resumo Contabil

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ESTATÍSTICA
EXAME CFC
Prof. Guilherme Neves
@profguilhermeneves
t.me/profguilhermeneves
5.12 Será admitido o uso de máquina calculadora, desde que não permita o 
armazenamento de texto.
Conteúdo Programático - Estatística
h) Distribuição de Frequência: Intervalos de classe. Histogramas e polígono de frequência. Frequência
acumulada e relativa. Representação gráfica.
i) Descrição de Dados: Média aritmética. Média geométrica. Mediana. Moda. Quartis, decis e percentis. 
Amplitude. Desvio médio, variância e desvio-padrão. Coeficiente de variação.
j) Probabilidades: Eventos independentes, dependentes e mutuamente exclusivos. Valor esperado. 
Probabilidade condicional. Distribuição discreta e contínua. Distribuição binomial. Distribuição normal. 
Análise combinatória. Variáveis aleatórias.
k) Regressão e Correlação: Teoria da correlação. Correlação linear e múltipla. Medidas de correlação. 
Mínimos quadrados. Equação da correlação. Erro padrão. Variação explicada e não explicada. 
Coeficiente de determinação e de correlação. Equação de regressão. Diagrama de dispersão. Análise de 
correlação e regressão.
l) Números Índices: Construção de índices simples e compostos. Mudança de base de um número índice. 
Índice de preço ao consumidor. Deflação.
m) Teoria da Amostragem: Amostras e populações. Amostra aleatória. Valor esperado.
n) Testes de Hipóteses: Teste de diferenças de médias. Determinação do tamanho da amostra. Teste Qui
Quadrado. Distribuição T Student. Distribuição binomial. Distribuição F. Teste de Diferença entre 
Variâncias. 
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛
𝑛
𝑥 =
σ𝑥𝑛
𝑛
Média Aritmética
Exemplo: Calcular a média aritmética dos números 4, 7, 8, 29.
Se um problema simplesmente pedir para calcular a média sem
especificar qual o tipo de média, você deverá calcular a média
aritmética.
Se é dada a média de um conjunto, basta multiplicar a média pela
quantidade de termos para calcular a soma total.
Por exemplo, se a média salarial de 8 pessoas é de 1.500 reais,
então, juntos, eles recebem 8 x 1.500 = 12.000 reais.
Isto é decorrente da própria definição de média aritmética.
ഥ𝑥 =
𝑆𝑜𝑚𝑎
𝑛
⟺ 𝑆𝑜𝑚𝑎 = 𝑛 ∙ 𝑥
Média Aritmética Ponderada
Matéria Nota (xi) Peso (pi)
Matemática 9,5 4
Física 8,5 5
Química 7 3
História 5 1
Biologia 4 2
Média Aritmética Ponderada
Matéria Nota (xi) Peso (pi) Nota x Peso
Matemática 9,5 4 9,5 x 4 = 38
Física 8,5 5 8,5 x 5 = 42,5
Química 7 3 7 x 3 = 21
História 5 1 5 x 1 = 5
Biologia 4 2 4 x 2 = 8
Média Aritmética Ponderada
𝑥 =
38 + 42,5 + 21 + 5 + 8
4 + 5 + 3 + 1 + 2
=
114,5
15
≅ 7,63
Matéria Nota (xi) Peso (pi) Nota x Peso
Matemática 9,5 4 9,5 x 4 = 38
Física 8,5 5 8,5 x 5 = 42,5
Química 7 3 7 x 3 = 21
História 5 1 5 x 1 = 5
Biologia 4 2 4 x 2 = 8
Média Aritmética Ponderada
Vamos generalizar. Se temos uma lista de números 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 com
pesos respectivos 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 , então a média aritmética ponderada
é dada por:
ഥ𝑥 =
𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑝𝑛
𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛
Média para Dados Agrupados por Valor
Idade (xi) Frequência (fi)
25 21
30 47
34 54
38 41
41 37
Total 200
Idade (xi) Frequência (fi) xi fi
25 21 25 x 21 = 525
30 47 30 x 47 = 1.410
34 54 34 x 54 = 1.836
38 41 38 x 41 = 1.558
41 37 41 x 37 = 1.517
Total 200 6.846
Média para Dados Agrupados por Valor
Idade (xi) Frequência (fi) xi fi
25 21 25 x 21 = 525
30 47 30 x 47 = 1.410
34 54 34 x 54 = 1.836
38 41 38 x 41 = 1.558
41 37 41 x 37 = 1.517
Total 200 6.846
𝑥 =
6.846
200
= 34,23 𝑎𝑛𝑜𝑠
Média para Dados Agrupados por Valor
Média para Dados Agrupados por Classe
Estaturas (cm) Frequência (fi)
