Teoria do Cálculo das Probabilidades

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS 
Assunto: Probabilidade 
PROBABILIDADE 
Geralmente as pessoas procuram tomar decisões em 
função dos fatos que têm maior probabilidade de 
ocorrer. 
Exemplos: 
a) Se o céu está nublado, então há chance considerável 
de chover. Deve-se levar um guarda-chuva ao sair de 
casa; 
c) Se em determinada família há muitos casos de 
doença cardíaca, então há maior chance de pessoas 
daquela família serem afetadas; portanto, os exames 
preventivos precisam ser feitos mais frequentemente. 
PROBABILIDADE 
b) Se um inspetor de qualidade está observando as 
peças produzidas por uma máquina, e verifica que elas 
estão saindo fora do padrão, então ele pode deduzir 
que existe alta chance de essa máquina continuar 
produzindo peças fora do padrão. Logo, a máquina 
deverá receber atenção especial; 
MODELOS PROBABÍLISTICOS 
Este aspecto é a incerteza inerente às decisões que 
podem ser tomadas sobre determinado problema 
(situação). 
a) Por mais nublado que o céu esteja, pode não chover , 
ao menos durante o período de tempo em que a pessoa 
estiver fora de casa; 
b) Algumas peças poderiam estar fora do padrão por 
motivo meramente casuais. O processo pode estar 
funcionando bem; 
c) Apesar dos vários precedentes familiares, uma 
pessoa pode viver a vida inteira sem ter problemas 
cardíacos. 
MODELOS PROBABÍLISTICOS 
Se for possível quantificar a incerteza associada a 
cada fato, algumas decisões tornam-se mais fáceis. 
a) Qual deve ser a capacidade instalada de uma usina 
hidrelétrica, em função da vazão e da precipitação 
pluviométrica? 
TEORIA DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
b) Qual deve ser a capacidade do servidor de comércio 
eletrônico de uma empresa, em função da demanda 
prevista? 
A teoria do cálculo de probabilidades permite obter 
uma quantificação da incerteza associada a um ou 
mais fatos e, portanto, é extremamente útil no auxílio à 
tomada de decisões. 
TEORIA DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
Os modelos probabilísticos são aplicados em 
situações que envolvem algum tipo de incerteza ou 
variabilidade. 
Nota: Considera-se a presença de algum 
experimento aleatório como princípio para a 
construção dos modelos probabilísticos. 
TEORIA DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
Exemplos: 
a) O lançamento de um dado e a observação da 
face voltada para cima; não sabemos exatamente 
qual face vai ocorrer, apenas que será uma das seis 
existentes. Além disso, se o dado for não viciado e o 
lançamento imparcial, todas as faces têm a mesma 
chance de ocorrer; 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
b) A observação dos diâmetros, em mm, de eixos 
produzidos em uma metalúrgica; sabemos que as 
medidas devem estar próximas de um valor nominal, 
mas não sabemos exatamente qual é o diâmetro de 
cada eixo antes de efetuar as mensurações; 
c) O número de mensagens que são transmitidas 
corretamente por dia em uma rede de computadores; 
sabemos que o mínimo possível é zero, mas não 
sabemos nem sequer o número máximo de 
mensagens que serão transmitidas. 
 
Nota: Nos casos em que os possíveis resultados de 
um experimento aleatório podem ser listados (caso 
discreto), um modelo probabilístico pode ser entendido 
como a listagem desses resultados, acompanhados de 
suas respectivas probabilidades. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
Experimentos ou fenômenos aleatórios são 
aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob 
condições semelhantes, apresentam resultados 
imprevisíveis, como por exemplo, o lançamento 
de um mesmo dado repetidas vezes. 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
A teoria da probabilidade surgiu para tentar 
medir a “chance” de ocorrer um determinado 
resultado, num experimento aleatório. Numa 
experiência com vários resultados possíveis, 
todos com a “mesma chance”. 
 
