Cap 29 - Campos Magneticos Produzidos por Correntes

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Capítulo 29: 
Campos Magnéticos 
Produzidos por Correntes 
 Lei de Biot-Savart; 
 Cálculo do Campo Produzido por uma Corrente; 
 Força Entre duas Correntes Paralelas; 
 Lei de Ampère; 
 Solenóides e Toróides; 
 Uma Bobina percorrida por Corrente como um Dipolo 
Magnético. 
Índice 
Cap. 29: Campos Magnéticos 
Produzidos por Correntes 
A Lei de Biot-Savart 
Cap. 29: Geração de B por i 
Cargas em movimento geram Campo Magnético 
 0 = 4x10
-7 T.m/A; 
 O vetor r aponta do elemento de corrente em direção ao ponto onde o campo deve 
ser determinado; 
 O vetor ds é um infinitesimal de comprimento orientado na direção da corrente. 
2
0
r
rˆ vdq
4





Bd
Lei de Biot-Savart 
2
0
r
rˆ 
4


sid
Bd



Ilustração das variáveis da Lei de Biot-Savart e da regra da mão direita, usada para determinar a 
direção e o sentido do campo magnético gerado por uma corrente elétrica 
Fio Percorrido por uma Corrente 
Cap. 29: Geração de B por i 
Campo Magnético de um 
 fio infinito 
2
0
r
rˆ 
4


sid
Bd



2
0
r
)(
4


 senids
dB 




0
2
0
2
0
r
)(
4
2
r
)(
4




 sendsisenids
B
r
s
r
R
sen




cos






180
0
0
2
180
0
2
0
4
1
)(R/4





dsen
R
i
d
sen
R
sen
seni
B
s
R
tg




d
sen
Rds 






2
1



180
0
0 )cos(
4



R
i
B
R
i
B


2
0
R
i
B


4
0
Campo Magnético de meio 
 fio infinito em x = 0 (x = 0 até ) 
Fio Percorrido por uma Corrente 
Cap. 29: Geração de B por i 
Campo Magnético de um 
 fio infinito 
2
0
r
rˆ 
4


sid
Bd



2
0
r
)(
4


 senids
dB 
R
i
B


2
0
Corrente em um Arco de Circunferência 
Cap. 29: Geração de B por i 
2
0
r
)(
4


 senids
dB 
 O ângulo  entre ds e r é sempre 90° 
 r é constante (r = R). 
rdds 
)(
R4R4
)90( 0
2
0
if
i
Rd
seni
B
f
i


 



 
 Para uma volta completa ( varia de 2 
até 0). 
R2
0iB


Campo Magnético gerado 
Por uma espira. 
Corrente em um Arco de Circunferência 
Cap. 29: Geração de B por i 
Exemplo 29-1) pg. 238 
A figura abaixo mostra um fio percorrido por uma corrente i. Dois segmentos 
retilíneos assim como um arco de circunferência com ângulo central de /2 rad 
compõe a forma do fio. Determine o campo magnético no ponto C. 
 O campo gerado no ponto C será 
composto por 3 contribuições. 
R24
1 0
3
i
BB


 O campo gerado pelos segmentos 
retilíneos 1 e 2 é nulo pois o ângulo  entre 
a corrente e o vetor r é 0°. 
2
0
r
)(
4


 senids
dB  021  BB

 O campo gerado pelo arco de 
circunferência constitui 1/4 do valor do 
campo de uma espira. 
321 BBBB


R8
0iB


Cap. 29: Geração de B por i 
Exemplo 29-2) pg. 239 
A figura ao lado mostra dois fios longos percorridos por correntes i1 e i2. Determine o 
módulo do campo magnético total no ponto P, para i1 = 15 A, i2 = 32 A e d = 5,3 cm. T
i
B 5101 108
dcos452
 

