Lista 04- Variáveis Aleatórias Discretas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
Lista de Exercícios 04
Variáveis Aleatórias e Distribuições Discretas de Probabilidade
Prof.: Carlos Estêvão R. Fernandes
Disciplina: Probabilidade e Estatística (CC265)
1. A variável aleatória discreta X tem a distribuição de probabilidades mostrada abaixo. Trace no
espaço abaixo a função de distribuição acumulada FX(x) e determine o que se pede: obj.19
xi P (X = xi)
0 0,064
1 0,288
2 0,432
3 0,216
(a) P (X ≤ 4) obj.20
(b) P (0,2 ≤ X ≤ 3,4) obj.20
(c) Valor médio de X obj.21
(d) Variância de X obj.21
2. Determine e trace a função de probabilidade p(xi) da variável aleatória X que tem a função
de distribuição acumulada mostrada abaixo, e determine o que se pede nos itens a seguir: obj.19
FX(x) =

0; x < 2
0,2; 2 ≤ x < 5,7
0,5; 5,7 ≤ x < 6,5
0,8; 6,5 ≤ x < 10,7
1; x ≥ 10,7
(a) P (3,5 ≤ X ≤ 6,7) obj.20
(b) P (X ≤ 2|X ≤ 7) obj.20
(c) Valor médio de X obj.21
(d) Variância de X obj.21
3. A variável aleatória X tem a distribuição de probabilidades mostrada abaixo. Trace a função
de distribuição acumulada de X no espaço abaixo e determine o que se pede nos itens a seguir:
obj.19
xi p(xi)
0 0,100
4 0,100
5 0,400
8 0,200
10 0,200
(a) P (4,2 ≤ X ≤ 9,1) obj.20
(b) P (X ≤ 2|X > 0) obj.20
(c) Valor médio de X obj.21
(d) Variância de X obj.21
4. Num porto existem vários tipos de contêineres, que se diferenciam pela capacidade de carga (em
toneladas). Por questões de segurança e �scalização, registram-se as capacidades de todos os
contêineres do porto e observa-se a seguinte a função de distribuição acumulada:
FX(x) =

0; x < 2,0
0,1; 2,0 ≤ x < 5,0
0,35; 5,0 ≤ x < 9,0
0,7; 9,0 ≤ x < 15,0
0,9; 15,0 ≤ x < 20,0
1,0; x ≥ 20,0
(a) Quantos tipos de contêineres existem no porto, quais suas res-
pectivas capacidades e qual a proporção de cada tipo? Faça
um grá�co (da função de probabilidade) ilustrando sua resposta.
obj.19
(b) Dentre os contêineres com capacidade abaixo de 10 ton., quantos
por cento têm capacidade acima de 3 ton.? obj.20
(c) Qual a capacidade média (µ) dos contêineres deste porto? obj.21
(d) Ache o desvio padrão (σ) da capacidade dos contêineres e determine a porporçao de contêiners com
capacidade dentro do intervalo [µ− 1,1σ;µ+ 1,1σ], onde µ é o valor médio da capacidade. obj.21
(e) Estabeleça o menor intervalo (simétrico em torno da média) no qual estão 80% dos contêineres.
obj.22
5. André e Bruno disputam 3 partidas de tênis (os resultados de cada partida são independentes e
o empate não é possível). Em cada partida, André tem 60% de chance de ganhar enquanto que
Bruno tem 40%. A variável aleatória X indica o número de vitórias de Bruno.
(a) Determine a função de probabilidades de X, i.e. p(xi),∀ xi. obj.19
(b) Trace a função de distribuição acumulada de X. obj.19
(c) Qual a probabilidade de Bruno ganhar no máximo uma partida? obj.20
(d) Qual o valor esperado do número de vitórias de Bruno? obj.21
(e) Qual o desvio padrão de X? obj.21
6. Numa inspeção de rotina para manutenção de um haras, um engenheiro agrônomo decide veri�car
o estado de conservação das ferraduras dos eqüinos. Para cada animal, ele toma nota do número
X de ferraduras em bom estado de conservação. Suponha que a variável aleatória X tem função
de probabilidades dada por p(xi) = 2K(xi + 1), onde xi = 0, 1, 2, 3, 4 e K é uma constante.
