Probabilidade

Prévia do material em texto

Bruno Baierle 
Maurício Furigo 
Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) 
 
 
 Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
PROBABILIDADES 
Revisando - Análise combinatória 
 
Se um evento pode ocorrer de qualquer um de 𝑛1 modos e se, 
quando ele ocorre, um outro evento pode realizar-se de qualquer 
um de 𝑛2 modos, então o número de maneiras segundo as quais 
ambos os evento podem ocorrer numa dada ordem será 𝑛1𝑛2. 
 
 
Exemplo. Se há 2 candidatos a governador e 6 a prefeito, de 
quantos modos podem ser preenchidos os dois cargos? 
 
 
2 X 6 = 12 modos 
 
Revisando – Fatorial de n 
 
O fatorial de n, é representado por n!, sendo definido 
como: 
 
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …1. 
 
 
Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 
 
Lembrando que 0! = 1 
 
Revisando – Permutações 
 
Uma permutação de n objetos diferentes, tomados r de 
cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, levando-se 
em consideração a ordem de sua disposição. 
 
 
Sendo representado por:.𝑛 𝑃𝑟; 𝑃 𝑛, 𝑟 ou 𝑃𝑛,𝑟 e é dado 
por: 
 
.𝒏 𝑷𝒓 = 
𝒏!
𝒏−𝒓 !
 
 
 
Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras 10 pessoas poderão 
sentar-se em um banco, se houver apenas 4 lugares? 
 
 
R = 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 
 
 
O primeiro lugar pode ser preenchido de 10 maneiras, o segundo 
de 9 maneiras, o terceiro de 8 maneiras e o quarto de 7 maneiras. 
 
Revisando – Combinações 
 
Uma combinação de n objetos diferentes, tomados r de 
cada vez, é uma escolha de r dos n objetos, não se 
levando em consideração a ordem de sua disposição. 
 
 
Sendo representado por: .𝑛 𝐶𝑟; C 𝑛, 𝑟 ; 𝐶𝑛,𝑟 ou 
𝑛
𝑟
 e é 
dado por: 
 
 
𝒏
𝒓
=
.𝒏 𝑷𝒓
𝒓!
 
 
Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras uma 
comissão de 5 pessoas pode ser escolhida entre 
9? 
 
 
R = 
𝑛
𝑟
= 
𝟗!
𝟓!
= 
9 x 8 x 7 x 6 x 5
5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 126 
 
Revisando – Conjuntos 
 
 Um conjunto é uma coleção de objetos, usualmente 
representados por letras maiúsculas. Podendo ser por união ou 
intersecção. 
 
 União 
 
 Exemplo: Definindo C como união de A e B, (denominado 
algumas vezes a soma de A e B), então: 
 
C = A ∪ B 
 
 Desse modo, C será formado de todos os elementos que 
estejam em A, ou em B, ou em ambos. 
 
Revisando – Conjuntos 
 
Intersecção 
 
 Exemplo: Definindo D como a intersecção de A e B, 
(denominada algumas vezes como o produto de A e B), então: 
 
 
D = A ∩ B 
 
 
 Desse modo D, será formado por todos os elementos que 
estão em A e em B. 
 
Probabilidade 
 
 
Definição clássica: Se um experimento aleatório tem n resultados 
igualmente prováveis, e 𝑛𝐴 desses resultados pertencem a certo 
evento A, então a probabilidade de ocorrência do evento A é 
definida como: 
 
𝑷 𝑨 =
𝒏𝑨
𝒏
 
Probabilidade 
 
 
Definição experimental: Seja um experimento aleatório com 
espaço amostral Ω e um evento A de interesse, onde esse 
experimento é repetido n vezes e o evento A ocorreu n(A) vezes. 
Então a frequência relativa do evento A é dada por: 
 
𝒇 𝑨 =
𝒏(𝑨)
𝒏
 
Exemplo 1. (SPIEGEL) Se em 1.000 lances de uma moeda 
resultam 529 caras, a frequência relativa das caras é de 529/1.000 
= 0,529. Se em outros 1.000 lances resultam 493 caras, a 
frequência relativa no total dos 2.000 lances é de (529 
+ 493)/2.000 = 0,511. 
 
