Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão I

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Métodos Quantitativos Aplicados a Gestão I 
Unidade 01 - Conceitos Iniciais 
1.1. Produtos Notáveis 
Nessa unidade iremos rever alguns casos clássicos de produtos notáveis. 
1.1.1. Quadrado de uma soma de dois termos é uma expressão do tipo 
(a + b)2 = (a + b)(a +b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 
Assim, 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
De modo geral, 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais o 
dobro do produto dos dois termos mais o quadrado do segundo. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.2. Quadrado da diferença de dois termos é uma expressão do tipo: 
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 
Assim, tem-se que: 
( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
 
De modo geral, 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos 
o dobro do produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
.1.3. Produto da soma de dois termos pela diferença entre os mesmos é uma 
expressão do tipo: 
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 
Simplificando, tem-se: 
(a + b)(a – b) = a2 – b2 
 
 
 E, de modo geral, 
O produto da soma de dois termos pela diferença entre eles é igual à diferença dos 
quadrados dos dois termos. 
Exemplos: 
 
1.1.4. Cubo da soma de 
dois termos é uma 
expressão que se pode 
indicar assim: 
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = 
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
Simplificando a expressão tem-se que: 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 De modo geral, 
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro mais o triplo do quadrado 
do primeiro, multiplicado pelo segundo termo, mais o triplo do primeiro multiplicado 
pelo quadrado do segundo mais o cubo do segundo termo. 
Exemplos: 
 
 
 
1.1.5. Cubo da diferença de dois termos é uma expressão que se pode indicar 
assim: 
(a – b)3 = (a – b)(a – b)2 = (a – b)(a2 – 2ab + b2) = 
= a3 – 2a2b + ab2 – ba2 + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
Simplificando a expressão tem-se que: 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
De modo geral, 
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro menos o triplo do 
quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo, mais o triplo do primeiro 
multiplicado pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo termo. 
Exemplos: 
 
 
 
 
1.1.6. Um produto especial 
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = a3 + b3 
e 
 
 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3 = a3 – b3 
 
De modo geral, tem-se: 
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 
e 
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Produtos notáveis - Exercício de Fixação (PDF) 
 
 
 
 
Vídeos: Produtos Notáveis 
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Tavares 
 
Parte 1 vídeos na plataforma 
Nessa parte você encontrará um resumo dos seguintes produtos notáveis: • Quadrado 
da soma de dois termos; • Quadrado da diferença de dois termos; • Produto da soma 
de dois termos pela diferença desses termos. 
 
 
 
 
Parte2 
 
Play Video 
Aqui você poderá rever os seguintes produtos notáveis: 
• • Cubo da soma de dois termos; 
• • Cubo da diferença de dois termos. 
 
Parte3 
 
Play Video 
 
 
Nessa parte são resolvidos exercícios aplicando as regras de cálculo dos produtos 
notáveis vistos nas partes 1 e 2. 
 
 
 
 
 
1.2. Casos Clássicos de Fatoração 
A palavra fatorar significa decompor um número ou expressão algébrica em fatores. 
Os fatores são os termos de uma multiplicação. 
Portanto, fatorar significa escrever um número ou uma expressão na forma de 
multiplicação, explicitando os seus fatores. 
Alguns casos clássicos de fatoração tem os fatores facilmente determinados por 
serem resultados dos produtos notáveis apresentados na unidade anterior. Outros, 
porém, não são tão evidentes mas com um pouco de atenção podemos descobrir os 
diversos fatores. 
 
 
1.2.1 Fator comum em evidência 
Esse caso caracteriza-se pela presença de um ou mais fator comum a todas as 
parcelas da expressão. 
Fatorar uma expressão desse tipo consiste em obter uma multiplicação indicada onde 
o fator comum fique explicitado (evidenciado). 
Exemplos: 
 
 
 
 
Observe mais esses exemplos: 
 
Nesse caso, observa-se que nas duas primeiras parcelas o fator x é comum, enquanto 
nas duas últimas o fator comum é a. 
Assim podemos colocar os fatores x e a, respectivamente, em evidência, obtendo a 
expressão 
 
Atente para a expressão final obtida na passagem anterior. Nela, podemos 
observar que as duas parcelas têm o fator comum (x+y). Sendo assim, é possível 
colocar esse fator comum em evidência e, finalmente, obter a expressão mais simples. 
 
 
Esse é um caso especial do fator comum em evidência, também chamado 
“agrupamento”. 
 
