudar as medidas de ângulos.
As medidas de ângulos podem ser em graus e radianos.
Num círculo completo s = αr = 2πr → α = 
2π r
r
 = 2π ou 360o equivalente a 2π
(radianos), e 180o = π = 3,1416 ...
Graus 30o 45o 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
Radianos π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π π 3
2
π 2π
O grau é uma unidade sexagesimal , isto é, seus múltiplos e sub-múltiplos variam de 60
em 60. Exemplo : 1o = 60′(minutos de arco) e 1′ = 60 ′′ (segundos de arco).
Ex.1 Transformar 35,758o em grau, minutos e segundos.
Solução:
= 35o + (0,758×60=45,48)parte inteira + (0,48×60=28,8)
= 35o 45′ 28,8′′
Ex.2 Efetuar a transformação inversa, ou seja, 35o 45′ 28,8′′ para a forma decimal
.Solução:
= 35o + 45/60 + 28,8/(60×60) = 35,758o
O
s
α
α (radianos) = s
r
1 rd ≅ 57,3º
1rd=57,3
 s = rr
Se s = r , o ângulo compreendido por s é de 1 radiano
r
25
História da Trigonometria
A trigonometria provavelmente começou quando se quis saber a altura de árvores e
montanhas, sem que fosse necessário subir nas mesmas para medir. Construiu-se um
triângulo com o lado maior(hipotenusa) coincidindo com o raio de um círculo de raio=1, e com
isso, montou-se uma tabela de valores x e y (que seriam ≤1) para cada ângulo. Para valores
de X e Y (fora do círculo) maiores do que 1, e um mesmo ângulo, os lados seriam
proporcionais e isso permitiria calcular esses valores.
O nome senα foi dado para a medida y, e para a medida x foi dado cosα. A relação
entre as duas grandezas y e x é chamada de tanα .
Assim a altura da árvore pode ser calculada, considerando que
Exemplo: se a distância da árvore fosse 30m e o ângulo de visada fosse de 30o , então h = 30
. 0,500/0,866 = 17,4m , onde o valor 0,50 = y = senα e o valor 0,86 para x que foram medidos
(com uma régua) no círculo de raio unitário, para o ângulo de30o .
Atualmente , os valores senα, cosα e tanα não são mais medidos, pois, podem ser
calculados com precisão por funções desenvolvidas pelos matemáticos.
y = x tanα tanα = y/x = medido no círculo de r=1, para cada ângulo
y = senα , x = cosα e tanα =senα/cosα=y/x = Y/X
 y
x
α
O P
Q
 o X
Y
α
α x y y/x
α1 - - -
α2 - - -
 - - - -
26
Definição das funções trigonométricas.
Usa-se o círculo trigonométrico (de raio unitário) para representar as funções, e o
ângulo aqui é representado por “t” .
 
 
 
 
 
 
 
 
cott reta do ângulo
(x ,y)
y
t
x
tant
x = cost → sect = 1/x
y = sent → csct = 1/y
y/x = tant → cott = x/y = 1/tant
 rd = (π / 180).gr
 gr = (180 /π ). rd
S R
P
Q
tO C
OQ = sect
SR = cott
CQ = tgt
OR = csct
OQ2 = OC2 + CQ2
sec2t = 1 + tan2t
 x2 + y2 = 1
sen2 t +cos2 t = 1
OR2 = OS2 + SR2
csc2 t = 1 + cot2 t
Por semelhança de triângulos pode se
obter
 
t
tt
OC
CQ
cos
sen
1
tan ==
 
t
tt
SO
SR
sen
cos
1
cot ==
 
tt
OPt
OC
OQ
cos
1
cos1
sec ===
27
 Valores de senx, cosx e tanx em graus e radianos
RADIANOS 0 π
6
π
4
π
3
π
2
π
GRAUS 0 30º 45º 60º 90º 180º
sen 0 1
2
2
2
3
2
1 0
cos 1 3
2
2
2
1
2
0 -1
tg 0 3
3
1 3 ∞ 0
O domínio das funções seno e co-seno é o conjunto dos reais, R. Os domínios das
outras 4 funções são os conjuntos de valores de t para os quais o denominador da fração que
a define é diferente de zero. Veja os gráficos:
 
