testes não paramétricos

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Testes não paramétricos
ATENÇÃO: Este material serve apenas como apoio as aulas
e não deve ser tomado como suficiente para o estudo.
Sugere-se complementar o assunto com o livro indicado.
Sumário 
• Teste do Sinal:
o Uma amostra;
o Duas mostras pareadas;
• Teste de Postos Sinalizados de Wilcoxon: 
o Uma amostra;
o Duas mostras pareadas
• Teste da Soma dos Postos de Wilcoxon;
Sumário prof. Aguinaldo 2
Introdução
Os testes paramétricos que vimos (teste z, teste t, teste da 
variância) são testes que fazem suposições à respeito da forma da 
distribuição da população e de seus parâmetros. 
Para o uso destes testes, são necessárias algumas exigências: 
 Os dados devem ser numéricos (quantitativos);
 Os dados devem seguir uma distribuição em específico, sendo 
a distribuição normal a mais comum;
 Os parâmetros (como a variância) da distribuição devem ser 
conhecidos
Introdução prof. Aguinaldo 3
Introdução
Os testes não-paramétricos, por sua vez, fazem menos 
exigências em relação a forma de distribuição dos dados na 
população, por isto são chamados de testes livres da 
distribuição (distribution-free tests).
 não exigem uma distribuição normal dos dados e nem se 
baseiam em seus parâmetros, por exemplo, não exigem 
variâncias conhecidas e/ou iguais mp caso de duas 
amostras;
Introdução prof. Aguinaldo 4
Introdução
Testes não paramétricos
Vantagens Desvantagens
Pode ser usada quando os dados não 
seguem a distribuição normal
Trabalha com a mediana (em vez da 
média), que é uma medida não muito 
fácil de explicar para um leigo
Pode ser usado em dados não numéricos
Mais fácil a realização, quando a amostra 
é pequena
Para amostras maiores, o cálculo à 
mão é trabalhoso. Neste caso, 
aconselha-se o uso da aproximação 
normal
Por usar os postos e/ou sinais, são menos 
sensíveis aos erros de medida
Por usar os postos e/ou sinais, tendem 
a perder informação
É mais eficientes que o teste paramétrico 
correspondente, se a população não
seguir a distribuição normal
É menos eficientes que os testes 
paramétricos correspondente, se a 
população seguir a distribuição normal
Introdução prof. Aguinaldo 5
Teste para uma amostra
Teste do Sinal
Introdução
O teste do sinal (sign test) é usado para testar a hipótese 
sobre a mediana de uma população
Razões para usar a mediana:
• A mediana é menos influenciada por valores extremos;
• Ela exige apenas ordenação dos valores, podendo ser 
também usado com dados ordinais;
• Em distribuições simétricas, a mediana e a média de uma 
população são iguais.
Teste de sinal prof. Aguinaldo 8
Introdução
O teste do sinal é bem simples, pois envolve apenas em colocar 
diante de cada valor o sinal “+” ou “-”, se o valor for maior ou 
menor que a mediana testada, ou “zero”, caso contrário.
850 ; 740 ; 820 ; 775 ; 920 ; 880 ; 750 ; 688 ; 890 ; 745 ; 980 ; 850
Veja a situação abaixo. Estes dados vieram de uma população com 
mediana M = 800?
Se de fato, a mediana for mesmo 800, esperaríamos 
aproximadamente metade (50%) de sinais “+” (S+) e sinais “-” (S-).
Teste de sinal prof. Aguinaldo 9
Introdução
Os dados abaixo vieram de uma população com mediana de 800? 
+ − + − + + − − + − + +
(1) S+ = 7 S- = 5
850 ; 740 ; 820 ; 775 ; 920 ; 880 ; 750 ; 688 ; 890 ; 745 ; 980 ; 850
(3) S+ = 2 S- = 10
750 ; 840 ; 720 ; 775 ; 720 ; 780 ; 850 ; 788 ; 790 ; 745 ; 780 ; 750
+ − + + + + + + + + � +
− + − − − − + − − − − −
(2) S+ = 11 S- = 1
850 ; 740 ; 820 ; 875 ; 920 ; 880 ; 850 ; 988 ; 990 ; 845 ; 800 ; 850
Teste de sinal prof. Aguinaldo 10
O sinal “+” representa valores acima da mediana testada, “–” abaixo e “0” igual. Pelo 
vista acima, em (1) é provável que tenha vindo de população com mediana igual a 500, 
enquanto que em (2) parece que a mediana é maior que 800, enquanto que em (3) 
parece que é menor. 
