Questões Brandim - Ronyson Lopes

Prévia do material em texto

RESOLUÇÃO QUESTÕES BRANDIM – Ronyson Lopes. 
 
 
1-1 What is the frequency (per second) and energy per quantum (in joules) of x-ray beams of 
wavelength 0.7 1 A (Mo Ka) and 1.54 A (Cu Ka)? 
 
 
 
1-2 Calculate the velocity and kinetic energy with which the electrons strike the target of an x-
ray tube operated at 50,000 volts. What is the short-wavelength limit of the continuous spectrum 
emitted and the maximum energy per quantum of radiation? 
R: Energia cinética = carga × diferença de potencial 
Aqui, carga no elétron = 1,6 × 10⁻¹⁸C 
Diferença potencial = 50.000 volts 
Então, energia cinética = 1,6 × 10⁻¹⁹C × 50.000 volts = 8 × 10⁻¹⁵ J 
Sabemos, 
energia cinética = 1 / 2mv² 
8 × 10⁻¹⁵ = 1/2 × 9,1 × 10⁻³¹ × v² [∵ m é a massa do elétron, por exemplo, 9,1 × 10⁻³¹ Kg] 
v² = 16 / 9,1 × 10¹⁶ 
v ≈ 1,3 × 10⁸ m / s 
Portanto, a velocidade de golpe de elétrons no alvo é de 1,3 × 10 × m / s 
Agora, comprimento de onda = λ 
hc / λ = energia cinética 
1 / λ = 8 × 10⁻¹⁵ / 6,626 × 10 ׳⁻ × 3 × 10⁸ 
λ = 6,626 × 3 × 10⁻²⁶ / 8 × 10⁻¹⁵ = 0,248 × 10⁻¹⁰ m 
Portanto, o comprimento de onda é de 0,248A ° 
 
1-3 Show that the velocity with which electrons strike the target of an x-ray tube depends only 
on the voltage between anode (target) and cathode and not on the distance between them. [The 
force on a charge e (coulombs) by a field E (voltslm) is eE newtons.] 
R: eV = 1/2mv² 
V = (√2.eV/m) 
 
A velocidade dos elétrons depende da tensão elétrica V, não dependendo da distância dos 
eletrodos. 
 
1-4 Graphically verify Moseley's law for the KB, lines of Cu, Mo, and W. 
R: A energia de um determinado átomo é dada por : 𝐸𝑛 = − (13,6𝑒𝑉) ∗ (𝑧 − 1) 2 𝑛 2 𝑒𝑞. 1 Onde n é o 
número quântico principal e Z é o número prótons. Os fótons responsáveis pela linha Kβ1 surgem 
quando os elétrons sofrem transição da camada M (com n=3 e energia E2) para camada K( com n=1 e 
energia E1). Então de acordo com equação acima: 𝐸2 − 𝐸1 = − (13,6𝑒𝑉) ∗ (𝑧 − 1) 2 3 2 − (− (13,6𝑒𝑉) ∗ 
(𝑧 − 1) 2 1 2 ) = 12,089 ∗ (𝑧 − 1) 2 𝑒𝑞. 2 Então a frequência f da linha Kβ1 é: 𝑓 = 𝐸2 − 𝐸1 ℎ = 12,089 ∗ (𝑧 
− 1)² 4,14 ∗ 10−15𝑒𝑉 ∗ 𝑠 = 2,92 ∗ 1015 ∗ (𝑧 − 1) 2 𝑒𝑞. 3 Onde h é a constante de Planck Tomando as 
raízes de ambos os membros da equação acima: √𝑓 = 𝐶(𝑧 − 1) 𝑒𝑞. 4 Onde C é uma constante igual a 
5,4*10^7 Hz^(0,5). Número atômico do átomos de cobre (Cu), molibdênio(Mo) e Tugstênio (W): • 
ZCu=29 • ZMo=42 • Zw=74 Substituindo esses valores na equação 4, e fazendo o gráfico de Moseley, 
onde o ponto laranja representa o cobre, o cinza o molibdênio e o verde o tungstênio, e o eixo X 
representa os valores dos números atômicos e o Y representa a raiz da frequência √𝑓: 
 
 
 
 
1-5 Plot the ratio of transmitted to incident intensity vs. thickness of lead sheet for 
Mo Ka radiation and a thickness range of 0.00 and 0.02 mm. 
R: 
 