 
De acordo com a definição estatística poder-se-á chegar cada vez 
mais próximos de um número que será denominado probabilidade 
de ocorrer uma cara no único lance de uma moeda, de acordo com 
os resultados apresentados até agora ele será de 0,5. 
Espaço Amostral 
 
 Definição: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
dado experimento. Sendo representado por S ou Ω. 
 
 
 Ao se estudar um número de resultados em um espaço 
amostral, surgem 2 possibilidades: 
 
 O espaço amostral será discreto quando este for finito ou 
infinito numerável. 
 
 O espaço amostral será contínuo quando este for infinito 
não numerável. 
 
Espaço Amostral Finito 
 
Condições: 
 
 (a) 𝑝𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘 
 
 (b) 𝑝1 + 𝑝2 + …+ 𝑝𝑘 = 1 
Espaço Amostral Finito 
 
Exemplo 2. (MEYER) Suponha que somente três resultados sejam 
possíveis em um experimento, a saber, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3. Além disso, 
suponha que 𝑎1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que 𝑎2, 
o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que 𝑎3. 
 
Então: 
 𝒑𝟏 = 𝟐𝒑𝟐 e 𝒑𝟐 = 𝟐𝒑𝟑. 
 
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 = 𝟏 
 
𝟒𝒑𝟑 + 𝟐𝒑𝟑 + 𝒑𝟑 = 𝟏 
 
𝒑𝟑 =
𝟏
𝟕
; 𝒑𝟐 =
𝟐
𝟕
 e 𝒑𝟏 =
𝟒
𝟕
 
 
Espaço Amostral Infinito Numerável 
 
 
Exemplo 3. Uma moeda ser lançada sucessivas 
vezes até que ocorra uma cara (K). 
 
 
Ω = { K, CK, CCK, CCCK, CCCCK, ...,} 
Espaço Amostral Infinito Não Numerável 
 
Exemplo 4. Uma lâmpada ao ser fabricada e 
ensaiada, observar o seu tempo de vida. 
 
 
Ω = 𝑡 ∊ 𝑅|𝑡 ≥ 0 
 
Eventos 
 
 Definição: Um evento é um subconjunto de um espaço 
amostral. 
 
 
 Quando o espaço amostral for finito ou infinito numerável, todo 
subconjunto poderá ser considerado um evento. 
 
 
 Quando o espaço amostral for infinito não enumerável, nem 
todo subconjunto poderá ser considerado um evento. 
Operações entre eventos 
Evento mutuamente excludentes 
 
Definição: Dois eventos são denominados excludentes se eles 
não puderem ocorrer juntos. 
 
 
 Logo evento A e B serão mutuamente excludentes em: 
 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ 
 
 
Exemplo 5. (MEYER) Um dispositivo eletrônico é 
ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado. 
Admitindo que o espaço amostral seja { t | t ≥ 0}. Sejam 
A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira: 
 
 
A = {t | t < 100}; B = { t | 50 ≤ 𝑡 ≥ 200}; C = { t | t > 150}. 
 
 
Portanto: 
 
 A ∪ B = {t | t ≤ 200}; A ∩ B = {t | 50≤ t < 100}; 
 
 
 B ∪ C = {t | t ≥ 50}; B ∩ C = { t | 150 < t ≤ 200}; A ∩ C = ∅; 
 
 
 A ∪ C = { t | t < 100 ou t > 150}; Ᾱ = { t | t ≥ 100}; 𝐶 = { t | t ≤ 150}. 
 