Introdução
Lembre-se da definição da mediana: É o valor que deixa 50% acima e 
50% abaixo dele. Para dados contínuos, temos
P X ≤ mediana = 0,50 = P � ≥ ������� 
Portanto, se os valores �� e S�forem bem diferentes entre si, seria uma 
evidência de que a mediana não é igual a 800 (podendo ser maior ou 
menor). Por outro lado, caso as quantidades S�e S� sejam próximos, 
seria uma evidência de que a mediana seja igual a 800. 
Teste de sinal prof. Aguinaldo 11
Hipóteses a serem testadas
Teste unicaudal à esquerda 
H0: mediana >= M0 vs H1: mediana < M0
Teste unicaudal à direita
H0: mediana <= M0 vs H1: mediana > M0
Teste bicaudal
H0: mediana = M0 vs H1: mediana ≠ M0
Onde M0 é o valor hipotético da mediana na população
Teste do sinal prof. Aguinaldo 12
Etapas do teste de sinal
1) Formule as hipóteses H0 e H1 ;
2) Identifique o nível de significância do teste (α);
3) Calcule a estatística de teste (ET);
4) Usar um critério de decisão;
5) Conclusão dentro do contexto do problema
O procedimento de teste de hipótese ao usar o teste do Sinal 
é o mesmo usado nos testes paramétricos. 
Teste de sinal prof. Aguinaldo 13
Cálculo da estatística de teste
Para calcular a estatística de teste no teste do sinal, devemos:
• Colocar sinal “+”, se o valor for maior que a mediana hipotética 
M, sinal “-”, se for menor e “zero” se for igual;
• Calcular S+ = “quantidade de +” e S- = “quantidade de –”;
• Calcular o tamanho da amostra � = S� + S�, portando ZEROS 
são excluídos. 
• Calcule a estatística de teste � = ����� (S�; S�)
Veja os exemplos abaixo:
+ – + + + – – + + + S+ = 7 , S– = 3, S = 3 e n = 7 + 3 = 10
+ – – – 0 – – – + 0 S+ = 2, S– = 6, S = 2 e n = 2 + 6 = 8
Teste de sinal prof. Aguinaldo 14
Critério de decisão
Para n ≤≤≤≤ 30 
 Rejeita H0, se S ≤ +VT, onde VT é o valor crítico (tabelado) obtido 
da tabela própria do teste.
Para n > 30, use a aproximação normal 
# =
� + 0,5 − 0,5�
0,5 �
 
 Rejeita H0, se Z ≤ -VC, onde VC é o valor crítico obtido da tabela Z
 Rejeita H0, se pvalor ≤ αααα;
OBS: As regiões críticas (S ≤ +V ou Z ≤ -VC ) serão sempre estas para este teste, 
independente do tipo de teste (bicaudal, unicaudal esquerdo ou direito)
Teste de sinal prof. Aguinaldo 15
Modelo binomial
Supondo que a hipótese nula H0: mediana = M0 é verdadeira, então 
temos probabilidade P(X ≥ S+) = P(X ≤ S-) = 0,50. Desta forma, 
podemos dizer que o número de sinais + (S+) e negativo (S-) seguem a 
distribuição Binomial com parâmetros n e p = 0,5. 
$ % =
�!
%! � − % !
'( 1 − ' *�( , ���� % = 0, 1,2 … , �
Onde x = “quantidade de sinais + (ou -)”
Teste de sinal prof. Aguinaldo 16
O teste do Sinal tem uma relação forte com o modelo Binomial.
Região crítica usando a Binomial
Então, a distribuição binomial pode ser usada para obter os valores 
críticos VT e o pvalor do teste. 
Como o valor VT é obtido usando a Binomial?
Se temos uma distribuição binomial com n = 12 e p = 0,50 (gráfico a 
seguir), qual seria o maior valor x de modo que a soma das 
probabilidades dos valores iguais ou abaixo dele não ultrapasse, por 
exemplo, o nível de significância de 5%? 
Teste de sinal prof. Aguinaldo 17
Modelo binomial: n = 12 e p = 0,5
Teste de sinal prof. Aguinaldo 18
Região crítica usando a Binomial
RESPOSTA: X = 2
Veja, pelo gráfico, que teríamos uma soma de 1,92% se x = 2, 
enquanto que para x = 3, a soma seria 7,29% (maior que os 5%). 