 
* 1-6 Graphically verify Eq. (1-13) for a lead absorber and Mo Ka, Rh Ka, and Ag Ka 
radiation. (The mass absorption coefficients of lead for these radiations are 122.8, 
84.13, and 66.14 cm2/gm, respectively.) From the curve, determine the mass absorption 
coefficient of lead for the shortest wavelength radiation from a tube operated at 30,000 
volts. 
R: 
 
1-7 Lead screens for the protection of personnel in x-ray diffraction laboratories are 
usually at least 1 mm thick. Calculate the "transmission factor" (Itrans./Iincideonf ts)u ch 
a s-n for Cu Ka, Mo Ka, and the shortest wavelength radiation from a tube operated 
at 30,000 volts. 
R: Cu Kα 
(
𝜇
𝜌
) = 232,1 𝑐𝑚2/𝑔 
𝐼𝑋
𝐼𝑂
 = 𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Cu Kα
.ρ.x)
 = 𝑒((−232,1).(11,34).(0,1)) = 4,9 𝑥 10−115 
 
Mo Kα 
 
(
𝜇
𝜌
) = 122,8 𝑐𝑚2/𝑔 
𝐼𝑋
𝐼𝑂
 = 𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Mo Kα
.ρ.x)
 = 𝑒((−122,8).(11,34).(0,1)) = 3,2 𝑥 10−61 
 
 
λ𝑠𝑤𝑙 = 
ℎ𝑐
𝑒𝑉
=
(6,63 . 10−34) . (3 . 108)
(1,6 . 10−18) . 30000
= 0,4133 Ӑ 
 
* 1-8 (a) Calculate the mass and linear absorption coefficients of air for Cr Ka radiation. 
Assume that air contains 80 percent nitrogen and 20 percent oxygen by weight and has a 
density of 1.29 x g/cm3. 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Plot the transmission factor of air for Cr Ka radiation and a path length of 0 to 20 cm. 
R: 
 
 
* 1-9 Calculate the K excitation voltage of copper. 
R: 
 
 
1-10 Calculate the wavelength of the L,,, absorption edge of molybdenum. 
R: 
 
 
 
*I41 Calculate the wavelength of the Cu Ka, line. 
 
 
 
1-12 Plot the curve shown in Fig. 1-1 2 and save it for future reference. 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*1-13 What voltage must be applied to a molybdenum-target tube in order that the emitted x-
rays excite K fluorescent radiation from a piece of copper placed in the x-ray beam? What is 
the wavelength of the fluorescent radiation? 
In Problems 14 and 15 take the intensity ratios of Ka to KB in unfiltered radiation from Table 
1-1. 
R: 
 
 
1-14 Suppose that a nickel filter is required to produce an intensity ratio of Cu Ka to Cu KB of 
100/1 in the filtered beam. Calculate the thickness of the filter and the transmission factor for 
the Cu Ka line. 
R: O feixe incidente (
𝐼Kα
𝐼Kβ
)𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 7,5 para um filtro de níquel (Ni) e tubo alvo de cobre 
(Cu). 
 
Dado que, 
 
 (
𝐼Kα
𝐼Kβ
)𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 = (
𝐼Kα
𝐼Kβ
)𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 * ( 
(
𝐼𝑋
𝐼𝑂
)Kα
(
𝐼𝑋
𝐼𝑂
)Kβ
 ) = 
100
1
 
 
(
𝐼Kα
𝐼Kβ
)𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 = 7,5 * (
(
𝐼𝑋
𝐼𝑂
)
Kα
(
𝐼𝑋
𝐼𝑂
)
Kβ
) = 
100
1
 
 
(
𝐼𝑋
𝐼𝑂
)
Kα
= (
𝐼𝑋
𝐼𝑂
)
Kβ
∗ 
100
7,5
 
 
 
 𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Kα
.ρ.x)
 = 𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Kβ
.ρ.x)
∗ 13,33 
 
Obtemos o logaritmo natural em ambos os lados da equação: 
 
𝑙𝑛 (𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Kα
.ρ.x)
) = 𝑙𝑛 ( 𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Kβ
.ρ.x)
∗ 13,33) = 𝑙𝑛 (𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Kβ
.ρ.x)
) + ln(13,33) 
E fazemos o seguinte algebrismo: 
ln(ex ) = loge e
x = x 
ln(xy) = ln(x) + ln(y) 
 
