Geometria Plana Aula 1 Ângulos

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Sandro Carvalho 
Professor 
AA
pp oo
ss tt
ii ll
aa 
dd ee
 GG
ee oo
mm
ee tt
rr ii
aa 
PP
ll aa
nn
aa 
 
 
2 
 
 
Módulo 1 
 
Definição de Ângulo -------------------------------------------------------------------------------- páginas: 03 
Medidas Angulares -------------------------------------------------------------------------------- páginas: 03 até 04 
Operação com Medidas Angulares --------------------------------------------------------- páginas: 04 até 05 
Classificação de Ângulo ------------------------------------------------------------------------- páginas: 05 
Ângulos Opostos pelo Vértices -------------------------------------------------------------- páginas: 05 até 06 
Bissetriz um de Ângulo --------------------------------------------------------------------------- páginas: 06 
Ângulos Consecutivos ---------------------------------------------------------------------------- páginas: 06 
Ângulos Consecutivos ---------------------------------------------------------------------------- páginas: 07 
Ângulos Formados Entre os Ponteiros do Relógio --------------------------------- páginas: 07 até 08 
Exercícios Sobre Ângulo ------------------------------------------------------------------------ páginas: 09 até 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Ângulo 
1 – Definição de ângulos 
 
Ângulo é a região do plano limitada por duas 
semi-retas de mesma origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto O é o seu vértice; 
As semi-retas AO e OB são os lados do ângulo. 
Notação : 

O ou 

AOB ou 

BOA ou . 
 
2 – Medidas Angulares 
 
 Sistema Sexagesimal : 
 
É o sistema que utiliza o grau como unidade de 
medida. 
 
1o = 
iguaispartes
nciacircunferê
360
 
 
então : circunferência = 360o 
 
Submúltiplos do grau : 
 
Minuto (‘) : 1o = 60’ 
Segundo (“) : 1’ = 60” 
 
Teremos então : 1o = 3600” 
 
 Sistema Decimal : 
 
É o sistema que utiliza o grado como 
unidade de medida. 
 
1 gr = 
iguaispartes
nciacircunferê
400
 
 
então : circunferência = 400 gr 
 
Submúltiplos do grado : 
 
Decigrado (dgr) : 1 dgr = 
10
1
do gr 
Centígrado (cgr) : 1 cgr = 
100
1
 do gr 
Milígrado (mgr) : 1 mgr = 
1000
1
do gr 
 
 
Existe um terceiro sistema de medida 
angular que utiliza o radiano como unidade 
de medida. Estudaremos mais tarde este 
sistema. 
Resumindo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grau (o) Minuto (‘) Segundo 
(“) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
360o = 400 gr 
ou 
180o = 200 gr 
 
Ex1: Converta 55.410” em graus, minutos e 
segundos 
 
a) 12º33’12’’ b) 16º33’20’’ c) 14º28’25’’ 
d) 21º18’17’’ e) 15º23’30’’ 
 
Resolução: 
 
Vamos achar a quantidade de graus 
"1410
15"54000
3600"410.55
_________
 
Vamos achar a quantidade de minutos 
"30
'23"1380
60"410.1
_________
 
Portanto, "30'2315"410.55  
Gabarito Letra E 
 
 
Ex2: Converta 27.585” em graus, minutos e 
segundos 
 
a) 10º33’45’’ b) 9º43’45’’ c) 7º39’45’’ 
d) 6º38’35’’ e) 12º23’35’’ 
O 
A 
B 
 
x 60 x 60 
x 3600 
 60  60 
 3600 
4 
 
 
Resolução: 
 
Vamos achar a quantidade de graus 
"2385
7"25200
3600"585.27
_________
 
Vamos achar a quantidade de minutos 
"45
'39"2340
60"2385
_________
 
Portanto, "45'397"585.27  
 
Gabarito Letra C 
 
3 – OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE 
ÂNGULOS: 
 
i) ADIÇÃO: 
 
Observe os exemplos: 
 
Ex1: 18º10’12” + 21º15’34” 
 
"46'2539
"34'1521
"12'1018



 
 
Ex2: 35º14’02” + 47º45’35” 
 
"37'5982
"35'4547
"02'1435



 
 
Ex3: 45º39’ + 21º48” 
 
"48'3966
"4821
'3945



 
 
Ex1: 57º43’29” + 47º35’48” 
 
 
 

 

"17'19105
"17'79104
"77'78104
"48'3547
"29'4357
'191
"17'1







 
ii) SUBTRAÇÃO: 
 
Observe os exemplos: 
 
Ex1: 58º40' – 17º10' 
'3041
"1017
'4058



 
 