Então, como não pode ultrapassar os 5%, ficamos com o valor 2. 
Então, VT = 2 para n = 12 e α = 5%.
Teste de sinal prof. Aguinaldo 19
pvalor usando a Binomial
Como o pvalor é obtido usando a binomial?
Se S+ = 8, S- = 4 e n = 12 no teste do Sinal, a estatística de teste será 
S = 4. Neste caso, o pvalor será a soma das probabilidades dos valores 
menores ou iguais a estatística de teste 4, ou seja, P X ≤ 4 :
=
12
0
0.5/0.501 + ⋯ +
12
4
0.530.54
= 0,0161 + ... + 0,1209 = 0,1938 ou 19,38%
Repareque esta probabilidade é igual ao pvalor considerando o 
maior valor entre S+ e S-, ou seja, será igual a P(X ≥ 8).
Teste de sinal prof. Aguinaldo 20
Exemplo 1
O gerente de um banco afirma que o número mediano de clientes 
é igual a 800 clientes/dia. Uma amostra de clientes para 12 dias 
selecionados ao caso está listado abaixo. Usando o teste do Sinal 
com α = 5%, há evidência para rejeitar a afirmação do gerente?
880 ; 740 ; 850 ; 775 ; 920 ; 800 ; 750 ; 788 ; 790 ; 745 ; 980 ; 750
Se o número de clientes seguisse a distribuição normal, poderíamos usar o 
teste T para o problema acima, já que média e mediana em uma normal são 
iguais. Mas como não sabemos disto e, para complicar anda mais, a amostra 
é pequena o uso de um teste não paramétrico é indicado. Aqui vamos usar o 
teste do Sinal para mediana.
Teste de sinal prof. Aguinaldo 21
Exemplo 2
O gerente de um banco afirma que o número mediano de clientes 
é maior que 800 clientes/dia. Uma amostra de clientes para trinta 
dias selecionados ao caso mostrou os resultados abaixo:
abaixo de 800 igual a 800 acima de 800
8 3 19
Usando o teste do Sinal com α = 10%, os dados mostram 
evidências para apoiar a afirmação do gerente?
Teste de sinal prof. Aguinaldo 22
Exemplo 3
Um pesquisador afirma que a idade mediana das noivas na época do seu 
primeiro casamento é maior que 25 anos. Em uma amostra aleatória de 
65 noivas, tivemos 22 que casaram pela primeira vez com menos de 25 
anos, 8 casaram com 25 anos e restante casaram com mais de 25 anos. 
Usando o teste do Sinal com α = 10%, os dados mostram evidências para 
apoiar a afirmação do pesquisador?
Note que queremos fazer um teste para a mediana e não sabemos nem quem 
são os valores (só sabemos quantos valores estão acima/abaixo de 25). Uma 
saída é usar o teste do Sinal para mediana.
Teste de sinal prof. Aguinaldo 23
Teste de Postos Sinalizados
de Wilcoxon 
Teste de Posto Sinalizado de Wilcoxon
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 25
• O teste de Postos Sinalizados de Wilcoxon (Wilcoxon 
signed rank) trata-se de uma extensão do teste dos Sinais. 
• Este teste leva em consideração a magnitude das 
diferenças e não apenas o sinal com é feito no teste do 
Sinal, o que o torna mais poderoso;
• Este teste exige que os dados sejam medidos em escala
ordinal ou numérica.
Teste de Posto Sinalizado de Wilcoxon
O teste do Sinal não considera a magnitude das diferenças, 
somente se ele é maior ou menor. Nos dois casos abaixo temos as 
mesmas configurações de sinais + e -, ao testar se a mediana é 
igual a 80, mas o 2º caso mostra maior evidência contra o valor 
testado.
CASO 1: 32 21 30 38 32 26 33 31 
+2 -9 0 +8 +2 -4 +3 +1
CASO 2: 82 21 30 90 82 26 85 88 
+52 -9 0 +60 +52 -4 +55 +88
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 26
Teste de Posto Sinalizado de Wilcoxon
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 27
As hipóteses a serem testadas ão:
Testar a mediana de uma população
H0: mediana = M0
H1: mediana ≠ M0 (< ou >)
SUPOSIÇÃO: Temos uma amostra aleatória retirada de uma 
população simétrica contínua com dados na escala 
no mínimo ordinal
Etapas do teste
1) Formule as hipóteses H0 e H1 ;
2) Identifique o nível de significância do teste (α);
3) Calcule a estatística de teste (ET);
4) Usar um critério de decisão;
5) Conclusão dentro do contexto do problema
Teste de sinal prof. Aguinaldo 28
Cálculo da estatística de teste
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 29
1) Calcule a diferença entre cada valor e a mediana hipotética M;
2) Ignorando as diferenças = ZERO, ordene o valor absoluto das 
diferenças obtidas e dê um posto a cada diferença ordenada. Use 
posto médio se necessário.