Obtemos: 
((−
𝜇
𝜌
)
Kα
. ρ. x) = ((−
𝜇
𝜌
)
Kβ
. ρ. x) + ln 13,33 
 
((−
𝜇
𝜌
)
Kα
. ρ. x) + ((
𝜇
𝜌
)
Kβ
. ρ. x) = ln 13,33 
 
𝑥 . (ρ (−
𝜇
𝜌
)
Kα
. + (
𝜇
𝜌
)
Kβ
) = ln 13,33 
 
 x = 
ln 13,33
ρ .( (
𝜇
𝜌
)
Kβ
−(
𝜇
𝜌
)
Kα
) 
 
 
Conforme Apêndice 8 do livro, o coeficiente de absorção de massa do Cu Kα = 48,83 
cm²/g e do Cu Kβ = 282,8 cm²/g. A densidade do Níquel é 8,91 g/cm³. Dessa forma, a 
espessura do filtro é calculada: 
 
 x = 
ln 13,33
8,91 . (282,8−48,83) 
 
 x = 0,001242 cm = 1,24 x 10-3 cm 
 
 
O fator de transmissão para a linha Cu Kα: 
 
𝐼𝑋
𝐼𝑂
 = 𝑒
((−
𝜇
𝜌
)
Cu Kα
.ρ.x)
= 𝑒((−48,83).(8,91).(1,24.10
−3) = 0,583 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*1-15 Filters for Co K radiation are usually made of iron oxide (Fe203) powder rather than iron 
foil. If a filter contains 5 mg Fe,031cm2, what is the transmission factor for the Co Ka line? 
What is the intensity ratio of Co Ka to Co K/3 in the filtered beam? 
R: 
 
 
 
1-16 A copper-target x-ray tube is operated at 40,000 volts and 25 mA. The efficiency 
of an x-ray tube is so low that, for all practical purposes, one may assume that all the 
input energy goes into heating the target. If there were no dissipation of heat by watercooling, 
conduction, radiation, etc., how long would it take a 100-gm copper target to 
melt? (Melting point of copper = 1083"C, mean specific heat = 6.65 cal/mole/"C, 
latent heat of fusion = 3220 cal/mole.) 
R: 
 
 
 
*1-17 Assume that the sensitivity of x-ray film is proportional to the mass absorption coefficient 
of the silver bromide in the emulsion for the particular wavelength involved. What, then, is the 
ratio of film sensitivities to Cu Ka and MoKa radiation? 
R: 
 
2-1 Draw the following planes and directions in a tetragonal unit cell : (OOl), (01 l), (1 13), [I 
101, [201], [TO1 1. Show cell axes. 
R: 
 
 
2-2 Show by means of a (110) sectional drawing that [I 11 ] is perpendicular to (1 11) 
in the cubic system, but not, in general, in the tetragonal system. 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
2-3 In a drawing of a hexagonal prism, indicate the following planes and directions: 
(1210), (IOT2), (TO1 I), [I 101, [I 1'11, [021]. Show cell axes. 
2-4 Derive Eq. (2-2) of the text. 
R: 
Temos os vetores do plano hexagonal a1+a2+a3=0. Desse modo ua1+va2+wc=Ua1+Va2+Ta3+Wc = 
Ua1+Va2+T(-a1-a2)+Wc =Ua1+Va2-Ta1-Ta2+Wc =(U-T)a1+(V-T)a2+Wc. Têm-se: (U-T)=u (V-T)=v 
wc=Wc. Portanto: T= -(a1+a2) Terminologias T= - (u+v) h+k=-i i= - (h+k). 
 
2-5 Show that the planes (ITO), (121), and (312) belong to the zone [I 111. 
R: Para pertencer a uma zona deve satisfazer a seguinte relação: hu + kv + lw = 0 Para o plano (110̅) 
com zona [111]: (1*1)+(-1*1)+(0*1) = 0, portanto esse plano pertence a zona [111]. Para o plano (12̅1) 
com zona [111]: (1*1)+(-2*1)+(1*1) = 0, portanto esse plano pertence a zona [111]. Para o plano (31̅2) 
com zona [111]: (-3*1)+(1*1)+(2*1) = 0, portanto esse plano pertence a zona [111]. 
 
