ISAQUE FERREIRA DE SOUZA_M

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UNIVERSIDADE PAULISTA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
ISAQUE FERREIRA DE SOUZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2020 
 
 
ISAQUE FERREIRA DE SOUZA RA: T69733-6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
Trabalho apresentado a Universidade Paulista, 
como requisito parcial para aprovação da 
disciplina de Matemática. 
 
Orientador: Prof. Ms. Livaldo dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2020 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 3 
2 CONJUNTOS NUMERICOS .................................................................................................................... 4 
2.1 Propriedades, operações e representações ................................................................................. 4 
2.2 Exemplos de conjuntos e subconjuntos ....................................................................................... 4 
3 EXPRESSÕES ALGEBRICAS .................................................................................................................... 6 
3.1 Operações valor numérico, resolução de problema ..................................................................... 6 
3.2 Exemplo expressões algébricas .................................................................................................... 6 
3.3 Simplificação de expressões algébricas ........................................................................................ 7 
3.4 Fatoração de expressões algébricas ............................................................................................. 7 
3.4 Monômios .................................................................................................................................... 8 
3.5 Polinômios .................................................................................................................................... 8 
3.5.1 Operações Algébricas soma e subtração ............................................................................... 8 
3.6 Multiplicação ................................................................................................................................ 9 
3.7 Divisão de um polinômio por um monômio ................................................................................. 9 
3.8 Exemplos de exercícios ................................................................................................................. 9 
4 FUNÇÃO DO 1º GRAU ........................................................................................................................ 12 
4.1 Características de um gráfico de uma função do 1º grau ........................................................... 13 
5 FUNÇÃO DO 2º GRAU ........................................................................................................................ 15 
5.1 Gráfico da função do 2º grau...................................................................................................... 15 
5.2 Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau ............................................................... 16 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................................................... 18 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A Matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o 
homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A 
matemática foi usada pelos egípcios nas construções de pirâmides, diques, canais de 
irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários 
conceitos matemáticos. Atualmente, está ciência está presente em várias áreas da 
sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química e 
engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2 CONJUNTOS NUMERICOS 
2.1 Propriedades, operações e representações 
O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais 
N = {1, 2, 3,...}. 
 
Esse conjunto tinha, originalmente, a capacidade de representar “todas” as 
quantidades e, posteriormente, com o advento das operações elementares, em 
particular a adição e a multiplicação, foi possível somar e multiplicar dois números 
quaisquer de N, obtendo-se um número de N, o que em linguagem moderna significa 
dizer que em N é fechado em relação à soma e à multiplicação, isto é, 
∀ x, y ∈ N ⇒ x + y ∈ N e x · y ∈ N. 
➢ (O símbolo ∀ significa “para todo” ou “qualquer que seja”). 
Com a subtração surgiu um problema, que era o da impossibilidade de se 
subtrair um número do outro quando o primeiro era menor do que o segundo ou de 
resolver equações do tipo 
x +2=0. 
Daí, a necessidade de se construir um conjunto contendo uma “cópia” de N e 
onde pudéssemos, além de somar e multiplicar, subtrair um elemento do outro sem 
qualquer restrição. Assim, surgiu o conjunto dos números inteiros 
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}. 
2.2 Exemplos de conjuntos e subconjuntos 
Vamos destacar alguns subconjuntos de Z: 
 
1) O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3,...}. 
2) O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z− = {..., −3, −2, −1, 0}. 
3) O conjunto dos números inteiros menos o zero: 
Z∗ = Z − {0}. 
5 
 
 
➢ (Algoritmo da Divisão) Sejam a, b ∈ Z, com b ∈ Z∗ +. Então existem únicos q, r 
∈ Z tais que 
 
a = qb + r, onde r ∈ {0, 1,...,b − 1}. 
Exemplo: 
−15 = (−3) · 4 − 3 
= (−3) · 4 − 4+1 
= (−4) · 4+1 
 
Temos que o quociente e o resto da divisão de −15 por 4 é −4 e 1, 
respectivamente. 
Sejam a, b ∈ Z, com b 6= 0. Dizemos que b divide a ou b é um divisor de a ou 
a é um múltiplo de b, denotado por b | a, se existir c ∈ Z tal que 
a = b · c. 
Caso contrário, dizemos que b não divide a, denotado por b - a. Por exemplo, 
5 | 15, pois 15 = 3 · 5 e 4 - 15, pois não existe c ∈ Z tal que 
 15 = 4 · c. 
Seja a ∈ Z. Dizemos que a é um número par se 2 | a, caso contrário, a é um 
número ímpar. Por exemplo, 26 é um número par, pois 2 | 26, enquanto 27 é um 
número ímpar, pois 2 - 27. Seja p ∈ Z. Dizemos que p é um número primo se p 6= ±1 
e os únicos divisores positivos de p são 1 e p. Caso contrário, p é chamado um número 
composto, isto é, 
∃ a, b ∈ {2, 3,...,p − 1} tais que p = ab. 
 