Exemplo 6. Se E1 é o evento “extração de um às de um 
baralho” e E2 é o da “extração de um rei”, logo: 
 
 
P(𝐸1) =
4
52
=
1
13
 e P 𝐸2 =
4
52
=
1
13
, 
 
 
então, a probabilidade de se extrair ou um às, ou um rei, em 
um lance único é: 
 
P(𝐸1 + 𝐸2) = P 𝐸1 + P 𝐸2 =
1
13
+
1
13
=
𝟐
𝟏𝟑
 
Propriedades 
 
(1) 0≤ P(A) ≤ 1. 
 
 
(2) P (Ω) = 1. 
 
 
(3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
 
Teoremas 
 
Teorema 1. Se ∅ for o conjunto vazio, então P(∅) = 0 
 
 
Demonstração: para qualquer evento (A), podemos 
escrever A = A ∪ ∅ , uma vez que ambas são 
mutuamente excludentes, e decorre da propriedade 3, 
que: 
 
 𝐏 𝐀 = 𝐏 𝐀 ∪ ∅ = 𝑷 𝑨 + 𝑷(∅) 
 
Teoremas 
 
Teorema 2. Se Ᾱ for o evento complementar de A, 
então: 
 
𝑷 𝑨 = 𝟏 − 𝑷(Ᾱ) 
 
 
Demonstração: pode-se escrever Ω = A ∪ Ᾱ e, 
empregando as propriedades 2 e 3, tem-se: 
 
 
𝟏 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(Ᾱ) 
Teoremas 
 
Teorema 3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então: 
 
 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 . 
 
 
Demonstração: esse teorema consiste em decompor A ∪ B e B 
em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, a 
aplicação da Propriedade 3, logo: 
 
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ Ᾱ , 
 
𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑩 ∩ Ᾱ 
 
Resulta em: 
 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ , 
 
 
𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ 
 
 
Subtraindo a segunda igualdade da primeira, têm-se: 
 
 
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 − 𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
 
Teoremas 
 
Teorema 4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer, 
então: 
 
 
 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 −
 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) 
 
 
Demonstração: esse teorema consiste em escrever A ∪ B ∪ 
C na forma (A ∪ B) ∪ C e aplicar o resultado do teorema 3. 
 
Teoremas 
 
Teorema 5. Se A ⊂ B, então P(A)≤ P(B) 
 
 
Demonstração: pode-se decompor B em dois eventos 
mutuamenteexcludentes, da seguinte forma: 
 
𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ Ᾱ 
 
Portanto, 
 𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ≥ 𝑷(𝑨) 
 
Pois, 
 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ≥ 𝟎 pela propriedade 1. 
Probabilidade condicional 
 
Consiste em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento 
(A) condicionada à ocorrência prévia de um evento (B). Essa 
probabilidade é representada por P(A|B), ou seja, probabilidade de 
A dado B. 
 
 
Sendo assim, seja A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0, a 
probabilidade condicional pode ser definida por: 
 
 
𝑷 𝐀 𝐁 =
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑨)
 
Probabilidade condicional 
 
 
Exemplo 7. (BARBETTA, pg 103) Seja o lançamento de 2 dados 
não viciados e a observação das faces voltadas para cima. 
Calcule: 
 
a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma 
é menor ou igual a 5. 
 
b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces 
são iguais. 
Ω =
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
 
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
 
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
 
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
 
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
 
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
 
 
 
𝐸1 = 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , (6,6) 
 
 
𝐸2 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑙 𝑎 5 
= 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , (4,1) 
Portanto, 𝐸1 ∩ 𝐸2 = * 1,1 , 2,2 +, 
 
esquematicamente: 
 
 
 
a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se 
que a soma é menor ou igual a 5. 
 
 
𝑃 𝐸1 𝐸2 =
𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2
𝑃(𝐸2)
=
2
36 
10
36 
=
2
10
= 𝟎, 𝟐 
b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que 
as faces são iguais. 
 
 
𝑃 𝐸2 𝐸1 =
𝑃 𝐸2 ∩ 𝐸1
𝑃(𝐸1)
=
2
36 
6
36 
=
2
6
= 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 ≡ 𝟑𝟑% 
Regra do produto 
 
A regra do produto é uma consequência da probabilidade 
condicional, obtida ao isolar a probabilidade da intersecção. 
 
 𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵) 
 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷 𝑩 .𝑷(𝑨|𝑩) 
 
ou 
 
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐵∩𝐴)
𝑃(𝐴) 
 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷 𝑨 .𝑷(𝑩|𝑨) 
 
Exemplo 8. (BARBETTA, pg 105) Uma caixa contém 4 cartões 
amarelos e 8 vermelhos. Retira-se ao acaso, 2 cartões um após o 
outro, sem reposição. Qual a probabilidade que ambos sejam 
amarelos ? 
 
 
 R= Chamando de 𝐴𝑖 o evento que representa cartão amarelo na 
𝑖 -ésima extração, e 𝑉𝑖, o evento que representa cartão vermelho 
na 𝑖 -ésima extração (𝑖 = 1, 2), logo: 
 
 
Ω = 𝐴1, 𝐴2 , 𝐴1, 𝑉2 , 𝑉1, 𝐴2 , (𝑉1, 𝑉2) 
Como a probabilidade de interesse é 𝑃 (𝐴1, 𝐴2) , aplicando a regra do 
produto, têm-se: 
 
𝑃 𝐴1 =
4
12
=
1
3
 existe 4 cartões amarelos dentre os 12 cartões, e 
 
 
𝑃 𝐴2|𝐴1 =
3
11
 supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na 
1ª extração, restando 3 amarelos dentre 11 cartões, logo: 
 
 
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴2|𝐴1 =
1
3
 ∙
3
11
=
1
11
 
 
Eventos Independentes 
 
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de 
um dos eventos não influencia a probabilidade de ocorrência dos 
outros eventos. 
 
Portanto 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 e 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 
 
logo evento independente pode ser definido como: 
 
 
A e B são independentes 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷(𝑩) 
Exemplo 9. (SPIEGEL), Sejam 𝐸1e 𝐸2 os eventos “cara na quinta 
jogada” e “cara na sexta jogada” de uma moeda, respectivamente. 
Então 𝐸1e 𝐸2 são eventos independentes, de modo que a 
probabilidade de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e 
sexta, é admitindo-se que a moeda é “honesta”, logo: 
 
 
𝑃 = 𝐸1𝐸2 = 𝑃 𝐸1 𝑃 𝐸2 =
1
2
∙
1
2
=
1
4
 
Exemplo 10. (MEYER), Admita-se que dentre 6 parafusos, dois 
sejam menores do que um comprimento especificado. Se dois dos 
parafusos forem escolhidos ao acaso, qual será a probabilidade de 
que os dois parafusos mais curtos sejam extraídos? Seja 𝐴𝑖 o 
evento (o 𝑖-ésimo parafuso escolhido é curto), 𝑖 = 1, 2. 
 
 
 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴2 𝐴1 𝑃 𝐴1 =
1
5
∙
2
6
=
1
15
 
Teorema da Probabilidade Total 
 
Seja 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, … , 𝐸𝑛 eventos que constituem uma 
partição do espaço amostral Ω , então: 
 
a) 𝐸1 ∩ 𝐸𝑗 = ∅ para todo 𝑖 ≠ 𝑗 
 
b) 𝑃(𝐸𝑖) > 0, para 𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑘 
 
c) 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ …∪ 𝐸𝑘 = Ω 
Teorema da Probabilidade Total 
 
 
Pela regra do produto têm-se a equação do 
teorema da probabilidade total. 
 
𝑷 𝑭 = 𝑷 𝑬 𝒊
𝒌
𝒊=𝟏
∙ 𝑷(𝑭|𝑬𝒊) 
Exemplo 11. As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30%, 
respectivamente, da produção de uma empresa. A máquina A produz 
2% de peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peças 
defeituosas. Calcule o percentual de peças defeituosas na produção 
desta empresa. 
 
