Estatística_1ºbimestre2020

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS PATO BRANCO 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
GRÁFICOS 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
NOTAS DE AULA – 1ª PARTE/2020 
 
 PROF. LUIZ CARLOS SCHEITT 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA................................................................................. 03 
1.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ..................................................................................... 03 
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA .................................................................................. 03 
2. SÉRIE ESTATÍSTICA................................................................................................ 04 
2.1 SÉRIE TEMPORAL OU CRONOLÓGICA ................................................................. 04 
2.2 SÉRIE GEOGRÁFICA ............................................................................................... 05 
2.3 SÉRIE ESPECÍFICA .................................................................................................. 06 
2.4 SÉRIE MISTA ............................................................................................................ 08 
3 DADOS ESTATÍSTICOS DE UMA PESQUISA ........................................................ 08 
3.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA ...................................................................................... 08 
3.2 INDIVÍDUO OU OBJETO ......................................................................................... 09 
3.3 VARIÁVEL ................................................................................................................ 09 
4 CONSTRUÇÃO DE TABELAS DE FREQUÊNCIA ................................................... 10 
4.1 CASO QUALITATIVO ............................................................................................... 10 
4.2 CASO QUANTITATIVO ............................................................................................ 11 
4.2.1 CASO QUANTITATIVO DISCRETO ........................................................................ 11 
4.2.2 CASO QUANTITATIVO CONTÍNUO ........................................................................ 14 
5 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ................................................................... 32 
5.1 MÉDIA ...................................................................................................................... 32 
5.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ............................................................................... 32 
5.1.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA PARA DUAS VARIÁVEIS ....................................................... 33 
5.1.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ........................................................................ 36 
5.2 MEDIANA ................................................................................................................. 37 
5.3 RELAÇÃO ENTRE MEDIA E MEDIANA .................................................................. 38 
5.4 MODA ...................................................................................................................... 39 
6 MEDIDAS DE DISPERSÃO .................................................................................... 39 
6.1 VARIÂNCIA ............................................................................................................... 39 
6.2 DESVIO PADRÃO ..................................................................................................... 42 
7 MÉDIA, MODA, MEDIANA E DESVIO PADRÃO COM BASE NAS TABELAS DE 
 FREQUÊNCIA ........................................................................................................... 45 
8 MÉDIA, MODA, MEDIANA E DESVIO PADRÃO COM BASE EM DADOS 
 AGRUPADOS ......................................................................................................... 50 
9 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................... 63 
10 BIBLIOGRAFIA UTILIZADA ...................................................................................... 69 
 
 
 
3 
 
1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
 A estatística é um ramo da Matemática que visa, entre outros, coletar, 
organizar e apresentar dados relacionados a algum fato ou acontecimento. 
Para isso, é necessário informações sobre esses acontecimentos. Essas 
informações chegam das mais diversas fontes e diferentes formas de 
apresentação, como rádio, televisão, revistas, jornais, internet, etc... 
O uso da pesquisa é muito comum nas várias atividades humanas. Desde 
a antiguidade, há registros de contagem da população do Egito por volta de 2900 
a.C. Pouco tempo depois, os governantes já contabilizavam residências, bens, 
etc. Nesse caso, a finalidade era a cobrança de impostos. 
Atualmente, o estudo da estatística permeia os mais diversos campos do 
conhecimento, com por exemplo, a Medicina, a Agronomia a Computação. Etc... 
Esses estudos são aplicados não somente com o objetivo de constatar fatos, 
mas também, de percepção de tendências. 
Com a evolução tecnológica, os meios de comunicação nos trazem cada 
vez mais informações apresentadas com tratamento estatístico, ou seja, com a 
utilização de gráficos, tabelas e medidas estatísticas. Diante disso, é importante 
que tenhamos a capacidade de interpretar, compreender, estabelecer relações 
e realizar suposições a partir dos dados informados. Podemos definir isso como 
pesquisa estatística. 
 
1.1 Estatística Descritiva 
Considerando os conceitos e informações já ditas, uma pesquisa 
estatística envolve um grande número de dados numéricos. Nosso objetivo é 
analisar estes dados e organizá-los de tal maneira que tenha uma fácil 
visualização. Uma das formas de apresentação ou organização destes dados 
são as tabelas de frequência ou distribuições de frequência. 
Tais tabelas de frequência são organizadas de acordo com o tipo de variável que 
está sendo analisada. 
 Outra forma de apresentação é através de gráficos, que, além de 
simplificar a exposição dos dados obtidos na pesquisa, possibilitam uma análise 
mais detalhada sobre a evolução das variáveis ou de como elas se relacionam. 
Há diversos tipos de gráficos, e a escolha mais adequada depende de uma série 
de fatores, desde o objetivo do pesquisador e as características das informações 
a serem apresentadas. 
 
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Existem diversos modelos de gráficos: colunas, setores, linhas, etc. A 
opção por um modelo em específico é orientada pela identificação da série 
estatística que desejamos representar. 
Para que possamos representar graficamente os dados, estes devem ser 
inicialmente organizados em uma tabela. A forma de referenciar os dados nas 
tabelas determina as séries estatísticas. 
 
 
4 
 
2. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
2.1 Série Temporal ou Cronológica 
Os dados são registrados segundo a época (data) de ocorrência. 
O tempo é variável, o fato e o local são fixos. 
 
População Brasileira - Censo 
Demográfico - 1892 -2010 
Ano 
População do 
Brasil 
1872 9.930.478 
1890 14.333.915 
1900 17.438.434 
1920 30.635.605 
1940 41.236.315 
1950 51.944.397 
1960 70.992.343 
1970 94.508.583 
1980 121.150.573 
1991 146.917.459 
2000 169.590.693 
2010 190.755.799 
Fonte: IBGE 
Para esta série, sugere-se a representação em linhas pelo fato de que 
cada observação gera um ponto (referente a população daquela data), e a 
ligação dos pontos gera a linha. 
0
20.000.000
40.000.000
60.000.000
80.000.000
100.000.000
120.000.000
140.000.000
160.000.000
180.000.000
200.000.000
1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991 2000 2010
P
o
p
u
la
çã
o
Fonte: IBGE
População Brasileira - Censo Demográfico -
1892 -2010
5 
 
 
2.2 Série Geográfica 
Nesta série os dados são registrados segundo o local de ocorrência. 
O local varia, o tempo e o fato são fixos. 
Brasil - População por Região - Censo 2010 
Região Nº de Habitantes 
Norte15.864.454 
Nordeste 53.081.950 
Sudeste 80.364.410 
Sul 27.386.891 
Centro-Oeste 14.058.094 
Total 190.755.799 
Fonte: IBGE 
 
Para a série Geográfica, uma das formas indicadas de representação é 
o gráfico de colunas. A separação das colunas faz a distinção dos dados. 
 
 
 
 
 
 
0
10.000.000
20.000.000
30.000.000
40.000.000
50.000.000
60.000.000
70.000.000
80.000.000
90.000.000
Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste
Fonte: IBGE
Brasil - População por Região - Censo 2010
6 
 
Representação através do gráfico de setores. 
 
 
2.3 Série Específica 
Os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. 
Fato variável, tempo e local fixos. 
Gastos com Pessoal das Empresas Brasileiras de 
Construção - 2011 
Rubrica Gastos com Pessoal (R$) 
Salários, retiradas e 
outras remunerações 49.860.866,57 
Contribuições para 
previdência social 11.088.490,40 
FGTS 4.140.163,05 
Contribuições para 
previdência privada 309.583,73 
Indenizações 
trabalhistas 2.651.810,58 
Benefícios concedidos 
aos empregados 6.663.744,48 
Total 74.714.658,81 
Fonte: IBGE 
 
Norte
8%
Nordeste
28%
Sudeste
42%
Sul
14%
Centro-Oeste
8%
Brasil - Distribuição da População por 
Região - Censo 2010
Fonte: IBGE
7 
 
 
Nas séries específicas são indicados os gráficos de colunas e os 
gráficos de setores. 
 
 
 
 
 R$-
 R$5.000.000,00
 R$10.000.000,00
 R$15.000.000,00
 R$20.000.000,00
 R$25.000.000,00
 R$30.000.000,00
 R$35.000.000,00
 R$40.000.000,00
 R$45.000.000,00
 R$50.000.000,00
Salários,
retiradas e
outras
remunerações
Contribuições
para
previdência
social
FGTS Contribuições
para
previdência
privada
Indenizações
trabalhistas
Benefícios
concedidos
aos
empregados
Gastos com Pessoal das Empresas Brasileiras de 
Construção (R$ 1.000,00)- 2011
Fonte: IBGE
Salários, 
retiradas e
outras 
remunerações
66,74%
Contribuições 
para
previdência 
social
14,84%
FGTS
5,54%
Contribuições 
para
previdência 
privada
0,41%
Indenizações
trabalhistas
3,55%
Benefícios 
concedidos
aos empregados
8,92%
Distribuição dos Gastos com Pessoal nas 
Empresas Brasileiras de Construção -
2011
Fonte: IBGE
8 
 
2.4 Série Mista 
É a combinação entre duas ou três das séries. 
Profissionais Ativos nos Conselhos Regionais de 
Contabilidade - Brasil Região Sul - Segundo o Gênero 
e Formação - 2014 
Estado 
Masculino Feminino 
Contador Técnico Contador Técnico 
PR 12.911 6.982 8.402 2.728 
RS 11.885 8.638 10.655 6.372 
SC 8.130 3.840 6.512 1.305 
Total 32.926 19.460 25.569 10.405 
Fonte: Conselho Federal de 
Contabilidade 
 
É indicado o gráfico de colunas justapostas. 
 