R2
0

 i
B 
 O campo gerado no ponto P será 
composto por 2 contribuições. 
21 BBB


 O campo de cada fio será: 
T
i
B 4202 10708,1
dcos452
 

 Como o ângulo entre B1 e B2 é 90°, 
temos: 
2
2
2
1 BBB 
TB 41089,1 
 25
2
1
B
B
arctg
Forças Geradas por Correntes Paralelas 
Cap. 29: Geração de B por i 
 Dois fios paralelos percorridos por correntes 
ia e ib, sentem a ação de uma força. 
d
iLi
F baba 

2
0
 O campo gerado sobre o fio b pela corrente 
ia. 
d
i
B aa 

2
0
 Para um elemento dl do fio b, temos: 
ab BldiFd


 90senLBiF abba
 Correntes paralelas se atraem e correntes 
antiparalelas se repelem. 
Cap. 29: Geração de B por i 
 Exemplo de aplicação da força gerada por correntes 
paralelas: O Canhão Eletromagnético. 
 
 Uma corrente elétrica elevada provoca a 
vaporização de um fusível. 
 
 A corrente nos trilhos gera um campo magnético 
que faz com que os gás (fusível vaporizado) sofra a 
ação de uma força. 
 
 A força faz com que o gás seja arremessado contra o 
projétil, acelerando-o em direção ao exterior. 
Forças Geradas por Correntes Paralelas 
Lei de Ampère 
Cap. 29: Geração de B por i 
Nos problemas em que a corrente apresenta alguma simetria o campo magnético 
pode ser determinado usando a Lei de Ampère. 
int0isdB 

Lei de Ampère 
int0cos iBds  
  é o ângulo entre um infinitesimal da curva 
Amperiana e o campo magnético local gerado 
pelas correntes localizadas no interior da curva. 
 Posicione a mão direita com os dedos 
apontando no sentido de integração. Uma 
corrente que flui no sentido do polegar recebe 
o sinal positivo, enquanto que uma corrente no 
sentido oposto recebe o sinal negativo. 
Lei de Ampère 
Cap. 29: Geração de B por i 
Campo Gerado por um Fio Longo 
int0cos iBds  
 Escolher uma forma geométrica que delimita 
o caminha de integração na qual o campo é 
constante, ou apresente uma dependência bem 
conhecida (neste caso uma circunferência). 
 O ângulo entre B e ds é constante, 0°. 
int00cos idsB 
r
i
B


2
0
Campo Magnético gerado 
por um fio longo 
Lei de Ampère 
Cap. 29: Geração de B por i 
Campo no Interior de um Fio Longo 
int0cos iBds  
 Nem toda a corrente i contribuirá com o 
campo Magnético a uma distância r do centro. 
 O ângulo entre B e ds é constante, 0°. 
2
2
02
R
ir
rB  
totJJ int 22
int // Riri  
2
2
int
R
ir
i 
2
0
2 R
ir
B



Campo Magnético gerado 
No interior de um fio longo 
Lei de Ampère 
Cap. 29: Geração de B por i 
Exemplo 29-3) pg. 244 
A figura mostra a seção de reta de um cilindro condutor oco de raio interno a = 2,0 cm e 
raio externo b = 4,0 cm. O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e o 
módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J = cr2, com c = 3,0 x 106 A/m2 
e r em metros. Qual é o campo magnético B em um ponto situado a 3 cm de distância do 
eixo central do cilindro? 
int0cos iBds  
 Cálculo da corrente: 
 
r
a
rdrcrdAnJi 2ˆ 2int

2
)(
4
2 444
int
arcrc
i
r
a



2
)(
2
44
0
arc
rB



r
arc
B
4
)( 440 

TB 5102 
 Sentido da corrente para fora do papel: 
 O sinal de negativo indica que o sentido 
de que o campo é oposto ao sentido de 
circuitação adotado. 
Solenóides e Toróides 
Cap. 29: Geração de B por i 
Solenóide ou Bobina: Dispositivo composto por um condutor enrolado em forma de 
espiras muitos próximas. Podem ser formados por uma ou mais camadas de fios 
enrolados. 
Cap. 29: Geração de B por i 
Solenóides e Toróides 
Campo no Interior de uma Bobina 
 Escolher uma curva Amperiana adequada. 
int0isdB 

