Lista 05 - Variáveis Aleatórias Contínuas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
Lista de Exercícios 04
Variáveis Aleatórias e Distribuições Contínuas de Probabilidade
Prof.: Carlos Estêvão R. Fernandes
Disciplina: Probabilidade e Estatística
1. Seja a v.a. X contínua com a seguinte f.d.p., onde C é uma constante Real:
fX(x) =
{
C(5− x), 0 ≤ x ≤ 3,
0, em caso contrário.
2. Determine o valor da constante C de forma que fX(x) seja uma f.d.p. válida
3. Calcule as seguintes probabilidades utilizando fX(x):
4. P (X ≤ 2)
5. P (X ≥ 1)
6. P (X ≥ 1
∣∣∣X ≤ 2)
7. Qual o valor x0 para o qual temos P (X ≤ x0) = 0,9?
8. Determine FX(x), −∞ < x < +∞ (não é preciso calcular integrais)
9. Refaça os itens (b) e (c) utilizando FX(x)
10. Seja a v.a. X contínua com a seguinte f.d.p., onde c é uma constante Real:
fX(x) =
{
c |x|, −1 ≤ x ≤ 1,
0, x < −1 ou x > 1.
11. Determine o valor da constante c de forma que fX(x) seja uma f.d.p. válida
12. Calcule as seguintes probabilidades utilizando fX(x):
13. P (−12 ≤ X ≤
1
2)
14. P (X = 0), P (X = 1) e P (X = 1/2)
15. P (|X| > 14)
16. P (0 ≤ X ≤ 34
∣∣∣|X| > 12)
17. Qual o valor x0 para o qual temos P (|X| ≤ x0) = 0,9?
18. Determine FX(x), −∞ < x < +∞ (não é preciso calcular integrais)
19. Refaça os itens (b) e (c) utilizando FX(x)
20. O tempo em que passageiros chegam a um terminal (contado em minutos depois de 7h) é uma
variável aleatória X com Função de Distribuição Acumulada dada por:
FX(x) = 10c(1− e−0.1x), 0 ≤ x ≤ +∞,
onde c é uma constante Real.
21. Determine o valor da constante c de forma que FX(x) seja uma FDA válida.
22. Calcule a probabilidade de:
23. Um certo passageiro chegar antes de 8h30.
24. Um certo passageiro chegar entre 8h15 e 8h30.
25. Dois passageiros chegarem antes de 8h40 dentre os cinco que foram ao terminal neste dia. Con-
sidere as chegadas dos passageiros como independentes.
26. Podemos dizer que estamos 99% seguros de que um dado passageiro chegará ao terminal até que
horas?
27. Em um centro de pesquisas, utiliza-se um cilindro de alumínio para aceleração de partículas. A
produção industrial deste tipo de cilindro é de alta precisão e a espessura de um cilindro pode
ser representada por uma variável aleatória contínua X com média de 1,41cm e desvio padrão
de 0,015cm. As especi�cações requerem que a espessura esteja entre 1,39cm e 1,43cm. Cilindros
que satisfazem estas especi�cações são aceitos. Em caso contrário são rejeitados.
28. Se X tem distribuição Uniforme, qual a probabilidade de um cilindro ser aceito?
29. Se X tem distribuição Normal, qual a probabilidade de um cilindro ser aceito?
30. Se X tem distribuição Normal, pode-se dizer que 99,99% dos cilindros têm espessura abaixo de
` cm. Determine o valor de `.
31. Se X tem função densidade de probabilidade fX(x) dada abaixo, qual a probabilidade de um
cilindro ser aceito? dica: trace o grá�co de fX(x)
fX(x) =

625(x− 1,37) 1,37 ≤ x ≤ 1,41
625(1,45− x) 1,41 ≤ x ≤ 1,45
0 em caso contrário
32. determine a função de distribuição acumulada FX(x) considerando a f.d.p. dada no item anterior.
33. Refaça a questão anterior considerando que X tem média de 1,12cm e variância de 3×10−4cm2.
As especi�cações requerem que a espessura da peça esteja entre 1,10cm e 1,14cm. Nos itens (d)
e (e) utilize a seguinte f.d.p.:
fX(x) =

1250(x− 1,09) 1,09 ≤ x < 1,11
25 1,11 ≤ x < 1,13
1250(1,15− x) 1,13 ≤ x ≤ 1,15
0 em caso contrário
34. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
fX(x) =
{
5− 12,5x, 0 ≤ x ≤ 0,4
0, em caso contrário.
