solution halliday volume 3 cap 26 pdf

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1. (a) A carga que passa por uma seção reta do fio é o produto da corrente pelo intervalo de 
tempo ∆t de duração da corrente. Assim, temos: 
q = i∆t = (5,0 A)(240 s) = 1,2 × 103 C = 1,2 kC.
(b) O número N é dado por 
N = q/e = (1200 C)/(1,60 × 10–19 C) = 7,5 × 1021.
2. Suponha que a carga da esfera aumenta de ∆q em um intervalo de tempo ∆t. Nesse intervalo 
de tempo, o potencial da esfera aumenta de


V
q
r
=
4 0
,
em que r é o raio da esfera. Isso significa que ∆q = 4pâ0r∆V. Como ∆q = (ient – isai)∆t, na qual 
ient é a corrente que entra na esfera e isai é a corrente que sai da esfera, temos:

 
t
q
i i
r V
i i
=
−
=
−
=
ent sai ent sai
m4 0 10 1000 ( , ) ( 00
8 99 10 1 0000020 1 0000000
5
9
V
F/m A A
)
( , ) ( , , )
,
× −
= 66 10 3× − s.
3. Se s é a densidade superficial de carga e l é a largura da correia, a corrente associada ao 
movimento das cargas é i = svl, o que nos dá
 = = ×
×
= ×
−
−
−i
vl
100 10
30 50 10
6 7 10
6
2
6A
m s m
C m2
( )( )
, ..
4. Para expressar a densidade de corrente em unidades do SI, convertemos os diâmetros dos 
fios de mils para polegadas, dividindo por 1000, e depois executamos a conversão de polegadas 
para metros, multiplicando por 0,0254. Feito isso, podemos usar a relação
J
i
A
i
R
i
D
= = =
 2 2
4
,
na qual i é a corrente e D é o diâmetro do fio.
No caso de um fio calibre 14, por exemplo, D = 64 mils = 0,0016 m e a densidade de corrente 
segura é J = 4(15 A)/p(0,00163 m)2 = 7,2 × 106 A/m2. Na verdade, este é o calibre para o qual 
o valor de J é máximo. O gráfico a seguir mostra a densidade de corrente segura J, em A/m2, 
em função do diâmetro do fio em mils.
Capítulo 26
128 soluções dos problemas
5. (a) O módulo da densidade de corrente é dado por J = nqv, na qual n é o número de partículas 
por unidade de volume, q é a carga das partículas e v é a velocidade das partículas. Como os 
íons são positivos e duplamente carregados, a carga das partículas é 2e. Assim, temos:
J = n(2e)v = (2 × 1014 íons/m3)(3,20 × 10−19 C)(1,0 × 105 m/s) = 6,4 A/m2.
(b) Como as partículas são positivamente carregadas, a densidade de corrente tem a mesma 
direção que a velocidade, ou seja, aponta para o norte.
(c) Para calcular a corrente, é preciso conhecer a área da seção reta do feixe de íons, caso em 
que a equação i = JA pode ser usada.
6. (a) Como a área de um círculo é proporcional a r2, o eixo horizontal do gráfico da Fig. 26-23b 
representa (a menos de um fator constante p) à área do fio. O fato de que o gráfico é uma linha 
reta indica que a densidade de corrente J = i/A é constante. Por isso, a resposta é “sim, a densi-
dade de corrente é uniforme”.
(b) Como, de acordo com o gráfico da Fig. 26-23b, a corrente é 5,0 mA quando o raio é 4,00 
mm2, temos:
J
i
r
= =
×
= ≈ ×− 2 6
20 005
4 10
398 4 0 10
,
( )
, .
A
m
A/m
2
2
7. A área da seção reta do fio é dada por A = pr2, na qual r é o raio (metade do diâmetro) do fio. 
Como o módulo do vetor densidade de corrente é
J
i
A
i
r
= =
 2
,
temos:
r
i
J
= =
×
= × −
 
0 50
440 10
1 9 10
4
4,
( )
,
A
A/m
m.
2
O diâmetro do fio é, portanto, d = 2r = 2(1,9 × 10–4 m) = 3,8 × 10–4 m = 0,38 mm.
8. (a) O módulo da densidade de corrente é
J
i
A
i
d
= = = ×
×
= ×
−
− 2
10
3 24
4 1 2 10
2 5 10
2 4
/
A
m
( , )
( , )
, 110 5− A/m2.
(b) A velocidade de deriva dos elétrons é
v
J
ne
d = =
×
× ×
−
−
2 4 10
8 47 10 1 60 10
5
28 1
,
( , )( ,
A/m
/m
2
3 99
151 8 10
C
m/s.
)
,= × −
9. A largura da região considerada, ∆r = 10 mm, é tão pequena em comparação com a distância da 
região ao centro do fio, r = 1,20 mm, que podemos usar a aproximação Br rdr Br r r2 2 ∫ ≈  .
Assim, a corrente que passa no anel é
ianel = 2pBr2∆r = 2p(2,00 × 105 A/m2)(0,00120)2(10 × 10−6) = 1,181 × 10−5 A = 18,1 mA.
10. Supondo que a densidade de corrente J é paralela ao fio, a Eq. 26-4 nos dá:
i J dA kr rdr k R R
R
R
= = = −∫ ∫| | ( ) ( ,/

