Matemática - Unidade II

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Unidade II
Unidade II
3 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
Para esta unidade, iremos resgatar os conceitos de álgebra. A matemática em geral é abstrata, porém 
a álgebra é um dos ramos da matemática que mais exige da capacidade de abstração, ou seja, requer 
que imaginemos coisas que não podemos ver, que não têm correspondência na vida prática, mas que 
formam as estruturas de pensamento com as quais compreendemos o mundo em que vivemos.
Anteriormente, vimos o conceito de regra de três, por exemplo, no qual utilizamos a álgebra 
intuitivamente. Agora, vamos trabalhar com equações, inequações e sistemas de equações, com os quais 
modelaremos situações aplicando conceitos matemáticos já adquiridos.
3.1 Resgatando conceitos aritméticos
Em geral, um dos primeiros contatos que temos na escola com a matemática é feito no momento 
em que nos são apresentados os números. Nesse momento, aprendemos a contar, por exemplo, nossa 
idade ou a quantidade de canetas que temos em nosso estojo.
Quando começamos a estudar matemática, aprendemos a escrever os números e efetuar operações 
com eles. Ao estudo das propriedades elementares dos números e de suas operações, chamamos de 
aritmética. A seguir apresentamos um exemplo prático a respeito desse assunto.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Jéssica trabalha fazendo doces por encomenda. Seu brigadeiro é o mais famoso de seus produtos, pois pesa em 
média 60 g, o que significa um peso maior que a média, sem contar o sabor, que é incomparável. Ela vendeu 50 
brigadeiros por R$ 1,50 cada um. Para fazê‑los, gastou R$ 12,50 com ingredientes (leite condensado, margarina, 
chocolate em pó, chocolate granulado etc.), R$ 6,30 com gás e R$ 2,70 com forminhas. Qual foi seu lucro?
Resolução
R$ 1,50 50 R$ 75,00× = → receita (recebeu)
R$ 12,50 R$ 6,30 R$ 2,70 R$ 21,50+ + = → custo (gastou)
R$ 75,00 R$ 21,50 R$ 53,50− = → lucro (diferença entre a receita e o custo)
Jéssica lucrou: R$ 53,50.
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MATEMÁTICA
Os cálculos efetuados por Jéssica, na matemática, são chamados de expressões numéricas, que nada 
mais são do que expressões matemáticas que envolvem operações com números.
3.2 Resgatando conceitos geométricos
Outro contato com a matemática é feito no momento em que nos são apresentadas as formas. 
Ainda pequenos, aprendemos a identificar cada uma delas (quadrado, círculo, triângulo, retângulo). 
Em programas de televisão infantis são bem explorados esses conceitos.
Quando começamos a estudar matemática, em particular a geometria, começamos a resolver 
problemas sobre medidas. Geometria é uma palavra grega formada por duas raízes:
Metria
(palavra em 
português)
Metron
(palavra em 
grego)
Medida
(significado)
Geo
(palavra em 
português)
Geos
(palavra em 
grego)
Terra
(significado)
Geometria = medida da terra
Figura 16 
A geometria estuda as medidas da Terra, as figuras planas e espaciais e suas respectivas propriedades. 
A seguir apresentamos um exemplo prático a respeito desse assunto.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Um terreno tem um formato retangular, com 4,5 metros de frente e 25 metros de fundo. Em todo o 
seu redor deseja‑se construir uma mureta com 0,2 metros de largura. Qual será a área total do terreno 
ocupada pela mureta?
25 m
4,5 m
Figura 17 
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Unidade II
25 m
0,2 m
0,2 m
4,5 m
Figura 18 
Resolução
Podemos dividir a mureta em 4 retângulos. Sabemos que a área de um retângulo é igual à multiplicação 
do seu comprimento pela sua largura.
25 m
0,2 m
0,2 m
4,9 m
Figura 19 
Analisando a figura acima, temos 2 retângulos na vertical de medidas 4,9 m por 0,2 m e, calculando 
sua área, temos:
A1 = 4,9 * 0,2 = 0,98 m
2
Da mesma forma, temos também 2 retângulos na posição horizontal com medidas 25 m por 0,2 m 
e, calculando sua área, temos:
A2 = 25 * 0,2 = 5,0 m
2
Para sabermos a área total dessa mureta, é necessário somar a área dos 4 retângulos 
resultantes, ou seja:
AT = 2 * (A1 + A2) = 2(0,98 + 5,0) = 11,96 m
2
Portanto a mureta construída terá uma área total de 11,96 m2
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3.3 Álgebra
As equações algébricas constituem a parte da matemática que explora a capacidade de abstrair e 
generalizar. Elas são introduzidas nos estudos escolares, em geral, no 7º ano (antiga 6ª série) do Ensino 
Fundamental, quando nos são apresentados os conceitos de equações, inequações e proporcionalidade 
(regra de três).
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos, leia:
BRADLEY, G. L.; HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas 
aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Seu Nelson gastou um quarto do seu salário com alimentação e um terço com despesas da casa. 
Após ter quitado suas contas do mês, sobraram‑lhe R$ 380,00. Qual é o salário do senhor Nelson?
Esse problema está descrito como um problema cotidiano. Para resolvê‑lo precisamos fazer algumas 
adaptações matemáticas:
Para representarmos um quarto, podemos utilizar as seguintes notações:
Um sobre quatro:
1
0,25
4
=
O mesmo fazemos para representar um terço:
1
0,33..
3
=
Essas representações matemáticas nós já aprendemos a fazer e sabemos também que, após o 
pagamento de todas as contas, sobraram R$ 380,00. Seja x o salário que queremos determinar.
Sendo assim, temos:
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x x 380 x
4 3
⋅ + ⋅ + =
Esse é um modelo matemático que nos possibilita efetuar a resolução. Porém, existem algumas 
técnicas e procedimentos que devemos executar:
1 1
x x 380 x
4 3
3x 4x
380 x
12
7x
x 380
12
7x 12x
380
12
5x
380
12
5x 380.12
5x 4560
4560
x
5
x 912
+ + =
+
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = −
− = −
−
=
−
=
Portanto, o salário de seu Nelson é R$ 912,00.
3.3.1 Vejamos agora o x da questão
As literais a, b, x, y são utilizadas em matemática para expressar valores que não são conhecidos. Essas literais 
podem assumir três papéis: incógnitas, parâmetros e variáveis. Uma literal é considerada uma incógnita 
quando está substituindo um valor determinado, porém não conhecido. Usualmente, utilizamos as letras finais 
do alfabeto x, y e z para expressar incógnitas. Estas aparecem mais frequentemente quando queremos expressar 
uma situação cotidiana utilizando um modelo matemático, a fim de possibilitar o emprego das técnicas algébricas 
para resolver o problema e descobrir o valor desconhecido. Esse valor desconhecido pode ser determinado, seja 
ele em posse de igualdades ou de desigualdades.
 Observação
Quando usamos letras para representar valores desconhecidos em 
uma expressão matemática, essas letras são chamadas de literais. E essas 
expressões matemáticas passam a se chamar expressões algébricas, pois, 
além de números, contêm literais.
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As literais assumem o papel de parâmetros, ou números genéricos, quando queremos descrever uma 
estrutura matemática útil em diferentes situações – um modelo –, sendo que, em uma aplicação prática, 
aquele valor será conhecido e predeterminado. Nesse caso, geralmente são utilizadas as letras iniciais 
do alfabeto: a, b, c etc.
Como exemplo do uso de literais como parâmetros, podemos analisar a forma genérica de uma 
função do 1º grau (conteúdo no qual nos aprofundaremos nas próximas unidades):
y ax b= +
Onde a ≠ 0, a e b são utilizados como parâmetros e x e y são as variáveis (como veremos a 
seguir). Os termos a e b significam, na expressão anterior, valores quaisquer que nãointerferem 
significativamente na resolução do problema. No caso da expressão matemática anterior, para 
quaisquer valores que substituam os parâmetros a e b, a função continuará sendo do 1º grau e todas 
as propriedades desta serão válidas. Por exemplo, a raiz de uma função do 1º grau (valor de x que 
iguala y a zero) é sempre dada por bx
a
−
= . Assim, uma função do 1º grau dada por y = 2x + 4 terá 
como raiz o valor –2, pois 
b 4
x 2
a 2
− −
= = = − .
