Livro_questoes_resolvidas_de_matematica_para_concursos_publicos_19635

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Série
Série Aprova Concursos
 
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 Legislação Especial para Concursos (Direito do Idoso – Direito 
das Pessoas Portadoras de Deficiência – Declaração Universal dos 
Direitos Humanos – Direito da Criança e do Adolescente)
 Questões Resolvidas de Língua Portuguesa para Concursos 
 Questões Resolvidas de Matemática para Concursos 
 Questões Resolvidas de Raciocínio Lógico para Concursos 
 Questões Resolvidas de Direito Constitucional para Concursos
QUESTÕES 
RESOLVIDAS DE 
MATEMÁTICA PARA 
CONCURSOSQU
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Emerson Marcos Furtado
Série
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questões resolvidas de 
matemática para concursos
emerson marcos Furtado
iesde Brasil s.a.
curitiba
2010
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F 992q Furtado, Emerson Marcos. / Questões resolvidas de matemática para 
concursos. / Emerson Marcos Furtado. — Curitiba : IESDE Brasil 
S.A., 2010.
148 p. [Série aprova concursos]
ISBN:978-85-387-1287-9
1. Matemática. 2. Concursos. I. Título. 
CDD 515
IESDE Brasil S.A 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
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Todos os direitos reservados.
© 2010 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e 
do detentor dos direitos autorais.
Capa: IESDE Brasil S.A.
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Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Uni-
versidade Federal do Paraná (UFPR). Licenciado 
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino 
Médio de colégios nos estados do Paraná e Santa 
Catarina desde 1992; professor do Curso Positivo 
de Curitiba desde 1996; professor da Universida-
de Positivo, de 2000 a 2005; autor de livros didá-
ticos, destinados a concursos públicos, nas áreas 
de Matemática, Matemática Financeira, Raciocí-
nio Lógico e Estatística; sócio-diretor do Institu-
to de Pesquisas e Projetos Educacionais Práxis, 
de 2003 a 2007; sócio-professor do Colégio Po-
sitivo de Joinville desde 2006; sócio-diretor da 
empresa Teorema – Produção de Materiais Didá-
ticos Ltda. desde 2005; autor de material didáti-
co para o Sistema de Ensino do Grupo Positivo, 
de 2005 a 2009; professor do CEC – Concursos e 
Editora de Curitiba, desde 1992, lecionando as 
disciplinas de Raciocínio Lógico, Estatística, Ma-
temática e Matemática Financeira; consultor da 
empresa Result – Consultoria em Avaliação de 
Curitiba, de 1998 a 2000; consultor em Estatís-
tica Aplicada com projetos de pesquisa desen-
volvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, 
educacional, industrial e eleições desde 1999; 
membro do Instituto de Promoção de Capacita-
ção e Desenvolvimento (IPROCADE) desde 2008; 
autor de questões para concursos públicos no 
estado do Paraná desde 2003.
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Questões de Matemática – aula 1 
7
Questões de Matemática – aula 2 
43
Questões de Matemática – aula 3 
75
Questões de Matemática – aula 4 
115
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Questões de Matemática – aula 1 
Tópicos abordados:
Conjuntos �
Números e operações �
Equações do 1.º e 2.º graus �
1. (FCC) – Comparados os totais de documentos protocolados no mês de 
janeiro por dois funcionários do Tribunal de Contas, constatou-se que: 
Samuel havia protocolado 498 documentos, 123 a mais que o triplo da 
quantidade de documentos protocolados por Cirino. Sabedor disso e 
pretendendo calcular a quantidade de documentos protocolados por 
Cirino nesse mês, outro funcionário efetuou 498 +123 e, em seguida, 
dividiu o resultado obtido por 3, concluindo, então, que Cirino havia 
protocolado 207 processos. Com referência aos cálculos efetuados por 
tal funcionário, é verdade que:
a) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 498 - 
123 e, em seguida, calculado o valor de 375 / 3, obtendo assim, o 
resultado pretendido.
b) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 123 . 3 e, 
em seguida, calculado o valor de 498 – 369, obtendo assim, o resul-
tado pretendido.
c) estão incompletos. Ele ainda deveria ter efetuado 207 . 3 para, en-
tão, obter o resultado pretendido.
d) não estão corretos. Primeiramente, ele deveria ter efetuado 498 / 3 
e, em seguida, calculado o valor de 166 –123 a fim de obter o resul-
tado pretendido.
e) estão corretos.
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8
Questões de Matemática – aula 1
Solução:
As quantidades de documentos protocolados são dadas por:
Cirino: C documentos �
Samuel: 3C � + 123 documentos (123 a mais que o triplo)
Se Samuel protocolou 498 documentos, então:
 3C + 123 = 498
 3C = 498 – 123
Logo, para obter a quantidade de documentos protocolados por Cirino, 
o correto seria efetuar 498 – 123 e, em seguida, dividir o resultado obtido 
por 3.
Resposta: A
2. (Esaf ) – Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma 
num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía 
e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$2,00 de estacionamento. Se 
no final ainda tinha R$8,00, que quantia Pedro tinha ao sair de casa?
a) R$220,00
b) R$204,00
c) R$196,00
d) R$188,00
e) R$180,00
Solução:
O problema pode ser resolvido de dois modos principais: modo algébri-
co e modo aritmético. Supondo que Pedro possuísse x reais ao sair de casa, 
temos:
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Questões de Matemática – aula 1
9
1.º modo: Algébrico
Entra Gasta Estacionamento Sobra
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
Sobra da 1.ª loja: 
Entra Gasta Estacionamento Sobra
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
2.ª loja
x - 4
2
x - 4
4
2
x - 12
4
Sobra da 2.ª loja: 
Entra Gasta Estacionamento Sobra
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
2.ª loja
x - 4
2
x - 4
4
2
x - 12
4
3.ª loja
x - 12
4
x - 12
8
2
x - 28
8
Sobra da 3.ª loja: 
Entra Gasta Estacionamento Sobra
1.ª loja x
x
2
2
x - 4
2
2.ª loja
x - 4
2
x - 4
4
2
x - 12
4
3.ª loja
x - 12
4
x - 12
8
2
x - 28
8
4.ª loja
x - 28
8
x - 28
16
2
x - 60
16
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Questões de Matemática – aula 1
Sobra da 4.ª loja: 
Se ao final ele possuía R$8,00, então:
 
x - 60
16
 = 8
 x – 60 = 16 . 8
 x – 60 = 128
 x = 128 + 60
 x = 188
 2.º modo: Aritmético
 Final: R$8,00
 Estacionamento: 8 + 2 = 10
 4.ª loja: 10 . 2 = 20
 Estacionamento: 20 + 2 = 223.ª loja: 22 . 2 = 44
 Estacionamento: 44 + 2 = 46
 2.ª loja: 46 . 2 = 92
 Estacionamento: 92 + 2 = 94
 1.ª loja: 94 . 2 = 188
Resposta: D
3. (Esaf ) – Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de 
aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governa-
mentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como 
A, B e C) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entre-
vistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas 
uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entre-
vistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda 
do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 
30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total 
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Questões de Matemática – aula 1
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dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. 
Assim, a porcentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis 
a mais de uma das três propostas foi igual a:
a) 17%
b) 5%
c) 10%
d) 12%
e) 22%
Solução:
Organizando as informações em diagramas, temos:
A B
C
a b
c
zy
x
5%
20%
30%
50%
Contra as três
22%
Se 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas, então:
a + b + c + x + y + z + 5% = 78%
a + b + c + x + y + z = 78% – 5%
a + b + c + x + y + z = 73%
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Questões de Matemática – aula 1
Utilizando os percentuais totais dos 3 conjuntos, temos:
a + x + y + 5% = 50%
b + x + z + 5% = 30%
c + y + z + 5% = 20%
Somando as três equações, temos:
(a + b + c + x + y + z) + (x + y + z) + (5% + 5% + 5%) = 100%
(73%) + (x + y + z) + (15%) = 100%
x + y + z = 100% – 73% – 15%
x + y + z = 12%
A porcentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a 
mais de uma das três propostas é dada por:
x + y + z + 5% = (x + y + z) + 5% = (12%) + 5% = 17%
Resposta: A
4. (Esaf ) – Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e 
gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem 
como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados, 90% agem 
como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de to-
dos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como ga-
tos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na 
clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães 
hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
b) 10
c) 20
d) 40
e) 70
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Questões de Matemática – aula 1
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Solução:
Sejam:
C � A quantidade de cães da clínica
G � A quantidade de gatos da clínica
A quantidade de animais que agem como cães é igual à quantidade de 
cães que agem como cães, adicionada da quantidade de gatos que agem 
como cães. Logo:
0,80 . (C + G) = 0,90 . C + 0,10 . G
0,80 . C + 0,80 . G = 0,90 . C + 0,10 . G
0,80 . G – 0,10 . G = 0,90 . C – 0,80 . C
0,70 . G = 0,10 . C
Multiplicando ambos os membros da equação por 10, temos:
7G = C 
Se 10 gatos estão hospedados na clínica veterinária, então:
7 . 10 = C
C = 70
Portanto, 70 cães estão hospedados na clínica.
Resposta: E
5. (FCC) – No esquema se tem representada a multiplicação de dois nú-
meros inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas le-
tras A, B, C e D.
A B 2 C
X 4
1 5 7 D 2
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Questões de Matemática – aula 1
Completado o diagrama corretamente, é verdade que:
a) C = D + 1
b) B = A2
c) A + B = C + D
d) A – C = 5
e) A = D0
Solução:
Pelo esquema, temos:
4 . C = ?2
Ou seja, o produto de 4 por C é um número cujo algarismo das unidades 
é igual a 2. 
Existem apenas duas possibilidades:
C = 3 4 . 3 = 12
C = 8 4 . 8 = 32
Tablet
Vamos analisar cada uma delas.