2
9 10
4 42
1
2
0 656  ))
( , ) {( , ) [( , )( ,= × −1
2
3 0 10 0 00200 0 656 0 00208 4 m 00 2 59 104 3m A)] } , .= × −
soluções dos problemas 129
11. (a) A corrente é
i J dA
J
R
r rdr R Ja
S
R
= = ⋅ = = ×∫ ∫ −0 0 2 02
2
3
2
3
3 40 10  ( , 33 2 45 50 10
1 33
m A/m )
A.
2) ( ,
,
×
=
(b) A corrente é
i J dA J
r
R
rdr R Jb
R
= = −

 = =∫ ∫S 00 2 01 2
1
3
1
3
3  ( ,, ) ( ,
,
40 10 5 50 10
0 666
3 2 4× ×
=
− m A/m )
A.
2
(c) Comparando as duas funções, vemos que Jb → 0 para r → R, enquanto Ja não varia com a 
distância radial. Assim, Ja é maior perto da superfície do fio.
12. (a) O módulo da densidade de corrente é
J nev= = × × ×−( , )( , )( )8 70 10 1 60 10 470 106 19 3m C m/s3
== × =−6 54 10 0 6547, , .A/m A/m2 2
(b) Embora a área da superfície da Terra seja aproximadamente 4 2 RT (a área da superfície de 
uma esfera), a área a ser usada no cálculo de quantos prótons em um feixe aproximadamente 
unidirecional (o vento solar) são recebidos pela Terra é a seção de choque da Terra, ou seja, um 
“alvo” cuja área é uma circunferência de área  RT2 . Assim, temos:
i AJ R JT= = = × × =− 2 6 2 76 37 10 6 54 10 8 3( , ) ( , ) ,m A/m2 44 107× =A 83,4 MA.
13. Como a velocidade de deriva dos elétrons é dada por vd = J/ne = i/Ane, temos:
t
L
v
L
i Ane
LAne
id
= = = = ×
−
/
m m2( , )( , )( ,0 85 0 21 10 814 449 10 1 60 10
300
8 1 1
28 19× ×
= ×
−elétrons/m C
A
3)( , )
, 00 132 s = min.
14. Como a diferença de potencial V e a corrente i estão relacionadas através da equação V = 
iR, na qual R é a resistência do eletricista, a tensão fatal é
V = (50 × 10–3 A)(2000 Ω) = 100 V.
15. A resistência da bobina é dada por R = rL/A, na qual r é a resistividade do cobre, L é o 
comprimento do fio e A é a área da seção reta do fio. Como o comprimento de cada espira é 
2pr, na qual r é o raio da bobina, 
L = (250)2pr = (250)(2p)(0,12 m) = 188,5 m.
Se rf é o raio do fio, a área da seção reta é
A rf= = × = ×− − 2 3 2 60 65 10 1 33 10( , ) , .m m2
Como, de acordo com a Tabela 26-1, a resistividade do cobre é r = 1,69 × 10−8 Ω . m, temos:
R
L
A
= = × ⋅
×
=
−
−
 ( , )( , )
,
,
1 69 10 188 5
1 33 10
2 4
8
6 2
 m m
m
.
16. A resistência por unidade de comprimento rL e a resistividade r estão relacionadas através 
de equação rL = r/A, na qual A é a área da seção reta do fio; a massa por unidade de comprimen-
to mL e a massa específica m estão relacionadas através da equação mL = m/A. 
130 soluções dos problemas
(a) No caso do cobre,
J = i/A = irL/r = (60,0 A)(0,150 Ω/km)/(1,69 × 10–8 Ω · m) = 5,32 × 105 A/m2.
(b) No caso do cobre, 
mL = m/A = mr/rL = (8960 kg/m3)(1,69 × 10–8 Ω · m)/(0,150 Ω/km) = 1,01 kg/m.
(c) No caso do alumínio,
J = irL/r = (60,0 A)(0,150 Ω/km)/(2,75 × 10–8 Ω · m) = 3,27 × 105 A/m2.
(d) No caso do alumínio,
mL = mr/rL = (2700 kg/m3)(2,75 × 10–8 Ω · m)/(0,150 Ω/km) = 0,495 kg/m.
17. Como a condutividade s é o recíproco da resistividade, temos:


= = = ( ) = =
1 1 0
1
L
RA
L
V i A
Li
VA/
m 4,0 A
2,0 V
( , )( )
( )( ,00 10
2 0 10
6 2
6 1 1
×
= × ⋅−
− −
m
m
)
, .
18. (a) i = V/R = 23,0 V/(15,0 × 10–3 Ω) = 1,53 × 103 A = 1,63 kA.
(b) Como a área da seção reta do fio é A = pr2 = pD2/4, temos:
J
i
A
i
D
= = = ×
×
=
−
−
4 4 1 53 10
5 41
2
3
3 2 
( , )
( )
,
A
6,00 10 m
×× =10 54 17 2A/m MA/m2, .
(c) A resistividade é

= = × × =
− −RA
L
( , ) ( ,
,
15 0 10 6 00 10
4 4 00
10
3 3 m)
( m)
2
,,6 10 8× ⋅− m.
(d) O material é a platina.
19. De acordo com a Eq. 26-16, a resistência do fio é dada por R = rL/A, na qual r é a resistivi-
dade do material, L é o comprimento do fio e A é a área da seção reta do fio. Neste caso,
A r= = × = ×− − 2 3 2 70 50 10 7 85 10( , ) ,m m2
e
 = = × × = ×
− −
−RA
L
( )( , )
,
,
50 10 7 85 10
2 0
2 0 10
3 7
8 
m
m
2
⋅⋅ m.
20. Vamos chamar o diâmetro do fio de D. Como R ∝ L/A (Eq. 26-16) e A = pD2/4 ∝ D2, a 
resistência do segundo fio é
R R
A
A
L
L
R
D
D
L
L
2
1
2
2
1
1
2
2
2
1=