 
 
3. DADOS ESTATÍSTICOS DE UMA PESQUISA 
 
 
3.1 População e amostra 
 
 A população é todo o universo estatístico que queremos consultar. Por 
exemplo, se quisermos saber qual a matéria favorita entre os alunos de uma 
classe, podemos consultar todos os alunos da classe. 
 
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
Contador Técnico Contador Técnico
Masculino Feminino
Profissionais Ativos nos Conselhos Regionais de 
Contabilidade - Brasil Região Sul - Segundo o Gênero 
e Formação - 2014
PR
RS
SC
Fonte: CFC
9 
 
 Entretanto, isso não é possível quando queremos pesquisar a intenção de 
voto dos eleitores do estado do Paraná, pois não podemos consultar todos os 
eleitores que constituem a população. Nesse caso recorremos a um grupo de 
eleitores, que consultados, permitem que se chegue ao resultado mais próximo 
possível da realidade. A isso, chamamos de amostra. 
 É importante a quantidade de elementos que foram consultados, pois a 
escolha da amostra é fundamental para o resultado. 
 
3.2 Indivíduo ou objeto 
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto. No 
exemplo da intenção de voto, os indivíduos da pesquisa são pessoas. Quando 
tratamos de marcas de pneus de carro, quanto a durabilidade, por exemplo, cada 
marca é um objeto. 
 
3.3 Variável 
Quando o IBGE (Instituto de Brasileiro de Pesquisa e Estatística) realiza 
o censo, busca obter informações sobre o perfil da população brasileira (sexo, 
grau de instrução, renda, tipo de moradia, etc. Em estatística, estes itens são 
denominados variáveis. 
 
Quando uma variável está relacionada a um valor numérico, por exemplo, 
a idade de uma pessoa, ou o número de carros em um estacionamento, é 
denominada variável quantitativa. Por sua vez, quando está relacionada a uma 
qualidade ou atributo, por exemplo, o sexo de um indivíduo ou a raça de uma 
espécie de animal, é denominada variável qualitativa. 
A Variável Quantitativa pode ser classificada em Discreta e Contínua. 
Quantitativa Discreta: Variável que assume, como possíveis valores números, 
em geral inteiros, formando uma conjunto finito ou enumerável. 
Exemplo: Número de acidentes ocorridos durante uma semana. 
 
Quantitativa Continua: Variável que assume como possíveis valores, 
números em intervalos, em geral, resultantes de mensurações. 
Exemplo: Altura, peso, notas... 
 
A Variável Qualitativa pode ser classificada em Ordinal e Nominal 
Qualitativa Nominal: Variável que assume como possíveis valores, 
atributos ou qualidades e estes não apresentam uma ordem natural de 
ocorrência. 
Exemplo: Meio de informação utilizado pelos alunos, o esporte predileto de uma 
pessoa. 
 
Qualitativa Ordinal: Quando se refere a uma categoria que, mesmo não 
sendo numérica, pode ser ordenada. 
Exemplo: Nível de desenvolvimento de um país, pois, um país pode ter alto, 
médio ou baixo nível de desenvolvimento. 
 
 
10 
 
 
Esquema da definição de variáveis: 
 
 
 
4. CONSTRUÇÃO DE TABELAS DE FREQUÊNCIA DAS SÉRIES 
ESTATÍSTICAS E APRESENTAÇÃO DE DADOS 
 
Quando lidamos com poucos valores numéricos, o trabalho estatístico fica 
reduzido. Entretanto, normalmente teremos que trabalhar com grande 
quantidade de dados. 
Um dos objetivos da Estatística Descritiva é obter uma redução na 
quantidade de dados com os quais devemos trabalhar. Podemos conseguir isso 
modificando a forma de apresentação desses dados. 
 
 
 
 
 
 
4.1 Caso Qualitativo 
Exemplo 1: Considere uma amostra de 50 pessoas classificadas de acordo com 
seu estado civil. Temos a seguinte situação: 
 
Solteiros: 23 pessoas; 
Casados: 17 pessoas; 
Divorciados: 10 pessoas; 
 
Construir uma tabela de freqüência e um gráfico para representar esta situação. 
 
Variáveis
Quantitativas
Contínua
Discreta
Qualitativas
Nominal
Ordinal
11 
 
SOLUÇÃO: 
 
Tabela 
 
Modalidade Frequência Frequência Relativa Porcentagem 
Solteiros 23 23/50 46% 
Casados 17 17/50 34% 
Divorciados 10 10/50 20% 
Total 50 1 100% 
 
 
 
 Gráfico 
 
 
 
 
 
4.2 Caso Quantitativo 
 
4.2.1 Caso Quantitativo Discreto 
 
Exemplo: 
Foi registrado o número de acidentes em um cruzamento da cidade de Pato 
Branco, durante 100 dias consecutivos. O número de acidentes por dias foi: 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
Solteiros Casados Divorciados
12 
 
6 4 4 2 6 1 7 1 2 2 5 2 8 8 4 2 3 4 4 7 
6 4 2 3 7 7 5 7 3 7 5 6 8 7 8 5 5 5 4 3 
5 4 1 8 7 4 7 7 1 6 8 2 8 6 8 3 5 4 5 2 
4 7 8 5 5 1 1 1 3 5 6 4 7 7 5 4 5 8 6 1 
1 3 6 5 5 1 1 7 8 5 1 2 7 2 4 8 3 3 4 6 
 
 Podemos definir como freqüência absoluta simples de um elemento o 
número de vezes que este elemento aparece no conjunto de dados. Assim, 
podemos reduzir significativamente o número de elementos com os quais 
devemos trabalhar. 
 Essa organização é feita manipulando o conjunto de dados na forma de 
uma série estatística chamada variável discreta. 
 
Distribuição de freqüência – variável discreta 
 É uma representação tabular de um conjunto de valores em que 
colocamos na primeira coluna em ordem crescente os valores distintos da série 
e na segunda coluna colocamos os valores das freqüências simples 
correspondentes. 
 
 
 
Construir uma tabela de distribuição de frequência com os dados acima. 
 
Os valores distintos da série são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (nº de acidentes) 
As freqüências simples correspondentessão: 12, 10, 9, 16, 16, 10, 15, 12 (nº de 
dias). 
 
 
13 
 
 
Acidentes 
(Xi) 
fi (nº de dias) Fi ri Ri 
1 12 12 12% 12% 
2 10 22 10% 22% 
3 9 31 9% 31% 
4 16 47 16% 47% 
5 16 63 16% 63% 
6 10 73 10% 73% 
7 15 88 15% 88% 
8 12 100 12% 100% 
Total 100 
 
 
 
Legenda: 
Xi – Variável Analisada; 
fi- Frequência absoluta da ocorrência de xi; 
Fi - Frequência absoluta acumulada; 
ri – Frequência Relativa da ocorrência de xi; 
Ri – Frequência Relativa acumulada; 
 
OBS: A colocação de um índice i para x e para f tem a finalidade de referência. 
Deste modo, x1 representa o primeiro valor distinto da série, x2 representa o 
segundo valor distinto da série, f1 representa a freqüência simples do primeiro 
valor distinto da série, f2 representa a freqüência simples do segundo valor 
distinto da série e assim sucessivamente. 
 
 
 Devemos optar por uma variável discreta na representação de um série de 
valores quando o número de elementos distintos da série for pequeno 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
No exemplo dado, caso o número de acidentes por dia tivesse uma variação 
maior, por exemplo, poderíamos utilizar variável contínua, a qual veremos a 
seguir. 
 
 
4.2.2 Caso Quantitativo Contínuo 
Exemplo: 
Consideremos as seguintes alturas, expressas em centímetros de 30 atletas de 
um clube 
 
177 177 175 169 183 170 
172 182 166 174 186 175 
170 175 181 171 170 166 
181 166 179 178 173 169 
169 173 172 176 176 180 
 
 
Construir uma tabela de distribuição de frequência com os dados apresentados 
acima. 
 