150 – 154 4
154 – 158 9
158 – 162 11
162 – 166 8
166 – 170 5
170 – 174 3
Total 40
Média para Dados Agrupados por Classe
Estaturas (cm) Frequência (fi) Ponto Médio (xi)
150 – 154 4 152
154 – 158 9 156
158 – 162 11 160
162 – 166 8 164
166 – 170 5 168
170 – 174 3 172
Total 40
Média para Dados Agrupados por Classe
Estaturas (cm) Frequência (fi) Ponto Médio (xi) xi fi
150 – 154 4 152 4 x 152 = 608
154 – 158 9 156 9 x 156 = 1.404
158 – 162 11 160 11 x 160 = 1.760
162 – 166 8 164 8 x 164 = 1.312
166 – 170 5 168 5 x 168 = 840
170 – 174 3 172 3 x 172 = 516
Total 40 6.440
Estaturas (cm) Frequência (fi) Ponto Médio (xi) xi fi
150 – 154 4 152 4 x 152 = 608
154 – 158 9 156 9 x 156 = 1.404
158 – 162 11 160 11 x 160 = 1.760
162 – 166 8 164 8 x 164 = 1.312
166 – 170 5 168 5 x 168 = 840
170 – 174 3 172 3 x 172 = 516
Total 40 6.440
𝑥 =
6.440
40
= 161 𝑐𝑚
Média para Dados Agrupados por Classe
01. (CFC 2017/1)
A tabela a seguir representa os salários médios de um grupo de 50
empregados de uma determinada Sociedade Empresária, em certo mês,
agrupados em classes.
Considerando-se apenas as informações apresentadas, o salário médio desses empregados,
no mês indicado, foi de:
a) R$2.520,00.
b) R$3.800,00.
c) R$4.000,00.
d) R$4.600,00.
Mediana
A mediana (ou valor mediano) é outra medida de posição definida como número
que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem.
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma
ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em
dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Mediana para Dados Não-Agrupados
Tomemos como exemplo a seguinte série de valores:
5,10,13,12,7,8,4,3,9.
Mediana para Dados Não-Agrupados
Tomemos como exemplo a seguinte série de valores:
5,10,13,12,7,8,4,3,9.
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da
ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores.
3,4,5,7,8,9,10,12,13.
2,6,7,10,12,13,18,21
Por definição, quando o número de elementos for par, a mediana será
QUALQUER número entre os dois termos centrais. Como há infinitos valores entre
os dois termos centrais e, portanto, infinitas medianas, CONVENCIONOU-SE
utilizar o ponto médio para o cálculo da mediana.
Estando ordenados os dados numéricos e sendo 𝑛 o número de elementos, o valor mediano
será:
- O termo de ordem
𝑛+1
2
, se 𝑛 for ímpar.
- A média aritmética dos termos de ordem
𝑛
2
e
𝑛
2
+ 1, se 𝑛 for par.
O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Quando o número de
elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando esse
número é par.
A mediana depende da posição e não é influenciada por valores extremos dos
elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a
média (que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos, também chamados de
outliers).
Mediana para Dados Agrupados por Valor
Notas Frequência
2 2
4 6
6 10
8 12
10 9
Mediana para Dados Agrupados em Classes
Classes Frequência
40 – 50 2
50 – 60 5
60 – 70 7
70 – 80 8
80 – 90 3
Mediana para Dados Agrupados em Classes
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 +
𝒏
2
− 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
∙ 𝒉
Moda
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior
frequência em um rol.
Moda
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior
frequência em um rol.
Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode apresentar mais de uma
moda. Nesse caso, dizemos ser plurimodal (ou polimodal), caso contrário, será
unimodal (apenas uma moda), ou ainda, amodal (quando todos os valores das
variáveis em estudo apresentarem uma mesma frequência).
Moda para Dados Não-Agrupados
Para a identificação da moda em um conjunto ordenado de valores não
agrupados em classe, basta verificar, no conjunto, aquele valor que aparece
com maior frequência.