y
Imagem : [-1,1]
y = senx x = t
1
-1
 -2π - 3
2
π -π -
π
2
 0 
π
2
 π 3
2
π 2π x
y = cosx
1
-1
 -2π - 3
2
π -π -
π
2
 0 
π
2
 π 3
2
π 2π x
Imagem [-1,1]
28
Os dois gráficos mostram que -∞ < x < ∞, ou seja, o domínio das funções seno e co-seno é
R (conjunto dos reais).
Analisar o domínio das funções y = tanx e y = cotx.
y = tanx = 
sen
cos
x
x
 , cosx = 0 em x = ± 
π
2
 , ± 
3
2
π
 etc I : (-∞, ∞)
x ≠ ± k 
π
2
 ; sendo k = 1,3,5,.... ímpar (y → ∞ nestes pontos)
Para a função y = cotx tem-se:
então x deve ser diferente de (0, ±π , ±2π....),ou x ≠ ±kπ , k = 0, 1, 2, 3, ...
 - 3
2
π -π - 
π
2
 0 
π
2
 π 3
2
π X
y=tanx
-2π - 3
2
π -π - 
π
2
 0 
π
2
 π 3
2
π 2π X
y=cotx
senx = 0 em 0 , ±π , ±2π
y → ∞ nestes pontos
y = cotx = cos
sen
x
x
29
Funções:
y = secx = 
1
cos x
cosx = 0 em x ≠ k 
π
2
 , para k = 1, 2, 3 ...
Domínio da função: D: { x ≠ k 
π
2
} e I = (-∞, -1] , [1, ∞)
Função y = cscx = 
1
sen x
Identidades trigonométricas
As identidades trigonométricas são relações obtidas no círculo trigonométrico de raio unitário e
são bastante úteis nas aplicações matemáticas.
sen(-t) = -sent (função ímpar)
 ver gráficos
cos(-t) = cost (função par)
sen2t + cos2t = 1 (ver definição), demonstrar
tg2t + 1 = sec2t
 -π - 
π
2
 
π
2
 π X
-1
1
y = secx
y
y y = cscx
-π - π/2 0 π/2 π X
x ≠ ±kπ k = 0, 1, 2, ...
cot2t + 1 = csc2t
sen(t + s) = sent coss + cost sens
sen(t - s) = sent coss - cost sens
cos(t + s) = cost coss - sent sens
cos(t - s) = cost coss + sent sens
tan(t + s) = 
tan tan
tan tan
t s
t s
+
−1
tan(t + s) = 
sen( )
cos( )
t s
t s
+
+
tan(t - s) = 
tan tan
tan tan
t s
t s
−
+1
para t ou s ≠ ±k
π
2
sen2t = 2sent cost sen2
t
2


 

 = 
1
2
 (1 - cost)
cos2t = cos2t - sen2t cos2
t
2


 

 = 
1
2
(1 + cost)
troc
A im
O d
g(x
Dire
inve
Inve
-4
Exemplos: a) sen(t + π) Resp. – sent ;
b) sen π
2
−


 

s Resp. coss ;
π 
30
FUNÇÕES INVERSAS
Dada uma função y = f(x), a inversa dessa função é definida como g(x) = x = f-1(y) e
ando y por x.
agem de g está contida no domínio de f.
omínio de g está contida na imagem de f.
Exemplo 2: (função inversa) y = g(x)
) = x2 +1 → x2 = g(x) – 1 → x = 1−y → y = 1−x
ta : g(x) = x2 +1 , D : (-∞ , ∞) → mas a restrição da raiz faz com que elas sejam
rsa só na região : D [0 , ∞) e I : [1, ∞) , pois
rsa : f(x) = 1−x , x-1 ≥ 0 , D: [1,∞) e I : [0 , ∞).
c) cos 
2
−