Ex2: 80º – 42º30' 
'3037
"3042
'6079



 
Ex3: 94º – 44º30'26” 
"34'2949
"26'3044
"60'5993



 
iii) MULTIPLICAÇÃO DE UM ÂNGULO POR 
UM NÚMERO: 
 
Observe os exemplos: 
 
Ex1: O triplo de 52º32’47” 
 
 

 

"22'37157
"22'97156
"142'96156
3
"47'3252
'371
"22'2






 
 
 
Ex2: O dobro de 42º15’ 
5 
 
'3084
2
'1542



 
 
iv) DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM 
NÚMERO: 
 
Observe os exemplos: 
 
EX1: 57º42' ÷ 3 
 
 
0
0
'1419'42
3'4257
_________

 resposta

 
 
EX2: 63º41'28" ÷ 2 
 
0
"88
"60'1
"28'101
'601
"44'5031"28'41
2"28'4163
_______________










resposta
 
4 – Classificando os ângulos 
 
i) Ângulo agudo: É aquele cuja medida é maior 
que zero graus e menor que 90°. 
 
ii) Ângulo reto: É aquele cuja medida é 90°. 
 
 
iii) Ângulo raso: É aquele cuja medida é 180° 
 
 
 
iv) Ângulo obtuso: É aquele cuja medida e 
é maior que 90° e menor que 180° 
 
 
 
v) Ângulo reentrante: É aquele cuja medida é 
maior que 180 e menor que 360° 
 
 
vi) Ângulo de uma volta: É aquele cuja medida 
é 360° 
 
 
5 – Ângulos opostos pelo vértice 
 
Dois ângulos são opostos pelo vértice 
quando as semi-reta opostas dos lados 
obtidas pelo prolongamento dos lados de 
um ângulo são lados do outro. 
 
i) Dois ângulos opostos pelo vértice são 
congruentes (iguais). 
 
Os ângulos AÔB = CÔD e BÔC = AÔD são 
opostos pelos vértices 
 
ii) As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo 
vértice são semi-retas opostas. 
6 
 
 
 
EX1: Calcule o valor de x 
 
 
Resolução: 
 
Os ângulos são opostos pelos vértices, logo são 
congruentes 


 15
2
30
302  xxx 
EX2: [Fuzileiro Naval] Na figura abaixo, 
calcule y e z, respectivamente 
 
a) 30° e 150° d) 60° e 120° 
b) 50° e 130° e) 140º e 40º 
c) 40° e 140° 
 
1ª Resolução: 
 
Os ângulos AÔC = BÔD e AÔD = BÔC são 
opostos pelos vértices 
 
zx  602 e yx  
 
Temos que: 
 
 360602  yxzx 
 
1º passo: substituindo os valor de z e y na 
equação acima temos que: 
 
   






40
6
240
2406
1203606
3601206
360602602






x
x
x
x
x
xxxx
 
 
2º passo: Achar os valores de y e z 
40 yyx 
 


140
608060402602


z
zzxz
 Gabarito Letra C 
 
2ª Resolução: 
 
Os ângulos AÔC = BÔD e AÔD = BÔC são 
opostos pelos vértices 
 
zx  602 e yx  
 
Temos que: 




40
3
120
1203
601803180602


xxx
xxx
 
Logo, o valor de y é: 40 yxy 
 
O valor de z é: 
 


1406080
60402602


zz
zxz
 
 
Gabarito Letra C 
 
6 – Bissetriz de um ângulo 
 
É uma semi-reta interna a um ângulo, que o 
divide em dois outros congruentes. 
 
 
A semi-reta OM é bissetriz de AOB, assim: 
2
ˆ
ˆˆ BOAMOBMOA  
7 - Ângulos consecutivos 
 
Dois ângulos são consecutivos se, e somente 
se, um lado de um deles coincide com um lado 
do outro. 
 
 
 
Os ângulos AOB, AOC e BOC são 
consecutivos. 
7 
 
8 – Ângulos Adjacentes 
 
São ângulos que possuem o mesmo vértice e 
um lado comum compreendido entre os lados 
não comuns. 
 
Os ângulos AOB e BOC são adjacentes. 
 
8.1 – Tipos de ângulos adjacentes 
 
i) Ângulos complementares: São dois ângulos 
cuja soma das medidas e 90º. Dizemos que um 
deles é o complemento do outro. 
 
 
Complemento de  = 90o -  
 
Ex: A terça parte do complemento de um angulo 
mede 20°. Qual a medida do angulo? 
 
Resolução: 
 
Valor do angulo = x 
Complemento do angulo = (90° - x) 
 
   



3060909060
9020320
3
90



xxx
x
x
 
Resposta: x = 30º 
 
ii) Ângulos Suplementares: São dois ângulos 
cuja soma das medidas e 180º. Cada um deles 
é o suplemento do outro. 
 