Se C = 3, temos:
A B 2 3
X 4
1 5 7 D 2
1
A B 2 3
X 4
1 5 7 9 2
1
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Questões de Matemática – aula 1
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Nesse caso, teríamos D = 9 e o produto de 4 pelo algarismo B deveria 
resultar em um número cujo algarismo das unidades é igual a 7. Isso é im-
possível, pois o produto de um número inteiro por 4 resulta sempre em um 
número par que não pode terminar com 7.
Logo, a hipótese de que C = 3 está descartada. Só resta a hipótese de que 
C = 8:
A B 2 8
X 4
1 5 7 D 2
3
A B 2 8
X 4
1 5 7 1 2
3
Nessa hipótese, teríamos D = 1. Além disso, (4 . B + 1) deve ser um número 
cujo algarismo das unidades terminaria em 7. Nesse caso, existem duas 
possibilidades:
B = 4 4 . 4 + 1 = 17
B = 9 4 . 9 + 1 = 37
Para B = 4, por exemplo, teríamos:
A 4 2 8
X 4
1 5 7 1 2
1
Nesse caso, (4 . A + 1) deveria resultar em 15, o que é impossível, 
observe:
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Questões de Matemática – aula 1
4 . A + 1 = 15
4 . A = 15 – 1
4 . A = 14
Não existe A inteiro tal que 4 . A = 14. 
Assim, a hipótese de que B = 4 está descartada.
Se B = 9, temos:
A 9 2 8
X 4
1 5 7 1 2
3
Nessa hipótese, teríamos:
4 . A + 3 = 15
4 . A = 15 – 3
4 . A = 12
A = 3
O esquema, então, teria a seguinte forma:
3 9 2 8
X 4
1 5 7 1 2
Portanto:
A = 3
B = 9
C = 8
D = 1
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Questões de Matemática – aula 1
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A única relação verdadeira entre as incógnitas é:
B = A2
9 = 32 Verdadeira
Resposta: B
6. (FCC) – Considere três números estritamente positivos e siga as instru-
ções abaixo.
I. Adicionar 3 unidades a cada um deles.
II. Adicionar os três resultados encontrados em I.
III. Multiplicar por 3 o resultado encontrado em II.
IV. Subtrair 6 do resultado encontrado em III.
V. Adicionar 15 ao resultado encontrado em IV.
VI. Dividir por 3 o resultado encontrado em V.
VII. Subtrair o resultado encontrado em II do resultado encontrado em VI.
O resultado encontrado em VII é:
a) a soma dos três números considerados.
b) o triplo da soma dos três números considerados.
c) 2
d) 3
e) 4
Solução:
Sejam a, b e c os números dados. Vamos seguir as instruções:
I. Adicionar 3 unidades a cada um deles:
(a + 3), (b + 3), (c + 3) 
II. Adicionar os três resultados encontrados em I:
(a + 3) + (b + 3) + (c + 3) = (a + b + c) + 9
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Questões de Matemática – aula 1
III. Multiplicar por 3 o resultado encontrado em II:
[(a + b + c) + 9] . 3 = (a + b + c) . 3 + 9 . 3 = (a + b + c) . 3 + 27
IV. Subtrair 6 do resultado encontrado em III:
[(a + b + c) . 3 + 27] – 6 = 
(a + b + c) . 3 + 21
V. Adicionar 15 ao resultado encontrado em IV:
[(a + b + c) . 3 + 21] + 15 = 
(a + b + c) . 3 + 36
VI. Dividir por 3 o resultado encontrado em V:
(a + b + c) . 3 + 36
3
(a + b + c) . 3
3
36
3
= + = (a + b + c) + 12
VII. Subtrair o resultado encontrado em II do resultado encontrado em VI:
[(a + b + c) + 12] – [(a + b + c) + 9] = a + b + c + 12 – a – b – c – 9 = 12 – 9 = 3
Logo, o resultado encontrado em VII é igual a 3.
Resposta: D
7. (Cesgranrio) – Considerando-se N um número inteiro e positivo, anali-
se as afirmações seguintes, qualquer que seja o valor de N:
 I. N2 + N + 1 é um número ímpar;
 II. N . (N + 1) . (N + 2) é um número múltiplo de 3;
 III. N2 tem uma quantidade par de divisores;
 IV. N + (N + 1) + (N + 2) é um número múltiplo de 6.
A quantidade de afirmações verdadeiras é
a) 1
b) 2
c) 3
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Questões de Matemática – aula 1
19
d) 4
e) 0
Solução:
I. Verdadeira
Fatorando, temos: 
N2 + N + 1 = N . (N + 1) + 1
Observe que N . (N + 1) é o produto de dois números inteiros consecuti-
vos. Logo,necessariamente um deles é par e o outro é ímpar. Como o produ-
to de um número par por um ímpar é sempre par, conclui–se que N . (N + 1) 
é par. Logo, N . (N + 1) + 1 é ímpar.
II. Verdadeira
O produto de três números inteiros consecutivos, N . (N + 1) . (N + 2), é um 
número múltiplo de 3, pois um dos números é necessariamente múltiplo de 
3.
III. Verdadeira
Para cada divisor positivo de N2, existe um divisor negativo. Logo, neces-
sariamente a quantidade de divisores de qualquer número inteiro é par.
IV. Falsa
Para N = 2, por exemplo, temos:
N + (N + 1) + (N + 2) = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) = 9
O número 9 não é um número múltiplo de 6.
Logo, exatamente três afirmações são verdadeiras.
Resposta: C
8. (Esaf ) – Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso 
de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 
200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos dese-
jar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de 
Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 
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Questões de Matemática – aula 1
5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número 
de alunos matriculados em mais de um curso é igual a
a) 30
b) 10
c) 15
d) 5
e) 20
Solução:
Se adicionarmos os percentuais de alunos matriculados em Alemão, Fran-
cês e Inglês, teremos:
 50% + 30% + 40% = 120%
Se o total de alunos é igual 100%, então, necessariamente, 20% dos 
alunos foram contabilizados mais de uma vez. Os alunos que se matricula-
ram em um único curso foram contabilizados uma única vez. Logo, foram 
contabilizados corretamente. Os alunos que se matricularam nos três cursos 
foram contabilizados 3 vezes. Como desejamos contabilizá-los apenas uma 
vez, é necessário subtrair o percentual igual a 5% duas vezes, para se encon-
trar o percentual de alunos que se matricularam em exatamente dois cursos. 
Assim, o percentual de alunos matriculados em exatamente dois cursos é 
dado por:
 20% – 2 . 5% = 20% – 10% = 10%
Logo, o percentual de alunos que se matricularam em mais de um curso 
é dado por:
 5% + 10% = 15%
Como existem 200 alunos, temos:
 0,15 . 200 = 30
Portanto, 30 alunos estão matriculados em mais de um curso.
Resposta: A
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Questões de Matemática – aula 1
21
9. (Cesgranrio) – Uma escola organiza, para ocupar os seus recreios, um 
torneio de futebol de botão, com 16 participantes, que seguirá a tabe-
la abaixo.
1.ª FASE
JOGO 1: A x B
JOGO 2: C x D
JOGO 3: E x F
JOGO 4: G x H
JOGO 5: I x J
JOGO 6: K x L
JOGO 7: M x N
JOGO 8: O x P
2.ªFASE
JOGO 9: vencedor do jogo 1 x vencedor do jogo 2
JOGO 10: vencedor do jogo 3 x vencedor do jogo 4
JOGO 11: vencedor do jogo 5 x vencedor do jogo 6
JOGO 12: vencedor do jogo 7 x vencedor do jogo 8
FASE SEMIFINAL
JOGO 13: vencedor do jogo 9 x vencedor do jogo 10
JOGO 14: vencedor do jogo 11 x vencedor do jogo 12
FINAL
JOGO 15: vencedor do jogo 13 x vencedor do jogo 14
Os jogos vão sendo disputados na ordem: primeiro, o jogo 1, a seguir, o 
jogo 2, depois, o jogo 3 e assim por diante. A cada recreio, é possível realizar, 
no máximo, 5 jogos. Cada participante joga uma única vez a cada recreio. 
Quantos recreios, no mínimo, são necessários para se chegar ao campeão 
do torneio?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução:
Vamos resolver o problema começando a análise pelos últimos jogos. A 
final deverá ser realizada em um único dia. Nenhum jogo poderá ser realiza-
do junto com o jogo final. Para a fase semifinal é necessário mais um dia. A 
2.ª fase será realizada em um único dia e mais nenhum jogo será realizado 
neste mesmo dia. Para a 1.ª fase serão necessários dois dias, pois, no máximo, 
5 jogos poderão ser realizados em um mesmo dia. Desta forma, serão 2 dias 
para a 1.ª fase, 1 dia para a 2.ª fase, 1 dia para a semifinal e 1 dia para a final, 
totalizando 2 + 1 + 1 + 1 = 5 dias.
Resposta: C
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Questões de Matemática – aula 1
10. (Funrio) – Em uma reunião de agentes da Polícia Rodoviária Federal, 
verificou-se que a presença por estado correspondia a 46% do Rio de 
Janeiro, 34% de Minas Gerais e 20% do Espírito Santo. Alguns agentes 
do Rio de Janeiro se ausentaram antes do final da reunião, alterando 
o percentual de agentes presentes do Rio de Janeiro para 40%. O per-
centual referente ao número de agentes que se retirou em relação ao 
total inicialmente presente na reunião é de
a) 6%
b) 8%
c) 12%
d) 10%
e) 15%
Solução:
A pergunta não esclarece se o percentual de agentes que se retiraram se 
refere ao total de agentes da reunião ou ao total de agentes do Rio de Janei-
ro. Como não esclarece, subentende-se que o percentual que se pretenda 
encontrar refira-se ao total de agentes presentes à reunião. 