s Resp. coss
y =f(x)
 1 2 3 4 x
y=g(x)
 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
1
31
Funções inversas trigonométricas
As funções inversas trigonométricas são bastante úteis quando se tem, por exemplo o
seno de um ângulo e se quer saber o valor do ângulo. Ex. senα = 0,5 , portanto, senα-1=30º
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Se x = by , então y é chamado de logaritmo de x na base b e escreve-se logaritmo
de x como logx ou lgx ou lgbx .
y = lgb x b = 10 é a base decimal
Quando b = e ≅ 2,7182818 ..., esta base é chamada de natural e representa-se por y = ln x
ou LN(x) . Quando o logarítmo , lg = “ln” a base é sempre "e" , isto é , ln x = lgex ou
logarítimo de x na base "e" .
f(x)= lgbx
se y = 0⇒
x = b0 = 1
Sabemos que 102 = 100 , 103
=1000, e 23 = 8 , 24 = 16 , etc.
mas e se tivéssemos um
número fracionário do tipo
100,30103 = N , quanto seria N ?
Neste caso, y=0,30103 é o
log10 N. Os logaritmos se
aplicam para resolver equações
do tipo:7x = 3, achar x.
Solução: Aplica a propriedade
lgAx =x.lgA , ou na
equação dada ,
x. 3lg7lg 1010= ,
x = 7lg/3lg 1010 ,
x= 0,477121255/0,845098040
x = 0,5645750344
(Os lg10 toma-se na
calculadora)
 y
1 b
Propridades dos logarítmos(naturais ou
outros):
NgMgNMg bbb lll +=).()1
NgMgNMg bbb lll −=)/()2
NgpNg b
p
b ll .)()3 =
-π -π/2 π/2 π
 x
Diretas
-1
y=senx
1
D: (-∞, ∞) só é inversa na região
D: [-π/2 , π/2 ] e de imagem I: [-1, 1]
Inversas
 -1 1 x
y=sen-1x
π/2
-π/2
D: [-1, 1] é o domínio da inv.
I: [-π/2 , π/2 ] é sua imagem.
A inversa da função logarítmica é a função exponencial, ou vice versa.
 y=exp(x)
 y 
 y = lnx
 1
 0 1 x
 
