4 Testes Não Paramétricos

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Escola Superior de Tecnologia de Viseu 
 
Tratamento Estatístico de Dados – 2008/2009 
Ficha Testes Não Paramétricos 
 
1. Uma máquina de lavar roupa é vendida em 5 cores: 
Verde (A1), Castanho (A2), Encarnado (A3), Azul (A4) e Branco (A5) 
Num estudo de mercado para apreciar a popularidade das várias cores analisou-se uma 
amostra aleatória de 300 vendas recentes com o seguinte resultado: 
Cor A1 A2 A3 A4 A5 Total 
Frequências observadas 88 65 52 40 55 300 
 
Será de admitir que os consumidores não manifestam preferência por qualquer uma das cores? 
(Use α=0.05) 
 
2. Da produção de uma fábrica, seleccionaram-se 20 peças aleatoriamente e registou-se o 
comprimento de cada uma delas: 
10.928 10.274 14.91 9.354 9.864 
11.812 8.974 8.95 11.19 11.762 
9.036 13.356 9.886 7.542 9.028 
6.426 9.478 12.474 12.092 8.984 
 
Serão os dados compatíveis com a hipótese de que se trata de uma amostra de uma população 
com distribuição N(10,22)? (Use α=0.1) 
i) Utilize o teste de ajustamento do Qui-quadrado; 
ii) Utilize o teste Kolmogorov-Smirnov. 
 
3. Numa Baía da Florida efectuaram-se 48 medições dos níveis de salinidade. Os valores 
obtidos aleatoriamente foram os seguintes: 
46 53 58 60 60 49 59 48 46 78 
37 58 46 46 47 48 42 50 63 48 
62 49 47 36 40 39 61 43 53 42 
59 60 52 34 40 36 67 44 40 
40 56 51 51 35 47 53 49 50 
 
Pesquise a hipótese dos valores da salinidade nessa Baía serem normalmente distribuídos, 
recorrendo aos seguintes testes: 
a) Teste de ajustamento do Qui-quadrado; (Use α=0.1) 
b) Teste de normalidade de Lilliefors. (Use α=0.01) 
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4. Nas corridas de cavalos é ponto de vista comum entre os apostadores que, numa pista 
circular, as chances são mais favoráveis a cavalos em determinadas posições (postos). O posto 
de um cavalo é a posição que lhe é atribuída na linha de partida. O posto 1 é o mais próximo 
do lado interno da pista e o posto 8 o mais afastado (numa corrida com 8 cavalos).Registaram-
se as vitórias em 144 corridas escolhidas aleatoriamente, tendo-se obtido os seguintes 
resultados: 
Posto 1 2 3 4 5 6 7 8 Total 
N.º de vitórias 29 19 18 25 17 10 15 11 144 
 
Usando um teste de hipótese apropriado diga se será de aceitar o ponto de vista dos 
apostadores? (Use α=0.01) 
 
5. Realize um teste de ajustamento para verificar se a distribuição das alturas de 100 
estudantes do sexo feminino, segue distribuição normal.(Use α=0.05) 
Alturas 150-162 162-168 168-174 174-186 
N.º de estudantes 16 22 40 22 
 
 
6. Num determinado teste de inteligência, supõe-se que a pontuação obtida segue uma 
distribuição normal com média µ=100 e variância σ2=225. Para uma amostra aleatória de 
1000 pessoas que fizeram o teste, foram obtidas as seguintes pontuações: 
Pontuações [0,50[ [50,70[ [70,85[ [85,100[ [100,115[ [115,130[ [130,150[ [150,+∞[ 
N.º de pessoas 6 28 114 360 344 120 20 8 
 
Com base nestes dados teste a distribuição proposta ao nível se significância de 0.05. 
 
7. Uma máquina embala pacotes de esparguete e foi recentemente calibrada de forma a que o 
peso de um pacote de esparguete fosse normalmente distribuído com média 500 gr e desvio 
padrão 5.1 gr. Recolheu-se uma amostra aleatória de 10 pacotes de esparguete embalados pela 
máquina e obtiveram-se os seguintes resultados: 
507 490 497 510 501.5 499 502.5 507 510 510.5 
a) Determine a função de distribuição empírica e represente-a graficamente. 
b) Perante a amostra obtida será possível afirmar que as normas estão a ser respeitadas? (Use 
α=0.01) 
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c) Para outra máquina usada para o mesmo efeito foi recolhida uma amostra aleatória de 9 
pacotes de esparguete, a qual revelou os seguintes resultados: 
492 495 497 497 500 502.5 508 509 509 
Será de admitir que as duas máquinas estão a funcionar de modo idêntico? (Use α=0.05) 
 