Assim, podemos construir uma regra de três envolvendo a parte constan-
te (MG + ES):
 54% 60%
 x 100%
100 . 54 = 60x
60x = 5 400
x = 5 400/60
x = 90
Resolvendo, obtemos para x um valor igual a 90%. Portanto, conclui-se 
que 100% – 90% = 10% foi a redução em relação à quantidade de agentes 
presentes à reunião.
Resposta: D
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Questões de Matemática – aula 1
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11. (Esaf ) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual 
aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número 
do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número 
do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior 
número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer 
sequência das teclas A e B, é
a) 87
b) 95
c) 92
d) 85
e) 96
Solução:
Para resolver este problema, podemos elaborar algumas hipóteses quanto 
à sequência das teclas acionadas.
1.ª hipótese: Acionando apenas a tecla A um total de 5 vezes
Início: x = 5
 Tecla A: 2x + 1 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11
 Tecla A: 2x + 1 = 2 . 11 + 1 = 22 + 1 = 23
 Tecla A: 2x + 1 = 2 . 23 + 1 = 46 + 1 = 47
 Tecla A: 2x + 1 = 2 . 47 + 1 = 94 + 1 = 95
 Tecla A: 2x + 1 = 2 . 95 + 1 = 190 + 1 = 191
Nesta hipótese o maior número de dois algarismos seria igual a 95. 
2.ª hipótese: Acionando apenas a tecla B um total de 3 vezes
Início: x = 5
 Tecla B: 3x – 1 = 3 . 5 – 1 = 15 – 1 = 14
 Tecla B: 3x – 1 = 3 . 14 – 1 = 42 – 1 = 41
 Tecla B: 3x – 1 = 3 . 41 – 1 = 123 – 1 = 122
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Questões de Matemática – aula 1
Nesta hipótese o maior número de dois algarismos seria igual a 41. 
3.ª hipótese: Acionando a tecla A, a tecla B e a tecla B, nesta ordem
Início: x = 5
 Tecla A: 2x + 1 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11
 Tecla B: 3x – 1 = 3 . 11 – 1 = 33 – 1 = 32
 Tecla B: 3x – 1 = 3 . 32 – 1 = 96 – 1 = 95
Nesta hipótese o maior número de dois algarismos também seria igual a 
95. 
Mesmo com outras hipóteses, não é possível atingir o número 96. 
Resposta: B
12. (Funrio) – Uma pesquisa realizada com 1 000 universitários revelou 
que 280, 400 e 600 desses universitários são alunos de cursos das áre-
as de tecnologia, saúde e humanidades, respectivamente. Ela mostrou 
também que nenhum dos entrevistados é discente de cursos das três 
áreas e que vários deles fazem cursos em duas áreas. Sabendo que a 
quantidade de estudantes que fazem cursos das áreas de humanida-
des e saúde é igual ao dobro da quantidade dos que realizam cursos 
das áreas de humanidades e tecnologia que, por sua vez, é igual ao 
dobro dos que fazem cursos das áreas de tecnologia e saúde, a quanti-
dade de entrevistados que fazem apenas cursos da área de tecnologia 
é igual a
a) 160
b) 280
c) 200
d) 240
e) 120
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Solução:
Sendo, T o conjunto dos universitários da área de tecnologia, S o conjunto 
dos universitários da área de saúde, H o conjunto dos universitários da área 
de humanidades, de acordo com o enunciado, podemos escrever:
n(T) = 280, n(S) = 400, n(H) = 600 e, ainda:
n(T e S e H) = 0
n(T e H) = 2 . n(T e S)
n(S e H) = 2 . n(T e H) = 2 . [ 2 . n(T e S)] = 4 . n(T e S)
Se a quantidade total de universitários é igual a 1 000, temos:
n(T) + n(S) + n(H) – n(T e S) – n(T e H) – n(S e H) + n(T e S e H) = 1 000
 280 + 400 + 600 – n(T e S) – 2.n(T e S) – 4.n(T e S) + 0 = 1 000
 1 280 – 7.n(T e S) = 1 000
 1 280 – 1 000 = 7.n(T e S)
 280 = 7.n(T e S)
 n(T e S) = 40
Logo:
 n(T e H) = 2 . n(T e S) = 2 . 40 = 80
Assim, a quantidade de universitários que fazem apenas cursos da área 
de Tecnologia é dado por:
 n(T) – n(T e S) – n(T e H) = 280 – 40 – 80 = 160
Resposta: A
13. (Cesgranrio) – Existe uma regra prática de divisibilidade por 7 com o 
seguinte procedimento:
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Questões de Matemática – aula 1
Separa-se o último algarismo da direita. Multiplica-se esse algarismo por 
2 e tal resultado é subtraído do número que restou sem o algarismo à direita. 
Procede-se assim, sucessivamente, até se ficar com um número múltiplo de 
7, mesmo que seja zero.
Veja os exemplos a seguir:
1.º) 23 457 é múltiplo de 7
–
2 3 4 5 7
 1 4 (7 . 2 = 14)
–
2 3 3 1 
 2 (1 . 2 = 2)
–
2 3 1 
 2 (1 . 2 = 2)
2 1 (que é múltiplo de 7)
2.º) 2 596 não é múltiplo de 7
–
2 5 9 6 
 1 2 (6 . 2 = 12)
–
2 4 7 
1 4 (7 . 2 = 14)
1 0 (que não é múltiplo de 7)
Seja a um algarismo no número a13 477 307. O valor de a para que este 
número seja divisível por 7 é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
Solução:
Número: a13 477 307
Passo 1: a1 347 730 – 7 . 2 = a1 347 730 – 14 = a1 347 716
Passo 2: a 134 771 – 6 . 2 = a 134 771 – 12 = a 134 759
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Questões de Matemática – aula 1
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Passo 3: a13 475 – 9 . 2 = a13 475 – 18 = a13 457
Passo 4: a1 345 – 7 . 2 = a1 345 – 14 = a1 331
Passo 5: a 133 – 1 . 2 = a 133 – 2 = a 131
Passo 6: a13 – 1 . 2 = a13 – 2 = a11
Passo 7: a1 – 1 . 2 = a1 – 2 = (10a + 1) – 2 = 10a – 1
Quando um número de dois algarismos é igual a 31, por exemplo, significa que 
tal número tem 3 dezenas e 1 unidade, ou seja, 31 = 10 . 3 + 1.
Em relação ao número 71, por exemplo, temos 71 = 10 . 7 + 1.
Como poderíamos desmembrar o número de dois algarismos da forma “a1”?
O número “a1” possui “a” dezenas e 1 unidade, logo, a1 = 10 . a + 1.
Substituindo valores de a que estão presentes nas alternativas, temos:
a = 1 10a – 1 = 10 . 1 – 1 = 9 não é múltiplo de 7
a = 3 10a – 1 = 10 . 3 – 1 = 29 não é múltiplo de 7
a = 5 10a – 1 = 10 . 5 – 1 = 49 múltiplo de 7
a = 7 10a – 1 = 10 . 7 – 1 = 69 não é múltiplo de 7
a = 9 10a – 1 = 10 . 9 – 1 = 89 não é múltiplo de 7
Logo, para a = 5 o número é divisível por 7.
Resposta: C
14. (F.C.Chagas) – O número 1001011, do sistema binário de numeração, 
no sistema decimal de numeração equivale a um número x tal que
a) 0 < x < 26
b) 25 < x < 51
c) 50 < x < 75
d) 74 < x < 100
e) x > 99 
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Questões de Matemática – aula 1
Solução:
Um número no sistema binário é escrito como a soma dos produtos de 
potências de 2 (com expoentes consecutivos) cujos coeficientes podem ser 
apenas os algarismos 0 ou 1. Desta forma, temos:
(1001011)
2
 = 1 . 26 + 0 . 25 + 0 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 
(1001011)
2
 = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
 (1001011)
2
 = (75)
10
O número 2 escrito junto ao número 1001011 representa a base do siste-
ma de numeração, ou seja, é o sistema binário. Analogamente, o número 75, 
escrito no sistema decimal apresenta base 10. Assim, o número 1001011 no 
sistema binário corresponde ao número 75 no sistema decimal. O número 75 
está compreendido entre 74 e 100.
Resposta: D
15. (Funrio) – Do seu copo de suco, Isabela bebeu inicialmente 100ml. De-
pois, bebeu 1/4 do que restava e, depois de algum tempo, ela bebeu 
o restante que representava 1/3 do volume inicial. O copo continha 
inicialmente uma quantidade de suco, em ml, igual a
a) 180
b) 160
c) 200
d) 220
e) 210
Solução:
Se Isabela bebeu, ao final, 1/3 do volume inicial, então ela havia bebido 
2/3 do volume no início. Se V é o volume inicial, temos:
1
4
2
3
100 + . (V - 100) = . V
 
Multiplicando por 12 membro a membro, temos:
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Questões de Matemática – aula 1
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 1 200 + 3 . (V – 100) = 8 . V
 1 200 + 3 . V – 300 = 8 . V
 900 = 8V – 3V
 900 = 5V
 V = 180
Logo, o copo continha inicialmente 180ml de suco.
Resposta: A
16. (F.C.Chagas) – Considere um número natural qualquer X e siga as se-
guintes instruções:
I. Multiplique esse número por 3.
II. Adicione 9 ao resultado obtido em I.
III. Subtraia 6 do resultado obtido em II.
IV. Divida por 3 o resultado obtido em III.
V. Subtraia o número X do resultado obtido em IV.
O resultado obtido em V é igual a:
a) X
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
Solução:
Início: X
Instrução I: 3 . X
Instrução II: 3 . X + 9
Instrução III: (3 . X + 9) – 6 = 3X + 3 = 3 . (X + 1)
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Questões de Matemática – aula 1
Instrução IV: 3 . (X + 1) / 3 = X + 1
Instrução V: (X + 1) – X = 1
Logo, o resultado obtido em V é igual a 1.