=








= ( ) 

 =R R2
1
2
22 .
21. A resistência quando a lâmpada está acesa é R = V/i = (2,9 V)/(0,30 A) = 9,67 Ω. Como 
R – R0 = R0a (T – T0), temos:
T T
R
R
= + −




= +
×



−0 0 3
1
1 20
1
4 5 10
9 6

C
K,
, 77
1 1
1 1 8 103

,
,−




= × C .
Como uma variação de temperatura em graus Celsius é igual a uma variação de temperatura 
em kelvins, o valor de a usado nos cálculos é compatível com as outras unidades envolvidas. 
O valor de a para o tungstênio foi obtido na Tabela 26-1.
soluções dos problemas 131
22. Seja r o raio da linha da pipa e seja e a espessura da camada de água. A área da seção reta 
da camada de água é
A r t r= + −[ ] = × − ×− − ( ) [( , ) ( ,2 2 3 2 32 50 10 2 00 10m mm m2) ] , .2 67 07 10= × −
De acordo com a Eq. 26-16, a resistência do fio molhado é
R
L
A
= = ⋅
×
= ×−
 ( ) ( )
,
,
150 800
7 07 10
1 698 10
6 2
10 
m m
m
e a corrente é 
i
V
R
= = ×
×
= × =−1 60 10
10
9 42 10
8
10
3, ,
V
1,698
A 9,42 m

AA.
23. De acordo com a Eq. 26-10, J = E/r, na qual J é a densidade de corrente, E é o campo 
elétrico (uniforme) no interior do fio e r é a resistividade do material do fio. Como o campo 
elétrico é dado por E = V/L, na qual V é a diferença de potencial entre as extremidades do fio e 
L é o comprimento do fio, J = V/Lr e
 = =
×
= × ⋅−V
LJ
115
1 4 10
8 2 10
4
4V
10 m A m
m.
2( )( , )
, 
24. (a) Como o material é o mesmo, a resistividade r é a mesma, o que significa, de acordo com 
a Eq. 26-11, que os campos elétricos nos diferentes trechos são diretamente proporcionais às 
densidades de corrente. Assim, de acordo com o gráfico da Fig. 26-24a, J1/2,5 = J2/4 = J3/1,5. 
Como as barras estão ligadas em série, a corrente é a mesma nas três barras e, portanto, J1A1 = 
J2A2 = J3A3. Como A ∝ r2, temos:
2 5 4 1 51
2
2
2
3
2, , .r r r= =
Para r3 = 2 mm, a relação 2 5 1 51
2
3
2, ,r r= nos dá r1 = 1,55 mm.
(b) A relação 4r22 = 1,5r32 nos dá r2 = 1,22 mm.
25. Como a densidade do material não muda, o volume permanece o mesmo. Se L0 é o compri-
mento original, L é o novo comprimento, A0 é a área da seção reta original e A é a área da nova 
seção reta, L0A0 = LA e A = L0A0/L = L0A0/3L0 = A0/3. A nova resistência é
R
L
A
L
A
L
A
R= = = =  3
3
9 90
0
0
0
0/
,
na qual R0 é a resistência original. Para R0 = 6,0 Ω, R = 9(6,0 Ω) = 54 Ω.
26. O valor absoluto da inclinação das retas do gráfico da Fig. 26-25b é igual ao valor absoluto 
do campo elétrico nos trechos correspondentes da placa. Aplicando as Eqs. 26-5 e 26-13 aos 
três trechos da placa resistiva, temos:
J1 = i/A = s1 E1 = s1 (0,50 × 103 V/m)
J2 = i/A = s2 E2 = s2 (4,0 × 103 V/m)
J3 = i/A = s3 E3 = s3 (1,0 × 103 V/m).
Note que J1 = J2 = J3, já que os valores de i e A são os mesmos nos três trechos. Como s3 = 3,00 × 
107 (Ω . m)−1, temos: 
(a) s1 = 2s3 = 2 (3,00 × 107 (Ω . m)−1 = 6,00 × 107 (Ω . m)−1.
(b) s2 = s3/4 = (3,00 × 107 Ω−1 . m−1)/4 = 7,50 × 106 (Ω . m)−1.
132 soluções dos problemas
27. A resistência do condutor A é dada por
R
L
r
A
A
= 
 2
,
na qual rA é o raio do condutor. Se rext é o diâmetro externo do condutor B e rint é o diâmetro 
interno, a área da seção reta é ( )intr rext
2 2− e a resistência é
R
L
r r
B = −

( )
.
intext
2 2
A razão pedida é
R
R
r r
r
A
B A
= − = −ext 0mm mm
2 2
2
2 21 0 50
0 50
int ( , ) ( , )
( , mmm)
, .
2
3 0=
28. De acordo com as Eqs. 26-8 e 26-16, V = iR = irL/A. De acordo com a Tabela 26-1, a re-
sistividade do cobre é 1,69 × 10−8 Ω . m. De acordo com o gráfico da Fig. 26-26, para L = xs, a 
queda de tensão é V = Vs, o que nos dá
i
AV
x
r V
x
s
s
s
s
= = = ×
−



2 2 60 002 12 10
1 69
( , ) ( )
( ,
m V
×× ⋅
= ≈−10 3 0
0 0029 3 0
8  m m
A mA
)( , )
, , .
29. A resistência do fio de cobre é
R
L
A
= = × ⋅
×
=
−
−


( , ) ( , )
( , )
1 69 10 0 020
2 0 10
2
8
3 2
 m m
m
,, .69 10 5× − 
Para uma diferença de potencial V = 3,00 nV, a corrente que atravessa o fio é
i
V
R
= = ×
×
= ×
−
−
−3 00 10
10
1 115 10
9
5
4, ,
V
2,69
A.

