Apostila OpAAo Fuzileiro Naval

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<p>Soldado – Marinha do Brasil</p><p>MARINHA DO BRASIL</p><p>CORPO DE FUZILEIROS NAVAIS</p><p>SOLDADO FUZILEIRO NAVAL</p><p>MATEMÁTICA</p><p>I – FRAÇÕES – frações equivalentes, números fracionários, operações com frações. ...............................17</p><p>II – DIVISIBILIDADE – números primos, máximo divisor comum, mínimo divisor comum. ...........................14</p><p>III – EQUAÇÕES DE 1º GRAU (com uma variável e com duas variáveis). ..................................................39</p><p>IV – INEQUAÇÕES DE 1º GRAU. ..............................................................................................................39</p><p>V – RADICIAÇÃO – potenciação e racionalização. .....................................................................................16</p><p>VI – RAZÕES – razões inversas, equivalentes. ..........................................................................................33</p><p>VII – PROPORÇÕES. ................................................................................................................................33</p><p>VIII – ALGARISMOS ROMANOS – sistemas de numeração e suas regras. ...............................................64</p><p>IX – GRANDEZAS PROPORCIONAIS. ......................................................................................................64</p><p>X – REGRA DE TRÊS – simples e composta. ............................................................................................36</p><p>XI – DÍZIMAS PERIÓDICAS. .....................................................................................................................64</p><p>XII – PORCENTAGEM. ..............................................................................................................................36</p><p>XIII – POLÍGONOS – lados e ângulos. .......................................................................................................55</p><p>XIV - GEOMETRIA PLANA – áreas das figuras planas. .............................................................................60</p><p>XV – MEDIDAS DE SUPERFÍCIES – superfície e área; metro quadrado, transformação de unidades. .......25</p><p>XVI – MEDIDAS DE VOLUME – metro cúbico e transformação de unidades. .............................................25</p><p>XVII – MEDIDAS DE CAPACIDADE. .........................................................................................................25</p><p>XVIII – EQUAÇÕES DE 2 º GRAU. ............................................................................................................25</p><p>XIX – NÚMEROS DECIMAIS. ....................................................................................................................25</p><p>XX – MEDIDAS DE MASSA. ......................................................................................................................25</p><p>XXI – MEDIDAS DE TEMPO. .....................................................................................................................25</p><p>XXII - MEDIDAS DE COMPRIMENTO. ......................................................................................................25</p><p>XXIII – MÉDIAS - simples e ponderada. .....................................................................................................28</p><p>XXIV – CONJUNTOS NUMÉRICOS (NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS). ................... 4</p><p>XXV- RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS – catetos e hipotenusas, senos e cossenos, trigonométricas de 30 º,</p><p>45 º e 60 º. .................................................................................................................................................65</p><p>PORTUGUÊS</p><p>a) GRAMÁTICA:</p><p>I - Ortografia (novo acordo ortográfico). ......................................................................................................45</p><p>II - Acentuação gráfica (novo acordo ortográfico). .......................................................................................43</p><p>III - Classe de palavras. ..............................................................................................................................59</p><p>IV - Palavras denotativas. ..........................................................................................................................74</p><p>V - Frase, oração e período (incluindo análises morfológica e sintática). ....................................................77</p><p>VI - Termos da oração Incluindo: - Classificação do sujeito. - Classificação do predicado. - Transitividade</p><p>verbal. ........................................................................................................................................................77</p><p>VII - Voz ativa e voz passiva. .....................................................................................................................78</p><p>VIII - Classificação das orações. ................................................................................................................77</p><p>IX - Colocação pronominal. ........................................................................................................................78</p><p>X - Concordância (nominal e verbal). .........................................................................................................82</p><p>XI - Regência (nominal e verbal). ...............................................................................................................83</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>Soldado – Marinha do Brasil</p><p>XII - Crase. ................................................................................................................................................80</p><p>XIII - Pontuação. ........................................................................................................................................49</p><p>XIV - Sinônimo. ..........................................................................................................................................57</p><p>XV - Antônimo. ...........................................................................................................................................57</p><p>XVI - Parônimo. ..........................................................................................................................................57</p><p>XVII - Homônimo. .......................................................................................................................................57</p><p>XVIII - Polissemia. ......................................................................................................................................57</p><p>b) INTERPRETAÇÃO DE TEXTO:</p><p>I - Textos literários e não literários. .............................................................................................................. 8</p><p>II - Textos verbais e não verbais. ................................................................................................................. 8</p><p>III - Intertextualidade. .................................................................................................................................17</p><p>IV - Relações entre as partes do texto e inferências. ..................................................................................24</p><p>V - Mecanismos básicos de coesão. ..........................................................................................................25</p><p>VI - Operadores discursivos / argumentativos (de oposição, adição, conclusão, explicação, inclusão, exclu-</p><p>são, causa, consequência, condição, finalidade, tempo, espaço e modo). ..................................................78</p><p>VII - Hiperonímia. .......................................................................................................................................24</p><p>VIII - Hiponímia. .........................................................................................................................................24</p><p>IX - Denotação e conotação. ......................................................................................................................58</p><p>60</p><p>30</p><p>15</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5</p><p>DIVISORES DE UM NÚMERO</p><p>Consideremos o número 12 e vamos determinar todos os</p><p>seus divisores Uma maneira de obter esse resultado é escrever</p><p>os números naturais de 1 a 12 e verificar se cada um é ou não</p><p>divisor de 12, assinalando os divisores.</p><p>1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12</p><p>= = = = = ==</p><p>Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto dos diviso-</p><p>res do número 12, temos:</p><p>D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}</p><p>Na prática, a maneira mais usada é a seguinte:</p><p>1º) Decompomos em fatores primos o número considerado.</p><p>12</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores primos e,</p><p>à sua direita e acima, escrevemos o numero 1 que é divisor</p><p>de todos os números.</p><p>12</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e escrevemos</p><p>o produto obtido na linha correspondente.</p><p>12</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>x1</p><p>2</p><p>4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos diviso-</p><p>res já obtidos, escrevendo os produtos nas linhas cor-</p><p>respondentes, sem repeti-los.</p><p>12</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>x1</p><p>2</p><p>4</p><p>12</p><p>6</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>x1</p><p>2</p><p>4</p><p>3, 6, 12</p><p>Os números obtidos à direita dos fatores primos são os divi-</p><p>sores do número considerado. Portanto:</p><p>D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12}</p><p>Exemplos:</p><p>1)</p><p>18</p><p>9</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3, 6</p><p>9, 18</p><p>D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}</p><p>2)</p><p>30</p><p>15</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>3, 6</p><p>5, 10, 15, 30</p><p>D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}</p><p>MÁXIMO DIVISOR COMUM</p><p>Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou mais</p><p>números o maior dos divisores comuns a esses números.</p><p>Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois núme-</p><p>ros é o chamado método das divisões sucessivas (ou algoritmo</p><p>de Euclides), que consiste das etapas seguintes:</p><p>1ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a divi-</p><p>são for exata, o M.D.C. entre esses números é o menor</p><p>deles.</p><p>2ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o menor</p><p>dos dois números) pelo resto obtido na divisão anterior,</p><p>e, assim, sucessivamente, até se obter resto zero. 0 ul-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 16</p><p>timo divisor, assim determinado, será o M.D.C. dos</p><p>números considerados.</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular o M.D.C. (24, 32)</p><p>32 24 24 8</p><p>8 1 0 3</p><p>Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8</p><p>MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM</p><p>Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois ou mais</p><p>números o menor dos múltiplos (diferente de zero) comuns a</p><p>esses números.</p><p>O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois ou mais</p><p>números, chamado de decomposição em fatores primos, consis-</p><p>te das seguintes etapas:</p><p>1º) Decompõem-se em fatores primos os números apre-</p><p>sentados.</p><p>2º) Determina-se o produto entre os fatores primos comuns</p><p>e não-comuns com seus maiores expoentes. Esse pro-</p><p>duto é o M.M.C procurado.</p><p>Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18)</p><p>Decompondo em fatores primos esses números, temos:</p><p>12 2 18 2</p><p>6 2 9 3</p><p>3 3 3 3</p><p>1 1</p><p>12 = 22 . 3 18 = 2 . 32</p><p>Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36</p><p>Observação: Esse processo prático costuma ser simplificado</p><p>fazendo-se uma decomposição simultânea dos números. Para</p><p>isso, escrevem-se os números, um ao lado do outro, separando-</p><p>os por vírgula, e, à direita da barra vertical, colocada após o</p><p>último número, escrevem-se os fatores primos comuns e não-</p><p>comuns. 0 calculo estará terminado quando a última linha do</p><p>dispositivo for composta somente pelo número 1. O M.M.C dos</p><p>números apresentados será o produto dos fatores.</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular o M.M.C (36, 48, 60)</p><p>36, 48, 60</p><p>18, 24, 30</p><p>9, 12, 15</p><p>9, 6, 15</p><p>9, 3, 15</p><p>3, 1, 5</p><p>1, 1 5</p><p>1, 1, 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720</p><p>RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS</p><p>CONCEITO</p><p>Consideremos o seguinte problema:</p><p>Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +25.</p><p>Solução: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25</p><p>Resposta: +5 e -5</p><p>Os números +5 e -5 chamam-se raízes quadradas de +25.</p><p>Outros exemplos:</p><p>Número Raízes quadradas</p><p>+9</p><p>+16</p><p>+1</p><p>+64</p><p>+81</p><p>+49</p><p>+36</p><p>+ 3 e -3</p><p>+ 4 e -4</p><p>+ 1 e -1</p><p>+ 8 e -8</p><p>+ 9 e -9</p><p>+ 7 e -7</p><p>+6 e -6</p><p>O símbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto é</p><p>25 = +5</p><p>Como 25 = +5 , então: 525 −=−</p><p>Agora, consideremos este problema.</p><p>Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é -25?</p><p>Solução: (+5 )2 = +25 e (-5 )2 = +25</p><p>Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado seja -</p><p>25, isto é, 25− não existe no conjunto Z dos números intei-</p><p>ros.</p><p>Conclusão: os números inteiros positivos têm, como raiz</p><p>quadrada, um número positivo, os números inteiros negativos</p><p>não têm raiz quadrada no conjunto Z dos números inteiros.</p><p>RADICIAÇÃO</p><p>A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an =</p><p>b.</p><p>2325 =</p><p>5 índice</p><p>32 radicando pois 25 = 32</p><p>raiz</p><p>2 radical</p><p>Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 2 3 = 8</p><p>3 8− = - 2 pois ( -2 )3 = -8</p><p>PROPRIEDADES (para a ≥ 0, b ≥ 0)</p><p>1ª)</p><p>pm pnm n</p><p>aa</p><p>: :=</p><p>3 215 10 33 =</p><p>2ª) nnn baba ⋅=⋅ 326 ⋅=</p><p>3ª) nnn baba :: =</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>16</p><p>5</p><p>16</p><p>5</p><p>=</p><p>4ª) ( ) m n</p><p>n</p><p>m aa = ( ) 3 5</p><p>5</p><p>3 xx =</p><p>5ª) nmm n aa ⋅= 126 33 =</p><p>EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS INTEIROS</p><p>ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES</p><p>Para calcular o valor de uma expressão numérica com nú-</p><p>meros inteiros, procedemos por etapas.</p><p>1ª ETAPA:</p><p>a) efetuamos o que está entre parênteses ( )</p><p>b) eliminamos os parênteses</p><p>2ª ETAPA:</p><p>a) efetuamos o que está entre colchetes [ ]</p><p>b) eliminamos os colchetes</p><p>baab</p><p>nn =⇒=</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 17</p><p>3º ETAPA:</p><p>a) efetuamos o que está entre chaves { }</p><p>b) eliminamos as chaves</p><p>Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas na se-</p><p>guinte ordem:</p><p>1ª) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem.</p><p>2ª) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem.</p><p>3ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem.</p><p>Exemplos:</p><p>1) 2 + 7 . (-3 + 4) =</p><p>2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9</p><p>2) (-1 )3 + (-2 )2 : (+2 ) =</p><p>-1+ (+4) : (+2 ) =</p><p>-1 + (+2 ) =</p><p>-1 + 2 = +1</p><p>3) -(-4 +1) – [-(3 +1)] =</p><p>-(-3) - [-4 ] =</p><p>+3 + 4 = 7</p><p>4) –2( -3 –1)2 +3 . ( -1 – 3)3 + 4</p><p>-2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 =</p><p>-2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 =</p><p>-32 – 192 + 4 =</p><p>-212 + 4 = - 208</p><p>5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 =</p><p>(-288) : (+144) - (-125) : (+25) =</p><p>(-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3</p><p>6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) =</p><p>(-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) =</p><p>-3 - (- 5) =</p><p>- 3 + 5 = +2</p><p>7) –52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 =</p><p>-25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 =</p><p>-1 - (+1) –1 = -1 -1 –1 = -3</p><p>8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 =</p><p>2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 =</p><p>+18 + (-5) - 4 =</p><p>+ 18 - 9 = +9</p><p>CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)</p><p>Os números racionais são representados por um numeral</p><p>em forma de fração ou razão,</p><p>a</p><p>b</p><p>, sendo a e b números natu-</p><p>rais, com a condição de b ser diferente de zero.</p><p>1. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado (a, b)</p><p>de números naturais, sendo b ≠ 0, corresponde um número</p><p>fracionário</p><p>b</p><p>a</p><p>.O termo a chama-se numerador e o termo b</p><p>denominador.</p><p>2. TODO NÚMERO NATURAL pode ser representado por</p><p>uma fração de denominador 1. Logo, é possível reunir tanto</p><p>os números naturais como os fracionários num único conjun-</p><p>to, denominado conjunto dos números racionais absolutos, ou</p><p>simplesmente conjunto dos números racionais Q.</p><p>Qual seria a definição de um número racional absoluto ou</p><p>simplesmente racional? A definição depende das seguintes</p><p>considerações:</p><p>a) O número representado por uma fração não muda de</p><p>valor quando multiplicamos ou dividimos tanto o nume-</p><p>rador como o denominador por um mesmo número na-</p><p>tural, diferente de zero.</p><p>Exemplos: usando um novo símbolo: ≈</p><p>≈ é o símbolo de equivalência para frações</p><p>⋅⋅⋅≈≈</p><p>×</p><p>×</p><p>≈≈</p><p>×</p><p>×</p><p>≈</p><p>30</p><p>20</p><p>215</p><p>210</p><p>15</p><p>10</p><p>53</p><p>52</p><p>3</p><p>2</p><p>b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas as fra-</p><p>ções equivalentes a uma fração dada.</p><p>⋅⋅⋅,</p><p>4</p><p>12</p><p>,</p><p>3</p><p>9</p><p>,</p><p>2</p><p>6</p><p>,</p><p>1</p><p>3</p><p>(classe de equivalência da fração:</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>Agora já podemos definir número racional : número racio-</p><p>nal é aquele definido por uma classe de equivalência da qual</p><p>cada fração é um representante.</p><p>NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO NATU-</p><p>RAL:</p><p>⋅⋅⋅===</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>0 (definido pela classe de equivalência</p><p>que representa o mesmo número ra-</p><p>cional 0)</p><p>⋅⋅⋅===</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1 (definido pela classe de equivalência</p><p>que representa o mesmo número ra-</p><p>cional 1)</p><p>e assim por diante.</p><p>NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou NÚMERO</p><p>FRACIONÁRIO:</p><p>⋅⋅⋅===</p><p>6</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>(definido pela classe de equivalência</p><p>que representa o mesmo número</p><p>racional 1/2).</p><p>NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS</p><p>Decimais: quando têm como denominador 10 ou uma po-</p><p>tência de 10</p><p>⋅⋅⋅,</p><p>100</p><p>7</p><p>,</p><p>10</p><p>5</p><p>etc.</p><p>b) próprias: aquelas que representam quantidades meno-</p><p>res do que 1.</p><p>⋅⋅⋅,</p><p>7</p><p>2</p><p>,</p><p>4</p><p>3</p><p>,</p><p>2</p><p>1</p><p>etc.</p><p>c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou maio-</p><p>res que 1.</p><p>⋅⋅⋅,</p><p>5</p><p>9</p><p>,</p><p>1</p><p>8</p><p>,</p><p>5</p><p>5</p><p>etc.</p><p>d) aparentes: todas as que simbolizam um número natu-</p><p>ral.</p><p>20</p><p>4</p><p>5 4= =,</p><p>8</p><p>2</p><p>, etc.</p><p>e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as frações,</p><p>com exceção daquelas que possuem como denominador 10,</p><p>102, 103 ...</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 18</p><p>f) frações iguais: são as que possuem os termos iguais</p><p>3</p><p>4</p><p>8</p><p>5</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>8</p><p>5</p><p>, = , etc.</p><p>g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao numeral</p><p>formado por uma parte natural e uma parte fracionária;</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>7</p><p>4</p><p>2 A parte natural é 2 e a parte fracionária</p><p>7</p><p>4</p><p>.</p><p>h) irredutível: é aquela que não pode ser mais simplifica-</p><p>da, por ter seus termos primos entre si.</p><p>3</p><p>4</p><p>, ,</p><p>5</p><p>12</p><p>3</p><p>7</p><p>, etc.</p><p>4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que não</p><p>possua termos primos entre si, basta dividir os dois ternos</p><p>pelo seu divisor comum.</p><p>3</p><p>2</p><p>4:12</p><p>4:8</p><p>12</p><p>8</p><p>==</p><p>5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES.</p><p>Para comparar duas ou mais frações quaisquer primeira-</p><p>mente convertemos em frações equivalentes de mesmo de-</p><p>nominador. De duas frações que têm o mesmo denominador,</p><p>a maior é a que tem maior numerador. Logo:</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>12</p><p>9</p><p>12</p><p>8</p><p>12</p><p>6</p><p><<⇔<<</p><p>(ordem crescente)</p><p>De duas frações que têm o mesmo numerador, a maior é</p><p>a que tem menor denominador.</p><p>Exemplo:</p><p>5</p><p>7</p><p>2</p><p>7</p><p>></p><p>OPERAÇÕES COM FRAÇÕES</p><p>ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO</p><p>A soma ou a diferença de duas frações é uma outra fra-</p><p>ção, cujo calculo recai em um dos dois casos seguintes:</p><p>1º CASO: Frações com mesmo denominador. Observe-</p><p>mos as figuras seguintes:</p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>Indicamos por:</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>=+</p><p>2</p><p>6</p><p>5</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>Indicamos por:</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>5</p><p>=−</p><p>Assim, para adicionar ou subtrair frações de mesmo de-</p><p>nominador, procedemos do seguinte modo:</p><p>� adicionamos ou subtraímos os numeradores e man-</p><p>temos o denominador comum.</p><p>� simplificamos o resultado, sempre que possível.</p><p>Exemplos:</p><p>5</p><p>4</p><p>5</p><p>13</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>3</p><p>=</p><p>+</p><p>=+</p><p>3</p><p>4</p><p>9</p><p>12</p><p>9</p><p>84</p><p>9</p><p>8</p><p>9</p><p>4</p><p>==</p><p>+</p><p>=+</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>37</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>7</p><p>==</p><p>−</p><p>=−</p><p>0</p><p>7</p><p>0</p><p>7</p><p>22</p><p>7</p><p>2</p><p>7</p><p>2</p><p>==</p><p>−</p><p>=−</p><p>Observação: A subtração só pode ser efetuada quando o</p><p>minuendo é maior que o subtraendo, ou igual a ele.</p><p>2º CASO: Frações com denominadores diferentes:</p><p>Neste caso, para adicionar ou subtrair frações com deno-</p><p>minadores diferentes, procedemos do seguinte modo:</p><p>• Reduzimos as frações ao mesmo denominador.</p><p>• Efetuamos a operação indicada, de acordo com o caso</p><p>anterior.</p><p>• Simplificamos o resultado (quando possível).</p><p>Exemplos:</p><p>6</p><p>5</p><p>12</p><p>10</p><p>12</p><p>64</p><p>12</p><p>6</p><p>12</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>)1</p><p>==</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>=+=</p><p>=+</p><p>8</p><p>9</p><p>24</p><p>27</p><p>24</p><p>1215</p><p>24</p><p>12</p><p>24</p><p>15</p><p>6</p><p>3</p><p>8</p><p>5</p><p>)2</p><p>==</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>=+=</p><p>=+</p><p>Observações:</p><p>Para adicionar mais de duas frações, reduzimos todas ao</p><p>mesmo denominador e, em seguida, efetuamos a operação.</p><p>Exemplos.</p><p>5</p><p>4</p><p>15</p><p>12</p><p>15</p><p>372</p><p>15</p><p>3</p><p>15</p><p>7</p><p>15</p><p>2</p><p>)</p><p>==</p><p>=</p><p>++</p><p>=</p><p>=++a</p><p>24</p><p>53</p><p>24</p><p>1232018</p><p>24</p><p>12</p><p>24</p><p>3</p><p>24</p><p>20</p><p>24</p><p>18</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>=</p><p>+++</p><p>=</p><p>=+++=</p><p>=+++b</p><p>Havendo número misto, devemos transformá-lo em fração</p><p>imprópria:</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 19</p><p>Exemplo:</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>12</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>7</p><p>3</p><p>5</p><p>12</p><p>19</p><p>6</p><p>28</p><p>12</p><p>5</p><p>12</p><p>38</p><p>12</p><p>28 5 38</p><p>12</p><p>71</p><p>12</p><p>+ + =</p><p>+ + =</p><p>+ + =</p><p>+ +</p><p>=</p><p>Se a expressão apresenta os sinais de parênteses ( ),</p><p>colchetes [ ] e chaves { }, observamos a mesma ordem:</p><p>1º) efetuamos as operações no interior dos parênteses;</p><p>2º) as operações no interior dos colchetes;</p><p>3º) as operações no interior das chaves.</p><p>Exemplos:</p><p>12</p><p>11</p><p>12</p><p>6</p><p>12</p><p>17</p><p>2</p><p>1</p><p>12</p><p>17</p><p>2</p><p>1</p><p>12</p><p>9</p><p>12</p><p>8</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>)1</p><p>=</p><p>=−=</p><p>=−=</p><p>=−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +</p><p>12</p><p>17</p><p>12</p><p>29</p><p>12</p><p>46</p><p>12</p><p>29</p><p>6</p><p>23</p><p>12</p><p>29</p><p>6</p><p>7</p><p>6</p><p>30</p><p>12</p><p>9</p><p>12</p><p>20</p><p>6</p><p>7</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>2</p><p>6</p><p>9</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>5)2</p><p>=</p><p>=−=</p><p>=−=</p><p>=−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p>NÚMEROS RACIONAIS</p><p>Um círculo foi dividido em duas partes iguais. Dizemos</p><p>que uma unidade dividida em duas partes iguais e indicamos</p><p>1/2.</p><p>onde: 1 = numerador e 2 = denominador</p><p>Um círculo dividido em 3 partes iguais indicamos (das três</p><p>partes hachuramos 2).</p><p>Quando o numerador é menor que o denominador temos</p><p>uma fração própria. Observe:</p><p>Observe:</p><p>Quando o numerador é maior que o denominador temos</p><p>uma fração imprópria.</p><p>FRAÇÕES EQUIVALENTES</p><p>Duas ou mais frações são equivalentes, quando represen-</p><p>tam a mesma quantidade.</p><p>Dizemos que:</p><p>6</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>==</p><p>- Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar ou</p><p>dividir o numerador por mesmo número diferente de zero.</p><p>Ex:</p><p>6</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>1</p><p>ou</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>==⋅</p><p>Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o</p><p>denominador, por um mesmo número diferente de zero.</p><p>Quando não for mais possível efetuar as divisões dizemos</p><p>que a fração é irredutível.</p><p>Exemplo:</p><p>⇒==</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>9</p><p>2</p><p>2</p><p>:</p><p>12</p><p>18</p><p>Fração Irredutível ou Simplifi-</p><p>cada</p><p>Exemplo:</p><p>4</p><p>3</p><p>e</p><p>3</p><p>1</p><p>Calcular o M.M.C. (3,4): M.M.C.(3,4) = 12</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO</p><p>A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 20</p><p>4</p><p>3</p><p>e</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>( ) ( )</p><p>12</p><p>34:12</p><p>e</p><p>12</p><p>13:12 ⋅⋅</p><p>temos:</p><p>12</p><p>9</p><p>e</p><p>12</p><p>4</p><p>A fração</p><p>3</p><p>1</p><p>é equivalente a</p><p>12</p><p>4</p><p>.</p><p>A fração</p><p>4</p><p>3</p><p>equivalente</p><p>12</p><p>9</p><p>.</p><p>Exercícios:</p><p>1) Achar três frações equivalentes às seguintes frações:</p><p>1)</p><p>4</p><p>1</p><p>2)</p><p>3</p><p>2</p><p>Respostas: 1)</p><p>16</p><p>4</p><p>,</p><p>12</p><p>3</p><p>,</p><p>8</p><p>2</p><p>2)</p><p>12</p><p>8</p><p>,</p><p>9</p><p>6</p><p>,</p><p>6</p><p>4</p><p>COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>a) Frações de denominadores iguais.</p><p>Se duas frações tem denominadores iguais a maior será</p><p>aquela: que tiver maior numerador.</p><p>Ex.:</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>ou</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p><></p><p>b) Frações com numeradores iguais</p><p>Se duas frações tiverem numeradores iguais, a menor se-</p><p>rá aquela que tiver maior denominador.</p><p>Ex.:</p><p>4</p><p>7</p><p>5</p><p>7</p><p>ou</p><p>5</p><p>7</p><p>4</p><p>7</p><p><></p><p>c) Frações com numeradores e denominadores recep-</p><p>tivamente diferentes.</p><p>Reduzimos ao mesmo denominador e depois compara-</p><p>mos. Exemplos:</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>> denominadores iguais (ordem decrescente)</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>4</p><p>> numeradores iguais (ordem crescente)</p><p>SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o</p><p>denominador por um número diferente de zero.</p><p>Quando não for mais possível efetuar as divisões, dize-</p><p>mos que a fração é irredutível. Exemplo:</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>: 6</p><p>:9</p><p>2</p><p>2</p><p>: 12</p><p>:18</p><p>==</p><p>Fração irredutível ou simplificada.</p><p>Exercícios: Simplificar 1)</p><p>12</p><p>9</p><p>2)</p><p>45</p><p>36</p><p>Respostas: 1)</p><p>4</p><p>3</p><p>2)</p><p>5</p><p>4</p><p>REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MENOR DENOMINADOR</p><p>COMUM</p><p>Ex.:</p><p>4</p><p>3</p><p>e</p><p>3</p><p>1</p><p>Calcular o M.M.C. (3,4) = 12</p><p>4</p><p>3</p><p>e</p><p>3</p><p>1</p><p>=</p><p>( ) ( )</p><p>12</p><p>34:12</p><p>e</p><p>12</p><p>13:12 ⋅⋅</p><p>temos:</p><p>12</p><p>9</p><p>e</p><p>12</p><p>4</p><p>A fração</p><p>3</p><p>1</p><p>é equivalente a</p><p>12</p><p>4</p><p>. A fração</p><p>4</p><p>3</p><p>equivalente</p><p>12</p><p>9</p><p>.</p><p>Exemplo:</p><p>⇒</p><p>5</p><p>4</p><p>?</p><p>3</p><p>2</p><p>numeradores diferentes e denominadores</p><p>diferentes m.m.c.(3, 5) = 15</p><p>15</p><p>(15.5).4</p><p>?</p><p>15</p><p>3).2:(15</p><p>=</p><p>15</p><p>12</p><p>15</p><p>10</p><p>< (ordem cres-</p><p>cente)</p><p>Exercícios: Colocar em ordem crescente:</p><p>1)</p><p>3</p><p>2</p><p>e</p><p>5</p><p>2</p><p>2)</p><p>3</p><p>4</p><p>e</p><p>3</p><p>5</p><p>3)</p><p>5</p><p>4</p><p>e</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>6</p><p>5</p><p>Respostas: 1)</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>< 2)</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>4</p><p><</p><p>3)</p><p>2</p><p>3</p><p>6</p><p>5</p><p>3</p><p>4</p><p><<</p><p>OPERAÇÕES COM FRAÇÕES</p><p>1) Adição e Subtração</p><p>a) Com denominadores iguais somam-se ou subtraem-se</p><p>os numeradores e conserva-se o denominador comum.</p><p>Ex:</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>152</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>++</p><p>=++</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>34</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>4</p><p>=</p><p>−</p><p>=−</p><p>b) Com denominadores diferentes reduz ao mesmo de-</p><p>nominador depois soma ou subtrai.</p><p>Ex:</p><p>1)</p><p>3</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>++ = M.M.C.. (2, 4, 3) = 12</p><p>12</p><p>23</p><p>12</p><p>896</p><p>12</p><p>(12.3).2 4).3:(12 2).1:(12</p><p>=</p><p>++</p><p>=</p><p>++</p><p>2)</p><p>9</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>− = M.M.C.. (3,9) = 9</p><p>9</p><p>10</p><p>9</p><p>2 - 12</p><p>9</p><p>9).2:(9 - 3).4:(9</p><p>==</p><p>Exercícios. Calcular:</p><p>1)</p><p>7</p><p>1</p><p>7</p><p>5</p><p>7</p><p>2</p><p>++ 2)</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>5</p><p>− 3)</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>−+</p><p>Respostas: 1)</p><p>7</p><p>8</p><p>2)</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>4</p><p>= 3)</p><p>12</p><p>7</p><p>MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Para multiplicar duas ou mais frações devemos multiplicar</p><p>os numeradores das frações entre si, assim como os seus</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 21</p><p>denominadores.</p><p>Exemplo:</p><p>10</p><p>3</p><p>20</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>5</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>.</p><p>5</p><p>2</p><p>===</p><p>Exercícios: Calcular:</p><p>1)</p><p>4</p><p>5</p><p>5</p><p>2</p><p>⋅ 2)</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>⋅⋅ 3) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−⋅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>1</p><p>Respostas: 1)</p><p>6</p><p>5</p><p>12</p><p>10</p><p>= 2)</p><p>5</p><p>4</p><p>30</p><p>24</p><p>= 3)</p><p>15</p><p>4</p><p>DIVISÃO DE FRAÇÕES</p><p>Para dividir duas frações conserva-se a primeira e multi-</p><p>plica-se pelo inverso da Segunda.</p><p>Exemplo:</p><p>5</p><p>6</p><p>10</p><p>12</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>:</p><p>5</p><p>4</p><p>===</p><p>Exercícios. Calcular:</p><p>1)</p><p>9</p><p>2</p><p>:</p><p>3</p><p>4</p><p>2)</p><p>25</p><p>6</p><p>:</p><p>15</p><p>8</p><p>3) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>:</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>2</p><p>Respostas: 1) 6 2)</p><p>9</p><p>20</p><p>3) 1</p><p>POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Eleva o numerador e o denominador ao expoente dado.</p><p>Exemplo:</p><p>27</p><p>8</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>33</p><p>==</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exercícios. Efetuar:</p><p>1)</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2)</p><p>4</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3)</p><p>32</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Respostas: 1)</p><p>16</p><p>9</p><p>2)</p><p>16</p><p>1</p><p>3)</p><p>72</p><p>119</p><p>RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES</p><p>Extrai raiz do numerador e do denominador.</p><p>Exemplo:</p><p>3</p><p>2</p><p>9</p><p>4</p><p>9</p><p>4</p><p>==</p><p>Exercícios. Efetuar:</p><p>1)</p><p>9</p><p>1</p><p>2)</p><p>25</p><p>16</p><p>3)</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>16</p><p>9</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>Respostas: 1)</p><p>3</p><p>1</p><p>2)</p><p>5</p><p>4</p><p>3) 1</p><p>NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Toda fração com denominador 10, 100, 1000,...etc, cha-</p><p>ma-se fração decimal.</p><p>Ex:</p><p>100</p><p>7</p><p>,</p><p>100</p><p>4</p><p>,</p><p>10</p><p>3</p><p>, etc</p><p>Escrevendo estas frações na forma decimal temos:</p><p>10</p><p>3</p><p>= três décimos,</p><p>100</p><p>4</p><p>= quatro centésimos</p><p>1000</p><p>7</p><p>= sete milésimos</p><p>Escrevendo estas frações na forma decimal temos:</p><p>10</p><p>3</p><p>=0,3</p><p>100</p><p>4</p><p>= 0,04</p><p>1000</p><p>7</p><p>= 0,007</p><p>Outros exemplos:</p><p>1)</p><p>10</p><p>34</p><p>= 3,4 2)</p><p>100</p><p>635</p><p>= 6,35 3)</p><p>10</p><p>2187</p><p>=218,7</p><p>Note que a vírgula “caminha” da direita para a esquerda, a</p><p>quantidade de casas deslocadas é a mesma quantidade de</p><p>zeros do denominador.</p><p>Exercícios. Representar em números decimais:</p><p>1)</p><p>10</p><p>35</p><p>2)</p><p>100</p><p>473</p><p>3)</p><p>1000</p><p>430</p><p>Respostas: 1) 3,5 2) 4,73 3) 0,430</p><p>LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL</p><p>Ex.:</p><p>OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Adição e Subtração</p><p>Coloca-se vírgula sob virgula e somam-se ou subtraem-se</p><p>unidades de mesma ordem. Exemplo 1:</p><p>10 + 0,453 + 2,832</p><p>10,000</p><p>+ 0,453</p><p>2,832</p><p>_______</p><p>13,285</p><p>Exemplo 2:</p><p>47,3 - 9,35</p><p>47,30</p><p>9,35</p><p>______</p><p>37,95</p><p>Exercícios. Efetuar as operações:</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 22</p><p>1) 0,357 + 4,321 + 31,45</p><p>2) 114,37 - 93,4</p><p>3) 83,7 + 0,53 - 15, 3</p><p>Respostas: 1) 36,128 2) 20,97 3) 68,93</p><p>MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Multiplicam-se dois números decimais como se fossem in-</p><p>teiros e separam-se os resultados a partir da direita, tantas</p><p>casas decimais quantos forem os algarismos decimais dos</p><p>números dados.</p><p>Exemplo: 5,32 x 3,8</p><p>5,32 → 2 casas,</p><p>x 3,8→ 1 casa após a virgula</p><p>______</p><p>4256</p><p>1596 +</p><p>______</p><p>20,216 → 3 casas após a vírgula</p><p>Exercícios. Efetuar as operações:</p><p>1) 2,41 . 6,3 2) 173,4 . 3,5 + 5 . 4,6</p><p>3) 31,2 . 0,753</p><p>Respostas: 1) 15,183 2) 629,9</p><p>3) 23,4936</p><p>DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS</p><p>Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o divisor</p><p>e quando o dividendo for menor que o divisor acrescentamos</p><p>um zero antes da vírgula no quociente.</p><p>Ex.:</p><p>a) 3:4</p><p>3 |_4_</p><p>30 0,75</p><p>20</p><p>0</p><p>b) 4,6:2</p><p>4,6 |2,0 = 46 | 20</p><p>60 2,3</p><p>0</p><p>Obs.: Para transformar qualquer fração em número deci-</p><p>mal basta dividir o numerador pelo denominador.</p><p>Ex.: 2/5 = 2 | 5 , então 2/5=0,4</p><p>20 0,4</p><p>Exercícios</p><p>1) Transformar as frações em números decimais.</p><p>1)</p><p>5</p><p>1</p><p>2)</p><p>5</p><p>4</p><p>3)</p><p>4</p><p>1</p><p>Respostas: 1) 0,2 2) 0,8 3) 0,25</p><p>2) Efetuar as operações:</p><p>1) 1,6 : 0,4 2) 25,8 : 0,2</p><p>3) 45,6 : 1,23 4) 178 : 4,5-3,4.1/2</p><p>5) 235,6 : 1,2 + 5 . 3/4</p><p>Respostas: 1) 4 2) 129 3) 35,07</p><p>4) 37,855 5) 200,0833....</p><p>Multiplicação de um número decimal por 10, 100, 1000</p><p>Para tornar um número decimal 10, 100, 1000..... vezes</p><p>maior, desloca-se a vírgula para a direita, respectivamente,</p><p>uma, duas, três, . . . casas decimais.</p><p>2,75 x 10 = 27,5 6,50</p><p>x 100 = 650</p><p>0,125 x 100 = 12,5 2,780 x 1.000 = 2.780</p><p>0,060 x 1.000 = 60 0,825 x 1.000 = 825</p><p>DIVISÃO</p><p>Para dividir os números decimais, procede-se assim:</p><p>1) iguala-se o número de casas decimais;</p><p>2) suprimem-se as vírgulas;</p><p>3) efetua-se a divisão como se fossem números inteiros.</p><p>Exemplos:</p><p>♦ 6 : 0,15 = 6,00 0,15</p><p>000 40</p><p>Igualam – se as casas decimais.</p><p>Cortam-se as vírgulas.</p><p>� 7,85 : 5 = 7,85 : 5,00 785 : 500 = 1,57</p><p>Dividindo 785 por 500 obtém-se quociente 1 e resto 285</p><p>Como 285 é menor que 500, acrescenta-se uma vírgula</p><p>ao quociente e zeros ao resto</p><p>♦ 2 : 4 0,5</p><p>Como 2 não é divisível por 4, coloca-se zero e vírgula no</p><p>quociente e zero no dividendo</p><p>♦ 0,35 : 7 = 0,350 7,00 350 : 700 = 0,05</p><p>Como 35 não divisível por 700, coloca-se zero e vírgula</p><p>no quociente e um zero no dividendo. Como 350 não é divi-</p><p>sível por 700, acrescenta-se outro zero ao quociente e outro</p><p>ao dividendo</p><p>Divisão de um número decimal por 10, 100, 1000</p><p>Para tornar um número decimal 10, 100, 1000, .... vezes</p><p>menor, desloca-se a vírgula para a esquerda, respectivamen-</p><p>te, uma, duas, três, ... casas decimais.</p><p>Exemplos:</p><p>25,6 : 10 = 2,56</p><p>04 : 10 = 0,4</p><p>315,2 : 100 = 3,152</p><p>018 : 100 = 0,18</p><p>0042,5 : 1.000 = 0,0425</p><p>0015 : 1.000 = 0,015</p><p>milhar cen-</p><p>tena</p><p>de-</p><p>zena</p><p>Uni-</p><p>dade</p><p>sim-</p><p>ples</p><p>dé-</p><p>cimo</p><p>centé-</p><p>simo</p><p>milé-</p><p>simo</p><p>1 000</p><p>100</p><p>10</p><p>1</p><p>0,1</p><p>0,01</p><p>0,001</p><p>LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL</p><p>Procedemos do seguinte modo:</p><p>1º) Lemos a parte inteira (como um número natural).</p><p>2º) Lemos a parte decimal (como um número natural),</p><p>acompanhada de uma das palavras:</p><p>- décimos, se houver uma ordem (ou casa) decimal</p><p>- centésimos, se houver duas ordens decimais;</p><p>- milésimos, se houver três ordens decimais.</p><p>Exemplos:</p><p>1) 1,2 Lê-se: "um inteiro e</p><p>dois décimos".</p><p>2) 12,75 Lê-se: "doze inteiros</p><p>e setenta e cinco</p><p>centésimos".</p><p>3) 8,309 Lê-se: "oito inteiros e</p><p>trezentos e nove</p><p>milésimos''.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 23</p><p>Observações:</p><p>1) Quando a parte inteira é zero, apenas a parte decimal é</p><p>lida.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 0,5 - Lê-se: "cinco</p><p>décimos".</p><p>b) 0,38 - Lê-se: "trinta e oito</p><p>centésimos".</p><p>c) 0,421 - Lê-se: "quatrocentos</p><p>e vinte e um</p><p>milésimos".</p><p>2) Um número decimal não muda o seu valor se acres-</p><p>centarmos ou suprimirmos zeros â direita do último al-</p><p>garismo.</p><p>Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 " .......</p><p>3) Todo número natural pode ser escrito na forma de nú-</p><p>mero decimal, colocando-se a vírgula após o último</p><p>algarismo e zero (ou zeros) a sua direita.</p><p>Exemplos: 34 = 34,00... 176 = 176,00...</p><p>CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)</p><p>CORRESPONDÊNCIA ENTRE NÚMEROS E PONTOS</p><p>DA RETA, ORDEM, VALOR ABSOLUTO</p><p>Há números que não admitem representação decimal</p><p>finita nem representação decimal infinita e periódico, como,</p><p>por exemplo:</p><p>π = 3,14159265...</p><p>2 = 1,4142135...</p><p>3 = 1,7320508...</p><p>5 = 2,2360679...</p><p>Estes números não são racionais: π ∈ Q, 2 ∈ Q,</p><p>3 ∈ Q, 5 ∈ Q; e, por isso mesmo, são chamados de</p><p>irracionais.</p><p>Podemos então definir os irracionais como sendo aqueles</p><p>números que possuem uma representação decimal infinita e</p><p>não periódico.</p><p>Chamamos então de conjunto dos números reais, e</p><p>indicamos com R, o seguinte conjunto:</p><p>Como vemos, o conjunto R é a união do conjunto dos</p><p>números racionais com o conjunto dos números irracionais.</p><p>Usaremos o símbolo estrela (*) quando quisermos indicar</p><p>que o número zero foi excluído de um conjunto.</p><p>Exemplo: N* = { 1; 2; 3; 4; ... }; o zero foi excluído de N.</p><p>Usaremos o símbolo mais (+) quando quisermos indicar</p><p>que os números negativos foram excluídos de um conjunto.</p><p>Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foram excluídos</p><p>de Z.</p><p>Usaremos o símbolo menos (-) quando quisermos indicar</p><p>que os números positivos foram excluídos de um conjunto.</p><p>Exemplo: Z− = { . .. ; - 2; - 1; 0 } ; os positivos foram</p><p>excluídos de Z.</p><p>Algumas vezes combinamos o símbolo (*) com o símbolo</p><p>(+) ou com o símbolo (-).</p><p>Exemplos</p><p>a) Z−</p><p>* = ( 1; 2; 3; ... ) ; o zero e os negativos foram</p><p>excluídos de Z.</p><p>b) Z+</p><p>* = { ... ; - 3; - 2; - 1 } ; o zero e os positivos foram</p><p>excluídos de Z.</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1. Completar com ∈ ou ∉ :</p><p>a) 5 Z</p><p>b) 5 Z−</p><p>*</p><p>c) 3,2 Z+</p><p>*</p><p>d)</p><p>1</p><p>4</p><p>Z</p><p>e)</p><p>4</p><p>1</p><p>Z</p><p>f) 2 Q</p><p>g) 3 Q*</p><p>h) 4 Q</p><p>i) ( )− 2 2 Q-</p><p>j) 2 R</p><p>k) 4 R-</p><p>Resolução</p><p>a) ∈, pois 5 é positivo.</p><p>b) ∉, pois 5 é positivo e os positivos foram excluídos de</p><p>Z−</p><p>*</p><p>c) ∉ 3,2 não é inteiro.</p><p>d) ∉, pois</p><p>1</p><p>4</p><p>não é inteiro.</p><p>e) ∈, pois</p><p>4</p><p>1</p><p>= 4 é inteiro.</p><p>f) ∉ , pois 2 não é racional.</p><p>g) ∉ , pois 3 não é racional</p><p>h) ∈, pois 4 = 2 é racional</p><p>i) ∉, pois ( )− = =2 4 22</p><p>é positivo, e os</p><p>positivos foram excluídos de Q− .</p><p>j) ∈, pois 2 é real.</p><p>k) ∉, pois 4 = 2 é positivo, e os positivos foram</p><p>excluídos de R−</p><p>2. Completar com ⊂ ⊄ ou :</p><p>a) N Z* d) Q Z</p><p>b) N Z+ e) Q+</p><p>* R+</p><p>*</p><p>c) N Q</p><p>Resolução:</p><p>a) ⊄ , pois 0 ∈ N e 0 ∉ Z* .</p><p>b) ⊂, pois N = Z+</p><p>c) ⊂ , pois todo número natural é também racional.</p><p>d) ⊄ , pois há números racionais que não são inteiros</p><p>como por exemplo,</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>R= { x | x é racional ou x é irracional}</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 24</p><p>e) ⊂ , pois todo racional positivo é também real positivo.</p><p>Exercícios propostos:</p><p>1. Completar com ∈ ∉ ou</p><p>a) 0 N</p><p>b) 0 N*</p><p>c) 7 Z</p><p>d) - 7 Z+</p><p>e) – 7 Q−</p><p>f)</p><p>1</p><p>7</p><p>Q</p><p>g)</p><p>7</p><p>1</p><p>Q+</p><p>*</p><p>h) 7 Q</p><p>i) 72 Q</p><p>j) 7 R*</p><p>2. Completar com ∈ ∉ ou</p><p>a) 3 Q d) π Q</p><p>b) 3,1 Q e) 3,141414... Q</p><p>c) 3,14 Q</p><p>3. Completar com ⊂ ⊄ ou :</p><p>a) Z+</p><p>* N* d) Z−</p><p>* R</p><p>b) Z− N e) Z− R+</p><p>c) R+ Q</p><p>4. Usando diagramas de Euler-Venn, represente os</p><p>conjuntos N, Z, Q e R .</p><p>Respostas:</p><p>1.</p><p>a) ∈</p><p>b) ∉</p><p>c) ∈</p><p>d) ∉</p><p>e) ∈</p><p>f) ∈</p><p>g) ∈</p><p>h) ∉</p><p>i)∈</p><p>j)∈</p><p>2.</p><p>a) ∈</p><p>b) ∈</p><p>c) ∈</p><p>d) ∉</p><p>e) ∈</p><p>3.</p><p>a) ⊂</p><p>b) ⊄</p><p>c) ⊄</p><p>d) ⊂</p><p>e) ⊄</p><p>4.</p><p>Reta numérica</p><p>Uma maneira prática de representar os números reais é</p><p>através da reta real. Para construí-la, desenhamos uma reta</p><p>e, sobre ela, escolhemos, a nosso gosto, um ponto origem</p><p>que representará o número zero; a seguir escolhemos, tam-</p><p>bém a nosso gosto, porém à direita da origem, um ponto para</p><p>representar a unidade, ou seja, o número um. Então, a dis-</p><p>tância entre os pontos mencionados será a unidade de me-</p><p>dida e, com base nela, marcamos, ordenadamente, os núme-</p><p>ros positivos à direita da origem e os números negativos à</p><p>sua esquerda.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1) Dos conjuntos a seguir, o único cujos elementos são</p><p>todos números racionais</p><p>é:</p><p>a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>24 ,5 ,3 ,2 ,</p><p>2</p><p>1</p><p>c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− 3 ,2 ,0 ,</p><p>7</p><p>2</p><p>,1</p><p>b) { } 0 ,2 ,2 ,3 −−−</p><p>d) { } 7 5, ,4 ,9 ,0</p><p>2) Se 5 é irracional, então:</p><p>a) 5 escreve-se na forma</p><p>n</p><p>m</p><p>, com n ≠0 e m, n ∈ N.</p><p>b) 5 pode ser racional</p><p>c) 5 jamais se escreve sob a forma</p><p>n</p><p>m</p><p>, com n ≠0 e m, n</p><p>∈ N.</p><p>d) 2 5 é racional</p><p>3) Sendo N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos dos</p><p>naturais, inteiros, racionais e reais, podemos escrever:</p><p>a) ∀ x ∈ N ⇒ x ∈ R c) Z ⊃ Q</p><p>b) ∀ x ∈ Q ⇒ x ∈ Z d) R ⊂ Z</p><p>4) Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, podemos afir-</p><p>mar que:</p><p>a) ∀ x ∈ A ⇒ x é primo</p><p>b) ∃ x ∈ A | x é maior que 7</p><p>c) ∀ x ∈ A ⇒ x é múltiplo de 3</p><p>d) ∃ x ∈ A | x é par</p><p>e) nenhuma das anteriores</p><p>5) Assinale a alternativa correta:</p><p>a) Os números decimais periódicos são irracionais</p><p>b) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos</p><p>da reta numerada, e o conjunto Q.</p><p>c) Entre dois números racional existem infinitos números</p><p>racionais.</p><p>d) O conjunto dos números irracionais é finito</p><p>6) Podemos afirmar que:</p><p>a) todo real é racional.</p><p>b) todo real é irracional.</p><p>c) nenhum irracional é racional.</p><p>d) algum racional é irracional.</p><p>7) Podemos afirmar que:</p><p>a) entre dois inteiros existe um inteiro.</p><p>b) entre dois racionais existe sempre um racional.</p><p>c) entre dois inteiros existe um único inteiro.</p><p>d) entre dois racionais existe apenas um racional.</p><p>8) Podemos afirmar que:</p><p>a) ∀a, ∀b ∈ N ⇒ a - b ∈ N</p><p>b) ∀a, ∀b ∈ N ⇒ a : b ∈ N</p><p>c) ∀a, ∀b ∈ R ⇒ a + b ∈ R</p><p>d) ∀a, ∀b ∈ Z ⇒ a : b ∈ Z</p><p>9) Considere as seguintes sentenças:</p><p>I) 7 é irracional.</p><p>II) 0,777... é irracional.</p><p>III) 2 2 é racional.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) l é falsa e II e III são verdadeiros.</p><p>b) I é verdadeiro e II e III são falsas.</p><p>c) I e II são verdadeiras e III é falsa.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 25</p><p>d) I e II são falsas e III é verdadeira.</p><p>10) Considere as seguintes sentenças:</p><p>I) A soma de dois números naturais é sempre um número</p><p>natural.</p><p>II) O produto de dois números inteiros é sempre um núme-</p><p>ro inteiro.</p><p>III) O quociente de dois números inteiros é sempre um</p><p>número inteiro.</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>a) apenas I é verdadeiro.</p><p>b) apenas II é verdadeira.</p><p>c) apenas III é falsa.</p><p>d) todas são verdadeiras.</p><p>11) Assinale a alternativa correta:</p><p>a) R ⊂ N c) Q ⊃ N</p><p>b) Z ⊃ R d) N ⊂ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }</p><p>12) Assinale a alternativa correto:</p><p>a) O quociente de dois número, racionais é sempre um</p><p>número inteiro.</p><p>b) Existem números Inteiros que não são números reais.</p><p>c) A soma de dois números naturais é sempre um número</p><p>inteiro.</p><p>d) A diferença entre dois números naturais é sempre um</p><p>número natural.</p><p>13) O seguinte subconjunto dos números reais</p><p>escrito em linguagem simbólica é:</p><p>a) { x ∈ R | 3< x < 15 } c) { x ∈ R | 3 ≤ x ≤ 15 }</p><p>b) { x ∈ R | 3 ≤ x < 15 } d) { x ∈ R | 3< x ≤ 15 }</p><p>14) Assinale a alternativa falsa:</p><p>a) R* = { x ∈ R | x < 0 ou x >0}</p><p>b) 3 ∈ Q</p><p>c) Existem números inteiros que não são números natu-</p><p>rais.</p><p>d) é a represen-</p><p>tação de { x ∈ R | x ≥ 7 }</p><p>15) O número irracional é:</p><p>a) 0,3333... e)</p><p>5</p><p>4</p><p>b) 345,777... d) 7</p><p>16) O símbolo −R representa o conjunto dos números:</p><p>a) reais não positivos c) irracional.</p><p>b) reais negativos d) reais positivos.</p><p>17) Os possíveis valores de a e de b para que a número a +</p><p>b 5 seja irracional, são:</p><p>a) a = 0 e b=0 c) a = 0 e b = 2</p><p>c) a = 1 e b = 5 d) a = 16 e b = 0</p><p>18) Uma representação decimal do número 5 é:</p><p>a) 0,326... c) 1.236...</p><p>b) 2.236... d) 3,1415...</p><p>19) Assinale o número irracional:</p><p>a) 3,01001000100001... e) 3,464646...</p><p>b) 0,4000... d) 3,45</p><p>20) O conjunto dos números reais negativos é representado</p><p>por:</p><p>a) R* c) R</p><p>b) R_ d) R*</p><p>21) Assinale a alternativo falso:</p><p>a) 5 ∈ Z b) 5,1961... ∈ Q</p><p>c)</p><p>3</p><p>5</p><p>− ∈ Q</p><p>22) Um número racional compreendido entre 3 e 6 é:</p><p>a) 3,6 c)</p><p>2</p><p>6.3</p><p>b)</p><p>3</p><p>6</p><p>d)</p><p>2</p><p>63 +</p><p>23) Qual dos seguintes números é irracional?</p><p>a) 3 125 c) 27</p><p>b) 4 1 d) 169</p><p>24) é a representação</p><p>gráfica de:</p><p>a) { x ∈ R | x ≥ 15 } b) { x ∈ R | -2≤ x < 4 }</p><p>c) { x ∈ R | x < -2 } d) { x ∈ R | -2< x ≤ 4 }</p><p>RESPOSTAS</p><p>1) d 5) b 9) b 13) b 17) c 21) b</p><p>2) c 6) c 10) c 14) d 18) b 22) b</p><p>3) a 7) b 11) b 15) d 19) a 23) c</p><p>4) e 8) c 12) c 16) b 20) b 24) d</p><p>SISTEMA DE MEDIDAS LEGAIS</p><p>A) Unidades de Comprimento</p><p>B) Unidades de ÁREA</p><p>C) Áreas Planas</p><p>D) Unidades de Volume e de Capacidade</p><p>E) Volumes dos principais sólidos geométricos</p><p>F) Unidades de Massa</p><p>A) UNIDADES DE COMPRIMENTO</p><p>Medidas de comprimento:</p><p>Medir significa comparar. Quando se mede um</p><p>determinado comprimento, estamos comparando este</p><p>comprimento com outro tomado como unidade de medida.</p><p>Portanto, notamos que existe um número seguido de um</p><p>nome: 4 metros — o número será a medida e o nome será a</p><p>unidade de medida.</p><p>Podemos medir a página deste livro utilizando um</p><p>lápis; nesse caso o lápis foi tomado como unidade de medida</p><p>ou seja, ao utilizarmos o lápis para medirmos o comprimento</p><p>do livro, estamos verificando quantas vezes o lápis (tomado</p><p>como medida padrão) caberá nesta página.