Observando esses valores notamos grande número de elementos 
distintos, o que significa que neste caso a variável discreta não é aconselhável 
na redução de dados. 
Nesse caso é melhor agrupar os dados por faixas de valores. Essa 
representação da série de valores é denominada variável contínua. 
 A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns 
conceitos que vamos estabelecer: 
0
5
10
15
20
dados fictícios
Acidentes cidade de Pato Branco - Pr
15 
 
Amplitude total de uma sequência é a diferença entre o maior e o menor 
elemento de uma sequência. 
 Representando a amplitude total por At, o maior elemento da sequência X 
por Xmáx e o menor elemento por Xmín, a amplitude total é dada por: 
 
 
 At = Xmáx - Xmín 
 
No exemplo da sequência que temos: 
 
A = 186-166 = 20 
 
O número 20 (amplitude total) representa o comprimento total da sequência, ou 
seja, a diferença máxima entre as alturas. 
 
Intervalo de classe é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série 
estatística. 
 
Número de classes: o número de classes a ser utilizado depende muito das 
questões que se pretende responder com a variável contínua. Através da 
experiência, o pesquisador poderá visualizar facilmente, pois, não há um critério 
padrão obrigatório. 
Para nossos exemplos, utilizaremos o critério da raiz quadrada para a 
determinação do número de classes. 
 Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por K o 
número de classes a ser utilizado, então teremos: 
nK = 
Para a construção do número de classes, devemos determinar o número de 
elementos da sequência. Verificamos que a sequência possui n = 30 elementos. 
 
Então: 477,530 ==K 
Como o número de classes deve ser necessariamente um número inteiro, 
podemos escolher um número inteiro mais próximo do resultado, podendo variar 
uma unidade para cima ou para baixo 
As opções para K então são: 4, 5 ou 6. 
 
Vamos optar pelo número 5 (cinco classes). 
Obs: Nada impede que usássemos outro número de classes. Por exemplo, 3 
classes ou 7 classes. 
 
 
A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determinada da 
seguinte forma 
k
A
h t= 
Onde: 
16 
 
=tA amplitude total 
K = nº de classes 
 
Então: 
4
5
20 ==h 
 
 
De outro modo, também podemos dizer que a amplitude do intervalo de classe 
é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. Portanto, 
podemos denominar a amplitude do intervalo de classe da seguinte forma: 
 
h = L - l 
Onde: 
h = amplitude do intervalo de classe 
L = limite superior da classe 
l = limite inferior da classe 
Assim... 
h = 170 – 166 = 4 
h = 174 – 170 = 4 
h = 178 – 174 = 4 
h = 182 – 178 = 4 
h = 186 – 182 = 4 
 
Tabela: 
 
Intervalo de Classes fi ri 
 166 170 9 30,0% 
 170 174 6 20,0% 
 174 178 8 26,7% 
 178 182 5 16,7% 
 182 186 2 6,7% 
Total 30 100% 
 
 
 
 
17 
 
OBS: O símbolo significa que o intervalo é aberto à esquerda e 
fechado à direita, ou seja: o limite inferior não entra na contagem (exceto o 
primeiro, que nesse caso é o número 166), e o limite superior entra. Também é 
possível representar de modo contrário; nesse caso o símbolo ficaria invertido 
e o último limite superior entraria no intervalo (nesse caso o número 186). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
166 a 170 170 a 174 174 a 178 178 a 182 182 a 186
Q
u
an
ti
d
ad
e 
d
e 
al
u
n
o
s
Distribuição dos alunos de acordo com a altura (em cm)
18 
 
EXERCÍCIOS – VARIÁVEIS E ANÁLISE DE GRÁFICOS 
 
E1) De acordo com as informações abaixo, as perguntas definem um tipo de 
variável (qualitativa ou quantitativa). Leia as perguntas e classifique-as. 
 Num cursinho pré-vestibular, os estudantes inscritos responderam a um 
questionário no qual constavam, entre outras, as seguintes perguntas: 
 
a) Qual é a área da carreira universitária pretendida? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
b) Você cursou o ensino médio em escola pública ou particular? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
c) Qual é a renda familiar mensal? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
d) Qual é o grau de escolaridade do chefe da família? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
e) Qual é a sua disciplina favorita? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
f) Quantas vezes você já fez cursinho? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
g) Você é usuário da internet? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
h) Quanto tempo de estudo diário pretende dedicar ao cursinho? 
( ) QUALITATIVA ( ) QUANTITATIVA 
 
 
 
 
 
E2) (FGV) No gráfico abaixo está representado, no eixo das abscissas, o número 
de fitas de vídeos alugadas por semana numa locadora; e no eixo das ordenadas 
a frequência correspondente, isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o 
correspondente número de fitas. 
 
19 
 
 
a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais fitas? 
 
b) Se cada fita é alugada por R$ 4,00, qual a receita semanal da videolocadora? 
 
c) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 3 ou menos fitas? 
 
d) Construa a tabela de frequência do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E3) Analisando o gráfico de barras abaixo, classifique em V ou F cada sentença 
seguinte, justificando; 
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6
Fr
eq
u
ên
ci
a
Número de fitas
20 
 
 
a) Se o conjunto de dados fosse representado em um gráfico de setores, o 
ângulo correspondente à região Sul seria menor que 90º; 
 
b) O número de emissoras da região Sudeste supera a soma do número de 
emissoras das regiões Nordeste, Centro-Oeste e Norte juntas; 
 
c) Supondo que Goiás concentre 60% das emissoras de sua região, o percentual 
de emissoras do país representado por esse Estado é menor que 5%; 
 
d) Construa a tabela com os dados representados no gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
E4) O histograma abaixo representa o tempo de espera (em minutos) na fila de 
um banco, em um certa manhã, no centro de Belo Horizonte. 
1064
762
666
225
165
0
200
400
600
800
1000
1200
Sudeste Sul Nordeste Centro - Oeste Norte
Fonte: Almanaque Abril 2001
Rádio - Emissoras no ano 2000
21 
 
 
OBS: Intervalo fechado à direita. 
a) Que porcentagem do total de pessoas esperou até 20 minutos na fila? 
 
 
 
b) Que porcentagem do total de pessoas esperou mais do que 16 minutos na 
fila?c) construa a tabela de frequência contendo: 
fi- Frequência absoluta da ocorrência de xi; 
ri – Frequência Relativa da ocorrência de xi; 
 
 
 
 
 
 
 
 
E5) A tabela abaixo refere-se a uma pesquisa realizada com 180 alunos de uma 
escola, a respeito da carreira universitária pretendida: 
16
12
6
4
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
8 a 12 12 a 16 16 a 20 20 a 24 24 a 28
frequência 
absoluta
tempo em minutos
22 
 
ÁREA FREQUÊNCIA 
ABSOLUTA 
FREQUÊNCIA 
RELATIVA 
PORCENTAGEM 
Exatas 45 a b 
Biológicas c 0,35 d 
Humanas e f g 
 
a) Quais os valores de: a, b, c, d, e, f, g? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Construa um gráfico de barras representando a pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
E6) Os gastos totais (em R$) em petiscos e bebidas consumidos por vinte 
famílias em um domingo de sol, no clube da sua cidade, estão abaixo 
relacionados: 
9,00 – 12,40 – 11,00 – 12,00 – 14,80 – 9,60 – 7,60 – 13,40 – 10,20 – 17,00 
13,50 – 13,00 – 15,50 – 10,00 – 14,20 – 7,00 – 8,20 – 10,30 – 16,00 – 15,00 
a) Agrupe os dados em classes de amplitude igual a 2 e construa uma tabela de 
frequência contendo a frequência absoluta e a frequência relativa. 
Obs: intervalo fechado à direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual é a porcentagem das famílias que consumiram até R$ 11,00 (inclusive)? 
 
 
 
c) Qual é a porcentagem das famílias que consumiram mais do que R$ 9,00 e 
menos ou igual a R$ 15,00? 
 
 
24 
 
E7) No gráfico abaixo, mostra-se como variou o valor do dólar, em relação ao 
real, entre o final de 2001 e o início de 2005. Por exemplo, em janeiro de 2002, 
um dólar valia cerca de R$ 2,40. 
 
 
 
Durante esse período, a época em que o real esteve mais desvalorizado em 
relação ao dólar foi no 
a) 2º semestre de 2001 
b) 2º semestre de 2002 
c) 1º semestre de 2003 
d) 2º semestre de 2004 
e) 1º semestre de 2005 
 
 
 
E8) Podemos estimar o consumo de energia elétrica de uma casa, 
considerando as principais fontes desse consumo. Pense na situação em que 
apenas os aparelhos que constam da tabela abaixo, fossem utilizados 
diariamente da mesma forma. 
 