 
Suplemento de α = 180o - α 
 
Ex: O dobro da medida de um angula e igual amedida do suplemento desse angulo. Calcule a 
medida do ângulo 
 
Resolução: 
 
Valor do angulo = x 
Suplemento do angulo = (180° - x) 




60
3
180
1803
18021802


xxx
xxxx
 
Resposta.: x = 60° 
 
iii) Ângulos Replementares: São dois ângulos 
cuja soma das medidas e 360º. Dizemos que 
um deles e o replemento do outro. 
 
 
 
Replemento de α = 360o - α 
 
Ex: Dois ângulos replementares medem (3x – 
40º) e (2x + 60º). O valor de x é: 
 
Resolução: 
   




68
5
340
5203605
360205360602403


xxx
xxx
Resposta: x = 68° 
 
iv) Ângulos Explementares 
 
São dois ângulos que diferem de 180º. 
 
Observações Importantes: 
 
i) A soma dos ângulos que se podem formar do 
mesmo lado de uma reta com um mesmo 
vértice e 180º (ângulo raso). 
 
 
 
ii) A soma dos ângulos que se pode formar ao 
redor de um ponto e 360º. 
 
 
 
9 – Ângulos formados entre os ponteiros do 
relógio 
 
2
min5,530 

h
 
Onde: h = hora tal que 0 ≤h ≤11 
min..= minutos 
 
Ex: O ângulo formado pelos ponteiros de um 
relógio às 4h 42 min mede 
8 
 
: 
a) 120º b) 141º c) 108º d) 111º e) 110º 
 
Resolução: 
 
Vamos calcular o valor do angulo formado entre 
os ponteiros do relógio 
 
   
111111
231120
425,5430






 
Gabarito Letra D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Exercícios 
 
01 – Converter 21050” em graus, minutos e 
segundos. 
 
a) 5° 50’ 50” b) 5° 50’ 40” c) 5° 50’ 30” 
d) 5° 50’ 20” e) 5° 50’ 10” 
 
02 – [CFC] O quádruplo da medida 86°28’36’’ e 
igual a 
 
a) 346°52’24’’. b) 346°54’24’’. 
c) 345°52’24’’. d) 345°54’24’’ 
 
03 – [EsSA] Sendo A = 33º 53’ 41” e B = 14º 12’ 
49”, o resultado de A – B e: 
 
a) 19° 41’ 52” b) 19° 40’ 52” 
c) 19° 41’ 08” d) 19° 40’ 08” 
 
04 – [EsSA] Calcular o valor da expressão (60° 
30’ – 25° 59’ 18”) : 2, obtém-se: 
 
a) 17° 15’ 21” b) 17° 25’ 09” 
c) 17° 28’ 21” d) 17° 30’ 09” 
 
05 – [Bombeiro] Efetuando 42°15’29’’ – 
20°42’20’’, encontramos: 
 
a) 20°33’09’’ b) 21°33’09’’ c) 22°28’07’’ 
d) 22°18’17’’ e) 23°15’29’’ 
 
06 – [EsSA] A transformação de 9° em 
segundos é: 
 
a) 540” b) 22400” c) 32400” 
d) 3600” e) 100” 
 
07 – [CESD] Transformando em número misto a 
medida do ângulo de 43665”, obtém – se: 
 
a) 12° 7’ 45” b) 12° 9’ 35” 
c) 12° 14’ 50” d) 3° 45’ 13” 
 
08 – [FN] O quíntuplo da medida de um angulo 
e 397°. Quanto mede esse ângulo? 
 
a) 79° b) 79° 14’ 
c) 79° 24’ d) 79° 40’ 
 
09 – [CN] Quantos graus, minutos e segundos 
há em 25.347”? 
 
a) 7° 4’ 27” b) 8° 2’ 27” c) 7° 7’ 27” 
d) 7° 2’ 27” e) 8° 7’ 25” 
 
10 – [EAM] O valor da expressão 124°18’ 36” – 
(42°16’ 54”) : 2 e igual a: 
 
a) 41° 1’ 9” b) 39° 44’ 48” c) 82° 2’ 18” 
d) 103° 10’ 9” e) 52° 4’ 18” 
 
11 – [EAM] Efetuando (47° 18’ 30”) : 7 , 
encontra – se 6° 45’ X”. logo o valor de “X” é: 
 
a) 10” b) 15” c) 20” d) 30” e) 40” 
 
12 – Uma folha de papel retangular foi dobrada 
conforme a figura. Assinale a alternativa que 
representa corretamente o valor de x. 
 