 
O caso de fatoração por agrupamento consiste em agrupar parcelas que tenham 
fatores comuns de modo que colocando estes em evidência, consigamos explicitar 
dois outros que possam também serem colocados em evidência e, assim, 
simplificando a expressão. 
Vejamos outros exemplos: 
 
 
 
1.2.2. Diferença de dois quadrados 
A diferença de dois quadrados é resultado do produto da soma pela diferença de dois 
termos conforme em 1.1.3. 
Assim temos que toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada em produto de 
uma soma pela diferença de dois termos. 
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
Os dois termos dos fatores serão formados pela soma e pela diferença entre as raízes 
quadradas dos termos da diferença de quadrados. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.2.3. Trinômio do 2º. Grau 
Todo trinômio do tipo com a≠0 pode ser decomposto em fatores da 
seguinte forma: 
 
 
 
Exemplos: 
 
Para fatorar esse trinômio observamos que 
Igualando e resolvendo a equação obtém-se 
Assim temos: 
 
Deixamos por sua conta a verificação das raízes e da aplicação da propriedade 
distributiva para se chegar às indicações obtidas nos itens c e d. 
 
 
 
Deixamos também por sua conta a verificação das raízes dos itens e, f e g. 
Note o formato final indicado nesses três últimos exemplos. Eles são chamados 
trinômios quadrados perfeitos. 
As três últimas expressões a serem fatoradas são resultados de quadrados de uma 
soma ou de uma diferença. 
De modo geral, os trinômios de 2o. grau do tipo com o coeficiente 
 e raízes iguais podem ser fatorados assim: 
 
 
 
 
Note que a expressão da fatoração acima é de um trinômio quadrado perfeito em que 
 
 
1.2.4 Diferença de cubos 
A diferença de cubos é resultado de um produto notável visto no item 1.1.6. 
Lembremos que foi demonstrado que (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3, logo, podemos 
inferir que 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2). 
Exemplos: 
 
1.2.5 Soma de cubos 
Analogamente, a soma de cubos é resultado de um produto notável também visto no 
item 1.1.6. 
Lembremos que foi demonstrado que (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3, logo, podemos 
inferir que 
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Casos clássicos de Fatoração - Exercícios de Fixação (PDF) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vídeos: Fatoração 
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Tavares 
Parte 1 vídeos disponíveis na plataforma 
Nessa parte você encontrará um resumo dos casos de fatoração: 
• • Fator comum em evidência; 
• • Agrupamento; 
• • Diferença de quadrados de dois termos. 
 
Parte 2 
 
 
Aqui você poderá rever a fatoração 
• • de trinômios que resultam em quadrados da soma ou da diferença de dois 
termos; 
• • de trinômios de segundo grau. 
Parte 3 
Play Video 
Nessa parte você poderá encontrar: 
• • continuação de fatorações de trinômios do 2o. grau; 
• • fatoração de soma e diferença de cubos; 
• • e, ainda, resolução comentada de exercícios de fixação, aplicando as regras 
de fatoração vistas nas partes 1 e 2. 
 
 
 
 
1.3. Expressõesalgébricas e valor numérico 
O uso de fórmulas é muito comum em diversas áreas do saber, tais como em Física, 
Química, Estatística, Matemática Financeira, Economia, etc. Quando você aplica uma 
fórmula para determinar a área de uma figura geométrica plana ou espacial, o 
montante numa aplicação financeira ou velocidade num problema em Física, você 
está calculando valores numéricos de expressões algébricas que são as fórmulas 
apropriadas de cada um desses ramos do saber. 
Nesta unidade vamos calcular os valores numéricos de diversas expressões 
algébricas, a título de exercício, para depois aplicarmos essas regras de cálculo nas 
outras áreas quando necessário. 
 
 
Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica consiste em substituirmos as 
variáveis presentes pelos valores numéricos indicados e efetuarmos os cálculos. 
Exemplos: 
a) Calcular o valor numérico das expressões: 
 
Resolução 
Substituindo 
Portanto, o valor da expressão E = 22. 
 
 
Resolução 
Substituindo os valores de 
Logo, o valor mais simples de 
b) Seja a função custo-conjunto para fabricar x unidades 
do produto I e y unidades de um produto II. 
b.1) Qual é custo de fabricação de 10 unidades de I e 20 unidades de II? 
Resolução 
Se valor do custo é dado pela expressão então basta 
substituirmos os valores xx, respectivamente por 10 e 20 na lei. 
Assim, tem-se 
 
 
Logo, o custo-conjunto de fabricação de 10 unidades de I e 20 unidades de II é igual 
a 180 unidades monetárias. 
b.2) Qual é a variação do custo quando se aumentam em 5 unidades a fabricação do 
produto I e em 6 unidades a do produto II, a partir da situação do item (a)? 
Resolução 
Nesse caso temos que os valores de x e y passam a ser, respectivamente, 15 e 26. 
E, devemos calcular o valor de expressão do custo para esses novos valores. 
Assim, tem-se 
 
Esse é o valor do custo para as quantidades acrescidas a x e y. 
Nota-se que o custo passou de 180 para 208. Houve, portanto um aumento no custo 
correspondente a 28 unidades monetárias. 
Expressões Algébricas e Valor Numérico: Exercícios de Fixação 
(PDF) 
 
 
Vídeos: Expressões Algébricas e Valor Numérico 
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Parte 1 vídeos na plataforma 
Nessa parte você encontrará um resumo de como fazer o cálculo de valores 
numéricos de algumas expressões algébricas. 
 
