Teoria - Series temporais

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Prof.ª Dr.ª Vera Lucia Bodini
ESTATÍSTICA I
PARTE 3 – SÉRIES TEMPORAIS
Introdução
As séries temporais, também chamadas de séries históricas, cronológicas ou evolutivas, são conjuntos de observações tomadas em tempos determinados, comumente em intervalos iguais, consideramos que y é a variável observada e t representa a variável tempo. Acompanham a evolução de um acontecimento através do tempo.
São conjuntos de medidas de uma mesma grandeza, relativas a vários períodos consecutivos. Podemos considerar como exemplos de séries temporais: produção anual de fumo, registro de temperatura diária, número de acidentes na região, o valor diário do fechamento de determinada ação na bolsa de valores; inflação mensal; cálculo do PIB; a taxa de inflação, o IPC (30 e 15) e a taxa de desemprego, que possuem cálculo mensal.
Matematicamente, uma série temporal é definida por valores de y1, y2, y3.... de uma variável y, nos tempos t1, t2, t3 ... Com função de t simbolizada por y = f(t) . 
Ao analisar dados de séries temporais, temos em geral, como objetivos: 
· descrever os padrões da série no passado; e
· predizer valores futuros.
1. Os métodos de previsão geralmente pressupõem que continuará a existir no futuro o mesmo sistema causal subjacente que existiu no passado;
2. Previsões raramente são perfeitas – os resultados reais geralmente diferem dos valores previstos.
3. Previsões feitas para grupos de itens tendem a ser mais precisas do que as elaboradas para itens individuais, porque os erros de previsão para itens que compõem um grupo geralmente tendem a compensar uns aos outros.
4. A exatidão das previsões diminui de acordo com o aumento do período de tempo (o horizonte temporal) coberto pela previsão. Em geral, as previsões de curto prazo se defrontam com um número menor de incertezas do que as previsões de prazo mais longo, e por isso tendem a ser mais exatas.
Movimentos Característicos das Séries Temporais.
Ao analisarmos graficamente uma série temporal, podemos imaginar que o mesmo se desenha por um ponto que se move no decorrer do tempo, de forma análoga a uma partícula que se desloca sob influência de forças físicas. Entretanto o movimento pode ser provocado, em vez de forças físicas, por uma combinação de forças econômicas, sociológicas, psicológicas e outras.
Os estudos sobre o assunto mostram que o comportamento das séries temporais revela certos movimentos ou variações características. Estes movimentos podem ser caracterizados em quatro tipos principais, freqüentemente denominados componentes de uma série temporal:
a. Tendência: é o modo em que vai se desenvolvendo um acontecimento através do tempo. Onde tende a se manter constante se as condições em que o fato vai se desenvolvendo, forem as mesmas. Refere-se a direção geral. Apresenta um movimento regular de fatores que atuam por longos períodos de tempo. Exemplos: Inovações tecnológicas, mudanças de costumes e outros.
b. Variações Cíclicas: referem-se a oscilações a longo prazo ou desvios em torno da reta ou da curva de tendência (movimentos com duração superior a um ano). Podem os ciclos ser periódicos ou não. As variações cíclicas são determinadas fatores identificáveis com maior dificuldade e dificilmente individualizados. Exemplos: Ciclos de economia, de recessão, de prosperidade, de preço no mercado internacional e outros.
c. Variações sazonais: referem-se a padrões idênticos que se repetem durante os mesmos meses dos anos sucessivos. Ocorrem movimentos inferiores a um ano e seus fatores são facilmente identificáveis e individualizados. Exemplos: Consumo de sorvetes e chocolates, consumo ligado a datas comemorativas, vendas de implementos agrícolas ao longo do ano e outros.
