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ALERTAS SOBRE TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS 
 E 
 PROGRAMA DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO 
 
 Prof. Élvio Mosci Piancastelli 
 DEES - Escola de Engenharia da UFMG 
 
 
 
 
1. ALERTAS SOBRE TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES DIRETAS 
 
Duas importantes alterações, relativas a fundações superficiais (sapatas e blocos de fundação), 
introduzidas pela versão de 2010 da NBR-6122, em relação à versão de 1996, têm conduzido, 
nos últimos tempos, a importantes erros em muitos, se não em quase todos, projetos deste tipo de 
fundação. 
 
Tais erros, por se tratarem, judicialmente, de grave infração à lei - pois Normas da ABNT têm 
força de lei - motivou-nos emitir os dois alertas a seguir descritos. 
 
 
1.1. ALERTA PRIMEIRO 
 
A grande maioria dos cálculos das tensões transmitidas ao solo pelas fundações superficiais 
(tensões de contato), principalmente quando solicitadas, simultaneamente, por cargas normais e 
momentos fletores, são executados por meio de programas computacionais. 
 
Todas as empresas especializadas em projetos industriais para as quais tenho prestado serviços 
de consultoria utilizam tais programas em seus projetos de fundações. 
 
Pude observar, entretanto, que significativa parte vem utilizando programas elaborados antes de 
2010, ou seja, que consideram as premissas definidas pela norma ABNT NBR-6122 /1996 – 
“Projeto e execução de fundações”, hoje fora de vigor em função da . 
 
Com a entrada em vigor da versão de 2010 da mesma norma, foi alterado aspecto importante 
relativo às tensões de contato. Enquanto a versão de 1996 preconizava que, no mínimo, 50% da 
área da superfície de contato da fundação direta (área em contato com o solo) deveria estar 
comprimida, a versão de 2010 alterou este limite para 2/3 (≅ 67%). 
 
Pelo citado nos dois últimos parágrafos acima, pode-se deduzir que novos projetos estão sendo 
desenvolvidos sem a consideração do novo limite mínimo de área comprimida de fundações 
superficiais, ou seja, projetos que não estão obedecendo, na integra, a norma da ABNT relativa a 
projetos de fundações, que, é importante refrisar, tem força de lei perante a justiça. 
 
 
1.1.1. EXPRESSÃO MATEMATICA DOS LIMITES DAS DUAS VERSÕES DA NBR-6122 
 
Matematicamente, a garantia de que, no mínimo, 50% da superfície de contato das fundações 
diretas estaria comprimida, preconizada pela NBR-6112/1996, era expressa pela seguinte 
inequação: 
 
 
e ex
x
y
yl l





 +





 ≤
2 2
1
9
 Inequação 1 
 
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Já para o novo limite preconizado pela NBR-6122/2010 a inequação que garante que, no mínimo 
2/3 (≅ 67%) da superfície de contato de uma fundação rasa estará comprimida é: 
 
96,12
1
22
≤







+





y
y
x
x ee
ll
 Inequação 2 
 
 
1.1.2. DIFERENÇA BÁSICA ENTRE OS LIMITES DAS DUAS NORMAS 
 
Utilizando-se apenas o sinal de igualdade, a Inequação 1 se transforma na equação de uma 
elipse, cuja representação gráfica é mostrada na Figura 1. 
 
 
Figura 1 - NBR-6122/1996 - Substituída pela de 2010 
 
 
Analogamente, adotando-se apenas o sinal de igualdade, a Inequação 2 se transforma na 
equação de outra elipse, cuja representação gráfica é apresentada pela Figura 2. 
 
 
 
Figura 2 - NBR-6122/2010 - Em Vigor 
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Tanto na Figura 1, quanto na Figura 2, enquanto a carga normal cair no contorno ou no interior 
das elipses, ficarão atendidas as limitações relativas à área mínima comprimida (50% da antiga 
NBR-6122/1996 e 2/3 da nova NBR-6122/2010). 
 