Parte 2 
Play Video 
 
 
Aqui você poderá rever o cálculo de valores numéricos de mais algumas expressões 
algébricas envolvendo números irracionais. 
 
1.4. Noções de Porcentagem 
 
1.4.1 - Os termos razão por cento ou razão centesimal, porcentagem e taxa unitária. 
Em nossa vida diária estão presentes situações de crédito, débito, aumento, desconto, 
aplicações, rendimentos, investimentos... 
Todos esses termos envolvem o uso de cálculos relacionados à utilização de taxas 
percentuais. Mas o que significa isso? 
Primeiro vamos lembrar que todo número pode ser escrito de diversas maneiras. Por 
exemplo: 
 
 
 
Uma forma muito utilizada de representação de um número é a forma de razão de 
denominador 100, também chamada de razão por cento ou percentual (porcentual). 
É comum escrever a razão de maneira simplificada, assim 12%. Isto é, 
substituindo o denominador 100 pelo símbolo %. 
Toda razão por cento pode ser escrita na forma de número decimal. Essa forma de 
número decimal correspondente à razão por cento é denominada taxa unitária. 
Para se calcular a taxa unitária equivalente à taxa percentual basta efetuar a divisão 
por cem na razão por cento. Assim, a taxa percentual 12% 
 
 
1.4.2 Fator de correção 
 Nesta unidade vamos aprender as diversas maneiras de se calcular os valores 
reajustados ou corrigidos de um produto. Vamos construir o conceito do chamado fator 
de correção. 
Exemplos 
a) O salário de R$ 1200,00 de uma pessoa vai ser reajustado em 15%. Pergunta-se: 
a.1) De que maneira você pode calcular o novo salário após o aumento? 
Resolução 
Uma maneira é 1o. calcular o reajuste correspondente aos 15%. 
Assim 15% de R$ 1200,00 = 0,15 X 1200,00 = 180,00. 
Em seguida acrescentar ao salário esse valor calculado 1200+180=1380 
Obtendo-se assim o valor procurado igual a R$ 1380,00. 
a.2) Qual é o fator de reajuste do salário? 
Resolução 
Calcular o fator de reajuste significa determinar o fator pelo qual se deve multiplicar o 
salário de modo que seja possível calcular diretamente o valor acrescido do percentual 
de aumento. 
Assim temos que o salário aumentado é calculado conforme segue abaixo: 
1200 + 180 = 1200 + 0,15 x 1200 = (1 + 0,15) x 1200 = 1,15 x 1200 
 Observe que pudemos fatorar a expressão 
1200 + 0,15 x 1200 = (1 + 0,15) x 1200, 
colocando o valor 1200 em evidência e efetuando a multiplicação 
 
 
1,15 x 1200 = 1380, obtendo assim o valor final acrescido dos 15%. 
O fator 1,15 quando multiplicado pelo salário atual gera o valor reajustado, sendo 
assim chamado de fator de reajuste ou de correção. 
Notemos que esse também pode ser um procedimento correto e mais rápido para se 
calcular o valor reajustado. 
b) Uma loja entrou em liquidação, dando descontos variados de acordo com a etiqueta 
do produto. Complete a tabela corretamente. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
b.1) Para se calcular o desconto de 15% sobre 380, podemos efetuar a seguinte 
operação 0,15 x 380 = 57. 
Se esse é o desconto então o preço a pagar é 380 – 57 = 323. 
Se o produto tem um desconto de 15% então o percentual do preço do produto a 
pagar é 
1-0,15=0.85, isto é, 85% 
b.2) Analogamente, para o desconto correspondente é 0,1 X 430=43 
E o preço a pagar pode ser calculado assim: 430-43=387. 
O percentual do preço a pagar corresponde a 1-0,1=0,9, isto é, 90%. 
 
 
b.3) Neste caso, sabemos o preço do produto R$ 168,00 e valor do desconto R$ 10,08. 
Assim, para calcular a taxa de desconto, basta dividir o valor do desconto pelo preço 
do produto. 
 