A carga que passa por uma seção reta do fio em 3,00 ms é
 Q i t= = × × = ×− − −( , ) ,1 115 10 10 3 35 104 3 7A)(3,00 s C .
30. De acordo com as informações do enunciado, o diâmetro de um fio calibre 22 é 1/4 do diâ-
metro de um fio calibre 10. Assim, como R = rL/A, a resistência de 25 pés de um fio calibre 22 é 
R = (1,00 Ω)(25 pés/1000 pés)(4)2 = 0,40 Ω.
31. (a) A corrente em cada fio é
i = 0,750 A/125 = 6,00 × 10–3 A.
(b) A diferença de potencial é
V = iR = (6,00 × 10–3 A)(2,65 × 10–6 Ω) = 1,59 × 10–8 V.
(c) A resistência é 
Rtotal = 2,65 × 10–6 Ω/125 = 2,12 × 10–8 Ω.
32. De acordo com as Eqs. 26-7 e 26-13, J = s E = (n+ + n–)evd.
(a) O módulo da densidade de corrente é
J = s E = [2,70 × 10–14 (Ω · m)−1](120 V/m) = 3,24 × 10–12 A/m2 = 3,24 pA/m2.
(b) A velocidade de deriva é
v
E
n n e
d = +
=
× ⋅[ ]( )
+ −
− −
( )
, ( )2 70 10 120
620
14 1 m V m
++( )[ ] ×( ) =−550 1 60 10 1 7319íons cm C cm s3 , , .
soluções dos problemas 133
33. (a) i = V/R = 35,8 V/935 Ω = 3,83 × 10–2 A.
(b) J = i/A = (3,83 × 10–2 A)/(3,50 × 10–4 m2) = 109 A/m2.
(c) vd = J/ne = (109 A/m2)/[(5,33 × 1022/m3) (1,60 × 10–19 C)] = 1,28 × 10–2 m/s.
(d) E = V/L = 35,8 V/0,158 m = 227 V/m.
34. A concentração de elétrons de condução no cobre é n = 8,49 × 1028 /m3. O campo elétrico 
no fio 2 é (10,0 mV)/(2,00 m) = 5,00 mV/m. Como r = 1,69 × 10−8 Ω · m para o cobre (veja a 
Tabela 26-1), a Eq. 26-10 nos dá uma densidade de corrente J2 = (5,00 mV/m)/(1,69 × 10−8 Ω · 
m) = 296 A/m2. Como a corrente é a mesma nos fios 1 e 2, temos, de acordo com a Eq. 26-5,
J A J A J R J R1 1 2 2 1 2 2 24= ⇒ =( ) ( ), 
o que nos dá J1 = 74 A/m2. Assim, de acordo com a Eq. 26-20, 
v
J
ne
d = = × −1 95 44 10, m/s.
35. (a) A Fig. 26-29 mostra a corrente i entrando no tronco de cone pela base menor e saindo 
pela base maior; vamos escolher este sentido como sentido positivo do eixo x. Como a densida-
de de corrente J é uniforme, J(x) = i/A, na qual A = pr2 é a área da seção reta do cone. Como, 
de acordo com a Eq. 26-11, E = rJ, temos:
E x
i
r
( ) .= 
 2
Integrando E(x), podemos determinar a diferença de potencial V entre as bases do tronco de 
cone e calcular a resistência usando a relação R = V/i (Eq. 26-8). Para isso, porém, é preciso 
conhecer como r varia com x.
Como o raio do tronco de cone varia linearmente com x, sabemos que r = c1 + c2x, na qual c1 e 
c2 são constantes. Tomando como origem o centro da base menor do tronco de cone, r = a para 
x = 0 e, portanto, c1 = a. Como r = b para x = L, b = a + c2L, o que nos dá c2 = (b − a)L. Assim, 
temos:
r a
b a
L
x= + −

 .
Substituindo r por esse valor na expressão de E(x), obtemos:
E x
i
a
b a
L
x( ) .= + −


−


2
A diferença de potencial entre as bases do tronco de cone é
V E dx
i
a
b a
L
x dx
i L
b
L
L
= − = − + −

 = −∫
−⌠
⌡



0
0
2
aa
a
b a
L
x
i L
b a a b
i L
L
+ −


=
−
−

 =
−1
0
1 1


 bb a
b a
ab
i L
ab−
− = 

e a resistência é
R
V
i
L
ab
= = = ⋅ ×
×
−
−

 
(731
10
m)(1,94 10 m)
(2,00
2
33 3
5
2 30 10
9 81 981
m m
10 k
)( , )
, .
×
= × =−  
Note que, se b = a, R = rL/pa2 = rL/A, na qual A = pa2 é a área da seção reta do cilindro.
134 soluções dos problemas
36. Supondo que a corrente se espalha uniformemente no hemisfério, a densidade de corrente 
a uma distância r do local onde caiu o raio é J = I/2pr2. De acordo com a Eq. 26-10, o campo 
elétrico a essa distância é
E J
I
r
a
a= = 
2 2
,
na qual ra é a resistividade da água. A diferença de potencial entre um ponto a uma distância D 
do local onde caiu o raio e um ponto a uma distância D + ∆r é


 
V Edr
I
r
dr
I
D rD
D r
a
D
D r
a= − = − =
+
−
+ +
∫ ⌠⌡



2 2
1
2
11
2D
I r
D D r
a


 = − +



( )
e, portanto, a corrente que atravessa o corpo donadador é
i
V
R
I
R
r
D D r
a= =
+
| |
( )
.
 