Numa comparação entre as Figuras 1 e 2, verifica-se que a NBR-6122/2010 reduziu os valores 
máximos admitidos para as excentricidades da carga normal atuante em fundações superficiais, 
ou seja, reduziu os valores máximos para os momentos fletores atuantes. 
 
 
1.1.3. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ELABORADAS À LUZ DA NBR-6122/1996 
 
Apesar da alteração em pauta, os programas computacionais para cálculo de tensões de contato 
de sapatas desenvolvidos antes de 2010 podem, ainda, ser utilizados, desde que seja tomado o 
cuidado de se verificar, à parte, o atendimento da Inequação 2, ou seja: 
 
96,12
1
22
≤







+





y
y
x
x ee
ll
 Inequação 2 
 
 
O ideal, todavia, visando evitar enganos, é utilizar programas novos que atendam ao novo limite 
da NBR-6122/2010. 
 
Outro ponto a se ressaltar com relação aos programas anteriores a 2010, refere-se ao fato deles 
fornecerem poucos dados de saída, normalmente, apenas a “tensão máxima de compressão” e o 
“alerta de se ter menos de 50% da sapata comprimida”. 
 
Tais dados, a nosso ver, são insuficientes para um bom projeto geométrico e, até mesmo, 
estrutural da fundação superficial, por não permitir a visualização da distribuição de tensões no 
solo sob toda a área da fundação e, o que é pior, impossibilitar a avaliação física expedita da 
ocorrência de resultados discrepantes, principalmente devidos a erros na entrada de dados. 
 
Portanto, o ideal é a elaboração de novos programas que contemplem, no mínimo, os seguintes 
dados de saída: 
 
♦ Tensões nos quatro vértices da sapata ou bloco de fundação; 
 
♦ Porcentagem da área comprimida da sapata ou bloco de fundação; 
 
♦ Posição da reta correspondente à Linha Neutra (lugar geométrico dos pontos 
de tensão nula); 
 
♦ Região de localização da carga normal. 
 
No item 2 deste trabalho, é apresentado programa para cálculo de tensões de contato 
contemplando as saídas acima recomendadas e considerando a NBR-6122/2010. 
 
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1.2. ALERTA SEGUNDO 
 
O segundo ponto a se chamar a atenção refere-se à modificação da condição de carregamento da 
fundação superficial em que se pode majorar (em até 30%) a tensão admissível do solo suporte, e 
que muitos projetistas de estruturas de fundações têm considerado de forma errada. 
 
A NBR 6122/1996 preconizava em seu item 5.5.3: 
 
“Quando forem levadas em consideração todas as combinações possíveis entre os diversos tipos 
de carregamento previstos pelas normas estruturais, inclusive a ação do vento, pode-se, na 
combinação mais desfavorável (grifos do autor), majorar em 30% os valores admissíveis das 
tensões no terreno e das cargas admissíveis em estacas e tubulões. Entretanto, estes valores 
admissíveis não podem ser ultrapassados, quando consideradas apenas as cargas permanentes e 
acidentais.” 
 
A NBR 6122/2010, de forma diferente, preconiza em seu item 6.3.1: 
 
“Quando a verificação das solicitações for feita considerando-se as ações nas quais o vento é a 
ação variável principal(grifo do autor), os valores de tensão admissível de sapatas e tubulões e 
cargas admissíveis em estacas podem ser majorados em até 30%. Neste caso deve ser feita a 
verificação estrutural do elemento de fundação.” 
 
Salienta-se que a modificação imposta pela NBR 6122/2010 é categórica, não deixando 
qualquer margem de defesa no caso da preconização ser desrespeitada. 
 
 
2. PROGRAMA DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES 
 SUPERFICIAIS SEGUNDO A NBR-6122/2010 
 
 
Programa com as saídas recomendadas no item 1.1.3 e com a consideração da NBR-6122/2010 
foi elaborado, sob a orientação do autor, pelo, então, aluno Dílio Rodrigues Júnior, em seu 
Trabalho Final de Graduação no Curso de Engenharia Civil da UFMG. 
 
Uma visão geral dos dados de entrada e de saída do programa é mostrada na Figura 3. 
 