Resposta: E
17. (CESPE – UnB) – O Tribunal de Contas da União (TCU) conta com um 
organograma com a seguinte estrutura. Unidades básicas: Secretaria-
-Geral de Controle Externo (SEGECEX), Secretaria-Geral das Sessões 
(SGS), Secretaria-Geral de Administração (SEGEDAM). Unidades de 
apoio estratégico: Secretaria de Planejamento e Gestão (SEPLAN), Se-
cretaria de Tecnologia da Informação (SETEC) e Instituto Serzedello 
Corrêa (ISC).
A SEGECEX tem por finalidade gerenciar a área técnico-executiva de con-
trole externo visando prestar apoio e assessoramento às deliberações do 
Tribunal.
Integram a estrutura da SEGECEX: Secretaria Adjunta de Fiscalização de 
Pessoal (SEFIP), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da União 
(SECOB), Secretaria de Fiscalização de Desestatização (SEFID), Secretaria de 
Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (SEPROG), Secretaria de 
Macroavaliação Governamental (SEMAG), Secretaria de Recursos (SERUR) e 
trinta e duas Secretarias de Controle Externo (SECEX), sendo seis localizadas 
em Brasília, sede do TCU, e vinte e seis nas capitais dos estados da Federação. 
A SGS tem por finalidade prestar apoio e assistência ao funcionamento do 
Plenário e das Câmaras e gerenciar as bases de informação sobre normas, 
jurisprudência e deliberações do Tribunal. A SEGEDAM tem por finalidade 
planejar, organizar, dirigir, controlar, coordenar, executar e supervisionar as 
atividades administrativas necessárias ao funcionamento do Tribunal, con-
tando, para tanto, com a Secretaria de Recursos Humanos (SEREC), a Secreta-
ria de Orçamento, Finanças e Contabilidade (SECOF), a Secretaria de Material, 
Patrimônio e Comunicação Administrativa (SEMAT) e a Secretaria de Enge-
nharia e Serviços Gerais (SESEG).
Disponível em: <www.tcu.gov.br>. Adaptado.
Considere que A seja o conjunto dos órgãos que integram a SEGECEX e B, 
o conjunto dos órgãos que integram a SEGEDAM. Com base nas informações 
do texto acima, julgue os itens a seguir.
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Questões de Matemática – aula 1
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1. ( ) A B ≠ Ø
2. ( ) O número de secretarias de A B é menor que o somatório 
do número de secretarias de A e B.
3. ( ) A SERUR é um subconjuntoda SEGECEX.
4. ( ) A SESEG é um elemento do conjunto B.
Solução:
A partir das informações, podemos constituir os seguintes conjuntos:
A = {SEFIP, SECOB, SEFID, SEPROG, SEMAG, SERUR, SECEX}
B = {SEREC, SECOF, SEMAT, SESEG}
1. Errado
Não há secretaria comum entre os conjuntos A e B, ou seja, A B = Ø.
2. Errado
Como não há secretaria comum entre os conjuntos A e B, temos:
 n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
 n(A B) = n(A) + n(B) – n(Ø)
 n(A B) = n(A) + n(B) – 0
 n(A B) = n(A) + n(B)
Logo, o número de secretarias de A B é igual à soma do número de 
secretarias de A e B.
3. Errado
A SERUR é um elemento do conjunto A (SEGECEX).
4. Correto
A SESEG é um elemento do conjunto B.
Resposta: 1. E; 2. E; 3. E; 4. C
18. (F.C.Chagas) – Um seminário foi constituído de um ciclo de três con-
ferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total 
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Questões de Matemática – aula 1
de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite. 
Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para 
o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 comparece-
ram também à tarde, mas não à noite. Sabe-se também que 8 pessoas 
compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que 
o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscri-
tos. Nessas condições, é verdade que:
a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências.
b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências.
c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.
d) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.
e) o número de inscritos no seminário foi menor que 420.
Solução:
As informações podem ser organizadas de acordo com os seguintes 
diagramas:
M T
N
54 t
n
8m
22
16
180
Ausentes
x
144 168
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Para encontrar os valores de m, t e n, podemos escrever:
54 + 22 + 16 + m = 144 m = 144 – 92 m = 52
22 + 16 + 8 + t = 168 t = 168 – 46 t = 122
16 + 8 + m + n = 180 16 + 8 + 52 + n = 180 n = 180 – 76 = 104 
A quantidade de inscritos é dada por:
54 + 22 + 16 + 52 + 122 + 8 + 104 + x = 378 + x
Se a quantidade de ausentes é um oitavo da quantidade total de inscritos, 
esta é dada por:
(378 + x) / 8 = x
378 + x = 8x
378 = 8x – x
378 = 7x
x = 54
Logo, 
54 foram os ausentes;
378 + 54 = 432 foram os inscritos;
378 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências;
54 + t + n = 280 pessoas compareceram a somente uma das 
conferências;
22 + 16 + 8 + m = 98 pessoas compareceram a pelo menos duas 
conferências;
O número de inscritos no seminário foi maior que 420 (432).
Resposta: D
19. (Cesgranrio) – Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto, 
uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14, que têm to-
das o mesmo peso.
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Questões de Matemática – aula 1
D
ig
ita
l J
ui
ce
.
Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura acima, 
o número mínimo de pesagens, com que é possível identificar a bola que 
destoa quanto ao peso é
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
Solução:
Uma estratégia para descobrir a mais pesada seria separar as 15 bolas em 
três grupos de cinco bolas. Tomar dois desses grupos e colocar um em cada 
prato. Se houver equilíbrio, certamente a bola pesada estará no grupo que não 
foi colocado em algum prato. Se houver desequilíbrio, será possível identifi-
car qual o grupo mais pesado e, portanto, a qual grupo pertence a bola mais 
pesada. Seja qual for a situação, será possível restringir a bola mais pesada a 
um grupo de apenas 5 bolas. Este grupo de 5 bolas a qual pertence a bola mais 
pesada será dividido em três novos grupos: um com uma única bola e os outros 
dois cada um com duas bolas. Colocaremos em cada prato, simultaneamente, 
um grupo com 2 bolas. Se houver equilíbrio na pesagem, certamente a bola 
mais pesada será a que não foi colocada em qualquer prato. Se não houver 
equilíbrio, será possível identificar a qual grupo de duas bolas pertencerá a 
bola mais pesada. Em seguida, poderíamos realizar uma última pesagem com 
as duas bolas do grupo mais pesado. Colocaríamos uma em cada prato para 
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Questões de Matemática – aula 1
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definitivamente identificar a mais pesada. Portanto, 3 pesagens seriam sufi-
cientes para se identificar a bola que destoa quanto ao peso.
Resposta: C
20. (Cesgranrio) – Certo técnico de suporte em informática começou a re-
solver um problema em um computador às 14h40min. Se ele levou 75 
minutos para solucionar o problema, a que horas ele terminou esse 
serviço?
a) 16h05min
b) 15h55min
c) 15h45min
d) 15h35min
e) 15h25min
Solução:
O tempo de 75 minutos que o técnico levou para solucionar o problema 
corresponde a 1 hora e 15 minutos. Se ele iniciou às 14h40min, conclui às:
 (14 + 1)h (40 + 15)min = 15h55min
Resposta: B
21. (F.C.Chagas) – Certo dia, X funcionários e o presidente da empresa em 
que trabalham estavam sentados em torno de uma mesa circular. Num 
dado momento, o presidente começou a passar aos funcionários um 
pacote com 29 balas e, sucessivamente, cada um retirou uma única 
bala a cada passagem do pacote. Considerando que 1 < X < 15 e que 
o presidente retirou a primeira e a última bala do pacote, o número de 
funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser
a) 14
b) 12
c) 9
d) 6
e) 4
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Questões de Matemática – aula 1
Solução:
Se havia X funcionários mais o presidente, então existiam (X + 1) pessoas 
na mesa circular. Considerando que cada funcionário pegou k balas, k natu-
ral e maior que 1, que o pacote continha 29 balas e que o presidente pegou 
uma bala a mais do que qualquer funcionário, podemos escrever:
 k . X + (k + 1) = 29
 k . X + k = 29 – 1 
 k . (X + 1) = 28 
Como (X + 1) e k são números inteiros positivos, necessariamente, ambos 
são divisores de 28. Logo (X + 1) é um elemento do conjunto {1, 2, 4, 7, 14, 28} 
e, portanto, X é um elemento do conjunto {1, 3, 6, 13, 27}. Portanto, o número 
de funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser igual a 6.
Resposta: D
22. (F.C.Chagas) – A tabela abaixo permite exprimir os valores de certas 
grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza to-
mado como referência. Os múltiplos e submúltiplos decimais das unida-
des derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) 
podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e 
têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados
NOME SÍMBOLO FATOR PELO QUAL A UNI-DADE É MULTIPLICADA
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 103 = 1 000
hecto h 102 = 100
deca da 10 = 10
deci d 10-1 = 0,1
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro µ 10-6 = 0,000 001
nano n 10-9 = 0,000 000 001
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001
(Quadro Geral de unidades de Medida, 2.ª ed. INMETRO. Brasília, 2000)
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Questões de Matemática – aula 1
37
Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o grama (g), tería-
mos 35mg = 35 . 10–3g = 0,035g. Considerando o byte (b) como unidade de 
referência, a expressão (0,005Gb) . (0,12µb)
0,25Mb
 é equivalente a:
a) 2,4µb
b) 2,4cb
c) 0,24mb
d) 0,24nb
e) 0,024dab
Solução:
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
(0,005 . 109b) . (0,12 . 10-6b)
0,25 . 106b
=
(5 . 10-3 . 109) . (12 . 10-2 . 10-6)
25 . 10-2 . 106
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
= b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
10-3 . 109 . 10-2 . 10-6
10-2. 106
5 . 12
25( (
( (
= . b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
10-3+9-2-6
10-2+6(
(
= (2,4) . b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
10-2
104(
(
= (2,4) . b
(0,005 Gb) . (0,12 µb)
0,25 Mb
= (2,4) . (10-2-4)b = (2,4) . (10-6)b = 2,4µb
Resposta: A
23. (Esaf ) – Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite 
pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem so-
mente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo 
p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos 
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38
Questões de Matemática – aula 1
de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos meno-
res do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:
a) 25
b) 87
c) 112
d) 121
e) 169
Solução:
Os números inteiros positivos que possuem exatamente três divisores 
positivos tem a forma p2, em que p é um número primo, pois os divisores 
positivos são p0, p1 e p2.
