Aula 3 - pre calculo

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Universidade Federal de Ciências da Saúde de Porto Alegre
Curso de Pré-Cálculo - 2020/1
Profa. Viviane Botelho
Aula 3: Polinômios
Funções versus equações
Uma função f(x) é um mecanismo que, a um valor x, chamado entrada (ou variável 
independente), associa um único número real construído a partir de x e chamado saída (ou 
variável dependente).
Entrada (x) Função
f(x)
Saída (y) Exemplos: 
� = 2� + 5
� = �� + 3� − 1
Variável 
independente
Variável 
dependente
- Descrever a relação entre variáveis (relaciona dois conjuntos).
- As variáveis podem assumir infinitos valores
- Representação Gráfica.
Uma equação é uma igualdade entre os elementos, em que esses elementos são 
resultados de operações matemáticas entre números conhecidos e 
desconhecidos (incógnitas).
Exemplos: 
3 = 2� + 5
�� + 3� − 1 = 0
- Incógnitas possuem valores determinados (números)
Polinômios
Um polinômio em � é qualquer expressão da forma
�
�

 + �
���

��+. . . +��� + ���
�

 + �
���

��+. . . +��� + ��
Adição e subtração: Agrupar termos com o mesmo grau 
Ex1: (2� + 1) + (�� − � + 3) Ex2: 3�� + 1 − �� − 2� − 2 + (−2�� − 1)
�
, �
��,…  coeficientes
�  grau
, onde
Operações com Polinômios
Multiplicação: Propriedade distributiva e grupar termos com o mesmo grau 
Ex1: �� + � . (4�� + 2� − 5) Ex2: 2� 3�� + 1 − �� − 2� − 2 . (−2�� + 3)
Exemplos
Divisão de polinômios: Lógica similar a divisão numérica
Ex1: 
��� – ���� !�� !� – �
��"��� �
Ex3:
���#��!�" �����
��"�� �
Operações com Polinômios
($%&': 4� − 5 +
�� )
��"�� �
)
Ex2:
��" �� �
�
($%&': 3� + 2 +
� 
�
)
($%&': 3�� + � − 1)
Ex2: 
�#���"�� �
���
($%&': �� − � − 3)
Produtos notáveis
Ex1: (3� + 8)(3� − 8) Ex2: 3� + 8 �
Muitas vezes o objetivo, é dada uma 
forma expandida, “enxergar” a forma 
fatorada através do produto notável. 
�� + + � = (��)�+2��+ + +�
�� − + � = (��)�−2��+ + +�
�� + + = (��) +3(��) + + 3��+ + +
�� − + � = (��)�−3(��)�+ + 3��+� − +�
�� + + � = (��)�+2��+ + +�  Quadrado da soma de dois termos
�� − + � = (��)�−2��+ + +� Quadrado da diferença de dois termos
�� + + (�� − +) = (��)�−+�  Produto da soma pela diferença
�� + + � = (��)�+3(��)�+ + 3��+� + +�  Cubo da soma de dois termos
�� − + � = (��)�−3(��)�+ + 3��+� − +�  Cubo da soma de dois termos
Ex3: �� − 6� + 9 Ex4: 4�� + 20� + 25 Ex5: 9�� − 7
Produtos notáveis
Ex1: 
�"��� !
���
 
Exemplos: Simplifique as expressões 
Ex2: 
�!�"������
(�� �)(���)
 
($%&': � − 3) ($%&':
�����
���
)
Ex3: 
��"��� �
��"��
 
($%&':
����
�� �
)
Racionalização e produtos notáveis: Remover radicais de denominadores 
/
 0
 
1
+ 2
Multiplicar numerador e denominador por 0
 
1
− 2
Por que??
345:
�
2�
1
+ 2
346:
4
�1 − �1
347:
1
�1 − 5
1
− 2
($%&':
� ��
1
���)
����
) ($%&':
� �1 � 81 )
��8
) ($%&':
( �
1
 �
1
� �1 )(� ��
1
 ��))
��8
)
Complemento de quadrados
Objetivo é converter uma equação quadrática na forma de um quadrado perfeito 
mais um coeficiente, isto é:
9�� + :� + ; = �� + < � + '9�� + :� + ; = �� + < � + '
Por exemplo: �� + 2� + 4 = � + 1 � + 3
Como resolver? Sabemos que �� + + � = (��)�+2��+ + +�
�� − + � = (��)�−2��+ + +�
Onde 9, :, ;, �, < % ' são constantes reais.
=>5: �� + 2� + 4 =>6: 4�� − 12� − 1=>6: �
� − � + 2
$%&': � + 1 � + 3 $%&': � − 1/2 � + 7/4 $%&': 2� − 3 � − 10
Raízes de um polinômio: Valores de > que zeram o polinômio
Por exemplo � = 3 é uma raiz do polinômio '(�) = 2� − 6
O número de raízes de um polinômio é igual ao grau (não necessariamente reais)
Função polinomial de primeiro grau (reta): ' � = �� + +' � = �� + +
@ = A> + B
>
@
b
C�DE
(�� + + = 0) 
Exemplos: Esboçar o gráfico de
� = 2� + 4 � = −3� +6
Obs: O sinal de � está associado com a 
inclinação da reta 
Função polinomial de segundo grau (parábola): ' � = ��� + +� + F' � = ��� + +� + F
A G H A I H
concavidade
Corte com eixo y
c
Vértice: Extremo da parábola
�J = −
+
2�
substituir xv
no polinômio
Valor de c
Raízes reais 
distintas
Raízes 
complexas
Raízes reais 
iguais
Cortes com eixo x
Função polinomial de segundo grau (parábola): ' � = ��� + +� + F' � = ��� + +� + F
Ex1: � = −2�� − 2� + 4
Ex2: � = �� − 3� +2 
Determinando as raízes: Bhaskara
Ex3: � = −�� + 9
Ex4: � = �� + 1
Exemplos: Esboçar a parábola indicando 
vértices, raízes e cortes com os eixos:
DEMANA, Franklin; WAITS, Bert; FOLEY, Gregory, KENNEDY, Daniel - Pré-
Cálculo. São Paulo: Person, 2013
SAFIER, F. Pré-Cálculo: Coleção Schaum. 2ª Edição. São Paulo: Bookman, 2011
Referências
ANTON, HOWARD, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo - Vol. 1, Bookman, 8ª Ed. 
2007.