3) Calcule W+ = soma dos postos das diferenças positivas, W- = soma 
dos postos das diferenças negativas e o tamanho da amostra 
n = [+] + [-].
4) A estatística de teste é W = menor(W+ ; W-);
OBS: Na verdade, poderia ser qualquer uma das soma (W+ ou W-), mas 
para simplificar o procedimento, foi escolhido arbitrariamente a menor 
delas e a partir disto foi construída a tabela própria do teste.
Critério de rejeição
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 30
Para n ≤≤≤≤ 30 
 Rejeita H0, se W ≤ +VT, onde VT é o valor crítico (tabelado) 
obtido da tabela própria do teste.
Para n > 30, use a aproximação normal 
# =
5 − 67
87
, onde 67 =
� � + 1
4
 � 87 =
� � + 1 2� + 1
24
 Rejeita H0, se pvalor ≤ alfa;
 Rejeita H0, se Z ≤ -VC, onde VC é obtido da tabela Z
Postos (rank)
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 31
Exemplo: 10, 9, 10, 20, 15, 10, 20
Seq posto
9 1 1,0
10 2 3,0
10 3 3,0
10 4 3,0
15 5 5,0
20 6 6,5
20 7 6,5
O que é posto?
O posto (ordem ou rank) é a posição de um valor dentro de uma 
lista ordenada. Se houver empates, é comum atribuir a média.
Exemplo: 10, 9, 12, 15, 18, 25, 20
posto
9 1
10 2
12 3
15 4
18 5
20 6
25 7
= (2+3+4)/3
= (6+7)/2
Exemplo 6
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 32
O gerente de um banco afirma que o número mediano de clientes 
por dia é menor a 800 clientes. Uma amostra de clientes para 12 
dias selecionados ao caso está listado abaixo. Use o teste de 
Postos Sinalizados de Wilcoxon com nível de significância de 0,05 
para apoiar a afirmação do gerente.
880 ; 740 ; 850 ; 775 ; 920 ; 800 ; 750 ; 788 ; 790 ; 745 ; 980 ; 750
Resolução do exemplo 6
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 33
Queremos testar se a mediana < 800 ou mediana ≥ 800
Hipóteses
H0: mediana da população ≥ 800 clientes ≈ H0: mediana = 800
H1: mediana < 800 ≈ H1: mediana < 800
αααα = 5%
Estatística de teste
n = 11 - tivemos uma diferença zero (ver próximo slide)
Como n ≤ 30, a estatística de teste é W = menor(W+ ; W-) = 31 (ver próximo slide)
Critério de decisão
Usando a região crítica RC : W ≤≤≤≤ 14 (valor crítico obtido da tabela do teste)
Como W = 31 não foi menor que o valor crítico 14, a hipótese H0 não deve ser rejeitada.
Conclusão: Há evidência da mediana da população não ser menor que 800 clientes.
Resolução do exemplo 6
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 34
x Diferenças
Ordenando os 
“módulos”
Sequência POSTO
POSTO
+
POSTO 
-
880 80 0 -- -- -- --
740 -60 - 10 1 1 1
850 50 - 12 2 2 2
775 -25 - 25 3 3 3
920 120 - 50 4 5 5
80 0 - 50 5 5 5
750 -50 + 50 6 5 5
788 -12 - 55 7 7 7
790 -10 - 60 8 8 8
745 -55 + 80 9 9 9
980 180 + 120 10 10 10
750 -50 + 180 11 11 11
n = 11 W+ = 35 W- = 31
Ordene os módulos das diferenças, mas mantendo 
o sinal (+ /-) ao lado de cada uma delas. 
Exemplo 7
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 35
Foi selecionado uma amostra de 36 alunos de uma escola 
particular que pagaram a mensalidade com atraso. Abaixo temos o 
tempo de atraso em dias. Use o teste de Postos Sinalizados de 
Wilcoxon com nível de significância de 5% para testar se a 
mediana do tempo de atraso é diferente de 10 dias.