int0isdBsdBsdBsdB
a
d
d
c
c
b
b
a
 

 As integrais de c até b assim como de a até d se anulam pois o campo é perpendicular 
ao caminho de integração. A integral de d até c, que delimita a região externa do 
solenóide é nula, pois nessa região o campo magnético é zero. 
NisdBsdB
d
c
b
a
0 
NidsB
h
0
0

h
Ni
B 0


niB 0
 N = número de espiras. 
 h = comprimento da bobina. 
 n = número de espiras por unidade de comprimento 
Cap. 29: Geração de B por i 
Toróide: solenóide cilíndrico 
que foi encurvado até as 
extremidades se tocarem, 
formando um anel. 
int0isdB 

 Por simetria usamos uma circunferência para descrever a simetria do campo no 
interior do toróide. 
NirdB 0
2
0



r
Ni
B


2
0
Campo Magnético 
no interior do Toróide 
Solenóides e Toróides 
Cap. 29: Geração de B por i 
Exemplo 29-3) pg. 247 
Um solenóide tem comprimento L = 1,23 m e um diâmetro interno d = 3,55 cm e conduz 
uma corrente i = 5,57 A. É formado por 5 camadas de espiras cada uma com 850 espiras. 
Qual o valor de B no centro do solenóide? 
 Calcular a densidade linear de espiras do solenóide. 
Solenóides e Toróides 
niB 0
mespirasLNn /3,3455
23,1
)850(5
/ 
mTniB 2,240  
Cap. 29: Geração de B por i 
 r é cte; i é cte;  é cte; 
 r é sempre perpendicular a corrente i ( = 90°). 
Solenóides como um Dipolo Magnético 
cosBBx 
Campo Magnético de uma Espira ao Longo do Eixo X 
2
0
r
)(
4


 senids
dB 


 ds
isen
dB
2
0
r
)90(
4

 Devido à simetria do problema, as componentes Br se cancelam aos pares. 
Restam apenas as componentes Bx do campo. 
2
0
r
2
4
Ri
B




222 xRr 
22
cos
xR
R
r
R


2222
0
xR)x(R2 

RiR
Bx

2/322
2
0
)x(R2 

Ri
Bx

Cap. 29: Geração de B por i 
 Para x >> R, temos: 
Solenóides como um Dipolo Magnético 
Campo Magnético de uma Espira ao Longo do Eixo X 
2/322
2
0
)x(R2 

Ri
Bx

Campo Magnético gerado por uma espira ao 
longo do eixo x. 
3
2
0
x2
Ri
Bx


 Considerando uma bobina de N espiras: 
3
2
0
x2
RNi
Bx



 3
0
x2
ANi
Bx 


3
0
x2


xB
NiA
Cap. 29: Geração de B por i 
 Relembrando o torque de uma bobina: 
Solenóides como um Dipolo Magnético 
Campo Magnético de uma Espira ao Longo do Eixo X 
 Bsen
B

 
NiA
 Agora podemos calcular o momento dipolar magnético de outra forma: 
conhecendo o campo gerado pela bobina Bx! 
3
0
x2


xB
0
3x2


 x
B



Campo já existente em 
alguma região do 
espaço! 
Campo gerado pela bobina 
ao longo do eixo x. 
Lista de Exercícios: 
 
3, 5, 7, 11, 13, 17, 21, 28, 31, 33, 37, 41, 43, 47, 
48, 53, 55, 59, 63, 69, 87 
A Lei de Biot-Savart 
Cap. 29: Geração de B por i 
Referências 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. 
 
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. 
 
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: 
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.