</p><p>Para haver uma uniformidade nas relações humanas</p><p>estabeleceu-se o metro como unidade fundamental de</p><p>medida de comprimento; que deu origem ao sistema métrico</p><p>decimal, adotado oficialmente no Brasil.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 26</p><p>Múltiplos e sub-múltiplos do sistema métrico: Para</p><p>escrevermos os múltiplos e sub-múltiplos do sistema métrico</p><p>decimal, utilizamos os seguintes prefixos gregos:</p><p>KILO significa 1.000 vezes</p><p>HECTA significa 100 vezes</p><p>DECA significa 10 vezes</p><p>DECI significa décima parte</p><p>CENTI significa centésima parte</p><p>MILI significa milésima parte.</p><p>1km = 1.000m 1 m = 10 dm</p><p>1hm = 100m e 1 m = 100 cm</p><p>1dam = 10m 1 m = 1000 mm</p><p>Transformações de unidades: Cada unidade de</p><p>comprimento é dez (10) vezes maior que a unidade</p><p>imediatamente. inferior. Na prática cada mudança de vírgula</p><p>para a direita (ou multiplicação por dez) transforma uma</p><p>unidade imediatamente inferior a unidade dada; e cada</p><p>mudança de vírgula para a esquerda (ou divisão por dez)</p><p>transforma uma unidade na imediatamente superior.</p><p>Ex.: 45 Km ⇒ 45 . 1.000 = 45.000 m</p><p>500 cm ⇒ 500 ÷ 100 = 5 m</p><p>8 Km e 25 m ⇒ 8.000m + 25m = 8.025 m</p><p>ou 8,025 Km.</p><p>Resumo</p><p>Permitido de um polígono: o perímetro de um polígono</p><p>é a soma do comprimento de seus lados.</p><p>Perímetro de uma circunferência: Como a abertura do</p><p>compasso não se modifica durante o traçado vê-se logo que</p><p>os pontos da circunferência distam igualmente do ponto zero</p><p>(0).</p><p>Elementos de uma circunferência:</p><p>O perímetro da circunferência é calculado multiplican-</p><p>do-se 3,14 pela medida do diâmetro.</p><p>3,14 . medida do diâmetro = perímetro.</p><p>B) UNIDADES DE ÁREA: a ideia de superfície já é</p><p>nossa conhecida, é uma noção intuitiva. Ex.: superfície da</p><p>mesa, do assoalho que são exemplos de superfícies planas</p><p>enquanto que a superfície de uma bola de futebol, é uma</p><p>superfície esférica.</p><p>Damos o nome de área ao número que mede uma</p><p>superfície numa determinada unidade.</p><p>Metro quadrado: é a unidade fundamental de medida</p><p>de superfície (superfície de um quadrado que tem 1 m de</p><p>lado).</p><p>Propriedade: Toda unidade de medida de superfície é</p><p>100 vezes maior do que a imediatamente inferior.</p><p>Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado:</p><p>Múltiplos Submúltiplos</p><p>km2: 1.000.000 m2 m2 cm2 : 0,0001 m2</p><p>hm2: 10.000 m2 dm2: 0,01 m2</p><p>dam2: 100 m2 mm2 : 0,000001m2</p><p>1km2 = 1000000 (= 1000 x 1000)m2</p><p>1 hm2= 10000 (= 100 x 100)m2</p><p>1dam2 =100 (=10x10) m2</p><p>Regras Práticas:</p><p>• para se converter um número medido numa unidade</p><p>para a unidade imediatamente superior deve-se</p><p>dividi-lo por 100.</p><p>• para se converter um número medido numa unidade,</p><p>para uma unidade imediatamente inferior, deve-se</p><p>multiplicá-lo por 100.</p><p>Medidas Agrárias:</p><p>centiare (ca) — é o m2</p><p>are (a) —é o dam2 (100 m2)</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 27</p><p>hectare (ha) — é o hm2 (10000 m2).</p><p>C) ÁREAS PLANAS</p><p>Retângulo: a área do retângulo é dada pelo produto da</p><p>medida de comprimento pela medida da largura, ou, medida</p><p>da base pela medida da altura.</p><p>Perímetro: a + a + b + b</p><p>Quadrado: a área do quadrado é dada pelo produto</p><p>“lado por lado, pois sendo um retângulo de lados iguais, base</p><p>= altura = lado.</p><p>Perímetro: é a soma dos quatro lados.</p><p>Triângulo: a área do triângulo é dada pelo produto da</p><p>base pela altura dividido por dois.</p><p>Perímetro – é a soma dos três lados.</p><p>Trapézio: a área do trapézio é igual ao produto da</p><p>semi-soma das bases, pela altura.</p><p>Perímetro – é a soma dos quatro lados.</p><p>Losango: a área do losango é igual ao semi-produto</p><p>das suas diagonais.</p><p>Perímetro – á a soma dos quatro lados.</p><p>Área de polígono regular: a área do polígono regular é</p><p>igual ao produto da medida do perímetro (p) pela medida do</p><p>apotema (a) sobre 2.</p><p>Perímetro – soma de seus lados.</p><p>DUNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE</p><p>Unidades de volume: volume de um sólido é a medida</p><p>deste sólido.</p><p>Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo cuja</p><p>aresta mede 1 m.</p><p>Propriedade: cada unidade de volume é 1.000 vezes</p><p>maior que a unidade imediatamente inferior.</p><p>Múltiplos e sub-múltiplos do metro cúbico:</p><p>MÚLTIPIOS SUB-MÚLTIPLOS</p><p>km3 ( 1 000 000 000m3) dm3 (0,001 m3)</p><p>hm3 ( 1 000 000 m3) cm3 (0,000001m3)</p><p>dam3 (1 000 m3) mm3 (0,000 000 001m3)</p><p>Como se vê:</p><p>1 km3 = 1 000 000 000 (1000x1000x1000)m3</p><p>1 hm3 = 1000000 (100 x 100 x 100) m3</p><p>1dam3 = 1000 (10x10x10)m3</p><p>1m3 =1000 (= 10 x 10 x 10) dm3</p><p>1m3 =1000 000 (=100 x 100 x 100) cm3</p><p>1m3= 1000000000 ( 1000x 1000x 1000) mm3</p><p>Unidades de capacidade: litro é a unidade</p><p>fundamental de capacidade. Abrevia-se o litro por l.</p><p>O litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico.</p><p>Múltiplos Submúltiplos</p><p>hl ( 100 l)</p><p>dal ( 10 l)</p><p>litro l</p><p>dl (0,1 l)</p><p>cl (0,01 l)</p><p>ml (0,001 l)</p><p>Como se vê:</p><p>1 hl = 100 l 1 l = 10 dl</p><p>1 dal = 10 l 1 l = 100 cl</p><p>1 l = 1000 ml</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 28</p><p>VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS</p><p>GEOMÉTRICOS</p><p>Volume do paralelepípedo retângulo: é o mais comum</p><p>dos sólidos geométricos. Seu volume é dado pelo produto de</p><p>suas três dimensões.</p><p>Volume do cubo: o cubo é um paralelepipedo</p><p>retângulo de faces quadradas. Um exemplo comum de cubo,</p><p>é o dado.</p><p>O volume do cubo é dado pelo produto das medidas</p><p>de suas três arestas que são iguais.</p><p>V = a. a . a = a3 cubo</p><p>Volume do prisma reto: o volume do prisma reto é</p><p>dado pelo produto da área da base pela medida da altura.</p><p>Volume do cilindro: o volume do cilindro é dado pelo</p><p>produto da área da base pela altura.</p><p>F) UNIDADES DE MASSA</p><p>— A unidade fundamental para se medir massa de um</p><p>corpo (ou a quantidade de matéria que esse corpo possui), é</p><p>o kilograma (kg).</p><p>— o kg é a massa aproximada de 1 dm3 de água a 4</p><p>graus de temperatura.</p><p>— Múltiplos e sub-múltiplos do kilograma:</p><p>Múltiplos Submúltiplos</p><p>kg (1000g) dg (0,1 g)</p><p>hg ( 100g) cg (0,01 g)</p><p>dag ( 10 g) mg (0,001 g)</p><p>Como se vê:</p><p>1kg = 1000g 1g = 10 dg</p><p>1 hg = 100 g e 1g= 100 cg</p><p>1 dag = 10g 1g = 1000 mg</p><p>Para a água destilada, 1.º acima de zero.</p><p>volume capacidade massa</p><p>1dm2 1l 1kg</p><p>Medidas de tempo:</p><p>Não esquecer:</p><p>1dia = 24 horas</p><p>1 hora = sessenta minutos</p><p>1 minuto = sessenta segundos</p><p>1 ano = 365 dias</p><p>1 mês = 30 dias</p><p>Média geométrica</p><p>Numa proporção contínua, o meio comum é</p><p>denominado média proporcional ou média geométrica dos</p><p>extremos. Portanto no exemplo acima 8 é a média</p><p>proporcional entre 4 e 16. O quarto termo de uma proporção</p><p>contínua é chamado terceira proporcional. Assim, no nosso</p><p>exemplo, 16 é a terceira proporcional depois de 4 e 8.</p><p>Para se calcular a média proporcional ou geométrica</p><p>de dois números, teremos que calcular o valor do meio</p><p>comum de uma proporção continua. Ex.:</p><p>16</p><p>X</p><p>X</p><p>4</p><p>=</p><p>4 . 16 x . x</p><p>x2 = 64 x</p><p>64 =8</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 29</p><p>4.º proporcional: é o nome dado ao quarto termo de</p><p>uma proporção não continua. Ex.:</p><p>F</p><p>12</p><p>8</p><p>4</p><p>= , 4 . x = 8 . 12</p><p>x=</p><p>4</p><p>96</p><p>=24.</p><p>Nota: Esse cálculo é idêntico ao cálculo do elemento</p><p>desconhecido de uma proporção).</p><p>Média Aritmética Simples: (ma)</p><p>A média aritmética simples de dois números é dada</p><p>pelo quociente da soma de seus valores e pela quantidade</p><p>das parcelas consideradas.</p><p>Ex.: determinar a ma de: 4, 8, 12, 20</p><p>11</p><p>4</p><p>44</p><p>4</p><p>201284</p><p>am ==</p><p>+++</p><p>=</p><p>Média Aritmética Ponderada (mv):</p><p>A média aritmética ponderada de vários números aos</p><p>quais são atribuídos pesos (que indicam o número de vezes</p><p>que tais números figuraram) consiste no quociente da soma</p><p>dos produtos — que se obtém multiplicando cada número</p><p>pelo peso correspondente, pela soma dos pesos.</p><p>Ex.: No cálculo da média final obtida por um aluno</p><p>durante o ano letivo, usamos a média aritmética ponderada.</p><p>A resolução é a seguinte:</p><p>Matéria Notas Peso</p><p>Português 60,0 5</p><p>Matemática 40,0 3</p><p>História 70,0 2</p><p>235</p><p>2 . 70 3 40 5 . 60</p><p>pm</p><p>++</p><p>++</p><p>=</p><p>56</p><p>10</p><p>140 120 300</p><p>=</p><p>++</p><p>=</p><p>ÂNGULO</p><p>Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</p><p>Ângulo É a região de um plano concebida pela abertura</p><p>de duas semi-retas que possuem uma origem em comum,</p><p>dividindo este plano em duas partes. A abertura do ângulo é</p><p>uma propriedade invariante deste e é medida, no SI, em</p><p>radianos.</p><p>Unidades de medidas para ângulos</p><p>De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no</p><p>vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é</p><p>sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu</p><p>raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do</p><p>círculo. Note que ângulos são adimensionais, desde que</p><p>sejam definidos como a razão dos comprimentos.</p><p>• A medida em radiano de um ângulo é o comprimento</p><p>do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do</p><p>círculo. O SI utiliza o radiano como o unidade derivada</p><p>para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o</p><p>comprimento do arco, radianos são uma unidade</p><p>especial. Senos e cossenos cujos argumentos estão</p><p>em radianos possuem propriedades analíticas</p><p>particulares, tal como criar funções exponenciais</p><p>em</p><p>base e.</p><p>• A medida em graus de um ângulo é o comprimento de</p><p>um arco, dividido pela circunferência de um círculo e</p><p>multiplicada por 360. O símbolo de graus é um</p><p>pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a</p><p>360° (um círculo completo), então um radiano é</p><p>aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.</p><p>• O gradiano, também chamado de grado, é uma</p><p>medida angular onde o arco é divido pela</p><p>circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é</p><p>usado mais em triangulação.</p><p>• O ponto é usado em navegação, e é definida como</p><p>1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.</p><p>• O círculo completo ou volta completa representa o</p><p>número ou a fração de voltas completas. Por exemplo,</p><p>π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.</p><p>O ângulo nulo é um ângulo que tem 0º.</p><p>A classificação dos ângulos é por sua (normalmente)</p><p>circunferência em graus.</p><p>Tipos de ângulos</p><p>Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser</p><p>classificados como</p><p>• Nulo: Um ângulo nulo mede 0º ou 0 radianos.</p><p>• Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0º (ou 0</p><p>radianos) e menor do que 90º (ou π/2 radianos).</p><p>• Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é</p><p>exatamente 90º (ou π/2 radianos). Assim os seus</p><p>lados estão localizados em retas perpendiculares.</p><p>• Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90º e</p><p>180º (ou entre π/2 e π radianos).</p><p>• Raso: Ângulo que mede exatamente 180º (ou π</p><p>radianos), os seus lados são semi-retas opostas.</p><p>• Côncavo: Ângulo que mede mais de 180º (ou π</p><p>radianos) e menos de 360º (ou 2π radianos).</p><p>• Giro ou Completo: Ângulo que mede 360º (ou 2π</p><p>radianos). Também pode ser chamado de Ângulo de</p><p>uma volta.</p><p>O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais</p><p>importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras</p><p>aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o</p><p>chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas</p><p>de papelão, esquadrias de janelas, etc...</p><p>Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o</p><p>círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o</p><p>ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus</p><p>(360 º).</p><p>Observação: É possível obter ângulos maiores do que</p><p>360º mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados</p><p>dos ângulos menores do que 360º na medida que ultrapassa</p><p>360º. Para obter tais ângulos basta subtrair 360º do ângulo</p><p>até que este seja menor do que 360º.</p><p>VELOCIDADE</p><p>A velocidade é uma grandeza vetorial, ou seja, tem</p><p>direção e sentido, além do valor numérico. Duas velocidades</p><p>só serão iguais se tiverem o mesmo módulo, a mesma</p><p>direção e o mesmo sentido.</p><p>Velocidade é a grandeza física que informa com que</p><p>rapidez e em qual direção um móvel muda de posição no</p><p>tempo. Sua determinação pode ser feita por meio de um valor</p><p>médio (que relaciona o deslocamento total de um corpo ao</p><p>intervalo de tempo decorrido desde que ele deixou a posição</p><p>inicial até quando chegou ao fim do percurso) ou do valor</p><p>instantâneo, que diz como a posição varia de acordo com o</p><p>tempo num determinado instante.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 30</p><p>A velocidade média de um trem que percorre cem</p><p>quilômetros em duas horas é de cinquenta quilômetros por</p><p>hora. O valor médio da velocidade de um corpo é igual à</p><p>razão entre o espaço por ele percorrido e o tempo gasto no</p><p>deslocamento, de acordo com a fórmula v = s/t. A</p><p>representação gráfica da velocidade deve ser feita, em cada</p><p>ponto, por um segmento orientado que caracteriza seu</p><p>módulo, sua direção (tangente à trajetória) e seu sentido (que</p><p>coincide com o sentido do movimento). No intervalo de duas</p><p>horas, a velocidade do trem pode ter variado para mais ou</p><p>para menos em torno da velocidade média. A determinação</p><p>da velocidade instantânea se faz por meio do cálculo da</p><p>velocidade média num intervalo de tempo tão próximo de</p><p>zero quanto possível. O cálculo diferencial, inventado por</p><p>Isaac Newton com esse fim específico, permite determinar</p><p>valores exatos da velocidade instantânea de um corpo.</p><p>Sistema Monetário Brasileiro: Moeda</p><p>MOEDA: (do latim "moneta") - deriva do nome da deusa</p><p>JUNO MONETA, templo que manufaturavam as moedas</p><p>romanas.</p><p>DINHEIRO: Sinônimo de moeda, origem do la-</p><p>tim: DENARIUS.</p><p>Nos tempos primitivos a moeda era qualquer produto que</p><p>servisse como instrumento de troca, Exemplos:</p><p>· Chá na Índia;</p><p>· Arroz no Japão;</p><p>· Sal e colares em certos países africanos;</p><p>· No Brasil, no Rio de Janeiro, o açúcar teve curso forçado</p><p>como moeda, no Maranhão, o tecido de algodão substituiu</p><p>o dinheiro em algumas ocasiões.</p><p>Em 1874, foi proibida no Brasil, a CIRCULAÇÃO dos gêneros</p><p>alimentícios utilizados como moeda.</p><p>MOEDA: Qualquer objeto que sirva como meio de troca</p><p>em um sistema econômico;</p><p>MOEDA METÁLICA: Cunhagem da moeda em metais preci-</p><p>osos, trazendo seu peso impresso. Hoje trazem impressos</p><p>os seus valores;</p><p>PAPEL-MOEDA Emissão de recibos pelos cunhadores de</p><p>moedas. Atualmente é a moeda escritural emitida pelo Ban-</p><p>co Central de cada país.</p><p>MOEDA-ESCRITURAL: Foi criada pelo sistema bancário.</p><p>Emprestavam os valores acima do lastro do sistema bancá-</p><p>rio.</p><p>ENCAIXE: BACEN (Banco Central) determina uma porcenta-</p><p>gem que podem ser emprestada sobre os depósitos efetua-</p><p>dos em um banco.</p><p>MOEDA FIDUCIÁRIA: Moeda que tem curso obrigatório, por</p><p>Lei, em um país. No Brasil a Moeda Fiduciária é o Real -</p><p>R$.</p><p>PRINCIPAIS FUNÇÕES DA MOEDA</p><p>· Intermediário de trocas;</p><p>· Medida de valor;</p><p>· Reserva de Valor;</p><p>· Liberatória;</p><p>· Padrão de pagamentos diferidos;</p><p>· Instrumento de poder.</p><p>Intermediário de Trocas: Esta função permite a superação</p><p>de economia de escambo e a passagem à economia mo-</p><p>netária;</p><p>Medida de valor: a utiliza-</p><p>ção generalizada da moeda implica na criação de uma</p><p>unidade-padrão de medida pela qual são convertidos os</p><p>valores de todos os bens e serviços;</p><p>Reserva de valor: outra função exercida pela moeda, pois</p><p>pode servir como umareserva de valor, desde o momento</p><p>que é recebida até o instante em que é gasta por quem a</p><p>detenha.</p><p>Poder Liberatório: o poder de saldar dívidas, liquidar débi-</p><p>tos, livrar seu detentor de sair de uma posição passiva. Esta</p><p>particularidade da moeda dá-se o nome de: poder liberató-</p><p>rio.</p><p>Padrão de pagamentos diferidos: À medida que a moeda</p><p>tem, sob garantia do Estado, o poder de saldar dívidas,</p><p>sendo ademais, uma medida de valor, ela torna, automati-</p><p>camente, padrão de pagamentos diferidos. Esta função da</p><p>moeda resulta de sua capacidade de facilitar a distribuição</p><p>de pagamentos ao longo do tempo, que para concessão de</p><p>crédito ou de diferentes formas de adiantamentos.</p><p>MERCADO MONETÁRIO: é onde se encontram a oferta e a</p><p>demanda por moeda e se determina a taxa de juros de</p><p>equilíbrio.</p><p>MOEDA ESCRITURAL: criada pelo sistema bancário, ao</p><p>emprestar ou aplicar uma quantidade de moeda superior à</p><p>que era originalmente introduzida no sistema bancário co-</p><p>mo depósito em um dos bancos componentes do sistema.</p><p>MOEDA METÁLICA: moeda cunhada em metal precioso</p><p>que trazia impresso o seu peso. Atualmente, são cunhadas</p><p>em metal não precioso, trazendo impresso o seu valor.</p><p>MOEDA-FIDUCIÁRIA: emitida pelos bancos centrais de</p><p>cada país, tendo curso obrigatório por lei.</p><p>MOEDA: é todo objeto que serve para facilitar as trocas de</p><p>bens e serviços numa economia.</p><p>OFERTA DE MOEDA: é a quantidade de moeda que o go-</p><p>verno resolve emitir, num determinado período, através das</p><p>autoridades monetárias.</p><p>PADRÃO-OURO: sistema monetário em que o papel-moeda</p><p>emitido pelas autoridades monetárias tem uma relação com</p><p>a quantidade de ouro que o país possui. Atualmente, não é</p><p>mais seguido.</p><p>PAPEL-MOEDA: surgiu com a emissão de recibos pelos</p><p>cunhadores, e assegurava ao seu portador certa quantida-</p><p>de de ouro expressa no documento. Atualmente, é a moeda</p><p>emitida pelos bancos centrais de cada país.</p><p>POLÍTICA FISCAL: são medidas do governo que objetivam</p><p>diminuir a demanda através da carga tributária.</p><p>POLÍTICA MONETÁRIA: são medidas adotadas pelo gover-</p><p>no que visam reduzir a quantidade de moeda em circulação</p><p>na economia.</p><p>CRÉDITO A CURTO PRAZO: é o crédito cujo período para</p><p>pagamento é inferior a cinco meses.</p><p>CRÉDITO A LONGO PRAZO: é o crédito cujo período para</p><p>pagamento é superior a cinco anos.</p><p>CRÉDITO A MÉDIO PRAZO: é o crédito cujo período para</p><p>pagamento é superior a cinco meses e inferior a cinco anos.</p><p>CRÉDITO DE CONSUMO: concedido às pessoas para que</p><p>elas possam adquirir bens de consumo.</p><p>CRÉDITO DE PRODUÇÃO: é concedido às empresas para</p><p>que elas façam frente às despesas decorrentes da produ-</p><p>ção, como as despesas de investimento ou giro.</p><p>CRÉDITO PARA O ESTADO: é o crédito que o governo</p><p>utiliza para as despesas de investimento ou consumo.</p><p>CRÉDITO: é a troca de um bem, ou a concessão de uma</p><p>quantia de moeda, pela promessa de pagamento futuro.</p><p>CREDOR E DEVEDOR: são as pessoas envolvidas na ope-</p><p>ração de crédito. A primeira é a que empresta a quantia em</p><p>moeda, sob a promessa de recebê-la no futuro. O devedor</p><p>é a pessoa que deve pagar o empréstimo.</p><p>DEMANDA DE MOEDA PARA ESPECULAÇÃO: ocorre</p><p>quando aquela parcela da renda das pessoas que poderia</p><p>ser aplicada em títulos fica retida, pelo fato de a taxa de ju-</p><p>ros estar baixa e as pessoas aguardarem sua elevação pa-</p><p>ra comprar títulos.</p><p>DEMANDA DE MOEDA PARA TRANSAÇÕES: como os</p><p>recebimentos e pagamentos não são sincronizados, as</p><p>pessoas precisam reter moeda para pagar suas despesas.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 31</p><p>DEMANDA DE MOEDA POR PRECAUÇÃO: refere-se</p><p>àquela parte da renda das pessoas retida para fazer frente</p><p>a imprevistos.</p><p>Características essenciais da moeda.</p><p>As características mais relevantes da moeda, estudada des-</p><p>de Adam Smith são as seguintes:</p><p>· Indestrutibilidade e inalterabilidade;</p><p>· Homogeneidade;</p><p>· Divisibilidade;</p><p>·Transferibilidade;</p><p>· Facilidade de manuseio e transporte.</p><p>Indestrutibilidade e inalterabilidade: A moeda deve ser</p><p>suficientemente durável, no sentido de que não destrua ou</p><p>se deteriore com o seu manuseio. Além disso, Indestrutibili-</p><p>dade e inalterabilidade são obstáculos à sua falsificação,</p><p>constituindo-se, em elementos de fundamental importância</p><p>para a confiança e a aceitação geral da moeda.</p><p>Homogeneidade Duas unidades monetárias distintas, mas</p><p>de igual valor, devem ser rigorosamente iguais. Ex. se o ar-</p><p>roz fosse dado como moeda, aceita pelas duas partes, se o</p><p>comprador pensasse em pagar sua dívida com arroz miú-</p><p>dos e quebrados, enquanto o vendedor imaginava receber</p><p>arroz em grãos inteiros e graúdos. A possibilidade de tal</p><p>equívoco criada pela inexistência de homogeneidade é um</p><p>exemplo da necessidade de que duas unidades monetárias</p><p>do mesmo valor sejam rigorosamente iguais.</p><p>Divisibilidade A moeda deve possuir múltiplos e submúlti-</p><p>plos em quantidade tal que as transações de grande porte</p><p>assim como as pequenas possam ser realizadas sem ne-</p><p>nhuma restrição. Outro aspecto é quanto ao fracionamento.</p><p>(troco)</p><p>Transferibilidade Outra característica da moeda é quanto à</p><p>facilidade com que deve processar-se sua transferência, de</p><p>um detentor para outro.</p><p>Facilidade de manuseio e transporte o manuseio e o trans-</p><p>porte da moeda não deve oferecer obstáculos, isto é, preju-</p><p>dicar sua utilização.</p><p>Meios de pagamentos. (Vide Revista Conjuntura econômica.</p><p>Em Conjuntura Estatística: Moeda - Base monetária, meios</p><p>de pagamentos e quase-moeda).</p><p>Meios de pagamentos.- Base monetária.</p><p>M1 - Papel-moeda em poder do público + os depósitos a vista</p><p>(nos bancos comerciais);</p><p>M2 - M1 + títulos federais;</p><p>M3 - M2 + depósitos de poupança;</p><p>M4 - M3 + depósitos a prazo.</p><p>Alex Mendes</p><p>SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS</p><p>EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1) Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o</p><p>curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou</p><p>na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que</p><p>horas terminará a aula de inglês?</p><p>a) 14h b) 14h 30min c) 15h 15min d) 15h</p><p>30min e) 15h 45min</p><p>Solução:</p><p>Basta somarmos todos os valores mencionados no enuncia-</p><p>do do teste, ou seja:</p><p>13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min</p><p>2) Transformar 12,45 hm em dm.</p><p>Como o decímetro é a terceira casa à direita do hectôme-</p><p>tro, caminharemos com a vírgula três casas para a direi-</p><p>ta, e se necessário,</p><p>completaremos o número com zeros.</p><p>Então : 12,45 hm = 12 450 dm</p><p>3) Converta 431,8 cm2 em hm2.</p><p>Como o hectômetro quadrado é a quarta casa à esquerda</p><p>do quilômetro quadrado, caminharemos com a vírgula</p><p>duas casas até o</p><p>decímetro quadrado, duas casas até o metro quadrado,</p><p>duas casas até o decâmetro quadrado e mais duas casas</p><p>até o hectômetro</p><p>quadrado, ou seja, caminharemos 4 x 2 = 8 casas para a</p><p>esquerda, e se necessário, completaremos o número</p><p>com zeros.</p><p>Então : 431,8 cm2 = 4,31 dm2 = 0,0431 m2 = 0,000 431 dam2</p><p>= 0,000 004 31 hm2</p><p>4) Transformar 431 858,7 mm³ em m³.</p><p>Como o metro cúbico é a terceira casa à esquerda do</p><p>milímetro cúbico, caminharemos com a vírgula três casas</p><p>até o centímetro</p><p>cúbico, três casas até o decímetro cúbico e mais três</p><p>casas até o metro cúbico, ou seja, caminharemos 3 x 3 =</p><p>9 casas para a esquerda,</p><p>e se necessário, completaremos o número com zeros.</p><p>Então : 4 318 58,7 mm3 = 431,857 8 cm3 = 0, 431 857 8</p><p>dm3= 0,000 431 857 8 m3</p><p>5) 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?</p><p>Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348</p><p>mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centime-</p><p>tros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml,</p><p>já que cm3 e ml se equivalem.</p><p>Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de</p><p>volume, para uma unidade de medida de capacidade.</p><p>Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando</p><p>então passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então</p><p>por 10 duas vezes:</p><p>Logo:</p><p>348 mm3 equivalem a 0,00348 dl.</p><p>6) Fernando trabalha 2 h 20 min todos os dias numa empre-</p><p>sa, quantas minutos ele trabalha durante um mês inteiro de</p><p>30 dias.</p><p>a) 420</p><p>b) 4200</p><p>c) 42000</p><p>d) 4,20</p><p>e) 42,00</p><p>Solução: Para resolver essa questão é preciso saber que 1</p><p>hora = 60 min então se Fernando trabalha 2 horas e 20 min</p><p>então ele trabalha 120 min + 20 min = 140 min por dia. Então</p><p>durante um mês de 30 dias:</p><p>140 x 30 = 4200</p><p>Neste caso Fernando trabalha 4200 min durante 30 dias.</p><p>Resposta: letra "b".</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 32</p><p>7) Um reservatório tem 1,2 m de largura, 1,5 m de compri-</p><p>mento e 1 metro de altura. Para conter 1.260 litros de água,</p><p>esta deve atingir a altura de:</p><p>A) 70 cm</p><p>B) 0,07 m</p><p>C) 7 m</p><p>D) 0,7 dm</p><p>E) 700 cm</p><p>Solução:</p><p>Como já temos a capacidade (quantidade) desejada de água,</p><p>vamos determinar o volume em m3 que esta quantidade de</p><p>água ocupa.</p><p>No espaço de 1m3 cabem 1000 litros de água, então 1260</p><p>litros ocupam um espaço de</p><p>1260 / 1000 = 1,260 m3.</p><p>Portanto, o volume para 1260 litros de água é de 1,260 m3.</p><p>Sabemos que</p><p>para obter o volume considerado devemos</p><p>fazer o produto das três dimensões (área da base pela altu-</p><p>ra), temos o comprimento 1,5 m, a largura, 1,2 m e a altura</p><p>procurada vamos indicar por h.</p><p>Volume = 1,260 m3</p><p>1,5 x 1,2 x h = 1,260, então 1,8h = 1,260 e daí, h = 0,7 m = 70</p><p>cm.</p><p>8) Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de</p><p>milho em grão em uma área plantada de 2.500 hectares.</p><p>Obtenha a produtividade média do município em termos de</p><p>sacas de 60 kg colhidas por hectare.</p><p>A) 50</p><p>B) 60</p><p>C) 72</p><p>D) 90</p><p>E) 100</p><p>Solução:</p><p>Sabemos que uma tonelada equivalem a 1000 kg, então</p><p>9000 toneladas equivalem a 9000 x 1000 = 9.000.000 kg.</p><p>Isto é, 9.000.000 kg foram plantados em 2.500 hectares.</p><p>Mas o problema pede a produtividade média do município</p><p>em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare. Vamos</p><p>antes determinar a quantidade de sacas de 60 kg.</p><p>9.000.000 / 60 = 150.000 sacas de 60 kg plantadas em 2.500</p><p>hectares. Logo, a produtividade média por hectare é de</p><p>150.000 / 2.500 = 60 sacas / hectare. Ou seja, 60 sacas de</p><p>60kg por cada um hectare.</p><p>9) 15.000 mm2 + 15 cm2 é igual a:</p><p>A) 0,1515 dm2</p><p>B) 1,5015 dm2</p><p>C) 1,65 dm2</p><p>D) 15,15 dm2</p><p>E) 151,5 dm2</p><p>Solução:</p><p>Para encontrar a resposta correta nesta questão, devemos</p><p>antes olhar para as alternativas e logo verificamos que todas</p><p>estão em dm2, portanto devemos converter as medidas do</p><p>enunciado para dm2. Atenção para o fato de que só podemos</p><p>efetuar a soma de grandezas que estão na mesma unidade.</p><p>Lembre-se que estamos lidando com unidades de superfície,</p><p>isto é, uma grandeza bidimensional onde para cada unidade</p><p>imediatamente superior ou inferior devemos multiplicar ou</p><p>dividir, por 100. Vejamos:</p><p>vamos converter 15.000 mm2 para dm2. O dm2 quadrado é</p><p>um unidade superior ao mm2, isto é, partindo do</p><p>mm2 devemos passar pelo cm2 e depois dm2.</p><p>Dividimos por 100 para converter em cm2 e depois, novamen-</p><p>te por 100 para converter em dm2. Na prática deslocamos a</p><p>vírgula quatro casas decimais para a esquerda.</p><p>15.000 mm2 = 1,5000 dm2.</p><p>Agora, para converter cm2 em dm2, basta dividir por 100, ou</p><p>seja, deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquer-</p><p>da.</p><p>15 cm2 = 0,15 dm2.</p><p>Fazendo a soma:</p><p>1,5000 dm2 + 0,15 dm2 = 1,6500 = 1,65 dm2.</p><p>11) Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia se-</p><p>guinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais 12500</p><p>cm. Qual a distância que a tartaruga percorreu nos três dias?</p><p>Solução:</p><p>1º dia ---6,05hm = 605m</p><p>2º dia ---0,72km = 720m</p><p>3º dia ---12500cm = 125m</p><p>Total = 1450 m.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 33</p><p>Agora pratique</p><p>12) 13,73 dam foram convertidos para várias unidades dife-</p><p>rentes. Das conversões abaixo, assinale a única que es-</p><p>tá errada</p><p>a) 13730 cm b) 137,3 m c)1,373 hm</p><p>d) 0,01373 km</p><p>13) Eu tenho um terreno retangular de dimensões de 125</p><p>metros por 80 metros que eu pretendo usar para plantação.</p><p>Mas deste terreno, uma parte, medindo 30 dam2, está ocupa-</p><p>da com construções. Qual é a área que sobra, em km2 ?</p><p>a) 0,007 km² b) 0,097 km² c) 0,7 km²</p><p>d) 0,997 km²</p><p>14) Muitos remédios são tomados em doses menores que o</p><p>mg. Um comprimido de certo remédio tem 0,025 mg de uma</p><p>certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos com-</p><p>primidos podem ser feitos?</p><p>a) menos de um b) 40 c) 40.000 d)</p><p>40.000.000</p><p>15) Uma rocha cúbica tem uma aresta medindo 30 metros.</p><p>Qual é o seu volume em litros?</p><p>a) 27 l b) 90 l c) 27.000 l d) 90.000 l</p><p>e) 27.000.000 l</p><p>16) Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o</p><p>tanque pela metade. Coloquei 35 litros e enchi o tanque. Qual</p><p>é a capacidade do tanque em m3?</p><p>a) 0,07 m³ b) 17,5 m³ c)70 m³</p><p>d) 17.500 m³</p><p>17) Um programa de televisão começou às 13 horas, 15</p><p>minutos e 20 segundos, e terminou às 15 horas, 5 minutos e</p><p>40 segundos. Quanto tempo este programa durou, em se-</p><p>gundos?</p><p>a) 6620 s b) 6680 s c) 6740 s d) 10220</p><p>s</p><p>18) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno</p><p>retangular que mede 0,2 km de largura e 0,3 km de compri-</p><p>mento. Quantos metros de arame farpado devo usar?</p><p>a) 500 m b) 600 m c) 1.000 m</p><p>d) 60.000 m</p><p>19) Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com</p><p>uma lata de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o</p><p>que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a</p><p>água para secar a enchente. Sabendo que o volume da en-</p><p>chente era de 70.000 m3, quantas viagens a menina teria que</p><p>fazer para secar toda a água?</p><p>a) 200 b) 20.000 c) 2.000.000</p><p>d) 200.000.000</p><p>20) A atleta brasileira Fabiana Murer alcançou a marca de</p><p>4,60 m no salto com vara, nos Jogos Pan-americanos reali-</p><p>zados no Rio de Janeiro em 2007. Sua melhor marca é de</p><p>4,80 m, recorde sul-americano na categoria. Qual é a diferen-</p><p>ça, em centímetro, entre essas duas marcas?</p><p>a) 20.</p><p>b) 0,2</p><p>c) 2.</p><p>d) 200.</p><p>21) Um passo de Pedro equivale a 0,5 m. Para dar uma volta</p><p>em torno do quarteirão, ele contou 420 passos. Quantos</p><p>metros tem o contorno desse quarteirão?</p><p>a) 840.</p><p>b) 84.</p><p>c) 2100.</p><p>d) 210</p><p>22) Comprei 12 m de tecido por R$ 30,00. Quanto custa 80</p><p>cm do mesmo tecido?</p><p>a) R$ 0,20.</p><p>b) R$ 2,50.</p><p>c) R$ 2,00.</p><p>d) R$ 0,25</p><p>Gabarito:</p><p>12) D 13) A 14) D 15) E 16) A 17) A 18) C</p><p>19) D 20) A 21) D 22) C</p><p>Fontes: http://www.calculobasico.com.br/</p><p>http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasMedida.aspx</p><p>Área das figuras planas</p><p>Retângulo</p><p>Quadrado</p><p>Triângulo</p><p>Paralelogramo</p><p>Trapézio</p><p>Losango</p><p>Triângulo equilátero</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 34</p><p>RAZÕES E PROPORÇÕES</p><p>1. INTRODUÇÃO</p><p>Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste</p><p>de R$ 80,00, como você reagiria? Acharia caro, normal, ou</p><p>abaixo da expectativa? Esse mesmo valor, que pode parecer</p><p>caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignifi-</p><p>cante, se tratasse de um acréscimo no seu salário.</p><p>Naturalmente, você já percebeu que os R$ 80,00 nada</p><p>representam, se não forem comparados com um valor base e</p><p>se não forem avaliados de acordo com a natureza da compa-</p><p>ração. Por exemplo, se a mensalidade escolar fosse de R$</p><p>90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; afinal, o valor</p><p>da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do salário,</p><p>mesmo considerando o salário mínimo, R$ 80,00 seriam uma</p><p>parte mínima. .</p><p>A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, vamos</p><p>estabelecer regras para comparação entre grandezas.</p><p>2. RAZÃO</p><p>Você já deve ter ouvido expressões como: "De cada 20</p><p>habitantes, 5 são analfabetos", "De cada 10 alunos, 2 gostam</p><p>de Matemática", "Um dia de sol, para cada dois de chuva".</p><p>Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma</p><p>comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso,</p><p>destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e no terceiro,</p><p>1 para cada 2.</p><p>Todas as comparações serão matematicamente</p><p>expressas por um quociente chamado razão.</p><p>Teremos, pois:</p><p>De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos.</p><p>Razão =</p><p>5</p><p>20</p><p>De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática.</p><p>Razão =</p><p>2</p><p>10</p><p>c. Um dia de sol, para cada dois de chuva.</p><p>Razão</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>Nessa expressão, a chama-se antecedente e b,</p><p>consequente. Outros exemplos de razão:</p><p>Em cada 10 terrenos vendidos, um é do corretor.</p><p>Razão =</p><p>1</p><p>10</p><p>Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou todas.</p><p>Razão =</p><p>6</p><p>6</p><p>3. Uma liga de metal é feita de 2 partes de ferro e 3 partes</p><p>de zinco.</p><p>Razão =</p><p>2</p><p>5</p><p>(ferro) Razão =</p><p>3</p><p>5</p><p>(zinco).</p><p>3. PROPORÇÃO</p><p>Há situações em que as grandezas que estão sendo</p><p>comparadas podem ser expressas por razões de anteceden-</p><p>tes e consequentes diferentes, porém com o mesmo quocien-</p><p>te. Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar nos revelar</p><p>que, de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática,</p><p>poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da</p><p>mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verda-</p><p>de, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o</p><p>mesmo que 20 em 80.</p><p>Escrevemos:</p><p>10</p><p>40</p><p>=</p><p>20</p><p>80</p><p>A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome</p><p>de proporção.</p><p>Na expressão acima, a e c são chamados de</p><p>antecedentes e b e d de consequentes. .</p><p>A proporção também pode ser representada como a : b =</p><p>c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida assim: a está</p><p>para b assim como c está para d. E importante notar que b e</p><p>c são denominados meios e a e d, extremos.</p><p>Exemplo:</p><p>A proporção</p><p>3</p><p>7</p><p>=</p><p>9</p><p>21</p><p>, ou 3 : 7 : : 9 : 21, é</p><p>lida da seguinte forma: 3 está para 7 assim como 9 está</p><p>para 21. Temos ainda:</p><p>3 e 9 como antecedentes,</p><p>7 e 21 como consequentes,</p><p>7 e 9 como meios e</p><p>3 e 21 como extremos.</p><p>3.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL</p><p>O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:</p><p>Exemplo:</p><p>Se 6</p><p>24</p><p>=</p><p>24</p><p>96</p><p>, então 6 . 96 = 24 . 24 = 576.</p><p>3.2 ADIÇÃO (OU SUBTRAÇÃO) DOS ANTECEDENTES</p><p>E CONSEQUENTES</p><p>Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos anteceden-</p><p>tes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim</p><p>como cada antecedente está para seu consequente. Ou seja:</p><p>Essa propriedade é válida desde que nenhum</p><p>denominador seja nulo.</p><p>A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o</p><p>quociente</p><p>a</p><p>b</p><p>, ou a : b.</p><p>Dadas duas razões</p><p>a</p><p>b</p><p>e</p><p>c</p><p>d</p><p>, com b e d ≠ 0,</p><p>teremos uma proporção se</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>c</p><p>d</p><p>.</p><p>0 d b, ; bc = ad</p><p>d</p><p>c</p><p>= ≠⇔</p><p>b</p><p>a</p><p>Se</p><p>a</p><p>b</p><p>= , entao</p><p>a + c</p><p>b + d</p><p>=</p><p>a</p><p>=</p><p>c</p><p>d</p><p>ou</p><p>a - c</p><p>b - d</p><p>=</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>c</p><p>d</p><p>c</p><p>d b</p><p>,</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 35</p><p>Exemplo:</p><p>21 + 7</p><p>12 + 4</p><p>=</p><p>28</p><p>16</p><p>=</p><p>7</p><p>4</p><p>21</p><p>12</p><p>=</p><p>7</p><p>4</p><p>21 - 7</p><p>12 - 4</p><p>=</p><p>14</p><p>8</p><p>=</p><p>7</p><p>4</p><p>GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO</p><p>PROPORCIONAL</p><p>1. INTRODUÇÃO:</p><p>No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem nú-</p><p>meros, tais como: preço, peso, salário, dias de trabalho, índi-</p><p>ce de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passare-</p><p>mos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis</p><p>como uma grandeza. Você sabe que cada grandeza não é</p><p>independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário,</p><p>por exemplo, está relacionado a dias de trabalho. Há pesos</p><p>que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Vamos ana-</p><p>lisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas pro-</p><p>porcionais.</p><p>2. PROPORÇÃO DIRETA</p><p>Grandezas como trabalho produzido e remuneração obti-</p><p>da são, quase sempre, diretamente proporcionais. De fato, se</p><p>você receber R$ 2,00 para cada folha que datilografar, sabe</p><p>que deverá receber R$ 40,00 por 20 folhas datilografadas.</p><p>Podemos destacar outros exemplos de grandezas</p><p>diretamente proporcionais:</p><p>Velocidade média e distância percorrida, pois, se você</p><p>dobrar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo</p><p>tempo, dobrar a distância percorrida.</p><p>Área e preço de terrenos.</p><p>Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada</p><p>por ele.</p><p>Assim:</p><p>3. PROPORÇÃO INVERSA</p><p>Grandezas como tempo de trabalho e número de operá-</p><p>rios para a mesma tarefa são, em geral, inversamente pro-</p><p>porcionais. Veja: Para uma tarefa que 10 operários executam</p><p>em 20 dias, devemos esperar que 5 operários a realizem em</p><p>40 dias.</p><p>Podemos destacar outros exemplos de grandezas</p><p>inversamente proporcionais:</p><p>Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você do-</p><p>brar a velocidade com que anda, mantendo fixa a distância a</p><p>ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade.</p><p>Número de torneiras de mesma vazão e tempo para en-</p><p>cher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiverem aber-</p><p>tas, menor o tempo para completar o tanque.</p><p>Podemos concluir que :</p><p>Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de</p><p>reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão.</p><p>Considere a situação de um grupo de pessoas que, em</p><p>férias, se instale num acampamento que cobra R$100,00 a</p><p>diária individual.</p><p>Observe na tabela a relação entre o número de pessoas e</p><p>a despesa diária:</p><p>Número</p><p>de</p><p>pessoas</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>5</p><p>10</p><p>Despesa</p><p>diária (R$</p><p>)</p><p>100</p><p>200</p><p>400</p><p>500</p><p>1.000</p><p>Você pode perceber na tabela que a razão de aumento do</p><p>número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa.</p><p>Assim, se dobrarmos o número de pessoas, dobraremos ao</p><p>mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, uma proporção</p><p>direta, ou melhor, as grandezas número de pessoas e despe-</p><p>sa diária são diretamente proporcionais.</p><p>Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a quan-</p><p>tia a ser gasta pelo grupo seja sempre de R$2.000,00. Per-</p><p>ceba, então, que o tempo de permanência do grupo depende-</p><p>rá do número de pessoas.</p><p>Analise agora a tabela abaixo :</p><p>Número de</p><p>pessoas</p><p>1 2 4 5 10</p><p>Tempo de</p><p>permanência</p><p>(dias)</p><p>20</p><p>10</p><p>5</p><p>4</p><p>2</p><p>Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo</p><p>de permanência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma</p><p>proporção inversa, ou melhor, as grandezas número de pes-</p><p>soas e número de dias são inversamente proporcionais.</p><p>4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS</p><p>4. 1 Diretamente proporcional</p><p>Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um</p><p>mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas e B duran-</p><p>te 5 horas. Como, agora, elas deverão dividir com justiça os</p><p>R$ 660,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que</p><p>cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional ao</p><p>tempo gasto na confecção do objeto.</p><p>No nosso problema, temos de dividir 660 em partes dire-</p><p>tamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas que A e B</p><p>trabalharam.</p><p>Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a</p><p>receber, e de y o que B tem a receber.</p><p>Duas grandezas São diretamente proporcionais</p><p>quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas</p><p>numa determinada razão, a outra diminui (ou</p><p>aumenta) nessa mesma razão.</p><p>Duas grandezas são inversamente proporcionais</p><p>quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas</p><p>numa determinada razão, a outra diminui (ou</p><p>aumenta) na mesma razão.</p><p>Dividir um número em partes diretamente</p><p>proporcionais a outros números dados é</p><p>encontrar partes desse número que sejam</p><p>diretamente proporcionais aos números dados e</p><p>cuja soma reproduza o próprio número.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 36</p><p>Teremos então:</p><p>X + Y = 660</p><p>X</p><p>6</p><p>=</p><p>Y</p><p>5</p><p>Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades</p><p>de proporção. Assim:</p><p>X + Y</p><p>6 + 5</p><p>= Substituindo X + Y por 660,</p><p>vem</p><p>660</p><p>=</p><p>X</p><p>6</p><p>X =</p><p>6 660</p><p>11</p><p>= 360</p><p>11</p><p>⇒</p><p>⋅</p><p>Como X + Y = 660, então Y = 300</p><p>Concluindo, A deve receber R$ 360,00 enquanto B, R$</p><p>300,00.</p><p>4.2</p><p>X - Figuras de linguagem. ..........................................................................................................................87</p><p>XI - Vícios de linguagem. ...........................................................................................................................88</p><p>XII - Discursos direto e indireto..................................................................................................................... 4</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>A Opção Certa Para a Sua Realização</p><p>A PRESENTE APOSTILA NÃO ESTÁ VINCULADA A EMPRESA ORGANIZADORA DO CONCURSO</p><p>PÚBLICO A QUE SE DESTINA, ASSIM COMO SUA AQUISIÇÃO NÃO GARANTE A INSCRIÇÃO DO</p><p>CANDIDATO OU MESMO O SEU INGRESSO NA CARREIRA PÚBLICA.</p><p>O CONTEÚDO DESTA APOSTILA ALMEJA ENGLOBAR AS EXIGENCIAS DO EDITAL, PORÉM, ISSO</p><p>NÃO IMPEDE QUE SE UTILIZE O MANUSEIO DE LIVROS, SITES, JORNAIS, REVISTAS, ENTRE OUTROS</p><p>MEIOS QUE AMPLIEM OS CONHECIMENTOS DO CANDIDATO, PARA SUA MELHOR PREPARAÇÃO.</p><p>ATUALIZAÇÕES LEGISLATIVAS, QUE NÃO TENHAM SIDO COLOCADAS À DISPOSIÇÃO ATÉ A</p><p>DATA DA ELABORAÇÃO DA APOSTILA, PODERÃO SER ENCONTRADAS GRATUITAMENTE NO SITE DA</p><p>APOSTILAS OPÇÃO, OU NOS SITES GOVERNAMENTAIS.</p><p>INFORMAMOS QUE NÃO SÃO DE NOSSA RESPONSABILIDADE AS ALTERAÇÕES E RETIFICAÇÕES</p><p>NOS EDITAIS DOS CONCURSOS, ASSIM COMO A DISTRIBUIÇÃO GRATUITA DO MATERIAL RETIFICADO,</p><p>NA VERSÃO IMPRESSA, TENDO EM VISTA QUE NOSSAS APOSTILAS SÃO ELABORADAS DE ACORDO</p><p>COM O EDITAL INICIAL. 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Não interessa a ordem e quantas vezes os</p><p>elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma</p><p>coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a</p><p>ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.</p><p>Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática.</p><p>Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas</p><p>de elementos. A notação padrão lista os elementos</p><p>separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses"</p><p>ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:</p><p>{1, 2, 3}</p><p>{1, 2, 2, 1, 3, 2}</p><p>{x : x é um número inteiro tal que 0<x<4}</p><p>Os três exemplos acima são maneiras diferentes de</p><p>representar o mesmo conjunto.</p><p>É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes</p><p>maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos</p><p>pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus</p><p>elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e</p><p>somente se cada elemento de um é também elemento do</p><p>outro, não importando a quantidade e nem a ordem das</p><p>ocorrências dos elementos.</p><p>Conceitos essenciais</p><p>� Conjunto: representa uma coleção de objetos,</p><p>geralmente representado por letras maiúsculas;</p><p>� Elemento: qualquer um dos componentes de um</p><p>conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;</p><p>� Pertinência: é a característica associada a um</p><p>elemento que faz parte de um conjunto;</p><p>Pertence ou não pertence</p><p>Se é um elemento de , nós podemos dizer que o</p><p>elemento pertence ao conjunto e podemos escrever</p><p>. Se não é um elemento de , nós podemos</p><p>dizer que o elemento não pertence ao conjunto e</p><p>podemos escrever .</p><p>1. Conceitos primitivos</p><p>Antes de mais nada devemos saber que conceitos</p><p>primitivos são noções que adotamos sem definição.</p><p>Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto,</p><p>o de elemento e o de pertinência de um elemento a um con-</p><p>junto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: de-</p><p>terminado elemento pertence a um conjunto, sem que te-</p><p>nhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que</p><p>significa dizer que um elemento pertence ou não a um con-</p><p>junto.</p><p>2 Notação</p><p>Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a</p><p>seguinte notação:</p><p>• os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B,</p><p>C, ... ;</p><p>• os elementos são indicados por letras minúsculas: a,</p><p>b, c, x, y, ... ;</p><p>• o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é</p><p>indicado com x ∈ C;</p><p>• o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto</p><p>C é indicado y ∉ C.</p><p>3. Representação dos conjuntos</p><p>Um conjunto pode ser representado de três maneiras:</p><p>• por enumeração de seus elementos;</p><p>• por descrição de uma propriedade característica do</p><p>conjunto;</p><p>• através de uma representação gráfica.</p><p>Um conjunto é representado por enumeração quando</p><p>todos os seus elementos são indicados e colocados dentro</p><p>de um par de chaves.</p><p>Exemplo:</p><p>a) A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto</p><p>formado pelos algarismos do nosso sistema de numeração.</p><p>b) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v,</p><p>x, z ) indica o conjunto formado pelas letras do nosso</p><p>alfabeto.</p><p>c) Quando um conjunto possui número elevado de</p><p>elementos, porém apresenta lei de formação bem clara,</p><p>podemos representa-lo, por enumeração, indicando os</p><p>primeiros e os últimos elementos, intercalados por</p><p>reticências. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) indica o conjunto</p><p>dos números pares positivos, menores do que100.</p><p>d) Ainda usando reticências, podemos representar, por</p><p>enumeração, conjuntos com infinitas elementos que tenham</p><p>uma lei de formação bem clara, como os seguintes:</p><p>D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos números</p><p>inteiros não negativos;</p><p>E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos números</p><p>inteiros;</p><p>F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos números</p><p>ímpares positivos.</p><p>A representação de um conjunto por meio da descrição de</p><p>uma propriedade característica é mais sintética que sua re-</p><p>presentação por enumeração. Neste caso, um conjunto C, de</p><p>elementos x, será representado da seguinte maneira:</p><p>C = { x | x possui uma determinada propriedade }</p><p>que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui</p><p>uma determinada propriedade:</p><p>Exemplos</p><p>O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser</p><p>representado por descrição da seguinte maneira: A = { x | x</p><p>é algarismo do nosso sistema de numeração }</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS</p><p>INVERSAMENTE PROPORCIONAL</p><p>E se nosso problema não fosse efetuar divisão em partes</p><p>diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por</p><p>exemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, trabalharam</p><p>durante um mesmo período para fabricar e vender por R$</p><p>160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3</p><p>dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? O pro-</p><p>blema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente</p><p>proporcionais a 3 e a 5, pois deve ser levado em considera-</p><p>ção que aquele que se atrasa mais deve receber menos.</p><p>No nosso problema, temos de dividir 160 em partes inver-</p><p>samente proporcionais a 3 e a 5, que são os números de</p><p>atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando de x</p><p>o que A tem a receber e de y o que B tem a receber.</p><p>x + y = 160</p><p>Teremos:</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>y</p><p>1</p><p>5</p><p>Resolvendo o sistema, temos:</p><p>x + y</p><p>1</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>5</p><p>=</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>x + y</p><p>8</p><p>15</p><p>=</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>⇒</p><p>Mas, como x + y = 160, então</p><p>160</p><p>8</p><p>15 15</p><p>=</p><p>x</p><p>1</p><p>3</p><p>x =</p><p>160</p><p>8</p><p>1</p><p>3</p><p>⇒ ⋅ ⇒</p><p>x = 160</p><p>15</p><p>8</p><p>1</p><p>3</p><p>x = 100⇒ ⋅ ⋅ ⇒</p><p>Como x + y = 160, então y = 60. Concluindo, A deve</p><p>receber R$ 100,00 e B, R$ 60,00.