Dessa forma, usando a e b como parâmetros, podemos escrever uma forma genérica, 
b
x
a
−
= , que 
servirá para qualquer função do 1º grau, independentemente dos valores de a e b.
O último uso de literais se dá quando representam variáveis, uso esse relacionado às funções 
matemáticas, tema sobre o qual falaremos na próxima unidade. Nesse caso, é usual utilizarmos as letras 
finais do alfabeto, como x, y e z, sendo que geralmente a letra x é a primeira opção escolhida. Dizer que 
x é a variável da função significa dizer que x pode assumir vários, geralmente infinitos, valores, e que 
para cada valor que x assume a expressão terá um resultado, um outro valor associado àquele valor de x.
Como exemplo, podemos considerar o cálculo do custo de uma compra de pão. Suponha que você vá 
à padaria mais próxima de sua casa para comprar pãezinhos para o café da manhã, e que o preço pago 
depende do peso total dos pãezinhos. Se o preço do quilograma do pão for R$ 6,00, podemos estabelecer 
uma relação entre o peso do pão e o valor que você pagará por eles. Assim, sendo x o peso dos pãezinhos 
que você comprará, podemos dizer que o valor a ser pago será dado pela expressão:
y = 6x
Onde y é o valor total a pagar.
Dessa forma, x assumirá um valor diferente para cada dia que você comprar pão, e mesmo um 
valor diferente para cada cliente que for àquela padaria. Ou seja, x não tem um valor determinado, 
mas sim variável, e para cada valor de x a variável y também será alterada. Por isso dizemos que, na 
expressão y = 6x, y e x são variáveis, e não incógnitas ou parâmetros.
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Agora, em uma mesma expressão matemática podemos ter as literais funcionando como suas três 
funções. Vejamos o exemplo da função do 1º grau mostrada anteriormente. A fórmula geral da função 
do 1º grau é: y = ax + b. Como visto, nesse caso, as literais a e b são parâmetros e devem ser substituídas 
por valores numéricos quando a função for utilizada em uma aplicação específica.
Vamos considerar o exemplo anterior da compra dos pãezinhos, no qual a expressão utilizada foi 
y = 6x. Nesse caso, quais teriam sido os valores assumidos pelos parâmetros a e b?
Não é difícil perceber que utilizamos o valor 6 para o parâmetro a e 0 para o parâmetro b. 
Assim, fazendo a = 6 e b = 0, a expressão genérica da função do 1º grau y = ax + b torna‑se a 
expressão particular y = 6x, que é a função do 1º grau que modela o problema do valor pago na 
compra dos pãezinhos. Vimos então que, quando substituímos os parâmetros de uma expressão 
genérica, ela gera outra expressão, que é específica para um problema em particular.
Agora, temos que x e y são as variáveis dessa função, pois x pode assumir infinitos valores (na prática 
não seriam infinitos, mas teoricamente você poderia comprar qualquer quantidade de pão que quiser) e 
y assumirá um valor diferente para cada valor possível de x. Finalmente, se você for à padaria e comprar 
exatamente 0,2 quilogramas (= 200 g) de pão, então, para o caso particular dessa compra, a variável 
x valerá 0,2, e, no caso específico dessa compra, teremos a expressão y = 6 × 0,2, a que chamamos de 
equação matemática. Agora, na equação y = 6 × 0,2, a literal y não é mais chamada de variável, pois seu 
valor é determinado, porém desconhecido. Nesse caso, a literal y está fazendo o papel de incógnita, e 
seu valor pode ser calculado – chegamos a y = 1,2.
Nesse último exemplo, começamos com uma função genérica do 1º grau, y = ax + b, onde tínhamos 
os parâmetros a e b e as variáveis x e y. Substituímos os parâmetros por valores específicos do problema 
estudado, chegando à função aplicada y = 6x, que modelava o problema da compra de pães, e onde x 
e y eram variáveis. Finalmente utilizamos a função para calcular uma situação específica, chegando à 
expressão y = 6 × 0,2 , onde y passou a ser uma incógnita. Assim, pudemos estabelecer a relação entre 
parâmetro, variável e incógnita.
3.4 Equações de 1º grau
3.4.1 Modelos matemáticos
A matemática, como já vimos, é uma linguagem que serve para expressar ideias racionais, ou seja, 
expressar a forma como o ser humano raciocina. Entretanto, como qualquer outra linguagem, utiliza 
símbolos que não são inatos, símbolos que devem ser aprendidos. Uma vez que aprendamos a fazer essa 
“tradução” da linguagem coloquial para a linguagem matemática, a solução de problemas que às vezes 
nos parecem complicados torna‑se, na verdade, bastante simples.
A modelagem matemática (ou os modelos matemáticos) é exatamente a tradução de problemas 
cotidianos para a linguagem matemática com o objetivo de organizar nosso raciocínio e facilitar o 
estudo do problema. Um exemplo disso é apresentado a seguir.
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Suponha que você vá a uma loja para comprar uma nova Smart TV de LED 50” 4K, e o modelo que você 
gostou esteja custando R$ 2.100,00. Você tenta negociar o preço, e o vendedor lhe oferece 10% de desconto 
para pagamento à vista ou então um parcelamento em 5 vezes “sem juros” de R$ 420,00. Se você tem o valor 
para pagamento à vista aplicado na poupança, que está rendendo, por suposição, 0,6% ao mês, o que compensa 
mais: tirar todo o dinheiro da poupança e pagar à vista, ou deixar o dinheiro aplicado e ir pagando as parcelas?
Sem um método matemático adequado, esse problema torna‑se extremamente difícil de ser resolvido. 
Entretanto, se você souber o padrão de cálculo para juros compostos, o problema passa a ser resolvido com 
uma simples fórmula. E uma fórmula matemática é justamente isso: uma forma concisa e universal de 
representar um padrão de comportamento existente em uma dada situação.
Nesse caso, o padrão de comportamento do cálculo de juros compostos de uma série de pagamentos 
periódicos e iguais, chamado popularmente de parcelamento, é representado por:
( ) n1 1 i
V P
i
−− +
=
V é o valor presente do investimento, P o valor do pagamento periódico, i a taxa de juros considerada 
e n o período. Utilizando essa fórmula no problema anterior, podemos fazer: P = 410,00, que é o valor da 
parcela, i = 0,6%, que é a taxa de juros oferecida pela poupança, e n = 5, pois a TV poderá ser paga em 
cinco parcelas. Dessa forma, chegamos a V = 2.013,61, que é o chamado valor presente do parcelamento, 
ou seja, o valor correspondente se você fosse pagar à vista. O vendedor lhe ofereceu 10% de desconto 
para pagamento à vista, e a TV então ficaria em R$ 1.890,00. Dessa forma, fica muito mais fácil perceber 
que o valor à vista (R$1.890,00) é mais vantajoso do que o parcelado (R$ 2.013,61), e que, portanto, você 
deveria tirar o dinheiro da poupança e evitar o parcelamento.
Embora a modelagem matemática tenha lhe ajudado a resolver o problema da compra da TV, essa talvez 
não seja sua maior utilidade. A grande vantagem do equacionamento matemático é que a fórmula utilizada 
para resolver essa questão está parametrizada, ou seja, suas variáveis estão expressas por literais que podem 
ser modificadas para resolver quaisquer problemas do mesmo tipo, como aplicações financeiras, investimentos, 
cálculo de juros de financiamento, cálculo de prazo para obter determinado valor e assim por diante. E, além 
disso, é possível trabalhar com simulações por meio da variação dos parâmetros. Você pode facilmente verificar 
hipóteses no caso de alteração na taxa de rendimento da poupança, ouno aumento do prazo de parcelamento. 
E essa é talvez a maior utilidade da construção dos modelos matemáticos: testar hipóteses.
Problema
real
Modelo
matemático
Experimento Hipótese
Abstração
Modificação
Validação
Solução Resolução
Figura 20 
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A modelagem matemática não serve apenas para problemas tipicamente numéricos. Suas aplicações 
englobam planejamentos de urbanização, mapeamento e distribuição de força policial, desenvolvimento 
de políticas eficazes de educação básica, saneamento público e outras infinitas situações.
Um livro que dá alguns exemplos da utilidade da modelagem matemática é Freakonomics, de Steven 
Levitt e Stephen Dubner, que explora situações comuns sob a ótica de um economista que se utiliza da 
matemática para discutir temas politicamente incorretos.