2-6 Do the following planes all belong to the same zone: (TlO), (31 l), (T32)? If so,what is the 
zone axis? Give the indices of any other plane belonging to this zone. 
R: 
 
* 2-7 Prepare a cross-sectional drawing of an HCP structure which will show that all atoms do not 
have identical surroundings and therefore do not lie on a point lattice. 
R: A estrutura hexagonal de cristal compactado é descrita no texto na página 54. Consiste em um treliça 
simples de Bravais, com um motivo de 2 átomos (ou base), os dois átomos em locais 0,0,0 e ⅔, ⅓, ½ 
conforme mostrado no desenho a seguir. Observe que as camadas empilhadas ao longo do eixo c direção 
são todas as camadas mais compactadas (6 átomos em torno de 1, todas tocando) e são empilhadas 
ABAB ... sequência, ou seja, a primeira e a terceira camadas se sobrepõem. 
 
 
 O objetivo deste problema é mostrar que não existe uma “rede” de HCP, isto é, átomos nesse TODAS 
as estruturas não têm ambiente idêntico, e é por isso que os átomos devem ser ligados, dois de cada vez 
(a "base" ou "motivo"), a uma rede diferente dentro da célula unitária hexagonal simples. O prova vem 
mostrando que os dois átomos que compõem o motivo não têm idêntico meio Ambiente. Isso é difícil 
de ver no desenho em perspectiva acima, razão pela qual um "projeção" é solicitada na declaração do 
problema. Uma opção é a projeção do eixo c, como mostrado abaixo. Observe que uma posição do 
átomo do motivo, a 0,0,0 (circulada no desenho à esquerda abaixo), tem três vizinhos mais próximos da 
camada acima, orientados em um triângulo apontando para baixo. Mas o posição do segundo átomo do 
motivo, em ⅔, ⅓, ½ (circulada no desenho à direita abaixo) tem seus três vizinhos mais próximos acima 
orientados em um triângulo apontando para cima. Isso demonstra que seus ambientes são diferentes, 
portanto, eles não podem ser pontos de treliça. 
 
 
Outra opção é uma projeção no eixo a, como mostrado abaixo. 
 
 
Desenhado aqui para dimensionar (a relação c / a é 1,633, consulte a página 55 do texto) com uma grade 
de medição para localize as posições ⅔, ⅓, ½ (ponto oco) em relação ao ponto da rede em 0,0,0 (ponto 
sólido) e mostrando apenas o conteúdo de uma única célula unitária primitiva, o caso é ainda mais claro. 
Aqui está o teste: tente traduzir o átomo em ⅔, ⅓, ½ por outro ⅔, ⅓, ½ turno (se ambos forem pontos 
de rede, uma "tradução de rede" deve se conectar a outro ponto de rede) e observe que não há átomo 
encontrado no novo local. Isso demonstra que seus ambientes são diferentes, portanto, eles não podem 
ser pontos de treliça. 
2-8 Show that cla for hexagonal close packing of spheres is 1.633. 
R: 
 
Considere o tetraedro rotulado como JKLM, que é reconstruído como: 
 
 
 
O átomo no ponto M está a meio caminho entre as faces superior e inferior da célula unitária - ou 
seja, MH= c / 2. E, como os átomos nos pontos J, K e M se tocam. 
 
 
 