Tabela: A tabela fornece a potência e o tempo efetivo de uso diário de cada 
aparelho doméstico. 
25 
 
 
 
Supondo que o mês tenha 30 dias e que o custo de 1 KWh é de R$ 0,40, o 
consumo de energia elétrica mensal dessa casa, é de aproximadamente. 
a) R$ 135 
b) R$ 165 
c) R$ 190 
d) R$ 210 
e) R$ 230 
 
 
 
 
E9) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos 
se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado 
e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, 
é mostrada no gráfico abaixo. 
Qual a quantidade total de filhos dessas mulheres? 
 
 
a) 16 
b) 18 
c) 22 
d) 25 
e) 33 
26 
 
 
E10) Em uma área observa-se o seguinte regime pluviométrico: 
 
 
Os anfíbios são seres que podem ocupar tanto ambientes aquáticos quanto 
terrestres. Entretanto, há espécies de anfíbios que passam todo o tempo na 
terra ou então na água. Apesar disso, a maioria das espécies terrestres 
depende de água para se reproduzir e o faz quando essa existe em 
abundância. 
 
Os meses do ano em que, nessa área, esses anfíbios terrestres poderiam se 
reproduzir mais eficientemente são de: 
a) setembro a dezembro 
b) novembro a fevereiro 
c) janeiro a abril 
d) março a julho 
e) maio a agosto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
E11) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do 
que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores 
profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. 
 
 
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que 
concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente: 
a) 14% 
b) 48% 
c) 54% 
d) 60% 
e) 68% 
 
 
E12) Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de reais, o total do valor 
das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e 
2005. 
 
 
 
28 
 
Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve em cada mês, 
crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa 
empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. 
Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento 
das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004. Pela análise do gráfico 2, 
conclui-se que os meses que houve mais crescimento em 2005 foi: 
a) janeiro, fevereiro e outubro. 
b) fevereiro, marco e junho. 
c) marco, maio e agosto. 
d) abril, agosto e novembro. 
e) julho, setembro e dezembro. 
 
E13) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento 
populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados 
dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções 
para 2050. 
 
Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 
2050, 
a) a taxa de crescimento populacional da China será negativa. 
b) a população do Brasil duplicará. 
c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos 
EUA. 
d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%. 
e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do 
mundo. 
 
E14) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas 
se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento 
global. Eram três alternativas possíveis e 300 internautas responderam à 
enquete, como mostra o gráfico. 
29 
 
 
Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à 
enquete? 
a) menos de 23 
b) mais de 23 e menos de 25 
c) mais de 50 e menos de 80 
d) mais de 100 e menos de 190 
e) mais de 200 
 
 
E15) Em uma eleição concorreram os candidatos A, B e C e, apurada a 
primeira urna, os votos foram os seguintes: A = 50 votos; B = 80 votos; C = 60 
votos e Branco e nulos = 10 votos.Com base nesses dados construa: 
a) A tabela de freqüência dessa variável, contendo: 
fi- Frequência absoluta da ocorrência de xi; 
ri – Frequência Relativa da ocorrência de xi; 
 
b) O gráfico de barras, relacionando os valores da variável com as respectivas 
freqüências absolutas; 
c) O gráfico de setores (ou gráfico de pizza), relacionando os valores da 
variável com suas freqüências relativas (porcentagens); 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E16) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de 
uma faculdade, revelou os seguintes valores: 
18,17,18,27,21,19,20,18,17,25, 
20,24,19,26,19,21,18,19,25,18 
23,19,27,20,17,21,19,18,26,19 
24,21,18,19,19,20,19,18,22,20 
18,19,23,18,20,20,18,19,22,18 
a) Construir a tabela da distribuição de frequência para os dados acima 
contendo: 
Xi – Variável Analisada; 
fi- Frequência absoluta da ocorrência de xi; 
Fi - Frequência absoluta acumulada; 
ri – Frequência Relativa da ocorrência de xi; 
Ri – Frequência Relativa acumulada; 
 
31 
 
OBS: Faça o intervalo fechado à direita. 
 
 resultado ajuste 
Mínimo (x) 
Máximo (X) 
amplitude total (At) (X - x) 
Nº de classes (k) (raiz quadrada de n) 
amplitude do intervalo (h) h = At/k 
 
Idade em anos dos calouros de uma classe 
Alunos Idade(fi) 
Frequencia 
acumulada 
Frequencia 
relativa 
frequência 
Relativa 
acumulada 
entre 17 e 19 
entre 19 e 21 
entre 21 e 23 
entre 23 e 25 
entre 25 e 27 
Total 
 
b) Construir o gráfico (histograma), relacionando os valores da variável com as 
respectivas freqüências absolutas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
5. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 Medidas de tendência central são valores representativos de um 
conjunto de números (variáveis). São utilizadas para sintetizar em um único 
número o conjunto de dados observados 
As três medidas mais utilizadas são: MÉDIA, MEDIANA E MODA. 
5.1 Média ( x͞ ) 
Podemos classificar a média em: Simples e Ponderada. 
5.1.1 Média Aritmética Simples 
Trata-se deum valor de equilíbrio para todo o conjunto. 
 
n
xxxx
x n
...321 +++=
−
 
 ou 
 
 
Cada valor corresponde a um xi e ∑ representa a soma dos xi. 
Exemplo: 
Valores de contribuição para a Previdência Privada dos funcionários da 
Assessoria Contábil AC. 
100,00 200,00 
140,00 150,00 
100,00 270,00 
 
 
6
270150200100140100 +++++=
−
x 
160=
−
x 
O valor R$ 160,00 é o ponto de equilíbrio, ou seja, se todos os valores 
fossem iguais, todos valeriam R$ 160,00. 
 Obviamente os valores não são iguais a R$ 160,00 e isso chama a 
atenção para o fato de que a média pode não representar adequadamente um 
conjunto de valores que apresente uma variabilidade muito grande. 
 A calculadora HP-12C dispõe de operadores para cálculos estatísticos. 
n
x
x
n
i
i∑
== 1
33 
 
Na HP-12C 
• Zere os registros anteriores: <f>clear<∑> 
• Cadastre seus dados: digite o valor e em seguida <∑+> 
• Você obterá a média digitando <g> <x> 
 
Exemplo: Calcular o custo médio das refeições semanais: 
Segunda-feira = R$ 15,00; Terça-feira = R$ 16,40; Quarta-feira = R$ 15,30; 
Quinta-feira = R$ 12,00; Sexta-feira = R$ 16,50; Sábado = R$ 20,00 e Domingo 
= R$ 28,50. 
HP-12C 
<f>clear<∑> 
15 <∑+> 
16,40 <∑+> 
15,30 <∑+> 
12 <∑+> 
16,50 <∑+> 
20 <∑+> 
28,50 <∑+> 
<g><x>[junto a tecla 0] 
Solução =17,67 
Na Planilha Excel: 
• O comando é: < =média(célula inicial : célula final)> 
Na célula A3 foi registrada a palavra média apenas como um título (rótulo) para 
o valor calculado em B3 
 
 
 
5.1.1.1 Média Aritmética para duas Variáveis ),( yx 
Exemplo1: A tabela abaixo mostra o número de horas trabalhadas e o número 
de peças usinadas que 5 trabalhadores produzem em uma fábrica. Calcular a 
média diária de horas trabalhadas e a média do número de peças produzidas. 
34 
 
 
Trabalhador Horas por dia No de peças 
A 8 10 
B 4 3 
C 6 5 
D 6 8 
E 8 4 
 
Média diária de nº de peças 
n
xxxx
x n
...321 +++=
−
 
 
6
5
30
5
485310 ==++++=
−
x 
 
 
Média diária de horas trabalhadas 
n
xxxx
x n
...321 +++=
−
 
 
4,6
5
32
5
86648 ==++++=
−
x 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
HP-12C 
<f>clear<∑> ou [f] [CLEAR] [REG] 
8 enter 10 <∑+> 
4 enter 3 <∑+> 
6 enter 5 <∑+> 
6 enter 8 <∑+> 
8 enter 4 <∑+> 
<g><x>[junto a tecla 0] 
Solução = 6 (média diária de peças 
produzidas por trabalhador) 
x><y 
Solução = 6,4 (média diária de horas 
trabalhadas por trabalhador) 
 
Obs: Pode-se inverter a ordem de entrada dos dados. 
Exemplo2: A tabela abaixo mostra o volume de vendas mensais e o número de 
horas semanais de cinco vendedores. Qual a média de horas semanais de um 
vendedor e quanto ele vende, em média, por mês? 
 