3.4.2 Modelagem: primeiros passos
A modelagem matemática é um tema vastíssimo e um estudo completo de seus métodos e aplicações 
certamente daria, sozinho, um curso universitário. Nosso foco aqui é relembrar seus tópicos iniciais, 
estabelecendo uma base para estudos futuros.
Vamos trabalhar inicialmente a “tradução” de frases da língua portuguesa para equações da 
linguagem matemática. Observe:
Quadro 2 
Expressão Equação
Um número x
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
Um número mais dois x + 2
Um número menos três x – 3
A metade de um número
x
2
A quinta parte de um número
x
5
Dois quintos de um número
2
x
5
Outro número y
A soma de dois números x + y
A diferença entre dois números x – y
O produto de dois números x × y
Um número excede o outro em 5 x = y + 5
Um número mais sua metade é igual a 7
x
x 7
2
+ =
O dobro de um número o excede em 3 2x = x + 3
Um número é cinco vezes maior do que a metade do outro
y
x 5
2
= ×
O quadrado de um número x2
A quinta parte do cubo de um número é igual ao número mais um
3x
x 1
5
= +
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3.4.3 Resolvendo equações
Os passos para a resolução de um problema não são complicados, uma vez que tenhamos feito a 
tradução do português para o “matematiquês”. Essa solução obedece às regras das operações matemáticas 
que aprendemos durante o Ensino Fundamental. O objetivo é chegar ao valor da incógnita, ou seja, o 
valor do x. Assim, temos que trabalhar matematicamente a equação para chegar a uma que tenha o x 
de um lado e um valor do outro (x = 2, x = 17, x = 0). Para chegar a essa equação, o que temos que fazer 
é eliminar, por meio de operações matematicamente válidas, tudo o que estiver agrupado ao x. Veja o 
seguinte exemplo:
Quadro 3 
Equação Comentário
3 × x + 5 = 11 Temos que eliminar o 5 que está somado ao x, subtraindo 5.
3 × x + 5 – 5 = 11 – 5 Para manter a igualdade, temos que subtrair 5 dos dois lados da igualdade.
3 × x + 0 = 6 Somar 0 não altera o valor, então podemos eliminá‑lo.
3 × x = 6 Agora só falta eliminar o 3 e fazemos isso multiplicando por 
1
3
. 
1 1
3 x 6
3 3
× × = × Não esqueça nunca de fazer a mesma operação dos dois lados da igualdade justamente para preservá‑la.
1 × x = 2 Qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo.
x = 2 Temos aí a equação final que nos dá a resposta procurada.
Existem ainda algumas operações que não são triviais e as relacionamos a seguir:
Quadro 4 
Tipo de equação Exemplo Solução
Fracionárias
x 2
8
5 3
+ = Ache o MMC e elimine o denominador.
Racionais x 2 5+ = Eleve ambos os membros ao quadrado; depois teste as soluções encontradas.
Exponenciais 2x = 8 Coloque todos na mesma base ou aplique propriedades dos logaritmos.
Quadráticas x2 + 3x = 8 Utilize a fórmula de Bhaskara.
É interessante notar ainda que todas essas equações matemáticas têm, além da solução 
algébrica, uma solução geométrica e, portanto, podem ser resolvidas utilizando‑se programas de 
construção de gráficos de funções. Um ótimo programa para isso é o Winplot, que pode ser baixado 
gratuitamente da internet.
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Exemplo de aplicação
Exemplo 1
O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é o número?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
3x 2 x 4
3x x 4 2
2x 6
6
x
2
x 3
+ = −
− = − −
= −
= −
= −
Exemplo 2
A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
x
x 32
5
5x x
32
5
4x
32
5
4x 32 5
4x 160
160
x
4
x 40
− =
−
=
=
= ×
=
=
=
Exemplo 3
O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?
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MATEMÁTICA
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
x
3x 10
2
x
3x 10
2
6x x
10
2
5x
10
2
5x 10 2
5x 20
20
x
5
x 4
= +
− =
−
=
=
= ×
=
=
=
Exemplo 4
A metade dos objetos de uma caixa, mais a terça parte desses objetos, é igual a 25. Quantos objetos 
há na caixa?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
x x
25
2 3
3x 2x
25
6
5x
25
6
5x 25 6
5x 150
150
x
5
x 30
+ =
+
=
=
= ×
=
=
=
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3.5 Inequações
Em uma sentença matemática em que usamos o símbolo ≠ (diferente de) representamos uma 
desigualdade, ou seja, se a b a b≠ ⇒ > ou a b< .
A ideia de inequação é bem semelhante à de equação, ou seja, inequação é uma sentença matemática 
que contém uma ou mais incógnitas e que representa uma desigualdade. Por exemplo:
4x 12< → é considerada uma inequação, pois possui um sinal de desigualdade < (menor que) e 
uma incógnita (x).
2 26 1 7+ < → não é considerada uma inequação, ainda que possua um sinal de desigualdade < 
(menor que), pois não possui incógnitas.
Entretanto, enquanto para uma equação a solução do problema (o valor de x que torna a expressão 
matemática verdadeira) é geralmente única, nas inequações é comum que existam infinitas soluções, ou 
seja, infinitos números que tornam a inequação verdadeira.
Tome por exemplo a equação x 2 5+ = . Existe um único valor de x que torna a expressão verdadeira, 
que é x = 3. Para qualquer outro valor de x, por exemplo, x = 1, a expressão fica incorreta, ou, em linguagem 
matemática, a expressão torna‑se falsa. Ou seja, para uma equação, em geral, há somente uma única solução.
 Observação
Na verdade, a quantidade de soluções de uma equação depende de vários 
fatores, incluindo o grau da variável. Mas, como as equações estudadas aqui 
são todas lineares, então vale a afirmação de que a solução é única.
Agora veja o que acontece com uma inequação semelhante, como x 2 5+ ≠ . Quantas são as soluções 
para essa inequação? Quais os valores de x que tornam a expressão verdadeira? Se você fizer x=4, a expressão 
será verdadeira, pois 4 2 6+ = , e 6 5≠ . Porém, se você fizer x=2, teremos 2 2 4+ = , e 4 5≠ , e assim 
x=2 também é uma solução do problema. Na verdade, para qualquer valor de x diferente de 3 a expressão 
é verdadeira. Então, não temos apenas uma solução para essa inequação, mas sim uma quantidade infinita 
de valores que compõem o conjunto solução do problema. Portanto, escrevemos a solução como sendo: 
{ }S x / x 3= ∈ ≠ , querendo dizer que qualquer valor real de x diferente de 3 é solução para a inequação.
3.6 Resolvendo inequações
Assim como a solução de uma equação não é complicada, a resolução de uma inequação também 
não o é. Os processos utilizados para encontrar o valor da incógnita são praticamente os mesmos, 
porém, quando uma inequação envolve os sinais de maior que (>) ou menor que (<), devemos tomar 
alguns cuidados especiais. Veja a situação a seguir.
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MATEMÁTICA
A igualdade matemática 1+1=2 é claramente verdadeira. Se você multiplicar toda a expressão 
(ambos os lados) por um número positivo, por exemplo, 5, você terá a igualdade 5+5=10, que continua 
sendo verdadeira. Se você multiplicar a expressão por um número negativo, por exemplo, –2, a expressão 
ficará (–2)+(–2)=–4, que também é verdadeira, ou seja, ela preserva a igualdade. Agora vamos ver o que 
acontece com uma inequação.
 Lembrete
A multiplicação de uma igualdade por qualquer número não nulo 
preserva a igualdade.
A expressão 1<2 é verdadeira, pois efetivamente 1 é menor do que 2. Se multiplicarmos toda a 
expressão por um número positivo, o 5, a expressão ficará: 5<10, que continua sendo verdadeira. Porém, 
se multiplicarmos a expressão por um número negativo, usando o –2, como no exemplo acima, teremos a 
expressão –2<–4. Porém, essa expressão é falsa, pois –2 é maior que –4. Então, toda vez que multiplicamos 
uma desigualdade por um número negativo temos que inverter o sentido da desigualdade, ou seja, se 
a expressão for menor que (<), deveremos mudá‑la para maior que (>), e vice‑versa. Assim, a expressão 
deveria ficar: –2>–4, pois substituímos o menor que pelo maior que, e a expressão fica correta.