2-9 Show that the HCP structure (with cla = 1.633) and the FCC structure are equally close-
packed, and that the BCC structure is less closely packed than either of the former. 
R: A estrutura HCP é assim chamada porque é uma das duas maneiras pelas quais as esferas podem 
ser empacotadas juntas no espaço com a maior densidade possível e ainda ter um arranjo periódico. 
Pode ser demonstrado que a razão de c para a em um HCP, (estrutura formada por esferas em contato) 
é 1.633, enquanto a relação c / a de metais tendo essa estrutura varia de 1,58 (Be) a 1,89 (Cd). Como 
não há razão para supor que os átomos nesses cristais não estejam em contato, segue-se que eles deve 
ter uma forma elipsoidal e não esférica. Os metais não cristalizam com a estrutura hexagonal simples 
porque o FCA desta estrutura é demasiado baixo. Os átomos podem conseguir uma energia mais baixa 
e um estado mais estável, formando a estrutura HCP. O FCA da estrutura cristalina HCP é 0,74, igual 
ao da estrutura cristalina FCC, já que, em ambas as estruturas, os átomos estão empilhados da maneira 
mais compacta possível. Quer na estrutura cristalina HCP, quer na estrutura cristalina FCC, cada átomo 
está rodeado de 12 outros átomos, e, por conseguinte, ambas as estruturas têm um número de 
coordenação 12. A estrutura da FCC é um arranjo igualmente compacto. O FCA (ou FEA) desta 
estrutura compacta é 0,74, igual ao da HCP, comparado com o valor 0,68 da estrutura BCC, a qual não 
é compacta. Sua relação com o a estrutura do HCP não é imediatamente óbvia, mas a Fig. 2-16 mostra 
que os átomos nos planos (111) da estrutura da FCC estão dispostos em um padrão hexagonal como 
os átomos nos planos (0002) da estrutura HCP. A única diferença entre as duas estruturas é a maneira 
pela qual essas folhas hexagonais de átomos são dispostos um sobre o outro. Em um metal HCP, os 
átomos na segunda camada são acima das cavidades na primeira camada e os átomos na terceira 
camada estão acima dos átomos na primeira camada, para que a sequência de empilhamento de 
camadas possa ser resumida como A B A B A B. . . . As duas primeiras camadas atômicas de um metal 
FCC são colocadas da mesma maneira, mas os átomos da terceira camada são colocados nas cavidades 
da segunda camada. Portanto, empilhamento FCC tem a sequência A B C A B C. . . . Esses esquemas de 
empilhamento são mostrados na Fig. 2-16. 
 
 
Na célula unitária BCC, os átomos tocam-se segundo a diagonal do cubo, Se os átomos da célula 
unitária BCC forem considerados como esferas rígidas, pode-se calcular um fator de compactação 
atômica (FCA) ou Fator de empacotamento atômico (FEA) de 0,68, isto significa que 68% do volume 
da célula unitária BCC está ocupado pelos átomos e os restantes 32 % é espaço vazio. A estrutura 
cristalina BCC não é uma estrutura compacta, já que os átomos poderiam ser empilhados mais 
próximos uns dos outros. Comparação entre as redes FCC, BCC, HCP A fig. 14 mostra uma comparação 
entre a compactação das três principais estruturas, BCC, FCC e HCP. A HCP e a FCC são as duas redes 
mais compactadas e podem ser vistas como o empilhamento de planos atômicos com estrutura 
triangular. A diferença entre elas está na ordem desses empilhamento. Existem duas formas de 
empilharmos as camadas triangulares. Pela fig. 14 vemos que na HCP o empilhamento ocorre de forma 
que a estrutura se repete depois de duas camadas enquanto que na FCC ela se repete após três 
camadas. Conclui-se então que que as estruturas HCP e FCC são igualmente compactadas e que a 
estrutura BCC é a menos compactada. 
 
 
 
2-10 The unit cells of several orthorhombic crystals are described below. What is the Bravais 
lattice of each and how do you know? Do not change axes. (In solving this kindof problem, 
examining the given atom positions for the existence or nonexistence of centering translations 
is generally more helpful than making a drawing of the structure.) 
a) Two atoms of the same kind per unit cell located at 0 0, + 0 +. 
b) Four atoms of the same kind per unit cell located at 0 0 z, 0 3 z, 0 3 (3 + z), 
0 0 (3 + 2). 
c) Four atoms of the same kind per unit cell located at s y z, 3 J z, (+ + x) (+ - y) Z, 
(3 - 4 (3 + Y) 2. 
d) Two atoms of one kind A located at 0 0, 0 + +; and two atoms of another kind 
B located at 0 0 3, 3 3 0. 
*2-11 Make a drawing, similar to Fig. 2-23, of a (1 12) twin in a BCC lattice and show the shear 
responsible for its formation. Obtain the magnitude of the shear strain graphically. 
R: Primeiro, observe que a declaração do problema contém um erro. Ele pede um desenho 
"semelhante ao Fig. 2-23 ", que é inadequado para tratar da questão. Quanto mais apropriado o 
desenho é a Figura 2-27 (conforme corrigido na minha declaração de problema acima). A chave 
para um sucesso O desenho aqui é mostrar os planos (112) em uma orientação "de ponta a 
ponta" para a rede BCC, no da mesma maneira que a Fig. 2-27 mostra os planos (111) em uma 
orientação de borda para uma rede FCC. Começando com um desenho em perspectiva da célula 
unitária BCC mostrada à esquerda abaixo, esboce plano único (112) conforme destacado 
 