Logo, temos as seguintes possibilidades:
p = 2 p2 = 22 = 4 < 100
p = 3 p2 = 32 = 9 < 100
p = 5 p2 = 52 = 25 < 100
p = 7 p2 = 72 = 49 < 100
Assim, a soma é dada por:
 4 + 9 + 25 + 49 = 87
Resposta: B
24. (F.C.Chagas) – Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de 
uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcio-
nário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a 
seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição 
de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com 
seus algarismos substituídos por letras.”
+ MARRA
 TORTA
MARRA
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, 
então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total 
de livros do acervo dessa biblioteca é um número
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Questões de Matemática – aula 1
39
a) menor que 70 000.
b) compreendido entre 70 000 e 75 000.
c) compreendido entre 75 000 e 80 000.
d) compreendido entre 80 000 e 85 000.
e) maior que 85 000.
Solução:
Na soma das unidades, o valor A adicionado ao valor A deve resultar em 
um número cujo algarismo das unidades também é igual a A. Logo, A = 0, 
pois esta é a única possibilidade de a soma de dois algarismos resultar em 
um número cujo algarismo das unidades é o próprio número (0 + 0 = 0). 
Temos ainda que R > 5, pois do contrário, ocorreria de a soma “R + R” ter o 
algarismo das unidades igual a T (ordem das dezenas) e, ainda, também ter 
algarismo das unidades igual a R (ordem das centenas). Observe ainda que 
M < 5, pois, do contrário, M + M seria um número de dois algarismos. Desta 
forma, temos as seguintes possibilidades:
1.ª hipótese: R = 6
Neste caso, T = 2 e R = 3, o que seria contraditório, pois existiriam dois 
valores distintos de R.
2.ª hipótese: R = 7
Nesta, T = 4 e R = 5, o que também seria contraditório, pois existiriam dois 
valores distintos de R.
3.ª hipótese: R = 8
Nesta, T = 6 e R = 7, o que também seria contraditório, pois existiriam dois 
valores distintos de R.
4.ª hipótese: R = 9
Nesta, T = 8, O = 1 e M = 4.
Esta é a única hipótese viável.
Logo, o número resultante para as letras MARRA é igual a 40990 e a soma 
resultante, TORTA, perfaz o total de 81 980, número este compreendido entre 
80 000 e 85 000.
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40
Questões de Matemática – aula 1
Resposta: D
25. (Esaf ) – Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam 
canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estu-
dam canto é
a) exatamente 16.
b) no mínimo 6.
c) exatamente 10.
d) no máximo 6.
e) exatamente 6.
Solução:
Vamos organizar as informações em dois conjuntos (olhos azuis e canto), 
supondo que possam existir alunos que não tenham olhos azuis nem estu-
dem canto:
y 20 - y16 - y
Nenhum
x
16 20
Olhos Azuis Canto
Se existem 30 crianças, podemos escrever:
 (16 – y) + y + (20 – y) + x = 30
 36 – y + x = 30
 y = x + 6
Como qualquer quantidade de pessoas não pode ser negativa, temos x ≥ 
0 e, portanto, y ≥ 6, observe:
 y = x + 6
 y – 6 = x
 x ≥ 0 y – 6 ≥ 0 y ≥ 6
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Questões de Matemática – aula 1
41
Ou seja, no mínimo 6 alunos têm olhos azuis e estudam canto.
Resposta: B
26. (Esaf ) – Se A = {x IR/ –1 < x < 1}, B = {x IR/ 0 ≤ x < 2} e 
C = {x IR/ –1 ≤ x < 3}, então o conjunto (A B) – (B C) é dado por:
a) { x IR/ –1 ≤ x < 0}
b) { x IR/ 0 ≤ x < 1}
c) Ø
d) { x IR/ 0 ≤ x < 3}
e) { x IR/ 2 < x < 3}
Solução:
A intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto, representado por 
A B, formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a 
B. Desta forma, temos: 
A B = {x IR/ –1 < x < 1} {x IR/ 0 ≤ x < 2}
A B = {x IR/ 0 ≤ x < 1}
Observe que os elementos comuns a A e a B pertencem ao intervalo 
0 ≤ x < 1.
B C = {x IR/ 0 ≤ x < 2} {x IR/ –1 < x < 3}
B C = {x IR/ 0 ≤ x < 2} = B, pois B C.
Da mesma forma, os elementos comuns a B e a C pertencem ao intervalo 
0 ≤ x < 2.
A diferença entre os conjuntos (A B) e (B C), nesta ordem, é o con-
junto, representado por (A B) – (B C), formado pelos elementos que 
pertencem (A B), mas não pertencem a (B C), logo, temos: 
(A B) – (B C) = {x IR/ 0 ≤ x < 1} – {x IR/ 0 ≤ x < 2}
(A B) – (B C) = Ø, pois todo elemento de (A B) também é de 
(B C).
Resposta: C
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Questões de Matemática – aula 2
Tópicos abordados:
Funções �
Porcentagem �
Números proporcionais �
1. (FCC) – Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25 
centavos e não devolve troco. 
Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos 
modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo?
a) 13
b) 12
c) 11
d) 10
e) 9
Solução:
Sejam:
x quantidade de moedas de 5 centavos
y quantidade de moedas de 10 centavos
z quantidade de moedas de 25 centavos
Se o cafezinho custa 50 centavos, então o pagamento deve satisfazer:
5 . x + 10 . y + 25 . z = 50
Dividindo todos os termos por 5, temos:
x + 2y + 5z = 10
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44
Questões de Matemática – aula 2
Observe que não pode ocorrer z > 2, pois, nesse caso, o valor pago ultra-
passaria o preço do cafezinho (5z > 10).
Se z = 2, temos:
x + 2y + 5z = 10
x + 2y + 5 . 2 = 10
x + 2y + 10 = 10
x + 2y = 10 – 10
x + 2y = 0
A única possibilidade de solução seria x = y = 0.
Se z = 1, temos:
x + 2y + 5z = 10
x + 2y + 5 . 1 = 10
x + 2y + 5 = 10
x + 2y = 10 – 5
x + 2y = 5
x = 5 – 2y
As possibilidades são:
y = 0 x = 5 – 2 . 0 = 5 – 0 = 5
y = 1 x = 5 – 2 . 1 = 5 – 2 = 3
y = 2 x = 5 – 2 . 2 = 5 – 4 = 1
Se z = 0, temos:
x + 2y + 5z = 10
x + 2y + 5 . 0 = 10
x + 2y + 0 = 10
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Questões de Matemática – aula 2
45
x + 2y = 10
x = 10 – 2y
As possibilidades são:
y = 0 x = 10 – 2 . 0 = 10 – 0 = 10
y = 1 x = 10 – 2 . 1 = 10 – 2 = 8
y = 2 x = 10 – 2 . 2 = 10 – 4 = 6
y = 3 x = 10 – 2 . 3 = 10 – 6 = 4
y = 4 x = 10 – 2 . 4 = 10 – 8 = 2
y = 5 x = 10 – 2 . 5 = 10 – 10 = 0
Organizando as possibilidades de pagamento em uma tabela, temos:
Moedas de 
R$ 0,05 (x)
Moedas de 
R$ 0,10 (y)
Moedas de 
R$ 0,25 (z)
Quantia paga 
 (centavos)
0 0 2 0 . 5 + 0 . 10 + 2 . 25 = 50
5 0 1 5 . 5 + 0 . 10 + 1 . 25 = 50
3 1 1 3 . 5 + 1 . 10 + 1 . 25 = 50
1 2 1 1 . 5 + 2 . 10 + 1 . 25 = 50
10 0 0 10 . 5 + 0 . 10 + 0 . 25 = 50
8 1 0 8 . 5 + 1 . 10 + 0 . 25 = 50
6 2 0 6 . 5 + 2 . 10 + 0 . 25= 50
4 3 0 4 . 5 + 3 . 10 + 0 . 25 = 50
2 4 0 2 . 5 + 4 . 10 + 0 . 25 = 50
0 5 0 0 . 5 + 5 . 10 + 0 . 25 = 50
Portanto, existem 10 modos possíveis de o pagamento ser realizado.
Resposta : D
2. (Cesgranrio) – Em uma empresa, a razão do número de empregados 
homens para o de mulheres é 3/7. 
 Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é:
a) 30%
b) 43%
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Questões de Matemática – aula 2
c) 50%
d) 70%
e) 75%
Solução:
Sejam:
H percentual de homens da empresa
M percentual de mulheres da empresa
Então:
H
3
M
7
=
Utilizando uma propriedade das proporções, temos:
H
3
M
7
= =
H+M
3+7
=
100%
10
= 10%
Assim, podemos escrever:
H
3
= 10% H = 3 . 10% = 30%
M
7
= 10% M = 7 . 10% = 70%
Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é igual 
a 30%.