 Lembrete
Quando uma desigualdade é multiplicada por um número negativo, 
devemos inverter o sentido da desigualdade.
Outra situação na qual devemos ter uma atenção extra é quando invertemos os membros da 
desigualdade. Em uma equação podemos mudar a expressão 4=x+2 para x+2=4 e ela continuará correta. 
Dizemos, então, que a igualdade é uma relação simétrica, pois, se x=y, então y=x. Porém, as inequações 
que envolvem maior que ou menor que são relações do tipo antissimétricas e, nesse caso, temos que, se 
x<y, então y>x, o que é bem fácil de entender quando utilizamos números.
Sabemos que 2<3 é uma expressão verdadeira, porém, se você simplesmente inverter os números, 3<2, a 
expressão ficará falsa. O correto é também invertermos a desigualdade, fazendo 3>2. Embora isso seja muito 
fácil de entender quando usamos números, é muito comum cometer esse erro quando trabalhamos com 
expressões. Então, não podemos esquecer que, se tivermos uma inequação como 4<x+2, se invertermos os 
termos da inequação, teremos que também inverter o operador, fazendo x+2>4.
 Lembrete
Na inversão dos termos de uma inequação devemos também inverter o 
sentido da desigualdade.
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Unidade II
Veja o seguinte exemplo:
Quadro 5 
Inequação Comentário
11 3x 5< + Temos que eliminar o 5, subtraindo 5.
11 5 3x 5 5− < + − Para manter a desigualdade, temos que subtrair 5 dos dois lados da desigualdade.
6 3x 0< + Somar 0 não altera o valor, então podemos eliminá‑lo.
6 3x< Agora só falta eliminar o 3 e fazemos isso multiplicando por 
1
3 . 
1 1
6 3 x
3 3
× < × × Não esqueça nunca de fazer a mesma operação dos dois lados da desigualdade, 
justamente para preservá‑la.
2 1 x< × Qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo.
2 x< Temos aí a inequação final que nos dá a resposta procurada. Agora vamos 
inverter o sentido da desigualdade.
x 2> Na inversão dos termos de uma inequação, devemos também inverter o sentido 
da desigualdade.
Exemplo de aplicação início
Exemplo 1
Uma caixa d´água, quando totalmente cheia, pode conter x litros de água. Se retiramos 30 litros 
de água, a quantidade que resta é maior que 1
4
 da capacidade total desse reservatório. Quais os valores 
que podem representar a capacidade total dessa caixa d´água?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
x x
x x
� �
� �
30
1
4
1
4
30
4
4
30
x x�
�
3
4
30
x
>
3 30 4x � �
3 120x >
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MATEMÁTICA
x >
120
3
x > 40
Portanto, a capacidade da caixa d’água é maior de 40 litros.
Exemplo 2
Um retângulo possui 15 cm de largura, enquanto um quadrado possui 15 cm de lado. Quais os 
valores que o comprimento do retângulo pode assumir para que o perímetro desse retângulo seja maior 
que o perímetro do quadrado?
Resolução
Sabemos que o perímetro de uma figura plana é a soma de todos os seus lados. Então, podemos 
modelar essa situação matematicamente da seguinte forma:
2 .15 2x 4 .15
30 2x 60
2x 30
30
x>
2
x 15
+ >
+ >
>
>
Portanto, o comprimento do retângulo deve ser maior que 15 cm.
Exemplo 3
Dada a seguinte inequação: 3(2x 1) 2x 1 10(x 2) 6x 1
2 6 3 2
+ + + −
− > − , determine o conjunto solução, 
sabendo que ∪=
Resolução
Primeiro aplicaremos a propriedade distributiva na inequação:
3 2 1
2
2 1
6
10 2
3
6 1
2
( ) ( )x x x x�
�
�
�
�
�
�
6 3
2
2 1
6
10 20
3
6 1
2
x x x x�
�
�
�
�
�
�
18 9 2 1
6
20 40 18 3
6
x x x x� � �
�
� � �
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Unidade II
16 8
6
2 43
6
x x�
�
�
14
6
43 8
6
x
�
�
14
6
35
6
x
>
14
35 6
6
x �
�
14 35x >
x >
35
14
x >
5
2
Exemplo 4
Qual é a solução da inequação 2x 7 5x 8− < + ?
Resolução
Agrupando os termos semelhantes, temos:
2x 7 5x 8
2x 5x 8 7
3x 15 ( ‑1)
3x 15
15
x
3
x 5
− < +
− < +
− < ×
> −
> −
> −
Exemplo 5
Dados os números ‑1, 1, 2, 3 e 4, quantos são solução da seguinte inequação?
x
4x 2 2
4
− > +
Resolução
Resolvendo a inequação, temos:
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MATEMÁTICA
x
4x 2 2
4
x
4x 2 2
4
16x x
4
4
15x
4
4
15x 4 4
15x 16
16
x
15
− > +
− > +
−
>
>
> ×
>
>
Então, x deve ser um número maior que 16/15, ou seja, se efetuarmos essa divisão, obteremos 1,06666666, 
um número maior que 1. O problema nos dá o seguinte conjunto de números: {‑1, 1, 2, 3 e 4}. Os valores que 
satisfazem essa inequação são: {2, 3 e 4}.
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Muitas vezes o problema que estudamos não tem somente uma variável; aliás, a grande maioria 
dos problemas reais têm muitas variáveis. Esse tipo de problema, que contém mais de uma variável, não 
é resolvido por meio de uma equação, mas sim de muitas equações, que traduzem as relações entre 
essas variáveis. A esse conjunto de equações de um modelo matemático damos o nome de sistema de 
equações e, se nessas equações houver somente as operações básicas de adição e multiplicação, teremos 
então um sistema de equações lineares.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de n equações independentes com m incógnitas. 
Nesse caso, temos duas possibilidades:
• n>m: o sistema será possível e determinado (existe uma única solução) ou impossível;
• n<m: o sistema será possível e indeterminado (existem infinitas soluções) ou impossível.
Um sistema é considerado impossível se existem duas equações conflitantes. Por exemplo:
x y 2
x y 3
+ =
 + =
Não há dois números que somados resultem em 2 e 3 ao mesmo tempo. Esse tipo de sistema é 
impossível, não há solução para ele. Ao contrário do que possa parecer à primeira vista, esse sistema 
nem sempre é inútil. Quando, durante o equacionamento de um problema, chegamos a esse tipo de 
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Unidade II
sistema, muitas vezes ele nos indica que não existe a solução que procuramos, ou seja, a nossa hipótese 
é incorreta.
Os sistemas possíveis e indeterminados são aqueles nos quais há infinitas soluções para os problemas. 
Por exemplo:
{x y 2+ =
Nesse sistema, os valores x = 1 e y = 1 são solução para a equação. Entretanto, se escolhermos 
x = 0 e y = 2, também resolveremos o sistema, assim como x = ‑1 e y = 3 e, claro, uma infinidade 
de outros valores. Ou seja, existem soluções para o problema, só que existem infinitas soluções e 
nenhuma delas é melhor do que a outra.
Assim, dizemos que esse sistema é possível,mas indeterminado, pois não existe uma única 
resposta possível. Esse tipo de sistema também nos fornece uma informação importante: em 
situações de modelagem matemática nas quais surgem os sistemas possíveis e indeterminados, 
é muito provável que não estejamos trabalhando com todas as variáveis existentes no problema, 
ou então que nos esquecemos de incluir alguma relação entre duas variáveis que é importante 
para a representação do sistema real.
4.1 Resolvendo um sistema possível e determinado
Os sistemas de equações lineares foram estudados por muitos matemáticos em diferentes épocas 
da história humana, pois dizem respeito a situações extremamente comuns em muitas áreas do 
conhecimento, e por isso mesmo existem muitas formas de resolver os problemas que eles trazem. 
Estudaremos aqui duas dessas formas.