</p><p>4.3 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA</p><p>Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi</p><p>contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho</p><p>em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A</p><p>tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma,</p><p>10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12</p><p>homens trabalharam durante 4 dias. Estamos considerando</p><p>que os homens tinham a mesma capacidade de trabalho. A</p><p>empreiteira tinha R$ 29.400,00 para dividir com justiça entre</p><p>as duas turmas de trabalho. Como fazê-lo?</p><p>Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores.</p><p>Trata-se aqui de uma divisão composta em partes proporcio-</p><p>nais, já que os números obtidos deverão ser proporcionais a</p><p>dois números e também a dois outros.</p><p>Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias, produ-</p><p>zindo o mesmo resultado de 50 homens, trabalhando por um</p><p>dia. Do mesmo modo, na segunda turma, 12 homens traba-</p><p>lharam 4 dias, o que seria equivalente a 48 homens traba-</p><p>lhando um dia.</p><p>Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto,</p><p>de divisão diretamente proporcional a 50 (que é 10 . 5), e 48</p><p>(que é 12 . 4).</p><p>Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes in-</p><p>versamente proporcionais a certos números é o mesmo que</p><p>fazer a divisão em partes diretamente proporcionais ao inver-</p><p>so dos números dados.</p><p>Resolvendo nosso problema, temos:</p><p>Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira</p><p>turma; y: a quantia que deve receber a segunda turma.</p><p>Assim:</p><p>x</p><p>10 5</p><p>=</p><p>y</p><p>12 4</p><p>ou</p><p>x</p><p>50</p><p>=</p><p>y</p><p>48</p><p>x + y</p><p>50 + 48</p><p>=</p><p>x</p><p>50</p><p>⋅ ⋅</p><p>⇒</p><p>15.000</p><p>98</p><p>50 29400</p><p>= x</p><p>50</p><p>x</p><p>=</p><p>98</p><p>29400</p><p>então 29400, =y + x Como</p><p>⇒</p><p>⋅</p><p>⇒</p><p>Portanto y = 14 400.</p><p>Concluindo, a primeira turma deve receber R$ 15.000,00</p><p>da empreiteira, e a segunda, R$ 14.400,00.</p><p>Observação: Firmas de projetos costumam cobrar cada</p><p>trabalho usando como unidade o homem-hora. O nosso</p><p>problema é um exemplo em que esse critério poderia ser</p><p>usado, ou seja, a unidade nesse caso seria homem-dia. Seria</p><p>obtido o valor de R$ 300,00 que é o resultado de 15 000 : 50,</p><p>ou de 14 400 : 48.</p><p>REGRA DE TRÊS SIMPLES</p><p>REGRA DE TRÊS SIMPLES</p><p>Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo</p><p>com o uso da regra de três de maneira prática.</p><p>Dividir um número em partes inversamente propor-</p><p>cionais a outros números dados é encontrar partes</p><p>desse número que sejam diretamente proporcio-</p><p>nais aos inversos dos números dados e cuja soma</p><p>reproduza o próprio número.</p><p>Para dividir um número em partes de tal forma que</p><p>uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p</p><p>e q, basta divida esse número em partes</p><p>proporcionais a m . n e p . q.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 37</p><p>Devemos dispor as grandezas, bem como os valores en-</p><p>volvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da</p><p>proporção e escrevê-la.</p><p>Assim:</p><p>Grandeza 1: tempo</p><p>(horas)</p><p>Grandeza 2: distância</p><p>percorrida</p><p>(km)</p><p>6</p><p>8</p><p>900</p><p>x</p><p>Observe que colocamos na mesma linha valores que se</p><p>correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o valor</p><p>desconhecido.</p><p>Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para</p><p>indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no mes-</p><p>mo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais; se</p><p>em sentidos contrários, são inversamente proporcionais.</p><p>Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o</p><p>mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: "Consi-</p><p>derando a mesma velocidade, se aumentarmos o tempo,</p><p>aumentará a distância percorrida?" Como a resposta a essa</p><p>questão é afirmativa, as grandezas são diretamente proporci-</p><p>onais.</p><p>Já que a proporção é direta, podemos escrever:</p><p>6</p><p>8</p><p>900</p><p>=</p><p>x</p><p>Então: 6 . x = 8 . 900 ⇒ x =</p><p>7200</p><p>6</p><p>= 1 200</p><p>Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8 horas.</p><p>Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de</p><p>três.</p><p>Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h,</p><p>percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será o tempo</p><p>necessário para percorrer o mesmo espaço com uma</p><p>velocidade de 60 km/h?</p><p>Grandeza 1: tempo</p><p>(horas)</p><p>Grandeza 2: velocidade</p><p>(km/h)</p><p>8</p><p>x</p><p>90</p><p>60</p><p>A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço per-</p><p>corrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará?"</p><p>é negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são</p><p>inversamente proporcionais.</p><p>Como a proporção é inversa, será necessário invertermos</p><p>a ordem dos termos de uma das colunas, tornando a propor-</p><p>ção direta. Assim:</p><p>8 60</p><p>x 90</p><p>Escrevendo a proporção, temos:</p><p>8 60</p><p>90</p><p>8</p><p>60x</p><p>x= ⇒ =</p><p>⋅ 90</p><p>= 12</p><p>Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância</p><p>em 12 horas.</p><p>REGRA DE TRÊS COMPOSTA</p><p>Vamos agora utilizar a regra de três para resolver proble-</p><p>mas em que estão envolvidas mais de duas grandezas pro-</p><p>porcionais. Como exemplo, vamos analisar o seguinte pro-</p><p>blema.</p><p>Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produ-</p><p>zem 2 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para</p><p>se produzir 1 680 peças em 6 dias?</p><p>Como nos problemas anteriores, você deve verificar a na-</p><p>tureza da proporção entre as grandezas e escrever essa</p><p>proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as grande-</p><p>zas e os valores envolvidos.</p><p>Grandeza 1:</p><p>número de</p><p>máquinas</p><p>Grandeza 2:</p><p>dias</p><p>Grandeza 3:</p><p>número de peças</p><p>10</p><p>x</p><p>20</p><p>6</p><p>2000</p><p>1680</p><p>Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das</p><p>setas é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-la</p><p>com as outras.</p><p>Supondo fixo o número de dias, responda à questão:</p><p>"Aumentando o número de máquinas, aumentará o número</p><p>de peças fabricadas?" A resposta a essa questão é afirmati-</p><p>va. Logo, as grandezas 1 e 3 são diretamente proporcionais.</p><p>Agora, supondo fixo o número de peças, responda à</p><p>questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o</p><p>número de dias necessários para o trabalho?" Nesse caso, a</p><p>resposta é negativa. Logo, as grandezas 1 e 2 são inversa-</p><p>mente proporcionais.</p><p>Para se escrever corretamente a proporção, devemos fa-</p><p>zer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo</p><p>os termos das colunas convenientes. Naturalmente, no nosso</p><p>exemplo, fica mais fácil inverter a coluna da grandeza 2.</p><p>10 6 2000</p><p>x 20 1680</p><p>Agora, vamos escrever a proporção:</p><p>10 6</p><p>20x</p><p>= ⋅</p><p>2000</p><p>1680</p><p>(Lembre-se de que uma grandeza proporcional a duas</p><p>outras é proporcional ao produto delas.)</p><p>Regra de três simples é um processo prático utilizado</p><p>para resolver problemas que envolvam pares de</p><p>grandezas direta ou inversamente proporcionais.</p><p>Essas grandezas formam uma proporção em que se</p><p>conhece três termos e o quarto termo é procurado.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 38</p><p>10 12000</p><p>33600</p><p>10</p><p>28</p><p>x</p><p>x= ⇒ =</p><p>⋅</p><p>=</p><p>33600</p><p>12000</p><p>Concluindo, serão necessárias 28 máquinas.</p><p>PORCENTAGEM</p><p>1. INTRODUÇÃO</p><p>Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha</p><p>vitrinas, frequentemente se vê às voltas com expressões do</p><p>tipo:</p><p>� "O índice de reajuste salarial de março é de 16,19%."</p><p>� "O rendimento da caderneta de poupança em</p><p>fevereiro foi de 18,55%."</p><p>� "A inflação acumulada nos últimos 12 meses foi de</p><p>381,1351%.</p><p>� "Os preços foram reduzidos em até 0,5%."</p><p>Mesmo supondo que essas expressões não sejam com-</p><p>pletamente desconhecidas para uma pessoa, é importante</p><p>fazermos um estudo organizado do assunto porcentagem,</p><p>uma vez que o seu conhecimento é ferramenta indispensável</p><p>para a maioria dos problemas relativos à Matemática Comer-</p><p>cial.</p><p>2. PORCENTAGEM</p><p>O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar</p><p>números usando a proporção direta. Só que uma das razões</p><p>da proporção é um fração de denominador 100. Vamos dei-</p><p>xar isso mais claro: numa situação em que você tiver de cal-</p><p>cular 40% de R$ 300,00, o seu trabalho será determinar um</p><p>valor que represente, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso</p><p>pode ser resumido na proporção:</p><p>40</p><p>100 300</p><p>=</p><p>x</p><p>Então, o valor de x será de R$ 120,00.</p><p>Sabendo que em cálculos de porcentagem será</p><p>necessário utilizar sempre proporções diretas, fica claro,</p><p>então, que qualquer problema dessa natureza poderá ser</p><p>resolvido com regra de três simples.</p><p>3. TAXA PORCENTUAL</p><p>O uso de regra de três simples no cálculo de porcenta-</p><p>gens é um recurso que torna fácil o entendimento do assunto,</p><p>mas não é o único caminho possível e nem sequer o mais</p><p>prático.</p><p>Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário,</p><p>inicialmente, dar nomes a alguns termos. Veremos isso a</p><p>partir de um exemplo.</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular 20% de 800.</p><p>Calcular 20%, ou</p><p>20</p><p>100</p><p>de 800 é dividir 800 em 100</p><p>partes e tomar 20 dessas partes. Como a centésima parte de</p><p>800 é 8, então 20 dessas partes será 160.</p><p>Chamamos: 20% de taxa porcentual; 800 de principal;</p><p>160 de porcentagem.</p><p>Temos, portanto:</p><p>� Principal: número sobre o qual se vai calcular a</p><p>porcentagem.</p><p>� Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 100 partes do</p><p>principal.</p><p>� Porcentagem: número que se obtém somando cada</p><p>uma das 100 partes do principal até conseguir a taxa.</p><p>A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcu-</p><p>larmos uma porcentagem de um principal conhecido, não é</p><p>necessário utilizar a montagem de uma regra de três. Basta</p><p>dividir o principal por 100 e tomarmos tantas destas partes</p><p>quanto for a taxa. Vejamos outro exemplo.</p><p>Exemplo:</p><p>Calcular 32% de 4.000.</p><p>Primeiro dividimos 4 000 por 100 e obtemos 40, que é a</p><p>centésima parte de 4 000. Agora, somando 32 partes iguais a</p><p>40, obtemos 32 . 40 ou 1 280 que é a resposta para o pro-</p><p>blema.</p><p>Observe que dividir o principal por 100 e multiplicar o re-</p><p>sultado dessa divisão por 32 é o mesmo que multiplicar o</p><p>principal por</p><p>32</p><p>100</p><p>ou 0,32. Vamos usar esse raciocínio de</p><p>agora em diante:</p><p>JUROS SIMPLES</p><p>Consideremos os seguintes fatos:</p><p>• Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo</p><p>de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24</p><p>000,00 de juros.</p><p>• O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se</p><p>eu comprar essa mesma televisão em 10 prestações,</p><p>vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar</p><p>R$750,00 de juros.</p><p>No 1.° fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em dinhei-</p><p>ro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado</p><p>tempo.</p><p>No 2.° fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro</p><p>que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo.</p><p>Assim:</p><p>� Quando depositamos ou emprestamos certa quantia</p><p>por determinado tempo, recebemos uma compensa-</p><p>ção em dinheiro.</p><p>� Quando pedimos emprestada certa quantia por deter-</p><p>minado tempo, pagamos uma compensação em di-</p><p>nheiro.</p><p>� Quando compramos uma mercadoria a prazo, paga-</p><p>mos uma compensação em dinheiro.</p><p>Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer</p><p>que :</p><p>Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte</p><p>nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina-</p><p>se capital.</p><p>O porcentual denomina-se taxa e representa o juro rece-</p><p>bido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano.</p><p>O período de depósito ou de empréstimo denomina-se</p><p>tempo.</p><p>A compensação em dinheiro denomina-se juro.</p><p>RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Juro é uma compensação em dinheiro que se</p><p>recebe ou que se paga.</p><p>Porcentagem = taxa X principal</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 39</p><p>1.° exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital</p><p>de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, durante 5</p><p>anos.</p><p>De acordo com os dados do problema, temos:</p><p>25% em 1ano ⇒ 125% (25 . 5) em 5 anos</p><p>125% =</p><p>100</p><p>125</p><p>= 1,25</p><p>Nessas condições, devemos resolver o seguinte proble-</p><p>ma:</p><p>Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai:</p><p>x = 125% de 720 000 =</p><p>1,25 . 720 000 = 900 000.</p><p>900.000 – 720.000 = 180.000</p><p>Resposta: Os juros produzidos são de R$ 180.000,00</p><p>2.° exemplo: Apliquei um capital de R$ 10.000,00 a uma</p><p>taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse ca-</p><p>pital me renderá de juros?</p><p>1,8% em 1 mês ⇒ 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses 10,8%</p><p>=</p><p>100</p><p>8,10</p><p>= 0,108</p><p>Dai:</p><p>x = 0,108 . 10 000 = 1080</p><p>Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00.</p><p>3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6</p><p>meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 3</p><p>600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada?</p><p>De acordo com os dados do problema:</p><p>1,2% em 1 mês ⇒ 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses</p><p>7,2% =</p><p>100</p><p>2,7</p><p>= 0,072</p><p>Nessas condições, devemos resolver o seguinte proble-</p><p>ma:</p><p>3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x.</p><p>Dai:</p><p>3600 = 0,072 . x ⇒ 0,072x = 3 600 ⇒</p><p>x =</p><p>072,0</p><p>3600</p><p>x = 50 000</p><p>Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00.</p><p>4.° exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du-</p><p>rante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a</p><p>taxa (em %) ao mês?</p><p>De acordo com os dados do problema:</p><p>x% em 1 mês ⇒ (6x)% em 6 meses</p><p>Devemos, então, resolver o seguinte problema:</p><p>4 800 representam quantos % de 80 000?</p><p>Dai:</p><p>4 800 = 6x . 80 000 ⇒ 480 000 x = 4 800</p><p>x =</p><p>000 480</p><p>800 4</p><p>⇒ x =</p><p>800 4</p><p>48</p><p>⇒ x = 0,01</p><p>0,01 =</p><p>100</p><p>1</p><p>= 1 %</p><p>Resposta: A taxa foi de 1% ao mês.</p><p>Resolva os problemas:</p><p>- Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês,</p><p>durante 8 meses, quanto deverei receber de juros?</p><p>- Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à ta-</p><p>xa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de juros.</p><p>Qual foi a quantia aplicada?</p><p>- Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1</p><p>ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse</p><p>tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acu-</p><p>mulado (capital aplicado + juros)?</p><p>- Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como</p><p>vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará</p><p>juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por</p><p>esse aparelho.</p><p>- A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 me-</p><p>ses, rendeu juros de R$ 33 000,00. Qual foi a taxa</p><p>(%) mensal da aplicação</p><p>- Uma geladeira</p><p>custa R$ 1 000,00. Como vou compra-</p><p>la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara ju-</p><p>ros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa</p><p>geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se</p><p>todas elas são iguais.</p><p>- Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O</p><p>preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros</p><p>simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual</p><p>foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados?</p><p>Respostas</p><p>R$ 4 400,00</p><p>R$ 70 000,00</p><p>R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00</p><p>R$ 5 220,00</p><p>1,1%</p><p>R$ 1 075,00 e R$ 215,00</p><p>2,5%</p><p>EQUAÇÕES</p><p>EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS</p><p>IGUALDADES E PROPRIEDADES</p><p>São expressões constituídas por números e letras, unidos</p><p>por sinais de operações.</p><p>Exemplo: 3a2; –2axy + 4x2; xyz;</p><p>3</p><p>x + 2 , é o mesmo que</p><p>3.a2; –2.a.x.y + 4.x2; x.y.z; x : 3 + 2, as letras a, x, y e z repre-</p><p>sentam um número qualquer.</p><p>Chama-se valor numérico de uma expressão algébrica</p><p>quando substituímos as letras pelos respectivos valores dados:</p><p>Exemplo: 3x2 + 2y para x = –1 e y = 2, substituindo os</p><p>respectivos valores temos, 3.(–1)2 + 2.2 → 3 . 1+ 4 → 3 + 4 =</p><p>7 é o valor numérico da expressão.</p><p>Exercícios</p><p>Calcular os valores numéricos das expressões:</p><p>1) 3x – 3y para x = 1 e y =3</p><p>2) x + 2a para x =–2 e a = 0</p><p>3) 5x2 – 2y + a para x =1, y =2 e a =3</p><p>Respostas: 1) –6 2) –2 3) 4</p><p>Termo algébrico ou monômio: é qualquer número real,</p><p>ou produto de números, ou ainda uma expressão na qual figu-</p><p>ram multiplicações de fatores numéricos e literais.</p><p>Exemplo: 5x4 , –2y, x3 , –4a , 3 , – x</p><p>Partes do termo algébrico ou monômio.</p><p>Exemplo:</p><p>sinal (–)</p><p>–3x5ybz 3 coeficiente numérico ou parte numérica</p><p>x5ybz parte literal</p><p>Obs.:</p><p>1) As letras x, y, z (final do alfabeto) são usadas como va-</p><p>riáveis (valor variável)</p><p>2) quando o termo algébrico não vier expresso o coeficien-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 40</p><p>te ou parte numérica fica subentendido que este coefi-</p><p>ciente é igual a 1.</p><p>Exemplo: 1) a3bx4 = 1.a3bx4 2) –abc = –1.a.b.c</p><p>Termos semelhantes: Dois ou mais termos são semelhan-</p><p>tes se possuem as mesmas letras elevadas aos mesmos ex-</p><p>poentes e sujeitas às mesmas operações.</p><p>Exemplos:</p><p>1) a3bx, –4a3bx e 2a3bx são termos semelhantes.</p><p>2) –x3 y, +3x3 y e 8x3 y são termos semelhantes.</p><p>Grau de um monômio ou termo algébrico: E a soma dos</p><p>expoentes da parte literal.</p><p>Exemplos:</p><p>1) 2 x4 y3 z = 2.x4.y3.z1 (somando os expoentes da parte lite-</p><p>ral temos, 4 + 3 + 1 = 8) grau 8.</p><p>Expressão polinômio: É toda expressão literal constituída</p><p>por uma soma algébrica de termos ou monômios.</p><p>Exemplos: 1)2a2b – 5x 2)3x2 + 2b+ 1</p><p>Polinômios na variável x são expressões polinomiais com</p><p>uma só variável x, sem termos semelhantes.</p><p>Exemplo:</p><p>5x2 + 2x – 3 denominada polinômio na variável x cuja forma</p><p>geral é a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, onde a0, a1, a2, a3, ...,</p><p>an são os coeficientes.</p><p>Grau de um polinômio não nulo, é o grau do monômio de</p><p>maior grau.</p><p>Exemplo: 5a2x – 3a4x2y + 2xy</p><p>Grau 2+1 = 3, grau 4+2+1= 7, grau 1+1= 2, 7 é o maior</p><p>grau, logo o grau do polinômio é 7.</p><p>Exercícios</p><p>1) Dar os graus e os coeficientes dos monômios:</p><p>a)–3x y2 z grau coefciente__________ b)–</p><p>a7 x2 z2 grau coeficiente__________</p><p>c) xyz grau coeficiente__________</p><p>2) Dar o grau dos polinômios:</p><p>a) 2x4y – 3xy2+ 2x grau __________</p><p>b) –2+xyz+2x5 y2 grau __________</p><p>Respostas:</p><p>1) a) grau 4, coeficiente –3</p><p>b) grau 11, coeficiente –1</p><p>c) grau 3, coeficiente 1</p><p>2) a) grau 5 b) grau 7</p><p>CÁLCULO COM EXPRESSÕES LITERAIS</p><p>Adição e Subtração de monômios e expressões polinômios:</p><p>eliminam-se os sinais de associações, e reduzem os termos</p><p>semelhantes.</p><p>Exemplo:</p><p>3x2 + (2x – 1) – (–3a) + (x2 – 2x + 2) – (4a)</p><p>3x2 + 2x – 1 + 3a + x2 – 2x + 2 – 4a =</p><p>3x2 + 1.x2 + 2x – 2x + 3a – 4a – 1 + 2 =</p><p>(3+1)x2 + (2–2)x + (3–4)a – 1+2 =</p><p>4x2 + 0x – 1.a + 1 =</p><p>4x2 – a + 1</p><p>Obs.: As regras de eliminação de parênteses são as mes-</p><p>mas usadas para expressões numéricas no conjunto Z.</p><p>Exercícios. Efetuar as operações:</p><p>1) 4x + (5a) + (a –3x) + ( x –3a)</p><p>2) 4x2 – 7x + 6x2 + 2 + 4x – x2 + 1</p><p>Respostas: 1) 2x +3a 2) 9x2 – 3x + 3</p><p>MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS</p><p>Multiplicação de dois monômios: Multiplicam-se os coe-</p><p>ficientes e após o produto dos coeficientes escrevem-se as</p><p>letras em ordem alfabética, dando a cada letra o novo expoen-</p><p>te igual à soma de todos os expoentes dessa letra e repetem-</p><p>se em forma de produto as letras que não são comuns aos</p><p>dois monômios.</p><p>Exemplos:</p><p>1) 2x4 y3 z . 3xy2 z3 ab = 2.3 .x 4+1 . y 3+2. z 1+3.a.b =</p><p>6abx5y5z4</p><p>2) –3a2bx . 5ab= –3.5. a2+1.b1 +1. x = –15a3b2 x</p><p>Exercícios: Efetuar as multiplicações.</p><p>1) 2x2 yz . 4x3 y3 z =</p><p>2) –5abx3 . 2a2 b2 x2 =</p><p>Respostas: 1) 8x5 y4 z2 2) –10a3 b3 x5</p><p>EQUAÇÕES DO 1.º GRAU</p><p>Equação: É o nome dado a toda sentença algébrica que</p><p>exprime uma relação de igualdade.</p><p>Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se verifica so-</p><p>mente para determinado valor numérico atribuído à variável.</p><p>Logo, equação é uma igualdade condicional.</p><p>Exemplo: 5 + x = 11</p><p>↓ ↓</p><p>1 0.membro 20.membro</p><p>onde x é a incógnita, variável ou oculta.</p><p>Resolução de equações</p><p>Para resolver uma equação (achar a raiz) seguiremos os</p><p>princípios gerais que podem ser aplicados numa igualdade.</p><p>Ao transportar um termo de um membro de uma igualdade</p><p>para outro, sua operação deverá ser invertida.</p><p>Exemplo: 2x + 3 = 8 + x</p><p>fica assim: 2x – x = 8 – 3 = 5 ⇒ x = 5</p><p>Note que o x foi para o 1.º membro e o 3 foi para o 2.º</p><p>membro com as operações invertidas.</p><p>Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação, dizemos</p><p>ainda que é o conjunto verdade (V).</p><p>Exercícios</p><p>Resolva as equações :</p><p>1) 3x + 7 = 19 2) 4x +20=0</p><p>3) 7x – 26 = 3x – 6</p><p>Respostas: 1) x = 4 ou V = {4}</p><p>2) x = –5 ou V = {–5} 3) x = 5 ou V = {5}</p><p>EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS OU SIS-</p><p>TEMA DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>Resolução por adição.</p><p>Exemplo 1:</p><p></p><p></p><p></p><p>=−</p><p>=+</p><p>II- 1 y x</p><p>I - 7 y x</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 41</p><p>Soma-se membro a membro.</p><p>2x +0 =8</p><p>2x = 8</p><p>2</p><p>8</p><p>x =</p><p>x = 4</p><p>Sabendo que o valor de x é igual 4 substitua este valor em</p><p>qualquer uma das equações ( I ou II ),</p><p>Substitui em I fica:</p><p>4 + y = 7 ⇒ y = 7 – 4 ⇒ y = 3</p><p>Se quisermos verificar se está correto, devemos substituir</p><p>os valores encontrados x e y nas equações</p><p>x + y = 7 x – y = 1</p><p>4 +3 = 7 4 – 3 = 1</p><p>Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, 3)}</p><p>Exemplo 2 :</p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=+</p><p>II- 8 y x</p><p>I - 11 y 2x</p><p>Note que temos apenas a operação +, portanto devemos</p><p>multiplicar qualquer uma ( I ou II) por –1, escolhendo a II, te-</p><p>mos:</p><p></p><p></p><p></p><p>−=−</p><p>=+</p><p>→</p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=+</p><p>8 y x -</p><p>11 y 2x</p><p>1)- ( . 8 y x</p><p>11 y 2x</p><p>soma-se membro a membro</p><p>3x</p><p>30x</p><p>8- y - x -</p><p>11 y 2x</p><p>=</p><p>=+</p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=+</p><p>Agora, substituindo x = 3 na equação II: x + y = 8, fica 3 + y</p><p>= 8, portanto y = 5</p><p>Exemplo 3:</p><p></p><p></p><p></p><p>ΙΙ=</p><p>Ι=+</p><p>- 2 y -3x</p><p>- 18 2y 5x</p><p>neste exemplo, devemos multiplicar a equação II por 2 (pa-</p><p>ra “desaparecer” a variável y).</p><p></p><p></p><p></p><p>=−</p><p>=+</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=+</p><p>426</p><p>1825</p><p>.(2) 2 y -3x</p><p>18 2y 5x</p><p>yx</p><p>yx</p><p>soma-se membro a membro:</p><p>5x</p><p>+ 2y = 18</p><p>6x – 2y = 4</p><p>11x+ 0=22 ⇒ 11x = 22 ⇒ x =</p><p>11</p><p>22</p><p>⇒ x = 2</p><p>Substituindo x = 2 na equação I:</p><p>5x + 2y = 18</p><p>5 . 2 + 2y = 18</p><p>10 + 2y = 18</p><p>2y = 18 – 10</p><p>2y = 8</p><p>y =</p><p>2</p><p>8</p><p>y =4</p><p>então V = {(2,4)}</p><p>Exercícios. Resolver os sistemas de Equação Linear:</p><p>1)</p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=−</p><p>16yx5</p><p>20yx7</p><p>2)</p><p></p><p></p><p></p><p>=−</p><p>=+</p><p>2y3x8</p><p>7yx5</p><p>3)</p><p></p><p></p><p></p><p>=−</p><p>=−</p><p>10y2x2</p><p>28y4x8</p><p>Respostas: 1) V = {(3,1)} 2) V = {(1,2)} 3) V {(–3,2 )}</p><p>INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU</p><p>Distinguimos as equações das inequações pelo sinal, na</p><p>equação temos sinal de igualdade (=) nas inequações são</p><p>sinais de desigualdade.</p><p>> maior que, ≥ maior ou igual, < menor que ,</p><p>≤ menor ou igual</p><p>Exemplo 1: Determine os números naturais de modo que</p><p>4 + 2x > 12.</p><p>4 + 2x > 12</p><p>2x > 12 – 4</p><p>2x > 8 ⇒ x ></p><p>2</p><p>8</p><p>⇒ x > 4</p><p>Exemplo 2: Determine os números inteiros de modo que 4</p><p>+ 2x ≤ 5x + 13</p><p>4+2x ≤ 5x + 13</p><p>2x – 5x ≤ 13 – 4</p><p>–3x ≤ 9 . (–1) ⇒ 3x ≥ – 9, quando multiplicamos por (-1),</p><p>invertemos o sinal dê desigualdade ≤ para ≥, fica:</p><p>3x ≥ – 9, onde x ≥</p><p>3</p><p>9−</p><p>ou x ≥ – 3</p><p>Exercícios. Resolva:</p><p>1) x – 3 ≥ 1 – x,</p><p>2) 2x + 1 ≤ 6 x –2</p><p>3) 3 – x ≤ –1 + x</p><p>Respostas: 1) x ≥ 2 2) x ≥ 3/4 3) x ≥ 2</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>1.º Caso: Quadrado da Soma</p><p>(a + b)2 = (a+b). (a+b)= a2 + ab + ab + b2</p><p>↓ ↓</p><p>1.º 2.º ⇒ a2 + 2ab +b2</p><p>Resumindo: “O quadrado da soma é igual ao quadrado do</p><p>primeiro mais duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o quadrado do 2.º.</p><p>Exercícios. Resolver os produtos notáveis</p><p>1)(a+2)2 2) (3+2a)2 3) (x2+3a)2</p><p>Respostas: 1.º caso</p><p>1) a2 + 4a + 4 2) 9 + 12a + 4a2</p><p>3) x4 + 6x2a + 9a2</p><p>2.º Caso : Quadrado da diferença</p><p>(a – b)2 = (a – b). (a – b) = a2 – ab – ab - b2</p><p>↓ ↓</p><p>1.º 2.º ⇒ a2 – 2ab + b2</p><p>Resumindo: “O quadrado da diferença é igual ao quadrado</p><p>do 1.º menos duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o quadrado do 2.º.</p><p>Exercícios. Resolver os produtos notáveis:</p><p>1) (a – 2)2 2) (4 – 3a)2 3) (y2 – 2b)2</p><p>Respostas: 2.º caso</p><p>1) a2 – 4a +4 2) 16 – 24a + 9a2</p><p>3) y4 – 4y2b + 4b2</p><p>3.º Caso: Produto da soma pela diferença</p><p>(a – b) (a + b) = a2 – ab + ab +b2 = a2 – b2</p><p>↓ ↓ ↓ ↓</p><p>1.º 2.º 1.º 2.º</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 42</p><p>Resumindo: “O produto da soma pela diferença é igual ao</p><p>quadrado do 1.º menos o quadrado do 2.º.</p><p>Exercícios. Efetuar os produtos da soma pela diferença:</p><p>1) (a – 2) (a + 2) 2) (2a – 3) (2a + 3)</p><p>3) (a2 – 1) (a2 + 1)</p><p>Respostas: 3.º caso</p><p>1) a2 – 4 2) 4a2 – 9</p><p>3) a4 – 1</p><p>FATORAÇÃO ALGÉBRICA</p><p>1.º Caso: Fator Comum</p><p>Exemplo 1:</p><p>2a + 2b: fator comum é o coeficiente 2, fica:</p><p>2 .(a+b). Note que se fizermos a distributiva voltamos no</p><p>início (Fator comum e distributiva são “operações inversas”)</p><p>Exercícios. Fatorar:</p><p>1) 5 a + 5 b 2) ab + ax 3) 4ac + 4ab</p><p>Respostas: 1.º caso</p><p>1) 5 .(a +b ) 2) a. (b + x)</p><p>3) 4a. (c + b)</p><p>Exemplo 2:</p><p>3a2 + 6a: Fator comum dos coeficientes (3, 6) é 3, porque</p><p>MDC (3, 6) = 3.</p><p>O m.d.c. entre: “a e a2 é “a” (menor expoente), então o fator</p><p>comum da expressão 3a2 + 6a é 3a. Dividindo 3a2: 3a = a e 6 a</p><p>: 3 a = 2, fica: 3a. (a + 2).</p><p>Exercícios. Fatorar:</p><p>1) 4a2 + 2a 2) 3ax + 6a2y 3) 4a3 + 2a2</p><p>Respostas: 1.º caso 1) 2a .(2a + 1)</p><p>2) 3a .(x + 2ay) 3) 2a2 (2a + 1)</p><p>2.º Caso: Trinômio quadrado perfeito (É a “operação in-</p><p>versa” dos produtos notáveis caso 1)</p><p>Exemplo 1</p><p>a2 + 2ab + b2 ⇒ extrair as raízes quadradas do extremo</p><p>2a + 2ab + 2b ⇒ 2a = a e 2b = b e o termo do meio</p><p>é 2.a.b, então a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma).</p><p>Exemplo 2:</p><p>4a2 + 4a + 1 ⇒ extrair as raízes dos extremos 2a4 + 4a</p><p>+ 1 ⇒ 2a4 = 2a , 1 = 1 e o termo central é 2.2a.1 = 4a,</p><p>então 4a2 + 4a + 1 = (2a + 1)2</p><p>Exercícios</p><p>Fatorar os trinômios (soma)</p><p>1) x2 + 2xy + y2 2) 9a2 + 6a + 1</p><p>3) 16 + 8a + a2</p><p>Respostas: 2.º caso 1) (x + y)2</p><p>2) (3a + 1)2 3) (4 + a)2</p><p>Fazendo com trinômio (quadrado da diferença)</p><p>x2 – 2xy + y2, extrair as raízes dos extremos</p><p>2x = x e 2y = y, o termo central é –2.x.y, então:</p><p>x2 – 2xy + y2 = (x – y)2</p><p>Exemplo 3:</p><p>16 – 8a + a2, extrair as raízes dos extremos</p><p>16 = 4 e 2a = a, termo central –2.4.a = –8a,</p><p>então: 16 – 8a + a2 = (4 – a)2</p><p>Exercícios</p><p>Fatorar:</p><p>1) x2 – 2xy + y2 2) 4 – 4a + a2 3) 4a2 – 8a + 4</p><p>Respostas: 2.º caso 1) (x – y)2</p><p>2) (2 – a)2 3) (2a – 2)2</p><p>3.º Caso: (Diferença de dois quadrados) (note que é um</p><p>binômio)</p><p>Exemplo 1</p><p>a2 – b2, extrair as raízes dos extremos 2a = a e 2b = b,</p><p>então fica: a2 – b2 = (a + b) . (a – b)</p><p>Exemplo 2:</p><p>4 – a2 , extrair as raízes dos extremos 4 = 2, 2a = a,</p><p>fica: (4 – a2) = (2 – a). (2+ a)</p><p>Exercícios. Fatorar:</p><p>1) x2 – y2 2) 9 – b2 3) 16x2 – 1</p><p>Respostas: 3.º caso 1) (x + y) (x – y)</p><p>2) (3 + b) (3 – b) 3) (4x + 1) (4x – 1)</p><p>EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS</p><p>São Equações cujas variáveis estão no denominador</p><p>Ex:</p><p>x</p><p>4</p><p>= 2,</p><p>x</p><p>1</p><p>+</p><p>x2</p><p>3</p><p>= 8, note que nos dois exemplos x ≠</p><p>0, pois o denominador deverá ser sempre diferente de zero.</p><p>Para resolver uma equação fracionária, devemos achar o</p><p>m.m.c. dos denominadores e multiplicamos os dois membros</p><p>por este m.m.c. e simplificamos, temos então uma equação do</p><p>1.º grau.</p><p>Ex:</p><p>x</p><p>1</p><p>+ 3 =</p><p>2</p><p>7</p><p>, x ≠ 0, m.m.c. = 2x</p><p>2x .</p><p>x</p><p>1</p><p>+3 =</p><p>2</p><p>7</p><p>. 2x</p><p>x</p><p>x2</p><p>+ 6x =</p><p>2</p><p>x14</p><p>, simplificando</p><p>2 + 6x = 7x ⇒ equação do 1.º grau.</p><p>Resolvendo temos: 2 = 7x – 6x</p><p>2 = x ou x = 2 ou V = { 2 }</p><p>Exercícios</p><p>Resolver as equações fracionárias:</p><p>1) 0 x</p><p>x2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>3</p><p>≠=+</p><p>2) 0 x</p><p>x2</p><p>5</p><p>1</p><p>x</p><p>1</p><p>≠=+</p><p>Respostas: Equações: 1) V = {–3} 2) V = {</p><p>2</p><p>3 }</p><p>RADICAIS</p><p>416,39,11,24 ==== , etc., são raízes exatas</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 43</p><p>são números inteiros, portanto são racionais: 2 =</p><p>1,41421356..., 3 = 1,73205807..., 5 = 2,2360679775...,</p><p>etc. não são raízes exatas, não são números inteiros. São</p><p>números irracionais. Do mesmo modo 3 1 = 1, 283 = ,</p><p>3273 = , 4643 = ,etc., são racionais, já 3 9 =</p><p>2,080083823052.., 3 20 = 2,714417616595... são irracionais.</p><p>Nomes: ban = : n = índice; a = radicando = sinal da</p><p>raiz e b = raiz. Dois radicais são semelhantes se o índice e o</p><p>radicando forem iguais.</p><p>Exemplos:</p><p>1) 2- ,23 ,2 são semelhantes observe o n = 2 “raiz</p><p>quadrada” pode omitir o índice, ou seja, 552 =</p><p>2) 333 72 ,7 ,75 são semelhantes</p><p>Operações: Adição e Subtração</p><p>Só podemos adicionar e subtrair radicais semelhantes.</p><p>Exemplos:</p><p>1) ( ) 262523252223 =+−=+−</p><p>2) ( ) 33333 696735676365 =+−=+−</p><p>Multiplicação e Divisão de Radicais</p><p>Só podemos multiplicar radicais com mesmo índice e usa-</p><p>mos a propriedade: nnn abba =⋅</p><p>Exemplos</p><p>1) 242 . 222 ===⋅</p><p>2) 124 . 343 ==⋅</p><p>3) 3279 . 393 3333 ===⋅</p><p>4) 3333 204 . 545 ==⋅</p><p>5) 906 . 5 . 3653 ==⋅⋅</p><p>Exercícios</p><p>Efetuar as multiplicações</p><p>1) 83 ⋅ 2) 55 ⋅ 3) 333 546 ⋅⋅</p><p>Respostas: 1) 24 2) 5 3) 3 120</p><p>Para a divisão de radicais usamos a propriedade também</p><p>com índices iguais b:ab:a</p><p>b</p><p>a</p><p>==</p><p>Exemplos:</p><p>1) 392:182:18</p><p>2</p><p>18</p><p>====</p><p>2) 210:2010:20</p><p>10</p><p>20</p><p>===</p><p>3) 3333</p><p>3</p><p>3</p><p>35:155:15</p><p>5</p><p>15</p><p>===</p><p>Exercícios. Efetuar as divisões</p><p>1)</p><p>3</p><p>6</p><p>2)</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>16</p><p>3)</p><p>6</p><p>24</p><p>Respostas: 1) 2 2) 2 3) 2</p><p>Simplificação de Radicais</p><p>Podemos simplificar radicais, extraindo parte de raízes exa-</p><p>tas usando a propriedade</p><p>n na simplificar índice com expoen-</p><p>te do radicando.</p><p>Exemplos:</p><p>1)Simplificar 12</p><p>decompor 12 em fatores primos:</p><p>12 2</p><p>6 2 32323212 2 22 =⋅=⋅=</p><p>3 3</p><p>1</p><p>2) Simplificar 32 , decompondo 32 fica:</p><p>32 2</p><p>16 2</p><p>8 2</p><p>4 2</p><p>2 2</p><p>2422222222232 2 22 222 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=</p><p>3) Simplificar 3 128 , decompondo fica:</p><p>128 2</p><p>64 2</p><p>32 2</p><p>16 2</p><p>8 2</p><p>4 2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>fica</p><p>3333 33 33 333 24222222222128 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=</p><p>Exercícios</p><p>Simplificar os radicais:</p><p>1) 20 2) 50 3) 3 40</p><p>Respostas: 1) 52 2) 25 3) 2. 3 5</p><p>Racionalização de Radiciação</p><p>Em uma fração quando o denominador for um radical de-</p><p>vemos racionalizá-lo. Exemplo:</p><p>3</p><p>2</p><p>devemos multiplicar o</p><p>numerador e o denominador pelo mesmo radical do denomina-</p><p>dor.</p><p>3</p><p>32</p><p>9</p><p>32</p><p>33</p><p>32</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>==</p><p>⋅</p><p>=⋅</p><p>3</p><p>2</p><p>e</p><p>3</p><p>32</p><p>são frações equivalentes. Dizemos que 3 é</p><p>o fator racionalizante.</p><p>Exercícios</p><p>Racionalizar:</p><p>1)</p><p>5</p><p>1</p><p>2)</p><p>2</p><p>2</p><p>3)</p><p>2</p><p>3</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 44</p><p>Respostas: 1)</p><p>5</p><p>5</p><p>2) 2 3)</p><p>2</p><p>6</p><p>Outros exemplos:</p><p>3 2</p><p>2</p><p>devemos fazer:</p><p>3</p><p>3</p><p>3 3</p><p>3</p><p>3 21</p><p>3 2</p><p>3 2</p><p>3 2</p><p>3 1</p><p>4</p><p>2</p><p>42</p><p>2</p><p>42</p><p>22</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>===</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>=⋅</p><p>Exercícios.</p><p>Racionalizar:</p><p>1)</p><p>3 4</p><p>1</p><p>2)</p><p>3 22</p><p>3</p><p>3)</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>Respostas: 1)</p><p>4</p><p>163</p><p>2)</p><p>2</p><p>233</p><p>3)</p><p>3</p><p>183</p><p>EQUAÇÕES DO 2.º GRAU</p><p>Definição: Denomina-se equação de 2.º grau com</p><p>variável toda equação de forma:</p><p>ax2 + bx + c = 0</p><p>onde : x é variável e a,b, c ∈ R, com a ≠ 0.</p><p>Exemplos:</p><p>3x2 - 6x + 8 = 0</p><p>2x2 + 8x + 1 = 0</p><p>x2 + 0x – 16 = 0 y2 - y + 9 = 0</p><p>- 3y2 - 9y+0 = 0 5x2 + 7x - 9 = 0</p><p>COEFICIENTE DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU</p><p>Os números a, b, c são chamados de coeficientes da</p><p>equação do 2.º grau, sendo que:</p><p>• a representa sempre o coeficiente do termo x2.</p><p>• b representa sempre o coeficiente do termo x.</p><p>• c é chamado de termo independente ou termo</p><p>constante.</p><p>Exemplos:</p><p>a)3x2 + 4x + 1= 0 b) y2 + 0y + 3 = 0</p><p>a =3,b = 4,c = 1 a = 1,b = 0, c = 3</p><p>c) – 2x2 –3x +1 = 0 d) 7y2 + 3y + 0 = 0</p><p>a = –2, b = –3, c = 1 a = 7, b = 3, c = 0</p><p>Exercícios</p><p>Destaque os coeficientes:</p><p>1)3y2 + 5y + 0 = 0 2)2x2 – 2x + 1 = 0</p><p>3)5y2 –2y + 3 = 0 4) 6x2 + 0x +3 = 0</p><p>Respostas:</p><p>1) a =3, b = 5 e c = 0</p><p>2)a = 2, b = –2 e c = 1</p><p>3) a = 5, b = –2 e c =3</p><p>4) a = 6, b = 0 e c =3</p><p>EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS</p><p>Temos uma equação completa quando os coeficientes a ,</p><p>b e c são diferentes de zero.</p><p>Exemplos:</p><p>3x2 – 2x – 1= 0</p><p>y2 – 2y – 3 = 0 São equações completas.</p><p>y2 + 2y + 5 = 0</p><p>Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0, costu-</p><p>ma-se escrever a equação sem termos de coeficiente nulo.</p><p>Exemplos:</p><p>x2 – 16 = 0, b = 0 (Não está escrito o termo x)</p><p>x2 + 4x = 0, c = 0 (Não está escrito o termo inde-</p><p>pendente ou termo constante)</p><p>x2 = 0, b = 0, c = 0 (Não estão escritos o</p><p>termo x e termo independente)</p><p>FORMA NORMAL DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU</p><p>ax 2 + bx + c = 0</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>Escreva as equações na forma normal:</p><p>1) 7x2 + 9x = 3x2 – 1 2) 5x2 – 2x = 2x2 + 2</p><p>Respostas: 1) 4x2 + 9x + 1= 0 2) 3x2 – 2x –2 = 0</p><p>Resolução de Equações Completas</p><p>Para resolver a equação do 2.º Grau, vamos utilizar a</p><p>fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara.</p><p>A expressão b2 - 4ac, chamado discriminante de equação,</p><p>é representada pela letra grega ∆ (lê-se deita).</p><p>∆ = b2 - 4ac logo se ∆ > 0 podemos escrever:</p><p>a2</p><p>bx ∆±−=</p><p>RESUMO</p><p>NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU</p><p>COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS:</p><p>a2</p><p>c a 42bbx −±−=</p><p>ou ∆ = b2 - 4ac</p><p>a2</p><p>bx ∆±−=</p><p>Exemplos:</p><p>a) 2x2 + 7x + 3 = 0 a = 2, b =7, c = 3</p><p>a2</p><p>c a 42bb</p><p>x</p><p>−±−</p><p>= ⇒</p><p>( ) ( )</p><p>2 2</p><p>3 2 4277</p><p>x</p><p>⋅</p><p>⋅⋅−±+−</p><p>=</p><p>( )</p><p>4</p><p>24497</p><p>x</p><p>−±+−</p><p>= ⇒</p><p>( )</p><p>4</p><p>257</p><p>x</p><p>±+−</p><p>=</p><p>( )</p><p>4</p><p>57</p><p>x</p><p>±+−</p><p>= ⇒</p><p>2</p><p>-1</p><p>4</p><p>-2</p><p>4</p><p>57</p><p>' x ==</p><p>+−</p><p>=</p><p>3-</p><p>4</p><p>-12</p><p>4</p><p>57</p><p>" x ==</p><p>−−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>= 3- ,</p><p>2</p><p>1</p><p>S</p><p>ou</p><p>b) 2x2 +7x + 3 = 0 a = 2, b = 7, c = 3</p><p>∆ = b2 – 4.a. c</p><p>∆ =72 – 4 . 2 . 3</p><p>∆ = 49 – 24</p><p>∆ = 25</p><p>( )</p><p>4</p><p>257</p><p>x</p><p>±+−</p><p>= ⇒</p><p>( )</p><p>4</p><p>57</p><p>x</p><p>±+−</p><p>=</p><p>⇒ ‘</p><p>2</p><p>-1</p><p>4</p><p>-2</p><p>4</p><p>57</p><p>' x ==</p><p>+−</p><p>= e</p><p>3-</p><p>4</p><p>-12</p><p>4</p><p>57</p><p>" x ==</p><p>−−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>= 3- ,</p><p>2</p><p>1</p><p>S</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 45</p><p>Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA DA</p><p>FORMULA.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>Resolva as equações do 2.º grau completa:</p><p>1) x2 – 9x +20 = 0</p><p>2) 2x2 + x – 3 = 0</p><p>3) 2x2 – 7x – 15 = 0</p><p>4) x2 +3x + 2 = 0</p><p>5) x2 – 4x +4 = 0</p><p>Respostas</p><p>1) V = { 4 , 5)</p><p>2) V = { 1,</p><p>2</p><p>3−</p><p>}</p><p>3) V = { 5 ,</p><p>2</p><p>3−</p><p>}</p><p>4) V = { –1 , –2 }</p><p>5) V = {2}</p><p>EQUAÇÃO DO 2.º GRAU INCOMPLETA</p><p>Estudaremos a resolução das equações incompletas do 2.º</p><p>grau no conjunto R. Equação da forma: ax2 + bx = 0 onde c =</p><p>0</p><p>Exemplo:</p><p>2x2 – 7x = 0 Colocando-se o fator x em evidência (menor</p><p>expoente)</p><p>x . (2x – 7) = 0 x = 0</p><p>ou 2x – 7 = 0 ⇒ x =</p><p>2</p><p>7</p><p>Os números reais 0 e</p><p>2</p><p>7</p><p>são as raízes da equação</p><p>S = { 0 ;</p><p>2</p><p>7</p><p>)</p><p>Equação da forma: ax2 + c = 0, onde b = 0</p><p>Exemplos</p><p>a) x2 – 81 = 0</p><p>x2 = 81→transportando-se o termo independente para o 2.º</p><p>termo.</p><p>x = 81± →pela relação fundamental.</p><p>x = ± 9 S = { 9; – 9 }</p><p>b) x2 +25 = 0</p><p>x2 = –25</p><p>x = ± 25− , 25− não representa número real, isto é</p><p>25− ∉ R</p><p>a equação dada não tem raízes em IR.</p><p>S = φ ou S = { }</p><p>c) 9x2 – 81= 0</p><p>9x2 = 81</p><p>x2 =</p><p>9</p><p>81</p><p>x2 = 9</p><p>x = 9±</p><p>x = ± 3</p><p>S = { ±3}</p><p>Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0</p><p>A equação incompleta ax = 0 admite uma única solução x =</p><p>0. Exemplo:</p><p>3x2 = 0</p><p>x2 =</p><p>3</p><p>0</p><p>x2 = 0</p><p>x2 = + 0</p><p>S = { 0 }</p><p>Exercícios Respostas:</p><p>1) 4x2 – 16 = 0 1) V = { –2, + 2}</p><p>2) 5x2 – 125 = 0 2) V = { –5, +5}</p><p>3) 3x2 + 75x = 0 3) V = { 0, –25}</p><p>Relações entre coeficiente e raízes</p><p>Seja a equação ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0), sejam x’ e x” as</p><p>raízes dessa equação existem x’ e x” reais dos coeficientes a,</p><p>b, c.</p><p>a2</p><p>b</p><p>' x</p><p>∆+−</p><p>= e</p><p>a2</p><p>b</p><p>" x</p><p>∆−−</p><p>=</p><p>RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES</p><p>a2</p><p>b</p><p>a2</p><p>b</p><p>" x ' x</p><p>∆−−</p><p>+</p><p>∆+−</p><p>=+ ⇒</p><p>a2</p><p>bb</p><p>" x ' x</p><p>∆−−∆+−</p><p>=+</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x</p><p>a2</p><p>b2</p><p>" x ' x −=+⇒</p><p>−</p><p>=+</p><p>Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja, x’+ x” = -b/a</p><p>Relação da soma:</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x −=+</p><p>RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES</p><p>a2</p><p>b</p><p>a2</p><p>b</p><p>" x ' x</p><p>∆−−</p><p>⋅</p><p>∆+−</p><p>=⋅ ⇒</p><p>( ) ( )</p><p>2a4</p><p>b b</p><p>" x ' x</p><p>∆−−⋅∆+−</p><p>=⋅</p><p>( )</p><p>ca42b</p><p>2a4</p><p>2</p><p>2b</p><p>" x ' x ⋅⋅−=∆⇒</p><p>∆−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=⋅ ⇒</p><p>⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −−</p><p>=⋅</p><p>2a4</p><p>ac42b 2b</p><p>" x ' x</p><p>⇒</p><p>+−</p><p>=⋅</p><p>2a4</p><p>ac4b 2b</p><p>" x ' x</p><p>2</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x</p><p>2a4</p><p>ac4</p><p>" x ' x =⋅⇒=⋅</p><p>Daí o produto das raízes é igual a</p><p>a</p><p>c</p><p>ou seja:</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x =⋅ ( Relação de produto)</p><p>Sua Representação:</p><p>• Representamos a Soma por S</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x S −=+=</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática</p><p>A Opção Certa Para a Sua Realização 46</p><p>• Representamos o Produto pôr P</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x P =⋅=</p><p>Exemplos:</p><p>1) 9x2 – 72x +45 = 0 a = 9, b = –72, c = 45.</p><p>( )</p><p>8</p><p>9</p><p>72</p><p>9</p><p>-72</p><p>-</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x S ===−=+=</p><p>5</p><p>9</p><p>45</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x P ===⋅=</p><p>2) 3x2 +21x – 24= 0 a = 3, b = 21,c = –24</p><p>( )</p><p>7</p><p>3</p><p>21-</p><p>3</p><p>21</p><p>-</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x S −===−=+=</p><p>( )</p><p>8</p><p>3</p><p>24</p><p>3</p><p>24-</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x P −=</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>==⋅=</p><p>a = 4,</p><p>3) 4x2 – 16 = 0 b = 0, (equação incompleta)</p><p>c = –16</p><p>0</p><p>4</p><p>0</p><p>a</p><p>b</p><p>" ' ==−=+= xxS</p><p>( )</p><p>4</p><p>4</p><p>16</p><p>4</p><p>16-</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x P −=</p><p>−</p><p>=</p><p>+</p><p>==⋅=</p><p>a = a+1</p><p>4) ( a+1) x2 – ( a + 1) x + 2a+ 2 = 0 b = – (a+ 1)</p><p>c = 2a+2</p><p>( )[ ]</p><p>1</p><p>1a</p><p>1a</p><p>1a</p><p>1a-</p><p>-</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x S =</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>=−=+=</p><p>( )</p><p>2</p><p>1a</p><p>1a2</p><p>1a</p><p>2a2</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x P =</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>+</p><p>==⋅=</p><p>Se a = 1 essas relações podem ser escritas:</p><p>1</p><p>b</p><p>" x ' x −=+ b" x ' x −=+</p><p>1</p><p>c</p><p>" x ' x =⋅ c " x ' x =⋅</p><p>Exemplo:</p><p>x2 –7x+2 = 0 a = 1, b =–7, c = 2</p><p>( )</p><p>7</p><p>1</p><p>7-</p><p>-</p><p>a</p><p>b</p><p>" x ' x S ==−=+=</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>a</p><p>c</p><p>" x ' x P ===⋅=</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>Calcule a Soma e Produto</p><p>1) 2x2 – 12x + 6 = 0</p><p>2) x2 – (a + b)x + ab = 0</p><p>3) ax2 + 3ax–- 1 = 0</p><p>4) x2 + 3x – 2 = 0</p><p>Respostas:</p><p>1) S = 6 e P = 3</p><p>2) S = (a + b) e P = ab</p><p>3) S = –3 e P =</p><p>a</p><p>1−</p><p>4) S = –3 e P = –2</p><p>APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES</p><p>Se considerarmos a = 1, a expressão procurada é x2 + bx +</p><p>c: pelas relações entre coeficientes e raízes temos:</p><p>x’ + x”= –b b = – ( x’ + x”)</p><p>x’ . x” = c c = x’ . x”</p><p>Daí temos: x2 + bx + c = 0</p><p>REPRESENTAÇÃO</p><p>Representando a soma x’ + x” = S</p><p>Representando o produto x’ . x” = P</p><p>E TEMOS A EQUAÇÃO: x2 – Sx + P = 0</p><p>Exemplos:</p><p>a) raízes 3 e – 4</p><p>S = x’+ x” = 3 + (-4) =3 – 4 = –1</p><p>P = x’ .x” = 3 . (–4) = –12</p><p>x – Sx + P = 0</p><p>x2 + x – 12 = 0</p><p>b) 0,2 e 0,3</p><p>S = x’+ x” =0,2 + 0,3 = 0,5</p><p>P = x . x =0,2 . 0,3 = 0,06</p><p>x2 – Sx + P = 0</p><p>x2 – 0,5x + 0,06 = 0</p><p>c)</p><p>2</p><p>5</p><p>e</p><p>4</p><p>3</p><p>S = x’+ x” =</p><p>2</p><p>5</p><p>+</p><p>4</p><p>3</p><p>=</p><p>4</p><p>13</p><p>4</p><p>310</p><p>=</p><p>+</p><p>P = x . x =</p><p>2</p><p>5</p><p>.</p><p>4</p><p>3</p><p>=</p><p>8</p><p>15</p><p>x2 – Sx + P = 0</p><p>x2 –</p><p>4</p><p>13</p><p>x +</p><p>8</p><p>15</p><p>= 0</p><p>d) 4 e – 4</p><p>S = x’ +x” = 4 + (–4) = 4 – 4 = 0</p><p>P = x’ . x” = 4 . (–4) = –16</p><p>x2 – Sx + P = 0</p><p>x2 –16 = 0</p><p>Exercícios</p><p>Componha a equação do 2.º grau cujas raízes são:</p><p>1) 3 e 2 2) 6 e –5 3) 2 e</p><p>5</p><p>4−</p><p>4) 3 + 5 e 3 – 5 5) 6 e 0</p><p>Respostas:</p><p>1) x2 – 5x+6= 0 2) x2 – x – 30 = 0</p><p>3)x2 –</p><p>5</p><p>6x−</p><p>–</p><p>5</p><p>8</p><p>= 0</p><p>4) x2 – 6x + 4 = 0 5) x2 – 6x = 0</p><p>RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS</p><p>Um problema de 2.º grau pode ser resolvido por meio de</p><p>uma equação ou de um sistema de equações do 2.º grau.</p><p>Para resolver um problema do segundo grau deve-se se-</p><p>guir três etapas:</p><p>• Estabelecer a equação ou sistema de equações corres-</p><p>pondente ao problema (traduzir matematicamente), o</p><p>enunciado do problema para linguagem simbólica.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 47</p><p>• Resolver a equação ou sistema</p><p>• Interpretar as raízes ou solução encontradas</p><p>Exemplo:</p><p>Qual é o número cuja soma de seu quadrado com seu do-</p><p>bro é igual a 15?</p><p>número procurado : x</p><p>equação: x2 + 2x = 15</p><p>Resolução:</p><p>x2 + 2x –15 = 0</p><p>∆ =b2 – 4ac ∆ = (2)2 – 4 .1.(–15) ∆ = 4 + 60</p><p>∆ = 64</p><p>1 2</p><p>642</p><p>x</p><p>⋅</p><p>±−</p><p>=</p><p>2</p><p>82</p><p>x</p><p>±−</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>6</p><p>2</p><p>82</p><p>' x ==</p><p>+−</p><p>=</p><p>5</p><p>2</p><p>10</p><p>2</p><p>82</p><p>" x −=</p><p>−</p><p>=</p><p>−−</p><p>=</p><p>Os números são 3 e – 5.</p><p>Verificação:</p><p>x2 + 2x –15 = 0 x2 + 2x –15 = 0</p><p>(3)2 + 2 (3) – 15 = 0 (–5)2 + 2 (–5) – 15 = 0</p><p>9 + 6 – 15 = 0 25 – 10 – 15 = 0</p><p>0 = 0 0 = 0</p><p>( V ) ( V )</p><p>S = { 3 , –5 }</p><p>RESOLVA OS PROBLEMAS DO 2.º GRAU:</p><p>1) O quadrado de um número adicionado com o quádruplo</p><p>do mesmo número é igual a 32.</p><p>2) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo número</p><p>é igual a 10. Determine esse número.</p><p>3) O triplo do quadrado de um número mais o próprio núme-</p><p>ro é igual a 30. Determine esse numero.</p><p>4) A soma do quadrado de um número com seu quíntuplo é</p><p>igual a 8 vezes esse número, determine-o.</p><p>Respostas:</p><p>1) 4 e – 8 2) – 5 e 2</p><p>3)</p><p>3</p><p>10− e 3 4) 0 e 3</p><p>SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2° GRAU</p><p>Como resolver</p><p>Para resolver sistemas de equações do 2º grau, é importante</p><p>dominar as técnicas de resolução de sistema de 1º grau:</p><p>método da adição e método da substituição.</p><p>Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem idades</p><p>cuja soma é 10 e a multiplicação 16. Qual a idade de cada</p><p>irmão?</p><p>Equacionando:</p><p>Pela primeira equação, que vamos chamar de I:</p><p>Substituindo na segunda:</p><p>Logo:</p><p>Usando a fórmula:</p><p>Logo</p><p>Substituindo em I:</p><p>As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de 2 e 8</p><p>anos. Testando:</p><p>a multiplicação de 2 X 8 = 16 e a soma 2 + 8 = 10.</p><p>Outro exemplo</p><p>Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma dos</p><p>quadrados seja 13.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 48</p><p>Da primeira, que vamos chamar de II:</p><p>Aplicando na segunda:</p><p>De Produtos notáveis:</p><p>Dividindo por 2:</p><p>Logo:</p><p>Substituindo em II:</p><p>Substituindo em II:</p><p>Os números são 3 e - 2 ou 2 e - 3.</p><p>Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º</p><p>grau, lembrando de que suas representações gráficas consti-</p><p>tuem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver</p><p>um sistema envolvendo equações desse modelo requer co-</p><p>nhecimentos do método da substituição de termos. Observe</p><p>as resoluções comentadas a seguir:</p><p>Exemplo 1</p><p>Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:</p><p>x + y = 6</p><p>x = 6 – y</p><p>Substituindo o valor de x na 1ª equação:</p><p>x² + y² = 20</p><p>(6 – y)² + y² = 20</p><p>(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20</p><p>36 – 12y + y² + y² – 20 = 0</p><p>16 – 12y + 2y² = 0</p><p>2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por</p><p>2)</p><p>y² – 6y + 8 = 0</p><p>∆ = b² – 4ac</p><p>∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8</p><p>∆ = 36 – 32</p><p>∆ = 4</p><p>a = 1, b = –6 e c = 8</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 49</p><p>Determinando os valores de x em relação aos valores de y</p><p>obtidos:</p><p>Para y = 4, temos:</p><p>x = 6 – y</p><p>x = 6 – 4</p><p>x = 2</p><p>Par ordenado (2; 4)</p><p>Para y = 2, temos:</p><p>x = 6 – y</p><p>x = 6 – 2</p><p>x = 4</p><p>Par ordenado (4; 2)</p><p>S = {(2: 4) e (4; 2)}</p><p>Exemplo 2</p><p>Isolando x ou y na 2ª equação:</p><p>x – y = –3</p><p>x = y – 3</p><p>Substituindo o valor de x na 1ª equação:</p><p>x² + 2y² = 18</p><p>(y – 3)² + 2y² = 18</p><p>y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0</p><p>3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3)</p><p>y² – 2y – 3 = 0</p><p>∆ = b² – 4ac</p><p>∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)</p><p>∆ = 4 + 12</p><p>∆ = 16</p><p>a = 1, b = –2 e c = –3</p><p>Determinando os valores de x em relação aos valores de y</p><p>obtidos:</p><p>Para y = 3, temos:</p><p>x = y – 3</p><p>x = 3 – 3</p><p>x = 0</p><p>Par ordenado (0; 3)</p><p>Para y = –1, temos:</p><p>x = y – 3</p><p>x = –1 –3</p><p>x = –4</p><p>Par ordenado (–4; –1)</p><p>S = {(0; 3) e (–4; –1)}</p><p>GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO.</p><p>PERÍMETRO.