35. Calcule P (X ≤ 0,2) e P (X ≤ 0,2|X ≤ 0,3)
36. Determine a função de distribuição acumulada FX(x).
37. Qual o valor x0 para o qual temos P (X ≤ x0) = 0,97?
38. Em uma fábrica, o tempo T necessário para completar a montagem de um produto é uma
variável aleatória contínua com média de 15 min e variância de 1,44 (min)2. Deseja-se saber
qual a probabilidade de se completar a montagem de um produto em menos de 18min e mais de
12min.
39. Se T tem distribuição Normal, qual é a probabilidade de completar uma montagem dentro do
intervalo de tempo indicado?
40. Se T tem distribuição Uniforme, qual é a probabilidade de completar uma montagem dentro do
intervalo de tempo indicado?
41. Um servidor de rede recebe em média 5 mensagens por hora, seguindo uma distribuição de
Poisson.
42. Determine o tamanho T de um intervalo de tempo (em horas) tal que haja 95% de chance de
que cheguem mensagens neste intervalo. (dica: o número de mensagens no intervalo T deve ser maior que
zero com 95% de probabilidade.)43. Qual a probabilidade de que cheguem mais de 100 mensagens em um dia de observação? (dica:
aproximar pela Normal.)44. Se a espessura X de uma chapa metálica usinada é uma variável aleatória Normal com média
30,0mm e desvio padrão 0,5mm, determine um valor de espessura (em mm) abaixo do qual você
esperaria encontrar:45. 98,0% das chapas produzidas.
46. 99,5% das chapas produzidas.47. 99,99% das chapas produzidas.
48. Em uma fábrica, a espessura X de uma chapa metálica usinada é uma variável aleatória contínua
com média 12,0mm e desvio padrão 1,8mm. O engenheiro encarregado da produção deseja saber
qual a probabilidade de uma chapa produzida ter espessura entre 9mm e 15mm.
49. Se o engenheiro sabe que X tem distribuição Normal, qual é a probabilidade de uma chapa
produzida ter espessura dentro do intervalo indicado?
50. Se o engenheiro sabe que X tem distribuição Uniforme, qual é a probabilidade de uma chapa
produzida ter espessura dentro do intervalo indicado?
51. O tempo T necessário para completar a montagem de um produto é uma variável aleatória
Normal com média 9min e desvio padrão 1,5mm, determine um valor de tempo (em min) abaixo
do qual:
52. 97,50% dos produtos são montados.
53. 98,80% dos produtos são montados.
54. 99,90% dos produtos são montados.
55. Em uma fábrica, o tempo T necessário para completar a montagem de um produto é uma variável
aleatória contínua com média de 8 min e variância de 1,21 (min)2. O engenheiro encarregado da
produção informa ao seu chefe que as montagens são �nalizadas em um tempo que varia de 7 a
11 min.
56. Se T tem distribuição Normal, qual a probabilidade de a Engenheiro estar correto?
57. Ainda considerando que T tem distribuição Normal, se o Engenheiro tivesse dito ao seu chefe
que as montagens são �nalizadas em um tempo que varia de 6 a 10 min. qual a probabilidade
de ele estar correto?
58. A espessura ideal de uma chapa metálica usinada é 30,0mm. Toda chapa cuja espessura se
diferencia da ideal por mais de 0,5mm (para mais ou para menos) é descartada. O chefe da pro-
dução deseja que 99,98% das chapas produzidas sejam aproveitadas (não-descartadas). Assuma
que a espessura X das placas é uma variável aleatória com distribuição Normal de média igual à
espessura ideal. Qual deve ser o desvio padrão σ da variável X de forma que a ordem do chefe
de produção seja atendida.
59. No problema anterior, assumindo σ = 0,25mm, determine o intervalo [xinf xsup] dentro do qual
encontram-se as espessuras de 99,98% das chapas produzidas.
60. Seja X uma variável aleatória qualquer, com distribuição desconhecida, de média µX e variância
σ2X . Usando a linearidade do operador Esperança, calcule a média (µY ) e o desvio-padrão (σY )
da variável aleatória Y (em função de µX e σX), nos seguintes casos:
61. Y = aX + b
62. Y = X−µXσX
63. Determine fX(x) sabendo que FX(x)=
{
1− 1ae
−a x, x ≥ c,
0, x < c.
Determine o valor adequado de c (em função de a) de forma que fX(x) seja uma função densidade
de probabilidade válida.