d. Variações Irregulares ou Aleatórias: referem-se a deslocamentos esporádicos provocados por eventos casuais, como guerras, inundações, geadas, greves ou outros fatores que não se apresentam regularidade.
Muitas séries apresentam tendências definidas – ascendentes ou descendentes- quando acompanhamos seus valores por longos períodos. Na previsão para os próximos períodos provavelmente admitiríamos que o comportamento da variável em estudo continuasse a apresentar comportamento ascendente ou descendente, conforme seu histórico anterior, ou seja, que mantenha o mesmo padrão de tendência ascendente.
Dependendo da variação dos elementos que constituem a série a tendência pode ser uniforme (tendendo a uma reta) ou acentuada (tendendo a uma curva). 
Observações:
1- Muitas estatísticas econômicas importantes se apresentam em forma de séries temporais, consistindo de observações de uma variável durante vários períodos consecutivos (como a cada ano ou a cada semana).
2- Em geral observa-se, em uma série temporal, uma componente de tendência, uma componente cíclica e uma componente sazonal.
3- O nível da atividade econômica sofre variações cíclicas. Uma queda no nível global da atividade econômica é chamada recessão.
Modelos de decomposição de uma Série Temporal
O método para analisar uma série temporal consiste em decompor uma série nos quatro movimentos característicos. 
Modelo Aditivo: Considera-se que a série temporal é uma soma das quatro componentes. Da seguinte forma:
Y = Valor de tendência + Componente cíclica + Componente Sazonal + Componente aleatória
 Ou seja Y = T + C + S + A
Neste método os componentes, T, C, S e A são expressos em quantidades absolutas. 
Modelo Multiplicativo: Considera que a série temporal é o produto das quatro componentes. Da seguinte forma:
Y = Valor de tendência X Componente cíclica X Componente Sazonal X Componente aleatória
 Ou seja Y = T X C X S X A
Neste método a tendência (T) é expressa em quantidades absolutas e os outros componentes C, S e A são expressos como fatores ou em porcentagem.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Os elementos de uma série temporal são decompostos por um dos seguintes modos:
1. MÉTODO GRÁFICO (PEREQUAÇÕES GRÁFICAS)
Consiste em determinar a linha de ajustamento por mera inspeção visual do diagrama de dispersão. É evidente que é um processo simples e rápido, rudimentar e primitivo, subjetivo e intuitivo – não é logicamente justificável e dá resultados ligeiramente diferentes de uma pessoa para outra (por isso, só deve ser aplicado por quem alguma prática de ajustamento de dados).
2. MÉTODOS ANALÍTICOS
Incluem todos os métodos de ajustamentos de dados: Médias móveis (Médias móveis simples, Médias moveis ponderadas e alisamento exponencial), semicentros, totais móveis, pontos selecionados, semi-médias e principalmente método dos mínimos quadrados. 
OBS: Em se tratando de séries de preços, pode ser necessário deflacionar dados.
Dos métodos relacionados estudaremos alguns deles:
· Método dos Mínimos Quadrados (método de regressão)
É o mais freqüentemente utilizado para identificar a componente de tendência da série temporal, através da determinação da equação de tendência que melhor se ajusta a todos os dados. 
O fundamento lógico do método é que supõe que o sistema causal que influência a série seja em função do tempo, ou seja, varie sistematicamente com o passar do tempo. A tendência pode ser linear ou curvilínea. 
Supõe-se que X seja a variável explicativa e Y a variável explicada 
Busca estimar os parâmetros α e β da linha teórica, obtendo uma reta estimada da forma y = α + βx. Em que a reta adotada torna mínima a soma dos quadrados das distâncias da reta até os pontos experimentais no sentido vertical. 
A idéia consiste em minimizar a variação residual em torno da reta estimada, utilizando as seguintes fórmulas:
(
)
å
å
å
å
å
-
-
=
2
2
x
x
n
y
x
xy
n
b
 