 
CONSTRUÇÃO DE UM MODELO PROBABILÍSTICO (CASO 
DISCRETO) 
Definição do experimento 
Definição dos resultados 
possíveis do experimento 
Definição de uma regra que 
obtenha a probabilidade de 
cada resultado ocorrer. 
ESPAÇO AMOSTRAL 
Seja um experimento aleatório qualquer. 
O conjunto de todos os possíveis resultados do 
experimento é chamado de espaço amostral e é 
denotado pela letra grega . 
Exemplos: 
a) Lançamento de um dado e observação da face 
voltada para cima: 
  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) Retirada de uma carta de um baralho comum (52 
cartas) e observação do naipe: 
  = {copas, espadas, ouros, paus} 
c) O número de mensagens que são transmitidas 
corretamente por dia em uma rede de computadores: 
  = {0, 1, 2, 3, ...} 
d) A observação do diâmetro, em mm, de um eixo 
produzido em uma metalúrgica: 
  = {d, tal que d > 0} 
O espaço amostral pode ser: 
1. Finito, formado por um número limitado de 
resultados possíveis, como nos exemplos anteriores 
a) e b); 
2. Infinito enumerável, formado por um número infinito 
de resultados, os quais podem ser listados, como no 
exemplo c); 
3. Infinito, formado por intervalos de números reais, 
como no exemplo d). 
Nota: 
Um espaço amostral é discreto quando for finito ou 
infinito enumerável; é dito contínuo quando for infinito, 
formado por intervalos de números reais. 
Os elementos para se tomar alguma decisão podem 
corresponder a um conjunto de resultados (ou eventos) 
associados ao experimento aleatório. Por exemplo, se 
o diâmetro D de um eixo, em mm, que sai da linha de 
produção, pertencer ao conjunto (ou evento) A = {49,0 
 D  51,0}, então se decide que ele é adequado. 
EVENTO 
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço 
amostral. 
Exemplo: Seja o experimento de lançamento de um 
dado. Temos:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. São exemplos de 
eventos: 
 