 
 
 
 
 
2-12 Construct a Wulff net, 18 cm in diameter and graduated at 30' intervals, by the use of 
compass, dividers, and straightedge only. Show all construction lines. 
In some of the following problems, the coordinates of a point on a stereographic projection 
are given in terms of its latirirde and longitirde, measrrredfrom the center of rhe projection. 
Thus, the N pole is 90°N, OoE, the E pole is OON, 9OCE, etc. 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-13 Plane A is represented on a stereographic projection by a great circle passing 
through the N and S poles and the point OcN, 70°W. The pole of plane B is located at 
30°N, 50°W.. 
a) Find the angle between the two planes by measuring the angle between the poles 
of A and B. 
R: 
 
b) Draw the great circle of plane B and demonstrate that the stereographic projection 
is angle-true by measuring with a protractor the angle between the great circles of 
A and B. 
R: 
 
*2-14 Pole A, whose coordinates are 20°N, 50°E, is to be rotated about the axes described 
below. In each case, find the coordinates of the final position of pole A and show the path traced 
out during its rotation. 
a) 100" rotation about the NS axis, counterclockwise looking from N to S. 
R: Uma rotação de 100° faz com que oplo A gire no hemisfério inferior da projeção esfe´rica 
após 40°, então seu poo”negativo” reaparece para completar os 60° restantes. Condição final: 
20°S, 30°W. 
 
b) 60" rotation about an axis normal to the plane of projection, clockwise to the 
observer. 
R: Essa rotação de 60° é feita simplesmente girando um pino no oeste. Localização final: 19°S, 
45°W. 
 
c) 60" rotation about an inclined axis B, whose coordinates are 10°S, 30°W, clockwise 
to the observer. 
R: A rotação em torno de um eixo inclinado exige que o eixo de rotação seja movido para uma 
posição útil de orientação. Isso faz desta solução um procedimento de 3 etapas: Primeira, mova 
o eixo de rotação para o centro da projeção esferográfica,o que faz com que o eixo de rotação 
normal para a página mude. Segundo, rode 32° no sentido anti-horário em torno do porte NS. 
Terceiro, gira 60° no sentido horário. 
 
2-15 Draw a standard (1 11) projection of a cubic crystal, showing all poles of the form 
{100}, (1 101, (11 1 ) and the important zone circles between them. Compare with Figs. 
2-36(a) and (b). 
R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-16 Draw a standard (001) projection of white tin (tetragonal, c/a = 0.545), showing 
all poles of the form (001 ), {100), (1 101, (01 1 }, (1 1 1 ) and the important zone circles 
between them. Compare with Fig. 2-36(a). 
R: 
 
 
2-17 Draw a standard (0001) projection of beryllium (hexagonal, c/a = 1.57), showing 
all poles of the form {2iiO), {IOTO), (211 1), (1011) and the important zone circles 
between them. Compare with Fig. 2-38. 
R: 
 
 
2-18 On a standard (001) projection of a cubic crystal, in the orientation of Fig. 2-36(a), the 
pole of a certain plane has coordinates 53.3"S, 26.6"E. What are its Miller indices? Verify your 
answer by comparison of measured angles with those given in Table 2-3. 
R: 
 
*2-19 Duplicate the operations shown in Fig. 2-40 and thus find the locations of the cube poles 
of a (111) reflection twin in a cubic crystal. What are their coordinates? 
R: 
 
2-20 Show that the twin orientation found in Prob. 2-19 can also be obtained by 
a) Reflection in a (1 12) plane. Which one? 
R: A geometria desse problema, o polo de o plano candidato deve estar no traço de o avião de 
cima. A única escolha é a (112), e o construção ilustrada acima mostra como o processo de 
reflexão (distâncias angulares a o traço é igual) produz o adequado localização dos pólos do 
cubo depois da geminação. Observe que os índices de dois dos polos mudam, mesmo que suas 
posições relativas sejam preservado. 
 