n
x
b
n
y
a
å
å
-
=
Onde: 
n é o número de observações;
x
 é a média aritmética dos valores xi.
y
 é a média aritmética dos valores yi.
O resultado de a é o valor da variável Y que não depende de X. O resultado da variável b significa que para cada unidade de variação positiva de X,Y cresce ou decresce b unidades. A partir da reta de regressão há possibilidade de se estimar valores correspondentes para Y conhecendo os valores de X.
Exemplo: Considerando que os dados representam as vendas em toneladas de certa empresa a partir de janeiro de 2017. E que a equação de regressão obtida pelo método dos mínimos quadrados é y = 1,0319x + 8,4714 (ou y = 8,4714 +1,0319x ) calcular a tendência de vendas para os próximos meses.
	Mês
	(X)
	Vendas (em toneladas) 
(Y) 
	Tendência da produção
÷
ø
ö
ç
è
æ
^
y
	
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
^
Y
Y
	
2
^
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
Y
Y
	Janeiro
	0
	10
	
	
	
	Fevereiro 
	1
	9
	
	
	
	Março 
	2
	11
	
	
	
	Abril 
	3
	12
	
	
	
	Maio 
	4
	14
	
	
	
	Junho 
	5
	13
	
	
	
	Julho
	6
	13,5
	
	
	
	Agosto 
	7
	15
	
	
	
	Setembro
	8
	15
	
	
	
	Outubro 
	9
	16
	
	
	
	Novembro
	10
	18
	
	
	
	Dezembro
	11
	19
	
	
	
	Janeiro 
	12
	22
	
	
	
	Fevereiro
	13
	25
	
	
	
a) Fazer a estimativa para os próximos períodos 
b) Calcular o erro de estimação
· Método das Médias Móveis
O método pode eliminar variações cíclicas, estacionais e irregulares, conservando apenas o movimento de tendência e eliminando flutuações indesejáveis. Trata-se de um método que objetiva suavizar as variações das séries por um processo de sucessivas médias. Uma previsão por médias móveis utiliza um determinado número de dados reais mais recentes para se gerar a previsão. A previsão por média móvel pode ser calculada pela seguinte expressão:
n
R
MM
n
i
n
å
=
=
1
Onde:
i = número de ordem de cada um dos períodos mais recentes utilizados para apurar a média móvel; 
n = número de períodos (número de dados) da média móvel;
Ri = valor real no período i; e 
MMn = valor da previsão, segundo uma média móvel de n períodos.
Desvantagens do método: 
· Desaparecem os valores do início e do fim;
· pode gerar movimentos cíclicos; e
· a média móvel é a afetada por valores extremos. Nestes casos usa-se a média ponderada. 
1. Média móveis simples
O método das médias móveis simples sugere qua a estimativa do valor(es) futuro(s) pode ser feita com base na média aritmética simples dos valores passados.
Por exemplo: uma fábrica de biscoitos projetando sua demanda para o mes 7 conhecendo os seguintes dados reais: 
	Período 
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Demanda real
	6
	5
	7
	3
	9
	8
	?
Uma forma razoavelmente simples de fazer a previsão futura é igualá-la a média dos últimos períodos. Neste caso precisa-se definir qual o horizonte de análise será usado. Se por exemplo, o horizonte previsto é de dois períodos a demanda será de:
	Período 
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Demanda real
	6
	5
	7
	3
	9
	8
	
	Demanda prevista
	
	
	
	
	
	
	
2. Média móveis ponderadas
Exemplo: Considerando que os dados representam as vendas em toneladas de certa empresa a partir de janeiro de 2016. Aplicar o método das médias móveis de 5 períodos e obter a tendência de vendas .
	Mês
	(X)
	Vendas (em toneladas) 
(Y) 
	Tendência da produção
÷
ø
ö
ç
è
æ
^
y
 MM de 5 períodos 
	Índice sazonal
	Janeiro
	0
	10
	