</p><p>1.POSTULADOS</p><p>a) A reta é ilimitada; não tem origem nem extremidades.</p><p>b) Na reta existem infinitos pontos.</p><p>c) Dois pontos distintos determinam uma</p><p>única reta (AB).</p><p>2. SEMI-RETA</p><p>Um ponto O sobre uma reta divide-a em dois</p><p>subconjuntos, denominando-se cada um deles semi-reta.</p><p>3. SEGMENTO</p><p>Sejam A e B dois pontos distintos sobre a reta AB . Ficam</p><p>determinadas as semi-retas: AB e BA .</p><p>A intersecção das duas semi-retas define o segmento</p><p>AB .</p><p>4. ÂNGULO</p><p>A união de duas semi-retas de mesma origem é um</p><p>ângulo.</p><p>5. ANGULO RASO</p><p>É formado por semi-retas opostas.</p><p>ABBAAB =∩</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 50</p><p>6. ANGULOS SUPLEMENTARES</p><p>São ângulos que determinam por soma um ângulo raso.</p><p>7. CONGRUÊNCIA DE ÂNGULOS</p><p>O conceito de congruência é primitivo. Não há definição.</p><p>lntuitivamente, quando imaginamos dois ângulos coincidindo</p><p>ponto a ponto, dizemos que possuem a mesma medida ou</p><p>são congruentes (sinal de congruência: ≅ ).</p><p>8. ÂNGULO RETO</p><p>Considerando ângulos suplementares e congruentes</p><p>entre si, diremos que se trata de ângulos retos.</p><p>9. MEDIDAS</p><p>1 reto ↔ 90° (noventa graus)</p><p>1 raso ↔ 2 retos ↔ 180°</p><p>1° ↔ 60' (um grau - sessenta minutos)</p><p>1' ↔ 60" (um minuto - sessenta segundos)</p><p>As subdivisões do segundo são: décimos, centésimos etc.</p><p>10. ÂNGULOS COMPLEMENTARES</p><p>São ângulos cuja soma é igual a um ângulo reto.</p><p>11. REPRESENTAÇÃO</p><p>x é o ângulo; (90° – x) seu complemento e</p><p>(180° – x) seu suplemento.</p><p>12. BISSETRIZ</p><p>É a semi-reta que tem origem no vértice do ângulo e o</p><p>divide em dois ângulos congruentes.</p><p>13. ANGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE</p><p>São ângulos formados com as semi-retas apostas duas a</p><p>duas.</p><p>14. TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE RETAS</p><p>PARALELAS</p><p>Se uma reta transversal forma com duas retas de um</p><p>plano ângulos correspondentes congruentes, então as retas</p><p>são paralelas.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>≅</p><p>≅</p><p>≅</p><p>≅</p><p>qd</p><p>pc</p><p>nb</p><p>ma</p><p>))</p><p>))</p><p>))</p><p>))</p><p>ângulos correspondentes congruentes</p><p>Consequências:</p><p>a) ângulos alternos congruentes:</p><p>externos) qb internos) 180mc</p><p>(alternos pa (alternos 180</p><p>0</p><p>0</p><p>))))</p><p>))))</p><p>≅=≅</p><p>≅=≅ nd</p><p>b) ângulos colaterais suplementares:</p><p>internos) s(colaterai</p><p>180</p><p>180 m d</p><p>) (</p><p>180</p><p>180 q a</p><p>o</p><p>o</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=+</p><p>o</p><p>o</p><p>nc</p><p>externoscolaterais</p><p>pb</p><p>))</p><p>))</p><p>))</p><p>))</p><p>15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1) Determine o complemento de 34°15'34".</p><p>Resolução:</p><p>89° 59' 60"</p><p>- 34° 15' 34"</p><p>55° 44' 26"</p><p>Resp.: 55° 44' 26"</p><p>2) As medidas 2x + 20° e 5x – 70° são de ângulos</p><p>opostos pelo vértice. Determine-as.</p><p>Resolução:</p><p>2x + 20° = 5x – 70° ⇔</p><p>⇔ + 70° + 20° = 5x – 2x ⇔</p><p>90o = 89o 59’ 60”</p><p>Ângulos apostos pelo vértice são congruentes</p><p>(Teorema).</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 51</p><p>⇔ 90° = 3x ⇔</p><p>Resp. : os ângulos medem 80º</p><p>3) As medidas de dois ângulos complementares estão</p><p>entre si como 2 está para 7. Calcule-as.</p><p>Resolução: Sejam x e y as medidas de 2 ângulos</p><p>complementares. Então:</p><p>⇔</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=+</p><p>=+</p><p>⇔</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=+</p><p>1</p><p>7</p><p>2</p><p>1</p><p>y</p><p>x</p><p>90 y x</p><p>7</p><p>2</p><p>y</p><p>x</p><p>90 y x o o</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=+</p><p>⇔</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>+</p><p>=+</p><p>7</p><p>990</p><p>y</p><p>90 y x</p><p>7</p><p>9</p><p>y</p><p>yx</p><p>90 y x</p><p>o</p><p>oo</p><p>⇒ x = 20° e y = 70°</p><p>Resp.: As medidas são 20° e 70°.</p><p>4) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal for-</p><p>mam 8 ângulos. Sendo 320° a soma dos ângulos</p><p>obtusos internos, calcule os demais ângulos.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com a figura seguinte, teremos pelo enunciado:</p><p>â + â = 320° ⇔ 2â = 320° ⇔</p><p>Sendo b a medida dos ângulos agudos, vem:</p><p>a</p><p>)</p><p>+ b</p><p>)</p><p>= 180° ou 160° + b</p><p>)</p><p>= 180° ⇒ b</p><p>)</p><p>= 20°</p><p>Resp.: Os ângulos obtusos medem 160° e os agudos 20°.</p><p>5) Na figura, determine x.</p><p>Resolução: Pelos ângulos alternos internos:</p><p>x + 30° = 50° ⇒</p><p>16. TRIÂNGULOS</p><p>16.1 – Ângulos</p><p>externos angulos são C ;B ;A</p><p>internos ângulos são C ;B ;A</p><p>lados os são ;BC ;</p><p>BC AB ABC</p><p>exexex</p><p>)))</p><p>)))</p><p>CAAB</p><p>CA∪∪=∆</p><p>LEI ANGULAR DE THALES:</p><p>Consequências:</p><p>C B</p><p>180 C B A</p><p>180 A ex</p><p>)))</p><p>)))</p><p>))</p><p>+=⇒</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>°=++</p><p>°=+</p><p>exA</p><p>A</p><p>Analogamente:</p><p>Soma dos ângulos externos:</p><p>16.2 – Classificação</p><p>Obs. : Se o triângulo possui os 3 ângulos menores que</p><p>90°, é acutângulo; e se possui um dos seus ângulos maior do</p><p>que 90°, é obtusângulo.</p><p>16.3 - Congruência de triângulos</p><p>Dizemos que dois triângulos são congruentes quando os</p><p>x = 30°</p><p>â = 160°</p><p>x = 20°</p><p>°=++ 180 C B</p><p>)))</p><p>A</p><p>A B C</p><p>C A</p><p>ex</p><p>)))</p><p>)))</p><p>+=</p><p>+=exB</p><p>°=++ 360 C B A exexex</p><p>)))</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 52</p><p>seis elementos de um forem congruentes com os seis</p><p>elementos correspondentes do outro.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>≅</p><p>≅</p><p>≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>≅</p><p>≅</p><p>≅</p><p>C'A' AC</p><p>'C'B BC</p><p>B'A' AB</p><p>e</p><p>'C C</p><p>'B B</p><p>'A A</p><p>))</p><p>))</p><p>))</p><p>C'B'A' ∆≅∆⇔ ABC</p><p>16.4 - Critérios de congruência</p><p>LAL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem</p><p>dois lados e o ângulo entre eles congruentes.</p><p>LLL: Dois triângulos serão congruentes se possuírem</p><p>os três lados respectivamente congruentes.</p><p>ALA : Dois triângulos serão congruentes se possuírem</p><p>dois ângulos e o lado entre eles congruentes.</p><p>LAAO : Dois triângulos serão congruentes se possuírem</p><p>dois ângulos e o lado oposto a um deles</p><p>congruentes.</p><p>16.5 - Pontos notáveis do triângulo</p><p>a) O segmento que une o vértice ao ponto médio do lado</p><p>oposto é denominado MEDIANA.</p><p>O encontro das medianas é denominado</p><p>BARICENTRO.</p><p>G é o baricentro</p><p>Propriedade: AG = 2GM</p><p>BG = 2GN</p><p>CG = 2GP</p><p>b) A perpendicular baixada do vértice ao lado oposto é</p><p>denominada ALTURA.</p><p>O encontro das alturas é denominado</p><p>ORTOCENTRO.</p><p>c) INCENTRO é o encontro das bissetrizes internas do</p><p>triângulo. (É centro da circunferência inscrita.)</p><p>d) CIRCUNCENTRO é o encontro das mediatrizes dos</p><p>lados do triângulo, lÉ centro da circunferência</p><p>circunscrita.)</p><p>16.6 – Desigualdades</p><p>Teorema: Em todo triângulo ao maior lado se opõe o</p><p>maior ângulo e vice-Versa.</p><p>Em qualquer triângulo cada lado é menor do que a soma</p><p>dos outros dois.</p><p>16.7 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1) Sendo 8cm e 6cm as medidas de dois lados de um</p><p>triângulo, determine o maior número inteiro possível</p><p>para ser medida do terceiro lado em cm.</p><p>Resolução:</p><p>x < 6 + 8 ⇒ x < 14</p><p>6 < x + 8 ⇒ x > – 2 ⇒ 2 < x < 14</p><p>8 < x + 6 ⇒ x > 2</p><p>Assim, o maior numero inteiro possível para medir o</p><p>terceiro lado é 13.</p><p>2) O perímetro de um triângulo é 13 cm. Um dos lados é</p><p>o dobro do outro e a soma destes dois lados é 9 cm.</p><p>Calcule as medidas dos lados.</p><p>Resolução:</p><p>a + b + c = 13</p><p>a = 2b 3b = 9</p><p>a + b = 9</p><p>e</p><p>Portanto:</p><p>As medidas são : 3 cm; 4 cm; 6 cm</p><p>3) Num triângulo isósceles um dos ângulos da base</p><p>mede 47°32'. Calcule o ângulo do vértice.</p><p>Resolução:</p><p>x + 47° 32' + 47° 32' = 180° ⇔</p><p>b = 3 a = 6</p><p>c = 4</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira</p><p>Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 53</p><p>x + 94° 64' = 180° ⇔</p><p>x + 95° 04' = 180° ⇔</p><p>x = 180° – 95° 04' ⇔</p><p>x = 84° 56'</p><p>rascunho:</p><p>179° 60'</p><p>– 95° 04'</p><p>84° 56'</p><p>Resp. : O ângulo do vértice é 84° 56'.</p><p>4) Determine x nas figuras:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Resolução:</p><p>a) 80° + x = 120° ⇒ x = 40°</p><p>b) x + 150° + 130° = 360° ⇒ x = 80°</p><p>5) Determine x no triângulo:</p><p>Resolução:</p><p>Sendo ABC∆ isósceles, vem: C</p><p>))</p><p>≅B e portanto:</p><p>°=≅ 50 C</p><p>))</p><p>B , pois °=++ 180 C B</p><p>)))</p><p>A .</p><p>Assim, x = 80° + 50° ⇒ x = 130°</p><p>17. POLIGONOS</p><p>O triângulo é um polígono com o menor número de lados</p><p>possível (n = 3),</p><p>De um modo geral dizemos; polígono de n lados.</p><p>17.1 - Número de diagonais</p><p>( n = número de lados )</p><p>De 1 vértice saem (n – 3) diagonais.</p><p>De n vértices saem n . (n – 3) diagonais; mas, cada uma é</p><p>considerada duas vezes.</p><p>Logo ;</p><p>2</p><p>)3 -n (n</p><p>=d</p><p>17.2 - Soma dos ângulos internos</p><p>17.3 - Soma dos ângulos externos</p><p>17.4 – Quadriláteros</p><p>a) Trapézio:</p><p>"Dois lados paralelos".</p><p>DC // AB</p><p>b) Paralelogramo:</p><p>“Lados opostos paralelos dois a dois”.</p><p>BC // AD e DC // AB</p><p>Propriedades:</p><p>1) Lados opostos congruentes.</p><p>2) Ângulos apostos congruentes.</p><p>3) Diagonais se encontram no ponto médio</p><p>c) Retângulo:</p><p>"Paralelogramo com um ângulo reto".</p><p>Propriedades:</p><p>1) Todas as do paralelogramo.</p><p>2) Diagonais congruentes.</p><p>d) Losango:</p><p>"Paralelogramo com os quatro lados congruentes".</p><p>2</p><p>)3 -n (n</p><p>=d</p><p>Si = 180° ( n – 2 )</p><p>Se = 360°</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 54</p><p>Propriedades:</p><p>1) Todas as do paralelogramo.</p><p>2) Diagonais são perpendiculares.</p><p>3) Diagonais são bissetrizes internas.</p><p>e) Quadrado:</p><p>"Retângulo e losango ao mesmo tempo".</p><p>Obs: um polígono é regular quando é equiângulo e</p><p>equilátero.</p><p>SEMELHANÇAS</p><p>1. TEOREMA DE THALES</p><p>Um feixe de retas paralelas determina sobre um feixe de</p><p>retas concorrentes segmentos correspondentes</p><p>proporcionais.</p><p>etc...</p><p>...</p><p>NP</p><p>MP</p><p>FG</p><p>EG</p><p>BC</p><p>AC</p><p>...</p><p>PQ</p><p>MN</p><p>GH</p><p>EF</p><p>===</p><p>===</p><p>CD</p><p>AB</p><p>2. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>Dada a correspondência entre dois triângulos, dizemos</p><p>que são semelhantes quando os ângulos correspondentes</p><p>forem congruentes e os lados correspondentes proporcionais.</p><p>3. CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA</p><p>a) (AAL) Dois triângulos possuindo dois ângulos</p><p>correspondentes congruentes são</p><p>semelhantes.</p><p>b) (LAL) Dois triângulos, possuindo dois</p><p>lados proporcionais e os ângulos entre eles</p><p>formados congruentes, são semelhantes.</p><p>c) (LLL) Dois triângulos, possuindo os três</p><p>lados proporcionais, são semelhantes.</p><p>Representação:</p><p>k</p><p>C'A'</p><p>AC</p><p>C'B'</p><p>BC</p><p>B'A'</p><p>AB</p><p>e</p><p>'C C</p><p>'B B</p><p>'A</p><p>C'B'A' ~</p><p>===</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>≅</p><p>≅</p><p>≅</p><p>⇔∆∆</p><p>))</p><p>))</p><p>))</p><p>A</p><p>ABC</p><p>razão de semelhança</p><p>Exemplo: calcule x</p><p>Resolução :</p><p>6 x</p><p>6</p><p>9</p><p>4</p><p>x</p><p>MC</p><p>AC</p><p>MN</p><p>AB</p><p>MNC ~</p><p>=∴=⇒=</p><p>⇔∆∆ABC</p><p>4. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO</p><p>RETÂNGULO</p><p>Na figura:</p><p>A é vértice do ângulo reto ( = 90° )</p><p>°=+ 90 C</p><p>))</p><p>B</p><p>m = projeção do cateto c sobre a hipotenusa a</p><p>n = projeção do cateto b sobre a hipotenusa a</p><p>H é o pé da altura AH = h.</p><p>4.1 – Relações</p><p>a)</p><p>HB</p><p>CB</p><p>AB</p><p>CAB ~ AHB</p><p>2 ⋅=⇔</p><p>⇔⇔⇔∆∆</p><p>CBAB</p><p>AB</p><p>HB</p><p>ou (I)</p><p>HCBCAC</p><p>AC</p><p>HC</p><p>⋅=⇔</p><p>⇔=⇔∆∆</p><p>2</p><p>BC</p><p>AC</p><p>BAC~ AHC</p><p>ou (II)</p><p>c2 = a . m</p><p>b2 = a . n</p><p>Cada cateto é média proporcional entre a</p><p>hipotenusa e a sua projeção sobre a mesma.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 55</p><p>b)</p><p>HBCHAH</p><p>HA</p><p>HB</p><p>AHB</p><p>⋅=⇔</p><p>⇔=⇔∆∆</p><p>2</p><p>CH</p><p>AH</p><p>CHA ~</p><p>ou (III)</p><p>Consequências:</p><p>(I) + (II) vem:</p><p>4.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>Exemplo:</p><p>Na figura, M é ponto médio de BC ,  = 90°</p><p>e M̂ = 90°. Sendo AB = 5 e AC = 2, calcule Al.</p><p>Resolução:</p><p>a) Teorema de Pitágoras:</p><p>⇒+=⇒+= 2 22222 2 5 BC AC AB BC</p><p>e 38,529 ≅=⇒ BC</p><p>b) ou ~</p><p>BI</p><p>BC</p><p>MB</p><p>AB</p><p>MBIABC =⇔∆∆</p><p>9,2</p><p>10</p><p>2929</p><p>2</p><p>29</p><p>5</p><p>==⇔= BI</p><p>BI</p><p>Logo, sendo AI = AB - BI, teremos:</p><p>AI = 5 - 2,9 ⇒</p><p>5. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO</p><p>Nas figuras valem as seguintes relações:</p><p>2δ =PA . PB=PM . PN</p><p>o número</p><p>2δ é denominado Potência do ponto</p><p>P em relação à circunferência.</p><p>2δ =</p><p>22 Rd −</p><p>6. POLÍGONOS REGULARES</p><p>a) Quadrado:</p><p>AB = lado do quadrado ( l 4)</p><p>OM = apótema do quadrado (a4)</p><p>OA = OB = R = raio do círculo</p><p>Relações:</p><p>• ⇒+= 222</p><p>RRAB</p><p>• ⇒=</p><p>2</p><p>AB</p><p>OM</p><p>• Área do quadrado:</p><p>b) Triângulo equilátero:</p><p>AC = 3l (lado do triângulo)</p><p>OA = R (raio do círculo)</p><p>OH = a (apótema do triângulo)</p><p>Relações:</p><p>• AC2 = AH2 + HC2 ⇒</p><p>(altura em função do lado)</p><p>h2 = m . n</p><p>A altura é média proporcional entre os seg-</p><p>mentos que determina sobre a hipotenusa</p><p>a2 + b2 = c2</p><p>O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos</p><p>quadrados dos catetos.</p><p>2</p><p>29</p><p>=MB</p><p>AI = 2,1</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>l</p><p>=a</p><p>2</p><p>44 l=S</p><p>2</p><p>33l=h</p><p>( )</p><p>222</p><p>22</p><p>22</p><p>b</p><p>abc</p><p>nmabc</p><p>anamc</p><p>a</p><p>=+⇔</p><p>⇔+=+⇔</p><p>⇔+=+</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 56</p><p>• AO = 2 OH ⇒</p><p>(o raio é o dobro do apótema)</p><p>• (lado em função do raio)</p><p>• Área:</p><p>(área do triângulo equilátero em função do lado)</p><p>c) Hexágono regular:</p><p>AB = 6l (lado do hexágono)</p><p>OA = OB = R (raio do círculo)</p><p>OM = a (apótema)</p><p>Relações:</p><p>• ∆ OAB é equilátero ⇒</p><p>• OM é altura ∆ OAB ⇒</p><p>• Área:</p><p>ABCSS ∆⋅= 6 ⇒</p><p>7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1) Num triângulo retângulo os catetos medem 9 cm e 12</p><p>cm. Calcule as suas projeções sobre a hipotenusa.</p><p>Resolução:</p><p>a) Pitágoras: a2 = b2 + c2 ⇒</p><p>⇒ a2 =122 + 92⇒</p><p>b) C2 = a . m ⇒ 92 = 15 . m ⇒</p><p>c) b2 = a . n ⇒ 122 = 15 . n ⇒</p><p>2) As diagonais de um losango medem 6m e 8m.</p><p>Calcule o seu perímetro:</p><p>Resolução:</p><p>⇒+= 222 34l</p><p>O perímetro é:</p><p>3) Calcule x na figura:</p><p>Resolução:</p><p>PA . PB = PM . PN ⇒ 2. ( 2 + x ) = 4 X 10</p><p>⇔</p><p>4 + 2 x = 40 ⇔ 2 x = 36 ⇔</p><p>⇔</p><p>4) Calcule a altura de um triângulo equilátero cuja área</p><p>é 39 m2:</p><p>Resolução:</p><p>∴=⇒=</p><p>4</p><p>3</p><p>39</p><p>4</p><p>3 22</p><p>ll</p><p>S</p><p>∴=⇒=</p><p>2</p><p>36</p><p>2</p><p>3</p><p>hh</p><p>l</p><p>32</p><p>222</p><p>2</p><p>22</p><p>642</p><p>422</p><p>RRRV</p><p>RRRA</p><p>RRRA</p><p>T</p><p>ππ</p><p>πππ</p><p>ππ</p><p>=⋅=</p><p>=+⋅=</p><p>=⋅=</p><p>l</p><p>TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>Relembrando: Triângulo retângulo é todo triângulo que</p><p>possui um ângulo interno reto. ( = 90º)</p><p>Obs: Num triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo re-</p><p>to é chamado hipotenusa e os lados adjacentes ao ângulo</p><p>reto são chamados</p><p>catetos.</p><p>Teorema de Pitágoras</p><p>Enunciado: Num triângulo retângulo, o quadrado da medi-</p><p>da da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas</p><p>dos catetos.</p><p>R = 2a</p><p>33 R=l</p><p>4</p><p>32</p><p>3l=S</p><p>2</p><p>3R</p><p>a =</p><p>2</p><p>33 2</p><p>R</p><p>S =</p><p>a = 15 cm</p><p>m = 5,4</p><p>cm</p><p>n = 9,6</p><p>cm</p><p>m 5=l</p><p>P = 4 X 5 m = 20 m</p><p>x=18</p><p>m 6=l</p><p>m h 33=</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 57</p><p>Exemplo:</p><p>Exemplo numérico:</p><p>Exercícios:</p><p>1) Num triângulo retângulo os catetos medem 8 cm e 6</p><p>cm; a hipotenusa mede:</p><p>a) 5 cm</p><p>b) 14 cm</p><p>c) 100 cm</p><p>d) 10 cm</p><p>2) Num triângulo retângulo os catetos medem 5 cm e 12</p><p>cm. A hipotenusa mede:</p><p>a) 13cm b) 17 cm c) 169 cm d) 7 cm</p><p>3) O valor de x na figura abaixo é:</p><p>Respostas: 1) d 2) a 3) x = 3</p><p>RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TRIÂNGULO</p><p>RETÂNGULO</p><p>Vamos observar o triângulo retângulo ABC (reto em A).</p><p>Nos estudos que faremos nesta unidade, se faz necessá-</p><p>rio diferenciar os dois catetos do triângulo. Usamos para isso</p><p>a figura que acabamos de ver.</p><p>Tomando como referência o ângulo E. dizemos que:</p><p>• AC é o cateto oposto de B:</p><p>• AB é o cateto adjacente ao ângulo B.</p><p>Tomando como referência o ângulo C, dizemos que:</p><p>• AC o cateto adjacente ao ângulo C;</p><p>• AB é o cateto oposto ao ângulo C.</p><p>Razões trigonométricas</p><p>Num triângulo retângulo, chama-se seno de um ângulo</p><p>agudo o número que expressa a razão entre a medida do</p><p>cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.</p><p>O seno de um ângulo o indica-se por sen α.</p><p>a</p><p>b</p><p>B sen</p><p>hipotenusa da medida</p><p>B a oposto cateto do medida</p><p>B sen =⇒=</p><p>a</p><p>c</p><p>Csen</p><p>hipotenusa da</p><p>C a oposto cateto do medida</p><p>Csen =⇒=</p><p>medida</p><p>Num triângulo retângulo, chama-se cosseno</p><p>de um ângulo agudo o número que expressa a</p><p>razão entre a medida do cateto adjacente ao ân-</p><p>gulo e a medida da hipotenusa.</p><p>O cosseno de um ângulo a indica-se por cos α.</p><p>a</p><p>c</p><p>B cos</p><p>hipotenusa da medida</p><p>B a adjacente cateto do medida</p><p>B cos =⇒=</p><p>a</p><p>b</p><p>C cos</p><p>hipotenusa da medida</p><p>C a adjacente cateto do medida</p><p>C cos =⇒=</p><p>Num triângulo retângulo chama-se tangente de um ângulo</p><p>agudo o número que expressa a razão entre a medida do</p><p>cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.</p><p>A tangente de um ângulo a indica-se por tg α</p><p>b</p><p>c</p><p>C tg</p><p>C a adjacente</p><p>C a oposto cateto</p><p>C tg =⇒=</p><p>cateto</p><p>.</p><p>RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO</p><p>QUALQUER</p><p>No triângulo da figura destacamos:</p><p>• h1 : medida de altura relativa ao lado BC:</p><p>• h2 : medida da altura relativa ao lado AB,</p><p>no ∆ retângulo ABH1 ( H1 é reto):</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 58</p><p>B sen ch</p><p>c</p><p>h</p><p>B sen 1</p><p>1 ⋅=⇒=</p><p>No ∆ retângulo ACH1 ( H1 é reto):</p><p>C h</p><p>b</p><p>h</p><p>Csen 1</p><p>1 senb ⋅=⇒=</p><p>Comparando 1 e 2. temos:</p><p>c . sen B = b . sen C</p><p>B sen</p><p>b</p><p>C sen</p><p>c</p><p>=⇒</p><p>No ∆ retângulo BCH2 ( H é reto):</p><p>sen B = 2</p><p>2 h</p><p>a</p><p>h</p><p>⇒ = a . sen B</p><p>No ∆ retângulo ACH2 (H é reto):</p><p>sen A = 2</p><p>2 h</p><p>b</p><p>h</p><p>⇒ = b . sen A</p><p>Comparando 4 e 5, temos:</p><p>a . sen B = b . sen A</p><p>B sen</p><p>b</p><p>Asen</p><p>a</p><p>=⇒</p><p>Comparando 3 e 5. temos:</p><p>C sen</p><p>c</p><p>B sen</p><p>b</p><p>Asen</p><p>a</p><p>==</p><p>Observação: A expressão encontrada foi desenvolvida a</p><p>partir de um triângulo acutângulo. No entanto, chegaríamos à</p><p>mesma expressão se tivéssemos partido de qualquer triângu-</p><p>lo. Daí temos a lei dos senos:</p><p>C sen</p><p>c</p><p>B sen</p><p>b</p><p>Asen</p><p>a</p><p>==</p><p>Exemplo: No triângulo da figura calcular a medida x:</p><p>Resolução:</p><p>Pela lei dos senos:</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>8</p><p>60 sen</p><p>x</p><p>45 sen</p><p>8</p><p>=⇒</p><p>°</p><p>=</p><p>°</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>38</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>38</p><p>=⇒=⇒ x</p><p>x</p><p>6 4 x</p><p>2</p><p>68</p><p>x ` =⇒=⇒</p><p>LEI DOS COSENOS</p><p>1. No triângulo acutângulo ABC, temos b2 = a2 +</p><p>c2 - 2am</p><p>No triângulo retângulo ABH. temos: cos B =</p><p>c</p><p>m</p><p>⇒ m = C</p><p>. cos b</p><p>Substituindo 2 em 1: b2 = a2 + c2 - 2ac . cos B</p><p>A expressão foi mostrada para um triângulo acutângulo.</p><p>Vejamos, agora, como ela é válida, também. para os triângu-</p><p>los obtusângulos:</p><p>No triângulo obtusângulo ABC, temos: b2 = a2 + c2 +</p><p>2am</p><p>No triângulo retângulo AHB. temos: cos ( 180º – B) =</p><p>c</p><p>m</p><p>Como cos (180º – B) = – cos B, por uma propriedade não</p><p>provada aqui, temos que:</p><p>– cos B =</p><p>c</p><p>m</p><p>⇒ m = – c . cos B</p><p>Substituindo 2 em 1, temos:</p><p>b2 = a2 + c2 + 2 . a .( –c . cos B )</p><p>b2 = a2 + c2 – 2 a c . cos B</p><p>Dai a lei dos cosenos:</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 59</p><p>a2 = b2 + c2 – 2 b . c . cos A</p><p>b2 = a2 + c2 – 2 a . c . cos B</p><p>c2 = a2 + b2 – 2 a . b . cos C</p><p>Exemplo:</p><p>No triângulo abaixo calcular a medida de b</p><p>Resolução: Aplicando ao triângulo dado a lei dos cose-</p><p>nos:</p><p>b2 = 102 + 62 – 2 . 10 . 6 . cos 60º</p><p>b2 = 100 + 36 – 120 .</p><p>2</p><p>1</p><p>b2 = 76 ⇒ b = 76 ⇒ b = 192</p><p>Exercícios</p><p>Resolva os seguintes problemas:</p><p>1) Num triângulo ABC, calcule b e c, sendo  = 30º, B̂ =</p><p>45º e a = 2cm</p><p>2) Num triângulo ABC, calcule  e Ĉ , sendo B̂ = 105º,</p><p>b =</p><p>2</p><p>2</p><p>cm e c =</p><p>2</p><p>26 −</p><p>cm.</p><p>3) Calcule o perímetro do triângulo abaixo:</p><p>4) Calcule x na figura:</p><p>5) Calcule  e Ĉ num triângulo ABC onde b = 1, c =</p><p>3 +1 e B̂ = 15º.</p><p>6) Calcule a num triângulo ABC, onde b = 4 cm, c =</p><p>3 cm e  = 30º.</p><p>7) Calcule as diagonais de um paralelogramo cujos lados</p><p>medem 6cm e 2 cm e formam um ângulo de 45º.</p><p>8) Calcule a área de um triângulo ABC, sabendo que o</p><p>lado AB mede 2cm, o lado BC mede 5cm e que esses</p><p>lados formam entre si um ângulo de 30º.</p><p>9) Calcule a medida da diagonal maior do losango da</p><p>figura abaixo:</p><p>Respostas</p><p>1) b = 2 2 cm, c = 6 + 2 cm</p><p>2)  = 30º ; Ĉ = 45º</p><p>3) ( 2 3 + 6 – 2 ) cm</p><p>4) x = 100 2 cm</p><p>5) Ĉ = 45º;  = 120º</p><p>6) a = 7 cm</p><p>7) d1 = 26 ; d2 = 50</p><p>8) 2,5 cm2</p><p>9) 108 cm</p><p>ÁREA DAS FIGURAS PLANAS</p><p>RETÂNGULO</p><p>A = b . h</p><p>A = área b = base h = altura</p><p>Perímetro: 2b + 2h</p><p>Exemplo 1</p><p>Qual a área de um retângulo cuja altura é 2 cm e seu</p><p>perímetro 12 cm?</p><p>Solução: A = b. h</p><p>h = 2 cm</p><p>2 + b + 2 + b = 12</p><p>2 b + 4 = 12</p><p>2b = 12 - 4</p><p>2b = 8</p><p>b = 8 ÷ 2=4</p><p>b =4cm</p><p>A = 4 . 2</p><p>A = 8 cm2</p><p>QUADRADO</p><p>PERÍMETRO: L + L + L + L = 4L</p><p>Área do quadrado:</p><p>A = = 2 l l l⋅</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 60</p><p>Exemplo 2</p><p>Qual a área do quadrado de 5 cm de lado?</p><p>Solução: A = l2</p><p>l = 5 cm</p><p>A = 52</p><p>A = 25 cm2</p><p>PARALELOGRAMO</p><p>A = área do paralelogramo:</p><p>Perímetro: 2b + 2h</p><p>Exemplo 3</p><p>A altura de um paralelogramo é 4 cm e é a</p><p>metade de sua base. Qual é suá área ?</p><p>Solução: A = b .h</p><p>h = 4cm</p><p>b = 2 . h</p><p>b = 2 . 4 = 8cm</p><p>A = 8 . 4 A =</p><p>32 m2</p><p>TRIÂNGULO</p><p>Perímetro: é a soma dos três lados.</p><p>Área do triângulo:</p><p>Exemplo 4:</p><p>A altura de um triângulo é 8 cm e a sua base é a metade</p><p>da altura. Calcular sua área.</p><p>Solução: A =</p><p>b h</p><p>2</p><p>⋅</p><p>h = 8cm</p><p>b =</p><p>h</p><p>2</p><p>8</p><p>2</p><p>4= = cm</p><p>2</p><p>4 8</p><p>=</p><p>⋅</p><p>A</p><p>A = 16 m2</p><p>TRAPÉZIO</p><p>Perímetro: B + b + a soma dos dois lados.</p><p>Área do trapézio:</p><p>B = base maior</p><p>b = base menor</p><p>h = altura</p><p>Exemplo 5:</p><p>Calcular a área do trapézio de base maior de 6 cm, base</p><p>menor de 4 cm. e altura de 3 cm.</p><p>Solução:</p><p>( )</p><p>2</p><p>b +B</p><p>=A</p><p>h⋅</p><p>B = 6 cm</p><p>b = 4 cm</p><p>h = 3 cm</p><p>( )</p><p>A =</p><p>6 + 4 ⋅ 3</p><p>2</p><p>A = 15 cm2</p><p>LOSANGO</p><p>D= diagonal maior</p><p>d = diagonal menor</p><p>Perímetro = é a soma dos quatro lados.</p><p>Área do losango:</p><p>Exemplo 6:</p><p>Calcular a área do losango de diagonais 6 cm</p><p>e 5 cm.</p><p>Solução: A =</p><p>D d</p><p>2</p><p>⋅</p><p>A =</p><p>6 5</p><p>2</p><p>⋅</p><p>A = 15 cm2</p><p>CIRCULO</p><p>Área do círculo:</p><p>A = área do círculo</p><p>R = raio</p><p>π = 3,14</p><p>Exemplo 7</p><p>O raio de uma circunferência é 3 cm. Calcular a sua área.</p><p>A = R2π</p><p>A = 3,14 . 32</p><p>A = 3,14 . 9</p><p>A = 28,26 cm2</p><p>A = B . H</p><p>A =</p><p>b h</p><p>2</p><p>⋅</p><p>A =</p><p>D d</p><p>2</p><p>⋅</p><p>A = R2π</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 61</p><p>Geometria no Espaço</p><p>1. PRISMAS</p><p>São sólidos que possuem duas faces apostas</p><p>paralelas e congruentes denominadas bases.</p><p>l</p><p>a = arestas laterais</p><p>h = altura (distância entre as bases)</p><p>Cálculos:</p><p>bA = área do polígono da base.</p><p>l</p><p>A = soma das áreas laterais.</p><p>(área total).</p><p>(volume)</p><p>1.1 – Cubo</p><p>O cubo é um prisma onde todas as faces são quadradas.</p><p>(área total)</p><p>(volume)</p><p>a = aresta</p><p>Para o cálculo das diagonais teremos:</p><p>(diagonal de uma face)</p><p>(diagonal do cubo)</p><p>1.2 - Paralelepípedo reto retângulo</p><p>dimensões a, b, c</p><p>(área total)</p><p>(volume)</p><p>(diagonal)</p><p>2. PIRÂMIDES</p><p>São sólidos com uma base plana e um vértice fora do</p><p>plano dessa base.</p><p>Para a pirâmide temos:</p><p>bA = área da base</p><p>l</p><p>A = álea dos triângulos faces laterais</p><p>(área total)</p><p>(volume)</p><p>2.1 - Tetraedro regular</p><p>É a pirâmide onde todas as faces são triângulos</p><p>equiláteros.</p><p>Tetraedro de aresta a :</p><p>( altura )</p><p>(área total)</p><p>bT AAA 2+=</p><p>l</p><p>V = Ab . h</p><p>AT = 6 . a2</p><p>V = a3</p><p>2ad =</p><p>3aD =</p><p>AT = 2 ( ab + ac + bc )</p><p>V = abc</p><p>222 cbaD ++=</p><p>bT AAA +=</p><p>l</p><p>hAV b ⋅=</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>6a</p><p>h =</p><p>32aA T =</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 62</p><p>( volume )</p><p>3. CILINDRO CIRCULAR RETO</p><p>As bases são paralelas e circulares; possui uma</p><p>superfície lateral.</p><p>( área da base)</p><p>( área lateral )</p><p>( área total )</p><p>( volume )</p><p>3.1 - Cilindro equilátero</p><p>Quando a secção meridiana do cilindro for quadrada, este</p><p>será equilátero.</p><p>Logo:</p><p>32</p><p>222</p><p>2</p><p>22</p><p>642</p><p>422</p><p>RRRV</p><p>RRRA</p><p>RRRA</p><p>T</p><p>ππ</p><p>πππ</p><p>ππ</p><p>=⋅=</p><p>=+⋅=</p><p>=⋅=</p><p>l</p><p>4. CONE CIRCULAR RETO</p><p>g é geratriz.</p><p>∆ ABC é secção meridiana.</p><p>g2 = h2 + R2</p><p>RgA π=</p><p>l</p><p>(área lateral)</p><p>2RA b π= (área da base)</p><p>bT AAA +=</p><p>l</p><p>(área total)</p><p>(volume)</p><p>4.1 - Cone equilátero</p><p>Se o ∆ ABC for equilátero, o cone será deno-</p><p>minado equilátero.</p><p>3Rh = (altura)</p><p>2RA b π= (base)</p><p>222 RRRA ππ =⋅=</p><p>l</p><p>(área lateral)</p><p>23 RA T π= (área total)</p><p>(volume)</p><p>5. ESFERA</p><p>Perímetro do círculo maior: 2π R</p><p>Área da superfície: 4π R2</p><p>Volume:</p><p>12</p><p>23a</p><p>V =</p><p>2RA b π=</p><p>hRA ⋅= π2</p><p>l</p><p>l</p><p>AAA bT += 2</p><p>hAV b ⋅=</p><p>hAv b ⋅⋅=</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>1 3RV π=</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>Rπ</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 63</p><p>Área da secção meridiana: π R2.</p><p>EXERCICIOS PROPOSTOS 1</p><p>1) Os 3/4 do valor do suplemento de um angulo de 60°</p><p>são:</p><p>a) 30° b) 70º c) 60º d) 90º e) 100º</p><p>2) A medida de um ângulo igual ao dobro do seu</p><p>complemento é:</p><p>a) 60° b) 20º c) 35º d) 40º e) 50°</p><p>3) O suplemento de 36°12'28" é:</p><p>a) 140º 27’12” b) 143°47'32"</p><p>c) 143°57'42" d) 134°03'03"</p><p>e) n.d.a.</p><p>4) número de diagonais de um polígono convexo de 7</p><p>lados é:</p><p>a) 6 b) 8 c) 14 d) 11 e) 7</p><p>5) O polígono que tem o número de lados igual ao</p><p>número de diagonais é o:</p><p>a) quadrado b) pentágono</p><p>c) hexágono d) de15 lados</p><p>e) não existe</p><p>6) O número de diagonais de um polígono convexo é o</p><p>dobro do número de vértices do mesmo. Então o</p><p>número de lados desse polígono é:</p><p>a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7</p><p>7) A soma dos ângulos internos de um pentágono é</p><p>igual a:</p><p>a) 180° b) 90° c) 360°</p><p>d) 540° e) 720°</p><p>8) Um polígono regular tem 8 lados; a medida de um</p><p>dos seus ângulos internos é:</p><p>a) 135° b) 45° c) 20°</p><p>d) 90° e) 120°</p><p>9) O encontro das bissetrizes internas de um triângulo é</p><p>o:</p><p>a) bicentro</p><p>b) baricentro</p><p>c) incentro</p><p>d) metacentro</p><p>e) n.d.a.</p><p>10) As medianas de um triângulo se cruzam num ponto,</p><p>dividindo-se em dois segmentos tais que um deles é:</p><p>a) o triplo do outro</p><p>b) a metade do outro</p><p>c) um quinto do outro</p><p>d) os</p><p>3</p><p>2</p><p>do outro</p><p>e) n.d.a.</p><p>11) Entre os.critérios abaixo, aquele que não garante a</p><p>congruência de triângulos é:</p><p>a) LLL b) ALA c) LAAO d) AAA</p><p>e) LAL</p><p>12) O menor valor inteiro para o terceiro lado de um</p><p>triângulo, cujos outros dois medem 6 e 9, será:</p><p>a) 4 b) 10 c) 6 d) 7 e) 1</p><p>13) Num paralelogramo de perímetro 32cm e um dos</p><p>lados10cm, a medida para um dos outros lados é:</p><p>a) 6 cm b) 12 cm c) 20 cm</p><p>d) 22 cm e) 5 cm</p><p>RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS</p><p>1) d</p><p>2) a</p><p>3) b</p><p>4) c</p><p>5) b</p><p>6) e</p><p>7) d</p><p>8) a</p><p>9) c</p><p>10) b</p><p>11) d</p><p>12) a</p><p>13) a</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2</p><p>1) Na figura</p><p>AB = 4 cm BC = 6 cm MN = 8 cm</p><p>Então, NP vale:</p><p>a) 10 cm b) 8 cm c) 1 2 cm d) 6 cm</p><p>e) 9 cm</p><p>2) Com as retas suportes dos lados (AD e BC) não</p><p>paralelos do trapézio ABCD, construímos o ∆ ABE.</p><p>Sendo AE = 12 cm; AD = 5 cm; BC = 3 cm. O valor de</p><p>BE é:</p><p>a) 6,4cm b) 7,2 cm c) 3,8 cm d) 5,2 cm e) 8,2cm</p><p>3) O lado AB de um ∆ ABC mede 16 cm. Pelo ponto D</p><p>pertencente ao lado AB, distante 5 cm de A, constrói-se</p><p>paralela ao lado BC que encontra o lado AC em E a 8 cm</p><p>de A. A medida de AC é:</p><p>a) 15,8 cm b) 13,9 cm c) 22,6 cm</p><p>d) 25,6 cm e) 14 cm</p><p>4) A paralela a um dos lados de um triângulo divide os</p><p>outros dois na razão 3/4. Sendo 21cm e 42 cm as</p><p>medidas desses dois lados. O maior dos segmentos</p><p>determinado pela paralela mede:</p><p>a) 9cm b) 12cm c) 18 cm</p><p>d) 25 cm e) 24 cm</p><p>5) Num trapézio os lados não paralelos prolongados</p><p>determinam um triângulo de lados 24 dm e 36 dm. O</p><p>menor dos lados não paralelos do trapézio mede 10 dm.</p><p>O outro lado do trapézio mede:</p><p>a) 6 dm b) 9 dm c) 10 dm</p><p>d) 13 dm e) 15 dm</p><p>6) Num triângulo os lados medem 8 cm; 10 cm e 15</p><p>OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 2</p><p>O conjunto G = { a; e; i; o, u } pode ser representado por</p><p>descrição da seguinte maneira G = { x | x é vogal do nosso</p><p>alfabeto }</p><p>O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode ser representado</p><p>por descrição da seguinte maneira:</p><p>H = { x | x é par positivo }</p><p>A representação gráfica de um conjunto é bastante cômo-</p><p>da. Através dela, os elementos de um conjunto são represen-</p><p>tados por pontos interiores a uma linha fechada que não se</p><p>entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os</p><p>elementos que não pertencem ao conjunto.</p><p>Exemplo</p><p>Por esse tipo de representação gráfica, chamada</p><p>diagrama de Euler-Venn, percebemos que x ∈ C, y ∈ C, z</p><p>∈ C; e que a ∉ C, b ∉ C, c ∉ C, d ∉ C.</p><p>4 Número de elementos de um conjunto</p><p>Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de</p><p>elementos deste conjunto, e indicamos com n(C), ao número</p><p>de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto.</p><p>Exemplos</p><p>a) O conjunto A = { a; e; i; o; u }</p><p>é tal que n(A) = 5.</p><p>b) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } é tal que</p><p>n(B) = 10.</p><p>c) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) é tal que n (C) =</p><p>99.</p><p>5 Conjunto unitário e conjunto vazio</p><p>Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que</p><p>n (C) = 1.</p><p>Exemplo: C = ( 3 )</p><p>E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que</p><p>n(C) = 0.</p><p>Exemplo: M = { x | x2 = -25}</p><p>O conjunto vazio é representado por { } ou por ∅ .</p><p>Exercício resolvido</p><p>Determine o número de elementos dos seguintes com</p><p>juntos :</p><p>a) A = { x | x é letra da palavra amor }</p><p>b) B = { x | x é letra da palavra alegria }</p><p>c) c é o conjunto esquematizado a seguir</p><p>d) D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 )</p><p>e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas</p><p>r e s, esquematizadas a seguir :</p><p>Resolução</p><p>a) n(A) = 4</p><p>b) n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir</p><p>dote letras, possui apenas seis letras distintas entre si.</p><p>c) n(C) = 2, pois há dois elementos que pertencem a C:</p><p>c e C e d e C</p><p>d) observe que:</p><p>2 = 2 . 1 é o 1º par positivo</p><p>4 = 2 . 2 é o 2° par positivo</p><p>6 = 2 . 3 é o 3º par positivo</p><p>8 = 2 . 4 é o 4º par positivo</p><p>. .</p><p>. .</p><p>. .</p><p>98 = 2 . 49 é o 49º par positivo</p><p>logo: n(D) = 49</p><p>e) As duas retas, esquematizadas na figura,</p><p>possuem apenas um ponto comum.</p><p>Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E é, portanto, unitário.</p><p>6 igualdade de conjuntos</p><p>Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indica-</p><p>remos com A = 8, se ambos possuírem os mesmos elemen-</p><p>tos. Quando isto não ocorrer, diremos que os conjuntos são</p><p>diferentes e indicaremos com A ≠ B. Exemplos .</p><p>a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u}</p><p>b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a}</p><p>c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u}</p><p>d) {a;e;i;o;u} ≠ {a;e;i;o}</p><p>e) { x | x2 = 100} = {10; -10}</p><p>f) { x | x2 = 400} ≠ {20}</p><p>7 Subconjuntos de um conjunto</p><p>Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um</p><p>conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, também</p><p>pertencer a B.</p><p>Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o</p><p>conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B :</p><p>Indicamos que A é um subconjunto de B de duas</p><p>maneiras:</p><p>a) A ⊂ B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou</p><p>A está contido em B ou A é parte de B;</p><p>b) B ⊃ A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A.</p><p>Exemplo</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 3</p><p>Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = { x | x é</p><p>brasileiro} ; temos então que A ⊂ B e que B ⊃ A.</p><p>Observações:</p><p>• Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A</p><p>⊄ B ou B A.</p><p>• Admitiremos que o conjunto vazio está contido em</p><p>qualquer conjunto.</p><p>8 Número de subconjuntos de um conjunto dado</p><p>Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos,</p><p>então este conjunto terá 2n subconjuntos. Exemplo</p><p>O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele</p><p>terá 22 = 4 subconjuntos.</p><p>Exercício resolvido:</p><p>1. Determine o número de subconjuntos do conjunto C =</p><p>(a; e; i; o; u ) .</p><p>Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o</p><p>número dos seus subconjuntos será 25 = 32.</p><p>Exercícios propostas:</p><p>2. Determine o número de subconjuntos do conjunto</p><p>C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }</p><p>Resposta: 1024</p><p>3. Determine o número de subconjuntos do conjunto</p><p>C =</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>5</p><p>; ; ; ; ;</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Resposta: 32</p><p>B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS</p><p>1 União de conjuntos</p><p>Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião</p><p>de A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto constituído</p><p>por todos os elementos que pertencem a A ou a B.</p><p>Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando</p><p>com hachuras a interseção dos conjuntos, temos:</p><p>Exemplos</p><p>a) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e}</p><p>b) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d}</p><p>c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c}</p><p>2 Intersecção de conjuntos</p><p>Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de</p><p>A com B, e indicamos com A ∩ B, ao conjunto constituído</p><p>por todos os elementos que pertencem a A e a B.</p><p>Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando</p><p>com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos:</p><p>Exemplos</p><p>a) {a;b;c} ∩ {d;e} = ∅</p><p>b) {a;b;c} ∩ {b;c,d} = {b;c}</p><p>c) {a;b;c} ∩ {a;c} = {a;c}</p><p>Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no</p><p>exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos.</p><p>Exercícios resolvidos</p><p>1. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t ),</p><p>determinar os seguintes conjuntos:</p><p>a) A ∪ B f) B ∩ C</p><p>b) A ∩ B g) A ∪ B ∪ C</p><p>c) A ∪ C h) A ∩ B ∩ C</p><p>d) A ∩ C i) (A ∩ B) U (A ∩ C)</p><p>e) B ∪ C</p><p>Resolução</p><p>a) A ∪ B = {x; y; z; w; v }</p><p>b) A ∩ B = {x }</p><p>c) A ∪ C = {x; y;z; u; t }</p><p>d) A ∩ C = {y }</p><p>e) B ∪ C={x;w;v;y;u;t}</p><p>f) B ∩ C= ∅</p><p>g) A ∪ B ∪ C= {x;y;z;w;v;u;t}</p><p>h) A ∩ B ∩ C= ∅</p><p>i) (A ∩ B) ∪ u (A ∩ C)={x} ∪ {y}={x;y}</p><p>2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras</p><p>os conjuntos: :</p><p>a) A ∩ B ∩ C</p><p>b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)</p><p>.Resolução</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 4</p><p>3. No diagrama seguinte temos:</p><p>n(A) = 20</p><p>n(B) = 30</p><p>n(A ∩ B) = 5</p><p>Determine n(A ∪ B).</p><p>Resolução</p><p>Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de</p><p>B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas</p><p>vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este</p><p>erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B;</p><p>teremos então:</p><p>n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ou seja:</p><p>n(A ∪ B) = 20 + 30 – 5 e então:</p><p>n(A ∪ B) = 45.</p><p>4 Conjunto complementar</p><p>Dados dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, chamamos</p><p>de conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos</p><p>com CA B, ao conjunto A - B.</p><p>Observação: O complementar é um caso particular de</p><p>diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do</p><p>primeiro.</p><p>Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando</p><p>com hachuras o complementar de B em relação a A, temos:</p><p>Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f}</p><p>Observação: O conjunto complementar de B em</p><p>relação a A é formado pelos elementos que faltam para</p><p>"B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A.</p><p>Exercícios resolvidos:</p><p>4. Sendo A = { x; y; z } , B = { x; w; v } e C = { y; u; t</p><p>}, determinar</p><p>cm. O</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 64</p><p>lado correspondente ao menor deles, num segundo</p><p>triângulo semelhante ao primeiro, mede 16cm. O</p><p>perímetro deste último triângulo é:</p><p>a) 60 cm b) 62 cm c) 66 cm</p><p>d) 70 cm e) 80 cm</p><p>7) Dois triângulos semelhantes possuem os seguintes</p><p>perímetros: 36 cm e 108 cm. Sendo 12 cm a medida de</p><p>um dos lados do primeiro, a medida do lado</p><p>correspondente do segundo será:</p><p>a) 36 cm b) 48 cm c) 27 cm</p><p>d) 11 cm e) 25 cm</p><p>8) A base e a altura de um retângulo estão na razão</p><p>5</p><p>12</p><p>.</p><p>Se a diagonal mede 26cm, a base medida será:</p><p>a) 12 cm b) 24 cm c) 16 cm</p><p>d) 8 cm e) 5 cm</p><p>9) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo mede 14,4</p><p>dm e a projeção de um dos catetos sobre a mesma 10,8</p><p>dm. O perímetro do triângulo é:</p><p>a) 15 dm b) 32 dm c) 60 dm</p><p>d) 72 dm e) 81 dm</p><p>10) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo</p><p>de catetos 5 cm e 12 cm, mede:</p><p>a) 4,61cm b) 3,12 cm c) 8,1 cm</p><p>d) 13,2 cm e) 4 cm</p><p>11) Duas cordas se cruzam num círculo. Os segmentos de</p><p>uma delas medem 3 cm e 6 cm; um dos segmentos da</p><p>outra mede 2 cm. Então o outro segmento medirá:</p><p>a) 7 cm b) 9 cm c) 10 cm</p><p>d) 11 cm e) 5 cm</p><p>RESPOSTAS AOS EXERCICIOS PROPOSTOS</p><p>1) c</p><p>2) b</p><p>3) d</p><p>4) e</p><p>5) e</p><p>6) c</p><p>7) a</p><p>8) b</p><p>9) d</p><p>10) a</p><p>11) b</p><p>Algarismos romanos</p><p>Alguns valores inteiros são representados por letras</p><p>romanas específicas. São eles:</p><p>Símbolo Nome Valor</p><p>I unus 1 (um)</p><p>V quinque 5 (cinco)</p><p>X decem 10 (dez)</p><p>L quinquaginta 50 (cinquenta)</p><p>C centum 100 (cem)</p><p>D quingenti 500 (quinhentos)</p><p>M mille 1,000 (mil)</p><p>Dízima periódica</p><p>Dízima periódica simples</p><p>Numa dízima periódica simples, o período aparece</p><p>imediatamente após a vírgula.</p><p>Exemplos:</p><p>0,444444…</p><p>0,5125125125…</p><p>0,68686868…</p><p>0,354235423542..</p><p>Dízima periódica composta</p><p>Na dízima periódica composta, há um ou mais</p><p>algarismos entre a vírgula e o período, que não</p><p>entram na composição do período .</p><p>Exemplos:</p><p>• 0,72222222…</p><p>• 0,58444444…</p><p>• 0,15262626…</p><p>A TRIGONOMETRIA DO</p><p>TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>Introdução</p><p>Triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um</p><p>ângulo reto e que, para este tipo de triângulo, há várias pro-</p><p>priedades importantes.</p><p>• Dois de seus lados são perpendiculares entre si e são,</p><p>portanto, alturas do triângulo, o que facilita o cálculo</p><p>de sua área:</p><p>A =</p><p>cateto x cateto</p><p>2</p><p>• Teorema de Pitágoras:</p><p>(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²</p><p>• Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é</p><p>180º, num triângulo retângulo um dos ângulos é reto</p><p>(90º) e os outros dois são sempre agudos e comple-</p><p>mentares (soma = 90º).</p><p>Vamos descobrir como podemos estabelecer relações en-</p><p>tre os ângulos de um triângulo retângulo (ângulos agudos) e</p><p>seus lados. Será que existem tais relações?. É essa nossa</p><p>primeira preocupação.</p><p>A seguir, caso existam, serão respondidas perguntas na-</p><p>turais como: .Valem sempre?.; .Como enunciá-las?. etc.</p><p>Construindo triângulos retângulos semelhantes</p><p>Dado um ângulo agudo qualquer, é possível desenhar um</p><p>triângulo retângulo?</p><p>Sim, podemos desenhar, na verdade, uma infinidade de</p><p>triângulos retângulos.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 65</p><p>Vamos anotar algumas observações sobre esses triângu-</p><p>los retângulos:</p><p>• Para todos eles, um dos ângulos mede x.</p><p>• O outro ângulo agudo mede 90º - x, pois é o comple-</p><p>mento de x.</p><p>• O terceiro ângulo, como não poderia deixar de ser, é</p><p>reto.</p><p>• Então todos eles possuem os mesmos ângulos.</p><p>• Lembrando a aula anterior, podemos concluir que: to-</p><p>dos estes triângulos retângulos são semelhantes</p><p>• Se são semelhantes, então seus lados são proporcio-</p><p>nais.</p><p>Podemos então afirmar que, fixado um ângulo agu-</p><p>do, todos os triângulos retângulos, construídos</p><p>com esse ângulo serão semelhantes e, portanto,</p><p>terão lados proporcionais. Observe que acaba-</p><p>mos de descobrir que há uma relação entre ân-</p><p>gulos agudos e lados de um triângulo retângulo.</p><p>Precisamos agora verificar como podemos enunciar essa</p><p>relação mais claramente, usando linguagem matemática.</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>Figura 1</p><p>Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. Como</p><p>seus lados são proporcionais, podemos escrever:</p><p>AC</p><p>AB</p><p>=</p><p>AQ</p><p>AP</p><p>ou</p><p>AC</p><p>BC</p><p>=</p><p>AQ</p><p>PQ</p><p>ou</p><p>AB</p><p>BC</p><p>=</p><p>AP</p><p>PQ</p><p>E se aumentarmos o ângulo x (ou 0 diminuirmos)? Essas</p><p>proporções se alteram. Teríamos agora:</p><p>Figura 2</p><p>AE</p><p>AB</p><p>=</p><p>AF</p><p>AP</p><p>ou</p><p>AE</p><p>BE</p><p>=</p><p>AF</p><p>PF</p><p>ou</p><p>AB</p><p>BE</p><p>=</p><p>AP</p><p>PF</p><p>Essas proporções - que se alteram conforme o ângulo va-</p><p>ria – confirmam nossa suspeita de que há uma relação entre</p><p>lados e ângulos agudos de um triângulo retângulo. Tais rela-</p><p>ções recebem nomes especiais como veremos ainda nesta</p><p>aula.</p><p>Relacionando lados e ângulos</p><p>Todo triângulo retângulo, os lados são chamados hipote-</p><p>nusa (o maior lado) e catetos (lados perpendiculares). Preci-</p><p>samos, em função do ângulo, diferenciar a nomenclatura dos</p><p>catetos. Veja a figura abaixo.</p><p>O cateto que fica “em frente” ao ângulo agudo que esta-</p><p>mos utilizando chama-se cateto oposto, e o cateto que está</p><p>sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente.</p><p>Observe que, se o ângulo do problema for o outro ângulo</p><p>agudo do triângulo, a nomenclatura oposto e adjacente troca</p><p>de posição (veja a figura ao lado), pois depende do ângulo</p><p>utilizado.]</p><p>Vamos então reescrever as proporções obtidas na Figura</p><p>1 usando essa nomenclatura. Em relação ao ângulo x, temos:</p><p>AB</p><p>BC</p><p>=</p><p>AP</p><p>PQ</p><p>=</p><p>cateto oposto</p><p>hipotenusa</p><p>AC</p><p>AB</p><p>=</p><p>AQ</p><p>AP</p><p>=</p><p>cateto adjacente</p><p>hipotenusa</p><p>AB</p><p>BC</p><p>=</p><p>AP</p><p>PQ</p><p>=</p><p>cateto oposto</p><p>cateto adjacente</p><p>Relações trigonométricas</p><p>As relações que acabamos de generalizar são chamadas</p><p>relações trigonométricas e recebem nomes especiais.</p><p>A primeira é chamada seno do ângulo x e escreve-se:</p><p>sen x =</p><p>cateto oposto</p><p>hipotenusa</p><p>A segunda é chamada co-seno do ângulo x e escreve-se:</p><p>cos x =</p><p>cateto adjacente</p><p>hipotenusa</p><p>A última denomina-se tangente do ângulo x e escreve-se:</p><p>tg x =</p><p>cateto oposto</p><p>cateto adjacente</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Você já conhece o triângulo pitagórico. Vamos obter</p><p>as relações trigonométricas para um de seus ân-</p><p>gulos agudos.</p><p>sen x =</p><p>5</p><p>3</p><p>= 0,6</p><p>cos x =</p><p>5</p><p>4</p><p>= 0,8</p><p>tg x =</p><p>4</p><p>3</p><p>= 0,75</p><p>Observe agora que, para qualquer outro triângulo seme-</p><p>lhante a este, obtemos o mesmo resultado.</p><p>sen x =</p><p>2,5</p><p>1,5</p><p>=</p><p>5</p><p>3</p><p>=</p><p>7,5</p><p>4,5</p><p>=</p><p>10</p><p>6</p><p>=...= 0,6</p><p>cos x =</p><p>2,5</p><p>2</p><p>=</p><p>5</p><p>4</p><p>=</p><p>7,5</p><p>6</p><p>=</p><p>10</p><p>8</p><p>=...= 0,8</p><p>tg x =</p><p>2</p><p>1,5</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>=</p><p>6</p><p>4,5</p><p>=</p><p>8</p><p>6</p><p>=...= 0,75</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 66</p><p>EXEMPLO 2</p><p>Na aula anterior, você viu um exemplo da utilização de</p><p>ângulos para o cálculo da inclinação do telhado. No caso da</p><p>utilização de telhas francesas, ficamos sabendo que o telha-</p><p>do poderá ter um caimento de 45%, o que equivale a um</p><p>ângulo de 25º. Reveja a figura:</p><p>Observe que 45% = 0,45 é a tangente do ângulo x, que já</p><p>sabemos ser igual a 25º. Em linguagem matemática, pode-</p><p>mos escrever:</p><p>tg x =</p><p>cateto oposto</p><p>ou tg 25º =</p><p>1</p><p>0,45</p><p>= 0, 45 cateto adjacente</p><p>Na realidade, esse é um cálculo aproximado, feito com</p><p>base na experiência do</p><p>carpinteiro e conferido por nós com</p><p>instrumentos de desenho. Mais precisamente teríamos:</p><p>tg 25º = 0,46631</p><p>Esse resultado pode ser obtido consultando-se uma tabe-</p><p>la trigonométrica como a que reproduzimos no final desta</p><p>aula.</p><p>EXEMPLO 3</p><p>Um torneiro mecânico precisa moldar uma peça e recebe</p><p>o projeto a seguir. Todas as medidas necessárias à fabrica-</p><p>ção constam na figura. No entanto, como saber exatamente</p><p>onde ele deve começar a fazer a inclinação para obter um</p><p>ângulo de 25º, como mostra o projeto?</p><p>Esse é um exemplo de aplicação da trigonometria dos tri-</p><p>ângulos retângulos na indústria.</p><p>Para resolver o problema, o que precisamos é determinar</p><p>o cateto x do triângulo retângulo a seguir:</p><p>Com os dados do projeto, podemos calcular AP:</p><p>AQ = 50 e BR = 10</p><p>Assim, AP =</p><p>2</p><p>10- 50</p><p>= 20</p><p>Sendo o ângulo B̂ de 25º no triângulo ABP, podemos es-</p><p>crever:</p><p>tg 25º =</p><p>cateto oposto</p><p>=</p><p>BP</p><p>AP</p><p>=</p><p>x</p><p>20</p><p>cateto adjacente</p><p>No Exemplo 2, vimos que tg 25º = 0,46631. Usando ape-</p><p>nas 3 casas decimais, temos:</p><p>0,466 =</p><p>x</p><p>20</p><p>ou x = ≅</p><p>0,466</p><p>20</p><p>46</p><p>Dessa maneira, o torneiro descobre que o compri-</p><p>mento 100 da figura está dividido em duas par-</p><p>tes, uma valendo 43 e a outra 67. Em 67 unida-</p><p>des de comprimento não há inclinação, e nas ou-</p><p>tras 43 ele deve inclinar a peça de tal maneira</p><p>que seu final fique com 14 unidades de compri-</p><p>mento.</p><p>Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br</p><p>SIMULADO MATEMÁTICA - COM GABARITO</p><p>soldosana@hotmail.com</p><p>Matemática Básica</p><p>PROVA 1</p><p>01 Antônio, Bernardo, Cláudio e Daniel elaboraram juntos</p><p>uma prova de 40 questões, tendo recebido por ela um total</p><p>de R$ 2.200,00. Os três primeiros fizeram o mesmo número</p><p>de questões e Daniel fez o dobro do que fez cada um dos</p><p>outros. Se o dinheiro deve ser repartido proporcionalmente ao</p><p>trabalho de cada um, Daniel deverá receber uma quantia, em</p><p>reais, igual a:</p><p>A) 800,00;</p><p>B) 820,00;</p><p>C) 850,00;</p><p>D) 880,00;</p><p>E) 890,00.</p><p>02 João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento</p><p>onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando</p><p>com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário</p><p>de João é igual a:</p><p>A) R$ 1.200,00;</p><p>B) R$ 1.500,00;</p><p>C) R$ 1.800,00;</p><p>D) R$ 2.100,00;</p><p>E) R$ 2.400,00.