Usando o Excel, foi obtido W+ = 206 e W- = 322. 
12 10 12 12 9 8 6 9 14 12
11 12 9 13 8 10 8 8 11 8
9 9 9 9 12 11 10 8 11 10
8 11 15 16 15 18
Ajuste de empates
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 36
Como se sabe ao ordenar os módulos das diferenças, as
observações empatadas recebem a média dos postos. Caso a
quantidade de empates seja expressiva, sugere-se fazer uma
correção no desvio-padrão da estatística de teste W. Supondo que
há k grupos diferentes de empates a aproximação normal para a
estatística W é
# =
5 − 67
87
���� 67 =
� � + 1
4
 � 87 =
� � + 1 2� + 1
24
−
∑ ;<
= − ;<
48
O ui é a quantidade de observações empatadas no grupo i = 1, 2, ..., k
Exemplo 8
Teste de Wilcoxon PS prof. Aguinaldo37
Foi selecionado uma amostra de 36 alunos de uma escola 
particular que pagaram a mensalidade com atraso. Abaixo temos o 
tempo de atraso em dias. 
Use o teste de Postos Sinalizados de Wilcoxon (com correção para 
empates) com nível de significância de 5% para testar se a 
mediana do tempo de atraso é de 10 dias.
12 10 12 12 9 8 6 9 14 12
11 12 9 13 8 10 8 8 11 8
9 9 9 9 12 11 10 8 11 10
8 11 15 16 15 18
Resolução do exemplo 8
Do exemplo 7 temos 
n = 32 ; W+ = 206 ; W- = 322 ; W = min(W+; W-) = 206
Olhando os módulos das diferenças (D) , vemos 4 grupos de 
valores com empates: doze empates com D = 1, treze empates 
com D = 2, dois empates com D = 4 e dois empates com D = 5.
87 =
� � + 1 2� + 1
24
−
∑ ;<
= − ;<
48
=
=
32 32 + 1 2 · 32 + 1
24
−
12= − 12 + 13= − 13 + 2= − 2 + 21 − 2
48
= ⋯ A�������
Teste de Wilcoxon PS prof. Aguinaldo 38
Testes para duas amostras
Amostras dependentes e independentes
Teste de Wilcoxon PS prof. Aguinaldo 40
• Amostras dependentes
Os valores de uma amostra afetam os valores da outra amostra. 
Normalmente, as medições são feitas de forma pareada nos 
mesmos elementos (pessoas, produtos, etc). É também chamada 
de amostras pareadas.
• Amostras independentes
Os valores de uma amostra não afetam os valores da outra 
amostra. As medições são realizadas em grupos diferentes de 
elementos.
Diferença dependente e independente
Teste de Wilcoxon PS prof. Aguinaldo 41
Suponha que uma indústria farmacêutica deseja testar a eficácia de 
um novo medicamento para reduzir a pressão arterial. Veja dois 
casos:
1) A indústria decide medir a pressão sanguínea nas mesmas 
pessoas antes e depois de administrar o medicamento. 
(amostras dependentes)
2) A indústria decide administrar o medicamento a um grupo de 
pacientes e um placebo (tem o mesmo formato do 
medicamento, porém é inativo) a um outro diferente grupo de 
pacientes que sejam similares em várias característica (idade, 
peso, etc) ao grupo anterior. (amostras independentes)
Hipóteses a serem testadas
Teste unicaudal esquerdo 
H0: a mediana 1 não é menor que a 2 H0: M1 >= M2 → H0: M1 – M2 >= 0 
H1: a mediana 1 é menor que a 2 H1: M1 < M2 → H0: M1 – M2 < 0
Teste unicaudal direito
H0: a mediana 1 não é maior a 2 H0: M1 <= M2 → H0: M1 – M2 <= 0 
H1: a mediana 1 é maior a 2 H1: M1 > M2 → H0: M1 – M2 > 0
Teste bicaudal
H0: Não há diferença entre as medianas H1: M1 = M2 → H0: M1 – M2 = 0
H1: Há diferença significativas H1: M1 ≠ M2 → H0: M1 – M2 ≠ 0
Teste de sinal prof. Aguinaldo 42
Teste do Sinal
Teste do Sinal para
amostras pareadas
Teste do Sinal para amostras pareadas
O teste do Sinal pode ser usado para testar a diferença entre duas 
medianas da população sem exigir que os dados tenham a 
distribuição normal. 