➢ (O símbolo ∃ significa “existe”). 
Sejam a, b ∈ Z, com a 6= 0 ou b 6= 0. Dizemos que um inteiro positivo d ∈ N é 
o máximo divisor comum de a e b, denotado por MDC (a, b) = d, se as seguintes 
condições são satisfeitas. 
 
 
6 
 
3 EXPRESSÕES ALGEBRICAS 
3.1 Operações valor numérico, resolução de problema 
 
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, 
letras e operações. As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas 
e equações. As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de 
variáveis e representam um valor desconhecido. Os números escritos na frente das 
letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores 
atribuídos as letras (Rosimar Gouveia ,2006). 
Exemplos: 
 
a) x + 5 
b) b2 – 4ac 
c) 
3
5
m + 
1
6
 mn2 + +
1
2 
 n 
 
 
3.2 Exemplos de expressões algébricas 
O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às 
letras. Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores 
das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a 
letras, a operação é de multiplicação (GOUVEIA, 2006). 
Exemplo: 
O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula:P = 2b + 2h 
Substituindo as letras com os valores indicados, encontre o perímetro dos 
seguintes retângulos. 
 
 a) 
 h = 3 cm P = 2. 2 + 2. 3 = 10 cm 
 
 
 b = 2 cm 
 
7 
 
 b) 
 h = 2,5 cm P = 2. 4 + 2. 2,5 = 13 cm 
 
 b = 4cm 
c) 
 h = 3 cm P = 2.3 + 2. 3 = 12 cm 
 
 
 
 b = 3 cm 
 
 
3.3 Simplificação de expressões algébricas 
Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando 
seus termos semelhantes (mesma parte literal). 
Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos 
semelhantes e repetir a parte literal. 
Exemplos: 
a) 3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy4 - 10xy4) - 6x3y = 5xy 
- 3xy4 - 6x3y 
b) ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab 
3.4 Fatoração de expressões algébricas 
Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos. Transformar 
uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos 
permite simplificar a expressão (GOUVEIA, 2006). 
 
Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos: 
▪ Fator comum em evidência: ax + bx = x . (a + b) 
▪ Agrupamento: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b) 
▪ Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
▪ Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
8 
 
▪ Diferença de dois quadrados: (a + b) (a – b) = a2 – b2 
▪ Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
▪ Cubo Perfeito (Diferença): a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
3.4 Monômios 
Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o 
coeficiente e as letras (parte literal), ela é chamada de monômio (GOUVEIA, 2006). 
Exemplos: 
a) 3ab 
b) 10xy2z3 
c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1). 
Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal 
(mesmas letras com mesmos expoentes). Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. 
Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as letras correspondentes 
não possuem o mesmo expoente (GOUVEIA, 2006). 
3.5 Polinômios 
Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios 
não semelhantes é chamada de polinômio (GOUVEIA, 2006). 
Exemplos: 
a) 2xy + 3 x2y - xy3 
b) a + b 
c) 3abc + ab + ac + 5 bc 
 
3.5.1 Operações Algébricas soma e subtração 
A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os 
coeficientes dos termos semelhantes e repetindo a parte literal. 
Exemplos: 
 
a) Somar (2x2 + 3xy + y2) com (7x2 - 5xy - y2) 
(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 = 9x2 - 2xy 
9 
 
b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3) 
É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte 
todos os sinais de dentro dos parênteses: 
(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 = 
 (5 - 1) ab + (- 3 - 9) bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3 
 
3.6 Multiplicação 
A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo. 
Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para 
multiplicação de mesma base: "repete-se a base e soma-se os expoentes" 
(GOUVEIA, 2006). 
Exemplo: Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3): 
(3x2 + 4xy) (2x + 3) = 3x2 . 2x + 3x2 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 
12xy 
 
3.7 Divisão de um polinômio por um monômio 
A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do 
polinômio pelo coeficiente do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da 
divisão de potência de mesma base (repete-se a base e subtrai os expoentes) 
(GOUVEIA, 2006).). 
Exemplo: 
20x²y² + 14x²y – 6x⁵y² = 
2xy 
 
20x²y² + 14x²y - 6x⁵y² = 
2XY 2XY 2XY 
 
10xy + 7x – 3x⁴ y 
 
3.8 Exemplos de exercícios 
1) Sendo a = 4 e b = - 6, encontre o valor numérico das seguintes expressões 
algébricas: 
10 
 
a) 3a + 5b 
b) a2 – b 
c) 10ab + 5a2 - 3b 
 
Respostas: 
a) 3.4 + 5. (-6) = 12 - 30 = - 18 
b) 42 - (-6) = 16 + 6 = 22 
c) 10.4. (-6) + 5.(4)2 - 3.(-6) = - 240 +80 + 18 = - 240 + 98 = - 142 
 