Para a identificação da moda em um conjunto ordenado de valores não
agrupados em classe, basta verificar, no conjunto, aquele valor que aparece
com maior frequência.
Exemplos:
𝑋1 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 10} – Conjunto Amodal, pois todos os valores possuem a mesma
frequência.
𝑋2= {2, 4, 6, 10, 10, 10, 13} – Conjunto Unimodal (𝑀𝑜 = 10)
𝑋3 = {2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 10, 13} – Conjunto Bimodal (𝑀𝑜1 = 2 e 𝑀𝑜2 = 4).
Moda para Dados Agrupados
Quando os dados estiverem dispostos em uma tabela com frequências, não
agrupados em classes, a localização da moda é imediata, bastando para isso,
verificar na tabela, qual o valor associado à maior frequência.
Moda para Dados Agrupados
Quando os dados estiverem dispostos em uma tabela com frequências, não
agrupados em classes, a localização da moda é imediata, bastando para isso,
verificar na tabela, qual o valor associado à maior frequência.
Estatura (m) Frequência
1,60 3
1,62 8
1,64 12
1,70 20
1,73 10
1,80 7
1,83 3
1,88 1
02. (CFC 2015/2)
Uma Sociedade Empresária obteve uma receita total, no ano de 2014, no valor
de R$31.200,00, distribuída mensalmente como segue:
Analisando-se os dados e calculando-se as
medidas de tendência central, pode-se
afirmar que a mediana é de:
a) R$1.450,00.
b) R$1.850,00.
c) R$2.600,00.
d) R$2.700,00.
03. (CFC 2014/2)
Uma empresa de logística oferece serviços de armazenagem em um galpão climatizado e
serviços de transporte de mercadorias. O valor das tarifas a serem cobradas por ambos
os serviços foi estabelecido em função do espaço necessário para a armazenagem e da
distância para o frete. As tarifas estabelecidas são apresentadas na tabela abaixo:
Com base nos dados apresentados na tabela acima, assinale a opção INCORRETA.
a) A média aritmética da Tarifa do Frete por km rodado é de R$2,29 por km.
b) A média aritmética da Tarifa da Armazenagem por m2 é de R$52,00 por m2.
c) A mediana da Tarifa da Armazenagem do espaço total é de R$156,00.
d) A mediana da Tarifa do Frete para a distância total é de R$68,57.
04. (CFC 2011/1)
Os preços em reais (R$) para uma amostra de equipamentos de som
estão indicados na tabela abaixo.
Com base na amostra, o valor CORRETO da mediana é igual a:
a) R$440,00.
b) R$470,00.
c) R$512,00.
d) R$627,00.
Variância
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios.
𝜎2 =
෌ 𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛
Variância
Desvio Padrão
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
A variância é o quadrado do desvio padrão.
Desvio Padrão
Se os elementos forem todos iguais, todos os desvios serão iguais a
zero. Consequentemente, a variância será nula e também o desvio
padrão.
População e Amostra
Variância populacional → 𝜎2
Variância amostral → 𝑠2
Desvio padrão populacional → 𝜎
Desvio padrão amostral → 𝑠
População e Amostra
𝜎2 =
෌ 𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛
𝑠2 =
෌ 𝑥𝑖 − 𝑥
2
𝑛 − 1
Dados os valores de uma variável: 5, 10, 15, 20, 25, as variâncias amostral e
populacional são, respectivamente,
a) 14,7 e 15.
b) 125 e 250.
c) 62,5 e 50.
d) 29,4 e 30,8.
e) 83,3 e 85.
O desvio padrão dos valores 2, 6, 4, 3, e 5 é, aproximadamente,
a) 2,00.
b) 1,83.
c) 1,65.
d) 1,41.
e) 1,29.
Propriedades do Desvio Padrão
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de
uma lista de números, o desvio padrão não é alterado.
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de
uma lista de números, o desvio padrão da lista fica multiplicado (ou
dividido) por esta constante.
Propriedades do Desvio Padrão
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores
de uma lista de números, a variância não é alterada.
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os
valores de uma lista de números, a variância da lista fica
multiplicado (ou dividido) pelo quadrado dessa constante.
Propriedades da Variância
Variância Populacional → 𝜎2 = 𝑋2 − 𝑋
2
Variância Amostral → 𝑠2 = 𝑋2 − 𝑋
2
∙
𝑛
𝑛−1
Fórmula Alternativa para Variância
O desvio padrão dos valores 2, 6, 4, 3, e 5 é, aproximadamente,
a) 2,00.
b) 1,83.
c) 1,65.
d) 1,41.
e) 1,29.