</p><p>03 As dízimas periódicas simples formadas por apenas um</p><p>algarismo equivalem a frações ordinárias, conforme exempli-</p><p>ficado a seguir:</p><p>0,111 ... = 1/9</p><p>0,222 ... = 2/9</p><p>0,333 ... = 3/9</p><p>0,444 ... = 4/9 etc.</p><p>Portanto, o valor de (0,666...).(0,666...) + (0,333...).(0,333...) é</p><p>igual a:</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 67</p><p>A) 0,111...;</p><p>B) 0,222...;</p><p>C) 0,333...;</p><p>D) 0,444...;</p><p>E) 0,555... .</p><p>04 Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos</p><p>por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por cada cesta</p><p>que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos.</p><p>Logo, o número de cestas que ele acertou foi:</p><p>A) 3;</p><p>B) 4;</p><p>C) 5;</p><p>D) 6;</p><p>E) 7.</p><p>05 Em uma escola, o aluno deve obter média 6,0 em cada</p><p>disciplina para ser aprovado. Essa média é calculada dividin-</p><p>do-se o total de pontos que ele obteve nos quatro bimestres,</p><p>por quatro. Portanto, o aluno que não totalizar 24 pontos nos</p><p>4 bimestres deverá fazer prova final. Nessa prova, ele deverá</p><p>obter, no mínimo, a diferença entre 10,0 e a sua média anual,</p><p>para ser aprovado.</p><p>As notas de Geografia de um certo aluno foram:</p><p>1º bimestre: 5,0</p><p>2º bimestre: 6,0</p><p>3º bimestre: 2,0</p><p>4º bimestre: 5,0</p><p>Logo, a nota mínima que esse aluno deverá obter na prova</p><p>final de Geografia é:</p><p>A) 4,5;</p><p>B) 5,0;</p><p>C) 5,5;</p><p>D) 6,0;</p><p>E) 6,5.</p><p>06 Em uma padaria compra-se 1 bisnaga e 1 litro de leite por</p><p>R$ 1,50 e 2 bisnagas e 3 litros de leite por R$ 3,90. Então, 2</p><p>bisnagas e 1 litro de leite custarão:</p><p>A) R$ 2,10;</p><p>B) R$ 2,20;</p><p>C) R$ 2,30;</p><p>D) R$ 2,40;</p><p>E) R$ 2,50.</p><p>07 Na venda de um certo produto, um vendedor consegue</p><p>um lucro de 20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração</p><p>equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de ven-</p><p>da é:</p><p>A) 1/5;</p><p>B) 2/5;</p><p>C) 2/3;</p><p>D) 3/4;</p><p>E) 5/6.</p><p>08 Um cofre contém apenas anéis e brincos, de ouro ou de</p><p>prata. Sabe-se que 80% dos anéis são de prata e 10% das</p><p>jóias são brincos. A porcentagem de jóias desse cofre que</p><p>são anéis de ouro é:</p><p>A) 90%;</p><p>B) 63%;</p><p>C) 30%;</p><p>D) 18%;</p><p>E) 10%.</p><p>09 Após serem efetuados os débitos de R$ 48,30, R$ 27,00 e</p><p>R$ 106,50 e os créditos de R$ 200,00 e R$ 350,00, o saldo</p><p>da conta bancária de uma pessoa passou para R$1.040,90.</p><p>Logo, antes dessas operações, o saldo dessa conta era de:</p><p>A) R$ 309,70;</p><p>B) R$ 672,70;</p><p>C) R$ 731,70;</p><p>D) R$ 1.409,70;</p><p>E) R$ 1.772,70.</p><p>10 Para arrumar 120 salas, 2 pessoas gastam 5 dias. Se</p><p>precisamos que as salas sejam arrumadas em um único dia,</p><p>será necessário contratar mais n pessoas que trabalhem no</p><p>mesmo ritmo das duas iniciais. O valor de n é:</p><p>A) 6;</p><p>B) 8;</p><p>C) 11;</p><p>D) 13;</p><p>E) 14.</p><p>R: GABARITO</p><p>01-D | 02-A | 03-E | 04-E | 05-C</p><p>06-A | 07-E | 08-D | 09-B | 10-B</p><p>PROVA 2</p><p>1 O resultado da adição ( 2/3 ) + (-7/2) é igual a:</p><p>A) -17/3</p><p>B) 17/6</p><p>C) - 6/17</p><p>D) 6/17</p><p>E) n.d.a.</p><p>02 O resultado da multiplicação (- 4/5 ) x (-7/2) é igual a:</p><p>A) -2,8</p><p>B) 2,8</p><p>C) 28/5</p><p>D) -28/5</p><p>E) n.d.a.</p><p>03 O resultado da divisão (- 0,5) : (-3/6) é igual a:</p><p>A) 2/3</p><p>B) 15/6</p><p>C) -1</p><p>D) 1</p><p>E) n.d.a.</p><p>04 O resultado da potenciação [ (- 4/9)3 ] 5 é igual a:</p><p>A) (4/9)15</p><p>B) (- 4/9)8</p><p>C) (-12/9)5</p><p>D) (4/27)5</p><p>E) n.d.a.</p><p>05 O m. d. c. (máximo divisor comum) dos números naturais</p><p>60, 40 e 24 é igual a:</p><p>A) 20</p><p>B) 10</p><p>C) 24</p><p>D) 40</p><p>E) n.d.a.</p><p>06 Você dispõe de duas cordas e vai cortá-las em pedaços</p><p>de igual comprimento.Este comprimento, que você vai cortar,</p><p>deve ser o maior possível. As cordas, que você dispõe, são</p><p>de 90 metros e 78 metros. De que tamanho você deve cortar</p><p>cada pedaço? Com quantos pedaços de cordas você vai</p><p>ficar?</p><p>A) 12 metros; 27 pedaços</p><p>B) 12 metros; 26 pedaços</p><p>C) 6 metros; 28 pedaços</p><p>D) 12 metros; 25 pedaços</p><p>E) n.d.a.</p><p>07 O resultado da subtração 29,57 - 45,678 é igual a:</p><p>A) 1,6108</p><p>B) - 161,08</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 68</p><p>C) 16,108</p><p>D) - 16,108</p><p>E) n. d. a.</p><p>08 O valor da expressão {[ ( 0,9)2 - (3,8)2] : (-1/4)}, no univer-</p><p>so dos números racionais, é igual a:</p><p>A) 54,50</p><p>B) -54,52</p><p>C) 54,52</p><p>D) 50,54</p><p>E) n.d.a.</p><p>09 O conjunto verdade da equação [(x-1)/2] + [(x+2) /3] = 8,</p><p>no universo dos números racionais, é igual a:</p><p>A) V={ - 47/5}</p><p>B) V={ 48/5 }</p><p>C) V={ 47/5}</p><p>D) V={ - 48/5}</p><p>E) n.d.a.</p><p>10 O conjunto verdade da equação (x -1) = (6 - 2x), no uni-</p><p>verso dos números racionais, é igual a:</p><p>A) V={3/7 }</p><p>B) V={ 7/3 }</p><p>C) V={-3/7 }</p><p>D) V={-7/3 }</p><p>E) n.d.a.</p><p>R: GABARITO</p><p>01-E | 02-B | 03-D | 04-E | 05-E</p><p>06-C | 07-D | 08-C | 09-C | 10-B</p><p>PROVA 3</p><p>01 Efetuando-se 20802 - 10192 obtém-se um número com-</p><p>preendido entre</p><p>A) 500 e 1000</p><p>B) 1000 e 3000</p><p>C) 3000 e 6000</p><p>D) 6000 e 10000</p><p>E) 10000 e 20000</p><p>02 Uma pessoa, ao efetuar a multiplicação de um número</p><p>inteiro x por 296, achou o produto 39960. Ao conferir o resul-</p><p>tado percebeu que havia se enganado, trocando em x as</p><p>posições do algarismo das unidades com o das dezenas.</p><p>Nessas condições, o produto correto deveria ser</p><p>A) 42828</p><p>B) 43136</p><p>C) 43248</p><p>D) 45126</p><p>E) 45288</p><p>03 No almoxarifado de certa empresa há uma pilha de folhas</p><p>de papel, todas com 0,25mm de espessura. Se a altura da</p><p>pilha é de</p><p>1,80m, o número de folhas empilhadas é</p><p>A) 72</p><p>B) 450</p><p>C) 720</p><p>D) 4500</p><p>E) 7200</p><p>04 Em uma empresa, o atendimento ao público é feito por 45</p><p>funcionários que se revezam, mantendo a relação de 3 ho-</p><p>mens para 2 mulheres. É correto afirmar que, nessa empre-</p><p>sa, dão atendimento</p><p>A) 18 homens.</p><p>B) 16 mulheres.</p><p>C) 25 homens.</p><p>D) 18 mulheres.</p><p>E) 32 homens.</p><p>05 Os salários de dois técnicos judiciários, X e Y, estão entre</p><p>si assim como 3 está para 4. Se o dobro do salário de X me-</p><p>nos a metade do salário de Y corresponde a R$ 720,00, en-</p><p>tão os salários dos dois totalizam</p><p>A) R$ 1200,00</p><p>B) R$ 1260,00</p><p>C) R$ 1300,00</p><p>D) R$ 1360,00</p><p>E) R$ 1400,00</p><p>06 Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382 pro-</p><p>cessos, em quantidades inversamente proporcionais às suas</p><p>respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é</p><p>correto afirmar que o número de processos arquivados pelo</p><p>mais velho foi</p><p>A) 112</p><p>B) 126</p><p>C) 144</p><p>D) 152</p><p>E) 164</p><p>07 Quatro funcionários de uma empresa são capazes de</p><p>atender, em média, 52 pessoas por hora. Diante disso, espe-</p><p>ra-se que seis funcionários, com a mesma capacidade opera-</p><p>cional dos primeiros, sejam capazes de atender por hora uma</p><p>média de</p><p>A) 72 pessoas.</p><p>B) 75 pessoas.</p><p>C) 78 pessoas.</p><p>D) 82 pessoas.</p><p>E) 85 pessoas.</p><p>08 Paco fundou uma empresa com R$ 20 000,00 de capital e,</p><p>após 4 meses, admitiu Capo como sócio, que ingressou com</p><p>o capital de R$ 32 000,00. Se após 1 ano de atividades a</p><p>empresa gerou um lucro de R$ 19840,00, então Paco rece-</p><p>beu</p><p>A) R$ 520,00 a menos que Capo.</p><p>B) R$ 580,00 a mais que Capo.</p><p>C) R$ 580,00 a menos que Capo.</p><p>D) R$ 640,00 a mais que Capo.</p><p>E) R$ 640,00 a menos que Capo.</p><p>09 Se o valor de um certo artigo era R$ 780,00 e, após um</p><p>ano, era R$ 624,00, a taxa anual de desvalorização foi de</p><p>A) 25%</p><p>B) 24%</p><p>C) 21%</p><p>D) 0%</p><p>E) 18%</p><p>10 Para emitir uma ordem de pagamento, um Banco cobra de</p><p>seus clientes uma comissão de 1,8% sobre o seu valor. Se,</p><p>ao enviar por esse Banco uma ordem de pagamento, um</p><p>cliente desembolsou o total de R$ 5 090,00, o valor dessa</p><p>ordem de pagamento era de</p><p>A) R$ 4500,00</p><p>B) R$ 4600,00</p><p>C) R$ 4750,00</p><p>D) R$ 4800,00</p><p>E) R$ 5000,00</p><p>R: GABARITO</p><p>01-E | 02-E | 03-E | 04-D | 05-B</p><p>06-A | 07-C | 08-E | 09-D | 10-E</p><p>Problemas de 1º grau</p><p>PROVA 4</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 69</p><p>1. Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, infor-</p><p>mando que he dará 5 pontos por problema resolvido e lhe</p><p>tirará 3 pontos por problema não resolvido. No final, seu ami-</p><p>go tinha nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu?</p><p>2. Um pai tem 30 anos a mais que seu filho. Se este tivesse</p><p>nascido 2 anos mais cedo sua idade seria, atualmente, a</p><p>terça parte da idade do pai. Calcule a idade atual do filho.</p><p>3. Um pai tem 37 anos e seu filho 7. Daqui a quantos anos,</p><p>a idade do pai será o triplo da idade do filho?</p><p>4. Um menino tem 10 anos e seu pai 35 anos. Daqui a</p><p>quantos anos a diferença das idades do pai e do filho será</p><p>3/8 das sua soma.</p><p>5. Um feirante distribuiu laranjas entre três clientes, de</p><p>modo que o primeiro recebe a metade das laranjas, mais</p><p>meia laranja; o segundo a metade das laranjas restantes,</p><p>mais meia laranja e o terceiro a metade deste último resto,</p><p>mais meia laranja. Sabendo-se que não sobrou nem uma</p><p>laranja, calcule o número total de laranjas e quantas foram</p><p>dadas a cada cliente.</p><p>6. Dois estudantes juntos realizam uma tarefa em 5 horas.</p><p>Sabendo-se que ficaram isolados, o primeiro gasta a metade</p><p>do tempo do segundo, calcule o tempo que o primeiro estu-</p><p>dante gasta para realizar a tarefa isoladamente.</p><p>7. Junior comprou uma calculadora por R$ 1.148,00 e a</p><p>revendeu com lucro de 18% sobre o preço de venda. Qual o</p><p>preço de venda.</p><p>8. Junior adquiriu uma mercadoria, obteve 5% de desconto</p><p>sobre o preço de venda. Sabendo-se que ele pagou R$</p><p>19.000,00, calcule o preço de venda.</p><p>9. Num quintal há galinhas e coelhos num total de 8 cabe-</p><p>ças e 22 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos existe no</p><p>quintal?</p><p>10. Junior e Aline têm 100 livros. Se tirarem 25 livros de Juni-</p><p>or e derem a Aline, ele ficarão com o mesmo número de</p><p>livros. Quantos livros tem cada um?</p><p>RESPOSTAS</p><p>1) 6 problemas</p><p>2) 12 anos</p><p>3) 8 anos</p><p>4) 10 anos e 10 meses</p><p>5) 1400 R$20.000,00</p><p>6) número de laranjas 7 cada cliente recebeu 4, 2 e 1</p><p>7) 7 horas e 30 minutos</p><p>8) 5 galinhas e 3 coelhos</p><p>9) 25 e 75</p><p>10) 2 horas</p><p>PROVA 5</p><p>Porcentagens e Juros</p><p>1. Determine a porcentagem pedida em casa caso.</p><p>a) 25% de 200</p><p>b) 15% de 150</p><p>c) 50% de 1200</p><p>d) 38% de 389</p><p>e) 12% de 275</p><p>f) 11,5% de 250</p><p>g) 75% de 345</p><p>h) 124% de 450</p><p>2. Se 35 % dos 40 alunos da 5ª série de um colégio são ho-</p><p>mens, quanto são as mulheres?</p><p>3. Aline foi comprar uma blusa que custava R$ 32,90, e con-</p><p>seguiu um desconto de 12%. Quantos Aline pagou pela blu-</p><p>sa?</p><p>4. Nilson decidiu compra um sítio e vai dar como entrada 25%</p><p>do preço total, que corresponde a R$ 25 000,00. Qual o preço</p><p>do sítio.</p><p>5. Ricardo comprou um terreno e, por ter pagado à vista,</p><p>ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$ 2</p><p>250,00. Determine o preço deste terreno que Ricardo vai</p><p>comprar.</p><p>6. Paulo recebeu a noticia de que o aluguel da casa onde</p><p>mora vai passar de 154 reais para 215,60 reais. De quanto</p><p>será o percentual de aumento que o aluguel vai sofre.</p><p>7. Na cidade de Coimbra 6% dos habitantes são analfabetos.</p><p>Os habitantes que sabem ler são 14 100 pessoas. Quantos</p><p>indivíduos moram nesta cidade?</p><p>8. Nádia teve um reajuste salarial de 41%, passando a ga-</p><p>nhar R$ 4 089,00. Qual era o salário antes do reajuste?</p><p>9. Em certo trimestre as cadernetas de poupança renderam</p><p>2,1% de correção monetária. Paulo deixou R$ 1000,00 depo-</p><p>sitados durante três meses. Quanto tinha no fim do trimestre.</p><p>10. Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meni-</p><p>nas são 155. Quantos alunos têm esse colégio?</p><p>RESPOSTAS</p><p>1) a) 50</p><p>b) 22,50</p><p>c) 600</p><p>d) 147,82</p><p>e) 33</p><p>f) 28,75</p><p>g) 258,75</p><p>h) 55</p><p>2) 26</p><p>3) 28,95</p><p>4) 100 000</p><p>5) 15 000 reais</p><p>6) 40%</p><p>7) 15 000 reais</p><p>8) 2 900 reais</p><p>9) 1 021 reais</p><p>10) 210 alunos</p><p>PROVA 6</p><p>Perímetro</p><p>1. Sabendo-se que o lado de um quadrado mede 8 cm,</p><p>calcule o seu perímetro.</p><p>2. Um retângulo possui as seguintes dimensões, 5 cm de</p><p>base e 3 cm de altura. Determine o seu perímetro.</p><p>3. Determine o perímetro de um retângulo, sabendo que a</p><p>base mede 24 cm e sua altura mede a metade da base.</p><p>4. A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado.</p><p>Calcule quantos metros de corda deverá ser gasto para cer-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 70</p><p>car a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado,</p><p>deseja-se dar 4 voltas com a corda.</p><p>5. Para o plantio de laranja em todo o contorno de um terreno</p><p>retangular de 42 m x 23 m. Se entre os pés de laranjas a</p><p>distância é de 2,60 m, quantos pés de laranjas foram planta-</p><p>dos?</p><p>6. O perímetro de um triângulo eqüilátero corresponde a 5/6</p><p>do perímetro de um quadrado que tem 9 cm de lado. Qual é a</p><p>medida, em metros, do lado desse triângulo eqüilátero?</p><p>7. Numa sala quadrada, foram gastos 24,80 m de rodapé de</p><p>madeira. Essa sala tem apenas uma porta de 1,20 m de lar-</p><p>gura. Considerando que não foi colocado rodapé na largura</p><p>da porta,</p><p>calcule a medida de cada lado dessa sala.</p><p>8. Com 32,40 m de tecido, um comerciante quer formar 20</p><p>retalhos de mesmo comprimento. Qual o comprimento de</p><p>cada retalho em centímetros?</p><p>9. O terreno de uma escola é retangular, com 100 m de com-</p><p>primento por 65 m de largura. Em todo o contorno desse</p><p>terreno será plantada árvores distantes 1,50 m uma da outra.</p><p>Quantas árvores serão necessárias?</p><p>10. Um campo de futebol possui as seguintes dimensões,</p><p>155 m de comprimento e 75 m de largura. Quanto metro de</p><p>tela serão necessárias para cercar este campo.</p><p>RESPOSTAS</p><p>1) 32 cm</p><p>2) 16 cm</p><p>3) 72 cm</p><p>4) 720 m</p><p>5) 50</p><p>6) 10 m</p><p>7) 6,5 m</p><p>8) 162</p><p>9) 220</p><p>10) 460 m</p><p>PROVA 7</p><p>Regra de três</p><p>1. Se 15 operários levam 10 dias para completar um</p><p>certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo</p><p>trabalho em 6 dias.</p><p>2. Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de fari-</p><p>nha. Quantos quilogramas de trigo são necessários</p><p>para fabricar 162,5 kg de farinha?</p><p>3. Pedro comprou 2m de tecido para fazer uma calça.</p><p>Quantos metros de tecido seriam necessários para</p><p>que Pedro pudesse fazer 7 calças iguais.</p><p>4. Num campeonato, há 48 pessoas e alimento sufici-</p><p>ente para um mês. Retirando-se 16 pessoas para</p><p>quantos dias dará a quantidade de alimento?</p><p>5. Cinco pedreiros constróem uma casa em 300 dias.</p><p>Quantos dias serão necessários para que 10 pedrei-</p><p>ros construam essa mesma casa?</p><p>6. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais.</p><p>Quantos dias terá que trabalhar para receber 20 000</p><p>reais?</p><p>7. Um carro com velocidade constante de 100 km/h, vai</p><p>da cidade A até a cidade B em 3 horas. Quanto</p><p>tempo levaria esse mesmo carro para ir de A até B,</p><p>se sua velocidade constante fosse 160 km/h?</p><p>8. O revestimento de um muro de 16 m de comprimen-</p><p>to e 2,5 m de altura consome 84 kg de reboco pre-</p><p>parado. Quantos quilos de reboco serão necessários</p><p>para revestir outro muro de 30 m de comprimento e</p><p>1,8 m de altura?</p><p>9. Mil quilos de ração alimentam 20 vacas durante 30</p><p>dias. Quantos quilos de ração são necessários para</p><p>alimentar 30 vacas durante 60 dias?</p><p>10. Um livro tem 150 páginas. Cada página tem 36 linhas</p><p>e cada linha, 50 letras. Se quisermos escrever o</p><p>mesmo texto em 250 páginas, quantas letras haverá</p><p>em cada linha para que cada página tenha 30 li-</p><p>nhas?</p><p>11. Se 35 operários fazem uma casa em 24 dias, traba-</p><p>lhando 8 horas por dia, quantos operários serão ne-</p><p>cessários para fazer a mesma obra em 14 dias tra-</p><p>balhando 10 horas por dias?</p><p>12. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas.</p><p>Quantas torneiras seriam necessárias para encher a</p><p>mesma piscina em 2 horas?</p><p>13. Três operários constróem uma piscina em 10 dias.</p><p>Quantos dias levarão 10 operários para construírem</p><p>a mesma piscina?</p><p>14. Duas máquinas empacotam 100 litros de leite por</p><p>dia. Quantas máquinas são necessárias para empa-</p><p>cotarem 200 litros de leite em meio dia?</p><p>15. Numa laje de concreto de 6 cm de espessura foram</p><p>gastos 30 sacos de cimento de 40 kg cada. Se a laje</p><p>tivesse apenas 5 cm de espessura, quanto se gasta-</p><p>ria de cimento.</p><p>RESPOSTAS</p><p>1) 25</p><p>2) 250 kg</p><p>3) 14m</p><p>4) 45 dias</p><p>5) 150 dias</p><p>6) 40 dias</p><p>7) 1h 52 min 30 seg</p><p>9) 3000 kg</p><p>10) 36 linhas</p><p>11) 48 operários</p><p>12) 15 torneiras</p><p>13) 6 dias</p><p>14) 8 máquinas</p><p>15) 100 Kg</p><p>PROVA 8</p><p>sistema legal de medidas</p><p>1) Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o</p><p>curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou</p><p>na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que</p><p>horas terminará a aula de inglês?</p><p>a) 14h b) 14h 30min c) 15h 15min d) 15h</p><p>30min e) 15h 45min</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 71</p><p>Solução:</p><p>Basta somarmos todos os valores mencionados no enuncia-</p><p>do do teste, ou seja:</p><p>13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min</p><p>2) Transformar 12,45 hm em dm.</p><p>Como o decímetro é a terceira casa à direita do hectôme-</p><p>tro, caminharemos com a vírgula três casas para a direi-</p><p>ta, e se necessário,</p><p>completaremos o número com zeros.</p><p>Então : 12,45 hm = 12 450 dm</p><p>3) Converta 431,8 cm2 em hm2.</p><p>Como o hectômetro quadrado é a quarta casa à esquerda</p><p>do quilômetro quadrado, caminharemos com a vírgula</p><p>duas casas até o</p><p>decímetro quadrado, duas casas até o metro quadrado,</p><p>duas casas até o decâmetro quadrado e mais duas casas</p><p>até o hectômetro</p><p>quadrado, ou seja, caminharemos 4 x 2 = 8 casas para a</p><p>esquerda, e se necessário, completaremos o número</p><p>com zeros.</p><p>Então : 431,8 cm2 = 4,31 dm2 = 0,0431 m2 = 0,000 431 dam2</p><p>= 0,000 004 31 hm2</p><p>4) Transformar 431 858,7 mm3 em m3.</p><p>Como o metro cúbico é a terceira casa à esquerda do</p><p>milímetro cúbico, caminharemos com a vírgula três casas</p><p>até o centímetro</p><p>cúbico, três casas até o decímetro cúbico e mais três</p><p>casas até o metro cúbico, ou seja, caminharemos 3 x 3 =</p><p>9 casas para a esquerda,</p><p>e se necessário, completaremos o número com zeros.</p><p>Então : 4 318 58,7 mm3 = 431,857 8 cm3 = 0, 431 857 8</p><p>dm3= 0,000 431 857 8 m3</p><p>5) 13,73 dam foram convertidos para várias unidades diferen-</p><p>tes. Das conversões abaixo, assinale a única que está errada</p><p>a) 13730 cm b) 137,3 m c)1,373 hm</p><p>d) 0,01373 km</p><p>6) Eu tenho um terreno retangular de dimensões de 125 me-</p><p>tros por 80 metros que eu pretendo usar para plantação. Mas</p><p>deste terreno, uma parte, medindo 30 dam2, está ocupada</p><p>com construções. Qual é a área que sobra, em km2 ?</p><p>a) 0,007 km² b) 0,097 km² c) 0,7 km²</p><p>d) 0,997 km²</p><p>7) Muitos remédios são tomados em doses menores que o</p><p>mg. Um comprimido de certo remédio tem 0,025 mg de uma</p><p>certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos com-</p><p>primidos podem ser feitos?</p><p>a) menos de um b) 40 c) 40.000 d)</p><p>40.000.000</p><p>8) Uma rocha cúbica tem uma aresta medindo 30 metros.</p><p>Qual é o seu volume em litros?</p><p>a) 27 l b) 90 l c) 27.000 l d) 90.000 l</p><p>e) 27.000.000 l</p><p>9) Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tan-</p><p>que pela metade. Coloquei 35 litros e enchi o tanque. Qual é</p><p>a capacidade do tanque em m3?</p><p>a) 0,07 m³ b) 17,5 m³ c)70 m³</p><p>d) 17.500 m³</p><p>10) Um programa de televisão começou às 13 horas, 15</p><p>minutos e 20 segundos, e terminou às 15 horas, 5 minutos e</p><p>40 segundos. Quanto tempo este programa durou, em se-</p><p>gundos?</p><p>a) 6620 s b) 6680 s c) 6740 s d) 10220</p><p>s</p><p>11) Preciso colocar arame farpado em volta de um terreno</p><p>retangular que mede 0,2 km de largura e 0,3 km de compri-</p><p>mento. Quantos metros de arame farpado devo usar?</p><p>a) 500 m b) 600 m c) 1.000 m</p><p>d) 60.000 m</p><p>12) Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com</p><p>uma lata de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o</p><p>que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a</p><p>água para secar a enchente. Sabendo que o volume da en-</p><p>chente era de 70.000 m3, quantas viagens a menina teria que</p><p>fazer para secar toda a água?</p><p>a) 200 b) 20.000 c) 2.000.000</p><p>d) 200.000.000</p><p>Gabarito:</p><p>5) D 6) A 7) D 8) E 9) A 10) A 11) C 12) D</p><p>___________________________________</p><p>___________________________________</p><p>___________________________________</p><p>___________________________________</p><p>___________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 72</p><p>______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_________________________________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Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 1</p><p>LÍNGUA PORTUGUESA</p><p>GUIA PRÁTICO DA NOVA ORTOGRAFIA</p><p>Mudanças no alfabeto</p><p>O alfabeto passa a ter 26 letras. Foram reintroduzidas as</p><p>letras k, w e y.</p><p>O alfabeto completo passa a ser: A B C D E F G H I J K L M</p><p>N O P Q R S T U V WX Y Z</p><p>As letras k, w e y, que na verdade não tinham desaparecido</p><p>da maioria dos dicionários da nossa língua, são usadas em</p><p>várias situações.</p><p>Por exemplo:</p><p>a) na escrita de símbolos de unidades de medida: km (quilô-</p><p>metro), kg (quilograma), W (watt);</p><p>b) na escrita de palavras e nomes estrangeiros (e seus</p><p>deri-</p><p>vados): show, playboy, playground, windsurf, kung fu, yin,</p><p>yang, William, kaiser, Kafka, kafkiano.</p><p>Trema</p><p>Não se usa mais o trema (¨), sinal colocado sobre a letra u</p><p>para indicar que ela deve ser pronunciada nos gru-</p><p>pos gue, gui, que, qui.</p><p>Como era: agüentar, argüir, bilíngüe, cinqüenta, delinqüen-</p><p>te, eloqüente,ensangüentado, eqüestre, freqüente, lingüeta,</p><p>lingüiça, qüinqüênio, sagüi,seqüência, seqüestro, tranqüilo,</p><p>Como fica: aguentar, arguir, bilíngue, cinquenta, delinquente,</p><p>eloquente, ensanguentado, equestre, frequente, lingueta,</p><p>linguiça, quinquênio, sagui, sequência, sequestro, tranquilo.</p><p>Atenção: o trema permanece apenas nas palavras estrangei-</p><p>ras e em suas derivadas. Exemplos: Müller, mülleriano.</p><p>Mudanças nas regras de acentuação</p><p>1. Não se usa mais o acento dos ditongos abertos éi e ói das</p><p>palavras paroxítonas (palavras que têm acento tônico na</p><p>penúltima sílaba).</p><p>Como era: alcalóide, alcatéia, andróide, apóia, apóio(verbo</p><p>apoiar), asteróide, bóia,celulóide, clarabóia, colméia, Coréia,</p><p>debilóide, epopéia, estóico, estréia, estréio (verbo estrear),</p><p>geléia, heróico, ideia, jibóia, jóia, odisséia, paranóia, paranói-</p><p>co, platéia, tramóia.</p><p>Como fica: alcaloide, alcateia, androide apoia, apoio (verbo</p><p>apoiar), asteroide, boia, celuloide, claraboia, colmeia, Coreia,</p><p>debiloide, epopeia, estoico, estreia, estreio(verbo estrear),</p><p>geleia, heroico, ideia, jiboia joia, odisseia, paranoia, paranoi-</p><p>co, plateia tramoia.</p><p>Atenção: essa regra é válida somente para palavras paroxí-</p><p>tonas. Assim, continuam a ser acentuadas as palavras oxíto-</p><p>nas terminadas em éis, éu, éus, ói, óis.</p><p>Exemplos: papéis, herói, heróis, troféu, troféus.</p><p>2. Nas palavras paroxítonas, não se usa mais o acento no i e</p><p>no u tônicos quando vierem depois de um ditongo.</p><p>Como era: baiúca, bocaiúva, cauíla, feiúra.</p><p>Como fica: baiuca, bocaiuva, cauila, feiura.</p><p>Atenção: se a palavra for oxítona e o i ou o u estiverem em</p><p>posição final (ou seguidos de s), o acento permanece.</p><p>Exemplos: tuiuiú, tuiuiús, Piauí.</p><p>3. Não se usa mais o acento das palavras terminadas</p><p>em êem e ôo(s).</p><p>Como era: abençôo, crêem (verbo crer), dêem (verbo dar),</p><p>dôo (verbo doar), enjôo, lêem (verbo ler),magôo (verbo mago-</p><p>ar), perdôo (verbo perdoar), povôo (verbo povoar), vêem</p><p>(verbo ver), vôos, zôo.</p><p>Como fica: abençoo creem (verbo crer), deem (verbo dar),</p><p>doo (verbo doar), enjoo, leem (verbo ler), magoo (verbo ma-</p><p>goar), perdoo (verbo perdoar), povoo (verbo povoar), veem</p><p>(verbo ver), voos, zoo.</p><p>4. Não se usa mais o acento que diferenciava os pa-</p><p>res pára/para, péla(s)/ pe-</p><p>la(s),pêlo(s)/pelo(s), pólo(s)/polo(s) e pêra/pera.</p><p>Como era: Ele pára o carro. Ele foi ao póloNorte. Ele gosta</p><p>de jogar pólo. Esse gato tem pêlos brancos. Comi uma pêra.</p><p>Como fica: Ele para o carro. Ele foi ao polo Norte. Ele gosta</p><p>de jogar polo. Esse gato tem pelos brancos. Comi uma pera.</p><p>Atenção: Permanece o acento diferencial em pôde/pode.</p><p>Pôde é a forma do passado do verbo poder (pretérito perfeito</p><p>do indicativo), na 3ª pessoa do singular.</p><p>Pode é a forma do presente do indicativo, na 3ª pessoa do</p><p>singular.</p><p>Exemplo: Ontem, ele não pôde sair mais cedo, mas hoje ele</p><p>pode.</p><p>Permanece o acento diferencial em pôr/por. Pôr é verbo. Por</p><p>é preposição.</p><p>Exemplo: Vou pôr o livro na estante que foi feita por mim.</p><p>Permanecem os acentos que diferenciam o singular do plural</p><p>dos verbos ter e vir, assim como de seus derivados (manter,</p><p>deter, reter, conter, convir, intervir, advir etc.).</p><p>Exemplos: Ele tem dois carros. / Eles têm dois carros. Ele</p><p>vem de Sorocaba. / Eles vêm de Sorocaba. Ele mantém a</p><p>palavra. / Eles mantêm a palavra. Ele convém aos estudantes.</p><p>/ Eles convêm aos estudantes. Ele detém o poder. / Eles</p><p>detêm o poder. Ele intervém em todas as aulas. / Eles inter-</p><p>vêm em todas as aulas.</p><p>É facultativo o uso do acento circunflexo para diferenciar as</p><p>palavras forma/ fôrma. Em alguns casos, o uso do acento</p><p>deixa a frase mais clara. Veja este exemplo: Qual é a forma</p><p>da fôrma do bolo?</p><p>5. Não se usa mais o acento agudo no u tônico das formas</p><p>(tu) arguis, (ele) argui, (eles) arguem, do presente do indicati-</p><p>vo dos verbos arguir e redarguir.</p><p>6. Há uma variação na pronúncia dos verbos terminados</p><p>em guar, quar e quir, como aguar, averiguar, apaziguar,</p><p>desaguar, enxaguar, obliquar, delinquir, etc. Esses verbos</p><p>admitem duas pronúncias em algumas formas do presente do</p><p>indicativo, do presente do subjuntivo e também do imperativo.</p><p>Veja: a) se forem pronunciadas com a ou i tônicos, essas</p><p>formas devem ser acentuadas.</p><p>Exemplos:</p><p>verbo enxaguar: enxáguo, enxáguas, enxágua, enxáguam;</p><p>enxágue, enxágues, enxáguem.</p><p>verbo delinquir: delínquo, delínques, delínque, delínquem;</p><p>delínqua, delínquas, delínquam.</p><p>b) se forem pronunciadas com u tônico, essas formas deixam</p><p>de ser acentuadas.</p><p>Exemplos: (a vogal sublinhada é tônica, isto é, deve ser pro-</p><p>nunciada mais fortemente que as outras): verbo enxaguar:</p><p>enxaguo, enxaguas, enxagua, enxaguam; enxague, enxa-</p><p>gues, enxaguem. verbo delinquir: delinquo, delinques, delin-</p><p>que, delinquem; delinqua, delinquas, delinquam.</p><p>Atenção: no Brasil, a pronúncia mais corrente é a primeira,</p><p>aquela com a e i tônicos.</p><p>Uso do hífen</p><p>Algumas regras do uso do hífen foram alteradas pelo novo</p><p>Acordo. Mas, como se trata ainda de matéria controvertida em</p><p>muitos aspectos, para facilitar a compreensão dos leitores,</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 2</p><p>apresentamos um resumo das regras que orientam o uso do</p><p>hífen com os prefixos mais comuns, assim como as novas</p><p>orientações estabelecidas pelo Acordo. As observações a</p><p>seguir referem-se ao uso do hífen em palavras formadas por</p><p>prefixos ou por elementos que podem funcionar como prefi-</p><p>xos, como: aero, agro, além, ante, anti, aquém, arqui, auto,</p><p>circum, co, contra, eletro, entre, ex, extra, geo, hidro, hiper, in-</p><p>fra, inter, intra, macro, micro, mini, multi, neo, pan, pluri, proto,</p><p>pós, pré, pró, pseudo, retro, semi, sobre, sub, super, supra,</p><p>tele, ultra, vice, etc.</p><p>1. Com prefixos, usa-se sempre o hífen diante de palavra</p><p>iniciada por h.</p><p>Exemplos: anti-higiênico, anti-histórico, co-herdeiro, macro-</p><p>história, mini-hotel, proto-história, sobre-humano, super-</p><p>homem, ultra-humano.</p><p>Exceção: subumano (nesse caso, a palavra humano perde</p><p>o h).</p><p>2. Não se usa o hífen quando o prefixo termina em vogal</p><p>diferente da vogal com que se inicia o segundo elemento.</p><p>Exemplos: aeroespacial, agroindustrial, anteontem, antiaéreo,</p><p>antieducativo, autoaprendizagem, autoescola, autoestrada,</p><p>autoinstrução, coautor, coedição, extraescolar, infraestrutura,</p><p>plurianual, semiaberto, semianalfabeto, semiesférico, semio-</p><p>paco.</p><p>Exceção: o prefixo co aglutina-se em geral com o segundo</p><p>elemento, mesmo quando este se inicia por o: coobrigar,</p><p>coobrigação, coordenar, cooperar, cooperação, cooptar, coo-</p><p>cupante etc.</p><p>3. Não se usa o hífen quando o prefixo termina em vogal e o</p><p>segundo elemento começa por consoante diferente de r ou s.</p><p>Exemplos: anteprojeto, antipedagógico, autopeça, autoprote-</p><p>ção, coprodução, geopolítica, microcomputador, pseudopro-</p><p>fessor, semicírculo, semideus, seminovo, ultramoderno.</p><p>Atenção: com o prefixo vice, usa-se sempre o hífen.</p><p>Exemplos: vice-rei, vice-almirante etc.</p><p>4. Não se usa o hífen quando o prefixo termina em vogal e o</p><p>segundo elemento começa por r ou s. Nesse caso, duplicam-</p><p>se essas letras.</p><p>Exemplos: antirrábico, antirracismo, antirreligioso, antirrugas,</p><p>antissocial, biorritmo, contrarregra, contrassenso, cosseno,</p><p>infrassom, microssistema, minissaia, multissecular, neorrea-</p><p>lismo, neossimbolista, semirreta, ultrarresistente, Ultrassom.</p><p>5. Quando o prefixo termina por vogal, usa-se o hífen se o</p><p>segundo elemento começar pela mesma vogal.</p><p>Exemplos: anti-ibérico, anti-imperialista, anti-inflacionário, anti-</p><p>inflamatório, auto-observação, contra-almirante, contra-atacar,</p><p>contra-ataque micro-ondas micro-ônibus semi-internato, semi-</p><p>interno.</p><p>6. Quando o prefixo termina por consoante, usa-se o hífen se</p><p>o segundo elemento começar pela mesma consoante.</p><p>Exemplos: hiper-requintado, inter-racial, inter-regional, sub-</p><p>bibliotecário, super-racista, super-reacionário, super-</p><p>resistente, super-romântico.</p><p>Atenção: Nos demais casos não se usa o hífen.</p><p>Exemplos: hipermercado, intermunicipal, superinteressante,</p><p>superproteção.</p><p>Com o prefixo sub, usa-se o hífen também diante de palavra</p><p>iniciada por r: sub-região, sub-raça etc.</p><p>Com os prefixos circum e pan, usa-se o hífen diante de pala-</p><p>vra iniciada por m, n e vogal: circum-navegação, pan-</p><p>americano etc.</p><p>7. Quando o prefixo termina por consoante, não se usa o</p><p>hífen se o segundo elemento começar por vogal.</p><p>Exemplos: hiperacidez, hiperativo, interescolar, interestadual,</p><p>interestelar, interestudantil, superamigo, superaquecimento,</p><p>supereconômico, superexigente, superinteressante, superoti-</p><p>mismo.</p><p>8. Com os prefi-</p><p>xos ex, sem, além, aquém, recém, pós, pré, pró, usa-se</p><p>sempre o hífen.</p><p>Exemplos: além-mar, além-túmulo, aquém-mar, ex-aluno, ex-</p><p>diretor, ex-hospedeiro, ex-prefeito, ex-presidente, pós-</p><p>graduação, pré-história, pré-vestibular, pró-europeu, recém-</p><p>casado, recém-nascido, sem-terra.</p><p>9. Deve-se usar o hífen com os sufixos de origem tupi-</p><p>guarani: açu, guaçu e mirim.</p><p>Exemplos: amoré-guaçu, anajá-mirim, capim-açu.</p><p>10. Deve-se usar o hífen para ligar duas ou mais palavras que</p><p>ocasionalmente se combinam, formando não propriamente</p><p>vocábulos, mas encadeamentos vocabulares.</p><p>Exemplos: ponte Rio-Niterói, eixo Rio-São Paulo.</p><p>11. Não se deve usar o hífen em certas palavras que perde-</p><p>ram a noção de composição.</p><p>Exemplos: girassol, madressilva, mandachuva, paraquedas,</p><p>paraquedista, pontapé.</p><p>12. Para clareza gráfica, se no final da linha a partição de uma</p><p>palavra ou combinação de palavras coincidir com o hífen, ele</p><p>deve ser repetido na linha seguinte.</p><p>Exemplos: Na cidade, conta-se que ele foi viajar.</p><p>O diretor recebeu os ex-alunos.</p><p>Resumo</p><p>Emprego do hífen com prefixos.</p><p>Regra básica - Sempre se usa o hífen diante de h: anti-</p><p>higiênico, super-homem.</p><p>Outros casos:</p><p>1. Prefixo terminado em vogal: Sem hífen diante de vogal</p><p>diferente: autoescola, antiaéreo.</p><p>Sem hífen diante de consoante diferente de r e s: anteprojeto,</p><p>semicírculo.</p><p>Sem hífen diante de r e s.</p><p>Dobram-se essas letras: antirracismo, antissocial, ultrassom.</p><p>Com hífen diante de mesma vogal: contra-ataque, micro-</p><p>ondas.</p><p>2. Prefixo terminado em consoante:</p><p>Com hífen diante de mesma consoante: inter-regional, sub-</p><p>bibliotecário.</p><p>Sem hífen diante de consoante diferente: intermunicipal, su-</p><p>persônico.</p><p>Sem hífen diante de vogal: interestadual, superinteressante.</p><p>Observações:</p><p>1. Com o prefixo sub, usa-se o hífen também diante de pala-</p><p>vra iniciada por r sub-região, sub-raça etc.</p><p>Palavras iniciadas por h perdem essa letra e juntam-se sem</p><p>hífen: subumano, subumanidade.</p><p>2. Com os prefixos circum e pan, usa-se o hífen diante de</p><p>palavra iniciada por m, n e vogal: circum-navegação, pan-</p><p>americano etc.</p><p>3. O prefixo co aglutina-se em geral com o segundo elemento,</p><p>mesmo quando este se inicia por o: coobrigação, coordenar,</p><p>cooperar, cooperação, cooptar, coocupante etc.</p><p>4. Com o prefixo vice, usa-se sempre o hífen: vice-rei, vice-</p><p>almirante etc.</p><p>5. Não se deve usar o hífen em certas palavras que perderam</p><p>a noção de composição, como girassol, madressilva, manda-</p><p>chuva, pontapé, paraquedas, paraquedista etc.</p><p>6. Com os prefi-</p><p>xos ex, sem, além, aquém, recém, pós, pré, pró, usa-se</p><p>sempre o hífen: ex-aluno, sem-terra, além-mar, aquém-mar,</p><p>recém-casado, pós-graduação, pré-vestibular, pró-europeu.</p><p>¨</p><p>Fonte: Guia Prático da Nova Ortografia - Douglas Tufano</p><p>Editora Melhoramentos - Agosto de 2008</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 3</p><p>Novo Acordo Ortográfico é adiado para 2016</p><p>O objetivo de adiar a vigência do novo Acordo Ortográfi-</p><p>co visa a alinhar o cronograma brasileiro com o de outros</p><p>países e dar um maior prazo de adaptação às pessoas.</p><p>Prorrogação visa a alinhar cronograma brasileiro com o de outros países,</p><p>como Portugal.</p><p>A vigência obrigatória do novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa foi</p><p>adiada pelo governo brasileiro por mais três anos. A implementação inte-</p><p>gral da nova ortografia estava prevista para 1º de janeiro de 2013, contudo,</p><p>o Governo Federal adiou para 1º de janeiro de 2016, prazo estabelecido</p><p>também por Portugal.</p><p>Assinado em 1990 por sete nações da Comunidade de Países de Língua</p><p>Portuguesa (CPLP) e adotado em 2008 pelos setores público e privado, o</p><p>Acordo tem como objetivo unificar as regras do português escrito em todos</p><p>os países que têm a língua portuguesa como idioma oficial. A reforma</p><p>ortográfica também visa a melhorar o intercâmbio cultural, reduzir o custo</p><p>econômico de produção e tradução de livros e facilitar a difusão bibliográfi-</p><p>ca nesses países.</p><p>Nesse sentido, a grafia de aproximadamente 0,5 das palavras em portu-</p><p>guês teve alterações propostas, a exemplo de ideia, crêem e bilíngue, que,</p><p>com a obrigatoriedade do uso do novo Acordo Ortográfico, passaram a ser</p><p>escritas sem o acento agudo, circunflexo e trema, respectivamente. Com o</p><p>adiamento, tanto a ortografia atual quanto a prevista são aceitas, ou seja, a</p><p>utilização das novas regras continua sendo opcional até que a reforma</p><p>ortográfica entre em vigor.</p><p>Dicas para uma boa interpretação de texto</p><p>Uma boa interpretação de texto é importante para o desenvolvimento</p><p>pessoal e profissional, por isso elaboramos algumas dicas preciosas para</p><p>auxiliar você nos seus estudos.</p><p>Você tem dificuldades para interpretar um texto? Se a sua resposta for</p><p>sim, não se desespere, você não é o único a sofrer com esse problema que</p><p>afeta muitos leitores.</p><p>Não saber interpretar corretamente um texto pode gerar inúmeros pro-</p><p>blemas, afetando não só o desenvolvimento profissional, mas também o</p><p>desenvolvimento pessoal. O mundo moderno cobra de nós inúmeras com-</p><p>petências, uma delas é a proficiência na língua, e isso não se refere apenas</p><p>a uma boa comunicação verbal, mas também à capacidade de entender</p><p>aquilo que está sendo lido. O analfabetismo funcional está relacionado com</p><p>a dificuldade de decifrar as entrelinhas do código, pois a leitura mecânica é</p><p>bem diferente da leitura interpretativa, aquela que fazemos ao estabelecer</p><p>analogias e criar inferências. Para que você não sofra mais com a análise</p><p>de textos, elaboramos algumas dicas para você seguir e tirar suas dúvidas.</p><p>Uma interpretação de texto competente depende de inúmeros fatores,</p><p>mas nem por isso deixaremos de contemplar alguns que se fazem essenci-</p><p>ais para esse exercício. Muitas vezes, apressados, descuidamo-nos das</p><p>minúcias presentes em um texto, achamos que apenas uma leitura já se faz</p><p>suficiente, o que não é verdade. Interpretar demanda paciência e, por isso,</p><p>sempre releia, pois uma segunda leitura pode apresentar aspectos surpre-</p><p>endentes que não foram observados anteriormente. Para auxiliar na busca</p><p>de sentidos do texto, você pode também retirar dele os tópicos frasais</p><p>presentes em cada parágrafo, isso certamente auxiliará na apreensão do</p><p>conteúdo exposto. Lembre-se de que os parágrafos não estão organizados,</p><p>pelo menos em um bom texto, de maneira aleatória, se estão no lugar que</p><p>estão, é porque ali se fazem necessários, estabelecendo uma relação</p><p>hierárquica do pensamento defendido, retomando ideias supracitadas ou</p><p>apresentando novos conceitos.</p><p>Para finalizar, concentre-se nas ideias que de fato foram explicitadas</p><p>pelo</p><p>autor: os textos argumentativos não costumam conceder espaço para</p><p>divagações ou hipóteses, supostamente contidas nas entrelinhas. Devemos</p><p>nos ater às ideias do autor, isso não quer dizer que você precise ficar preso</p><p>na superfície do texto, mas é fundamental que não criemos, à revelia do</p><p>autor, suposições vagas e inespecíficas. Quem lê com cuidado certamente</p><p>incorre menos no risco de tornar-se um analfabeto funcional e ler com</p><p>atenção é um exercício que deve ser praticado à exaustão, assim como</p><p>uma técnica, que fará de nós leitores proficientes e sagazes. Agora que</p><p>você já conhece nossas dicas, desejamos a você uma boa leitura e bons</p><p>estudos! Luana Castro Alves Perez</p><p>Podemos, tranquilamente, ser bem-sucedidos numa interpretação de</p><p>texto. Para isso, devemos observar o seguinte:</p><p>01. Ler todo o texto, procurando ter uma visão geral do assunto;</p><p>02. Se encontrar palavras desconhecidas, não interrompa a leitura, vá</p><p>até o fim, ininterruptamente;</p><p>03. Ler, ler bem, ler profundamente, ou seja, ler o texto pelo menos</p><p>umas três vezes ou mais;</p><p>04. Ler com perspicácia, sutileza, malícia nas entrelinhas;</p><p>05. Voltar ao texto tantas quantas vezes precisar;</p><p>06. Não permitir que prevaleçam suas ideias sobre as do autor;</p><p>07. Partir o texto em pedaços (parágrafos, partes) para melhor compre-</p><p>ensão;</p><p>08. Centralizar cada questão ao pedaço (parágrafo, parte) do texto cor-</p><p>respondente;</p><p>09. Verificar, com atenção e cuidado, o enunciado de cada questão;</p><p>10. Cuidado com os vocábulos: destoa (=diferente de ...), não, correta,</p><p>incorreta, certa, errada, falsa, verdadeira, exceto, e outras; palavras que</p><p>aparecem nas perguntas e que, às vezes, dificultam a entender o que se</p><p>perguntou e o que se pediu;</p><p>11. Quando duas alternativas lhe parecem corretas, procurar a mais</p><p>exata ou a mais completa;</p><p>12. Quando o autor apenas sugerir ideia, procurar um fundamento de</p><p>lógica objetiva;</p><p>13. Cuidado com as questões voltadas para dados superficiais;</p><p>14. Não se deve procurar a verdade exata dentro daquela resposta,</p><p>mas a opção que melhor se enquadre no sentido do texto;</p><p>15. Às vezes a etimologia ou a semelhança das palavras denuncia a</p><p>resposta;</p><p>16. Procure estabelecer quais foram as opiniões expostas pelo autor,</p><p>definindo o tema e a mensagem;</p><p>17. O autor defende ideias e você deve percebê-las;</p><p>18. Os adjuntos adverbiais e os predicativos do sujeito são importantís-</p><p>simos na interpretação do texto.</p><p>Ex.: Ele morreu de fome.</p><p>de fome: adjunto adverbial de causa, determina a causa na realização</p><p>do fato (= morte de "ele").</p><p>Ex.: Ele morreu faminto.</p><p>faminto: predicativo do sujeito, é o estado em que "ele" se encontrava</p><p>quando morreu.;</p><p>19. As orações coordenadas não têm oração principal, apenas as idei-</p><p>as estão coordenadas entre si;</p><p>20. Os adjetivos ligados a um substantivo vão dar a ele maior clareza</p><p>de expressão, aumentando-lhe ou determinando-lhe o significado. Eraldo</p><p>Cunegundes</p><p>ELEMENTOS CONSTITUTIVOS</p><p>TEXTO NARRATIVO</p><p>•••• As personagens: São as pessoas, ou seres, viventes ou não, for-</p><p>ças naturais ou fatores ambientais, que desempenham papel no desenrolar</p><p>dos fatos.</p><p>Toda narrativa tem um protagonista que é a figura central, o herói ou</p><p>heroína, personagem principal da história.</p><p>O personagem, pessoa ou objeto, que se opõe aos designos do prota-</p><p>gonista, chama-se antagonista, e é com ele que a personagem principal</p><p>contracena em primeiro plano.</p><p>As personagens secundárias, que são chamadas também de compar-</p><p>sas, são os figurantes de influencia menor, indireta, não decisiva na narra-</p><p>ção.</p><p>O narrador que está a contar a história também é uma personagem,</p><p>pode ser o protagonista ou uma das outras personagens de menor impor-</p><p>tância, ou ainda uma pessoa estranha à história.</p><p>Podemos ainda, dizer que existem dois tipos fundamentais de perso-</p><p>nagem: as planas: que são definidas por um traço característico, elas não</p><p>alteram seu comportamento durante o desenrolar dos acontecimentos e</p><p>tendem à caricatura; as redondas: são mais complexas tendo uma dimen-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 4</p><p>são psicológica, muitas vezes, o leitor fica surpreso com as suas reações</p><p>perante os acontecimentos.</p><p>•••• Sequência dos fatos (enredo): Enredo é a sequência dos fatos, a</p><p>trama dos acontecimentos e das ações dos personagens. No enredo po-</p><p>demos distinguir, com maior ou menor nitidez, três ou quatro estágios</p><p>progressivos: a exposição (nem sempre ocorre), a complicação, o clÍmax, o</p><p>desenlace ou desfecho.</p><p>Na exposição o narrador situa a história quanto à época, o ambiente,</p><p>as personagens e certas circunstâncias. Nem sempre esse estágio ocorre,</p><p>na maioria das vezes, principalmente nos textos literários mais recentes, a</p><p>história começa a ser narrada no meio dos acontecimentos (“in média”), ou</p><p>seja, no estágio da complicação quando ocorre e conflito, choque de inte-</p><p>resses entre as personagens.</p><p>O clímax é o ápice da história, quando ocorre o estágio de maior ten-</p><p>são do conflito entre as personagens centrais, desencadeando o desfecho,</p><p>ou seja, a conclusão da história com a resolução dos conflitos.</p><p>•••• Os fatos: São os acontecimentos de que as personagens partici-</p><p>pam. Da natureza dos acontecimentos apresentados decorre o gê-</p><p>nero do texto. Por exemplo o relato de um acontecimento cotidiano</p><p>constitui uma crônica, o relato de um drama social é um romance</p><p>social, e assim por diante. Em toda narrativa há um fato central,</p><p>que estabelece o caráter do texto, e há os fatos secundários, rela-</p><p>cionados ao principal.</p><p>•••• Espaço: Os acontecimentos narrados acontecem em diversos lu-</p><p>gares, ou mesmo em um só lugar. O texto narrativo precisa conter</p><p>informações sobre o espaço, onde os fatos acontecem. Muitas ve-</p><p>zes, principalmente nos textos literários, essas informações são</p><p>extensas, fazendo aparecer textos descritivos no interior dos textos</p><p>narrativo.</p><p>•••• Tempo: Os fatos que compõem a narrativa desenvolvem-se num</p><p>determinado tempo, que consiste na identificação do momento,</p><p>dia, mês, ano ou época em que ocorre o fato. A temporalidade sa-</p><p>lienta as relações passado/presente/futuro do texto, essas relações</p><p>podem ser linear, isto é, seguindo a ordem cronológica dos fatos,</p><p>ou sofre inversões, quando o narrador nos diz que antes de um fa-</p><p>to que aconteceu depois.</p><p>O tempo pode ser cronológico ou psicológico. O cronológico é o tempo</p><p>material em que se desenrola à ação, isto é, aquele que é medido pela</p><p>natureza ou pelo relógio. O psicológico não é mensurável pelos padrões</p><p>fixos, porque é aquele que ocorre no interior da personagem, depende da</p><p>sua percepção da realidade, da duração de um dado acontecimento no seu</p><p>espírito.</p><p>•••• Narrador: observador e personagem: O narrador, como já dis-</p><p>semos, é a personagem que está a contar a história. A posição em</p><p>que se coloca o narrador para contar a história constitui o foco, o</p><p>aspecto ou o ponto de vista da narrativa, e ele pode ser caracteri-</p><p>zado por :</p><p>- visão “por detrás” : o narrador conhece tudo o que diz respeito às</p><p>personagens e à história, tendo uma visão panorâmica dos acon-</p><p>tecimentos e a narração é feita em 3a pessoa.</p><p>- visão “com”: o narrador é personagem e ocupa o centro da narra-</p><p>tiva que é feito em 1a pessoa.</p><p>- visão “de fora”: o narrador descreve e narra apenas o que vê,</p><p>aquilo que é observável exteriormente no comportamento da per-</p><p>sonagem, sem ter acesso a sua interioridade, neste caso o narra-</p><p>dor é um observador e a narrativa é feita em 3a pessoa.</p><p>•••• Foco narrativo: Todo texto narrativo necessariamente tem de</p><p>apresentar um foco narrativo, isto é, o ponto de vista através do</p><p>qual a história está sendo contada. Como já vimos, a narração é</p><p>feita</p><p>em 1a pessoa ou 3a pessoa.</p><p>Formas de apresentação da fala das personagens</p><p>Como já sabemos, nas histórias, as personagens agem e falam. Há</p><p>três maneiras de comunicar as falas das personagens.</p><p>•••• Discurso Direto: É a representação da fala das personagens atra-</p><p>vés do diálogo.</p><p>Exemplo:</p><p>“Zé Lins continuou: carnaval é festa do povo. O povo é dono da</p><p>verdade. Vem a polícia e começa a falar em ordem pública. No carna-</p><p>val a cidade é do povo e de ninguém mais”.</p><p>No discurso direto é frequente o uso dos verbo de locução ou descendi:</p><p>dizer, falar, acrescentar, responder, perguntar, mandar, replicar e etc.; e de</p><p>travessões. Porém, quando as falas das personagens são curtas ou rápidas</p><p>os verbos de locução podem ser omitidos.</p><p>•••• Discurso Indireto: Consiste em o narrador transmitir, com suas</p><p>próprias palavras, o pensamento ou a fala das personagens.</p><p>Exemplo:</p><p>“Zé Lins levantou um brinde: lembrou os dias triste e passa-</p><p>dos, os meus primeiros passos em liberdade, a fraternidade</p><p>que nos reunia naquele momento, a minha literatura e os me-</p><p>nos sombrios por vir”.</p><p>•••• Discurso Indireto Livre: Ocorre quando a fala da personagem se</p><p>mistura à fala do narrador, ou seja, ao fluxo normal da narração.</p><p>Exemplo:</p><p>“Os trabalhadores passavam para os partidos, conversando</p><p>alto. Quando me viram, sem chapéu, de pijama, por aqueles</p><p>lugares, deram-me bons-dias desconfiados. Talvez pensassem</p><p>que estivesse doido. Como poderia andar um homem àquela</p><p>hora , sem fazer nada de cabeça no tempo, um branco de pés</p><p>no chão como eles? Só sendo doido mesmo”.</p><p>(José Lins do Rego)</p><p>TEXTO DESCRITIVO</p><p>Descrever é fazer uma representação verbal dos aspectos mais carac-</p><p>terísticos de um objeto, de uma pessoa, paisagem, ser e etc.</p><p>As perspectivas que o observador tem do objeto são muito importantes,</p><p>tanto na descrição literária quanto na descrição técnica. É esta atitude que</p><p>vai determinar a ordem na enumeração dos traços característicos para que</p><p>o leitor possa combinar suas impressões isoladas formando uma imagem</p><p>unificada.</p><p>Uma boa descrição vai apresentando o objeto progressivamente, vari-</p><p>ando as partes focalizadas e associando-as ou interligando-as pouco a</p><p>pouco.</p><p>Podemos encontrar distinções entre uma descrição literária e outra téc-</p><p>nica. Passaremos a falar um pouco sobre cada uma delas:</p><p>•••• Descrição Literária: A finalidade maior da descrição literária é</p><p>transmitir a impressão que a coisa vista desperta em nossa mente</p><p>através do sentidos. Daí decorrem dois tipos de descrição: a subje-</p><p>tiva, que reflete o estado de espírito do observador, suas preferên-</p><p>cias, assim ele descreve o que quer e o que pensa ver e não o</p><p>que vê realmente; já a objetiva traduz a realidade do mundo objeti-</p><p>vo, fenomênico, ela é exata e dimensional.</p><p>•••• Descrição de Personagem: É utilizada para caracterização das</p><p>personagens, pela acumulação de traços físicos e psicológicos,</p><p>pela enumeração de seus hábitos, gestos, aptidões e temperamen-</p><p>to, com a finalidade de situar personagens no contexto cultural, so-</p><p>cial e econômico .</p><p>•••• Descrição de Paisagem: Neste tipo de descrição, geralmente o</p><p>observador abrange de uma só vez a globalidade do panorama,</p><p>para depois aos poucos, em ordem de proximidade, abranger as</p><p>partes mais típicas desse todo.