Aula 1- Numeros inteiros e racionais

Prévia do material em texto

Aula particular de matemática
Aluno: WALLACE
Números inteiros
Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ.
O conjunto dos números inteiros é infinito e pode ser representado da seguinte maneira:
ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}
Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+).
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo.
A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (ℕ) junto com os números negativos.
O que seria números naturais?
É o conjunto  formado por todos os números inteiros não negativos.
Voltando...
Todo número inteiro possui em antecessor e um sucessor. Por exemplo, o antecessor de -3 é -4, já o seu sucessor é o -2.
Representação na Reta Numérica
Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta numérica. Nesta representação, a distância entre dois números consecutivos é sempre a mesma.
Os números que estão a uma mesma distância do zero, são chamados de opostos ou simétricos.
Por exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do zero, conforme assinalado na figura abaixo:
Módulo ou valor absoluto
O módulo, ou valor absoluto, de um número inteiro é a distância desse número até a origem da reta numérica.
 Em outras palavras, o módulo é a distância entre zero e o número observado na unidade de medida em que a reta foi construída. 
Como não existem distâncias negativas, o módulo sempre será um número positivo. 
Além disso, o módulo de um número é representado por esse número entre duas barras, como em: | – 2|.
Então, o módulo de – 2 é a distância desse número até zero, portanto, | – 2| = 2. Observe isso na reta numérica:
Subconjuntos de ℤ
O conjunto dos números naturais (ℕ) é um subconjunto de ℤ, pois está contido no conjunto dos números inteiros. Assim:
Os conjuntos numéricos podem ser representados pelo Diagrama de Venn. 
 
Usaremos essa representação 
também para mostrar que 
o conjunto dos números
 naturais está totalmente
 incluído no conjunto dos 
números inteiros, isto é, 
se um número é natural, 
então, ele também é inteiro: 
Observe que todos os números inteiros estão dentro do diagrama e que os não negativos podem ser agrupados. Esse agrupamento é o conjunto dos números naturais.
 É possível encontrar, dentro do conjunto dos números inteiros, outros subconjuntos que são interessantes, como:
Z*: formado por todos os números inteiros, exceto pelo zero;
Z+: formado por todos os números inteiros não negativos, ou seja, pelo próprio conjunto dos números naturais. Assim, Z+ = N;
Z+*: formado por todo os números inteiros positivos.
 Assim, o número zero não está nesse conjunto.
 Seus elementos são: 1, 2, 3, 4, …;
Z – : formado por todos os números inteiros não positivos, ou seja, pelos opostos aditivos dos números naturais; 
Z–* : formado por todos os números inteiros negativos. Assim, o número zero não pertence a esse conjunto.
Exemplo:
Escreva o sucessor e o antecessor dos seguintes números inteiros {0, – 98, +1024, - 72, +26 + 1, -2}. Em seguida, ordene os números na forma crescente.
 
 0 → Sucessor: 1; antecessor: – 1;
– 98 → Sucessor: – 97; antecessor: – 99;
+ 1024 → Sucessor: + 1025; antecessor: + 1023;
– 72 → Sucessor: – 71; antecessor: – 73;
+ 26 → Sucessor: + 27; antecessor: + 25;
+1 → Sucessor: + 2; antecessor: 0;
– 2 → Sucessor: – 1; antecessor: – 3.
Devemos agora ordenar os números na forma crescente, ou seja, do menor número para o maior:
 {– 98, – 72, – 2, 0, + 1, + 26, + 1024}
2) Operações e propriedades
Adição
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.
 1º parcela + 2º parcela = soma ou total
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a
Exemplo:
 2+5 = 7 ou 5+2 = 7
O zero é elemento neutro da adição:
Exemplo:
 3+0 = 3 
b) Subtração
O primeiro termo de uma subtração é
chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o 
resultado da operação de subtração é denominado 
resto ou diferença.
minuendo - subtraendo = resto ou diferença
* 5 – 3 = 2 *
OBS: A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b)
Exemplo:
 5-3 = 2 e diferente de 3-5 = -2
A subtração é a operação inversa da adição:
M - S = R ↔ R + S = M
Sendo m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, 
Exemplo:
 5 – 2 = 3 (resto) assim: 3 +2 = 5 (minuendo)
 
