ATIVIDADE 4

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Pergunta 1
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 Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é a medida sobre a
trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da trajetória. Com essa informação, resolva a
seguinte situação-problema.
 
Considere a função velocidade de uma partícula que se desloca ao longo de
uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. Utilize o
gráfico da figura a seguir como suporte para ajudar na resolução da questão. Nesse contexto, analise
as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial até é igual a 100 m.
Pois:
II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura 7. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição
verdadeira, uma vez que a distância percorrida é igual à área dada por
. Consequentemente, a asserção II também é verdadeira e justifica a I.
Pergunta 2
O método de substituição de variável é um método que nem sempre pode ser aplicado para resolver
integrais de funções não elementares. Para tanto, deve-se, inicialmente, verificar se o método é
aplicável e fazer a escolha para mudança de variável convenientemente. Assim, avalie a escolha
correta para aplicar esse método para resolver a integral e assinale a alternativa
correta. 
 
 
 
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.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral 
por substituição de variável, fazemos a substituição: 
; portanto, 
.
Pergunta 3
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É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para determinar a lei que rege a
função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário identificar o tipo de função elementar. Além
disso, é possível identificar ferramentas de suporte para o cálculo da área de regiões planas limitadas
pelo gráfico da função e pelos eixos coordenados. 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
I. ( ) A equação da parábola é dada por .
II. ( ) A área da região hachurada é igual a 
III. ( ) a área da região interna da parábola é igual a 
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, desde
quando ao substituir os ponto visualizados no gráfico na lei
genérica da parábola , ; portanto, a lei da função
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é dada por . A alternativa II é falsa já que a área hachurada é dada
por . A alternativa III é
verdadeira, e a conta pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do retângulo
menos a área hachurada determinada no item II; portanto, a área
solicitada é Finalmente, a alternativa IV é falsa pois a área
hachurada do primeiro quadrante é igual a 
.
Pergunta 4
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Avalie a escolha correta para aplicar o método de substituição de variável na resolução da integral
indefinida , que envolve a função exponencial. Para tanto, é necessário verificar a
escolha adequada, tal que a derivada da parte escolhida esteja na integração a menos de alguma
constante. Após a resolução da integral, assinale a alternativa correta. 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral
por substituição de variável, fazemos a substituição:
; portanto, 
.
Pergunta 5
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento em metros, 
 em segundos, velocidade instantânea e aceleração . Conhecendo-se a função velocidade, é
possível determinar as funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo
diferencial e integral. Nesse contexto, considere a função e seu gráfico como suporte
(figura a seguir) e analise as afirmativas a seguir.
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resposta:
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do tempo é dada
por .
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, para 
 , é igual a integral 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a . 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os instantes e
 , em que .
 
É correto o que se afirma em: 
 
II, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, uma vez que,
por mudança de variável, fazendo , temos: 
 
, substituindo , . A
alternativa II é verdadeira, pois o deslocamento é dado por
É fácil ver que a aceleração é igual à derivada da função velocidade
. Por fim, a alternativa é
verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda positiva e a posição inicial é
igual a zero, coincide com a distância percorrida.
Pergunta 6
Arquimedes (287-212 a. C.), inventor, engenheiro militar, médico e o maior matemático dos tempos
clássicos no mundo ocidental, descobriu que a área sob um arco parabólico é dois terços da base
vezes a altura. Além disso, o cálculo da área também pode ser calculado por meio da integral
definida. 
 
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Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura a seguir, analise as
afirmativas e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. ( ) A área limitada pela curva e o eixo x pode ser calculada por meio da integral
 , e seu valor é igual à 
II. ( ) A altura do arco (ver Figura) é dada por 
III. ( ) Segundo Arquimedes, a área do arco parabólico é igual a dois terços da base b vezes a altura h
do arco, portanto, a área é igual à 
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
F, V, V, F.
F, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, uma vez que a
área é igual a | . A alternativa II é
verdadeira, pois a altura do arco parabólico é dada pelo y do vértice ( ) da parábola: 
. Consequentemente, a alternativa III também é verdadeira,
pois, para Arquimedes, . Finalmente, a alternativa IV é
falsa, pois a área ao primeiro quadrante é igual a 
Pergunta 7
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O conceito da primitiva de uma função explica a definição da integral de uma função. Portanto,
conhecendo-se a primitiva de uma função, é possível determinar qual a função que se deseja integrar.
Seja uma primitiva de uma função , se , determine a função
integranda e assinale a alternativa correta. 
 
.
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.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a função integranda 
, basta derivar a função primitiva , desde quando , por
definição de uma função primitiva. Portanto, nesse caso, derivando-se , obtemos: 
Pergunta 8
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Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral . Observe que a
intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, pois não é
uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula
 para resolver a integral e assinalea alternativa correta. 
 
 
.
.
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a integral por partes,
fazemos a substituição: , e ; portanto, por
meio da fórmula:
 
 
Pergunta 9
O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões,
podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a
região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido, encontre
a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e 
 
 
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resposta:
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta,
resolvemos a integral , pois,
de a , a função limita superiormente e, de a , a função 
 limita superiormente. A região é limitada simultaneamente por ambas as
funções. Portanto: 
Pergunta 10
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Para resolver a integral , é necessário aplicar o método de integração por partes.
Nesse caso, devemos resolver a integral por meio da fórmula: , em
que uma das partes é nomeada e a outra parte, . Nesse sentido, faça as escolhas adequadas,
resolva a integral e assinale a alternativa correta. 
 
 
.
.
 
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a integral por partes,
fazemos a substituição: , e ;
portanto, substituindo na fórmula, temos: 
 
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