Abaixo temos o peso antes e depois da dieta para emagrecimento 
para uma amostra de nove pessoas
Antes 77 62 61 80 90 72 86 59 88 
Depois 80 58 61 76 79 69 90 51 81 
Os dados mostram evidências da dieta ser eficiente?
Teste para duas amostras: teste do Sinal prof. Aguinaldo 45
Ideia central
A ideia chave do teste seria:
“Para cada par de valores coloque um sinal + para diferença positiva, um
sinal – para diferença negativa e 0 para nenhuma diferença.
Se os dois conjuntos têm medianas iguais, o número de “+” e “–” devem
ser aproximadamente iguais. Uma quantidade bem desigual de sinais
“+” e “– “ mostraria evidências de que as medianas não são iguais”.
Um padrão de sinais + 0 + - - - - - - indicaria que as 
medianas das populações são diferentes. Enquanto, que o padrão 
+ - 0 - + - - + + indicaria que as medianas são iguais.
Teste para duas amostras: teste do Sinal prof. Aguinaldo 46
Ideia central
Há evidências das medianas (antes e depois) serem iguais?
Antes 77 62 58 80 90 72 86 59 88
Depois 80 62 61 76 79 69 85 51 81
Diferença 3 0 +3 -4 -11 -3 -1 -8 -7
SINAL + 0 + - - - - - -
Há evidências das medianas (antes e depois) serem iguais?
Antes 77 62 58 80 90 72 86 59 88
Depois 80 58 58 76 92 69 85 60 91
Diferença 3 -4 0 -4 +2 -3 -1 +1 +3
SINAL + - 0 - + - - + +
Teste para duas amostras: teste do Sinal prof. Aguinaldo 47
Estatística de teste e Critério de rejeição
Para n ≤≤≤≤ 30 
 A estatística de teste S = ����� ��; ��
 Rejeitar H0, se S ≤ −BC
Para n > 30 – usar aproximação normal
# =
(� + 0,5) − 0,5�
0,5 �
, ���� S = ����� ��; ��
 Rejeitar H0, se Z ≤ −BE
 Rejeitar H0, se pvalor ≤ J
Teste de sinal prof. Aguinaldo 48
Exemplo 9
Abaixo temos o peso antes e depois da dieta para emagrecimento 
para uma amostra ade nove pessoas. Usando o teste de sinal com 
nível de significância de 5%, os dados mostram evidências de que 
a dieta é mais eficiente em reduzir o peso?
Antes 77 62 61 80 90 72 86 59 88 
Depois 80 58 61 76 79 69 90 51 81 
Teste de sinal prof. Aguinaldo 49
Teste da Soma dos Postos para duas 
amostras pareadas
Teste de sinal para amostras pareadas
Para usar o teste dos Postos Sinalizados de Wilcoxon para duas 
amostras dependentes (pareadas), primeiro devemos calcular a 
diferença entre as duas amostras e depois aplicar o teste da 
mesma forma que é feito para uma amostra (ver slide 29).
Teste para duas amostras: teste do Sinal prof. Aguinaldo 51
Critério de rejeição
Teste de posto Sinalizado de Wilcoxon prof. Aguinaldo 52
Para n ≤≤≤≤ 30 
 Rejeita H0, se W ≤ +VT, onde VT é o valor crítico (tabelado) 
obtido da tabela própria do teste.
Para n > 30, use a aproximação normal 
# =
5 − 67
87
, onde 67 =
� � + 1
4
 � 87 =
� � + 1 2� + 1
24
 Rejeita H0, se Z ≤ -VC, onde VC é obtido da tabela Z
 Rejeita H0, se pvalor ≤ alfa;
Exemplo 10
Abaixo temos o peso antes e depois da dieta para emagrecimento 
para uma amostra ade nove pessoas. Usando o teste de Postos 
Sinalizados de Wilcoxon com nível de significância de 0,05, os 
dados mostram evidências de que dieta é eficiente em reduzir o 
peso?
Antes 77 62 61 80 90 72 86 59 88 
Depois 80 58 61 76 79 69 90 51 81 
Teste de Wilcoxon PS prof. Aguinaldo 53
Teste de Wilcoxon da soma dos 
postos
Teste de Wilcoxon da Soma de Postos
O teste da Soma de Postos de Wilcoxon é um teste não 
paramétrico que usa os postos dos dados de duas amostras 
independentes para testar as medianas das populações de onde 
estas amostras foram retiradas. 