2
Substituindo por valores numéricos, obtemos
i = ⋅ ×
×
( , )( , )
( ,
,
(
30 0 7 80 10
2 4 00 10
0 70
3
4
3


m A
)
m
 55 0 35 0 0 70
5 22 10 2
, )( , , )
,
m m m
A 52 mA.
+
= × =−
37. De acordo com as Eqs. 26-23 e 26-24, r ∝ τ–1 ∝ vef; essas relações são discutidas no Exem-
plo “Tempo livre médio e livre caminho médio”. Como, de acordo com a Eq. 19-31, v Tef ∝ , 
 ∝ T .
38. A inclinação do gráfico da Fig. 26-31b é P = (2,50 × 10−3 J)/(5,00 s) = 5,0 × 10−4 W. Como, 
de acordo com a Eq. 26-28, P = V 2/R, temos:
V PR= = × =−( , )( ) , .5 0 10 20 0 104 W V
39. De acordo com a Eq. 26-26, a potência térmica gerada é
P iV= = =( , ( ,10 0 120 1 20A) V) kW
e o tempo necessário para cozinhar três salsichas é
t = × ×
×
=3 60 0 10
1 20 10
150
3
3
,
,
J
W
s.
40. R = P/i2 = (100 W)/(3,00 A)2 = 11,1 Ω.
41. (a) De acordo com a Eq. 26-28, a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica 
é P = V2/R, na qual V é a diferença de potencial aplicada ao aquecedor e R é a resistência do 
aquecedor. Assim,
P = = × =( , ,120
14
1 0 10 1 03
V)
W kW.
2

(b) O custo é (1,0 kW)(5,0 h)($ 0,05/kW . h) = $ 0,25. 
42. (a) Como, na Fig. 26-32, a corrente convencional circula no sentido horário, o campo elé-
trico aponta para baixo, o que significa que os elétrons se movem para cima.
(b) De acordo com a Eq. 24-8, W = −qV = eV = 12 eV (ou, em joules, W = 12 × 1,6 × 10−19 C = 
1,9 × 10−18 J).
(c) Como quase toda a energia dos elétrons é dissipada em forma de calor, a resposta é a mesma 
do item (b): 12 eV.
soluções dos problemas 135
43. Como, de acordo com a Eq. 26-28, P = V 2/R, P ∝ V 2. Assim, a potência dissipada no se-
gundo caso é
P =




=1 50 0 540 0 135
2
,
( , ,
V
3,00 V
W) W.
44. Como, de acordo com a Eq. 26-26, P = iV, a carga é 
q = it = Pt/V = (7,0 W) (5,0 h) (3600 s/h)/9,0 V = 1,4 × 104 C = 14 kC.
45. (a) De acordo com a Eq. 26-26, a potência dissipada, a corrente do aquecedor e a tensão 
aplicada ao aquecedor estão relacionadas através da equação P = iV. Assim,
i
P
V
= = =1250 10 9W
115 V
A.,
(b) De acordo com a Eq. 26-8, V = iR, na qual R é a resistência do aquecedor. Assim,
R
V
i
= = =115 10 6V
10,9 A
, .
(c) A energia térmica E produzida pelo aquecedor em 1,0 h é 
E Pt= = = × =( ,1250 4 50 106W)(3600 s) J 4,50 MJ.
46. (a) De acordo com a Tabela 26-1 e a Eq. 26-10, temos:
E J= = × ⋅
×




=− − ( , )
,
,
1 69 10
2 00
2 00 10
18
6 2
 m
A
m
,,69 10 2× =− V/m 16,9 mV/m.
(b) De acordo com a Tabela 26-1 e a Eq. 26-16,
R
L
A
= = × ⋅
×
=− − ( , )
,
,
,1 69 10
4 00
2 00 10
0 03388
6 2
 m
m
m
 .
A taxa de geração de energia térmica é dada pela Eq. 26-27: 
P = i2R = (2,00 A)2(0,0338 Ω) = 0,135 W.
A energia térmica gerada em 30 min é dada por
E = (0,135 J/s)(180 s) = 243 J.
47. (a) Como, de acordo com as Eqs. 26-28 e 26-16, P = V 2/R = AV 2/rL, temos:
L
AV
P
= = ×
× ⋅
−
−
2 6
7
2 60 10 75 0
5 00 10
( , )( ,
( ,
m V)
m)
2 2
 ((500 W)
m.= 5 85,
(b) Como L ∝ V 2, o novo comprimento é
′ = ′