 
 
O preço a pagar será 168-10,08=157,92 
O percentual do preço a pagar é, aproximadamente, 
 
 
Noções de Porcentagem: Exercícios de Fixação (PDF) 
 
 
 
 
 
Vídeos: Noções de Porcentagem 
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Tavares 
Parte 1 vídeos nas plataformas 
Nessa parte tratamos de explicitar os significados de razão por cento, taxa centesimal 
e taxa unitária e algumas de suas aplicações. Resolvemos também alguns problemas 
aplicando o conceito de taxa de correção. 
Parte 2 
 
 
Nessa segunda parte resolvemos vários problemas de aplicação das noções de 
porcentagem com ênfase nos conceitos de fator de aumento e de abatimento. São 
resolvidos alguns exercícios de fixação. 
 
2.1. Função Polinomial do 1º. Grau 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Possivelmente, os 
babilônios tinham uma ideia de função, pois é sabido que várias tábuas contendo de 
quadrados, cubos e raízes quadradas foram utilizadas por eles. 
Sabe-se também que os pitagóricos estabeleceram relações entre grandezas físicas, 
como entre as alturas de sons e comprimentos das cordas vibrantes. No que concerne 
à variação, Nicolau Oresme (1323–1382) utilizou segmentos de reta para representar 
variações. 
Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos. Desde o tempo dos 
gregos até a Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha 
como elementos básicos os conceitos de ponto, reta e plano. 
A partir desta época uma nova teoria, o Cálculo Infinitesimal, surgiu e se tornou 
fundamental para o desenvolvimento da Matemática. 
A noção de função serviu como um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. 
O seu surgimento como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo 
corrente em Matemática remonta apenas aos finais do século XVII. 
A origem da noção de função confunde-se assim com os primórdios do Cálculo 
Infinitesimal. Newton (1643 – 1727) fez uso da noçãode função bastante aproximado 
do sentido atual. 
Leibniz (1646–1716) foi quem primeiro usou o termo função em 1673 e também 
responsável pela introdução dos termos constante, variável e parâmetro. 
Como consequência da evolução do estudo das funções surgiram numerosas 
aplicações da Matemática a outras ciências. Os cientistas, partindo de observações, 
 
 
procuravam uma fórmula (uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. 
A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis. 
Assim, o conceito de função, que hoje nos parece simples, é resultado de uma 
evolução histórica conduzindo cada vez mais à abstração. 
Definição 
Uma função chama-se função polinomial do 1o. grau quando, para 
todo o valor de é dado por uma expressão do tipo 
 
 
 
 
 
 
2.1.1. Coeficientes de uma função polinomial do 1 o. grau 
2.1.1.1. Coeficiente linear 
O número real b é chamado coeficiente linear. 
O ponto (0, b) representa o ponto de intersecção entre o eixo y e o gráfico da função 
polinomial do 1o. grau. 
2.1.1.2. Coeficiente angular 
Considere dois pontos quaisquer (x1, y1) e (x2 , y2) que satisfazem à função 
polinomial 
O número real a, denominado coeficiente angular é dado por: 
 
 
 
 
 
2.1.2. Gráfico de uma função polinomial do 1o. grau 
 O gráfico de uma função polinomial do 1o. grau é uma reta não-vertical. 
Para traçarmos uma reta são necessários dois pontos distintos. E, com base nesse 
princípio do axioma da determinação de uma reta, reduziremos nosso trabalho para 
traçar as retas representativas das funções polinomiais do 1o. grau à construção de 
uma tabela com dois pontos quaisquer da reta. 
Exemplos: 
 
Vamos fazer a tabela, preferencialmente, buscando os pontos de intersecção da reta 
com os eixos coordenados por serem mais fácies de serem determinados. 
Resolução 
 
 
 
Portanto, a tabela fica assim: 
 
 
 
Marcando os pontos no plano cartesiano, obtém-se o gráfico a seguir. 
 
 
 
 
Vamos fazer uma tabela, preferencialmente, buscando os dois pontos de intersecção 
da reta com os eixos coordenados por serem mais fácies de serem marcados. 
Resolução 
 
 
 
Portanto, a tabela fica assim: 
 
Marcando os pontos no plano cartesiano, obtém-se o 
gráfico abaixo. 
 
 
 
2.1.3. Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1 o. grau 
Uma função f é dita crescente se 
Uma função f é dita decrescente se 
No caso das funções polinomiais do 1o. grau, podemos considerar o coeficiente 
angular a como uma forma de medir "quão rápido" a variável y está mudando à 
medida em que a variável x muda. Sendo assim, o coeficiente angular a é também 
chamado taxa de variação da função. 
 