Resposta: A
3. (FCC) – Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade 
operacional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se fun-
cionarem ininterruptamente 10 horas por dia. 
Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados 
por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de fun-
cionamento ininterrupto, é:
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Questões de Matemática – aula 2
47
a) 100
b) 200
c) 400
d) 600
e) 800
Solução:
As informações podem ser organizadas segundo quatro grandezas:
aparelhos máquinas dias horas por dia
100 10 10 10
x 20 20 20
A grandeza que possui a incógnita é “aparelhos”. Vamos comparar cada 
uma das outras três grandezas com “aparelhos”, duas as duas, a fim de verifi-
car se são diretamente ou inversamente proporcionais:
Comparando a grandeza “máquinas” com “aparelhos”:
aparelhos máquinas dias horas por dia
100 10 10 10
x 20 20 20
Quanto maior for o número de máquinas, maior também será o número 
de aparelhos fabricados. Logo, as grandezas “máquinas” e “aparelhos” são 
diretamente proporcionais. Vamos representar tal fato por duas setas no 
mesmo sentido. O sentido pode ser para cima ou para baixo, não importa. 
Caso as grandezas fossem inversamente proporcionais, representaríamos 
por duas setas em sentidos contrários.
Comparando a grandeza “dias” com “aparelhos”:
aparelhos máquinas dias horas por dia
100 10 10 10
x 20 20 20
Quanto maior for o número de dias de produção, maior também será o 
número de aparelhos produzidos. Assim, as grandezas “aparelhos” e “dias” são di-
retamente proporcionais. As setas no mesmo sentido indicam a relação direta.
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48
Questões de Matemática – aula 2
Comparando a grandeza “horas por dia” com “aparelhos”:
aparelhos máquinas dias horas por dia
100 10 10 10
x 20 20 20
Quanto maior for o número de horas por dia de produção, maior 
também será o número de aparelhos produzidos. Logo, as grandezas 
“aparelhos” e “horas por dia” também são diretamente proporcionais.
Se uma grandeza é diretamente proporcional a duas ou mais gran-
dezas, também será diretamente proporcional ao produto delas, então 
a razão entre as quantidades de aparelhos produzidos na 1.ª e na 2.ª 
situação é igual ao produto das outras razões:
100
x
= . .
10
20
10
20
10
20
Caso uma das grandezas fosse inversamente proporcional à grande-
za “aparelhos” a razão seria invertida.
Resolvendo, temos:
100
x
= . .
1
2
1
2
1
2
100
x
= 
1
8
1 . x = 8 . 100
x = 800
Portanto, 800 aparelhos poderiam ser montados por 20 daquelas 
máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento 
ininterrupto. 
Resposta: E
4. (FCC) – Certo dia, Celeste e Haroldo, agentes de fiscalização finan-
ceira, foram incumbidos de analisar 51 solicitações de usuários 
de uma unidade do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo. 
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Questões de Matemática – aula 2
49
Decidiram, então, dividir o total de solicitações entre si, em partes que 
eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus respec-
tivos tempos de serviço no Tribunal e inversamente proporcionais às 
suas respectivas idades. Sabe-se também que, na ocasião, Celeste tra-
balhava no Tribunal há 15 anos e tinha 36 anos de idade, enquanto 
que Haroldo lá trabalhava há 10 anos. 
Assim, se coube a Celeste analisar 34 solicitações, a idade de Haroldo:
a) era superior a 50 anos.
b) estava compreendida entre 45 e 50 anos.
c) estava compreendida entre 40 e 45 anos.
d) estava compreendida entre 35 e 40 anos.
e) era inferior a 40 anos.
Solução:
Se haviam 51 solicitações e Celeste foi responsável pela análise de 34, 
então Haroldo ficou responsável por 17:
C + H = 51
34 + H = 51
H = 51 – 34
H = 17
Organizando as informações, temos:
Análises Idade Tempo
Celeste 34 36 15
Haroldo 17 x 10
Assim, se x é a idade de Haroldo e a quantidade de análises é diretamente 
proporcional ao tempo de serviço e inversamente proporcional à idade de 
cada funcionário, então:
Análises Idade Tempo
Celeste 34 36 15
Haroldo 17 x 10
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Questões de Matemática – aula 2
34
17
= .
x
36
15
10
34 . 36 . 10 = x . 15 . 17
34 . 36 . 10
15 . 17
= x
2 . 36 . 2
3 . 1
= x
2 . 12 . 2 = x
x = 48
Portanto, a idade de Haroldo estava compreendida entre 45 e 50 anos.
Resposta: B
5. (FCC) – No vestiário de um hospital há exatamente 30 armários que 
são usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia 
em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entra-
ram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimen-
to:
O primeiro a entrar abriu todos os armários;
O segundo fechou todos os armários de números pares (2, 4, 6, ..., 30) e 
manteve a situação dos demais;
O terceiro inverteu a situação a cada três armários (3.º, 6.º, 9.º, ..., 30.º), ou 
seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, man-
tendo a situação dos demais;
O quarto inverteu a situação a cada quatro armários (4.º, 8.º, 12.º, ... 28.º), 
mantendo a situação dos demais;
Da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais 
enfermeiros.
Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os 
armários de números 9, 16 e 28 ficaram, respectivamente:
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Questões de Matemática – aula 2
51
a) aberto, aberto e fechado.
b) aberto, fechado e aberto.
c) fechado, aberto e aberto.
d) aberto, aberto e aberto.
e) fechado, fechado e fechado.
Solução:
A solução dessa questão está relacionada à divisibilidade. Como exemplo 
vamos considerar o armário de número 10. Quais enfermeiros abririam ou 
fechariam o armário de número 10?
O 1.º enfermeiro abriria o armário de número 10, pois o encontraria 
fechado.
O 2.º enfermeiro fecharia o armário de número 10, pois o encontraria 
aberto.
O 5.º enfermeiro abriria o armário de número 10, pois o encontraria 
fechado.
O 10.º enfermeiro fecharia o armário de número 10, pois o encontraria 
aberto.
Os demais enfermeiros não mexeriam no armário de número 10. Assim, 
o armário de número 10 ficaria fechado. Os enfermeiros que mexeram no 
armário de número 10 foram os de números 1, 2, 5 e 10. 
Que característica em comum os números 1, 2, 5 e 10 apresentam?
Todos são divisores positivos de 10.
Divisores de 10 1 2 5 10
Início do Armário 10: F A F A F
Pensando da mesma maneira podemos descobrir como ficariam os armá-
rios de número 9, 16 e 28.
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52
Questões de Matemática – aula 2
Armário 9:
Divisores de 9 1 3 9
Início do Armário 9: F A F A
O armário9 ficaria aberto. 
Armário 16:
Divisores de 16 1 2 4 8 16
Início do Armário 16: F A F A F A
O armário 16 ficaria aberto. 
Armário 28:
Divisores de 28: 1 2 4 7 14 28
Início do Armário 28: F A F A F A F
O armário 28 ficaria fechado. 
Logo, os armários 9, 16 e 28 ficariam, respectivamente, aberto, aberto e 
fechado.
Resposta: A
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Questões de Matemática – aula 2
53
Armário 9:
Divisores de 9 1 3 9
Início do Armário 9: F A F A
O armário 9 ficaria aberto. 
Armário 16:
Divisores de 16 1 2 4 8 16
Início do Armário 16: F A F A F A
O armário 16 ficaria aberto. 
Armário 28:
Divisores de 28: 1 2 4 7 14 28
Início do Armário 28: F A F A F A F
O armário 28 ficaria fechado. 
Logo, os armários 9, 16 e 28 ficariam, respectivamente, aberto, aberto e 
fechado.
Resposta: A
6. (FCC) – Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mes-
mo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 
desses micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia com-
prado e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo pre-
ço de venda de cada um dos outros 80. 
Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comer-
ciante nessa transação foi de:
a) 17,5%
b) 18,25%
c) 20%
d) 21,5%
e) 22%
Solução:
Sejam:
x o preço de custo de cada um dos 94 computadores
y o preço de venda de cada um dos 80 computadores
Se o valor obtido com a venda dos 80 computadores é igual ao preço 
gasto com a compra dos 94 computadores, então:
80 . y = 94 . x
94 . x
80
y =
O valor obtido com a venda dos 94 computadores, cada um ao preço de 
y reais, é dado por:
94 . x
80
94 . y = 94 . =
94 . 94
80
. x
O lucro obtido na venda dos 94 computadores é igual à diferença entre o 
valor obtido na venda e o correspondente custo destes 94 computadores:
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54
Questões de Matemática – aula 2
L = 94y – 94x
94 . 94
80
L = . x - 94x
94 . 94 . x - 94 . 80 . x
80
L =
94 . (94 - 80) . x
80
L =
94 . (14) . x
80
L = = 14 .
94 
80(
(
. x
O resultado indica que o lucro é de exatamente 14 vezes o valor de custo 
de um computador. 
Assim, o lucro em relação ao custo é dado por:
14 .
94 
80(
(
. x
14 .
94 
80(
(
. x
94 . x
L
C
.= = =
1
94 . x
14
80
=
7
40
= 0,175 = 17,5%
Portanto, o lucro em relação ao custo é igual a 17,5%.
Resposta: A
7. (Cesgranrio) – As tabelas a seguir relacionam a numeração de roupas 
e calçados femininos no Brasil, nos Estados Unidos da América (EUA) e 
na Europa.