A = número par do dado = {2, 4, 6}; 
B = número maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6}; 
C = número 6 = {6} 
Nota: Como um evento é um subconjunto do espaço 
amostral, então todos os conceitos da teoria de 
conjuntos podem ser aplicados a eventos. 
Considerando A e B eventos quaisquer, veja as 
principais operações: 
Operação Notação Conjunto Evento 
 União A  B 
Reúne os elementos 
de ambos os 
conjuntos 
Ocorre quando 
ocorrer pelo menos 
um deles (A, B ou 
ambos) 
Interseção A  B 
Formado somente 
pelos elementos que 
estão em A e B 
Ocorre quando 
ocorrer ambos os 
eventos (A e B) 
Complementar 
Formado pelos 
elementos que não 
estão em A 
Ocorre quando não 
ocorrer o evento A 
(não A) 
Exemplo: Considere o lançamento de um dado e 
observação da face voltada para cima e os seguintes 
eventos: 
 A = número par do dado = {2, 4, 6} 
B = número maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6} 
C = número 6 do dado= {6} 
Determine seus eventos complementares. 
Exemplo: Considere os eventos: 
A = número par do dado = {2, 4, 6} 
B = número maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6} 
C = número 6 do dado= {6} 
Algumas operações: 
A  B = {2, 3, 4, 5, 6} A  C = {2, 4, 6} 
A  B = {4, 6} A  C = {6} 
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se 
eles não puderem ocorrer simultaneamente. Então, 
para dois eventos quaisquer, A e B, temos: 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
A e B são mutuamente exclusivos  A  B =  
ATIVIDADE 
1. Considere a experiência que consiste em pesquisar 
famílias com três crianças, em relação ao gênero delas, 
segundo a ordem do nascimento. Enumere o espaço 
amostral e os eventos: 
a) ocorrência de dois filhos do gênero masculino. 
b) ocorrência de no máximo duas crianças do gênero 
feminino. 
2. Lançam-se duas moedas. Enumere o espaço 
amostral e os eventos: 
a) Faces iguais. 
b) Cara na 1ª moeda. 
c) Coroa na 2ª moeda. 
DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE 
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE 
Se um experimento aleatório tem n resultados 
igualmente prováveis, e nA, desses resultados 
pertencem a certo evento A, então a probabilidade de 
ocorrência do evento A será: 
Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo 
de 52 cartas. Quala probabilidade de sair uma carta de 
copas? 
 = {C13, E13, O13, P13 } 
A = {cartas de copas}  A = 13 
DEFINIÇÃO EXPERIMENTAL DE PROBABILIDADE 
Muitas vezes, a alocação de probabilidades baseia-se 
em observações do passado. 
Seja um experimento aleatório com espaço amostral 
 e um evento A de interesse. Suponha que esse 
experimento seja repetido n vezes e o evento A 
ocorreu n(A) vezes. A frequência relativa do evento A 
é dada por: 
À medida que o experimento é referido mais e mais 
vezes, sob as mesmas condições, a frequência 
relativa do evento A tenderá a ficar cada vez mais 
próxima da probabilidade de ocorrência do evento A. 
Mais especificamente: 
Exemplo: Um fabricante de lâmpadas fluorescentes 
precisa especificar o tempo de garantia de um de seus 
modelos. Embora os projetistas estimem que o tempo 
médio de vida do modelo seja de 5.000 horas, não se 
sabe exatamente como as lâmpadas irão comportar-se. 
E sem esse conhecimento seria temerário especificar o 
tempo de garantia. 
 = {t, tal que t  0} 
Seja o evento: 
At = a lâmpada funcionar até o tempo t. 
Com os resultados do experimento, podemos calcular 
as frequências relativas: 
AXIOMAS DA PROBABILIDADE 
Independente de como são obtidas, usando a definição 
clássica ou a experimental, as probabilidades atendem a 
alguns axiomas. Formalmente, seja um experimento 
aleatório e um espaço amostral  associado a ele. A cada 
evento Ei (i = 1, 2, ...) associaremos um número real 
denominado probabilidade de ocorrência de Ei, P(Ei), que 
deve satisfazer aos seguintes axiomas: 
a) 0  P(Ei)  1 
b) P() = 1 e 
PROPRIEDADES BÁSICAS DA PROBABILIDADE: 
1. P() = 0 
Se o experimento é realizado, algum resultado vai 
ocorrer (P() = 1). Portanto,  nunca ocorre P() = 
0).  é conhecido como evento impossível. 
No experimento do dado, por exemplo: 
P(número par) = P(2, 4, 6) = P(2) + P(4) + P(6) 
Esse processo de calcular probabilidade pode ser usado 
mesmo quando o  não for equiprovável. 
2. Para o caso discreto, isto é, quando os resultados 
possíveis podem ser listados, então, pelo axioma c) , a 
probabilidade de qualquer evento pode ser obtida pela 
soma das probabilidades dos resultados individuais, 
ou seja, A   = {1, 2, 3, ... }, então: 
No experimento do dado, temos P(ocorrer a face seis) = 
P(6) = 1/6. Pela propriedade do evento complementar 
P(não ocorrer a face seis) = 1 – 1/6 = 5/6. 
4. REGRA DA SOMA DAS PROBABILIDADES 
Sejam A e B eventos quaisquer , então: 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
No experimento do dado, sejam: 
 A = {2, 4, 6} e B={3, 4, 5, 6}. Portanto, P(A)=1/2, 
P(B)=2/3 e P(A  B) = 
P({4,6}) =1/3. Qual a probabilidade de ocorrer uma 
face com o número maior do que 1 ? 
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 
3. Consideremos os alunos matriculados na disciplina 
de Estatística Básica nesta turma. Temos _____ 
homens com mais de 20 anos, _____ homens com 
menos de 20 anos, ____ mulheres com mais de 20 
anos, ____ mulheres com menos de 20 anos. Uma 
pessoa é escolhida ao acaso dentre os ____. Os 
seguintes eventos são definidos: 
 
ATIVIDADE 
A: a pessoa tem mais de 20 anos; 
B: a pessoa tem menos de 20 anos; 
C: a pessoa é um homem; 
D: a pessoa é uma mulher 
Calcule: P(BD) e P(AC). 
 