8. Suponha que a seguinte amostra aleatória foi retirada de uma população com função de 
distribuição F desconhecida: 
-5.641 4.297 -4.861 -7.78 7.58 12.232 10.78 -0.201 -10.813 -5.593 
 
a) Teste a nível de significância de 0.05 a hipótese de F ser normal com alguma média e 
alguma variância. 
b) Considere a seguinte amostra recolhida de forma aleatória de outra população com 
distribuição F' desconhecida 
-9.44 -6.64 -0.93 3.28 6.49 10.71 
Teste a hipótese de as duas populações de onde foram retiradas as amostras anteriores 
terem iguais distribuições. (α=0.01) 
 
9. Para o nível de significância de 0.05 verifique se a hipótese da distribuição Normal da v.a. 
X é concordante com a distribuição empírica da amostra: 
xi 5 7 9 11 13 15 17 19 21 
ni 15 26 25 30 26 21 24 20 13 
 
 
10. Registaram-se as alturas de 80 árvores da mesma categoria, escolhidas aleatoriamente, 
obtendo-se os seguintes resultados: 
Altura (em mts) 20 22 23 26 29 30 31 33 34 
N.º de árvores 2 3 9 12 27 16 7 2 2 
a) Construa a função de distribuição empírica da amostra estandardizada. 
b) Ao nível de significância de α=0.01 indique se será possível afirmar que as árvores 
provêm de uma população normalmente distribuída. 
c) Seleccionaram-se aleatoriamente 70 árvores da mesma categoria noutra região do país. 
As alturas destas árvores estão registadas seguidamente. Pode-se admitir que a 
distribuição da altura das árvores desta categoria é igual nas duas regiões? (Use α=0.01) 
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Altrura 23 24 26 28 30 31 32 33 34 36 38 
Nº de árvores 1 2 3 6 15 20 13 4 3 2 1 
 
 
11. Num estudo comparativo da eficiência de empresas agrícolas, considerou-se uma amostra 
de 69 explorações que foram classificadas segundo dois atributos: 
A={explorações de cabeça, explorações intermédias, explorações de cauda} 
B={explorações vitícolas, explorações frutícolas} 
Os dados estão apresentados na seguinte tabela: 
 Vitícolas Frutícolas 
Cabeça 6 8 
Intermédia 10 9 
Cauda 14 22 
a) Será de admitir que o atributo A está relacionado com o atributo B? (Use α=0.01) 
b) Use as medidas que conhece para medir a intensidade da associação entre os dois atributos 
e relacione os valores obtidos com a resposta dada na alínea anterior. 
 
12. O quadro apresenta uma tabela 3×3 construída a partir dos 86441 casamentos realizados 
em 1977 no continente português, considerando a classificação dos cônjuges, de ambos os 
sexos, segundo o estados civil anterior ao casamento. 
 Homens 
Mulheres Solteiros Viúvos Divorciados 
Solteiras 77670 1573 3115 
Viúvas 545 796 350 
Divorciadas 1343 416 633 
a) Na nível de significância de 0.05 será de admitir que havia naquele período uma intensa 
associação entre o estado civil dos cônjuges no que se refere aos casamentos realizados no 
continente português. 
b) Use os coeficientes de contingência, Tschuprow e Cramér para medir a intensidade de 
associação entre os dois atributos. 
 
 
13. Com o objectivo de verificar se o tipo de revestimento florestal tem influência sobre a 
severidade da erosão em certa região, fizeram-se observações em 350 pontos, com os 
resultados que se condensam na tabela seguinte. 
 
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 Revestimento Florestal 
Erosão Vegetação 
Herbácea 
Vegetação 
Arbustiva 
Floresta 
Severa 30 10 10 
Moderada 50 30 20 
Fraca 50 60 40 
Desprezável 10 20 20 
a) Parece-lhe que os dados obtidos permitem extrair alguma conclusão relativamente ao 
objectivo acima indicado? (Use α=0.01) 
b) Use as medidas que conhece para medir a intensidade de associação entre o tipo de erosão 
e o revestimento florestal. 
 
14. Registam-se os dados do rendimento de 400 famílias do Norte e Sul de um país. 
 Rendimento 
Região 0-5 5-10 10-15 >15 
Norte 28 42 30 24 
Sul 44 78 78 76 
a) Será que o rendimento familiar depende da região do país? (Use α=0.025) 
b) Use os coeficientes de contingência, Tschuprow e Cramér para medir a intensidade de 
associação entre rendimento familiar e a região do país. 
 