2) Escreva uma expressão algébrica para expressar o perímetro da figura abaixo: 
 
 
 
Resposta: P= 4X + 6Y 
 
1) Simplifique os polinômios: 
a) 8xy + 3xyz - 4xyz + 2xy 
b) a + b + ab + 5b + 3ab + 9a - 5c 
c) x3 + 10x2 + 5x - 8x2 - x3 
Resposta: 
a) 10xy - xyz 
b) 10a + 6b - 5c + 4ab 
c) 2x2 + 5x 
 
4) Sendo, 
 
A = x - 2y 
B = 2x + y 
C = y + 3 
11 
 
 
Calcule: 
 
a) A + B 
b) B - C 
c) A. C 
 
Respostas: 
a) 3x -y 
b) 2x - 3 
c) xy + 3x - 2y2 - 6y 
 
5) Qual o resultado da divisão do polinômio 18x4 + 24x3 - 6x2 + 9x pelo monômio 3x? 
Resposta: 6x3 +8x2 - 2x + 3 
 
12 
 
4 FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é 
formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do 
sinal de a. (MIRANDA, 2007) 
• Quando a > 0 
Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou 
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores 
reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y 
 
 
 x y 
- 2 - 5 
- 1 - 3 
 0 - 1 
1/2 0 
 1 1 
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também 
aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente. 
Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados 
que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. 
Veja: No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos 
os valores de x. 
 
 
 
13 
 
• Quando a < 0 
Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou 
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores 
reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y. 
 
 x y 
-2 3 
-1 2 
 0 1 
 1 0 
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, 
então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente. 
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados 
que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja: 
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os 
valores de x. 
 
 
 
4.1 Características de um gráfico de uma função do 1º grau 
• Com a > 0 o gráfico será crescente. 
• Com a < 0 o gráfico será decrescente. 
• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) 
quando a > 0. 
14 
 
• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) 
quando a < 0. 
 
• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas 
dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 
pontos. 
 
• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função. 
• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b. 
 
15 
 
5 FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx 
+ c ou y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação 
no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, 
possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três 
possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou 
y igual a zero, transformando a função em uma equação do 2º grau, que pode vir a 
ser resolvida por Bháskara que e a formula de resolver a equação de 2º grau . 
(OLIVEIRA, 2007). 
 
5.1 Gráfico da função do 2º grau 
• Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima 
• Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada parabaixo 
 
• ? > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função 
do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das 
abscissas (x) em dois pontos. 
 
 
 
 
• ? = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º 
grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas 
(x) em apenas um ponto. 
 
16 
 
 
 
• ? < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 
2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x). 
 
 
 
 
5.2 Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau 
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o 
ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do 
coeficiente a os pontos serão definidos, observe: 
 
• Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor 
máximo. 
 
 
 
• Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor 
mínimo. 
 
17 
 
 
 
 
Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta 
o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função 
corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Com este trabalho conseguimos perceber que as equações são assunto de 
suma importância para o ensino da matemática nas series do 1º e 2º Graus e 
principalmente no nível superior de ensino. Sem tal ferramenta não seria possível dar 
seguimento nos ensinos de equações do 2° grau, problemas envolvendo equações 
com uma ou duas incógnitas e o que é mais importante dar seguimento nos estudos 
das funções, que é à base de todo o ensino superior em cursos de engenharia, 
química, física e é claro da matemática. 
Por isso esse assunto deve ser trabalhado com o aluno de forma que este 
aprenda realmente o sentindo das equações e saiba o seu verdadeiro significado 
matemático e principalmente sua aplicação no cotidiano. Aprenda também métodos 
de resoluções diretas, a fim de facilitar em resoluções de equações mais densas. 
Por fim esse trabalho tem como proposito demonstrar de maneira pratica e 
eficiente as equações de 1º e 2º Grau. 
 
 
19 
 
REFERÊNCIAS 
Weber, J. E. Matemática para economia e administração. Rio de Janeiro: LTC, 
1977. 
 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2013. 
 
JACQUES, I. Matemática para economia e administração. 6. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010. 
 
MONAFINI, F. C. (org.) Matemática. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. 
 
GOUVEIA, Rosimar. Expressões algébricas. Toda Matéria. 14 maio 2019. 
Disponível em: https://www.todamateria.com.br/expressoes-algebrica/. Acesso em: 
20 maio 2020. 
 
RAMOS, Danielle de Miranda. Gráfico de Função do 1º Grau. Brasil Escola. 2007. 
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm. 
Acesso em: 20 maio 2020. 
 
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Gráfico da função de 2º Grau. 2007 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-
funcao.htm#:~:text=Uma%20fun%C3%A7%C3%A3o%20do%202%C2%BA%20grau
,para%20cima%20ou%20para%20baixo.