 
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.
 M + S + R = 2 × M
Exemplo: 5-2 = 3 sendo : 5 (Minuendo)
 2(Subtraendo)
 3 (Resto)
Logo:
5+2+3 = 2 x 5 logo 10 = 10
Exemplo:
Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?
M + S + R = 2 M
 O total será sempre o dobro do minuendo.
Deste modo, temos:
 2m = 264
m = 264 ÷ 2 = 132
Resposta: O minuendo será 132.
c) Multiplicação:
 Os termos de uma multiplicação são chamados fatores 
 e o resultado da operação de multiplicação é denominado 
produto.
1º fator x 2º fator = produto
Exemplo:
2 x 5 = 10 
 
 O primeiro fator também pode ser chamado de
 multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado de  multiplicador.
A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: 
a x b = b x a
 2 x 4 = 4 x 2
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 
1 x a = a x 1 = a
1 x 5 = 5 x 1 = 5
Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator:
 a x b = c ↔  (a  + k) x b = c + (k x b)
( 2 + 5) x 4 = 7 x 4 28 
 OBS: Atenção redobrada se deve ter aos sinais:
 
 Regra do sinal: 
Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo.
 (+) . (+) = (+) → Operação de Multiplicação
 (–) . (–) = (+) → Operação de Multiplicação
 Sinais diferentes na multiplicação sempre resultam em sinal negativo.
 Regra do sinal: 
 (+) . (–) = (–) → Operação de Multiplicação
(–) . (+) = (–) → Operação de Multiplicação
EXEMPLOS:
 Sinais Iguais: 
 (+ 2) . (+ 4) = + 8
(- 4) . (- 10) = + 40
(- 20) : (- 2) = + 10
(+ 15) : (+ 3) = + 5
Sinais diferentes:
 (+ 6) . (– 7) = – 42
(– 12) . (+ 2) = – 24
(+ 100) : (– 2) = – 50
(– 125) : (+ 5) = - 25
Divisão:
 Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:
 N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);
 
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).
 Exemplo:
 10 / 2 = 5 (par inteiro)
Sendo:
10 = Dividendo
 2 = Divisor
 5 = quociente
 0 = resto
1° Condição:
Q × D + R = N 
Na multiplicação de quociente x dividendo + resto tem que ser igual a um numero natural. 
2° Condição:
 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D)
 A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo.
Exemplo:
Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4
8 × 7 + 4 = 60 1° CONDIÇÃO
e 0 ≤ 4 < |7| 2 ° CONDIÇÃO 
Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D,teremos
   Q × D = N 
e diremos que a divisão é exata indicando-a como 
 N ÷ D = Q.
Exemplo:
30 / 5 = 4 Sendo : 30 (dividendo)
 logo: 5 ( Divisor)
 Q XD = 4X5 = 20 4 ( Quociente)
 E 0 ( resto)
N / D = 20/ 5 = 4
O zero é divisível por qualquer número não nulo: 
 D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0.
 
Exemplo:
 22 ÷ 0 = 0 E 0 ÷ 22 = 0
Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N.
 Exemplo:
 20 ÷ 1 = 20
Vejamos essa conta.
6 ÷ 3 x 7 + 3 = ?
Quem resolver primeiro?
Primeiro devemos resolver as multiplicações e divisões que aparecem, ou vive-versa, respeitando a ordem dos elementos. (O que vier primeiro)
então: 
6 ÷ 3 = 2
 Substituindo, temos: 2 x 7+3 = ?
Temos que resolver a multiplicação primeiro: 
 2x7 = 14
 Substituindo mais uma vez, temos:
 14 + 3 = 17
Exemplo 2
Para resolver essa expressão numérica, devemos inicialmente solucionar a potenciação e a raiz.
4 + 2 + 2 x 6 ÷ 3 
Agora temos que resolver a multiplicação, pois ela aparece antes da divisão:
4 + 2 + 12 ÷ 3 
Resolva a divisão:
4 + 2 + 4
Resolva as adições da esquerda a direita uma por uma:
 6 + 4 = 10
 