(a) A variável aleatória X é contínua ou discreta? Justi�que. obj.18
(b) Determine o valor deK de forma que p(xi) seja uma função de probabilidades válida. obj.9
(c) Trace a função de distribuição acumulada FX(x) do número de ferraduras em bom estado
de conservação. obj.19
(d) Qual o número médio de ferraduras em bom estado de conservação que se deve esperar
encontrar por animal? obj.21
(e) Que porcentagem de animais devemos esperar encontrar cujo número de ferraduras em bom
estado de conservação se diferencia em mais de um desvio padrão (para mais ou para menos)
em relação à média. Apresente seus cálculos. obj.21 e 22
7. Em uma linha de produção, baterias automotivas idênticas são produzidas de forma independente,
sendo que 5% destas baterias fornecem corrente elétrica abaixo do limiar especi�cado.
(a) Quantas baterias em média precisamos testar até encontrar três com corrente abaixo da
especi�cação?
(b) Se 140 baterias já passaram no teste com sucesso, qual a probabilidade de termos que testar
mais 10 baterias até encontrar uma com corrente abaixo da especi�cação? (expresse o resultado
em porcentagem com duas casas decimais de precisão)
(c) Suponha que as baterias são fornecidas aos revendedores em caixas de 10 unidades por
R$1.200,00. Um revendedor propõe testar as baterias de cada caixa e pagar ao fabricante
R$1.300,00 por cada caixa sem baterias defeituosas, mas apenas R$800,00 pelas caixas que
contiverem pelo menos uma bateria com corrente abaixo da especi�cação. É vantajoso para
o fabricante aceitar a proposta do revendedor? Justi�que apresentando seus cálculos.
8. Numa pequena instalação para tratamento de água, há três estações de
bombeamento que são inspecionadas uma vez por semana para veri�car a
pressão. A variável aleatória X representa o número de bombas defeituo-
sas encontradas em cada inspeção e sua distribuição de probabilidades é
mostrada ao lado.
(a) Determine e trace a função de distribuição acumulada FX(x). obj.19
(b) Qual a probabilidade de haver no máximo 2 bombas defeituosas em uma
dada inspeção? obj.20
xi P (X = xi)
0 0,6
1 0,25
2 0,10
3 0,05
(c) Qual o número médio de bombas defeituosas encontradas em uma inspeção? obj.21
(d) Qual a probabilidade de que o número de bombas defeituosas em uma dada inspeção seja inferior a
µ+σ, onde µ e σ são a média e o desvio padrão do número de bombas defeituosas, respectivamente.
obj.21
9. Uma empresa de comércio on-line tem 10 computadores. A probabilidade de um dado compu-
tador falhar num dia qualquer é de 2% (isto vale para qualquer computador) e as falhas são
independentes. Os computadores são sempre consertados de um dia para o outro (no início de
cada dia estão em bom estado).
(a) Qual a probabilidade de que todos os computadores funcionem num certo dia? obj.24
(b) Qual a probablidade de que no máximo dois computadores falhem num certo dia? obj.24
(c) Sabendo que hoje houve falha, qual a probablidade de que no máximo dois computadores tenham
falhado hoje? obj.24
(d) Quantos computadores falham em média por dia? obj.25
10. Para cada item abaixo, preencha a lacuna da direita com o nome da distribuição de probabilidades
que lhe parece o modelo mais adequado para a variável aleatória discreta X: obj.23
(a) Em um processo de produção de transdutores de temperatura, X é o número
de transdutores não-conformes em uma amostra de tamanho 30 selecionada ao
acaso.
(b) Em uma operação de enchimento de embalagens de detergente, veri�cam-se
caixas de 20 embalagens e X é o número de embalagens que não estão completa-
mente cheias em uma caixa..
(c) X é o número de falhas em 1m2 de superfície de uma grande serpentina de
aço
(d) Cada produto de uma loja é rotulado com um código de 3, 4 ou 5 letras,
sendo todos eles equiprováveis. X é o número de letras do código de um produto
selecionado de forma aleatória.