Solução: 
 
P(A) = 70%; P(B) 30%; P(D|A) = 2%; P(D|B) = 8% 
 
 
P D = P D A . P A + P D B . P B Teorema da Probabilidade Total 
 
 
 
P D = 0,02.0,70 + 0,08.0,030 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 ≡ 𝟑, 𝟖% 
Exemplo 12. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho. 
A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de 
uma pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que 
consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade de o aluno fazer 
a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a 
questão. 
 
 
Solução 
P(Sucesso | sem pesquisa) = 40%; 
P(Fracasso | sem pesquisa) = 60%; 
P(Sucesso | com pesquisa) = 70%; 
P(Fracasso | com pesquisa) = 30%; 
P(com pesquisa) = 80%; 
P(sem pesquisa) = 20% 
P sucesso = P sucesso ∩ sem pesquisa + P sucesso ∩ com pesquisa = 
 
 
P(sucesso | sem pesquisa). P(sem pesquisa) + P(sucesso |sem 
pesquisa). P(sem pesquisa) 
 
 
Teorema da Probabilidade Total 
 
P D = 0,40 ∙ 0,20 + 0,70 ∙ 0,08 = 0,08 + 0,56 = 𝟎, 𝟔𝟒 ≡ 𝟔𝟒% 
Teorema de Bayes 
 
Considere eventos 𝐸1 mutuamente excludentes e um evento F qualquer 
cuja união representa o espaço amostral Ω , isto é, um dos eventos 
necessariamente deve ocorrer. 
 
 
Ou seja, o Teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um 
dos eventos 𝐸𝑖 ocorra, sabendo-se que o evento F ocorreu. 
 
 
Portanto, 
 
𝐏(𝑬𝒊|𝑭) =
𝑷 𝑬𝒊 ∙ 𝑷(𝑭|𝑬𝒊)
𝑷(𝑭)
 
Teorema de Bayes 
 
Exemplo 13. As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40%, 
respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de peças 
defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7% respectivamente. 
Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a 
probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B? 
 
Solução 
A: peça produzida por A 
B: peça produzido por B 
d: peça defeituosa 
 
 
P(d|A) = 3% = 0,03 
P(d|B) = 7% = 0,07 
P(A) = 60% = 0,60 
P(B) = 40% = 0,40 
O exercício pede a probabilidade P(B | d). 
 
Pelo Teorema de Bayes, 
 
P(B|d) =
P d|B . P(B)
P d A ∙ P A + P d B ∙ P(B)
 
 
 
P B d =
0,07 ∙ 0,4P B
0,03 ∙ 0,6 + 0,07 ∙ 0,4
= 0,6087 ≡ 𝟔𝟎, 𝟖𝟕% 
Teorema de Bayes 
 
 
Exemplo 14. (MEYER), Uma determinada peça é manufaturada por três 
fábricas (1, 2, 3). Sabe-se que a peça 1 produz o dobro de peças que 2, e 
2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das 
peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas 
produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são 
colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual 
é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1? 
 
 
Pelo Teorema de Bayes 
 
P(Bi|A) =
P A|Bi ∙P(Bi)
 P A Bj P(Bj)
k
i=1
 
 
 i = 1, 2, … , k 
 
P Bi A =
0,02 ∙ 1 2 
0,02 ∙ 1 2 + 0,02 ∙
1
4 + 0,04 ∙
1
4 
= 0,40 ≡ 𝟒𝟎% 
Referências 
SPIEGEL, M. R. Estatística.3ª Edição. São Paulo -SP, 2006. 
 
BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para 
Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São 
Paulo - SP, 2010. 
 
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. 
LTC. Rio de Janeiro –RJ, 2012. 
 
Bertolo, L.A. Probabilidades, Teorema da Probabilidade Total e 
Teorema de Bayes. IMES- Catanduva. Disponível em: 
<http://www.bertolo.pro.br/AdminFin/AnalInvest/Aula040912Revisa
o.pdf>. Acesso em Outubro de 2013.