O programa acima citado foi elaborado com base nas formulações [*] apresentadas no item 4 - 
Tensões de Contato de Fundações Diretas Pela Teoria da Elasticidade – da apostila 
“Fundações Superficiais – Dimensionamentos Geométrico e Estrutural”, escrita pelo autor e 
publicada pelo Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da 
Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG. [*] segundo Pires, Antônio Carlos Xavier - 
“Dimensionamento Estrutural de Fundações”, UFRS, Escola de Engenharia, Depto. de 
Engenharia Civil, Porto Alegre, 1986, 79p. 
 
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Figura 3 – Visão dos Dados de Entrada e Saída do programa EE-UFMG 
 
 
O Item 4, acima citado, está transcrito no Anexo 1 deste trabalho. 
 
O programa elaborado por Dílio, em Planilha Excel pode ser encontrado, no arquivo 
“tensoes-de-contato-Dilio-Elvio, em www.demc.ufmg.br/elvio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO - 1 
(10 páginas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS PELA 
TEORIA DA ELASTICIDADE 
 
 
Como citado, as tensões de contato de fundações superficiais rígidas podem ser 
calculadas utilizando-se as equações da resistência dos materiais, referentes às tensões 
normais e tensões normais na flexão. 
 
Condição necessária para a utilização daquelas equações é a de não haver 
deslocamentos relativos entre os pontos da superfície de contato, ou seja, que essa 
superfície permaneça plana (o que ocorre apenas nas fundações superficiais rígidas). 
 
A equação básica é: 
 
 ( ) xI
M
y
I
M
A
N
y
y
x
x
yx ⋅±⋅±=,σ (Equação 4-1) 
 
onde: ( )σ x y, = tensão de contato no ponto de coordenadas “x” e “y”; 
 
N = carga normal aplicada no centro de gravidade da superfície de 
contato - compressão ( )+ ; 
 
 A = área da base (base retangular ⇒ a x b - onde “a” é a maior dimensão); 
 
 Mx = momento fletor em relação ao eixo “x”, aplicado no centro de 
 gravidade da superfície de contato; 
 
 My = momento fletor em relação ao eixo “y”, aplicado no centro de 
 gravidade da superfície de contato; 
 
 Ix = momento de inércia da seção da base em relação ao eixo “x”; 
 
 Iy = momento de inércia da seção da base em relação ao eixo “y”; 
 
 x e y⋅ ⋅ = módulo das coordenadas do ponto estudado, em relação aos eixos 
 principais de inércia da seção da base. 
 
 sinal ( )+ −ou = em função dos momentos provocarem, no ponto estudado, 
 tensões de compressão ( )+ ou de tração ( )− . 
 
 
A Figura 4-1 ilustra o descrito. Nela, os pontos I, II, III e IV são aqueles onde as 
pressões são calculadas, visto serem locais onde ocorrerão os valores máximo e mínimo 
de tensões. 
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Figura 4-1 - Parâmetros da Equação 4.1 
 
Observa-se que os momentos “Mx” e “My”, podem também ser expressos em função da 
carga normal (N) com excentricidades “ey” e “ex”, respectivamente, conforme Figura 
4-2. 
 
 
 
Figura 4-2 - Momentos Expressos como Excentricidades da Carga Normal (N) 
 
 
Antes de continuar com o estudo da equação 4-1, convém comentar sobre a origem das 
excentricidades da carga normal atuante na fundação, que são, como já visto, 
equivalentes a momentos fletores aplicados na fundação. 
 
As excentricidades podem ser classificadas como: 
 
• Excentricidades Geométricas: quando devidas a pilares, mesmo aqueles solicitados 
apenas por carga normal, cujo centro de carga não 
coincide com o centro de gravidade da superfície 
de contato (pilar excêntrico). 
 
• Excentricidades Estruturais: quando o pilar, mesmo concêntrico com a superfície 
de contato, apresentar, pelo cálculo estrutural, 
reações horizontais ou reações momentos. 
 
