Modulo 4 - Fenomenos de Transporte - J817

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4. Equação da continuidade
 
 No estudo do movimento de um fluido emprega-se o conceito de linhas de corrente
(ou linhas de fluxo) para descrever como as partículas do fluido se movem. As linhas de
corrente são definidas de modo que em cada ponto sua tangente é paralela ao vetor
velocidade do fluido (Figura 1).
 
 
Figura 1: Linha de corrente em um fluido móvel. Em cada ponto da linha de corrente a
velocidade do fluido é paralela à reta tangente.
 
 
 Um tubo imaginário limitado por linhas de corrente é definido como sendo um tubo de
corrente (Figura 2). Como uma linha de corrente é paralela ao vetor velocidade do fluido, este
flui ao longo do tubo e nenhum fluxo pode atravessar suas paredes. Desta forma, pode-se
estabelecer uma expressão para a conservação da massa do fluido.
 
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Figura 2: Tubo de corrente em um fluido que escoa em regime não turbulento.
 
 
 Para o tubo de corrente anterior, as velocidades das seções retas de área A1 e A2
são, respectivamente, v1 e v2. Considerando um elemento de fluido que penetra na parte
inferior do tubo de corrente da Figura 2, o volume desse elemento (ΔV1) corresponde à área
A1 vezes o comprimento de volume (ΔL1).
 
 
 
onde Δt é o tempo que o fluido leva para percorrer o elemento de volume naquela
extremidade do tubo.
 Consequentemente, a massa de fluido que entra na extremidade inferior do tubo
durante o intervalo Δt corresponde à massa específica ρ1 vezes o volume ΔV1. Assim:
 
 
 
 Analogamente a massa (m2) do fluido que sai pela extremidade superior durante o
mesmo intervalo de tempo é:
 
 
 
 
 Como nenhum fluido se acumula no tubo, em regime permanente de escoamento, as
duas massas m1 e m2 são iguais. Logo:
 
 
 
 
 Esta equação é conhecida como equação da continuidade e representa a
conservação de massa em fluxo constante. Assim, em regime permanente a vazão mássica é
conservada (QM1 = QM2). Além disso, se o fluido for incompressível, como a massa
específica é constante, então ρ1 = ρ2, e a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2). Portanto:
 
 
 
Exemplo 1:
Um conduto de água se afunila de um raio de 12,5 mm para um raio de 9 mm. Sendo que a
velocidade da água na parte de 12,5 mm é 1,8 m/s, determine:
 
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto;
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e isolando a
velocidade v2 tem-se:
 
 
b) a vazão volumétrica;
 
Solução: A vazão volumétrica corresponde à velocidade vezes a área. Como o fluido é
incompressível, a vazão volumétrica se conserva (Q1 = Q2 = Q). Então:
 
 
 
c) a vazão mássica;
 
Solução: A vazão mássica corresponde ao produto entre a massa específica do fluido (ρágua
= 1000 kg/m³) e a vazão volumétrica. Logo,
 
 
 
 
Exemplo 2:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 1,7 m/s. O tubo se
bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem-se:
 
 
(a) Quais são as vazões nos pontos A e B?
 
 
Solução: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível e sabendo que
os diâmetros de saída do fluido são iguais, logo, as vazões volumétricas são iguais nos dois
tubos menores, então:
 
 
Como: 
Portanto: 
 
(b) Qual é a velocidade no ponto B?
Solução: Isolando a variável velocidade na expressão da vazão volumétrica, tem-se:
 
 
Exercício 1:
Um jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a
queda (figura a seguir). Essa seção reta horizontal é característica de jatos de
água laminares em queda livre porque a força gravitacional aumenta a velocidade
da água. Determine a velocidade v0 (em m/s).
Dados:
A0 = 1,2 cm²
A = 0,35 cm²
h = 45 mm
g = 10 m/s²
 
A)
 v0 = 5,8 m/s
B)
 v0 = 0,58 m/s
C)
 v0 = 2,9 m/s
D)
 v0 = 0,29 m/s
E)
 v0 = 0,44 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 2:
Um jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda
(figura a seguir). Essa seção reta horizontal é característica de jatos de água laminares em
queda livre porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água. Determine a vazão
(em m³/s) da torneira.
 