 
 
2.1.4. Raiz ou zero de uma função polinomial do 1o. grau 
Chama-se raiz ou zero de uma função polinomial do 1o. grau o valor de x ∈ D(f) para 
o qual f(x) = 0. 
Do ponto de vista geométrico, o ponto (x, f(x) ) sendo f(x) = 0 representa o ponto de 
interseção entre o gráfico da função e o eixo x. 
Numa função polinomial do 1o. grau, a raiz ou zero é dada por: 
 
Resumindo 
O gráfico de uma função polinomial do 1o. grau, observando-se os coeficientes 
angular e linear, pode ter um dos seguintes aspectos, conforme a tabela que segue: 
 
 
Função Polinomial de 1º. Grau: Exercícios de Fixação (PDF) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vídeos: Função Polinomial do 1º. Grau 
 
Vídeos do Repositório Virtual de Matemática de autoria do Prof. Salvador 
Tavares 
Parte 1 vídeos na plataforma 
Nessa parte você encontrará resumidamente como reconhecer uma Função 
Polinomial do 1º. Grau por meio da lei que a define e pelo seu gráfico, bem como 
identificar os coeficientes linear e angular. 
 
Parte 2 
Aqui você poderá rever como traçar o gráfico de uma função Polinomial do 1º. Grau e 
a importância dos coeficientes linear e angular no controle do traçado correto. 
 
Parte 3 
Nessa parte você como identificar se uma tabela representa um modelo de função 
afim e alguns problemas que podem ser modelados por funções desse tipo. 
 
 
 
 
3.1 Função Polinomial do 2º. Grau 
A origem do conceito de função está relacionada ao estudo das variações 
quantitativas presentes nos fenômenos naturais. A noção de função polinomial do 2o. 
grau está associada originalmente à ideia de equação do 2o. grau, como ocorreu por 
volta de 300 a.C., na Álgebra Geométrica do matemático grego Euclides (325-265 
a.C). 
Uma contribuição importante é a de Nicolau Oresme (1323–1382), por exemplo, ao 
estudar o movimento uniformemente acelerado, representando num gráfico a 
velocidade variando com o tempo. 
No Renascimento destacaram-se as tentativas de explicar o movimento de queda livre 
de um corpo ou a trajetória de uma bola de canhão. Vários teóricos dos séculos XVI 
e XVII tentaram explicar essa trajetória que é descrita por uma parábola. Tais 
tentativas foram aperfeiçoadas até se chegar à parábola associada à curva da função 
polinomial do 2o. grau, o que acelerou a necessidade de se relacionar curvas 
(Geometria) a equações (Álgebra). 
No século XVI a Álgebra teve um significativo avanço. François Viète (1540-1603) fez 
uso, em seus trabalhos de “uma vogal, para representar uma quantidade suposta 
desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou 
números supostos conhecidos ou dados” (Boyer, 1991). Surge então o conceito de 
variável que Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665), e depois Newton (1643-
1727) e Leibniz (1646-1716), iriam utilizar no estudo de curvas. 
A função polinomial do 2o. grau e suas propriedades tem aplicações no estudo de 
lançamento de projéteis, faróis de automóveis, antenas parabólicas e radares, nos 
esportes, entre outras. 
Definição 
Chama-se função polinomial do 2o. grau toda função f de IR em IR dada por uma lei 
da forma tal que a, b e c são números reais com 
 
 
 
2.2.1. Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2o. grau, y = ax2 + bx + c, sendo a≠0 , é uma 
curva chamada parábola. 
A parábola que representa uma função polinomial do 2o. grau tem sempre a 
concavidade voltada para baixo ou para cima e possui 
 um eixo de simetria vertical, passando pelo vértice V, cuja equação é x = xv. 
As coordenadas do vértice V da parábola são dadas pelas fórmulas: 
 
É recomendado que ao fazer a tabela de pontos da função polinomial do 2o. grau você 
comece pelo vértice, usando alguns valores de x maiores que o x do vértice e também 
alguns menores que ele. Dessa forma você assegura a marcação de pontos dos dois 
ramos da parábola. 
Exemplos 
 
Vamos inicialmente determinar as coordenadas do vértice. 
 
 
 
 
A partir da determinação das coordenadas do vértice, podemos fazer a tabela que 
segue. 
 
E, marcando os pontos, obtém-se o esboço do gráfico, conforme abaixo. 
 
 
 
Vamos, inicialmente, determinar as coordenadas do vértice. 
 
 
 
 
A partir da determinação das coordenadas do vértice, podemos fazer a tabela que 
segue. 
 