</p><p>•••• Descrição do Ambiente: Ela dá os detalhes dos interiores, dos</p><p>ambientes em que ocorrem as ações, tentando dar ao leitor uma</p><p>visualização das suas particularidades, de seus traços distintivos e</p><p>típicos.</p><p>•••• Descrição da Cena: Trata-se de uma descrição movimentada,</p><p>que se desenvolve progressivamente no tempo. É a descrição de</p><p>um incêndio, de uma briga, de um naufrágio.</p><p>•••• Descrição Técnica: Ela apresenta muitas das características ge-</p><p>rais da literatura, com a distinção de que nela se utiliza um vocabu-</p><p>lário mais preciso, salientando-se com exatidão os pormenores. É</p><p>predominantemente denotativa tendo como objetivo esclarecer</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 5</p><p>convencendo. Pode aplicar-se a objetos, a aparelhos ou mecanis-</p><p>mos, a fenômenos, a fatos, a lugares, a eventos e etc.</p><p>TEXTO DISSERTATIVO</p><p>Dissertar significa discutir, expor, interpretar ideias. A dissertação cons-</p><p>ta de uma série de juízos a respeito de um determinado assunto ou ques-</p><p>tão, e pressupõe um exame critico do assunto sobre o qual se vai escrever</p><p>com clareza, coerência e objetividade.</p><p>A dissertação pode ser argumentativa - na qual o autor tenta persuadir</p><p>o leitor a respeito dos seus pontos de vista ou simplesmente, ter como</p><p>finalidade dar a conhecer ou explicar certo modo de ver qualquer questão.</p><p>A linguagem usada é a referencial, centrada na mensagem, enfatizan-</p><p>do o contexto.</p><p>Quanto à forma, ela pode ser tripartida em :</p><p>•••• Introdução: Em poucas linhas coloca ao leitor os dados funda-</p><p>mentais do assunto que está tratando. É a enunciação direta e ob-</p><p>jetiva da definição do ponto de vista do autor.</p><p>•••• Desenvolvimento: Constitui o corpo do texto, onde as ideias colo-</p><p>cadas na introdução serão definidas com os dados mais relevan-</p><p>tes. Todo desenvolvimento deve estruturar-se em blocos de ideias</p><p>articuladas entre si, de forma que a sucessão deles resulte num</p><p>conjunto coerente e unitário que se encaixa na introdução e de-</p><p>sencadeia a conclusão.</p><p>•••• Conclusão: É o fenômeno do texto, marcado pela síntese da ideia</p><p>central. Na conclusão o autor reforça sua opinião, retomando a in-</p><p>trodução e os fatos resumidos do desenvolvimento do texto. Para</p><p>haver maior entendimento dos procedimentos que podem ocorrer</p><p>em um dissertação, cabe fazermos a distinção entre fatos, hipótese</p><p>e opinião.</p><p>- Fato: É o acontecimento ou coisa cuja veracidade e reconhecida; é</p><p>a obra ou ação que realmente se praticou.</p><p>- Hipótese: É a suposição feita acerca de uma coisa possível ou</p><p>não, e de que se tiram diversas conclusões; é uma afirmação so-</p><p>bre o desconhecido, feita com base no que já é conhecido.</p><p>- Opinião: Opinar é julgar ou inserir expressões de aprovação ou</p><p>desaprovação pessoal diante de acontecimentos, pessoas e obje-</p><p>tos descritos, é um parecer particular, um sentimento que se tem a</p><p>respeito de algo.</p><p>O TEXTO ARGUMENTATIVO</p><p>Um texto argumentativo tem como objetivo convencer alguém das</p><p>nossas ideias. Deve ser claro e ter riqueza lexical, podendo tratar qualquer</p><p>tema ou assunto.</p><p>É constituído por um primeiro parágrafo curto, que deixe a ideia no ar,</p><p>depois o desenvolvimento deve referir a opinião da pessoa que o escreve,</p><p>com argumentos convincentes e verdadeiros, e com exemplos claros. Deve</p><p>também conter contra-argumentos, de forma a não permitir a meio da</p><p>leitura que o leitor os faça. Por fim, deve ser concluído com um parágrafo</p><p>que responda ao primeiro parágrafo, ou simplesmente com a ideia chave da</p><p>opinião.</p><p>Geralmente apresenta uma estrutura organizada em três partes:</p><p>a introdução, na qual é apresentada a ideia principal ou tese;</p><p>o desenvolvimento, que fundamenta ou desenvolve a ideia principal; e</p><p>a conclusão. Os argumentos utilizados para fundamentar a tese podem ser</p><p>de diferentes tipos: exemplos, comparação, dados históricos, dados estatís-</p><p>tico, pesquisas, causas socioeconômicas ou culturais, depoimentos - enfim</p><p>tudo o que possa demonstrar o ponto de vista defendido pelo autor tem</p><p>consistência. A conclusão pode apresentar uma possível solução/proposta</p><p>ou uma síntese. Deve utilizar título que chame a atenção do leitor e utilizar</p><p>variedade padrão de língua.</p><p>A linguagem normalmente é impessoal e objetiva.</p><p>O roteiro da persuasão para o texto argumentativo:</p><p>Na introdução, no desenvolvimento e na conclusão do texto argumen-</p><p>tativo espera-se que o redator o leitor de seu ponto de vista. Alguns recur-</p><p>sos podem contribuir para que a defesa da tese seja concluída com suces-</p><p>so. Abaixo veremos algumas formas de introduzir um parágrafo argumenta-</p><p>tivo:</p><p>• Declaração inicial: É uma forma de apresentar com assertivi-</p><p>dade e segurança a tese.</p><p>‘ A aprovação das Cotas para negros vem reparar uma divida moral e</p><p>um dano social. Oferecer oportunidade igual de ingresso no Ensino Superi-</p><p>or ao negro por meio de políticas afirmativas é uma forma de admitir a</p><p>diferença social marcante na sociedade e de igualar o acesso ao mercado</p><p>de trabalho.’</p><p>• Interrogação: Cria-se com a interrogação uma relação próxima</p><p>com o leitor que, curioso, busca no texto resposta as perguntas feitas na</p><p>introdução.</p><p>‘ Por que nos orgulhamos da nossa falta de consciência coletiva? Por</p><p>que ainda insistimos em agir como ‘espertos’ individualistas?’</p><p>• Citação ou alusão: Esse recurso garante à defesa da tese cará-</p><p>ter de autoridade e confere credibilidade ao discurso argumentativo, pois</p><p>se apoia nas palavras e pensamentos de outrem que goza de prestigio.</p><p>‘ As pessoas chegam ao ponto de uma criança morrer e os pais não</p><p>chorarem mais, trazerem a criança, jogarem num bolo de mortos, virarem</p><p>as costas e irem embora’. O comentário do fotógrafo Sebastião Salgado</p><p>sobre o que presenciou na Ruanda é um chamado à consciência públi-</p><p>ca.’’</p><p>• Exemplificação: O processo narrativo ou descritivo da exempli-</p><p>ficação pode conferir à argumentação leveza a cumplicidade. Porém,</p><p>deve-se tomar cuidado para que esse recurso seja breve e não interfira</p><p>no processo persuasivo.</p><p>‘ Noite de quarta-feira nos Jardins, bairro paulistano de classe média.</p><p>Restaurante da moda, frequentado por jovens bem-nascidos, sofre o se-</p><p>gundo ‘arrastão’ do mês. Clientes e funcionários são assaltados e amea-</p><p>çados de morte. O cotidiano violento de São Paulo se faz presente.’’</p><p>• Roteiro: A antecipação do que se pretende dizer pode funcionar</p><p>como encaminhamento de leitura da tese.</p><p>‘ Busca-se com essa exposição analisar o descaso da sociedade em</p><p>relação às coletas seletivas de lixo e a incompetência das prefeituras.’’</p><p>• Enumeração: Contribui para que o redator analise os dados e</p><p>exponha seus pontos de vista com mais exatidão.</p><p>‘ Pesquisa realizada pela Secretaria de Estado da Saúde de São Pau-</p><p>lo aponta que as maiores vítimas do abuso sexual são as crianças meno-</p><p>res de 12 anos. Elas representam 43% dos 1.926 casos de violência se-</p><p>xual atendidos pelo Programa Bem-Me-Quer, do Hospital Pérola Bying-</p><p>ton.’’</p><p>• Causa e consequência: Garantem a coesão e a concatenação</p><p>das ideias ao longo do parágrafo, além de conferir caráter lógico ao pro-</p><p>cesso argumentativo.</p><p>‘ No final de março, o Estado divulgou índices vergonhosos do Idesp</p><p>– indicador desenvolvido pela Secretaria Estadual de Educação para ava-</p><p>liar a qualidade do ensino (…). O péssimo resultado é apenas conse-</p><p>quência de como está baixa a qualidade do ensino público. As causas</p><p>são várias, mas certamente entre elas está a falta de respeito do Estado</p><p>que, próximo do fim do 1º bimestre, ainda não enviou apostilas para al-</p><p>gumas escolas estaduais de Rio Preto.</p><p>• Síntese: Reforça a tese defendida, uma vez que fecha o texto</p><p>com a retomada de tudo o que foi exposto ao longo da argumentação.</p><p>Recurso seguro e convincente para arrematar o processo discursivo.</p><p>‘ Quanto a Lei Geral da Copa, aprovou-se um texto que não é o ideal,</p><p>mas sustenta os requisitos da Fifa para o evento.</p><p>O aspecto mais polêmico era a venda de bebidas alcoólicas nos es-</p><p>tádios. A lei eliminou o veto federal, mas não exclui que os organizadores</p><p>precisem negociar a permissão em alguns Estados, como São Paulo.’’</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 6</p><p>• Proposta: Revela autonomia critica do produtor do texto e ga-</p><p>rante mais credibilidade ao processo argumentativo.</p><p>‘ Recolher de forma digna e justa os usuários de crack que buscam</p><p>ajuda, oferecer tratamento humano é dever do Estado. Não faz sentido</p><p>isolar para fora dos olhos da sociedade uma chaga que pertence a to-</p><p>dos.’’ Mundograduado.org</p><p>Modelo de Dissertação-Argumentativa</p><p>Meio-ambiente e tecnologia: não há contraste, há solução</p><p>Uma das maiores preocupações do século XXI é a preservação ambi-</p><p>ental, fator que envolve o futuro do planeta e, consequentemente, a sobre-</p><p>vivência humana. Contraditoriamente, esses problemas da natureza, quan-</p><p>do analisados, são equivocadamente colocados em oposição à tecnologia.</p><p>O paradoxo acontece porque, de certa forma, o avanço tem um preço a</p><p>se pagar. As indústrias, por exemplo, que são costumeiramente ligadas ao</p><p>progresso, emitem quantidades exorbitantes de CO2 (carbono), responsá-</p><p>veis pelo prejuízo causado à Camada de Ozônio e, por conseguinte, pro-</p><p>blemas ambientais que afetam a população.</p><p>Mas, se a tecnologia significa conhecimento, nesse caso, não vemos</p><p>contrastes com o meio-ambiente. Estamos numa época em que preservar</p><p>os ecossistemas do planeta é mais do que avanço, é uma questão de</p><p>continuidade das espécies animais e vegetais, incluindo-se principalmente</p><p>nós, humanos. As pesquisas acontecem a todo o momento e, dessa forma,</p><p>podemos considerá-las parceiras na busca por soluções a essa problemáti-</p><p>ca.</p><p>O desenvolvimento de projetos científicos que visem a amenizar os</p><p>transtornos causados à Terra é plenamente possível e real. A era tecnoló-</p><p>gica precisa atuar a serviço do bem-estar, da qualidade de vida, muito mais</p><p>do que em favor de um conforto momentâneo. Nessas circunstâncias não</p><p>existe contraste algum, pelo contrário, há uma relação direta que poderá se</p><p>transformar na salvação do mundo.</p><p>Portanto, as universidades e instituições de pesquisas em geral preci-</p><p>sam agir rapidamente na elaboração de pacotes científicos com vistas a</p><p>combater os resultados caóticos da falta de conscientização humana. Nada</p><p>melhor do que a ciência para direcionar formas práticas de amenizarmos a</p><p>“ferida” que tomou conta do nosso Planeta Azul.</p><p>Nesse modelo, didaticamente, podemos perceber a estrutura textual</p><p>dissertativa assim organizada:</p><p>1º parágrafo: Introdução com apresentação da tese a ser defendi-</p><p>da;</p><p>“Uma das maiores preocupações do século XXI é a preservação ambi-</p><p>ental, fator que envolve o futuro do planeta e, consequentemente, a sobre-</p><p>vivência humana. Contraditoriamente, esses problemas da natureza, quan-</p><p>do analisados, são equivocadamente colocados em oposição à tecnologia.”</p><p>2º parágrafo: Há o desenvolvimento da tese com fundamentos ar-</p><p>gumentativos;</p><p>“O paradoxo acontece porque, de certa forma, o avanço tem um preço</p><p>a se pagar. As indústrias, por exemplo, que são costumeiramente ligadas</p><p>ao progresso, emitem quantidades exorbitantes de CO2 (carbono), respon-</p><p>sáveis pelo prejuízo causado à Camada de Ozônio e, por conseguinte,</p><p>problemas ambientais que afetam a população.</p><p>Mas, se a tecnologia significa conhecimento, nesse caso, não vemos</p><p>contrastes com o meio-ambiente. Estamos numa época em que preservar</p><p>os ecossistemas do planeta é mais do que avanço, é uma questão de</p><p>continuidade das espécies animais e vegetais, incluindo-se principalmente</p><p>nós, humanos. As pesquisas acontecem a todo o momento e, dessa forma,</p><p>podemos considerá-las parceiras na busca por soluções a essa problemáti-</p><p>ca.”</p><p>3º parágrafo: A conclusão é desenvolvida com uma proposta de</p><p>intervenção relacionada à tese.</p><p>“O desenvolvimento de projetos científicos que visem a amenizar os</p><p>transtornos causados à Terra é plenamente possível e real. A era tecnoló-</p><p>gica precisa atuar a serviço do bem-estar, da qualidade de vida, muito mais</p><p>do que em favor de um conforto momentâneo. Nessas circunstâncias não</p><p>existe contraste algum, pelo contrário, há uma relação direta que poderá</p><p>os seguintes conjuntos:</p><p>A – B</p><p>B – A</p><p>A – C</p><p>C - A</p><p>B – C</p><p>C – B</p><p>Resolução</p><p>a) A - B = { y; z }</p><p>b) B - A= {w;v}</p><p>c) A - C= {x;z}</p><p>d) C – A = {u;t}</p><p>e) B – C = {x;w;v}</p><p>f) C – B = {y;u;t}</p><p>Exemplos de conjuntos compostos por números</p><p>Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais,</p><p>enquanto r e s são números reais.</p><p>1. Números naturais são usados para contar. O</p><p>símbolo usualmente representa este conjunto.</p><p>2. Números inteiros aparecem como soluções de</p><p>equações como x + a = b. O símbolo usualmente</p><p>representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que</p><p>significa números).</p><p>3. Números racionais aparecem como soluções de</p><p>equações como a + bx = c. O símbolo usualmente</p><p>representa este conjunto (da palavra quociente).</p><p>4. Números algébricos aparecem como soluções de</p><p>equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem</p><p>raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou</p><p>usualmente representa este conjunto.</p><p>5. Números reais incluem os números algébricos e os</p><p>números transcendentais. O símbolo usualmente</p><p>representa este conjunto.</p><p>6. Números imaginários aparecem como soluções de</p><p>equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo</p><p>usualmente representa este conjunto.</p><p>7. Números complexos é a soma dos números reais e</p><p>dos imaginários: . Aqui tanto r quanto s podem ser</p><p>iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos</p><p>imaginários são subconjuntos do conjunto dos números</p><p>complexos. O símbolo usualmente representa este</p><p>conjunto.</p><p>NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIO-</p><p>NAIS E REAIS.</p><p>Conjuntos numéricos podem ser representados de diver-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 5</p><p>sas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto</p><p>e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre</p><p>os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:</p><p>A = {51, 27, -3}</p><p>Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que es-</p><p>tão listados entre chaves.</p><p>Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas.</p><p>Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer</p><p>letra.</p><p>Vamos começar nos primórdios da matemática.</p><p>- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me</p><p>diria?</p><p>- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.</p><p>Pois é, estes números que saem naturalmente de sua bo-</p><p>ca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS,</p><p>o qual é representado pela letra .</p><p>Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha</p><p>como intenção mostrar quantidades.</p><p>*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste</p><p>conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia</p><p>nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao</p><p>conjunto dos Naturais. Portanto:</p><p>N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}</p><p>Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros núme-</p><p>ros e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes</p><p>teremos a necessidade de representar o conjunto dos núme-</p><p>ros naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o</p><p>símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do con-</p><p>junto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo</p><p>abaixo:</p><p>N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}</p><p>Estes números foram suficientes para a sociedade duran-</p><p>te algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das</p><p>"trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar</p><p>uma representação numérica para as dívidas.</p><p>Com isso inventou-se os chamados "números negativos",</p><p>e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos</p><p>números inteiros, representado pela letra .</p><p>O conjunto dos números inteiros é formado por todos os</p><p>números NATURAIS mais todos os seus representantes</p><p>negativos.</p><p>Note que este conjunto não possui início nem fim (ao con-</p><p>trário dos naturais, que possui um início e não possui fim).</p><p>Assim como no conjunto dos naturais, podemos represen-</p><p>tar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação</p><p>usada para os NATURAIS.</p><p>Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...}</p><p>Em algumas situações, teremos a necessidade de repre-</p><p>sentar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NE-</p><p>GATIVOS.</p><p>Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do</p><p>conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa</p><p>os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITI-</p><p>VOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:</p><p>Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}</p><p>Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início.</p><p>E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O</p><p>zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.</p><p>Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do si-</p><p>nalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGA-</p><p>TIVOS, e o zero se enquadra nisto.</p><p>Se quisermos representar somente os positivos (ou seja,</p><p>os não negativos sem o zero), escrevemos:</p><p>Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}</p><p>Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero</p><p>não é positivo.</p><p>Ou também podemos representar somente os inteiros</p><p>NÃO POSITIVOS com:</p><p>Z - ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}</p><p>Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.</p><p>E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos</p><p>sem o zero):</p><p>Z*- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}</p><p>Assim:</p><p>Conjunto dos Números Naturais</p><p>São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero.</p><p>É representado pela letra maiúscula N.</p><p>Caso queira representar o conjunto dos números naturais</p><p>não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do</p><p>N:</p><p>N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}</p><p>N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}</p><p>Conjunto dos Números Inteiros</p><p>São todos os números que pertencem ao conjunto dos</p><p>Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).</p><p>São representados pela letra Z:</p><p>Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}</p><p>O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles</p><p>são:</p><p>- Inteiros não negativos</p><p>São todos os números inteiros que não são negativos.</p><p>Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos</p><p>números naturais.</p><p>É representado por Z+:</p><p>Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}</p><p>- Inteiros não positivos</p><p>São todos os números inteiros que não são positivos. É</p><p>representado por Z-:</p><p>Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}</p><p>- Inteiros não negativos e não-nulos</p><p>É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse</p><p>subconjunto por Z*+:</p><p>Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}</p><p>Z*+ = N*</p><p>- Inteiros não positivos e não nulos</p><p>São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero.</p><p>Representa-se por Z*-.</p><p>Z*- = {... -4, -3, -2, -1}</p><p>Conjunto dos Números Racionais</p><p>Os números racionais é um conjunto que engloba os nú-</p><p>meros inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo,</p><p>743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que</p><p>repete uma sequência de algarismos da parte decimal infini-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 6</p><p>tamente), como "12,050505...", são também conhecidas co-</p><p>mo dízimas periódicas.</p><p>Os racionais são representados pela letra Q.</p><p>Conjunto dos Números Irracionais</p><p>É formado pelos números decimais infinitos não-</p><p>periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o núme-</p><p>ro PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferên-</p><p>cia pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente,</p><p>supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas</p><p>decimais para o PI.</p><p>Também são irracionais todas as raízes não exatas, como</p><p>a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)</p><p>Conjunto dos Números Reais</p><p>É formado por todos os conjuntos citados</p><p>se</p><p>transformar na salvação do mundo.</p><p>Portanto, as universidades e instituições de pesquisas em geral preci-</p><p>sam agir rapidamente na elaboração de pacotes científicos com vistas a</p><p>combater os resultados caóticos da falta de conscientização humana. Nada</p><p>melhor do que a ciência para direcionar formas práticas de amenizarmos a</p><p>“ferida” que tomou conta do nosso Planeta Azul.” Profª Francinete</p><p>Dissertação expositiva e argumentativa</p><p>A dissertação pode ser feita de maneira expositiva ou argumentativa.</p><p>Expositiva</p><p>A dissertação é expositiva quando há a abordagem de uma verdade indis-</p><p>cutível. O texto oferece um conhecimento ou informação sobre o assunto</p><p>através da exposição de ideias, não tomando uma posição sobre elas.</p><p>Argumentativa</p><p>A dissertação argumentativa é aquela que aborda o assunto com uma visão</p><p>crítica, onde o autor defende o seu ponto de vista, buscando sempre con-</p><p>vencer o leitor através de evidências, juízos, provas e opiniões relevantes.</p><p>Como interpretar textos</p><p>É muito comum, entre os candidatos a um cargo público a preocupação</p><p>com a interpretação de textos. Isso acontece porque lhes faltam informa-</p><p>ções específicas a respeito desta tarefa constante em provas relacionadas</p><p>a concursos públicos.</p><p>Por isso, vão aqui alguns detalhes que poderão ajudar no momento de</p><p>responder as questões relacionadas a textos.</p><p>TEXTO – é um conjunto de ideias organizadas e relacionadas entre si,</p><p>formando um todo significativo capaz de produzir INTERAÇÃO COMUNI-</p><p>CATIVA (capacidade de CODIFICAR E DECODIFICAR).</p><p>CONTEXTO – um texto é constituído por diversas frases. Em cada uma</p><p>delas, há uma certa informação que a faz ligar-se com a anterior e/ou com</p><p>a posterior, criando condições para a estruturação do conteúdo a ser</p><p>transmitido. A essa interligação dá-se o nome de CONTEXTO. Nota-se que</p><p>o relacionamento entre as frases é tão grande, que, se uma frase for retira-</p><p>da de seu contexto original e analisada separadamente, poderá ter um</p><p>significado diferente daquele inicial.</p><p>INTERTEXTO - comumente, os textos apresentam referências diretas ou</p><p>indiretas a outros autores através de citações. Esse tipo de recurso deno-</p><p>mina-se INTERTEXTO.</p><p>INTERPRETAÇÃO DE TEXTO - o primeiro objetivo de uma interpretação</p><p>de um texto é a identificação de sua ideia principal. A partir daí, localizam-</p><p>se as ideias secundárias, ou fundamentações, as argumentações, ou</p><p>explicações, que levem ao esclarecimento das questões apresentadas na</p><p>prova.</p><p>Normalmente, numa prova, o candidato é convidado a:</p><p>1. IDENTIFICAR – é reconhecer os elementos fundamentais de uma argu-</p><p>mentação, de um processo, de uma época (neste caso, procuram-se os</p><p>verbos e os advérbios, os quais definem o tempo).</p><p>2. COMPARAR – é descobrir as relações de semelhança ou de diferenças</p><p>entre as situações do texto.</p><p>3. COMENTAR - é relacionar o conteúdo apresentado com uma realidade,</p><p>opinando a respeito.</p><p>4. RESUMIR – é concentrar as ideias centrais e/ou secundárias em um só</p><p>parágrafo.</p><p>5. PARAFRASEAR – é reescrever o texto com outras palavras.</p><p>EXEMPLO</p><p>TÍTULO DO TEXTO</p><p>"O HOMEM UNIDO ”</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 7</p><p>PARÁFRASES</p><p>A INTEGRAÇÃO DO MUNDO</p><p>A INTEGRAÇÃO DA HUMANIDADE</p><p>A UNIÃO DO HOMEM</p><p>HOMEM + HOMEM = MUNDO</p><p>A MACACADA SE UNIU (SÁTIRA)</p><p>CONDIÇÕES BÁSICAS PARA INTERPRETAR</p><p>Fazem-se necessários:</p><p>a) Conhecimento Histórico – literário (escolas e gêneros literários, estrutura</p><p>do texto), leitura e prática;</p><p>b) Conhecimento gramatical, estilístico (qualidades do texto) e semântico;</p><p>OBSERVAÇÃO – na semântica (significado das palavras) incluem-se:</p><p>homônimos e parônimos, denotação e conotação, sinonímia e antonimia,</p><p>polissemia, figuras de linguagem, entre outros.</p><p>c) Capacidade de observação e de síntese e</p><p>d) Capacidade de raciocínio.</p><p>INTERPRETAR x COMPREENDER</p><p>INTERPRETAR SIGNIFICA</p><p>- EXPLICAR, COMENTAR, JULGAR, TIRAR CONCLUSÕES, DEDUZIR.</p><p>- TIPOS DE ENUNCIADOS</p><p>• Através do texto, INFERE-SE que...</p><p>• É possível DEDUZIR que...</p><p>• O autor permite CONCLUIR que...</p><p>• Qual é a INTENÇÃO do autor ao afirmar que...</p><p>COMPREENDER SIGNIFICA</p><p>- INTELECÇÃO, ENTENDIMENTO, ATENÇÃO AO QUE REALMENTE</p><p>ESTÁ ESCRITO.</p><p>- TIPOS DE ENUNCIADOS:</p><p>• O texto DIZ que...</p><p>• É SUGERIDO pelo autor que...</p><p>• De acordo com o texto, é CORRETA ou ERRADA a afirmação...</p><p>• O narrador AFIRMA...</p><p>ERROS DE INTERPRETAÇÃO</p><p>É muito comum, mais do que se imagina, a ocorrência de erros de interpre-</p><p>tação. Os mais frequentes são:</p><p>a) Extrapolação (viagem)</p><p>Ocorre quando se sai do contexto, acrescentado ideias que não estão no</p><p>texto, quer por conhecimento prévio do tema quer pela imaginação.</p><p>b) Redução</p><p>É o oposto da extrapolação. Dá-se atenção apenas a um aspecto, esque-</p><p>cendo que um texto é um conjunto de ideias, o que pode ser insuficiente</p><p>para o total do entendimento do tema desenvolvido.</p><p>c) Contradição</p><p>Não raro, o texto apresenta ideias contrárias às do candidato, fazendo-o</p><p>tirar conclusões equivocadas e, consequentemente, errando a questão.</p><p>OBSERVAÇÃO - Muitos pensam que há a ótica do escritor e a ótica do</p><p>leitor. Pode ser que existam, mas numa prova de concurso qualquer, o que</p><p>deve ser levado em consideração é o que o AUTOR DIZ e nada mais.</p><p>COESÃO - é o emprego de mecanismo de sintaxe que relacionam pala-</p><p>vras, orações, frases e/ou parágrafos entre si. Em outras palavras, a coe-</p><p>são dá-se quando, através de um pronome relativo, uma conjunção (NE-</p><p>XOS), ou um pronome oblíquo átono, há uma relação correta entre o que</p><p>se vai dizer e o que já foi dito.</p><p>OBSERVAÇÃO – São muitos os erros de coesão no dia-a-dia e, entre eles,</p><p>está o mau uso do pronome relativo e do pronome oblíquo átono. Este</p><p>depende da regência do verbo; aquele do seu antecedente. Não se pode</p><p>esquecer também de que os pronomes relativos têm, cada um, valor se-</p><p>mântico, por isso a necessidade de adequação ao antecedente.</p><p>Os pronomes relativos são muito importantes na interpretação de texto,</p><p>pois seu uso incorreto traz erros de coesão. Assim sedo, deve-se levar em</p><p>consideração que existe um pronome relativo adequado a cada circunstân-</p><p>cia, a saber:</p><p>QUE (NEUTRO) - RELACIONA-SE COM QUALQUER ANTECEDENTE.</p><p>MAS DEPENDE DAS CONDIÇÕES DA FRASE.</p><p>QUAL (NEUTRO) IDEM AO ANTERIOR.</p><p>QUEM (PESSOA)</p><p>CUJO (POSSE) - ANTES DELE, APARECE O POSSUIDOR E DEPOIS, O</p><p>OBJETO POSSUÍDO.</p><p>COMO (MODO)</p><p>ONDE (LUGAR)</p><p>QUANDO (TEMPO)</p><p>QUANTO (MONTANTE)</p><p>EXEMPLO:</p><p>Falou tudo QUANTO queria (correto)</p><p>Falou tudo QUE queria (errado - antes do QUE, deveria aparecer o de-</p><p>monstrativo O ).</p><p>• VÍCIOS DE LINGUAGEM – há os vícios de linguagem clássicos (BARBA-</p><p>RISMO, SOLECISMO,CACOFONIA...); no dia-a-dia, porém , existem</p><p>expressões que são mal empregadas, e, por força desse hábito cometem-</p><p>se erros graves como:</p><p>- “ Ele correu risco de vida “, quando a verdade o risco era de morte.</p><p>- “ Senhor professor, eu lhe vi ontem “. Neste caso, o pronome correto</p><p>oblíquo átono</p><p>Dicionário de Interpretação de textos</p><p>A - Atenção ao ler o texto é fundamental.</p><p>B - Busque a resposta no texto. Não tente adivinhá-la. “Chute” só em</p><p>último caso.</p><p>C - Coesão: uma frase com erro de coesão pode tornar um contexto indeci-</p><p>frável. Contexto: é o conjunto de ideias que formam um texto ® o conteú-</p><p>do.</p><p>D - Deduzir: deduz- se somente através do que o texto informa.</p><p>E - Erros de Interpretação:</p><p>• Extrapolação ( viagem ): é proibido viajar. Não se pode permitir que o</p><p>pensamento voe.</p><p>• Redução: síntese serve apenas para facilitar o entendimento do contexto</p><p>e para fixar a ideia principal. Na hora de responder lê-se o texto novamente.</p><p>• Contradição:</p><p>é proibido contradizer o autor. Só se contradiz se solicitado.</p><p>F – Figuras de linguagem: conhecê-las bem ajudam a compreender o</p><p>texto e, até, as questões.</p><p>G – Gramática: é a “alma” do texto. Sem ela, não haverá texto interpretá-</p><p>vel. Portanto, estude-a bastante.</p><p>H - História da Literatura: reconhecer as escolas e os gêneros literários é</p><p>fundamental. Revise seus apontamentos de literatura.</p><p>I – Interpretação: o ato de interpretar tem primeiro e principal objetivo a</p><p>identificação da ideia principal. • Intertexto: são as citações que comple-</p><p>mentam, ou reforçam, o enfoque do autor .</p><p>J – Jamais responda “de cabeça”. Volte sempre ao texto.</p><p>L – Localizar-se no contexto permite que o candidato DESCUBRA a</p><p>resposta.</p><p>M – Mensagem: às vezes, a mensagem não é explícita, mas o contexto</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 8</p><p>informa qual a intenção do autor.</p><p>N – Nexos: são importantíssimos na coesão. Estude os pronomes relativos</p><p>e as conjunções.</p><p>O – Observação: se você não é bom observador, comece a praticar HOJE,</p><p>pois essa capacidade está intimamente ligada à atenção. OBSERVAÇÃO</p><p>= ATENÇÃO = BOA INTERPRETAÇÃO.</p><p>P – Parafrasear: é dizer o mesmo que está no texto com outras palavras. É</p><p>o mais conhecido “pega – ratão“ das provas.</p><p>Q – Questões de alternativas ( de “a” a “e” ): devem ser todas lidas.</p><p>Nunca se convença de que a resposta é a letra “a” . Duvide e leia até a letra</p><p>“e”, pois a resposta correta pode estar aqui.</p><p>R – Roteiro de Interpretação</p><p>Na hora de interpretar um texto, alguns cuidados são necessários:</p><p>a) ler atentamente todo o texto, procurando focalizar sua ideia central;</p><p>b) interpretar as palavras desconhecidas através do contexto;</p><p>c) reconhecer os argumentos que dão sustentação a ideia central;</p><p>d) identificar as objeções à ideia central;</p><p>e) sublinhar os exemplos que foram empregados como ilustração da ideia</p><p>central;</p><p>f) antes de responder as questões, ler mais de uma vez todo o texto, fazen-</p><p>do o mesmo com as questões e as alternativas;</p><p>g) a cada questão, voltar ao texto, não responder “de cabeça”;</p><p>h) se preferir, faça anotações à margem ou esquematize o texto;</p><p>i) se o enunciado pedir a ideia principal, ou tema, estará situada na introdu-</p><p>ção, na conclusão, ou no título;</p><p>j) se o enunciado pedir a argumentação, esta estará localizada, normalmen-</p><p>te, no corpo do texto.</p><p>S – Semântica: é a parte da gramática que estuda o significado das pala-</p><p>vras. É bom estudar: homônimos e parônimos, denotação e conotação,</p><p>polissemia, sinônimos e antônimos. Não esqueça que a mudança de um “i “</p><p>para “e” pode mudar o significado da palavra e do contexto.</p><p>IMINENTE - EMINENTE</p><p>T – Texto: basicamente, é um conjunto de IDEIAS (Assun-</p><p>to) ORGANIZADAS (Estrutura). (INTRODUÇÃO-ARGUMENTAÇÃO-</p><p>CONCLUSÃO)</p><p>U – Uma vez, contaram a você que existem a ótica do escritor e a ótica do</p><p>leitor. É MENTIRA! Você deve responder às questões de acordo com o</p><p>escritor.</p><p>V – Vícios: esses “errinhos” do cotidiano atrapalham muito na interpreta-</p><p>ção. Não deixe que eles interfiram no seu conhecimento.</p><p>X – Xerocar os conteúdos, isto é, decorá-los não é o suficiente: é necessá-</p><p>rio raciocinar.</p><p>Z – Zebra não existe: o que existe é a falta de informação. Portanto, infor-</p><p>me-se!</p><p>http://www.tudosobreconcursos.com/materiais/portugues/como-</p><p>interpretar-textos</p><p>O que é um Texto literário:</p><p>Um texto literário é uma construção textual de acordo com</p><p>as normas da literatura, com objetivos e características pró-</p><p>prias, como linguagem elaborada de forma a causar emo-</p><p>ções no leitor.</p><p>De acordo com a classificação de textos, existe a divisão</p><p>entre duas categorias: textos literários e textos não literários.</p><p>Alguns exemplos de textos literários são: peças teatrais,</p><p>romances, crônicas, contos fábulas, poemas, etc. Uma</p><p>das características distintivas dos textos literário é a sua fun-</p><p>ção poética, onde é possível constatar ritmo e musicalidade,</p><p>organização específica das palavras e um elevado nível de</p><p>criatividade.</p><p>Diferenças entre texto literário e não literário</p><p>A grande diferença entre os textos literários e não literários</p><p>consiste na sua função ou objetivo.</p><p>O texto não literário tem como objetivo informar, esclarecer,</p><p>explicar, ou seja, pretende ser útil ao leitor. O texto não literá-</p><p>rio é frequentemente visto como um texto informativo, cons-</p><p>truído de forma específica, com linguagem clara e objetiva.</p><p>Alguns exemplos são artigos científicos, notícias, ou textos</p><p>didáticos.</p><p>Por outro lado, o texto literário é mais artístico, com uma fun-</p><p>ção estética, que tem como objetivo recreativo, provocando</p><p>diferentes emoções no leitor. Assim, os textos literários nem</p><p>sempre estão ligados à realidade (no caso da ficção) e muitas</p><p>vezes são subjetivos, podendo existir diferentes interpreta-</p><p>ções de leitores distintos. Além disso, o texto literário contém</p><p>figuras de linguagem, sentido figurado e metafórico das pala-</p><p>vras, que tornam o texto mais expressivo.</p><p>Linguagem Verbal e Linguagem Não-Verbal</p><p>Existem várias formas de comunicação. Quando o homem se</p><p>utiliza da palavra, ou seja, da linguagem oral ou escri-</p><p>ta,dizemos que ele está utilizando uma linguagem verbal, pois</p><p>o código usado é a palavra. Tal código está presente, quando</p><p>falamos com alguém, quando lemos, quando escrevemos. A</p><p>linguagem verbal é a forma de comunicação mais presente</p><p>em nosso cotidiano. Mediante a palavra falada ou escrita,</p><p>expomos aos outros as nossas idéias e pensamentos, comu-</p><p>nicando-nos por meio desse código verbal imprescindível em</p><p>nossas vidas.</p><p>- ela está presente em textos em propagandas;</p><p>- em reportagens (jornais, revistas, etc.);</p><p>- em obras literárias e científicas;</p><p>- na comunicação entre as pessoas;</p><p>- em discursos (Presidente da República, representantes de</p><p>classe, candidatos a cargos públicos, etc.);</p><p>- e em várias outras situações.</p><p>Linguagem Não-Verbal</p><p>O sinal que demonstra que é proibido fumar em um determi-</p><p>nado local. A linguagem utilizada é a não-verbal pois não</p><p>utiliza do código "língua portuguesa" para transmitir que é</p><p>proibido fumar.</p><p>O sinal que demonstra que é proibido fumar em um determi-</p><p>nado local. A linguagem utilizada é a não-verbal pois não</p><p>utiliza do código "língua portuguesa" para transmitir que é</p><p>proibido fumar.</p><p>Percebemos que o semáforo, nos transmite a idéia de aten-</p><p>ção, de acordo com a cor apresentada no semáforo, podemos</p><p>saber se é permitido seguir em frente (verde), se é para ter</p><p>atenção (amarelo) ou se é proibido seguir em frente (verme-</p><p>lho) naquele instante</p><p>A ideia principal e as secundárias</p><p>Para treinarmos a redação de pequenos parágrafos narrativos, vamos</p><p>nos colocar no papel de narradores, isto é, vamos contar fatos com base na</p><p>organização das ideias.</p><p>Leia o trecho abaixo:</p><p>Meu primo já havia chegado à metade da perigosa ponte de ferro</p><p>quando, de repente, um trem saiu da curva, a cem metros da ponte. Com</p><p>isso, ele não teve tempo de correr para a frente ou para trás, mas, demons-</p><p>trando grande presença de espírito, agachou-se, segurou, com as mãos,</p><p>um dos dormentes e deixou o corpo pendurado.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 9</p><p>Como você deve ter observado, nesse parágrafo, o narrador conta-nos</p><p>um fato acontecido com seu primo. É, pois, um parágrafo narrativo. Anali-</p><p>semos, agora, o parágrafo quanto à estrutura.</p><p>As ideias foram organizadas da seguinte maneira:</p><p>Ideia principal:</p><p>Meu primo já havia chegado à metade da perigosa ponte de ferro</p><p>quando, de repente, um trem saiu da curva, a cem metros da ponte.</p><p>Ideias secundárias:</p><p>Com isso, ele não teve tempo de correr para a frente ou para trás, mas,</p><p>demonstrando grande presença de espírito, agachou-se, segurou, com as</p><p>mãos, um dos dormentes e deixou o corpo pendurado.</p><p>A ideia principal, como você pode observar, refere-se a uma ação peri-</p><p>gosa, agravada pelo aparecimento de um trem. As ideias secundárias</p><p>complementam a ideia principal, mostrando como o primo do narrador</p><p>conseguiu sair-se da perigosa situação em que se encontrava.</p><p>Os parágrafos devem conter apenas uma ideia principal acompanhado</p><p>de ideias secundárias. Entretanto, é muito comum encontrarmos, em pará-</p><p>grafos pequenos, apenas a ideia principal. Veja o exemplo:</p><p>O dia amanhecera lindo na Fazenda Santo Inácio.</p><p>Os dois filhos do sr. Soares, administrador da fazenda, resolveram</p><p>aproveitar o bom tempo. Pegaram um animal, montaram e seguiram con-</p><p>tentes pelos campos, levando um farto lanche, preparado pela mãe.</p><p>Nesse trecho, há dois parágrafos.</p><p>No primeiro, só há uma ideia desenvolvida, que corresponde à ideia</p><p>principal do parágrafo: O dia amanhecera lindo na Fazenda Santo Inácio.</p><p>No segundo, já podemos perceber a relação ideia principal + ideias</p><p>secundárias. Observe:</p><p>Ideia principal:</p><p>Os dois filhos do sr. Soares, administrador da fazenda, resolveram</p><p>aproveitar o bom tempo.</p><p>Ideia secundárias:</p><p>Pegaram um animal, montaram e seguiram contentes pelos campos,</p><p>levando um farto lanche, preparado pela mãe.</p><p>Agora que já vimos alguns exemplos, você deve estar se perguntando:</p><p>“Afinal, de que tamanho é o parágrafo?”</p><p>Bem, o que podemos responder é que não há como apontar um pa-</p><p>drão, no que se refere ao tamanho ou extensão do parágrafo.</p><p>Há exemplos em que se veem parágrafos muito pequenos; outros, em</p><p>que são maiores e outros, ainda, muito extensos.</p><p>Também não há como dizer o que é certo ou errado em termos da ex-</p><p>tensão do parágrafo, pois o que é importante mesmo, é a organização das</p><p>ideias. No entanto, é sempre útil observar o que diz o dito popular – “nem</p><p>oito, nem oitenta…”.</p><p>Assim como não é aconselhável escrevermos um texto, usando apenas</p><p>parágrafos muito curtos, também não é aconselhável empregarmos os</p><p>muito longos.</p><p>Essas observações são muito úteis para quem está iniciando os traba-</p><p>lhos de redação. Com o tempo, a prática dirá quando e como usar parágra-</p><p>fos – pequenos, grandes ou muito grandes.</p><p>Até aqui, vimos que o parágrafo apresenta em sua estrutura, uma ideia</p><p>principal e outras secundárias. Isso não significa, no entanto, que sempre a</p><p>ideia principal apareça no início do parágrafo. Há casos em que a ideia</p><p>secundária inicia o parágrafo, sendo seguida pela ideia principal. Veja o</p><p>exemplo:</p><p>As estacas da cabana tremiam fortemente, e duas ou três vezes, o solo</p><p>estremeceu violentamente sob meus pés. Logo percebi que se tratava de</p><p>um terremoto.</p><p>Observe que a ideia mais importante está contida na frase: “Logo per-</p><p>cebi que se tratava de um terremoto”, que aparece no final do parágrafo.</p><p>As outras frases (ou ideias) apenas explicam ou comprovam a afirmação:</p><p>“as estacas tremiam fortemente, e duas ou três vezes, o solo estremeceu</p><p>violentamente sob meus pés” e estas estão localizadas no início do pará-</p><p>grafo.</p><p>Então, a respeito da estrutura do parágrafo, concluímos que as ideias</p><p>podem organizar-se da seguinte maneira:</p><p>Ideia principal + ideias secundárias</p><p>ou</p><p>Ideias secundárias + ideia principal</p><p>É importante frisar, também, que a ideia principal e as ideias se-</p><p>cundárias não são ideias diferentes e, por isso, não podem ser separadas</p><p>em parágrafos diferentes. Ao selecionarmos as ideias secundárias deve-</p><p>mos verificar as que realmente interessam ao desenvolvimento da ideia</p><p>principal e mantê-las juntas no mesmo parágrafo. Com isso, estaremos</p><p>evitando e repetição de palavras e assegurando a sua clareza. É importan-</p><p>te, ao termos várias ideias secundárias, que sejam identificadas aquelas</p><p>que realmente se relacionam à ideia principal. Esse cuidado é de grande</p><p>valia ao se redigir parágrafos sobre qualquer assunto.</p><p>VARIAÇÃO LINGUÍSTICA</p><p>FALA E ESCRITA</p><p>Registros, variantes ou níveis de língua(gem)</p><p>A comunicação não é regida por normas fixas e imutáveis. Ela pode</p><p>transformar-se, através do tempo, e, se compararmos textos antigos com</p><p>atuais, perceberemos grandes mudanças no estilo e nas expressões. Por</p><p>que as pessoas se comunicam de formas diferentes? Temos que conside-</p><p>rar múltiplos fatores: época, região geográfica, ambiente e status cultural</p><p>dos falantes.</p><p>Há uma língua-padrão? O modelo de língua-padrão é uma decorrência</p><p>dos parâmetros utilizados pelo grupo social mais culto. Às vezes, a mesma</p><p>pessoa, dependendo do meio em que se encontra, da situação sociocultural</p><p>dos indivíduos com quem se comunica, usará níveis diferentes de língua.</p><p>Dentro desse critério, podemos reconhecer, num primeiro momento, dois</p><p>tipos de língua: a falada e a escrita.</p><p>A língua falada pode ser culta ou coloquial, vulgar ou inculta, regional,</p><p>grupal (gíria ou técnica). Quando a gíria é grosseira, recebe o nome de</p><p>calão.</p><p>Quando redigimos um texto, não devemos mudar o registro, a não ser</p><p>que o estilo permita, ou seja, se estamos dissertando – e, nesse tipo de</p><p>redação, usa-se, geralmente, a língua-padrão – não podemos passar desse</p><p>nível para um como a gíria, por exemplo.</p><p>Variação linguística: como falantes da língua portuguesa, percebe-</p><p>mos que existem situações em que a língua apresenta-se sob uma forma</p><p>bastante diferente daquela que nos habituamos a ouvir em casa ou nos</p><p>meios de comunicação. Essa diferença pode manifestarse tanto pelo voca-</p><p>bulário utilizado, como pela pronúncia ou organização da frase.</p><p>Nas relações sociais, observamos que nem todos falam da mesma</p><p>forma. Isso ocorre porque as línguas naturais são sistemas dinâmicos e</p><p>extremamente sensíveis a fatores como, por exemplo, a região geográfica,</p><p>o sexo, a idade, a classe social dos falantes e o grau de formalidade do</p><p>contexto. Essas diferenças constituem as variações linguísticas.</p><p>Observe abaixo as especificidades de algumas variações:</p><p>1. Profissional: no exercício de algumas atividades profissionais, o</p><p>domínio de certas formas de línguas técnicas é essencial. As variações</p><p>profissionais são abundantes em termos específicos e têm seu uso restrito</p><p>ao intercâmbio técnico.</p><p>2. Situacional: as diferentes situações comunicativas exigem de um</p><p>mesmo indivíduo diferentes modalidades da língua. Empregam-se, em</p><p>situações formais, modalidades diferentes das usadas em situações infor-</p><p>mais, com o objetivo de adequar o nível vocabular e sintático ao ambiente</p><p>linguístico em que se está.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 10</p><p>3. Geográfica: há variações entre as formas que a língua portuguesa</p><p>assume nas diferentes regiões em que é falada. Basta prestar atenção na</p><p>expressão de um gaúcho em contraste com a de um amazonense. Essas</p><p>variações regionais constituem os falares e os dialetos. Não há motivo</p><p>linguístico algum para que se considere qualquer uma dessas formas</p><p>superior ou inferior às outras.</p><p>4. Social: o português empregado pelas pessoas que têm acesso à</p><p>escola e aos meios de instrução difere do português empregado pelas</p><p>pessoas privadas de escolaridade.</p><p>Algumas classes sociais, assim, dominam uma forma de língua que</p><p>goza prestígio, enquanto outras são vítimas de preconceito por emprega-</p><p>rem estilos menos prestigiados. Cria-se, dessa maneira, uma modalidade</p><p>de língua – a norma culta -, que deve ser adquirida durante a vida escolar e</p><p>para o geral,</p><p>dos exemplos para a regra: João pesquisou, o grupo discutiu, Lea redigiu.</p><p>Todos colaborando, o trabalho é bem feito.</p><p>PARAGRAFAÇÃO</p><p>A PARAGRAFAÇÃO</p><p>NO/DO TEXTO DISSERTATIVO</p><p>(Partes deste capítulo foram adaptados/tirados de PACHECO, Agnelo</p><p>C. A dissertação. São Paulo: Atual, 1993 e de SOBRAL, João Jonas Veiga.</p><p>Redação: Escrevendo com prática. São Paulo: Iglu, 1997)</p><p>O texto dissertativo é o tipo de texto que expõe uma tese (ideias gerais</p><p>sobre um assunto/tema) seguida de um ponto de vista, apoiada em argu-</p><p>mentos, dados e fatos que a comprovem.</p><p>“A leitura auxilia o desenvolvimento da escrita, pois, lendo, o indivíduo</p><p>tem contato com modelos de textos bem redigidos que, ao longo do tempo,</p><p>farão parte de sua bagagem linguística; e também porque entrará em</p><p>contato com vários pontos de vista de intelectuais diversos, ampliando,</p><p>dessa forma, sua própria visão em relação aos assuntos. Como a produção</p><p>escrita se baseia praticamente na exposição de ideias por meio de pala-</p><p>vras, certamente aquele que lê desenvolverá sua habilidade devido ao</p><p>enriquecimento linguístico adquirido através da leitura de bons autores.”</p><p>No texto acima temos uma ideia defendida pelo autor:</p><p>TESE/TÓPICO FRASAL: “A leitura auxilia o desenvolvimento da escri-</p><p>ta.”</p><p>Em seguida o autor defende seu ponto de vista com os seguintes ar-</p><p>gumentos:</p><p>ARGUMENTOS:</p><p>(1)“...lendo o indivíduo tem contato com modelos de textos bem redigi-</p><p>dos que ao longo do tempo farão parte de sua bagagem linguística e,</p><p>também, (2) porque entrará em contato com vários pontos de vista de</p><p>intelectuais diversos, (3) ampliando, dessa forma, a sua própria visão em</p><p>relação aos assuntos.” E por fim, comprovada a sua tese, veja que a ideia</p><p>desta é recuperada:</p><p>CONCLUSÃO: “Como a produção escrita se baseia praticamente na</p><p>exposição de ideias por meio de palavras, certamente aquele que lê desen-</p><p>volverá sua habilidade devido ao enriquecimento linguístico adquirido</p><p>através da leitura de bons autores.”</p><p>Observe como o texto dissertativo tem por objetivo expressar um de-</p><p>terminado ponto de vista em relação a um assunto qualquer e convencer o</p><p>leitor de que este ponto de vista está correto. Poderíamos afirmar que o</p><p>texto dissertativo é um exercício de cidadania, pois nele o indivíduo exerce</p><p>seu papel de cidadão, questionando valores, reivindicando algo, expondo</p><p>pontos de vista, etc.</p><p>Pode-se dizer que:</p><p>A paragrafação com tópico frasal seguido pelo desenvolvimento é uma</p><p>forma de organizar o raciocínio e a exposição das ideias de maneira clara e</p><p>facilmente compreensível. Quando se tem um plano em que os tópicos</p><p>principais foram selecionados e</p><p>dispostos de modo a haver transição harmoniosa de um para outro, é</p><p>fácil redigir.</p><p>O TÓPICO FRASAL DO PARÁGRAFO: geralmente vem no começo</p><p>do parágrafo, seguida de outros períodos que explicam ou detalham a ideia</p><p>central e podem ou não concluir a ideia deste parágrafo.</p><p>O DESENVOLVIMENTO DO PARÁGRAFO: é a explanação da ideia</p><p>exposta no tópico frasal. Devemos desenvolver nossas ideias de maneira</p><p>clara e convincente, utilizando argumentos e/ou ideias sempre tendo em</p><p>vista a forma como iniciamos o parágrafo.</p><p>A CONCLUSÃO DO PARÁGRAFO encerra o desenvolvimento, com-</p><p>pleta a discussão do assunto (opcional)</p><p>FORMAS DISCURSIVAS DO PARÁGRAFO</p><p>A) DESCRITIVO: a matéria da descrição é o objeto. Não há persona-</p><p>gens em movimento (atemporal). O autor/produtor deve apresentar o</p><p>objeto, pessoa, paisagem etc, de tal forma que o leitor consiga distinguir o</p><p>ser descrito.</p><p>B) NARRATIVO: a matéria da narração é o fato. Uma maneira eficiente</p><p>de organizá-lo é respondendo à seis perguntas: O quê? Quem? Quando?</p><p>Onde? Como? Por quê?</p><p>C) DISSERTATIVO: a matéria da dissertação é a análise (discussão).</p><p>ELABORAÇÃO/ PLANEJAMENTO DE PARÁGRAFOS</p><p>Ter um assunto</p><p>Delimitá-lo, traçando um objetivo: o que pretende transmitir?</p><p>Elaborar o tópico frasal; desenvolvê-lo e concluí-lo</p><p>PARÁGRAFO-CHAVE: FORMAS PARA COMEÇAR UM TEXTO</p><p>Ao escrever seu primeiro parágrafo, você pode fazê-lo de forma criati-</p><p>va. Ele deve atrair a atenção do leitor. Por isso, evite os lugares-comuns</p><p>como: atualmente, hoje em dia, desde épocas remotas, o mundo hoje, a</p><p>cada dia que passa, no mundo em vivemos, na atualidade.</p><p>Listamos aqui algumas formas de começar um texto. Elas vão das mais</p><p>simples às mais complexas.</p><p>Declaração</p><p>É um grande erro a liberação da maconha. Provocará de imediato vio-</p><p>lenta elevação do consumo. O Estado perderá o controle que ainda exerce</p><p>sobre as drogas psicotrópicas e nossas instituições de recuperação de</p><p>viciados não terão estrutura suficiente para atender à demanda. Alberto</p><p>Corazza, Isto é, 20 dez. 1995.</p><p>A declaração é a forma mais comum de começar um texto. Procure fa-</p><p>zer uma declaração forte, capaz de surpreender o leitor.