Este teste de Wilcoxon corresponde ao teste t para amostra 
independentes. O teste de Wilcoxon não exige a distribuição 
normal e tão pouco faz exigências com respeito as variâncias das 
populações. 
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 55
Teste de Wilcoxon da Soma de Postos
O teste de Wilcoxon da soma dos postos é equivalente ao teste de 
Mann-Whitney, por isto é também denominado de teste de Wilcoxon-
Mann-Whitney. O funcionamento deste teste é:
Duas amostras independentes são combinadas em uma única amostra e 
cada valor receberá um posto. Os postos dos valores de cada amostra 
são somados, obtendo R1 = soma de postos da 1ª amostra e R2 = soma 
de postos da 2ª amostra.
• Se a soma de postos R1 e R2 forem próximos, então provavelmente 
estas duas amostras vieram de populações com mesma mediana.
• Se a soma de postos R1 e R2 forem muito diferente entre si, então 
provavelmente estas duas amostras vieram de populações com 
medianas diferentes.
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 56
Teste de Wilcoxon da Soma de Postos
Como exemplo, suponha que temos oito valores na amostra X e 
oito valores na amostra O. Abaixo é mostrado três casos onde os 
valores são combinados em um único conjunto e depois 
ordenados 
Vendo os padrões de X e O acima, é razoável admitir que as 
amostra no caso 1 e 2 vieram de populações com diferentes 
medianas. E no terceiro caso, provavelmente estas amostras 
vieram de populações com mesmas medianas.
CASO 1: XXXXXXXOXOOOOOOO
CASO 2: OOOOOOXOOXXXXXXX
CASO 3: XOOXOXOXOXOXXOOX 
Teste da Soma de Postosde Wilcoxon prof. Aguinaldo 57
Teste de Wilcoxon da Soma de Postos
Suponha que temos duas amostras independentes
X1 = {20, 28, 22, 18, 25, 17} e X2 = {13, 11, 19, 17, 16, 17}
A duas amostras são combinadas em uma única amostra, ordenadas 
e associado um posto a cada valor
R1 = soma dos postos da 1ª amostra = 1+2+3+5+5+8 = 24
R2 = soma dos postos da 2ª amostra = 5+7+9+10+11+12 = 53
Como as duas somas R1 e R2 são bem diferentes entre si, provavelmente vieram 
de populações com medianas diferentes.
11, 13, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 20, 22, 25, 28
Seq 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Posto 1, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 58
Teste de Wilcoxon da Soma de Postos
Os requisitos para o teste são:
• Duas amostras independentes escolhidas aleatoriamente
• Os dados estão em escala numérica ou ordinal (dados 
quantitativos ou qualitativos ordinais), sem qualquer 
exigências de que as duas populações tenham distribuição 
normal,
Hipótese a serem testadas
H0: as mediana das duas populações são iguais
H1: as medianas são diferentes (≠ ; < ; >)
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 59
Etapas do teste
1) Formule as hipóteses H0 e H1 ;
2) Identifique o nível de significância do teste (α);
3) Calcule a estatística de teste (ET);
4) Usar uma critério de decisão;
5) H0 deve ser ou não rejeitado;
6) Conclusão
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 60
Cálculo da estatística de teste
1) Combine as duas amostras em um único conjunto de valores
2) Ordene os valores e associe a cada um deles um posto. Se houver 
empates, atribua a média dos postos.
3) Por conveniência, vamos definir “amostra 1” como a menor amostra. 
Poderia ser qualquer uma delas. Caso as amostras tenham mesmo 
tamanho, a escolha da amostra 1 é arbitrária.
4) Calcule K0 = soma dos postos da amostra 1 e K1 = soma dos postos da 
outra amostra. 
Para conferir, K0 + K1 = �(� + 1)/2
5) A estatística de teste é K = K0.
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 61
Critério de decisão
Para n1 e n2 ambos ≤≤≤≤ 10 
 Usando a região crítica, com VCA e VCB são obtidos da tabela do teste
• Rejeita H0, se R ≤ +VCA teste unicaudal esquerdo
• Rejeita H0, se R ≥ +VCB teste unicaudal direito
• Rejeita H0 se R ≤ +VCA ou R ≥ +VCB teste bicaudal
Para n1 e n2 ambos > 10 – usar aproximação normal (veja próximo slide)
# =
K − 6M
8M
 com 6M =
�0 �0 + �1 + 1
2
 � 8M =
�0�1 �0 + �1 + 1
12
 Rejeitar H0, se Z estiver dentro da região crítica 
 Rejeita H0, se pvalor ≤ α
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 62
Exemplo 11
Dois produtos concorrentes de café (Marca X e Y) foram comparados. 