4.1.1 Substituição de variável
Nesse caso, obtém‑se de uma das equações o valor de uma variável em função da outra, e substitui‑se 
o valor na outra equação, para que tenhamos então uma equação com uma única incógnita. Por exemplo:
Seja o seguinte sistema:
x y 3 equação I
x y 1 equação II
+ = →
 − = →
Da equação I temos que:
{x y 3+ =
{x 3 y equação III= − →
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MATEMÁTICA
Substituindo o valor de x, encontrado na equação III, na equação II temos:
x y 1
(3 y) y 1
3 2y 1
2y 1 3
2y 2
y 1
− =
− − =
− =
− = −
− = −
=
Agora que temos o valor de y, voltamos à equação III:
x 3 y
x 3 1
x 2
= −
= −
=
Assim, x = 2 e y = 1 é a solução do sistema proposto.
4.1.2 Método da adição
Outro método que pode ser utilizado para a resolução de um sistema de equação é o método da adição.
 Lembrete
Esse método também pode ser chamado de método da comparação.
O objetivo do método da adição é cancelar uma das incógnitas envolvidas no sistema. O cancelamento 
ocorre por meio da adição de uma equação com a outra.
Por exemplo:
x y 3 equação I
x y 1 equação II
+ = →
 − = →
Vamos somar os termos da equação:
x y 3
x y 1
2x 0y 4
+ =
+ − =
 + =
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Unidade II
Agora, temos somente uma equação e uma variável e as resolvemos facilmente.
2x 0y 4
2x 4
4
x
2
x 2
+ =
=
=
=
Com o valor de x, escolhemos uma das equações iniciais para achar o valor de y. Escolhendo a 
equação I, temos:
x y 3
2 y 3
y 3 2
y 1
+ =
+ =
= −
=
E encontramos os valores x = 2 e y = 1.
Para utilizar o método da adição, nem sempre é possível cancelar uma das variáveis trivialmente. 
Quando isso ocorre, utilizamos a noção de equivalência de equações, buscando multiplicar, dividir, 
adicionar ou subtrair de forma que uma das incógnitas seja cancelada para a obtenção do valor 
da outra.
Por exemplo:
3x y 9 equação I
x 2y 4 equação II
− = − →
 + = →
Para cancelarmos a incógnita x, precisamos multiplicar a equação II por –3:
x 2y 4 ( 3)
3x 6y 12
+ = → × −
− − = −
Agora, podemos somar as duas equações do sistema:
3x y 9
3x 6y 12
0x 7y 21
− = −
+ − − = −
 − = −
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MATEMÁTICA
Agora, temos somente uma equação e uma variável e as resolvemos facilmente.
7y 21
21
y
7
y 3
− = −
−
=
−
=
Com o valor de y, escolhemos uma das equações iniciais para achar o valor de x. Escolhendo a 
equação I, temos:
3x y 9
3x 3 9
3x 9 3
6
x
3
x 2
− = −
− = −
= − +
−
=
= −
Ou, escolhendo a equação II, temos:
x 2y 4
x 2.3 4
x 6 4
x 4 6
x 2
+ =
+ =
+ =
= −
= −
E encontramos os valores x = –2 e y = 3.
 Observação
Caso queira cancelar a incógnita y, multiplique a equação I por 2 ou a 
equação II por 
1
2
. Faça o teste e verificará que os valores para x e y serão 
os mesmos.
4.1.3 Outros métodos
Como dito anteriormente, existem outros métodos para resolução de sistemas. Dois outros 
métodos que valem a pena ser citados são os determinantes de Laplace e o método geométrico. 
Fica aqui a sugestão de pesquisa desses dois métodos, que certamente lhe darão uma visão mais 
ampla do assunto.
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Unidade II
‑1 1 2 3 4 5
x ‑ y = 1
x + y = 3
(2,1)
y
x
3
2
1
‑1
‑2
Figura 21 – Método geométrico: traçam‑se os gráficos das 
equações e a solução é seu ponto de intersecção
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
A soma da idade de duas pessoas é igual a 40 anos. A idade de uma delas é 3/5 da idade da outra. 
Qual a idade de cada uma delas?
Resolução
Modelando o problema, temos:
x y 40 equação I
3
x y equação II
5
+ = →


= →
Utilizaremos o método da substituição.
Substituindo II em I, temos:
 
3
5
40y y� �
3 5
5
40
y y�
�
8
5
40
y
=
8 5 40y � �
8 200y =
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MATEMÁTICA
y =
200
8
y = 25
Achamos o valor de y. Para descobrirmos o valor de x, basta substituir y em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo y em I, temos:
x 25 40
x 40 25
x 15
+ =
= −
=
Exemplo 2
Uma empresa A tem 5 anos a mais de mercado que uma empresa B. A soma da idade de ambas é 
igual a 39 anos. Qual é a idade de cada uma?
Resolução
Modelando o problema, temos:
A B 5 equação I
A B 39 equação II
= + →
 + = →
Se organizamos o sistema colocando as incógnitas do lado esquerdo da igualdade, temos:
A B 5 equação I
A B 39 equação II
− = →
 + = →
Utilizando o método da adição, temos:
A B 5
A B 39
2A 0B 44
− =
+ =
+ = , portanto, A = 44
2
 = 22
Achamos o valor de A. Para descobrirmos o valor de B, basta substituir A em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo A em II, temos:
22 B 39
B 39 22
B 17
+ =
= −
=
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Unidade II
Exemplo 3
Dois sócios de uma determinada indústria têm juntos US$ 3.500.000,00. Um dos sócios tem 
US$ 600.000,00 a mais que o outro. Quanto tem cada um?
Resolução
Modelando o problema, temos:
x y 3.500.000,00 equação I
x 600.000,00 y equação II
+ = →
 = + →
Se organizamos o sistema colocando as incógnitas do lado esquerdo da igualdade, temos:
x y 3.500.000,00 equação I
x y 600.000,00 equação II
+ = →
 − = →
Utilizando o método da adição, temos:
x y 3.500.000,00
x y 600.000,00
2x 0y 4.100.000,00
2x 4.100.000,00
4.100.000,00
x
2
x 2.050.000,00
+ =
− =
+ =
=
=
=
Achamos o valor de x. Para descobrirmos o valor de y, basta substituir x em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo x em l, temos:
x y 3.500.000,00
2.050.000,00 y 3.500.000,00
y 3.500.000,00 2.050.000,00
y 1.450.000,00
+ =
+ =
= −
=
Exemplo 4
Um sócio A tem R$ 200.000,00 a mais que o sócio B, e um sócio C tem R$ 140.000,00 a menos que 
o sócio B. Os três sócios juntos possuem R$ 1.560.000,00. Quanto tem cada um dos sócios?
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MATEMÁTICA
Resolução
Esse sistema é um pouco diferente do que estivemos resolvendo até aqui, pois possui três variáveis. 
Porém, o método de resolução é igual para o sistema de duas variáveis. Modelando o problema, temos:
A 200.000,00 B equação I
B 140.000,00 C equação II
A B C 1.560.000,00 equação III
= + →
 = + →
 + + = →
Utilizaremos o método da substituição. Substituindo I e II em III, temos:
200.000,00 140.000,00 C 140.000,00 C C 1.560.000,00
480.000,00 3C 1.560.000,00
3C 1.560.000,00 480.000,00
3C 1.080.000,00
1.080.000,00
C
3
C 360.000,00
+ + + + + =
+ =
= −
=
=
=
Achamos o valor de C. Para descobrirmos o valor de B, basta substituir C na equação II:
B 140.000,00 360.000,00
B 500.000,00
= +
=
Achamos o valor de B. Para descobrirmoso valor de A, basta substituir B na equação I:
A 200.000,00 500.000,00
A 700.000,00
= +
=
Exemplo 5
Uma empresa possui uma sala retangular, reservada para negociações e dinâmicas de grupo, com 26 m 
de perímetro. Quais são suas dimensões, sabendo‑se que o comprimento tem 3 m a mais que a largura?
Resolução
Sendo o perímetro de uma figura plana, a soma de todos os lados é:
x comprimento
y largura
=
=
2x 2y 26 equação I
x y 3 equação II
+ = →
 = + →
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Unidade II
Utilizaremos o método da substituição. Substituindo II em I, temos:
2(y 3) 2y 26
2y 6 2y 26
4y 26 6
4y 20
20
y
4
y 5
+ + =
+ + =
= −
=
=
=
Achamos o valor de y. Para descobrirmos o valor de x, basta substituir y em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo y em II, temos:
x 5 3
x 8
= +
=
4.2 Produtos notáveis
Na matemática existem alguns produtos (multiplicações) que aparecem com bastante frequência e, 
por esse motivo, eles recebem o nome de produtos notáveis. Os produtos notáveis, quando identificados, 
facilitam a resolução de expressões algébricas, porém eles não são imprescindíveis para a matemática.