15. A tabela a seguir exibe os resultados obtidos por estudantes de Estatística e Cálculo. 
 Estatística 
Cálculo 0≤notas<5 5≤notas<7 7≤notas≤10 
0≤notas<5 75 35 13 
5≤notas<7 29 120 32 
7≤notas≤10 15 70 46a) Teste a hipótese de que os resultados em estatística são independentes dos resultados em 
cálculo, ao nível de significância de 2.5%. 
b) Utilize as medidas que conhece para medir a intensidade de associação entre os dois 
atributos. 
 
16. Sobre uma população U sabe-se que a distribuição por grupos sanguíneos é a seguinte: 
A – 41% B – 9% AB – 4% O – 46% 
Numa amostra aleatória de 200 indivíduos sofrendo de cancro de estômago encontraram-se os 
seguintes dados: 
 6
A – 80 indivíduos 
B – 20 indivíduos 
AB – 9 indivíduos 
O – 91 indivíduos 
É de admitir que a distribuição por grupos sanguíneos é diferente na subpopulação sofrendo 
de cancro do estômago?(α=0.01) 
 
17. Considere a seguinte amostra aleatória de 8 observações: 
 
X 35.1 35.5 35.9 35.9 36.0 36.1 36.1 36.3 
 
a) Construa a função de distribuição empírica. 
b) Será razoável supor que a população de onde foi retirada esta amostra é normalmente 
distribuída com média 35.9 e variância 1, em relação à variável observada? Para responder a 
esta pergunta utilize o teste que lhe pareça mais adequado e justifique a sua escolha. (α=0.05) 
 
18. Para uma amostra aleatória de estudantes de Gestão de uma determinada escola registou-
se o ano curricular do aluno e a sua opinião relativamente a uma mudança na estrutura 
curricular do curso: 
 Opinião 
Ano curricular Favor Contra 
1º ano 120 80 
2º ano 70 130 
3º ano 60 70 
4º ano 40 60 
 
Será de admitir que a opinião emitida está associada ao ano curricular? Justifique 
convenientemente a sua resposta. 
 
 
 
19. Para avaliar o mérito de três métodos de ensino diferentes, cada um de 14 estudantes foi 
aleatoriamente matriculado em uma de três turmas. Em cada turma utilizou-se um método de 
ensino diferente. Após algumas aulas, pediu-se a cada estudante que resolvesse o mesmo 
problema. Os tempos respectivos (em minutos) constam do quadro seguinte. Será possível 
afirmar que os métodos de ensino produzem resultados diferentes no que diz respeito à 
rapidez de um aluno para resolver um problema? (Use α=0.05) 
 7
Método 1 Método 2 Método 3 
15 21 11 
12 16 19 
18 13 17 
20 9 22 
10 24 
 
 
20. Está planeado um seminário na área de gestão de empresas para profissionais da industria, 
das finanças e do comércio. O orador está interessado em saber se o nível de conhecimentos 
acerca de alguns princípios de gestão é igual nos três grupos de profissionais. Para isso são 
escolhidos aleatoriamente alguns participantes de cada um dos grupos, aos quais é pedido 
para responderem por escrito a um conjunto de questões. Se não existirem diferenças entre os 
três grupos de profissionais nos resultados obtidos no conjunto de questões, o orador fará 
apenas uma sessão, caso contrário serão feitas sessões separadas para cada um dos grupos de 
profissionais. Os resultados obtidos estão registados na tabela seguinte. 
Pontuação total no conjunto de questões 
Profissionais da 
indústria 
Profissionais 
das finanças 
Profissionais do 
comércio 
51 14 89 
32 31 20 
17 68 60 
69 87 72 
86 20 56 
62 28 22 
96 77 
 97 
Qual deverá ser a actuação do orador? (Use α=0.05) 
 
21. Pretende-se saber se existem diferenças efectivas na rapidez de resposta de três agências 
concorrentes no mercado de uma dada região. O quadro seguinte apresenta os dados relativos 
a três amostras aleatórias e independentes. O que pode concluir ao nível de significância 
de1%? 
Tempos de resposta (em horas) 
Agência A Agência B Agência C 
133 151 225 
125 149 224 
143 162 220 
128 145 212 
135 153 
 8
22. Um dado fabricante suspeita que a tensão de rotura está relacionada com a percentagem 
de algodão na fibra e encomendou um estudo estatístico. Para esse estudo foram considerados 
quatro níveis de percentagem de algodão: 15%, 20%, 25% e 30%. Para cada um destes níveis 
foram registados as tensões de rotura de cinco pedaços de fibra escolhidos aleatoriamente. 
Utilize o teste de Kruskal-Wallis para testar a suspeita do fabricante. (α=0.01) 
% de algodão Observações 
15% 7 7 15 11 9 
20% 12 17 12 18 18 
25% 14 18 18 19 19 
30% 19 25 22 19 23 
 