Números racionais:
 O conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro (positivo e negativo), decimais, dizima periódica composta (0,5426578..) / simples (0,333..) e frações. 
 Utilizamos esses números para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais e inteiros fazem parte do conjunto dos números racionais. Na reta numérica podemos representar esse conjunto da seguinte forma:
Notação e relação de inclusão
 O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q. A relação de inclusão é estabelecida com os conjuntos dos números  naturais (N) e inteiros (Z). Observe o diagrama a seguir:
N⊂Z⊂Q 
Lê-se:
 N está contido em Z,
 Z está contido em Q,
 N está contido em Q.
Elementos do conjunto dos números naturais (N)
N = {0, +1, +2, +3, +4, +5}
Elementos do conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}
Elementos do conjunto dos números racionais (Q)
Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55...; -1; -0,422...; −13; -0,02; 0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6}
Subconjuntos dos números racionais
Os números racionais também possuem subconjuntos, 
os mesmos estão listados abaixo:
Conjunto dos números racionais não nulos
Q*={x∈Q/x≠0}
Exemplo: Q* = {...+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5...}
Conjunto dos números racionais não negativos
Q+={x∈Q/x≥0}
Exemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}
Conjunto dos números racionais positivos e não nulo
Q+*={x∈Q/x>0}
 Exemplo: Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}
Conjunto dos números racionais não positivos
Q−={x∈Q/x≤0}
Exemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0}
Conjunto dos números racionais negativos e não nulo
 Q−*={x∈Q/x<0}
Exemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1}
Operações e propriedades:
 Os números racionais podem ser escritos:
 Em forma de fração: 
Números decimais : 0,5 , 0,25, 0,15
Números decimais com dizimas periódicas simples
 
Com dízima periódicas compostas:
Exemplo: 0,1543789
Adição:
Com números decimais:
Para adicionarmos dois ou mais números decimais é 
preciso colocar vírgula em baixo de vírgula.
EXEMPLO: SOMA : 4,879 + 13,14 → Parcelas 
 13 , 140 → Acrescentar o zero para completar casas decimal 
+4 , 879
18 , 019 → Soma total  
Com números fracionários :
Com denominador igual:
Repete o denominador e soma os numeradores:
Denominador diferente:
Para somar frações com denominadores diferentes 
necessita saber calcular o MMC (mínimo múltiplo 
comum) entre dois números.
Antes precisamos relembrar o que é MMC...
O que é M.M.C.?
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns entre eles, vejamos:
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...
 Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o 
menor deles. 
 Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum 
de 4 e 6.
MMC - Mínimo múltiplo comum (M.M.C.)
Como 24 é divisível por 3, dizemos que 24 é múltiplo de 3.
 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.
LOGO:
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. *Usamos a abreviação m.m.c.*
Exemplo:
Achar o MMC dos números : 3 , 6 e 30.
Logo o m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
OBS: 
O MMC entre números que são múltiplos é sempre o maior entre eles. O MMC de 5 e 10, por exemplo, é 10.
MMC entre números que são primos entre si, ou seja, que não possuem fatores primos em comum, é sempre igual a sua multiplicação. 
 Exemplo: O MMC DE 11 e 7 = 77
MDC ( MAXIMO DIVISOR COMUM)
Para encontrar o MDC pela decomposição em fatores 
primos devemos seguir as seguintes regras:
Decompor os números dados em fatores primos.
Pegar os fatores primos comuns com seus expoentes menores.
Fazer o produtos desses fatores.
Exemplo:
Encontre o máximo divisor comum dos números 180, 240 e 270.
Pela decomposição simultânea devemos dividir simultaneamente 
os três números dados começando pelo menor 
número primo possível até chegar ao resto 1.
O que fizemos foi dividir os números dados pelo menor primo, o número 2. Dividimos o três números. Depois verificamos se ainda é possível continuar dividindo pelo 2, sim. Os números que não puderem ser divididos devem ser repetidos, como o 135.
Seguimos dividindo pelo 2. Quando não for mais possível dividi-los pelo 2, procuramos o menor número primo possível que possamos dividir pelo menos um deles, neste caso o número primo 3 pode dividir 45, 15 e 135.
Seguimos dividindo pelo 3 quando possível e conservando aqueles que não podem. Por fim, somente o número 5, que também é primo, podem dividir o número 5, resto das divisões anteriores.
Esse processo acaba quando encontramos resto 1 para todos os números dados. O MDC é a multiplicação dos números primos que puderam dividir todos os números dados ao mesmo tempo.
Portanto, o MDC (180; 240; 270) = 2 x 3 x 5 = 30.
O números 2 dividiu todos os números na primeira vez, o 3 e o 5 também.
Assim que já relembrou o que é MMC e MDC
Continuamos...
Agora considere essa soma de fração:
B. Subtração:
Para subtrairmos dois números decimais, devemos da 
mesma forma que na adição colocar vírgula de baixo de 
vírgula.
Com números decimais:
 7,37 – 2,8 → minuendo e subtraendo nessa mesma ordem.
 7 , 3 7 → Minuendo
- 2 , 8 0 → Subtraendo → acréscimo do zero para completar casas decimais.
  4 , 5 7 → Resto ou Diferença
 