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, ou seja,
𝐶𝑉 =
𝜎
𝑋
.
Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, ou seja,
𝐶𝑉 =
𝜎
𝑋
.
Como o desvio padrão e a média possuem a mesma unidade, o coeficiente de
variação é adimensional.
É muito comum que o coeficiente de variação seja expresso em porcentagem.
Coeficiente de Variação
05. (CFC 2019/1)
Durante o primeiro semestre de 2019, as Sociedades Empresárias Alfa e Beta
apresentaram os seguintes valores de receitas de vendas ao mês:
Considerando apenas as informações apresentadas, quais são os respectivos valores que
mais se aproximam do desvio-padrão amostral das receitas de vendas da Sociedade Alfa e
da Sociedade Beta no primeiro semestre de 2019?
a) 7.071,07 e 7.340,91
b) 7.340,91 e 7.071,07
c) 7.340,91 e 8.041,56
d) 7.745,97 e 8.916,28
06. (CFC 2019/2)
Os seguintes dados amostrais foram obtidos de uma pesquisa que buscou saber o
comportamento de determinada ação cotada em bolsa de valores no decorrer de nove
pregões.
Considerando apenas os dados amostrais apresentados, é correto afirmar que:
a) A mediana dos preços é igual a R$ 7,50.
b) A variância dos preços é, aproximadamente, R$ 0,30.
c) A média aritmética simples dos preços é igual a R$ 7,00.
d) O desvio-padrão dos preços é, aproximadamente, R$ 0,09.
Aluno Altura (cm) Massa (kg)
1 158 55
2 156 52
3 177 74
4 159 57
5 164 64
6 158 59
7 184 91
8 177 85
9 168 66
10 160 52
11 173 68
12 154 51
13 172 83
14 174 69
15 173 70
16 168 75
17 155 47
18 155 55
19 181 87
20 167 64
21 164 62
22 163 63
23 166 63
24 170 69
25 171 67
Correlação Linear
Aluno Altura (cm) Massa (kg)
1 158 55
2 156 52
3 177 74
4 159 57
5 164 64
6 158 59
7 184 91
8 177 85
9 168 66
10 160 52
11 173 68
12 154 51
13 172 83
14 174 69
15 173 70
16 168 75
17 155 47
18 155 55
19 181 87
20 167 64
21 164 62
22 163 63
23 166 63
24 170 69
25 171 67
Correlação Linear
𝑟 =
෌ 𝑋𝑖 − ത𝑋 ∙ 𝑌𝑖 − ത𝑌
෌ 𝑋𝑖 − ത𝑋
2 ∙ ෌ 𝑌𝑖 − ത𝑌
2
Coeficiente de Correlação Linear de Pearson
෍ 𝑋𝑖 − ത𝑋 ∙ 𝑌𝑖 − ത𝑌 =෍ 𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖 − 𝑛 ∙ ത𝑋 ∙ ത𝑌
෍ 𝑋𝑖 − ത𝑋 ∙ 𝑌𝑖 − ത𝑌 =෍ 𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖 − 𝑛 ∙ ത𝑋 ∙ ത𝑌
෍ 𝑋𝑖 − ത𝑋
2 =෍𝑋𝑖
2 − 𝑛 ∙ ത𝑋 2
෍ 𝑋𝑖 − ത𝑋 ∙ 𝑌𝑖 − ത𝑌 =෍ 𝑋𝑖 ∙ 𝑌𝑖 − 𝑛 ∙ ത𝑋 ∙ ത𝑌
෍ 𝑋𝑖 − ത𝑋
2 =෍𝑋𝑖
2 − 𝑛 ∙ ത𝑋 2
෍ 𝑌𝑖 − ത𝑌
2 =෍𝑌𝑖
2 − 𝑛 ∙ ത𝑌 2
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
r = 0,9293355
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
r = 0,9293355 r = 1
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
r = -0,9836038
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
r = -0,9836038 r = -1
−1 ≤ 𝑟 ≤ 1
r = -0,0205218
É importante notar que o coeficiente de correlação calcula a “força” da relação
linear entre as variáveis. Se o coeficiente é zero ou bem próximo de zero,
então não existe relação linear entre as variáveis. Entretanto, é possível que as
variáveis sigam um outro modelo matemático (polinomial, trigonométrico,
logarítmico, exponencial, etc).