Vendedor Horas por 
semana 
Volume de vendas mensais 
(R$) 
A 40 3.000 
B 35 2.800 
C 45 3.500 
D 30 2.000 
E 42 3.200 
 
Média do volume de vendas mensais 
2900
5
14500
5
32002000350028003000 ==++++=
−
x 
 
Média mensal de horas trabalhadas 
4,38
5
192
5
4230453540 ==++++=
−
x 
36 
 
 
HP-12C 
<f>clear<∑> ou [f] [CLEAR] [REG] 
40 enter 3000 <∑+> 
35 enter 2800 <∑+> 
45 enter 3500 <∑+> 
30 enter 2000 <∑+> 
42 enter 3200 <∑+> 
<g><x>[junto a tecla 0] 
Solução = 2.900 (média mensal de vendas) 
x><y 
Solução = 38,4 (média semanal de trabalho 
em horas) 
 
 
5.1.2 Média Aritmética Ponderada 
 
Para uma sequência numérica X: 
onde cada valor possui um peso 
Respectivamente, a média aritmética ponderada, será calculada por: 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 : Suponha as médias bimestrais de um aluno: 5, 6, 8 e 5. 
Calcular a média ponderada dos valores com seus pesos 2, 2, 2 e 4 
respectivamente. 
Obs: 
 
 
 
 
 
 
 
 
npp ,...,1
nxxx ,...,, 21
∑
∑=
i
ii
p
px
pX
8,5
10
58
4222
4.52.82.62.5
1
1 ==
+++
+++==
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
ii
f
fx
X
37 
 
 
HP-12C 
<f>clear<∑> 
5 enter 2 <∑+> 
6 enter 2 <∑+> 
8 enter 2 <∑+> 
5 enter 4 <∑+> 
<g><w x>[junto a tecla 6] 
Solução = 5,8 
 
 
5.2 Mediana (Me) 
A Mediana corresponde ao termo central de uma lista ordenada. 
 
Primeiramente você distribui os dados em ordem (crescente ou 
decrescente) 
A Mediana corresponde ao valor central (se o conjunto de dados for 
ímpar) 
 
Exemplo1: Idade dos funcionários de uma empresa (em anos) 
19 23 23 25 26 30 31 36 36 40 55 
 
 
50% dos funcionários tem 30 anos ou menos e 50% tem 30 anos ou mais. 
OBS: Se n é ímpar, a posição da mediana será dada pela expressão 
 
 
 
Nesse caso temos: 
 
 
 
Ou seja, o número 30. 
OBS: Se n é par, o conjunto analisado admite dois termos centrais que ocupam 
as posições pelas seguintes expressões. 





 +
2
1n
conjunto do elemento 6)
2
12
(
2
111 o==




 +
38 
 
 
 
 
Ou corresponde a média dos dois valores centrais (se o conjunto de dados 
for par). Dessa forma, a Me tem 50% dos dados abaixo e 50% acima. 
 
19 23 23 25 26 30 31 36 36 40 55 56 58 60 
 33,5 
50% dos funcionários tem menos de 33,5 anos e 50% tem mais de 33,5 anos. 
Nesse exemplo temos: 
 
 
Na Planilha Excel: 
• O comando é < =mediana(célula inicial : célula final) 
 
5.3 Relação entre Média e Mediana 
 A média é sensível a (ou influenciada por) cada valor do conjunto, 
inclusive os extremos. A mediana por sua vez é relativamente insensível aos 
valores extremos. 
 
Exemplo: considere o seguinte conjunto de dados: 
14 15 16 17 18 19 24 38 
 
Mediana = 17,5 
Média = 20,1 
 
A média foi influenciada pelo valor 38, o que não aconteceu com a mediana. 
Portanto, quando o conjunto tem pontos fora do padrão (outliers) a mediana é a 
medida mais adequada para representar o conjunto. (Embora a média seja de 
20,1, 50% dos dados são inferiores a 17,5). 
 





 +





1
2
 
2
n
e
n
conjunto do elementos 8 e 71
2
14
 
2
14 oo=




 +





e
39 
 
5.4. Moda (Mo) 
 
Trata-se do valor com maior frequência, ou seja, é o valor que mais se 
repete. 
Exemplo: 
Nº de horas extras por funcionário: 
2 2 4 5 5 5 5 7 9 9 18 25 
 
 
Mo = 5, pois é o número com maior freqüência. Ocorreu 4 vezes. 
 
6. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 As Medidas de Dispersão indicam se os dados estão próximos da média 
ou se estão mais distantes. 
Nº de filhos por funcionário: (pequena dispersão, pois estão próximos da 
média 1,5) 
0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 
 
 
Nº de horas extras por funcionário: (grande dispersão, pois estão mais 
distantes da média 8) 
2 2 4 5 5 5 5 7 9 9 18 25 
 
 
 A dispersão é representada através da VARIÂNCIA e do DESVIO 
PADRÃO 
6.1 Variância 
A variância corresponde "A média do quadrado da distância de cada ponto 
até a média". 
Primeiro calculamos a diferença entre cada valor e a média do conjunto. Em 
seguida elevamos ao quadrado essas diferenças. A seguir dividimos a soma 
dos quadrados por n (para dados populacionais) ou por n -1 para dados 
amostrais. 
 
40 
 
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
 é a variância amostral 
 
 
n
xx
n
i
i∑
=
−
= 1
2
2
)(
σ é a variância populacional 
 
Veja o seguinte esquema: 
 
Média = 5,13
8
25191612111087
x
-
=+++++++= 
A média das diferenças é zero, pois sendo a média o ponto de equilíbrio 
dos dados, a soma das diferenças é zero. 
 Média das diferenças = (-6,5)+(-5,5)+(-3,5)+(-2,5)+(-1,5)+2,5+5,5+11,5 = 
0 
41 
 
 Elevando cada uma das diferenças ao quadrado, eliminamos o sinal 
negativo e a soma não será nula. Além disso, como estamos analisando as 
variações em torno da média, ao elevarmos ao quadrado, estamos dando 
ênfase as variações, pois, pequenos valores ao quadrado continuam pequenos 
e grandes valores ficam ainda maiores. 
(-6,5)² + (-5,5)² + (-3,5)² + (-2,5)² + (-1,5)² + 2,5² + 5,5² + 11,5² = soma dos 
quadrados 
42,25 + 30,25 + 12,25 + 6,25 + 2,25 + 6,25 + 30,25 + 132,25 = 262 (a unidade 
está ao quadrado) 
 Calculando a média destes quadrados teremos: 
No caso populacional No caso amostral 
quadrado) (ao unidades 75,32
8
2622 ==σ quadrado) (ao unidades 43,37
)18(
262
S2 =
−
= 
Exemplo:Nº de Atendimentos na 1ª semana de março de 2017 
no Posto de Saúde do bairro XXX 
 
 
Dia da 
semana 
Nº de Atend. 
(xi) xi - x ( xi - x )² s² = 77,2/(5-1) 
Segunda 25 25 - 18,4 = 6,6 43,56 
Terça 18 18 - 18,4 = -0,4 0,16 
Quarta 15 15 - 18,4 = -3,4 11,56 s² = 19,3 
Quinta 20 20 - 18,4 = 1,6 2,56 
Sexta 14 14 - 18,4 = -4,4 19,36 Amostral porque 
os dados são 
parte do período 
trabalhado média = 18,4 77,2 
 
 
O número médio de atendimentos foi 18,4 e a variância foi 19,3. Observe que a 
variância traz a unidade, nº de atendimentos ao quadrado, dificultando a 
interpretação. 
 
Extraindo a raiz quadrada da variância obtemos o DESVIO PADRÃO. 
No exemplo anterior, √�� = √19,3 = 4,39� = 4,39 
4,39 é a média das variações (no nº diário de atendimentos) em torno da média 
diária de 18,4 atendimentos. 
42 
 
6.2 Desvio Padrão 
 O desvio padrão representa a média das variações em torno da média 
do conjunto. Sua unidade é a mesma dos dados. 
- Se os pontos estiverem mais concentrados em torno da média, 
menor será a dispersão (a amostra será mais homogênea). 
 
- Se os pontos estiverem mais afastados do valor médio, maior será 
a dispersão (a amostra será mais heterogênea). 
 
1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
 Desvio Padrão calculado a partir de uma amostra. 
 
 
n
xx
n
i
i∑
=
−
= 1
2)(
σ Desvio Padrão calculado com dados populacionais. 
 
Exemplos: 
a) Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 4 saltos cada 
um. Veja as marcas obtidas pelos três melhores atletas: 
Atleta A: 148 cm; 170 cm; 155 cm e 131 cm. 
Atleta B: 145 cm; 151 cm; 150 cm e 152 cm. 
Atleta C: 146 cm; 151 cm, 143 cm e 160 cm. 
a) Qual deles teve a melhor média? 
b) Qual deles foi o mais regular? 
Analise os dados através da média e do desvio padrão. 
 