</p><p>Definição</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 12</p><p>O mito, entre os povos primitivos, é uma forma de se situar no mundo,</p><p>isto é, de encontrar o seu lugar entre os demais seres da natureza. É um</p><p>modo ingênuo, fantasioso, anterior a toda reflexão e não-crítico de estabe-</p><p>lecer algumas verdades que não só explicam parte dos fenômenos naturais</p><p>ou mesmo a construção cultural, mas que dão também, as formas de ação</p><p>humana.</p><p>ARANHA, Maria Lúcia de Arruda & MARTINS, Maria Helena Pires. Te-</p><p>mas de Filosofia.São Paulo, Moderna, 1992. p.62.</p><p>A definição é uma forma simples e muito usada em parágrafo-chave,</p><p>sobretudo em textos dissertativos. Pode ocupar só a primeira frase ou todo</p><p>o primeiro parágrafo.</p><p>Divisão</p><p>Predominam ainda no Brasil convicções errôneas sobre o problema da</p><p>exclusão social: a de que ela deve ser enfrentada apenas pelo poder públi-</p><p>co e a de que sua superação envolve muitos recursos e esforços extraordi-</p><p>nários. Experiências relatadas nesta Folha mostram que combate à margi-</p><p>nalidade social em Nova York vem contando co intensivos esforços do</p><p>poder público e ampla participação da iniciativa privada. Folha de S. Paulo,</p><p>17 dez.1996.</p><p>Ao dizer que há duas convicções errôneas, fica logo clara a direção</p><p>que o parágrafo vai tomar. O autor terá de explicitá-las na frase seguinte.</p><p>Oposição</p><p>De um lado, professores mal pagos, desestimulados, esquecidos pelo</p><p>governo. De outro, gastos excessivos com computadores, antenas parabó-</p><p>licas, aparelhos de videocassete. É este o paradoxo que vive a educação</p><p>no Brasil.</p><p>As duas primeiras frases criam uma oposição (de um lado/ de outro)</p><p>que estabelecerá o rumo da argumentação.</p><p>Também se pode criar uma oposição dentro da frase, como neste</p><p>exemplo:</p><p>“Vários motivos me levaram a este livro. Dois se destacaram pelo grau</p><p>de envolvimento: raiva e esperança. Explico-me: raiva por ver o quanto à</p><p>cultura ainda é vista como artigo supérfluo em nossa terra, esperança por</p><p>observar quantos movimentos culturais têm acontecido em nossa história, e</p><p>quase sempre como forma de resistência e/ou transformação (...)” FEIJÓ,</p><p>Martin César. O que é política cultural. São Paulo, Brasiliense, 1985.p.7.</p><p>O autor estabelece a oposição e logo depois explica os termos que a</p><p>compõem.</p><p>Alusão histórica</p><p>Após a queda do Muro de Berlim, acabaram-se os antagonismos leste-</p><p>oeste e o mundo parece ter aberto de vez as portas para a globalização. As</p><p>fronteiras foram derrubadas e a economia entrou em rota acelerada de</p><p>competição.</p><p>O conhecimento dos principais fatos históricos ajuda a iniciar um texto.</p><p>O leitor é situado no tempo e pode ter uma melhor dimensão do problema.</p><p>Pergunta</p><p>Será que é com novos impostos que a saúde melhorará no Brasil? Os</p><p>contribuintes já estão cansados de tirar do bolso para tapar um buraco que</p><p>parece não ter fim. A cada ano, somos lesados por novos impostos para</p><p>alimentar um</p><p>sistema que só parece piorar. A pergunta não é respondida de</p><p>imediato. Ela serve para despertar a atenção do leitor para o tema e será</p><p>respondida ao longo da argumentação.</p><p>Citação</p><p>“As pessoas chegam ao ponto de uma criança morrer e os pais não</p><p>chorarem mais, trazem a criança, jogarem num bolo de mortos, virarem as</p><p>costas e irem embora.” O comentário, do fotógrafo Sebastião Salgado,</p><p>falando sobre o que viu em Ruanda, é um acicate no estado de letargia</p><p>ética que domina algumas nações do Primeiro Mundo. DI FRANCO, Carlos</p><p>Alberto. Jornalismo, ética e qualidade. Rio de Janeiro, Vozes, 1995. p. 73.</p><p>A citação inicial facilita a continuidade do texto, pois ela é retomada pe-</p><p>la palavra comentário da segunda frase.</p><p>Comparação</p><p>O tema de reforma agrária está a bastante tempo nas discussões sobre</p><p>os problemas mais graves que afetam o Brasil. Numa comparação entre o</p><p>movimento pela abolição da escravidão no Brasil, no final do século passa-</p><p>do e, atualmente, o movimento pela reforma agrária, podemos perceber</p><p>algumas semelhanças. Como na época da abolição da escravidão existiam</p><p>elementos favoráveis e contrários a ela, também hoje há os que são a favor</p><p>e os que são contra a implantação da reforma agrária no Brasil. OLIVEIRA,</p><p>Pérsio Santos de. Introdução à sociologia. São Paulo, Ática, 1991. p.101.</p><p>Para introduzir o tema da reforma agrária, o autor comparou a socieda-</p><p>de de hoje com a do final do século XIX, mostrando a semelhança de</p><p>comportamento entre elas.</p><p>Afirmação</p><p>A profissionalização de uma equipe começa com a procura e aquisição</p><p>das pessoas que tenham experiência e as aptidões adequadas para o</p><p>desempenho da tarefa, especialmente quando esta é imediata. (Desenvol-</p><p>vimento ) As pessoas já virão integrar a equipe sem precisar de treinamen-</p><p>to profissionalizante, podendo entrar em ação logo após seu ingresso.</p><p>Alternativamente, ou quando se dispõe de tempo, pode-se recrutar</p><p>pessoas inexperientes, mas que demonstrem o potencial para desenvolver</p><p>as aptidões e o interesse em fazer parte da equipe ou dedicar-se a sua</p><p>missão. Sempre que possível, uma equipe deve procurar combinar pessoas</p><p>experientes e aprendizes em sua composição, de modo que os segundos</p><p>aprendam com os primeiros. (conclusão) A falta de um banco de reservas,</p><p>muitas vezes, pode ser um obstáculo à própria evolução da equipe.” (Ma-</p><p>ximiniano, 1986:50 )</p><p>ARTICULAÇÃO ENTRE PARÁGRAFOS</p><p>COESÃO E COERÊNCIA</p><p>Articulação entre os parágrafos</p><p>A articulação dos/entre parágrafos depende da coesão e coerência.</p><p>Sem um deles, ainda assim, é possível haver entendimento textual, entre-</p><p>tanto, há necessidade de ter domínio da língua e do contexto para escrever</p><p>um texto de tal forma. Dependendo da tipologia textual, a articulação textual</p><p>se dá de forma diferente. Na narração, por exemplo, não há necessidade</p><p>de ter um parágrafo com mais de um período. Um parágrafo narrativo pode</p><p>ser apenas “Oi”. Já a dissertação necessita ter ao menos um parágrafo com</p><p>introdução e desenvolvimento (conclusão; opcional). Assim também varia a</p><p>necessidade de números de parágrafos para cada texto. Para se obter um</p><p>bom texto, são necessários também: concisão, clareza, correção, adequa-</p><p>ção de linguagem, expressividade.</p><p>Coerência e Coesão</p><p>Para não ser ludibriado pela articulação do contexto, é necessário que</p><p>se esteja atento à coesão e à coerência textuais.</p><p>Coesão textual é o que permite a ligação entre as diversas partes de</p><p>um texto. Pode-se dividir em três segmentos:</p><p>1. Coesão referencial – é a que se refere a outro(s) elemento(s) do</p><p>mundo textual.</p><p>Exemplos:</p><p>a) O presidente George W.Bush ficou indignado com o ataque no</p><p>World Trade Center. Ele afirmou que “castigará” os culpados. (retomada de</p><p>uma palavra gramatical – referente “Ele” + “ Presidente George W.Bush”)</p><p>b) De você só quero isto: a sua amizade (antecipação de uma palavra</p><p>gramatical – “isto” = “a sua amizade”</p><p>c) O homem acordou feliz naquele dia. O felizardo ganhou um bom di-</p><p>nheiro na loteria. ( retomada por palavra lexical – “o felizardo” = “o homem”)</p><p>2. Coesão sequencial – é feita por conectores ou operadores discursi-</p><p>vos, isto é, palavras ou expressões responsáveis pela criação de relações</p><p>semânticas ( causa, condição, finalidade, etc.). São exemplos de conecto-</p><p>res: mas, dessa forma, portanto, então, etc..</p><p>Exemplo:</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 13</p><p>a. Ele é rico, mas não paga suas dívidas.</p><p>Observe que o vocábulo “mas” não faz referência a outro vocábulo;</p><p>apenas conecta (liga) uma ideia a outra, transmitindo a ideia de compensa-</p><p>ção.</p><p>3. Coesão recorrencial – é realizada pela repetição de vocábulos ou</p><p>de estruturas frasais.</p><p>semelhantes.</p><p>Exemplos;</p><p>a. Os carros corriam, corriam, corriam.</p><p>b. O aluno finge que lê, finge que ouve, finge que estuda.</p><p>Coerência textual é a relação que se estabelece entre as diversas</p><p>partes do texto, criando uma unidade de sentido. Está ligada ao en-</p><p>tendimento, à possibilidade de interpretação daquilo que se ouve ou</p><p>lê.</p><p>OBS: pode haver texto com a presença de elementos coesivos, e não</p><p>apresentar coerência.</p><p>Exemplo:</p><p>O presidente George W.Bush está descontente com o grupo Talibã.</p><p>Estes eram estudantes da escola fundamentalista. Eles, hoje, governam o</p><p>afeganistão. Os afegãos apóiam o líder Osama Bin Laden. Este foi aliado</p><p>dos Estados Unidos quando da invasão da União Soviética ao Afeganistão.</p><p>Comentário:</p><p>Ninguém pode dizer que falta coesão a este parágrafo. Mas de que se</p><p>trata mesmo? Do descontentamento do presidente dos Estados Unidos? Do</p><p>grupo Talibã? Do povo Afegão?</p><p>Do Osama Bin Laden? Embora o parágrafo tenha coesão, não apre-</p><p>senta coerência, entendimento.</p><p>Pode ainda um texto apresentar coerência, e não apresentar elementos</p><p>coesivos. Veja o texto seguinte:</p><p>Como se conjuga um empresário</p><p>Mino</p><p>“Acordou. Levantou-se. Aprontou-se. Lavou-se. Barbeou-se. Enxugou-</p><p>se. Perfumou-se. Lanchou. Escovou. Abraçou. Saiu. Entrou. Cumprimen-</p><p>tou. Orientou. Controlou. Advertiu. Chegou. Desceu. Subiu. Entrou. Cum-</p><p>primentou. Assentou-se. Preparou-se. Examinou. Leu. Convocou. Leu.</p><p>Comentou. Interrompeu. Leu. Despachou. Vendeu. Vendeu. Ganhou.</p><p>Ganhou. Ganhou. Lucrou. Lucrou. Lucrou. Lesou. Explorou. Escondeu.</p><p>Burlou. Safou-se. Comprou. Vendeu. Assinou. Sacou. Depositou. Deposi-</p><p>tou. Associou-se. Vendeu-se. Entregou. Sacou. Depositou. Despachou.</p><p>Repreendeu. Suspendeu. Demitiu. Negou. Explorou. Desconfiou. Vigiou.</p><p>Ordenou. Telefonou. Despachou. Esperou. Chegou. Vendeu. Lucrou.</p><p>Lesou. Demitiu. Convocou. Elogiou. Bolinou. Estimulou. Beijou. Convidou.</p><p>Saiu. Chegou. Despiu-se. Abraçou. Deitou-se. Mexeu. Gemeu. Fungou.</p><p>Babou. Antecipou. Frustrou. Virou-se. Relaxou-se. Envergonhou-se. Pre-</p><p>senteou. Saiu. Despiu-se. Dirigiu-se. Chegou. Beijou. Negou. Lamentou.</p><p>Justificou-se. Dormiu. Roncou. Sonhou. Sobressaltou-se. Acordou. Preocu-</p><p>pou-se. Temeu. Suou. Ansiou. Tentou. Despertou. Insistiu. Irritou-se. Te-</p><p>meu. Levantou. Apanhou. Rasgou. Engoliu. Bebeu. Dormiu. Dormiu. Dor-</p><p>miu. Dormiu. Acordou. Levantou-se. Aprontou-se... Comentário:</p><p>O texto nos mostra o dia-a-dia de um empresário qualquer. A estrutura</p><p>textual – somente verbos – não apresenta elementos coesivos; o que se</p><p>encontra são relações de sentido, isto é, o texto retrata a visão do seu</p><p>autor, no caso, a de que todo empresário é calculista e desonesto.</p><p>Há palavras e expressões que garantem transições bem feitas e que</p><p>estabelecem relações lógicas entre as diferentes ideias apresentadas no</p><p>texto. Fonte: UNINOVE</p><p>ESTRUTURAÇÃO E ARTICULAÇÃO DO TEXTO</p><p>Resenha Critica de Articulação do Texto</p><p>Amanda Alves Martins</p><p>Resenha Crítica do livro A Articulação do Texto, da autora Elisa Guima-</p><p>rães</p><p>No livro de Elisa Guimarães,</p><p>A Articulação do Texto, a autora procura</p><p>esclarecer as dúvidas referentes à formação e à compreensão de um texto</p><p>e do seu contexto.</p><p>Formado por unidades coordenadas, ou seja, interligadas entre si, o</p><p>texto constitui, portanto, uma unidade comunicativa para os membros de</p><p>uma comunidade; nele, existe um conjunto de fatores indispensáveis para a</p><p>sua construção, como “as intenções do falante (emissor), o jogo de ima-</p><p>gens conceituais, mentais que o emissor e destinatário executam.”(Manuel</p><p>P. Ribeiro, 2004, p.397). Somado à isso, um texto não pode existir de forma</p><p>única e sozinha, pois depende dos outros tanto sintaticamente quanto</p><p>semanticamente para que haja um entendimento e uma compreensão</p><p>deste. Dentro de um texto, as partes que o formam se integram e se expli-</p><p>cam de forma recíproca.</p><p>Completando o processo de formação de um texto, a autora nos escla-</p><p>rece que a economia de linguagem facilita a compreensão dele, sendo</p><p>indispensável uma ligação entre as partes, mesmo havendo um corte de</p><p>trechos considerados não essenciais.</p><p>Quando o tema é a “situação comunicativa” (p.7), a autora nos esclare-</p><p>ce a relação texto X contexto, onde um é essencial para esclarecermos o</p><p>outro, utilizando-se de palavras que recebem diferentes significados con-</p><p>forme são inseridas em um determinado contexto; nos levando ao entendi-</p><p>mento de que não podemos considerar isoladamente os seus conceitos e</p><p>sim analisá-los de acordo com o contexto semântico ao qual está inserida.</p><p>Segundo Elisa Guimarães, o sentido da palavra texto estende-se a</p><p>uma enorme vastidão, podendo designar “um enunciado qualquer, oral ou</p><p>escrito, longo ou breve, antigo ou moderno” (p.14) e ao contrário do que</p><p>muitos podem pensar, um texto pode ser caracterizado como um fragmen-</p><p>to, uma frase, um verbo ect e não apenas na reunião destes com mais</p><p>algumas outras formas de enunciação; procurando sempre uma objetivida-</p><p>de para que a sua compreensão seja feita de forma fácil e clara.</p><p>Esta economia textual facilita no caminho de transmissão entre o enun-</p><p>ciador e o receptor do texto que procura condensar as informações recebi-</p><p>das a fim de se deter ao “núcleo informativo” (p.17), este sim, primordial a</p><p>qualquer informação.</p><p>A autora também apresenta diversas formas de classificação do discur-</p><p>so e do texto, porém, detenhamo-nos na divisão de texto informativo e de</p><p>um texto literário ou ficcional.</p><p>Analisando um texto, é possível percebermos que a repetição de um</p><p>nome/lexema, nos induz à lembrar de fatos já abordados, estimula a nossa</p><p>biblioteca mental e a informa da importância de tal nome, que dentro de um</p><p>contexto qualquer, ou seja que não fosse de um texto informacional, seria</p><p>apenas caracterizado como uma redundância desnecessária. Essa repeti-</p><p>ção é normalmente dada através de sinônimos ou “sinônimos perfeitos”</p><p>(p.30) que permitem a permutação destes nomes durante o texto sem que o</p><p>sentido original e desejado seja modificado.</p><p>Esta relação semântica presente nos textos ocorre devido às interpre-</p><p>tações feitas da realidade pelo interlocutor, que utiliza a chamada “semânti-</p><p>ca referencial” (p.31) para causar esta busca mental no receptor através de</p><p>palavras semanticamente semelhantes à que fora enunciada, porém, existe</p><p>ainda o que a autora denominou de “inexistência de sinônimo perfeito”</p><p>(p.30) que são sinônimos porém quando posto em substituição um ao outro</p><p>não geram uma coerência adequada ao entendimento.</p><p>Nesta relação de substituição por sinônimos, devemos ter cautela</p><p>quando formos usar os “hiperônimos” (p.32), ou até mesmo a “hiponímia”</p><p>(p.32) onde substitui-se a parte pelo todo, pois neste emaranhado de subs-</p><p>tituições pode-se causar desajustes e o resultado final não fazer com que a</p><p>imagem mental do leitor seja ativada de forma corretamente, e outra assimi-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 14</p><p>lação, errônea, pode ser utilizada.</p><p>Seguindo ainda neste linear das substituições, existem ainda as “nomi-</p><p>nações” e a “elipse”, onde na primeira, o sentido inicialmente expresso por</p><p>um verbo é substituído por um nome, ou seja, um substantivo; e, enquanto</p><p>na segunda, ou seja, na elipse, o substituto é nulo e marcado pela flexão</p><p>verbal; como podemos perceber no seguinte exemplo retirado do livro de</p><p>Elisa Guimarães:</p><p>“Louve-se nos mineiros, em primeiro lugar, a sua presença suave. Mil</p><p>deles não causam o incômodo de dez cearenses.</p><p>__Não grita, ___ não empurram< ___ não seguram o braço da gente,</p><p>___ não impõem suas opiniões. Para os importunos inventaram eles uma</p><p>palavra maravilhosamente definidora e que traduz bem a sua antipatia para</p><p>essa casta de gente (...)” (Rachel de Queiroz. Mineiros. In: Cem crônicas</p><p>escolhidas. Rio de Janeiros, José Olympio, 1958, p.82).</p><p>Porém é preciso especificar que para que haja a elipse o termo elíptico</p><p>deve estar perfeitamente claro no contexto. Este conceito e os demais já</p><p>ditos anteriormente são primordiais para a compreensão e produção textu-</p><p>al, uma vez que contribuem para a economia de linguagem, fator de grande</p><p>valor para tais feitos.</p><p>Ao abordar os conceitos de coesão e coerência, a autora procura pri-</p><p>meiramente retomar a noção de que a construção do texto é feita através</p><p>de “referentes linguísticos” (p.38) que geram um conjunto de frases que irão</p><p>constituir uma “microestrutura do texto” (p.38) que se articula com a estrutu-</p><p>ra semântica geral. Porém, a dificuldade de se separar a coesão da coe-</p><p>rência está no fato daquela está inserida nesta, formando uma linha de</p><p>raciocínio de fácil compreensão, no entanto, quando ocorre uma incoerên-</p><p>cia textual, decorrente da incompatibilidade e não exatidão do que foi</p><p>escrito, o leitor também é capaz de entender devido a sua fácil compreen-</p><p>são apesar da má articulação do texto.</p><p>A coerência de um texto não é dada apenas pela boa interligação entre</p><p>as suas frases, mas também porque entre estas existe a influência da</p><p>coerência textual, o que nos ajuda a concluir que a coesão, na verdade, é</p><p>efeito da coerência. Como observamos em Nova Gramática Aplicada da</p><p>Língua Portuguesa de Manoel P. Ribeiro (2004, 14ed):</p><p>A coesão e a coerência trazem a característica de promover a inter-</p><p>relação semântica entre os elementos do discurso, respondendo pelo que</p><p>chamamos de conectividade textual. “A coerência diz respeito ao nexo</p><p>entre os conceitos; e a coesão, à expressão desse nexo no plano linguísti-</p><p>co” (VAL, Maria das Graças Costa. Redação e textualidade, 1991, p.7)</p><p>No capítulo que diz respeito às noções de estrutura, Elisa Guimarães,</p><p>busca ressaltar o nível sintático representado pelas coordenações e subor-</p><p>dinações que fixam relações de “equivalência” ou “hierarquia” respectiva-</p><p>mente.</p><p>Um fato importante dentro do livro A Articulação do Texto, é o valor atribuí-</p><p>do às estruturas integrantes do texto, como o título, o parágrafo, as inter e</p><p>intrapartes, o início e o fim e também, as superestruturas.</p><p>O título funciona como estratégica de articulação do texto podendo de-</p><p>sempenhar papéis que resumam os seus pontos primordiais, como tam-</p><p>bém, podem ser desvendados no decorrer da leitura do texto.</p><p>Os parágrafos esquematizam o raciocínio do escritos, como enuncia</p><p>Othon Moacir Garcia:</p><p>“O parágrafo facilita ao escritor a tarefa de isolar e depois ajustar con-</p><p>venientemente as ideias principais da sua composição, permitindo ao leitor</p><p>acompanhar-lhes o desenvolvimento nos seus diferentes estágios”.</p><p>É bom relembrar, que dentro do parágrafo encontraremos o chamado</p><p>tópico frasal, que resumirá a principal ideia do parágrafo no qual esta</p><p>inserido; e também encontraremos, segundo a autora, dez diferentes tipos</p><p>de parágrafo, cada qual</p><p>com um ponto de vista específico.</p><p>No que diz respeito ao tópico Inicio e fim, Elisa Guimarães preferiu</p><p>abordá-los de forma mútua já que um é consequência ou decorrência do</p><p>outro; ficando a organização da narrativa com uma forma de estrutura</p><p>clássica e seguindo uma linha sequencial já esperada pelo leitor, onde o</p><p>início alimenta a esperança de como virá a ser o texto, enquanto que o fim</p><p>exercer uma função de dar um destaque maior ao fechamento do texto, o</p><p>que também, alimenta a imaginação tanto do leito, quanto do próprio autor.</p><p>No geral, o que diz respeito ao livro A Articulação do Texto de Elisa</p><p>Guimarães, ele nos trás um grande número de informações e novos concei-</p><p>tos em relação à produção e compreensão textual, no entanto, essa grande</p><p>leva de informações muitas vezes se tornam confusas e acabam por des-</p><p>prenderem-se uma das outras, quebrando a linearidade de todo o texto e</p><p>dificultando o entendimento teórico.</p><p>A REFERENCIAÇÃO / OS REFERENTES / COERÊNCIA E COESÃO</p><p>A fala e também o texto escrito constituem-se não apenas numa se-</p><p>quência de palavras ou de frases. A sucessão de coisas ditas ou escritas</p><p>forma uma cadeia que vai muito além da simples sequencialidade: há um</p><p>entrelaçamento significativo que aproxima as partes formadoras do texto</p><p>falado ou escrito. Os mecanismos linguísticos que estabelecem a conectivi-</p><p>dade e a retomada e garantem a coesão são os referentes textuais. Cada</p><p>uma das coisas ditas estabelece relações de sentido e significado tanto</p><p>com os elementos que a antecedem como com os que a sucedem, constru-</p><p>indo uma cadeia textual significativa. Essa coesão, que dá unidade ao</p><p>texto, vai sendo construída e se evidencia pelo emprego de diferentes</p><p>procedimentos, tanto no campo do léxico, como no da gramática. (Não</p><p>esqueçamos que, num texto, não existem ou não deveriam existir elemen-</p><p>tos dispensáveis. Os elementos constitutivos vão construindo o texto, e são</p><p>as articulações entre vocábulos, entre as partes de uma oração, entre as</p><p>orações e entre os parágrafos que determinam a referenciação, os contatos</p><p>e conexões e estabelecem sentido ao todo.)</p><p>Atenção especial concentram os procedimentos que garantem ao texto</p><p>coesão e coerência. São esses procedimentos que desenvolvem a dinâ-</p><p>mica articuladora e garantem a progressão textual.</p><p>A coesão é a manifestação linguística da coerência e se realiza nas</p><p>relações entre elementos sucessivos (artigos, pronomes adjetivos, adjetivos</p><p>em relação aos substantivos; formas verbais em relação aos sujeitos;</p><p>tempos verbais nas relações espaço-temporais constitutivas do texto etc.),</p><p>na organização de períodos, de parágrafos, das partes do todo, como</p><p>formadoras de uma cadeia de sentido capaz de apresentar e desenvolver</p><p>um tema ou as unidades de um texto. Construída com os mecanismos</p><p>gramaticais e lexicais, confere unidade formal ao texto.</p><p>1. Considere-se, inicialmente, a coesão apoiada no léxico. Ela pode</p><p>dar-se pela reiteração, pela substituição e pela associação.</p><p>É garantida com o emprego de:</p><p>• enlaces semânticos de frases por meio da repetição. A mensa-</p><p>gem-tema do texto apoiada na conexão de elementos léxicos su-</p><p>cessivos pode dar-se por simples iteração (repetição). Cabe, nesse</p><p>caso, fazer-se a diferenciação entre a simples redundância resul-</p><p>tado da pobreza de vocabulário e o emprego de repetições como</p><p>recurso estilístico, com intenção articulatória. Ex.: “As contas do</p><p>patrão eram diferentes, arranjadas a tinta e contra o vaqueiro, mas</p><p>Fabiano sabia que elas estavam erradas e o patrão queria enganá-</p><p>lo.Enganava.” Vidas secas, p. 143);</p><p>• substituição léxica, que se dá tanto pelo emprego de sinônimos</p><p>como de palavras quase sinônimas. Considerem-se aqui além</p><p>das palavras sinônimas, aquelas resultantes de famílias ideológi-</p><p>cas e do campo associativo, como, por exemplo, esvoaçar, revoar,</p><p>voar;</p><p>• hipônimos (relações de um termo específico com um termo de</p><p>sentido geral, ex.: gato, felino) e hiperônimos (relações de um</p><p>termo de sentido mais amplo com outros de sentido mais específi-</p><p>co, ex.: felino, gato);</p><p>• nominalizações (quando um fato, uma ocorrência, aparece em</p><p>forma de verbo e, mais adiante, reaparece como substantivo, ex.:</p><p>consertar, o conserto; viajar, a viagem). É preciso distinguir-se en-</p><p>tre nominalização estrita e. generalizações (ex.: o cão < o animal)</p><p>e especificações (ex.: planta > árvore > palmeira);</p><p>• substitutos universais (ex.: João trabalha muito. Também o faço.</p><p>O verbo fazer em substituição ao verbo trabalhar);</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 15</p><p>• enunciados que estabelecem a recapitulação da ideia global.</p><p>Ex.: O curral deserto, o chiqueiro das cabras arruinado e também</p><p>deserto, a casa do vaqueiro fechada, tudo anunciava abandono</p><p>(Vidas Secas, p.11). Esse enunciado é chamado de anáfora con-</p><p>ceptual. Todo um enunciado anterior e a ideia global que ele refere</p><p>são retomados por outro enunciado que os resume e/ou interpreta.</p><p>Com esse recurso, evitam-se as repetições e faz-se o discurso</p><p>avançar, mantendo-se sua unidade.</p><p>2. A coesão apoiada na gramática dá-se no uso de:</p><p>• certos pronomes (pessoais, adjetivos ou substantivos). Destacam-</p><p>se aqui os pronomes pessoais de terceira pessoa, empregados</p><p>como substitutos de elementos anteriormente presentes no texto,</p><p>diferentemente dos pronomes de 1ª e 2ª pessoa que se referem à</p><p>pessoa que fala e com quem esta fala.</p><p>• certos advérbios e expressões adverbiais;</p><p>• artigos;</p><p>• conjunções;</p><p>• numerais;</p><p>• elipses. A elipse se justifica quando, ao remeter a um enunciado</p><p>anterior, a palavra elidida é facilmente identificável (Ex.: O jovem</p><p>recolheu-se cedo. ... Sabia que ia necessitar de todas as suas for-</p><p>ças. O termo o jovem deixa de ser repetido e, assim, estabelece a</p><p>relação entre as duas orações.). É a própria ausência do termo que</p><p>marca a inter-relação. A identificação pode dar-se com o próprio</p><p>enunciado, como no exemplo anterior, ou com elementos extraver-</p><p>bais, exteriores ao enunciado. Vejam-se os avisos em lugares pú-</p><p>blicos (ex.: Perigo!) e as frases exclamativas, que remetem a uma</p><p>situação não-verbal. Nesse caso, a articulação se dá entre texto e</p><p>contexto (extratextual);</p><p>• as concordâncias;</p><p>• a correlação entre os tempos verbais.</p><p>Os dêiticos exercem, por excelência, essa função de progressão textu-</p><p>al, dada sua característica: são elementos que não significam, apenas</p><p>indicam, remetem aos componentes da situação comunicativa. Já os com-</p><p>ponentes concentram em si a significação. Referem os participantes do ato</p><p>de comunicação, o momento e o lugar da enunciação.</p><p>Elisa Guimarães ensina a respeito dos dêiticos:</p><p>Os pronomes pessoais e as desinências verbais indicam os participan-</p><p>tes do ato do discurso. Os pronomes demonstrativos, certas locuções</p><p>prepositivas e adverbiais, bem como os advérbios de tempo, referenciam o</p><p>momento da enunciação, podendo indicar simultaneidade, anterioridade ou</p><p>posterioridade. Assim: este, agora, hoje, neste momento (presente); ulti-</p><p>mamente, recentemente, ontem, há alguns dias, antes de (pretérito); de</p><p>agora em diante, no próximo ano, depois de (futuro).</p><p>Maria da Graça Costa Val lembra que “esses recursos expressam rela-</p><p>ções não só entre os elementos no interior de uma frase, mas também</p><p>entre frases e sequências de frases dentro de um texto”.</p><p>Não só a coesão explícita possibilita a compreensão de um texto. Mui-</p><p>tas vezes a comunicação se faz por meio de uma coesão implícita, apoia-</p><p>da no conhecimento mútuo anterior que os participantes do processo</p><p>comunicativo têm da língua.</p><p>A ligação lógica das ideias</p><p>Uma das características do texto é a organização sequencial dos ele-</p><p>mentos linguísticos que</p><p>o compõem, isto é, as relações de sentido que se</p><p>estabelecem entre as frases e os parágrafos que compõem um texto,</p><p>fazendo com que a interpretação de um elemento linguístico qualquer seja</p><p>dependente da de outro(s). Os principais fatores que determinam esse</p><p>encadeamento lógico são: a articulação, a referência, a substituição voca-</p><p>bular e a elipse.</p><p>ARTICULAÇÃO</p><p>Os articuladores (também chamados nexos ou conectores) são conjun-</p><p>ções, advérbios e preposições responsáveis pela ligação entre si dos fatos</p><p>denotados num texto, Eles exprimem os diferentes tipos de interdependên-</p><p>cia de sentido das frases no processo de sequencialização textual. As</p><p>ideias ou proposições podem se relacionar indicando causa, consequência,</p><p>finalidade, etc.</p><p>Ingressei na Faculdade a fim de ascender socialmente.</p><p>Ingressei na Faculdade porque pretendo ser biólogo.</p><p>Ingressei na Faculdade depois de ter-me casado.</p><p>É possível observar que os articuladores relacionam os argumentos di-</p><p>ferentemente. Podemos, inclusive, agrupá-los, conforme a relação que</p><p>estabelecem.</p><p>Relações de:</p><p>adição: os conectores articula sequencialmente frases cujos conteúdos</p><p>se adicionam a favor de uma mesma conclusão: e, também, não</p><p>só...como também, tanto...como, além de, além disso, ainda, nem.</p><p>Na maioria dos casos, as frases somadas não são permutáveis, isto é,</p><p>a ordem em que ocorrem os fatos descritos deve ser respeitada.</p><p>Ele entrou, dirigiu-se à escrivaninha e sentou-se.</p><p>alternância: os conteúdos alternativos das frases são articulados por</p><p>conectores como ou, ora...ora, seja...seja. O articulador ou pode expres-</p><p>sar inclusão ou exclusão.</p><p>Ele não sabe se conclui o curso ou abandona a Faculdade.</p><p>oposição: os conectores articulam sequencialmente frases cujos con-</p><p>teúdos se opõem. São articuladores de oposição: mas, porém, todavia,</p><p>entretanto, no entanto, não obstante, embora, apesar de (que), ainda</p><p>que, se bem que, mesmo que, etc.</p><p>O candidato foi aprovado, mas não fez a matrícula.</p><p>condicionalidade: essa relação é expressa pela combinação de duas</p><p>proposições: uma introduzida pelo articulador se ou caso e outra por então</p><p>(consequente), que pode vir implícito. Estabelece-se uma relação entre o</p><p>antecedente e o consequente, isto é, sendo o antecedente verdadeiro ou</p><p>possível, o consequente também o será.</p><p>Na relação de condicionalidade, estabelece-se, muitas vezes, uma</p><p>condição hipotética, isto é,, cria-se na proposição introduzida pelo articula-</p><p>dor se/caso uma hipótese que condicionará o que será dito na proposição</p><p>seguinte. Em geral, a proposição situa-se num tempo futuro.</p><p>Caso tenha férias, (então) viajarei para Buenos Aires.</p><p>causalidade: é expressa pela combinação de duas proposições, uma</p><p>das quais encerra a causa que acarreta a consequência expressa na outra.</p><p>Tal relação pode ser veiculada de diferentes formas:</p><p>Passei no vestibular porque estudei muito</p><p>visto que</p><p>já que</p><p>uma vez que</p><p>_________________ _____________________</p><p>consequência causa</p><p>Estudei tanto que passei no vestibular.</p><p>Estudei muito por isso passei no vestibular</p><p>_________________ ____________________</p><p>causa consequência</p><p>Como estudei passei no vestibular</p><p>Por ter estudado muito passei no vestibular</p><p>___________________ ___________________</p><p>causa consequência</p><p>finalidade: uma das proposições do período explicita o(s) meio(s) para</p><p>se atingir determinado fim expresso na outra. Os articuladores principais</p><p>são: para, afim de, para que.</p><p>Utilizo o automóvel a fim de facilitar minha vida.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 16</p><p>conformidade: essa relação expressa-se por meio de duas proposi-</p><p>ções, em que se mostra a conformidade de conteúdo de uma delas em</p><p>relação a algo afirmado na outra.</p><p>O aluno realizou a prova conforme o professor solicitara.</p><p>segundo</p><p>consoante</p><p>como</p><p>de acordo com a solicitação...</p><p>temporalidade: é a relação por meio da qual se localizam no tempo</p><p>ações, eventos ou estados de coisas do mundo real, expressas por meio de</p><p>duas proposições.</p><p>Quando</p><p>Mal</p><p>Logo que terminei o colégio, matriculei-me aqui.</p><p>Assim que</p><p>Depois que</p><p>No momento em que</p><p>Nem bem</p><p>a) concomitância de fatos: Enquanto todos se divertiam, ele estu-</p><p>dava com afinco.</p><p>Existe aqui uma simultaneidade entre os fatos descritos em cada</p><p>uma das proposições.</p><p>b) um tempo progressivo:</p><p>À proporção que os alunos terminavam a prova, iam se retirando.</p><p>• bar enchia de frequentadores à medida que a noite caía.</p><p>Conclusão: um enunciado introduzido por articuladores como portan-</p><p>to, logo, pois, então, por conseguinte, estabelece uma conclusão em</p><p>relação a algo dito no enunciado anterior:</p><p>Assistiu a todas as aulas e realizou com êxito todos os exercícios. Por-</p><p>tanto tem condições de se sair bem na prova.</p><p>É importante salientar que os articuladores conclusivos não se limitam</p><p>a articular frases. Eles podem articular parágrafos, capítulos.</p><p>Comparação: é estabelecida por articuladores : tanto (tão)...como,</p><p>tanto (tal)...como, tão ...quanto, mais ....(do) que, menos ....(do) que,</p><p>assim como.</p><p>Ele é tão competente quanto Alberto.</p><p>Explicação ou justificativa: os articuladores do tipo pois, que, por-</p><p>que introduzem uma justificativa ou explicação a algo já anteriormente</p><p>referido.</p><p>Não se preocupe que eu voltarei</p><p>pois</p><p>porque</p><p>As pausas</p><p>Os articuladores são, muitas vezes, substituídos por “pausas” (marca-</p><p>das por dois pontos, vírgula, ponto final na escrita). Que podem assinalar</p><p>tipos de relações diferentes.</p><p>Compramos tudo pela manhã: à tarde pretendemos viajar. (causalida-</p><p>de)</p><p>Não fique triste. As coisas se resolverão. (justificativa)</p><p>Ela estava bastante tranquila eu tinha os nervos à flor da pele. ( oposi-</p><p>ção)</p><p>Não estive presente à cerimônia. Não posso descrevê-la. (conclusão)</p><p>http://www.seaac.com.br/</p><p>A análise de expressões referenciais é fundamental na interpretação do</p><p>discurso. A identificação de expressões correferentes é importante em</p><p>diversas aplicações de Processamento da Linguagem Natural. Expressões</p><p>referenciais podem ser usadas para introduzir entidades em um discurso ou</p><p>podem fazer referência a entidades já mencionadas,podendo fazer uso de</p><p>redução lexical.</p><p>Interpretar e produzir textos de qualidade são tarefas muito importantes</p><p>na formação do aluno. Para realizá-las de modo satisfatório, é essencial</p><p>saber identificar e utilizar os operadores sequenciais e argumentativos do</p><p>discurso. A linguagem é um ato intencional, o indivíduo faz escolhas quan-</p><p>do se pronuncia oralmente ou quando escreve. Para dar suporte a essas</p><p>escolhas, de modo a fazer com que suas opiniões sejam aceitas ou respei-</p><p>tadas, é fundamental lançar mão dos operadores que estabelecem ligações</p><p>(espécies de costuras) entre os diferentes elementos do discurso.</p><p>Autor e Narrador: Diferenças</p><p>Equipe Aprovação Vest</p><p>Qual é, afinal, a diferença entre Autor e Narrador? Existe uma diferença</p><p>enorme entre ambos.</p><p>Autor</p><p>É um homem do mundo: tem carteira de identidade, vai ao supermer-</p><p>cado, masca chiclete, eventualmente teve sarampo na infância e, mais</p><p>eventualmente ainda, pode até tocar trombone, piano, flauta transversal.</p><p>Paga imposto.</p><p>Narrador</p><p>É um ser intradiegético, ou seja, um ser que pertence à história que</p><p>está sendo narrada. Está claro que é um preposto do autor, mas isso não</p><p>significa que defenda nem compartilhe suas ideias.</p><p>Se assim fosse, Ma-</p><p>chado de Assis seria um crápula como Bentinho ou um bígamo, porque,</p><p>casado com Carolina Xavier de Novais, casou-se também com Capitu, foi</p><p>amante de Virgília e de um sem-número de mulheres que permeiam seus</p><p>contos e romances.</p><p>O narrador passa a existir a partir do instante que se abre o livro e ele,</p><p>em primeira ou terceira pessoa, nos conta a história que o livro guarda.</p><p>Confundir narrador e autor é fazer a loucura de imaginar que, morto o autor,</p><p>todos os seus narradores morreriam junto com ele e que, portanto, não</p><p>disporíamos mais de nenhuma narrativa dele.</p><p>GÊNEROS TEXTUAIS</p><p>Gêneros textuais são tipos específicos de textos de qualquer natureza,</p><p>literários ou não. Modalidades discursivas constituem as estruturas e as</p><p>funções sociais (narrativas, dissertativas, argumentativas, procedimentais e</p><p>exortativas), utilizadas como formas de organizar a linguagem. Dessa</p><p>forma, podem ser considerados exemplos de gêneros textuais: anúncios,</p><p>convites, atas, avisos, programas de auditórios, bulas, cartas, comédias,</p><p>contos de fadas, convênios, crônicas, editoriais, ementas, ensaios, entrevis-</p><p>tas, circulares, contratos, decretos, discursos políticos</p><p>A diferença entre Gênero Textual e Tipologia Textual é, no meu en-</p><p>tender, importante para direcionar o trabalho do professor de língua na</p><p>leitura, compreensão e produção de textos1. O que pretendemos neste</p><p>pequeno ensaio é apresentar algumas considerações sobre Gênero Tex-</p><p>tual e Tipologia Textual, usando, para isso, as considerações feitas por</p><p>Marcuschi (2002) e Travaglia (2002), que faz apontamentos questionáveis</p><p>para o termo Tipologia Textual. No final, apresento minhas considerações</p><p>a respeito de minha escolha pelo gênero ou pela tipologia.</p><p>Convém afirmar que acredito que o trabalho com a leitura, compreen-</p><p>são e a produção escrita em Língua Materna deve ter como meta primordial</p><p>o desenvolvimento no aluno de habilidades que façam com que ele tenha</p><p>capacidade de usar um número sempre maior de recursos da língua para</p><p>produzir efeitos de sentido de forma adequada a cada situação específica</p><p>de interação humana.</p><p>Luiz Antônio Marcuschi (UFPE) defende o trabalho com textos na esco-</p><p>la a partir da abordagem do Gênero Textual Marcuschi não demonstra</p><p>favorabilidade ao trabalho com a Tipologia Textual, uma vez que, para ele,</p><p>o trabalho fica limitado, trazendo para o ensino alguns problemas, uma vez</p><p>que não é possível, por exemplo, ensinar narrativa em geral, porque, embo-</p><p>ra possamos classificar vários textos como sendo narrativos, eles se con-</p><p>cretizam em formas diferentes – gêneros – que possuem diferenças especí-</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 17</p><p>ficas.</p><p>Por outro lado, autores como Luiz Carlos Travaglia (UFUberlândia/MG)</p><p>defendem o trabalho com a Tipologia Textual. Para o autor, sendo os</p><p>textos de diferentes tipos, eles se instauram devido à existência de diferen-</p><p>tes modos de interação ou interlocução. O trabalho com o texto e com os</p><p>diferentes tipos de texto é fundamental para o desenvolvimento da compe-</p><p>tência comunicativa. De acordo com as ideias do autor, cada tipo de texto é</p><p>apropriado para um tipo de interação específica. Deixar o aluno restrito a</p><p>apenas alguns tipos de texto é fazer com que ele só tenha recursos para</p><p>atuar comunicativamente em alguns casos, tornando-se incapaz, ou pouco</p><p>capaz, em outros. Certamente, o professor teria que fazer uma espécie de</p><p>levantamento de quais tipos seriam mais necessários para os alunos, para,</p><p>a partir daí, iniciar o trabalho com esses tipos mais necessários.</p><p>Marcuschi afirma que os livros didáticos trazem, de maneira equivoca-</p><p>da, o termo tipo de texto. Na verdade, para ele, não se trata de tipo de</p><p>texto, mas de gênero de texto. O autor diz que não é correto afirmar que a</p><p>carta pessoal, por exemplo, é um tipo de texto como fazem os livros. Ele</p><p>atesta que a carta pessoal é um Gênero Textual.</p><p>O autor diz que em todos os gêneros os tipos se realizam, ocorrendo,</p><p>muitas das vezes, o mesmo gênero sendo realizado em dois ou mais tipos.</p><p>Ele apresenta uma carta pessoal3 como exemplo, e comenta que ela pode</p><p>apresentar as tipologias descrição, injunção, exposição, narração e argu-</p><p>mentação. Ele chama essa miscelânea de tipos presentes em um gênero</p><p>de heterogeneidade tipológica.</p><p>Travaglia (2002) fala em conjugação tipológica. Para ele, dificilmente</p><p>são encontrados tipos puros. Realmente é raro um tipo puro. Num texto</p><p>como a bula de remédio, por exemplo, que para Fávero & Koch (1987) é</p><p>um texto injuntivo, tem-se a presença de várias tipologias, como a descri-</p><p>ção, a injunção e a predição. Travaglia afirma que um texto se define como</p><p>de um tipo por uma questão de dominância, em função do tipo de interlocu-</p><p>ção que se pretende estabelecer e que se estabelece, e não em função do</p><p>espaço ocupado por um tipo na constituição desse texto.</p><p>Quando acontece o fenômeno de um texto ter aspecto de um gênero</p><p>mas ter sido construído em outro, Marcuschi dá o nome de intertextuali-</p><p>dade intergêneros. Ele explica dizendo que isso acontece porque ocorreu</p><p>no texto a configuração de uma estrutura intergêneros de natureza altamen-</p><p>te híbrida, sendo que um gênero assume a função de outro.</p><p>Travaglia não fala de intertextualidade intergêneros, mas fala de um</p><p>intercâmbio de tipos. Explicando, ele afirma que um tipo pode ser usado</p><p>no lugar de outro tipo, criando determinados efeitos de sentido impossíveis,</p><p>na opinião do autor, com outro dado tipo. Para exemplificar, ele fala de</p><p>descrições e comentários dissertativos feitos por meio da narração.</p><p>Resumindo esse ponto, Marcuschi traz a seguinte configuração teórica:</p><p>• intertextualidade intergêneros = um gênero com a função de outro</p><p>• heterogeneidade tipológica = um gênero com a presença de vários</p><p>tipos</p><p>Travaglia mostra o seguinte:</p><p>• conjugação tipológica = um texto apresenta vários tipos</p><p>• intercâmbio de tipos = um tipo usado no lugar de outro</p><p>Aspecto interessante a se observar é que Marcuschi afirma que os gê-</p><p>neros não são entidades naturais, mas artefatos culturais construídos</p><p>historicamente pelo ser humano. Um gênero, para ele, pode não ter uma</p><p>determinada propriedade e ainda continuar sendo aquele gênero. Para</p><p>exemplificar, o autor fala, mais uma vez, da carta pessoal. Mesmo que o</p><p>autor da carta não tenha assinado o nome no final, ela continuará sendo</p><p>carta, graças as suas propriedades necessárias e suficientes .Ele diz, ainda,</p><p>que uma publicidade pode ter o formato de um poema ou de uma lista de</p><p>produtos em oferta. O que importa é que esteja fazendo divulgação de</p><p>produtos, estimulando a compra por parte de clientes ou usuários daquele</p><p>produto.</p><p>Para Marcuschi, Tipologia Textual é um termo que deve ser usado pa-</p><p>ra designar uma espécie de sequência teoricamente definida pela natureza</p><p>linguística de sua composição. Em geral, os tipos textuais abrangem as</p><p>categorias narração, argumentação, exposição, descrição e injunção (Swa-</p><p>les, 1990; Adam, 1990; Bronckart, 1999). Segundo ele, o termo Tipologia</p><p>Textual é usado para designar uma espécie de sequência teoricamente</p><p>definida pela natureza linguística de sua composição (aspectos lexicais,</p><p>sintáticos, tempos verbais, relações lógicas) (p. 22).</p><p>Gênero Textual é definido pelo autor como uma noção vaga para os</p><p>textos materializados encontrados no dia-a-dia e que apresentam caracte-</p><p>rísticas sócio-comunicativas definidas pelos conteúdos, propriedades</p><p>funcionais, estilo e composição característica.</p><p>Travaglia define Tipologia Textual como aquilo que pode instaurar um</p><p>modo de interação, uma maneira de interlocução, segundo perspectivas</p><p>que podem variar. Essas perspectivas</p><p>anteriormente</p><p>(união do conjunto dos racionais com os irracionais).</p><p>Representado pela letra R.</p><p>Representação geométrica de</p><p>A cada ponto de uma reta podemos associar um único</p><p>número real, e a cada número real podemos associar um</p><p>único ponto na reta.</p><p>Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois nú-</p><p>meros reais existem infinitos números reais (ou seja, na reta,</p><p>entre dois pontos associados a dois números reais, existem</p><p>infinitos pontos).</p><p>Veja a representação na reta de :</p><p>Fonte:</p><p>http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-</p><p>numericos/</p><p>CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)</p><p>ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO</p><p>Veja a operação: 2 + 3 = 5 .</p><p>A operação efetuada chama-se adição e é indicada es-</p><p>crevendo-se o sinal + (lê-se: “mais") entre os números.</p><p>Os números 2 e 3 são chamados parcelas. 0 número 5,</p><p>resultado da operação, é chamado soma.</p><p>2 → parcela</p><p>+ 3 → parcela</p><p>5 → soma</p><p>A adição de três ou mais parcelas pode ser efetuada adi-</p><p>cionando-se o terceiro número à soma dos dois primeiros ; o</p><p>quarto número à soma dos três primeiros e assim por diante.</p><p>3 + 2 + 6 =</p><p>5 + 6 = 11</p><p>Veja agora outra operação: 7 – 3 = 4</p><p>Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realiza-</p><p>mos a operação de subtração, que indicamos pelo sinal - .</p><p>7 → minuendo</p><p>– 3 → subtraendo</p><p>4 → resto ou diferença</p><p>0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o subcon-</p><p>junto que se tira e o resto ou diferença o conjunto que sobra.</p><p>Somando a diferença com o subtraendo obtemos o minu-</p><p>endo. Dessa forma tiramos a prova da subtração.</p><p>4 + 3 = 7</p><p>EXPRESSÕES NUMÉRICAS</p><p>Para calcular o valor de uma expressão numérica envol-</p><p>vendo adição e subtração, efetuamos essas operações na</p><p>ordem em que elas aparecem na expressão.</p><p>Exemplos: 35 – 18 + 13 =</p><p>17 + 13 = 30</p><p>Veja outro exemplo: 47 + 35 – 42 – 15 =</p><p>82 – 42 – 15=</p><p>40 – 15 = 25</p><p>Quando uma expressão numérica contiver os sinais de</p><p>parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procederemos do</p><p>seguinte modo:</p><p>1º Efetuamos as operações indicadas dentro dos parên-</p><p>teses;</p><p>2º efetuamos as operações indicadas dentro dos colche-</p><p>tes;</p><p>3º efetuamos as operações indicadas dentro das chaves.</p><p>1) 35 +[ 80 – (42 + 11) ] =</p><p>= 35 + [ 80 – 53] =</p><p>= 35 + 27 = 62</p><p>2) 18 + { 72 – [ 43 + (35 – 28 + 13) ] } =</p><p>= 18 + { 72 – [ 43 + 20 ] } =</p><p>= 18 + { 72 – 63} =</p><p>= 18 + 9 = 27</p><p>CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO</p><p>Quando pretendemos determinar um número natural em</p><p>certos tipos de problemas, procedemos do seguinte modo:</p><p>- chamamos o número (desconhecido) de x ou qualquer</p><p>outra incógnita ( letra )</p><p>- escrevemos a igualdade correspondente</p><p>- calculamos o seu valor</p><p>Exemplos:</p><p>1) Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31?</p><p>Solução:</p><p>Seja x o número desconhecido. A igualdade correspon-</p><p>dente será:</p><p>x + 15 = 31</p><p>Calculando o valor de x temos:</p><p>x + 15 = 31</p><p>x + 15 – 15 = 31 – 15</p><p>x = 31 – 15</p><p>x = 16</p><p>Na prática , quando um número passa de um lado para</p><p>outro da igualdade ele muda de sinal.</p><p>2) Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11. Qual é</p><p>esse número?</p><p>Solução:</p><p>Seja x o número desconhecido. A igualdade correspon-</p><p>dente será:</p><p>x – 25 = 11</p><p>x = 11 + 25</p><p>x = 36</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 7</p><p>Passamos o número 25 para o outro lado da igualdade e</p><p>com isso ele mudou de sinal.</p><p>3) Qual o número natural que, adicionado a 8, é igual a</p><p>20?</p><p>Solução:</p><p>x + 8 = 20</p><p>x = 20 – 8</p><p>x = 12</p><p>4) Determine o número natural do qual, subtraindo 62, ob-</p><p>temos 43.</p><p>Solução:</p><p>x – 62 = 43</p><p>x = 43 + 62</p><p>x = 105</p><p>Para sabermos se o problema está correto é simples, bas-</p><p>ta substituir o x pelo valor encontrado e realizarmos a opera-</p><p>ção. No último exemplo temos:</p><p>x = 105</p><p>105 – 62 = 43</p><p>MULTIPLICAÇÃO</p><p>Observe: 4 X 3 =12</p><p>A operação efetuada chama-se multiplicação e é indicada</p><p>escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os números.</p><p>Os números 3 e 4 são chamados fatores. O número 12,</p><p>resultado da operação, é chamado produto.</p><p>3 X 4 = 12</p><p>3 fatores</p><p>X 4</p><p>12 produto</p><p>Por convenção, dizemos que a multiplicação de qualquer</p><p>número por 1 é igual ao próprio número.</p><p>A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0.</p><p>A multiplicação de três ou mais fatores pode ser efetuada</p><p>multiplicando-se o terceiro número pelo produto dos dois</p><p>primeiros; o quarto numero pelo produto dos três primeiros; e</p><p>assim por diante.</p><p>3 x 4 x 2 x 5 =</p><p>12 x 2 x 5</p><p>24 x 5 = 120</p><p>EXPRESSÕES NUMÉRICAS</p><p>Sinais de associação</p><p>O valor das expressões numéricas envolvendo as opera-</p><p>ções de adição, subtração e multiplicação é obtido do seguin-</p><p>te modo:</p><p>- efetuamos as multiplicações</p><p>- efetuamos as adições e subtrações, na ordem em</p><p>que aparecem.</p><p>1) 3 . 4 + 5 . 8 – 2 . 9 =</p><p>=12 + 40 – 18</p><p>= 34</p><p>2) 9 . 6 – 4 . 12 + 7 . 2 =</p><p>= 54 – 48 + 14 =</p><p>= 20</p><p>Não se esqueça:</p><p>Se na expressão ocorrem sinais de parênteses colchetes</p><p>e chaves, efetuamos as operações na ordem em que apare-</p><p>cem:</p><p>1º) as que estão dentro dos parênteses</p><p>2º) as que estão dentro dos colchetes</p><p>3º) as que estão dentro das chaves.</p><p>Exemplo:</p><p>22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) – 3 . 7] – 8 . 9 }</p><p>= 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) – 21] – 72 } =</p><p>= 22 + { 12 + [ 84 – 21] – 72 } =</p><p>= 22 + { 12 + 63 – 72 } =</p><p>= 22 + 3 =</p><p>= 25</p><p>DIVISÃO</p><p>Observe a operação: 30 : 6 = 5</p><p>Também podemos representar a divisão das seguintes</p><p>maneiras:</p><p>30 6 ou 5</p><p>6</p><p>30</p><p>=</p><p>0 5</p><p>O dividendo (D) é o número de elementos do conjunto</p><p>que dividimos o divisor (d) é o número de elementos do sub-</p><p>conjunto pelo qual dividimos o dividendo e o quociente (c) é o</p><p>número de subconjuntos obtidos com a divisão.</p><p>Essa divisão é exata e é considerada a operação inversa</p><p>da multiplicação.</p><p>SE 30 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 30</p><p>observe agora esta outra divisão:</p><p>32 6</p><p>2 5</p><p>32 = dividendo</p><p>6 = divisor</p><p>5 = quociente</p><p>2 = resto</p><p>Essa divisão não é exata e é chamada divisão aproxima-</p><p>da.</p><p>ATENÇÃO:</p><p>1) Na divisão de números naturais, o quociente é sem-</p><p>pre menor ou igual ao dividendo.</p><p>2) O resto é sempre menor que o divisor.</p><p>3) O resto não pode ser igual ou maior que o divisor.</p><p>4) O resto é sempre da mesma espécie do dividendo.</p><p>Exemplo: dividindo-se laranjas por certo número, o</p><p>resto será laranjas.