Com números fracionários:
Segue o mesmo padrão de soma:
Com denominadores iguais:
Com numeradores diferentes:
c. Multiplicação
Multiplicação de números decimais:
Ao multiplicarmos números decimais, devemos 
estruturar o algoritmo. Para saber a posição da 
vírgula no produto obtido, contamos quantas casas 
decimais possui cada número decimal e 
deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do 
produto da direita para a esquerda. 
Observe o exemplo:
 2,4 x 1,2 = → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação.
    2,4
x 1,2
+ 48
 24*
    2,88 → Observe que a vírgula ficou entre os 
algarismos 2 e 8. Isso aconteceu porque o número 2,4 
possui uma casa decimal, e o número 1,2 também 
possui uma casa decimal. 
Assim, temos, no total, duas casas decimais. Sendo 
assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido 
(288) duas casas da direita para a esquerda (2,88).
Multiplicação de frações:
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar 
os numeradores com numeradores e os
denominadores com denominadores.
Multiplicação de uma fraçãopor um número natural
Multiplicação de várias frações:
D. Divisão:
Com números decimais:
 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Suprimimos as vírgulas;
3º) Efetuamos a divisão.
Exemplo 1: Divisão de 1,4 por 0,05 
 1º) Igualamos as casa decimais:
 1,40: 0,05
 2º) Suprimindo as vírgulas:140: 5 
3º Efetuando a divisão:
 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.
Exemplo 2: Divisão de 6 : 0,015
1º) Igualamos as casas decimais
 6,000:0,015
2º) Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15
3º ) Efetuando a divisão
Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.
Exemplo 3: Divisão de 4,096 : 1,6
1º) Igualamos as casas decimais
 4,096 :1,600
2º) Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600
3º ) Efetuando a divisão
Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.
Exemplo 4 : Divisão de 0,73 : 5
1º) Igualamos as casas decimais
 0,73 : 5,00
2º) Suprimindo as vírgulas 73 : 500
3º ) Efetuando a divisão
Logo, o quociente de  0,73 por 5 é 0,146.
Com número fracionário:
Dividir frações é tão simples quanto multiplicar. Já 
sabemos que frações são números representados na 
forma de uma razão entre de dois números inteiros ou 
que simbolizam uma proporção.
 Por exemplo, se dividirmos uma pizza em 8 pessoas, 
cada uma delas recebeu igualmente de 18 uma pizza.
 Para dividirmos as frações basta multiplicarmos a fração que está no numerador pelo inverso da fração que está no denominador. Veja abaixo a regra:
e. Potenciação e radiciação
 Na potenciação, quando elevamos um número racional
a um determinado expoente, estamos elevando o numerador 
e o denominador a esse expoente, conforme  os exemplos 
abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
Transformação de Um Número Decimal Exato em Fração
Para transformar um decimal exato em fração contamos o número de casas depois da vírgula, para identificar quantos zeros terá o denominador.
Exemplo:
 0,23 = 23 Escrevemos 23 sobre 100
 10 porque o decimal original tinha
 duas casas depois da vírgula
Exemplo 2:
2,11 = 211 Escrevemos 211 sobre
 100 porque o decimal original
 tinha duas casas depois
 da vírgula.
Exemplo 3.
0,003 = 3
 1000
E se fosse ao contrário?
 Como dividir:
 3 30 300
 100 100 100