Uma forte correlação não significa causalidade. A correlação mede a relação
linear entre duas variáveis, mas não significa que a variação de uma cause a
variação da outra. Por exemplo, existe uma correlação entre o consumo de
cerveja e o número de ataques de tubarão. Com o aumento da temperatura no
verão, mais pessoas vão à praia e consomem mais cerveja. Com isso, aumenta
também o número de ataques de tubarão. Dessa forma, o aumento de
temperatura no verão é a causa comum aos dois aumentos.
É possível ainda que dois eventos tenham uma forte correlação mesmo sem
causalidade nem causa em comum. Simplesmente por acaso. São as chamadas
“correlações espúrias”.
X Y
1 3
3 6
4 5
8 10
07. (CFC 2018/2)
Durante todo o mês de julho de 2018, a Sociedade Empresária Alfa realizou pesquisa diária
visando medir a força relativa da relação linear entre o número de acessos ao seu site
na Internet e o volume de vendas (em R$) de seu Produto “A”. Sabe-se que os dados
amostrais obtidos para os quatro primeiros dias de pesquisa foram:
Considerando-se apenas as informações
apresentadas, qualdas alternativas a seguir
apresenta o valor que mais se aproxima do
coeficiente de correlação (r de Pearson)
existente entre o número de acessos ao site e o
volume de vendas do Produto “A” nos quatro
primeiros dias da pesquisa?
a) 1. b) 4. c) 9. d) 18.
08. (CFC 2013/1)
Uma determinada indústria produz três produtos. A produção total é 1.000 unidades por
mês. O controle de qualidade da indústria registrou os seguintes números de peças
defeituosas na produção:
A probabilidade de encontrar uma peça defeituosa do produto B é de:
a) 10%.
b) 14%.
c) 15%.
d) 18%.
Estatísticas do Departamento de Trânsito sobre o envolvimento de motoristas em
acidentes com até 2 anos de habilitação indicam que o seguinte modelo pode ser
adotado, ou seja, a variável aleatória X representa o número de acidentes e assume
valores 0,1,2,3 e 4:
O valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória X são, respectivamente,
a) 1,9 e 1,64
b) 1,9 e 2,69
c) 2,0 e 1,64
d) 2,0 e 2,69
e) 2,69 e 1,9
Número de Acidentes (X) 0 1 2 3 4
P(X=x) 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3
09. (CFC 2013/1)
Um investidor está considerando duas alternativas de investimento. Para cada alternativa de
investimento, há três resultados possíveis. O Valor Presente Líquido – VPL dos resultados e a
respectiva probabilidade de ocorrência, para cada alternativa de investimento, são:
Considerando o Valor Esperado dos dois investimentos, é CORRETO afirmar que o 
melhor investimento é o:
a) Investimento A, cujo valor esperado é de R$152.000,00, superior ao valor esperado 
do Investimento B.
b) Investimento A, cujo valor esperado é de R$456.000,00, superior ao valor esperado 
do Investimento B.
c) Investimento B, cujo valor esperado é de R$176.000,00, superior ao valor esperado 
do Investimento A.
d) Investimento B, cujo valor esperado é de R$200.000,00, superior ao valor esperado 
do Investimento A.
10. (CFC 2013/2)
Uma sociedade empresária apresentou as seguintes estimativas de vendas de
computadores:
A quantidade esperada de unidades a serem vendidas no mês é de:
a) 140 unidades.
b) 164 unidades.
c) 165 unidades.
d) 660 unidades.
11. (CFC 2011/1)
A quantidade diária de unidades vendidas do produto X em uma determinada indústria
segue uma distribuição normal, com média de 1.000 unidades e desvio padrão de 200
unidades. O gráfico abaixo representa a distribuição normal padrão com média igual a 0
(zero) e desvio-padrão igual a 1 (um), cujas percentagens representam as probabilidades
entre os valores de desvio-padrão.
Com base nas informações fornecidas, é CORRETO afirmar que:
a) a probabilidade de a quantidade vendida ficar abaixo de 800 unidades é de 34,13%.
b) a probabilidade de a quantidade vendida ficar acima de 1.200 unidades é de 13,6%.
c) a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 
68,26%.
d) a probabilidade de a quantidade vendida ficar entre 800 e 1.200 unidades é de 
31,74%.
OBRIGADO
Prof. Guilherme Neves