 =




=L L V
V
2 2
5 85 10 4( , ,m)
100 V
75,0 V
mm.
48. A massa de água envolvida é 
m AL= = × =− ( )( )( , ) ,1000 15 10 0 12 0 0185kg/m m m3 2 kkg
e a energia necessária para vaporizar a água é 
Q Lm= = = ×( / )( , ) ,2256 0 018 4 06 104kJ kg kg J.
A energia térmica produzida pela passagem da corrente elétrica através da água é dada por:
Q P t I R t= = 2 .
136 soluções dos problemas
Como a resistência da massa de água envolvida é 
R
L
A
a= =
⋅( )( )
×
= ×−
 150 0 120
15 10
1 2 10
5 2
5 
m m
m
,
, ,
a corrente necessária para vaporizar a água é 
I
Q
R t
= = ×
× ×
=− 
4 06 10
1 2 10 2 0 10
13 0
4
5 3
,
( , )( . )
,
J
s
AA.
49. (a) O custo pedido é 
(100 W)(24 h/dia)(31dias/mês)($ 0,06/kW . h) = $ 4,46.
(b) R = V 2/P = (120 V)2/100 W = 144 Ω.
(c) i = P/V = 100 W/120 V = 0,833 A.
50. As inclinações das retas da Fig. 26-33b nos dão P1 = (40 mJ)/(5 s) = 8 mW e P2 = (20 mJ)/
(5 s) = 4 mW. De acordo com a lei de conservação da energia, a potência da bateria é
Pbat = P1 + P2 = 8 mW + 4 mW = 12 mW.
51. (a) De acordo com a Eq. 26-16,
R
L
r
C C
C
C
= = × ⋅−
 2
6
2
2 0 10
1 0
( , )
,
 m
m
m(0, 00050 )
== 2 55, 
e, de acordo com a Eq. 26-8,
| | ( , )( , ) ,V V V iRC C1 2 2 0 2 55 5 1− = = = =A V.
(b) Analogamente,
R
L
r
D D
D
D
= = × ⋅−
 2
6
2
1 0 10
1 0
( , )
,
 m
m
m(0, 00025 )
== 5 09, 
e
| | ( , )( , ) ,V V V iRD D2 3 2 0 5 09 10 2 10− = = = = ≈A V V.
(c) De acordo com a Eq. 26-27,
P i RC C= =2 10 W.
(d) Analogamente,
P i RD D= =2 20 W.
52. Supondo que a corrente é longitudinal, a Eq. 26-4 nos dá
i JdA ar rdr a R
R
= = = = ×∫ ∫ 20 4 10 42
1
2
1
2
2 75 10  ( , )A/m (( )( , ) , 3 00 10 3 503 4× =− m A.
A taxa de geração de energia térmica é dada pela Eq. 26-26: P = iV = (3,50 A)(60 V) = 210 W. 
A energia térmica gerada em 1 h é
Q P t= = = × = ( )( ) , .210 3600 7 56 105W s J 756 kJ
53. (a) De acordo com a Eq. 26-28, R = V 2/P = (120 V)2/500 W = 28,8 Ω.
soluções dos problemas 137
(b) De acordo com a Eq. 26-26,
n
i
e
P
eV
= = =
×
= ×−
500
2 60 10
19
19W
(1,60 10 C)(120 V)
s, −−1.
54. De acordo com a Eq. 26-28, para que a potência dissipada seja 200 W, devemos ter
R = (5,0 V)2/(200 W) = 0,125 Ω,
mas, para isso, é preciso que
5 00 0 125
0
, , .x dx
L
∫ = 
Assim,
( , ) , , .5 00
2
0 125 0 224
2L
L= ⇒ = m
55. Seja RQ a resistência na temperatura mais alta (800°C) e RF a resistência na temperatura 
mais baixa (200°C). De acordo com a Eq. 26-28, como a diferença de potencial é a mesma nos 
dois casos, a potência dissipada na temperatura mais baixa é PL = V2/RL e a potência dissipada 
na temperatura mais alta é PQ = V 2/RQ, o que nos dá PF = (RQ/RF)PQ. Como
R R R TF Q Q= +   ,
na qual ∆T = TL – TQ, temos:
P
R
R R T
P
P
T
F
Q
Q Q
Q
Q=
+
=
+
=
+ × − −  1
500
4 0 10 4 1
W
1 K )( , (( K)
W.
−
=
600
660
56. (a) A corrente é
i
V
R
V
L A
Vd
L
= = = =




/
V)[(0,0400 polegada2
4
(1, 20 ))(2,54 10 m/polegada)]
m)(33
2 2×
× ⋅
−
−4 1 69 10 8( ,  ,,0 m)
A.= 1 74,
(b) A densidade de corrente é
J
i
A
i
d
= = =
×
4 4 1 74
2 
( , A)
polegada)(2,54[(0, 0400 110 m/polegada)]
A/m MA/m
2 2
2
−
= × =2 15 10 2 156 2, , .
(c) E = V/L = 1,20 V/33,0 m = 3,63 × 10–2 V/m = 36,3 mV/m.
(d) P = Vi = (1,20 V)(1,74 A) = 2,09 W.
57. De acordo com a Eq. 26-26, i = P/V = 2,00 A. De acordo com a Eq. 26-1, como a corrente 
é constante,
∆q = i∆t = 2,88 × 104 C.
58. Vamos usar o índice c para indicar a barra de cobre e o índice a para indicar a barra de 
alumínio.
(a) A resistência da barra de alumínio é
R
L
A
a= =
× ⋅
×
=
−
−
( , )( , )
( , )
,
2 75 10 1 3
5 2 10
1 3
8
3 2
 m m
m
×× −10 3  .
138 soluções dos problemas
(b) Fazendo R = rcL/(pd 2/4) e explicitando d, o diâmetro da barra de cobre, obtemos:
d
L
R
c= = × ⋅
×
=
−4 4 1 69 10 1 38
 
( , ) ( , )
( )


m m
1,3 10−3
44 6 10 3, × − m.
59. (a) Como

 = = =
× ×− −RA
L
R d
L
( ) ( , ) ( ,2 3 34 1 09 10 5 50 10/ m) /2 44
1 60
1 62 10 8
,
,
m
m,= × ⋅− 
o fio é feito de prata.
(b) A resistência do disco é
R
L
A
L
d
= = = × ⋅ ×
− −