A seguir iremos apresentar os mais utilizados.
4.2.1 Quadrado da soma de dois termos
A figura a seguir representa um quadrado de lado: l=(a+b):
a
a a
a
b
b b
b
Figura 22 
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MATEMÁTICA
Podemos calcular a área desse quadrado como a soma das áreas representadas no quadrado de lado 
(a+b). Assim:
A= 2 2 2(a b) a 2ab b+ = + +
Repare que a soma das áreas resulta da operação:
( ) ( )
2 2
2 2
a b a b
a a a b b a b b
a ab ab b
a 2ab b
+ × + =
× + × + × + × =
+ + + =
+ +
Portanto:
2 2 2 2A (a b) a 2ab b= + = + +
Dizemos que o quadrado da soma de dois termos é o primeiro termo ao quadrado, mais duas vezes 
o primeiro pelo segundo termo, mais o segundo termo ao quadrado.
4.2.2 Quadrado da diferença de dois termos
Da mesma forma, podemos usar a figura a seguir para representar de forma geométrica o quadrado 
da diferença de um binômio.
Seja o quadrado a seguir:
a
a
b
b
(a–b)
(a–b) × b=ab–b2
(a–b) × b=ab–b2
Figura 23 
2 2 2(a b) a 2ab b− = − +
a b a b�� �� �� � �
a a a b b a b b� � � � � � � �
a ab ab b2 2� � � �
a ab b2 22� �
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Unidade II
Portanto:
2 2 2(a b) a 2ab b− = − +
Dizemos que o quadrado da diferença de dois termos é o primeiro termo ao quadrado, menos duas 
vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o segundo termo ao quadrado.
4.2.3 Produto da soma pela diferença de dois termos
( ) ( ) 2 2a b a b a b+ × − = −
( ) ( )
2 2
a b a b
a a a b b a b b
a b
+ × − =
× − × + × + × =
−
Dizemos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos o quadrado do segundo termo.
 Observação
Existem outros produtos ditos notáveis, porém eles não são tão usuais 
quanto os apresentados neste texto.
4.3 Fatoração
A fatoração nada mais é que você escrever em forma de produto as expressões algébricas. Existem 
alguns métodos de fatoração, que serão explorados a seguir.
4.3.1 Evidência do fator comum
Colocar em evidência é achar o fator comum a todos os termos da expressão. Por exemplo, ao 
fatorarmos um polinômio de expoente 4, devemos verificar na expressão qual o menor expoente desse 
fator comum e colocá‑lo em evidência.
Uma maneira de verificar se sua fatoração está correta é multiplicar novamente o fator comum pela 
expressão. Isso deverá resultar na expressão original (sem termos em produto). Exemplo:
4 3 2
2 2
x 3x 2x
x (x 3x 2)
+ + =
× + +
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MATEMÁTICA
4.3.2 Agrupamento
Nem sempre é fácil identificar um fator comum para ser colocado em evidência, ou pelo menos nem 
sempre é trivial. Em alguns casos, é necessário agrupar termos para que se consiga reduzir a expressão 
em produtos. Por exemplo:
ax bx ay by
(ax bx) (ay by)
x (a b) y (a b)
(a b) (a y)
− + − =
− + − =
× − + × − =
− × +
4.3.3 Trinômio quadrado perfeito
Já vimos os produtos notáveis, e um trinômio quadrado perfeito nada mais é do que um produto 
notável. Os trinômios quadrados perfeitos apresentam algumas características:
• Possuem três termos (por isso o nome trinômio).
• Os termos de seus extremos são quadrados perfeitos, ou seja, a multiplicação de um número por 
ele mesmo.
• O termo que fica no meio é mais ou menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo.
Por exemplo: 
2 2a 2ab b
(a b) (a b)
+ + =
+ × +
4.3.4 Fatoração por diferença de quadrados
A fatoração por diferença de quadrados consiste em transformar produtos da soma pela diferença, 
o inverso do produto notável quadrado da diferença entre dois termos. Por exemplo:
2 2a b
(a b) (a b)
− =
+ × −
 Observação
Existem outras formas de fatoração, porém elas não são tão usuais 
quanto as apresentadas neste texto.
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Unidade II
4.4 Equações de 2º grau
Imagine que uma caixa foi montada a partir de um quadrado de papelão, do qual foram retirados 
quadrados de 4 cm de lado, um em cada canto. Desse modo, o papelão ficou com 36 cm2. Qual é a 
medida do lado do quadrado de papelão usado no início do processo?
x
x x
x x x
4
4
4
4
4
4
4
4
Figura 24 
Vamos pensar:
Qual a área do quadrado inicial? Se os seus lados são x e sabemos que a área do quadrado é igual 
a A=l2, então temos que: A=x2. Qual a área de cada quadrado retirado do quadrado inicial? Se os seus 
lados são 4 e sabemos que a área do quadrado é igual a A=x2, então temos que: A = 42 = 16.
Após a retirada dos quadrados dos quatro cantos do quadrado inicial, quantos centímetros 
quadrados de papelão foram retirados? Sabemos que a área de cada quadrado retirado é A = 42 = 16. 
Como retiramos 4 quadrados de mesma área, então retiramos 4.16=64 cm2.
Vamos modelar uma equação que possa resolver esse problema.
Sabemos que a área inicial é x2. Sabemos também que o total de área retirado foi: 4×16=64 cm2 e 
agora temos um total de 36 cm2. Modelando matematicamente, temos:
x2 ‑ 64 = 36; x2 = 36 + 64; x2 = 100; x2 = 102; x = 10 cm.
Portanto, a medida do lado do quadrado é 10 cm.
Se observarmos, vamos verificar que essa equação não é uma equação de 1º grau, pois o expoente 
da incógnita é 2
Toda equação que possuir o maior valor do expoente da incógnita igual a 2 é denominada equação 
de 2º grau.
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MATEMÁTICA
A forma geral de uma equação de 2º grau é:
2ax bx c 0+ + =
Como exemplos de equações de 2º grau (ou quadráticas), temos:
• x2 ‑ 6x + 5 = 0
• 3x2 + 2x + 1 = 0
• ‑2x2 ‑ 3x + 4 = 0
• x2 ‑ 9 = 0
• 3x2 ‑ 3x = 0
• x2 = 0
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos, leia:
HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2002.
4.4.1 Resolvendo equações de 2º grau
Os métodos de resolução de uma equação de 2º grau são significativamente mais complexos do que 
aqueles utilizados para equações de 1º grau, principalmente naquelas equações de 2º grau ditas completas. 
Como o expoente da incógnita é 2, podemos ter até dois valores diferentes para x, mas também podemos 
ter somente um único valor para x, ou mesmo nenhum, como será explicado mais adiante.
Na resolução de uma equação de 2º grau, é comum utilizarmos dois métodos: a fórmula de Bhaskara 
e o método de soma e produto.
4.4.2 Fórmula de Bhaskara
Faremos a demonstração da fórmula de Bhaskara, que resolve equações do tipo:
2ax bx c 0+ + =
Em geral, equações de 2º grau podem ser parcialmente fatoradas,somando‑se a elas a parte que 
falta, para serem transformadas em trinômios quadrados perfeitos.
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Unidade II
O termo que acompanha x deve ser dividido por dois e o resultado elevado ao quadrado. Este valor, 
somado a ambos os membros da equação, completa o trinômio quadrado perfeito.
Vejamos a demonstração. Primeiro dividimos a equação de 2º grau pelo coeficiente a. Logo, temos:
2a b cx x 0
a a a
+ + =
2a b cx x
a a a
+ = −
Agora vamos completar o quadrado: vamos dividir (b/a) por 2 e elevar o resultado ao quadrado. 