Observações 
I. A parábola que representa uma função polinomial do 2o. grau sempre corta o eixo 
y no ponto (0, c). 
II. Ao construir o gráfico de uma função polinomial do 2o. grau, nota-se sempre que: 
a) Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima 
 
 
 
b) Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo 
 
 
2.2.2. Zeros (ou raízes) de uma função polinomial do 2o. grau 
Os zeros (ou raízes) da função polinomial do 2o. grau são os valores reais x tais 
que f (x) = 0. Então as raízes da função f (x) = ax2 + bx + c são as soluções da 
equação do 2º. grau ax2 + bx + c = 0, com a≠0 . As raízes são determinadas pela 
fórmula resolutiva. 
 
 
 
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para 
o radicando chamado discriminante, a saber: 
 
2.2.3. Conjunto Imagem 
O conjunto imagem Im da função y = ax2 + bx + c,a≠0a≠0, é o conjunto dos valores 
que y pode assumir. 
Há duas possibilidades: 
2.2.3.1 Quando a > 0 
 
2.2.3.2 Quando a < 0 
 
 
 
Resumindo 
Podemos, observando os sinais de Δ e de a, sintetizar que o gráfico de uma função 
polinomial do 2o. grau tem um dos seguintes aspectos: 
 
Função Polinomial de 2º. Grau: Exercícios de Fixação (PDF) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vídeos: Função Polinomial do 2º. Grau 
Vídeos do Repositório Virtual de Matemática de autoria do Prof. Salvador 
Tavares 
Parte 1 vídeos na plataforma 
Nessa parte você encontrará resumidamente como reconhecer uma Função 
Polinomial do 2o. Grau por meio da lei que a define e pelo seu gráfico. Será feita uma 
exposição dos critérios mínimos para assegurar o traçado do esboço da parábola que 
representa a função. 
 
Parte 2 
Aqui você poderá rever como traçar o gráfico de uma função Polinomial do 2o. Grau 
e a importância do coeficiente dominante a, bem como do discriminante ∆, no controle 
do traçado correto do gráfico. A relação entre os coeficientes da lei e o gráfico da 
parábola também serão enfatizados por meio de resolução de alguns exercícios. 
 
 
 
Parte 3 
Nessa parte você assistirá à prática de traçar esboços de gráficos de algumas funções 
polinomiais de 2 o. Grau, destacando –se algumas propriedades geométricas da 
parábola e pontos fundamentais tais como o vértice, intersecção com os eixos 
coordenados e seu eixo de simetria. 
 
 
4.1. Função Exponencial 
Introdução 
Vamos estudar um tipo de função que tem aplicações em vários processos de 
modelagem matemática, especialmente naqueles que descrevem estudos de 
demografias para prever o tamanho de populações, nas finanças para calcular o valor 
de investimentos, na arqueologia para datar artefatos antigos, na Psicologia para 
estudar padrões de aprendizado e na indústria para estimar a confiabilidade de 
produtos. 
Esses modelos usam propriedades e conhecimentos estudados nas funções 
exponenciais básicas. Para isso é preciso saber usar a notação exponencial e 
conhecer as operações algébricas que envolvem tais funções. 
Recapitulando 
Definições 
 
1. Se b é um número real e n é um número inteiro positivo então 
 
2. Se b > 0 e m e n são números inteiros positivos 
 
 
 
 
 
Função exponencial 
Definição 
Se b é um número real positivo e diferente de chama-se função 
exponencial de base b, a função que associa a cada número real x o número 
 
Para termos uma ideia do aspecto da curva de uma função exponencial, vamos 
considerar os exemplos a seguir. 
Exemplos: 
 
Para isso vamos calcular os valores de completando a tabela abaixo: 
 
 
 
Assim temos: 
 
Com esses valores podemos esboçar o gráfico da curva que representa a função. 
 
Observando o gráfico traçado acima, podemos destacar: 
1 – A função é sempre crescente, isto é, 
 
 
 
2 – Quando x tende a −∞ então 2x tende a 0. Essa afirmação também pode ser escrita 
em linguagem estritamente simbólica assim: 
 
Este fato pode ser interpretado, geometricamente, da seguinte forma: a curva que 
representa a função exponencial tem por assíntota o eixo das abscissas. 
Isto é, a equação da assíntota é 
3 – Quando x tende a +∞ então 2x tende a +∞. Analogamente, tal afirmação também 
pode ser escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
 
 
Para isso vamos calcular os valores de completando a tabela abaixo: 
 
 
 
 
Completando também a tabela acima podemos esboçar o gráfico. 
 
