MEF-1-Introdução ao Método dos Elementos Finitos

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PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA OCEÂNICA E EM 
ENGENHARIA MECÂNICA
Prof. Paulo Roberto de Freitas Teixeira
prfreitasteixeira@gmail.com
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
CAPÍTULOS
• Introdução ao Método dos Elementos Finitos
• Cálculo variacional e métodos aproximados
• O conceito do elemento
• MEF em problemas unidimensionais
• MEF em problemas bi e tridimensionais
• Algoritmo computacional baseado no MEF
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BURNETT DS, Finite Element Analysis, from concepts to applications.
ZIENKIEWICZ, TAYLOR, ZHU, The Finite Element Method Its Basis & Fundamentals. 
RAO, The Finite Element Method in Engineering.
KIM, SANKAR, Introdução à análise e ao projeto em elementos finitos. 
ASSAN, Método dos elementos finitos – primeiros passos.
BATHE, K. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis. 
CHUNG, T.J., Finite Element Analysis in Fluid Dynamics.
ODEN, J.T. & REDDY. An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements.
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Equações diferenciais Ordinárias – EDOs
Equações diferenciais Parciais – EDPs
O problema da Mecânica dos Sólidos
O problema da Mecânica dos Fluidos
Exemplo de solução via MEF
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Equações Diferenciais Parciais (EDPs)
Problemas de valor de contorno 2D
Problemas mistos de valor de contorno-inicial
Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)
Problemas de valor de contorno 1D 
Problemas de valor inicial 1D
Equações diferenciais
Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)
Problemas de valor de contorno 1D (Burnett, 1988)
Fluxo de calor 1D
Caso 1: Barra longa e fina com superfície lateral perfeitamente isolada – fluxo 
de calor tem direção paralela ao eixo da barra.
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Caso 2: Placa de parede fina com fluxo de calor perpendicular às faces.
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Burnett, 1988
Equação da conservação de energia
q(x) → fluxo de calor 
k(x) → condutividade térmica do material
Cilindro de área da seção transversal constante
Condições de contorno
Essencial – temperatura prescrita Natural – fluxo de calor prescrito
Equação constitutiva (lei de Fourier)
Q(x) → fonte de calor
Equação governante
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Burnett, 1988
Equação da conservação de energia
Cilindro de área da seção transversal constante
Equação governante
Modelo 1D de fluxo de calor 2D
Barra longa e fina com superfície lateral com perda de calor por convecção.
h→ coeficiente de transferência de calor por convecção
l→ circunferência do cilindro
T
∞
→ temperatura ambiente
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Burnett, 1988
Equilíbrio de forças na direção x
Cilindro de área da seção transversal constante
Equação governante
Barra elástica
σ(x) → tensão f(x) → força por unidade de volume
Equação constitutiva (Lei de Hooke)
E(x) é o módulo de elasticidade e u(x) é o deslocamento
Condições de contorno: Essencial – deslocamento prescrito, Natural – tensão prescrita.
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Burnett, 1988
Equilíbrio de forças transversais
Equação governante
Deflexão de um cabo
Equação constitutiva
F(x) → componente transversal da tração
f(x) → força transversal distribuída ao longo do cabo
W(x) → deslocamento transversal (deflexão)
k(x) → módulo de elasticidade da fundação
para pequenas deflexões
Condições de contorno: Essencial – deslocamento prescrito, Natural –
componente transversal da tração
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Burnett, 1988
Equação da conservação
Equação governante
Equação constitutiva
Condições de contorno: Essencial – função U prescrita 
Natural – fluxo t prescrito
perda de energia do sistema 
devido ao fluxo sobre os 
contornos
perda de energia 
do interior do 
sistema
ganho de energia do 
interior do sistema
Formulação geral de todas as aplicações
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Burnett, 1988
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Burnett, 1988
Problemas de valor inicial 1D (Burnett, 1988, p. 446, 447)
Equação diferencial ordinária de primeira ordem de um problema de valor inicial 
(Difusão)
Condição inicial
U é a função incógnita, c e k são propriedades físicas e f é uma função de carga
Domínio semi-infinito
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Burnett, 1988
Problemas de valor inicial 1D (Burnett, 1988, p. 446, 447)
Exemplos práticos de equações diferenciais ordinárias de problemas de valor 
inicial (Chapra e Canale, 2008)
Equação de primeira ordem – velocidade de um paraquedista em queda livre v (Segunda 
Lei de Newton)
g é a aceleração da gravidade, m é a massa,
c é o coeficiente de arrasto
Equação de segunda ordem – posição de um sistema massa-mola com amortecimento
c é a constante de amortecimento e k é a constante de mola
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Chapra e Canale, 2008
Equações Diferenciais Parciais (EDPs)
Problemas de valor de contorno 2D (Burnett, 1988)
Domínio do problema de valor de contorno 2D
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Burnett, 1988
Equação da conservação
Equação constitutiva
Equação governante
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Burnett, 1988
Caso 1
Caso 2
Caso 3 Equação de Poisson
Caso 4 Equação de Laplace
Casos especiais
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Burnett, 1988
Aplicações físicas
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Burnett, 1988
Aplicações físicas
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Burnett, 1988
Problemas mistos de valor de contorno-inicial
Problemas 1D (Burnett, 1988, p. 449 a 451)
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Burnett, 1988
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Burnett, 1988
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Burnett, 1988
O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Tipos de estruturas na engenharia
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
Elemento infinitesimal sujeito
as componentes de tensões
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Equilíbrio de momentos
Tensor de Tensões
Componentes de deformação
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
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Relações cinemáticas – deformações x deslocamentos
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
Equações Constitutivas – Lei de Hooke Generalizada
Material isotrópico
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Equações de Equilíbrio Dinâmico
Equilíbrio de forças na direção x
Forma Matricial
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Equações de EquilíbrioDinâmico
Equações de Equilíbrio Estático
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Condições de contorno
Essencial
Natural
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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Solução dos deslocamentos - funcional mínimo
Aplicação do princípio de Hamilton + discretização = base do Método dos Elementos Finitos
EQUAÇÕES PARA OS SÓLIDOS TRIDIMENSIONAIS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
PRINCÍPIO DE HAMILTON
Considere o Funcional Y dado por
T é a Energia cinética
ΠΠΠΠ é a Energia potencial (energia de deformação elástica)
Wf é o Trabalho realizado pelas forças externas
Y
Y
O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
● Lei de deformação para um fluido Newtoneano
Vdiv
x
u
pxx λµσ +
∂
∂
+−= 2
Vdiv
y
pyy λµσ +
∂
∂
+−=
v
2
Vdiv
z
w
pzz λµσ +
∂
∂
+−= 2