 
b) 180" rotation about a (11 1 ) axis. Which one? 
R: Na linguagem da cristalografia, a operação de simetria macroscópica de rotação de 180 ° 
(indicado pelo símbolo para um eixo de rotação 2 vezes, ou "2") é equivalente a um reflexo no 
espelho (“M”) com o plano de espelho normal ao eixo de rotação. Nesse problema, o eixo de 
rotação é o normal ao plano do espelho, para que ele tenha os mesmos índices. A operação pode 
ser mostrada no projeção estereográfica da seguinte forma. Primeiro, posicione o polo no 
equador de uma rede Wulff sobreposta e gire-o para o centro da projeção, uma rotação de 54,7 
°. Em seguida, com a rede Wulff na mesma posição, mude o pólos de cubo na mesma 
quantidade. Terceiro, gire todos os pólos 180 ° em torno de um pino no centro da Rede Wulff. 
Finalmente, restaure a localização original de todos os pólos com uma rotação inversa de 54,7 
°. O processo é ilustrado aqui para o pólo 001 e os outros seguem da mesma forma. O resultado 
é que todos os pólos do cubo pousam nos mesmos locais que os do Problema 2-19, mas com 
rótulos diferentes. 
 
 
c) 60" rotation about a (1 11 ) axis. Which one? In (c), show the paths traced out by the cube 
poles during their rotation. 
R: Este é o menos óbvio. No entanto, durante a operação da parte (b) acima, pode ter torna-se 
aparente que as posições intermediárias dos pólos do cubo após os 54,7 ° a rotação que coloca 
o eixo no centro da projeção é um triângulo perfeito ou simetria tripla. Uma rotação de 60 ° é 
uma operação de simetria 6 vezes. Seguindo com a rotação de 60 ° e restaurar as posições 
originais do poste e todos os outros mais uma vez duplica o mesmo posições dos pólos do cubo 
antes e depois da geminação como Problema 2-19, mas com índices diferentes. A operação 
completa do polo 001 é mostrada aqui, assim como as posições intermediárias dos 100 pólo, 
ausente as setas para evitar confusão na solução. 
 
 
 
2-7 Prepare a cross-sectional drawing of an HCP structure which will show that all atoms 
do not have identical surroundings and therefore do not lie on a point lattice. 
 
 
 
*2-21 Plot the great-circle route from Washington, D.C. (39°N, 77°W) to Moscow (56°N, 
38°E). 
a) What is the distance between the two cities? (Radius of the earth = 6360 km.) 
 
 
b) What is the true bearing of an airplane flying from Washington to Moscow at the beginning, 
midpoint, and end of the trip? (The bearing is the angle measured clockwise from north to the 
flight direction. Thus east is 90° and west is 270°.). 
 
 
 
3-1 A transmission Laue pattern is made of a cubic crystal having a lattice parameter of 4.00 
A. The x-ray beam is horizontal. The [OiO] axisof the crystal points along the beam towards 
the x-ray tube, the [I001 axis points vertically upward, and the [001] axis ishorizontal and 
parallel to the photographic film. The film is 5.00 cm from the crystal. 
a) What is the wavelength of the radiation diffracted from the (310) planes? 
R: O método de Laue usa radiação policromática para sondar a qualidade e a orientação de um 
único cristal. Como a radiação incidente tem uma única direção fixa (ou ângulo, θ) na direção 
espécime, a solução da lei de Bragg (nλ = 2d sinθ) requer que a variável λ seja sincronizada 
com o espaçamentos d variáveis e ângulos de Bragg correspondentes (θB) dos planos de treliça 
cristalina. 
 
 
 
 
b) Where will the 310 reflection strike the film? 
R: 
 
 
'3-2 A transmission Laue pattern is made of a cubic crystal in the orientation of Prob. 3-1. By 
means of a stereographic projection similar to Fig. 3-8, show that the beams diffracted by the 
planes (ZTO), (213), and (21 I), all of which belong to the zone [120], lie on the surface of a 
cone whose axis is the zone axis. What is the angle 4 between the zone axis and the transmitted 
beam? 
R: O estereograma de Laue correspondente ao padrão no Problema 3-1 é ilustrado abaixo, 
simulando o procedimento ilustrado na Figura 3.12 do texto (página 109). 
 