Este será o valor que deveremos somar a ambos os lados da equação:
2 2 2
2
b 1 b b
a 2 2a 4a
   ⋅ = =   
   
Somando este valor à equação anterior temos:
2 2
2
2 2
a b b c b
x x
a a a4a 4a
+ + = − +
Logo, sabemos que nesta equação o primeiro membro é um trinômio perfeito, que pode ser escrito 
da forma:
2 2
2
b c b
x 
2a a 4a
 + = − +  
Vamos agora operar o segundo membro. Fazendo a soma, temos:
2 2
2
b 4ac b
x 
2a 4a
− + + =  
Podemos extrair a raiz quadrada em ambos os lados da equação:
2 2
2
b 4ac b
x 
2a 4a
− + + =  
Operando as raízes, temos:
2b 4ac b
x
2a 2a
− +
+ = ±
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MATEMÁTICA
Colocando x em evidência, resultará:
2b 4ac b
x
2a 2a
− − +
= ±
Finalmente, fazendo a soma no segundo membro da equação e organizando adequadamente 
a expressão:
2b b 4ac
x
2a
− ± −
=
A expressão resultante é exatamente a fórmula de Bhaskara, onde o discriminante está representado 
dentro da raiz.
2 b 4ac∆= −
Portanto podemos finalmente escrever:
b
x
2a
− ± ∆
=
Aplicações da fórmula de Bhaskara
As equações de 2º grau podem ser resolvidas pela fórmula de Bhaskara quando são da forma:
2ax bx c 0+ + =
Para encontrar a solução, basta substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula que se 
denomina discriminante: 2 b 4 a c∆= − ⋅ ⋅ .
Logo, substituindo este valor na fórmula de Bhaskara, podemos encontrar os valores para x que 
satisfaçam a equação de 2º grau analisada:
A fórmula de Bhaskara:
b
x
2a
− ± ∆
=
O parâmetro a refere‑se ao coeficiente do x2, e em uma equação de 2º grau sempre terá um valor 
diferente de zero.
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Unidade II
O parâmetro b refere‑se ao coeficiente do x, e pode ser nulo, no caso de uma equação de 
2º grau incompleta.
O parâmetro c é o termo independente, ou seja, aquele que não está ligado à incógnita x, e também 
pode assumir um valor nulo.
Vamos então utilizar a fórmula de Bhaskara para achar os valores de x de uma equação quadrática.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Seja a equação: 3x2 + 2x + 1 = 0.
Resolução
Nessa equação, temos que a=‑3; b= ‑2; c=1.
Substituindo na fórmula, teremos:
2
2
b 4×a×c
( 2) (4 3 1)
4 12
16
∆ = −
∆ = − − × − ×
∆ = +
∆ =
b
x
2a
( 2) 16
x
2. 3
2 4
x
6
− ± ∆
=
− − ±
=
−
±
=
−
2 4 6
x ' 1
6 6
+
= = = −
− −
2 4 2 1
x ''
6 6 3
− −
= = =
− −
Como pudemos ver, a equação ‑ 3x2 ‑ 2x + 1 = 0 tem dois valores que zeram a equação. De fato, se 
fizermos x=‑1, teremos:
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MATEMÁTICA
2f(x) 3 ( 1) 2 ( 1) 1 3 2 1 0= − × − − × − + = − + + =
Da mesma forma, se fizermos 
1
x
3
= , teremos:
21 1 1 2
f(x) 3 2 1 3 1
3 3 9 3
3 2 3 6 9
1 0
9 3 9
 = − × − × + = − × − + =  
− − − +
− + = =
Portanto x=‑1 e x= 1/3 são as raízes da equação de 2º grau apresentada.
Exemplo 2
Seja a equação 
2
3
3
x
x� � , determine a solução usando propriedades e fórmula de Bhaskara.
Resolução
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação e resolvendo, temos:
2
3
3
2
2x
x�
�
�
�
�
�
� � � �
� � �
2
3
3
x
x
� � � �x
x
3
2
3
Novamente devemos elevar ao quadrado e resolver:
� �� � � ��
�
�
�
�
�x
x2 29 2
3
Colocando em evidência o valor x:
x
x x
�
� �81 36 4
9
2
Agrupando, temos:
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Unidade II
9x=81–36x+4x2
4x2–45x+81=0
Nessa equação, temos que a=4; b= ‑45; c=81.
Aplicando a fórmula de Bhaskara, teremos:
x e x’ ’’= =9
9
4
Onde x=9 cumpre todas as condições e x=9/4 não satisfaz as condições da equação. Portanto a 
solução procurada é x=9.
4.4.3 Discriminante
Para que serve o ∆ na fórmula das raízes da equação quadrática? O ∆, chamado de discriminante 
da equação, fornece, além de outras informações, o número de raízes dessa equação. Se ∆>0, ou seja, 
positivo, então a equação tem 2 raízes reais. Se ∆=0, nulo, então a equação tem apenas uma raiz (ou 
duas raízes iguais, matematicamente falando), e se ∆<0, negativo, não há raiz real da equação e ela não 
tem solução.
4.4.4 Fatoração: regra de soma e produto
Outra forma de achar as raízes de uma equação quadrática é por meio da propriedade de soma e 
produto. Em uma equação de 2º grau do tipo ax2+bx+c=0, temos:
Soma das raízes: 
b
x ' x ''
a
+ = − , pois, segundo a fórmula de Bhaskara:
b
x '
2a
− + ∆
= e 
b
x ''
2a
− − ∆
= . Somando membro a membro dessa igualdade, temos:
b b
x ' x ''
2a
2b b
2a a
− + ∆ − − ∆
+ = =
− −
=
Produto das raízes: 
c
x ' x ''
a
× = , pois, segundo a fórmula de Bhaskara, bx '
2a
− + ∆
= e 
 
b
x ''
2a
− − ∆
= . Multiplicando membro a membro dessa igualdade, temos:
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MATEMÁTICA
2
2 2
2
2
2
b b
x ' x ''
2a 2a
( b ) ( b )
4a
( b ) ( )
4a
b
4a
− + ∆ − − ∆
× = × =
− + ∆ × − − ∆
=
− − ∆
=
− ∆
Como ∆=b2–4ac, temos:
2 2
2
2 2
2
2
b (b 4ac)
x ' x ''
4a
b b 4ac
4a
4ac c
a4a
− −
× = =
− +
=
=
No exemplo da equação –3x2–2x+1=0, que resolvemos por Bhaskara, temos que a soma das raízes 
 
é 
2 2
3 3
−
=
−
 e seu produto é 
1 1
3 3
= −
−
. Então, temos que achar dois números cuja soma é 
2
3
 e o 
 
produto é 
1
3
− . Vemos que os números –1 e 
1
3
− satisfazem essas duas condições e chegamos, assim, 
 
às raízes da equação, ou seja, ‑3x2 ‑ 2x + 1 = ‑3(x + 1)(x
1
3
− ).
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
A soma de um número com seu quadrado é 72. Qual é o número?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
x+x2=72
Vamos transformá‑la em uma equação de 2º grau:
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Unidade II
2
2
x x 72
x x 72 0
a 1
b 1
c 72
+ =
+ − =
=
=
= −
Calculando ∆, temos:
2
2
b 4ac
1 4 1 ( 72)
1 288
289
∆ = −
∆ = − × × −
∆ = +
∆ =
Substituindo em:
b
x
2a
1 289
x
2 1
1 17
x
2
1 17 16
x ' 8
2 2
1 17 18
x '' 9
2 2
− ± ∆
=
− ±
=
×
− ±
=
− +
= = =
− − −
= = = −
Ou podemos utilizar a regra de soma e produto:
b
x ' x ''
a
1
x ' x '' 1
1
+ = −
+ = − = −
 
c
x ' x ''
a
72
x ' x '' 72
1
× =
−
× = = −
Nesse caso, devemos ter o seguinte raciocínio:
Quais os números que, quando somados, obtém‑se como resultado –1 e, quando multiplicados, 
obtém‑se o resultado –72?
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MATEMÁTICA
Se somarmos 8+(–9)=–1. E se multiplicarmos 8 (–9)=–72. Ou seja, 8 e –9 são raízes da equação.