 
4 4 1 62 10
2
8( ,  m)(1,00 10 m)3
(2,, 00 10−2×
= × −
m)2
5 16 10 8, .
60. (a) A corrente elétrica pode ser considerada uma vazão de cargas elétricas. Como vimos no 
Capítulo 14, a vazão é o produto da área da seção reta do fluido em movimento pela velocidade 
média das partículas do fluido. Assim, i = rAv, na qual r é a carga por unidade de volume. Se 
a seção reta é circular, i = rpR2v.
(b) Como um coulomb por segundo corresponde a um ampère, temos:
i = × = ×− −( , ) ( ) ( , ) ,1 1 10 2 0 1 7 103 3 2 5C/m m m/s 0, 050 AA 17 A.= 
(c) O movimento das cargas não é na mesma direção que a da diferença de potencial calculada 
no Problema 70 do Capítulo 24. Basta pensar (por analogia) na Eq. 7-48; o produto escalar na 
equaçãoP F v= ⋅
 
 deixa claro que P = 0 se 
 
F v⊥ . Isto sugere que uma diferença de potencial 
radial e um movimento de cargas longitudinal não podem se combinar para produzir uma trans-
ferência de energia na forma de uma centelha.
(d) Supondo que existe uma tensão igual à calculada no Problema 70 do Capítulo 24, com a 
orientação adequada para permitir que a energia seja transferida para uma centelha, podemos 
usar o resultado desse problema na Eq. 26-26:
P iV= = × × =−( , )( , ) , .1 7 10 7 8 10 1 35 4A V W
(e) Se a centelha durou 0,20 s, a energia transferida foi (1,3 W)(0,20 s) = 0,27 J.
(f) Como o resultado do item (e) é maior que a energia necessária para produzir uma centelha 
(0,15 J), concluímos que é provável que a centelha tenha acontecido na saída do cano, ou seja, 
na entrada do silo.
61. (a) A carga que atinge a superfície em um intervalo de tempo ∆t é dada por ∆q = i ∆t, na 
qual i é a corrente. Como cada partícula possui uma carga 2e, o número de partículas que atin-
gem a superfície é
N
q
e
i t
e
= = = ×
×
−
−
 
2 2
0 25 10 3 0
2 1 6 10
6
19
( , )( , )
( ,
A s
C))
, .= ×2 3 1012
(b) Seja N′ o número de partículas em um segmento do feixe de comprimento L. Todas essas 
partículas passam pela seção reta do feixe na extremidade do segmento em um intervalo de 
tempo ∆t = L/v, na qual v é a velocidade das partículas. Como a corrente i é a carga que passa 
pela seção reta por unidade de tempo, 
i
eN
t
eN v
L
= ′ = ′2 2

,
soluções dos problemas 139
o que nos dá N′ = iL/2ev. Para calcular a velocidade das partículas, partimos do fato de que a 
energia cinética de uma partícula é
 K = = × × = ×
− −20 20 10 1 60 10 3 2 106 19 1MeV eV J/eV( )( , ) , 22 J.
Como K = mv2/2, a velocidade é v K m= 2 . Como a massa de uma partícula alfa 
é aproximadamente 4 vezes maior que a massa de um próton, m ≈ 4(1,67 × 10–27 kg) = 6,68 × 
10–27 kg, o que nos dá
v = ×
×
= ×
−
−
2 3 2 10
3 1 10
12
27
7( , ) ,
J
6,68 10 kg
m/s
e
′ = =
×( ) ×( )
×(
− −
−N
iL
ev2
0 25 10 20 10
2 1 60 10
6 2
19
,
,
m
C)) ×( ) = ×3 1 10 5 0 107
3
,
, .
m/s
(c) De acordo com a lei de conservação da energia, a soma da energia potencial inicial com a 
energia cinética inicial é igual à soma da energia potencial final com a energia cinética final. 
Sabemos que a energia potencial inicial é Ui = q∆V = 2e∆V, na qual ∆V é a diferença de poten-
cial que queremos calcular, a energia cinética inicial é Ki = 0, a energia potencial final Uf é zero 
e a energia cinética final é Kf = 20 MeV. Assim,
Ui = 2e∆V = Uf + Kf − Ki = 0 + 20 MeV − 0 ⇒ ∆V = (20 MeV)/2e = 10 MV. 
62. De acordo com a Eq. 26-28,
R
V
P
= = =
2 2200
3000
13 3
( )
,
V
W
.
63. Combinando a Eq. 26-28 com a Eq. 26-16, é fácil mostrar que a potência é inversamente 
proporcional ao comprimento (quando a tensão permanece constante, como neste caso). Assim, 
como o novo comprimento é 7/8 do comprimento original, a nova potência é
P = =8
7
2 0 2 4( , ) , .kW kW
64. (a) Como P = i2R = J 2A2R, a densidade de corrente é
J
A
P
R A
P
L A
P
LA
= = = =
× ⋅ ×−
1 1 1 0
2 05  /
W
3,5 10 m
,
( ) ( , 110 5 0 10
1 3 10
2 3 2
5 2
− −×
= ×
m m
A/m
)( , )
, .
(b) Como P = iV = JAV, temos:
V
P
AJ
P
r J
= = =
× ×
=− 2 3 2 5 2
1 0
5 0 10 1 3 10
,
( , ) ( , )
W
m A/m
99 4 10 2, × =− V 94 mV.
65. Podemos usar a relação P = i2R = i2rL/A, que nos dá L/A = P/i2r. 
(a) Chamando os novos valores de seção reta e comprimento de A′ e L′, respectivamente, te-
mos:
′
′
=