 
 
Pela lei de Bragg, o incidente e os ângulos difratados são idênticos. Ângulos de incidentes são 
medidos do polo do feixe incidente aos polos dos aviões responsáveis pela difração, e Ângulos 
difratados são medidos a partir dos polos dos planos responsáveis pela difração até a “Pólos” 
representando vigas difratadas no espaço recíproco. 
Observe que o ângulo (ϕ) entre o eixo da zona e o feixe espalhado para frente (transmitido) 
pode ser leia diretamente desta projeção (aproximadamente 25 °), sujeito a qualquer precisão 
reduzida acompanha a colocação da Wulff Net na projeção. A precisão pode ser restaurada por 
álgebra vetorial ou por referência à Tabela 2-4 do texto, que confirma que um dos ângulos entre 
planos do tipo {001} e {210} é igual a 26,6 °. 
 
3-3 Determine, and list in order of increasing angle, the values of 28 and (hkl) for the 
first three lines (those of lowest 26 values) on the powder patterns of substances with the 
following structures, the incident radiation being Cu Ka: 
a) simple cubic (a = 3.00 A), 
R: 
 
b) simple tetragonal (a = 2.00 A, c = 3.00 A), 
R: 
 
c) simple tetragonal (a = 3.00 A, c = 2.00 A), 
R: 
 
 
d) simple rhombohedra1 (a = 3.00 A, a = 80"). 
R: 
 
 
3-4 In Fig. 3-14, put m = 10. (a) Write down a complete list of the path differences, in 
wavelengths 1, between the ray scattered by each plane below the surface and the ray scattered 
by the surface plane, for a scattering angle of 28,. What plane scatters a ray exactly out of phase 
with the ray scattered by the third plane below the surface? What is the path difference for these 
two rays? (b) Write down a similar list of path diferences for rays scattered at an angle halfway 
between 26, and 201 in order to convince yourself that these rays do not cancel one another. 
R: 
Usando o exemplo da Fig. 5-1, a onda espalhada pelo plano mth abaixo da superfície será m + 
1 comprimentos de onda fora de fase com a onda espalhada pelo plano superior (de referência). 
Para m = 10, cada plano dispersa uma onda que está 11/10 λ fora de fase com o plano anterior. 
Isso gera a tabela a seguir de diferenças de caminho. 
 
Após esta sequência, cada quinto plano se espalha com uma diferença de caminho de 55/10 λ, 
ou cinco e um meio comprimento de onda, o meio comprimento de onda causa uma 
interferência destrutiva. Portanto, o plano que dispersa exatamente fora de fase em relação ao 
terceiro plano é 3 + 5 = 8, ou o oitavo plano abaixo a superfície. Observe que em m = 8, a 
diferença de caminho é 8,8 λ, enquanto que em m = 3, a diferença de caminho é 3,3 λ, resultando 
em uma diferença de caminho líquido de 5,5 λ. 
b) Quando a radiação recebida faz um ângulo exatamente a meio caminho entre θB (diferença 
de caminho = 1 λ para cada plano) e θ1 (diferença de caminho = 1,1 para cada plano), o caminho 
correspondente a diferença será de 1,05 λ por plano. 
 
Após essa sequência, todo décimo plano se espalha com uma diferença de caminho de 105/10 
λ, ou dez e meio comprimento de onda, o meio comprimento de onda causa interferência 
destrutiva. Raios espalhados dos planos 3 e 8 não são cancelados porque a diferença de caminho 
é de 5,25 λ, sem metade do comprimento de onda envolvidos. 
 
*3-5 In Fig. 3-14, assume that the incident beam is perfectly parallel, instead of convergent, 
and incident at the angle 8,. Does broadening of the diffracted beam still occur? 
If so, derive the relation between t and B. 
 
 
 
*3-6 Calculate the breadth B (in degrees of 20), due to the small crystal effect alone, of 
the powder pattern lines of particles of diameter 1000,750, 500, and 250 A. Assume 8 = 
45" and A = 1.5 A. For particles 250 A in diameter, calculate the breadth B for 8 = 10, 
45, and 80". 
R: 
 
 
3-7 Check the value given in Sec. 3-7 for the increase in breadth of a diffraction line 
due to the natural width of the Ka emission line. [Hint: Differentiate the Bragg law and 
find an expression for the rate of change of 28 with A.]