23. A cada uma de 18 pessoas com excesso de peso atribuiu-se aleatoriamente um de três 
planos de dieta. As perdas de peso (em Kg) foram as seguintes 
Dietas Perdas de peso 
1 2.7 3.2 4.1 4.5 3.7 3.8 
2 3.6 3.2 2.7 3.6 4.1 2.6 
3 4.5 3.6 3.2 4.1 3.2 3.9 
 
As dietas podem considerar-se equivalentes? (Use α=0.025) 
 
24. Uma pesquisa feita junto de 320 famílias, cada uma com cinco filhos, levou à distribuição 
abaixo representada. 
N.º de meninos 5 4 3 2 1 0 
N.º de famílias 18 56 110 88 40 8 
Seja X= “Nº de filhos do sexo masculino, em 5 filhos”. Verifique se X ~ B(5;0.5), ao nível de 
significância de 0.05. 
 
25. Determinado laboratório produz 10 frascos por dia. A probabilidade de determinado 
frasco ser contaminado é de 0.05. Verifique se o número de frascos contaminados segue uma 
distribuição binomial. (Use α=0.01). Retirou-se uma amostra de 100 dias e obteve-se: 
 
N.º de frascos contaminados 0 1 2 3 4 5 ou + 
N.º de dias 54 28 6 4 5 3 
 
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Soluções da ficha de trabalho 
 
1. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=21.63>9.49, logo rejeita-se H0. 
 
2. i) (resultado para 3 classes) Qobs=0.699<4.61, logo não se rejeita H0. 
 ii) d20=0.1981<0.265, logo não se rejeita H0. 
 
3. a) (resultado para 4 classes) Qobs=1.833<2.71, logo não se rejeita H0. 
 b) *48d =0.0864<0.1488, logo não se rejeita H0. 
 
4. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=16.333<18.5, logo não se rejeita H0. 
 
5. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=5.3>3.84, logo rejeita-se H0. 
 
6. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=13.117>11.1, logo rejeita-se H0. 
 
7. b) Teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra: d10=0.4147<0.489, logo não se rejeita 
H0. 
 c) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.3<0.58, logo não se rejeita H0. 
 
8. a) Teste de Lilliefors: *10d =0.224<0.258, logo não se rejeita H0. 
 b) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.2<0.733, logo não se rejeita H0. 
 
9. Teste de Lilliefors: *200d =0.1168>0.0626, logo rejeita-se H0. 
 
10. b) Teste de Lilliefors: *80d =0.3005>0.1153, logo rejeita-se H0. 
 c) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.4911>0.26677, logo rejeita-se H0. 
 
11. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =0.9585<9.21, logo não se rejeita H0. 
 b) C=0.117; T=0.099; V=0.118 
 
12. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =16509.8>9.49, logo rejeita-se H0. 
 b) C=0.4; T=0.309; V=0.309 
 
13. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =25.504>16.8, logo rejeita-se H0. 
 b) C=0.261; T=0.172; V=0.191 
 
14. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =5.81<9.35, logo não se rejeita H0. 
 b) C=0.1197; T=0.092; V=0.121 
 
15. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =111.64>11.1, logo rejeita-se H0. 
 b) C=0.452; T=0.358; V=0.358 
 
16. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=0.4<11.3, logo não se rejeita H0. 
 
 10
17. Teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra: d8=0.3446<0.454, logo não se rejeita 
H0. 
 
18. Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =26.97>7.81, logo rejeita-se H0. 
 
19. Teste de Kruskal-Wallis: Hobs=1.96<5.6429, logo não se rejeita H0. 
 
20. Teste de Kruskal-Wallis: Hobs=0.3<5.99, logo não se rejeita H0. 
 
21. Teste de Kruskal-Wallis: Hobs=11.57>7.79, logo rejeita-se H0. 
 
22. Teste de Kruskal-Wallis: H'obs=34.99>11.3, logo rejeita-se H0. 
 
23. Teste de Kruskal-Wallis: H'obs=2.027<7.38, logo não se rejeita H0.