4. Quais dos valores abaixo não podem ser 
probabilidades? 
 a) 0; 
b) 0,001; 
c) -0,2; 
d) 3/2; 
e) 2/3. 
 
ATIVIDADE 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Exemplo: Os dados a seguir, representam o sumário 
de um dia de observação em um posto de qualidade, 
em que se avalia o peso dos pacotes de leite 
produzidos num laticínio. 
Condição do peso 
Tipo do leite 
Total 
B (B) C ( C ) UHT (U) 
Dentro das especificações (D) 500 4.500 1.500 6.500 
Fora das especificações (F) 30 270 50 350 
Total 530 4.770 1.550 6.850 
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população 
de 6.850 unidades. Pergunta-se: 
Condição do peso 
Tipo do leite 
Total 
B (B) C ( C ) UHT (U) 
Dentro das especificações (D) 500 4.500 1.500 6.500 
Fora das especificações (F) 30 270 50 350 
Total 530 4.770 1.550 6.850 
a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar 
fora das especificações? 
b) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado 
estar fora das especificações, sabendo que é do tipo 
UHT? 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0. 
Definimos a probabilidade condicional de A dado B por: 
Obs.: É importante ressaltar que a operação de 
interseção é comutativa, implicando: 
 P(A  B) = P(B  A) 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Probabilidade Condicional é um segundo evento de 
um espaço amostral que ocorre em um evento 
depois que já tenha ocorrido. 
Considere um espaço amostral finito e um evento A 
do espaço amostral, se quisermos outro evento B 
desse espaço amostral, essa nova probabilidade é 
indicada por P(B\A) e dizemos que é a 
probabilidade condicional de B em relação a A. 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Essa probabilidade condicional irá formar um novo 
espaço amostral, pois agora o espaço amostral 
será A e os elementos do evento B irão pertencer a 
B  A. 
A REGRA DO PRODUTO 
Uma das consequências da expressão da 
probabilidade condicional é a regra do produto, obtida 
ao isolar a probabilidade da interseção. Ou seja: 
O inverso também é possível, pois: 
 Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 
2 peças são retiradas uma após a outra, sem 
reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam 
boas? 
A={a 1ª peça é boa} 
B={a 2ª peça é boa} 
 
P(A ∩ B)= P(A). P(B/A)= 8/12x7/11=14/33 
Para três eventos, A, B e C, a regra do produto pode 
ser escrita como: 
P(A  B  C) = P(A) . P(B\A) . P(C\A  B) 
Obs.: É importante que seja observada a sequência 
lógica dos eventos para montar as expressões 
precedentes. 
EVENTOS INDEPENDENTES 
Sejam A   e B  . 
Intuitivamente, se A e B são independentes, P(A\B) = P(A) 
e P(B\A) = P(B). 
Definição: 
 A e B são independentes se P(A  B) = P(A) .P(B). 
c 
k 
c 
c 
k 
k 
k 
k 
k 
c 
c 
c 
Exemplo: Lançam-se 3 moedas. Verificar se são 
independentes os eventos: 
A: saída de cara na 1ª moeda; 
B: saída de coroa na 2ª e 3ª moedas. 
 