11. Em uma linha de produção, milhares pastilhas de silício idênticas são produzidas de forma in-
dependente. A probabilidade de uma pastilha qualquer estar contaminada é de 10−3. Indique
o nome da distribuição de probabilidades mais adequada para a variável aleatória discreta X e
responda o que se pede: obj.23 e 24
(a) X é o número de pastilhas contaminadas em um lote de 20 pastilhas selecionadas ao acaso.
v. Nome da distribuição:
vi. Qual a probabilidade de que nenhuma pastilha esteja contaminada em um lote?
vii. Qual a probabilidade de que mais de uma pastilha esteja contaminada em um lote?
12. Em um sistema de comunicações digital, bits são transmitidos de forma independente, sendo de
0,02 a probabilidade de um bit qualquer ser recebido com erro. Indique o nome da distribuição
de probabilidadesmais adequada para a variável aleatória discreta X e responda o que se pede:
obj.23 e 24
(a) X é o número de bits recebidos com erro em um byte (bloco de 8 bits) transmitido.
i. Nome da distribuição:
ii. Quantos bits em média são recebidos com erro em um byte?
iii. Qual a probabilidade de que nenhum bit esteja errado em um byte recebido?
iv. Qual a probabilidade de que no máximo um bit esteja errado em um byte recebido?
13. Em uma operação de enchimento de embalagens de detergente, centenas de embalagens são
preenchidas de forma independente, sendo de 5% a probabilidade de que uma embalagem qualquer
não esteja cheia completamente. Para cada item abaixo, indique o nome da distribuição de
probabilidades mais adequada para a variável aleatória discreta X e responda o que se pede:
obj.23,24 e 25
(a) X é o número de embalagens que não foram cheia completamente em uma caixa de 12 embalagens
selecionadas aleatoriamente.
i. Nome da distribuição:
ii. Quantas embalagens em média não são cheias completamente em uma caixa?
iii. Qual a probabilidade de que todas as embalagens de uma caixa estejam cheias completamente?
iv. Qual a probabilidade de haver em uma caixa pelo menos duas embalagens que não foram cheias
completamente?
14. O número de falhas na superfície de painéis de plástico usados no interior de automóveis tem
uma distribuição de Poisson com uma média de 0,3 falhas por m2. Considere que o interior de
um automóvel contém 2m2 de painel de plástico.
(a) Qual a probabilidade de haver mais de uma falha no interior de um automóvel? obj.24
(b) Se 10 carros são produzidos de forma independente, qual a probabilidade de que no máximo um
deles apresente qualquer falha na superfícies de seu painel? obj.24
15. Um painel solar possui 40 fotossensores eletrônicos idênticos, os quais são produzidos de forma
independente. A probabilidade de um sensor qualquer ser defeituoso é de 0,01. A variável alea-
tória X representa o número de sensores defeituosos em um painel solar e segue uma distribuição
Binomial.
(a) Escreva a função de probabilidade de X usando os parâmetros dados na questão. obj.23
(b) Qual a probabilidade de que nenhum sensor seja defeituoso? obj.24
(c) Qual a probabilidade de que mais de um sensor seja defeituoso? obj.24
(d) Qual o número médio de sensores defeituosos que se pode esperar? obj.25
16. O número de falhas na superfície de canos de PVC usados em um sistema de esgoto industrial
tem uma distribuição de Poisson com uma média de 0,1 falhas por m2. Considere que os canos
têm 7,96cm de diâmetro por 3m de comprimento e são independentes.
(a) Qual a probabilidade de haver mais de uma falha na superfície de cano? obj.24
(b) Se 10 canos escolhidos ao acaso são usados para ligar uma unidade fabril à central de tratamento
de esgoto, qual a probabilidade de que no máximo um destes 10 canos apresente qualquer falha na
superfície? obj.24
17. Numa fábrica, sensores fotoelétricos para painéis solares são produzidos independentemente e
sabe-se que 2% dos sensores produzidos apresentam defeito. Um painel solar possui 20 destes
fotossensores, escolhidos aleatoriamente. obj.24 e 26
(a) Após ter vendido 1000 painéis, você deseja fazer um estoque de sensores na assistência técnica,
prevendo futuras reclamações de clientes. Quantos sensores você manteria no estoque? (supondo
que os sensores defeituosos são substituídos)
(b) Suponha agora que o Termo de Garantia do painel especi�ca tolerância de até 1 sensor defeituoso (a
Assistência Técnica só receberá o produto pela Garantia se houver mais de um sensor defeituoso).