Observando o gráfico traçado acima, podemos destacar: 
1 – A função é sempre decrescente, isto é, 
 
2 – Quando x tende a −∞ então tende a +∞. Essa afirmação também pode ser 
escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
 
 
 
3 – Quando x tende a +∞ então tende a 0. Analogamente, tal afirmação 
também pode ser escrita em linguagem estritamente simbólica assim: 
 
Este fato pode ser interpretado, geometricamente, da seguinte forma: a curva que 
representa a função exponencial tem por assíntota o eixo das 
abscissas. Isto é, a equação da assíntota é 
Resumindo 
De modo geral, o gráfico de uma função exponencial do tipo tem um dos 
aspectos apresentados no quadro a seguir. 
Ressaltando que o gráfico desse tipo de curva sempre passa pelo ponto (0,1), sua 
intersecção com o eixo das ordenadas, e pelo ponto (1,b) então marcando – se tais 
pontos podemos esboçar rapidamente a curva. 
 
 
 
Propriedades comuns às duas funções exponenciais 
1 – O conjunto-imagem é isto significa dizer que 
2 – Os gráficos das duas curvas têm por assíntota a reta y = 0. 
3 – Os gráficos das duas curvas passam pelo ponto (0, 1). 
4 – Os gráficos das duas curvas passam pelo ponto (1, b). 
Função Exponencial: Exercícios de Fixação (PDF) 
 
 
Vídeos: Função Exponencial 
Vídeos do Repositório Virtual de Matemática de autoria do Prof. Salvador 
Tavares 
Parte 1vídeos na plataforma 
Nessa parte você verá como reconhecer uma Função Exponencial por meio da lei 
que a define e pelo seu gráfico. Destaca-se que nesse vídeo você estudará a 
construção dos dois principais casos para as bases e suas propriedades. Uma 
síntese se mostrada de como você pode esboçar o gráfico de uma função 
exponencial, destacando – se as equações das assíntotas e a classificação quanto 
ao crescimento/decrescimento dessas funções. 
 
Parte 2 
Aqui você poderá rever como traçar o gráfico de uma função Exponencial, atentando 
para o reconhecimento da função pela observação da base e de seus pontos 
principais. Há também exercícios de construção de gráficos de funções compostas a 
partir das exponenciais básicas, bem como dando destaque às equações das 
assíntotas. 
4.2. Função Logarítmica 
Textos babilônios datados de cerca de 600 a. C. trazem a seguinte questão 
”A que potência deve ser elevado certo número para fornecer um número dado?” 
É também desde os babilônios que se tem notícias de tabelas contendo potências 
sucessivas de um dado número, semelhantes às tabelas atuais de logaritmos. 
Apesar dos rudimentos do que viriam a ser os logaritmos, já serem conhecidos pelos 
babilônios, a introdução dos logaritmos como o instrumento que revolucionou a arte 
de calcular só ocorreu muito tempo depois. No início do século XVII, os cálculos 
envolvidos nos assuntos de Astronomia eram excessivamente trabalhosos. 
O desenvolvimento dos logaritmos serviu como um poderoso instrumento de cálculo 
que contribuiu para simplificar operações, transformado multiplicações e divisões em 
operações mais simples, agilizando também a potenciação e a radiciação. É 
fundamental, também, em outras áreas como, por exemplo, na Química para o cálculo 
do pH (potencial de hidrogênio) e na Física, em acústica, para determinarmos a 
intensidade de um som. 
 
 
John Napier (1550 - 1617) é considerado um dos matemáticos responsáveis pelo 
desenvolvimento do estudo dos logaritmos ao lado de outros matemáticos que 
também trabalharam com este conceito, o suíço Jobst Burgi (1552 – 1632). Os 
logaritmos de base 10, chamados de comuns ou briggsianos, tão úteis nos cálculos, 
foram estudados pelo professor Henri Briggs (1561 – 1631). 
A palavra logaritmo vem do grego: logos (razão) e arithmos (número) é o expoente a 
que uma dada base deve ser elevada para produzir certa potência. 
 
3.2.1 Logaritmos 
Definição 
Chamamos de logaritmo de b, na base a, ao número c, tal que: 
 
 
Sendo a (base), b (antilogaritmo ou logaritmando) e c (logaritmo). 
Exemplos 
a) Assim, o expoente a que se deve elevar 3 para se obter 81 é 4. Ou, em 
linguagem simbólica, 
b) Analogamente, o expoente a que se deve elevar 2 para se obter 32 é 5 e, 
portanto, podemos escrever que 
c) E mais esse exemplo: o expoente a que se deve elevar para se obter 25 é 
-2, pois, Assim podemos escrever, em linguagem simbólica, que 
 
É importante observar que logaritmo é sinônimo de expoente. Isto é, outro 
nome que podeser dado ao expoente ao qual se eleva a base a para 
determinar a potência b. 
 