Dados:
A0 = 1,2 cm²
A = 0,35 cm²
h = 45 mm
g = 10 m/s²
 
A)
 Q = 35 x 10-6 m³/s
B)
 Q = 350 x 10-6 m³/s
C)
 Q = 35 x 10-3 m³/s
D)
 Q = 3,5 x 10-3 m³/s
E)
 Q = 0,35 x 10-6 m³/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 3:
Uma mangueira de jardim é conectada a um bocal é usada para encher um balde de 38
litros. O diâmetro interno da mangueira é de 2 cm, e se reduz a 0,8 cm na saída do bocal.
Sabendo que são necessários 50 s para encher o balde com água, determine a vazão
volumétrica (em m³/s) da água através da mangueira e a velocidade média (m/s) da água na
saída do bocal.
A)
Q = 76 x 10-6 m³/s
v = 1,51 m/s
B)
Q = 76 x 10-6 m³/s
v = 15,1 m/s
C)
Q = 76 x 10-3 m³/s
v = 151 m/s
D)
Q = 7,6 x 10-3 m³/s
v = 1,51 m/s
E)
Q = 0,76 x 10-3 m³/s
v = 15,1 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 4:
Para a irrigação de um jardim utiliza-se uma mangueira de 3 cm de diâmetro diretamente
ligada a um irrigador que possui 24 orifícios. Cada um destes orifícios possui 0,16 cm de
diâmetro. Sabendo que o módulo da velocidade de escoamento da água na mangueira é de
5 m/s, calcule o módulo da velocidade (em m/s) da água ao sair pelos orifícios do irrigador.
A)
v = 36,6 m/s
B)
v = 7,32 m/s
C)
v = 73,6 m/s
D)
v = 3,66 m/s
E)
v = 0,37 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 5:
Um determinado circuito hidráulico admite água em um reservatório com vazão de 25 l/s. No
mesmo reservatório é trazido óleo por outro tubo com vazão de 14 l/s. A mistura homogênea
formada é então descarregada por outro tubo, cuja secção transversal tem uma área de 37
cm². Determine a velocidade (em m/s) da mistura.
A)
 v = 1,05 m/s
B)
v = 10,54 m/s
C)
v = 8,36 m/s
D)
v = 0,84 m/s
E)
v = 5,17 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 6:
O ar escoa em um tubo cuja área de maior seção transversal é de 20 cm² e a menor de 10
cm². A massa específica do ar na seção (1) é 1,4 kg/m³, enquanto na seção (2) é de 0,9
kg/m³. Sabendo que a velocidade na seção (1) é de 12 m/s, determine a velocidade (em m/s)
da seção (2) e a vazão em massa (em kg/s).
 
A)
v2 = 37 m/s.
Q2 = 336 kg/s
B)
v2 = 3,7 m/s.
Q2 = 33,6 kg/s
C)
v2 = 0,37 m/s.
Q2 = 3,36 kg/s
D)
v2 = 3,73 m/s.
Q2 = 0,336 kg/s
E)
v2 = 37,33 m/s.
Q2 = 0,0336 kg/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 7:
Um conduto de água ( água = 1000 kg/m³) se afunila de um raio de 10 mm para um raio de 5
mm. Sendo a velocidade da água no raio de 10 mm igual a 2,0 m/s, determine:
 
a) a velocidade da água na parte mais estreita do conduto (em m/s);
 
b) a vazão volumétrica (em m³/s);
 
c) a vazão mássica (em kg/s);
 
 
A)
a) v2 = 8 m/s
b) Q = 6,3 x 10-4 m³/s
c) QM = 0,63 kg/s
B)
a) v2 = 8 m/s
b) Q = 63 x 10-4 m³/s
c) QM = 0,63 kg/s
C)
a) v2 = 4 m/s
b) Q = 3,6 x 10-4 m³/s
c) QM = 0,36 kg/s
D)
a) v2 = 4 m/s
b) Q = 36 x 10-4 m³/s
c) QM = 3,6 kg/s
E)
a) v2 = 8 m/s
b) Q = 6,3 x 10-3 m³/s
c) QM = 3,6 kg/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 8:
No ponto A o diâmetro do tubo é de 50 mm e a velocidade da água é de 2,3 m/s. O tubo se
bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm. Pedem-se:
a) Quais são as vazões (em m³/s) nos pontos A e B?
b) Qual é a velocidade (em m/s) no ponto B?
 
A)
a) QA = 0,45 x 10-3 m³/s e QB = 2,2 x 10-3 m³/s
b) v2 = 5,4 m/s
B)
a) QA = 5,4 x 10-3 m³/s e QB = 3,4 x 10-3 m³/s
b) v2 = 4,5 m/s
C)
a) QA = 54 x 10-3 m³/s e QB = 22 x 10-3 m³/s
b) v2 = 4,5 m/s
D)
a) QA = 4,5 x 10-3 m³/s e QB= 2,2 x 10-3 m³/s
b) v2 = 4,5 m/s
E)
a) QA = 45 x 10-3 m³/s e QB = 22 x 10-3 m³/s
b) v2 = 4,5 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D)