	
	Fevereiro 
	1
	9
	
	
	Março 
	2
	11
	
	
	Abril 
	3
	12
	
	
	Maio 
	4
	14
	
	
	Junho 
	5
	13
	
	
	Julho
	6
	13,5
	
	
	Agosto 
	7
	15
	
	
	Setembro
	8
	15
	
	
	Outubro 
	9
	16
	
	
	Novembro
	10
	18
	
	
	Dezembro
	11
	19
	
	
	Janeiro 
	12
	22
	
	
	Fevereiro
	13
	25
	
	
a) Representar os dados graficamente
b) Representar graficamente os dados de tendência 
c) Observar a tendência para os próximos períodos
· Método da razão-para-a-Média-Móvel
Este método dá índices semanais, mensais, trimestrais... que caracterizam observações de séries temporais em termos de porcentagem do total anual, isto é, como relativos sazonais, por exemplo, se um mês tem índice sazonal 0,75, isso indica que as vendas desse mês são 75% da média mensal. Se um trimestre tem índice sazonal de 2,00, isso indica que as vendas daquele trimestre são aproximadamente o dobro da média das vendas e outros trimestres 
Etapas para a aplicação do método
· O primeiro passo consiste em obter a média móvel anual a fim de remover as variações sazonais. Se as observações forem trimestrais é necessário um média móvel de 4 períodos, se as informações forem quadrimestrais a média móvel deve ser de 5 períodos, se as informações forem mensais é necessário a média móvel de 12 períodos, assim sucessivamente. No caso de informações anuais é impossível identificar variações sazonais. A média móvel de períodos pares deve ser sucedida da medial móvel centrada para a média corresponder ao centro dos períodos de calculo.
· O segundo passo é dividir as observações originais pelos valores correspondentes da média móvel. Na realidade, isto remove as variações de tendência e cíclica das observações, deixando apenas as variações sazonais e aleatórias. Da seguinte forma:
A
S
C
T
A
S
C
T
MM
Y
.
.
.
.
.
=
=
· A seguir, faz-se a média da razão sazonal dos períodos semelhantes. Usando as informações em trimestres, por exemplo, faz-se a média de todos os primeiros trimestres, dos segundos, terceiros e quartos. Em geral calcula-se a média modificada, que consiste na remoção dos valores extremos do cálculo (do maior e do menor).
· Para finalizar padronizam-se os valores resultantes, ajustando os relativos, de modo que sua soma seja igual ao número de períodos. Consegue-se com isto, de modo que sua soma seja igual ao número de períodos. Logo, se há 4 períodos, o total dos relativos sazonais deve ser 4.
· A previsão é feita multiplicando o valor mais recente da média móvel pelo índice sazonal correspondente.
Exemplo do método da razão-para-a-média-móvel:
Abaixo estão os dados trimestrais de vendas, use o método da razão-para-a-média-móvel para obter relativos trimestrais seguindo as etapas dadas.
	Anos
	Trimestres
	Vendas (Y)
	Vendas - MM 
de 4 períodos
	Vendas - MMC 
	Índice sazonal
	1
	1
	20
	
	
	
	
	2
	18
	
	
	
	
	3
	22
	
	
	
	
	4
	24
	
	
	
	2
	1
	24
	
	
	
	
	2
	22
	
	
	
	
	3
	26
	
	
	
	
	4
	29
	
	
	
	3
	1
	28
	
	
	
	
	2
	25
	
	
	
	
	3
	31
	
	
	
	
	4
	34
	
	
	
	4
	1
	32
	
	
	
	
	2
	29
	
	
	
	
	3
	35
	
	
	
	
	4
	38
	
	
	
	5
	1
	36
	
	
	
	
	2
	32
	
	
	
	
	3
	40
	
	
	
	
	4
	43
	
	
	
	6
	1
	40
	
	
	
	
	2
	36
	
	
	
	
	3
	44
	
	
	
	
	4
	48
	
	
	
agrupando os índices sazonais por trimestre, obtém-se o resultado:
	Anos
	Trimestre 1
	Trimestre 2
	Trimestre 3
	Trimestre 4
	Ano 1
	
	
	
	
	Ano 2
	
	
	
	
	Ano 3
	
	
	
	
	Ano 4
	
	
	
	
	Ano 5
	
	
	
	
	Ano 6
	
	
	
	
	Totais modificados
	
	
	
	
	Médias modificadas -
Índices sazonais
	
	
	