 
 
 
43 
 
b) Nº de funcionários nos supermercados de uma cidade do interior. (dados 
fictícios) 
SuperM1 SuperM2 SuperM3 SuperM4 SuperM5 
5 2 3 8 1 
 
Nº de funcionários (xi) (xi – média) (diferença)² 
5 
2 
3 
8 
1 
Média = 
 
 Se estes supermercados representam uma amostra calculamos s 
(desvio padrão amostral), caso contrário calculamos 
(desvio padrão 
populacional) 
Em sua calculadora 
HP-12C 
<f>clear<∑> 
5 <∑+> 
2 <∑+> 
3 <∑+> 
8 <∑+> 
1 <∑+> 
<g><x>[junto a tecla 0] 3,8 
<g><s>[desvio padrão amostral] 2,77 
<g><x><∑+>[registra a média como 
mais uma dado] 
<g><s>[desvio padrão populacional] 
2,4819 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
Na planilha 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
E17) Identifique a MÉDIA, a MEDIANA, a MODA, a VARIÂNCIA e o DESVIO 
PADRÃO para cada conjunto de dados: 
a) Peso (em Kg) de uma amostra das ovelhas da fazenda AHLEVO. 
25 25 26 26,6 30 30 30 33 33,5 35 
35 36,5 38 40 41 43 50 52 53 55 
 
b) Despesa mensal (em R$) com estacionamento de todos os funcionários do 
hospital HH. 
78 78 78 78 78 104 104 104 
125 125 125 125 125 125 150 150 
155 155 165 165 170 175 180 180 
 
c) Despesas com combustível (R$) de alguns vendedores da Distribuidora DD 
no mês de fev/17. 
875,50 908,12 950 980 1020,50 1125,12 1210 
45 
 
1215 1260 1265 1270 1280 1305 1315 
1316 1319 1324 1346 1356 1400 2040 
 
E18) Uma loja vende cinco produtos básicos A,B,C,D,E. O lucro por unidade 
comercializada destes produtos vale respectivamente R$ 200,00; R$ 300,00; 
R$ 500,00; R$ 800,00; R$ 900,00. A loja vendeu em determinado mês 20; 30; 
18; 15 e 8 unidades respectivamente. 
a) Determine o lucro médio por unidade comercializada por essa loja? 
 
 
 
 
b) Determine a mediana e a moda. 
 
 
 
 
7. MÉDIA, MODA, MEDIANA, VARIÂNCIA e DESVIO PADRÃO COM BASE 
NAS TABELAS DE FREQUÊNCIA. 
 Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequências absolutas 
das tabelas de frequência das variáveis quantitativas, podemos calcular a 
média, a moda e a mediana de seus valores. 
Exemplos: 
1) Uma empresa distribuidora de frutas entregou, em determinado dia, 500 kg 
de maçã fuji em diversos pontos de vendas no varejo. O preço (em R$) e a 
quantidade por kg vendido nos diversos locais estão explicitados na tabela 
abaixo: 
Determine a MÉDIA, a MODA, a MEDIANA, a VARIÂNCIA e o DESVIO 
PADRÃO dos preços praticados pela empresa. 
OBS: Considere uma população (e não amostra) para o cálculo da variância e 
do desvio padrão. 
46 
 
Locais de venda 
Preço em R$ 
(Maçã fuji) 
Frequência 
Absoluta (em kg) 
Local 1 R$ 3,00 90 
Local 2 R$ 3,50 120 
Local 3 R$ 4,80 50 
Local 4 R$ 5,00 140 
Local 5 R$ 6,00 100 
 total 500 
 
a) Média 
46,4
500
2230
500
100*6140*550*8,4120*5,390*3
Média ==++++= 
OBS: Essa média significa que, se, os 500 kg de maçã fossem vendidos pelo 
mesmo preço, esse preço seria R$ 4,46. 
 
 
 
 
Soluções na HP-12C: 
HP-12C 
<f> clear <∑> 
3 ENTER 90 <∑+> 
3,50 ENTER 120 <∑+> 
4,80 ENTER 50 <∑+> 
5 ENTER 140 <∑+> 
6 ENTER 100 <∑+> 
<g> <x w> [junto a tecla 6] 
Solução = 4,46 
 
 
 
 
47 
 
b) Moda 
A maior frequência é 140, que corresponde ao valor de R$ 5,00. Logo, a moda 
é R$ 5,00. 
c) Mediana 
O total da frequência é 500 (número par), portanto os valores centrais são: 
 00 251 e 2501
2
500
 e 
2
500 =+= . 
Então em ordem crescente do preço praticado temos: 90 kg + 120 kg + 40 kg. 
Assim estamos na frequência da linha 3 onde o preço praticado é R$ 4,80. 
Isso quer dizer que o 250º e 251º foi vendido por R$ 4,80 cada um. 
Portanto a mediana é R$ 4,80: Ou seja; 80,4
2
80,480,4
Mediana =+= 
 
d) Variância 
17,1
500
586
500
)46,46(*100)46,45(*140)46,480,4(*50)46,45,3(*120)46,43(*90
22222
==
−+−+−+−+−=
V
V
 
e) Desvio Padrão 
08,117,1 ==DP 
Portando, o desvio padrão nos preços praticados é de R$ 1,08. 
OBS: O desvio padrão, na HP-12C, com duas variáveis, faz separadamente os 
desvios do primeiro conjunto de dados e do segundo conjunto de dados. 
Portanto, o artifício utilizado é um pouco diferente. Vejamos: 
 
 
 
 
 
Soluções na HP-12C: 
48 
 
HP-12C 
<f> clear <∑> 
3 ENTER ENTER 90 X <∑+> 
3,50 ENTER ENTER 120 X <∑+> 
4,80 ENTER ENTER 50 X <∑+> 
5 ENTER ENTER 140 X <∑+> 
6 ENTER ENTER 100 X <∑+> 
500 STO 1 
RCL 6 STO 3 
< g > < X > 
4,46 (média) <∑+> (insere como um elemento da amostra) 
< g > < S > 1,08 (desvio padrão populacional) 
 
Observação: 
Tendo o desvio padrão conhecido, fica fácil encontrar a variância, pois, o desvio 
padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, nesse caso é só fazer a 
operação inversa para encontrar a variância, ou seja, elevar o desvio padrão ao 
quadrado. 
1,08 ENTER 2 Yx = 1,17 (variância). 
EXERCÍCIOS: 
E19) Na tabela abaixo são representados 20 escritórios de contabilidade com 
seus respectivos números de funcionários. 
N° de 
Funcionários 
N° de Escritórios 
(frequência absoluta) 
12 1 
15 4 
18 7 
24 5 
42 3 
 
Calcular as medidas de tendência central: A Média, a moda, a mediana, a 
variância e o desvio padrão do nº de funcionários das empresas analisadas. 
Obs: Considere uma amostra para calcular a variância e o desvio padrão 
 
E20) A tabela abaixo mostra a idade dos 50 alunos de uma classe de primeiro 
ano de determinada Faculdade, em anos. 
49 
 
Idade (Anos) 
(xi) 
Nº de 
Alunos(fi) 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
 
Determine a MÉDIA, a MODA, a MEDIANA, a VARIÂNCIA e o DESVIO 
PADRÃO das idades dos alunos dessa classe. 
Obs: Nesse caso é uma população e não amostra, pois são todos os alunos da 
classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. MÉDIA, MODA, MEDIANA E VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO COM BASE 
EM DADOS AGRUPADOS. 
50 
 
 Quando as informações referentes a uma variável estão agrupadas em 
classes de valores (intervalos), não é possível saber como os valores estão 
distribuídos em cada faixa. Devido a isso, como recurso para associar medidas 
a esses dados, costuma-se fazer a suposição de que, em cada intervalo, os 
valores estão distribuídos homogeneamente, isto é, admite-se uma distribuição 
simétrica ao redor do ponto médio do intervalo.Exemplo: O consumo de energia elétrica verificado de uma amostra de 
30 residências de famílias da classe média, com dois filhos, revelou a 
distribuição abaixo. 
 