 ={ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk} 
k 
c 
A: saída de cara na 1ª moeda; 
B: saída de coroa na 2ª e 3ª moedas. 
A = {ccc, cck, ckc, ckk}  P(A) = 1/2 
B= {ckk, kkk}  P(B) = 1/4 
Logo: P(A).P(B) = 1/2. 1/4 = 1/8 
Como A  B = {ckk} e P(A  B) = 1/8 
Temos que A e B são eventos independentes, pois P(A 
 B) = P(A) . P(B) 
Obs.: 1 – Para verificarmos se 3 eventos A, B e C, são 
independentes, devemos verificar se as 4 proposições 
são satisfeitas: 
1: P(A  B  C) = P(A) . P(B) . P(C) 
2: P(A  B ) = P(A) . P(B) . 
3: P(A  C ) = P(A) . P(C) . 
4: P(B  C ) = P(B) . P(C) . 
Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são 
independentes.(MORETTIN) 
2 – Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B 
são dependentes, pois, se A ocorre, B não ocorre, isto 
é, a ocorrência de um evento condiciona a não 
ocorrência do outro. 
ATIVIDADE 
5. A probabilidade de que A resolva um problema é de 
2/3, e a probabilidade de que B o resolva é de ¾. Se 
ambos tentarem independentemente, qual a 
probabilidade de o problema ser resolvido? 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
Exemplo: Imagine que você utiliza peças de quatro 
fornecedores, que têm diferentes desempenhos quanto 
a sua qualidade. As peças são classificadas como 
conforme ou não conforme e você conhece a 
proporção de peças não conformes da cada 
fornecedor (p1, p2, p3 e p4). Considere a formação de 
um lote com peças dos quatro fornecedores, conforme 
figura abaixo. 
Grupo de peças 
extraídas para a 
formação do lote 
E5 
E2 E3 
E4 
E6 
E1 
EK 
F 
Participação do  em eventos mutuamente exclusivos. 
Teorema da Probabilidade Total  
Exemplo: Uma companhia multinacional tem três 
fabricas que produzem o mesmotipo de produto. A 
fabrica I e responsável por 30% do total produzido, a 
fabrica II produz 45% do total, e o restante vem da 
fabrica III. Cada uma das fabricas, no entanto, produz 
uma proporção de produtos que não atendem aos 
padrões estabelecidos pelas normas internacionais. 
Tais produtos são considerados “defeituosos" e 
correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, 
dos totais produzidos por fabrica. No centro de 
distribuição, e feito o controle de qualidade da 
produção combinada das fabricas. 
a) Qual e a probabilidade de encontrar um produto 
defeituoso durante a inspeção de qualidade? 
Seja o evento A = {Produto Defeituoso} e Fi = {Produto 
da Fabrica i}. 
Temos, pelo enunciado, que: 
P(F1) = 0,3 ; P(F2) = 0,45 e P(F3) = 0,25. 
 
 Além disso, sabemos que: 
P(A\F1) = 0,01, P(A\F2) = 0,02 e P(A\F3) = 0,015. 
Então, pelo teorema da probabilidade total: 
P(A) = P(F1) . P(A\F1) + P(F2) . P(A\F2) + P(F3) . P(A\F3) 
P(A) = 0,3 x 0,01 + 0,45 x 0,02 + 0,25 x 0,015 = 0,01575 
b) Se durante a inspeção, encontramos um produto 
defeituoso, qual e a probabilidade que ele tenha sido 
produzido na fabrica II? 
Aplicando o Teorema de Bayes: 
O Teorema de Bayes é também chamado de Teorema 
da probabilidade a posteriori. Ele relaciona uma das 
parcelas da probabilidade total com a probabilidade 
total. 
ATIVIDADE 
Num supermercado há 2.000 lâmpadas, provenientes 
de 3 fábricas distintas, X, Y e Z. X produziu 500 das 
quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são 
boas, e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se 
sortearmos ao acaso uma das lâmpadas nesse 
supermercado, qual a probabilidade de que: 
a) Seja boa? 
b) Sendo boa, tendo sido fabricada por X? 
P(B) = P(X) . P(B\X) + P(Y) . P(B\Y) + P(Z) . P(B\Z) 
P(B) = 0,25 x 0,8 + 0,35 x 0,86 + 0,40 x 0,62  0,75 ou 75% 
Resolução a): 
b)