Roupas Femininas
Brasil EUA Europa
36 2 34
38 4 36
40 6 38
42 8 40
44 10 42
46 12 44
48 14 46
Calçados Femininos
Brasil EUA Europa
34 5,5 36
35 6 37
36 7 38
37 7,5 39
38 8,5 40
39 9 41
40 10 42
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Questões de Matemática – aula 2
55
Observando essas tabelas, conclui-se que:
a) numeração de calçados femininos no Brasil pode ser expressa em 
função da numeração nos EUA e na Europa por meio de funções 
afim.
b) a numeração de roupas femininas no Brasil pode ser expressa em 
função da numeração nos EUA e na Europa por meio de funções 
lineares.
c) a função que exprime a numeração de roupas femininas na Europa 
em termos da numeração no Brasil é f(x) = x – 2.
d) a função que exprime a numeração de calçados em termos da nu-
meração das roupas femininas no Brasil é f(x) = x + 2.
e) as relações entre a numeração das roupas e dos calçados femini-
nos na Europa em função da respectiva numeração no Brasil po-
dem ser estabelecidas pela mesma expressão algébrica.
Solução:
a) Falsa, pois para acréscimos de uma unidade na numeração de cal-
çados femininos no Brasil, a correspondente numeração nos EUA 
pode sofrer acréscimos de 0,5 ou de 1,0.
b) Falsa, pois a razão entre as numerações do Brasil e das correspon-
dentes numerações nos EUA e Europa não é constante.
c) Verdadeira, pois a numeração das roupas na Europa é duas unida-
des menor do que a numeração no Brasil.
d) Falsa, pois a numeração dos calçados é menor do que a numera-
ção das roupas.
e) Falsa, pois as numerações das roupas e dos calçados femininos na 
Europa são distintas.
Resposta: C
8. (Esaf ) – Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina 
e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir 
de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco 
vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro 
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56
Questões de Matemática – aula 2
vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles 
nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas vira-
das. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando 
estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em 
sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos 
estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o 
número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 
minutos é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
Solução:
Se Marco demora 45 segundos para percorrer uma piscina, então em 90 
segundos terá percorrido duas piscinas. Nesse mesmo tempo, Mauro per-
corre 3 piscinas, pois seu tempo é de 30 segundos por piscina. Logo, a cada 
90 segundos, ou seja, 1 minuto e 30 segundos, irão se encontrar exatamen-
te 3 vezes, pois esse é o número de piscinas que percorrerá o mais lento 
(Marco). Isto ocorre somente quando ambos partem de lados opostos da 
piscina. Caso partissem do mesmo lado, no prazo de 1 minuto e 30 segun-
dos, ocorreria um encontro a menos, ou seja, seriam apenas 2 encontros. Em 
12 minutos, temos 8 períodos de 1 minuto e 30 segundos. No 1.º, 3.º, 5.º e 7.º 
períodos, seriam 
4 . 3 = 12 encontros. No 2.º, 4.º, 6.º e 8.º períodos, 4 . 2 = 8 encontros. Logo, 
ao todo, seriam 12 + 8 = 20 encontros.
Resposta: E
9. (Funrio) – Seja f uma função que tem como domínio o conjunto A = 
{Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B = 
{1, 2, 3, 4, 5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de 
letras distintas desse elemento x. Com base nessas informações, pode-
se afirmar que
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Questões de Matemática – aula 2
57
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos ele-
mentos no contradomínio.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemen-
to do domínio.
c) f não é uma função.
d) f (Maria) = 5.
e) f (Pedro) = f (Paulo).
Solução:
Pela definição da função, temos:
 f(Ana) = 2; f(José) = 4; f(Maria) = 4; f(Paulo) = 5 e f(Pedro) = 5
a) Falsa
Observe, por exemplo, que f(José) = f(Maria) = 4
b) Falsa
Observe que existem elementos y B, que não estão associados a quais-
quer elementos de x A. Por exemplo, não existe x tal que f(x) = 3.
c) Falsa
A cada elemento x A existe um único y B tal que y = f(x).
d) Falsa
f(Maria) = 4
e) Verdadeira
f(Paulo) = f(Pedro) = 5
Resposta: E
10. (Cesgranrio) – Um fabricante de leite estabelece a seguinte promoção: 
3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa cheia des-
se mesmo produto. Cada caixa contém 1 litro. Comprando-se 11 caixas 
desse leite, a quantidade máxima, em litros, que pode ser consumida é
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Questões de Matemática – aula 2
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Solução:
Temos 11 caixas – destas onze, 9 podem ser trocadas por mais 3, ou seja, 
bebemos as 11 e temos duas de saldo que somadas as 3 novas, somam cinco 
caixas. Até agora temos (11+3=14). Destas cinco, três podem ser trocadas 
por mais uma (14+1=15) que somadas as duas restantes de cinco possibili-
tam mais uma troca (15+1=16).Inclusive o gabarito oficial da prova traz o 16 
como resposta correta.
Resumindo:
11 possibilitam a troca por mais 3. 
Saldo anterior 2 + 3 possibilitam a troca por mais 1
Saldo anterior 2+1 possibilitam a troca por mais 1
Temos 11 iniciais + troca 3 + troca 1 + troca 1 = 16 
Resposta: D
11. (Funrio) – Se IR denota o conjunto dos números reais e f (x) = 2x + 7 e 
g(x) = x2 − 2x + 3 são funções de IR em IR, então a lei de definição da 
função composta f o g é dada por
a) x2 − 3x +1
b) 2x2 − 4x +13
c) x4 − 3x2 + 9
d) 2x4 − 5x2 + 36
e) x4 − x2 + x −1
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Solução:
A função composta (f o g)(x) é definida como sendo (f o g)(x) = f(g(x)), 
para todo x pertencente ao domínio de g. Logo, calcula–se a imagem de x 
pela função g e, em seguida, a imagem de g(x) pela função f. Assim, temos:
(f o g)(x) = f(g(x)) = 2 . g(x) + 7 = 2 . (x2 – 2x + 3) + 7 = 2x2 – 4x + 13
Resposta: B
12. (Esaf ) – Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho cami-
nhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, 
ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que 
haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tem-
po para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao 
passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daque-
le ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse 
a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria 
atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância 
entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da 
casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a:
a) 1 200m
b) 1 500m
c) 1 080m
d) 760m
e) 1 128m
Solução:
A velocidade média é definida como sendo o quociente entre o desloca-
mento e o tempo. Sendo S o deslocamento entre a casa de Lúcio e o seu local 
de trabalho, temos:
S m
20 min
v=
Em outra situação, ele teve que gastar, além dos 20 minutos que normal-
mente gasta para percorrer o trajeto, mais 8 minutos que perdeu para chegar 
ao horário e mais 10 minutos em função do atraso. Entretanto, nessa hipóte-
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Questões de Matemática – aula 2
se, a distância percorrida aumentou em 540 metros, pois esta era a distância 
entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio. Logo, a velocidade constante também 
pode ser escrita por:
(S + 2 . 540) m
(20 + 8 + 10) min
v=
Como as velocidades são iguais, temos:
(S + 2 . 540) m
(20 + 8 + 10) min
=
S m
20 min
v=
S + 1 080
38
=
S
20
 38S = 20S + 21 600
 38S – 20S = 21 600
 18S = 21 600
 S = 1 200m
Resposta: A
13. (Cesgranrio) – “Essa semana, o Banco Central lançou campanha para 
que a população use mais moeda e aprenda a identificar notas falsas. 
Este ano, até agosto, foram apreendidas 251 mil notas falsas, totalizan-
do R$12.386.000,00. Desse valor, cerca de 10% correspondiam a notas 
de 20 reais.” O globo, 24 out (Adaptado.).
De acordo com essas informações, quantas notas falsas de 20 reais foram 
apreendidas até agosto desse ano?
a) Menos de 20 mil.
b) Entre 20 mil e 40 mil.
c) Entre 40 mil e 60 mil.
d) Entre 60 mil e 80 mil.
e) Mais de 80 mil.
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Solução:
Se 10% das 251 mil notas eram falsas e no valor de R$20,00, então a quan-
tidade de notas falsas de 20 reais foi:
 0,10 . 251 000 = 25 100
Logo, tal quantidade está entre 20 mil e 40mil.
Resposta: B
14. (Esaf) – Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes há-
bitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. 
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. 
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o 
que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que 
estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a 
sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de 
peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confei-
taria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso 
final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao 
peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou:
a) exatamente igual.
b) 5% maior.
c) 5% menor.
d) 10% menor
e) 10% maior.
Solução:
Para aumentar uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar 
o valor de x por 1,20, observe:
 x + 0,20 . x = x . (1 + 0,20) = x . 1,20
Para reduzir uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar o 
valor de x por 0,80:
 x – 0,20 . x = x . (1 – 0,20) = x . 0,80
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Questões de Matemática – aula 2
De forma análoga, para aumentar em 25% uma quantidade, bastaria mul-
tiplicar tal quantidade por 1,25 e, para reduzir em 25% uma quantidade, bas-
taria multiplicar por 0,75. Desta forma, supondo que o peso de Alice fosse 
igual a A, no início da viagem, e que ela tivesse apresentado as variações 
informadas no enunciado, teríamos:
 A . (0,80) . (1,20) . (0,75) . (1,25) = 0,90 . A
Observando que 0,90A – 1A = –0,10A, conclui–se que ela ficou com um 
peso 10% menor do que o apresentado no início das visitas.
Resposta: D
15. (Funrio) – Um comerciante, em uma promoção relâmpago, concedeu 
15% de desconto sobre certa mercadoria. Para uma cliente que apro-
veitou a promoção, ele concedeu mais 5% de desconto sobre o valor 
de promoção, a título de pagamento à vista. Tendo comprado a mer-
cadoria à vista, a cliente recebeu um desconto total, com respeito ao 
valor inicial sem promoção, de
a) 19%
b) 19,25%
c) 19,50%
d) 20%
e) 20,25%
Solução:
Para reduzir uma quantidade x em 15% basta multiplicar o valor de x por 0,85:
 x – 0,15 . x = x . (1 – 0,15) = x . 0,85
Para reduzir uma quantidade x em 5% basta multiplicar o valor de x por 0,95:
 x – 0,05 . x = x . (1 – 0,05) = x . 0,95
Logo, se uma mercadoria custava x reais e sofreu dois descontos sucessi-
vos de 15% e 5%, respectivamente, teríamos:
 x . (0,85) . (0,95) = x . 0,8075
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O desconto total foi de 0,8075x – 1x = –0,1925x, ou seja, 19,25% sobre x.