 
Determine a MÉDIA, a MODA, a MEDIANA, a VARIÂNCIA e o DESVIO 
PADRÃO do consumo em Kw/h praticados pelas famílias. 
a) Média 
62
30
1860
30
5*1009*806*604*406*20
Média ==++++= 
OBS: Essa média significa que, se, todas as famílias consumissem a mesma 
quantidade de kw/h, o consumo seria 62 kw/h. 
Soluções na HP-12C: 
HP-12C 
<f> clear <∑> 
20 ENTER 6 <∑+> 
40 ENTER 4 <∑+> 
60 ENTER 6 <∑+> 
80 ENTER 9 <∑+> 
100 ENTER 5 <∑+> 
<g> <x w> [junto a tecla 6] 
Solução = 62 
b) Moda 
 
 
 
 
Classe Consumo Kwh Ponto Médio (Pm) Famílias (fi) Pm * fi Desvio Quadrático 
1 10|---30 20 6 120 (62 – 20)2 = 1.764 
2 30|---50 40 4 160 (62 – 40)2 = 484 
3 50|---70 60 6 360 (62 – 60)2 = 4 
4 70|---90 80 9 720 (62 – 80)2 = 324 
5 90|---110 100 5 500 (62 – 100)2 = 1.444 
TOTAL 30 1.860 4.020 
51 
 
A classe modal é dada pela classe que reúne a maior frequência. Nesse 
exemplo, a classe de maior frequência é a de 70 a 90, pois ela concentra 9 
famílias. 
Portanto, dizemos que a classe modal é o intervalo 70|---90. 
 
c) Mediana 
O total da frequência é 30 (número par), portanto os valores centrais são: 
 00 16 e 151
2
30
 e 
2
30 =+= . 
Em situações que apresentam seus valores distribuídos em intervalos, admite-
se que 50% dos dados encontram-se abaixo da mediana e 50% acima da 
mediana. 
Então em ordem crescente do consumo por família temos: 6 famílias (20%) + 4 
famílias (13,3%) + 6 famílias (20%). Assim estamos no 3º intervalo onde o 
consumo é de 50 a 70 kwh (20% + 13,3% + 20% = 53,3%). 
Portanto, dizemos que a mediana pertence ao intervalo 50|---70. 
 
 
d) Variância 
07,782
29
22680
130
)10062(*5)8062(*9)6062(*6)4062(*4)2062(*6
22222
==
−
−+−+−+−+−=
V
V
 
e) Desvio Padrão 
97,2707,782 ==DP 
Portando, o desvio padrão no consumo de energia elétrica das famílias 
pesquisadas é 27,97 kw/h. 
 
 
 
Soluções na HP-12C: 
52 
 
HP-12C 
<f> clear <∑> 
20 ENTER ENTER 90 X <∑+> 
40 ENTER ENTER 120 X <∑+> 
60 ENTER ENTER 50 X <∑+> 
80 ENTER ENTER 140 X <∑+> 
100 ENTER ENTER 100 X <∑+> 
30 STO 1 
RCL 6 STO 3 
< g > < S > 27,97 (desvio padrão amostral) 
 
Observação: 
Tendo o desvio padrão conhecido, fica fácil encontrar a variância, pois, o 
desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Portanto, nesse caso é só fazer 
a operação inversa para encontrar a variância, ou seja, elevar o desvio padrão 
ao quadrado. 
27,97 ENTER 2 Yx = 782,32 (variância). 
OBS: A diferença entre 782,32 e 782,02 é devido ao arredondamento do 
número 27,97 (27,965496...). 
EXERCÍCIOS: 
E21) A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial 
de todos os funcionários de uma empresa. 
 
Determine a MÉDIA, a MODA, a MEDIANA, a VARIÂNCIA e o DESVIO 
PADRÃO dos salários pagos pela empresa. 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
E22) Considere a tabela abaixo que contém as medidas em altura numa turma 
de calouros. 
Altura em cm da turma de calouros 
158 159 161 163 164 166 166 167 168 169 
169 170 170 172 173 175 175 176 176 177 
178 180 181 182 183 185 185 186 187 188 
 
Obs: Intervalo fechado à direita. 
 
a) Construa uma tabela de frequência com os intervalos de classe contendo 
frequência absoluta, frequência absoluta acumulada, frequência relativa e 
frequência relativa acumulada. 
 resultado ajuste 
Mínimo (x) 
Máximo (X) 
amplitude total (At) (X - x) 
Nº de classes (k) (raiz quadrada de n) 
amplitude do intervalo (h) h = At/k 
 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
Altura em cm 
N° de alunos 
(fi) 
Frequência 
Acumulada (FI) 
Frequência 
relativa (ri) 
Frequência 
relativa 
Acumulada (RI) 
 
 
 
 
 
Total 
 
 
 
 
b) Faça um esboço do histograma; 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determine a média, mediana, moda, variância e desvio padrão, 
considerando os intervalos agrupados (histograma). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E23) Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 
indivíduos de uma faculdade: 
55 
 
 
Obs: considere 8 classes, e o intervalo fechado à esquerda. 
Faça uma tabela de frequência contendo as frequências absolutas e os pontos 
médios das classes, e através dela: 
a) Construa o histograma 
b) Encontre a média 
c) Encontre a moda 
d) Encontre a mediana 
e) Encontre a variância 
f) Encontre o desvio padrão 
OBS: Esses cálculos sempre considerando a tabela de frequência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO – TESTES 
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
56 
 
E24) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das 
Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual 
de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009: 
Região 2005 2006 2007 2008 2009 
Norte 2% 2% 1% 2% 1% 
Nordeste 18% 19% 21% 15% 19% 
Centro-Oeste 5% 6% 7% 8% 9% 
Sudeste 55% 61% 58% 66% 60% 
Sul 21% 12% 13% 9% 11% 
 
Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado). 
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de 
medalhistas de ouro da região Nordeste? 
a) 14,6% 
b) 18,2% 
c) 18,4% 
d) 19,0% 
e) 21,0% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E25) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade 
mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias 
intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é 
frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos 
e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As 
medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: 
Dia do Mês Temperatura ºC 
57 
 
1 15,5 
3 14 
5 13,5 
7 18 
9 19,5 
11 20 
13 13,5 
15 13,5 
17 18 
19 20 
21 18,5 
23 13,5 
25 21,5 
27 20 
29 16 
 
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, 
respectivamente, iguais a 
a) 17°C, 17°C e 13,5°C. 
b) 17°C, 18°C e 13,5°C. 
c) 17°C, 13,5°C e 18°C. 
d) 17°C, 18°C e 21,5°C. 
e) 17°C, 13,5°C e 21,5°C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
E26) Um concurso avaliou n candidatos atribuindo-lhes notas de 0 a 100 
pontos. Sabe-se que exatamente 20 deles obtiveram nota máxima e, nesse 
caso, a média aritmética foi de 80 pontos. Agora, se consideradas apenas as 
58 
 
notas inferiores a 100 pontos, a média passa a ser de 70 pontos. Nessas 
condições, pode-se afirmar que n é igual a 
a) 70 
b) 60 
c) 80 
d) 40 
e) 50 
 
 
 
 
 
 
 
E27) Uma empresa seleciona 16 funcionários fumantes e promove um ciclo de 
palestras com os mesmos para esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais do 
cigarro à saúde. Após essas palestras, são coletados dados sobre a quantidade 
de cigarros que cada um desses fumantes está consumindo diariamente. Tais 
dados são expressos da seguinte maneira: 
10, 1, 10, 11, 13, 10, 34, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 11, 12, 12 
Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são dados muito menores ou 
muito maiores que a maioria dos dados obtidos. Segundo esta coleta de dados, 
pode-se afirmar que: 
 
a) os cálculos da média, da mediana e da moda não sofrem influência dos dados 
discrepantes. 
b) o cálculo da mediana sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 
c) o cálculo da moda sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 
d) o cálculo da média sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. 
 
 
E28) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove 
númerosinteiros. O maior valor possível para a mediana dos nove números da 
lista é 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
E29) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, 
estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode 
assumir é 
59 
 
a) 70. 
b) 20. 
c) 50. 
d) 16. 
e) 100. 
 
 
 
E30) A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial 
dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho. 
 
O salário médio desses trabalhadores é 
a) R$ 400,00. 
b) R$ 425,00. 
c) R$ 480,00. 
d) R$ 521,00. 
e) R$ 565,00. 
 
 
 
 
 
E31) Ao considerar um conjunto de dados, com uma média como medida 
central, temos a variância e o desvio padrão referentes a esta média. Em 
relação a estes parâmetros, 
a) a variância é uma medida cujo significado é a metade do desvio padrão. 
b) a variância é calculada com base no dobro do desvio padrão. 
c) o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
60 
 
d) a média dividida pelo desvio padrão forma a variância. 
e) a variância elevada ao quadrado indica qual é o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
E32) Um aluno obteve as notas 4,5; 8,0 e 7,0 nas três avaliações realizadas 
durante o semestre. O aluno que não consegue a média 7,0 nas três 
avaliações mensais deve realizar a prova final. Na composição da média final, 
a média das três avaliações têm peso 4, e a nota da prova final tem peso 6. O 
aluno será considerado aprovado com a média final superior ou igual a 5. Para 
obter aprovação, o aluno citado deverá conseguir no exame final, nota mínima 
igual a: 
a) 5,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 7,0 
e) 6,0 
 
 
 
 
 
 
E33) Considerando que a tabela abaixo mostra o tempo, em minutos, gasto 
para a realização de auditorias em seis balanços contábeis, assinale a opção 
correta a respeito de medidas de tendência central e variabilidade. 
 