Qual a proporção de clientes que usarão o serviço de Garantia?
18. As pás de um gerador eólico são recobertas de material leve e resistente pois não podem apresentar
�ssuras. Um fabricante de material que recobre pás garante que em seu produto o número de
�ssuras segue uma distribuição de Poisson com média de 1 falha a cada 5000m2 de material.
obj.24
(a) Em um modelo de aerogerador, 150m2 de material são necessários para o recobrimento de cada pá.
Qual a porcentagem de pás que apresentam �ssuras?
(b) Suponha que o mesmo modelo de aerogerador do item anterior tem 3 pás (construídas de forma
independente). Tomando um exemplar deste modelo, qual a probabilidade de que nenhuma pá
apresente �ssuras?
19. Um servidor de rede recebe em média 3 mensagens por hora, seguindo uma distribuição de
Poisson. obj.24
(a) Qual a probabilidade de que cheguem mensagens em duas horas de observação?
(b) Determine o tamanho T de um intervalo de tempo (em horas) tal que haja 99,9% de chance de
que cheguem mensagens neste intervalo. (neste item, arredonde o valor de T para uma casa decimal de
precisão.)
20. Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada (FDA) dada pela �gura
abaixo. Determine o que se pede:
(a) Determine os possíveis valores da variável X e suas respectivas probabilidades. obj.19
(b) Determine o valor médio da variável X. obj.21
(c) Determine o desvio padrão da variável X. obj.21
(d) Calcule P (0 ≤ X ≤ 6) obj.20
(e) Calcule P (X > 0|X ≤ 5) obj.20
21. Uma empresa emprega 400 homens. Suponha que 20% deles carreguem o gene do daltonismo.
obj.24
(a) se 10 homens forem testados qual a probabilidade de um deles ter o gene do daltonismo?
(b) se 50 homens forem testatdos qual a probabilidade mais de um ter esse gene?
22. Suponha que X tenha uma distribuicao hipergeométrica com N = 20, n = 4 e K = 4. Determine
o seguinte :
(a) P (X = 3) obj.24
(b) P (X ≤ 2) obj.24
(c) Determine a Variância e a Média obj.25
23. Considere as variáveis aleatórias de�nidas abaixo e responda as perguntar a seguir:
(A) A velocidade instantânea de um carro de Fórmula 1 durante a prova do DP Brasil
(B) A espessura de um cilindro de alumínio de alta precisão para aceleração de partículas
(C) O número de cartões amarelos mostrados pelo árbitro em uma partida de futebol
(D) O número de chapas metálicas testadas aleatoriamente até que se encontre a terceira chapa
com espessura fora do padrão de qualidade exigido
(E) A corrente elétrica medida nos terminais de uma bateria automotiva escolhida aleatoriamente
(F) O número de baterias com corrente abaixo da especi�cação em um lote de 20 baterias.
(a) Dentre as variáveis acima, indique quais são contínuas (um erro anula um acerto): obj.18
(b) Dentre as variáveis acima, indique quais são discretas (um erro anula um acerto): obj.18
(c) Que distribuição de probabilidade que poderia representar a variável aleatória D? obj.23
(d) Que distribuição de probabilidade que poderia representar a variável aleatória F? obj.23
24. Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada FX(x) dada abaixo. De-
termine o que se pede:
FX(x) =

0; x < 2,0
0,1; 2,0 ≤ x < 5,0
0,35; 5,0 ≤ x < 9,0
0,65; 9,0 ≤ x < 13,0
0,9; 13,0 ≤ x < 16,0
1,0; x ≥ 16,0
(a) Determine os possíveis valores da variável X e suas respectivas probabilidades. obj.19
(b) Determine o valor médio da variável X. obj.21
(c) Determine a variância da variável X. obj.21
(d) Calcule P (5 ≤ X ≤ 16) obj.20
(e) Calcule P (X < 16|X ≥ 5) obj.20
25. Em uma linha de produção, milhares pastilhas de silício idênticas são produzidas de forma inde-
pendente. A probabilidade de uma pastilha qualquer estar contaminada é de 2×10−3. Considere
a variável aleatória X de�nida em cada item e responda ao que se pede: obj.24 e 25
(a) X é o número de pastilhas que são testadas até que se encontre uma com contaminação.
i. Quantas pastilhas em média precisamos testar para encontrar uma contaminada?
ii. Qual a probabilidade de testarmos 200 pastilhas até encontrar a primeira pastilha contaminada?