∂
∂
+
∂
∂
==
y
u
x
yxxy
v
µττ






∂
∂
+
∂
∂
==
zy
zyyz
vw
µττ






∂
∂
+
∂
∂
==
x
w
z
u
zxxz µττ
0
3
2 =+ µλhipótese de Stokes
µ= coeficiente de viscosidade de cisalhamento
λ = coeficiente de viscosidade volumétrica 
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
Vdiv
x
u
pxx λµσ +
∂
∂
+−= 2
Vdiv
y
pyy λµσ +
∂
∂
+−=
v
2
Vdiv
z
w
pzz λµσ +
∂
∂
+−= 2






∂
∂
+
∂
∂
==
y
u
x
yxxy
v
µττ






∂
∂
+
∂
∂
==
zy
zyyz
vw
µττ






∂
∂
+
∂
∂
==
x
w
z
u
zxxz µττ
µ= coeficiente de viscosidade de cisalhamento
λ = coeficiente de viscosidade volumétrica 
xxε
yyε
zzε
xyε2
xzε2
yzε2
● Lei de deformação para um fluido Newtoneano
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
0
3
2 =+ µλhipótese de Stokes
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O PROBLEMA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS
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EXEMPLO DE SOLUÇÃO VIA MEF
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Burnett, 1988
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INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
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INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
EDO EDP Mec Sólidos Mec Fluidos Exemplo MEF
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