Planejamento-Fatorial 2k-Parte 1

Prévia do material em texto

1
Planejamento Fatorial
Requer a execução de experimentos 
para todas as possíveis combinações 
dos níveis dos fatores
Níveis
Valores dos fatores que 
serão empregados no 
experimento
Exemplo
Uma empresa deseja avaliar o efeito de três 
ingredientes na formulação de um detergente. 
Qual o número mínimo de experimentos?
Fator Níveis
Tipo de tensoativo A e B
Concentração de 
branqueador
Alta e baixa
Tipo d enzima I e II
2
Planejamento em que todos os fatores são 
estudados em apenas 2 níveis
Número de experimentos
2  2  2  ...  2 = 2k
k = n de fatores
É denominado planejamento fatorial 2k
Número de fatores Número de Ensaios
2 22 = 4
3 23 = 8
4 24 = 16
10 210 = 1024
Planejamento fatorial 22
Efeito da temperatura e do pH em uma 
reação química
4 e 5pH
40C, 60C Temperatura
NíveisFatores
3
Resultados do planejamento 
fatorial 22
Tratamento Temperatura 
(C)
pH Rendimento 
%
Média 
1 40 4 57 61 59
2 60 4 92 88 90
3 40 5 55 53 54
4 60 5 66 70 68
y
Cálculo dos efeitos dos fatores
 Efeito do pH 
 Efeito da Temperatura (T)
   
2
3412 yyyyT


Efeito do fator mudança na resposta 
produzida pela mudança no nível do fator
   
2
2413 yyyypH


4
Interação entre os fatores
Ocorre quando a diferença na resposta 
entre os níveis de um fator não é o mesmo 
para os demais níveis do outro fator
Cálculo do efeito da interação entre os 
fatores
Efeito de T com o pH 4
 Efeito T  pH = TpH
Efeito de T com o pH 5
(90-59) = 31
(68-54) = 14
𝑻𝒑𝑯 =
𝟏
𝟐
𝟏𝟒 − 𝟑𝟏 = −𝟖, 𝟓
5
Resumo dos efeitos 
Temperatura (C)
6040
4
5 68
90
54
59
+ 14
- 22
- 5
+ 31
Codificação das variáveis
Temperatura pH
40C 60C 4 5
-1 +1 -1 +1
Temperatura (C)
6040
4
5 68
90
54
59
67,75
67,75
6854
59 90
+1
+1
-1
-1
x1
x2
6
Codificação das variáveis
𝒙𝟏 =
𝑻𝒊 − ഥ𝑻
𝑻𝟔𝟎 − 𝑻𝟒𝟎
𝟐
𝒙𝟐 =
𝒑𝑯𝒊 − 𝒑𝑯
𝒑𝑯𝟓 − 𝒑𝑯𝟒
𝟐
Para Temp. 40C x1 = -1
Para Temp. 60 C x1 = +1
Para pH 4 x2 = -1
Para pH 5 x2 = +1
Cálculo dos efeitos com as variáveis 
codificadas (Tabela dos Contrastes)
Tratamento média T (x1) pH (x2) TpH
(x1x2)
Rendimento 
médio 
1 + - - + 59
2 + + - - 90
3 + - + - 54
4 + + + + 68
y
7
Cálculo dos efeitos com as variáveis 
codificadas (Tabela dos Contrastes)
Tratamento média T 
(x1)
pH
(x2)
TpH
(x1x2)
Rendimento 
médio 
1 + - - + 59
2 + + - - 90
3 + - + - 54
4 + + + + 68
Soma 271 45 - 27 - 17
Divisor 4 2 2 2
Efeito 67,75 22,5 - 13,5 - 8,5
y
Exercício
 Um estudo foi realizado para avaliar a influência da 
granulomentria e da quantidade de água residual no 
tempo de pega inicial do gesso (tempo em que o gesso 
começa a endurecer depois que o pó é misturado com 
água). Os ensaios foram realizados em duplicata e em 
ordem aleatória. 
Granulometria Água residual
6,5 % (-) 7,5 (+)
100 – 150 mesh (-) 12,3 10,3
13,0 9,8
150 – 200 mesh (+) 10,5 9,0
10,6 8,9
8
Calcular os efeitos dos fatores e da interação.
Tratamento média x1 x2 x1x2 Tempo de 
pega
1 + - - +
2 + + - -
3 + - + -
4 + + + +
Soma
Divisor
Efeito
 Construir um gráfico do tempo de pega 
em função da água residual e 
interpretar os resultados.
9
Planejamento fatorial 23
Efeito da temperatura, do pH e da concentração 
de um reagente em uma reação química.
Fator Nível (-) Nível (+)
1 - Temperatura (C) 40 60
2 - pH 4 5
3 - Concentração (M) 1,0 1,5
Resultados dos ensaios
Tratamento 1 2 3 Rendimento (%) Média 
1 40 A 1 56 52 54,0
2 60 A 1 85 88 86,5
3 40 B 1 49 47 48,0
4 60 B 1 64 62 63,0
5 40 A 1,5 65 61 63,0
6 60 A 1,5 92 95 93,5
7 40 B 1,5 57 60 58,5
8 60 B 1,5 70 74 72,0
y
10
Tabela de contrastes
Tratamento Média 1 2 3 12 13 23 123 ymédio
1 + - - 54,0
2 + + - 86,5
3 + - + 48,0
4 + + + 63,0
5 + - - 63,0
6 + + - 93,5
7 + - + 58,5
8 + + + 72,0
Soma 538,5 91,5 -55,5
Divisor 8
Efeito 67,3