(b) X é o número de pastilhas contaminadas em um lote de 1000 pastilhas selecionadas ao acaso.
v. Qual a probabilidade de que mais de uma pastilha esteja contaminada em um lote?
vi. Qual é o desvio padrão de X?
26. Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada (FDA) dada pela �gura
abaixo. Determine o que se pede:
(a) Determine os possíveis valores da variávelX e suas respectivas probabilidades. obj.19
(b) Determine o valor médio da variável X. obj.21
(c) Determine o desvio padrão da variável X. obj.21
(d) Calcule P (2 ≤ X ≤ 9) obj.20
(e) Calcule P (X < 8|X ≥ 4) obj.20
27. As variáveis aleatórias discretas X e Y podem resultar nos seguintes pares de resultados, sendo
que todos eles são equiprováveis:
xi 1 1 2 3 3 3 4 5 5
yj −3 3 0 −3 0 3 0 −3 3
(a) Determine os valores médios de X e de Y . obj.21
(b) Determine a covariância de X e Y e indique se estas variáveis são correlacionadas ou des-
correlacionadas.
(c) As variáveis X e Y são independentes? Justi�que.
28. A chegada de passageiros a um terminal de embarque é uma variável aleatória X com distribuição
de Poisson com média de 1,2 passageiros por minuto, a contar de um instante inicial qualquer
(t = 0). obj.24
(a) Qual é a probabilidade de chegarem menos de 3 passageiros nos 5 primeiros minutos?
29. As variáveis aleatórias discretas X e Y podem resultar nos seguintes pares de resultados, sendo
que todos eles são equiprováveis:
xi 2 3 3 4 4 4 5 5 6
yj 0 −1 1 −2 0 2 −1 1 0
(a) Determine a função de probabilidade de X para o caso em que Y = 0, ou seja: pX|yj=0(xi).
Se Y = 0, qual a probabilidade de X > 3?
(b) Determine os valores médios de X e de Y . obj.21
(c) Determine a covariância de X e Y e indique se estas variáveis são correlacionadas ou des-
correlacionadas.
(d) As variáveis X e Y são independentes? Justi�que.
30. Numa fábrica de paineis luminosos de LED, sabe-se que em média 3 LEDs são defeituosos a cada
5000, sendo eles escolhidos aleatoriamente e de forma independente.
(a) Qual a probabilidade de que exatamente 5 LEDs defeituosos sejam escolhidos para a mon-
tagem de um painel? obj.24
(b) O fabricante alega que se mais de 15 LEDs falharem em um painel composto de 15000
LEDs, o painel será substituído gratuitamente. Com base nisto, que percentual de trocas
de painéis o fabricante deveria esperar? obj.24 e 26
31. Um painel luminoso é composto de 50 LEDs, os quais são escolhidos de forma aleatória. A
probabilidade de falha de cada LED é de 2%.
(a) O fabricante alega que se mais de 2 LEDs falharem, o painel será substituído gratuitamente.
Com base nisto, fabricante deveria esperar que um certo percentual de clientes solicitará
substituição de painel. Que percentual é este? obj.25
(b) Suponha que o fabricante vendeu 300 painéis e quer manter um estoque de LEDs para
substituição. Você recomendou que ele mantenha no estoque o número médio de LEDs que
irão falhar mais uma sobra correspondente a um desvio padrão. Qual o número de LEDs
que você recomendou para serem mantidos no estoque? obj.25
(c) Suponha que o painel seja formado de 5000 LEDs com probabilidade de falha de 0,2% cada.