</p><p>5) É impossível dividir um número por 0 (zero), porque</p><p>não existe um número que multiplicado por 0 dê o</p><p>quociente da divisão.</p><p>PROBLEMAS</p><p>1) Determine um número natural que, multiplicado por</p><p>17, resulte 238.</p><p>X . 17 = 238</p><p>X = 238 : 17</p><p>X = 14</p><p>Prova: 14 . 17 = 238</p><p>2) Determine um número natural que, dividido por 62,</p><p>resulte 49.</p><p>x : 62 = 49</p><p>x = 49 . 62</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 8</p><p>x = 3038</p><p>3) Determine um número natural que, adicionado a</p><p>15, dê como resultado 32</p><p>x + 15 = 32</p><p>x = 32 – 15</p><p>x =17</p><p>4) Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obter-</p><p>mos 186?</p><p>x + 112 = 186</p><p>podem, segundo o autor, estar</p><p>ligadas ao produtor do texto em relação ao objeto do dizer quanto ao fa-</p><p>zer/acontecer, ou conhecer/saber, e quanto à inserção destes no tempo</p><p>e/ou no espaço. Pode ser possível a perspectiva do produtor do texto dada</p><p>pela imagem que o mesmo faz do receptor como alguém que concorda ou</p><p>não com o que ele diz. Surge, assim, o discurso da transformação, quando</p><p>o produtor vê o receptor como alguém que não concorda com ele. Se o</p><p>produtor vir o receptor como alguém que concorda com ele, surge o discur-</p><p>so da cumplicidade. Tem-se ainda, na opinião de Travaglia, uma perspecti-</p><p>va em que o produtor do texto faz uma antecipação no dizer. Da mesma</p><p>forma, é possível encontrar a perspectiva dada pela atitude comunicativa de</p><p>comprometimento ou não. Resumindo, cada uma das perspectivas apre-</p><p>sentadas pelo autor gerará um tipo de texto. Assim, a primeira perspectiva</p><p>faz surgir os tipos descrição, dissertação, injunção e narração. A segun-</p><p>da perspectiva faz com que surja o tipo argumentativo stricto sensu6 e</p><p>não argumentativo stricto sensu. A perspectiva da antecipação faz surgir</p><p>o tipo preditivo. A do comprometimento dá origem a textos do mundo</p><p>comentado (comprometimento) e do mundo narrado (não comprometi-</p><p>mento) (Weirinch, 1968). Os textos do mundo narrado seriam enquadrados,</p><p>de maneira geral, no tipo narração. Já os do mundo comentado ficariam no</p><p>tipo dissertação.</p><p>Travaglia diz que o Gênero Textual se caracteriza por exercer uma</p><p>função social específica. Para ele, estas funções sociais são pressentidas e</p><p>vivenciadas pelos usuários. Isso equivale dizer que, intuitivamente, sabe-</p><p>mos que gênero usar em momentos específicos de interação, de acordo</p><p>com a função social dele. Quando vamos escrever um e-mail, sabemos que</p><p>ele pode apresentar características que farão com que ele “funcione” de</p><p>maneira diferente. Assim, escrever um e-mail para um amigo não é o</p><p>mesmo que escrever um e-mail para uma universidade, pedindo informa-</p><p>ções sobre um concurso público, por exemplo.</p><p>Observamos que Travaglia dá ao gênero uma função social. Parece</p><p>que ele diferencia Tipologia Textual de Gênero Textual a partir dessa</p><p>“qualidade” que o gênero possui. Mas todo texto, independente de seu</p><p>gênero ou tipo, não exerce uma função social qualquer?</p><p>Marcuschi apresenta alguns exemplos de gêneros, mas não ressalta</p><p>sua função social. Os exemplos que ele traz são telefonema, sermão,</p><p>romance, bilhete, aula expositiva, reunião de condomínio, etc.</p><p>Já Travaglia, não só traz alguns exemplos de gêneros como mostra o</p><p>que, na sua opinião, seria a função social básica comum a cada um: aviso,</p><p>comunicado, edital, informação, informe, citação (todos com a função social</p><p>de dar conhecimento de algo a alguém). Certamente a carta e o e-mail</p><p>entrariam nessa lista, levando em consideração que o aviso pode ser dado</p><p>sob a forma de uma carta, e-mail ou ofício. Ele continua exemplificando</p><p>apresentando a petição, o memorial, o requerimento, o abaixo assinado</p><p>(com a função social de pedir, solicitar). Continuo colocando a carta, o e-</p><p>mail e o ofício aqui. Nota promissória, termo de compromisso e voto são</p><p>exemplos com a função de prometer. Para mim o voto não teria essa fun-</p><p>ção de prometer. Mas a função de confirmar a promessa de dar o voto a</p><p>alguém. Quando alguém vota, não promete nada, confirma a promessa de</p><p>votar que pode ter sido feita a um candidato.</p><p>Ele apresenta outros exemplos, mas por questão de espaço não colo-</p><p>carei todos. É bom notar que os exemplos dados por ele, mesmo os que</p><p>não foram mostrados aqui, apresentam função social formal, rígida. Ele não</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Língua Portuguesa A Opção Certa Para a Sua Realização 18</p><p>apresenta exemplos de gêneros que tenham uma função social menos</p><p>rígida, como o bilhete.</p><p>Uma discussão vista em Travaglia e não encontrada em Marcusch é a</p><p>de Espécie. Para ele, Espécie se define e se caracteriza por aspectos</p><p>formais de estrutura e de superfície linguística e/ou aspectos de conteúdo.</p><p>Ele exemplifica Espécie dizendo que existem duas pertencentes ao tipo</p><p>narrativo: a história e a não-história. Ainda do tipo narrativo, ele apresenta</p><p>as Espécies narrativa em prosa e narrativa em verso. No tipo descritivo ele</p><p>mostra as Espécies distintas objetiva x subjetiva, estática x dinâmica e</p><p>comentadora x narradora. Mudando para gênero, ele apresenta a corres-</p><p>pondência com as Espécies carta, telegrama, bilhete, ofício, etc. No gênero</p><p>romance, ele mostra as Espécies romance histórico, regionalista, fantásti-</p><p>co, de ficção científica, policial, erótico, etc. Não sei até que ponto a Espé-</p><p>cie daria conta de todos os Gêneros Textuais existentes. Será que é</p><p>possível especificar todas elas? Talvez seja difícil até mesmo porque não é</p><p>fácil dizer quantos e quais são os gêneros textuais existentes.</p><p>Se em Travaglia nota-se uma discussão teórica não percebida em Mar-</p><p>cuschi, o oposto também acontece. Este autor discute o conceito de Domí-</p><p>nio Discursivo. Ele diz que os domínios discursivos são as grandes esfe-</p><p>ras da atividade humana em que os textos circulam (p. 24). Segundo infor-</p><p>ma, esses domínios não seriam nem textos nem discursos, mas dariam</p><p>origem a discursos muito específicos. Constituiriam práticas discursivas</p><p>dentro das quais seria possível a identificação de um conjunto de gêneros</p><p>que às vezes lhes são próprios como práticas ou rotinas comunicativas</p><p>institucionalizadas. Como exemplo, ele fala do discurso jornalístico, discur-</p><p>so jurídico e discurso religioso. Cada uma dessas atividades, jornalística,</p><p>jurídica e religiosa, não abrange gêneros em particular, mas origina vários</p><p>deles.</p><p>Travaglia até fala do discurso jurídico e religioso, mas não como Mar-</p><p>cuschi. Ele cita esses discursos quando discute o que é para ele tipologia</p><p>de discurso. Assim, ele fala dos discursos citados mostrando que as tipolo-</p><p>gias de discurso usarão critérios ligados às condições de produção dos</p><p>discursos e às diversas formações discursivas em que podem estar inseri-</p><p>dos (Koch & Fávero, 1987, p. 3). Citando Koch & Fávero, o autor fala que</p><p>uma tipologia de discurso usaria critérios ligados à referência (institucional</p><p>(discurso político, religioso, jurídico), ideológica (discurso petista, de direita,</p><p>de esquerda, cristão, etc), a domínios de saber (discurso médico, linguísti-</p><p>co, filosófico, etc), à inter-relação entre elementos da exterioridade (discur-</p><p>so autoritário, polêmico, lúdico)). Marcuschi não faz alusão a uma tipologia</p><p>do discurso.</p><p>Semelhante opinião entre os dois autores citados é notada quando fa-</p><p>lam que texto e discurso não devem ser encarados como iguais. Marcus-</p><p>chi considera o texto como uma entidade concreta realizada materialmente</p><p>e corporificada em algum Gênero Textual [grifo meu] (p. 24). Discurso</p><p>para ele é aquilo que um texto produz ao se manifestar em alguma instân-</p><p>cia discursiva. O discurso se realiza nos textos (p. 24). Travaglia considera</p><p>o discurso como a própria atividade comunicativa, a própria atividade</p><p>produtora de sentidos para a interação comunicativa, regulada por uma</p><p>exterioridade sócio-histórica-ideológica (p. 03). Texto é o resultado dessa</p><p>atividade comunicativa. O texto, para ele, é visto como</p><p>uma unidade linguística concreta que é tomada pelos usuários da lín-</p><p>gua em uma situação de interação comunicativa específica, como uma</p><p>unidade de sentido e como preenchendo uma função comunicativa reco-</p><p>nhecível e reconhecida, independentemente de sua extensão (p. 03).</p><p>Travaglia afirma que distingue texto de discurso levando em conta que</p><p>sua preocupação é com a tipologia de textos, e não de discursos. Marcus-</p><p>chi afirma que a definição que traz de texto e discurso é muito mais opera-</p><p>cional do que formal.</p><p>x = 186 – 112</p><p>x = 74</p><p>5) Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos</p><p>81?</p><p>134 – x = 81</p><p>– x = 81 – 134</p><p>– x = – 53 (multiplicando por –1)</p><p>x = 53</p><p>Prova: 134 – 53 = 81</p><p>6) Ricardo pensou em um número natural, adicionou-</p><p>lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no resultado. Qual</p><p>o número pensado?</p><p>x + 35 – 18 = 40</p><p>x= 40 – 35 + 18</p><p>x = 23</p><p>Prova: 23 + 35 – 18 = 40</p><p>7) Adicionando 1 ao dobro de certo número obtemos</p><p>7. Qual é esse numero?</p><p>2 . x +1 = 7</p><p>2x = 7 – 1</p><p>2x = 6</p><p>x = 6 : 2</p><p>x = 3</p><p>O número procurado é 3.</p><p>Prova: 2. 3 +1 = 7</p><p>8) Subtraindo 12 do triplo de certo número obtemos</p><p>18. Determinar esse número.</p><p>3 . x -12 = 18</p><p>3 x = 18 + 12</p><p>3 x = 30</p><p>x = 30 : 3</p><p>x = 10</p><p>9) Dividindo 1736 por um número natural, encontra-</p><p>mos 56. Qual o valor deste numero natural?</p><p>1736 : x = 56</p><p>1736 = 56 . x</p><p>56 . x = 1736</p><p>x. 56 = 1736</p><p>x = 1736 : 56</p><p>x = 31</p><p>10) O dobro de um número é igual a 30. Qual é o nú-</p><p>mero?</p><p>2 . x = 30</p><p>2x = 30</p><p>x = 30 : 2</p><p>x = 15</p><p>11) O dobro de um número mais 4 é igual a 20. Qual é</p><p>o número ?</p><p>2 . x + 4 = 20</p><p>2 x = 20 – 4</p><p>2 x = 16</p><p>x = 16 : 2</p><p>x = 8</p><p>12) Paulo e José têm juntos 12 lápis. Paulo tem o do-</p><p>bro dos lápis de José. Quantos lápis tem cada me-</p><p>nino?</p><p>José: x</p><p>Paulo: 2x</p><p>Paulo e José: x + x + x = 12</p><p>3x = 12</p><p>x = 12 : 3</p><p>x = 4</p><p>José: 4 - Paulo: 8</p><p>13) A soma de dois números é 28. Um é o triplo do ou-</p><p>tro. Quais são esses números?</p><p>um número: x</p><p>o outro número: 3x</p><p>x + x + x + x = 28 (os dois números)</p><p>4 x = 28</p><p>x = 28 : 4</p><p>x = 7 (um número)</p><p>3x = 3 . 7 = 21 (o outro número).</p><p>Resposta: 7 e 21</p><p>14) Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. Mar-</p><p>celo tem 6 bolinhas a mais que Pedro. Quantas bo-</p><p>linhas tem cada um?</p><p>Pedro: x</p><p>Marcelo: x + 6</p><p>x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro)</p><p>2 x + 6 = 30</p><p>2 x = 30 – 6</p><p>2 x = 24</p><p>x = 24 : 2</p><p>x = 12 (Pedro)</p><p>Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18</p><p>EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS QUATRO</p><p>OPERAÇÕES</p><p>Sinais de associação:</p><p>O valor das expressões numéricas envolvendo as quatro</p><p>operações é obtido do seguinte modo:</p><p>- efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem</p><p>em que aparecem;</p><p>- efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em</p><p>que aparecem;</p><p>Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 =</p><p>= 45 + 4</p><p>= 49</p><p>Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 – 6 . 5 : 10 =</p><p>= 6 . 2 + 8 – 30 : 10 =</p><p>= 12 + 8 – 3 =</p><p>= 20 – 3</p><p>= 17</p><p>POTENCIAÇÃO</p><p>Considere a multiplicação: 2 . 2 . 2 em que os três</p><p>fatores são todos iguais a 2.</p><p>Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma 23 (lê-</p><p>se: dois elevado à terceira potência), em que o 2 é o fator que</p><p>se repete e o 3 corresponde à quantidade desses fatores.</p><p>Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores)</p><p>A operação realizada chama-se potenciação.</p><p>O número que se repete chama-se base.</p><p>O número que indica a quantidade de fatores iguais a ba-</p><p>se chama-se expoente.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 9</p><p>O resultado da operação chama-se potência.</p><p>2 3 = 8</p><p>3 expoente</p><p>base potência</p><p>Observações:</p><p>1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especiais de</p><p>quadrado e cubo, respectivamente.</p><p>2) As potências de base 0 são iguais a zero. 02 = 0 . 0</p><p>= 0</p><p>3) As potências de base um são iguais a um.</p><p>Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1</p><p>15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1</p><p>4) Por convenção, tem-se que:</p><p>- a potência de expoente zero é igual a 1 (a0 = 1, a</p><p>≠ 0)</p><p>30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1</p><p>- a potência de expoente um é igual à base (a1 = a)</p><p>21 = 2 ; 71 = 7 ; 1001 =100</p><p>PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS</p><p>1ª) para multiplicar potências de mesma base, conser-</p><p>va-se a base e adicionam-se os expoentes.</p><p>am . an = a m + n</p><p>Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310</p><p>5 . 5 6 = 51+6 = 57</p><p>2ª) para dividir potências de mesma base, conserva-se</p><p>a base e subtraem-se os expoentes.</p><p>am : an = am - n</p><p>Exemplos:</p><p>37 : 33 = 3 7 – 3 = 34</p><p>510 : 58 = 5 10 – 8 = 52</p><p>3ª) para elevar uma potência a um outro expoente, con-</p><p>serva-se base e multiplicam-se os expoentes.</p><p>Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38</p><p>4ª) para elevar um produto a um expoente, eleva-se ca-</p><p>da fator a esse expoente.</p><p>(a. b)m = am . bm</p><p>Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52</p><p>RADICIAÇÃO</p><p>Suponha que desejemos determinar um número que, ele-</p><p>vado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse número,</p><p>escrevemos: X2 = 9</p><p>De acordo com a potenciação, temos que x = 3, ou seja:</p><p>32 = 9</p><p>A operação que se realiza para determinar esse número 3</p><p>é chamada radiciação, que é a operação inversa da potenci-</p><p>ação.</p><p>Indica-se por:</p><p>392 = (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3)</p><p>Daí , escrevemos:</p><p>9339 22 =⇔=</p><p>Na expressão acima, temos que:</p><p>- o símbolo chama-se sinal da raiz</p><p>- o número 2 chama-se índice</p><p>- o número 9 chama-se radicando</p><p>- o número 3 chama-se raiz,</p><p>- o símbolo 2 9 chama-se radical</p><p>As raízes recebem denominações de acordo com o índi-</p><p>ce. Por exemplo:</p><p>2 36 raiz quadrada de 36</p><p>3 125 raiz cúbica de 125</p><p>4 81 raiz quarta de 81</p><p>5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante</p><p>No caso da raiz quadrada, convencionou-se não escrever</p><p>o índice 2.</p><p>Exemplo : 49 49 7 492 = = =, pois 72</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>01) Calcule:</p><p>a) 10 – 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 =</p><p>c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 – 3 =</p><p>e) 30 : 5 + 5 = f) 6 . 15 – 56 : 4 =</p><p>g) 63 : 9 . 2 – 2 = h) 56 – 34 : 17 . 19 =</p><p>i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 –12 : 4+1. 0 =</p><p>Respostas:</p><p>a) 8</p><p>c) 24</p><p>e) 11</p><p>g) 12</p><p>i) 8</p><p>b) 11</p><p>d) 60</p><p>f) 76</p><p>h) 18</p><p>j) 21</p><p>02) Calcule o valor das expressões:</p><p>a) 23 + 32 =</p><p>b) 3 . 52 – 72 =</p><p>c) 2 . 33 – 4. 23 =</p><p>d) 53 – 3 . 62 + 22 – 1 =</p><p>e) (2 + 3)2 + 2 . 34 – 152 : 5 =</p><p>f) 1 + 72 – 3 . 24 + (12 : 4)2 =</p><p>Respostas:</p><p>a) 17</p><p>c) 22</p><p>e) 142</p><p>b) 26</p><p>d) 20</p><p>f) 11</p><p>03) Uma indústria de automóveis produz, por dia, 1270</p><p>unidades. Se cada veículo comporta 5 pneus, quan-</p><p>tos pneus serão utilizados ao final de 30 dias? (Res-</p><p>posta: 190.500)</p><p>04) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é 12 e o resto</p><p>é 5. Qual é o dividendo? (113)</p><p>05) Numa divisão, o dividendo é 227, o divisor é 15 e o</p><p>resto é 2. Qual é o quociente? (15)</p><p>06) Numa divisão, o dividendo é 320, o quociente é 45 e</p><p>o resto é 5. Qual é o divisor? (7)</p><p>07) Num divisão, o dividendo é 625, o divisor é 25 e o</p><p>quociente é 25. Qual ê o resto? (0)</p><p>08) Numa chácara havia galinhas e cabras em igual</p><p>quantidade. Sabendo-se que o total de pés desses</p><p>animais era 90, qual o número de galinhas?</p><p>Resposta: 15 ( 2 pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 = 15).</p><p>09) O dobro de um número adicionado a 3 é igual a 13.</p><p>Calcule o número.(5)</p><p>10) Subtraindo 12 do quádruplo de um número obtemos</p><p>60. Qual é esse número (Resp: 18)</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 10</p><p>11) Num joguinho de "pega-varetas", André e Renato fi-</p><p>zeram 235 pontos no total. Renato fez 51 pontos a</p><p>mais que André. Quantos pontos fez cada um? ( An-</p><p>dré-92 e Renato-143)</p><p>12) Subtraindo 15 do triplo de um número obtemos 39.</p><p>Qual é o número? (18)</p><p>13) Distribuo 50 balas,</p><p>em iguais quantidades, a 3 ami-</p><p>gos. No final sobraram 2. Quantas balas coube a ca-</p><p>da um? (16)</p><p>14) A diferença entre dois números naturais é zero e a</p><p>sua soma é 30. Quais são esses números? (15)</p><p>15) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e</p><p>perde 3 pontos por exercício que erra. Ao final de 50</p><p>exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios acer-</p><p>tou? (35)</p><p>16) Um edifício tem 15 andares; cada andar, 30 salas;</p><p>cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada ga-</p><p>veta, 1 chave. Quantas chaves diferentes serão ne-</p><p>cessárias para abrir todas as gavetas? (2700).</p><p>17) Se eu tivesse 3 dúzias de balas a mais do que tenho,</p><p>daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas tenho real-</p><p>mente? (69)</p><p>18) A soma de dois números é 428 e a diferença entre</p><p>eles é 34. Qual é o número maior? (231)</p><p>19) Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo 31. Qual</p><p>é o número? (26)</p><p>20) Qual o número que multiplicado por 7 resulta 56? (8)</p><p>21) O dobro das balas que possuo mais 10 é 36. Quantas</p><p>balas possuo? (13).</p><p>22) Raul e Luís pescaram 18 peixinhos. Raul pescou</p><p>o dobro de Luís. Quanto pescou cada um? (Raul-12</p><p>e Luís-6)</p><p>PROBLEMAS</p><p>Vamos calcular o valor de x nos mais diversos casos:</p><p>1) x + 4 = 10</p><p>Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da</p><p>adição:</p><p>x = 10 – 4</p><p>x = 6</p><p>2) 5x = 20</p><p>Aplicando a operação inversa da multiplicação, temos:</p><p>x = 20 : 5</p><p>x = 4</p><p>3) x – 5 = 10</p><p>Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da</p><p>subtração:</p><p>x = 10 + 5</p><p>x =15</p><p>4) x : 2 = 4</p><p>Aplicando a operação inversa da divisão, temos:</p><p>x = 4 . 2</p><p>x = 8</p><p>COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PRO-</p><p>BLEMA</p><p>Usando a letra x para representar um número, podemos</p><p>expressar, em linguagem matemática, fatos e sentenças da</p><p>linguagem corrente referentes a esse número, observe:</p><p>- duas vezes o número 2 . x</p><p>- o número mais 2 x + 2</p><p>- a metade do número</p><p>2</p><p>x</p><p>- a soma do dobro com a metade do número</p><p>2</p><p>2</p><p>x</p><p>x +⋅</p><p>- a quarta parte do número</p><p>4</p><p>x</p><p>PROBLEMA 1</p><p>Vera e Paula têm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o triplo do</p><p>que tem Paula. Quanto tem cada uma?</p><p>Solução:</p><p>x + 3x = 1080</p><p>4x= 1080</p><p>x =1080 : 4</p><p>x= 270</p><p>3 . 270 = 810</p><p>Resposta: Vera – R$ 810,00 e Paula – R$ 270,00</p><p>PROBLEMA 2</p><p>Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta. Pagou</p><p>por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada um, sabendo-</p><p>se que a computador é seis vezes mais caro que a bicicle-</p><p>ta?</p><p>Solução:</p><p>x + 6x = 5600</p><p>7x = 5600</p><p>x = 5600 : 7</p><p>x = 800</p><p>6 . 800= 4800</p><p>R: computador – R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00</p><p>PROBLEMA 3</p><p>Repartir 21 cadernos entre José e suas duas irmãs, de</p><p>modo que cada menina receba o triplo do que recebe Jo-</p><p>sé. Quantos cadernos receberá José?</p><p>Solução:</p><p>x + 3x + 3x = 21</p><p>7x = 21</p><p>x = 21 : 7</p><p>x = 3</p><p>Resposta: 3 cadernos</p><p>PROBLEMA 4</p><p>Repartir R$ 2.100,00 entre três irmãos de modo que o 2º</p><p>receba o dobro do que recebe o 1º , e o 3º o dobro do que</p><p>recebe o 2º. Quanto receberá cada um?</p><p>Solução:</p><p>x + 2x + 4x = 2100</p><p>7x = 2100</p><p>x = 2100 : 7</p><p>x = 300</p><p>300 . 2 = 600</p><p>300 . 4 =1200</p><p>Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00</p><p>PROBLEMA 5</p><p>A soma das idades de duas pessoas é 40 anos. A idade</p><p>de uma é o triplo da idade da outra. Qual a idade de cada</p><p>uma?</p><p>Solução:</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 11</p><p>3x + x = 40</p><p>4x = 40</p><p>x = 40 : 4</p><p>x = 10</p><p>3 . 10 = 30</p><p>Resposta: 10 e 30 anos.</p><p>PROBLEMA 6</p><p>A soma das nossas idades é 45 anos. Eu sou 5 anos mais</p><p>velho que você. Quantos anos eu tenho?</p><p>x + x + 5 = 45</p><p>x + x= 45 – 5</p><p>2x = 40</p><p>x = 20</p><p>20 + 5 = 25</p><p>Resposta: 25 anos</p><p>PROBLEMA 7</p><p>Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha. Quanto</p><p>pagamos por elas, se ambas custaram R$ 150,00?</p><p>Solução:</p><p>x + x – 10= 150</p><p>2x = 150 + 10</p><p>2x = 160</p><p>x = 160 : 2</p><p>x = 80</p><p>80 – 10 = 70</p><p>Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00</p><p>PROBLEMA 8</p><p>José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto quanto</p><p>os dois anteriores juntos. Quanto tem cada um, se os três</p><p>juntos possuem R$ 624,00?</p><p>Solução: x + 2x + x + 2x = 624</p><p>6x = 624</p><p>x = 624 : 6</p><p>x = 104</p><p>Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00</p><p>PROBLEMA 9</p><p>Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia dar a</p><p>você 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas rosas tenho?</p><p>Solução: x + 4 – 7 = 2</p><p>x + 4 = 7 + 2</p><p>x + 4 = 9</p><p>x = 9 – 4</p><p>x = 5</p><p>Resposta: 5</p><p>CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)</p><p>Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N = {0,</p><p>1, 2, 3, 4, 5, .....,}</p><p>Assim, os números precedidos do sinal + chamam-se</p><p>positivos, e os precedidos de - são negativos.</p><p>Exemplos:</p><p>Números inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....}</p><p>Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....}</p><p>O conjunto dos números inteiros relativos é formado pelos</p><p>números inteiros positivos, pelo zero e pelos números inteiros</p><p>negativos. Também o chamamos de CONJUNTO DOS NÚ-</p><p>MEROS INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto é: Z =</p><p>{..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }</p><p>O zero não é um número positivo nem negativo. Todo</p><p>número positivo é escrito sem o seu sinal positivo.</p><p>Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10</p><p>Então, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 , 1,</p><p>2, 3, ...}</p><p>N é um subconjunto de Z.</p><p>REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA</p><p>Cada número inteiro pode ser representado por um ponto</p><p>sobre uma reta. Por exemplo:</p><p>... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...</p><p>... C’ B’ A’ 0 A B C D ...</p><p>Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o número</p><p>zero.</p><p>Nas representações geométricas, temos à direita do zero</p><p>os números inteiros positivos, e à esquerda do zero, os nú-</p><p>meros inteiros negativos.</p><p>Observando a figura anterior, vemos que cada ponto é a</p><p>representação geométrica de um número inteiro.</p><p>Exemplos:</p><p>� ponto C é a representação geométrica do número +3</p><p>� ponto B' é a representação geométrica do número -2</p><p>ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS</p><p>1) A soma de zero com um número inteiro é o próprio nú-</p><p>mero inteiro: 0 + (-2) = -2</p><p>2) A soma de dois números inteiros positivos é um núme-</p><p>ro inteiro positivo igual à soma dos módulos dos nú-</p><p>meros dados: (+700) + (+200) = +900</p><p>3) A soma de dois números inteiros negativos é um nú-</p><p>mero inteiro negativo igual à soma dos módulos dos</p><p>números dados: (-2) + (-4) = -6</p><p>4) A soma de dois números inteiros de sinais contrários é</p><p>igual à diferença dos módulos, e o sinal é o da parce-</p><p>la de maior módulo: (-800) + (+300) = -500</p><p>ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS</p><p>A soma de três ou mais números inteiros é efetuada adi-</p><p>cionando-se todos os números positivos e todos os negativos</p><p>e, em seguida, efetuando-se a soma do número negativo.</p><p>Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) =</p><p>(+17) + (-11) = +6</p><p>2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) =</p><p>(+5) + (-12) = -7</p><p>PROPRIEDADES DA ADIÇÃO</p><p>A adição de números inteiros possui as seguintes proprie-</p><p>dades:</p><p>1ª) FECHAMENTO</p><p>A soma de dois números inteiros é sempre um número in-</p><p>teiro: (-3) + (+6) = + 3 ∈ Z</p><p>2ª) ASSOCIATIVA</p><p>Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a + (b +</p><p>c) = (a + b) + c</p><p>Exemplo:(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2)</p><p>(+3) + (-2) = (-1) + (+2)</p><p>+1 = +1</p><p>3ª) ELEMENTO NEUTRO</p><p>Se</p><p>a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a e 0 +</p><p>a = a</p><p>Isto significa que o zero é elemento neutro para a adição.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 12</p><p>Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2</p><p>4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO</p><p>Se a é um número inteiro qualquer, existe um único nú-</p><p>mero oposto ou simétrico representado por (-a), tal que:</p><p>(+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)</p><p>Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0</p><p>5ª) COMUTATIVA</p><p>Se a e b são números inteiros, então:</p><p>a + b = b + a</p><p>Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4)</p><p>-2 = -2</p><p>SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS</p><p>Em certo local, a temperatura passou de -3ºC para 5ºC,</p><p>sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento esse que</p><p>pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8</p><p>Portanto:</p><p>A diferença entre dois números dados numa certa ordem</p><p>é a soma do primeiro com o oposto do segundo.</p><p>Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4</p><p>2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -7</p><p>3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7</p><p>Na prática, efetuamos diretamente a subtração, eliminan-</p><p>do os parênteses</p><p>- (+4 ) = -4</p><p>- ( -4 ) = +4</p><p>Observação:</p><p>Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais podem</p><p>ser resumidos do seguinte modo:</p><p>( + ) = + + ( - ) = -</p><p>- ( + ) = - - ( - ) = +</p><p>Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6</p><p>- (+3) = -3 +(+1) = +1</p><p>PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO</p><p>A subtração possui uma propriedade.</p><p>FECHAMENTO: A diferença de dois números inteiros é</p><p>sempre um número inteiro.</p><p>MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS</p><p>1º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEI-</p><p>ROS POSITIVOS</p><p>Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6</p><p>Exemplo:</p><p>(+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6</p><p>Logo: (+3) . (+2) = +6</p><p>Observando essa igualdade, concluímos: na multiplicação</p><p>de números inteiros, temos:</p><p>(+) . (+) =+</p><p>2º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É NEGA-</p><p>TIVO</p><p>Exemplos:</p><p>1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12</p><p>ou seja: (+3) . (-4) = -12</p><p>2) Lembremos que: -(+2) = -2</p><p>(-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15</p><p>ou seja: (-3) . (+5) = -15</p><p>Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: (</p><p>+ ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = -</p><p>Exemplos :</p><p>(+5) . (-10) = -50</p><p>(+1) . (-8) = -8</p><p>(-2 ) . (+6 ) = -12 (-7) .</p><p>(+1) = -7</p><p>3º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEIROS</p><p>NEGATIVOS</p><p>Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18</p><p>isto é: (-3) . (-6) = +18</p><p>Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: (</p><p>- ) . ( - ) = +</p><p>Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20</p><p>As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser re-</p><p>sumidas na seguinte:</p><p>( + ) . ( + ) = + ( + ) . ( - ) = -</p><p>( - ) . ( - ) = + ( - ) . ( + ) = -</p><p>Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é igual a 0:</p><p>(+5) . 0 = 0</p><p>PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS</p><p>Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) =</p><p>(-20) . (-2 ) . (+3 ) =</p><p>(+40) . (+3 ) = +120</p><p>2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) =</p><p>(+2 ) . (+3 ) . (-2 ) =</p><p>(+6 ) . (-2 ) = -12</p><p>Podemos concluir que:</p><p>- Quando o número de fatores negativos é par, o produ-</p><p>to sempre é positivo.</p><p>- Quando o número de fatores negativos é ímpar, o pro-</p><p>duto sempre é negativo.</p><p>PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO</p><p>No conjunto Z dos números inteiros são válidas as seguin-</p><p>tes propriedades:</p><p>1ª) FECHAMENTO</p><p>Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 ∈ Z</p><p>Então o produto de dois números inteiros é inteiro.</p><p>2ª) ASSOCIATIVA</p><p>Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 )</p><p>Este cálculo pode ser feito diretamente, mas também po-</p><p>demos fazê-lo, agrupando os fatores de duas maneiras:</p><p>(+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 )</p><p>(+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 )</p><p>-24 = -24</p><p>De modo geral, temos o seguinte:</p><p>Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, então:</p><p>a . (b . c) = (a . b) . c</p><p>3ª) ELEMENTO NEUTRO</p><p>Observe que:</p><p>(+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4</p><p>Qualquer que seja o número inteiro a, temos:</p><p>a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a</p><p>O número inteiro +1 chama-se neutro para a multiplica-</p><p>ção.</p><p>4ª) COMUTATIVA</p><p>Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8</p><p>e (-4 ) . (+2 ) = - 8</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 13</p><p>Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 )</p><p>Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a . b = b .</p><p>a, isto é, a ordem dos fatores não altera o produto.</p><p>5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E À</p><p>SUBTRAÇÃO</p><p>Observe os exemplos:</p><p>(+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 )</p><p>(+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 )</p><p>Conclusão:</p><p>Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, te-</p><p>mos:</p><p>a) a . [b + c] = a . b + a . c</p><p>A igualdade acima é conhecida como propriedade dis-</p><p>tributiva da multiplicação em relação à adição.</p><p>b) a . [b – c] = a . b - a . c</p><p>A igualdade acima é conhecida como propriedade dis-</p><p>tributiva da multiplicação em relação à subtração.</p><p>DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS</p><p>CONCEITO</p><p>Dividir (+16) por 2 é achar um número que, multiplicado</p><p>por 2, dê 16.</p><p>16 : 2 = ? ⇔ 2 . ( ? ) = 16</p><p>O número procurado é 8. Analogamente, temos:</p><p>1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12</p><p>2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12</p><p>3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12</p><p>4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12</p><p>A divisão de números inteiros só pode ser realizada</p><p>quando o quociente é um número inteiro, ou seja, quando o</p><p>dividendo é múltiplo do divisor.</p><p>Portanto, o quociente deve ser um número inteiro.</p><p>Exemplos:</p><p>( -8 ) : (+2 ) = -4</p><p>( -4 ) : (+3 ) = não é um número inteiro</p><p>Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é a</p><p>mesma que vimos para a multiplicação:</p><p>( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = -</p><p>( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = -</p><p>Exemplos:</p><p>( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2</p><p>(+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4</p><p>PROPRIEDADE</p><p>Como vimos: (+4 ) : (+3 ) ∉ Z</p><p>Portanto, não vale em Z a propriedade do fechamento pa-</p><p>ra a divisão. Alem disso, também não são válidas as proposi-</p><p>ções associativa, comutativa e do elemento neutro.</p><p>POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS</p><p>CONCEITO</p><p>A notação</p><p>(+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 )</p><p>é um produto de três fatores iguais</p><p>Analogamente:</p><p>( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )</p><p>é um produto de quatro fatores iguais</p><p>Portanto potência é um produto de fatores iguais.</p><p>Na potência (+5 )2 = +25, temos:</p><p>+5 ---------- base</p><p>2 ---------- expoente</p><p>+25 ---------- potência</p><p>Observacões :</p><p>(+2 ) 1 significa +2, isto é, (+2 )1 = +2</p><p>( -3 )1 significa -3, isto é, ( -3 )1 = -3</p><p>CÁLCULOS</p><p>O EXPOENTE É PAR</p><p>Calcular as potências</p><p>1) (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é,</p><p>(+2)4 = +16</p><p>2) ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é,</p><p>(-2 )4 = +16</p><p>Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16</p><p>Então, de modo geral, temos a regra:</p><p>Quando o expoente é par, a potência é sempre um núme-</p><p>ro positivo.</p><p>Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9</p><p>O EXPOENTE É ÍMPAR</p><p>Calcular as potências:</p><p>1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8</p><p>isto é, (+2)3 = + 8</p><p>2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8</p><p>ou seja, (-2)3 = -8</p><p>Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8</p><p>Daí, a regra:</p><p>Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo si-</p><p>nal da base.</p><p>Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27</p><p>(+2)4 = +16</p><p>PROPRIEDADES</p><p>PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE</p><p>Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5</p><p>( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10</p><p>Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a</p><p>base e somamos os expoentes.</p><p>QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE</p><p>(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3</p><p>( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4</p><p>Para dividir potências de mesma base em que o expoente</p><p>do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a</p><p>base e subtraímos os expoentes.</p><p>POTÊNCIA DE POTÊNCIA</p><p>[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15</p><p>Para calcular uma potência de potência, conservamos a</p><p>base da primeira potência e multiplicamos os expoentes .</p><p>POTÊNCIA DE UM PRODUTO</p><p>[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 14</p><p>Para calcular a potência de um produto, sendo n o expo-</p><p>ente, elevamos cada fator ao expoente n.</p><p>POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO</p><p>(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0</p><p>e (+2 )5 : (+2 )5 = 1</p><p>Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1</p><p>Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.</p><p>Observação:</p><p>Não confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa -( 3</p><p>)2 e portanto</p><p>-32 = -( 3 )2 = -9</p><p>enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9</p><p>Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2</p><p>CÁLCULOS</p><p>O EXPOENTE É PAR</p><p>Calcular as potências</p><p>(+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, (+2)4 = +16</p><p>( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, (-2 )4 = +16</p><p>Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16</p><p>Então, de modo geral, temos a regra:</p><p>Quando o expoente é par, a potência é sempre um núme-</p><p>ro positivo.</p><p>Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9</p><p>O EXPOENTE É ÍMPAR</p><p>Exemplos:</p><p>Calcular as potências:</p><p>1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8</p><p>isto é, (+2)3 = + 8</p><p>2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8</p><p>ou seja, (-2)3 = -8</p><p>Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8</p><p>Daí, a regra:</p><p>Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo si-</p><p>nal da base.</p><p>Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16</p><p>PROPRIEDADES</p><p>PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE</p><p>Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5</p><p>( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10</p><p>Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a</p><p>base e somamos os expoentes.</p><p>QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE</p><p>(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3</p><p>( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4</p><p>Para dividir potências de mesma base em que o expoente</p><p>do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a</p><p>base e subtraímos os expoentes.</p><p>POTÊNCIA DE POTÊNCIA</p><p>[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15</p><p>Para calcular uma potência de potência, conservamos a</p><p>base da primeira potência e multiplicamos os expoentes .</p><p>POTÊNCIA DE UM PRODUTO</p><p>[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4</p><p>Para calcular a potência de um produto, sendo n o expo-</p><p>ente, elevamos cada fator ao expoente n.</p><p>POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO</p><p>(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0</p><p>e (+2 )5 : (+2 )5 = 1</p><p>Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1</p><p>Qualquer potência de expoente zero é igual a 1.</p><p>Observação: Não confundir-32 com (-3)2, porque -32 sig-</p><p>nifica -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9</p><p>enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9</p><p>Logo: -3 2 ≠ ( -3 )2</p><p>NÚMEROS PARES E ÍMPARES</p><p>Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e base-</p><p>ado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos</p><p>definir números pares e ímpares de acordo com a concepção</p><p>pitagórica:</p><p>• par é o número que pode ser dividido em duas partes</p><p>iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é</p><p>aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais,</p><p>porque sempre há uma unidade no meio</p><p>Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação com à</p><p>natureza dos números:</p><p>• número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas</p><p>partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal</p><p>que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da</p><p>natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a</p><p>par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do</p><p>par, o número 2, que não admite a divisão em partes de-</p><p>siguais, porque ele é formado por duas unidades e, se is-</p><p>to pode ser dito, do primeiro número par, 2.</p><p>Para exemplificar o texto acima, considere o número 10, que</p><p>é par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas também</p><p>como a soma de 7 e 3 (que são ambos ímpares) ou como a</p><p>soma de 6 e 4 (ambos são pares); mas nunca como a soma de</p><p>um número par e outro ímpar. Já o número 11, que é ímpar pode</p><p>ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um ímpar. Atualmente,</p><p>definimos números pares como sendo o número que ao ser</p><p>dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que</p><p>ao serem divididos por dois têm resto diferente de zero. Por</p><p>exemplo, 12 dividido por 2 têm resto zero, portanto 12 é par. Já o</p><p>número 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 é</p><p>ímpar.</p><p>MÚLTIPLOS E DIVISORES</p><p>DIVISIBILIDADE</p><p>Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.</p><p>Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois termina em 4.</p><p>Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores ab-</p><p>solutos dos seus algarismos é um número divisível por 3. Ex.:</p><p>123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 é divisível por 3</p><p>Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unida-</p><p>des é 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O número 320</p><p>é divisível por 5, pois termina em 0.</p><p>Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unida-</p><p>des é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número 500 é divisível</p><p>por 10, pois termina em 0.</p><p>NÚMEROS PRIMOS</p><p>Um número natural é primo quando é divisível apenas por</p><p>dois números distintos: ele próprio e o 1.</p><p>Apostila Digital Licenciada para Cleiton Pereira Sousa de Oliveira - cleitonpereira007@hotmail.com (Proibida a Revenda)</p><p>APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos</p><p>Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 15</p><p>Exemplos:</p><p>• O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois núme-</p><p>ros diferentes: ele próprio e o 1.</p><p>• O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois núme-</p><p>ros distintos: ele próprio e o 1.</p><p>• O número natural que é divisível por mais de dois números</p><p>diferentes é chamado composto.</p><p>• O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4.</p><p>• O número 1 não é primo nem composto, pois é divisível</p><p>apenas por um número (ele mesmo).</p><p>• O número 2 é o único número par primo.</p><p>DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO)</p><p>Um número composto pode ser escrito sob a forma de um</p><p>produto de fatores primos.</p><p>Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma: 60 = 2</p><p>. 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5 que é chamada de forma fatorada.</p><p>Para escrever um número na forma fatorada, devemos de-</p><p>compor esse número em fatores primos, procedendo do seguin-</p><p>te modo:</p><p>Dividimos o número considerado pelo menor número primo</p><p>possível de modo que a divisão seja exata.</p><p>Dividimos o quociente obtido pelo menor número primo pos-</p><p>sível.</p><p>Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor</p><p>número primo possível, até que se obtenha o quociente 1.</p><p>Exemplo:</p><p>60 2</p><p>0 30 2</p><p>0 15 3</p><p>5 0 5</p><p>1</p><p>Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5</p><p>Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à direita do</p><p>número e, à direita dessa barra, escrever os divisores primos;</p><p>abaixo do número escrevem-se os quocientes obtidos. A de-</p><p>composição em fatores primos estará terminada quando o último</p><p>quociente for igual a 1.</p><p>Exemplo:</p>podem, segundo o autor, estar 
ligadas ao produtor do texto em relação ao objeto do dizer quanto ao fa-
zer/acontecer, ou conhecer/saber, e quanto à inserção destes no tempo 
e/ou no espaço. Pode ser possível a perspectiva do produtor do texto dada 
pela imagem que o mesmo faz do receptor como alguém que concorda ou 
não com o que ele diz. Surge, assim, o discurso da transformação, quando 
o produtor vê o receptor como alguém que não concorda com ele. Se o 
produtor vir o receptor como alguém que concorda com ele, surge o discur-
so da cumplicidade. Tem-se ainda, na opinião de Travaglia, uma perspecti-
va em que o produtor do texto faz uma antecipação no dizer. Da mesma 
forma, é possível encontrar a perspectiva dada pela atitude comunicativa de 
comprometimento ou não. Resumindo, cada uma das perspectivas apre-
sentadas pelo autor gerará um tipo de texto. Assim, a primeira perspectiva 
faz surgir os tipos descrição, dissertação, injunção e narração. A segun-
da perspectiva faz com que surja o tipo argumentativo stricto sensu6 e 
não argumentativo stricto sensu. A perspectiva da antecipação faz surgir 
o tipo preditivo. A do comprometimento dá origem a textos do mundo 
comentado (comprometimento) e do mundo narrado (não comprometi-
mento) (Weirinch, 1968). Os textos do mundo narrado seriam enquadrados, 
de maneira geral, no tipo narração. Já os do mundo comentado ficariam no 
tipo dissertação. 
 
Travaglia diz que o Gênero Textual se caracteriza por exercer uma 
função social específica. Para ele, estas funções sociais são pressentidas e 
vivenciadas pelos usuários. Isso equivale dizer que, intuitivamente, sabe-
mos que gênero usar em momentos específicos de interação, de acordo 
com a função social dele. Quando vamos escrever um e-mail, sabemos que 
ele pode apresentar características que farão com que ele “funcione” de 
maneira diferente. Assim, escrever um e-mail para um amigo não é o 
mesmo que escrever um e-mail para uma universidade, pedindo informa-
ções sobre um concurso público, por exemplo. 
 
Observamos que Travaglia dá ao gênero uma função social. Parece 
que ele diferencia Tipologia Textual de Gênero Textual a partir dessa 
“qualidade” que o gênero possui. Mas todo texto, independente de seu 
gênero ou tipo, não exerce uma função social qualquer? 
 
Marcuschi apresenta alguns exemplos de gêneros, mas não ressalta 
sua função social. Os exemplos que ele traz são telefonema, sermão, 
romance, bilhete, aula expositiva, reunião de condomínio, etc. 
 
Já Travaglia, não só traz alguns exemplos de gêneros como mostra o 
que, na sua opinião, seria a função social básica comum a cada um: aviso, 
comunicado, edital, informação, informe, citação (todos com a função social 
de dar conhecimento de algo a alguém). Certamente a carta e o e-mail 
entrariam nessa lista, levando em consideração que o aviso pode ser dado 
sob a forma de uma carta, e-mail ou ofício. Ele continua exemplificando 
apresentando a petição, o memorial, o requerimento, o abaixo assinado 
(com a função social de pedir, solicitar). Continuo colocando a carta, o e-
mail e o ofício aqui. Nota promissória, termo de compromisso e voto são 
exemplos com a função de prometer. Para mim o voto não teria essa fun-
ção de prometer. Mas a função de confirmar a promessa de dar o voto a 
alguém. Quando alguém vota, não promete nada, confirma a promessa de 
votar que pode ter sido feita a um candidato. 
 
Ele apresenta outros exemplos, mas por questão de espaço não colo-
carei todos. É bom notar que os exemplos dados por ele, mesmo os que 
não foram mostrados aqui, apresentam função social formal, rígida. Ele não 
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apresenta exemplos de gêneros que tenham uma função social menos 
rígida, como o bilhete. 
 
Uma discussão vista em Travaglia e não encontrada em Marcusch é a 
de Espécie. Para ele, Espécie se define e se caracteriza por aspectos 
formais de estrutura e de superfície linguística e/ou aspectos de conteúdo. 
Ele exemplifica Espécie dizendo que existem duas pertencentes ao tipo 
narrativo: a história e a não-história. Ainda do tipo narrativo, ele apresenta 
as Espécies narrativa em prosa e narrativa em verso. No tipo descritivo ele 
mostra as Espécies distintas objetiva x subjetiva, estática x dinâmica e 
comentadora x narradora. Mudando para gênero, ele apresenta a corres-
pondência com as Espécies carta, telegrama, bilhete, ofício, etc. No gênero 
romance, ele mostra as Espécies romance histórico, regionalista, fantásti-
co, de ficção científica, policial, erótico, etc. Não sei até que ponto a Espé-
cie daria conta de todos os Gêneros Textuais existentes. Será que é 
possível especificar todas elas? Talvez seja difícil até mesmo porque não é 
fácil dizer quantos e quais são os gêneros textuais existentes. 
 
Se em Travaglia nota-se uma discussão teórica não percebida em Mar-
cuschi, o oposto também acontece. Este autor discute o conceito de Domí-
nio Discursivo. Ele diz que os domínios discursivos são as grandes esfe-
ras da atividade humana em que os textos circulam (p. 24). Segundo infor-
ma, esses domínios não seriam nem textos nem discursos, mas dariam 
origem a discursos muito específicos. Constituiriam práticas discursivas 
dentro das quais seria possível a identificação de um conjunto de gêneros 
que às vezes lhes são próprios como práticas ou rotinas comunicativas 
institucionalizadas. Como exemplo, ele fala do discurso jornalístico, discur-
so jurídico e discurso religioso. Cada uma dessas atividades, jornalística, 
jurídica e religiosa, não abrange gêneros em particular, mas origina vários 
deles. 
 
Travaglia até fala do discurso jurídico e religioso, mas não como Mar-
cuschi. Ele cita esses discursos quando discute o que é para ele tipologia 
de discurso. Assim, ele fala dos discursos citados mostrando que as tipolo-
gias de discurso usarão critérios ligados às condições de produção dos 
discursos e às diversas formações discursivas em que podem estar inseri-
dos (Koch & Fávero, 1987, p. 3). Citando Koch & Fávero, o autor fala que 
uma tipologia de discurso usaria critérios ligados à referência (institucional 
(discurso político, religioso, jurídico), ideológica (discurso petista, de direita, 
de esquerda, cristão, etc), a domínios de saber (discurso médico, linguísti-
co, filosófico, etc), à inter-relação entre elementos da exterioridade (discur-
so autoritário, polêmico, lúdico)). Marcuschi não faz alusão a uma tipologia 
do discurso. 
 
Semelhante opinião entre os dois autores citados é notada quando fa-
lam que texto e discurso não devem ser encarados como iguais. Marcus-
chi considera o texto como uma entidade concreta realizada materialmente 
e corporificada em algum Gênero Textual [grifo meu] (p. 24). Discurso 
para ele é aquilo que um texto produz ao se manifestar em alguma instân-
cia discursiva. O discurso se realiza nos textos (p. 24). Travaglia considera 
o discurso como a própria atividade comunicativa, a própria atividade 
produtora de sentidos para a interação comunicativa, regulada por uma 
exterioridade sócio-histórica-ideológica (p. 03). Texto é o resultado dessa 
atividade comunicativa. O texto, para ele, é visto como 
uma unidade linguística concreta que é tomada pelos usuários da lín-
gua em uma situação de interação comunicativa específica, como uma 
unidade de sentido e como preenchendo uma função comunicativa reco-
nhecível e reconhecida, independentemente de sua extensão (p. 03). 
 
Travaglia afirma que distingue texto de discurso levando em conta que 
sua preocupação é com a tipologia de textos, e não de discursos. Marcus-
chi afirma que a definição que traz de texto e discurso é muito mais opera-
cional do que formal.