Uma pesquisa de mercado realizada em um centro comercial local 
ofereceu a cada participante uma xícara de café e depois de degustar 
cada participante deu uma nota de 1 a 10. 
Usando nível de significância de 5%, os dados mostram evidências de 
diferenças significativas entre as duas marcas?
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 63
Resolução do exemplo 10
1º passo) Formular as hipóteses
H0: medianas das notas são iguais (não há diferença entre as marcas)
H1: medianas das notas são diferentes (há diferença entre as marcas)
2º passo) Definir n1 = 5 tamanho da amostra da marca Y (menor das duas)
3º passo) Combinar as amostras em um único conjunto de valores e ordenar e 
atribuir os postos a cada valor
marca X X X X y X X y y y y
nota 2 2 3 4 5 5 6 6 7 9 10
posto 1.5 1.5 3 4 5.5 5.5 7.5 7.5 9 10 11
Teste da Soma de Postos de Wilcoxon prof. Aguinaldo 64
Resolução do exemplo 10
4º passo) Calcular a estatística de teste
R1 = 5.5+7.5+9+10+11 = 43 R2 = 1.5+1.5+3+4+5.5+7.5 = 23 
Estatística de teste: R = 43 (soma de postos da amostra menor)
Como o teste é bicaudal e α = 5%, os valores críticos na tabela 3 foram 18 e 42.
Região crítica RC: R ≤≤≤≤ 18 ou R ≥ 42 (rejeitar H0 se R estiver “dentro” da RC)
Como a estatística de teste R = 43 está dentro da região crítica, a hipótese nula 
H0 deve ser rejeitada.
5º passo) Conclusão
Há evidências de diferenças significativa entre as duas marcas (com Y tendo 
notas maiores).
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Exemplo 12
Suspeita-se que o barulho afeta a memória de curto prazo. Para verificar essa 
suspeita, um experimento foi conduzido da seguinte forma: 24 pessoas foram 
aleatoriamente distribuídas em dois grupos. Cada grupo recebeu uma lista de 
vinte palavras para memorizar em dois minutos. Os participantes na condição 
barulho tentaram memorizar a lista de palavras, enquanto escutavam, com fones 
de ouvido, um barulho pré-gravado. Os outros participantes também utilizaram 
fones de ouvido, mas sem o barulho, enquanto memorizavam as palavras no 
mesmo período de tempo. O número de palavras memorizadas por cada pessoa 
foi registrado e apresentado na tabela a seguir.
Teste de Wilcoxon SP prof. Aguinaldo 66
Exemplo 12 - continuação
Com 
barulho
Sem 
barulho
5 15
10 9
6 16
6 15
7 16
3 18
6 17
9 13
5 11
10 12
11 13
9 11
Há evidências de que o barulho afeta a 
memorização? 
H0: barulho não afeta
H1: barulho afeta (mediana barulho é menor)
a) Qual teste paramétrico que você conhece 
que poderia ser usado para testar as 
hipótese acima? 
b) Faça o teste não paramétrico adequado 
usando a aproximação normal e 
considerando α = 0,05.
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Resolução do exemplo 12 
Formular as hipóteses
H0: mediana das palavras com barulho não é menor (barulho não afeta)
H1: mediana das palavras com barulho é menor (barulho afeta)
Nível de significância: α = 5%
Estatística de teste
Ambas amostras são maiores ou iguais que 10, então usar a aproximação normal;
#OPQO =
K − 6M
8M
=
83 − 150
17,32
= −3.87 
6M =
12 12 + 12 + 1
2
= 150 8M =
12 · 12 · 12 + 12 + 1
12
= 17,32
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Resolução do exemplo 12 
Regra de decisão
Para α = 0,05 e teste unicaudal esquerdo, o valor crítico é - 1,96
Região crítica: RC: Z ≤ -1,65
pvalor = (área esquerda de zcalc = -3,87) = 0,00005
Regra de decisão
Como e estatística de teste zcalc = -3,87 está dentro da região crítica (e pvalor é 
menor que α = 5%), há evidências para rejeitar H0 e concluir que há diferenças 
na memorização de palavras, indicando que o barulho afeta a memorização
Teste de Wilcoxon SP prof. Aguinaldo 69