Neste caso, use a distribuição de Poisson para determinar a probabilidade de que exatamente
10 LEDs falhem. obj.24
32. Um painel solar possui 50 sensores fotovoltaivos idênticos, os quais são produzidos de forma
independente. Sabe-se que 10% dos sensores fabricados são defeituosos. O termo de garantia
prevê que o painel deverá ser substituído caso apresente mais de 2 sensores defeituosos.
(a) Que percentual de clientes acionarão a garantia pedindo a substituição de seu painel?
obj.24
(b) Suponha agora que o painel possui 1000 sensores, sendo que 0,8% dos sensores fabricados
são defeituosos. Que percentual de clientes acionarão a garantia pedindo a substituição de
seu painel? obj.24
(c) Usando os dados do item anterior, deseja-se que no máximo 1% dos clientes acione a garantia
pedindo a substituição do produto. Nestas condições, que número o termo de garantia
deveria estabelecer como sendo a quantidade mínima de sensores defeituosos em um painel
para que a troca seja feita? obj.24 e 26
33. Numa pequena instalação para tratamento de água, há três estações de bombeamento que são
inspecionadas uma vez por semana para veri�car a regulagem da pressão. A variável aleatória
X representa o número de bombas pressão desregulada encontradas em cada inspeção. Sabendo
que a probabilidade de uma bomba qualquer a pressão desregulada é de 30% e as bombas operam
de forma independente, responda:
(a) Determine e trace a função de distribuição acumulada FX(x). obj.19
(b) Qual a probabilidade de haver no máximo uma bombas defeituosas em uma dada inspeção? obj.24
(c) Qual o número médio de bombas defeituosas encontradas em uma inspeção? obj.25
(d) Determine o desvio padrão do número de bombas defeituosas. obj.25
34. Num jogo de tabuleiro, o número de casas que o peão irá avançar ou recuar em cada rodada é
obtido pelo lançamento de um `dado mágico' cujo resultado é uma variável aleatória X, a qual
tem a função de distribuição acumulada mostrada abaixo (valores positivos representam avanços
e valores negativos representam recuos). Determine o que se pede nos itens a seguir:
FX(x) =

0; x < −2
0,1; −2 ≤ x < −1
0,3; −1 ≤ x < 1
0,6; 1 ≤ x < 2
1; x ≥ 2
(a) Qual o número máximo de `passos' (para frente ou para trás) que o peão poderá dar numa
jogada? explique. obj.19
(b) Qual a probabilidade de o peão �car parado numa rodada? obj.19
(c) Se numa jogada o peão deu exatamente um passo, qual a probabilidade de que tenha sido
para frente? obj.20
(d) Em média, após dez jogadas, onde se espera que esteja o peão (em relação ao seu ponto de
partida)? obj.21
(e) Um jogador A se encontra dentro de 2,12 desvios padrões de distância para um jogador B,
que por sua vez está na casa de número 11. Qual o intervalo de casas em que o jogador A
pode se encontrar? obj.21
35. Um certo modelo de gerador eólico possui 3 pás. A variável aleatória X indica o número
de pás que precisam de manutenção. Sua função de probabilidades é dada por p(xi) =
C(19− 6xi), xi = 0, 1, 2, 3, onde C é uma constante.
(a) Determine o valor de C para que p(xi) seja uma função de probabilidade válida. obj.9
(b) Qual a proporção de geradores que que precisam de manutenção em no máximo uma pá?
obj.20
(c) Determine o número médio de pás que precisam de manutenção. obj.21
(d) Determine o desvio padrão da variável aleatória X. obj.21
36. Uma microempresa de comércio on-line tem 20 computadores. A probabilidade de um dado
computador falhar num dia qualquer é de 5% (isto vale para qualquer computador) e as falhas
são independentes. Os computadores são sempre consertados de um dia para o outro (no início
de cada dia estão em bom estado). Assumindo que o número X de computadores que falham
num dado dia segue uma distribuição Binomial, responda:
(a) Em média quantos computadores falham por dia? obj.25
(b) Qual a probabilidade de que no máximo dois computadores falhem num certo dia? obj.24
(c) Sabendo que ontem houve falha, qual a probabilidade de que no máximo dois computadores tenham
falhado ontem? obj.24