 
Outra observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu 
domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos reais de números 
positivos, com bases também positivas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular 
o em IR, é necessário b > 0, a > 0 e a ≠ 1. 
3.2.1.1 Propriedades decorrentes da definição 
Sendo b > 0, c > 0, a > 0 e a ≠ 1, tem-se: 
 
3.2.1.2. Propriedade operatórias 
 
3.2.1.2.1. Logaritmo do produto 
3.2.1.2.2. Logaritmo do quociente 
3.2.1.2.3. Logaritmo de uma potência 
3.2.1.2.4. Mudança de base 
3.2.2. Função Logarítmica 
Definição 
 
 
A função é chamada 
função logarítmica de base a. 
O domínio dessa função é o conjunto (conjunto dos números reais positivos) e 
o contradomínio é IR. 
Exemplos 
Acompanhe, nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso. 
a) y = log2 xy=log2⁡x 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos 
a tabela e o gráfico abaixo. 
 
Vamos mostrar agora como alguns desses valores da tabela foram determinados: 
 
 
 
 
 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos 
a tabela e o gráfico abaixo. 
 
Vamos mostrar agora como alguns desses valores da tabela foram determinados. 
 
 
 
 
Resumindo 
Nos dois exemplos, podemos observar que: 
a) o gráfico da função do tipo nunca 
intersecta o eixo y 
b) o gráfico de corta o eixo horizontal no 
ponto (1, 0). A raiz da função é 
c) y assume todos os valores reais, portanto,o conjunto imagem da função do 
tipo 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte 
 
 
 
 
 
Função Logarítmica: Exercícios de fixação (PDF) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vídeos: Função Logarítmica 
Vídeos do Repositório Virtual de Matemática de autoria do Prof. Salvador 
Tavares 
Parte 1 vídeos na plataforma 
Nessa parte você será apresentado à definição de logaritmos. Também veremos as 
principais propriedades decorrentes dessa definição, bem como as propriedades 
operatórias. 
 
Parte 2 
Nesse vídeo você verá alguns exemplos de cálculo de logaritmos aplicando as 
propriedades operatórias. Serão também apresentadas funções logarítmicas básicas 
e suas propriedades. O estudo desses dois exemplos é fundamental para a 
compreensão de outras funções compostas por logarítmicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Unidade 01 - Conceitos Iniciais
	1.1. Produtos Notáveis
	1.1.1. Quadrado de uma soma de dois termos é uma expressão do tipo
	1.1.2. Quadrado da diferença de dois termos é uma expressão do tipo:
	.1.3. Produto da soma de dois termos pela diferença entre os mesmos é uma expressão do tipo:
	1.1.5. Cubo da diferença de dois termos é uma expressão que se pode indicar assim:
	1.1.6. Um produto especial
	Produtos notáveis - Exercício de Fixação (PDF)
	Vídeos: Produtos Notáveis
	1.2. Casos Clássicos de Fatoração
	1.2.1 Fator comum em evidência
	1.2.2. Diferença de dois quadrados
	1.2.3. Trinômio do 2º. Grau
	1.2.4 Diferença de cubos
	1.2.5 Soma de cubos
	Casos clássicos de Fatoração - Exercícios de Fixação (PDF)
	Vídeos: Fatoração
	1.3. Expressões algébricas e valor numérico
	Expressões Algébricas e Valor Numérico: Exercícios de Fixação (PDF)
	Vídeos: Expressões Algébricas e Valor Numérico
	1.4. Noções de Porcentagem
	1.4.1 - Os termos razão por cento ou razão centesimal, porcentagem e taxa unitária.
	1.4.2 Fator de correção
	Noções de Porcentagem: Exercícios de Fixação (PDF)
	Vídeos: Noções de Porcentagem
	2.1. Função Polinomial do 1º. Grau
	2.1.1. Coeficientes de uma função polinomial do 1 o. grau
	2.1.2. Gráfico de uma função polinomial do 1o. grau
	2.1.3. Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1 o. grau
	2.1.4. Raiz ou zero de uma função polinomial do 1o. grau
	Função Polinomial de 1º. Grau: Exercícios de Fixação (PDF)
	Vídeos: Função Polinomial do 1º. Grau
	3.1 Função Polinomial do 2º. Grau
	2.2.1. Gráfico
	2.2.2. Zeros (ou raízes) de uma função polinomial do 2o. grau
	2.2.3. Conjunto Imagem
	Resumindo
	Função Polinomial de 2º. Grau: Exercícios de Fixação (PDF)
	Vídeos: Função Polinomial do 2º. Grau
	4.1. Função Exponencial
	Introdução
	Recapitulando
	Função exponencial
	Resumindo
	Vídeos: Função Exponencial
	4.2. Função Logarítmica
	3.2.1 Logaritmos
	3.2.2. Função Logarítmica
	Resumindo
	Função Logarítmica: Exercícios de fixação (PDF)
	Vídeos: Função Logarítmica