(A inversa de y = ex , é obtida aplicando lg=ln , o
,resultando y =lnx)
 Direta : y= exp(x)=ex
 D : (-∞ , ∞ )
 I : (0, ∞ )
Inversa : y = lnx
 D : (0 , ∞ )
 I : (-∞ , ∞ )
32
u lny=lnex =xlne=x, e trocando x por y
33
Unidade 3
Estatistica Básica
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta.
Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da
probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um
número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados
diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e
possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que
representa o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído
pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece},
B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos
de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos:
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar:
C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
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(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ
Conceito de probabilidade
Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade
de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras
diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares
têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é
sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento
impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o
evento que se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s
sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido
E1 e E2...En-1.
Exemplo:
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Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma
de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a
segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:
A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer
um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez
e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda
ser preta?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e
azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A
e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair
azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição.
Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a
segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no
cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
36
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul
e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a
probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas.
Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 8/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma
carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B
são mutuamente exclusivos.
1- bjeto da estatística
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar,
resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como
média ou desvio padrão.
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas
vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo,
sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor
compreensão das situações que representam.
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser
utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que
nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de
informação relevante parao problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados
provêm.
Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra,
deixando de lado a aleatoriedade presente.
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar
uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a
potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma
população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro
cometido.
2- População e amostra
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Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra.
Obviamente tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a
população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que
é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias,
custo, tempo, logística, entre outros motivos.
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que
a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de
determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da
amostra.
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-
se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua
utilização pode dar origem a interpretações erradas.
3- Recenseamento
Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um
País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se
recenseamento do seguinte modo:
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de
adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos
acerca de características importantes desse universo.
4- Estatística descritiva e estatística indutiva
Sondagem
Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da
população é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma
ou mais características particulares dessa população.
Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como:
Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e
preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de
interesse comum.
5-Amostragem
Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos
probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo.
Não Probabilística
Acidental ou conveniência
Intencional
Quotas ou proporcional
Desproporcional
Probabilística
Aleatória Simples
Aleatória Estratificada
Tipos de Amostragem
Conglomerado
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Não Probabilística
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem
frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por
este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos
na amostra para o todo da população quando se opta por este método de amostragem.
5.1- Acidental ou conveniência
Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super mercados para testar
produtos.
Intencional
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo,
quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas.
5.2- Quotas ou proporcional
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio
conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar
apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o
trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda
proporcionalidade.
5.3- Desproporcional
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos
para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo.
Probabilística
Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com
amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma
hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser
selecionado na amostra.
5.4- Aleatória Simples
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de
amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os
indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculada
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos,
o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos
dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica.
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente
para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e
obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número
x + y; a terceira será a de número x + 3. y.
Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O
terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente.
Aleatória Estratificada
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Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se
cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre
outros.
5.5- Conglomerado
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta
modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É
exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões.
6- Dimensionamento da amostra
Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três
etapas distintas:
• Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa;
• Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal;
• Verificar se a população é finita ou infinita;
Variável intervalar e população infinita
Variável intervalar e população finita
Variável nominal ou ordinal e população infinita
Variável nominal ou ordinal e população finita
Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos
para a variável adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será
0,60.
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d.
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q.
7- Tipos de dados
Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como
qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor
que ser "quebrado". São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos,
vendas, faturamento, entre muitas outras.
Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças
defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos,
satisfação e escalas nominais no geral.
O tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer
dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que
tipo de tratamento se dará a ela.
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se
essencialmente duas fases:
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra:
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Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a
população:
1ª Fase EstatísticaDescritiva
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as
propriedades.
2ª Fase Estatística Indutiva
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra),
expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a
existência de leis (na população).
No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou
verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não
são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que
também não podemos afirmar que são verdadeiras !
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de
Probabilidade.
Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da
noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma
conclusão para a população, a partir da observação da amostra.
8- Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de freqüência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os
visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou
categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao
menor valor das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao
maior valor das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando K = . Obrigatoriamente deve
estar compreendido entre 5 a 20.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe
(inferior e superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a
uma classe média
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de
dados que distribuem-se em forma de sino.
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Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
Distribuições com "caudas" longas
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos
concentrados na região central da distribuição.
9- Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética
para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média
harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são:
amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana
1) Se n é impar, o valor é central,
 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda
Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
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Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização,
pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de
localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais
freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses
desvios o resultado obtido é igual a zero.
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas
aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a
média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade
pretendida.
9.1- Moda
Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são
discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos.
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a
moda ou a classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados
qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode
calcular a média e por vezes a mediana.
9.2- Mediana
A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do
seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que
a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os
outros 50% são maiores ou iguais à mediana
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n
elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
9.3-Considerações a respeito de Média e Mediana
Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n
, ... , Xn:n
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão
sensível aos dados.
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1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou
muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as
observações.
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores
"muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número
na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas
situações em que teria mais significado utilizar a mediana.
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser
maior que a mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a
ser inferior à mediana.
10 - Medidas de dispersão
Introdução
No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de
dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através
das seguintes medidas:
10.1- Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da
variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da
amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que
se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios
das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de
observações da amostra menos um.
10.3- Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as
mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio
padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for,
maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
44
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
11. Distribuição Normal
A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística,
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se
emformato de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média.
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer
que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à
área compreendida entre esses dois pontos.
68,26% => 1 desvio
95,44% => 2 desvios
99,73% => 3 desvios
Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padrões. Quanto mais
afastado do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um
desvio padrão, temos 68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos
95,44% dos dados comprendidos e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir
que quanto maior a variablidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de
encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal.
Propriedade 1:
"f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0;
Propriedade 2:
"f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39;
Propriedade3:
"f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito;
Propriedade4:
"f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou quando z
tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1.
Unidade 4
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
45
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a
energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na
1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3
horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima)
na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
46
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do
mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo
trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão
necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada
linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
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Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
 