Auditoria 1 2 3 4 5 6 
tempo 60 90 30 40 50 90 
 
 
 
a) A amplitude total, que representa a diferença entre as observações nas 
extremidades do conjunto de dados, foi igual a 30 minutos 
b) A mediana foi 60 minutos 
c) A variância amostral desse conjunto de dados foi inferior a 600 minutos2 
d) A média foi 55 minutos. 
e) O desvio padrão amostral foi inferior a 30 minutos 
 
E34) Em 2009 uma universidade pagou cada um de seus 45 instrutores um 
salário mensal de R$ 1.500,00; a cada um de seus 67 assistentes R$ 2.000,00; 
a cada um dos 58 adjuntos R$ 2.600,00 e a cada um de seus 32 titulares R$ 
3.100,00. O salário mediano de todos os docentes dessa universidade é: 
a) R$ 2.300,00 
b) R$ 2.600,00 
61 
 
c) R$ 2.000,00 
d) R$ 2.400,00 
e) R$ 2.200,00 
 
 
 
 
E35) Durante 4 anos consecutivos, o cliente de uma gráfica mandou imprimir 
cartões de visita para sua empresa. No primeiro ano a gráfica cobrou R$ 10,00 
o cento; no segundo ano, R$ 12,00 o cento; no terceiro ano, R$ 15,00; e no 
quarto ano, R$ 20,00. Sabe-se que, durante o período considerado, o cliente 
gastou exatamente R$ 3.000,00 em cada ano. Nessas condições, o custo 
médio do cento de cartões para o período de 4 anos foi de, aproximadamente: 
a) R$ 11,11 
b) R$ 13,33 
c) R$ 14,25 
d) R$ 15,33 
e) R$ 17,66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E36) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências absolutas de 
salários, em número de salários mínimos dos 100 funcionários de uma 
empresa. 
Classe de salários (em S. M.) Frequências absolutas 
1 a 3 30 
62 
 
3 a 5 40 
5 a 7 30 
 
O valor do desvio padrão desses funcionários, considerado como desvio 
padrão populacional, e obtido por meio dessa tabela, calculado como se todos 
os valores de cada classe de salários coincidissem com o ponto médio da 
referida classe, em número de S. M., é: 
a) 2,1 
b) 2,2 
c) 2 
d) 8,1 
e) 4,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
E1) a) qualitativa b) qualitativa c) quantitativa d) qualitativa 
e) qualitativa f) quantitativa g) qualitativa h) quantitativa 
 
63 
 
E2) a) 31,25% b) R$ 940,00 c) 68,75% 
 
d) 
Xi (variável 
analisada - nº de 
fitas) 
fi (frequência 
absoluta) 
Fi (frequência 
aboluta 
acumulada) 
ri (frequência 
relativa) 
Ri (frequência 
relativa 
acumulada) 
1 10 10 12,50% 12,50% 
2 25 35 31,25% 43,75% 
3 20 55 25,00% 68,75% 
4 15 70 18,75% 87,50% 
5 5 75 6,25% 93,75% 
6 5 80 6,25% 100,00% 
Total 80 100,00% 
Fonte: Dados fictícios 
 
E3) a) Falso; seria de aproximadamente 95o. 
b) Verdadeiro; pois essa soma é 1056. 
c) Verdadeiro; é 4,68% 
d) 
Região Nº de emissoras
Sudeste 1064
Sul 762
Nordeste 664
Centro Oeste 227
Norte 165
Total 2882
Rádio - Emissoras no ano 2000
Fonte: Almanaque Abril 2001 
 
E4) a) 85% b) 30% 
 
E5) a = 0,25; b = 25%; c = 63; d = 35%; e = 72; 
f = 0,4; g = 40% 
 
E6) 
64 
 
a) 
Intervalo de Classes fi ri 
 7 9 4 20,0% 
 9 11 5 25,0% 
 11 13 3 15% 
 13 15 5 25% 
 15 17 3 15% 
Total 20 100% 
 
b) 45% 
c) 65% 
 
E7) B 
 
E8) E 
 
E9) D 
 
E10) B 
 
E11) 60% 
 
E12) D 
 
E13) D 
 
65 
 
E14) C 
 
E15) 
Variável
Frequência 
Absoluta
Frequência 
Relativa 
Canditado A 50 25%
Canditado B 80 40%
Canditado C 60 30%
Brancos e Nulos 10 5%
Total 200 100% 
 
 
E16) 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Canditado A Canditado B Canditado C Brancos e Nulos
N
ú
m
er
o
 d
e 
vo
ta
n
te
s
Resultado da Eleição
25%
40%
30%
5%
Resultado da Eleição
Canditado A
Canditado B
Canditado C
Brancos e Nulos
66 
 
 resultado ajuste 
Mínimo (x) 17 17 
Máximo (X) 27 27 
amplitude total (At) (X - x) 10 10 
Nº de classes (k) (raiz quadrada de n) 7,07 5 
amplitude do intervalo (h) h = At/k 1,41 2 
 
Idade em anos dos calouros de uma classe 
Alunos Idade(fi) 
Frequencia 
acumulada 
Frequencia 
relativa 
frequência 
Relativa 
acumulada 
entre 17 e 19 27 27 54,0% 54,0% 
entre 19 e 21 11 38 22,0% 76,0% 
entre 21 e 23 4 42 8,0% 84,0% 
entre 23 e 25 4 46 8,0% 92,0% 
entre 25 e 27 4 50 8,0% 100,0% 
Total 50 203 100% 
 
 
 
 E17) a) Média = 36,88 
 Moda = 30 
 Mediana = 35 
 Variância = 91,34 
 D. Padrão = 9,56 
0
5
10
15
20
25
30
entre 17 e 19 entre 19 e 21 entre 21 e 23 entre 23 e 25 entre 25 e 27
N
ú
m
e
ro
 d
e
 a
lu
n
o
s
Dados Fictícios
Distribuição dos alunos de acordo com a sua idade
67 
 
 
b) Média = 129,04 
 Moda = 125 
 Mediana = 125 
 Variância = 1.200,04 
 D. Padrão = 34,64 
 
 
c) Média = 1.241,91 
 Moda = Não existe 
 Mediana = 1.270,00 
 Variância = 59.013,51 
 D. Padrão = 242,93 
 
 E18) Média = 452,74 
Moda = 300,00 
Mediana = 300,00 
 E19) Média = 22,2 
 Moda = 18 
 Mediana = 18 
 Variância = 85,64 
 Desvio Padrão = 9,25 
E20) Média = 18,84 anos 
Moda = 18 anos 
Mediana = 19 anos 
Variância = 1,054 
Desvio Padrão = 1,027 anos 
 
 
E21) Média = R$ 565,00 
 Moda = 1º intervalo: R$ 350,00 a R$ 450,00 
Mediana = 2º intervalo: R$ 450,00 a R$ 550,00 
Variância = 23.608,33 
Desvio Padrão = R$ 153,65 
 
E22) 
a) resultado ajuste 
Mínimo (x) 158 158 
Máximo (X) 188 188 
amplitude total (At) (X - x) 30 30 
68 
 
Nº de classes (k) (raiz quadrada de n) 5,4 5 
amplitude do intervalo (h) h = At/k 5,56 6 
 
TABELA DE FREQUÊNCIA 
Altura em cm 
N° de alunos 
(fi) 
Frequência 
Acumulada (FI) 
Frequência 
relativa (ri) 
Frequência 
relativa 
Acumulada (RI) 
158 a 164 5 5 16,7% 16,7% 
164 a 170 8 13 26,7% 43,3% 
170 a 176 6 19 20,0% 63,3% 
176 a 182 5 24 16,7% 80,0% 
182 a 188 6 30 20,0% 100,0% 
Total 30 91 1 
 
b) 
 
 
E23) ? 
 
E24) C 
 
E25) B 
 
E26) B 
 
E27) D 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
158 a 164 164 a 170 170 a 176 176 a 182 182 a 188
N
ú
m
e
ro
 d
e
 a
lu
n
o
s
Altura em cm da turma de calouros
69 
 
 
E28) D 
 
E29) A 
 
E30) E 
 
E31) C 
 
E32) C 
 
E33)E 
 
E34) C 
 
E35) B 
 
E36) E 
 
 
10. BIBLIOGRAFIA UTILIZADA 
1) ANDERSON, David R & SWEENEY, Dennis J. & WILLIAN, Thomas A. 
Estatística Aplicada à Administração e Economia. 2ª Edição. São Paulo. 
Cengage Learning, 2012. 
 
2) DA SILVA, Ermes Medeiros.;Da SILVA, Elio Medeiros; GONÇALVES, 
Valter.; MUROLO, Afrânio Carlos. Estatística: para os cursos de economia, 
administração e ciências contábeis. Volume 1. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
3) CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 19ª Edição Atualizada. São Paulo: 
Saraiva, 2009. 
4) IEZZI, Gelson & HAZZAN, Samuel & DEGENSZAJN, David. Fundamentos 
de Matemática Elementar. Volume 11. São Paulo: Atual Editora,2004.