=




=L
A
P
i
P
i2 2 2
30
4
30
 
novo antigo
116
1 875
L
A
L
A
= , .
140 soluções dos problemas
Como a densidade do fio não mudou, L′A′ = LA, o que nos dá A′ = LA/L′. Substituindo A′ por 
LA/L′ na equação apresentada, obtemos
( ) , , , , .′ = ⇒ ′ = = ⇒ ′ =L L L L L
L
L
2 21 875 1 875 1 37 1 37
(b) Substituindo L′ por LA/A′ na equação do item (a), obtemos
( )
, , ,
, .′ = ⇒ ′ = = ⇒ ′ =A
A
A
A A A
A
2
2
1 875 1 875 1 37
0 730
66. P
iV= = =
0 80
10 12
0 80 74
0 20
,
( )(
( , )(
, .
A V)
6 W/hp)
hp
67. (a) Como P = V 2/R ∝ V 2, ∆P ∝ ∆V 2 ≈ 2V ∆V e, portanto, a queda percentual é
 P
P
V
V
= = − = − = −2 2110 115
115
0 86 8 6, , %
(b) Uma redução de V causa uma diminuição de P, o que, por sua vez, diminui a temperatura 
do resistor. Com isso, a resistência R do resistor diminui. Como P ∝ R–1, uma diminuição de R 
resulta em um aumento de P, que compensa parcialmente a redução de P causada pela redução 
de V. Assim, a redução real de P é menor que a redução calculada sem levar em conta a varia-
ção de temperatura do resistor.
68. De acordo com a Eq. 26-17, r – r0 = ra(T – T0). Explicitando T e supondo que r/r0 = R/
R0, obtemos:
T T= + −




= +
×
−− −0
0
3 1
1
1 20
1
4 3 10
58
50


°C
K,


11 57




= °C.
69. De acordo com a Eq. 26-28, temos:
P
V
R
= = =
2 290
400
20 3
( )
,
V
W

e a energia consumida é (20,3 W)(2,00 × 3600 s) = 1,46 × 105 J = 146 kJ.
70. (a) A diferença de potencial entre as extremidades da lagarta é
V iR i
L
A
= = = × ⋅ ×
− −


( ) ( , ) ( , )
(
12 1 69 10 4 0 10
2
8 2A m m
,, )
,
6 10
3 8 10
3 2
4
×
= ×−
−
m
V.
(b) Como a lagarta está se movendo no sentido da deriva dos elétrons, que é contrário ao senti-
do da corrente, a cauda da lagarta é negativa em relação à cabeça.
(c) Como a lagarta se move com a mesma velocidade que a velocidade de deriva dos elétrons 
no fio, temos:
t
L
v
lAne
i
Ld ne
id
= = = = × ×
− − 2 2 3
4
1 0 10 5 2 10( , ) ( ,m m)) ( , ) ( , )
(
2 28 3 198 49 10 1 60 10
4 12
240 4
× ×
= =
− −m C
A)
s mmin.
71. (a) Fazendo r = 2r0 na Eq. 26-17, na qual r0 é a resistividade à temperatura T0, temos:
     − = − = −( )0 0 0 0 02 T T ,
soluções dos problemas 141
Explicitando a temperatura T, obtemos:
T T= + = +
×
≈− −0 3 1
1
20
1
4 3 10
250

° °C
K
C.
,
Na Fig. 26-10, tomando uma ordenada igual ao dobro da ordenada para T = 20 + 273 = 293 K, 
que é 1,69 × 10−8 Ω . m, obtemos r ≈ 3,4 × 10−8 Ω . m. A temperatura correspondente é ≈ 520 K = 
247 oC, um valor bem próximo do que foi calculado antes. 
(b) Sim; como a Eq. 26-17 envolve a resistividade, e não a resistência, a ìtemperatura para o do-
bro da resistênciaî não depende de fatores geométricos como a forma e o tamanho da amostra.
72. De acordo com a Eq. 26-16,
R
L
A
= = × ⋅ ×
×
=
−
−
 ( , )( , )
,
3 00 10 10 0 10
56 0 10
7 3
4 2
 m m
m
00 536, .
73. A potência fornecida ao líquido na forma de calor é P = iV = (5,2 A)(12 V) = 62,4 W. Isso 
significa que uma energia térmica de 62,4 J é fornecida ao líquido por segundo. Assim, de 
acordo com a Eq. 18-16, o calor de vaporização do líquido é
L
Q
m
= =
×
= ×−
62 4
10
3 0 10
6
6, ,
J
21 kg
J/kg.
74. De acordo com a Eq. 26-7, temos:
v
J
ne
d = =
×
× × −
| | ,
( , )( ,

2 0 10
8 49 10 1 6 10
6
28
A/m
/m
2
3 119
41 47 10
C
m/s
)
, .= × −
A esta velocidade média, o tempo necessário para que o elétron percorra uma distância L = 5,0 
m é
t
L
vd
= =
×
= ×−
5 0
1 47 10
3 4 10
4
4,
,
,
m
m/s
s.
75. A potência do tubo é o produto da corrente pela diferença de potencial:
P iV= = × × =−( ,7 0 10 5603 A)(80 10 V) W.3
76. (a) A corrente é dada por
i = (3,1 × 1018 + 1,1 × 1018)e A = (4,2 × 1018)(1,6 × 10−19) A = 0,67 A.
(b) De acordo com a Eq. 26-11, como o campo elétrico aponta do eletrodo positivo para o ele- 
trodo negativo, o sentido da densidade de corrente J também é do eletrodo positivo para o 
eletrodo negativo.