A Figura 4-3 ilustra os dois tipos de excentricidades. 
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Figura 4-3 - Origem das Excentricidades da Carga Normal na Fundação 
 
 
Voltando à equação 4-1, é importante observar que ela só pode ser aplicada quando as 
dimensões “lx” e “ly” e as excentricidades “ex”e “ey”, definidas na Figura 4-2, 
atenderem à inequação: 
 
e ex
x
y
yl l
+ ≤
1
6
 (Equação 4-2) 
 
A restrição imposta pela equação 4-2 garante que, ao se calcular as tensões no solo pela 
equação 4-1, só sejam encontradas tensões de compressão, visto que é impossível 
existir tensões de tração entre a fundação e o solo. 
 
Em termos de geométricos, a equação 4-2 limita a excentricidade da carga normal ao 
paralelogramo indicado na Figura 4-4, denominado “núcleo central”. 
 
 
Figura 4-4 - Campo de Validade da Equação 4-1 - Núcleo Central 
 
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Em função da combinação de valores de carga normal e momentos, ou então, da 
posição da excentricidade dentro do núcleo central, podem ser obtidos, com a aplicação 
da equação 4-1, diagramas de tensões de contato com as configurações indicadas na 
Figura 4-5. 
 
 
 
 
Figura 4-5 - Configurações do Diagrama de Tensões de Contato pela Equação 4-1 
 
 
Quando as excentricidades não atenderem à equação 4-2, as tensões no solo devem ser 
calculadas conforme um dos dois subitens seguintes. 
 
 
4.1. Excentricidade em Relação a Apenas um dos Eixos Principais de Inércia 
 
a) Quando ex ≠ 0 e ey = 0, o diagrama de tensões é o indicado na Figura 4-6. 
 
 
 
 
Figura 4-6 - Diagrama de Tensões no Solo para ex ≠ 0 e ey = 0 
 
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b) Quando ey ≠ 0 e ex = 0, o diagrama de tensões é o da Figura 4-7. 
 
 
 
 
Figura 4-7 - Diagrama de Tensões no Solo para ey ≠ 0 e ex = 0 
 
 
Observa-se que as limitações impostas para 3 ex’ e 3 ey’ (Figuras 4-6 e 4-7) garantem 
que a área comprimida da superfície de contato da sapata será maior do que a mínima 
permitida pela NBR-6122/2010. 
 
A NBR 6122/2010 (em vigor), passou a exigir que, no mínimo 2/3 área da sapata 
esteja comprimida (3e’x ≥ 2lx/3 e 3e’y ≥ 2ly/3). 
 
A exigência de que mais de 50% da área da sapata estivesse comprimida (3e’x ≥ lx/2 e 
3e’y ≥ ly/2) era citada na versão de agosto/1984 da NBR-6122. 
 
 
4.2. Excentricidades em Relação aos Dois Eixos Principais de Inércia 
 
A determinação do diagrama de pressões no solo é, neste caso, mais complexa. 
 
Quatro situações distintas podem ocorrer, dependendo da posição (região) onde se 
localizar a carga normal excêntrica. A Figura 4-8-A indica essas quatro regiões. 
 
 
Para limite de 2/3 da sapata comprimida - NBR-6122/2010 (EM VIGOR) 
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Curiosidade: Para limite de 50% da sapata comprimida (Válida Até 2010) 
 
Figura 4-8 - As Quatro Regiões da Excentricidade Externas ao Núcleo Central 
 
 
OBS.: caso a maior dimensão da sapata (“a”) esteja na direção do eixo “y”, trocar “a” 
por “b”, na Figura 4-8 e em todas as expressões a seguir. 
 
 
Observa-se, pela Figura 4-8, que existem, além do núcleo central, quatro regiões 1, duas 
regiões 2 e duas regiões 3. 
 
Para cada região, os diagramas de tensão no solo podem ser obtidos como a seguir 
descrito (Pires, A.C.X. - UFRS, 1986, 79p). 
 
 
4.2.1. Região 1 
 
A Figura 4-9 mostra a posição da linha neutra (lugar geométrico dos pontos de tensão 
nula) para os casos em que a excentricidade da carga normal cai nessa região. 
 
 
 
Figura 4-9 - Região 1 - Posição da Linha Neutra 
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