Exemplo 2
A diferença entre o quadrado e o triplo de um mesmo número é 10. Qual é o número?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
2x 3x 10− =
Vamos transformá‑la em uma equação de 2º grau:
2
2
x 3x 10
x 3x 10 0
a 1
b 3
c 10
− =
− − =
=
= −
= −
Calculando ∆, temos:
2
2
b 4ac
3 4 1 ( 10)
9 40
49
∆ = −
∆ = − − × × −
∆ = +
∆ =
Substituindo em:
b
x
2a
( 3) 49
x
2 1
3 7
x
2
3 7 10
x ' 5
2 2
3 7 4
x '' 2
2 2
− ± ∆
=
− − ±
=
×
±
=
+
= = =
−−
= = = −
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Unidade II
Ou podemos utilizar a regra de soma e produto:
( 3)
x ' x ''
1
3
x ' x '' 3
1
− −
+ =
+ = =
 
c
x ' x ''
a
10
x ' x '' 10
1
× =
−
× = = −
Nesse caso, devemos ter o seguinte raciocínio:
Quais os números que, quando somados, obtém‑se como resultado 3 e, quando multiplicados, 
obtém‑se o resultado –10?
Se somarmos 5+(–2)=3. E se multiplicarmos 5×(–2)=–10. Ou seja, 5 e –2 são raízes da equação.
Exemplo 3
Um senhor tem um terreno que mede 26 m de comprimento por 16 m de largura. Ele deseja aumentar 
a área para 816 m² acrescentando faixas de mesma largura a um dos lados e aos fundos. Qual deve ser 
a largura dessas faixas?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
(26+x)(16+x)=816
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
2416 26x 16x x 816+ + + =
Vamos transformá‑la em uma equação de 2º grau, e reduzir os termos semelhantes:
2
2
x 42x 416 816 0
x 42x 400 0
a 1
b 42
c 400
+ + − =
+ − =
=
=
= −
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fe
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on
/M
ár
ci
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01
/1
0/
18
MATEMÁTICA
Calculando ∆, temos:
2
2
b 4ac
42 4 1 ( 400)
1764 1600
3364
∆ = −
∆ = − × × −
∆ = +
∆ =
Substituindo em:
b
x
2a
42 3364
x
2 1
42 58
x
2
42 58 16
x ' 8
2 2
42 58 100
x '' 50
2 2
− ± ∆
=
− ±
=
×
− ±
=
− +
= = =
− − −
= = = −
Ou podemos utilizar a regra de soma e produto:
b
x ' x ''
a
42
x ' x '' 42
1
−
+ =
−
+ = = −
 
c
x ' x ''
a
400
x ' x '' 400
1
× =
−
× = = −
Nesse caso devemos ter o seguinte raciocínio:
Quais os números que, quando somados, obtém‑se como resultado ‑42 e, quando multiplicados, 
obtém‑se o resultado ‑400?
Se somarmos 8+(–50)=–42. E se multiplicarmos 8×(–50)=–400. Ou seja, 8 e –50 são raízes 
da equação.
Por se tratar de um exemplo que contém medidas de terreno, devemos desconsiderar as raízes 
negativas, ou seja, o valor a ser considerado é 8.
Portanto a largura da faixa deve ser de 8 metros.
96
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01
/1
0/
18
Unidade II
Exemplo 4
Os 3/5 de um número aumentado de 12 são iguais aos 5/7 desse número. Qual é esse número?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
3 5
x 12 x
5 7
3 5
x x 12
5 7
21x 25x
12
35
4x
12
35
4x 12 35
4x 420
420
x
4
x 105
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = − ×
− = −
−
=
−
=
Exemplo 5
O Skyvoice pesa cerca de m kg. Obter m sabendo que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 é 124.
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
m m m
2 3 5
124� � �
15 10 6
30
124
m m m� �
�
31
30
124
m
=
31 124 30m � �
31 3720m =
m =
3720
31
m =120
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on
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- 
01
/1
0/
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MATEMÁTICA
Exemplo 6
Em uma das unidades de uma fábrica de porte internacional, um terço dos empregados são 
estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados dessa fábrica?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
1
x 72 x
3
1
x x 72
3
1x 3x
72
3
2x
72
3
2x 72 3
2x 216
216
x
2
x 108
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = − ×
= −
−
=
−
=
Exemplo 7
Um sexto de um salário é reservado para o aluguel; cerca de dois nonos são gastos com alimentação, 
restando ainda R$ 1.100,00 para os demais gastos. Qual é o valor desse salário?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
1
6
2
9
1100x x x� � �
1
6
2
9
1100x x x� � � �
3 4 18
18
1100
x x x� �
� �
�
� �
11
18
1100
x
� � � �11 1100 18x
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01
/1
0/
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Unidade II
� � �11 19800x
x �
�
�
19800
11
x =1800
Exemplo 8
Uma determinada firma saldou uma dívida com uma financiadora em três prestações. Na 1ª prestação, 
pagou a metade do valor do débito, na 2ª prestação, a terça parte e, na última, R$ 3.000,00. Qual o valor 
total pago?
Resolução
Modelando matematicamente, temos:
1 1
x x 3000 x
2 3
1 1
x x x 3000
2 3
3x 2x 6x
3000
6
x
3000
6
x 3000 6
x 18000 ( 1)
x 18000
+ + =
+ − = −
+ −
= −
−
= −
− = − ×
− = − ×−
=
Exemplo 9
Cerca de 780 veículos, entre carros e motos, utilizam semanalmente um determinado estacionamento. 
Nos últimos anos ocorreu um aumento considerável no número de motos, de modo que, após certo período 
de observação, notou‑se que, semanalmente, o número de carros que se utilizam desse estacionamento é 
aproximadamente cinco vezes o número de motos. Quantas motos fazem uso semanal do estacionamento?
Resolução
Modelando o problema, temos:
Sendo:
x carros
y motos
=
=
99
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01
/1
0/
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MATEMÁTICA
x y 780 equação I
x 5y equação II
+ = →
 = →
Utilizaremos o método da substituição. Substituindo II em I, temos:
5y y 780
6y 780
780
y
6
y 130
+ =
=
=
=
Exemplo 10
O triplo de um número, somado a 4, é maior que seu quíntuplo diminuído de 4. Qual é esse 
número necessariamente?
Resolução
Modelando a inequação, temos:
3x 4 5x 4
3x 5x 4 4
2x 8
8
x
2
8
x
2
x 4
+ > −
− > − −
− > −
−
<
−
<
<
Portanto, a inequação tem como solução todos os valores de x menores que 4.
Exemplo 11
Determine o conjunto solução da seguinte inequação 
2x 1 4 x
3 5 3
−
+ > , sabendo que U = Q.
Resolução
2 1
3
4
5 3
x x�
� �
2 1
3 3
4
5
x x�
� � �
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/1
0/
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Unidade II
x �
� �
1
3
4
5
x � � �
�
1
4 3
5
x � � �1
12
5
x � � �
12
5
1
x �
� �12 5
5
x � �
7
5
Portanto o intervalo solução da inequação pode ser representado da forma:
7
S x / x , 
5
 = ∈ − +∞  
 Resumo
Nesta unidade foram resgatados alguns conceitos algébricos com o 
objetivo de explorar a capacidade de abstração. Foram criados modelos 
matemáticos para a resolução de problemas. Vimos os conceitos de 
equações de 1º e 2º graus, inequações e sistemas de equações, bem como 
alguns métodos utilizados para a resolução deles.
 Exercícios
Questão 1. (Enem 2010) O salto triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto 
em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será 
feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá 
com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: <www.cbat.org.br> (adaptado).
Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo 
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m e, do terceiro para o segundo salto, o alcance 
diminuía em 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a 
distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:
101
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MATEMÁTICA
A) 4,0 m e 5,0 m.
B) 5,0 m e 6,0 m.
C) 6,0 m e 7,0 m.
D) 7,0 m e 8,0 m.
E) 8,0 m e 9,0 m.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
Supondo‑se que o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que o do primeiro salto e que o alcance 
do terceiro salto é 1,5 m menor que o do segundo salto, e se a distância alcançada no primeiro salto é 
x, então, para atingir a meta de 17,4 m, tem‑se:
x (x 1,2) (x 1,2 1,5) 17,4
3x 1,2 1,2 1,5 17,4
3x 3,9 17,4
3x 17,4 3,9
3x 21,3
x 7,1m
+ − + − − =
− − − =
− =
= +
=
=
Questão 2. (Fuvest 2007) Uma fazenda estende‑se por dois municípios, A e B. A parte da fazenda 
que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área 
desse município. Sabendo‑se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre 
a área da parte da fazenda que está em a e a área total da fazenda é igual a:
A) 2
9
B) 3
9
C) 4
9
D) 
5
9
E)7
9
Resolução desta questão na plataforma.