 
a) 15° b) 20° c) 30° d) 40° e) 45° 
 
13 – Dois ângulos suplementares medem (3x – 
40°) e (2x + 60°). O maior desses ângulos 
mede: 
 
a) 56° b) 124° c) 132° d) 108° e) 84° 
 
14 – O dobro do complemento de um ângulo, 
aumentado de 32°, e igual ao seu suplemento. 
Qual e esse ângulo? 
 
a) 32° b) 20° c) 30° d) 40° e) 22° 
 
15 – [FN] Na figura abaixo, a medida do 
suplemento do menor ângulo é: 
 
 
a) 120° b) 130° c) 132° d) 135° e) 140° 
 
16 – [FN] Na figura abaixo, a medida do 
complemento do menor ângulo é: 
 
 
a) 10° b) 20° c) 45° d) 70° e) 110° 
 
17 – Qual o ângulo que excede o seu 
complemento de 38°? 
 
a) 60° b) 62° c) 64° d) 66° e) 68° 
18 – Considere o ângulo reto 

AOB da figura e a 
reta r. Sejam 

OX e 

OY as bissetrizes de 

AOD e 

BOC . Calcule o ângulo 

XOY , sabendo 
que 

 AODBOC 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
O 
D 
C r 
10 
 
a) 105° b) 145° c) 120° d) 95° e) 135° 
 
19 – Dois ângulos adjacentes tem lados 
exteriores em linha reta. Um deles e expresso 
em graus por (2x + 5°) e outro por (x + 7°). 
Determine o menor desses ângulos. 
 
a) 23° b) 33° c) 43° d) 53° e) 63° 
 
20 – [EEAR] O complemento do suplemento do 
ângulo de 112° mede 
 
a) 18° b) 28° c) 12° d) 22° 
 
21 – [FN] Qual e o menor angulo formado entre 
os ponteiros de um relógio quando são 
exatamente 7 horas? 
 
a) 210° b) 180° c) 165° d) 150° e) 120° 
 
22 – [FN] Qual é o menor ângulo formado pelo 
ponteiro maior e o ponteiro menor de um relógio 
analógico quando são exatamente 4 horas 
 
a) 240° b) 130° c) 120° d) 110° e) 100° 
 
23 – [FN] Qual é o menor ângulo formado pelo 
ponteiro menor e o ponteiro maior de um relógio 
analógico quando são exatamente 2 horas e 30 
minutos? 
 
a) 120° b) 110° c) 105° d) 90° e) 80° 
 
24 – [EsSA] O ângulo convexo formado pelos 
ponteiros de um relógio as 14h 25 min e igual a: 
 
a) 77°30’ b) 89°60’ c) 12°30’ 
d) 46°30’ e) 86°30’ 
 
25 – [EAM] Qual é a medida do menor ângulo 
formado pelos ponteiros de um relógio às 15 
horas e 20 minutos? 
 
a) 12º b) 15º c) 20º d) 30º e) 35º 
 
26 – [FN] Qual o menor ângulo formado pelas 
bissetrizes de dois ângulos adjacentes que 
medem 60º e 50º? 
 
a) 55º b) 50º c) 45º d) 40º e) 30º 
 
27 – Quatro semi-retas formam em torno de um 
ponto, ângulos adjacentes cujas medidas são 
proporcionais aos números 1, 2, 3 e 4. Achar os 
ângulos formados pelas bissetrizes desses 
ângulos. 
 
a) 50o, 130o, 90o, 90o d) 56o, 90o, 124o, 90o 
b) 40o, 140o, 90o, 90o e) 60o, 90o, 120o, 90o 
c) 54o, 90o, 126o, 90o 
 
28 – Determinar a medida do ângulo formado 
pelas bissetrizes de dois ângulo adjacentes, 
sabendo que o primeiro vale 1/4 do seu 
suplemento e o segundo 1/5 de seu replemento. 
 
a) 72° b) 48° c) 24° d) 12° e) 6° 
29 – 

XOT é um ângulo raso; as semi-retas 

OY e 

OZ decompõe esse ângulo em três outros 
tais que 

XOY = 2

YOZ e 
3



ZOT
YOZ . Calcular 
os dois ângulos consecutivos formados pelas 
bissetrizes dos ângulos 

XOY , 

YOZ e 

ZOT . 
 
a) 60o e 45o b) 70o e 35o c) 25o e 90o 
d) 80o e 25o e) 60o e 55o 
 
30 – Achar a medida sexagesimal do ângulo 
formado pelas bissetrizes de dois ângulos 
adjacentes, sabendo que o primeiro vale 1/5 do 
seu complemento e que o segundo vale 1/9 do 
seu suplemento. 
 
a) 15o 30’ b) 14o 30’ c) 16o 30’ 
d) 18o 30’ e) 19o 30’