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a
relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo
x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
 Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão
montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas
concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as
inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
48
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2
piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada
para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto
tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?
Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média
de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma
velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50
minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25
minutos? Resposta: 2025 metros.
Unidade 5
Razões e Proporções
Medidas de superfície
Introdução
As medidas de superficie fazemparte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais
corriqueiras do cotidiano:
• Qual a area desta sala?
• Qual a area desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?
• Qual a area dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a area pintada dessa parede?
Superfície e área
Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto,
um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos UnidadeFundamental Submúltiplos
quilômetros hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
49
quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são
utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma
unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se “189 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc.
A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o
centiare (ca).
Unidade
agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalênci
a
de valor
100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Transformação de unidades de superfície
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada
unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
• transformar 2,36 m2 em mm2.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
50
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000
(100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2
• transformar 580,2 dam2 em km2.
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)
2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)
3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)
Medidas de volume
Introdução
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento,
largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros
cúbicos e volume.
Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida
correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos UnidadeFundamental Submúltiplos
quilômetro cúbico hectômetrocúbico
decâmetro
cúbico metro cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico milímetro cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3
Leitura das medidas de volume
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares.
Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar
incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.
• Leia a seguinte medida: 75,84m3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
75, 840
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".
• Leia a medida: 0,0064dm3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
0, 006 400
51
Lê-se "6400 centímetros cúbicos".
Transformação de unidades de volume
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada
unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
• transformar 2,45 m3 para dm3.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)
2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)
3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)
Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este
recipiente, o líquido assume a forma do mesmo.
Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos UnidadeFundamental Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações
1l = 1dm3
1ml = 1cm3
52
1kl = 1m3
Leitura das medidas de capacidade
• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
kl hl dal l dl cl ml
2, 4 7 8
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
Transformação de unidades de capacidade
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada
unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
• transformar 3,19 l para ml.
kl hl dal l dl cl ml
Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).
3,19 x 1.000 = 3.190 ml
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)
2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)
3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)
4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)
Medidas de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da
terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de
acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na
terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
53
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um
substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (Kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à
temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como
unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos Unidadeprincipal Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Medidas de massa
Transformação de Unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior.
Observe as Seguintes transformações:
• Transforme 4,627 kg em dag.
kg hg dag g dg cg mg
Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
4,627 x 100 = 462,7
Ou seja:
4,627 kg = 462,7 dag
Observação:
Peso bruto: peso do produto com a embalagem.
Peso líquido: peso somente do produto.
Medidas de tempo
Introdução
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?54
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas
passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a 1/86.400 do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de
tempo não é decimal.
Observe:
 
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
55
Medidas de Comprimento
Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas
próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca
de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um
padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países
reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a
medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano
que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos,
cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o
quadro:
Múltiplos UnidadeFundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para
pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são
utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Leitura das Medidas de Comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades.
Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.
Seqüência prática
1º) Escrever o quadro de unidades:
km hm dam m dm cm mm
56
2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua
respectiva.
km hm dam m dm cm mm
1 5, 0 4 8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal
acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.
15 metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".
0,003 m lê-se "três milímetros".
Transformação de Unidades
 
Observe as seguintes transformações:
• Transforme 16,584hm em m.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja:
16,584hm = 1.658,4m
• Transforme 1,463 dam em cm.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).
1,463 x 1.000 = 1,463
Ou seja:
1,463dam = 1.463cm.
• Transforme 176,9m em dam.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar dam em cm (três posições à esquerda) devemos dividir por 10.
176,9 : 10 = 17,69
Ou seja:
176,9m = 17,69dam
• Transforme 978m em km.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.
978 : 1.000 = 0,978
Ou seja:
978m = 0,978km.
57
Observação:
Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente
transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.
Perímetro de um Polígono
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
Perímetro do retângulo
 
b - base ou comprimento
h - altura ou largura
Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)
Perímetro dos polígonos regulares
 
Triângulo equilátero Quadrado
P = l+ l + l
P = 3 · l
P = l + l + l+ l
P = 4 · l
Pentágono Hexágono
P = l + l + l + l + l
P = 5 ·
P = l + l + l + l + l + l
P = 6 · l
58
l - medida do lado do polígono regular
P - perímetro do polígono regular
Para um polígono de n lados, temos:
P = n · l
Comprimento da Circunferência
Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se:
Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?
Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante.
Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.
 
Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior
a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não
experimental.
Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:
Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D),
encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.
Assim: 
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da
palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.
Logo: 
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer
circunferência.
Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda
obtido experimentalmente.
C = 2pir C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm
59
3,141592...