Resposta: B
16. (Esaf ) – Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O 
ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
Solução:
Supondo que os três ângulos internos do triângulo tenham medidas 
iguais a α, β e γ, respectivamente, temos:
 α + β + γ = 180º
Se tais ângulos encontram–se na razão 2:3:4, temos:
α
2
β
3
γ
4
= = =
α + β + γ
2 + 3 + 4
=
180º
9
= 20º
Logo:
α
2
= 20º α = 2 . 20º = 40º
β
3
= 20º β = 3 . 20º = 60º
γ
4
= 20º γ = 4 . 20º = 80º
Assim, o maior ângulo do triângulo mede 80.º.
Resposta: D
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Questões de Matemática – aula 2
17. (Funrio) – Cada torneira enche um tanque em 3 horas e um ralo 
leva 4 horas para esvaziá-lo. Estando o tanque inicialmente vazio e 
duas torneiras e o ralo abertos, em quanto tempo o tanque ficará 
cheio?
a) 2h
b) 2h12min
c) 2h36min
d) 2h24min
e) 2h48min
Solução:
Vamos supor que a medida do tanque seja unitária, ou seja, igual a 1. 
Cada torneira enche um terço do tanque em uma hora. O ralo esvazia um 
quarto do tanque em uma hora. Logo, sendo x o tempo, em horas, em que 
o tanque ficará cheio, sendo abertas duas torneiras e um ralo, temos:
 
1
3
1
3
1
4
1
x
=+ -
 
4 + 4 -3
12
1
x
=
 
5
12
1
x
=
 5x = 12
 x = 2,4 horas
 x = 2h + (0,4 . 60)min
 x = 2h + 24min
Resposta: D
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18. (Esaf) – Um avião XIS decola às 13h00 e voa a uma velocidade constante 
de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13h30 e voa na 
mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros 
por hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas, que o avião YPS, após 
sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas.
b) x / (y-x) horas.
c) 1 / 2x horas.
d) 1/ 2y horas.
e) x / 2 (y-x) horas.
Solução:
Vamos supor que as decolagens tenham ocorrido no mesmo dia. O avião 
YPS, por ter decolado meia hora depois do avião XIS, precisará percorrer a 
mesma distância em meia hora a menos.
Assim, se a velocidade do avião YPS é y (em km/h) e, supondo, que o des-
locamento seja igual S (em km) e que o tempo até o encontro seja igual a t 
(em horas), temos:
y = S = yt
S
t
Se a velocidade do avião XIS é x (em km/h), o deslocamento é igual a S 
(em km) e que o tempo até o encontro seja igual a t + 
1
2
, temos:
x = S = x . 
S
t + 
1
2
t + 
1
2
((
Como os deslocamentos devem ser iguais, temos:
x . = yt t + 
1
2
((
x . = yt 
2t + 1
2
((
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Questões de Matemática – aula 2
2xt + x = 2yt
x = 2yt – 2xt
x = 2t . (y – x)
t =
x
2 . (y - x)
Resposta: E
19. (Cesgranrio) – Manter uma televisão ligada três horas por dia, durante 
30 dias, consome 9,9 kWh de energia. Quantos kWh de energia serão 
consumidos por uma TV que permanecer ligada quatro horas por dia, 
durante 20 dias?
a) 6,6
b) 6,8
c) 7,2
d) 8,8
e) 9,2
Solução:
Vamos relacionar as grandezas e resolver o problema por meio de uma 
regra de três composta:
Dias Horas kWh
30 3 9,9
20 4 x
As grandezas dias e kWh são diretamente proporcionais, pois aumen-
tando-se uma delas, a outra aumentará na mesma proporção, bem como as 
grandezas horas e kWh. Logo, podemos escrever:
3 
4
. =
9,9
x
30 
20
90 
80
=
9,9
x
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9 
8
=
9,9
x
9x = 8 . 9,9
x = 8 . 1,1
x = 8,8
Logo, 8,8 kWh de energia serão consumidos por uma TV que permanecer 
ligada quatro horas por dia, durante 20 dias.
Resposta: D
20. (Esaf ) – Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um me-
tro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que 
se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou 
andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou 
ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da es-
teira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre 
a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da 
esteira seria igual a
a) 1 minuto e 20 segundos.
b) 1 minuto e 24 segundos.
c) 1 minuto e 30 segundos.
d) 1 minuto e 40 segundos.
e) 2 minutos.
Solução:
Velocidade de Ana: VA=
210 m
210 s
= 1,0 m/s
Velocidade de Ana + esteira: VA+E=
210 m
60 s
= 3,5 m/s
Velocidade da esteira: V
E
 = V
A+E 
- V
A
 = 3,5m/s - 1,0 m/s = 2,5 m/s
Logo, para percorrer 210 metros sem caminhar sobre a esteira, gastaria 
um tempo dado por:
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68
Questões de Matemática – aula 2
2,5 m 
1 s
= x = = 84 s = 60 s + 24 s = 1 minuto e 24 segundos 
210 m
x s
210 m
2,5
Resposta: B
21. (Cesgranrio) – Um comerciante aumentou em 20% o preço de suas 
mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu oferecer 
aos clientes um desconto de 30% sobre o preço com aumento. Desse 
modo, qual é, em reais, o preço com desconto de uma mercadoria que 
inicialmente custava R$200,00?
a) 144,00
b) 168,00
c) 180,00
d) 188,00
e) 196,00
Solução:
Para aumentar uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar 
o valor de x por 1,20, observe:
 x + 0,20 . x = x . (1 + 0,20) = x . 1,20
Para reduzir uma quantidade x em 30%, por exemplo, basta multiplicar o 
valor de x por 0,70:
 x – 0,30 . x = x . (1 – 0,30) = x . 0,70
Logo, após um aumento de 20% e uma redução de 30%, uma quantidade 
x será dada por:
 x . (1,20) . (0,70) = x . 0,84
Se a mercadoria custava R$200,00 no início, então após o aumento e a 
redução custará:
 0,84 . R$200,00 = R$168,00
Resposta: B
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69
22. (Esaf ) – Se Y é diferente de zero, e se 
X 
Y
= 4 , então a razão de 
2X – Y para X, em termos percentuais, é igual a:
a) 75%
b) 25%
c) 57%
d) 175%
e) 200%
Solução:
Se 
X 
Y
= 4 , então X = 4Y, logo:
2 . (4Y) - Y 
4Y
= = = 1,75 = = 175%
2X - Y
X
7Y
4Y
175
100
Resposta: D
23. (Cesgranrio) – Uma máquina produz 1 200 peças em 4 horas. Quantas 
máquinas iguais a essa devem funcionar juntas, durante 3 horas, para 
que sejam produzidas 8 100 peças no total?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Solução:
Se uma máquina produz 1 200 peças em 4 horas, então ela produz 300 
peças em 1 hora. Logo, 1 máquina, em 3 horas, produzirá 3 . 300 = 900 peças. 
Se cada máquina, em 3 horas, produz 900 peças, então para que sejam pro-
duzidas 8 100 peças, serão necessárias 8100 
900
= 9 máquinas.
Resposta: E
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70
Questões de Matemática – aula 2
24. (Esaf ) – A receita bruta total de uma empresa é diretamente propor-
cional ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas. Sabe-se 
que quando são vendidas 6 unidades, a receita total bruta é igual a 40. 
Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta será igual a:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
Solução:
Supondo que a quantidade vendida seja representada por Q e a receita 
bruta correspondente por R, temos:
= k
R
Q
3
(( 2
em que k é a constante de proporcionalidade.
A constante k pode ser obtida substituindo-se Q = 6 e R = 40:
= k = k = k k = 10
40
6
3
(( 2 40(2)2 404
Desta forma, podemos escrever:
= 10 R = 10 . 
R
Q
3
(( 2 Q3
(( 2
Logo, para Q = 3, temos:
R = 10 . = 10 . (1)2 = 10 . 1 = 10 
3
3
(( 2
Resposta: A
R = 10 . = 10 . (1)2 = 10 . 1 = 10 
3
3
(( 2
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Questões de Matemática – aula 2
71
25. (Cesgranrio) – Ao receber seu décimo terceiro salário, Mário o dividiu 
em duas partes, diretamente proporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a 
menor parte na poupança e gastou o restante em compras de Natal. 
Se Mário depositou R$560,00 na poupança, quanto ele recebeu de dé-
cimo terceiro salário, em reais?
a) 800,00
b) 960,00
c) 1.200,00
d) 1.400,00
e) 1.540,00
Solução:
Sejam P a quantia depositada na poupança, N a quantia gasta nas com-
pras de Natal e S o valor do 13.º salário. Se P é diretamente proporcional a 4 
e N é diretamente proporcional a 7, então:
P
4
N
7
= =
P + N
4 + 7
=
S
11
Se P = R$560,00, então:
560,00
4
S
11
= S = . 560,00 = 1.540,00
11
4
Resposta: E
26. (Esaf ) – Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de 
vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas 
para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um pos-
sível valor para o número total de vagas da escola é:
a) 160
b) 164
c) 168
d) 172
e) 185
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Questões de Matemática – aula 2
Solução:
Seja V o número total de vagas da escola, V IN. Se 1/4 do número total 
de vagas é destinado para cursos de violino, então:
 
V
4
 vagas são destinadas ao curso de violino