	
Exercícios
1) A tabela dá os preços médios de ações e títulos na bolsa de valores. 
a) Determine a regressão dos dados em relação ao tempo
b) Determine a previsão do preço médio das ações e dos títulos para o ano de 2020
	ANO
	2015
	2016
	2017
	2018
	2019
	Preço Médio das Ações
	39,8
	45
	42
	46,2
	54,4
	Preços Médios dos Títulos
	100,8
	97,4
	95
	98,3
	97,8
2) Conhecendo as vendas de uma empresa, calcule a tendência para o mês de junho, utilizando o método de regressão, considerando a margem de erro.
	MES
	VENDAS
	
	
	Outubro
	205
	
	
	Novembro
	205
	
	
	Dezembro
	200
	
	
	Janeiro 
	210
	
	
	Fevereiro
	190
	
	
	
	Março
	189
	
	
	
	Abril
	180
	
	
	
	Maio
	176
	
	
	
3) Verifique se o PIB real superou os valores de tendência. Analise principalmente o resultado de 2013. 
	ANO
	Períodos
(X)
	PIB EM MILHÕES DE REAIS (ano base 2000)
	Média móvel- 5 anos (em milhões de R$)
	1997
	1
	678,03
	
	1998
	2
	661,32
	
	1999
	3
	669,62
	
	2000
	4
	665,30
	
	2001
	5
	713,29
	
	2002
	6
	767,66
	
	2003
	7
	816,71
	
	2004
	8
	840,99
	
	2005
	9
	863,90
	
	2006
	10
	904,12
	
	2007
	11
	837,49
	
	2008
	12
	846,11
	
	2009
	13
	841,51
	
	2010
	14
	882,95
	
	2011
	15
	934,63
	
	2012
	16
	974,10
	
	2013
	17
	1.000,02
	
	2014
	18
	1.032,75
	
	2015
	19
	1.035,00
	
	2016
	20
	1.043,20
	
	2017
	21
	1.089,69
	
4) Calcule a previsão para o mês de novembro, utilizando a média móvel centrada em 3 períodos.MES
	JAN
	FEV
	MAR
	ABR
	MAI
	JUN
	JUL
	AGO
	SET
	OUT
	VENDAS
	80
	85
	79
	87
	90
	99
	95
	85
	56
	74
5) A tabela relaciona a produção de grãos, em milhares de toneladas, durante os anos de 2007 a 2017, obter os valores da tendência para a série utilizando-se uma média móvel de 2 anos e a média móvel centrada em 2 anos. Construir o gráfico, demonstrando a tendência.
	Ano
	Produção
	Média móvel de 2 anos
	Média móvel centrada
	Índice sazonal
	2007
	50
	
	
	
	2008
	36,5
	
	
	
	2009
	43
	
	
	
	2010
	44,5
	
	
	
	2011
	38,9
	
	
	
	2012
	38,1
	
	
	
	2013
	32,6
	
	
	
	2014
	38,7
	
	
	
	2015
	41,7
	
	
	
	2016
	41,1
	
	
	
	2017
	33,8
	
	
	
(Obs: a média móvel centrada de 2 anos equivale a média ponderada de 3 anos com pesos 1, 2, 1 respectivamente).
6) Considerando as vendas trimestrais de cada ano sendo respectivamente:
Ano de 2014: vendas por trimestre: 190, 370, 300, 220 
 Ano de 2015: vendas por trimestre: 280, 420, 310, 180
 Ano de 2016: vendas por trimestre: 270, 360, 280, 190
 Ano de 2017: vendas por trimestre: 300, 430,290, 200
Ano de 2018: vendas por trimestre: 320, 440, 320, 220
Fazer a previsão para os trimestres do próximo ano, utilizando a média móvel de 4 períodos.
4
13
_1205582169.unknown
_1205751395.unknown
_1366116303.unknown
_1205583410.unknown
_1205582314.unknown
_1205583334.unknown
_1002351433.unknown
_1081686718.unknown
_1002351353.unknown